Элементы теории функций комплексного переменного
реклама
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Элементы теории функций комплексного
переменного
Индивидуальные задания
Пособие разработано ассистентом Костиной
Е.В., ассистентом Морозовой Е.А., доцентом
Плаксиной В.П., ст. преп. Федосеевой О.А..
Одобрено методической комиссией кафедры
«Высшая математика»
© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ
Пермь 2007
Разбор типового варианта
Задание 1.
1) Найти модуль и аргумент чисел z1 1 i и z 2 1 3i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
2) Найти: а). z1 z 22 ; б). z 2 ; в). 3 z1
z1
Решение.
1) Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу z1 1 i будет
соответствовать точка M1 1; 1 , числу z 2 1 3i - точка M 2 1; 3 .
Для нахождения модуля и аргумента заданных чисел воспользуемся формулами:
y
arctg
, при x 0,
x
y
2
2
r z x y и arg z arctg , при x 0, y 0,
x
y
arctg x , при x 0, y 0.
Получим:
1
3
r1 z1 12 12 2 , 1 arg z1 arctg
,
1
4
4
2
3
r2 z 2 12 3 2 , 2 arg z 2 arctg
.
1
3
Чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа
тригонометрической и показательной применим формулы:
к
z r cos i sin и z re i .
Использовав ранее полученные результаты, получим:
3
3
z1 2 cos
i sin
,
4
4
i
3
4 ,
z1 2e
z 2 2 cos i sin ,
3
3
i
z1 2e 3 .
2) а) z 1 z 22 1 i 1 3i
2
1 i 12 2 3i
3i 1 i 1 2
2
3i 3
2 2 3 2 2 3 i;
z
1 3i 1 3i 1 i 1 i
б)
1 i 2 3i 2 2 3i 2 2 3i 2 2i 2 3i 2 2 3 2i
2
z1
1 i 1 i
1 i
1
3i 3i 2
2
i
2
1 i 3i 3
11
1 3 1 3 i 1 3 1 3
i;
2
2
2
2k
2k
i sin
в) Применим формулу n z n r cos
, k 0, 1, ..., n 1 .
n
n
3
z1
3
1 i
3
3 2k
3 2k
4
4
2 cos
i sin
3
3
3
3
4 6 2 cos i sin 6 2 2 2 i ;
при k 0 : 6 2 cos 4 i sin
2
3
3
4
4
2
3 2
3 2
6 2 cos 11 i sin 11 ;
4
i sin
при k 1 : 6 2 cos 4
3
3
12
12
3 4
3 4
6 2 cos 19 i sin 19
4
i sin
при k 2 : 6 2 cos 4
3
3
12
12
5
5
6 2 cos
i sin
.
12
12
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) cos z , z 0
3
б) f ( z ) Arctgz, z 0
3i ;
1 i 3
.
2
Решение.
1
3
sh 3;
а) cos 3i cos cos 3i sin sin 3i ch3 i
3
3
2
2
3
i
iz
б) По определению Arctg z Ln
.
2
iz
1
i i
iz
2
iz
1
i i
2
3 1 i 1 3
2
2 2
i 2 3 ,
3
1
3
i 1
2
2
2
Arctg
1 i 3
i
iz
i
i
- Ln
- Ln i 2 3 - ln i 2 3 i arg i 2 3 2ki
2
2
iz
2
2
i 2 3 2 3
arg i 2 3
2
i
1
i
- ln 2 3 i 2k 2k ln 2 3 .
2
2
2 2
2
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f z sin z 2 и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Решение.
Выделим действительную и мнимую часть функции f (z ) :
f ( z ) sin z 2 sin( x iy ) 2 sin( x 2 y 2 i 2 xy) sin( x 2 y 2 ) cos(i 2 xy)
cos( x 2 y 2 ) sin( i 2 xy) sin( x 2 y 2 )ch(2 xy) i cos( x 2 y 2 ) sh(2 xy).
Таким образом, получим:
u sin( x 2 y 2 )ch(2 xy);
v cos( x 2 y 2 ) sh(2 xy).
u u v v
и выясним, в окрестности каких точек
, , ,
x у x y
они существуют и непрерывны, а также в каких точках плоскости выполняются условия
Коши-Римана:
u v u
v
,
.
x y y
x
u
(sin( x 2 y 2 )ch(2 xy))x 2 x cos( x 2 y 2 )ch(2 xy) 2 y sin( x 2 y 2 ) sh(2 xy) ,
x
v
(cos( x 2 y 2 ) sh(2 xy))y 2 y sin( x 2 y 2 ) sh(2 xy) 2 x cos( x 2 y 2 )ch(2 xy) ,
y
u v
т.е.
для любых действитедбных х и у, и эти частные производные непрерывны во
x y
всей плоскости R 2 .
u
(sin( x 2 y 2 )ch(2 xy))y 2 y cos( x 2 y 2 )ch(2 xy) 2 x sin( x 2 y 2 )sh(2 xy) ,
y
v
(cos( x 2 y 2 ) sh(2 xy))x 2 x sin( x 2 y 2 ) sh(2 xy) 2 y cos( x 2 y 2 )ch(2 xy) ,
x
u
v
т.е.
для любых действитедьных х и у, и эти частные производные непрерывны
y
x
во всей плоскости R 2 .
Так как условия Коши-Римана выполняются для любой пары действительных чисел
u u v v
( x, y ) и частные производные
, , ,
существуют и непрерывны в окрестности
x у x y
любой точки ( x, y ) , то производная f (z ) существует в любой точке z x iy
комплексной плоскости С.
Найдем эту производную:
u
v
f z
i 2 x cos( x 2 y 2 )ch(2 xy) 2 y sin( x 2 y 2 )sh(2 xy)
x
x
2
i 2 x sin( x y 2 )sh(2 xy) i 2 y cos( x 2 y 2 )ch(2 xy)
Найдем частные производные
2 x(cos x 2 y 2 cosi 2 xy sin x 2 y 2 sin i 2 xy) 2iy ( sin x 2 y 2 sin i 2 xy
cos x 2 y 2 cosi 2 xy) 2 x cos x 2 y 2 2ixy 2 yi cos x 2 y 2 2ixy
2xcos x iy 2 yi cosx iy 2( x iy ) cos( x iy ) 2 2 z cos z 2 .
Итак, f z (sin z 2 ) 2 z cos z 2 , z C .
2
2
Действительная часть производной:
u
2 x cos( x 2 y 2 )ch(2 xy) 2 y sin( x 2 y 2 )sh(2 xy) ,
x
мнимая часть производной:
v
2 x sin( x 2 y 2 ) sh(2 xy) 2 y cos( x 2 y 2 )ch(2 xy) .
x
Задание 4. Определить вид кривой z 5tg t 3i sec t .
Решение.
zt xt iy t 5tgt 3i sec t .
x 5tgt ,
Откуда
y 3 sec t.
x
t
arctg
,
5
Выразим t из каждого уравнения:
t arccos 3 .
y
Исключим t из уравнений:
3
x
arccos arctg .
5
y
3
cos arccos cos arctg
y
x
,
5
3
cos arccos
y
,
5
2
x 5
2
3
y
5
2
x 5
2
,
25 y 2
x 2 25 ,
9
y2 x2
1 - уравнение гиперболы.
9
25
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами:
1 z i 3,
а).
2
;
arg z i
3
6
z 2 4 4,
б).
Re z 1.
а). Искомым множеством является пересечение кольца 1 z i 3 и внутренней
части угла
6
arg z i
2
:
3
б). Кривую z 2 4 4 запишем в декартовых координатах:
z 2 4 x iy 4 x 2 2ixy y 2 4 ( x 2 y 2 4) 2ixy
2
x 2 y 2 42 2xy2 x 2 y 2 2 8x 2 y 2 16 4x 2 y 2
2
x 2 y 2 8x 2 y 2 16 ;
2
Итак, x 2 y 2 8x 2 y 2 16 4 .
2
Или x 2 y 2 8x 2 y 2 0 ,
x 2 y 2 2 8x 2 y 2 - Лемниската Бернулли.
z2 4
Неравенство z 2 4 4
определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее.
Неравенство Re z 1 определяет точки, лежащие правее прямой x 1. Искомым
множеством является пересечение этих областей:
Задание 6. Проверить, может ли функция u e 2 x cos 2 y быть действительной частью
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 1 .
Решение.
Найдем частные производные:
u
u
2e 2 x cos 2 y,
2e 2 х sin 2 y,
x
y
2u
2u
2x
4e 2 х cos 2 y.
4
e
cos
2
y
,
2
2
y
x
Следовательно,
2u 2u
2 4e 2 x cos 2 y 4e 2 х cos 2 y 0 , ( x, y ) R 2 .
