Лекция 0 Введение

Лекция 0
Введение
Фундаментальные частицы и взаимодействия
В физике микромира все частицы делятся на два класса: фермионы и бозоны.
Фермионы – частицы с полуцелыми значениями спина, бозоны – частицы с
целыми значениями спина. Спином называется минимальное значение момента
импульса, которое может иметь частица. Спин и другие моменты импульсов
измеряются в единицах . Для частиц с ненулевой массой спин равен моменту
импульса частицы в системе координат, связанной с ней самой. Значение J
спина частиц, указываемое в таблицах, представляет собой максимальное
значение проекции вектора момента количества движения на выделенную ось,
деленное на .
Фундаментальными называют частицы, которые по современным
представлениям не имеют внутренней структуры. 12 фундаментальных
фермионов (со спином 1/2 в единицах ) приведены в таблице 1. Последний
столбец таблицы 1 – электрические заряды фундаментальных фермионов в
единицах величины заряда электрона e.
Табл. 1. Фундаментальные фермионы.
Фундаментальные фермионы
Поколения
Взаимодействия
1
лептоны
кварки
2
3
Заряд
Q/e
νе
νμ
ντ
0
e
μ
τ
-1
u
c
t
+2/3
d
s
b
-1/3
12 фундаментальным фермионам соответствуют 12 антифермионов.
Взаимодействие частиц осуществляется за счет 4 типов взаимодействий:
гравитационного, сильного, электромагнитного и слабого. Квантами
соответствующих полей являются 12 фундаментальных бозонов.
Табл. 2. Фундаментальные взаимодействия
Взаимодействие
Сильное
Электромагнитное
Квант
Радиус
Квадрат
константы
глюоны
10-13
~1
-квант
el
=1/137
Примеры проявления
взаимодейстия
Ядро, адроны
10-2
Атом, -переходы
Слабое
Гравитационное
W,Z
гравитон
10-16
~10-6
Слабые распады
частиц, -распад
~10-40
Сила тяжести
Квантами сильного взаимодействия являются нейтральные
безмассовые глюоны. Фундаментальные фермионы, между которыми
реализуется сильное взаимодействие – кварки –характеризуются квантовым
числом “цвет”, которое может принимать 3 значения. Глюоны имеют 8
разновидностей “ цветных” зарядов.
Квантами электромагнитного взаимодействия являются -кванты. Гаммакванты имеют нулевую массу покоя. В электромагнитных взаимодействиях
участвуют фундаментальные частицы, занимающие последние три строки в
таблице 1, т.е. заряженные лептоны и кварки. Поскольку кварки в свободном
состоянии не наблюдаются, а входят в состав адронов, т.е. барионов и мезонов,
все адроны, наряду с сильными взаимодействиями, участвуют и в
электромагнитных взаимодействиях.
Квантами слабого взаимодействия, в котором принимают участие все
лептоны и все кварки, являются W и Z бозоны. Существуют как положительные
W+ бозоны, так и отрицательные W-; Z–бозоны электрически нейтральны.
Массы W и Z бозонов велики – больше 80 ГэВ/с2. Следствием больших масс
промежуточных бозонов слабого взаимодействия является малая – по
сравнению с электромагнитной константой – константа слабого
взаимодействия. Нейтрино участвует только в слабых взаимодействиях.
Глюоны, гамма-квант, W и Z бозоны являются фундаментальными бозонами.
Спины всех фундаментальных бозонов равны 1.
Гравитационные взаимодействия практически не проявляются в физике
частиц. Например, интенсивность гравитационного взаимодействия двух
протонов составляет ~10-38 от интенсивности их электромагнитного
взаимодействия.
Экспериментально установлено существование 12 фундаментальных
фермионов и 12 фундаментальных бозонов (без учета античастиц), их свойства
подробно исследованы.
Явления природы, проявляющиеся при энергиях частиц <100 МэВ, могут
быть практически полностью объяснены взаимодействием фундаментальных
фермионов 1-го поколения. 2-е поколение фундаментальных фермионов
проявляется при энергиях порядка сотен МэВ. Для исследования 3-го поколения
фундаментальных частиц строят ускорители высоких энергий (E > 100 ГэВ).
Энергии и длины волн
Изучение структуры любого тела требует “микроскопов” с длинами волн,
меньшими, чем размеры исследуемых объектов.
Длина волны, как излучения, так и любой частицы связана с импульсом
известным соотношением (для частиц с ненулевой массой покоя введенным деБройлем):
= h/p,
=
/2
=
/p (приведенная длина волны), (1.1)
где p -импульс частицы, h - константа Планка.
Характерные линейные размеры даже самых “крупных” объектов субатомной
физики – атомных ядер с большим количеством нуклонов, имеют порядок около
10-12 см. Экспериментальное исследование объектов с такими размерами
требует создания пучков частиц больших энергий.
Оценим, каковы должны быть энергии ускоренных частиц для исследования
структуры ядер и нуклонов.
Прежде, чем приступить к таким расчетам, необходимо ознакомиться с
основными константами, которые будут часто употребляться в дальнейших
расчетах, а также с единицами измерения физических величин, принятыми в
субатомной физике.
Константы
Скорость света в вакууме с = 3.1010 см/сек.
Приведенная константа Планка = h/2 = 6.58.10-22 МэВ.сек.
Константа конверсии c = 197.3 МэВ.Фм 200 МэВ.Фм.
Масса электрона m = 0.511 МэВ/c2.
Масса протона mp = 938.3 МэВ/c2.
Единицы субатомной физики
Энергия 1 МэВ = 1 MeV = 106 эВ = 10–3 ГэВ = 1.6.10-13 Дж.
Масса 1 МэВ/с2 и 1 u = Mат(12С)/12 = 931.5 МэВ/c2 = 1.66.10-24 г.
Длина 1 Фм = 1 Fm = 10–13 см.
Важные формулы релятивистской физики
E = (p2c2 + m2c4)1/2 = T + mc2.
(1.2)
Здесь Т- кинетическая энергия частицы с массой покоя m и импульсом
(модулем импульса) р.
Отсюда для импульса частицы получаем
(1.3)
.
В субатомной физике, особенно в физике высоких энергий, в настоящее
время все более широко используется система единиц, в которой = 1 и
с = 1. В этой системе формулы релятивистской физики имеют более
простую и удобную форму:
E2 = p2 + m2 = (T + m)2;
p2 = T2 + 2Tm.
(1.4)
В системе = с = 1 энергия, импульс и масса измеряются в одних и тех же
энергетических единицах – МэВ (MeV) или ГэВ (GeV).
Значительное упрощение в решении задач может быть достигнуто за счет
использованияконстанты конверсии c 200 МэВ.Фм.
Пример 1. Рассчитать кинетическую энергию электрона, имеющего длину волны 1 Фм.
Длина волны электрона равна
Отсюда T2 + 2Tmc2 = (pc)2 = (hc/ )2 = (2 )2( c)2/
2
= (2 )2(200)2.
Поскольку энергия покоя электрона составляет всего около 0.5 МэВ,
второй член в предыдущем выражении меньше первого на три порядка,
отсюда кинетическая энергия электрона с длиной волны де-Бройля в 1 Фм
составляет T 1260 МэВ = 1.26 ГэВ.
Пример 2. Сравнить приведенные длины волн электрона и протона с одинаковыми
кинетическими энергиями 100 МэВ.
Для электрона
Для протона
Длина волны протона с той же кинетической энергией, что и у электрона,
почти в 5 раз меньше!
Проведенные нами расчеты доказывают, что для исследования структуры
ядер и частиц необходимо использовать пучки частиц высоких энергий,
что и определяет необходимость создания ускорителей.
Лекция 1
Основные характеристики атомных ядер
За более чем 70 лет исследования атомных ядер физикой ядра накоплен
громадный объем экспериментальных данных. Интерпретация этих данных
является задачей теории ядра. Перечислим основные характеристики ядер,
которые будут обсуждаться далее:
1. Размеры ядер.
2. Энергия связи нуклонов в ядре и энергии отделения нуклонов и кластеров
от ядра.
3. Спин, четность и изоспин ядер в основных и возбужденных состояниях.
4. Спектры ядер.
5. Электромагнитные моменты ядра и нуклонов
Размеры ядер
Распределение заряда и массы в атомных ядрах исследуется в экспериментах
по упругому рассеянию на ядрах альфа-частиц (исторически это первые
эксперименты Резерфорда), электронов и протонов. Выяснилось, что как
плотность распределения заряда, так и плотность распределения массы ядра
приближенно выражаются распределением Ферми:
(1.5)
Величину R называют радиусом ядра. Отметим, что поскольку распределение
плотности заряда и массы близки, но не совпадают друг с другом, отличаются
также и зарядовый и массовый радиусы. В приближенных расчетах можно
считать эти величины совпадающими и полагать, что радиус ядра
R
r0A1/3.
(1.6)
Это одновременно означает независимость средней плотности ядра от
массового числа. Действительно, оценим плотность ядра с числом нуклонов А:
(1.7)
.
Полученные
результаты для
плотности и радиуса
эквивалентны
утверждению о полной
несжимаемости ядерной
материи. В
большинстве
приближенных расчетов
это утверждение можно
использовать, однако
Рис.1.1. Радиус распределения заряда в некоторых ядрах по
отклонение от него
данным (e,e) реакций.
хорошо видно на
примере распределениясреднеквадратичного радиуса распределения
заряда для разных ядер. На рис.1.1 показаны результаты исследований
среднеквадратичного зарядового радиуса для некоторых ядер, полученные в
экспериментах по неупругому рассеянию электронов на ядрах. Следует
обратить внимание на отклонение величины зарядового радиуса от (1.6).
Например, зарядовый радиус ядра 48Са меньше, чем зарядовый радиус ядра 40Са.
Для изотопов титана рост А ведет к уменьшению зарядового радиуса. Эти
эффекты нашли качественное объяснение в модели ядерных оболочек.
Энергии связи и массы ядер
Масса стабильных ядер меньше суммы масс входящих в ядро нуклонов, разность этих величин и определяет энергию связи ядра Eсв (binding energy
):
Eсв(A,Z) = Zmp + (A - Z)mn - MN(A,Z).
(1.8)
В (1.9) MN - масса ядра. В таблицах масс приводятся не массы ядер, а массы
нейтральных атомов, либо величины, с ними связанные. В приложении к
сборнику “Субатомная физика” приведены значения “избытков масс” = M A, где М – масса нейтрального атома в МэВ. (Избытки масс и не только
можно найти в базе данных "Параметры основных состояний атомных ядер").
Величина А представляет собой в данном случае произведение числа нуклонов
на значение единицы массы в МэВ. Таким образом, величины приводятся в
единицах МэВ, что очень удобно для проведения расчетов.
M(A,Z) = MN(A,Z) + Zme;
(A,Z) = M(A,Z) - A. (1.9)
Формула (1.8) является приближенной – в ней опущены энергии связи
электронов в атомах. Однако поскольку энергии связи нуклонов в ядре на 5 – 6
порядков превышают энергии связи электронов в атомах, это приближение не
скажется на точности дальнейших расчетов энергий связи ядер.
Рис. 1.2. Удельная энергия связи на нуклон как
функция числа нуклонов А.
Eсв(A,Z) = ZM(1H) + (A - Z)mn - M(A,Z) = Z
(1H) + (A - Z)
n
-
(A,Z) (1.10)
Распределение удельных энергий связи = Eсв/A как функция числа
нуклонов А является наиболее важным для приложений экспериментальным
результатом физики ядра (Рис.1.2) .
Экспериментально установленное распределение удельных энергий связи
ядер по значениям чисел нуклонов в ядре А имеет следующие характерные
черты:
В широкой области ядер удельная энергия связи очень слабо зависит от А;
для ядер с малыми А удельная энергия имеет “спад”.
Для тяжелых ядер средняя удельная энергия связи меньше, чем для средних,
причем с ростом А наблюдается снижение ее величины.
Для ядер с Z = N удельная энергия выше, чем для других ядер с тем же
значением А.
Четно-четные (по Z и N) ядра имеют в среднем большие значения , чем
нечетно-четные, а нечетно-нечетные – меньшие.
Теоретическое объяснение этого распределения дает модель заряженной
жидкой капли и соответствующая этой модели формула Вайцзеккера.
Первая из перечисленных (и главная) особенность распределения удельных
энергий связи ядер – следствие насыщения ядерных сил. Вторая связана с тем,
что связи нуклонов, находящихся на поверхности ядра, с другими нуклонами
ядра не полностью насыщены. Чем больший процент нуклонов находится на
поверхности ядра, тем больше “убыль” энергии насыщения. (Этими
особенностями ядерные силы оказываются подобны силам, действующим
между молекулами жидкости). Третья особенность распределения удельной
энергии связи объясняется тем, что протоны ядер участвуют не только в
сильном (ядерном), но и в электромагнитном взаимодействии. Чем больше
протонов, тем выше энергия кулоновского отталкивания. Четвертая и пятая
особенности распределения – следствия оболочечной структуры ядра и
симметрий, связанных с реализацией в ядре принципа Паули.
Учет всех перечисленных свойств приводит к полуэмпирической формуле
Вайцзеккера, или модели заряженной жидкой капли:
Eсв = a1A - a2A2/3 - a3Z2/A1/3 - a4(A - 2Z)2/A + a5A-1/2. (1.11)
Коэффициенты в (1.11) подбираются из условий наилучшего совпадения
кривой модельного распределения с экспериментальными данными. Поскольку
такая процедура может быть проведена по-разному, существует несколько
наборов коэффициентов формулы Вайцзеккера. В работе [P. Roy Chowdhury,
D.N. Basu. Nuclear Matter Properties with the Revaluated Coefficients of Liquid
Drop Model. Acta Phys. Polonica B, vol.37 (2006) No 6, pp. 1833-1846] в
результате подгонки (1.11) к экспериментально измеренным значениям атомных
масс были получены следующие коэффициенты:
a1 = 15,409 МэВ; a2 = 16,873 МэВ; a3 = 0,695 МэВ; a4 = 22,435 МэВ;
Несложно оценить значение зарядового числа Z, при котором ядра становятся
нестабильными по отношению к спонтанному распаду.
Спонтанный распад ядра возникает в случае, если кулоновское расталкивание
протонов ядра начинает преобладать над стягивающими ядро ядерными силами.
Оценка ядерных параметров, при которых наступает такая ситуация, может
быть проведена из рассмотрения изменений в поверхностной и кулоновской
энергиях при деформации ядра. Если деформация приводит к более выгодному
энергетически состоянию, ядро будет спонтанно деформироваться вплоть до
деления на два фрагмента. Количественно такая оценка может быть проведена
следующим образом.
При деформации ядро – не меняя своего объема – превращается в эллипсоид с
осями
a = R(1 + ), b = (1 - /2); V = 4 R3/3 = 4 ab2/3.
При деформации не меняется первый член формулы Вайцзеккера (1.11) , второй
(поверхностная энергия) по абсолютной величине возрастает, а третий
(кулоновская энергии) – уменьшается:
Es = a2A2/3(1 + 2 2/5 + ...);
EC = a3Z2A-1/3(1 - 2/5 + ...).
(1.12)
Таким образом, деформация изменяет полную энергию ядра на величину
E=-
2
(2a2A2/3 - a3Z2A-1/3).
(1.13)
( Здесь учтен знак второго и третьего членов в (1.11))
Если величина изменения энергии (1.13) положительна, энергия связи ядра
будет расти, т.е. деформация будет энергетически выгодна и спонтанное
деление возможно. Следовательно, барьер деления будет исчезать, когда
значения (1.13) становятся больше нуля, что наступает при значениях
Z2/A > 2a2/a3
48.
(1.14)
(Следует подчеркнуть приближенный характер полученного результата как
следствия классического подхода к квантовой системе - ядру)
Спин ядра и моменты нуклонов
Основное и возбужденные состояния ядра и других квантовых систем
характеризуется набором квантовых чисел, являющихся собственными
значениями операторов физических величин. Квантовый
оператор F называется собственным оператором, если его действие на
волновую функцию системы приводит к той же волновой функции, умноженной
на число - собственное значение оператора:
=f .
Примерами таких операторов являются оператор квадрата момента
количества движения квантовой системы и оператор проекции момента
количества движения на выделенную ось. Собственные значения операторов
физических величин сохраняются или, как иногда говорят, являются хорошими
квантовыми числами, если соответствующий оператор коммутирует с полным
гамильтонианом квантовой системы.
Если ядро близко к сферическому, соответствующий ему гамильтониан
коммутирует с оператором квадрата момента. Это означает, что собственные
значения этого оператора являются “хорошими квантовыми числами”, т.е.
сохраняются. Как правило, ядерный гамильтониан коммутирует также с
оператором проекции момента на одну из осей ( в качестве этой оси обычно
выбирают ось z):
[ , 2] = 0; [ , z] = 0.
(1.15)
Все перечисленные операторы действуют в пространстве волновых функций
ядра :
2
= J(J + 1) ;
=m ,
z
m = -J, -J+1,..., J-1, J.
(1.16)
Спином ядра называется максимальное собственное значение проекции
момента на ось, т.е. величина J. Спины и моменты частиц и ядер измеряются в
единицах .
Спин нуклона равен 1/2.
Полный момент количества движения нуклона в ядре складывается из его
спина и орбитального момента относительно центра ядра:
=
+
=
+
.
Спин ядра – результат сложения моментов нуклонов ядра:
(1.17)
Изоспин ядер и нуклонов
Как основное, так и возбужденные состояния ядер - помимо рассмотренных
выше энергии, спина и четности – характеризуются квантовыми числами,
которые называются изоспином и проекцией изоспина. (В литературе эти
квантовые числа обозначаются обычно либо символами T и Tz, либо I и Iz ).
Введение этих квантовых чисел связано с тем фактом, что ядерные силы
инвариантны относительно замены протонов на нейтроны. Это особенно
ярко проявляется в спектрах т.н. ”зеркальных” ядер, т.е. ядер–изобар, у которых
число протонов одного равно числу нейтронов другого. Для всех известных пар
таких ядер имеет место подобие спектров низших возбужденных состояний:
спины и четности низших состояний одинаковы, а энергии возбуждения
близки.
С точки зрения теории изоспина, нейтрон и протон являются одной и той же
частицей – нуклоном с изоспином I = 1/2 – в двух разных состояниях,
различающихся проекцией изоспина на выделенную ось (Iz= I3) в пространстве
изоспина. Таких проекций для момента I = 1/2 может быть только две: Iz = +1/2
(протон) и Iz = –1/2 (нейтрон). Квантовая теория изоспина построена по
аналогии с теорией спина. Однако пространство изоспина не совпадает с
обычным координатным пространством.
Система Z протонов и N нейтронов – ядро - имеет проекцию изоспина
Iz(A,Z) = Z.(+1/2) + N.(-1/2) = (Z N)/2.
(1.18)
Изоспин системы нуклонов является векторной суммой изоспинов
составляющих:
(1.19)
.
Ядерные (т.е. сильные) взаимодействия не зависят от проекции изоспина, или,
точнее, сильные взаимодействия инвариантны относительно вращений в
изоспиновом пространстве.
Однако от величины изоспина ядерные силы зависят! Низшим по энергии
состояниям системы нуклонов, т.е. основным состоянием ядра, является
состояние с возможным низшим значением изоспина, которое равно
I0 = |Iz| = |(Z - N)/2|.
(1.20)
Возбужденные состояния ядер могут иметь более высокие значения изоспина,
но с той же проекцией.
Таким образом, характеристиками уровней данного ядра являются энергия,
спин состояния, четность состояния и изоспин. Обычно три последних
квантовых числа указываются как JP,I.
Спектры ядер
На схемах спектров ядер указывают
энергии уровней ядра в МэВ или в кэВ, а
также спин и четность состояний. На
современных схемах указывают также
изоспин состояний. (Поскольку на схемах
спектров даны энергии возбуждения уровней,
энергия основного состояния принимается за
начало отсчета). В области энергий
возбуждения E < Eотд – т.е. при энергиях,
меньших, чем энергия отделения нуклона,
спектры ядер – дискретные. Это означает,
что ширины спектральных уровней меньше
расстояния между уровнями Г < E.
Спонтанные переходы ядер из более
высоких возбужденных состояний
дискретного спектра ядра в более низкие ( в
Рис. 1.3. Спектр ядра 12С.
том числе в основное состояние)
Заштрихована область непрерывного
реализуются, как правило, путем излучения спектра.
гамма-квантов, т.е. за
счетэлектромагнитных взаимодействий. В области больших энергий
возбуждения, когда E > Eотд, ширины уровней возбужденного ядра резко
возрастают. Дело в том, что в отделении нуклона от ядра главную роль играют
ядерные силы- т.е. сильные взаимодействия. Вероятность сильных
взаимодействий на порядки выше вероятности электромагнитных, поэтому
ширины распада по сильным взаимодействиям велики и уровни ядерных
спектров в области E > Eотд перекрываются – спектр ядра становится
непрерывным. Главным механизмом распада высоковозбужденных состояний с
этой области энергий является испускание нуклонов и кластеров (альфа-частиц
и дейтронов). Излучение гамма-квантов в этой области высоких энергий
возбуждения E > Eотд происходит с меньшей вероятностью, чем испускание
нуклонов. Возбужденное ядро имеет, как правило, несколько путей,
или каналов, распада. На рис. 1.3 показан спектр ядра 12С. Спектр выше 16 МэВ
– непрерывный.
Электромагнитные моменты нуклонов и ядер
Электромагнитные моменты определяют потенциал взаимодействия ядра или
частиц с внешними электрическими и магнитными полями:
V = Ze
- DiEi - Qij Ei/ rj -
iBi
+ ...
(1.21)
Здесь Ze – заряд ядра, φ – электромагнитный потенциал, D – электрический
дипольный момент ядра, Q – квадрупольный момент ядра, μ – магнитный
дипольный момент. Более высокие по тензорной размерности члены потенциала
взаимодействия (1.21) дают пренебрежимо малый вклад во взаимодействие.
Электрический дипольный момент ядер в основном состоянии равен нулю (с
точностью до малых членов, связанных со слабыми взаимодействиями в ядрах).
Равенство нулю момента Diявляется следствием четности квадрата волновой
функции основного состояния ядра:
Die = Ze ri|
Dze = Ze z|
0(
0(
)|2dv;
(1.22)
2
)| dv.
Квадрат волновой функции основного состояния ядра является четной
функцией координат, z – нечетная функция. Интеграл по трехмерному
пространству от произведения четной и нечетной функций всегда равен 0
(Квадрат -функции имеет положительную четность в случае, если сама функция имеет определенную четность(+ или -). Это справедливо для вкладов
в -функцию от сильных и электромагнитных взаимодействий, сохраняющих
четность. Малые добавки в -функцию от слабых (не сохраняющих четность)
взаимодействий могут дать отклонение от нуля для дипольных моментов ядер и
частиц. Роль этих вкладов представляет большой интерес для современной
физики, поэтому попытки измерить дипольный момент нейтрона не
прекращаются.
