M-22_UC8-ch5

Глава 5
Неравенства
§ 1 Свойства неравенств
Примеры и комментарии
Сравнить два положительных
числа можно по их записи.
1. Проще
всего
сравнивать
натуральные числа, записанные в
десятичной системе счисления.
Объясните
самостоятельно,
почему верны неравенства:
324 > 93, 324 > 293, 324 > 321.
2. Положительные
десятичные
дроби сравниваются аналогичным
образом. Сначала сравниваются их
целые части, а если они совпадают, то поочередно сравниваются
цифры, стоящие после запятой.
Объясните верность следующих
неравенств:
29,6 > 27,9,
29,65 > 29,59,
29,65 > 29,61.
3. Положительные обыкновенные
дроби можно сравнить, приведя их
к общему знаменателю. Если
знаменатели двух положительных
дробей одинаковы, то надо
сравнивать их числители.
7 5
– верно,

11 11
3 2
9
8
– верно,
 

4 3
12 12
1 3
8
9
– неверно,
 

3 8
24 24
1 3
следовательно, верно  .
3 8
В последнем примере можно
1 3
рассуждать и по-другому:  и
3 9
3 3
ясно, что  .
9 8
Сформулируйте самостоятельно
полезное правило сравнения положительных дробей с одинаковыми
числителями.
4. Свойство, позволяющее сравнивать числа по цепочке, называют
транзитивностью неравенства.
Это слово латинского корня, означающего переход (ср. английское
слово transition).
1. Любые два числа можно сравнить между собой.
Это означает, что для любых двух (разных) чисел
верно ровно одно из утверждений:
a > b или a < b.
Знаки больше > или меньше < используют так:
утверждения a > b и b < a считаются одинаково
верными или неверными, или, как говорят в
математике,
равносильными.
Для
соединения
равносильных утверждений используется специальный
знак .
Итак,
a>ba<b
Возьмем два разных числа a и b. Если неравенство a > b
верно, то неравенство a < b неверно. Наоборот, если
неравенство a > b неверно, то верно неравенство a < b.
2. Числа можно сравнивать по цепочке.
Это означает, что если a больше b и b больше c, то a
больше c:
a > b и b > c  a > c.
Знак  – это знак логического следствия. Он заменят
слова «если …, то …»:
если a > b и b > c, то a > c.
Союз и в этом утверждении подчеркивает, что
одновременно выполняются неравенства a > b и b > c.
Проверь себя
1. Как можно по-другому записать неравенство a > b?
2. Если неравенство a  b неверно, какое верное
неравенство можно записать вместо него?
3. При каких условиях на числа a и b верны правила
сравнения дробей с одинаковыми знаменателями или
числителями:
a<c
a c
a a
 ;b<c  ?
b b
b c
4. Найдите целые числа, обратные к которым лежат
между 0,12 и 0,18.
1
Положительные и отрицательные числа
Примеры и комментарии
3. Неравенство можно сдвигать на любое число.
Это означает, что неравенства a > b и a + c > b + c
верны одновременно для любого числа c:
a > b  a + c > b + c.
Мы уже обсудили, как сравнивают
два
положительных
числа.
Освободимся
от
требования
положительности.
1. Всякое положительное число
больше всякого отрицательного.
Пусть a > 0 и b < 0. Перепишем
неравенство b < 0 в виде 0 > b и
воспользуемся транзитивностью
неравенства:
a > 0 и 0 > b  a > b,
что и утверждалось.
2. a > b  –a < –b.
Действительно, a > b  a – b > 0
–a < –b  0 < a – b  a – b > 0.
Оба неравенства равносильны
одному и тому же: a – b > 0.
Это правило позволяет сводить
неравенство отрицательных чисел
к неравенству положительных
чисел. Например, –3,14 > –5,23,
потому что 3,14 < 5,23.
3. Расположим
в
порядке
22
возрастания числа 3,14; –;
и
7
355
. Перейдем к десятичным

113
дробям, взяв достаточное число
знаков
после
запятой:
355
22
= 3,142…;
= 3,1415929…;
113
7
 = 3,1415926… .
Так
как
3,1415929 > 3,1415926,
то
355
< –. Получаем:

113
355
22
< – < 3,14 <
.

