Корректирующее устройство

Вариант №10
Дано:
σмакс = 11%
Tпмакс = 0.038 с
Eмакс = 0.14 мкм
Данные, взятые из предыдущей части №1:
Параметры звеньев:
ЦАП:
1. 𝐾цап = 0.2
2. 𝜏 = 0.007 𝑐
Усилитель:
3. 𝐾У = 100
Двигатель:
4. 𝐾Д = 0.20
1
сВ
5. 𝑅Я = 10 Ом
6. 𝐿Я = 5,5 ∙ 10−2 Гн
7. 𝑇 Э = 5,5 ∙ 10−3
8. 𝑇𝑀 = 0.026 с.
Редуктор:
9. 𝑖 = 20
10. 𝑎 = 10−6 м
Позиционный датчик:
11. 𝑅𝐾 = 10 ∙ 10−3 м
Лазерная головка:
Kг  62500
Kобщ 
Kцап  Kун  Kд  Rк  Kг
i
КОБЩ =125
Передаточная функция неизменяемой части:
Kобщ
W ( s) 
 Tм  s  1   Tэ  s  1  s
Параметры внешнего воздействия:
Ступенчатое,
NЗАД = 8000 шаг.
Примечание: все вычисления проводятся с помощью пакета MatLab.
10. Построить корневой годограф, используя его свойства, сравнить с КГ полученным
на ЭВМ, и определить границы устойчивости системы по коэффициенту усиления.
Передаточную функцию разомкнутой системы W(s):
𝑊р (𝑠) =
W r( s ) float 4 
125
𝑠 ∙ (0.0055 ∙ 𝑠 + 1) ∙ (0.026 ∙ 𝑠 + 1)
P1= 0
P2=-181.82
P3=-38.46
n=3, m=0
1. Порядок системы n=3, => 3 ветви.
2. 𝑛 − 𝑚 = 3 − 0 = 3, следовательно ветви уходят в бесконечность
3. Точка пересечения асимптот: 𝜎𝑎 =
4. Угол расхождения асимптот 𝜃𝑎 =
∑ 𝜆𝑃𝑖 −∑ 𝜆𝑁𝑖
𝑛−𝑚
(2𝜈+1)∗𝜋
𝑛−𝑚
𝜀
=
=
0−181.82−38.46
(2𝜈+1)∗𝜋
𝜀
3−0
3−0
= −73.43
= 00 ; 600 ; −600
𝜀
5. Точка схода с действительной оси 𝐶𝑥−𝑃 + 𝐶𝑥−𝑃 + 𝐶𝑥−𝑃 = 0 𝐶𝑥 = −18.11
1
2
3
Рис.1 Корневой годограф
125.0 e
 0.007 s
s  ( 0.0055 s  1.0)  ( 0.026 s  1.0)
Рис.2 Корневой годограф, полученный на MatLab (SISO-Design Tool)
Определим границу устойчивости по коэффициенту усиления
𝐷(𝑠) = 𝑊р (𝑠) + 1 = 0
𝐾
+1=0
𝑠 ∙ (0.0055 ∙ 𝑠 + 1) ∙ (0.026 ∙ 𝑠 + 1)
0.000143𝑠 3 + 0.0315𝑠 2 + 𝑠 + 𝐾 = 0
𝑎3 = 0.00012
𝑎2 = 0.0315
𝑎1 = 1
𝑎0 = 𝐾
По критерию Раусса
С11=a3=0
C11=a3=0.000143
C21=a2=0.0315
𝐶11
𝐶31
= 1 − 0.00454𝐾
𝑙3 =
= 4.54 ∙ 10−3
𝐶21
𝐶21
0.0315
0.0315
𝑙4 =
=
𝐶41 = 𝐾 −
∙0=𝐾
𝐶31 1 − 0.00454𝐾
1 − 0.00454𝐾
𝐾>0
{
1 − 0.00454𝐾 > 0
𝐾КР = 220.26,т.е. K < 220.26
Из графика КГ, построенного в MatLab, определяем 𝜔КР = 83.6
рад
с
.