2
x
y
Таким образом, функция u ( x, y ) гармоническая в плоскости C , и, значит существует
такая аналитическая в C функция f (z ) , что f ( z ) u ( x, y ) iv ( x, y ) .
В силу условий Коши-Римана имеем:
v u
2e 2 x cos 2 y,
y x
(1)
v
u
2e 2 х sin 2 y.
x
y
(2)
Интегрируем уравнение (1) по переменной у, находим мнимую часть с точностью до
слагаемого С (х) :
v e 2 x sin 2 y C ( x) .
Продифференцируем (3) по х:
v
2e 2 х sin 2 y С ( х).
x
Сопоставляя результат с (2), получаем С ( х) 0 , откуда С ( х) А .
Таким образом, имеем
(3)
v e 2 x sin 2 y А и
f ( z ) u iv e 2 x cos 2 y ie 2 x sin 2 y iA e 2 x (cos 2 y i sin 2 y ) iA e 2 x e 2iy iA
e 2( x iy) iA e 2 z iA.
Учитывая условие f (0) 1 , получаем A 0 .
Итак, f ( z ) e 2 z .
Задание 7.
функции w
Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью
Re z 1,
1
область D :
плоскости Z .
z
Im z 0
Решение.
Для того чтобы найти образ области D при отображении w f (z ) , нужно найти
образ границы L области D , затем взять произвольную точку из области D и найти ее
образ.
Правило для определения уравнения образа кривой.
Пусть в области z кривая задана F ( x, y ) 0 . Чтобы найти уравнение образа
Ф(u, v) 0 этой кривой в плоскости w при отображении с помощью функции
w f ( z ) u iv , нужно исключить x и у из уравнений:
u u ( x, y )
(1)
v v( x, y )
F ( x, y ) 0
Если кривая задана параметрическими уравнениями:
x x(t ),
или z z (t ) x(t ) iy (t ) ,
y y (t )
то параметрические уравнения её образа при отображении w f ( z ) u iv будут
u u ( x(t ), y (t )) U (t )
v v( x(t ), y (t )) V (t )
В данном примере граница области D состоит из трех частей: L1 : x 1, y 0,
L2 : x 1, y 0, L3 : y 0,1 x 1 . Найдем ее образ при данном отображении.
Выделим и действительную и мнимую части функции.
w
1
1
x iy
2
;
z x iy x y 2
u
x
y
, v 2
.
2
x y2
x y
2
Возьмем первую часть границы и найдем ее образ. Составим систему (1):
x
u x 2 y 2 ,
1
u
,
1 y2
y
,
v 2
2
x
y
v y
1 y2
x 1, y 0
Возведем в квадрат первое и второе уравнения системы и сложим:
u2 v2
1
u .
1 y2
y 0 v 0,
u
1
0
1 y2
1
1
Окончательное уравнение границы (u ) 2 v 2 при u 0, v 0 .
2
4
1
1
Аналогично находим образ L2 : (u ) 2 v 2 при u 0, v 0 .
2
4
Образ L3 находим из системы:
x
u x 2 y 2 ,
1
y
u ,
,
x
v 2
2
x
y
v 0
y 0, 1 x 1
Следовательно, образ границы L3 : v 0, u 1 при 0 x 1 и u 1 при 1 x 0 ;
u 0 . Изобразим образы границ L1 , L2 , L3 на плоскости W .
Для изображения образа области D на плоскости W возьмем контрольную точку.
Точка z i обратится в точку w i .
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням
z z 0 . Указать главную и правильную части ряда.
а) f ( z )
2z 1
, z0 0 ;
z z2
б) f ( z )
2z 1
, z0 1 .
( z 1)( z 2)
2
Решение.
2z 1
имеет две особые точки z1 1 и z 2 2 . Отметим их
z z2
на плоскости Z, проведем 2 окружности с центром в точке z 0 0 , проходящие
а) Функция f ( z )
2
соответственно через точки z1 1 и z 2 2 . Следовательно, имеется три области, в
каждой из которых функция f (z ) является аналитической:
1) z 1 ;
2) кольцо 1 z 2 ;
3) область z 2 , являющаяся внешностью
круга z 2 .
Найдем ряды Лорана для функции f (z ) в
каждой из этих областей, используя формулу
1
(1 t ) 1
1 t t 2 t 3 ... t n ...
1 t
справедливую при t 1 .
Представим функцию f (z ) в виде суммы элементарных дробей:
2z 1
1
1
.
2
z z 2 z 1 z 2
1
1
1
1) Рассмотрим круг z 1. Запишем элементарные дроби
и
в виде
,
z 1
z2
1 t
где t 1 при z 1. Представим функцию f (z ) следующим образом:
f ( z)
1
1
1 z 2
1
. Теперь к таким дробям применима формула (1).
z
1
2
Так как в рассматриваемой области z 1 , то в силу формулы (1)
1
z
1 z z 2 z 3 ... z n ... . Так как z 1 и тем более
1 (если z 1 , то тем
1 z
2
n
z z2 z3
n z
1
... (1) n ... .
более z 2 ), значит, в силу формулы (1)
z
2 4
8
2
1
2
1
Следовательно,
1
1 1
1 z z2 z3
zn
1 z z 2 z 3 ... z n ...
... (1) n n 1 ... =
z
1 z 2
2 4 8 16
2
1
2
1 3
7 2 15 3
2 n 1 1
2 n1 1
zn
z z z ... n 1 z n ... = n1 z n z n (1) n n1
2 4
8
16
2
2
2
n 0
n 0
n 0
(1) n
1) z n
n 1
2
n 0
Полученное разложение содержит только правильную часть ряда Лорана.
2) Рассмотрим кольцо 1 z 2 . В этой области запишем рассматриваемую
(
функцию в виде f ( z )
1 1
1 1
. В знаменателях дробей мы записали выражения
1 2
z
z
1
1
z
2
вида 1 t , где t 1 .
Так как z 1, то
1
1 и в силу формулы (1)
z
1
1
1 1
1
1
2 3 ... n ... . Так
z z
z
z
1
z
n
1
z z2 z3
n z
как z 2 , то, как и в предыдущем случае,
1
... (1) n ... .
z
2 4
8
2
1
2
Следовательно,
1 1
1 1
1 1
1
1
1 1
1
1
(1) n
= 2 3 ... n ... z z 2 z 3 ... n 1 z n ... =
1 2
z z z
z
2 4
8
16
z
z
2
1
1
z
2
1
zn
n (1) n n1 .
2
n 1 z
n 0
Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана.
1
1 , поэтому в силу формулы (1)
3) Рассмотрим область z 2 . В этой области
z
1
1 1
1
1
1 2 3 ... n ... .
1
z z
z
z
1
z
z
2
1 , значит
1 и поэтому
В рассматриваемой области
2
z
1
1
2
z
1
2 4
8
2n
2 3 ... (1) n n ... .
z z
z
z
Функцию f (z ) представим в виде f ( z )
разложений имеет место равенство
1
1 1
1 1
. В силу полученных
1 z
2
z
1
1
z
z
1 1 1
1
1
2 4
8
2n
f ( z ) 1 2 3 ... n ... 1 2 3 .. (1) n n ... =
z z z
z z
z
z
z
z
n 1
n 1
n 1
1
2
1 (1) 2
.
n (1) n1 n
z
zn
n 1 z
n 1
n 1
Полученное разложение содержит только главную часть ряда Лорана.
б) Функция f (z ) имеет 2 особые точки z1 1 и z 2 2 , отметим их на плоскости Z.
Точка z1 1 совпадает с точкой z 0 1 . Проводим окружность с центром в точке z 0 1 ,
проходящую через точку z 2 2 .
Следовательно существуют две области, в каждой из которых функция f (z )
является аналитической:
1) кольцо 1 z 1 3
2) кольцо z 1 3
Найдем ряды Лорана для функции f (z ) в каждой
из этих областей, используя формулу (1). Представим
функцию f (z ) в виде суммы элементарных дробей:
2z 1
1
1
2
z z 2 z 1 z 2
1) Требуется получить разложение функции f (z )
по степеням z–1 в области 1 z 1 3 . Первая дробь уже представляет собой степень
z 1 . Для того, чтобы вторую дробь представить в искомом виде, сделаем замену z 1 t ,
1
1
1
тогда z t 1 и
. Дробь
разложим по степеням t как в предыдущем
z2 t 3
t3
примере. При 0 t 3 воспользуемся представлением:
(1) n t n
1
1 1
1 t t2 t3
tn
;
1
... (1) n n ...
t 3 3 9 27
t 3 3
3
3n1
n 0
1
3
Сделаем обратную замену. Получим, что при 0 z 1 3 функция
представима в виде
n
2z 1
1
1
1
1
n ( z 1)
(1) n 1 .
z 1 z 1
z2 z 2 z 1 3
3
n 0
1
3
Полученное разложение содержит правильную и главную часть ряда Лорана.
