Статья отнесена к разделу: Преподавание математики

Открытый урок по теме "Формулы вычисления площади
правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной
окружности"
Князева Елена Викторовна, учитель математики
Князева Светлана Викторовна, учитель математики
Статья отнесена к разделу: Преподавание математики
Для проведения урока необходим экран, компьютер и мультимедийный проектор для показа
презентации.
Приложение
Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много нового и интересного: вспомним понятие правильного
многоугольника, выведем формулы, связывающие площадь и сторону правильного
многоугольника с радиуса вписанной окружности. Кроме того узнаем интересные исторические
факты, связанные не только с правильными многоугольниками, но и многогранниками. Решим
геометрические задачи по данной теме.
Мне хотелось бы начать со слов Бертрана Рассела: “Математика владеет не только истиной, но и
высшей красотой…”.
Разминка
Вопрос о математических предпосылках прекрасного, о роли математики в жизни волновал еще
древних греков, причем свой интерес они унаследовали от предшествующих цивилизаций. В наше
время геометрия – необходимый элемент общего образования и культуры, представляет большой
исторический интерес, имеет серьезное практическое применение и обладает внутренней
красотой.
Название правильные идет из античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность,
совершенство в природе и человеке. До сих пор многоугольники нередко называют в науке погречески с окончанием “гон”: полигон – многоугольник, пентагон – пятиугольник (такой формы
сверху здание театра Российской армии в Москве и министерство обороны США), гексагон –
шестиугольник (ячейка пчелиных сот).
Замечательным примером пентагона является правильный звездчатый пятиугольник:
Рисунок 1
Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду
в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.
Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Они
старались его выходить, но болезнь не отступала. Не имея средств заплатить за лечение и уход,
больной перед смертью попросил хозяина дома нарисовать у входа пятиконечную звезду,
объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через
некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать
хозяина дома о том, каким образом она появились у входа. После рассказа хозяина гость щедро
вознаградил его.
Пентаграмма была хорошо известна и в Древнем Египте. Но непосредственно как эмблема
здоровья она была принята лишь в Древней Греции.
Вычисление суммы углов пятиконечной звезды, вписанной в окружность. (Рис. 1)
Ученики могут решать эту задачу двумя способами, если нашли только один способ решения, то
можно по усмотрению комментировать другой.
Рисунок 2
I способ: Когда вершины пятиугольной звезды делят окружность на равные дуги, задача решается
очень просто; 360о/5/2*5=180о.
II способ: Угол AMR – внешний угол треугольника MCE, поэтому <AMR=<C+<E. Угол ARM –
внешний угол треугольника BRD, поэтому <ARM=<B+<D. Тогда
<A+<B+<C+<D+<E=<A+<AMR+<ARM=180 o.
Рассмотрим условие геометрической задачи: в правильный шестиугольник вписана окружность
радиусом 8 см. Найти 1) длину стороны шестиугольника, 2) площадь шестиугольника, 3) радиус
описанной около него окружности.
Рисунок 3
Рисунок 4
Наводящие вопросы:





Разбейте шестиугольник на 6 равных треугольников с общей вершиной О.
Чем является радиус ОН вписанной в треугольник АОВ окружности
Чему равен угол АОВ
Вычислите градусную меру угла АОН
Перечислите все известные элементы треугольника АОН, как найти его неизвестные
элементы
Что можно сказать о площадях треугольников АОВ, ВОС, т.д.

Рассмотрим задачу нахождения площади, радиуса описанной окружности и радиуса вписанной
окружности для правильного многоугольника.
Рисунок 5
Если соединить центр данного многоугольника с его вершинами, то многоугольник разобьется на п
– равных треугольников. Площадь каждого из которых равна
=
=

