Казань – 2015 - Казанский (Приволжский) федеральный

Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Казанский (Приволжский) Федеральный Университет»
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ
КАФЕДРА АЭРОГИДРОМЕХАНИКИ
Направление: 010900.68 – механика и математическое моделирование
Специализация: механика жидкости, газа и плазмы
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
(бакалаврская работа)
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
ВОКРУГ ОСЦИЛЛИРУЮЩЕГО ЦИЛИНДРА
В ДИАПАЗОНЕ УМЕРЕННЫХ ЧИСЕЛ РЕЙНОЛЬДСА
С ПОМОЩЬЮ ЛАМИНАРНЫХ И ТУРБУЛЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ
Работа завершена:
"___"_________ 2015 г. ____________________ (З.Ф. Мифтахова)
Работа допущена к защите:
Научный руководитель, к. ф.–м. н.
"___"_________ 2015 г. ____________________ (А.Н. Нуриев)
Заведующий кафедрой, д. ф.–м. н.
"___"_________ 2015 г. ____________________ (А.Г. Егоров)
Казань – 2015
2
Оглавление
Введение ....................................................................................................................... 3
Постановка задачи....................................................................................................... 7
Ламинарная модель течения ................................................................................... 9
Турбулентная модель течения .............................................................................. 12
Дискретизация области решения ............................................................................. 15
Результаты расчетов.................................................................................................. 18
Выводы ....................................................................................................................... 25
Список литературы ................................................................................................... 25
3
Введение
В данной выпускной квалификационной работе рассмотрена задача о
течении вязкой жидкости вокруг осциллирующего цилиндра, которая является
предметом исследования классической гидродинамики с середины XIX века, с
работы Джорджа Стокса 1851 года [1] . Но данная задача сохраняет свою
теоретическую
и
практическую
актуальность
до
сих
пор.
Области
практического применения – это авиационно-космическое проектирование,
робототехника, гражданское и морское строительство и многое другое. А
изучение сложных физических механизмов вихреобразования, структурных
особенностей течения, анализ интегральных характеристик, исследование
вопросов
устойчивости
решения
представляют
большой
интерес
с
теоретической точки зрения.
При
численном
моделировании
в
качестве
главных
параметров
использовалось число Кейлигана – Карпентера 𝐾𝐶 , который характеризует
отношение амплитуды колебаний к диаметру цилиндра, и число Стокса 𝛽 ,
которое характеризует квадрат отношения диаметра цилиндра к толщине
нестационарного пограничного слоя, определяемые соответственно:
𝐾𝐶 =
𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑇
,
𝐷
𝐷2
𝛽= .
𝜈𝑇
Так же использовалась их произведение – число Рейнольдса 𝑅𝑒:
𝑅𝑒 = 𝛽𝐾𝐶 =
𝑈𝑚𝑎𝑥 𝐷
.
𝜈
Здесь 𝑈𝑚𝑎𝑥 – амплитуда скорости колебаний, 𝑇 – период колебаний, 𝐷 –
диаметр цилиндра, 𝜈 – кинематическая вязкость жидкости. Пара из этих трех
параметров полностью характеризует течение рассматриваемой задачи.
В настоящей работе рассматривалась задача о гармонических колебаниях
круглого цилиндра при 𝛽 = 196 , в умеренном диапазоне чисел Рейнольдса
4
Поскольку исследуемый в работе диапазон измерений
3000 < 𝑅𝑒 < 8000 .
параметров
находится
в
транзитивной
зоне,
в
которой
согласно
экспериментальным данным [2 – 3] могут наблюдаться ламинарные и
турбулентные режимы, то до проведения численных расчетов сохраняется
неопределенность
по
корректному
описывающей движение потока.
выбору
соответствующей
модели,
Поэтому основной целью данной работы
является определение применимой моделей и диапазона их применимости при
решении таких задач.
В течение прошлых двух веков в этом диапазоне были проведены
множество исследований [4] . Основанные
на
методе исследования,
они
разделены на экспериментальные и численные.