Квадрупольный электрический момент ядра в системе координат, связанной
с ядром ( внутренний квадрупольный момент)
Qe = (3z2 - r2) ( )dv;
( )dv = Ze |
(1.23)
2
0| dv = Ze.
Поскольку среднее значение физической величины в квантовой механике, по
определению,
, внутренний квадрупольный момент, с точностью до
констант, есть разность среднего значения величины 2z2 и среднего значения
суммы квадратов x2 и y2 . Поэтому для сферических ядер Q = 0, для вытянутых
относительно внутренней оси вращения z Q > 0 , а для сплюснутых Q < 0.
Магнитный дипольный момент
Магнитный дипольный момент частицы является оператором в пространстве
волновых функций частиц и связан с операторами орбитального и спинового
моментов соотношением
(1.24)
Здесь m – масса частицы, e /2mc - магнетон. (Магнетон Бора для электронов и
ядерный магнетон с m = mp для протона и нейтрона)
Гиромагнитные отношения для электрона, протона и нейтрона приведены в
таблице
e
p
n
gl
-1
1
0
gs
-2
2(2.793)
2(-1.913)
Пример: Рассчитать значения магнитных моментов электрона, протона и нейтрона в
системах координат, связанных с каждой из частиц.
В системе координат, связанной с частицей, орбитальное движение
отсутствует. Значение магнитного момента определяется как диагональный
матричный элемент оператора (1.24) в состоянии с максимальным значением
проекции момента на ось z.
Действие оператора проекции спина дает
(1.25)
Таким образом, для всех указанных частиц значение магнитного дипольного
момента в магнетонах равно половине гиромагнитного отношения gs. (Принято
указывать значения магнитных моментов нуклонов и ядер в ядерных
магнетонах
= 3.152.10-14 МэВ .T-1;
( B/ N) = (mp/me)
(1.26)
Наблюдаемое значение магнитного момента ядра (в ядерных магнетонах)
связано со значением спина ядра. Проекция квантового оператора магнитного
момента на направление спина приводит к величине, являющейся – с точностью
до коэффициента- оператором квадрата спина ядра:
(1.27)
Коэффициент gN называется ядерным гиромагнитным отношением. Его
теоретическая величина может быть получена из (1.27) путем расчета
матричных элементов левой и правой части равенства для ядерного состояния с
моментом j и проекцией момента +j. ( Cм. далее лекцию 3)
Одним из методов измерения величины ядерного спина и магнитного
момента ядра является исследование сверхтонкого расщепления линий атома.
Определим число линий сверхтонкого расщепления, возникающее за счет
взаимодействия магнитного момента ядра с магнитным полем, созданным
электронной оболочкой атома.
Полный момент системы электронная оболочка-ядро складывается из
момента электронной оболочки I и спина ядра J. Поскольку величина
магнитного поля, создаваемого электронами в области ядра, пропорциональна I,
а магнитный момент ядра связан с J (1.27) , потенциал взаимодействия является
функцией скалярного произведения этих векторов:
=
+
;
= const.
Vint = a
N(
.
).
(1.28)
Этот потенциал взаимодействия, входящий в полный гамильтониан атома,
ответственен за тот экспериментальный факт, что состояния с разными
значениями скалярного произведения векторов I и J имеют разные сдвиги в
энергиях атомных уровней. Поскольку величина сдвига зависит от ядерного
магнетона (1.28), она мала по сравнению с величиной тонкого расщепления
атомных уровней, которые вызваны взаимодействием магнитного момента
электронной оболочки с внешним магнитным полем. Поэтому расщепление
атомных уровней, возникающее благодаря взаимодействию магнитного
момента ядра с магнитным полем атома, называется сверхтонким. Число
состояний сверхтонкого расщепления равно числу разных значений скалярного
произведения векторов. Определим эту величину через квадраты квантовых
векторов F, J, I:
2
=
2
+2
=( 2-
+ 2;
2
- 2).
(1.29)
Квадраты векторов F, J, I являются собственными операторами волновой
функции атома, представляющей собой произведение волновых функций ядра и
электронной оболочки
a
=
.
N
e.
(1.30)
Таким образом, число уровней сверхтонкого расщепления равно числу
разных значений квантового вектора = + , который может принимать
следующие значения
F = |J-I|, |J-I+1|,..., J+I-1, J+I.
(1.31)
Число разных значений вектора F равно 2К + 1, где К – наименьший из векторов
J, I.
Лекция 2
Ядерная модель оболочек
(Nuclear Shell Model)
Основы одночастичной модели оболочек
Любая модель вводится для упрощения и наиболее рационального способа
описания физических явлений. Так, с помощью модели оболочек удается
понять, почему для некоторых ядер удельные энергии связи и, особенно,
энергии отделения нуклонов превышают те же величины для ядер с близкими
значениями Z и А. Ядра, для которых этот эффект проявляется особенно ярко т.е. ядра, значительно более устойчивые, чем их “соседи”, называются магическими ядрами. У этих ядер числа протонов Z либо числа
нейтронов N = А - Z равны одному из следующих чисел: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 т.н. магическим числам. Ядра, у которых и число протонов и число нейтронов
- магические числа, называются дважды магическими и обладают особой
устойчивостью. Однако и ряд других ядер, например, среди легких ядер,
ядра 12С, 28Si также имеют значительно большие, чем соседние ядра, значения
энергий отделения нуклонов. Приведем для иллюстрации значения удельных
энергий связи и энергий отделения протона и нейтрона для некоторых ядер с
А = 12, 13 и 16:
Ядро
12
C
13
C
13
N
e = Есв/А.,МэВ 7.67 7.45 7.22
16
O
7.96
Еотд(n),МэВ
18.7 4.95 20.1 15.66
Еотд(p) ,МэВ
15.9 17.4
1.9
12.13
Из таблицы видно, что хотя удельная энергия связи ядра 12С меньше, чем у
дважды магического ядра 16О, энергии отделения протонов и нейтронов для
первого выше. Этот факт и аналогичные ему являются следствием оболочечной
структуры ядра. В одночастичной модели оболочек удается, например,
объяснить, почему энергия отделения нейтрона от ядра 13C в несколько раз
меньше энергии отделения протона от этого же ядра. Очень важным
достижением ядерной модели оболочек также является теоретическое
объяснение значений спинов и четностей основного и возбужденных состояний
ядер.
Оболочечная модель ядра представляет собой приложение квантовой
механики к системе нуклонов - ядру. Основу оболочечной модели ядра (Nuclear
Shell Model = SM) составляет гипотеза о том, что взаимодействие между собой
нуклонов ядра приводит к созданию среднего самосогласованного поля, в
котором и движутся нуклоны. Поскольку ядерные силы - силы
короткодействующие, зависимость потенциала этого самосогласованного поля
от расстояния до центра ядра должна быть подобной зависимости от радиуса
плотности распределения ядерной материи. Кроме того, потенциал должен быть
потенциалом притяжения. Этим условиям удовлетворяет т.н. потенциал ВудсаСаксона
(2.1)
Модель оболочек основана на предположении, что теоретическое описание
ядра в основном и возбужденных состояниях может быть получено путем
решения нерелятивистского уравнения Шредингера (у.Ш):
i
=E
i;
=
+
+
;
res.
(2.2)
В одночастичной модели оболочек пренебрегают силами остаточного
взаимодействия Vresмежду нуклонами и решают задачу о состояниях одной
частицы (нуклона) в самосогласованном поле
=
+
(2.2')
( ).
Приближенное решение уравнения (2.2') может быть получено в рамках
одночастичной модели оболочек (OMO). В этой простейшей модели полная
волновая функция ядра как системы А нуклонов является произведением
одночастичных волновых функций, которые являются решением у.Ш. для
отдельного нуклона в среднем самосогласованном поле:
(1,...,A)
1
.
. .
2 ...
A.
(2.3)
Простейшее модельное описание состояний нуклона в самосогласованном
потенциале получено не с потенциалом Вудса-Саксона (2.1), а с более простыми
потенциалами, в первую очередь с потенциалом сферически симметричного
трехмерного гармонического осциллятора:
(2.4)
Ход решения у. Ш. с таким потенциалом приведен в учебниках по квантовой
механике (см. например, Давыдов А.С. Квантовая механика). В квантовой
механике доказывается, что для всех сферически симметричных
потенциалов V(r) = V( ) зависимость волновой функции от угловых
переменных имеет вид:
(2.5)
где
- сферические функции. Указанные для сферической
функции индексы отражают тот факт, что сферические функции (а
соответственно и полная волновая функция частицы (2.5)) являются
собственными функциями операторов квадрата орбитального момента и
проекции орбитального момента на выделенную ось:
Рис. 2.1.
m = ml = -l, -l+1, ..., l-1, l.
Nm = 2l + 1.
(2.6)
Уравнение для радиальной функции содержит оператор потенциальной
энергии
Вид радиальной функции R(r) и значения энергий частиц определяются
радиальной зависимостью потенциала. Для потенциала (2.4)
Rnl(r) = Nnl.(r/b)l .exp(-r2/2b2).F(-n, l+3/2,
r2/b2);
(2.7)
Enl =
( +3/2),
= 2n + l.
Здесь n- число узлов радиальной функции при r > 0, F(-n, l+3/2, )- полином
степени n по = (r/b)2.F = 1 , если n = 0.
Спектр энергий (2.7) - эквидистантный - т.е. между состояниями с разными
значениями квантового числа одинаковые разности энергий, равные 1
. Эквидистантность уровней энергии - общая закономерность решений задач с
потенциалом осциллятора. Подчеркнем, что энергии, полученные в результате
решения у.Ш. со сферически симметричным потенциалом, не зависят от
собственных значений проекций m орбитального момента на ось z. Одному
значению энергии Enl соответствует 2l + 1 разных (по проекции момента)
волновых функций, т.е. имеет место вырождение.
Часто вместо явного вида волновых функций частицы указывают только
значения квантовых чисел, соответствующих этим функциям, пользуясь
системой обозначений, введенной Дираком:
(r, , ) = |nlm>, Ylm
|lm>, <n'l'm'|nlm> =
nn',ll',mm'.
(2.7a)
Однако полученные нами волновые функции, являющиеся решениями у.Ш.
для 3-х мерного гармонического осциллятора, не могут считаться функциями,
описывающими состояния нуклона в ядре, поскольку в этим функциях не учтен
спин нуклонов. Функции, являющиеся собственными функциями оператора
квадрата спина и его проекции на ось, называются спинорами. Для фермионов
со спином 1/2
= |1/2, ms>, ms = -1/2, +1/2.
(2.8)
Волновая функция нуклона в потенциале 3-х мерного осциллятора является
произведением функции (2.7) для осциллятора и спинора (2.8).
Однако теоретическое описание свойств более тяжелых ядер с потенциалом в
виде (2.4) оказалось невозможным. В частности, в этой слишком примитивной
модели невозможно объяснить особую устойчивость ядра 12С. Дело в том, что в
предыдущих расчетах не было учтеноспин-орбитальное взаимодействие,
играющее очень важную роль в ядерных силах.
Одночастичная модель ядерных оболочек (ОМО) основана на решении
уравнения Шредингера для нуклона в потенциале
=(
+
=
) ( ...) = E
(r) + a( . ).
;
(2.9)
Для того, чтобы понять роль спин-орбитального члена в потенциале (2.9),
рассмотрим, какие значения может принимать полный момент нуклона
=
(2.10)
+ ;
Таким образом, полный момент нуклона может принимать два значения.
Решения у.Ш. для энергий нуклона в потенциале (2.9) имеют следующий вид:
Enlj =
(
+3/2) +
Elsj,
(2.11)
где Elsj = a[j(j + 1) - l(l + 1) - s(s + 1)]/2.
Двум значениям момента нуклона соответствуют разные вклады в энергию
состояния от спин-орбитального взаимодействия. Прежде, чем рассчитать вклад
от спин-орбитального взаимодействия в одночастичную энергию в формуле
(2.11), выясним, какие квантовые числа характеризуют состояния нуклона в
потенциале (2.9).
Квантовые числа, характеризующие состояния любой квантовой системы т.н. хорошие квантовые числа - соответствуют собственным значениям
операторов тех физических величин, которые сохраняются в данном
потенциале. В квантовой механике доказывается, что для сохранения
физической величины необходимо, чтобы ее оператор коммутировал с
гамильтонианом данной квантовой системы.
Если [
, ] = 0, то d /dt = 0.
Для гамильтониана без спин-орбитального члена хорошими квантовыми
числами являются: E, P (parity), l, s, ml, ms.
Полный момент нуклона и проекция полного момента в потенциале (2.4) тоже
сохраняются. Но для гамильтониана со спин-орбитальным взаимодействием
(2.9) ситуация меняется - проекции орбитального и спинового моментов
нуклонов не сохраняются! (Операторы проекций орбитального и спинового
моментов не коммутируют с гамильтонианом (2.9)) Однако проекция полного
момента на выделенную ось сохраняется. Хорошими квантовыми числами в
этом случае гамильтониана с потенциалом (2.9) являются: E, P, l, s, j, mj.
Полученные нами выше волновые функции нуклонов представляют собой
полную систему функций. Поэтому волновые функции, являющиеся решениями
уравнения Шредингера в потенциале со спин-орбитальным взаимодействием,
можно разложить по этой системе функций:
(2.12)
.
Суммирование в (2.12) происходит по всем возможным значениям проекций
орбитального и спинового моментов нуклона. Поскольку mj = ml + ms, а
проекций спина нуклона всего две, в сумму входят не более двух членов.
Коэффициенты разложения в (2.12) называются коэффициентамиКлебшаГордона (ККГ). Таблицы ККГ для случая s = 1/2 приведены во всех учебниках
по квантовой механике.
Распределение квантовых чисел нуклонов по уровням энергии в потенциале
(2.9) показано на рис. 2.2
N(mj) = 2j + 1;
j= +
;
= 2n + l;
m = mj = m1 + m2.
Рис. 2.2. Распределение квантовых чисел нуклонов по уровням
2 2
энергии в потенциале V =
r /2 + a( . ).
(2.13)
.
Кратность вырождения уровней равна N = 2(2j + 1).
Пространственная P-четность волновых функций в потенциале (2.9) такая же,
что и в потенциале без спин- орбитального члена и определяется четностью
сферической функции
Ylm( , )
Ylm = (-1)lYlm.
(2.14)
Пространственная четность волновой функции (2.3) ядра в одночастичной
модели оболочек (ОМО) определяется произведением четностей всех нуклонов:
(2.15)
.
Таким образом, решение уравнения Шредингера для нуклона в поле V =
+ a( . ):
где Rnl имеет вид (2.7).
2 2
r /2
где
Пример: Нуклон в 1 p3/2 с mj = m = 3/2.
и <jm|j'm'> =
jj' mm'.
Рис. 2.3. Схема заполнения уровней в
ядре 16О по одночастичной модели
оболочек.
Лекция 3
Характеристики ядер в модели оболочек
Спины и четности ядер в модели оболочек
Суммарный момент системы одинаковых нуклонов, заполняющих любую
подоболочку, равен 0 независимо от квантовых чисел подоболочки и числа (2j + 1)
заполняющих ее нуклонов (нейтронов или протонов). Это важное правило является
следствием того факта, что среди заполняющих подоболочку (2j + 1) одинаковых
нуклонов будут обязательно находиться нуклоны с равными по абсолютной величине,
но разными по знаку проекциями полного момента нуклона на выделенную
ось. Такие пары одинаковых нуклонов имеют суммарный полный момент,
равный 0. Поэтому суммарные моменты как нейтронов, так и протонов на
заполненной подоболочке равны 0. По этой причине и спины основных состояний
всех ядер с заполненными оболочками или подоболочками равны 0.
Экспериментально доказано, что равны нулю спины основных состояний всех
четно- четных ядер, т.е. как ядер с заполненными подоболочками или оболочками, так
и ядер, у которых на подоболочке находятся по четному числу протонов или
нейтронов. Объяснением этого экспериментального факта является наличие в ядерных
взаимодействиях сил, не учтенных в предыдущем изложении одночастичной модели
оболочек - т.н. сил спаривания. Необходимо отметить, что замена всех действующих
между нуклонами сил самосогласованным потенциалом со спин-орбитальным
членом является довольно грубым модельным приближением. Не учтенные в
одночастичной модели оболочек силы называются силами остаточного
взаимодействия и играют важную роль в формировании свойств ядер. Важнейшим
компонентом сил остаточного взаимодействия являются силы спаривания. Действие
сил спаривания (pairing forces) приводит к тому, что для любых двух одинаковых
нуклонов наиболее выгодным по энергии (т.е. низшим) состоянием будет состояние с
полным моментом 0 или, иначе говоря, с противоположными направлениями
проекций полного момента на выделенную ось. Для всех четных по Z и по N ядер это
приводит к значениям спина 0 в основном состоянии (см. далее лекцию 4).
Пространственная четность основных состояний всех четно-четных ядер
положительна. Четность – мультипликативное квантовое число. Поскольку
собственная четность нуклонов p = +1, то пространственная четность ядерного
состояния определяется произведением четностей волновых функций. Для любого
состояния нуклона с квантовыми числами l,s,j
|nlsjmj> = (-1)l|nlsjmj>.
(3.1)
Для ядра как системы A нуклонов пространственная четность есть произведение
четностей (3.1) всех нуклонов:
(3.2)
P(1,2,...A) =
.
Для всех заполненных оболочек и подоболочек четность положительна, поскольку
для них в показателе степени (3.2) будет стоять четное число. Поэтому и у всех четно-
четных ядер в основном состоянии четность положительна.
Принято указывать одновременно спин и четность состояния системы в виде JP.
(Здесь P является не степенью, а символом четности состояния).
Для всех четно- четных ядер в основном состоянии JP = 0+.
Спин основного состояния ядра с одним нуклоном сверх замкнутой оболочки
или подоболочки определяется моментом неспаренного нуклона. Спин ядра
является векторной суммой спина ядра с А нуклонами и неспаренного нуклона, но
спин ядра с А нуклонами 0, если это ядро с замкнутой оболочкой или подоболочкой:
A+1
=
A
+
=0+
; JA+1 = j.
(3.3)
Четность основного состояния ядра с одним нуклоном сверх замкнутой
оболочки или подоболочки определена четностью (-1)l неспаренного нуклона.
Поскольку
PA+1 = PAPl = (+1)(-1)l = (-1)l.
(3.4)
Рассмотрим теперь ядра, у которых до заполненной оболочки или подоболочки
недостает одного нуклона. Эти ядра часто называют ядрами с одной “дыркой” (hole)
относительно замкнутой подоболочки или оболочки. У всех таких ядер спин и
четность определяются моментом и четностью “отсутствующего” нуклона, т.е.
моментом и четностью “дырки”. Действительно,
A-1
+
h
=
A
= 0; JA+1 = jh.
(3.5)
Здесь момент недостающего нуклона обозначен как jh, где h соответствует
обозначению “hole”. Аналогично (3.4) получим для четности ядра с одной “дыркой”
PA = PA-1ph = +1; PA-1 = ph.
(3.6)
Пример 1. Найти спины и четности основных состояний ядер 13С и 17О.
Ядро 13С в основном состоянии имеет следующую конфигурацию
нуклонов|1s1/2>4 |1p3/2>8 |1p1/2>1n. Неспаренный нейтрон имеет полный момент 1/2.
Следовательно, спин ядра 13С в основном состоянии 1/2. Четность основного
состояния 13С определена (см.(3.4)) как (-1)l. Поскольку неспаренный нейтрон
находится в 1р оболочке, четность отрицательна. Итак, для ядра 13С JP = (1/2)-, что
объясняет экспериментальный результат.
Для ядра 17О нуклонная конфигурация основного
состояния |1s1/2>4 |1p3/2>8 |1p1/2>4 |1d5/2>1n.Отсюда спин и четность его основного
состояния JP = (5/2)+, что соответствует экспериментальной величине.
Пример 2. Определить спины и четности основных состояний ядер 3He и 11B.
Ядро 3He соответствует нейтронной «дырке» в дважды магическом ядре 4Не.
Соответственно, его спин и четность соответствуют моменту Ѕ и четности (-1)l = +1
недостающего нейтрона. Отсюда JP = (1/2)+.
Для ядра 11B спин и четность определяет недостающий до замкнутой подоболочки
протон в состоянии 1р3/2 , соответственно у ядра 11B JP = (3/2)-.
Следует обратить внимание на важное правило: как частицы над замкнутой
конфигурацией, так и дырки относительно нее могут рассматриваться одинаковым
образом. Иногда и те и другие в научной литературе называют "квазичастицами" =
"quasiparticles".
Одночастичная модель оболочек (ОМО) объясняет значения спинов и четностей
ядер с одной «квазичастицей» сверх замкнутой конфигурации, т.е. полностью
заполненной оболочки или подоболочки. Часто эту модель применяют также для того,
чтобы рассмотреть спины и четности ядер, у которых сверх замкнутой конфигурации
имеется более одной квазичастицы
Пример 3. Определить спин и четность основного состояния ядра 7Li.
Конфигурация основного состояния этого ядра |1s>4 |1p3/2>3 , причем сверх
замкнутой оболочки дважды магического ядра 4Не в 1р оболочке находится два
нейтрона и один протон. Два нейтрона за счет сил спаривания имеют полный
суммарный момент 0, поэтому спин и четность ядра определены моментом и
четностью неспаренного протона, т.е. . JP = (3/2)-. Этот модельный результат совпадает
с экспериментальным.
Ядра с двумя протонами либо двумя нейтронами сверх замкнутой оболочки (или
подоболочки) – четно-четные ядра с JP = 0+. Но ядра с одном протоном и одном
нейтроном сверх замкнутой подоболочки – нечетно-нечетные. Для
двух разных нуклонов на незамкнутой " валентной" подоболочке принцип Паули не
препятствует тому, чтобы они имели одинаковые проекции момента на выделенную
ось и, соответственно, не равный нулю суммарный момент. Например, ядро 14С с
двумя нейтронами над замкнутой подоболочкой 1р3/2 (ядром 12С) имеет в основном
состоянии JP = 0+ и конфигурацию нуклонов
|1s1/2>4 |1p3/2>8 |1p1/2>2n,
(3.7)
а ядро 14N имеет в основном состоянии конфигурацию |1s>4 |1p3/2>8 |1p1/2>1p |1p1/2>1n,,
причем спин и четность этого состояния JP = 1+. Таким образом, моменты протона и
нейтрона в валентной подоболочке 14N параллельны и сложились в 1. (Напомним, что
спин системы протон- нейтрон, т.е. дейтрона, также 1). Низшее по энергии – т.е.
основное состояние ядер с протонной и нейтронной " дырками " относительно
замкнутой подоболочки – ядра 12С в основном состоянии - также имеет спин,
соответствующий максимально возможному моменту пары квазичастиц. Ядро10В
имеет конфигурацию основного состояния
|1s1/2>4 |1p3/2>6 = |(1p 3 /2) -1 n (1p 3 /2) -1 p
(12C)>
(3. 8 )
При этом моменты двух квазичастиц – протонной и нейтронной «дырок» –
складываются в максимальный суммарный момент 3. Отсюда для ядра 10В JP=3+.