113
7
Это свойство часто формулируют так: к двум частям
неравенства можно прибавлять одно и то же число.
Возможность сдвига неравенства позволяет заменить
сравнение двух чисел между собой сравнением их
разности с нулем:
a>ba–b>0
Для доказательства сдвинем неравенство a > b на число
–b, т. е. прибавим к обеим частям неравенства число –b:
a > b  a + (–b) > b + (–b)  a – b > 0.
Числа, большие нуля, называют положительными,
меньшие нуля – отрицательными.
a > 0  a – положительно,
a < 0  a – отрицательно.
Кроме неравенств типа a > b или a < b, употребляют так
называемые нестрогие неравенства: a  b и a  b.
a  b  a > b или a = b
a  b  a < b или a = b
Используя нестрогие неравенства, можно избегать
замечаний о том, что сравниваются разные числа.
Возьмем числа a и b (заранее мы не знаем, различны ли
они).
Если неравенство a > b неверно, то верно нестрогое
неравенство a  b. Можно сказать, что неравенство
a > b и a  b противоположны друг другу.
2
§ 2 Сложение и умножение неравенств
Примеры и комментарии
1. Если x > 2 и y > 3, то для суммы
чисел x и y верно неравенство
x + y > 5.
Аналогично, x < 5 и y < 3 
x + y < 8. Это правило позволяет
получать оценки для суммы, если
известны оценки для слагаемых.
2. Чтобы
получить
оценку
разности двух чисел, надо иметь
их оценки разного смысла (с
разных сторон):
x > 5 и y < 3  x – y > 2;
x < 7 и y > 4  x – y < 3.
3. Имея оценки чисел x и y с двух
сторон,
можно
получить
двусторонние оценки для их
суммы и разности.
Пусть 2 < x < 5 и –1 < y < 6.
Складывая почленно, получаем:
2 + (–1) < x + y < 5 + 6 
1 < x + y < 11.
Для получения оценок разности
удобнее неравенство –1 < y < 6
заменить
на
равносильное
–6 < –y < 1 и затем почленно
сложить: 2 + (–6) < x – y < 5 + 1 
–4 < x – y < 6.
4. Правило сложения неравенств
часто используется в геометрии.
Теорема. Сумма расстояний от
точки внутри треугольника до его
вершин
больше
половины
периметра треугольника.
Доказательство.
B
c
A
P
b
a
C
Запишем неравенства треугольника для сторон a, b и c и сложим их:
PA + PB > c
PB + PC > a
PC + PA > b
2(PA + PB + PC) > a + b + c,
что
равносильно
утверждению
теоремы.
1. Правило сложения. Два неравенства одного смысла
можно складывать почленно:
a > b и c > d  a + c > b + d,
a < b и c < d  a + c < b + d.
Доказательство правила основано на правиле
сложения положительных чисел: сумма двух
положительных чисел положительна.
Запишем данные неравенства a > b и c > d в
равносильном виде: a – b > 0 и c – d > 0. Сложим
положительные числа a – b и с – d. Получим
положительное число (a – b) + (c – d) = a + c – b – d =
= (a + c) – (b + d). Положительность этого числа
означает верность неравенства a + c > b + d, что и тр. д.
2. Правило вычитания. Из одного неравенства можно
вычесть другое неравенство противоположного
смысла, сохранив знак первого неравенства:
a > b и c < d  a – c > b – d,
a < b и c > d  a – c < b – d.
Доказательство проводится аналогично:
a > b  a – b > 0; c < d  d – c > 0; a – b > 0 и d – c > 0
 (a – b) + (d – c) > 0; a – b + d – c = (a – c) – (b – d);
(a – c) – (b – d) > 0  a – c > b – d, что и тр. д.
Заметим,
что
неравенство
c<d
равносильно
неравенству –c > –d, так как они оба равносильны
неравенству d – c > 0. Поэтому правило вычитания
следует из правила сложения двух неравенств одного
смысла: a > b и –c > –d  a – c > b – d.
Проверь себя
1. Как заменить операцию вычитания
сложением?
2. Как перемножаются два неравенства?
3. В каких случаях верно утверждение a > b 
4. Числа x и y лежат между
неравенств
1 1
 ?
a b
1
1
и
. Между какими
3
2
числами лежит их сумма и разность квадратов?
3
Умножение и деление
3. Правило умножения на одно и то же число. Обе
части неравенства можно умножить на одно и то
же положительное число:
a > b и c > 0  ac > bc,
a < b и c > 0  ac < bc.
При умножении на отрицательное число знак
неравенства надо поменять на противоположный:
a > b и c < 0  ac < bc,
a < b и c < 0  ac > bc.
Все случаи доказываются одинаково. Докажем для
примера утверждение a < b и c > 0  ac < bc. Доказательство сводим к правилу умножения положительных
чисел: a < b  b – a > 0; b – a > 0 и c > 0 
(b − a)  c > 0  bc – ac > 0  ac < bc, что и тр. д.
4. Правило умножения неравенств. Два неравенства с
положительными частями можно перемножить:
пусть числа a, b, c и d положительны; тогда
a > b и c > d  ac > bd.
Доказательство. Умножим первое неравенство на
положительное число с, а второе – на положительное
число b:
a > b  ac > bc,
c > d  bc > bd.
Теперь воспользуемся транзитивностью неравенства:
ac > bc и bc > bd  ac > bd, что и тр. д.
5. Правило сравнения обратных чисел. От неравенства с положительными частями можно перейти к
неравенству с обратными числами, заменив знак
неравенства на противоположный:
пусть числа a и b положительны; тогда
Примеры и комментарии
1. Оценки для чисел x и y
позволяют получить оценки для
линейных выражений вида ax + by.
При этом надо следить за знаками
коэффициентов.
Пусть x > 2 и y < 3. Тогда
5x + 3y < 5  2 + 3  3 = 19

5x + 3y < 19.
Пусть x < 2 и y > 3. Умножим
второе
неравенство
на
−3:
−3y < −9. Складывая, получим
оценку 5x – 3y < 10 – 9 = 1 
5x – 3y < 1.
2. Зная оценки для чисел x и y с
двух сторон, можно получить
оценки
любых
линейных
выражений.
Пусть 2 < x < 5 и −3 < y < 2.
Оценим выражение 3x + 5y и
3x – 5y:
2 < x < 5  6 < 3x < 15,
−3 < y < 2  −15 < 5y < 10,
−3 < y < 2  −10 < −5y < 15.
Складывая, получаем
−9 < 3x + 5y < 25,
−4 < 3x – 5y < 30.
3. Правило умножения можно
применять к степеням. Если числа
a и b положительны, то для
любого натурального показателя n
верно утверждение:
a < b  an < bn.
Пример: 0 < a < 2 и 0 < b < 3 
a2 + b2 < 22 + 32 = 13.
1 1
1 1
 ;a<b  .
a b
a b
1 1
1 1
a b
 0 . Так как
Доказательство.     0 
b a
ab
a b
a>b
a > b, то a – b > 0. По условию числа a и b, а значит и их
произведение положительно. Отношение двух чисел
a – b и ab также положительно, что и равносильно
неравенству
1 1
 , которое мы хотели доказать.
a b
4
§ 3 Доказательство неравенств
Примеры и комментарии
1. Какие «безусловные неравенства» используются в доказательствах?
Прежде всего, неравенство вида
A2 ≥ 0. Оно верно при подстановке
в выражение A любых значений
входящих в него букв.
Кроме того, используется также
соображение: если A = B + C, а
C ≥ 0, то A ≥ B – откидывая
неотрицательное слагаемое, мы
получаем, что сумма больше или
равна своей части.
2. Доказанное в теореме неравенство встречается в разных других
вариантах. Приведем примеры.
1
1) a   2 – при всех a > 0.
a
a b

