Вариант 6 - Кыргызский Экономический Университет
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ
КЫРГЫЗСКИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра Математики и естественнонаучных дисциплин
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
МАТЕМАТИКА
Бишкек - 2012
Авторы-составители:
Кадырова Мира Кенешбековна, старший преподаватель кафедры МЕНД
Толомушова Зинагул Жекшеновна, старший преподаватель кафедры МЕНД
Рассмотрено на заседании кафедры
«_______»_____________________20__г. (протокол №_____)
Заведующей кафедрой __________________
Утверждено Учебно-методическим советом
«_______»____________________20__г. (протокол №______)
______________________________________
Учебно-методический комплекс «Математика» составлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования
и Примерной программы по дисциплине «Математика» для специализаций и специальностей: «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Финансы и кредит», «Социально-культурный
сервис и туризм», «Менеджмент организаций», «Мировая экономика», «Экономика управления (по отраслям)».
Дисциплина входит в цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин
и является обязательной для изучения.
…………………………………………………………..…………………………………………….
2
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Введение…………………………………………………………….………..……..……………. 4
1. Цели и задачи дисциплины…………………………………………….………...……..…......5
2. Требования к уровню освоения дисциплины………………………….……………..…..….6
3. Объем дисциплины……………………………………………………………….…..……..….7
4. Содержание курса……………………………………………………………………..…..……9
5. Темы и задания практических, семинарских занятий..……………………..………...……..14
6. Темы контрольных работ ………………………………………….……..……….…...……..56
7. Варианты контрольных работ …………………………………………….………..….…..….56
8. Методические указания по выполнению контрольных работ…………………….…… …..76
9. Вопросы для подготовки к экзамену………………………………………………………….94
10. Тесты………………………………………………………………………………………..….98
11. Примерные экзаменационные билеты………………………………………………….…..117
12. Глоссарий …………………………………………………………………………………….121
13. Таблица возникновения основных математических знаков……………………….………131
14. Приложение………………………………………………………………………….………..133
15. Литература………………………………………………………………..…………….…….136
3
Введение
Изучение данного курса дает будущим специалистам современное представление о количественном анализе экономических операций и его математических основах, позволит получать наиболее вероятные количественные значения экономических показателей, устанавливать связь между различными случайными параметрами и принимать обоснованные решения в экономике.
Поэтому четкое и ясное понимание не только содержания современных экономических операций, но и их математических основ, используемых при обслуживании, становится
необходимым условием высокой квалификации экономистов. Изучение курса основано на
традиционных методах Высшей школы, тесной взаимосвязи со смежными курсами, а также
на использовании современной учебной и методической литературы.
С появлением товарно-денежных отношений возникает необходимость количественной
характеризации коммерческих операций и анализа их эффективности. Уже в XIX веке отдельную отрасль знаний выделилась «Коммерческая арифметика», включающая в себя процентные вычисления по вкладам и ссудам и по операциям с ценными бумагами. Тогда же
появляются первые работы, исследующие экономические процессы с помощью математических методов. В XX в. такие исследования приобретают ещё большее значение, во-первых, в
связи с развитием собственно математической теории и, во-вторых, с появлением электронных вычислительных машин, позволивших применить эти теории для решения экономических задач, возникающих на практике. В настоящее время дальнейшее развитие электронных
технологий сделало применение математических методов исследования экономических операций ещё более актуальным.
Теория вероятностей естественным образом возникла из решения практических, в том
числе коммерческих задач. Необходимость количественной оценки результатов коммерческой деятельности привела к становлению и развитию статистических методов. Теоретическое обоснование этих методов дает теория вероятности, основоположником современной
теории которой можно по праву считать выдающегося математика XX столетия академика
А.Н. Колмогорова. С появлением электронных вычислительных машин, позволивших применить эти теории для решения широкого круга экономических задач, возникающих на
практике, и дальнейшим развитием электронных технологий в настоящее время применение
статистических методов исследования экономических задач стало ещё более актуальным.
Возросшее в условиях усиливающейся конкуренции информационно-технологическое
обеспечение коммерческой деятельности предприятий и фирм выдвигает на первый план количественный и качественный анализ, оценку эффективности и задачу оптимизации этой деятельности, что в свою очередь требует всё возрастающего уровня математической подго4
товки соответствующих специалистов. Этим обусловлена необходимость введения курса математики для изучения студентами данной экономической специальности.
Курс математики занимает особое место в структуре учебных планов для данных экономических специальностей по следующим причинам. Во-первых, он используется для изучения ряда других дисциплин, входящих в учебные планы (статистика), во-вторых, позволяет глубже понять и усвоить другие курсы, формально не зависимые от него (курсы по изучению ЭВМ и языков программирования, исследованию банковских операций и др.), и,
в-
третьих, имеет самостоятельное значение для развития общего интеллектуального уровня
студентов. УМК математики соответствует требованиям Государственного образовательного
стандарта для данных специальностей.
Характерной чертой курса является сочетание достаточно проработанных чисто математических вопросов с практическими математическими приемами и методами, применяемыми в экономической деятельности.
1. Цели и задачи дисциплины
Цель дисциплины состоит в изучении основного аппарата математического анализа и
дифференциального исчисления, аналитической геометрии и линейной алгебры, теории
вероятностей и математической статистики, алгебраических структур и числовых множеств, математического программирования. Параллельно решается задача научить студентов применять полученные знания на практике.
Задачи дисциплины состоят в том, чтобы сформировать у студентов научное мировоззрение, развить логическое мышление, умение решать математические задачи, обучить
количественному анализу экономических процессов с помощью математических инструментов.