Пример 4. Найти спин и четность ядра 26Al в основном состоянии и сравнить
результат с экспериментальным.
Ядро 26Al в основном состоянии соответствует протонной и нейтронной "дыркам»
относительно ядра 28Si:
26
gs( Al)
= |1s1/2>4 |1p3/2>8 |1p1/2>4 |1d5/2>10 = |(1d5/2>-1 (1d5/2)-1
(28Si)>.
Сумма моментов протонной и нейтронной "дырок" равна 5. JP(26Al) = 5+.
Если при возбуждении ядра, т.е. при поглощении ядром некоторой энергии, эта
энергия передается одному нуклону над замкнутой оболочкой или подоболочкой, этот
неспаренный нуклон будет переходить на более высокие уровни энергии, а остальные
нуклоны ядра (т.н. кор) будут оставаться в прежних невозбужденных состояниях.
Такие возбуждения называютсяодночастичными. В спектрах возбуждения ядер с
одним нуклоном над замкнутой оболочкой или подоболочкой можно выделить
уровни, соответствующие одночастичным возбуждениям. (См., например, задачу о
возбужденных состояниях ядра 17О). Однако вид спектра возбужденных состояний
ядра 17О показывает, что только часть наблюдаемых уровней имеет одночастичную
природу. Другие возбужденные состояния этого же ядра представляют собой
результат переходов нуклонов из "кора" (т.е. ядра 16О) и имеют более сложную
структуру.
Рассмотрим возбуждения ядер с замкнутыми оболочками или подоболочками,
например, ядра12С. Конфигурация его основного состояния может быть представлена
как
12
gs( C)
= (1s1/2)4 (1p3/2)8.
Возбужденные состояния этого ядра могут возникнуть в результате перехода одного
из нуклонов 1р3/2 на более высокую подоболочку 1р1/2. Этому состоянию будет
соответствовать конфигурация
(12C*) = (1s1/2)4 (1p3/2)7 (1p1/2)1.
(3.9)
Однако такой метод изображения возбужденных состояний ядер, особенно средних
и тяжелых, слишком громоздок и неудобен. Применим альтернативный метод
описания состояний квантовых систем.
В одночастичной модели оболочек основным состоянием ядра с замкнутыми
оболочками или подоболочками является состояние, ниже которого все уровни,
возможные по принципу Паули, – заполнены, а все более высокие по энергии уровни –
пусты. Соответствующую такой конфигурации энергию системы называют энергией
Ферми. (Далее - в лекции 4 - будет показано, что основные состояния реальных ядер
отклоняются от этой примитивной схемы).
Конфигурацию системы, в которой заполнены все уровни вплоть до энергии Ферми,
а все уровни выше этой энергии пусты, объявим физическим вакуумом. В случае
ядра 12С это означает, что конфигурация |0> = (1s1/2)4 (1p3/2)8 - состояние физического
вакуума. Тогда возбужденное состояние (3.9) представляет собой одну частицу и одну
дырку относительно состояния вакуума:
.
(3.10)
Представление возбужденных состояний систем на языке «частично – дырочных
конфигураций» (particle-hole configurations) широко используется в теории квантовых
систем многих частиц.
Задача 3.1. В спектре возбужденных состояний ядра 17О (рис.3.1) указать уровни,
соответствующие одночастичным возбуждениям.
Основное состояние 17О соответствует одному нейтрону
над замкнутой оболочкой: |1s1/2>4|1p3/2>8|1p 1/2>4|1d 5
/2>n . Переходы неспаренного нейтрона с подоболочки
1d5/2 на более высокие подоболочки 2s1/2 и
1d3/2 соответствуют возбужденным состояниям 1/2+и 3/2+ в
спектре 17O. Разность энергий 3/2+ и 5/2+ уровней в
спектре 17О является следствием спин-орбитального
расщепления.
Рис.3.1.
Задача 3.2. Оценить константу а в потенциале спин-орбитального взаимодействия из
этой разности энергий уровней 3/2+ и 5/2+ уровней в спектре 17О.
Из формулы (2.12) разность энергий состояний нуклона с j = l + 1/2 = 5/2 и j = l -1/2
= 3/2 .
E(1d 5 /2 ) -
E(1d 3 /2 ) = a(5/2.7/2 - 3/2.5/2)/2 = 5a/2 = -5.08 МэВ;
a -2 МэВ
Как видно из спектра ядра 17О, только некоторые из возбужденных состояний этого
ядра можно считать результатом одночастичных возбуждений. Природа других
возбужденных состояний этого же ядра более сложная. Например, низший уровень
1/2- с энергией возбуждения 3.06 МэВ является результатом перехода одного нуклона
из замкнутой подоболочки 1р1/2 в следующую 1d5/2, причем два нуклона в
1d5/2 состояниях имеют суммарный момент 0. (Это значение суммарного момента двух
нейтронов или двух протонов соответствует минимальной энергии системы
вследствие действия сил спаривания). Спин и четность ядра при этом будут
определены полным моментом “дырки” в 1р1/2 подоболочке и орбитальным моментом,
т.е. составлять JP=1/2-.
Задача 3.3. Определить (в ОМО) спины и четности возбужденных состояний
ядра 12С, которые возникают в результате перехода нуклона из замкнутой
подоболочки 1р3/2 в следующую 1р1/2подоболочку.
В данной задаче удобно принять основное состояние ядра 12С за физический
вакуум: |0> = |1s1/2>4|1p3/2>3, тогда переход нуклона в следующую подоболочку
эквивалентен рождению частично- дырочной пары над вакуумным состоянием. Спин
такого возбужденного состояния равен векторной сумме моментов частицы и
“дырки”:
|JP> = |(1p3/2)-1(1p1/2): JP>,
=
+
= , .
(3.11 )
Задача 3.4. Определить спин и четность низшего по энергии частично-дырочного
возбужденного состояния ядра 16O. По экспериментальному спектру энергий
возбуждения указать энергию этого состояния.
Принимая основное состояние 16O за физический вакуум, имеем для возбужденного
состояния, возникающего вследствие перехода нуклона из 1р1/2 в следующую
подоболочку 1d5/2:
|JP> = |(1p1/2)-1(1 d 5 /2): JP>,
=
+
= , .
(3.12 )
Четности этих возбужденных состояний отрицательны, т.к. являются произведениями
отрицательной четности “дырки” и положительной четности частицы. В спектре
энергий ядра 16O при Е = 6.13 МэВ присутствует 3- состояние и при Е = 8.87 МэВ – 2состояние. Важно отметить, что низшим по энергии возбужденным состоянием
ядра 16O является состояние 0+, которое невозможно интерпретировать в рамках
одночастичной модели оболочек. Задача интерпретации всех исследованных
экспериментально возбужденных состояний атомных ядер далека от полного
разрешения. В данном курсе лекций обсуждаются наиболее важные теоретические
модели, позволяющие понять и объяснить многие – но не все – характеристики
сложной квантовой системы – атомного ядра.
Изоспин ядер в основных и возбужденных состояниях
В лекции 1 было показано, что низшим по энергии состояниям системы нуклонов,
т.е. основным состоянием ядра, является состояние с низшим возможным значением
изоспина, которое равно величине модуля проекции изоспина
I0 = |Iz| = |Z - N|/2.
(3.1 3 )
Рассмотрим изоспины
Рис.3.2. Спектры “зеркальных” ядер 7Li
возбужденных состояний ядер. Для
и 7Be.
частично-дырочных возбуждений
возможны два значения изоспина возникающего возбужденного состояния,
соответствующие двум значениям векторной суммы изоспинов квазичастиц: =
+
= 0, . Низшим по энергии возбуждения оказываются состояния с изоспином 0.
Инвариантность сильных взаимодействий относительно вращений в изоспиновом
пространстве ярко проявляется в подобии спектров т.н. зеркальных ядер (“mirror
nuclei”). (См., например, рис. 3.2). У этих ядер одинаковые числа нуклонов и
тождественные значения изоспина. Поскольку число нейтронов одного равно числу
протонов другого, эти ядра имеют противоположные по знаку величины проекций
изоспина.
Остаточные взаимодействия между квазичастицами зависят от
изоспина. Состояния с более высокой энергий возбуждения могут иметь изоспин 1,
причем проекция изоспина остается равной проекции изоспина для основного
состояния ядра – она определена числом протонов и нейтронов данного ядра.
Задача 3.5. Каковы возможные значения спина, четности и изоспина возбужденного
состояния ядра 12С (3.10)?
Спин состояния определен векторной суммой моментов частицы и дырки
(квазичастиц): =
+
= , . Изоспин состояния является векторной суммой
изоспинов квазичастиц: =
+
= 0, . Четность возбужденного состояния
равна произведению четностей квазичастиц:P = (-1)(-1) = +1. Таким образом, в
результате перехода 1p3/2
1p1/2 могут возникнуть возбужденные состояния |2+ I =
0>, |1+ I = 0>, |2+ I = 1>, |1+ I = 1>. Все эти состояния действительно наблюдаются в
спектре ядра 12С, но при разных энергиях. Низшим по энергии возбужденным
состоянием ядра 12С является состояние JP = 2+ с изоспином 0 и энергией
Е = 4.44 МэВ.
При энергии 12.7 МэВ находится состояние с квантовыми числами J P = 1+. Столь
большое различие в энергиях частично-дырочных возбуждений (3.8) является
следствием двух причин. Во-первых, частица и дырка взаимодействуют между собой,
и энергия их взаимодействия зависит от их суммарного момента (спина) и изоспина
системы.
Во-вторых, частично-дырочное представление низших возбужденных состояний
ядер является приближенным, волновые функции реальных состояний более сложные.
Рассмотрим четность частично-дырочных возбужденных состояний. Поскольку
четность основного состояния ядра 12С (принятого за физический вакуум)
положительна, четность возбужденных состояний равно произведению четности
частицы и “дырки”. В данном примере и та и другая имеют отрицательную четность,
что дает в итоге положительную четность возбужденного состояния. Для ядра 12С,
например, низшее по энергии возбужденное состояние с изоспином 1 имеет
характеристики JP = 1+, Е = 15.11 МэВ.
Магнитный дипольный момент ядер в ОМО
Теоретическая оценка магнитного дипольного момента атомных ядер основана на
соотношении между квантовыми векторами магнитного и механического моментов:
(3.1 4 )
Коэффициент gN называется ядерным гиромагнитным отношением. Его
теоретическая величина может быть получена из (3.14 ) путем расчета матричных
элементов левой и правой части равенства для ядерного состояния с моментом j и
проекцией момента +j.
Для этой цели применим волновые функции ядер, полученные нами в рамках
одночастичной модели оболочек (ОМО). В этой модели волновая функция ядра с
одной частицей или одной дыркой сверх замкнутой оболочки или подоболочки
определяется волновой функцией этой неспаренной квазичастицы |jmjls> = |jmj>, а
спин ядра определяется полным угловым моментом этой квазичастицы. (Обычно не
указывают в дираковских скобках значения орбитального момента и спина
квазичастицы – их сохранение подразумевается)
(3.15
)
поскольку
, или
,
произведение векторов в (3.15) сводится к произведениям векторов полного,
орбитального и спинового моментов:
(3.16 )
Используя очевидные формулы
получим для (3.16)
,
Отсюда
(3.17)
.
Поскольку j = l + 1/2 либо j = l -1/2 в ОМО, (3.1 7 ) можно упростить для этих случаев.
Например, для j = l + 1/2 имеем
gj = gl(l + 1/2) + (gs - gl)/2.
Эти теоретические результаты могут быть изображены в виде т.н. линий Шмидта
для неспаренных протонов и нейтронов с полными моментами j = l + 1/2 и j = l - 1/2.
Экспериментальные значения магнитных моментов ядер лишь для нескольких ядер
близки к линиям Шмидта, они разбросаны между кривыми для j = l + 1/2 и j = l 1/2. Этот факт указывает на приближенный характер предсказаний одночастичной
модели оболочек.
Модель оболочек для средних и тяжелых ядер. Роль кулоновского
взаимодействия
Во всех предыдущих расчетах и комментариях не был учтен тот факт, что на
протоны ядра помимо сильного взаимодействия (которое было приближенно учтено
введением самосогласованного потенциала со спин-орбитальным членом), действует
также кулоновское отталкивание со стороны других протонов ядра. Роль этого члена
во взаимодействии была сравнительно невелика для легких ядер, но для средних и
тяжелых ядер влияние кулоновского потенциала влияет на ход заполнения
подоболочек и оболочек. Иными словами, если нейтроны ядра можно считать
находящимися в потенциале (2.9), то для протонов в это выражение должен быть
добавлен член, характеризующий кулоновское отталкивание протонов:
(3.1 8 )
Решения у.Ш. для энергий протонов в потенциале (2.9) + (3.1 8 ) выше, чем решения
у.Ш. для нейтронов в потенциале (2.9). Эта разность растет с числом протонов в ядре.
Соответствующая схема заполнения оболочек и подоболочек для нейтронов и
протонов показана на схеме рис.3.3. Отметим, что ход следования подоболочек и их
энергии в сильной степени зависят от выбора параметров потенциала (2.9) + (3.19) при
решении уравнения Шредингера. Поэтому не существует одного набора параметров, с
которым можно одновременно получить схемы уровней, соответствующие
эксперименту для легких, средних и тяжелых ядер. Показанная на рис.3.3 схема
помогает понять ход заполнения уровней для легких и средних ядер.
Поскольку протонные уровни выше нейтронных, средние и тяжелые ядра с
заполненными подоболочками имеют больше нейтронов, чем протонов.
Максимальная энергия нуклонной конфигурации, соответствующая ситуации, когда
все уровни выше этой энергии не заполнены, а ниже – заполнены, называется
энергией Ферми. Для ядра 48Са, например, энергия Ферми соответствует энергии
нейтронов в полностью заполненной нейтронами подоболочке (1f7/2)8 . Это ядро
обладает особой устойчивостью и является первым дважды магическим ядром с
превышением числа нейтронов над числом протонов. Таким образом, магическое
число 28 – следствие влияния кулоновского потенциала на заполнение ядерных
подоболочек.
Рис. 3.3. Квантовые числа состояний в потенциале
трехмерного осциллятора (левая колонка), в потенциале
трехмерного осциллятора с учетом спин-орбитального
члена(2.9) (средняя колонка) и с дополнительным
кулоновским членом (3.19) (правая колонка).
Лекция 4
Остаточные взаимодействия и силы спаривания
Энергии состояний с различными схемами сложения моментов отдельных
нуклонов различаются благодаря остаточным взаимодействиям (residual
interactions) т.е. тем обменным взаимодействиям между нуклонами, которые не
учтены введением среднего самосогласованного ядерного потенциала. В
ядерной модели оболочек предполагается, что остаточные взаимодействия малы
по сравнению со средним самосогласованным потенциалом. Успех оболочечной
модели доказывает справедливость этого предположения. Доминирующий
компонент остаточных взаимодействий – энергия спаривания - имеет порядок
величины 1-2 МэВ, в то время как расстояние между оболочками порядка
10 МэВ. Однако расстояния между подоболочками (т.е. уровнями с
определенными значениями j) могут иметь величины, близкие к энергии
спаривания. Хотя в суммарную энергию связи ядра остаточные взаимодействия
дают относительно малый вклад, они в значительной степени определяют связь
валентных нуклонов, а также спин, магнитный и квадрупольный моменты ядер.
Важнейшим следствием существования остаточных взаимодействий является
действие сил спаривания (pairing forces) , которые проявляют себя различными
способами. Силы спаривания, например, ответственны за особенно высокие
значения энергий отделения для спаренных нуклонов, а также за тот факт, что
все четно-четные ядра имеют в основном состоянии спин 0. Другой эффект,
вызванный силами спаривания, проявляется в спектрах возбуждения четночетных ядер. Сравнение их спектров со спектрами возбуждения ядер с
нечетным количеством протонов или нейтронов показывает, что в спектрах
четно- четных ядрах отсутствуют низколежащие возбужденные состояния с
энергией возбуждения 0.5 - 1 МэВ. Эта "энергетическая щель" возникает
потому, что при неколлективных возбуждениях четно- четных ядер должно
быть прежде всего разрушено спаривание двух нуклонов. Возбуждение ядра
путем переноса всей пары в более высокое состояние требует также большой
энергии.
Действие сил спаривания состоит в том, что два нуклона одинакового сорта
на ядерной оболочке имеют тенденцию при взаимодействии дать суммарный
момент ноль; при этом пара одинаковыхнуклонов находится в низшем по
энергии состоянии.
За силы спаривания отвечает короткодействующая часть ядерных сил. Можно
предположить, что силы спаривания проявляются тогда, когда имеет место
перекрывание пространственных распределений плотностей двух нуклонов.
Поэтому для простоты часто предполагают, что соответствующие остаточные
взаимодействия между двумя частицами имеют вид сил “нулевого радиуса”,
т.е. -сил:
V1,2 = - V0 (
1
-
2).
(4.1)
В этом случае обменное взаимодействие двух нуклонов возникает лишь
тогда, когда перекрываются их волновые функции. Например, если рассмотреть
две частицы с орбитальными моментами, равными l, то их волновые функции
будут полностью перекрываться в случае, если вектора орбитальных
моментов антипараллельны и суммарный орбитальный момент пары равен
нулю. На рис. 4.1 дан пример перекрывания волновых функций с квантовыми
числами l = 1 и проекциями орбитального момента, равными +1 и –1.
Параллельное направление не дает столь полного перекрывания.
Действительно, рассмотрим случай, когда орбитальные моменты частиц равны
l = 1, а их сумма L = 2. Так как длина вектора L равна корню из L(L+1), вектора
орбитальных моментов частиц составляют угол 60 градусов и соответствующие
им волновые функции перекрываются слабо.
Наилучшее перекрывание волновых функций приводит к наиболее низкому
по энергии состоянию. Таким образом, для низшего состояния двух частиц
суммарный момент импульса должен быть равен нулю, как и его проекция M =
m - m = 0.
Рис.4.1. Схема волновых функций одного нуклона и двух спаренных
нуклонов (L1=L2=1).
Волновая функция пары, соответствующая этому низшему состоянию, может
быть записана как
J0
=
m<jmj-m|00>
mj(1)
-mj(2)
= (2j+1)-1/2
j-m
m(-1)
mj(1)
-mj(2).
(4.2)
Суммирование проводится по всем возможным проекциям m момента j.
В теоретических расчетах эффектов спаривания вводят т.н."силу
спаривания"и соответствующий ей гамильтониан. Эта сила действует только
между парами нуклонов с суммарным моментом 0. Энергию спаривания
формально описывают как результат действия оператора pair:
<(jj)00|
pair|
(j'j')00> = - (2j+1)1/2 (2j'+1)1/2 G.
(4.3)
При анализе нуклонных конфигураций вводят иногда характеристику,
которая получила названиесеньорити = s (seniority). Величина s принимает
лишь целые положительные значения и равна числу неспаренных нуклонов
(квазичастиц) в данной конфигурации.
Энергетический спектр, возникающий вследствие действия сил спаривания
может быть рассчитан по формуле (4.3) с волновыми функциями (4.2). Наиболее
низкие по энергии состояния имеют I = 0 и s = 0, причем обе частицы находятся
в состояниях с одинаковыми значениями j. При разных значениях j спаривание
невозможно. Если на разных подоболочках находится нечетное число частиц,
состояние с s = 0 отсутствует.
Матричный элемент (4.3) определяет связь
двух состояний пары одинаковых частиц,
причем подоболочки, на которых находятся
эти спаренные частицы, могут быть разными.
Поскольку волновые функции двух спаренных
частиц перекрываются, эти частицы могут
сталкиваться. Однако при их столкновении
силы спаривания оставляют пару в состоянии с
Рис.4.2. Вероятности заселения
нулевым моментом. Поэтому действие сил
(4.3) связывает только состояния с s = 0. Силы одночастичных уровней
спаривания в форме (4.3) действуют только
между состояниями со спаренными частицами. Они действуют и тогда, когда
пары частиц находятся на разных уровнях. Энергия спаривания воздействует
на смешивание конфигураций и приводит к тому, что одна пара валентных
нуклонов имеет вероятность находиться не на одном уровне. Расчеты эффектов
спаривания показывают, что низшее по энергии состояние системы нуклонов
возникает тогда, когда спаренные нуклонычастично находятся на уровнях
выше поверхности Ферми. Без учета сил спаривания низшим по энергии
состоянием будет состояние, соответствующее заполнению всех уровней ниже
поверхности Ферми. Важнейшим результатом действия сил спаривания
как проявления нуклонных корреляций на малых расстояниях является
преодоление уровня Ферми. Этот эффект изображен на графике зависимости
вероятности заселения от энергии одночастичного уровня для основного
состояния четно-четных ядер (рис.4.2). На оси ординат – отношение числа
нуклонов на одночастичном уровне к числу частиц, которые могут на нем
находиться по принципу Паули. В модели независимых частиц все уровни
вплоть до энергии Ферми заполнены, при этом силы спаривания равны нулю.
Воздействие корреляций на малых расстояниях через силы спаривания
приводит к появлению на графике 4.2 переходной зоны шириной, в которой
уровни заполнены лишь частично. Вместо энергии Ферми возникает точка
перегиба кривой , которую часто называют "химическим потенциалом".
Величина пропорциональна величине G сил спаривания. "Включение"
остаточных взаимодействий приводит также к тому, что пара валентных
нуклонов с определенными вероятностями находится выше и ниже уровня ,
оставаясь при этом с теми же квантовыми числами (m,-m).
Такие же корреляции имеют место и во взаимодействии электронов, причем
силы спаривания при низких температурах становятся сильнее кулоновского
отталкивания. При этом возникает сверхпроводимость. Основа теории
сверхпроводимости дана в работе Бардина, Купера иШриффера (BCS-теория) в
1957 г. В следующем году эти же методы были использованы для расчета
квазичастичного спектра атомных ядер. Последовательная теория парных
корреляций сверхпроводящего типа создана с помощью канонического
преобразования операторов частиц в операторы квазичастиц,
предложенного Н.Н. Боголюбовым:
aqs = uq bq-s + s vq bqs+,
(4.4)
причем uq2 + vq2 =1 . Операторы a, a+ рождения и поглощения нуклона при
действии на состояние физического ваккума системы вызывают рождение или
поглощение нуклона с квантовыми числами (q,s). Состояния, отличающиеся по
знаку проекции момента m, сопряжены относительно операции отражения
времени. В представлении вторичного квантования член полного
гамильтониана, ответственный за парные корреляции имеет вид:
pair =
-
qk
G(q+,q-;k+,k-)a+q+ a+q- ak+ ak-.
(4.5)
В результате действия этого гамильтониана частицы могут попарно
совершать виртуальные переходы.