b
a  1 – при всех a, b > 0.
2)
2
a 2  b2  a  b 

 – при всех a
2
 2 
2
3)
и b.
Каждое из этих неравенств можно
доказывать точно так же, как мы
доказали теорему.
Первому и второму из неравенств
можно
дать
словесную
формулировку.
Сумма двух взаимно обратных
положительных чисел всегда
больше или равна двум, причем
равенство достигается только
тогда, когда каждое из этих
чисел равно единице.
3. Заметим,
что
доказанное
нестрогое неравенство становится
равенством тогда и только тогда,
когда S = 0. Нетрудно сосчитать,
что сторона квадратика в центре
равна разности a и b, т. е.
S = (a − b)2. S = 0  (a − b)2 = 0 
a = b. Итак, можно сделать вывод,
2
ab
что 
  ab , если a ≠ b.
 2 
Задача доказательства неравенств аналогична задаче
доказательства тождеств – мы хотим доказать, что
некоторое буквенное неравенство (тождество) справедливо
при всех допустимых значениях букв.
Сам процесс доказательства неравенства также аналогичен
доказательству тождества – мы предполагаем, что
неравенство верно, получаем из него следствия, приходим к
какому-либо безусловно верному неравенству, а затем
проверяем, можно ли вернуться назад, т. е. получить
нужное нам неравенство как следствие безусловно верного.
Теорема. Для любых двух чисел a и b справедливо
ab
  ab .
 2 
2
неравенство 
Число
ab
2
называют средним арифметическим двух
чисел a и b. Неравенство утверждает, что квадрат
среднего арифметического двух чисел всегда больше их
произведения или равен ему.
Доказательство. Строим цепочку следствий, применяя
свойства неравенств.
ab