Чему равен

В ),
.
АОВ (
АОН ),
; ОН = ОАcos ),

, следовательно, S = n•
АВ = 2АН = 2 Rsin
АОН (
),
АОН =
)
, ОА = R, найдем ОН, АН.(АН = ОАsin),
АОН = Rcos
, r = Rcos
)
.
АОН = Rsin
Итак, формулы для вычисления стороны правильного многоугольника и радиуса вписанной в него
окружности: аn = 2 Rsin
, r = Rcos
.
Устная работа:
Составьте цепочку решения задачи по одной известной величине
1. Дан R. Запишите формулы R —> r —> a —> P —> S.
2. Дана сторона а. записать формулы a —> R —> r —> P —> S.
3. Дан Р. P —> a —> R —> r —> S.
Приложение (Решение геометрических задач и тесты)
РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
1. Вычислите площадь правильного шестиугольника.
Рисунок 6
2. Вычислите площадь квадрата АВСД
Рисунок 7
3.
4.
5.
Периметр квадрата равен 12. найти площадь четырёхугольника, вершинами
которого являются середины сторон данного квадрата.
№ 1091 (устно)
№ 1094 (а)
Где в жизни встречаются правильные многоугольники?
Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них –
пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и
высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по
геометрии.
Рисунок 8
Геометрические тела, ограниченные правильными многоугольниками, называют
правильными многогранниками.
Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным
многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические
свойства. Эти многогранники носят название «платоновских» тел – по имени
древнегреческого философа Платона (428 – 348 г. до н.э.), в учении которого они играли
важную роль. Тетраэдр символизировал огонь, куб – землю, октаэдр – воздух, икосаэдр воду, додекаэдр – Вселенную. Его по латыни стали называть «duinta esstntia» («пятая
сущность»).
Платоновы тела: рисунок 9
Тетраэдр, куб, октаэдр – это формы имеют природные кристаллы, например: куб –
монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KАlSO4)2 ? 12 H2O). Существует предположение, что
форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого
колчедана FeS).
Оптическую иллюзию мы довольно часто наблюдаем и даже применяем в нашей
практике, но очень мало знаем ее сущность. Иллюзиию зрения используют архитекторы
при постройке зданий, модельеры при создании моделей, художники при создании
декораций. Нам известно, что тело, окрашенное в светлые тона, кажется больше, чем тело
того же размера, окрашенное в темный тон. На этом рисунке (смотри Рис.3) в круг вписан
квадрат, но кается, что квадрат вписан не в круг, а в фигуру, близко напоминающий круг.
Бывают причины, вызывающие оптические иллюзии.
Тесты
Тест 1.
рисунок10
1. <AOB=<COD=<BOC
2. <AOB=<COD><BOC
Тест 3.
Тест 2
рисунок11
рисунок12
В окружность вписан:
В окружность вписан:
1 квадрат
1 треугольник
2 близкая к квадрату фигура
2 близкая к треугольнику фигура
Разбор тестов:
Тест 1: Здесь иллюзорную деформацию вызывают острые центральные углы, хотя углы
АОВ; ВОС; COD равны, но за счет множества острых углов, на которых разбиты два угла,
они выдают себя за наибольшие, чем средний угол.
Тест 2, 3: Здесь доминирующими являются окружности. Углы вписанные в окружность,
образуют в первом случае квадрат, во втором правильный треугольник. Эти фигуры за
счет множества окружностей выдают себя, как фигуры приближенные к квадрату и
треугольнику. Стороны кажутся вогнутыми во внутрь.
Итак, иллюзию мы можем применять на практике, в повседневной жизни. Например, с ее
помощью можно скрывать недостатки формы лица, фигуры.
Подведем краткий итог урока:
 сегодня на уроке мы вывели с вами формулы площади, стороны и R, r
 осуществили связь между новым материалом, ранее изученным и изучаемым в
дальнейшем
 развивали логическое мышление, выражая одну величину через другие
а) Сформулируйте вопросы, ответы на которые мы сегодня с вами нашли.
Формулируют вопросы.
Оцените степень понимания сегодняшней темы:
все усвоил хорошо;
усвоил, но не все;
не совсем усвоил;
не усвоил.
Оцените, пожалуйста, ваше эмоциональное состояние, используя прилагательные
Учитель подводит итог урока и благодарит ведущих и активных участников в подборе
материала и проведении урока.