Каноническое преобразование Боголюбова выделяет из полного
гамильтониана среднее поле и взаимодействие между нуклонами в состояниях,
сопряженных относительно отражения времени. Это взаимодействие приводит
к парным корреляциям сверхпроводящего типа и к эффекту сверхтекучести
атомных ядер. Теория парных корреляций позволяет рассчитать энергию
возбуждения квазичастицы:
Ej = [( j- ) 2 +
j
2 1/2
] .
(4.6)
Здесь j - одночастичная энергия.
Из (4.6) следует, что низшая энергия возбуждения одной квазичастицы
равна . Поскольку в четно-четном ядре при возбуждении разрывается пара, то
есть появляются две квазичастицы, низшая энергия возбуждения такого ядра
составляет 2 . (В этом рассмотрении не затронуты коллективные
возбуждения).
Экспериментально наблюдаемая "энергетическая щель" (т.е. значительное
различие в энергиях основного и первого возбужденного состояния) в спектрах
четно-четных ядер является, таким образом, следствием парных корреляций и
ее величина может служить мерой энергии спаривания G. Для случая G = 0
энергетическая щель отсутствует и спектр является одночастичным.
Для состояний значительно выше поверхности Ферми оператор квазичастицы
совпадает с оператором частицы, а для состояний много ниже поверхности
Ферми он совпадает с оператором "дырки". Вблизи поверхности Ферми он
является суперпозицией операторов частицы и дырки. Основное состояние
четно-четного ядра является квазичастичным вакуумом. В его возбужденных
состояниях может содержаться любое четное число квазичастиц.
Тот факт, что все четно-четные ядра в основном состоянии имеют спин и
четность 0+ является следствием действия сил спаривания. Пара нейтронов (или
пара протонов) на любой валентной подоболочке с полным моментом j в
ОМО может иметь любой суммарный момент, возможный в рамках правила
сложения векторов j. Однако действие сил (4.1) приводит к тому, что
наименьшей энергией будет обладать пара с противоположными направлениями
проекций моментов j. Суммарный момент такой пары равен 0. Это означает, что
остаточные взаимодействия на малых расстояниях (4.1) приводят к появлению
корреляций в основном
состоянии ядра (ground state
correlations).
Доказательством влияния сил
спаривания на заполнение
ядерных оболочек являются
результаты,
полученные А. Рихтером и его
сотрудниками в экспериментах
на ускорителе DALINAC по
Рис.4.3. Спектр возбуждения ядра 16O в реакции
неупругому рассеянию
(e,e').
электронов на ядрах. В
неупругом рассеянии (e,e’)
электрон с начальной энергией Е0передает ядру-мишени часть своего импульса
(т.н. переданный импульс q) и энергию возбуждения Е. Исследования спектров
возбуждения ряда магических ядер (16O, 40Ca) показали, что при больших углах
рассеяния в спектрах возбуждения этих ядер четко выявляются пики с
квантовыми числами 1+, т.е. по принятой терминологии, пики М1 возбуждений
ядер.
М1 возбуждения хорошо изучены на целом ряде ядер, например, 12С и 28Si. В
этих ядрах, согласно схеме ОМО, заполнена низшая по энергии подоболочка
(соответственно, 1p3/2 и 1d5/2). Переходы нуклонов из этой подоболочки в
незаполненную подоболочку с полным моментом нуклона, равным j=l-1/2,
формируют конфигурацию возбужденного состояния. Если принять
конфигурации основных состояний этих ядер за “физический вакуум”, то
конфигурации М1 возбужденных состояний в 12С : |(1p3/2)-1(1p1/2): 1+> и в
ядре 28Si: |(1d5/2)-1(1d3/2): 1+>. Однако выявление 1+ пиков в спектрах
возбуждения ядер с полностью заполненными - с позиций ОМОоболочками 16O и 40Ca показывает, что схема ОМО слишком примитивна. Два
пика М1 возбуждений в этих ядрах появляются именно потому, что верхняя
подоболочка этих "дважды магов" не является полностью заполненной. С
вероятностью около 15% в ней присутствуют две "дырки", а на уровне выше
поверхности Ферми - две частицы. Этот факт, являющийся следствием сил
спаривания (или, как иногда говорят, корреляций в основном состоянии ядра) и
создает возможность М1 возбуждений в таких ядрах.
В ядре 16O переходы
нуклонов 1p3/2
1p1/2и 1d5/2
1d3/2 формируют два 1+ пика,
наблюдаемые в реакции
возбуждения ядра (см. рис. 4.3).
Если принять нуклонную
конфигурацию ядра 16О в
одночастичной модели оболочек
(ОМО) (см. рис.2.3) за
Рис.4.3. Спектр возбуждения ядра 16O в реакции
физический вакуум, то в ОМО
(e,e')
волновая функция основного
16
состояния О может быть
изображена как
(16Оgs) = |0p0h: 0+>. (4.7)
Однако действие сил спаривания приводит к тому, что волновая функция
основного состояния16О и других ядер, оболочки которых считаются полностью
заполненными в ОМО, имеет более сложную структуру. Опыты, один из
результатов которых показан на рис.4.3, доказывают, что в основном состоянии
таких ядер должны присутствовать конфигурации с двумя частицами и двумя
дырками относительно схемы ОМО (4.7):
(16Оgs)
|0p0h: 0+> +
|2p2h: 0+>;
2
+
2
= 1. (4.8)
Лекция 5
Модель деформированных оболочек
Изложение основ одночастичной модели оболочек (ОМО) (как и любой другой теории) было бы
неполным, если бы не были указаны границы ее применения. Понимание того, в каких случаях
простейшая версия ОМО, изложенная выше, применима, а в каких случаях не применима,
возникает при изучении характеристик всех легких ядер и сравнении для них результатов ОМО с
экспериментом. Наиболее показательный случай расхождения предсказаний ОМО со спинорбитальным потенциалом (2.9) с экспериментом – спины нечетных ядер с А = 19, 21 и 23. В этих
ядрах оболочка с = 2 является частично заполненной. Например, для ядра 19F:
(19Fgs) = | (16Оgs).(1d5/2)2n.(1d5/2)2p>.
(5.1)
Можно было бы предположить, что спин основного состояния этого ядра должен быть равен
моменту неспаренного протона, т.е. составлять JP = 5/2+. Однако экспериментальное значение
спина ядра 19F равно JP = 1/2+. Это и подобные ему расхождения простой ОМО и эксперимента
позволили разобраться в причинах того, что для некоторых ядер ОМО в том виде, который
изложен в лекциях 2,3, иногда дает адекватное описание опытных данных, а в некоторых случаях
ее предсказания неверны. Суть дела состоит в том, что ОМО в предыдущем изложении годилось
только для сферических ядер или ядер, близких к сферическим. Использованный выше потенциал
соответствовал сферическому распределению нуклонов в ядре. Сферическими в основном
состоянии являются легкие и средние ядра с заполненными оболочками или подоболочками.
Однако большая часть ядер сферическими не является, хотя и обладает осью симметрии. Для этих
ядер одночастичный потенциал зависит от угла между радиус-вектором квазичастицы и осью
симметрии:
V
V(r, ) + a(
).
(5.2)
Эксперимент показывает, что большинство ядер не представляют собой сферу, и поэтому
нуклоны такого ядра находятся в потенциале несферической формы. Простейшая модель такого
ядра - аксиально-симметричный эллипсоид вращения. Одночастичная модель оболочек может быть
модифицирована для такого случая путем замены потенциала гармонического осциллятора с
центральной симметрией на потенциал с аксиальной симметрией:
(5.3)
.
В (5.3) координаты соответствуют внутренней системе координат несферического ядра, причем ось
z перпендикулярна круглому сечению эллипсоида.
Для частот колебаний вдоль внутренних осей
x
=
y
(1 + /3);
z
(1 - 2 /3).
(5.4)
Здесь ω - осцилляторная частота для сферического потенциала. Приближенно энергия кванта
колебаний для сферического потенциала ω 41A-1/3 МэВ. Деформация преобразует сферу в
эллипсоид, объем которого предполагается не зависящим от параметра деформации. В
анизатропном потенциале колебания вдоль и поперек оси симметрии независимы.
Энергии одночастичных состояний, полученные путем численных решений уравнения
Шредингера с деформированным потенциалом представлены на рис 5.1. (На рис.5.1.показано
решение, полученное в т.н. схеме Нильссона (Nilsson S.G.), причем в гамильтониан, помимо
потенциала (5.2), был включен также еще один член Vl D 2).
Рис.5.1. Зависимость положения уровней в
самосогласованном потенциале Нильссона от деформации
. Цифры в кружке – число частиц при заполнении оболочек в
сферически симметричном потенциале
Важным отличием решений в деформированном потенциале от рассмотренного ранее случая
сферических ядер является “потеря” одного из хороших квантовых чисел. Если одночастичный
гамильтониан содержит деформированный потенциал (5.2), квадрат полного момента уже не
коммутирует с ним, хотя оператор проекции момента на ось и оператор отражения осей попрежнему соответствуют интегралам движения:
=
+
(r, )
| , 2|
0, | , z| = 0, | , | = 0.
(5.5)
Решение у.Ш. в деформированном потенциале приводит к значениям энергии нуклона, зависящим
помимо главного квантового числа, от значений модуля К проекции полного момента нуклона на
выделенную ось:
= En,K
(5.6)
; En,K= En,-K; K = |Jz|.
Итак, оператор Гамильтона с потенциалом, зависящим от угла , продолжает коммутировать с
проекцией момента на выделенную ось (ось симметрии), но не коммутирует с оператором
квадрата полного момента. Это означает, что величина J уже не является "хорошим" квантовым
числом, однако ее проекция является. Решения у.Ш. для энергий (5.6) зависят от модуля проекции
момента |Jz| = K. Эта величина К является для деформированных ядер спиновой характеристикой
уровня. Расщепление уровней ядер при деформации показано на рис. 5.1. Деформация частично
снимает вырождение по проекции момента. На каждом из уровней рис.5.1 может находиться не
более 4 нуклонов: два протона и два нейтрона с противоположными проекциями момента на ось
симметрии ядра.
Таким образом, в потенциале Нильссона вырождение уровней значительно менее выражено, чем
в сферическом потенциале. Учет кулоновского взаимодействия снимает вырождение по изоспину,
уровни протонов и нейтронов получают различные значения энергии. Кратность вырождения
становится равной 2, что отражает независимость энергий нуклонов от знака К.
С помощью рис.5.1 можно понять происхождение экспериментального значения спина ядра 19F.
Добавление двух нейтронов к дважды магическому (сферическому) ядру 16O делает ядро 18O
вытянутым. В деформированном потенциале этого ядра находится протон. Согласно схеме,
уровень 1d5/2 расщепляется на три уровня, соответствующих трем значениям модуля проекции
вектора момента j = 5/2: K = 1/2, 3/2, 5/2. Низшим по энергии в вытянутом ядре будет состояние с
K = 1/2. Эта величина и определяется в эксперименте для ядра 19F.
Многочастичная модель оболочек
Элементы теории многочастичных систем. Метод Хартри-Фока
Система А частиц характеризуется волновой функцией Ψ(1,……А). В нерелятивистском
приближении эта функция является решением уравнения Шредингера с гамильтонианом
(5.7)
редставляющим собой сумму операторов кинетических энергий частиц системы и оператора
потенциальной энергии взаимодействия между ними.
Функцию системы представляют в виде произведения функций отдельных частиц. Необходимо,
чтобы волновая функция системы фермионов в потенциальной яме удовлетворяла принципу
Паули. Как правило, эту функцию представляют в виде детерминанта Слетера, построенного из
волновых функций отдельных фермионов:
(5.8)
Приближенное решение у.Ш. для системы фермионов можно найти с помощью метода ХартриФока. При этом вид одночастичных волновых функций ищут с помощью решения
самосогласованной системы уравнений
(5.9)
(Это уравнение можно получить с помощью вариационного принципа.) Уравнение показывает, что
каждая из частиц системы находится в потенциале, созданном ее взаимодействием с другими
частицами. Она сама также дает вклад в потенциалы для других частиц. В уравнении (5.9) не
учтены эффекты антисимметризации для системы фермионов. С учетом антисимметризации
уравнение для функций одного нуклона выглядит как
(5.9a)
Это уравнение обычно решают методом итераций. Начало этой процедуры состоит в наиболее
“физичном” выборе исходных функций и подстановке их в интеграл уравнения (5.9). Из его
решения находят новый набор функций, которое снова используют для решения системы. Процесс
продолжается до тех пор, пока наборы последовательно найденных функций не начнут
практически совпадать.
После завершения итерационной процедуры получают набор одночастичных волновых функций,
удовлетворяющих системе уравнений
[Tk + Uk(rk)]
k(rk)
=
k
k(rk);
Здесь
Гамильтониан в (5.7) можно представить в виде:
k = 1, 2, ..., A.
(5.10)
(5.11)
В уравнении (5.11) не полностью учтена необходимость антисимметризации для тождественных
частиц. Учет антисимметризации приводит к следующей системе уравнений Хартри-Фока для
функций нуклонов:
(5.12)
W(r,r') = W(r',r).
Из-за действия эффекта антисимметризации, приводящего к появлению члена с W, взаимодействие
нелокально!
Одночастичные решения интегро-дифференциального уравнения (5.12) удовлетворяют
соотношениям ортогональности.
Вторичное квантование и уравнения Хартри-Фока
Часто теорию систем фермионов формулируют на языке вторичного квантования, вводя операторы
рождения и поглощения фермиона (например, нуклона):
частиц
Поскольку вакуум не содержит
(5.13)
Состояние из А частиц является результатом действия на вакуум А операторов рождения при
условии, что состояния частиц – разные. Если два состояния совпадают, то детерминант Слетера
оказывается нулем. Операторы рождения и поглощения фермионов удовлетворяют
антикоммутационным соотношениям:
(5.14)
(Антикоммутаторы двух операторов рождения или поглощения равны 0)
Оператор Гамильтона в этом представлении имеет вид:
(5.15)
Волновую функцию основного состояния системы нуклонов постулируем в виде
(5.16)
Это выражение эквивалентно определителю Слетера в конфигурационном пространстве.
Энергия основного состояния системы нуклонов
(5.17)
Таким образом, полная энергия системы не равна сумме одночастичных энергий, она меньше ее на
половину суммы энергий взаимодействия..Как правило, отсчет энергий начинается с основного
состояния системы, т.е. полагают Е0 = 0.
Величины называются одночастичными энергиями. Они являются решениями одночастичных
уравнений Шредингера:
(5.18)
Возбужденные состояния системы нуклонов
Рассмотрим возбужденные состояния ядер с замкнутыми оболочками или подоболочками.
Возбужденные состояния таких ядер будем описывать с помощью конфигураций “частица-дырка”
относительно основного состояния. Цель такого подхода – свести задачу о взаимодействии А
частиц к задаче о взаимодействии двух квазичастиц (частицы и дырки).
Возбужденные состояния “частица-дырка” описываются волновой функцией вида
(5.19)
Состояние (5.19) называется частично-дырочным (1p1h). Оно соответствует переносу одной
частицы из-под поверхности Ферми в состояние выше энергии Ферми. Аналогичным образом
определяются состояния 2p2h с двумя частицами-двумя дырками и т.д.
В качестве иллюстрации частично-дырочного подхода к
расчету возбужденных состояний ядра рассмотрим задачу о
дипольных возбуждениях 16О. (Приближенный метод
расчета возбужденных состояний ядра на основе частичнодырочной модели называется приближением ТаммаДанкова = TDA). Дипольные возбуждения ядра 16О в
фотоядерных реакциях приводят к т.н. гигантскому
резонансу в сечении поглощения гамма-квантов. Это
резонансное состояние 16О имеет квантовые числа 1-.Т=1.
Частично-дырочное состояние (5.19) в этом случае
должно соответствовать переходом нуклона из 1р оболочки
в следующую оболочку. Этому соответствуют переходы:
1p3/2
1d5/2, 1p3/2
1p1/2
2s1/2, 1p3/2
2s1/2, 1p1/2
1d3/2.
1d3/2,
(5.20)
Рис.5.2. Схема заполнения уровней16О в
ОМО.
Этим переходам в состояния выше энергии Ферми соответствуют конфигурации
и т.д.
(5.20a)
Эти состояния являются решениями одночастичного у.Ш
(5.21)
Волновую функцию дипольного резонансного состояния c J P = 1- можно представить в виде
линейной суперпозиции частично-дырочных состояний:
(5.22)
Подстановка суммы (5.22) в у.Ш. приводит к следующей системе линейных уравнений для
коэфициентов в (5.22):
(5.23)
Умножая слева на вектор <j | и используя ортонормированность частично-дырочных состояний<j
|| i> = ij, получим для коэфициентов разложения в (5.22) систему однородных линейных
уравнений:
(5.24)
Эта система имеет ненулевое решение при условии равенства нулю ее определителя
(детерминанта):
Det | ij(
i
- Ek) + Vij| = 0.
(5.25)
Решение этого т.н. “секулярного” уравнения дает набор N волновых функций в виде разложений
по частично-дырочным конфигурациям и N соответствующих этим функциям собственных
значений – энергий. Процедура получения этого решения полного гамильтониана называется
диагонализацией гамильтониана на частично-дырочном базисе. На рис.5.3 дано сравнение
результатов частично-дырочного приближения многочастичной модели оболочек и
экспериментальных данных. Видно, что модель отражает лишь основные черты распределения
сечения фотопоглощения.
Рис. 5.3.
Лекция 6
Модель Ферми-газа
В модели Ферми-газа (ФГМ) нуклоны в ядре рассматриваются как нерелятивистские фермионы,
движущиеся в потенциальной яме. Главным допущением модели является предположение, что
линейные размеры ямы гораздо больше нуклонных длин волн:
(6.1)
В качестве первого приближения рассмотрим решение уравнения Шредингера для частиц в
бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. В этом случае решение у. Ш. удобно
искать в виде произведения трех волновых функций:
( )=
(6.2)
(x) (y) (z)
Решение у. Ш. внутри ямы имеет простой вид:
.
(x) = a sin kxx + b cos kxx,
(x) = 0
b = 0, (L) = 0
kxL = nx
(6.3)
.
Здесь n - целое число. Последние условия являются следствием “сшивания” волновой функции
внутри и извне ямы. Полная энергия частицы в яме:
(6.4)
где N- целое число - соответствует числу заполненных состояний в яме, причем из (6.1) следует,
что N >> 1.
Максимальная энергия частицы в яме называется энергией
Ферми (см. рис.6.1):
Рис. 6.1.Уровни нуклонов в яме
в ФГМ.
(6.5)
.
Из уравнения (6.4) получим дифференциал числа состояний в
яме:
dN = dnxdnydnz = L3dkxdkydkz /
3
= L3K2dKd
/
3
. (6.6)
Число состояний частицы с энергиями E < EF равно интегралу
Рис. 6.2.
от (6.6), причем лишь по положительным значениям волновых
векторов (рис.6.2). Ограничение положительными значениями
импульса уменьшит (6.6) в 8 раз. Чтобы получить число возможных состояний нуклона в
потенциальной яме, нужно учесть две возможные проекции спина нуклона на ось и две проекции
изоспина (т.е. протоны и нейтроны). Тогда число состояний должно равняться числу нуклонов А:
(6.7)
.
Объем ямы V равен объему ядра: V = (4/3) R3 = (4/3) r03A.
Оценим нуклонную плотность ядра . Используя равенство (6.7), одновременно найдем связь
импульса Ферми с экспериментально измеряемым параметром r0:
(6.8)
.
(6.9)
;
.
Получаем, что нуклонная плотность ядра (6.8) приблизительно постоянна.
Нуклонная плотность ядер экспериментально определена в опытах по рассеянию электронов
промежуточных энергий (Е > 100 МэВ) на ядрах. Дополнили эти эксперименты опыты по
рассеянию протонов тех же энергий. Результатом этих опытов было представление о
распределении плотности ядерной материи в виде распределения Ферми:
(6.10)
.
При этом получено, что
R
r0A1/3, r0
(1.2 - 1.3) Фм.
(6.11)
Нуклонная плотность ядер, согласно этим измерениям, близка к константе, для средних и тяжелых
ядер почти на зависит от А и приближенно составляет 0 0.17 Фм-3.
Из (6.9) получим значение импульса Ферми:
KF
(1.25 - 1.35) Фм-1
МэВ/c.
(250 - 270)
(6.12)
Отсюда значение максимальной кинетической энергии частиц Ферми-газа (энергии Ферми)
составляет EF (35 - 38) МэВ. Следует подчеркнуть, что эта величина в ФГМ не зависит от
числа нуклонов в ядре. Отсюда можно получить и приближенную величину глубины ядерной
потенциальной ямы. Поскольку средняя энергия отделения нуклона от ядра составляет около
8 МэВ, глубина потенциальной ямы V0 = EF +
(42 - 46) МэВ (cм. рис.6.1).
Оценку этой же величины можно получить из других соображений, например из решения задачи
о потенциале дейтрона. Таким образом, простая модель Ферми-газа приводит к разумным оценкам
глубины потенциальной ядерной ямы.
Тот факт, что нуклоны ядра находятся в
движении, особенно наглядным образом
проявляется в реакциях квазиупругого
рассеяния электронов. Сечение этого
процесса представляет собой широкий
максимум, расположенный выше по энергии,
чем область возбуждения мультипольных
гигантских резонансов в ядрах (см. рис.6.3).
Если бы рассеяние электрона происходило на
неподвижном нуклоне, максимум находился
бы при переданной ядру энергии, связанной с
переданным ядру импульсом q простым
нерелятивистским соотношением
=
q2/M*,где = 1 - 2 - переданный
импульс, M* - “эффективная” масса нуклона Рис.6.3. Сечение неупругого рассеяния электронов
в ядре. Но вместо узкого пика при этой
на ядре 40Са.
энергии на кривой сечения наблюдается
широкий максимум. Его ширина обусловлена именно фермиевским движением нуклонов ядра.
Рассеяние электрона происходит – в предельных случаях – как на нуклоне, движущемся навстречу
электрону, так и параллельно импульсу электрона. Поэтому измерение ширин пиков квазиупругого
рассеяния является способом независимого определения величины импульса Ферми. В табл.1 для
нескольких ядер приведены значения импульсов Ферми, рассчитанные из данных по
квазиупругому рассеянию электронов.
Таблица 6.1. Импульсы Ферми для некоторых ядер.
Ядро
7
Li
KF, МэВ
169
12
221
40
251
C
Ca
58
Ni
260
89
Y
254
118
Sn
260
208
Pb
260
Модель Ферми-газа в астрофизике
Взрыв сверхновых звезд приводит к появлению либо нейтронных звезд, либо черных дыр.
Судьба сверхновой зависит в первую очередь от массы. Фермиевская энергия электронов в
звезде так велика, что во время взрыва в звезде происходит превращение протонов и
электронов в пары нейтрон-нейтрино (обратный β-распад: p + en + νe). Процесс
обычного β-распада нейтронов запрещен принципом Паули для электронов (плотность
вещества настолько велика, что все уровни энергии электронов заняты, включая те, которые
могли бы быть заняты испускаемым в этом распаде электроном). “Выгорание” протонов
приводит к исчезновению железного кора звезды и превращению ее в нейтронный Ферми-газ:
+ 25e-
56n + 26νe.