В экспериментальных работах Обсайя [5] и Виллиамсона [2] проводились
исследования действия гидродинамических сил и вихревых структур около
кругового цилиндра в осциллирующем потоке в диапазоне чисел КейлиганаКарпентера 𝐾𝐶 от 4 до 55 при числе Стокса 𝛽 от 100 до 1665. В этих работах
обсуждается, в основном, двумерные составляющие течения. Основываясь на
особенностях вихрей в диапазоне чисел 𝐾𝐶 от 2 до 40, Виллиамсоном [2] были
получены шесть режимов течений, в которых преобладает двухмерная
структура. Обсайем [5] были изучены влияния сил сопротивления на эти
режимы. Аналогичные выводы по анализу влияния режимов течения на
гидродинамические силы были получены и в экспериментальной работе
Бирмана [6]. В то же время в работах Сарпкайя [3] в диапазоне чисел 𝐾𝐶 от 0,2
до 40 и для 𝛽 порядка 103 ~104 наблюдается развитие сугубо трехмерных
режимов течения.
В этой работе трехмерность
оказывает существенное
влияние на силы сопротивления в этом диапазоне.
Численные
исследования
в
этом
диапазоне
тоже
носят
весьма
разнообразный характер. В ходе численных исследований задачи были собраны
многочисленные данные о структуре и свойствах различных режимов течения
[7 − 9] . Юстенсон [7]
в своих исследованиях
провел прямое численное
моделирование плоского колебательного течения около круглого цилиндра при
5
малых и умеренных числах
Кейлеган-Карпентера
𝐾𝐶 . Ему удалось
локализовать большинство течений наблюдаемых в экспериментах, а так же
получить хорошее согласование с экспериментальными данными по силам
сопротивления в диапазоне 𝐾𝐶 от 0 до 26 и для 𝛽 от 196 до 1035, но
значительным недостатком его работ является то, что им использовалась сетка
с плохой разрешающей способностью. Осциллирующее обтекание круглого
цилиндра исследовалась с помощью турбулентных моделей и в работе Ана [8].
Он рассматривал данную задачу при 𝛽 = 196, в диапазоне чисел КейлиганаКарпентера 𝐾𝐶 от 2 до 40. Граница перехода между режимами и оценка
гидродинамических сил, полученные Аном, так же неплохо согласуются с
экспериментальными данными. В работе [9], как в работах Сарпкайя [3],
наблюдается трехмерный режим течения. Но исследования в этой работе
проводились в небольшом диапазоне чисел Кейлигана-Карпентера и при
больших числах Стокса порядка 103 ~104 .
На основе всех этих фактов, нельзя точно сказать, какую модель надо
использовать при решении данной задачи. Поэтому целью данной работы
являются оценка диапазона применимости двухмерных моделей при решении
таких задач, а так же изучение гидродинамических сил, действующих на
цилиндр и изучение режимов течения возникающих вокруг осциллирующего
цилиндра.
Рассматриваемая задача исследовалась численно с помощью двух схем:
турбулентной RANS и ламинарной гибридной схем. Среди RANS моделей была
выбрана турбулентная модель Спаларта-Алмареса. Она больше всего из
широкого класса турбулентных RANS моделей подходит при решении задач
внешнего обтекания. По предварительному анализу нескольких моделей (𝜅 − 𝜔
LRN, 𝜅 − 𝜔 SST, 𝜅 − 𝜔 SST Transition, S-A) модель Спаларта-Алмареса
показала лучшие результаты. Все расчеты в работе проводились на
высокопроизводительном кластере в пакете OpenFOAM (Open Source Field
Operation And Manipulation) [10] с открытым исходным кодом, что позволяет в
деталях контролировать ход решения, начиная от построения сетки до выбора
6
схем аппроксимации слагаемых управляющей схемы и методов численного
решения. В расчетах использовались оригинальные и модифицированные
модули пакета.
Работа состоит из 6 разделов. В первом разделе представлена постановка
задачи. Во втором описывается ламинарная модель течения и ее дискретизация,
а в третьем турбулентная. В четвертом представлена дискретизация расченой
области. Далее показаны результаты данной работы. В последнем разделе
дается вывод о проделанной работе.
