Основы вычислительной гидромеханики и

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ФГБОУ ВПО «МГИУ»)
Д.П. Алексеев, А.С. Кубенин, А.Ю. Чулюнин
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
ГИДРОМЕХАНИКИ И ТЕПЛОМАССООБМЕНА
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
Москва, 2013
1
УДК
Рецензент: д.х.н., проф. Бажанов Виталий Идельевич
Авторский коллектив: Дмитрий Палович Алексеев, Александр
Сергеевич Кубенин, Алексей Юрьевич Чулюнин
Основы вычислительной гидромеханики и
тепломассообмена: учебно-методическое пособие. – М.:МГИУ,
2013. – 83 с.
Рассматриваемое учебно-методическое пособие составлено с
учетом действующих современных тенденций развития
вычислительной гидромеханики. Приводятся сведения об
основных уравнениях движения жидких и газообразных сред.
Описываются
современные
методы
решения
задач
тепломассобмена,
используемые
в
вычислительной
гидромеханике. Уделено внимание основам моделирования
турбулентности. Изложены основные способы дискретизации
дифференциальных уравнений. На примере решения простых
задач подробно рассмотрен метод контрольного объема.
Актуальность пособия продиктована возрастающей ролью
компьютерного моделирования в науке и производстве.
Изложенные материалы могут быть рекомендованы для
использования студентам, обучающимся по направлениям
«Энергетическое машиностроение» и «Информатика и
вычислительная техника», а также аспирантам, обучающимся по
специальности «Математическое моделирование, численные
методы и комплексы программ», «Гидравлические машины и
гидропневмоагрегаты».
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………………………....
1.
УРАВНЕНИЯ
ДВИЖЕНИЯ
СЖИМАЕМЫХ
И
НЕСЖИМАЕМЫХ СРЕД…………………………………………….
1.1. Основные сведения…………………………………………….
1.2. Уравнения движения жидкости и газа………………………
1.3. Уравнения, описывающие турбулентное движение
жидкости……………………………………………………………….
1.4.Общий вид дифференциальных уравнений………………..
2.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ………………………………..
2.1.Конечно-разностные сетки, обозначения и терминология.
2.2.Конечно-разностная аппроксимация…………………………
2.3.Погрешность аппроксимации………………………………….
2.4.Аппроксимация производных первого порядка…………….
2.5.Аппроксимация производных второго порядка…………….
2.5.1.Использование
аппроксимаций
производных
первого порядка……………………………………………………...
2.5.2.Использование разложения в ряд Тейлора…………
2.6.Аппроксимация частных производных………………………
2.7.Устойчивость и сходимость разностных схем……………...
2.8.Примеры использования метода конечных разностей…..
2.8.1. Система алгебраических уравнений…………………
2.8.2. Одномерная теплопроводность………………………
2.8.3. Двумерная теплопроводность……………………
3
МЕТОД КОНТРОЛЬНОГО ОБЪЕМА……………………………...
3.1.Общие сведения…………………………………………………
3.2.Применение МКО для задач диффузии……………………..
3.2.1. Одномерное уравнение диффузии…………………..
3.2.2. Двумерное уравнение диффузии…………………….
3.2.3. Трехмерное уравнение диффузии…………………...
3.2.4. Примеры и задачи………………………………………
3.3.Применение МКО для задач конвекции-диффузии……….
3.3.1.Общие положения……………………………………….
3.3.2.Схема центральная разность………………………….
3.3.3.Схема UPWIND…………………………………………..
3.3.4.Гибридная разностная схема………………………….
3.3.5.Схема QUICK……………………………………………..
3.3.6.Примеры и задачи……………………………………….
3.4.SIMPLE-подобные алгоритмы…………………………………
4.
БЕССЕТОЧНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ГИДРОМЕХАНИКИ………………………………………………….
4.1.Метод решеток Больцмана……………………………………
4.2.Метод сглаженных частиц……………………………………..
Заключение…………………………………………………………………………
Список литературы………………………………………………………………..
3
4
8
8
9
15
21
25
25
27
29
30
32
32
34
34
36
39
39
41
43
45
45
46
46
48
51
52
57
57
58
59
60
61
63
67
71
71
77
81
82
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время все большую роль в развитии
промышленности приобретает компьютерное моделирование
физических процессов. В его основе лежат численные методы
решения
дифференциальных
уравнений,
описывающих
различные физические явления и процессы. Такое численное
моделирование или CFD (Computational Fluid Dynamics), как его
называют во всем мире, позволяет получать на компьютере
подробную информацию об исследуемом явлении. Ведущие
компании по всему миру используют принципы компьютерного
моделирования в различных областях промышленности, таких
как энергомашиностроение, транспортное машиностроение,
нефтеперерабатывающая промышленность и др.
Одним из важнейших преимуществ CFD-моделирования
является возможность ускорить и удешевить процесс
производства технических устройств, автомобилей, самолетов,
судов и т.п. на этапе их проектирования. Например, как,
известно, самые лучшие и современные флагманские технологии
в автомобилестроении начинают свой путь в Формуле 1. При
проектировании болидов Формулы 1 наряду с экспериментом
(использование аэродинамической трубы) широко применяется и
CFD для решения различных задач внешней аэродинамики
болида,
износостойкости ключевых деталей конструкции,
охлаждения частей двигателя и тормозной системы и др.
Широкое применение CFD находит и в авиастроение. Например,
важнейшими являются задачи безопасности полета при какихлибо аварийных ситуациях или задачи обледенения профиля
крыла самолета. Эти и многие другие проблемы современной
промышленности решаются, в том числе, и с помощью
компьютерного моделирования.
Метод вычислительного моделирования возник на основе
двух дисциплин. Развитие такой области науки, как механика
жидкости и газа, а также развитие вычислительной математики
привело к появлению новой дисциплины под название
«Вычислительная гидродинамика» (CFD).
Первые попытки математически описать движение жидкости
появились еще в 18-ом веке и связаны с работами Бернулли и
4
Эйлера. Но, пожалуй, самый большой вклад в этой области
внесли Клод Навье и Джордж Стокс, описав математически
движение вязкой жидкости, а также, Осборн Рейнольдс, внесший
весомый вклад в изучение турбулентности. В 1922 году Льюис
Ричардсон разработал на основе численного метода первую
систему по предсказанию погоды, использовав разбиение
пространства на ячейки с последующей конечно-разностной
аппроксимацией дифференциальных уравнений Бьеркнеса. В
период 30-50-х годов 20-го века появляются первые работы по
численному решению задачи обтекания цилиндра, ныне
являющейся классической задачей в механики жидкости и газа
[1].
Наиболее
интенсивное
развитие
вычислительной
гидродинамики начинается с 60-х годов 20-го века. В 60-70-е
годы появляются все новые и новые численные методы (Particlein-Cell, Arbitrary Lagrangian-Eulerian, k-e turbulence model,
SIMPLE algorithm). Некоторые из них используются и по сей
день.
Параллельно, с 60-х годов начинают расти вычислительные
мощности. Появляются новые, более мощные компьютеры.
Например, производительность компьютеров, измеряемая во
флопсах (FLOPS-количество операций с плавающей запятой в
секунду),в период с 70-х по 2009-й увеличивается с одного
мегафлопса
до
одного
гигафлопса.
Такой
рост
производительности компьютеров не мог не повлиять на
динамику развития CFD. Как следствие в 80-90-х годах
появляются первые коммерческие CFD-программы (Fluent, CFX,
STAR-CD, Flow 3d, Phoenix и др.). Бурное развитие CFD-отрасли
позволяет постепенно сокращать затраты на эксперимент.
Например, на рис. 1 показано, насколько сократилось количество
экспериментов в аэродинамической трубе при проектировании
самолетов компании Боинг.
5
Рис. 1 Сокращение испытаний в аэродинамической трубе
начиная с 1980-х годов
Развитие
возможностей
вычислительной
техники,
совершенствование
методов
численного
моделирования
позволило создать мощные прикладные программные системы
инженерного анализа. Сейчас такие программные комплексы
(STAR-CCM+, ANSYS, Flow Vision) стали инструментом
современного инженера при решении задач, связанных с
разработкой и созданием высокотехнологичных изделий. Но
владение навыками работы с такими инструментами требуют от
инженеров знания и глубокого понимания процессов, которые
стоят за работой этих программных комплексов.
Данное учебное пособие предназначено для студентов
технических специальностей и направлений инженернофизического профиля и преследует цель подробно ознакомить
читателя
с
многогранным
миром
вычислительной
гидродинамики. Знакомство с основами механики жидкости и
газа, знания о способах дискретизации дифференциальных
уравнений движения жидкости и газа, принципах создания
разностных схем, алгоритмах их реализации, свойствами
получаемых решений является необходимым условием для
освоения программных систем инженерного анализа и решения
6
сложных, но актуальных задач в различных областях
промышленности.
Книга содержит в основном теоретические сведения по
вычислительной гидродинамике и наполнена математическим
содержанием. Однако в отдельных главах разбираются и
практические примеры. Книгу рекомендуется использовать в
сочетании
с
учебно-методическим
пособием
«Пакеты
прикладных программ», в котором наиболее полно отражена
практическая часть работы с разными программными
комплексами.
Учебное пособие состоит из четырех глав.
Глава 1 посвящена основным сведениям из механики
жидкости и газа. Описываются основные уравнения,
характеризующие сложные процессы их движения жидкости и
газа. На примерах рассматриваются подходы к выводу таких
уравнений. Рассматриваются различные модели для описания
турбулентного движения жидкости.
В главе 2 обсуждаются способы решения уравнений
механики жидкости и газа. Излагаются основные способы
дискретизации дифференциальных уравнений. На примерах
рассказывается о методе конечных-разностей. Приводятся
основные понятия теории разностных схем.
Глава 3 полностью посвящена наиболее известному и
широко используемому в вычислительной гидромеханике для
дискретизации
дифференциальных
уравнений
движения
жидкости и газа методу контрольного объема. Приводятся
краткие сведения о современных алгоритмах, используемых в
большинстве программных комплексов.
В главе 4 описываются современные методы для
моделирования гидрогазодинамических и прочих физических
процессов. Методы решеток Больцмана (LBM – Lattice Boltzman
Method) и сглаженных частиц (Smoothed Particle Hydrodynamics)
принадлежат к классу бессеточных методов, набирающих все
большую популярность. Рассматриваются основные идеи этих
методов. Приводятся математические выражения этих идей.
7
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМЫХ И НЕСЖИМАЕМЫХ
СРЕД
1.1. Основные сведения
Как известно, вещества в природе состоят из молекул и
делятся по агрегатному состоянию на жидкие, твердые и
газообразные. При исследовании законов движения этих сред в
механике жидкости и газа "забывают" о дискретной
молекулярной структуре и рассматривают их в рамках гипотезы
сплошности. Суть этой гипотезы заключается в том, что
жидкость, газ или деформируемое твердое тело (все, что обладает
свойством текучести), представляется средой, способной
непрерывно заполнять пространство. А значит характеристики
этих сред, такие как плотность, напряжения, скорость
изменяются в пространстве также непрерывно.
Другими
словами, считается, что размеры в любом, сколь угодно малом,
объеме жидкости или газа несравнимо больше межмолекулярных
расстояний в них. Это позволяет применять к изучению
закономерностей движения жидкостей и газов проверенный
математический аппарат, основанный на непрерывных функциях.
Проводя аналогию можно сказать, что механика сплошных
сред описывает поведение "текучих сред" точно также, как
ньютоновская механика описывает движение материальных
точек.
Необходимо сделать акцент на терминах. Обычно под
термином
"жидкость"
понимается
среда,
обладающая
текучестью. Такая среда может быть несжимаемой (например
вода) и сжимаемой (например воздух, любой газ). Несжимаемые
жидкости часто называют капельными. Кроме того, если
параметры состояния газа практически не меняются, его
поведение ничем не отличается от поведения капельной
жидкости и поэтому такой газ можно считать несжимаемым.
Наряду с этим в механике жидкости и газа используются такие
понятия как вязкая и невязкая жидкость. При пренебрежении
вязкостью в случае капельной жидкости - она считается
идеальной. В случае газа есть небольшая тонкость, связанная с
расхождением в понятиях. Под понятием идеальный газ в
аэромеханике и газовой динамике понимается невязкий газ. А
8
вязкий газ, подчиняющийся закону Клайперона-Менделеева,
называется совершенным. В термодинамике, например,
совершенный газ называют идеальным.
1.2.Уравнения движения жидкости и газа
Для решения задач механики жидкости и газа, как, впрочем,
и любой другой области науки, необходимо, чтобы процессы,
характеризующие движение жидкости и газа были описаны
математически. Чтобы понимать смысл уравнений механики
жидкости и газа и уметь их записывать самостоятельно,
необходимо знать базовые элементы математического аппарата.
Вот некоторые из них.
Очень часто те или иные уравнения и законы записаны при
помощи правила "суммирование по повторяющемуся индексу".
Это означает, что знак суммы опускается, если индекс, по
которому производится суммирование, повторяется в одночлене
два раза. Например:
3
f   a b  a b ( k  1,2,3 )
k l  1 l lk
l lk
Здесь f может быть любой изменяющейся функцией, зависящей
от параметров a и b .
Еще одним часто используемым термином является так
называемый символ Кронекера, представляющий собой тензор
второго порядка

1, k  l

kl 0, k  l
Символ Кронекера используется, в частности, при записи
симметричного тензора третьего порядка или "тензорной
единицы"
1 0 0 


E 0 1 0 
 0 0 1


9
Часто используемыми также являются такие термины как
градиент, дивергенция и ротор. Градиент является векторной
величиной и характеризует направление и скорость роста
некоторой величины, изменяющейся в пространстве.
grad f  f 
f 
i
x k
k
Дивергенция представляет собой дифференциальный оператор,
после применения которого к векторному полю, получается
скалярное поле. Дивергенция показывает, насколько сходится
или расходится поток данного поля в малой окрестности любой
точки поля.