  ab
 2 
2
 (a + b)2  4ab  a2 + 2ab + b2  4ab 
a2 – 2ab + b2  0  (a – b)2  0.
Последнее неравенство безусловно верно – квадрат любого
числа либо нуль, либо положительное число.
Проверяем переходы в обратную сторону:
(a − b)2 ≥ 0  a2 – 2ab + b2 ≥ 0  a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab 
ab
(a + b) ≥ 4ab  
  ab .
 2 
2
2
Неравенство доказано.
Можно дать другое, геометрическое доказательство этого
неравенства. Построим квадрат со стороной a + b и
разобьем его на 4 прямоугольника со сторонами a и b и
квадратик в центре. Получаем равенство площадей:
a
b
(a + b)2 = 4ab + S, где S – площадь
b
a
квадратика в центре. Так как площадь S
a
неотрицательна, то откидывая ее, полуb
чаем неравенство (a + b)2 ≤ 4ab, которое
a
b
равносильно исходному.
(a + b)2 ≥ 4ab
5
Задачи на максимум − минимум
Примеры и комментарии
Максимум и минимум – это слова латинского
происхождения, означающие наибольшее и наименьшее
значения какой-либо величины. С глубокой древности
известны следующие два утверждения о максимумах и
минимумах.
Теорема 1. Из всех прямоугольников данного периметра
наибольшую (максимальную) площадь имеет квадрат.
Теорема 2. Из всех прямоугольников данной площади
наименьший (минимальный) периметр имеет квадрат.
Докажем первую из этих теорем. Вторая теорема
доказывается аналогично.
Обозначим стороны прямоугольника через а и b. Нам дано,
что 2 (a + b) = p, где p – постоянное число (периметр).
Площадь прямоугольника равна S = ab. Применим теорему:
1. Теоремам 1 и 2 можно придать
формулировку, не зависящую от
геометрии.
Теорема 1´. Если сумма двух
положительных чисел постоянна,
то их произведение принимает
наибольшее
значение,
когда
слагаемые равны.
Теорема 2´. Если произведение
двух
положительных
чисел
постоянно, то их сумма принимает
наименьшее
значение,
когда
сомножители равны.
2. Как забором данной длины отгородить от стены прямоугольный
участок наибольшей площади?
2
2
 p
ab   a  b     .
 2 
a
4
b
a
По условию сумма 2a + b постоян-
Итак, площадь S = ab любого прямоугольника периметра p на. Площадь участка равна ab.
 p
4
Возьмем удвоенную площадь 2ab.
2
не больше, чем число   . При этом, если стороны По теореме 1´ произведение 2a  b
принимает наибольшее значение,
прямоугольника не равны между собой, то имеет место когда 2a = b. Итак, сторона участ p
4
2
строгое неравенство S <   .
Проверь себя
1. Какие из следующих неравенств выполняются при всех
значениях букв и почему?
ка, параллельная стене, должна быть
вдвое длиннее боковой стороны.
3. Как забором данной длины
отгородить от стены участок
наибольшей площади, если форма
участка произвольна?
Это трудная задача. Ее приписывают Дидоне, правительнице древнего Карфагена, которая должна
была с помощью воловьей шкуры
отгородить от моря участок
наибольшей площади. Дидона
разрезала шкуру на ремешки и с
их помощью описала полукруг.
Оказалось, что он имеет наибольшую возможную площадь.
 2a  b 
в) 
  2ab
 2 
2
а) (a + 1) ≥ 2a + 1, б) (a + 1) ≥ 1,
2
2
2. Пусть a < b. Верно ли, что среднее арифметическое
чисел a и b, т. е. число
ab
лежит между a и b?
2
6
Беседа 5 Логика
Слово «логика» греческого происхождения. Логика как
наука основана Аристотелем (384–320 гг. до н. э.), который
1. Примеры высказываний
1) Дважды два – четыре.
был необыкновенной фигурой в целой плеяде блестящих
2) Париж – столица Франции.
греческих ученых. Он был последователем Платона и
3) 2  2 = 5.
посещал его Академию в Афинах. После смерти Платона
4) Все люди смертны.
(347 г. до н. э.) Аристотель покинул Афины. Он вернулся
5) 210 < 1000.
В этих примерах высказывания 1, туда 12 лет спустя и основал свою школу – Лицей. Одним
2, 4 истинны, а высказывания 3 и 5 из учеников Аристотеля был Александр Великий.
ложны.
Портреты Аристотеля
и Платона
Примеры и комментарии
2. Логическую связку и называют
конъюнкцией и обозначают .
Высказывание A  B истинно тогда и только тогда, когда истинны
оба высказывания A и B.
3. Логическую связку или называют дизъюнкцией и обозначают
. Высказывание A  B истинно
тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний
A или B. В примере нестрогого
неравенства a  b не могут быть
истинны сразу оба высказывания
a < b и a = b, однако в других
случаях это возможно. Например,
утверждение «сегодня вечером я
пойду в кино или съем мороженое» остается верным, если будут
выполнены оба условия – я пойду
в кино и съем мороженое.
4. Логическое следствие «если…,
то…» называют импликацией и
обозначают стрелкой . Многие
наши утверждения имели вид
A  B. Это высказывание можно
прочесть по-разному, используя
богатство русского языка: «Из A
следует B», «Если верно A, то
верно B», «Из A вытекает B»,
«Утверждение B является следствием утверждения A» и т. п.
Импликация A  B ложна тогда и
только тогда, когда A истинно, а B
ложно – из верной посылки нельзя
правильно
вывести
неверное
следствие.
Торжеством логики явился труд Евклида «Начала»,
написанный в III веке до н. э. В течение более двух тысяч
лет созданная Евклидом логически стройная система
геометрии является образцом научной мысли.
Простейшее понятие логики – утверждение, высказывание.
Высказывание,
утверждение
–
это
синонимы,
обозначающие некоторое предложение, о котором можно
сказать, верно оно или неверно, истинно или ложно.
Из одних высказываний можно строить другие, более
сложные, с помощью логических операций, связок.
Эти операции уже встречались нам ранее.
1. Связка и. Например, мы говорили: пусть a < b и c < d.
Тем самым мы требовали, чтобы выполнялись, были
верными оба высказывания a < b и c < d.
2. Связка или. Например, мы писали a  b, т. е. a < b или
a = b. Тем самым мы требовали, чтобы выполнялось, было
верным хотя бы одно из написанных высказываний.
3. Логическое следствие, связка «если …, то …». Это самая
важная связка для математики. С ее помощью строятся
теоремы. В теореме «Если a > b и c > d, то a + c > b + d»
есть условие (посылка): a > b и c > d и заключение (вывод):
a + c > b + d. Верная теорема требует, что при условии
истинности посылки было бы верно заключение.
С помощью логического следствия можно строить цепочки
рассуждений, которые основаны на следующем логическом
правиле: если из А следует В, а из В следует С, то из А