7
Постановка задачи
Рассматривается цилиндр,
жидкости. Для
находящийся
в вязкой несжимаемой
простоты предполагается, что тело движется лишь вдоль
прямой (оси 𝑥 ). Препятствие в виде цилиндра, находится в середине
рассматриваемой зоны. Значения этой зоны были выбраны так, что бы
уменьшить эффекты границы и удовлетворить состоянию свободного потока, а
так же что бы соответствовать другим исследованиям в литературе.
Исследуемая задача о течении вязкой жидкости вокруг осциллирующего
цилиндра в диапазоне умеренных чисел Рейнольдса с помощью турбулентного
и гибридного моделей рассматривается в следующей постановке:
– круглый цилиндр с радиусом 𝑅 совершает колебательные движения в
вязкой несжимаемой жидкости по следующему дифференциальному закону:
𝜕𝑥𝑠
= −(2𝜋𝑓𝑡),
𝜕𝑡
где 𝑥𝑠 – это горизонтальная составляющая вектора перемещений, 𝑓 =
1
2𝐾𝐶
–
безразмерная частота колебания. Период колебаний: 𝑇 = 1⁄𝑓. Данный процесс
описывается нестационарной системой уравнений Навье-Стокса (1):
𝜕𝑈
1
+
𝑈𝛻𝑈
=
−𝛻𝑝
+
∆𝑈,
{ 𝜕𝑡
𝑅𝑒
𝛻𝑈 = 0.
(1)
где 𝑈 = (𝑢, 𝑣) – безразмерная скорость, 𝑝 – безразмерное давление, 𝑅𝑒 – число
Рейнольдса.
Для удобства численного решения производим переход в подвижную
систему координат связанную с цилиндром. Что бы в новой неинерционной
системе координат сохранить системы движения в исходном виде (1)
определяем давление следующим образом:
𝑝 = 𝑝̃ + 2𝜋𝑓𝑥𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑓𝑡).
8
где 𝑝 – давление в подвижной системе координат, а второе слагаемое – это
вклад от инерциальных составляющих.
На границе цилиндра будут задаваться условия прилипания:
(2)
𝑢 = 𝑣 = 0.
По ниже представленному гармоническому закону будет определяться
изменение скорости на бесконечности:
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑡),
𝑣 = 0.
(3)
На бесконечности, в предположение о потенциальном течении жидкости,
из (3) можем получить условие для давления:
𝜕𝑝
= 2𝜋𝑓𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑓𝑡), или𝑝 = 2𝜋𝑓𝑥𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑓𝑡).
𝜕𝑥
(4)
Любое из условий (4) можем использовать вместо одного из граничных
условий (3).
Как уже говорилось ранее, диапазон изменения параметров данной
работы находится в транзитивной зоне, поэтому выбор соответствующей
модели описывающей движение течения важен при проведении численных
расчетов. Поэтому далее в работе будут рассматриваться две модели, как
ламинарная, так и турбулентная модели.
9
Ламинарная модель течения
Рассматриваемая система уравнений движения (1) решалась в пакете
OpenFOAM. Дискретизация была проведена в декартовой системе координат с
помощью
метода
формулировку
конечных объемов (FVM). Данный метод использует
уравнений
в
интегральной
форме.
Расчетная
область
разбивается на определенное количество контрольных объемов (ячеек), и
каждому из этих объемов сопоставляется неизвестная величина, которая
представляет собой среднее значение переменной по этому объему. Для того,
чтобы получить алгебраическое уравнение, которое соответствовало бы
исходному интегральному, записанному для некоторого контрольного объема,
необходимо выполнить два этапа аппроксимации:
• При помощи квадратурных формул, приближенные значения
интегралов,
входящих
в
уравнение,
выражаются
через
значения
подынтегральных выражений в точках границы.
• Значения переменных в точках границы ячейки интерполируются по
их значениям, заданным в узловых точках.
Интегральное уравнение будет выполняется как для каждого отдельного
контрольного объема в отдельности, так и для всей расчетной области в целом.
Таким образом, важным преимуществом метода конечных объемов является то
что данный метод обладает свойством глобального сохранения.
При этом дискретные значения составляющих скоростей и давлений
будут локализоваться в центрах ячеек построенной расчетной сетки.