2) Аналогично, сделав замену z 1 t , получаем представление дроби
f (z )
1
в
t3
области t 3
1
1 1
1 3 9 27
3n
3 n1
1 2 3 ... (1) n n ... (1) n 1 n
3 t t t
t 3 t
t
t
t
n1
1
t
Сделав обратную замену, получаем, что при z 1 3 функция f (z ) представима в
виде:
2z 1
1
1
2
z z 2 z 1 z 1
1
1
3
z 1
1
3 n 1
2
3 n 1
n 1
(1) n 1
(
1
)
.
z 1 n 1
( z 1) n
( z 1) n z 1 n 2
В первом случае главная часть ряда Лорана содержит только одно слагаемое, во
втором случае ряд Лорана состоит только из одной главной части.
z
Разложить в ряд Лорана функцию f z e z 1 в окрестности особой
Задание 9.
точки z 1 .
Решение. Воспользуемся известным разложением:
z
f z e z 1
1
e
1
z 1
1
e e z 1
1
1
1
1
.
e1
...
... e
2
n
n
z 1 2!z 1
n!z 1
n0 n!z 1
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
a) f z
ez 1
б) f z
1 cos 6 z
;
z2
z3
2
;
z
в) f z z i 3 sin
1
.
2z i
Решение.
а). Особой точкой функции является точка z 0 0 . Чтобы определить вид особой
точки разложим функцию в ряд Лорана по степеням z :
1
ez 1 2
z z2
zn
1 2
1
...
... 3 3
3
z 1! 2!
n!
z
z
z
z
1
1
1
1 z
z n 3
1 2
1
1
1 z
z n 3
2
3 2
...
... 3 2
...
...
2! z 3! 4!
n!
z 1! z
2! z 3! 4!
n!
z
z
1! z
z
n 3
5
1
1 z
z
2 ...
...
2 z1
3! 4
! n
!
!
z
правильная часть
главная часть
f z
Главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, значит z 0 0 - полюс.
Порядок
высшей
отрицательной
степени
n 2
определяет
порядок
полюса.
Следовательно, z 0 0 - полюс кратности 2. Вычет найдем, используя формулу
Re s f z C 1 , тогда Re s f z
z z0
z 0
5
.
2
б). Особой точкой функции является точка z 0 0 . Чтобы определить вид особой точки
используем признак поведения функции в особой точке.
1 cos 6 z
2 sin 2 3z
lim
18 , значит z 0 0 устранимая точка и, следовательно
z 0
z 0
z2
z2
Re s f z 0 .
lim
z 0
в). Особой точкой функции является точка z 0 i . Чтобы определить вид особой точки
используем разложение функции в ряд Лорана по степеням z i :
f z z i sin
1
1
1
1
3
z i
...
3
5
2 z i
2z i 3!2z i 5!2z i
1
1
3
n
2n 1!2z i 2n1
z i 2
1
1
1
n
...
3 5
... 1
... .
2
2n2
2 n 1
2
2 3! 5!2 z i
2n 1!2 z i
главная часть
Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, значит z 0 i 1
существенно особая точка. Тогда Re s f z C1 0 , т.к. коэффициент при
равен
z i
z i
нулю.
Задание 11. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного:
а) z 3 dz , где AB - отрезок прямой, z A 0 , z B i .
AB
z dz , где
б)
ABC - ломаная, z A 0 , z B i , z c 1 i .
ABC
в)
z
2
dz , где L - дуга окружности z 1, 0 arg z .
z
dz , где L - отрезок прямой y x , соединяющий точки A и B , z A 0 и
L
г)
e
L
z B i .
Решение.
а) Так как подынтегральная функция f ( z ) z 3 аналитична всюду, то можно
i
z4
воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница: z dz = z dz
4
0
AB
3
i
3
0
i4
1
0 .
4
4
б) Подынтегральная функция f ( z) z определена и непрерывна всюду, ломаная
ABC представляет собой кусочно-гладкую кривую, поэтому искомый интеграл сводится
к вычислению двух криволинейных интегралов по координатам по формуле:
f ( z)dz udx vdy i vdx udy .
Г
Г
Г
Следовательно,
ABC
z dz
( x iy )( dx idy )
ABC
xdx ydy i
ABC
ydx xdy .
ABC
Воспользуемся свойством аддитивности криволинейного интеграла:
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz .
ABC
AB
BC
y2
На отрезке AB x 0 , значит dx 0 , y 0,1. Поэтому z dz y dy
2
AB
AB
На отрезке BC y 1 , dy 0 , 0 x 1 . Поэтому
1
0
1
.
2
x2
z dz BC x dx i BC (1) dx 2
BC
Искомый интеграл
z dz
равен
ABC
1
ix 0
1
0
1
i .
2
1 1
i 1 i .
2 2
в) Положим z e , тогда dz ie i d , 0 . Следовательно,
i
1 3i 1 3i 1 1 i 1 1
1
2
2
2i i
=
z
dz
e
ie
d
e
e e (cos i sin ) .
L
0
0
3
3
3 3
3 3
3
3
г) Зададим линию L параметрическими уравнениями: x t , y t , z t it ,
0t .
Для кривой, заданной параметрическими уравнениями z (t ) x(t ) iy (t ) , t1 t t 2 ,
t2
справедлива формула
f ( z) dz f z(t ) z (t ) dt .
L
t1
Поэтому e z dz = e t it (1 i)dt
0
L
1 i (1i )t
e
1 i
0
i e (cos i sin ) 1 (e 1)i .
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах:
а)
sin z dz
z cos z dz
.
z2 2
3
z 1 2 z z 1
б)
z 2
;
Решение.
а). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки
z 0 и z 1 . Тогда
2i Re s f z Re s f z .
3
z 1
z 0
L z z 1
sin z dz
Определим вид особых точек и найдем в них вычеты.
lim
sin z
1 , следовательно Re s f z 0 .
z 0 z z 13
lim
z 0
sin z
z 1 z z 13
Так как lim
z 1
, следовательно z 1 - полюс.
sin z
z z 1
3
z 13 1, то
z 1 - полюс порядка n 3 .
sin z 1
1
d2
1
sin z
z cos z sin z
3
z 1
Re s f z
lim
lim
lim
3
3 1! z1 dz 2
2! z 1
z2
z 1
z z 1 2! z 1 z
z 2 cos z z sin z cos z 2 z z cos z sin z
z 2 sin z 2 z cos z 2 sin z
1
1
lim
lim
2! z 1
2! z 1
z4
z3
sin 1 2 cos 1
.
2
Таким образом,
sin z dz
zz 1
3
L
sin 1 2 cos1
2i
isin 1 2 cos1.
2
б). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки
z и z . Тогда
2i Re s f z Re s f z .
2
2
z
z
L z
z cos z dz
Так как z и z - полюсы первого порядка, то для вычисления вычетов применим
z 0
, где z z cos z , z z 2 2 , z 2z .
z 0
формулу Re s f z
z z0
Re s f z
z
z cos z
1
z cos z
1
, Re s f z
2 z z
2 z
2 z z
2
Таким образом,
z cos z dz
L z
2
2
1 1
2i 2i .
2 2
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
а)
x2
0 ( x 2 1) 2 dx ;
б)
0
2
в)
xsin 5 x
dx ;
2
4
x
dx
(2 cos x)
2
.
0
Решение.
а) Сформулируем правило, позволяющее вычислять несобственные интегралы от
рациональной функции действительного переменного с помощью теории функций
комплексного переменного:
P ( x)
Пусть R (x ) - рациональная функция, R( x) k
, где Pk (x) и Qn (x) Qn ( x )
многочлены степени k и n соответственно. Если функция R (x ) непрерывна на всей
действительной оси и n k 2 , т.е. степень знаменателя по крайней мере на две
единицы больше степени числителя, то
R( x)dx 2 i
где означает сумму вычетов функции R( z )
Pk ( z )
по всем полюсам, расположенным
Qn ( z )
в верхней полуплоскости.
Так
как
подынтегральная
R ( x)
функция
x2
( x 2 1) 2
четная,
то
1
x2
z2
x2
dx
=
.
Построим
функцию
, которая на
R
(
z
)
dx
0 ( x 2 1) 2
2 ( x 2 1) 2
( z 2 1) 2
действительной оси (при z x ) совпадает с подынтегральной функцией R (x ) . Особые
точки функции R (z ) - это точки z1 i и z 2 i . Из них в верхней полуплоскости
находится точка z1 i , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции R (z )
i
относительно
полюса
равен
2
2iz
1
d
d z
= lim
. Так как в верхней
Re sR(i) lim
R( z )( z i) 2 lim
3
2
z i ( z i )
z i dz
4i
dz ( z i)
z i
полуплоскости
только
одна
особая
точка,
то
1
4i
.
