Собственно задачки

8 класс
1. (помните про Ефима) Докажите,
что любые две непересекающиеся
окружности можно перевести подходящей инверсией в две концентрические окружности.
2. Даны четыре точки A , B , C , D . Известно, что любые две окружности, одна из которых
проходит через A и B , а другая — через C и D , пересекаются. Докажите, что общие хорды
всех таких пар окружностей проходят через одну точку.
3. (гнусная теория) Докажите, что если две окружности инверсны, то они и гомотетичны с
этим же центром. Верно ли обратное утверждение?
4. (остаток на инверсию) Даны две концентрические окружности. Каждая из окружностей b1 и b2 касается внешним образом одной окружности и внутренним – другой, а каждая из окружностей c1 и c2 касается внутренним образом обеих окружностей. Докажите,
что 8 точек, в которых окружности b1 , b2 пересекают c1 , c2 , лежат на двух окружностях,
отличных от b1 , b2 , c1 , c2 . (Некоторые из этих окружностей могут выродиться в прямые.
Теория по аффинке
(решать по мере понимания и понимать по мере решения)
1. Докажите, что если M' и N' — образы
многоугольников M и N при аффинном
преобразовании, то отношение площадей M и N равно отношению площадей
M' и N'.
2.Докажите, что любой выпуклый четырехугольник, кроме трапеции, аффинным преобразованием можно перевести в четырехугольник, у которого противоположные углы прямые.
3. Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот пятиугольник можно перевести в правильный пятиугольник.
5. (казалось бы, при чем тут Аполлоний? Считайте,
как хотите) Даны две точки A и B. Найдите ГМТ X,
для которых AX:BX=k, где k–константа, не равная 1.
4. Докажите, что любой выпуклый шестиугольник ABCDEF, в котором каждая сторона параллельна противоположной стороне, аффинным преобразованием можно перевести в
шестиугольник с равными диагоналями AD,BE и CF.
6. (решайте как хотите – минимум n способов) AB
– хорда окружности S . Окружности S1 и S2 касаются
окружности S в точках P и Q соответственно и отрезка AB в точке K . Оказалось, что PBA= QBA .
Докажите, что AB – диаметр окружности S .
5. На плоскости дан многоугольник A1A2...An и точка O внутри его. Докажите, что равен2𝜋
ства ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴𝑖−1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴𝑖+1 = 2 cos ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴𝑖 , i=1, 2, ….n, A0=An, An+1=A1,
𝑛
необходимы и достаточны для того, чтобы существовало аффинное преобразование, переводящее данный многоугольник в правильный, а точку O — в его центр.
7. Даны полуокружность с диаметром AB и центром O и прямая, пересекающая полуокружность в точках C и D , а прямую AB – в точке M. Пусть K – отличная от O точка пересечения окружностей, описанных около треугольников AOC и DOB . Докажите, что угол
MKO – прямой.
8. Поризм Штейнера. Докажите, что если существует цепочка окружностей S1, S2,..., Sn,
каждая из которых касается двух соседних (Sn касается Sn - 1 и S1) и двух данных непересекающихся окружностей R1 и R2, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой
окружности T1, касающейся R1 и R2 (одинаковым образом, если R1 и R2 не лежат одна в
другой, внешним и внутренним образом в противном случае), существует аналогичная
цепочка из n касающихся окружностей T1, T2,..., Tn.
6. *Верно ли, что если любое биективное преобразование
плоскости, переводящее прямую в прямую, является аффинным?
7. Аффинное преобразование циклически меняет местами
вершины треугольника ABC, т.е. переводит точку A в точку B, точку B в точку C, а точку C в
точку A. Найти все неподвижные точки этого преобразования.
8. Доказать, что у каждого аффинного преобразования найдется пара перпендикулярных прямых,
переходящая в пару перпендикулярных прямых.
9. Докажите, что если при аффинном преобразовании какая-то окружность переходит в окружность, то это – движение.
9. В треугольнике ABC проведены чевианы AM и BN, которые пересекаются
в точке O. Докажите, что середины отрезков CO, MN и AB лежат на одной
прямой.
Собственно задачки
1. В трапеции ABCD точка пересечения диагоналей делит диагональ AC пополам. Докажите, что ABCD - параллелограмм.
2. Через каждую вершину треугольника проведены 2 прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Доказать, что
диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника,
образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.
3. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH, медиана AM,
медиана BN и чевиана BG, причем точка G делит сторону AC в таком же
отношении, в каком точка H делит сторону BC. Обозначим точку пересечения BN и AH через К и точку пересечения AM и BG через L. Докажите,
что KL параллельно AB.
4. Точки A1, B1, C1 и D1 – середины сторон AB, BC, CD, DA параллелограмма
ABCD. Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках пересечения
прямых AB1, BC1, CD1 и DA1 – параллелограмм и найдите его отношение к
площади данного параллелограмма.
5. На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны соответственно точки
M, N, P и построены симметричные им точки M1, N1, P1 относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что треугольники MNP и
M1N1P1 равновелики.
6. На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны соответственно точки
M, N, P и построены точки M1, N1, P1 так, что прямая MM1 параллельна BC,
прямая NN1 параллельна CA, прямая PP1 параллельна AB. Докажите, что
треугольники MNP и M1N1P1 равновелики.
7. Через внутреннюю точку O треугольника ABC проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекающие его стороны AB в точках K и L, BC - в точках M и N, CA - в точках P и Q, где KN параллельно AC,
MQ параллельно AB, LP параллельно BC. Доказать, что ON  OQ  OL  1
AC
AB
BC
8. На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD выбраны точки A1, B1,
C1, D1. На сторонах A1B1, B1C1, C1D1, D1A1 четырехугольника A1B1C1D1 выбраны точки A2, B2, C2, D2 Известно, что AA1
 BB1
 CC1
 DD1

A1 B
B1 A2
A2 A1
 C1 B2
B2 B1
 D1C 2
C 2 C1
 A1 D2
D2 D1
B1C
C1 D
D1 A
Докажите, что A2B2C2D2 - параллело-
грамм, подобный параллелограмму ABCD .
10. Через точку P, лежащую внутри треугольника ABC, проведены прямые l,
m, n параллельные сторонам AB, BC, CA. A', B', C' - точки пересечения
прямых l и BC, m и AC, n и AB. Доказать, что PA':AB + PB':BC + PC':CA = 1.
11. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку В проведена прямая,
параллельная стороне CD и пересекающая диагональ AC в точке P, а через
точку C – прямая, параллельная стороне AB и пересекающая диагональ
BD в точке Q. Доказать, что прямая PQ параллельна основаниям трапеции.
12. (Имени Вовы Черепанова) Дан треугольник ABC. Через точку X, лежащую
внутри него, проводится отрезок cX, параллельный AB, с концами на сторонах AB и BC, и отрезок bX, параллельный AC, с концами на сторонах AB и
CB. Докажите, что все точки X, для которых длины отрезков bX и cX равны,
лежат на одной прямой.
13. В параллелограмме ABCD на сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что AM = NC, Q – точка пересечения отрезков AN и CM.
Докажите, что DQ – биссектриса угла D.
14. На сторонах AB, BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K, L и M соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть b, c
и d – прямые, проходящие через точки B, C и D параллельно прямым KL,
KM, ML соответственно. Докажите, что b, c, d пересекаются в одной точке.