Рассмотрим произвольную ячейку с объемом 𝑉 . Для него система
уравнений (1) записывается в следующем интегральном виде:
10
𝜕𝑈
𝑑𝑉 + ∫ ∇ (𝑈𝑈)𝑑𝑉 = − ∫ ∇𝑝𝑑𝑉 + 𝜈 ∫ ∆𝑈 𝑑𝑉,
𝜕𝑡
∫
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
(5)
∫ ∇ 𝑈𝑑𝑉 = 0.
{
𝑉
Для того, что бы аппроксимировать первое слагаемое системы (5) будем
рассматривать его в центре ячейки в виде произведения среднего значения
подынтегральной функции на объем ячейки 𝑉 . Для вычисления остальных
объемных интегралов системы уравнений (5) по объему 𝑉 используем общую
процедуру Гаусса [11], то есть производим переход от объемных интегралов к
поверхностным. Затем эти поверхностные интегралы заменяем на суммы
интегралов по граням ячеек и приближенно вычисляем их по формуле средних
прямоугольников.
После
таких
преобразований
получаем
следующую
полудискретную систему уравнений для произвольной ячейки:
(
𝜕𝑈
) 𝑉 + ∑ 𝑆𝑓 (𝑈𝑈)𝑓 = − ∑ 𝑆𝑓 𝑝𝑓 + 𝜈 ∑ 𝑆𝑓 (∇𝑈)𝑓 ,
𝜕𝑡 𝑃
𝑓
𝑓
𝑓
(6)
∑ 𝑆𝑓 (𝑈)𝑓 = 0.
{
𝑓
Здесь 𝑆𝑓 является вектором ортогональным к грани ячейки и по модулю
равным площади данной грани,
индекс 𝑓 означает, что градиент или
переменная определяются на грани ячейки, 𝑃 – что в центре.
Чтобы линеаризовать систему (6) представляем конвективные слагаемые
в следующем виде:
∑ 𝑆𝑓 (𝑈𝑈)𝑓 = ∑ 𝐹 (𝑈)𝑓 .
𝑓
(7)
𝑓
Здесь 𝐹 − это массовый поток, проходящий через грань с индексом 𝑓, его
считаем известным.
Для интерполяции переменных в конвективных слагаемых используем
гибридную
схему.
Гибридная
модель
[12 − 13]
представляет
собой
комбинацию линейной и противопоточной интерполяций. В областях, где
11
сеточное число Рейнольдса 𝑅𝑒_ℎ < 2, применяется линейная интерполяция. Во
всех остальных случаях применяется противопоточная интерполяция. Данная
схема обеспечивает устойчивость и сходимость всего процесса решения.
Кроме того, гибридная модель решения в областях с недостаточной
разрешающей способностью расчетных сеток позволяет избежать нефизичных
осцилляций. Это особенно важно вблизи внешних границ расчетной области.
Но надо учесть то, что первый порядок точности противопоточной
интерполяции может привести к существенному влиянию на решение
численной диффузии. Гибридная схема, для рассматриваемого класса задач в
широком диапазоне чисел Рейнольдса, обеспечивает хорошее согласование
численных результатов с экспериментальными данными, приведенными в
работах [7, 14]. При этом можно уменьшить негативное влияние численной
диффузии,
если
повысить
разрешающую
способность
сетки
обтекаемого тела и контролировать, изучив сеточную сходимость.
вблизи
12
Турбулентная модель течения
В качестве турбулентной RANS модели использовалась модель Спаларта
- Алмареса (𝑆𝐴). Эта модель относится к классу низкорейнольдсовых.
Изначально она была развита для получения разумных расчетных оценок для
двумерных смешанных течений, следов и пограничного слоя. Но испытания
при расчете потоков с неблагоприятными градиентами давления показали
достоинство данного метода по сравнению с 𝜅 − 𝜀 и 𝜅 − 𝜔 моделями.
Различные условия, регулирующие уравнения этой модели (диффузия,
генерация и диссипация), так же, как и другие модели турбулентности, были
модифицированы после 1992 года, когда она была представлена Спалартом и
Алмаресом.
Эта модель состоит из одного дополнительного уравнения – из уравнения
переноса для турбулентной вязкости. Ключевая идея, что Спаларт и Алмарес
использовали для разработки этого уравнения, состоит в том, что полная
вязкость, то есть сумма молекулярной и турбулентной вязкости 𝑛 = 𝜈𝑚 + 𝜈𝑡 ,
является скалярной величиной переносимой течением.
