Вычисление бифуркационных параметров

НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ ЦИФРОВЫХ
СИСТЕМ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ
ЧАСТОТЫ 1
Кудряшова Е. В., кафедра прикладной кибернетики СПбГУ,
kudryashova_lena@mail.ru
Кузнецова О. А., кафедра прикладной кибернетики СПбГУ,
o_a_kuznetsova@mail.ru
Селеджи С. М., кафедра прикладной кибернетики СПбГУ,
ssm@SS1563.spb.edu
Аннотация
Проблемы синхронизации систем возникают в
различных областях науки и техники, в таких, например, как
системы фазовой автоподстройки (ФАП). В работе
рассматриваются бифуркационные эффекты, возникающие в
одномерных
дискретных
динамических
системах,
описывающих
фазовую
автоподстройку
частоты
в
простейших цифровых системах ФАП.
В
работе
представлены
численные
значения
бифуркационных параметров такой системы, вычисленные с
помощью
специальных
аналитических
методов
и
современных математических пакетов длинных чисел. Кроме
того, показано, что для рассмотренного неунимодального
отображения
наблюдается
эффект
сходимости
бифуркационных значений параметра системы, аналогичный
эффекту Фейгенбаума для унимодальных отображений.
Введение
В системах фазовой автоподстройки (ФАП), используемых для
синхронизации и генерации сигналов в радиосвязи, телекоммуникациях и
компьютерных архитектурах, возникают проблемы синхронизации частот
[1-19]. Качественный анализ уравнений ФАП позволяет определить
необходимые условия работы системы (при которых, например, имеются
синхронизация частот и коррекция расфазировок) [20,21]. В предложенной
работе рассматривается дискретное одномерное неунимодальное
1
Работа выполнена при финансовой поддержке проектов Совета по грантам при
Президенте РФ, Минобрнауки РФ, РФФИ и Санкт-Петербургского
государственного университета.
отображение, описывающее работу цифровой ФАП.
В одной из первых работ, посвященных анализу цифровых ФАП [22],
был рассмотрен алгоритм исследования периодических решений и
показано, что даже в простой дискретной модели ФАП наблюдаются
бифуркационные явления, приводящие к появлению новых устойчивых
периодических решений и изменению их периода. В дальнейшем в работах
[23] для таких систем была рассмотрена модель перехода к хаосу через
каскад удвоения периода. Объединение и развитие этих идей в работах Г.А.
Леонова и С.М. Селеджи [20, 21] позволило построить бифуркационное
дерево перехода к хаосу через каскад удвоения периода. Для этого
аналитически были получены первые несколько бифуркационных
значений параметров, в то время как расчет последующих
бифуркационных значений и изучение хаоса потребовали применения
компьютерного моделирования. Эти вычисления выявили эффект
аналогичный эффекту Фейгенбаума для унимодальных отображений [20,
24, 25]. Позднее в работах [26-28] для получения более точных численных
значений бифуркационных параметров рассматриваемой системы
потребовалось применение качественной теории динамических систем,
специальных аналитических методов и современных математических
пакетов длинных чисел.
Вычисление бифуркационных параметров
Рассмотрим блок-схему простейшей дискретной ФАП с аналоговым
входом (См. Рис. 1).
Рисунок 1: Функциональная блок-схема ФАП
Здесь эталонный генератор OSCmaster вырабатывает синусоидальный
сигнал:
где A - амплитуда,
- сдвиг по фазе,
- частота,
- фаза входного сигнала,
- период входного сигнала.
Сигнал
поступает на Sampler (дискретизатор) и преобразуется в
дискретный сигнал
в моменты времени
, определяемые
импульсами управляемого генератора DCO. Выход дискретизатора
пропускается через фильтр (Filter), и оставшийся на выходе фильтра
сигнал
поступает на вход управляемого генератора DCO.
Случай совпадения начальных частот эталонного и подстраиваемого
генераторов имеет большое значение в инженерной практике дискретных
ФАП [20, 29]. Определяя значение сдвига по фазе в интервале [-π, π] с
учетом кратности 2π, можно в этом случае, согласно работам [20, 21],
перейти к уравнению:
где r – положительное число.
В работе [20] указана верхняя граница параметра , при котором
система (2) является отображением отрезка в себя, и аналитически
получены первые три бифуркационных параметра системы
,
,
. Было доказано, что при
система является глобально
асимптотически устойчивой, параметры и соответствуют бифуркации
удвоения периода, а параметр соответствует бифуркации “расщепления”
цикла: глобально устойчивый цикл периода 2 теряет устойчивость и
рождаются два локально устойчивых цикла периода 2. В дальнейшем
система переходит к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода.
Явление перехода к хаосу через бифуркации удвоения периода хорошо
изучено для целого класса отображений отрезка в себя. В 1975 г. при
исследовании бифуркаций удвоения периода логистического отображения
М. Фейгенбаум заметил, что для последовательных бифуркационных
значений параметра λ справедлива сходимость:
и что аналогичный эффект имеет место для многих других отображений. В
дальнейшем развитие теории ренорм-групп позволило доказать
универсальность открытого Фейгенбаумом эффекта для одномерных
однопараметрических унимодальных отображений отрезка в себя [30-34].