Следовательно,
1
1
x2
0 ( x 2 1) 2 dx = 2 2 i 4i 4 .
б) Сформулируем правило, позволяющее вычислить рассматриваемый
несобственный интеграл с помощью теории функций комплексного переменного:
P ( x)
Пусть R (x ) - рациональная функция, R( x) k
, где Pk (x) и Qn (x) Qn ( x )
многочлены степени k и n соответственно. Если функция R (x ) непрерывна на всей
действительной оси, n k 1 , - произвольное действительное число, то
R( x) cos x dx Re2 i ; R( x) sin x dx Im2 i
1
где 1 означает сумму вычетов функции R( z ) e
верхней полуплоскости.
Так
как
подынтегральная
функция
1
i z
по всем полюсам, расположенным в
f ( x)
x sin 5 x
x2 4
является
четной,
то
xsin 5 x
1 xsin 5 x
5i z
0 x 2 4 dx = 2 x 2 4 dx . Построим функцию f (z ) = R( z) e такую, что R (z ) на
x
действительной оси (при z x ) совпадает с R (x ) : f ( z ) 2
e 5i z . Отметим, что при
x 4
Im
f
(
z
)
f
(
x
)
f (z ) имеет в верхней
справедливо
равенство
.
Функция
zx
полуплоскости полюс первого порядка в точке z 2i . Вычет функции f (z ) относительно
z e 5i z
1
1
этого полюса равен Re sf (2i) lim 2
( z 2i) = e 10 . Следовательно, 1 = e 10 и
z 2i z 4
2
2
xsin 5 x
1 10
10
0 x 2 4 dx = Im 2 i 2 e e .
в) Сформулируем правило, позволяющее вычислить определенный интеграл
функции, зависящей рационально от тригонометрических функций с помощью теории
функций комплексного переменного:
Пусть R - рациональная функция аргументов sin x и cos x , x 0, 2 и
функция R непрерывна внутри промежутка интегрирования. Полагаем z e i x , тогда
dz
z2 1
z2 1
dx
, cos x
, sin x
, z 1 . В этом случае
iz
2z
2iz
2
R(cos x, sin x)dx F ( z )dz = 2 i
z 1
0
где есть сумма вычетов функции F (z ) относительно полюсов, заключенных внутри
окружности z 1 .
интеграле применим подстановку z e i x и после
2
z dz
dx
4
преобразований получим:
=
. Внутри круга радиуса 1 с
2
2
i я 1 ( z 4 z 1) 2
0 ( 2 cos x)
В
рассматриваемом
центром в начале координат содержится только одна особая точка подынтегральной
z
функции F ( z ) 2
- это точка z1 2 3 , которая является полюсом второго
( z 4 z 1) 2
порядка.
Вычет
функции
Re sF (2 3 ) lim
z 2
2
dx
(2 cos x)
0
2
= 2 i
F (z )
относительно
z ( z 2 3)
d
3 dz ( z 2
3) 2 ( z 2 3) 2
4
1
4
.
i 2 27 3 3
2
точки
=
1
2 33
z 1 2 3
.
равен
Следовательно,
Вариант №1
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 1 2i и z 2 = 4 2i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
3
б) Найти: z1 z 22 , z1 , 3 z 2 z1 .
z2
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) cos z , z 0
б) f ( z ) e z , z 0
3
i 1;
3
i.
2 2
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) cos z 2 и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z 3 sec t i 2tgt
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
z 1 1,
;
z 1 2.
а)
Im z z 1,
б) z z z z 0, .
z z z z 3.
Задание 6. Проверить, может ли функция u x 2 y 2 x быть действительной частью
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 0 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w
z 1
1
область D :
плоскости Z .
z
0 arg z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
z2
3
2
2z z z
, z0 0 ;
z 1
, z 0 1 2i .
z z 1
Задание 9. Функцию f z = z cos
1
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
z2
z0 2 .
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
б) f z =
z
z 12
2
ez
3z 2
2
;
2
z5
.
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
z
2
dz ; AB : { y x 2 ; z A 0; z B 1 i}
AB
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
sin z dz
3
z i 3 z 1
;
ez
dz .
б)
z i
z 4
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
x2 x 2
dx
1. 4
2
x 10 x 9
2.
0
2
3.
2
0
2
4.
x sin 3x
dx
2
4) 2
(x
dx
3 sin x
dx
10
0
(1
cos x) 2
11
Вариант №2
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 4 4i и z 2 = 2 2i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z1 z 22 , z 2 , 4 z1 1 .
z1
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) Lnz , z 0
1 i
;
1 i
б) f ( z ) chz , z 0 1
3
i.
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) sh
z
и вычислить
3
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z 2 sec t i3tgt .
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
z i 1,
а)
;
z 2.
б) z
1
z
1 .
2
2
Задание 6. Проверить, может ли функция u x 3 3xy 1 быть действительной частью
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 1 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w
0 Re z 2
1
область D :
плоскости Z .
z
Im z 0
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
z4
4
z z 3 2z 2
, z0 0 ;
z 1
, z 0 2 3i
z z 1
Задание 9. Функцию f z = sin
z
разложить в ряд Лорана в окрестности точки z 0 1 .
z 1
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
б) f z =
z2 1
z 6 2z 5 z 4
cos z 1
z 14
;
.
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
( z 1)e dz ; L : { z 1; Re z 0}
z
L
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
z tgz dz ;
z 1
б)
z dz
2 2
z 1 i 2 z 2 z 1
.
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
(x
x 1
dx
4) 2
2
2.
( x 1) sin x
dx
2
2
( x 9)
2
3.
4
0
2
4.
(
0
dx
15 sin x
dx
5 cos x) 2
Вариант №3
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 3 4i и z 2 = 4 3i Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z1 z 2 2 , z 2
z1
, 4 z2 .
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f (z ) shz , z 0 2
4
i;
б) f (z ) ln z , z 0 4 3 4i .
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) e i z 1 и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z sec t i3tgt .
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
z 3 z 3 5 ,
а)
;
Re z 5.
2
б) Re z 2 z 0.
Задание 6. Проверить, может ли функция v e x ( y cos y x sin y) быть мнимой частью
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 0 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
z 1
1
w область D :
плоскости Z .
z
arg z 2
2
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
3 z 18
2 z 3 3z 2 9 z
, z0 0 ;
z 1
, z 0 3 2i .
z z 1
Задание 9. Функцию f z
z
= ze z 5
разложить в ряд Лорана в окрестности точки z 0 5 .
Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
Задание 10.
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
z 3
z
2
б) f z = z 4 sin
2 3
;
3
.
z
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
Im z dz ; АВ – отрезок прямой z
3
A
0; z B 2 2i
AB
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
z dz
2
z 2 1 2 sin z
;
ez
5
3
z 1 2 z 4 z
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
(x
2.
2
cos 2 x
dx
2
1) 2
52
0
2
4.
dx
1) 2
(x
3.
4
dx
6 sin x
dx
6
0
(1
cos x) 2
7
Вариант №4
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 7 i и z 2 = 1 7i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z12 z 2 , z 1 , 3 z1 z 2 .
z2
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) ctgz , z 0
2
i 2;
1
б) f ( z ) e z , z 0 i .
2 2
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) ln z и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z 4tgt i3 sec t .
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
z 1 i 1,
а)
;
arg z .
4
1 Re z 2 Im z ,
б)
Re z 2.
Задание 6. Проверить, может ли функция u x 2 y 2 2 y быть действительной частью
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии
f (0) 0 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w
1 z
область D : z 1 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
2 z 16
z 4 2z 3 8z 2
, z0 0 ;
z 1
, z 0 2 i
z z 1
Задание 9. Функцию f z = sin
2z 7
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
z2
z 0 2 .
Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
Задание 10.
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
б) f z =
cos z
3
z
2
ez 1
z3
;
z
2
.
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
2
( z 7 z 1)dz ; АВ – отрезок прямой z A 1; z B 1 i
AB
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
dz
4
z 1 1 z 1
z 2
z 2 cos
;
2 z
dz .
2z
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
(x
2
dx
4) 2 ( x 2 16)
x 2 cos x
dx
2. 2
2
( x 1)
2
3.
6
0
2
4.
(2
0
dx
35 sin x
dx
3 11 cos x) 2
Вариант №5
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 3 i и z 2 = 1 3i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z12 z 2 , z1 ,
z2
z1 z 2 .
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) tgz , z 0
6
i2;
б) f ( z ) Arc sin z , z 0
3.
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) 2i sin z и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z 3tgt i 4 sec t .
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
z i 1,
а)
;
argz i .
4
2
б) z 2 z 3Re z 2 4.