следует С: (А  В, В  С)  (А  С).
Мы, разумеется, оформляем такое рассуждение в виде
цепочки: А  В  С.
7
Равносильность
Примеры и комментарии
Мы широко используем значок логической равносильности
. Утверждение А  В можно прочесть так: «А
равносильно В», «А верно тогда и только тогда, когда верно
В», «А и В одновременно верны или неверны» и т. п. Значок
 фактически заменяет две стрелки  и . Это означает,
что если А  В, то можно переходить от А к В и от В к А:
А  В, В  А.
Понятие равносильности особенно важно при решении
уравнений и неравенств. Равносильность уравнений
(неравенств) можно сформулировать любым способом.
Например: «Два уравнения равносильны, если каждое
решение первого из них является решением второго и
обратно» или «Два уравнения равносильны, если множества
их корней совпадают».
Полезно использовать знак равносильности при записи
решения уравнения или неравенства. Тогда не возникает
вопросов, нашли ли мы решение исходного уравнения,
записав решения последнего, полученного разными
преобразованиями.
Важной логической связкой является отрицание, которое
обозначается знаком . Высказывание  A верно тогда и
только тогда, когда ложно A. В логических рассуждениях
часто
приходится
строить
отрицания
сложных
высказываний. Например, что означает отрицание
высказывания a  b? Это означает, что оба высказывания
a < b и a = b неверны. Тогда мы делаем вывод, что верно
неравенство a > b:
 (a  b)  a > b
Что означает неверность конъюнкции A и B?
Это означает, что, по крайней мере, одно из высказываний A
или B ложно.
Самое трудное – строить отрицание логического следствия
(импликации). Отрицание импликации A  B означает, что
из A не следует B, т. е. A выполняется (истинно), а B нет
(ложно).
Часто для доказательства неравенства переходят от него к новым
(используя свойства неравенств),
пока не получат верное неравенство. Однако такой способ рассуждения неверен, если только в каждом из сделанных переходов мы
не можем вернуться обратно, т. е.
заменить знак следствия  на
знак равносильности . Приведем
пример такого «доказательства».
Доказать, что для двух различных
положительных чисел а и b выполняется неравенство
a2 + b2 > 3ab.
Пишем цепочку неравенств:
a2 + b2 > 3ab  a2 + b2 > 2ab 
a2 – 2ab + b2 > 0  (a – b)2 > 0
Последнее неравенство верно. Все
переходы также верны (в первом
переходе мы воспользовались тем,
что для положительных чисел
3ab > 2ab). Однако при а = 2, b = 1
в исходном неравенстве получим
22 + 12 > 3  2  1, т. е. 5 > 6, что
неверно. Дело в том, что все
переходы кроме первого, приводят
к равносильным неравенствам, а в
первом нельзя поставить стрелку в
обратную сторону.
Для доказательства неравенства
было бы хорошо начинать с
известного верного неравенства и
от него перейти к тому, которое
доказывается, то есть оно должно
стоять в конце рассуждения, а не в
его начале. Однако так поступать
можно лишь тогда, когда в голове
уже есть план доказательства.
Часто, чтобы найти этот план, начинают с того неравенства, которое надо доказать, выводят из него
следствия, пока не станет ясно,
как же надо строить доказательство.
Запишем формулы для отрицания:
 (A  B)   A   B
 (A  B)   A   B
 (A  B)  A   B
Полезно отметить закон двойного отрицания:   A  A.
8
§ 4 Числовая ось
Примеры и комментарии
1.
B
A
C
x
0 1
Точки A, B и C на числовой оси x
имеют координаты: A(−2); B(2,5);
C(5).
2.
A
a
0 1
B
b
x
На числовой оси x взято две точки
A(a) и B(b). Точки, лежащие между A и B, заполняют отрезок числовой оси. Числа, лежащие между
координатами этих точек, называют числовым промежутком.
Числовой промежуток, состоящий
из чисел x, таких, что a ≤ x ≤ b,
обозначается [a; b].
Если конец промежутка не включается, то вместо квадратной скобки пишется круглая:
(a; b): a < x < b,
(a; b]: a < x ≤ b,
[a; b): a ≤ x < b.
3.
A
a
0 1
x
Числа x, такие, что x ≥ a, заполняют луч с началом в точке A(a),
идущий в положительном направлении оси. Такие числа заполняют
бесконечный числовой промежуток, который обозначается [a; +).
Другие бесконечные промежутки:
(a; +): x > a,
(−; a]: x ≤ a,
(−; a): x < a.
Все числа числовой оси называют
множеством действительных (или
вещественных) чисел и обозначают жирной буквой R (первой
буквой латинского корня real –
действительный, реальный).
Множество R можно записать в
виде промежутка (−; +).
Числовой осью называется прямая, на которой
зафиксирована точка О (начало отсчета), выбран
единичный отрезок (масштаб) и указано направление
(которое называется положительным).
0
1
x
На числовой оси можно расположить каждое число.
Это делается следующим образом. Пусть О – начало
отсчета на числовой оси. Возьмем сначала
положительное число a > 0. Построим отрезок длины
а и отложим его от точки О в выбранном на числовой
оси положительном направлении. Второй конец
этого отрезка – точка А – и считается точкой оси,
изображающей число а.
Если число а отрицательно, то тогда
противоположное число –а положительно. Чтобы
нанести число а на числовую ось надо построить от
точки О отрезок ОА длины –а, откладывая его в
отрицательном (противоположном положительному)
направлении.
Итак, каждое число можно изобразить точкой
числовой оси. Обратно, каждая точка оси является
изображением какого-либо числа. Это число
называется координатой точки на числовой оси.
Чтобы найти координату точки А, надо измерить
отрезок ОА (в том масштабе, который был выбран при
построении оси) и взять его длину с «плюсом», если
направление от О к А совпадает с положительным
направлением оси, или с «минусом», если это
направление отрицательно.
Проверь себя
1. Что такое числовая ось?
2. Как нанести число на числовую ось?
3. Как найти координаты точки числовой оси?
4. Как определяется модуль числа?
5. Каков геометрический смысл модуля разности двух
чисел?
9
Модуль
Модулем числа a называется расстояние от точки A
числовой оси с координатой a до начала отсчета.
Модуль числа a обозначается |a|.
B
A
a
b
x
0 1
|a| = |OA|, |b| = |OB|.
Если число a положительно, то расстояние |OA| равно a.
Если число a отрицательно, то расстояние |OA| равно
−a.
Если число a равно нулю, то |OA| = 0.
Это позволяет записать определение модуля на
алгебраическом языке:
a, если a  0,