Число состояний в потенциальной яме N будет равно количеству нейтронов:
1 Фм = 200 МэВ ( с
-1
200 МэВ·Фм = 1)
kF
EF (50 - 70) МэВ.
;
(320 - 380) МэВ/с;
Гравитационному сжатию системы противостоит давление Ферми-газа. Если масса кора
сверхновой больше удвоенной массы Солнца, гравитационные силы преодолевают давление
Ферми-газа, и звезда превращается в черную дыру. При меньших массах идет превращение
кора сверхновой в нейтронную звезду, в которой уравновешены силы гравитационного сжатия
и давление нейтронного газа. Масса нейтронной звезды примерно Mnst 1.5MSun 3·1030 кг,
(рассчитано из данных по наблюдению доплеровского смещения), тогда Nn Mnst/mn
1.8.1057 - число нейтронов в звезде.
Для получения условия равновесия звезды необходимо оценить среднюю кинетическую
энергию ферми-движения в звезде как функцию радиуса звезды.
.
В нейтронной звезде импульс Ферми
R
r0N1/3; N = Mnst/mn
, радиус звезды связан с числом нейтронов N:
1.5MSun/mn = 1.8·1057, отсюда R
13 км.
Оценку радиуса звезды можно получить также из условия равновесия, введя в него
зависимости средней кинетической энергии фермиевского движения и средней
гравитационной энергии сжатия от радиуса звезды:
Из условия равновесия получаем
(G = 6.7.10-39 с.(ГэВ/c2)-2.)
Лекция 7
Коллективные колебания ядер
Полный гамильтониан ядерных возбуждений приближенным образом может
быть представлен в виде суммы членов, отражающих разные степени свободы
ядер: одночастичные, коллективные и ротационные, а также связь между ними:
=
sp
+
col.vib
+
rot
+
12
+
13
+
(7.1)
23.
Одночастичная модель оболочек и модель Ферми-газа представляют собой
два подхода к исследованию первого члена формулы (7.1). Теоретическое
описание коллективных колебаний ядра может быть предпринято с помощью
многочастичной оболочечной модели, цель которой – получить волновую
функцию коллективных ядерных возбуждений на основе нуклонных (или,
точнее, квазичастичных) волновых функций. Примером такого подхода к
коллективным возбуждениям является описание гигантского дипольного
резонанса в сечениях ядерных реакций фотопоглощения. Но коллективные
возбуждения ядер могут быть рассмотрены и с другой точки зрения – как
результат поглощения ядром одного или нескольких квантов коллективных
колебаний – фононов. (В первом приближении эти кванты рассматриваются как
невзаимодействующие объекты.) Квантовая теория таких колебаний может
быть сформулирована на языке вторичного квантования (см. О. Бор,
Б. Моттельсон, т.2, гл.6).
Введем операторы рождения и поглощения кванта коллективных колебаний и
учтем, что действие оператора рождения переводит систему из состояния
с n квантами в состояние с n+1 квантом :
+
|n> = Cn+1|n+1>.
<n|m> = nm.
(7.2)
Второе равенство в (7.2) означает ортонормированность ядерных состояний с
данным числом квантов возбуждения. Учтем, что состояние с n+1 квантом
может превратиться в состояние с n квантами n+1 способом, т.е.
<n + 1|
+
| n> = Cn+1<n + 1| n + 1> = Cn+1;
(7.3)
;
+
| n> = (n + 1)1/2| n + 1>.
Аналогичным образом получим
| n> = n1/2 | n - 1>.
(7.4)
Из (7.3) и (7.4) следует, что оператор числа квантов в системе имеет вид:
| n> =
+
(7.5)
| n> = n |n>.
Операторы поглощения и рождения фононов (квантов коллективных
колебаний) коммутируют:
+
-
+
(7.6)
= 1.
Докажем это соотношение:
+
| n> -
+
| n> = (n + 1)1/2 | n + 1> - n1/2
+
| n - 1> = (n + 1)|n> - n|n> = |n>.
Действие оператора поглощения фонона на вакуумное состояние дает 0:
| 0 > = 0.
(7.7)
По индукции нетрудно получить явный вид состояния с n фононами:
+
| 0> = |1>;
+
| 1> = 21/2 | 2>; ... | n> = (n!)-1/2(
+ n
) | 0>.
(7.8)
Построенная выше простейшая модель рождения и поглощения квантов
(бозонного типа) может быть удобным образом применена к теории
коллективных колебаний ядерной материи.
Коллективное возбуждение возникает как результат ядерных реакций; причем
операторы, воздействующие на волновую функцию начального состояния,
могут преобразовывать как пространственные характеристики системы, так и ее
спиновые и изоспиновые переменные. Далее перечислены четыре типа
операторов возбуждения и в качестве примера указаны типы и мультипольности
соответствующих этим операторам ядерных возбуждений.
(7.9)
Рис. 7.1. Моды колебаний ядра.
Рассмотрим далее одну из важнейших мод (типов) этих колебаний: колебания
поверхности ядра без изменения ядерной плотности. ( Отметим, что в более
точных описаниях коллективных колебаний учитываются и колебания
плотности ядра, т.н.”breathing mode”-дыхание ядра; на схеме рис.7.1 этой моде
соответствует Е0)
Колебания ядерной поверхности можно описать функцией
(7.10)
Здесь a - амплитуда коллективных колебаний с мультипольностью L. Для
упрощения формул в дальнейшем будет рассматриваться
только квадрупольная мода колебаний с L = 2, поэтому индекс мультипольности
будет опущен и суммирование будет проводиться лишь по возможным
проекциям L. На рис.7.1 схематически изображены квадрупольные колебания
ядра Е20.
Гамильтониан коллективных гармонических колебаний состоит из двух
операторов в пространстве волновых функций ядра – операторов кинетической
и потенциальной энергии колебаний:
(7.11)
.
В (7.11) приведен вид гамильтониана квадрупольных гармонических
колебаний с мультипольностью = 2, суммирование проводится только по
проекциям момента, т.е. от –2 до +2 через 1. В общем случае в гамильтониан
входят члены всех возможных мультипольностей.
Операторы m, m являются операторами обобщенной координаты
квадрупольных колебаний и сопряженного этой координате обобщенного
импульса. Они связаны известными из квантовой механики соотношениями:
m
= D am/ t; [
m,
k]
=i
mk.
(7.12)
Операторы обобщенной координаты и импульса можно представить в виде
линейной комбинации операторов рождения и поглощения:
(7.13)
,
C - жесткость (rigidity).
Подстановка (7.13) в гамильтониан коллективных квадрупольных колебаний (
= 2) приводит к следующему выражению:
(7.14)
Таким образом, решение у.Ш. с потенциалом (7.11) приводит к
эквидистантному спектру энергий квадрупольных коллективных колебаний.
Низший по энергии уровень, соответствующий фононному вакууму, имеет
энергию, равную
Расстояние между уровнями спектра коллективных колебаний равно
,
где – мультипольность фононного возбуждения. Полученный в (7.14) спектр
коллективных квадрупольных колебаний характерен для низших уровней
многих ядер, например 60Ni,106Pd,114Cd. (Cм. рис. 7.2)
Рис. 7.2. Схемы низших уровней ядер 60Ni,106Pd,114Cd.
Состояние с одним квадрупольным
фононом для четно-четного ядра имеет
спин и четность 2+. Энергия состояния с
двумя квадрупольными фононами должна
быть ровно вдвое выше, чем энергия
состояния с одним фононом. Приведенные на схеме спектры указывают на
степень приближенности этого результата теории. Спины и четности
двухфононных состояний могут принимать значения 0+ , 2+ , 4+. Значения 1 и 3
исключены. Этот экспериментальный факт является следствием свойств
двухфононных волновых функций:
Состояние с одним квадрупольным фононом N = 1 имеет волновую функцию
2
N=1
=
2
J(J+1)
N=1
=
2 . .
23
(7.15)
N=1;
.
Двухфононное состояние N = 2 имеет волновую функцию
2,N=2
= |N=2, J, M>,
=
+
=?
Волновая функция двухфононного состояния с полным моментом количества
движения J строится из волновых функций однофононных состояний с
помощью коэффициентов векторного сложения (коэффициентов КлебшаГордона):
(7.16)
Используем нормировку волновых функций и их представление в виде
операторов рождения фонона, действующих на вакуумное состояние:
(7.17)
Операторы рождения и поглощения подчиняются соотношению коммутации
(7.6). Для разных по квантовым числам операторов соотношение (7.6) имеет
вид:
Используем коммутационное соотношение для преобразования операторной
части нормировки (это т.н. процедура Вика):
(7.18)
При подстановке первого члена формулы (7.17) в нормировку двухфононного
состояния используем свойства коэфициентов векторного сложения (К.К-Г):
(7.19)
а также то, что сумма квадратов ККГ по всем возможным проекциям равна 1.
Итогом расчета нормировки оказывается соотношение:
1 = |AJ|2.[1 + (-1)J];
(7.20)
Вывод из (7.20) состоит в том, что нормированные на 1 волновые функции
двухфононного состояния могут существовать лишь для четных значений спина
двухфононного состояния. Значения J = 1 и J = 3 не имеют физического смысла.
Этот теоретический вывод подтверждается экспериментальными данными (см.
схемы уровней четно-четных ядер).
Лекция 8
Характеристики ядер в модели коллективных
колебаний
Как было показано в предыдущей лекции, решение уравнения Шредингера с
гамильтонианом коллективных колебаний ядра:
(8.1)
.
приводит к эквидистантному спектру уровней возбуждения, причем энергия
возбужденного состояния зависит как от числа поглощенных ядром фононов,
так и от энергии одного фонона:
(8.2)
=E
E2,N = ω2(N2 + 5/2).
Результат (8.2) соответствует квадрупольному коллективному колебанию ядра.
В случае фонона (коллективного колебательного возбуждения )
мультипольности решение уравнения Шредингера имеет вид:
(8.2a)
Энергия одного фононного возбуждения ωλ с мультипольностью λ зависит от
свойств ядра, в первую очередь от т.н. "жесткости" ядра С. Жесткость (rigidity) у
ядер с замкнутыми оболочками или подоболочками выше, чем у других ядер
(Табл.8.1).
Коэффициент D связан с массой колеблющейся системы.
(8.3)
.
Табл.8.1. Энергии возбуждения первого 2+,T=0 уровня некоторых четно-четных
ядер.
Ядро
12C
16O
40Ca
60Ni
106Pd
114Cd
192Pt
E(2+,T=0),MeV
4.44
6.92
3.90
1.33
0.512
0.558
0.316
Потенциальная энергия коллективных колебаний определена вторым членом
формулы (8.1). Среднее значение этой энергии в состоянии с данным числом
фононов связано с величиной среднеквадратичной деформации в
состоянии с данным числом фононов. Проведем расчет для случая
квадрупольных колебаний ( = 2)
(8.4)
.
Среднеквадратичная деформация в состояниях с N = 0, N = 1 и т.д. равна
(8.5)
.
Коллективные колебания приводят к изменению среднеквадратичного
радиуса ядра и к увеличению средней потенциальной энергии коллективных
колебаний. Средняя потенциальная энергия квадрупольных колебаний в
состоянии с N фононами:
(8.6)
Получим формулу для среднеквадратичного радиуса распределения заряда в
случае коллективных квадрупольных ядерных колебаний:
(8.7)
В (8.7) – плотность распределения протонов в ядре. Трехмерный интеграл
по объему ядра от величины плотности распределения заряда должен давать
величину заряда ядра:
В приближении точечных нуклонов этому
интегралу удовлетворяет следующая форма распределения плотности протонов:
(8.8)
Интеграл в (8.7) имеет верхним пределом радиус поверхности ядра. В
коллективных колебаниях этот предел представляет собой динамическую
переменную и зависит от амплитуды колебаний. Ограничиваясь
квадрупольными колебаниями, имеем для величины динамического радиуса
ядра уравнение:
Проведем интегрирование в (8.7), разделив угловые и радиальные
переменные:
(8.9)
Разложение бинома Ньютона по степеням сферических гармоник и
использование их ортонормированности приводит выводу, что в (8.9) останутся
лишь члены от нечетных членов разложения (четных по степеням Y2) и, в
конечном результате, к виду среднеквадратичного радиуса заряда:
(8.10)
Таким образом, фононное возбуждение приводит к увеличению
среднеквадратичного радиуса ядра (без изменения его объема). Чем выше
среднеквадратичная деформация, тем выше и величина среднеквадратичного
радиуса. Это относится как к зарядовому радиусу (8.10), так и к
среднеквадратичному радиусу распределения нуклонов.
Приращение зарядового радиуса линейно растет с увеличением числа
фононов:
(8.11)
Ядерные колебания большой амплитуды ведут к делению ядер.
Коллективные колебания и электромагнитные моменты ядер
Введем определение электрических мультипольных операторов с
мультипольностью :
(8.12)
По определению, квадрупольный момент ядра связан с оператором,
действующим в пространстве волновых функций ядра:
(8.13)
Измеряемое значение квадрупольного момента определяется как
диагональный матричный элемент оператора (8.13) в состоянии с проекцией
спина, равной спину. Этот матричный элемент равен диагональному
матричному элементу от оператора (8.12):
(8.14)
При расчете матричного элемента оператора квадрупольного момента
матричный элемент угловой части имеет следующий вид: <J, M=J |Y2m|J, M=J>.
Используем для его анализа теорему Вигнера –Эккарта (ТВЭ):
(8.15)
.
Один из выводов из ТВЭ состоит в том, что матричные элементы любого
оператора зависят от проекций моментов только через коэфициенты КлебшаГордона (ККГ). Для рассматриваемого нами случая диагонального матричного
элемента от квадрупольного оператора <J, M=J |Y2m|J, M=J>.
(8.16)
Условием не равенства нулю ККГ при
<JJ|2m JJ>
= 2 является
0 , если m = 0 и
+ , т.е. J > 1.
=
(8.17)
Таким образом,
измеряемый (т.н.внешний)
квадрупольный момент ядра
равен 0, если спин ядра
меньше 1. Он равен 0 для
всех четно-четных ядер,
хотя многие из них
являются несферическими и
имеют внутренний квадрупо
льный момент, отличный от
0. (Заметим, что прямые
измерения квадрупольных
моментов ядер, основанные
на исследовании
Рис. 8.1. Квадрупольные моменты некоторых ядер
сверхтонкой структуры
атомных спектров, не являются единственным методом оценки этих величин.
Внутренние квадрупольные моменты ядер, точнее, величины ядерных
деформаций, проявляются во вращательных спектрах деформированных ядер
(см. далее лекцию 9)). На рис. 8.1 показаны значения квадрупольных моментов
ряда ядер. Ядра с замкнутыми оболочками и подоболочками имеют нулевой
квадрупольный момент. Наибольшие значения квадрупольных моментов - у
ядер, где подоболочки заполнены лишь частично.
Проведем расчет квадрупольного оператора по (8.13), используя модель
коллективных колебаний. Аналогично расчету среднеквадратичного радиуса
используем приближение точечных нуклонов для оператора (8.7) плотности
распределения заряда:
(8.18)
В силу ортонормированности сферических функций в (8.18) не равны нулю
лишь те вклады от разложения бинома, которые содержат нечетные степени
Y2m. Выделим два вклада в оператор квадрупольного момента (от первого из
неисчезающих членов (8.18) и остальных ненулевых членов):
(8.19)
В приближенных оценках можно считать, что вклад первого из этих
операторов в квадрупольный момент ядра пропорционален величине 0:
(8.20)
.
Тот же квадрупольный оператор, диагональный матричный элемент которого
является внешним квадрупольным моментом ядра, ответственен за Е2 переходы
между возбужденными состояниями. Расчет вероятностей этих переходов
выявил значительное различие в результатах одночастичной и коллективной
моделей. При этом вероятности переходов в модели коллективных колебаний во
много раз выше, чем вероятности одночастичных переходов Wsp:
(8.21)
Вероятности переходов – экспериментально измеряемая величина. Для
ядра 60Ni, например, отношение измеренной вероятности перехода 0+ 2+ к
рассчитанной вероятности одночастичного перехода составляет примерно 12.5,
что подтверждает коллективный характер низших возбужденных
состояний. Отклонение реальных значений вероятностей квадрупольных
переходов от одночастичных значений тем выше, чем больше деформация ядра
(см. БМ, т.2,с.55 + S. Raman e.a.), где показаны отношения этих величин для
переходов между первыми уровнями 2+ и основными состояниями четночетных ядер как функции А ядер. Замечательной особенностью этого
распределения является тот факт, что области высоких значений
вероятностей Е2 переходов совпадают с областями больших значений
квадрупольных моментов ядер. Эта корреляция находит объяснение в теории
коллективных квадрупольных колебаний, ее отражает сравнение формул (8.20)
и (8.21), где обе эти величины выражены через среднеквадратичную
деформацию ядра в основном состоянии.
Приведем пример оценки внутреннего
квадрупольного момента и потенциальной
энергии квадрупольных колебаний четночетного ядра 76Se (Z = 34) из данных по
вероятностям Е2 переходов. Внешний
квадрупольный момент этого ядра, как и всех
четно-четных ядер, равен 0. Оценить внутренний
квадрупольный момент можно из данных по
вероятностям Е2 перехода с первого
возбужденного на основное состояние ядра.
Спектр низших по энергии состояний селена 76Se
Рис.8.2. Спектр 76Se
– типично колебательный (Рис. 8.2). Из формулы
(8.21) можно получить путем расчета одночастичной вероятности Е2 перехода,
значение параметра среднеквадратичной деформации .
Вероятность перехода между первым возбужденным состоянием 2+ и
основным равна:
Из полученного значения среднеквадратичной деформации и величины
энергии первого возбужденного уровня Е = 0.55 МэВ (см.рис.8.2) получим
величину жесткости ядра С:
Зная среднеквадратичную деформацию, можно оценить величину
внутреннего квадрупольного момента четно-четного ядра:
Величины потенциальной энергии квадрупольных колебаний зависят от
величины динамической деформации и жесткости ядра:
Лекция 9
Коллективное вращательное движение
Вращательные степени свободы атомных ядер являются следствием
деформации равновесной формы ядра и обусловлены нарушением ротационной
инвариантности системы. Деформация ядра может быть инвариантной
относительно некоторых вращений системы координат (например, при
аксиальной симметрии).
При аксиальной симметрии ядра проекция момента на ось симметрии
является интегралом движения. Коллективное вращение вокруг оси
симметрии отсутствует. (Это следствие квантовой механики аналогично
утверждению о невозможности коллективного вращения сферически
симметричной системы).
На рис. 9.1. изображено аксиально-симметричное ядро и
показаны, помимо внутренних и внешних координат,
вектора, соответствующие полному моменту количества
движения ядра I, спину ядра во внутренней системе
координат J и моменту вращения ядра R.
= + ;
|J3| = K = J, J-1, J-2,...;
I3 = J3.
(9.1)
Поскольку вектор R перпендикулярен оси симметрии
ядра (оси z или 3), в гамильтониан вращательного
движения входят только члены, соответствующие
вращениям ядра вокруг осей 1 и 2:
Рис. 9.1. Аксиальносимметричное
деформированное ядро.
(9.2)
При аксиальной симметрии ядра проекция момента на ось симметрии является
интегралом движения.
Рассмотрим две возможные ситуации:
1. Спин ядра J = 0 (ядро четно-четное), тогда R = I и результатом решения
уравнения Шредингера с гамильтонианом (9.2) является вращательный
спектр энергий в виде:
(9.3)
,
2. где Θ – момент инерции ядра.
3.
Примером такого спектра является “вращательная полоса” ядра 170Hf .
Реальный спектр возбуждения деформированного ядра 170Hf - как и всех
ядер - является сложным и содержит уровни, имеющие как вращательную
природу, так и уровни, возникшие за счет коллективных колебаний,
частично-дырочных нуклонных переходов и взаимодействия всех этих
источников возбуждения ядра. Поэтому на рис.9.2а показан реальный
спектр ядра вплоть до энергий возбуждении 3 МэВ, а на рис.9.2б выделенная из этого спектра вращательная полоса. На обеих схемах
энергии возбуждения указаны в кэВ.
При обсуждении квадрупольных моментов ядер было показано, что
вытянутые ядра имеют положительный квадрупольный момент, а
сплюснутые – отрицательный. Прямое измерение электрических
квадрупольных моментов - т.е. определение внешнего квадрупольного
момента - возможно лишь для ядер, у которых спин больше или равен 1.
Однако многие четно-четные ядра, имеющие спин и четность 0+,
являются деформированными, и их деформация проявляется в спектрах
их возбужденных состояний в виде вращательных полос.
Рис. 9.2. Спектр 170Hf, а) реальный спектр,
б) вращательная полоса
4. Спин ядра не равен 0, тогда вектор R = I – J входит в гамильтониан
вращательного движения (9.2).
(9.4)
Члены формулы (9.4), зависящие только от спина ядра J,
отражают внутренние степени свободы ядерной системы, которые
рассматривались выше, поэтому во вращательный гамильтониан они
входить не должны.
(9.5)
Второй член в гамильтониане, содержащий скалярные произведения
операторов внутреннего спина ядра и полного момента, является
гамильтонианом взаимодействия между внутренними и вращательными
степенями свободы. В классической физике аналог этого взаимодействия силы Кориолиса.
Если полную волновую функцию ядра представить в виде произведения
функций внутренних степеней свободы и функции, связанной с
ротационным движением
Ψ
Ψintr·Ψrot,
(9.6)
то у.Ш. для ротационной части имеет решение:
(9.7)
Таким образом, ядра с ненулевым спином имеют столько вращательных
полос, сколько у них разных модулей проекции спина на ось симметрии К.
Вращательная волновая функция, являющаяся решением (9.7) зависит
от квантовых чисел I, K, M, где М - проекция полного момента I на
пространственно-фиксированную ось z (т.е. на ось во внешней системе
координат):
(9.8)
т.е. вращательные функции представляют собой т.н. D-функции Вигнера
от угла между третьими осями внешней и внутренней систем координат.
При К=0 эти функции сводятся к сферическим гармоникам:
(9.9)
Динамические деформации ядер
Помимо статических деформаций ядер, проявлением которых является
вращательная полоса над основным состоянием ядра, возбуждение
внутренних степеней свободы ядра может вести к появлению
динамических деформаций. Характерным примером таких динамических
деформаций являются вращательные полосы, обнаруженные в спектре
возбуждения ядра 16О, основное состояние которого является сферическим.
Исследование природы этих вращательных полос показало, что они
возникают над первым возбужденным состоянием ядра 16О, имеющим
квантовые числа (JP, T, E) = (0+, 0, 6.05 МэВ). Это состояние ядра 16О не
может быть интерпретировано ни в оболочечной модели, ни в модели
коллективных колебаний. Природа этого возбужденного состояния может
быть понята в рамках кластерной модели 16О, в которой это ядро является
связанным состоянием 4 ядер гелия, т.е. 4 альфа- частицы. С точки зрения
кластерной модели, основное состояние 16О соответствует волновой
функции 4 кластеров в сферически симметричном состоянии. Первое
возбуждение кластерной системы приводит к нарушению сферической
симметрии.