2
e2x 1
cos y быть действительной частью
Задание 6. Проверить, может ли функция u
ex
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии
f (0) 0 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
z 1
1
w область D : Re z 0 плоскости Z .
z
Im z 0
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
5 z 50
3
2 z 5 z 2 25 z
, z0 0 ;
z 1
, z 0 1 3i .
z z 1
Задание 9. Функцию f z = cos
3z
разложить в ряд Лорана в окрестности точки z 0 i .
z i
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
z
z2 4
2
3z 2
б) f z = z 3ch
;
2
2
.
z
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
z dz ; АВС – ломаная z A 0; z B 1 i; zC 1 i
ABC
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
z dz
2
z 1,5 z 1 z 2
;
ctg z dz .
z 1 5
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
(x
2.
( x 1) cos x
dx
4
5x 2 6
74
0
2
4.
dx
x 1) 2
x
2
3.
2
(3
0
dx
3 sin x
dx
2 2 3 cos x) 2
Вариант №6
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 7 24i и z 2 = 24 7i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
2
б) Найти: z1 z 2 , z 1
z2
, 4 z1 z 2 .
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) Arctgz , z 0 1 ;
б) f ( z ) e z , z 0 1 2 i .
3
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) cos iz и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z 4tgt i 2 sec t .
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
z i 2,
;
z i 2.
а)
3
2
б) z z z z .
x
быть действительной частью
x y2
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии
f (1) 1 i .
Задание 6. Проверить, может ли функция u
2
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w
0 Re z 1
1
область D :
плоскости Z .
z
0 Im z 2
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
3 z 36
4
z 3 z 3 18 z 2
, z0 0 ;
z 1
, z0 2 i .
z z 1
Задание 9. Функцию f z = sin
z 0 2i .
5z
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
z 2i
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
cos z
2
4
z 1
;
б) f z = z 2 2 z 1 sh
2
.
z 1
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
5
3
(12z 4z 1)dz ; АВ – отрезок прямой z A 1; z B 1 i
AB
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
e z dz
z 2i 2
б)
z 4
z 3 z 1
;
z 2 dz
cos z 1
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
dx
4)( x 2 9) 2
x
x sin
2
dx
2. 2
2
(
x
1
)(
x
9)
1.
(x
2
3.
2
dx
5 4 sin x
0
2
4.
dx
(4 cos x)
0
2
Вариант №7
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 4 3i и z 2 = 3 4i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z12 z 2 , z 2 , 5 z 2 .
z1
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) Arcshz , z 0 i ;
б) f ( z ) cos z , z 0
2
i
3
.
2
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) ch
z
и вычислить
i
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z 3cosect i3ctgt .
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
z 1 i 1,
а) Im z 1,
;
Re z 1.
б) z z 2 8 4Im z 2 .
2
Задание 6. Проверить, может ли функция v e y sin x y быть мнимой частью некоторой
аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 1 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w z
2
область D : z 1 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
7 z 98
3
2 z 7 z 2 49 z
, z0 0 ;
z 1
, z 0 1 2i .
z z 1
Задание 9. Функцию f z = sin
3z i
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
3z i
z0 i .
3
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
sin z 3
2
z z
8
б) f z = z e
3
1
z2
3
;
.
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
2
z dz ; АВ – отрезок прямой z A 0; z B 1 i
AB
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
z 2 sin
z 0,5
б)
1
dz ;
z
dz
.
3
2
z
z
z
4
z i 1,5
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
x
2.
dx
10 x 2 9
( x 2 3) cos 2 x
4 2 dx
x 3 x 2
2
3.
4
dx
5 3 sin x
0
2
4.
dx
(4 3 cos x)
0
2
Вариант №8
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 4 4i и z 2 = 2 3i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z 1 z 22 , z 2 , 3 z1 2z 2 .
z1
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) cos z , z 0
2
3
i;
4
б) f ( z ) Arcthz , z 0 i .
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) sin z i и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z 4cosect i 2ctg t .
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
z 2 z 2 4,
а)
;
argz 1 .
4
4
z 1 1 Re z
б)
Re z 5.
Задание 6. Проверить, может ли функция v e x cos y быть мнимой частью некоторой
аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 1 i .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w z
1
область D : z 4 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
4 z 64
z 4 4 z 3 32 z 2
, z0 0 ;
z 1
, z 0 2 3i .
z z 1
Задание 9. Функцию f z = z cos
1
разложить в ряд Лорана в окрестности точки z 0 1 .
z 1
Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
Задание 10.
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
z2 1
а) f z =
z i 2 z 2 4
б) f z =
cos z
z3
;
.
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
3 z4
z e dz ; АВС – ломаная z A i; z B 1; zC 0
ABC
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
2
а)
б)
ez 1
3
2
z i 3 z iz
z 1
z 3 cos
dz ;
2i
dz .
z
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
dx
9)( x 2 4) 2
x
3
( x 2) cos
2 dx
2. 2
2
( x 1)( x 9)
1.
(x
2
3.
83
0
2
4.
2
(
0
dx
7 sin x
dx
5 3 cos x) 2
Вариант №9
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 2 2i и z 2 = 8 8i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z12 z 2 , z 2 ,
z1
z1 z 2 .
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) shz , z 0 2
2
i;
б) f ( z ) Lnz, z 0 2 2i .
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) ln z 3 и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z ctg t i 2cosect .
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
z 2 i 2,
а) Re z 3,
;
Im z 1.
z z Re z Im z ,
Im z 2.
б)
y
быть мнимой частью
( x 1) 2 y 2
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 1 .
Задание 6. Проверить, может ли функция v
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w z
4
область D : z 4 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
9 z 162
2 z 3 9 z 2 81z
z3
z2 1
, z0 0 ;
, z0 2 i .
Задание 9. Функцию f z = z sin
1
разложить в ряд Лорана в окрестности точки z 0 1 .
z 1
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
1 cos 2 z
б) f z =
3
1
e z .
z
z 2 z 3
;
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
z
Re dz ; ABC : { z 1, Im z 0}, BC- отрезок z B 1, z C 2
z
ABC
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
sin z
2
z 3z z
dz ;
ze 2 z
z 4 8 z 2 9
z i 2 2
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
x2
( x 2 3) 2 dx
( x 2 x) sin x
dx
2. 4
2
x 9 x 20
2
3.
94
0
2
4.
(
0
dx
5 sin x
dx
7 2 cos x) 2
Вариант №10
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 3 2i и z 2 = 5 5i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z1 z 22 , z 2 , 4 z1 i .
z1
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) sin z , z 0
3
2
i;
3
б) f (z ) ln z , z 0 2 3 2i .
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) Arctg z и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z ctg t i3cosect .
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
z 1 i 1,
а) 0 Re z 2, ;
0 Im z 2.
1 1
Im ,
б) z 4
argz i .
3
y
быть мнимой частью некоторой
x y2
аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (1) 2 .
Задание 6. Проверить, может ли функция v y
2
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w z
3
область D : z 3 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
5 z 100
z 4 5 z 3 50 z 2
z3
z2 1
, z0 0 ;
, z0 3 i .
Задание 9. Функцию f z = z 3 cos
z 3
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
z
z0 0 .
Задание 10.
Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
б) f z =
z i 3
z
2
1
z2
2 3
;
1
sin
z2
.
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
2
( z cos z)dz ; АВС – ломаная z A 0; z B 1; zC i
ABC
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
zdz
z
z 1 4 e 3
z 1
;
z 2 cos z
z3
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
(x
2
2.
x
2
3.
2
dx
2)( x 2 3) 2
x cos x
dx
2 x 17
4
0
2
4.
(4
0
dx
7 sin x
dx
7 cos x) 2
Вариант №11
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 3 4i и z 2 = 3 4i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z1 z 2 2 , z 1
z2
, 5 z1 z 2 .
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) chz , z 0 1
б) f (z ) ln z , z 0
4
i;
1 2i
.
1 2i
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) e
z2
2 и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z 3ch2t i2sh 2t .
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
z i 2,
а)
;
0
Re
z
1
.
б) Re 4 z 8 Im 2 z 4 z z.
Задание 6. Проверить, может ли функция u e y cos x быть действительной частью
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 1 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w z
4
область D : z 2 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
11z 242
3
2 z 11z 2 121z
z3
z2 1
, z0 0 ;
, z 0 2 3i .
Задание 9. Функцию f z = z 2 sin
z0 0 .
z 1
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
z
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
б) f z =
cos z
z4 1
;
ch z i
z i 3
.
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
z
L z dz ; L –граница области: {1 z 2, Re z 0}
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
z dz
3
z 2 2 z 1 z 2
z 0,5
e z sin z
z2
;
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
(x
2
2.
x sin 2 x sin x
dx
( x 2 4) 2
2
3.