C12=a1=1
C22=K
C32=0
11. Провести методом ЛЧХ синтез корректирующего устройства, обеспечивающего
перерегулирование, не превосходящее σmax, время переходного процесса не более Tпmax,
установившаяся ошибка по положению не должна превышать Emax, Ошибка при
обработке постоянного возмущения, действующего на выходе АЦП, должна быть равна 0.
σмакс = 11%
Tпмакс = 0.038 с
Eмакс = 0.14 мкм
Корректирующее
Передаточная
функция - W(s)
устройство Wку(s)
Рис.3 Схема включения корректирующего устройства
Передаточная функция:
125
𝑊р (𝑠) =
𝑠 ∙ (0.0055 ∙ 𝑠 + 1) ∙ (0.026 ∙ 𝑠 + 1)
Определим 𝜔ср желаемую:
𝐵(11%)
2𝜋
рад
𝜔срж =
=
= 165,35
𝑇пмакс
0,038
с
Определим нижнюю и верхнюю граничные частоты:
𝜔н = (0,14 … 0,18)𝜔срж = 0,18 𝜔срж = 29,76 рад/с
𝜔в = (6 … 7)𝜔срж = 6 𝜔срж = 992,1 рад/с
Чтобы установившаяся ошибка не превышала 𝐸макс , найдем необходимый коэффициент
усиления:
𝑒макс = 0,14 ∙ 10−6 ∙ 62500 = 0,875 ∙ 10−2 шагов
𝐾тр = 𝑒
1
макс
1
= 0,875 ∙10−2 = 114,29;
ЛЧХ корректирующего устройства получим как разность желаемой и исходной ЛЧХ.
Для того, чтобы полученное корректирующее устройство можно было физически реализовать,
повысим коэффициент усиления исходной системы из условия 20lg(K`)=87дБ.
Тогда K`=1087/20 = 125*179 = 22375.
12. Реализовать полученное корректирующее устройство с помощью аналоговых
средств, выбрать параметры RC-цепи, уточнить положение частот сопряжения, получить
передаточную функцию скорректированной системы, составить функциональную
систему включения КУ в систему управления.
В качестве схемы корректирующего устройства возьмем схему:
Рис.3 Корректирующее устройство.
Передаточная функция корректирующего устройства:
𝐾(1+𝜏1 𝑠)(1+𝜏2 𝑠)
, где
𝑎0 𝑠2 +𝑎1 𝑠+1
𝑅3𝑅4
𝑘 = 𝑅1(𝑅2+𝑅3+𝑅4)+𝑅3(𝑅2+𝑅4); 𝜏1 = 𝑅1 𝐶1;
𝜏2 = 𝑅2 𝐶2 ;
𝑅1𝑅3(𝑅2+𝑅4)𝐶1+𝑅2(𝑅1(𝑅3+𝑅4)+𝑅3𝑅4)𝐶2
𝑎0 = 𝑘𝜏1 𝜏2 ;
𝑎1 =
𝑅1(𝑅2+𝑅3+𝑅4)+𝑅3(𝑅2+𝑅4)
𝑊ку (𝑠) =
Согласно полученной ЛЧХ, параметры корректирующего устройства:
1
𝜏1
20𝑙𝑔𝑘 = −46;
= 24,0 𝑐 −1;
1
𝜏2
= 181,8 𝑐 −1 ;
1
𝑇𝑎
= 794,3 𝑐 −1 ;
Отсюда получим требования для R1, R2, R3, R4, C1, C2:
𝑘 = 5,01 ∗ 10−3
𝜏1 = 𝑅1 𝐶1 = 0,042
𝜏2 = 𝑅2 𝐶2 = 0,006
;
𝑇𝑎 𝑇𝑏 = 𝑎0 = 𝑘𝜏1 𝜏2
{𝑇𝑎 +𝑇𝑏 = 𝑎1 =
𝑅1𝑅3(𝑅2+𝑅4)𝐶1+𝑅2(𝑅1(𝑅3+𝑅4)+𝑅3𝑅4)𝐶2
𝑅1(𝑅2+𝑅3+𝑅4)+𝑅3(𝑅2+𝑅4)
Задавшись значениями R1 =10МОм, R2=100МОм вычислим остальные значения резисторов и
конденсаторов:
R3 = 256,92 кОм, R4 = 25.06 МОм, С1 = 4.2 нФ, С2 = 60 пФ
Выбираем значения сопротивлений и ёмкостей из стандартного ряда:
R1= 10 МОм; R2=100Мом; R3 = 270 кОм; R4 = 25 МОм; С1 = 4.2 нФ; С2 = 60 пФ.