Упрощенное изображение кластерной
структуры первого возбужденного
состояния 16О показано на рис.9.3. Показанная
на рис.9.3 система не имеет аксиальной
симметрии. Вращения системы 4 кластеров
может происходить вокруг оси 1 и оси 2.
Моменты инерции, соответствующие этим осям
– различны: вращению вокруг оси 2
Рис. 9.3. Кластерная структура
соответствует больший момент инерции, чем
первого возбужденного
вращению вокруг оси 1. Ядро 16О в первом
состояния ядра 16О.
возбужденном состоянии представляет собой
триаксиальный волчок. Из анализа ротационных полос для 16О было
получено, что отношение моментов инерции ( 2/ 1) 2.5.Этой величине
соответствует отношение радиусов вращений(r2/r1) ( 2/ 1)1/2 1.6.
Из схемы расположения альфа- частиц на рис. 9.3 следует, что отношение
длин двух осей вращения в этой модели равно (r2/r1) = 31/2:1 1.7.
Таким образом, кластерная модель дает неплохое объяснение
наблюдаемым вращательным полосам в спектре возбужденных
состояний 16О.
R-инвариантность
Если рассматриваемая система (ядро) инвариантна относительно
поворота на 1800относительно любой оси, перпендикулярной оси
симметрии, то число вращательных степеней свободы сокращается.
Поскольку система при таком повороте (например, вокруг оси 2
внутренней системы координат) переходит сама в себя, такой поворот не
может рассматриваться как коллективное вращение.
Оператор R, осуществляющий такой поворот, является собственным
оператором вращательной функции с К = 0. Действительно, такой поворот
означает переход .
2
I,K=0
2
I,K=0 = r
Отсюда
=r
I,K=0;
=
r = +1.
I,K=0
- ,
+
I,K=0.
(9.11)
;
YIM( , ) = (-1)IYIM( , );
Отсюда
(-1)I = r.
Поэтому вращательный спектр ядер с К = 0 содержит только четные
значения I при r = +1, либо только нечетные при r = - 1. Доказательством
R-инвариантности являются экспериментальные спектры четно-четных
деформированных ядер, например, ядер 186Os (таб. 9.1) и 160Dy (рис.9.4).
Таблица 9.1. Вращательная полоса 186Os
J+
Е, кэВ
2
4
6
8
10
12
137
434
869
1419
2059
2804
Рассмотрим одну из таких вращательных Рис.9.4. Вращательный спектр 160Dy
полос, например, вращательный
спектр 160Dy, соответствующий проекции спина на ось симметрии К = 0.
Как видно из схемы, в спектре присутствуют только четные значения
момента с положительной Р-четностью.
Проанализируем соответствие экспериментального спектра формуле
(9.3) и одновременно рассчитаем моменты инерции этого ядра в разных
состояниях вращательного спектра.
Энергетический интервал между уровнями вращательного спектра
линейно связан с моментами уровней:
E = EJ - EJ-2 =
2
(4J - 2)/2 .
(9.12)
На основании этой формулы построим таблицу теоретических и
экспериментальных отношений E(0 J)/(E(0 2) и величин,
пропорциональных моменту инерции ядра [2 / 2] = (4J - 2)/ E.
Расчет вращательного спектра
J
E(0
J)/(E(0
theory
2), E(0
J)/(E(0 2), [2 /
experiment
2
] = (4J - 2)/ E,
MeV-1
2
1
1
69
4
3.33
3.28
72
6
7
6.7
74
8
12
11.1
77
10
18.3
16.6
81
Расчет показывает, что момент инерции ядра растет с увеличением
момента количества движения и, соответственно, угловой частоты
вращения. Этот результат хорошо понятен на основе капельной модели
ядра: момент инерции капли растет с увеличением углового момента
вращения.
Важным и интересным фактом, который можно легко
продемонстрировать на этом примере, является то, что полученные в
расчете моменты инерции как минимум вдвое меньше, чем момент
инерции твердотельного ротатора с такой же массой. Нижний
пределвеличины , пропорциональной моменту инерции, можно получить
по формуле момента инерции сферы радиуса R (в расчете удобно
использовать константу конверсии c МэВ.Фм):
.
Разброс в величине рассчитанного момента инерции – следствие
экспериментального разброса в определении величины r0.
Таким образом, проведенный несложный расчет доказывает, что ядро в
низших возбужденных состояниях имеет значения момента инерции,
составляющие не более 50% момента инерции твердого ротатора с той же
массой. Часть нуклонов ядра оказывается не участвующей во
вращательном движении вследствие эффекта спаривания нуклонов,
приводящего к сверхтекучим свойствам ядер в основном и низших
возбужденных состояниях. Разрыв нуклонных пар, происходящий при
очень высоких моментах вращения ядер, проявляется в скачкообразном
росте момента инерции ядра до величин, близких к полученной выше
твердотельной оценке. Этот эффект (т.н. бекбендинг = backbending) хорошо
изучен на ускорителях тяжелых ионов. На рис.9.4 показана зависимость
момента инерции ядра 164Er, точнее, величины  , пропорциональной
моменту инерции, от квадрата угловой частоты вращательного движения,
которая связана с величиной энергетического интервала во вращательной
полосе:
Erot = J
= dErot/dJ;
(9.13)
Вращательные полосы ядерных возбуждений экспериментально
исследуются на ускорителях альфа-частиц и ускорителях тяжелых ионов.
Исследование спектров возбуждения ядер проводится, главным образом,
путем измерения энергий гамма квантов, испускаемых ядром при переходе
с более высокого уровня на более низкий.
Рис.9.5. Вращательные полосы и зависимость момента инерции от
частоты вращения для четно-четного ядра 164Er.
На рис.9.4 видно, что при высоких частотах вращения ядра оно
находится в состоянии с неспаренными нуклонами и уменьшение энергии
вращательного возбуждения происходит по т.н. S-полосе. Момент инерции
ядра при этом близок к моменту инерции твердого ротатора такой же
массы. При спинах ядра 18 - 16( ) происходит скачкообразный фазовый
переход ядра с S-полосы на G-полосу. Момент инерции ядра резко падает;
ядро оказывается в состоянии с частично спаренными нуклонами.
Дальнейшие переходы ядра вплоть до основного состояния идут по Gполосе. Экспериментально backbending-эффект исследован на ускорителях
альфа-частиц и ускорителях тяжелых ионов. Продуктом столкновения
ионизованных атомов являются ядра, находящиеся во вращательных
состояниях с большими угловыми моментами. Переходы на низшие по
энергии уровни происходят, главным образом, путем испускания каскада
гамма-квантов с мультипольностями Е2. Измерение энергий этих квантов
и является главным источником информации о структуре вращательных
полос.
Лекция 10
Распады ядер и частиц. Законы сохранения
Распады представляют собой спонтанное превращение любого объекта физики микромира (ядра
или частицы) в несколько продуктов распада:
X
(10.1)
A + B + (C + ...).
Реакция (в физике микромира) – это превращение двух взаимодействующих между собой
объектов в два или более продуктов реакции:
X+Y
(10.2)
A + B + (C + ...)
Как распады, так и реакции подчиняются ряду законов сохранения, среди которых должны быть
упомянуты, во-первых, следующие законы:
1.
Закон сохранения энергии
(10.3)
2.
Закон сохранения импульса
3.
Закон сохранения момента количества движения
4.
Закон сохранения электрического заряда
5.
Закон сохранения барионного заряда
E = const
(10.4)
= const
= const
Q = const
(10.5)
(10.6)
(10.7)
B = const
Перечисленные выше законы являются важнейшими и, что особенно
существенно,выполняются во всех типах взаимодействий.
В сильных и электромагнитных взаимодействиях выполняется также
6.
Закон сохранения пространственной четности
Pi = const
(10.8)
В отличие от аддитивных законов сохранения 1-5 закон сохранения четности –
мультипликативный – сохраняется произведение собственных и орбитальных четностей всех
частиц, участвующих в процессе сильного или электромагнитного взаимодействия.
В сильных взаимодействиях выполняется также
7.
Закон сохранения изоспина
= const
(10.9)
Характеристики вероятностей распадов
Распады характеризуются вероятностями распада , либо обратной вероятности
величинойсреднего времени жизни = 1/ . Часто используется также связанная с этими
характеристиками величина периода полураспада T1/2.
Получим уравнение распада для частиц (или ядер). Убыль числа частиц (или ядер) за интервал
времени пропорционален этому интервалу, числу частиц (ядер) в данный момент времени и
вероятности распада:
dN(t) = -
N(t)dt.
(10.10)
Интегрирование (10.10) с учетом начальных условий дает:
N(t) = N(0)exp(- t) = N(0)exp(-t/ ).
(10.11)
Периодом полураспада называется время, за которое число частиц (или ядер) уменьшится вдвое:
N(T1/2) = N(0)exp(- T1/2);
ln 2 = T1/2; T1/2 = ln 2/ = ln 2.
(10.12)
Спонтанный распад любого объекта физики микромира (ядра или частицы) возможен в том
случае, если масса продуктов распада меньше массы первичной частицы. Разность масс первичной
частицы и продуктов распада распределяется среди продуктов распада в виде их кинетических
энергий.
Распады на два продукта и на три или более характеризуются разными энергетическими
спектрами продуктов распада. В случае распада на две частицы спектры продуктов распада –
дискретные. В случае если частиц в конечном состоянии больше двух, спектры продуктов имеют
непрерывный характер.
Двухчастичные распады
Законы сохранения энергии и импульса для распада следует записывать в системе координат,
связанной с распадающейся частицей (или ядром). Для упрощения формул удобно использовать
систему единиц = c = 1, в которой энергия, масса и импульс имеют одну и ту же размерность
(МэВ). Законы сохранения для двухчастичного распада:
Mx = MA + TA + MB + TB;
0=
A
+
B;
pA = (2MATA)1/2 = pB = (2MBTB)1/2.
(10.13)
Сумма кинетических энергий продуктов определяется разностью массT A + TB =
MA - MB, а отношение кинетических энергий TA/TB = MB/MA.
Отсюда получаем для кинетических энергий продуктов распада:
M = Mx -
(10.14)
.
Таким образом, в случае двух частиц в конечном состоянии кинетические энергии
продуктов определены однозначно. Этот результат не зависит от того, релятивистские или
нерелятивистские скорости имеют продукты распада. Для релятивистского случая формулы для
кинетических энергий выглядят несколько сложнее, чем (10.14), но решение уравнений для
энергии и импульса двух частиц опять–таки является единственным. Если в конечном состоянии
возникает три (или более) продуктов, решение уравнений для законов сохранения энергии и
импульса не приводит к однозначному результату. В дальнейшем на примере и -распадов эта
ситуация будет рассмотрена детально.
Альфа-распад
Полученная формула для кинетических энергий продуктов распада применима, например, к
альфа–распадам ядер. Большинство тяжелых ядер с А > 208 нестабильны относительно альфа–
распада, например:
. Решение законов сохранения для этого распада дает для
кинетической энергии испущенной альфа–частицы (ядра гелия-4) значение 4.79 МэВ.
Альфа–распад – процесс, в котором участвуют как сильное, так и электромагнитное
взаимодействие. Возможность образования в ядрах кластера ( –частицы) связана с действием
между нуклонами ядра сил спаривания. Связанные nn и pp пары имеют вероятность образовать –
частицу – систему 4 нуклонов с высокой (около 28 МэВ) энергией связи.
Примером двухчастичного распада является также излучение гамма-кванта при переходе
возбужденного ядра на низший энергетический уровень.
Во всех двухчастичных распадах продукты распада имеют “точное” значение энергии, т.е.
дискретный спектр. Однако более глубокое рассмотрение этой проблемы показывает, что спектр
продуктов двухчастичных распадов не является -функцией энергии.
Спектр продуктов распада имеет конечную ширину Г, которая тем больше, чем меньше время
жизни распадающегося ядра или частицы.
Г. =
.
(10.15)
(Эта связь ширины спектра и времени жизни является одной из формулировок соотношения
неопределенностей Гейзенберга для энергии и времени).
Бета-распад
Бета–распад является примером процесса, в котором происходит рождение частиц,
отсутствующих в начальном состоянии системы. ( При бета–распадах ядер происходит вылет из
первичного ядра т.н. кластера, т.е. связанного состояния частиц, которые находились в ядре до
распада).
Примером –распада является распад нейтрона: n
p + e- + e. Среднее время жизни
нейтрона = (886.7+1.9) с. Масса нейтрона больше суммы масс протона и электрона, что и
определяет возможность его спонтанного распада. Массы электронного нейтрино и
антинейтрино меньше 5 эВ и в расчетах бета–распада их можно считать равными 0 . Следует
отметить, что проблема строгого равенства (или неравенства) 0 нейтринных масс представляет
собой важнейшую задачу современной физики. Данные последних экспериментов свидетельствуют
в пользу неравенства нулю масс нейтрино.
В ядрах как нейтроны, так и протоны находятся в связанном состоянии. Спонтанные
превращения связанных в ядре нуклонов друг в друга возможны и определяются соотношением
масс начального ядра и продуктов распада. бета–распад ядер может происходить с вылетом
электронов ( -–распад), с вылетом позитронов ( +–распад) и путем захвата электрона с оболочек
атома (е–захват). Ниже приведены примеры этих процессов:
14
C
11
C
7
14
N + e- +
11
Be + e-
B + e+ +
7
Li +
e,
(
-
e,
(
+
e,
);
);
(10.16)
(e).
Рассмотрим закон сохранения энергии для этих процессов. Напомним, что в таблицах для масс
(или избытков масс
= M - A) приведены массы нейтральных атомов, к которым и следует
свести уравнения для законов сохранения. В дальнейших выкладках массы нейтральных атомов не
помечены индексами, а для масс ядер введен индекс N (nucleus).
Для
–распада:
-
MN(Z,A) = MN(Z+1,A) + me + TN + Te + E0;
M(Z,A)
MN(Z,A) + Zme;
M(Z,A) = M(Z+1,A) + TN + Te + E0.
(10.17)
Для +–распада получим аналогичным образом из уравнения для масс ядер уравнение для масс
нейтральных атомов:
M(Z,A) = M(Z-1,A) + 2me + TN + Te + E0.
(10.18)
Для е-захвата:
M(Z,A) = M(Z-1,A) + TN + Te + E0.
(10.19)
Сравнение двух последних уравнений показывает, что для двух ядер-изобар е-захват имеет менее
“жесткие” энергетические условия, чем +–распад. (В обоих случаях происходит переход одного
из ядер-изобар в другое и превращение одного из протонов в нейтрон). Однако поскольку е–захват
представляет собой захват ядром электрона с атомной оболочки, вероятность этого процесса
пропорциональная вероятности W “пребывания электрона внутри ядра”, т.е.
(10.20)
,
где R- радиус ядра.
Вероятность захвата К-электрона во много раз выше, чем электронов с других атомных
оболочек, т.к. для К-электронов величина интеграла (10.20) больше, чем для электронов других
оболочек.
Законы сохранения энергии для -и +– распадов имеет важную общую особенность. В обоих
случаях число уравнений (закон сохранения энергии + закон сохранения импульса) на единицу
меньше числа неизвестных – кинетических энергий продуктов реакций.
Следствием этого факта является непрерывный спектр продуктов этих процессов распада.
Именно непрерывный характер спектра электронов бета- распада послужил доказательством
существования антинейтрино задолго (В. Паули, 1936) до его непосредственного
экспериментального обнаружения в опыте Райнеса и Коуэна (1953). Спектры продуктов
трехчастичных распадов имеют т.н. “верхнюю границу” – максимальное значение кинетической
энергии. Оно соответствует той кинематической ситуации, когда данная частица имеет
направление импульса, противоположное импульсам обеих других частиц.
Как при альфа –распадах, так и при бета –распадах ядро-продукт часто рождается не в основном,
а в одном из возбужденных состояний. При этом ядро-продукт переходит в основное или более
низкое возбужденное состояние путем излучения гамма –кванта. По какому пути пойдет распад,
определяется вероятностями распадов по разным каналам.
ЧТО ОПРЕДЕЛЯЕТ ВЕРОЯТНОСТЬ РАСПАДА НЕСТАБИЛЬНОГО ЯДРА ИЛИ ЧАСТИЦЫ ?
Вероятность распада является функцией нескольких определяющих ее факторов. Важнейшим
из них является тип взаимодействия, которое ответственно за происходящий распад. Вероятности
процессов, происходящих по тому или иному типу взаимодействия, зависят (как правило) от
квадрата константы взаимодействия. Например, распад -изобары происходит по сильному
взаимодействию, ему соответствует высокая вероятность и малое время жизни
0.5 . 1023
сек.Процессы электромагнитного взаимодействия имеют константу примерно на два порядка
меньше сильных, соответствующие им средние времена жизни выше, чем ~10-19сек. Слабые
взаимодействия (примером которых являются –распады) имеют константу, примерно на 6
порядков меньшую, чем сильные взаимодействия. Поэтому характерные для них средние времена
жизни больше, чем 10-12 сек. Связь констант взаимодействия и вероятностей распадов определяет
инаиболее вероятный путь распада нестабильного ядра или частицы в случаях, когда возможны
несколько таких путей, т.н. каналов распада.
Помимо типа взаимодействий, вероятность распада определяется также
1) кинетической энергией излучаемых частиц и
2) моментами количества движения, уносимыми излучением.
Вероятность распада тем выше, чем больше энергия
перехода. Влияние этого фактора на вероятность распада часто
замаскировано влиянием второго фактора – т.е. уносимого
излучением момента количества движения.
Рассмотрим влияние этих факторов на примере бета –распада
ядра 60Со. Схема бета –распада этого ядра приведена на схеме.
Энергетически наиболее выгоден первый канал, для которого
сумма кинетических энергий, выделяющаяся в бета –распаде,
максимальна.
Однако в действительности практически 100% бета–переходов
происходит по наименее энергетически выгодному пути – бета–распад ядра 60Со идет на второй
возбужденный уровень 60Niсо спином 4+. Для понимания причины того, почему именно этот канал
распада оказывается наиболее вероятным, рассмотрим закон сохранения момента количества
движения для бета–распада ядра 60Со:
60
60
Co
N i + e- +
e
.
.
(10.21)
Здесь
сумма орбитальных моментов, уносимых лептонами бета –распада.
Распишем закон сохранения момента (10.21) для трех каналов бета –распада 60Со и найдем
возможные значения
для каждого канала:
1.
= 4, 5, 6.
2.
= 2, 3, ..., 8.
3.
= 0, 1, ..., 10.
(10.2 2 )
Применение закона сохранения момента количества движения к трем возможным каналам
распада кобальта показывает, что только при бета –распаде на возбужденный уровень со спином 4
орбитальный момент, уносимый электроном и нейтрино, может быть равен нулю. Это т.н.
“разрешенный” переход. Он и осуществляется почти со 100% вероятностью, хотя энергетически из
всех открытых каналов распада он наименее выгоден.
Хотя прямое доказательство того факта, что –распад с нулевым значением орбитального
момента лептонов имеет наибольшую вероятность, осуществляется лишь методами квантовой
теории поля, помочь в понимании этого явления может “классическая” оценка максимального
значения орбитального момента лептонов распада. Одновременно эта оценка служит интересной
иллюстрацией соотношения классической и квантовой теорий.
“Классический” предел для l.
С точки зрения классической физики, максимальное значение орбитального момента лептонов
распада равно L = Rpmax , где R – радиус ядра (например с А = 60), а pmax – максимальное
значение импульса суммы лептонов. В пределе, когда максимальная кинетическая энергия распада
Emax уносится антинейтрино, Emax = pmaxc . Тогда максимальный орбитальный момент (в единицах
) оказывается равным
l = Rpc/
c = RT/
c < 1/10 << 1.
Действительно: L = Rpmax = REmax/c =
lmax .
Отсюда получаем:
.
Орбитальный момент принимает только целые значения, т.е.
предпочтительны распады с llept = 0 .
Такие бета –распады называются разрешенными (“allowed” -decay).
Таким образом, в “классическом” пределе вылет лептонов с ненулевым орбитальным моментом
вообще невозможен, “запрещен”. Квантовый, т.е. реальный, мир имеет гораздо больше
возможностей, но в нем с наибольшей вероятностью происходят именно те события, которые
“разрешены” классической физикой.
Орбитальному моменту 1 соответствует “запрещенный”
переход первого порядка, орбитальному моменту 2 –
“запрещенный” переход второго порядка и т.д. Если другие
каналы распада энергетически невозможны – “закрыты” –
осуществляется “запрещенный” бета - распад, но
вероятность его будет мала, а среднее время жизни и
период полураспада – велики. Примером такого бета –
перехода является распад ядра 40К (см. схему распада).
Спин и четность основного состояния этого ядра равны 4-.
Ядро 40К может испытывать е-захват, превращаясь в 40Ar,
либо - - распад в основное состояние ядра 40Са. Оба канала соответствуют “запрещенным” бета переходам с запретами второго и четвертого порядков. В итоге бета - распад40К происходит с
периодом полураспада 1.25·109 лет. (Сравнение количества аргона-40 и калия-40 в минералах
является методом определения возраста горных пород.)
Суммарный спин, уносимый лептонами при бета-переходе, может быть либо 0, либо 1. Переходы
первого типа (
= 0 ) называются фермиевскими, второго типа (S = 1 ) –гамовтеллеровскими. Многие бета –распады (например, распад нейтрона) являются смесью переходов
первого и второго типов.
24
Рассмотрим распад 24 Na
M g + e- + e .
Закон сохранения момента количества движения системы:
.
Рассчитаем момент вылетевшей из ядра лептонной
пары:
Распады:
1.
= 0 , 1 , ..., 9 .
2.
= 0 , 1 , ..., 7 .
3.
=3,4,5.
Видим, что момент лептонной пары
может быть равен нулю (т.е.
возможенразрешенный бета- распад)
только в первом случае, когда спины
начального и конечного ядра совпадают, а
спины лептонов противоположны (это
т.н.фермиевский переход)
Fermi (F):
.
Если спины лептонов парал л ельны, переход называется гамов-теллеровским
Gamov-Teller (GT):
.
На схеме бета- переходов в группе ядер с А = 14 видна реализация обоих типов распада.
Гамма -излучение. Вероятности гамма - переходов в ядрах
На схеме распада кобальта-60 показано, что в результате –распада ядро никеля-60 образуется
во втором возбужденном состоянии, спин и четность которого 4+. Из этого возбужденного
состояния ядро переходит в основное состояние путем последовательного испускания двух квантов: 4+ 2+ и 2+ 0+; - перехода 4+ 0+ не наблюдается! Для того, чтобы понять причину
этого факта, напомним, что излучаемые в этих переходах - кванты – это кванты
электромагнитного поля. В процессах электромагнитных взаимодействий сохраняется как момент
количества движения J, так и пространственная Р-четность. Поэтому каждый рождающийся в этих
переходах - квант имеет определенные значения этих квантовых чисел. Уносимый - квантом
момент количества движения J называется мультипольностью. Минимальная
мультипольность - квантов равна 1 ( в единицах ). Эту величину называют также спином кванта.