 f k
div f    f 
x
k
Ротор представляет собой векторный дифференциальный
оператор, применяемый к векторному полю и характеризующий
вращательную составляющую этого поля
i
i
i
1
2
3


rot f    f   x  x  x
1
2
3
f
f
f
1
2
3
Отметим еще одну важную математическую операцию: переход
от объемного интеграла к поверхностному. Это операция
возможна благодаря теореме Остроградского-Гаусса [1]
 div f dW   f  n dS
W
S
Основными
уравнениями,
описывающими
движение
несжимаемой вязкой жидкости с постоянными свойствами при
отсутствии внешних сил в трехмерной постановке являются
уравнение неразрывности и уравнение, получившее название
10
«уравнение Навье-Стокса». Эти уравнения могут быть записаны
как в интегральной, так и в дифференциальной форме.
Уравнение неразрывности в дифференциальной форме
можно получить следующим образом. Рассмотрим контрольный
объем жидкости dw . Масса такого объема dm  dw , где  плотность жидкости. Поскольку в отсутствии источников и
стоков масса объема жидкости сохраняется постоянной с
течением времени, то
d
(dm)  0
dt
Теперь можно записать, что
d
d
d (dw)
( dw)  dw

0
dt
dt
dt
(1.1)
Рассмотрим объем жидкости в форме параллелепипеда со
сторонами dx, dy, dz. Его объем в момент времени t запишем как
dw=dxdydz. Пусть этот объем двигается с общей скоростью V.
Если левая грань перемещается вдоль оси Х со скоростью Vx, то
согласно разложению функции в ряд Тэйлора, правая грань будет
V
перемещаться со скорость V  x dx . За время dt левая грань
x x
V
пройдет расстояние Vx dt , а правая (V  x dx)dt . Тогда длина
x x
параллелепипеда в направлении оси X за время dt изменится на
V
V
x
(V 
dx)dt  V dt  x dxdt . В момент времени t+dt его
x x
x
x
V
длина в этом же направлении составит dx  x dxdt . Рассуждая
x
аналогичным образом можно записать изменение длин
оставшихся
граней
параллелепипеда.
Записав
объем
параллелепипеда в момент времени t+dt и вычислив приращение
контрольного объема за время dt, получим
11
V
V
y Vz
x
d (dw)  dwdt  (


)
x
y
z
Поделив полученное выражение на dt, получим
V
V
d (dw)
y Vz
x
 dw  (


)
dt
x
y
z
Подставив это выражение в выражение (1) и поделив на dw,
получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме.
V
V

y Vz
x
(1.2)
  (


)0
t
x
y
z
Здесь выражение в скобках представляет собой дивергенцию от
векторного поля скорости.
Уравнение неразрывности часто можно увидеть и в
интегральной форме. Для вывода уравнения в такой форме
необходимо рассматривать не бесконечно малый объем, как в
случае с выводом дифференциального уравнения неразрывности,
а объем конечного размера. Перейти от интегральной формы к
дифференциальной можно посредством использования теоремы
Остроградского-Гаусса.
Уравнение неразрывности (2) выражает тот факт, что
согласно гипотезе сплошности в отсутствии каких-либо
источников и стоков масса жидкой частицы сохраняется во время
движения.
Если рассмотреть второй закон Ньютона и применить его к
объему жидкости с учетом действия в нем поверхностных и
объемных (массовых) сил, можно получить уравнения динамики
жидкости в напряжениях в дифференциальной форме





p

p

p
dV  1
y
(1.3)
F ( x 
 z)
dt
 x
y
z

Здесь V - вектор скорости потока,
(объемных) сил.
12

F - вектор массовых
Если представить полученное уравнение в проекциях на оси
декартовой системы координат, то в уравнениях появятся
следующие переменные:
p
xx
,p
yy
,p ,p ,p ,p ,p ,p ,p .
zz xy yz xz yx zy zx
Первые
три
переменных
называются
нормальными
напряжениями, остальные – касательными [1]. В отличие от
твердого тела, расстояние между двумя точками в элементарном
объеме движущейся жидкости может изменяться. Это
обуславливает линейную и угловую деформацию жидкости.
Связь между нормальными, касательными напряжениями и
скоростями
деформации
жидкой
частицы
называется
реологическими соотношениями.

P   pE  2 def V
Здесь E-тензорная единица,  -динамическая вязкость жидкости,
def V - деформация векторного поля скорости.
Если для жидкости справедлива следующая связь касательных
V
напряжений и угловой деформации    x , впервые
y
установленной Ньютоном, то такая жидкость называется
ньютоновской (вода). Здесь коэффициент пропорциональности 
характеризует динамическую вязкость жидкости [1,2,3]. В случае
переменного  жидкость является неньютоновской (мазут, бетон,
кровь).
С учетом гипотезы Стокса [1,2] касательные и нормальные
напряжения можно записать как:
V
x  2 div V )
xx
x 3
V

y 2
p   p    (2
 div V )
yy
y 3
p
  p    (2
13
(1.4)
V

2
z
p   p    (2
 div V )
zz
z 3
V
y Vx
p  p   (

)
xy
yx
x
y
V
V
y
z
p  p   (

)
yz
zy
y
z
V
V
z
p  p   (
 x)
xz
zx
x
z
Уравнения Навье-Стокса получают из уравнения движения
в напряжениях (1.3), применив его к элементарной жидкой
частице с учетом нормальных и касательных напряжений (1.4)
V
V
V
V
V
V
V
V
 2V
 2V
 2V
x V
x V
x V
x  F  1 p  v(
x
x
x)
x x
y y
z z
x  x
t
x 2
y 2
z 2
 2V
 2V
 2V
1 p
y
y
y
y
y
y
y
V
V
V
F 
 v(


)
2
2
2
x x
y y
z z
y  y
t
x
y
z
 2V
 2V
 2V
1

p
z V
z V
z V
z F 
z
z
z)
 v(
x x
y y
z z
z  z
t
x 2
y 2
z 2
V
V
V
V
Или в векторной форме

 1

V  
 V  (V  )  F  grad ( p)  v  V
t

Здесь v  
(1.6)
 представляет собой кинематическую вязкость
жидкости (динамическая вязкость, нормированная на плотность).
Левая часть уравнения (1.6) представляет собой полное (или
субстанциональное)
ускорение
жидкой
частицы,
складывающегося из локального ускорения, определяемого
14
нестационарным характером движения, и конвективного
ускорения, определяемого неоднородностью поля скорости.
Правая часть уравнения (1.6) выражает силы, действующие на
жидкую частицу. Это массовые силы, силы давления
(характеризуются нормальными напряжениями) и силы вязкого
трения (характеризуются касательными напряжениями).
Аналогичный вид имеет и уравнение переноса тепла
(уравнение теплопроводности) в предположении об отсутствии
каких-либо источников тепла и постоянства теплофизических
характеристик среды
h
h
h
h   2T  2T  2T
q
V
V
V
 (


)
(1.7)
x x
y y
z z  x 2 y 2 z 2
t

В уравнении (1.7) энтальпия h   c dT , Т-температура,  p
T
теплопроводность, а c p - теплоемкость среды при постоянном
давлении, q - тепловой поток.
1.3.Уравнения, описывающие турбулентное движение жидкости
Если речь идет о турбулентном режиме течения, то
уравнения Навье-Стокса за счет добавочных членов,
описывающих пульсации скорости около некоторого среднего
значения [3], принимают вид:
h
h
h
h   2T  2T  2T
q
V
V
V
 (


)
(1.8)
x x
y y
z z  x 2 y 2 z 2
t

Уравнения (1.8) называют уравнениями Рейнольдса
осредненного турбулентного движения.
Такой подход говорит о том, что в каждой точке потока
текущая скорость складывается из некоторого среднего значения
скорости и пульсационной составляющей. Штрихами в
уравнении (1.8) обозначены пульсационные составляющие
'
'
скорости. А Vi V j
– так называемые турбулентные
(рейнольдсовые) напряжения.
Для того, чтобы решить систему уравнений Рейнольдса
необходимо определить составляющие тензора рейнольдсовых
15
напряжений  ijT  Vi V j . Их обычно находят из ряда различных
моделей турбулентности, которые устанавливают связь между
тензором напряжений  ijT и параметрами осредненного потока.
Например, гипотеза Буссинеска связывает эти напряжения с
тензором осредненных скоростей деформаций. Предполагается,
что эта связь линейна и осуществляется через некоторый
коэффициент, получивший название коэффициент турбулентной
вязкости  t .
___ ___
____
V
2
j Vi
'
'
(1.9)
 V V   (

)  k
i j
t x
x
3 ij
i
j
'
где
____
'
'
 Vi V j ___
'
рейнольдсовые напряжения,  t - турбулентная
___
вязкость, V j ,Vi - осредненные составляющие скорости,  ij единичный тензор, k - кинетическая энергия турбулентных
пульсаций.
Уравнения Рейнольдса (1.8) с учетом гипотезы Буссинеска
(1.9) выглядят следующим образом
V
V
V
i V
i   1 p   ((   ) i )
j x
t x
t
 x x
j
i
j
j
Главным
достоинством
моделей,
основанных
на
использовании гипотезы Буссинеска, является их относительная
простота, наглядность и вычислительная эффективность. В
рамках этой гипотезы проблема решения уравнений Рейнольдса
сводится к определению одной скалярной величины
(турбулентной вязкости) вместо шести компонент тензора
турбулентных напряжений.
Одна из моделей для описания распределения турбулентной
вязкости  t , известна как модель пути смешения Прандтля. Эта
___
модель определяет турбулентную вязкость как  t  l m2 
длина пути смешения, вычисляемая эмпирически.
16
Vi
, где lm y
Существует ряд алгебраических моделей турбулентности,
замыкающих уравнения Рейнольдса. Они в большинстве случаев
связывают между собой и с турбулентной вязкостью параметры
турбулентного пограничного слоя. К таким моделям например
относятся модель Себеси-Смита, модель Болдуина-Ломакса и др
[4]. Непосредственно в основе таких моделей лежит разбиение
турбулентного пограничного слоя на области (вязкий подслой,
переходная область, область логарифмического профиля
скорости, область закона следа и область перемежаемости) [5].
Особенность алгебраических моделей заключается в том, что они
будут хорошо работать только при анализе тех потоков, на
которые они были предварительно настроены. Но такие модели
неприменимы в случаях с доминирующим влиянием
конвективного и диффузионного переноса турбулентности или
когда существенную роль играет предыстория процесса.
Замыкание уравнений Рейнольдса можно осуществить
используя так называемые однопараметрические модели
турбулентности. Такие модели дают описание турбулентности с
помощью одной переменной величины, для которой строится
дифференциальное уравнение переноса. Другие турбулентные
характеристики связываются с ней с помощью алгебраических
или иных соотношений. Широко известна однопараметрическая
модель Колмогорова-Прандтля. Согласно данной концепции
распределение
турбулентной
вязкости
связывается
с
'
кинетической энергией турбулентных пульсаций  t  C   k  L
через масштаб турбулентности L и некую эмпирическую
функцию местного числа Рейнольдса C' . Энергия k , в свою
очередь, определяется из дифференциального уравнения
переноса
___
___
V
V
 k
k ___ k

j  Vi
j
t
V

(( 
)
)   (

)

j x
t
t
x
 x
x
x
x ,
j
j
k
j
i
j
i
32
k
C
D L
где  k и C D - эмпирические константы (  k  1 , C' CD  0.09 )
17
Модель переноса турбулентной энергии позволяет учитывать
конвективный и диффузионный перенос и предысторию
процесса, и поэтому в случаях, когда эти факторы играют
важную роль, она оказывается предпочтительной по сравнению с
гипотезой пути смешения.
Существуют и другие модели турбулентности, относящиеся к
однопараметрическим.
Например,
модели,
в
которых
используется уравнение для турбулентного трения или уравнение
для турбулентной вязкости [4].
В вычислительной гидродинамике в настоящее время
наибольшее распространение получили двухпараметрические
модели турбулентности. При этом все развитые модели
используют в качестве одного из уравнений уравнение переноса
энергии турбулентности k . Наибольшее распространение
получили два типа моделей: модели типа k – ω, где ω есть
скорость диссипации в единице объема и времени (или
диссипация на единицу турбулентной энергии) и модели типа k –
ε, где ε –диссипация турбулентной энергии. Распространены
также различные их модификации (например двухслойная k – ε
модель, низкорейнольдсовая k - ε модель, модель k – ω SST).
В k – ε модели используются два дифференциальных
уравнения. Это уравнения переноса кинетической энергии
турбулентных пульсаций и уравнение переноса диссипации
турбулентной энергии с некими эмпирическими коэффициентами
___
 k
 V
k ___ k

t
i 
V

(( 
)
) 
j x
ij x
t
x
 x
j
j
k
j
j
___
 t 



  Vi
2
Vj

((  )
)  C 1  ij
 C 2
t
x j x j
  x j
k x j
k
2
k
 t  C  , C  0.09 , C 1  1.44 , C 2  1.92 ,  k  1 ,    1.3

___
Поскольку пограничный слой включает в себя вязкий
пристеночный подслой, в котором турбулентная вязкость
превалирует над рейнольдсовыми напряжениями, а также
внешний подслой, в котором уже рейнольдсовые напряжения
превосходят вязкостные эффекты, то в моделях турбулентности
18
необходимо учитывать связь параметров потока с расстоянием от
стенки. Иначе говоря, при решении численных задач необходимо
адекватно описывать профили параметров потока в пограничном
слое. Один из наиболее распространенных подходов к
моделированию пристеночных течений связан с использованием
так называемых пристеночных функций. Метод пристеночных
функций хорошо описывает ограниченные течения при высоких
значениях числах Рейнольдса в случаях когда пристеночные слои
близки к равновесным. В областях с отрывом или
присоединением потока, с большими градиентами давления
гипотезы, лежащие в основе метода, несправедливы, и
пристеночные функции дают не правильное описание
пограничного слоя. В математическом описании пограничного
слоя используются некие безразмерные величины. Вот некоторые
из них: динамическая скорость Vt 
w