| a | 0, если a  0,
 a, если a  0.

Свойства модуля
1. |a| ≥ 0
2. |−a| = |a|
3. |ab| = |a|  |b|
4. |a + b| ≤ |a| + |b|
Теорема. Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой оси, изображающими
эти числа.
A
a
B
b
0
|b − a| = |AB|
Отметим алгебраическое
модуля разности:
определение
b  a, если b  a,

b  a   0, если b  a,
a  b, если b  a.

(свойство)
Примеры и комментарии
1. |2| = 2; |−5| = 5; |0| = 0; .
2. Модуль числа a называют также
его абсолютной величиной.
3. Комментарий
к
свойствам
модуля.
|a| > 0, если a ≠ 0: модуль – это
расстояние, а расстояние
всегда положительно.
|−a| = |a|: точки A(a) и A´(−a) симметричны друг другу относительно начала, поэтому их
расстояния до начала равны.
|ab| = |a|  |b|: самый простой способ проверки – перебрать
все варианты знаков a и b.
Например, пусть a > 0 и
b < 0. Тогда ab < 0. Имеем
|ab| = −ab; |a| = a; |b| = −b.
Получаем –ab = a  (−b).
4. Если числа a и b одного знака,
то |a + b| = |a| + |b|. Если же они
разных знаков, то |a + b| < |a| + |b|.
0
A
B
C
a
b
a+ b
x
|BC| = |OA|;
|OC| = |OB| + |BC| = |OB| + |OA|.
5. Как
вычислить
расстояние
между точками A и B числовой
оси?
A
a
0 1
B
b
C
c
x
Можно отрезок AB сдвинуть вдоль
оси так, чтобы точка A совпала с
началом. Тогда точка B передвинется в точку C такую, что
|AO| = |BC|.
Если A(a) перемещается в O(0), то
любая точка X(x) числовой оси
перемещается в точку Y(y), у
которой y = x – a: a  0 = a – a,
x  x – a.
Значит координата точки C равна
b – a, т. е. B → C. Это доказывает
теорему о модуле разности.
10
§ 5 Решение неравенства
Примеры и комментарии
1. Решим линейное неравенство
5x + 2 ≤ 3x + 8.
Переносим члены, содержащие x,
в одну часть, а свободные члены в
другую. Неравенство при этом
сохранит множество решений:
5x – 3x ≤ 8 – 2
2x ≤ 6
x≤3
Ответ можно оставить в форме
x ≤ 3 или записать в виде
промежутка (−; 3].
2. Решить систему неравенств.
2 x  1  5