Для того чтобы построить замкнутую систему определяющих уравнений
для осредненного движения потока, следует определить распределение
напряжений Рейнольдса. Различные условия в уравнении для напряжения
Рейнольдса могут быть отождествлены как конвекция, диффузия, генерация и
диссипация. Спаларт и Алмарес (𝑆𝐴) [15] сделали простое "обоснованное
предположение" о различных терминах, таких как диффузия, генерация и
дисипация, основываясь на физике турбулентного потока. В этой модели
зависимым переменным является турбулентная вязкость, которая напрямую
связана с напряжением Рейнольдса следующим образом:
′𝑣′
̅̅̅̅̅̅
𝑢
𝜈𝑡 =
.
𝑑𝑢/𝑑𝑦
(11)
13
Турбулентная вязкость зависит от предыстории посредством конвекции и
диффузии. Вообще любая переносимая скалярная величина, как турбулентная
вязкость, в соответствии с законами преобразования преобразуется по
следующей формуле, которая является основным уравнением для
модели
Спаларта - Алмареса:
𝐷𝐹 𝜕𝐹
=
+ (𝑢 ∙ ∇)𝐹 = 𝐷𝑖𝑓𝑓𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛 + 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 − 𝐷𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛
(12)
𝐷𝑡
𝜕𝑡
Чтобы построить полную модель для турбулентного течения, каждый из
диффузии, генерации и диссипации могут быть определены точнее.
𝐷𝑖𝑓𝑓𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛 =
1
[∇(𝜈𝑡 ∇𝜈𝑡 ) + 𝑐𝑏2 (∇𝜈𝑡 )2 ],
𝜎
здесь 𝜈𝑡 – коэффициент турбулентной вязкости, 𝜎 – турбулентное число
Прандтля, 𝑐𝑏2 – константа.
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 = 𝑐𝑏1 𝑆𝜈𝑡 ,
𝑆 = √2Ω𝑖𝑗 Ω𝑖𝑗 ,
1 𝜕𝑈𝑖 𝜕𝑈𝑗
Ω𝑖𝑗 = (
−
),
2 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑖
где Ω𝑖𝑗 – тензор вращения, 𝑆 – тензор скорости деформации.
𝜈𝑡 2
𝐷𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 = −𝑐𝑤1 𝑓𝑤 ( ) ,
𝑑
где 𝑐𝑤1 – константа, 𝑓𝑤 – безразмерная функция, которая эквивалентна 1 в
потоке, 𝑑 – расстояние до ближайшей стенки.
Спалартом и Алмаресом были введены новые переменные: 𝑣̃ , который
равен 𝜈𝑡 за исключением вязкого диапазона, и величина 𝑋 ≡ 𝑣̃/𝜈. Основанием
для введения новой переменной 𝑣̃ было то, что турбулентная вязкость 𝜈𝑡 =
𝑘𝑦𝑢𝜏 в потоке, но не в пограничном слое. Поэтому 𝑣̃ был определен таким
образом, чтобы она была равна 𝑘𝑦𝑢𝜏 во всей области до стенки.
𝜈𝑡 = 𝑣̃ ∗ 𝑓𝑣1 ,
где 𝑓𝑣1 – демпфирующая функция.
𝑋3
𝑓𝑣1 = 3
3 ,
𝑋 + 𝑐𝑣1
14
Учитывая 𝑣̃ как новую переменную, влияющую на генерацию путем
изменения скалярной нормы, тензор скорости деформации был переопределен.
Новый 𝑆 будет обозначаться, как 𝑆̃ и определяться по следующей формуле:
𝑆̃ ≡ 𝑆 +
𝑣̃
𝑓 ,
𝑘 2 𝑑 2 𝑣2
𝑓𝑣2 = 1 −
𝑋
,
1 + 𝑋𝑓𝑣2
где 𝑓𝑣2 – был построен как 𝑓𝑣1 , так что 𝑆̃ поддерживает его линейным в потоке
вдоль стенки. Окончательно получим:
𝐷𝑣̃
1
𝑣̃ 2
2
= 𝑐𝑏1 𝑆̃𝑣̃ + [∇((𝜈 + 𝑣̃)∇𝑣̃) + 𝑐𝑏2 (∇𝑣̃) ] − 𝑐𝑤1 𝑓𝑤 ( ) .