( w - касательное
напряжение трения на стенке); безразмерная скорость потока
y
V
; безразмерное расстояние до стенки y   Vt (  и  V 

Vt
динамическая вязкость и плотность соответственно). Вязкий
подслой пограничного слоя соответствует 0  y   5 , буферный
или
переходный
подслой
соответствует
5  y   30 ,
турбулентный
логарифмический
слой
соответствует

30  y  400 . В последнем случае имеет место логарифмическая
зависимость скорости от расстояния до стенки
1
V   ln( Ey  ) ,
k
где k=0.41-константа Кармана, E-константа интегрирования
(E=8.4 для гладких поверхностей). Используя определение
динамической скорости и соотношение для безразмерной
скорости, касательные напряжения на стенке можно записать
следующим образом:
y V
w   
V y
Двухпараметрическая модель k – ω введена Вилкоксом [6] и
предназначена для сложных видов течений с учетом
19
пограничных слоев, струй, следов и т.п. По отношению к k – ε
модели, модель k – ω имеет преимущества при моделировании
пристеночных течений. В настоящее время имеет преимущества
и широко используется модель турбулентности k – ω SST (Shear
Stress Transport), введенная Ментером и учитывающая перенос
сдвиговых напряжений [7]. Модель сочетает в себе лучшие
свойства (область сдвиговых течений, область пристеночных
течений) обычных k – ε и k – ω моделей. Переход от одних
свойств к другим осуществляется за счет введения весовой
функции F1 , которая выполняет роль переключателя между
моделями, основываясь на расстоянии до стенки и на значении
диффузионных членов в уравнении переноса ω. Используя
D  ___ 
полную производную
исходная система
 Vj
Dt t
x j
уравнений Ментера будет выглядеть следующим образом
___
V
Dk

k
  ij i   * k 
(   k  t
)
Dt
x j
x j
x j
___
D   Vi


  ij
  2  2 
(    t
)
Dt
t x j
x j
x j
 2  (1  F1 )    2 
1 k 
 x j x j
Используется следующая система констант:
1) Набор констант оригинальной модели k – ω,
калиброванных по пристеночным течениям
 k 1  0.5 ,  1  0.5 , 1  0.0750 ,  *  0.09 , K  0.41,
1 
1
  1 k 2 /  *
*

2) Набор констант модели k – ε, обладающие высокой
приемлемостью для свободных сдвиговых слоев
 k 2  1.0 ,   2  0.856 ,  2  0.0828 ,  *  0.09 , K  0.41,
2 
2
 2k 2 /  *
*

20
Модель замыкается выражением для турбулентной вязкости

k
t  t  .
 
Помимо вышеописанных основных моделей турбулентности
существует ряд их модификаций, в основном это относится к
диссипативной модели, развитие которой привело к таким
моделям как RNG k – ε модель, Realizable k – ε модель [8]. В
первом случае в уравнении переноса  введен дополнительный
параметр, улучшающий точность решения высоконапряженных и
искривленных потоков. А также используется аналитическая
формула расчета динамической вязкости, что увеличивает
точность расчета турбулентных течений с низким Re. В модели
Realizable k – ε введена зависимость параметров модели от
характера деформации осредненного потока и турбулентности,
что привело к улучшению сходимости при расчете потоков с
большими значениями нормальных напряжений. Кроме того,
уравнение переноса  получено из точного уравнения переноса
среднеквадратичного пульсационного вихря, что улучшает
точность расчета искривленных и отрывных течений.
Модель k – ω SST обладает высокими характеристиками для
пристеночных пограничных слоев, низкорейнольдсовых потоков,
применяется для сложных течений в пограничных слоях при
неблагоприятных градиентах давления и отрывах (внешняя
аэродинамика и турбомашины), а также может применяться для
переходных течений.
Также в вычислительной механике используется модель
турбулентности Спалларта-Алмараса (S-A), которая является
более экономичной с точки зрения вычислительных затрат.
Применяется в основном в области аэромеханики для расчета
обтекания крыльев, лопастей, фюзеляжей самолетов, ракет и т.п.
1.4.Общий вид дифференциальных уравнений
Краткое рассмотрение некоторых дифференциальных
уравнений, описывающих гидродинамику, показывает, что
интересующие нас зависимые переменные подчиняются
обобщенному закону сохранения. Если обозначить зависимую
переменную f , то обобщенное дифференциальное уравнение
примет вид
21
 ( f )
 div( Vf )  div(  gradf )  S
t
где  — коэффициент диффузии; S — источниковый член.
Конкретный вид  и S зависит от смысла переменной f . В
обобщенное дифференциальное уравнение входят четыре члена
(слева направо): нестационарный, конвективный, диффузионный
и источниковый. Зависимая переменная f обозначает различные
величины, такие, как массовая концентрация химической
компоненты, энтальпия или температура, составляющая
скорости, кинетическая энергия турбулентности или масштаб
турбулентности. При этом коэффициенту диффузии  и
источниковому члену S придается соответствующий каждой из
этих переменных смысл.
Основные уравнения движения, приведенные здесь,
являются дифференциальными уравнениями второго порядка в
частных производных. Для анализа этих уравнений принята
классификация,
которая
опирается
на
использование
дифференциального уравнения второго порядка с двумя
независимыми переменными (x,y) общего вида
2 f
2 f
2 f
A 2  2B
C
 ...  0
(1.10)
x
xy
y
где A,B,C есть функции x и y. Если эти коэффициенты не
содержат в себе f или ее производные, то такие уравнения
называются линейными, в противном случае - нелинейными.
Уравнения считаются квази-линейными, если приведенные
коэффициенты содержат f или ее первую производную (но не
вторую и выше). Уравнение (10) можно разделить на три типа в
зависимости
от
количества
характеристик
(значения
дискриминанта) сходного уравнения
Ax 2  2 Bxy  Cy 2  ...  0
В случае если дискриминант D=B2-4AC>0, то уравнение имеет
две характеристики и называется гиперболическим. При
равенстве нулю дискриминанта уравнение имеет одну
характеристику
и
называется
параболическим.
Если
дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет реальных
характеристик и называется эллиптическим. В данных случаях
22
прослеживается прямая аналогия с обычным алгебраическим
квадратичным уравнением, которое представляет собой
гиперболу при D>0, параболу при D=0 и эллипс при D<0.
Используя такую классификацию можно соотнести уравнения с
теми или иными физическими процессами.
Уравнения
гиперболического
типа
характеризуют
распространение информации вдоль его характеристик с какойто конечной скоростью. Такие уравнения описывают
нестационарные процессы с малой диссипацией энергии,
например распространение волны, описываемое уравнением вида
1 2 f
f  2 2
c t
где с - скорость распространения волны, а f любая функция,
перенос которой осуществляется. Уравнения такого рода
требуют два набора начальных условий.
Уравнения
параболического
вида
обладают
одной
характеристикой. Такие уравнения описывают распространения
информации вдоль этой характеристики и требуют наличия
одного набора начальных условий. Параболические уравнения
описывают
нестационарные
процессы,
связанные
со
значительной диффузией. К этому виду уравнений относится,
например, уравнение теплопроводности
T
  2 T  0
t
Для замыкания такого уравнения, кроме набора начальных
условий необходимо иметь граничные или краевые условия.
Поэтому такое уравнение можно охарактеризовать как
эллиптическое по пространству и параболическое по времени.
Уравнение эллиптического вида не имеет реальных
характеристик и поэтому информация согласно таким
уравнениям распространяется одинаково по всем направлениям.
Такие уравнения описывают стационарные и равновесные
процессы и для замыкания требуют наличия только граничных
условий. Ярким примером эллиптического уравнения является
уравнение Лапласа
2 f 2 f 2 f


,
x 2 y 2 z 2
23
которое может описывать стационарную теплопроводность или
потенциальные течения.
Согласно изложенной информации уравнения Навье-Стокса
можно классифицировать:
-стационарное течение несжимаемой вязкой жидкости
описывается эллиптическим уравнением;
-нестационарное течение несжимаемой вязкой жидкости
описывается параболическим уравнением, хотя, по-сути,
является параболическим по времени и эллиптическим по
пространству;
-нестационарные течения сжимаемой вязкой жидкости можно
рассматривать как сочетание гиперболического, параболического
и эллиптического уравнений.
Необходимо отметить, что решение эллиптических
уравнение сложнее, чем параболических, поэтому на практике в
случае исследования стационарных физических процессов
уравнения решают как псевдо-стационарные с большим шагом
по времени.
Для замыкания дифференциальных уравнений необходимо
иметь набор начальных и граничных условий. Приведем самые
распространенные граничные условия:
-граничное условие, описывающее поток жидкости на входе
куда-либо (обычно говорят "в расчетную область"): профиль
давления, скорости, температуры и плотности;
-граничное условие, описывающее поток жидкости на
выходе: профиль давления, нулевые градиенты параметров
потока («мягкие граничные условия»);
-граничное условие симметрии: grad   0 для всех
параметров потока (  - функция параметра потока);
-периодические граничные условия, когда значения
параметров с выхода передаются на каждой расчетной итерации
на вход.
24
2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Метод конечных разностей является старейшим методом
для численного решения дифференциальных уравнений в
частных производных. Его разработал Леонард Эйлер в 18 веке
для решения задачи Коши. МКР очень популярен в CFD и его
развитие и прикладное использование хорошо документировано
во многих учебниках [9-13].
Основные преимущества МКР:
 Это самый простой метод для использования на простой
геометрии. Как с точки формулировки, так и с точки зрения
программирования.
 МКР может использоваться для задач со сложной
геометрией. Однако для этого необходимы применение
специальных процедур, в частности широко используется
метод, предложенный С.Пескиным – метод погруженной
границы[15].
 Метод хорошо адаптирован для параллельных вычислений.
Эти преимущества и сделали МКР популярным в области CFD.
Основа МКР - дифференциальная форма законов сохранения.
2.1 Конечно-разностные сетки, обозначения и терминология
Основным шагом при применении метода конечных
разностей к решению уравнения в частных производных является
переход от непрерывной области к конечно-разностной сетке. На
рис. 2.1, рис. 2.2 приведены типичные конечно-разностные сетки
для одномерного и двумерного случаев.
Рис.2.1 Одномерная конечно-разностная сетка
25
Рис.2.2. Двумерная конечно-разностная сетка
Каждой линии соответствует целочисленный индекс.
Наиболее популярными для использования являются индексы
i, j и k , сеточных линий x  xi , y  y j и z  z k ,
соответственно.
Каждый узел сетки обозначается индексами. В
неодномерных случаях в узлах пересекаются несколько сеточных
линий. Для примера:
 Узел i представляет сеточную точку x  xi в одномерной
области.
 Узел (i, j ) представляет точку пересечения линий x  xi и
y  y j в двумерной области.
 Узел (i, j, k ) представляет точку пересечения линий
y  y j и z  z k в трехмерной области.
x  xi ,
Конечно-разностная сетка называется равномерной сеткой,
если
расстояние
между
сеточными
линиями
одной
направленности, т.е. допустим xi 1  xi  xi  xi 1  x , постоянно
26
для всех индексов i . Аналогичным образом для неодномерных
случаев y j 1  y j  y j  y j 1  y для всех j , z k 1  z k  z k  z k 1  z
для всех k . Во всех других случаях сетка называется
неравномерной. В случае неравномерной сетки расстояния между
соседними узлами одного направления можно записать
следующим образом:
xi  xi 1  xi , y j  y j 1  y j , z k  z k 1  z k .
(2.1)
Далее для функций в узловых точках будут использоваться часто
используемые сокращенные обозначения:
 Для одномерного случая f i  f ( xi ) .
 Для двумерного случая f i , j  f ij  f ( xi , y j ) .
 Для трехмерного случая f i , j ,k  f ijk f ( xi , y j , zk ) .
2.2 Конечно-разностная аппроксимация
Для того чтобы лучше понять идею конечно-разностной
аппроксимации
производных,
вспомним
определение
производной в точке ( xi , y j )
f ( xi  x)  f ( xi )
 f 
   lim
(2.2)
x
 x  x x0
Если функция непрерывна, а x мало, но конечно, то можно
утверждать следующее:
i
f ( xi  x)  f ( xi ) f i 1  f i
 f 

  
(2.3)

x

x
x
 x
Последнее
выражение
обычно
называют
схемой
аппроксимации «разность вперед». Существует множество
способов получения разностных аппроксимаций. Два наиболее
популярных подхода:
i
1. Разложение функций в ряд Тейлора.
2. Интерполяция функций полиномами.
В данном пособии будет почти всегда использоваться 1-й
подход, но для примера покажем использование интерполяции
функции полиномами.
27
Рассмотрим уравнение Лапласа, описывающее стационарное
двумерное распределение температуры в твердом теле:
 2T  2T