2  x  x  4
Возьмем два выражения A и B с буквой x и соединим их
одним из знаков неравенства:
A > B или A < B или A ≥ B или A ≤ B.
Получим неравенство, которое нужно решить, т. е. найти
все значения буквы x, при которых получается верное
числовое неравенство.
Решение неравенства похоже на решение уравнения: мы
преобразуем неравенство, следя за тем, чтобы множество
его решений не изменилось, и приводим его к стандартному
(простейшему) неравенству, решение которого мы знаем.
Простейшее линейное неравенство имеет вид
ax > b, где a ≠ 0, а вместо > может стоять любой знак
неравенства.
Чтобы найти решение неравенства ax > b, надо его поделить
на число a ≠ 0. Ответ будет зависеть от знака a.
Решение системы неравенств с
буквой x – это значение x, при
Ответ в форме
Ответ в форме
котором верно каждое неравенст- Неравенство Знак a
неравенства
промежутка
во системы.
 b ;   
Решаем
каждое
неравенство
xb
ax > b
a>0
a
a

отдельно и находим те решения,
которые являются общими.
  ; b 
x b
ax < b
a>0
При этом приходится находить
a
a

пересечение промежутков, из ко  ; b 
x b
ax > b
a<0
торых состоит множество решеa
a

ний для каждого неравенства.
 b ;   
2x + 1  5,
2 – x  x + 4,
xb
ax < b
a<0
a
a

2x  4,
2 – 4  x + x,
x  2.
–2  2x,
Решению линейного неравенства вида ax > b (или ax < b)
x  –1.
(
1 0
]
2
Ответ: –1  x  2 или [–1; 2].
2 x  4
5 x  x  12
3. 
2x < 4,
x < 2.
0
5x > x + 12,
4x > 12,
x > 3.
можно придать геометрический смысл. Построим на
координатной плоскости прямую с уравнением y = ax – b
(a  0). Эта прямая пересекает ось абсцисс в точке x0 
b
a
(корень уравнения ax = b). В зависимости от знака a и знака
неравенства решением будет луч влево или вправо от точки
x0 .
y
y
a<0
a>0
2 3
Общей части нет. Ответ можно
записать так: решений нет или
использовать
знак
«пустого
множества» .
(
x0 0
x
0
)
x0
x
11
Неравенства с модулем
Еще одним стандартным неравенством можно считать
неравенство вида |x| ≤ a, где a > 0. Геометрически это
неравенство описывает множество точек X(x) числовой
оси, расстояния которых до начала не превосходит a.
a
a
0
Ответ можно записать в виде неравенства –a ≤ x ≤ 0 или
в виде числового промежутка [−a; a].
Линейные неравенства с модулем могут иметь такой
вид: |x − a| ≤ b, где числа a и b произвольны, а вместо
знака ≤ может стоять любой знак неравенства.
Применяя теорему о модуле разности, мы можем
прочесть такие неравенства геометрически.
Примеры
1. |x − 2| ≤ 3: расстояние от точки x до точки 2 меньше
или равно 3.
2. |x − 3| > 1: расстояние от точки x до точки 3 больше 1.
3. |x + 1| < 2  |x – (−1)| < 2: расстояние от точки x до
точки −1 меньше 2.
4. |x + 4| ≥ 2: расстояние от точки x до точки −4 больше
или равно 2.
Прочтя геометрически условие, заданное неравенством,
мы изобразим соответствующие точки на числовой оси
и запишем решение неравенства.
1.
[
1 0
]
2
5
x
2.
0
(
3
)
1 0 1
(–3; 1)
(
x
2 3 4
x < 2, x > 4
[–1; 5]
3.
)
x
4.
]
6
4
[
2
x  –6, x  –2
0
x
Проверь себя
1. Что означает решить неравенство?
2. Напишите какие-нибудь неравенства, решениями
которых были бы промежутки (−; 5], [−2; 4], (−1; +).
3. Может ли решение системы неравенств состоять из
одной точки?
4. Приведите пример системы неравенств, у которой нет
решений.
Примеры и комментарии
Для решений неравенств с
модулем надо усвоить несколько
правил.
1. Как геометрически читать уравнения и неравенства с модулем?
|x| = 3 – расстояние от точки x до
начала координат равно 3.
|x – 3| = 2 – расстояние от точки x
до точки 3 равно 2.
|x + 1| < 1 – расстояние от точки x
до точки –1 меньше 1 и т. д.
2. Решения неравенств обычно
заполняют один или несколько
отрезков. Как находить их концы?
|x| = 3
x
3
x1 = –3, x2 = 3
0 1
|x – 3| = 2
0 1
3
x1 = 3 – 2 = 1, x2 = 3 + 2 = 5
|x + 1| = 1
2
1
3
x
5
x
0
x1 = –1 – 1 = –2, x2 = –1 + 1 = 0
3. Как поступать с коэффициентом
при x?
0
2
4
0
2
3
|2x – 4| = 4,
|2(x – 2)| = 4,
|2|  |x – 2| = 4,
|x – 2| = 2,
x1 = 0, x2 = 4
113
x
2 23
x
|2 – 3x| = 6,
2
| 3 ( x  ) | 6 ,
3
2
3 | x  |  6 ,
3
2
| x  | 2 ,
3
4
8
x1   , x2  .
3
3
12
Беседа 6 Приближенные значения
Примеры и комментарии
1. Чаще всего в приближенных
вычислениях используют округленные значения величин в десятичной записи. Так, округленными
значениями числа
 = 3,1415926536… будут:
3 – с точностью до 1
3,1 – с точностью до 0,1
3,14 – с точностью до 0,01
3,142 – с точностью до 0,001 и т. д.
Неравенство | – 3,142|  0,001 означает, что число 3,142 является
приближенным значением числа
, причем погрешность вычисления не превышает 0,001.
2. «Плюс – минус». Часто говорят
так: «температура равна 16 плюсминус один градус» и записывают:
t = 16  1. Это означает, что истинное значение температуры (в градусах) отличается от 16 не более,
чем на единицу. Эту же информацию можно записать в виде
неравенства 16 – 1 < t < 16 + 1 или
|t – 16| < 1 (градус).
Здесь 16 – приближенное значение
температуры, 1 – оценка погрешности. Относительная погрешность
1
равна
= 0,0625, т. е. 6,25%.
16
3. Приближенные значения величины часто указывают в так называемой стандартной записи. Положительные числа в стандартной
записи выглядят так: a  10k, где
число a выбирают так, чтобы оно
лежало в промежутке [1; 10), т. е.
удовлетворяло
неравенствам
1  a < 10 и записывалось десятичной дробью с несколькими знаками после запятой. Число a в стандартной записи x называют мантиссой числа x, а показатель k –
его порядком.
Например, радиус Земли (если считать Землю шаром) равен числу
R = 6380 км, что в стандартной записи выглядит так: R = 6,38  103 км.
Аналогично массу электрона можно записать так: m = 9,11  10–28 г.
Мы часто говорим: «От Москвы до Петербурга около 700
километров», «На улице примерно 16 градусов тепла»,
«Площадь комнаты приблизительно равна 22,6 квадратных
метра» и т. п. Во всех этих случаях идет речь о приближенных значениях некоторых величин – расстояния, температуры, площади.
В приведенных примерах содержится определенная информация, однако часто информации такого сорта недостаточно
– приближенному значению можно придать более точный
смысл, если привести не только одно число, но и указать
точность, с какой оно приближает истинное значение.
Для описания точности вычислений применяется термин
погрешность, который является синонимом слова
ошибка. Если точное значение величины равно x, а вычисленное приближенное значение равно a, то погрешностью
вычисления называется модуль разности точного и
приближенного значений, то есть число |x – a|.
Если бы мы знали приближенное значение величины и
величину погрешности, то мы точно знали бы саму величину, добавив информацию о том, с недостатком или с избытком произведено вычисление. Действительно, если мы
знаем числа a и h = |x – a|, а также то, что, например, a > x,
то немедленно нашли бы, что x = a – h. Геометрически
данные условия сообщают нам, что искомая величина x
отстоит от известного значения a на расстояние h и находится слева от него. Обычно удается найти не саму погрешность, а оценку погрешности, то есть число h, для которого
верно неравенство |x – a|  h. Задачу приближенного вычисления некоторой величины обычно так и ставят: найти
приближенное значение величины и оценить допущенную
погрешность.
a h
a
a+ h
Здесь лежат приближенные значения величины
вычисленные с погрешностью, не превышающей h.
a,
13
Относительная погрешность
Предположим, что, вычисляя приближенные значения двух
различных величин, мы в одном случае получили бы в
качестве оценки погрешности число h1 = 100, а во втором –
h2 = 0,01. Казалось бы, второе вычисление сделано намного
точнее, чем первое. Однако это не совсем так. Если первая
величина очень велика (например, расстояние от Земли до
Солнца в километрах), а вторая очень мала (например,
диаметр молекулы в см), то первая оценка окажется очень
точной, а вторая – очень грубой. Чтобы различить такие
случаи, вводят понятие относительной погрешности.
Пусть a является приближенным значением величины x,
вычисленным с погрешностью h, то есть пусть |x – a| = h.
Отношение погрешности к приближенному значению, то
есть число r  h 
a
| x a|
называют относительной погрешa
ностью вычисления. Так, если среднее расстояние от Земли
до Солнца вычислено приближенно как 1,496  108 км с
погрешностью < 105 км, то относительная погрешность
такого вычисления будет меньше числа 0,0007, потому что
105
 0,0007 .
1,496 108
Часто относительную погрешность (а точнее, оценку для
нее) указывают в процентах, умножая ее значение на 100.
Так, можно сказать, что приведенное выше вычисление
сделано с относительной погрешностью в 0,07%. Мы видим
в этом примере, что несмотря на то, что оценка
погрешности вычисления расстояния от Земли до Солнца
выглядит очень большой (100000 км), относительная
погрешность является достаточно малой (меньше 0,0007).
Чтобы
отличить
погрешность
от
относительной
погрешности, первую часто называют абсолютной.
Проверь себя
1. Что такое погрешность вычисления?
2. Что такое относительная погрешность вычисления?
3. Измеренная ширина листа бумаги оказалась равной
208 мм с погрешностью, не превосходящей 2 мм. В каких
пределах лежит точная ширина листа?
4. Какова
относительная
погрешность
измерения,
описанного в предыдущем примере?
Примеры и комментарии
1. «С точностью до…». Если вы
скажете, что площадь комнаты
равна 22,6 с точностью до двух десятых квадратного метра, то всем
будет ясно, что площадь S лежит в
промежутке 22,4 < S < 22,8 (кв. м)
или иначе, что расстояние истинного значения площади до числа
22,6 меньше 0,2, т. е. что
|S – 22,6| < 0,2 (кв. м)
Мы видим, что этот способ фактически совпадает с первым и мы
можем с таким же успехом записать: S = 22,6  0,2 (кв. м) и сказать, что площадь вычислена с
оценкой погрешности в 0,2 кв. м,
что дает относительную погреш0,2
ность, равную
 0,088, т. е.
22,6
9%.
2. «Лежит между». Фраза «скорость автомобиля лежит между 50
и 60 километрами в час» сразу определяет промежуток, где лежит
значение скорости v: 50 < v < 60.
Можно, конечно, взять середину
этого промежутка и перейти к
обсуждавшимся ранее способам
записи: v = 55  5 (км/час)
|v – 55| < 5 (км/час)
Величина 5 км/час дает оценку
погрешности вычисления скорос5
ти, а число
 0,09 – оценку для
55
относительной погрешности.
3. Найдите относительную погрешность (в процентах) следующих вычислений (проценты вычислить с точностью до 0,1).
1) A = 100  1;
2) R = 6380  10 (радиус Земли в
км);
3) |c – 2,998  105| < 100 (скорость
света в км/с);
4) m = 5,976  1024 (масса Земли в
кг);
5) d = 1,392  106,
все
цифры
верные (диаметр Солнца в км);
6) l = 3476  1 (диаметр Луны в
км).
14
§ 6 Средние значения
Примеры и комментарии
1. Автомобиль двигался два часа.
Половину времени он ехал со скоростью 40 км/ч, а вторую половину – со скоростью 60 км/ч. Какова
была средняя скорость автомобиля
на всем пути движения?
A
1 час
40 км/ч
C
1 час
60 км/ч
B
По определению средняя скорость
– это отношение пройденного
пути к затраченному времени.
40  60
Считаем: vср =
= 50 (км/ч).
2
Мы видим, что средняя скорость
получилась
равной
среднему
арифметическому скоростей на
двух отрезках пути (равных по
затраченному времени).
2. Автомобиль проехал 100 км.
Первую половину пути он
двигался со скоростью 40 км/ч,
вторую – со скоростью 60 км/ч.
Какова была его средняя скорость
на всем пути движения?
Находим общее время движения:
110 2 100 2
(ч).