𝐷𝑡
𝜎
𝑑
Вспомогательные соотношения и коэффициенты замыкания:
𝑣̃
𝑋= ,
𝜈
1
6
6 ]6
𝑓𝑤 = [1 + 𝑐𝑤3
𝑔6 + 𝑐𝑤3
,
𝑟=
𝑣̃
,
𝑆̃𝑘 2 𝑑 2
𝑔 = 𝑟 + 𝑐𝑤2 (𝑟 6 − 𝑟),
𝑐𝑏1 = 0.1355,
𝑐𝑤1 = 3.239,
𝑐𝑏2 = 0.622,
𝑐𝑤2 = 0.3,
𝑐𝑣1 = 7.1,
𝑐𝑤3 = 2,
2
𝜎= ,
3
𝑘 = 0.41.
Граничный условия задаются следующим образом. Модифицированная
турбулентная вязкость, так же как и истинная, на твердых стенках должна
обращаться в ноль 𝑣̃ = 0. А на входной границе будет условие первого рода для
𝑣̃ , а на выходной 𝑣̃ экстраполируется на границу из внутренних точек
расчетной области.
Опыт использования турбулентной модели Спаларта-Алмареса показал,
что ее реальные возможности намного шире, чем предполагалось при ее
создании. Дискретизация данного метода проводилась в точности, как в
ламинарной модели.
15
Дискретизация области решения
Для численного решения данной задачи рассматривается ограниченная
область, представленная в виде прямоугольного параллелепипеда, в центре
которого
расположен
круглый
цилиндр
(Рис.
1).
В
соответствии
с
особенностью программного обеспечения выбирается трехмерная область для
моделирования плоского течения. Размеры расчетной области
следующие:
100 х 100 х 1, радиус цилиндра 𝑟 = 1.
Граница области состоит из 7 частей: входная граница 𝛤𝑖𝑛𝑙𝑒𝑡 , выходная
граница 𝛤𝑜𝑢𝑡𝑙𝑒𝑡 , верхняя граница 𝛤𝑤𝑜𝑙𝑙1 , нижняя граница 𝛤𝑤𝑜𝑙𝑙2 , передняя граница
𝛤𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡 , задняя граница 𝛤𝑏𝑎𝑐𝑘 и граница цилиндра 𝛤𝑐𝑦𝑙 . Строим параллелепипед
так, чтобы его ребра были параллельны основным осям в используемой
декартовой системе координат и, кроме того, чтобы плоскость течения была
параллельна плоскости 𝑥𝑂𝑦. Дискретизация расчетной области проводилась с
помощью блочной структурированной сетки, которая строится с помощью
утилиты blockMesh, входящей в пакет OpenFOAM.
Получаем
область,
разбитую
на
не
пересекающиеся
ячейки
–
шестигранники, а разбиение в направлении оси 𝑂𝑧 состоит из одной ячейки, так
как задача двухмерная, поэтому течение в этом направлении отсутствует. На
передней 𝛤𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡 и задней границе 𝛤𝑏𝑎𝑐𝑘 , параллельной плоскости течения,
использовались специальные – неотражающие граничные условия, это было
сделано для учета двухмерности области [10].
16
Рис. 1. Расчетная область
Для расчетов использовалась область, показанная на Рис.1. Область
размером 100 х 100 х 1 разбита на 107 060 ячеек. Она делилась на блоки, как
представлено на Рис.2. Минимальный объем ячеек равен 𝑉𝑚𝑖𝑛 = 0.0001, они
расположены на границе цилиндра, их количество 320. А ячейки наибольшего
объема находятся на границе внешней области и объем их равен 𝑉𝑚𝑎𝑥 = 1.3.
17
Рис. 2. Деление области на блоки
18
Результаты расчетов
Расчеты в работе поводились для маленьких чисел Келигана-Карпентера
𝐾𝐶 , в пределах от 10 до 40, при 𝛽 = 196 , 3000 < 𝑅𝑒 < 8000 , в области
умеренных чисел Рейнольдса.