По соотношению мультипольности и четности все электромагнитные переходы делят на два
типа: электрические (ЕJ) и магнитные (МJ):
Тип перехода
Р-четность
ЕJ
МJ
(-1)J
(-1)J+1
Электромагнитный переход 2+ 0+ происходит с излучением - кванта с мультипольностью J
= 2. Четность излучаемого кванта равна +1. Следовательно, это Е2 (электрическое квадрупольное)
излучение.
Вероятность как ЕJ, так и МJ переходов зависит от: мультипольности и типа перехода,
отношения длины волны излучения к радиусу ядра и от внутренней структуры ядра (волновых
функций ядерных состояний). Отвлекаясь от последнего фактора, можно приближенно считать, что
вероятность электрических ЕJ и магнитных МJ переходов
(10.2
3)
Длины волн - квантов, излучаемых ядром, много больше радиусов ядер. Поэтому отношение
радиуса ядра к приведенной длине волны
( R/
(10.24)
) <<1.
(Это означает также, что при расчетах вероятностей излучения фотонов ядрами можно
использовать длинноволновое приближение) .
Из (10.23) и (10.24) следует, что чем выше мультипольность J излучения, тем менее вероятен переход. Это объясняет, почему при - переходе из состояния 4+ никеля-60 реализуется Е2
переход в состояние 2+, а не Е4 переход в основное состояние ядра.
В распадах по каналам сильных взаимодействий проявляется также закон сохранения
изоспина.Рассмотрим нуклонные распады высоковозбужденных состояний ядер с изоспином I 0
в основном состоянии. В ядерных реакциях, например, при неупругом рассеянии электронов,
изоспин ядра может измениться на 1. Проекция изоспина при этом остается прежней, т.к. она
определена числом протонов и нейтронов в ядре.
Рассмотрим распады возбужденных состояний ядер с изоспином, на единицу большим, чем
изоспин основного состояния ядра. Например, распад состояний с изоспином 3/2 ядра 11В, энергия
возбуждения которых выше энергии отделения как протона, так и нейтрона от ядра 11В.
Закон сохранения энергии будет выполнен при распаде возбужденных состояний ядра 11В как по
протонному, так и по нейтронному каналам распада, если энергия возбуждения ядра выше энергий
отделения нуклонов. Эти распады происходят по сильным взаимодействиям, в которых должен
быть выполнен закон сохранения изоспина системы. Изоспин ядра 11В в основном состоянии равен
1/2, проекция изоспина I3 = –1/2. Возбужденные состояния 11В, при той же проекции, могут иметь
изоспин 1/2 и 3/2.(Такие возбужденные состояния возникают, например, при поглощении  –
квантов высокой энергии, поскольку изоспин - кванта может быть как 0, так и 1).
Закон сохранения изоспина в распадах по протонному каналу выполняется для обоих
изоспиновых состояний, но не выполняется для нейтронного распада из состояний с изоспином
3/2:
11
B*
=
10
Be + p; I(10Be) = 1
+
;
= +
;
11
B*
10
=0+
B + n; I(10B) = 0
;
0+
;
Таким образом, нейтронный распад из возбужденных состояний ядра 11В с изоспином 3/2
запрещен правилами отбора по изоспину.
Проявление закона сохранения изоспина в нуклонных распадах иллюстрируется также схемой
рис. 10.5.
Рис. 10.5. Распад 90Zr по протонному и нейтронному каналам.
Лекция 11
Диаграммы Фейнмана
Правила построения диаграмм Фейнмана для электромагнитных и слабых процессов
во многом одинаковы.
1. Линии фермионов не прерываются.
2. Связь фермионов осуществляется бозонами ( -квантами для электромагнитных
и W,Z бозонами для слабых взаимодействий.
3. Каждой вершине соответствует константа взаимодействия.
4. Все дискретные законы сохранения выполняются в каждой вершине.
5. Закон сохранения энергии выполняется в целом для всего процесса, но
нарушается в вершинах – соединяющие две вершины линии фермионов или
бозонов соответствуют т.н.виртуальным частицам, для которых E2 - P2
m2 .
Изобразим ДФ распада мюона μ- e- + e + νμ.
При построении ДФ для этого процесса следует, как и в
случае электромагнитных взаимодействий, учесть, что
главный вклад вносит низшая по числу вершин диаграмма
(рис. 11.1).
Отметим, что в вершинах соблюдаются законы
Рис 11.1.
сохранения лептонных зарядов Lμ и Le.
Согласно современным представлениям, существует 3 отдельных закона сохранения
лептонных зарядов Le, Lμ и Lτ. Экспериментальным доказательством существования
законов сохранения каждого из типов лептонных зарядов по отдельности
является отсутствие распада отрицательного мюона - e- + и аналогичного ему
распада положительного мюона на позитрон и -квант. Эти распады не происходит
именно потому, что лептонный заряд мюона не совпадает с лептонным зарядом
=электрона, т.е. у каждого "поколения" лептонов имеется свой лептонный заряд,
причем
Le
. Экспериментально не обнаружено распадов с нарушением
законов сохранения каждого из лептонных зарядов по отдельности. (Однако
экспериментально установленное превращение нейтрино доказывает, что закон
сохранения лептонных зарядов не "абсолютный".
При лептонных распадах в вершинах сохраняются значения лептонных зарядов.
Отметим, что как в диаграмме распада нейтрона, так и распада мюона обменной
частицей может быть как положительный, так и отрицательный W- бозон. Выбор его
знака зависит от выбора направления линии бозона. (Напомним, что в вершинах
выполняется закон сохранения электрического заряда). Распад нейтрона относится к
т.н. “полулептонным”, или лептон-адронным, распадам – в результате превращения
адронов появляется пара лептонов. Распад мюона – лептонный, адроны в нем не
участвуют. Существуют слабые процессы, в которых лептоны вообще не участвуют,
например, адронные распады
Σ- → n + π-, Ξ- → Λ + π- .
Слабые взаимодействия могут происходить с превращением кварков или лептонов
одногоаромата (flavor) в кварки и лептоны другого. Поэтому в слабых распадах не
сохраняются ни изоспин, ни странность, ни шарм. Нарушаются и законы сохранения
topness и bottomness (beauty).
Слабые распады идут с нарушением аддитивных законов сохранения I,s,c,b,t.
В слабых взаимодействиях нарушаются также мультипликативные законы
сохранения пространственной и зарядовой четностей.
Обмен заряженными W- или W+ промежуточными бозонами связан с изменениями
зарядов фермионов в вершине. “Треххвостка”, состоящая из двух фермионных линий,
вершины и бозонной линии, называется “током”. Обмен заряженными W- или
W+ бозонами реализует заряженные токи. Обмен нейтральным Z –бозоном
соответствует взаимодействию нейтральных токов.
Построим диаграмму Фейнмана распада нейтрона.
Как нейтрон, так и протон – барионы, состоящие из кварков. На рис. 11.2 показаны
два варианта изображения этого распада. Соответствующие обменам W или Z бозонам
“слабые” вершины обладают еще одной особенностью, которой не имеют ни
“сильные”, ни электромагнитные вершины – в этих вершинах может происходить
превращение одного кварка в другой. Поэтому взаимопревращения адронов –
результат слабых взаимодействий. Например, -распад нейтрона происходит благодаря
превращению d-кварка в u-кварк при испускании виртуального W- бозона
Рис. 11.2
На этой диаграмме один из кварков, составляющих нейтрон, d кварк, превращается
благодаря испусканию виртуального W- бозона в u кварк протона. Превращение
кварков из одного типа в другой (изменение “аромата” = ”flavor”) – свойство,
присущее только слабым взаимодействиям.Именно благодаря слабым
взаимодействиям тяжелые барионы и мезоны, содержащие кварки второго и третьего
поколений, превращаются в более легкие барионы и мезоны.
Задача. Изобразить ДФ для распадов нейтрального и заряженного пионов. Оценить
отношение констант слабого и электромагнитного взаимодействий, учитывая, что
среднее время жизни нейтрального π0 мезона равно τ = 8.4·10-17 сек, а для заряженных
пионов τ = 2.6·10-8 сек.
На рис. 3 показаны ДФ электромагнитного распада π0 мезона и слабого распада π+.
Обе ДФ – второго порядка по константам взаимодействия. Вероятности распадов
пропорциональны квадратам констант взаимодействия α. Отношение вероятностей
распадов нейтрального и заряженного пионов обратно отношению их средних времен
жизни. Отсюда
Поскольку константа α электромагнитного взаимодействия равна 1/137, константа
слабого взаимодействия, согласно этой (весьма приближенной) оценке, αw < 10-6.
Задача. Используя значения масс промежуточных бозонов, дать оценку радиуса
слабых взаимодействий.
В слабых взаимодействиях обмен осуществляется путем рождения и поглощения
массивных виртуальных частиц - промежуточных бозонов W+ ,W-, Z0. Оценим,
используя соотношение неопределенности, максимальное расстояние между
фермионами, обменивающимися виртуальным промежуточным бозоном W. Для
виртуальной частицы неопределенность в значении энергии равна ее энергии
покоя: ΔE ≈ Mwc2. Энергия покоя W бозона около 80 ГэВ. Это приводит к очень малому
радиусу слабых взаимодействий:
ΔEΔt ≈ ћ
Rw < cΔt ≈ ћc/Mw ≈ 0.2 ГэВ·Фм/80 ГэВ ≈ 3·10-16 см.
Полученный результат объясняет тот факт, что созданная Ферми в 30-х годах ХХ
века теория слабых взаимодействий, как теория точечного взаимодействия 4-х
фермионов, удовлетворительно объясняла экспериментальные данные -распадов.
Эта оценка радиуса слабого взаимодействия следует идее, впервые использованной в
1935 г. Юкавой, который предсказал приблизительную массу “переносчика” сильного
взаимодействия, основываясь на оценках радиуса ядерных сил (Rnuc~1 1.5 Фм):
ΔEΔt ≈ ћ
Mstrc2 ≈ ћ/Δt = ћc/cΔt < ћc/Rnuc ≈ 200 МэВ.Фм/(1 1.5 Фм) ≈ (135 200)
МэВ.(m(π0) 135 МэВ)
Лекция 11.2
Реакции
Характеристики вероятности реакций
Характеристиками вероятности реакций являются дифференциальное и полное эффективные
сечения реакции.
Дифференциальное эффективное сечение реакции в системе покоя мишени определяется как
(11.1)
Здесь θ - угол рассеяния, dN/dθ - число частиц, вылетевших под этим углом в единицу времени ( в
секунду) в единичном телесном угле. I – величина потока частиц X, падающих на мишень. n –
полное число частиц Y в мишени.
Поскольку размерность числа частиц, рассеянных в единицу времени и в единицу телесного угла
-1
[с стерад-1], размерность потока [I] = [см-2с-1] , а число частиц в мишени – безразмерная величина,
получаем для размерности дифференциального сечения
[d /d ] = [см2/стерад]
(11.2)
Полное (или интегральное) эффективное сечение реакции имеет размерность см2 и является
интегралом от (11.2) по углу рассеяния:
(11.3)
Поскольку эффективные сечения процессов микромира в единицах см2 представляют собой очень
малые величины, они измеряются, как правило, в единицах 1барн = 1b = 10-24 см2.
Кинематика реакций
При расчете кинематических характеристик реакций удобно использовать т.н. релятивистский
инвариант
E2 - P2c2 = m2c4 = inv или E2 - P2 = m2 в системе
= c = 1;
E - полная энергия системы, P - суммарный импульс.
В качестве примера использования инварианта рассмотрим нахождение минимальной
кинетической энергии сталкивающихся частиц в эндотермической реакции
A+B
a + b + c + ...
(11.4)
(В эндотермической реакции сумма масс покоя частиц
mf, образующихся в конечном
состоянии, больше суммы масс покоя первичных частиц
mi.)
В системе покоя мишени (частицы В) минимальная кинетическая энергия ТА, при которой
возможна реакция (11.4), называется порогом реакции. Для расчета порога реакции ТА следует
записать законы сохранения энергии и импульса в двух системах отсчета - лабораторной системе,
связанной с покоящейся частицей В, и в системе центра масс, или центра инерции
ТА + MА + MB =
mf +
Tf ;
А
=
f
(11.5)
(11.6)
Порог реакции соответствует значению кинетической энергии частицы А в случае, когда
кинетические энергии продуктов реакции минимальны. В системе центра масс в этом случае равны
нулю кинетические энергии всех образовавшихся в результате реакции частиц. Одновременно
равны нулю импульсы этих частиц. (Приравнять нулю импульсы и кинетические энергии
продуктов реакции возможно только в системе центра инерции, в которой суммарный импульс по
определению равен нулю). Найдем теперь значения E2 - P2 = inv для левой части уравнения (11.5)
(т.е. в лабораторной системе координат) и правой части уравнения (11.6) (т.е. в системе центра
масс) и приравняем их, используя, таким образом, свойство инвариантности:
.
(11.7)
Из (11.7) получим
(11.8)
.
где
m i = MA + MB .
Иногда вместо формулы (11.8) используется эквивалентное ей выражение
(11.9)
,
где Q =
mi mf - энергия реакции.
Вследствие больших затрат энергии на движение центра масс системы в реакциях на
ускорителях с неподвижной мишенью в настоящее время для получения новых частиц
используются ускорители на встречных пучках – коллайдеры (colliders). Именно коллайдеры
являются основным инструментом современной физики высоких энергий в получении информации
о структуре и свойствах частиц и их взаимодействий.
Определим энергию Eeq частицы в ускорителе с неподвижной мишенью, эквивалентном
коллайдеру с энергиями E одинаковых частиц в пучках.
В ускорителе со встречными пучками одинаковых по массе частиц лабораторная система
совпадает с системой центра масс. В этой системе E2 - P2 = inv = 4E2. В системе координат,
связанной с одной из сталкивающихся частиц (например, частицей 2) энергия частицы 1 есть
искомая энергия Eeq. В этой системе квадрат полной энергии равен (m + m + Eeq)2, а квадрат
полного импульса системы равен квадрату импульса частицы 1 P2 = (p1)2= (Eeq)2 - m2. Приравнивая
значения инвариантов в этих двух системах, получим для энергии частицы в ускорителе с
неподвижной мишенью, эквивалентном коллайдеру
Eeq = 2E2/m - m.
(11.10)
Закон сохранения изоспина в реакциях сильного взаимодействия
В реакциях сильного взаимодействия выполняется закон
сохранения изоспина. Использование этого закона при анализе
ядерных реакций является одним из способов идентификации
значения изоспина. Рассмотрим применение этого закона на
примере ядреных реакций неупругого рассеяния частиц в ядре
азота-14.
Какие состояния из приведенного на схеме спектра ядра 14N
могут быть возбуждены в реакциях неупругого рассеяния (α,α'),
(d,d'), (p,p')?
Анализ закона сохранения изоспина для реакций сильного
взаимодействия
14
N + 4He
14
N* + 4He,
14
N + 2H
14
Рис.11.4
N* + 2H.
приводит к выводу, что уровень с изоспином 1 в этих реакциях не может быть возбужден:
0 + 0 = 0 + I; I = 0.
Однако его возбуждение возможно в реакции фото- и электровозбуждения ядра 14N, а также в
реакции неупругого рассеяния протона:
14
N + 1H 14N* + 1H;
0+
(14N*) +
(14N*) = 0, 1.
;
Как реальный, так и виртуальный γ-квант в процессе рассеяния или поглощения может передать
ядру или частице изоспин, равный 0 либо 1.
Законы сохранения момента и четности в ядерных реакциях
Рассмотрим, как проявляются в реакциях другие законы сохранения - например, закон
сохранения момента импульса и закон сохранения пространственной четности
Р. (Напомним, что в реакциях, протекающих по сильному и электромагнитному
взаимодействиям, Р-четность сохраняется).
Определим возможные значения орбитального момента дейтрона в реакции подхвата p
13
+ C 12C + d, если орбитальный момент протона равен 0.
Закон сохранения момента импульса для данной реакции имеет вид:
+
=0+
+
d
ld = 0, 1, 2.
Закон сохранения Р - четности:
ld - нечетное (odd).
Единственным решением, удовлетворяющим обоим законам сохранения является ld =1.
Таким образом, применение законов сохранения момента импульса и четности дает
возможность установить характеристики частиц.
Анализ законов сохранения помогает в ряде случаев установить наиболее вероятный
канал реакции. Рассмотрим, например, реакцию
Са + 3He
40
Са + 4He.
39
Сравним кинематику этой реакции при получении конечного ядра 39Са в основном
состоянии с JP = 3/2+ и первом возбужденном состоянии с JP = 1/2+. Для первого канала
возможный орбитальный момент альфа-частицы l = 1 либо 2. Из закона сохранения
четности следует, что l = 2. При этом орбитальном моменте центробежный потенциальный
барьер будет тормозить вылет -частицы в реакции. Для второго канала, когда ядропродукт оказывается в возбужденном состоянии с JP=1/2+, орбитальный момент -частицы
равен 0. Реакция по второму каналу оказывается вероятнее реакции по первому каналу.
Механизмы ядерных реакций и зависимость эффективных сечений
реакции от энергии
Время протекания реакции зависит от
механизма реакции. Для ядерных реакций
различают по времени протекания прямые
реакции и реакции черезсоставное ядро.
Прямые реакции происходят за времена,
сравнимые с так называемым ядерным
временем, т.е. временем пролета частицы со
скоростьюv 0.1c через ядро;
1022
сек. Примером прямой реакции является
реакция, p + 13C 12C + d, когда протон,
сечение прямых
взаимодействуя с ядром 12C, “подхватывает” Рис. 11.5.16Зависимость
15
16
реакций
O(p,d)
O
,
O(p,d)15O* от
gs,
нейтрон с внешней оболочки этого ядра.
энергий возбуждения дочернего ядра.
Зависимость эффективных сечений прямых
реакций от энергии взаимодействия проходит через широкий максимум, ширина которого
связана с временем реакции соотношением Г
. Для прямых реакций ширина имеет
порядок величины Г 1 5 МэВ.Примером прямой реакции является реакция подхвата
(pick-up) на ядрах 16О (cм. pис.11.5). Реакция происходит с подхватом протона как в
подоболочки1p1/2 , так и с подоболочки 1p3/2. Во втором случае ядро 15О оказывается в
возбужденном состоянии JP=3/2-. Сечение второй реакции примерно вдвое выше, чем
реакции образования ядра-продукта основном состоянии, что является следствием
оболочечной структуры 16О и различия в числах заполнения подоболочек 1p1/2 и 1p3/2.
В реакциях через составное ядро энергия, переданная налетающей частицей ядру, не
передается непосредственно одной из частиц ядра, как в прямой реакции, а
распределяется по степеням свободы ядра. Составное ядро живет - по ядерным масштабам
– долго, время его жизни t >> - ядерного времени. Испускание частиц из составного
ядра происходит по законам термодинамики. Для зависимости сечения такой реакции от
энергии налетающей частицы характерны узкие пики с ширинами на несколько порядков
меньшими, чем ширины сечений прямых реакций.
Ядерные реакции с нейтронами
Ядерные реакции с нейтронами занимают особое место в прикладной физике ядра. С
помощью этих реакций получают радиоактивные элементы, используемые в настоящее
время в медицине и исследованиях твердых тел. Деление тяжелых ядер нейтронами лежит
в основе работы ядерных реакторов.
Примеры ядерных реакций с нейтронами:
1) 40Са + n
39
2) 60Ni + n
60
3) 197Au + n
4) 235U + n
Са + n
(n,n);
Ni* + n
(n,n');
198
(n, );
135
Au +
Te + 98Zr + 2n (n,f).
Первая и вторая из этих реакций – соответственно – упругое и неупругое рассеяние
нейтрона на ядре. Третья реакция – это т.н. реакция активации. Из стабильного изотопа
получается нестабильный изотоп, который далее испытывает -распад. Четвертая реакция
– реакция вынужденного деления урана-235.
Эффективные сечения всех этих реакций зависят от энергии нейтронов.
На рис.11.6 показана зависимость сечения деления урана от кинетической энергии
нейтронов. Из этих данных следует, что наибольшее сечение реакция деления имеет для
нейтронов наиболее низких кинетических энергий (E < 0.1 МэВ). Аналогичную
зависимость от энергии имеют и сечения реакций активации (типа реакции 3)). Нейтроны,
рождающиеся в нейтронных источниках, имеют кинетические энергии E > 1 МэВ.
В источнике, состоящем из -активного препарата (например, 222Rn) и бериллия,
рождаются нейтроны с кинетическими энергиями 5-6 МэВ:
4
He + 9Be
12
С + n.
Изучение реакций активации может служить способом измерения сечения захвата
тепловых нейтронов ядрами. Например, в реакции активации 3) возникают ядра
радиоактивного золота-198. Они распадаются с вылетом электрона и антинейтрино: 198Au
197
Au + e- + e.
Рассмотрим изменение числа ядер 198Au со временем, начиная от момента начала
облучения197Au:
dN(t) = In dt - N(t)dt;
(11.11)
Здесь I – поток нейтронов, n – число ядер 197Au в образце, – эффективное сечение
реакции активации.
Оценим эффективное сечение активации золота, если при облучении образца массой
0.1 г в потоке тепловых нейтронов I = 1012 нейтронов/см2сек в течение одного часа
получился радиоактивный препарат с активностью J (числом распадов в
секунду) 3.2.108 Бк 3.2.108 сек-1.
Активность равна вероятности распада на число ядер радиоактивного изотопа в
образце
(11.12)
При условии, что время облучения t << T1/2, t = t ln 2/T1/2;
. Учитывая,
что nNA/A, где m – масса активируемого образца, NA –число Авогадро, получаем, что
эффективное сечение активации 198Au составляет
10-22 см2 = 100 б.
Поскольку эффективные сечения процессов микромира в единицах см2 представляют
собой очень малые величины, они измеряются, как правило, в единицах 1 барн = 1 б = 1024
см2. В этой задаче получено эффективное сечение активации золота нейтронами с очень
малыми кинетическими энергиями – тепловыми нейтронами. Нейтроны таких энергий
можно получить путем замедления быстрых нейтронов.
Замедление нейтронов проводится с целью увеличения эффективных сечений реакций
с нейтронами.
Замедление нейтронов происходит за счет реакций упругого рассеяния. При упругом
рассеянии кинетическая энергия нейтрона распределяется между рассеянным нейтроном и
ядром рассеивателя. Из классической кинематики следует, что при рассеянии
движущегося шара на неподвижном той же массы теряется в среднем половина
кинетической энергии первого шара.
EN = EN-1cos2 ;
N
=
N-1/2.
