Промежуточно-асимптотическое представление решений задач

ПРОМЕЖУТОЧНО-АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ О ТРЕЩИНАХ В СРЕДЕ С ПОВРЕЖДЕННОСТЬЮ
В СВЯЗАННОЙ ПОСТАНОВКЕ
Л. В. Степанова
Самарский государственный университет, Самара, Россия
В настоящем исследовании представлены автомодельные решения задач о трещинах
в связанной постановке, когда параметр сплошности инкорпорирован в определяющие
соотношения степенного закона теории установившейся ползучести, при предположении
о существовании области полностью поврежденного материала в непосредственной
окрестности вершины неподвижной трещины. Характерной чертой, присущей двумерным
задачам о трещинах в связанной постановке (в связках упругость – поврежденность,
пластичность – поврежденность, ползучесть – поврежденность) является существование
особой области у вершины макроскопического дефекта – области процесса, в которой
происходит активное накопление повреждений. Многие исследователи [1–3] вводят в
рассмотрение совокупность областей: область насыщения или область полностью
поврежденного материала, в которой параметр поврежденности достиг своего
критического значения и далее не эволюционирует. Область насыщения охвачена
областью активного накопления повреждений, где повреждения накапливаются в
соответствии с кинетическим уравнением, и далее эта областью окружена областью
неповрежденного материала. Определение границы области полностью поврежденного
материала представляет собой самостоятельную задачу, для анализа которой в данной
работе предлагаются: 1) аналитический подход, основанный на методе разложения
компонент тензора напряжений и параметра сплошности в ряды по собственным
функциям для больших расстояний от вершины трещины (больших по сравнению с
характерным линейным размером области полностью поврежденного материала, но все
еще малых по сравнению с длиной трещины); 2) численное исследование, основанное на
методе конечных разностей. Получены границы области полностью поврежденного
материала с помощью двух подходов. Конфигурации области полностью поврежденного
материала вблизи вершины трещины антиплоского сдвига показаны на рис. 1, 2, где 1 –
конфигурация области, определяемая двучленным асимптотическим разложением
параметра сплошности; 2 – конфигурация области, определяемая трехчленным
асимптотическим разложением параметра сплошности; 3 – конфигурация области,
определяемая четырехчленным асимптотическим разложением параметра сплошности, 4 –
конфигурация области, определяемая пятичленным асимптотическим разложением
параметра сплошности, 5 – конфигурация области, определяемая шестичленным
асимптотическим разложением параметра сплошности
Рис. 1. Геометрия области полностью поврежденного материала у вершины трещины
антиплоского сдвига для n  3, m  0.7n и n  5, m  0.7n
Рис. 2. Геометрия области полностью поврежденного материала у вершины трещины
антиплоского сдвига для n  7, m  0.7n и n  9, m  0.7n
Результаты конечно-разностного решения представлены на рис. 3, 4. Геометрия
области полностью поврежденного материала у вершины трещины нормального отрыва
изображена на рис. 5 и 6.
Рис. 3. Распределения напряжений и параметра сплошности у вершины трещины
антиплоского сдвига (конечно-разностное решение)
Рис. 4. Зависимость интенсивности напряжений от автомодельной переменной
в двойных логарифмических координатах: на графиках отчетливо выделяются два
прямолинейных участка, свидетельствующих о степенной зависимости напряжений
от автомодельной переменной. Наклон прямой A1 A2 (рис. 4) соответствует решению
Хатчинсона-Райса-Розенгрена, в то время как наклон прямой B1B2 отвечает новой
найденной промежуточной асимптотике
Рис. 5. Граница области полностью поврежденного материала у вершины трещины
нормального отрыва в условиях плоского деформированного состояния
Рис. 6. Граница области полностью поврежденного материала у вершины трещины
нормального отрыва в условиях плоского напряженного состояния
Методом конечных разностей получено численное решение задачи о неподвижной
трещине антиплоского сдвига в связанной постановке (в связке "ползучесть –
поврежденность") в автомодельных переменных. Это решение обнаруживает новое
промежуточно-асимптотическое поведение напряжений у вершины трещины в среде с
поврежденностью в связанной постановке задачи (ползучесть – поврежденность). Под
промежуточной асимптотикой понимается следующее. В невырожденной постановке
задачи, соответствующей рассматриваемой вырожденной постановке, имеются, вообще
говоря, две характерные величины размерности независимой переменной R (характерный
линейный размер области полностью поврежденного материала R0 и длина трещины
L (или характерный линейный размер образца)). Промежуточная асимптотика есть
асимптотическое представление решения при R / R0   , но R / L  0 . Таким образом,
полученное автомодельное решение описывает явление на расстояниях от начала
координат, для которых решение уже не зависит от деталей заданных граничных условий
в бесконечно удаленной точке и для времен, достаточно больших, когда решение
перестает зависеть от начальных условий.
ЛИТЕРАТУРА
1. Jin Z.H., Batra R.C. Crack Shielding and Material Deterioration in Damaged Materials:
an Antiplane Shear Fracture Problem // Archive of Applied Mechanics. – 1998. – V. 68. – P.
247–258.
2. Bui H.D., Ehrlacher A. Propagation of Damage in Elastic and Plastic Solids // Francois
D. (Ed.). Advances in Fracture Research/ – Oxford: Pergamon Press, 1980. – P. 533–551.
3. Bui H.D. Fracture mechanics: Inverse problems and solutions. – Berlin: Springer, 2006.