Задача исследовалась двумя методами:
турбулентной моделью Спаларта-Алмареса и гибридной ламинарной моделью.
19
Рис.3. Усредненные циклы подъемных сил для турбулентной модели Спаларта-Алмареса при
𝛽 = 196 для 𝐾𝐶 = 10 (𝑎), 20(𝑏), 28(𝑐), 36(𝑑).
20
21
Рис.4. Усредненные циклы подъемных сил для ламинарной гибридной модели при 𝛽 = 196
для 𝐾𝐶 = 10 (𝑎), 13(𝑏), 18(𝑐), 25(𝑑).
В ходе работы были получены графики подъемных сил для различных
чисел Кейлигана-Карпентера 𝐾𝐶. Для каждого режима течения
есть свой
характерный вид для подъемной силы, по которому и определялись диапазоны
рассматриваемых режимов. На Рис.3 и Рис.4 представлены циклы подъемных
сил для различных режимов потока. Здесь (𝑎) – режим течения с поперечным
потоком, (𝑏) – соответствует двупарному, (𝑐) – трехпарному, а (𝑑) –
четырехпарному потоку.
22
Рис.5. Диапазон чисел Кейлигана-Карпентера (или амплитуда/диаметр) соответствующей
картины течения; здесь: красный – поперечный поток, синий – однопарный поток, голубой
– двупарный поток, зеленый – трехпарный поток, желтый – четырехпарный поток
На Рис.5. приведены результаты, полученные Виллиамсоном [5] и
результаты расчетов данной работы. Здесь для каждой схемы диапазон чисел
Кейлигана - Карпентера 𝐾𝐶 поделен на участки, соответствующие своей
картине течения. Как видно из Рис.5 гибридная ламинарная схема лучше
согласуется с данными Виллиамсона.
Аналогичный
вывод
можно
сделать
на
основании
следующих
результатов. На Рис.6 представлены результаты 6-и работ в диапазоне чисел
Кейлигана-Карпентера 𝐾𝐶 от 10 до 40 (50) при различных числах Стокса 𝛽, а
так же данные, полученные в результате моделирования двух численных схем –
турбулентной модели Спаларта-Алмареса и гибридной ламинарной модели –
при 𝛽 = 196. В качестве основных данных брались результаты работ Обсайя
при 𝛽 = 196, 301, 1665, Юстенсона при 𝛽 = 196, Сарпкайя при 𝛽 = 1035 и
работы Кейлигана-Карпентера. На графиках представлены средние значения
23
𝐶𝑑 – коэффициент вязкого сопротивления и 𝐶𝑚 – коэффициент инерциальных
сил, которые являются функциями числа 𝐾𝐶.
Рис.6. Расчетные коэффициенты сил для 𝛽 = 196. (a) коэффициент аэродинамического
сопротивления (b) коэффициент инерции.
⊙ - турбулентная модель 𝑆𝐴, ⊙ - ламинарная гибридная модель,
⋆ - эксперимент Обсайя для 𝛽 = 196, ∆ - эксперимент Обсайя для 𝛽 = 301,
× - эксперимент Обсайя для 𝛽 = 1665, ⋄ - эксперимент Юстенсона для 𝛽 = 196, ∎ эксперимент Сарпкая для 𝛽 = 1035, + - эксперимент Кейлигана-Карпентера
Результаты гибридной модели в рассматриваемом интервале чисел
Кейлигана-Карпентера 𝐾𝐶 лежат лучше, чем результаты турбулентной модели.
24
График
средних
турбулентной
значений
модели,
коэффициентов
представленный
на
инерциальных
Рис.6
(б),
сил 𝐶𝑚 для
лежит
выше
рассматриваемых результатов. Это связано с тем, что рассматриваемая
турбулентная модель вносит в решение чрезмерную вязкость, так как рост
турбулентной вязкости повышает естественную вязкость. В связи с этим
возникает добавочная часть в инерциальных силах. Так же было выявлено, что
турбулентная модель с запозданием определяет переход между режимами. Это
видно и из Рис.5, где были представлены диапазоны действия рассматриваемых
режимов.