40
60
Вычисляем среднюю скорость:
100
vср =
=
100 2 100 2

40
60
1
=
= 48 (км/ч).
1
1 

   2
 40 60 
Мы видим, что средняя скорость
на всем пути не равна среднему
арифметическому скоростей на
двух отрезках (равных по длине).
Мы получили еще одно среднее
значение чисел 40 и 60, вычисляе1
мое по формуле H 
.
1 40  1 60
2
Такое среднее называют средним
гармоническим.
Пусть дан набор чисел a1, a2, …, an. Их средним
арифметическим называется число A, вычисляемое по
формуле
A
a1  a2  ...  an
.
n
Иными словами, чтобы найти среднее арифметическое
набора чисел, надо сложить их и поделить сумму на
количество чисел.
Если a – самое маленькое из данных чисел, а b – самое
большое, то среднее арифметическое лежит между этими
значениями:
a  A  b.
Среднее арифметическое – самая простая числовая характеристика набора числовых данных. Наука, которая занимается обработкой числовых данных с целью получения
некоторых характеристик, называется статистикой.
Статистика может предложить самые различные способы
определения средних, кроме привычного среднего
арифметического.
Возьмем ряд из 10 чисел, расположенных в порядке
возрастания
1, 2, 4, 9, 10, 10, 16, 32, 32, 44.
Сумма этих чисел равна 160, среднее арифметическое
A = 16. Посередине ряда стоит число 10. Это тоже одно из
возможных средних характеристик. Ее называют медианой.
Одна половина чисел меньше или равна медиане, другая –
ее больше (или равна).
Медиана оказалась отличной от среднего арифметического. Позже мы встретим и другие средние характеристики.
Что правильнее отражает «среднее значение» – среднее
арифметическое или медиана? Статистика на этот вопрос не
может ответить. Представьте, например, что 99 человек получает по рублю, а один человек – миллион. Ясно, что среднее арифметическое (которое больше десяти тысяч) не скажет ни о чем. Сказать, что в этом примере средняя зарплата
больше 10 000, значило бы пытаться обмануть людей. Медиана в этом случае гораздо красноречивей – сказать, что
медиана равна 1, значило бы сообщить, что, по крайней
мере, половина людей получает зарплату в 1 рубль или
меньше.
В то же время, если бы 51 человек получал по рублю, а 49
по миллиону, то медиана равнялась бы 1 (что сохраняет
информацию о том, что, по крайней мере, 50 человек
получает 1 рубль или меньше), но среднее арифметическое
(около полумиллиона) было бы уже более содержательной
характеристикой, чем прежде.
15
Графическое представление данных
Примеры и комментарии
В классе из 24 человек был проведен опрос, сколько
времени каждый ученик провел вчера у телевизора. Данные
этого опроса приведены в таблице, в которой n обозначает
номер ученика по списку, а t – время в минутах.
1. На рисунке изображена гистограмма числа учащихся, получивших данную оценку. Какие из
следующих утверждений верны?
n
1
2
3
4
5
6
t
60
120
90
0
20
90
n
7
8
9
10
11
12
t
30
100
40
130
0
60
n
13
14
15
16
17
18
t
30
150
90
0
80
90
n
19
20
21
22
23
24
t
110
20
60
50
60
100
1) Общее число учащихся равно
20.
Какую информацию можно извлечь из этой таблицы?
2) Частота оценки 2 равна 25%.
Среднее арифметическое значение A времени t подсчитать 3) Наиболее частая оценка – 4.
1680
 70 . Медиана M времени отличается от A: 4) Медиана равна 3.
легко: A 
5) Средний балл равен 2,6.
24
6) Если увеличить все оценки на
M = 60.
один балл, то средний балл
Некоторые значения времени t в таблице повторяются. увеличится на 1.
7) Если всем получившим единицу
Выпишем, сколько раз встречается каждое значение.
поставить двойку, то средний балл
0 20 30 40 50 60 80 90 100 110 120 130 150
возрастет на 0,2.
8) Невозможно выполнить требо3 2 2 1 1 4 1 4 2
1
1
1
1
вание директора, чтобы каждый
В нижней строке этой таблицы помещены так называемые ученик имел оценку выше
частоты соответствующих значений. Зная частоты, можно среднего балла.
быстрее подсчитать среднее арифметическое: 3  0 + 2  20 +
+ 2  30 + 1  40 + 1  50 + 4  60 + 1  80 + 4  90 + 2  100 +
+ 1  110 + 1  120 + 1  130 + 1  150 и поделим на 24.
Можно наглядно изобразить распределение числа учеников
в зависимости от времени, проведенного у телевизора, с
помощью так называемой гистограммы, в которой высоты
прямоугольников равны частотам соответствующих
значений t. Как правило, статистические данные различных
исследований (опросы, анкетирование, переписи и т. п.)
представляют в виде гистограмм.
2. Кроме столбчатых гистограмм
для графического представления
данных часто используются круговые диаграммы. Следующая диаграмма представляет собой распределение мест, которые получили различные партии при выборах
в парламент (в процентах).
15%
10%
25%
17%
33%
16