0
x 2 y 2
Предположим, что в окрестности узла i, j  зависимость
температуры от x и y описывается полиномами второго порядка.
Например, зафиксировав y , будем считать, что изменение
температуры по x вблизи узла описывается полиномом
T  x, y0   a  bx  cx 2
Для удобства положим, что x  0 в точке i, j  и шаг сетки x
постоянный.
2
 T 
 T 
Очевидно, что    b ,  2   2c
 x  i , j
 x  i , j
Коэффициенты a, b, c можно определить, зная температуру
в конкретных узлах сетки и шаг сетки x . Для этого сначала надо
выбрать используемые при интерполяции средние узлы
разностной стеки, то есть задать геометрическое расположение
точек, определяющих разностный шаблон и характер разностной
аппроксимации производной. Выбрав узлы i  1, j  , i, j  и
i  1, j 
получим
T i, j   a ,
T i  1, j   a  bx  cx  ,
2
T i  1, j   a  bx  cx 
2
Решив эти уравнения, найдем
T T
 T 
b     i 1, j i 1, j
2x
 x i , j
28
T  2Ti , j  Ti 1, j
1   2T 
с   2   i 1, j
2
2  x  i , j
2x 
Следовательно,
2
Ti 1, j  2Ti , j  Ti 1, j
 T 
 2 
x 2
 x  i , j
Полученное выражение является точным, если зависимость
температуры от x действительно описывается полиномом
второго порядка. В общем случае можно лишь предполагать, что
полином второго порядка является хорошей аппроксимацией
решения. Погрешность аппроксимации производной можно
определить подстановкой разложений в ряд Тейлора для Ti 1, j и
Ti1, j . Она равна O(x) 2 . Аналогично можно построить конечноразностную
аппроксимацию
производной
 2T / y 2 .
Рассмотренный пример показывает, что при использовании
интерполяции полиномами приходится произвольно выбирать
ряд параметров, влияющих на погрешность аппроксимации
уравнений с частными производными и вид разностной схемы, в
том числе и используемый шаблон. Следовательно этот метод не
обладает какими-либо преимуществами, гарантирующими,
например, оптимальность или устойчивость разностной схемы.
2.3 Погрешность аппроксимации
Погрешностью
аппроксимации
называется
разность
значений частной производной и ее конечно-разностного аналога.
Можно
характеризовать
погрешность
аппроксимации
стандартным математическим обозначением порядка малой
величины (O). Тогда (2.3) можно переписать в виде
f ( xi  x)  f ( xi )
 f 
 O(x)
  
(2.4)
x
 x  x
Представленная погрешность аппроксимации в виде O(x)
обозначает, что погрешность аппроксимации по абсолютной
величине не превосходит K  x при x  0 (для достаточно
i
29
малых x ), причем K  0 - вещественная константа. Порядок
погрешности аппроксимации в этом случае равен x и указывает
на то, что при старшем из отброшенных членов разложения
Тейлора множитель x .
Так же следует отметить, что представление погрешности в
аппроксимации в виде O(x) ничего не говорит о величине
погрешности, а лишь указывает на характер стремления ее к
нулю.
Если
погрешность
другой
конечно-разностной
2
аппроксимации производной равна O x  , то можно сказать,
что во втором случае погрешность аппроксимации будет меньше,
чем в первом. Это утверждение верно для достаточно малых x ,
но какое x будет «достаточно малым», определить заранее
сложно.


2.4 Аппроксимация производных первого порядка
Непрерывно дифференцируемую функцию f (x) можно
разложить в ряд Тейлора около точки x  xi следующим образом
2
2
 f  ( x  xi )   f 
f ( x)  f ( xi )  ( x  xi )  
 2 

x
2
!
 i
 x i
( x  xi ) n   n f 
 ... 

 H
n!  x n i
(2.5)
Символом H обозначаются члены более высоких порядков,
неуказанные явно. Таким образом, значения функции в сеточных
точках xi 1 и xi 1 можно представить
 f 
f i1  f ( xi1 )  f ( xi )  ( xi1  xi )  
 x i
( xi1  xi ) 2   2 f 

 2  H
2!
 x i
30
(2.6)
 f 
f i1  f ( xi1 )  f ( xi )  ( xi1  xi )  
 x i
( xi1  xi ) 2   2 f 

 2  H
2!
 x i
(2.7)
Перегруппировка выражения (2.6) позволяет получить
f i 1  f i ( xi 1  xi )   2 f 
 f 

 2  H
  
2
 x  i xi 1  xi
 x  i
(2.8)
что нам дает схему «разность вперед» (forward difference scheme –
FDS)
f  fi
 f 
 O(xi )
   i 1

x

x
 i
i
(2.9)
где xi  xi 1  xi . Аналогичным способом из (2.7) схему
аппроксимации «разность назад» (backward difference scheme BDS)
f  f i 1
 f 
 O(xi 1 )
   i
xi 1
 x  i
(2.10)
где xi 1  xi  xi 1 .
Вычитание из выражения (2.6) выражения (2.7) позволяет
получить схему аппроксимации «центральная разность»
(central difference scheme - CDS)
31
f i1  f i1  xi  xi1    xi1  xi    2 f 
 f 

 2  H
  

x
x

x
2
(
x

x
)
 i
 x i
i 1
i 1
i 1
i 1
2
2
(2.11)
Таким образом, можно привести следующие разностные
аппроксимации при разложении непрерывной функции в ряд
Тейлора для равномерной сетки
FDS:
O(x) .
f  fi
 f 
, погрешность аппроксимации порядка
   i 1

x

x
 i
f  f i 1
 f 
BDS:    i
, погрешность аппроксимации порядка
x
 x i
O(x) .
f  f i 1
 f 
CDS:    i 1
, погрешность аппроксимации порядка
2x
 x i
2
Ox  .
Можно выделить CDS схему для равномерной сетки, т.к. она дает
ошибку меньшую по модулю по сравнению с FDS, BDS.
2.5 Аппроксимация производных второго порядка
2.5.1 Использование аппроксимаций производных первого
порядка
Получить производную второго порядка в точке можно
использую аппроксимации производных первого порядка. Для
примера рассмотрим аппроксимацию производной второго
порядка с использованием FDS разностной схемы
 f 
 f 
   
  f   x i1  x i
(2.12)
 2 
xi1  xi
 x i
Далее мы вольны аппроксимировать первые производные в
(2.12) любой существующей формулой, к примеру, BDS
разностной схемой
2
32
f i 1  f i f i  f i 1

2
  f  xi 1  xi xi  xi 1

 2 

x
x

x


i 1
i
f i 1  xi  xi 1   f i 1  xi 1  xi   f i  xi 1  xi 
xi1  xi 2 xi  xi1 
(2.13)
На равномерной сетке (2.13) сводится к
2
f  f i 1  2 f i
 f 
 2   i 1
x 2
 x i
(2.14)
Точность данной аппроксимации составляет Ox  .
2
Рассмотрим аппроксимирование производной второго порядка с
использованием схемы «центральная разность»в точках между
узлами
2
 f 
 2 
 x  i
 f 
 f 
   
 x  i  12  x  i  12
x 1 x
i
i
2
(2.15)
1
2
Схема «центральная разность» так же используется для
аппроксимации производных первого порядка в уравнении (2.15)
f  f i  f 
f  f i1
 f 
и   i
.
   i1
1
1

x
x

x

x
x

x
 i  2
 i  2
i 1
i
i
i 1
(2.16)
Подставляя (2.16) в (2.15) получаем следующее уравнение
33
 f i1  xi  xi1   f i1  xi1  xi   f i  xi1  xi 

1
(2.17)

xi1  xi1 xi1  xi xi  xi1 
2
На равномерной сетке уравнение (2.17) приводится к
уравнению (2.14).
2
 f
 2
 x
2.5.2 Использование разложения в ряд Тейлора
 f 
f i1  f ( xi1 )  f ( xi )  ( xi1  xi )  
 x i
( xi1  xi ) 2   2 f  ( xi1  xi )3   3 f 

 2 
 3  H
2!

x
3
!

i
 x i
2
2
 f  ( xi  xi 1 )   f 
f i 1  f ( xi 1 )  f ( xi )  ( xi  xi 1 )  
 2 

x
2
!
 i
 x  i
( xi  xi 1 ) 3   3 f 

 3  H
3!
 x  i
(2.18)
(2.19)
Умножая (2.18) на ( xi 1  xi ) и складывая полученное с
произведением уравнения (2.19) и ( xi  xi 1 ) ликвидируем
производные первого порядка. Перегруппировав результирующее
уравнение относительно производной второго порядка получаем
2
  f  f i 1  xi  xi 1   f i 1  xi 1  xi   f i  xi 1  xi 

 2 
1
 x 
 xi1  xi1  xi1  xi xi  xi1 
2
(2.20)
3
1
 f 
 ( xi 1  xi )  ( xi  xi 1 ) 3   H
3
 x i
Уравнение (2.20) идентично уравнению (2.17). Точность данной
аппроксимации первого порядка для неравномерной сетки и
второго порядка для равномерной сетки.
2.6 Аппроксимация частных производных
Частные
производные
по
одному
аргументу
аппроксимируются аналогичным образом, как и обычные
производные функции одного аргумента. Для примера приведем
34
формулы для частных производных первого порядка, полученные
схемой «разность вперед» (FDS)
f i1, jk  f ijk
 f 
 Ox 
(2.21)
  
x
 x i , j ,k
(2.22)
f i , j 1,k  f ijk
 f 




O

y
 
y
 y  i , j ,k
(2.23)
f i , j ,k 1  f ijk
 f 




O

z
 
z
 z i , j ,k
По тому же принципу получаются следующие формулы для
частных производных второго порядка по одному аргументу
2
f i 1, jk  f i 1, jk  2 f ijk
 f 
 Ox 2 
 2 
(2.24)
2
x 
 x  ijk
(2.25)
f
 f i , j 1,k  2 f ijk
 2 f 
2



O

y
 2   i , j 1,k
y 2
 y  ijk
2
f i , jk 1  f i , j ,k 1  2 f ijk
(2.26)
 f 
 Oz 2 
 2  
2
z 
 z  ijk
Далее
рассмотрим
аппроксимацию
смешанных
производных. Запишем для примера смешанную производную
2 f
.
xy
Если записать производную в виде
2 f
  f 
   и аппроксимировать внешнюю производную
xy x  y 
схемой «центральная разность», мы получим
 2 f 



x

y

i , j
 f 
 f 
    
 y  i 1, j  y  i 1, j

 O(x 2 )
2x
35
(2.27)
Используем схему
аппроксимации f / y
«центральная
разность»
f
 f i 1, j 1
 f 
 Oy 2  ,
   i 1, j 1
2y
 y  i 1, j
f
 f i 1, j 1
 f 
 Oy 2 
   i 1, j 1
2y
 y  i 1, j
и
для
(2.28)
Подставляя (2.28) в (2.27) получаем
f
 f i 1, j 1  f i 1, j 1  f i 1, j 1
 2 f 
 O(x 2 , y 2 )

  i 1, j 1
4xy
 xy i , j
(2.29)
2.7 Устойчивость и сходимость разностных схем
Устойчивость считается одной из характеристик разностных
схем. Разностная схему можно называть устойчивой, если с
каждым новым шагом по времени любая ошибка (погрешность
округления, погрешность аппроксимации) не возрастает при
переходе от одного шага к другому[14]. Введем понятие нормы.
В теории разностных схем используют норму
n
f n  max
f
i
0i  N
(2.30)
являющуюся сеточным аналогом нормы в пространстве
непрерывных функций (на фиксированном временном слое).
Допустим, существует такая, не зависящая от h ( h  x для
равномерной сетки), постоянная K  0 , что при достаточно
малом h  h0 всегда выполняется неравенство
f h  f h  K  h  h
(2.31)
где f h - решение задачи с измененными входными данными h .
36
Тогда неравенство (2.31) как раз отражает свойство
разностной схемы – устойчивость по входным параметрам или
просто устойчивость.
В случае линейных задач оценка устойчивости
начальным данным может быть записана в виде
f n  K1  f 0
по
(2.32)
Как правило, в нелинейных задачах гидромеханики
провести строгое обоснование устойчивости разностных схем не
удается. Приведенный выше метод анализа устойчивости основан
на принципе максимума.
Рассмотрим
данный
метод
анализа
устойчивости
разностных схем на примере уравнения конвективного переноса


u
0
(2.33)
t
x
Для аппроксимации временной производной воспользуемся
схемой «разность вперед», для второго члена схемой «разность
назад». В результате можем записать разностный аналог
уравнения (2.33)
f i  f i n1
(2.34)
u
0

h
где  и h шаги по времени и пространству для равномерной
разностной сетки xi , t n .
fi
n 1
 fi n
n
Разрешим уравнение (2.34) относительно искомой функции
на верхнем временном слое
fi
где  
n 1
 f i    f i  f i 1
n
n
n

u
h
(2.35)
(2.36)
Перепишем уравнение (2.35) в виде
fi
n 1
 1    f i   f i 1
n
37
n
(2.37)
Если потребовать условия выполнения условия
0   1
(2.38)
тогда справедлива следующая оценка для соотношения модулей
обеих частей этого уравнения:
fi
n 1
 1    f i   f i 1
n
n
(2.39)
Взяв максимум по i от обеих частей неравенства (2.39) на
соответствующем временном слое и вспоминая определение
нормы (2.30), получим
f
 f
n 1
n
(2.40)
Если «продолжить» неравенство (2.40), то будем иметь
неравенство
f
n 1
 f
n
 ...  f
0
(2.41)
которое согласно (2.32) обозначает равномерную устойчивость
по начальным данным. Таким образом, было показано, что при
выполнении условия (2.38) разностная схема (2.34) является
устойчивой. Вернее условно устойчивой. Условие устойчивости
(2.38) с учетом (2.36) может быть записано
h
(2.42)
u
Данное соотношение (2.42) называют условием Куранта. Схему
(2.34) еще называют противопоточной, но если изменить знак
скорости потока u , то схема трансформируется в схему вида

fi
n 1
 fi n

f i 1  f i n
u
0
h
n
(2.44)
которую называют поточной и которая не является устойчивой.
Если аппроксимировать производную по пространственной
координате в уравнении (2.33) схемой «центральная разность», то
получим схему вида
38
fi
n 1
 fi n