В результате многократных актов упругого рассеяния нейтронов на ядрах замедлителя
кинетическая энергия нейтронов снижается до кинетической энергии теплового движения
вещества замедлителя. При обычных температурах эта энергия равна, Eкин = 3kT/2, где Ттемпература в шкале Кельвина. Используя выражение для константы Больцмана k =
8.62.10-5 эВ/K;T 300K, получим для тепловых энергий нейтрона Eкин 0.04 эВ.
Таким образом, в качестве замедлителя может использоваться любое
водородосодержащее вещество – вода, парафин и т.д. Однако в ряде приложений
нейтронной физики, например, для поддержания цепной реакции деления, важной
характеристикой замедлителя является малое эффективное сечение захвата нейтронов
замедлителем. В этих случаях выбор замедлителя определяется как эффективностью
процесса уменьшения энергии нейтрона в замедлителе, так и низким сечением захвата
нейтронов. По этим характеристикам хорошими замедлителями являются тяжелая вода
(D2O) и графит. ( При использовании в качестве замедлителя воды или других
водородосодержащих веществ происходит значительный захват нейтронов за счет
реакции1H (n, )2H).
При упругом рассеянии нейтронов на более тяжелых ядрах средние потери
кинетических энергий нейтрона меньше, чем при рассеянии на протонах. Например, при
рассеянии нейтронов на ядрах12С N = 4 N-1/5.
Оценим среднее число актов упругого рассеяния нейтрона на протоне, необходимых для
уменьшения кинетической энергии нейтрона от 4 МэВ до энергии теплового движения.
Если в одном акте упругого рассеяния теряется около 1/2 кинетической энергии
нейтрона, то среднее число актов рассеяния, необходимое для замедления, равно 27,
действительно
Цепная реакция деления
Реакция распада атомного ядра на два фрагмента сравнимой массы называется
делением. Деление бывает спонтанным и вынужденным (т.е. вызванным взаимодействием
с налетающей частицей). Реакция деления тяжелых ядер под действием нейтронов лежит в
основе методов получения ядерной энергии. По кривой зависимости удельной энергии
связи ядер от числа нуклонов А можно оценить, какая энергия выделяется при
превращении одного ядра с А = 200 в два ядра с меньшими числа нуклонов. Поскольку
для тяжелых ядер энергия связи на нуклон около 7.5 МэВ, а для средних около 8.5 МэВ,
при делении этого ядра выделится энергия (приблизительно) 200 МэВ.
Основная часть энергии деления превращается в кинетическую энергию “осколков” –
т.е. получившихся в результате деления ядер. (Осколки, как правило, не имеют равных
масс, в среднем отношение из масс равно 1.46). Очень важной особенностью деления
является то, что для целого ряда тяжелых ядер деление (fission) идет с испусканием
нейтронов, как показывает пример вынужденного деления урана-235:
235
U+n
139
Xe + 95Sr + 2n.
(11.13)
Помимо реакции (11.13) вынужденное деление изотопа урана U-235 идет по десяткам
других каналов деления. Важнейшей особенностью реакций вынужденного деления ядер
U-235 является тот факт, что для этого изотопа реакции деления (n,f) не имеют
энергетического порога, т.е. могут происходить на тепловых нейтронах и поэтому имеют
большие эффективные сечения. В среднем на один акт деления изотопа 235U тепловыми
нейтронам появляется 2.43 быстрых нейтрона. Именно те элементы, ядра которых при
вынужденном делении дают 2-4 нейтрона в среднем на каждый акт деления, могут быть
использованы для поддержания цепной реакции деления. Цепная реакция деления будет
поддерживаться в том случае, если число нейтронов в одном поколении выше числа
нейтронов в предыдущем поколении. Реактор АЭС работает при коэффициенте
размножения нейтронов k > 1, поскольку часть родившихся нейтронов теряется за счет
вылета за пределы реактора и за счет других реакций (например, реакций активации (n,
)). Масса делящегося элемента не может быть меньше т.н. критической массы, а размер
активной зоны, в которой происходит деление – меньше критического размера.
Практически используются для получения управляемой цепной реакции деления всего
три изотопа 235U, 238U, 239Pu, причем третий изотоп – 239Pu изготовляется в урановых
ядерных реакторах. Изотоп 238U испытывает деление только под действием быстрых
нейтронов с энергиями не ниже 1.1 МэВ.
Большинство промышленных ядерных реакторов (АЭС) работают на обогащенном
уране, т.е. смеси изотопов 238U и 235U, в которой процентное содержание 235U значительно
превышает долю этого изотопа в естественной смеси (около 5.5 % вместо ~0.7%). Это так
называемый "низкообогащенный" уран. (Смесь изотопов урана с большим, чем 6%,
содержанием 235U - "высокообогащенный" уран - является материалом, используемым для
изготовления ядерного оружия.) Цепная реакция деления под действием тепловых
нейтронов происходит на изотопе 235U. Этот изотоп урана под действием тепловых
нейтронов делится на два “осколка” – ядра с массовыми числами от 72 до 161 и числами
протонов от 30 до 65.
Полное эффективное сечение реакций деления 235U(n,f) для тепловых нейтронов
составляет около 580 барн.
Реакция деления изотопа 238U пороговая, этот изотоп делится только при
энергиях нейтрона выше 1.1 МэВ, т.е.
"быстрыми" нейтронами. Однако
эффективное сечение этой реакции деления
значительно ниже, чем сечение
деления 235U(n,f) под действием тепловых
нейтронов (см. рис.11.6).
Рождающиеся в процессе деления
нейтроны – быстрые. Их необходимо
замедлить до скоростей теплового
движения, чтобы использовать для деления
других ядер 235U – то есть для поддержания
цепной реакции. С этой целью
используются материалы, состоящие из
элементов с малым значением А. Чем
меньше А, тем быстрее происходит
Рис.11.6. Эффективные сечения реакции
замедление нейтронов. Другим
деления изотопов урана под действием
обязательным качеством замедлителя
нейтронов (n,f) как функция кинетической
является низкое значение эффективного
энергии нейтрона. (Логарифмический
сечения поглощения нейтронов. Таким
масштаб по обеим осям).
требованиям соответствует тяжелая вода,
которая используется в гомогенных
реакторах. В гетерогенных реакторах в качестве замедлителя, как правило, используется
графит. В этом случае замедление нейтронов происходит на ядрах углерода.
Одновременно с цепной реакцией деления 235U идет захват нейтронов изотопом 238U с
последующим превращением его в плутоний:
n + 238U 239U + ;
239
U 239Np + e- + e;
239
Np 239Pu + e- + e.
Образующийся в результате работы АЭС плутоний также способен поддерживать
цепную реакцию деления под действием медленных нейтронов. Его используют как в
АЭС, так и при производстве ядерного оружия.
В результате реакций деления появляются нестабильные ядра ("осколки" деления),
“пересыщенные” нейтронами и испытывающие далее -распады и -переходы. Поэтому
продукты деления имеют высокую радиоактивность.
Лекция 12
Нуклон-нуклонные взаимодействия
Рассеяние нейтронов на протонах (т.е. на водородной мишени) является одним из наиболее
информативных методов исследования свойств NN взаимодействий. Расчет углового
распределения сечения нейтрона приводит к преимущественному вылету нейтронов вперед.
Экспериментальная картина противоречит этому результату: вероятности вылета нейтронов вперед
и назад оказываются сравнимыми. Этот эффект – результат обменного взаимодействия между
нуклонами. По современным представлениям все взаимодействия частиц микромира являются
обменными взаимодействиями. Для электромагнитных взаимодействий квантом поля являются кванты, для слабых взаимодействий – W и Z бозоны. Взаимодействия “цветных” кварков
создаются обменом “двуцветными” глюонами. Какие частицы ответственны за сильные
взаимодействия между нуклонами? Если энергии взаимодействия не очень велики, т.е. меньше
энергии покоя нуклонов, NN силы не являются “цветными”. Лишь при очень высоких энергиях
столкновения нуклонов (E > 1000 МэВ), например, в коллайдерах высоких энергий, проявляются
кварковые и глюонные степени свободы возникающих систем частиц, т.е “цветные” силы.
Каковы характерные энергии (или длины волн пробных частиц), при которых проявляются те
или иные степени свободы?
(12.1)
.
При характерных длинах около 5-10 Фм наблюдаются глобальные ядерные эффекты, такие, как
поведение “жидкой капли”, возникающие за счет “дальних” (long-range) корреляций в нуклоннуклонных взаимодействиях. При длинах порядка 1 Фм можно уже наблюдать, что нуклоны
движутся согласованным образом вследствие специфических корреляций на малых расстояниях
(short-range correlation), действующих в N-N силах. На этих же по масштабу характерных длинах
начинают проявляться мезонные степени свободы и возникают возбужденные состояния нуклонов
( и N резонансы). Все эти эффекты ведут к более сложной картине ядра по сравнению с моделью
независимых частиц.
При дальнейшем уменьшении длин (от 1 до 0.2 Фм) мы переходим через тот порог, выше
которого проявляются эффекты квантовой хромодинамики, т.е. преодолеваем барьер между
обычной физикой ядра и физикой высоких энергий. Эта область N-N взаимодействий – область
действия цветных сил.
Дальнейшее обсуждение будет касаться области низких и промежуточных энергий, когда силы
N-N взаимодействий создаются путем обмена “бесцветными” частицами – мезонами.
Структура NN-сил связана со свойствами симметрий сильных взаимодействий.
NN-взаимодействия, при условии “отключения” кулоновских сил, должны быть зарядовонезависимыми, то есть замена протонов на нейтроны и обратно не изменяет свойств ядра. Это
означает, что сильные взаимодействия инвариантны относительно вращений в пространстве
изоспина. Трансляционная инвариантность для двух взаимодействующих нуклонов приводит к
зависимости сил только от относительного расстояния между нуклонами = 1 - 2. Импульс
может входить также только в виде относительного импульса = ( 1 - 2)/2, т.к. движение центра
масс не влияет на NN взаимодействие. Другие ограничения на вид сил следуют из того, что NN
силы не должны меняться от вращения системы координат и сохранять четность. NN
взаимодействия должны быть также инвариантными относительно обращения времени.
В самом общем виде NN – потенциал между двумя нуклонами имеет следующий вид:
(12.2)
где
= ( 1 + 2)( 1 + 2)/2, = 1 - 2, а тензорный член, соответствующий дипольному
взаимодействию между двумя магнитными дипольными моментами на расстоянии r, содержит
тензорный оператор
S12 = 3(
1
)(
2
)/r2 -
2.
1
В (12.2) учтен также квадратичный спин-орбитальный оператор
Q12 = [(
1
)(
2
)+
1
+
2
]/2,
который опускается в большинстве конкретных расчетов.
Радиальная зависимость потенциалов в (12.2) не определена, она должна подчиняться некоторым
феноменологически установленным правилам, связанным с оценкой радиусов сил. Часто
радиальную зависимость на больших расстояниях (R >~1.5 Фм) выбирают в виде потенциала
Юкавы:
Далее будет показано, что такой вид радиальной
зависимости NN – потенциала является следствием мезонного
обмена между нуклонами.
Рассмотрим, какой вклад в NN потенциал дает
однопионный обмен. Однопионный обмен OPEP (one pion
exchange potential) между нуклонами отражает диаграмма
Фейнмана на рис.12.1.
Рис.12.1 Диаграмма Фейнмана для
Гамильтониан взаимодействия между пионом и нуклоном
однопионного взаимодействия
должен быть скаляром. Пион – псевдоскаляр (его спин и
нуклонов.
четность 0-) в обычном пространстве и вектор в пространстве
изоспина. Поэтому простейший гамильтониан имеет вид:
(12.4)
.
Волновая функция пиона должна удовлетворять уравнению Клейна-Гордона с источником,
соответствующим N взаимодействию:
.
V~exp(- r)/r.
Пионное поле, созданное гамильтонианом
(12.5)
(12.3)
N в одной из вершин (точка 1) воздействует на нуклон
в другой из вершин (точка 2). Подстановка решения для пионной функции в (12.4) дает
гамильтониан NN взаимодействия (как результат однопионного обмена) в виде
(12.6)
,
где - масса пиона. Выражение (12.6) содержит центральный и тензорный члены NN сил и
соответствует изовекторной части NN взаимодействия. Спин-орбитальный член в однопионном
обмене не возникает, как и изоскалярные члены потенциала. Радиальная зависимость правильно
описывает NN- потенциал на расстояниях R>~1.2 Фм.
Таким образом, хотя однопионный обменный член отражает ряд свойств NN- потенциала, он не
исчерпывает сложной картины NN- взаимодействий. В формировании реального NN- потенциала
принимают участие и другие мезоны. Вклады одномезонных обменных потенциалов в различные
части NN-потенциала показаны в Таблице 12.1.
Напомним, что мезоны – связанные состояния кварка и антикварка с различными квантовыми
характеристиками. Мезоны и нуклоны – составные системы, связанные “цветными” силами, однако
и нуклоны и мезоны “бесцветны”.
Вклады различных мезонов в обменный потенциал NN взаимодействия
Таблица 12.1. One-Boson-Exchange Potential (OBEP)
Вклады в NN- потенциал
Мезоны
JP
1
ΔI=0
ΔI=1
1
σ1σ2
S12
LS
π,η
0-
η (мал)
π (бол)
-
(мал)
(бол):V<0
-
ρ,ω
1-
ω (бол)
ρ (бол)
(бол):V>0
(мал)
(бол)V>0
(бол)
f0=σ,δ=α0
0+
δ=α0
(бол)V<0
-
-
-
f0=
Отметим некоторые особенности вкладов одномезонных обменных членов в NN-потенциал.
Первый столбец таблицы показывает, какие из мезонов участвуют в формировании членов NNпотенциала, отмеченных в следующих столбцах. Приближенно роль вклада того или иного мезона
в данный член NN-потенциала отмечена значками (мал) = малая и (бол) = большая. Второй столбец
– квантовые числа соответствующиех мезонов. Третий и четвертый столбцы таблицы показывают
роль мезонов в создании изоскалярных и изовекторных членов NN- потенциала. Видна большая
роль ρ-мезонов (векторные мезоны) в формировании центрального и тензорного членов NNпотенциала при V > 0 и роль ρ- и ω-мезонов (векторных мезонов) в создании спин-орбитального LS
члена.
Роль разных мезонов в формировании NN – сил на разных расстояниях между нуклонами
показана на схемах рис. 12.2.
Рис.12.2. Радиальная зависимость мезонных сил для центрального VC ,
тензорного VT и спин-орбитального VLS потеницалов.
Одномезонные обменные члены дают близкую к эксперименту картину NN- потенциала вплоть до
области расстояний между нуклонами r < 0.6 Фм. При очень малых расстояниях между нуклонами
(r < 0.7 Фм) исчезает граница между нуклонами как “кварковыми мешками”, в создании
отталкивательного NN- потенциала на малых расстояниях принимают участие “цветные” силы
взаимодействия между кварками.
Рассмотрим детальнее вклады разных членов в центральный NN- потенциал (первая строка
формулы 12.2).
Каждый из четырех коэффициентов V(r) зависит, как показывает эксперимент, как от энергии
взаимодействия нуклонов, так и от импульса q, передаваемого в процессе обменного
взаимодействия.
На рис. 12.3 показана зависимость разных вкладов в центральный потенциал от энергии
взаимодействия. Рис.12.4. отражает зависимость этих членов от передаваемого в процессе
взаимодействия импульса.
Рис.12.3. Зависимость членов центрального потенциала от
энергии взаимодействия нуклонов
Рис.12.4. Зависимость центрального, спин-орбитального и
тензорного потенциалов от переданного импульса q.
Гиперядра
Пониманию природы обменных сил способствовали исследования гиперядер.
Гиперядрами называют ядра, в которых один или несколько нуклонов замещены странными
барионами.
Основным объектом этих исследований были
гиперядра, спектры которых были хорошо
изучены после того, как в ЦЕРН-е был получен пучок К- мезонов. Реакции, вызываемые Кмезонами, ведут к образованию
и  гиперядер:
К- + n
К- + p
Замена одного из нейтронов
следствиям:
+
+
-
;
.
-
(12.6)
барионом (гипероном) в ядре может приводить к следующим
1. к получению системы, в которой уровень нейтрона занят
частицей – “рождение без
отдачи”;
2. к системе, в которой -гиперон занимает любой другой уровень – квазисвободное
рождение.
Для получения гиперядра первого типа
необходимо организовать такие
кинематические условия, в которых
импульс -гиперона в конечном состоянии
был бы близок к 0. Если наблюдается вылет
пиона вперед, под углом 0о, то при
импульсе каона 530 МэВ/с2 пион получит
весь этот импульс, а -гиперон займет в
ядре ту же орбиту, что и нейтрон.
На рис. 12.5 показаны спектры реакций
(K-, -) на ядрах 16O и 40Ca. Главные
резонансные пики соответствуют
замещению нейтрона  -гипероном на
орбитах 1p3/2 и 1d5/2 “без отдачи”. По оси
абсцисс отложена энергия отделения гиперона от ядра. Средние времена жизни
гиперядер меньше среднего времени
жизни -гиперона ( = 2.5.1010
c), поскольку в ядре, помимо распадов барионов, идут также реакции слабого
взаимодействия + N
N + N.
и
.
Спектроскопия  - гиперядер позволила Рис.12.5. Спектры гиперядер
установить свойства
взаимодействия. На рисунках указана природа пиков спектров гиперядер.
На обоих рисунках доминируют пики, соответствующие замене нуклона на -гиперон в наиболее
заселенной из внешних оболочек каждого ядра. Расстояние между пиками в спектре гиперядра
кислорода-16
, но эта величина практически совпадает с
разностью энергий нейтронных дырок в ядре 16О. ( Энергии дырочных состояний устанавливаются
в реакциях подхвата нейтронов, например, в реакциях (p,d)).
Точно так же разность энергий пиков в спектре гиперядра Са40
дырочных состояний
совпадает с разностью энергий нейтронных
.
Таким образом, из спектров гиперядер следует, что спин-орбитальный потенциал в
очень мал по сравнению с LS-потенциалом в NN силах.
N силах
Анализ расстояния между пиками
дает приближенно расщепление 1s и 1p оболочек в гиперядре кислорода
. Оно составляет
около 11 МэВ. Аналогичная оценка для гиперядра
дает около 9 МэВ. Экспериментальные
данные для расщепления оболочек в обычных ядрах кислорода и кальция выше примерно в
полтора- два раза!
Причиной различия в N и NN взаимодействиях является в первую очередь, нулевой изоспин
- гиперона (I = 0). Взаимодействие между -барионом и нуклоном не может происходить путем
обмена векторными мезонами и ! Вклады в N взаимодействия дают обмены только
мезонами с изоспином 0.
Следует отметить, что аналогичные ограничения действуют при взаимодействии нуклонов в
ядерной материи, поскольку там эффективное взаимодействие нуклонов оказывается созданным
также обменом скалярным и векторным мезонами с изоспином 0. Первый определяет притяжение,
а второй отталкивание нуклонов. Причем в тяжелых ядрах эти вклады почти компенсируются,
приводя к слабо притягивающему потенциалу с глубиной около 50 МэВ, действующему на нуклон
в ядре.
Ядерные гало
Интересным объектом ядерных исследований являются нестабильные ядра с большим избытком
нейтронов. В этих ядрах распределение нейтронов сильно размазано и непохоже на распределение
нейтронов в стабильных ядрах. Это явление, когда ядерная материя оказалась при очень малой
плотности распределенной за обычные пределы локализации ядерной плотности, получило по
аналогии со световыми эффектами название “гало”. За годы после обнаружения, это явление стало
самостоятельным разделом современной физики ядра.
Световые гало возникают в том случае, когда солнечный или лунный свет рассеивается на
ледяных кристаллах воздуха. В космологии понятие “гало” относится к распределенным
невидимым массам, которые окружают большинство галактик. В ядерной физике это понятие
возникло благодаря экспериментам по рассеянию ядер лития со все более возрастающим избытком
нейтронов. Эксперименты показали, что ядра на границе протонной или нейтронной стабильности
(driplines) состоят, по-видимому, из плотного ядра, окруженного - подобно гало - несколькими
нейтронами или протонами. Экспериментально измеренные радиусы остаются почти константами
вплоть до 9Li (Z = 3, N = 6). Нечетно-нечетное ядро10Li (Z = 3, N = 7) не стабильно относительно
развала, но для А = 11 силы спаривания между двумя нейтронами связывают нейтронную пару с
ядром 9Li, создавая ядро 11Li (Z = 3, N = 8), которое имеет период полураспада Т1/2 = 8.2 мс.
Два последних нейтрона очень слабо связаны (граница непрерывного спектра у этого ядра лежит
при 295 кэВ) и находятся, как видно из рис.12.6, на значительном пространственном удалении
от остова 9Li. Это явление проявляется в скачке зависимости радиуса ядра от А от 2.4 до 3.5 Фм.
Рис. 12.6. Радиусы изотопов лития как функции чисел нуклонов.
Li является образцовым примером гало-ядра. В простой квантово-механической картине ядро
представляет собой потенциал, в котором находятся нуклоны. За пределами потенциальной ямы
волновые функции нуклонов экспоненциально спадают. Величина ядра определяется
протяженностью плотности вероятности, т.е. квадратом волновой функции. Обычно стабильные
ядра и ядра вблизи полосы стабильности сильно связаны. Их нуклоны занимают глубоколежащие
состояния в потенциале и плотность вероятности практически ограничена радиусом потенциальной
11
ямы. Но у ядер вблизи границ стабильности (driplines), которые очень слабо связаны и у которых
последние нуклоны находятся на высоколежащих уровнях потенциала, волновая функция далеко
распространяется во внешнее пространство. Соответствующие плотности вероятности определяют
величину гало.
Рассмотрим гало-ядра, по аналогии со слабо связанным дейтроном, в рамках волновой функции
в потенциале Юкава. Тогда волновая функция одного нейтрона или нейтронной пары за пределами
остова (например, 11Li = 9Li 2n) в сферически симметричном потенциале имеет следующий вид:
(12.8)
- параметр экспоненциально спадающей волновой функции, – приведенная масса
системы, а S –энергия отделения одного или двух нейтронов от гало-ядра, последняя для ядра 11Li
составляет 295 кэВ. Плотность вероятности, т.е. квадрат волновой функции в (12.8) и
одновременно протяженность гало, определяется таким образом энергией отделения S.
Среднеквадратичный радиус гало будет составлять
(12.9)
Импульсное распределение гало-нуклонов получается преобразованием Фурье уравнения (12.8)
в координатном пространстве. Для гало-нейтрона в состоянии с l = 0 (s-state) трехмерное
распределение по импульсам имеет вид:
Это выражение отражает соотношение неопределенности Гейзенберга. Широкое
пространственное распределение волновой функции приводит к узкому импульсному
распределению в гало-ядрах. Изменение – относительно стабильных ядер – параметров
потенциальной ямы приводит к перераспределению порядка следования подоболочек. На рис.12.7
показано распределение нуклонов в ядре 11Li. Волновая функция 11Li имеет вид
Рис. 12.7. Распределение внешних нуклонов в ядре 11Li.