3
0
2
4.
dx
9)( x 2 1) 2
(3
0
dx
5 sin x
dx
5 cos x) 2
Вариант №12
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 2 3 2i и z 2 = 3 3 3i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
2
б) Найти: z1 z 2 , z1
z2
, 3 z2 .
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) Arctgz , z 0 2i ;
б) f ( z ) e z , z 0 2
3
i.
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) ch 2iz и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z 2ch3t i3sh3t .
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
z i 1,
а)
;
0 arg z .
4
2
б) 4 Re z Re z z .
Задание 6. Проверить, может ли функция u y 2 xy быть действительной частью
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии
f (0) 0 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w
2
область D : z 1 1 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0
а) f z =
б) f z =
6 z 144
4
z 6 z 3 72 z 2
z3
z2 1
, z0 0 ;
, z 0 2 2i .
Задание 9. Функцию f z = z cos
z 0 2i .
z
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
z 2i
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
б) f z =
sin z
z 2 z 3
z2
1
;
.
e z
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
(chz cos iz )dz; ABC ломаная, z A 0, z B 1, zC i .
ABC
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
dz
z 0,5 z 1
2
z 2 1 ;
1 sin 1 z
dz .
б)
z
z i 2
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
x2 1
dx
2
2
( x x 1)
2.
(x
2
3.
cos 5 x
dx
1) 2 ( x 2 4)
32
0
2
4.
2
dx
2 sin x
(3 2
0
dx
2 cos x) 2
Вариант №13
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 4 3i и z 2 = 1 7i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z13 z 2 , z 2 , 3 z1 z 2 .
z1
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) cos z , z 0
2
i
3
;
2
б) f (z ) ln z , z 0 2 2i .
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) sin z 2 и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z 5sh 4t i4ch4t .
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
z 2 z 2 4 2 ,
;
0 Im z 2.
а)
б) 4 z Re z 12.
Задание 6. Проверить, может ли функция v x 2 y 2 2 x 1 быть мнимой частью
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) i .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w z
3
область D : z 1 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
13 z 338
3
2 z 13 z 2 169 z
z
2
z 1
, z0 0 ;
, z0 2 i .
Задание 9. Функцию f z = cos
z0 2 .
z 2 4z
z 22
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
z 2 2iz 1
б) f z =
cos 2 z
;
z2 z2 1
z4
.
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
z zdz; L : { z 4, Re z 0} .
L
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
e z dz
2
z i 3 z z 9
z i 1
cos iz 1
z3
;
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
x2 1
dx
1. 2
2
( x 4 x 13)
2.
x 3 sin x
2 2 dx
( x 9)
2
3.
42
0
2
4.
(2
0
dx
3 sin x
dx
2 7 cos x) 2
Вариант №14
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 3 3i и z 2 = 2 i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
2
б) Найти: z1 z2 , z1
z2
, 5 z1 z 2 .
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) thz , z 0 1
б) f ( z ) Lnz , z 0
2
i;
2i
.
2i
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции
f (z ) Arctg z i и
вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной
производной.
Задание 4. Определить вид кривой z 4sh5t i5ch5t .
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
z i 1,
а)
;
arg z 0.
4
б) z 2 1 2 z .
Задание 6. Проверить, может ли функция u x 2 y 2 2 x 1 быть действительной частью
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 1 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w z
2
область D : z 3 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0
а) f z =
б) f z =
7 z 196
z 4 7 z 3 98 z 2
z
z2 1
, z0 0 ;
, z 0 1 2i
Задание 9. Функцию f z = sin
zi
разложить в ряд Лорана в окрестности точки z 0 i .
z i
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
ctg z
16 z 2 2
б) f z = z 5 sin
1
z2
;
.
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
(chz z )dz; L : { z 1, Im z 0}
L
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
dz
2
z 2,5 1 z 0,5 z 3
z 2
z sin z
z4
;
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
x2
2 2 dx
( x 5)
2.
( x 1) sin 2 x
dx
2
x
2
x
2
2
3.
5
0
2
4.
(
0
dx
21 sin x
dx
6 cos x) 2
Вариант №15
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 3 3i и z 2 = 4 3i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
2
б) Найти: z1 z 2 , z1 , 4 z1 z 2 .
z2
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) shz , z 0 1
б) f ( z ) Arctgz , z 0
2
i;
3 4i
.
5
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) 2 z и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
2
i 4 th 2t .
ch 2t
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
Задание 4. Определить вид кривой z
z 1 1,
;
z i 1.
а)
z 1 1 Re z
б)
z 1 z 1 2 2 .
Задание 6. Проверить, может ли функция v 3x 2 y y 3 y быть мнимой частью
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии
f (0) 0 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w z
1
область D : z 1 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
15 z 450
3
2 z 15 z 2 225 z
z
2
z 1
, z0 0 ;
, z 0 3 i .
Задание 9. Функцию f z = sin
z
разложить в ряд Лорана в окрестности точки z 0 3 .
z 3
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
б) f z =
sin 3 z
z
2
z
3
;
1
1
1
e z .
z 2z 2
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
z Re z
2
dz; L : { z R, Im z 0}
L
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
z 1
z
z 2 e 3
dz ;
z 5 3z 3 5 z
z4
z 1 1,5
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
(x
2.
2
x sin x
dx
2
1) 2
64
0
2
4.
dx
1) 2 ( x 2 4)
(x
3.
2
(
0
dx
2 sin x
dx
6 5 cos x) 2
Вариант №16
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 2 2 3i и z 2 = 3 2i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z1 z 22 , z 2 , 5 z 2 .
z1
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) cos z , z 0
3
i 3;
б) f ( z ) Archz , z 0 - 2 .
z
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) ln и вычислить
i
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
4
i 2th4 t .
ch4 t
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
Задание 4. Определить вид кривой z
z 2,
;
arg
z
1
.
6
6
а)
0 1 Im z z i ,
б)
2 Re z 2.
Задание 6. Проверить, может ли функция v 2 xy y быть мнимой частью некоторой
аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 0 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w
1
1 1
область D : z плоскости Z .
z
2 2
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
8 z 256
z 4 8 z 3 128 z 2
z
2
z 1
, z0 0 ;
, z 0 3 2i
Задание 9. Функцию f z = zsh
1
разложить в ряд Лорана в окрестности точки z 0 2 .
z2
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
б) f z =
4 z
cos z
2
2 2
;
e2z i
.
2z i
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
(3z
2
2 z )dz AB : { y x 2 ; z A 0; z B 1 i}
AB
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
dz
2
z 2 1,5 z 1 z 2
z 1
z 2e
1
z2
dz
z
;
.
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
x2 5
dx
1. 4
2
x 5 x 6
2.
3.
cos 2 x
dx
1 2
0 (x2
)
4
2
dx
82
0
2
4.
(
0
15 sin x
dx
7 5 cos x) 2
Вариант №17
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 1 i и z 2 = 3 i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
2
б) Найти: z1 z 2 , z1
z2
, 5 z1 z 2 .
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) Lnz, z 0 1 i ;
б) f ( z ) Arc cos z , z 0 5 .
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) cth zi и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
5i
.
ch5t
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
Задание 4. Определить вид кривой z th 5t
z 1,
а)
;
argz i .
3
Im z z 3,
Im z 3 z .
б)
Задание 6. Проверить, может ли функция v 3x 2 y y 3 быть мнимой частью некоторой
аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 1 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w z
2
область D : z 3 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
z2
z z 2 2z 3
б) f z = 4
, z0 0 ;
z2
, z 2 2i .
z 1z 3 0
Задание 9. Функцию f z
z
z
=e 3
разложить в ряд Лорана в окрестности точки z 0 3 .
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
z
z 32
2
5z 6
б) f z = z 3 cos
2
;
4 2z
.
4z
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
z Re z
2
dz; L : { z R, Im z 0}
L
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
e z dz
2 2
z 2 3 z z 9
z 1
e2z z
z2
;
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
(x
2.
0
0
2
4.
dx
1) 3
cos x
dx
2
1) 3
(x
2
3.
2
(
0
dx
3 sin x 2
dx
2 cos x) 2
Вариант №18
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 5 6i и z 2 = 2 2i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z 1 z 22 , z 1 , 3 z1 z 2 .
z2
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) e z , z 0 1 i ;
3
б) f ( z ) chz , z 0 2
2
i.
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) sin 2 z и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
1
icth t .
sht
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
Задание 4. Определить вид кривой z
1 z 1 2,
а) Im z 0,
;
Re z 1.
arg z 2 ,
б)
z 2 3 3.