f i 1  f i n1
u
0
2h
n
(2.45)
которая так же не будет являться устойчивой, так для исходного
уравнения схема не удовлетворяет условию Куранта.
В теории разностных схем вводится понятие сходимости.
Согласно определению схема сходится, если выполняется
условие стремления к нулю ошибки аппроксимации при
уменьшении шага сетки
h  0
(2.46)
h0
Часто на практике сходимость разностных схем проверяется
экспериментально. Проводя серию расчетов последовательно
дробя шаг сетки, сходимость схемы определяется по
уменьшению количества различий в получаемых решениях.
Однако надо быть осторожным в своих оценках, так как не всегда
решение может сходиться к точному. Следовательно, при
использовании такого экспериментального подхода нужно иметь
возможность независимой оценки точного решения. Это может
быть аналитическое какой-либо модельной задачи или
экспериментальные сведения об изучаемом процессе. Кроме
того, следует помнить, что измельчение шага по пространству
может
приводить
к
необходимости
соответствующего
уменьшения шага по времени.
2.8 Примеры использования метода конечных разностей
2.8.1 Система алгебраических уравнений
Конечно-разностная
аппроксимация
производных
в
дифференциальных уравнениях с частными производными дает
по алгебраическому уравнению вида (2.47) для каждого узла
сетки. Это уравнение может иметь линейный или нелинейных
характер в зависимости от того какой характер имеют
аппроксимируемые ДУЧП. Для случая нелинейных ДУЧП
применяется процедура линеаризации исходных уравнений и
тогда приходится говорить о квази-линейных уравнениях.
39
Ap фp   Al фl  Qp
(2.47)
Индексом P обозначается узел, в котором происходит
аппроксимация дифференциальных уравнений в частных
производных, а индексом l обозначаются узлы вовлеченные в
конечно-разностную аппроксимацию. Узел и P и соседние с ним
узды образуют «вычислительную молекулу».
l
На рис. 2.3 приведены данные молекулы для одномерного и
двумерного случаев.
Рис. 2.3 «Вычислительные молекулы» для 1-D и 2-D случаев.
Совокупность уравнений вида (2.47) по всем расчетным
узлам дает систему алгебраических уравнений
AФ  Q
(2.48)
где A – матрица коэффициентов, Ф – вектор с неизвестными
узловыми значениями ф. Q- вектор, включающий правые части
уравнений вида (2.45).
Приведем обычно используемые обозначения узловых точек
3D «вычислительной молекулы» в таблице.
Расположение узла
i,j,k
i-1,j,k
i+1,j,k
i,j-1,k
i,j+1,k
i,j,k-1
i,j,k+1
Компасное обозначение
P
W
E
S
N
B
T
40
2.8.2 Одномерная теплопроводность
Рассмотрим задачу стационарной теплопроводности в
стержне длинной L с коэффициентом теплопроводности k и
источником тепла q g . Уравнение теплопроводности для данной
постановки выглядит следующим образом
 2T
k 2  qg  0
(2.49)
x
Предполагаем на левом конце стержня постоянство
температуры, а на правом конце конвективный теплообмен с
окружающей средой. Это отражено в следующих граничных
условиях
T (0)  T
(2.50)
dT
 h(T  Ta )
(2.51)
dx xL
где T - заданная температура, h – коэффициент теплоотдачи, Ta температура окружающей среды.
k
Для
конечно-разностного
представления
зададим
равномерную сетку с шагом x  L / N , где N - количество
частей, на которое делится стержень, при N  1 узловых точках.
Используем для аппроксимации исходного уравнения схему
«центральная разность» для производной второго порядка (2.14)
и получим
qg ,i x 2
Ti1  Ti1  2Ti qg ,i
.

 0 или  Ti 1  2Ti  Ti 1 
x 2
k
k
(2.52)
Используя матричные обозначения, рассмотренные в
предыдущей главе уравнение (2.47) может быть записано для
(i  2,3,..., N )
APi Ti  AWi Ti 1  AEi Ti 1  Qi
где APi  2 , AWi  AEi  1, Qi  qg ,i x 2 / k .
41
(2.53)
Для левой границы i  1 T1  T (0)  T . Соответственно,
APi  1, AWi  AEi  0 , Q1  T
Для правой границы i  N  1 используем схему «разность
назад» (BDS) и получим
k
TN 1  TN
 h(TN 1  Ta ) ,
x
иначе
Соответственно, APN 1  1  k /(hx) , AEN 1  0 , AWN 1   k /(hx) ,
QN  Ta .
Таким образом, система алгебраических уравнений вида
(2.48) полностью определена.
Найдем численное решение задачи о теплопроводности в
стержне. При том же решаемом дифференциальном уравнении
(2.49) зададимся следующими исходными данными: длина
стержня L=0.5м, на левом конце задана постоянная температура
T=237 К, на правом конце стержня (x=0.5 м) задается постоянный
тепловой поток от нагревателя равный 1 кВт/м2,
коэффициент теплопроводности k=1 Вт/(м.К), qg  1273  T
Вт/м3, шаг равномерной сетки будет составлять x  0.1 м при
N=5, соответственно.
Граничные условия будут выглядеть следующим образом
T (0)  373
dT
k
 1000
dx xL
(2.55)
(2.56)
Тогда подставляя исходные данные в формулу (2.53)
получим коэффициенты при индексах (i  2,3,..., N ) для уравнения
вида (2.38).
APi  2  x 2  2.01, AWi  AEi  1, Qi  12.73
42
(2.57)
Для левой границы i  1 стержня получим
AW1  AE1  0 , Q1  373.
Для правой границы i  N  1 стержня получим
(2.58)
AP6  1, AE6  0 , AW6  1, Q6  100 .
(2.59)
Таким образом, мы получаем благодаря конечно-разностной
дискретизации систему алгебраических уравнений, приведенных
к матричной форме (2.46).
0
0
0
0
0  T1   373 
1
 1 2.01  1
0
0
0  T2  12.73

   

0
 1 2.01  1
0
0  T3  12.73


   
T
0
0
0
2
.
01

1
0
12
.
73
4


   
0
0
0
 1 2.01  1 T5  12.73


   
0
0
0
 1 1  T6   100 
0
После решения системы
уравнений
методом
Крамера
температуры вдоль стержня
линейных
получаем
(2.60)
алгебраических
распределение
T1   373 
T  497.2893
 2 

T3  613.8216
 

T
723
.
7617
 4 

T5  828.2096
  

T
928
.
2096

 6 
(2.61)
2.8.3 Двумерная теплопроводность
Теплопроводность в стационарной двумерной постановке
описывается уравнением Лапласа
 2T  2T

0
x 2 y 2
43
(2.62)
Используя схему аппроксимации «центральная разность» с
использованием 5-ти точечной вычислительной молекулы
получим следующее уравнение
Ti 1, j  Ti 1, j  2Ti , j Ti , j 1  Ti , j 1  2Ti , j

2
x
x 2
(2.63)
которое может быть переписано в виде
APTP  AETE  AW TW  AN TN  AS TS  QP
(2.64)
где AP  2 / x 2  2 / y 2 , AE  AW  1 / x 2 , AN  AS  1 / y 2 и
QP  0 .
Что касается граничных условий, то они могут содержать
производные первого порядка (в случае условия Неймана),
которые требуют для разрешения одностороннюю схему
аппроксимации («разность вперед» или «разность назад») Для
задачи в данной постановке значения коэффициентов в краевых
узлах можно находить аналогичным способом, как в описанном
выше случае одномерной теплопроводности, где были
рассмотрены граничные условия 2-х видов - Дирихле и Неймана.
44
3.МЕТОД КОНТРОЛЬНОГО ОБЪЕМА
3.1. Общие сведения
Метод контрольного объема (МКО) - один из наиболее
популярных
методов
в
современной
вычислительной
гидромеханике. Впервые его идеи были озвучены в работе
Сполдинга и Госмена [16], а в последствии развиты Патанкаром
[17]. В отличие от метода конечных разностей, МКО
рассматривает
конечное
число
непересекающихся
элементов(контрольных объемов). Для каждого из этих объемов
решаются уравнения сохранения, записанные в интегральной
форме, например:
 v  ndS   grad  ndS   q d
S
(3.1)

S
Выполнение законов сохранения для каждого контрольного
объема автоматически делает МКО консервативным, вследствие
чего можно получать физически правдоподобные результаты
даже на грубой сетке. Алгебраические уравнения для каждого
контрольного объема получаются вследствие аппроксимации
поверхностных и объемных интегралов соответствующими
формулами (см. раздел 3.2 и 3.3). Решение полученной системы
алгебраических уравнений осуществляется с помощью
различных методов, подробно описанных в работах [11,12].
Метод контрольного объема может быть применен к
любому типу сеток, что особенно важно при моделировании
задач со сложной геометрией. Это объясняет тот факт, что
многие коммерческие пакеты, ориентированные на решение
универсальных задач, используют именно МКО [18].
На рис.3.1 а,б представлены типичные контрольные объемы
для декартовой сетки в двумерном и трехмерном случаях. КО
состоит из центрального узла P и ограничивающих поверхностей
(граней), которые обозначаются в зависимости от их
расположения относительно центральной точки. Так, например,
грань расположенная левее центральной точки обозначена как
w(от англ. west).
45
Рис.3.1. Схема контрольного объема и соседних узлов.
а)двумерных случай, б) трехмерный случай
В данном пособии рассмотрены основные положения МКО
на примере структурированной, декартовой сетки. Желающие
ознакомится
с
применением
МКО
на
сложных,
неструктурированных сетках могут обратиться к работам [11,12].
3.2. Применение МКО для задач диффузии
3.2.1. Одномерное уравнение диффузии
Рассмотрим
одномерное
стационарное
диффузионного переноса скалярной величины Φ:
уравнение
(3.2)
d  d 
Г

S

0


dx  dx 
Здесь Г – коэффициент диффузии, S – источниковый член.
Примером физического процесса, который описывается
уравнением (3.2) является процесс теплопроводности в стержне
(рис.3.2).
Разобьем рассматриваемую расчетную область на конечное
число объемов. В центр каждого объема поместим расчетный
узел, при этом границы контрольного объема расположим в
46
центре между соседними узлами (рис.3.3). Рассматриваемый узел
обозначим P, а соседние узлы W и E. Левую границу
контрольного объема обозначим “w”, а правую “e”. Расстояние
между узлами P и W, а также между P и E определим, как xW P и
xPE . Ширина контрольного объема обозначается символом Δx.
Ключевым этапом МКО является интегрирование
уравнений сохранения по всему контрольному объему c целью
получения дискретизированных уравнений в узле P. Для
описанного выше контрольного объема имеем:
d  d 
 d   d 
V  Г dV  V SdV   ГA    ГA   SV
dx  dx 
dx e 
dx  w

(3.3)
Здесь A – площадь грани контрольного объема, V - значение
объема, S - среднее значение источникового члена в контрольном
объеме. Дискретизированное уравнение (3.3) имеет понятный
физический смысл: разность диффузионных потоков величины Φ
вытекающих и втекающих в контрольный объем через его грани
равна работе внешних сил. Другими словами уравнение (3.3)
описывает баланс величины Φ в контрольном объеме.
Для того чтобы решить уравнение (3.3) необходимо
d
определить значение коэффициента Г и производной
на
dx
границах «е» и «w» контрольного объема. Существует множество
способов
аппроксимации
значений
переменных
на
границах[11,19]. Однако для задач диффузии, в большинстве
случаев, для вычисления производной используют схему
«центральная разность», а для определения коэффициента
диффузии линейную интерполяцию[19]:
ГW  Г P
;
2
Г  ГE
Гe  P
2
Гw 
47
(3.4)
   P 
d 


 ГA   Г e Ae  E
dx  e

 xPE 
 
d 

 ГA   Г w Aw  P W
dx  w

 xW P
(3.5)



Во многих практических случаях, источниковый член может
зависеть от переменной  . Поэтому для аппроксимации этого
слагаемого применяют следующее выражение:
(3.6)
SV  S u  S pP
Подставляя уравнения (3.4), (3.5) и (3.6) в (3.3) получаем:
  
   P 
  Г w Aw  P W   Su  S p p   0
Г e Ae  E
 xPE 
 xW P 
Это уравнение может быть переписано в виде:
(3.7)
(3.8)
 Гe

 Гw

 Гe

Гw

Ae 
Aw  S p P  
Aw W  
Ae E  Su

x

x

x

x
 PE 
 PE

 WP 
WP
Обозначая коэффициенты перед  P , W и E как a P , aW и a E
соотвественно,
получим
обобщенную
форму
дискретизированного уравнения (3.8):
aPP  aW W  aEE  S u
(3.9)
3.2.2. Двумерное уравнение диффузии
Методика получения дискретизированных уравнений в
одномерном случае может быть легко адаптирована для
двумерных задач. Для иллюстрации этой процедуры рассмотрим
двумерное стационарное уравнение диффузии:
       
  S  0
Г
 Г
x  x  y  y 
48
(3.10)
Фрагмент двумерной расчетной сетки представлен на
рис.3.4. В отличие от одномерного случая число соседних с P
узлов равно четырем (E,W, N, S).
Рис.3.4. Фрагмент двумерной сетки[19]
Проинтегрируем уравнение (3.10) по контрольному объему с
центром в точке P:
   
   
V  Г dxdy  V  Г dxdy  V S dV  0
x  x 
y  y 
Обозначая Ae  Aw  y и An  As  x получаем:

  
    
  
   
Г
A

Г
A

Г
A

Г
A






 
w
w
s
s
 e e x
  n n x
 e
 x  w  
 n
 x  s 

 SV  0
(3.11)
(3.12)
Используя те же способы аппроксимации, что и в
одномерном случае получим следующие выражения для потока
величины φ через грани контрольного объема:
49
Поток через левую грань КО =
   