Уточним положение частот сопряжения:
1
𝜔1 = 𝜏 = 23,81
1
рад
;
с
1
𝜔2 = 𝜏 = 166,667
2
рад
;
с
1
𝜔3 = 𝑇 = 787,4
𝑎
рад
;
с
1
𝜔4 = 𝑇 = 1000
𝑏
рад
с
Передаточная функция скорректированной системы:
(1+0,042𝑠)(1+0,006𝑠)
125∗179
𝑊(𝑠) = 𝑠(0,0055𝑠+1)(0,026𝑠+1) ∗ 5,25 ∗ 10−3 (1+0,00127𝑠)(1+0,001𝑠):
Функциональная схема включения КУ в систему управления:
Контроллер
ЦАП
Усилитель
Лазерная
головка
Позиционный
датчик
Корректирующее
устройство
Шаговый
двигатель
Редуктор
13. Провести анализ спроектированной системы одним из доступных способов: путем расчета
переходного процесса на ЭВМ, путем цифро-аналогового моделирования, путем
моделирования на АВМ, графоаналитическим методом построения переходного процесса.
Проведем анализ системы на ЭВМ путем расчета переходного процесса.
Реакция системы на ступенчатое воздействие без КУ (построение в SisoTool):
Реакция системы на ступенчатое воздействие с КУ:
Время переходного процесса меньше чем 𝑇пмакс = 0.038
Перерегулирование не превышает 𝜎макс = 11%.(Переходной процесс монотонный)
14. Выбрать шаг квантования по времени Т по теореме В.А. Котельникова и число
разрдов микропроцессора N, обеспечивающх выполнение требования качества,
приведённых в пункте 11.
𝜎макс = 11 %
𝑇пмакс = 0,038 с
𝐸макс = 0,14 мкм
𝑁зад = 8000 шагов
По построенной ЛЧХ находим частоту среза: 𝜔ср = 72,44 рад/с
По теореме Котельникова, период квантования должен удовлетворять равенству:
1
𝜋
𝜏=
=
= 0,043с
2𝑓ср 𝜔ср
Определяем число разрядов микропроцессора:
𝑁зад (1 + 𝜎макс )
8000 ∗ 1.11
2𝑁−2 =
=
= 1014857,14;
𝐸макс ∙ 62500
0.14 ∗ 10−6 ∗ 62500
Отсюда, 𝑁 = 22.
15. Провести методом ЛЧХ синтез дискретного корректирующего устройства.
Передаточная функция системы:
𝑊р (𝑠) =
125
𝑠 ∙ (0.0055 ∙ 𝑠 + 1) ∙ (0.026 ∙ 𝑠 + 1)
Передаточная функция экстраполятора:
𝑊э (𝑠) =
1 − 𝑒 −𝑇𝑠
,
𝑠
𝑇 = 0,043 с
𝑊н(𝑠) = 𝑊э(𝑠) ∗ 𝑊р(𝑠) =
1 − 𝑒 −𝑇𝑠
125
∙
𝑠
𝑠 ∙ (0.0055 ∙ 𝑠 + 1) ∙ (0.026 ∙ 𝑠 + 1)
Проведем Z преобразование.