Задание 6. Проверить, может ли функция u e x ( x cos y y sin y) быть действительной
частью некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии
f (0) 0 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w z
1
область D : z 2 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
z4
2z z 3 z 4
б) f z = 4
2
, z0 0 ;
z2
, z 1 3i .
z 1z 3 0
Задание 9. Функцию f z = sin
2z
разложить в ряд Лорана в окрестности точки z 0 4 .
z4
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
б) f z =
sin 2 z
z 3 2z 2
3
;
.
z 4e z
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
2
( z 1)dz ; АВС – ломаная z A 0; z B 1 i; zC i
ABC
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
z 1
2
z 3 z 4
dz ;
z tg 2 z dz .
z 0,5 1
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
x2 3
dx
2
2
( x 10 x 29)
2.
(x
0
2
3.
0
2
4.
(
0
2
cos x
dx
9)( x 2 16)
dx
15 sin x 4
dx
5 2 cos x) 2
Вариант №19
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 4 4i и z 2 = 3 2i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z12 z 2 , z1 , 4 z1 .
z2
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) sin z , z 0
3
2
i;
3
б) f (z ) ln z , z 0 1 i .
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) cos 2 zi и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z 2e it
1
.
2e it
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
1 z i 2,
а) Re z 0,
;
Im z 1.
z z 2 Im z 2 ,
б)
arg z .
2
6
Задание 6. Проверить, может ли функция v 2 xy 2 x быть мнимой частью некоторой
аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 0 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
z 1
1
w область D : Re z 0 плоскости Z .
z
Im z 0
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
3 z 18
9 z 3z 2 2 z 3
, z0 0 ;
б) f z = 4
z2
, z 3 i .
z 1z 3 0
Задание 9. Функцию f z = cos
z 2 4z
z 22
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
z0 2 .
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
б) f z =
z
shz
2
e2z 3
z3
;
2 2
.
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
e
z
2
Im zdz ; АВ – отрезок прямой z A 1 i; z B 0
AB
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
z i z
б)
z 4
e
1
z
z
chz dz
2
1
;
2 2
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
(x
2.
x
2
3.
2
0
2
4.
2
2
dx
1) ( x 2 5) 2
2
x sin x
dx
2 x 10
dx
6 sin x 5
dx
(3 cos x)
0
2
Вариант №20
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 3 3i и z 2 = 1 3i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
2
z
б) Найти: z1 z 2 , 2 , 5 z1 .
z1
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) shz , z 0 2
4
б) f ( z ) Arc sin z , z 0
i;
3i
.
4
iz
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) e 2 и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z 3e it
1
.
2e it
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
z 2,
а) Re z 1, ;
arg z .
6
б) Re z 2 z
2
4 Re z 2 Im z.
Задание 6. Проверить, может ли функция u 1 sin y e x быть действительной частью
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии
f (0) 1 i .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
z 1
1
w область D : Re z 0 плоскости Z .
z
Im z 0
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
2 z 16
2
8z 2 z 3 z 4
, z0 0 ;
б) f z = 4
z2
, z 2 i .
z 1z 3 0
Задание 9. Функцию f z = ch
4z 2z 2
z 12
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
z0 1.
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
2
z 2 9
а) f z =
;
z 3i 2 z 2 4
б) f z =
sh 3 z-1
z2
.
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
(sin iz z)dz; L : { z 1, Re z 0}
L
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
e z dz
4
2
z i 1 z 2 z 1
z 1
z sin
1
z2
;
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
4
x
2
dx
35 sin x 6
2.
2
3.
0
2
4.
dx
7 x 2 12
x
(
0
x cos x
dx
2 x 10
dx
7 2 cos x) 2
Вариант №21
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 3 i и z 2 = 2 3 2i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z12 z 2 , z 2 , 4 z 2 z1 .
z1
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) cos z , z 0
6
i2;
б) f ( z ) Archz , z 0 3i .
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) 2i ln z и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z 2e it
1
.
e it
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
1 z 1 2,
а) Im z 0,
;
Re z 1.
б) Im z 2 z 2 Im z.
e2x 1
Задание 6. Проверить, может ли функция v
sin y быть мнимой частью некоторой
ex
аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 2 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
z 1
1
w область D : Re z 0 плоскости Z .
z
Im z 0
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
5 z 50
25 z 5 z 2 2 z 3
б) f z = 4
, z0 0 ;
z2
, z 1 2i .
z 1z 3 0
z
Задание 9. Функцию f z = ze z 3i
2
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
z 0 3i .
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
z
б) f z =
sin 2 z
2
chz
z4
2 2
;
.
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
2
z Re z dz АВ – отрезок прямой z A 0; z B 1 2i
AB
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
e iz dz
3
z 4 z
z i 1
;
cos z z
z2
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
x2 4
dx
1. 2
2
( x 9)
x
x sin
2. 2 2 dx
0 x 4
2
3.
4
0
2
4.
(
0
dx
3 sin x 7
dx
3 cos x) 2
Вариант №22
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 4 3i и z 2 = 3 4i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
2
б) Найти: z1 z 2 , z 2 , 5 z1 z 2 .
z1
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) Lnz, z 0 1 i ;
i
б) f ( z ) Arctgz , z 0 .
3
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) sh i z и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z 2e 2it
1
.
e
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
2it
z 1 1,
а) 0 Re z 3, ;
1 Im z 0.
б) 1
z
z 0,25 .
4
y
быть мнимой частью некоторой
x y2
аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (1) 1 i .
Задание 6. Проверить, может ли функция v 1
2
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w
4 Re z 4
1
область D :
плоскости Z .
z
0 Im z 8
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
3 z 36
18 z 3 z 3 z 4
б) f z = 4
2
, z0 0 ;
z2
, z 3i .
z 1z 3 0
Задание 9. Функцию f z = zsh
z
разложить в ряд Лорана в окрестности точки z 0 .
z
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
б) f z =
2
ez 1
;
z 3 iz 2
2
2
sin .
z
z
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
3
(2 x 1)dz AB : { y x ; z A 0; z B 1 i}
AB
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
cos z 2
2
z 3 2 z 4
z 1
dz ;
ze z z 1
z3
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
(x
2
2.
(x
2
3.
2
dx
1) 5
sin 2 x
dx
x 1) 2
dx
4 sin x 5
0
2
4.
(2
0
dx
3 cos x) 2
Вариант №23
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 2 2i и z 2 = 1 3i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z1 z 2 , z 1 , 4 z 23 .
z2
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) tgz , z 0
б) f ( z ) e z , z 0
3
i;
1
i.
2 4
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) Arctg iz и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
1 t
2t
i
.
1 t
2t
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
Задание 4. Определить вид кривой z
z i 1,
а) 3
;
arg z .
4
4
z 2 Re z ,
2 z Re z.
б)
Задание 6. Проверить, может ли функция u e y cos x x быть действительной частью
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 1 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w
1 Re z 1
1
область D :
плоскости Z .
z
2 Im z 0
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
7 z 98
49 z 7 z 2 2 z 3
б) f z = 4
, z0 0 ;
z2
, z 2 2i .
z 1z 3 0
Задание 9. Функцию f z = z sin
z2
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
z
z0 0 .
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
z2 4
z 6 4z 5 4z 4
;
1
2 z
б) f z = cos sin
.
z
2z
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
zzdz AB : { z 1; Re z 0; Im z 0} BC- отрезок z B 1, zC 0
ABC
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
e iz dz
3
z 4 z
z 1
z 2 chz
z3
;
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
(x
2
(x
2
2.
2
3.
dx
2) ( x 2 10) 2
2
sin 2 x
dx
x 1) 2
dx
3 sin x 5
0
2
4.
(
0
dx
13 2 3 cos x) 2
Вариант №24
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 3 2i и z 2 = 1 i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
2
б) Найти: z1 z 2 , z1
z2
, 3 z1 z 2 .
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) sin z , z 0
2
5i ;
б) f ( z ) Lnz, z 0 1 i .
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) ch 2 iz и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
t 1 it
.
t t 1
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
Задание 4. Определить вид кривой z
z 1 1,
;
z i 1.
а)
z i 1 Im z ,
б) 0 argz i ,
4
Im z 2.
Задание 6. Проверить, может ли функция v e y sin x быть мнимой частью некоторой
аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 1 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w
1 Re z 1
1
область D :
плоскости Z .
z
0 Im z 4
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
4 z 64
32 z 2 4 z 3 z 4
б) f z = 4
, z0 0 ;
z2
, z 2 i .
z 1z 3 0
Задание 9. Функцию f z = z cos
z3
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
z 1
z0 1.
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
z
chz
2
2 3
;
5
б) f z = 3 z cos .
z
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
(cos iz 3z
2
)dz; L : { z 1, Im z 0}
L
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
sin z
2
z 1 2 z 1
б)
z 1
e iz 1
z3
2
dz ;
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
(x
2
dx
8 x 17) 2
2.