  
Г w Aw    Г w Aw P W
xW P
 x  w
Поток через правую грань КО =
  P 
  
Г e Ae    Г e Ae E
xPE
 x  e
Поток через нижнюю грань КО =
  S 
  
Г s As    Г s As P
ySP
 x  s
Поток через нижнюю грань КО =
  P 
  
Г n An    Г n An N
y NP
 x  n
(3.13)
Подставляя выражения для потоков
контрольного объема в уравнение (3.12)
тривиальные преобразования получаем:
 Г w Aw Г e Ae Г s As Г n S n





 S P P 
 xW P xPE ySP y NP

 Г w Aw 
Г A 
Г S 
Г A 

W   e e E   s s S   n n  N  SU
 xPE 
 xW P 
 ySP 
 y NP 
через грани
и производя
(3.14)
Или в обобщенном виде:
aPP  aW W  aEE  aSS  a N N  Su
(3.15)
Где
aW
 Г w Aw 



x
 WP 
aE
aS
aN
 Г e Ae 



x
 PE 
 Г s As 



y
 SP 
 Г n Sn 



y
 NP 
50
aP
aW + a E + aS +
aN  S P
3.2.3. Трехмерное уравнение диффузии
Стационарное уравнение диффузии для трехмерных задач
имеет вид:
(3.16)
           
   Г
Г
   Г
  S  0
x  x  y  y  z  z 
Типичный контрольный объем для трехмерного случая
представлен на рис.3.5. Ячейка с центром в узле P окружена
шестью соседними узлами (W,E,S,N,T,B). Строчными буквами
(w,e,s,n,t,b) обозначены соответствующие соседним узлам грани.
Рис.3.5. Контрольный объем в трехмерном случае
Проинтегрируем уравнение (3.16) по контрольному объему:
  
   

  
    
Г
A

Г
A

Г
A

Г
A


   
   n n 
w
w
s
s
 e e  x 

x

y
 e
 w  

 n
 y  s 

  
   
Г
A

Г
A


    SV  0
t
t
b
b


z
 t
 z  b 

51
(3.17)
Действуя по аналогии с одномерным и двумерным случаями,
получаем дискретизированное уравнение диффузии для
трехмерного случая:
 Г w Aw Г e Ae Г s As Г n S n Г t S t Г b S b







 S P P 
 xW P xPE ySP y NP zTP y PB

 Г w Aw 
Г A 
Г S 
Г A 

W   e e E   s s S   n n  N 
 xPE 
 xW P 
 y SP 
 y NP 
(3.18)
ГS 
Г S 
  t t T   b b B  SU
 zTP 
 z PB 
Или, записывая в форме обобщенного уравнения:
aPP  aW W  aEE  aSS  a N N  aT T  aBB  S u
(3.19)
Где
aW
aE
aS
aN
aT
aB
 Г w Aw 



x
 WP 
 Г e Ae 



x
 PE 
 Г s As 



y
 SP 
 Г n Sn 



y
 NP 
 Г t St 



z
 TP 
 Г t St 



z
 TP 
aP
aW + a E + aS +
a N  aT  aB  S P
Уравнения (3.9), (3.15) и (3.19) должны быть записано и
решены для каждого узла в расчетной области за исключением
граничных, в которых решаются свои уравнения в зависимости
от типа краевых условий. Полученная таким образом система
алгебраических уравнений может быть решена широко
развитыми на сегодняшний день методами, например Multigrid и
TMDI [19].
3.2.4. Примеры и задачи
Пример 3.1. Рассмотрим задачу о распределении температуры в
одномерном стержне, на концах которого поддерживается
постоянная
температура
100
и
500
соответственно.
52
Теплопроводность стержня λ постоянна и равна 100 Вт/мК,
длинна стержня L=0,5 м, поперечное сечение A=10*10-3 м3.
Рис.3.6. Схема задачи
Разобьем расчетную область (стержень) на 5 контрольных
объемов как показано на рис.3.7.
Рис.3.7. Схема расположения расчетных узлов
Для узлов 2,3,4 учитывая постоянство попечерного сечения
стержня, равномерный шаг сетки, а также отсутствие внешнего
источника уравнение (3.9) можно записать в виде:
aPP  aW W  aEE
(3.20)
Где
aW

A
x
aE

A
x
aP
aW  a E
Узлы 1 и 5 являются граничными и требуют специального
рассмотрения. Интегрируя уравнение (3.2) по контрольному
объему с центром в точке 1 получаем:
53
 TE  TP 
 T  TA 
  A P
0

x

x




A
(3.21)
Из этого выражения следует, что тепловой поток, через
грань A аппроксимируется в предположении о
линейном
распределении температуры между А и P. Мы можем переписать
(3.19) в виде:
(3.22)
2 

 
 2 
A

A
T

0

T

A
T

A
T



 E 
 A
W
x  P
 x
 x 
 x 
Сравнивая уравнения (3.22) и (3.8) легко заметить, что
фиксированное граничное условие (T=const) вводится в расчет
как источниковый член, а коэффициент перед левым соседним
узлом равен нулю. Уравнение (3.22) может быть записано как
(3.9), коэффициенты в котором равны:
aW
0
aE

A
x
aP
aW  aE  S p
SP
2

A
x
SU
2
A TA
x
Выполняя аналогичные действия для узла 5, также получаем
уравнение (3.9), при этом коэффициенты в этом уравнении имеют
иной вид:
aW

A
x
aE
0
aP
aW  aE  S p
SP
2

A
x
Результирующая
система
уравнений,
описывающая данную задачу, имеет вид:
54
SU
2
AT B
x
полностью
300T1  100T2  200TA
(3.23)
200T2  100T 1100T3
200T3  100T2  100T4
200T4  100T3  100T5
300T5  100T4  200TB
Или в матричной форме:
(3.24)
0
0
0  T1  200TA 
 300  100
 100 200  100
0
0  T2   0 


  
 0
 100 200  100
0  T3    0 


  
T
0
0
0

100
200

100
4


  
 0
0
0
 100 300  T5  200TB 
Для простых задач, содержащих малое число узлов,
результирующее матричное уравнение может быть решено с
помощью различных математических пакетов (Matlab,
Mathematica и т.д.). Применяя метод исключения Гаусса, получим
решение уравнения (3.24):
(3.25)
T1  140 
T  220
 2 

T3   300
  

T4  380
T5  460
Точное аналитическое решение данной задачи имеет вид
T  800 x  100 . На рис.3.8 представлено сравнение результатов
расчета задачи полученных с помощью МКО и аналитического
соотношения (3.25).
55
Рис.3.8. Результаты расчета
Задачи для самостоятельного решения
1. С помощью МКО найти распределение температуры в
одномерном стержне, длинной L=2см, если на его концах
поддерживается температура 100 и 200 градусов
соотвественно, а к центру стержня подводится тепловой
поток q=1000 кВт/м3. Сравнить результаты с точным
аналитическим решением[19].
2. Стержень, нагретый с одного конца до температуры 100,
обменивается теплом с окружающей средой (Ta=20).
Принимая во внимание, что на другом конце стержня поток
тепла равен нулю, найти распределение температуры вдоль
стержня. Уравнение, описывающее протекающий процесс
имеет вид:
d  dT 
 A   hPT  Ta   0
dx 
dx 
Отношение hP/λA = 25 /m2, L=1м
56
3.3. Применение МКО для задач конвекции-диффузии
3.3.1. Общие положения
Рассмотрим одномерную расчетную область (0<x<L) по
которой со скоростью u течет поток жидкости (рис.3.9). В этом
случае
уравнение
конвективно-диффузионного
переноса
скалярной величины  имеет вид:
(3.26)
d
u   d  Г d 
dx
dx  dx 
Поток также должен удовлетворять уравнению неразрывности:
d
 u   0
dx
(3.27)
Основная проблема при дискретизации конвективного члена
заключается в адекватной аппроксимации потока величины 
через грани контрольного объема. В разделе 3.2. рассматривалась
центрально-разностная аппроксимация диффузионного члена.
Как будет показано ниже, применение такой аппроксимации к
конвективному члену приводит к неустойчивости решения (см.
раздел 2.7). Применение же таких схем как UD, QUICK, TVD
позволяет решить данную проблему.
Рис.3.9. Схема конвекции-диффузии
Интегрируя уравнение (3.26) по контрольному объему,
представленному на рис.3.9 получаем следующее уравнение:
57
 d   d 
   ГA 
e
w   ГA
dx
dx  w

e 
Выполняя аналогичную операцию для (3.25) получаем:
uA   uA 
(3.28)
uA  uA
(3.29)
0
Для получения обобщенных дискретизированных уравнений,
подобных (3.9) необходимо аппроксимировать слагаемые,
входящие в левую и правую части уравнения (3.28). Перед этим
удобно ввести две переменные F и D, представляющие собой
конвективный и диффузионный поток величины  через грань
контрольного объема соответственно:
e
w
(3.30)
Г
x
Дальнейшие рассуждения приводятся в предположении о
постоянстве поперечного сечения рассматриваемой расчетной
области, т.е. Ae  Aw  A . Также, примем допущение, что поле
скорости является известным. Как и в предыдущем разделе
применяем
центрально-разностную
аппроксимацию
для
диффузионного потока. Таким образом, интегрированное по КО
уравнение конвекции-диффузии принимает вид:
F  u D 
Fee  Fww  De E  P   Dw P  W 
А уравнение (3.27):
(3.31)
(3.32)
Fe  Fw  0
Для решения уравнения (3.31) необходимо вычислить значения
переносимой скалярной величины  на гранях контрольного
объема.
3.3.2. Схема центральная разность
Центрально-разностная схема обычно используется для
аппроксимации диффузионного члена. Значение величины на
грани контрольного объема вычисляется с помощью линейной
интерполяции между значениями  в соседних узлах, т.е. для
равномерной сетки получаем:
e 
P  E
2
; w 
W  P
58
2
(3.33)
Подставляя данные выражения в уравнение (3.31) имеем:
Fe
P  E   Fw W  P   De E  P   Dw P  W 
2
2
Это уравнение может быть переписано в виде:
(3.34)
(3.35)
Fw  
Fe 


 Dw  2    De  2   Fe  Fw P 


F 
F


  Dw  w W   De  e E
2
2


Обозначая коэффициенты перед W и E через aW и a E
соответственно получаем обобщенное дискертизированное
уравнение конвективно-диффузионного переноса
aPP  aW W  aEE
(3.36)
Где
aW
aE
F 

 Dw  w 
2

F

 De  e 
2

aP
aW  a E
Легко заметить, что уравнение (3.34) описывающее конвективнодиффузионный перенос полностью идентично по форме
уравнению (3.19) которое было получено для задачи диффузии.
Отличие заключается в коэффициентах перед значением
переменной  в узлах.
3.3.3. Схема UPWIND
Основным недостатком центрально-разностной схемы является
невозможность определить направление потока. Значение
переносимой величины  на левой границе определяется через
значения  в узлах P и W. Для течений с преобладающей
конвекцией, текущих через грань w слева на право, подобная
зависимость является недопустимой и приводит к нефизичным
результатам (см. пример.3.2). Схема UPWIND учитывает
направление потока при определении значения переменной на
грани ячейки:
59
(3.37)
w  W , e  P при u  0
w  P , e  E при u  0
Подставляя (3.35) в дискретизированное уравнение (3.31), при
u>0 получаем:
FeP  FwW  De E  P   Dw P  W 
Уравнение (3.29) можно записать в виде:
(3.38)
F
 Dw   De  Fe  Fw P  Dw  Fw W  DeE
При u<0 имеем
(3.39)
w
FeE  FwP  De E  P   Dw P  W 
(3.40)
Или
D
(3.41)
 De  Fe   Fe  Fw P  DwW  De  Fe E
Обозначая коэффициенты перед W и E через aW и a E
соответственно получаем дискеризированную форму уравнений
3.39 и 3.41
w
aPP  aW W  aEE
Где коэффициент перед центральным узлом равен
aP  aW  aE  Fe  Fw 
А коэффициенты aW и a E :
aW
Dw  Fw
Dw
u>0
u<0
aE
De
De  Fe 
Обобщая на случай переменного направления течения имеем:
aW
Dw  max Fw ,0 
aE
Dw  max 0, Fe 
3.3.4. Гибридная разностная схема
Гибридная разностная схема, разработанная Сполдингом[14]
представляет собой комбинацию противопоточной и центрально60
разностной схем. Схема центральная разность имеет второй
порядок аппроксимации и применяется для задач с малым числом
Пекле (Pe<2). Противопоточная схема, в свою очередь, имеет
первый порядок аппроксимации и применяется в задачах с
большим числом Пекле (Pe>2). Сеточное Pe представляет собой
отношение конвективного потока к диффузионному, например,
для грани w контрольного объема имеем:
(3.42)
u w
Fw

Dw Г w / xwp
Формула для вычисления удельного потока через грань w
контрольного объема, полученная с помощью гибридной
разностной схемы имеет вид:
Pew 
1 
2 
1
2  
W  1 
P 
qw  Fw  1 
2
Pe
2
Pe

w 
w 
 

qw  FwW
при Pew  2
qw  FwP
при Pew  2
при  2  Pew  2
(3.43)
Легко заметить, что при малых числах Пекле формула (3.43)
эквивалентна использованию центрально-разностной схемы, в
противном случае используется противопоточная схема.
Дискретизированная форма дифференциального уравнения при
использовании гибридной схемы идентична (3.36), при этом
коэффициенты перед W , E и P вычисляются как:
aP  aW  aE  Fe  Fw 
aW
aE
F  
 
max  Fw ,  Dw  w ,0 
2 
 
F 


max   Fe ,  De  e ,0 
2 


3.3.5. Схема QUICK
Существенно повысить качество численного решения позволяет
метод квадратичной противопоточной интерполяции для
61
конвективной кинематики (QUICK), предложенный Леонардом
[20]. В зависимости от знака скорости, используются различные
интерполяционные формулы для определения грань . Однако в
любом случае используются два узла, прилегающие к грани,
вместе с третьим узлом, лежащим выше по потоку:
6
8
3
8
(3.44)
1
8
грань  i 1  i  i 2
При u w  0 , для вычисления w используются узлы WW,W,P
(см.рис.3.10):
(3.45)
6
3
1
8
8
8
При ue  0 , для вычисления  e используются узлы W,P,E:
w  W  P  W W
6
8
3
8
(3.46)
1
8
w  P  E  W
Используя выражения (3.45) и (3.46), а также схему центральная
разность для диффузионного члена уравнение (3.26) принимает
вид:
3
6 
6
1 
3  (3.47)