Отметим, что функция
, представленная на Рис. 2,
не является унимодальной или бимодальной. Здесь
является нечетной
функцией и имеет два локальных экстремума
, а последовательность
, начатая в точке
, не проходит через точки локальных экстремумов
и
- последовательность отображена на рисунке в виде линий
последовательно
соединяющих
точки
Рисунок 2: Отображение
Применение современных вычислительных пакетов, процедуры
вычисления мультипликаторов и теории переходных процессов позволило
получить численно первые 15 бифуркационных значений параметра
системы (2), которые представлены в Таблице 1. Для полученных
бифуркационных значений
были также получены числа Фейгенбаума,
которые представлены в последней колонке таблицы.
Δj
N
T
rj
1
2
3
4
5
6
½
2
½
Π
3.75973373258170937649
2/4
3.44522922330131157542194433174191398
4,624046596639769740149960075495
4/8
3.51289246475156628374774642737133234
4,660150061404217425922602823766
8/16
3.52752537124074929576590188097963033
4,6671810989023526532815779401952
16/32
3.53066537881483452997938899118568510
4,668778772473917134313391117376
7
8
9
10
11
12
13
14
15
32/64
3.53133816341597711569260339404602099
4,669109815433731376068465041681
64/128
3.53148226632466689433857302550273505
4,6691821019439780251939905083339
128/256
3.53151312936160242470979217662168692
4,6691974124177884207133643832507
256/512
3.53151973930661242566549959454182848
4,6692007126313128442197371622798
512/1024
3.53152115495569002125505077904545367
4,6692014168180717991991829239267
1024/2048
3.53152145814442932002148295601459890
4,669201567957076525629797957062
2048/4096
3.53152152307817542202214372051946438
4,6692016002863903548904303401188
4096/8192
3.53152153698499549756050390115891712
8192/16384
3.53152153996341049568039036147220653
Таблица 1: Бифуркационные значения и числа Фейгенбаума дискретной
динамической системы
Заключение
Из полученных значений видно, что здесь для неунимодального
отображения (2) наблюдается эффект сходимости бифуркационных
значений параметра
, аналогичный эффекту Фейгенбаума для
унимодальных отображений.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, S.M. Seledzhi. Nonlinear Analysis and
Design of Phase-Locked Loops (chapter in "Automation control – Theory
and Practice)// In-Tech. – 2009. – Pp. 89-114.
Kuznetsov N.V. Nonlinear Analysis of Phase Synchronization Systems:
Phase-locked Loop and Costas Loop// Seminar series on Complex systems,
networks, control and chaos. – City University of Hong Kong. – 2012. –
Invited lecture.
G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev. Analytical
method for computation of phase-detector characteristic// IEEE
Transactions on Circuits and Systems Part II. – Express Briefs. – Vol. 59. –
Num. 10. – 2012. – Pp. 633-637.
G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev. Differential
equations of Costas loop// Doklady Mathematics. – 86(2). – 2012. – Pp.
723–728.
G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev.
Computation of Phase Detector Characteristics in Synchronization
Systems// Doklady Mathematics. – 2011. – Vol. 84. – No. 1. – Pp. 586-590.
N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev. Analytical
methods for computation of phase-detector characteristics and PLL design//
ISSCS 2011 – IEEE International Symposium on Signals, Circuits and
Systems, Proceedings. – 2011. – Art. num. 5978639. – Pp.7-10.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
G.A. Leonov, S.M. Seledzhi, N.V. Kuznetsov, P. Neittaanmäki. Asymptotic
analysis of phase control system for clocks in multiprocessor arrays//
ICINCO 2010 - Proceedings of the 7th International Conference on
Informatics in Control, Automation and Robotics. – Vol. 3. – 2010. – Pp.
99-102.
N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, P. Neittaanmäki, S.M. Seledzhi, M.V.
Yuldashev, R.V. Yuldashev. Nonlinear Analysis of Phase-locked loop//
IFAC Proc. Volumes (IFAC-PapersOnline). – 4(1). – 2010. – Pp. 34-38.
N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, S.M. Seledzhi. Nonlinear analysis of the
Costas loop and phase-locked loop with squarer// Proceedings of Eleventh
IASTED International Conference Signal and Image Processing. – Vol. 654.
– 2009. – Pp. 1-7. – ACTA Press.
N. Kuznetsov, G. Leonov, S. Seledzhi. Phase Locked Loops Design And
Analysis// ICINCO 2008 - 5th International Conference on Informatics in
Control, Automation and Robotics. – Proceedings Volume SPSMC. – 2008.
– Pp. 114-118.
N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, S.M. Seledzhi. Analysis of phase-locked
systems with discontinuous characteristics of the phase detectors// IFAC
Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). – 1(1). – 2006. – Pp. 107-112.
Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmäki P., Seledzhi S.M., Yuldashev
M.V., Yuldashev R.V. Simulation of phase-locked loops in phase-frequency
domain// International Congress on Ultra Modern Telecommunications and
Control Systems and Workshops, – 2012. – Pp. 351-356. – Art. no.
6459692.
Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmäki P., Seledzhi S.M., Yuldashev
M.V., Yuldashev R.V. Nonlinear mathematical models of Costas Loop for
general waveform of input signal// IEEE 4th International Conference on
Nonlinear Science and Complexity, NSC 2012 Proceedings. – 2012. – Pp.
109-112.
Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Nonlinear
analysis of Costas loop circuit// ICINCO 2012 - Proceedings of the 9th
International Conference on Informatics in Control, Automation and
Robotics. – 2012. – Vol. 1. – Pp. 557-560.
Kuznetsov N.V., Neittaanmäki P., Leonov G.A., Seledzhi S.M., Yuldashev
M.V., Yuldashev R.V. High-frequency analysis of phase-locked loop and
phase detector characteristic computation// ICINCO 2011 - Proceedings of
the 8th International Conference on Informatics in Control, Automation and
Robotics. – 2011. – Vol. 1. – Pp. 272-278.
Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Seledzhi S.M. Phase synchronization and
control of clock generators// 7th Seminar of Finnish-Russian University
Cooperation in Telecommunications (FRUCT) Program. –2010. –Pp. 7682.
Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmäki P., Seledzhi S.M., Yuldashev
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
M.V., Yuldashev R.V. Nonlinear analysis of Phase-Locked Loop//
Mathematical and Numerical Modeling in Science and Technology. –
2010.
Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Seledzhi S.M., Neittaanmäki P. Analysis
and design of computer architecture circuits with controllable delay line//
ICINCO 2009 - 6th International Conference on Informatics in Control,
Automation and Robotics. –2009. – Vol. 3 SPSMC. – Pp. 221-224.
D. Abramovitch Phase-locked loops: A control centric tutorial// In
Proceedings of the American Control Conference. –1. – 2002. – Pp. 1–15.
– Plenary lecture.
Леонов Г.А., Селеджи С.М. Системы фазовой синхронизации в
аналоговой и цифровой схемотехнике// СПб. – Невский диалект. –
2002.
Leonov G.A., Seledzhi S.M. Stability and bifurcations of phase-locked
loops for digital signal processors// International Journal of Bifurcation
and Chaos.. – 2005. – 15(4) . – Pp. 1347-1360.
Osborne H.C. Stability analysis of an Nth power digital phase-locked loop Part 1: First-order DPLL// IEEE Transactions on Communications. –
1980. – Vol. 28. – No 8. – Pp. 1343-1354.
Белых В.Н., Максаков В.П. Разностные уравнения и динамика
цифровой системы фазовой синхронизации первого порядка//
Радиотехника и электроника. – 1979. – 24(5) . – С. 958-964.
Abramovich S., Kudryashova E., Leonov G.A., Sugden S. Discrete PhaseLocked Loop Systems and Spreadsheets// Spreadsheets in Education
(eJSiE). – 2005. – Volume 2. – Issue 1.
Saleh R. Al-Araji, Zahir M. Hussain, Mahmoud A. Al-Qutayri. Digital
Phase Lock Loops: Architectures and Applications // Springer. – 2006.
Кудряшова Е.В. Вычисление бифуркационных параметров для
цифровой системы фазовой автоподстройки// Вестник С.-Петерб. унта. – 2009. – Сер. 10. – Вып. 3. – C. 78–81.
Kudryashova E.V. Cycles in continuous and discrete dynamical systems:
Computations, computer-assisted proofs, and computer experiments//
Jyvaskyla Univ. Printing House. – 2009.
Шурухова Д.К. Аппроксимация бифуркационных параметров
удвоения периода для дискретных систем фазовой синхронизации//
Дипломная работа. – СПбГУ. – 2012.
Banerjee T., Sarkar B.C. Chaos, intermittency and control of bifurcation in
a ZC2-DPLL // Int. J. Electron. Commun. – 2009. – 96(7). – Pp. 717-732.
Cvitanovich P. Universality in Chaos// 2nd Edition. – Adam Hilder Publ. –
1989.
Feigenbaum M. J. Quantitative universality for a class of nonlinear
transformations// Journal of Statistical Physics. – 1978. – 19. – Pp. 25-52.
Вул Е. Б., Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальность Фейгенбаума и
термодинамический формализм// УМН. – 39:3(237) . – 1984. – C. 3-37.
33. Campanino M., Epstain H. On the existence of Feigenbaum fixed-point//
Comm, Math, Phys. – 1981. – Vol. 79. – №2. – Pp. 261-302.
34. Lanford O.E. A computer assisted proof of the Feigenbaum conjectures//
Bull. Amer. Math. Soc. – 1982. – 6(3). – Pp. 427–434.