( x 3 5 x) sin x
x 4 10 x 2 9 dx
2
3.
3
0
2
4.
dx
7 sin x 8
dx
(2 cos x)
0
2
Вариант №25
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 5 5i и z 2 = 2 i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z 1 z 22 , z 2 , 5 z1 z 2 .
z1
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) Arc cos z , z 0 3i ;
б) f ( z ) e z , z 0
3
i 2.
4
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) th iz и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
1 i
t
2 4i .
1 i 1 t
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
Задание 4. Определить вид кривой z
z 1 z 1 4,
а)
Re z 5.
;
Re z Im z 2 1,
б)
arg z
4
Задание 6. Проверить, может ли функция v 2 xy x быть мнимой частью некоторой
аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 0 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w z
4
область D : z 5 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
9 z 162
81z 9 z 2 2 z 3
2z
z2 4
, z0 0 ;
, z 0 1 3i .
z3
Задание 9. Функцию f z = z 2 sin
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
z
z0 0 .
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
z
cos z
2
2 3
б) f z = z 1ch
;
3
.
z
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
z dz; L : { z
2 , 3 / 4 arg z 5 / 4}
L
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
z 1dz
2
z 4 z 2z 3
z i 2
z sin z
2z 4
;
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
x 2 10
2 2 dx
( x 4)
2.
x 2 cos x
dx
2
4
x 10 x 9
2
3.
4
0
2
4.
dx
5 sin x 9
dx
(3 2 cos x)
0
2
Вариант №26
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 3 i и z 2 = 1 3i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z1 z 2 2 , z1
z2
, 4 z1 .
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) cos z , z 0
4
i 1;
б) f ( z ) Arctgz , z 0 2 i .
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) cos2iz и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
2t
1 t
i
.
2t
1 t
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
Задание 4. Определить вид кривой z
z 1 i 1,
а) Re z 1,
;
Im z 1.
z 2 z 2i ,
z 3 z 5 .
б)
x
x быть действительной частью
(x y 2 )
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (1) 2 .
Задание 6. Проверить, может ли функция u
2
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w z
3
область D : z 5 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
5 z 100
2
50 z 5 z 3 z 4
2z
z2 4
, z0 0 ;
, z 0 3 2i .
Задание 9. Функцию f z = z sin
z 2 2z
z 12
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
z0 1.
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
б) f z =
z
sin z
2
sh 2 z
z2
2 2
;
.
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
9
( z 1)dz ; АВС – ломаная z A 0; z B 1 i; zC i
ABC
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
sin z
dz ;
5
z 1 3 z
z 4
e 2 z 3z
z2
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
(x
2.
0
2
4.
dx
1) 4
( x 3 1) cos x
4 2 dx
x 5 x 4
2
3.
2
dx
7 sin x 4
dx
(2 cos x)
0
2
Вариант №27
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 2 5i и z 2 = 3 4i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z13 z 2 , z 1 , 3 z1 z 2 .
z2
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) shz , z 0 1
3
i;
б) f ( z ) Lnz, z 0 3 i .
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) sin 2 2iz и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z t 2 2 i t 2 4t 5 .
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
5
6 arg z 6 ,
а)
;
argz 2i 3 .
4
4
б) Rez 1 z .
Задание 6. Проверить, может ли функция v x 2 y 2 x быть мнимой частью некоторой
аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 0 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w z
3
область D : z 4 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
11z 242
, z0 0 ;
121z 11z 2 2 z 3
2z
2
z 4
, z 0 2 3i .
Задание 9. Функцию f z = z cos
z0 3 .
z
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
z 3
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
tgz
z z
2
;
4
б) f z =
1
1
cos .
z
z2
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
5
(sin z z )dz ; АВС – ломаная z A 0; z B 1; zC 2i
ABC
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
z i 1 z
б)
z 1
dz
2
z 2 sin
1
i
z2
2
;
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
(x
2
dx
1) ( x 2 15) 2
2
2.
( x 3 1) sin x
4 2 dx
x 5 x 4
2
3.
0
2
4.
(
0
dx
5 sin x 3
dx
10 3 cos x) 2
Вариант №28
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 2 3 2i и z 2 = 3 3 3i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
2
б) Найти: z1 z 2 , z1
z2
, 5 z2 .
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) tgz , z 0
2
i;
б) f ( z ) Arcshz , z 0 4i .
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) ie z
2
и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z t 2 2t 5 it 2 2t 1.
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
Re z 2,
;
Im z 3.
а)
2 2 z 2 ,
б)
Re z 1.
Задание 6. Проверить, может ли функция u 2 xy 2 y быть действительной частью
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) i .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w z
2
область D : z 2 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
6 z 144
72 z 2 6 z 3 z 4
2z
2
z 4
, z0 0 ;
, z 0 3 2i .
Задание 9. Функцию f z = z sin
z0 2 .
z 1
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
z2
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
б) f z =
z2 4
z 5 4iz 4 4 z 3
;
e z e
.
ze
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
2
z Im z dz АВ – отрезок прямой z A 0; z B 1 i
AB
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
2 3z 3 5 z 4
z5
z 1 1
б)
z 1
shz z 2
z3
dz ;
dz .
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
x2 2
4 2 dx
x 7 x 12
2.
cos 2 x cos x
dx
( x 2 1) 3
2
3.
2
0
2
4.
(
0
dx
2 sin x 3
dx
3 2 cos x) 2
Вариант №29
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 5 3i и z 2 = 2 i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
б) Найти: z12 z 2 , z 2 , 4 z1 z 2 .
z1
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) sin z , z 0
3
i ;
2
б) f (z ) ln z , z 0 1 3i .
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) ln z 2 i и вычислить
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z 2t 2 2t 1 it 2 t 4 .
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
z 1 i 2,
а)
Re z Im z 2.
;
3i z 3 z ,
б)
arg z .
3
Задание 6. Проверить, может ли функция v 2 xy 2 y быть мнимой частью некоторой
аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии f (0) 1 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w z
1
область D : z 5 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
13z 338
169 z 13z 2 2 z 3
2z
z2 4
, z0 0 ;
, z 0 1 3i .
Задание 9. Функцию f z
z
= ze z 4 разложить в ряд Лорана в окрестности точки z 0 4 .
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
z
ez
2
2 2
б) f z = z 4 cos
;
2 z
.
2z
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
3
( z sin z)dz; L : { z 1, Re z 0}
L
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
sin z
z i 2 z
б)
2
z 2
dz ;
1
z 1e z dz .
z i 2
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
(x
2.
2
0
2
4.
dx
10 x 29) 2
( x 2 x) sin x
dx
2
4
x 13 x 36
2
3.
2
(
0
dx
3 sin x 4
dx
7 3 cos x) 2
Вариант №30
Задание 1.
а) Найти модуль и аргумент чисел z1 = 5 6i и z 2 = 1 3i . Изобразить числа на
комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной
форме.
2
б) Найти: z1 z 2 , z1
z2
, 3 z 2 z1 .
Задание 2. Вычислить значение функции f (z ) в точке z 0 , ответ представить в
алгебраической форме комплексного числа:
а) f ( z ) chz , z 0 2 i ;
б) f ( z ) Arctgz , z 0 2 i .
z
Задание 3. Указать область дифференцируемости функции f (z ) th и вычислить
i
производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.
Задание 4. Определить вид кривой z t 2 2t 3 it 2 2t 1 .
Задание 5. Построить область плоскости z , определяемую данными неравенствами.
z 2i
3 4i 1,
а)
;
arg z .
3
б) 2 z z z i z 2 i z 2.
Задание 6. Проверить, может ли функция u x 3 3xy 2 x быть действительной частью
некоторой аналитической функции f (z ) , если да – восстановить ее, при условии
f (0) 0 .
Задание 7. Найти область плоскости W , в которую отображается с помощью функции
w z
4
область D : z 5 плоскости Z .
z
Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции f z по степеням z z 0 .
Указать главную и правильную части ряда.
а) f z =
б) f z =
7 z 196
98 z 2 7 z 3 z 4
2z
z2 4
, z0 0 ;
, z 0 2 2i .
Задание 9. Функцию f z = z cos
z
разложить в ряд Лорана в окрестности точки
z 5
z0 5 .
Задание 10. Для функции f z найти изолированные особые точки, провести их
классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.
а) f z =
sin 2 z
;
z3 z5
1
б) f z = z 2 sh .
z
Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:
z z dz; L : { z 1, Im z 0}
L
Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.
а)
б)
ctg z
dz ;
4
z
z 1
z 1
z 3 sin
1
dz .
z
Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.
1.
x2
dx
2
2
( x 11)
2.
( x 2 x) cos x
dx
2
4
x 13 x 36
2
3.
0
2
4.
(
0
dx
21 sin x 5
dx
7 cos x) 2