25
Выводы
В ходе проведенных в работе исследований о движении осциллирующего
круглого цилиндра, автором были решены следующие задачи:
1. Был выполнен обзор и анализ литературы по экспериментальным и
численным исследованиям течения вязкой несжимаемой жидкости
вокруг осциллирующего цилиндра.
2. На базе пакета OpenFOAM были реализованы гибридная ламинарная
модель и турбулентная модель Спаларта-Аллмараса для расчета
рассматриваемой задачи.
3. В рамках сконструированных моделей были проведены расчеты в
диапазоне умеренных амплитуд колебания цилиндра 10<KC<40.
4. Были изучены режимы течения, возникающие вокруг осциллирующего
цилиндра. В рассматриваемом диапазоне чисел Кейлигана-Карпентера
𝐾𝐶 были выделены пять основных режимов течения: режим течения с
поперечным
потоком,
однопарным, двупарным,
трехпарным и
четырехпарным вихреобразовниями.
5. В ходе сравнения результатов было установлено, что данные расчетов
по
ламинарной
гибридной
модели
лучше
согласуется
экспериментальными данными, чем у турбулентной модели.
с
26
Список литературы
1. Stokes, G. G. On the effect of the internal friction of fluids on the motion of
pendulums . — 1851. — Trans. Camb. Phil. Soc. –Vol. 9. —Pp. 8–106.
2. Williamson, C.H.K., “Sinusoidal flow relative to circular cylinders,” (1985)
Journal of Fluid Mech., Vol. 155, pp. 141-174.
3. Sarpkaya, T. Forces on a circular cylinder in viscous oscillatory flow at low
Keulegan-Carpenter numbers // J. Fluid Mech. — 1986. — Vol. 165. — Pp.
61–71.
4. Griffin, O.M., “Instability in the vortex street wakes of vibrating bluff bodies,”
(1973), Trans. ASME I: Journal of Fluids Eng., Vol. 95, pp. 569-581.
5. Obasaju, E.D., Bearman, P.W., Graham, J.M.R., “A study of forces, circulation
and vortex patterns around a circular cylinder in oscillating flow”, (1988), J.
Fluid Mech., vol. 196, pp. 467494.
6. Bearman, P.W., Downie, M.J., Graham, J.M.R. and Obasaju, E.D., “Forces on
cylinders in viscous oscillatory flow at low Keulegan-Carpenter numbers,”
(1985), Journal of Fluid Mech., Vol. 154, pp. 337-356.
7. Justesen, P., “A numerical study of oscillating flow around a circular cylinder,”
(1991), Journal of Fluid Mechanics, Vol. 222, pp. 157-196.
8. An, H., Cheng, L. and Zhao M. 2009. Steady streaming around a circular
cylinder in an oscillatory flow. Ocean Engineering 36, 1089-1097. (Chapter 2).
9. Suthon, P. Observations on the Honji instability / P. Suthon, C. Dalton // J. of
Fluids and Structures. — 2012. — 06. — Vol. 32. — Pp. 27–36.
10. “Open FOAM (The Open Source CFD Toolbox): User Guide Version
2.2.1.- 2013,” Last visited on 18.05.2014, URL : http: // www.openfoam.org /
docs / user/.
11. Ferziger, J. H. Computational methods for fluid dynamics / J. H. Ferziger, M.
Peric. — 3rd rev. edition. — Berlin: Springer, 2002. — P. 424.
27
12. D. B. Spalding A novel finite difference formulation for differential
expressions involving both first and second derivatives International Journal
for Numerical Methods in Engineering Volume 4, Issue 4, pages 551–559,
July/August 1972.
13. Patankar, Suhas V. (1980). Numerical heat transfer and fluid flow (14.
printing. ed.). Bristol, PA: Taylor & Francis. ISBN 9780891165224.
14. An, H. Numerical modeling of flow characteristics and hydrodynamic forces
on a cylinder subject to oscillatory flow. – 2010.
15. Allmaras R., Johnson T., Spalart R., Modifications and Clarifications for the
Implementation of the Spalart-Allmaras Turbulence Model, Big Island,
Hawaii, 9-13 July 2012.
16. Keulegan H., Carpenter H., Forces on Cylinders and Plates in an Oscillating
Fluid, Journal of Research of the National Bureau of Standards – Vol. 60,
No.5, May 1958.