D

F

D

F


D

F

F


D

e
e
P
 w 8 w
 w 8 w 8 e  W  e 8 Fe E
8 
1
 FwW W
8
Обобщенное дискретизированное уравнение в данном случае
примет вид:
aPP  aW W  aEE  aW WW W
(3.48)
Здесь
aW
6
1 

D

F

 w 8 w 8 Fe 
aW W
1
 Fw
8
aE
3 

D

 e 8 Fe 
62
aP
aW  aE  aW W  Fe  Fw 
Если же, u w  0 и ue  0 , то выражения для w и  e имеют вид:
(3.49)
6
3
1
8
8
8
(3.50)
6
3
1
e  E  P  EE
8
8
8
а обобщенное дискретизированное уравнение превращается в:
w  P  W  E
aPP  aW W  aEE  aEEEE
(3.51)
Здесь
aW
aE
aEE
aP
aW  aE  aEE  Fe  Fw 
1
3 
6
1 


F
D

F
D

F

F
e
 w 8 w 
 e 8 e 8 w 
8
Общее выражение, справедливое как для положительного так и
для отрицательного направления скорости получается путем
комбинирования наборов коэффициентов представленных выше.
Таким образом, схема QUICK для одномерного уравнения
конвекции диффузии может быть представлена следующим
образом:
(3.52)
aPP  aW W  aEE  aW WW W  aEEEE
В уравнении (3.50) коэффициенты перед переменными имеют
следующий вид:
Для центрального узла
aP  aW  aE  aW W  aEE  Fe  Fw 
Для соседних узлов
63
(3.53)
aW
aW W
aEE
6
1

  1  F 1 1   F
D


F


F

e
e
 w 8 w w 8 e e  8 w w 8


3
 1   F

w
w
 8

aE
6
1


D


F

 w 8 w w 8  e Fe  


3
 1   F

w
w
 8

Здесь
 w  1 при u w  0  e  1 при ue  0
 w  0 при u w  0  e  0 при ue  0
3.3.6. Примеры и задачи
Пример 3.2. Произвольная скалярная величина  переносится
под действием конвекции и диффузии в одномерной расчетной
области. Считая, что процесс описывается уравнением (3.24)
найти распределение величины  вдоль расчетной области в двух
случаях: a) u  0.1 м / с ; б) u  2.5 м / с . В обоих вариантах принять
полученные
L  1 м,   1 кг / м3 , Г  0.1 кг / мс .Сравнить
результаты с аналитическим решением:
  0 exp ux / Г   1

L  0 exp uL / Г   1
Рис.3.10 Схема расчетных узлов
Дискретизированное уравнение (3.36) вместе со значениями
коэффициентов справедливо для узлов 2,3 и 4. Однако, узлы 1 и 5
64
нуждаются в дополнительном описании, так как являются
граничными. Проинтегрируем уравнение (3.26) по контрольному
объему с центром в точке 1 и используем центрально-разностную
аппроксимацию
для
конвективных
и
диффузионных
составляющих уравнения. Значение  на левой грани
контрольного объема определяется граничным условием (
 A  w  1), следовательно, для конвективного потока не нужно
применять дополнительных аппроксимаций на границе. Таким
образом, для узла 1 имеем:
Fe
(3.54)
 P   E   FA A  De  E   P   DA  P   A 
2
Для узла 5, где для правой грани контрольного объема значение
 также известно B  e  0 справедливо:
(3.55)
Fw
P  W   DB B  P   Dw P  W 
2
Уравнения (3.36), (3.54) и (3.55) можно записать, в общем, для
всех узлов виде:
FBB 
aPP  aW W  aEE  S u
(3.56)
aP  aW  aE  Fe  Fw   S P
(3.57)
Здесь
Узлы
1
2,3,4
5
Случай а
aW
0
D+F/2
D+F/2
aE
D-F/2
D-F/2
0
SP
-(2D+F)
0
-(2D-F)
Su
(2D+F)  A
0
(2D-F) B
Система алгебраических уравнений, описывающая
задачу, в матричной форме имеет вид:
65
данную
0
0
0  1  1.1
 1.55  0.45
 0.55 1.0
 0.45
0
0  2   0 

   
 0
 0.55 1.0
 0.45
0  3    0 

   
0
 0.55 1.0
 0.45 4   0 
 0
 0
0
0
 0.55 1.45  5   0 
Решение описанной выше системы:
1  0.9421
  0.8006
 2 

3   0.6276
  

4  0.4163
5  0.1579
(3.58)
(3.59)
Случай б
Система алгебраических уравнений, описывающая
задачу, в матричной форме имеет вид:
0.75
0
0
0  1  3.5
 2.75
 1.75 1.0
0.75
0
0  2   0 

   
 0
 1.75 1.0
0.75
0  3    0 

   
0
 1.75 1.0
0.75 4   0 
 0
 0
0
0
 1.75 0.25 5   0 
данную
(3.60)
На рис.3.11 и рис.3.12 представлено сравнение двух численных и
аналитического решения задачи, которое показывает, что в
первом случае наблюдается полное совпадение в результатов, а
во-втором численное решение показывает нефизические
результаты.
Это
обстоятельство
объясняется
сильной
зависимостью центрально-разностной схемы от сеточного числа
Пекле.
66
Рис.3.11. Сравнение численного и аналитического решения.
Случай А
Рис.3.12. Сравнение численного и аналитического решения.
Случай Б
Задачи для самостоятельного решения
Используя гибридную и противопоточную разностную схему, а
также схему QUICK решить задачу, описанную в примере 3.2.
67
Сравнить получающиеся результаты с аналитическим решением
и между собой.
3.4. SIMPLE-подобные алгоритмы
Отличительной особенностью решения уравнений Навье-Стокса
и
Рейнольдса,
является
необходимость
использования
дополнительных процедур для расчета давления. В некоторых
случаях используют переход из так называемых естественных
переменных в переменные «функция тока-завихренность».
Подобный переход исключает из решаемых дифференциальных
уравнений давление, тем самым существенно упрощая
вычислительную процедуру[11]. Однако в большинстве случаев
используют полу-явные процедуры коррекции давления,
получившие название SIMPLE-подобных алгоритмов[11,17,19].
Классический SIMPLE-алгоритм впервые был разработан
Патанкаром и Сполдингом[16]. Приведем основные этапы
данного алгоритма.
Решение уравнений количества движения при произвольно
выбранном начальном поле давления:
*
aPue*   aграньuгрань
 Ae  pP*  pE* 
Очевидно, что поле скорости, полученное из этого уравнения, не
удовлетворяет уравнению неразрывности. В этой связи
необходима коррекция заданного давления p '  p  p* , чтобы
получить откорректированное поле скорости, с помощью
поправки u '  u  u * . Соотношение для поправки скорости имеет
вид:
'
aPue'   aграньuгрань
 Ae  pP'  pE' 
Давление
и
неразрывности
отношениями:
скорость,
удовлетворяющие
уравнениям
и
количества
движения
определяются
u  u*  u '
p  p*  p '
68
(3.61)
(3.62)
Точное выражение для определения поправки давления является
очень громоздким, поэтому на практике пользуются упрощенным
уравнением[17]:
'
aP p 'p   aгрань pгрань
 bP
(3.63)
Где
(3.64)
bP  u * Aw  u * Ae  v* As  v* An
Подставляя в уравнение (3.59) выражения для u * и u ' получаем:
ue  ue*  d e  pP'  pE' 
(3.65)
Здесь
de 
Ae
ae
Таким образом, SIMPLE-алгоритм
совокупность следующих этапов [21]:
представляет
собой
1. Задается начальное поле давления
2. Определяются коэффициенты уравнения сохранения
количества движения. Решаются уравнения для u * и v* .
3. Оценивается массовый источник и решается уравнение для
поправки давления (3.63)
4. Корректируется поле скоростей при использовании
уравнений, аналогичных (3.65). Корректируется поле
давления
5. Решаются уравнения для скалярных величин, не входящих в
уравнение количества движения (например характеристики
турбулентности, компоненты смеси)
6. Используя давление, полученное на этапе 4 как новое,
возвращаются к пункту 2. Цикл повторяется до достижения
сходимости.
Отметим, что с момента разработки алгоритм SIMPLE много раз
модифицировался, в частности появились такие алгоритмы как
SIMPLEC, PISO, PIMPLE и т.д., которые обладают большей
точностью и позволяют получать более качественные результаты.
69
Желающим подробно ознакомится с
рекомендуется
обратиться
к
литературе[11,12,16-19]
70
этими алгоритмами
соответствующей
4.БЕССЕТОЧНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ГИДРОМЕХАНИКИ
4.1 Метод решеток Больцмана
Наряду с такими популярными методами вычислительной
гидродинамики как метод контрольного объема или метод
конечных разностей, послуживших основой для создания
разнообразных коммерческих пакетов, существует ряд так
называемых "бессеточных методов". К наиболее известным
методам данной категории относится метод решеток Больцмана
(Lattice Boltzmann Method) и метод сглаженных частиц (Smooth
particle method). Рассмотрим эти два метода поподробнее.
Название метода решеток Больцмана или метод решеточных
уравнений Больцмана происходит от английского Lattice
Boltzman Method (LBM) и в России пока не получил широкого
распространения, хотя уже предпринимаются попытки создать
коммерческий программный комплекс на его основе. Но в Европе
и США метод достаточно популярен. LBM получил свое
развитие от другого, более простого метода под названием
Клеточный автомат (Cellular Automata).
В 60-ых годах XX века был предложен метод молекулярной
динамики, в котором среда описывалась через ансамбль молекул,
которые двигаются по законам ньютоновской механики и
взаимодействуют друг с другом. Но применимость данного
метода даже для небольшого объема среды, содержащего
бесчисленное количество молекул, оказалась несбыточной
мечтой.
Клеточный автомат был предложен фон-Нейманом в
середине прошлого века. Появление данной модели связано с
попытками создать механизм, способный воспроизводить себе
подобного. Поэтому Cellular Automata долго рассматривался как
модель самовоспроизведения и толковался как упрощенная
модель некоторого биологического сообщества, состоящего из
множества клеток. Каждой клетке ставится в соответствие
конечный автомат, который может находится в одном из двух
состояний: 0 и 1 (черное и белое), - и изменять состояния друг на
друга в зависимости от состояния соседних клеток. Изменение
состояния всех клеток происходит одновременно по
71
определенным правилам. Эволюционируя, клетки, таким
образом, изменяют пространственную динамику. Первое время
такой метод оставался объектом для игр - сначала на бумаге, а
затем на компьютере. Самой известной из таких игр является
Conway's Game of Life, придуманная английским математиком
Джоном Конвеем в 1970 г.
В дальнейшем этот метод был применен к моделированию
физических процессов, таких как процессы диффузии,
разделения фаз и др. Но настоящим скачком в развитии Cellular
Automata стало его внедрение в газовую динамику. Было строго
математически доказано, что новая модель клеточно-автоматной
газовой динамики или решеточных газов соответствует
уравнениям Навье-Стокса.
В 1973 году была предложена идея метода решеточных газов
(Lattice Gas Automata - LGA), который являлся упрощением
молекулярного метода и его адаптацией под текущий уровень
развития вычислительной техники. В узлах двумерной решетки
находятся частицы единичной массы, которые обладают
единичной скоростью, вектор которой направлен вдоль одного из
ребер решетки. В каждом из этих направлений может двигаться
только одна из частиц, находящаяся в узле решетки. За один шаг
по времени все движущиеся частицы перемещаются в соседние
узлы, где сталкиваются друг с другом с выполнением законов
сохранения массы и импульса. При этом эволюция среды
описывается уравнением вида
ni ( x  ci  t , t  t )  ni ( x, t )   i (ni ) ,
где n i (так называемая заселенность) может принимать значения
0 или 1, i обозначает направление (ребро решетки), c i - скорость
частицы в i-ом направлении, а i (ni ) - так называемый оператор
столкновений, который описывает взаимодействие частицы при
соударении.
72
Свойства и характеристики среды, такие как плотность и
b
количество
движения,
определяются
как
   n i ( x, t ) ,
i
b
  u   c i  n i ( x, t ) .
i
Метод решеточного уравнения Больцмана (Lattice Boltzman
Equation - LBE) возник в конце 80-х годов как развитие метода
решеточных газов. Было введено понятие концентрации частиц в
узлах. А вместо целых чисел для заселенностей стали
использоваться вещественные числа. Параллельно развивались
подходы к численному моделированию кинетического уравнения
Больцмана, впервые написанного в 1872 году. В 1964 году
Бродвелл предложил перейти к дискретной форме уравнения
Больцмана за счет использования дискретных скоростей для
ансамблей молекул. А в 1997 году Хе и Люо разработали на
основе дискретного уравнения метод решеточных уравнений
Больцмана. Таким образом Lattice Bolcman Method "вырос"
параллельно из Уравнения Больцмана и Клеточного Автомата,
развитого до Метода решеточных газов.
В основе метода LBM лежит так называемая функция
распределения. Эта функция в определенной степени аналогична
Максвелловской функции распределения, которая характеризует
процент молекул, движущихся в определенном направлении со
скоростью, находящейся в определенном интервале. Таким
образом, в методе LBM система описывается функцией
распределения f (r , c, t ) , отражающей количество молекул
(ансамбль частиц), движущихся в момент времени t между
точками r и r  dr со скоростями в диапазоне c и c  dc . При
отсутствии действия какой-либо внешней силы и взаимодействия
частиц друг с другом можно записать равенство
f (r  c  dt , c  F  dt , t  dt )drdc  f (r , c, t )drdc  0
Однако, если частицы будут сталкиваться друг с другом, их
количество в соседних узлах со временем будет меняться.
Параметр, характеризующий изменение функции распределения f
в результате столкновений частиц называется оператор
73
столкновений Ω. И тогда уравнение, описывающее изменение
состояния системы будет выглядеть следующим образом
f (r  c  dt , c  F  dt , t  dt )drdc  f (r , c, t )drdc  ( f )drdcdt
В дифференциальной форме это уравнение записывается как
f f  F f

c  

t r
m c
и называется уравнением переноса Больцмана (Boltzmann
Transport Equation)
Для системы без внешней силы уравнение выглядит как
f  
 c  f  
t
Переход от параметров f и c к макроскопическим параметрам
плотности среды  , u, энергии среды e происходит по
следующим выражениям
 (r , t )   m  f (r , c, t )  dc
 (r , t )  u (r , t )   m  c  f (r , c, t )  dc
 ( r , t )  e( r , t ) 
1
m  u a2  f (r , c, t )  dc ,