Получим:
𝑊н(𝑧) =
0.088423 ∙ (𝑧 + 2.3) ∙ (𝑧 + 0.1459)
(𝑧 − 1) ∙ (𝑧 − 0.6807) ∙ (𝑧 − 0.1623)
1+υ
Подставим z = 1−υ получим
𝑊н(𝜐) =
0.0251 ∙ (𝜐 − 1) ∙ (𝜐 − 2.54) ∙ (𝜐 + 1.34)
𝜐 ∙ (𝜐 + 0.19) ∙ (𝜐 + 0.72)
Определим параметры желаемой ЛЧХ:
𝜔срж = 165,35
рад
с
𝜔сржел ∙ 𝑇
𝜐сржел = 𝑡𝑔 (
) = 0.439
2
𝑣н = (0,14 … 0,17)𝑣срж = 0,17𝑣срж = 0,07463
𝑣в = (6 … 7)𝑣срж = 6𝑣срж = 2,634
Данную ЛЧХ можно описать следующей передаточной функцией:
𝑊ку(𝜐) =
𝐾 ∙ (𝜏1′ ∙ 𝜐 + 1) ∙ (𝜏2′ ∙ 𝜐 + 1)
(𝑇𝑎′ ∙ 𝜐 + 1) ∙ (𝑇𝑏′ ∙ 𝜐 + 1)
=
0.56 ∙ (5.26 ∙ 𝜐 + 1) ∙ (1.39 ∙ 𝜐 + 1)
(0.75 ∙ 𝜐 + 1) ∙ (𝜐 + 1)
𝑧−1
Подставим 𝜐 = 𝑧+1.
Получим
𝑊ку(𝑧) =
14.9614 − 12.6228 ∙ 𝑧 −1 + 1.6614 ∙ 𝑧 −2
3.5 − 0.5 ∙ 𝑧 −1
16. Составить разностные уравнения и программу реализации дискретного
корректрующего
устройства
на
ЭВМ,
функциональную
схему
включения
микропроцессора в систему управления.
𝑊ку(𝑧) =
14.9614 − 12.6228 ∙ 𝑧 −1 + 1.6614 ∙ 𝑧 −2
3.5 − 0.5 ∙ 𝑧 −1
Откуда получаем
14.9614 ∙ 𝑒[𝑘𝑇] − 12.6228 ∙ 𝑒[(𝑘 − 1)𝑇] + 1.6614 ∙ 𝑒[(𝑘 − 2)𝑇] = 3.5 ∙ 𝑟[𝑘𝑇] − 0.5 ∙ 𝑟[(𝑘 − 1)𝑇]
Программа на ЭВМ будет реализовывать данное разностное уравнение.
Функциональная схема включения микропроцессора в систему управления:
Контроллер
Микропроцессор
Лазерная
головка
Позиционный
датчик
ЦАП
Усилитель
Шаговый
двигатель
Редуктор
17. Провести анализ спроектированной системы одним из доступных способов: путём
расчёта переходного процесса на ЭВМ, путём цифро-аналогового моделирования, путём
моделирования на АВМ, графоаналитическим методом построения переходного процесса.
Передаточная функция системы с дискретным КУ:
𝑊(𝑧) = 𝑊н (𝑧) ∗ 𝑊ку (𝑧) =
0.088423 ∙ (𝑧 + 2.3) ∙ (𝑧 + 0.1459) 14.9614 − 12.6228 ∙ 𝑧 −1 + 1.6614 ∙ 𝑧 −2
∗
(𝑧 − 1) ∙ (𝑧 − 0.6807) ∙ (𝑧 − 0.1623)
3.5 − 0.5 ∙ 𝑧 −1
Проведем анализ системы путем расчета переходного процесса на ЭВМ.
По графику видно, что время переходного процесса меньше чем 𝑇пмакс = 0.038, а
перерегулирование не превышает 𝜎макс = 11%. (Переходной процесс монотонный)
18. Провести анализ спроектированной системы с учётом нелинейности статической
характеристики редуктора и построить фазовый портрет системы.
По графику видно, что автоколебаний в системе нет.
19. Сравнить результаты, полученные при проектировании САУ в части 1,2 и в части
3, сделать вывод и дать рекомендации по проектированию.
Система с дискретным КУ обладает потенциально меньшим временем переходного
процесса. Преимущество дискретного устройства состоит в том, что с его помощью можно
реализовать переходную характеристику КУ практически любой сложности. Аналоговое КУ
значительно проще, дешевле, и в ряде случаев не менее точно.