2
где m - масса частицы, u a - относительная скорость частицы
ua  c  u .
Основная задача в этой модели эволюции системы
заключается в том, чтобы правильно математически описать
оператор столкновений Ω. В настоящее время наиболее
распространена так называемая BGK-аппроксимация оператора
столкновений (по имени авторов Bhatnagar, Gross, Krook),
введенная ими в 1954 году как простое и действенное описание
столкновений
между
частицами.
Оператор
описывает
релаксацию системы к локальному равновесию через
74
равновесную функцию распределения Максвелла-Больцмана и
записывается как
  (f
eq
 f)
1

(f
eq
 f) ,
eq
где   частота столкновений,   параметр релаксации, f 
равновесная
функция
Максвелла-Больцмана.
Параметр
релаксации определяет свойства среды.
С учетом введенной аппроксимации оператора столкновений
и введенной дискретной формы записи уравнение переноса
Больцмана выглядит как
f i (r  c i t , t  t )  f i (r , t ) 
t

 [ f ueq (r , t )  f i (r , t )]
С помощью разложения Чапмана-Энскога (Chapman-Enskog
Expansion) можно доказать прямую связь между мезо-подходом
LBM и макро-подходом Навье-Стокса, а также показать, что
параметр релаксации  определяет коэффициент диффузии
среды (в случае жидкости-вязкость).
Суть
метода
решеток
Больцмана
заключается
в
представлении макроскопической среды сеткой (решеткой) в
виде квадратов или ромбов в двумерном случае и в виде
параллелепипедов в случае трехмерной постановки задачи.
Обозначение таких сеток выполняют согласно простому правилу
DxQy , где x – мерность задачи (1, 2 или 3), а y – число
возможных направлений движения ансамблей частиц с учетом
узла, в котором могут находиться не движущиеся частицы. В
каждом узле такой решетки в каждый момент времени
однозначно определена функция f. Ансамбль частиц
находящийся в узлах решетки может двигаться вдоль ее граней с
определенными скоростями. В зависимости от мерности задачи
меняется количество направлений. Для плоской двумерной
решетки количество направлений i составляет 3 либо 8 (4 либо 9
с учетом узла) (рис. 4.1). Для трехмерной задачи – 14 или 18 (15
или 19 с учетом узла) (рис. 4.2).
75
Рис. 4.1 Двумерная решетка D2Q9
Рис. 4.2 Трехмерная решетка D3Q19
Скорости, с которыми ансамбли частиц перемещаются по
конечному числу направлений, именуются решеточными
скоростями и в зависимости от текущего направления
обозначаются c i . Для случая D2Q9, например,
76
для i=0: c 0 (0,0)
для i≠0: c1 (1,0) , c2 (0,1) , c3 (1,0) , c 4 (0,1) , c5 (1,1) , c6 (1,1) ,
c 7 (1,1) , c8 (1,1) .
eq
Равновесная функция f
определяется
направления следующим образом:
для
каждого
2
для i=0: f
для i≠0: f
eq
u
eq
u
3 u
 wi   (1 
)
2 c2
 wi   (1 
3(c i  u i )
c2
2
9 (c i  u i ) 2 3 u


)
2
2 c2
c4
где w i - значения весовых коэффициентов для каждого из
направлений. Для двумерного случая эти значения составляют:
w0  4 , w1  1 , w2  1 , w3  1 , w4  1 , w5  1 , w6  1 , w7  1 , w8  1
9
9
9
9
9
36
36
36
36
. Для трехмерного случае для направления i=0 w0  19 , для i=1 6
wi  1 , для i= 7 19 wi  1 .
36
18
Согласно уравнению переноса Больцмана движение ансамбля
частиц состоит из двух этапов, рассчитываемых поочередно.
Перенос частиц из текущего узла в соседние называется операция
streaming, за что отвечает левая часть уравнения переноса.
Взаимодействие частиц называется операцией collision и
описывается правой часть уравнения (оператором столкновений).
Метод решеточных уравнений Больцмана имеет важное
значение и широко применяется при компьютерном
моделировании таких сложных течений, как многофазные,
многокомпонентные, течения неньютоновских жидкостей.
Преимуществами метода является простота алгоритма, большие
возможности для реализации параллельных вычислений, а также
простая реализация сложных граничных условий.
4.2. Метод сглаженных частиц
Основная идея метода сглаженных частиц (smoothed particle
hydrodynamics или SPH) заключается в замене уравнений
динамики уравнениями для частиц. Таким образом, сплошная
77
среда
аппроксимируется
на
более
фундаментальном,
молекулярном уровне [22]. Идеи метода SPH впервые были
озвучены в работе Gingold и Monaghan [24], а также Lucy [25] и
продолжены серией публикаций[23,26-28]. В настоящем разделе
описаны основные положения SPH, желающим ознакомиться с
методом
более
подробно
рекомендуется
изучить
фундаментальные работы [22,26].
Простейшей системой уравнений, описывающей движение
текучей среды, является система уравнений Эйлера для
идеального газа без диссипации:
dv
1
  p
dt

d
    v
dt
Здесь v-вектор скорости,  -плотность, p – давление
(4.1)
(4.2)
В этих уравнениях d/dt является полной (субстациональной)
производной
В основе метода SPH лежит представление, согласно которому
значение некоторой функции в произвольной точке вычисляется,
с помощью значений этой функции в соседних точках. Ключевой
особенностью метода является использование сглаживающего
ядра для аппроксимации значения функции. Используя понятие
сглаживающего ядра уравнения (4.1)-(4.2) примут вид:
P P 
d vi
  m j  i2  j2  iW rij , h
j
dt
 i  j 
d i
  m j vij  W rij , h
j
dt
здесь vij - относительная скорость частицы i относительно
частицы j; m j - масса j-й частицы; h – сглаживающий радиус;
 
 
 
W rij , h - градиент сглаживающего ядра. В практических
расчетах для вычисления ядра используют либо формулу
кубического сплайна (4.3), либо полином четвертой степени (4.4).
78
 3 2 3 3 
1  2 k  4 k , k  1

C 1
3
W rij , h  D  2  k  , 1  k  2
h 4
0, k  2


 2 9 2 19 3 5 4
  k  k  k , k2
W rij , h  C  3 8
24
32
0, k  2
 
 
Где С – нормализующий коэффициент[26], k 
(4.3)
(4.4)
rij
h
В качестве примера, иллюстрирующего эффективность
применения метода SPH для задач гидродинамики, приведем
сравнение полей скоростей, полученных в работе [26].
Рис.4.3 Сравнение поля скорости а)метод SPH, б) метод
контрольного объема
79
Рис.4.4. Сравнение коэффициента безразмерного давления Cp,
полученного методами SPH и контрольного объема
80
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Курс
«Основы
вычислительной
гидромеханики
и
тепломассообмена» вводит слушателя в многогранный мир
возможностей
численного
моделирования
сложных
и
разнообразных процессов, протекающих в жидких и
газообразных средах. Прослушав этот курс и пройдя
компьютерный практикум по дисциплине «Пакеты прикладных
программ для гидродинамических расчетов» слушатель получает
базовые сведения о принципах построения разностных схем, их
свойствах и методах решения разностных уравнений. В
совокупности со знаниями, полученными в рамках дисциплин
«Механика жидкости и газа» и «Термодинамика и
тепломассообмен», это позволяет ему осваивать современные
программные продукты, реализующие компьютерные технологии
инженерного анализа (STAR-CCM+, ANSYS CFX, OPENFOAM),
а также писать собственные программы для расчета гидрогазодинамических течений.
Выполняя выпускную квалификационную работу с
использованием таких программных средств, обучающийся
приобретает бесценный опыт и навыки работы с современным
инструментарием исследователя и инженера. Это в свою очередь
обеспечивает ему достойную и интересную работу по окончании
обучения, поскольку такие специалисты сегодня необходимы в
промышленности.
81
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. 7е изд.,испр. – М.: Дрофа, 2003. – 840 с., 311 ил., 22 табл.
2. Штеренлихт Д.В. Гидравлика. – М:Энергоатомиздат, 1984. –
640 с.
3. Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод; Учебник, Ч.1.
Основы механики жидкости и газа. – М.:МГИУ, 2003. – 192 с.
4. Моделирование турбулентных течений: Учебное пособие /
И.А. Белов, С.А.Исаев, Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2001. 108 с
5. Фрик П.Г. Турбулентность: подходы и модели. Изд. 2-е, испр.
и доп. — М. — Ижевск:НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», 2010. — 332 с.
6. Wilcox D.C. Turbulence modeling for CFD. La Canada, California:
DCW Industries, Inc., 1998. 537 p.
7. Menter F.R. Zonal two equation k-ω turbulence models for
aerodynamic flows //AIAA Paper. 1993 №93-2906. 21p.
8. Управление обтеканием тел с вихревыми ячейками в
приложении к летательным аппаратам интегральной компоновки
(численное и физическое моделирование) / Под ред. А.В.
Ермишина и С.А. Исаева. – М.:Изд-во Моск. Ун.-та., 2003. – 360
с.
9.Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная
гидромеханика и тепломассообмен: В 2-х т. / Пер с англ. –М.Ж
Мир, 1990.
10.Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. 656 с.
11.Ferziger J.H., Perich M. Computational methods for fluid
dynamics. -3., rev. ed. – Springer. Berlin, New York, 2002.
12.Chung T.J. (2010) Computational Fluid Dynamics. -2 ed.?
Cambridge University Press, Cambridge, UK.
13.Роуч П. Вычислительная гидромеханика / Пер. с англ. – М.:
Мир, 1980. – 616 с.
14.Лоханский Я.К. Основы вычислительной гидромеханики и
тепломассообмена: Учебное пособие. – М.: МГИУ, 2008. – 80 с.
15. Lai M-C and Peskin CS: An immersed boundary method with
formal second order accuracy and reduced numerical viscosity //J.
Comput. Phys. 160:705-719, 2000
82
16. Госмен А.Д., Пан В.М., Ранчел А.К., Сполдинг Д.Б.,
Вольфштейн М. Численные методы исследования течений вязкой
жидкости/
Издательство «МИР» 1972, 320 стр.
17. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и
динамики жидкости /Пер. с англ. (1980 г), М.: Энергоатомиздат,
1984. - 152 с., ил.
18. STAR-CCM UserGuide, 2012.
19. Versteeg H., Malalasekra W. An Introduction to Computational
Fluid Dynamics: The Finite Volume Method /2nd Edition. Prentice
Hall, 2007. 520 p.
20. Leonard B.P. A stable and accurate convective modeling
procedure based on quadratic upstream interpolation //Comp.mech
appl.Mech.Eng. 1979. Vol.19. №3 P.293-312
21 Белов И.А. , Исаев С.А., Коробков В.А., Задачи и методы
расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. Л.:
Судостроение, 1989. 256 с.
22. G. R. Liu, M. B. Liu "Smoothed Particle Hydrodynamics: A
Meshfree Particle Method "
World Scietific, 2003, 473p
23. Springel V. Smoothed Particle Hydrodynamics in Astrophysics
/Annual Reviews of Astronomy and Astrophysics, 2010
24. R.A. Gingold and J.J. Monaghan, “Smoothed particle
hydrodynamics: theory and application to non-spherical stars,” Mon.
Not. R. Astron. Soc., Vol 181, pp. 375–89, 1977.
25. L.B. Lucy, “A numerical approach to the testing of the fission
hypothesis,” Astron. J., Vol 82, pp. 1013–1024, 1977.
26. Hoover, W. G. (2006). Smooth Particle Applied Mechanics: The
State of the Art, World Scientific.
27. Kolb, A. and Cuntz, N. (2005) ] Dynamic particle coupling for
GPU-based fluid simulation, A. Kolb and N. Cuntz. In Proceedings of
the 18th Symposium on Simulation Techniques (2005) pp. 722–727.
28. Desbrun, M. and Cani, M-P. (1996). Smoothed Particles: a new
paradigm for animating highly deformable bodies. In Proceedings of
Eurographics Workshop on Computer Animation and Simulation
(August 1996, Poitiers, France).
83
29. A. A. Mohamad Lattice Boltzmann Method. Fundamentals and
Engineering Applications with Computer Codes / Springer London
Dordrecht Heidelberg New York 2011 p178
30. Michael C. Sukop, Daniel T. Thorne, Jr. Lattice Boltzmann
Modeling: An Introduction for Geoscientists and Engineers / Springer,
2006 p172
84