Характерной чертой курса является сочетание достаточно проработанных чисто математических вопросов с практическими математическими приемами и методами, применяемыми в экономической деятельности.
Освоение курса предполагает, помимо посещения лекций и семинарских занятий, выполнение домашних заданий, регулярные консультации студентов с преподавателями в
течение всего времени обучения, самостоятельную работу студентов с изучаемым материалом, выполнение ими небольших по объёму исследовательских работ практической
направленности.
5
2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате изучения дисциплины студент должен:
иметь представление о количественном анализе задач планирования экономических и
финансовых операций и его математических основах. Это позволит получать наиболее вероятные количественные значения экономических показателей, устанавливать связь между различными случайными параметрами и принимать обоснованные решения в экономике;
знать основные понятия, определения, теоремы и их следствия математического анализа,
линейной алгебры и аналитической геометрии, свойства определителей, линейных поверхностей в векторном пространстве и кривых второго порядка на плоскости, основные
законы распределения вероятностей случайного события, алгоритмы и методики решения
задач линейного программирования, знать методику решения сетевых задач;
уметь находить пределы, производные, вычислять интегралы решать системы линейных
уравнений, рассчитывать основные характеристики экономических систем, моделировать
коммерческие операции и экономические процессы, самостоятельно пользоваться справочными пособиями при решении прикладных (в том числе экономических) задач;
приобрести навыки нахождения частных производных, решения дифференциальных
уравнений, нахождения обратной матрицы, определителей, составлять двойственные задачи линейного программирования;
владеть математическим аппаратом для исследования функций решения систем линейных уравнений, овладеть методами постановки и решения теории игр и систем массового
обслуживания.
2.1. Инновационные технологии, используемые в учебном процессе
Деловая игра – метод имитации подражания, изображения принятия решений в различных ситуациях (в учебном процессе – в искусственно созданных ситуациях), осуществляемых по заданным правилам группой людей в диалоговом режиме.
Доклад-презентация – публичное сообщение, представляющее собой развёрнутое
изложение определённой темы, вопроса программы.
В процессе обучения рекомендуется широкое использование мультимедийных докладов в форме презентаций как при проведении лекций преподавателями, так и на практических занятиях – докладов студентов по отдельным проблемным вопросам тематики дисциплины.
6
Тестирование – контроль знаний с помощью тестов, которые состоят из условий (вопросов), вариантов ответов для выбора.
Тестирующая программа разработана преподавателями кафедры. Тестирование проводится на практических занятиях по завершении изучения 1 и 2-го разделов дисциплины
для студентов данных специальностей.
3. Объем дисциплины
3.1. Объем дисциплины и виды учебной работы
Количество часов, отводимое на изучение курса математики в соответствии с Государственными образовательными стандартами и учебными планами, приведено в следующей таблице.
Специальность
Вид учебной работы
Количество часов по формам обучения
Очная
№№ семестров
1, 2,3,4
Аудиторные занятия:
120/ 240
Самостоятельная работа студен-
88/180
та с преподавателем
Самостоятельная работа
92/180
Всего часов на дисциплину
300/600
Текущий контроль
(количество, №№ семестров)
1, 2,3,4 сем.(по 4-6 заданий на семестр)
1, 2,3,4 сем.
Виды итогового контроля
(экзамен, зачет)
экзамен
- №№ семестров
3.2. Распределение часов по темам и видам учебной работы
Форма обучения очная
Всего чаНазвания разделов и тем
Виды учебных занятий
сов по
Аудиторные занятия, из
Самосто-
учебному
них:
ятельная
7
плану
лекции
работа
практ. занятия, семинары
Раздел 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
1. Векторная алгебра
4/8
2. Элементы аналитической
6/12
5/12
8/18
геометрии
3. Матрицы и определители
10/20
16/30
4. Системы линейных уравнений
10/20
16/30
30/60
45/90
2/8
4/10
4/8
6/10
(СЛУ)
Всего
75/150
Раздел 2. Дифференциальное исчисление
5. Введение. Основные понятия и
определения функции. Предел и непрерывность функции
6. Дифференциальное исчисление
функции одной переменной
7. Дифференциальное исчисление
4/8
6/10
функции нескольких переменных
Раздел 3. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды
8. Интегралы
10/18
14/34
9. Дифференциальные уравнения
6/12
10/20
10. Ряды
4/6
5/6
30/60
45/90
всего
75/150
Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика
11. Основные понятия теории вероят-
6/10
8/14
4/8
6/10
ностей. Случайные события
12. Случайные величины и их числовые характеристики
13. Основные распределения случай-
4/8
2/10
ных величин
14.Функция случайной величины
2/6
8
6/10
15. Закон больших чисел и предельные
2/4
6/8
16. Выборка и ее представление
6/10
6/14
17. Статистическое оценивание
4/8
6/14
18. Проверка статистических гипотез
2/6
5/10
30/60
45/90
4/6
6/8
6/14
10/18
21. Симплексный метод ЗЛП
6/12
10/20
22. Теория двойственности
4/8
6/14
23. Транспортная задача ЛП
10/20
13/30
теоремы
Всего
75/150
Раздел 5. Линейное программирование
19. Математическая модель задачи математического программирования
20. Графический метод решения задач
линейного программирования (ЗЛП)
Всего
75/150
30/60
45/90
Итого:
300/600
120/240
180/360
4. Содержание курса
РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
Тема 1. Векторная алгебра
n-мерное арифметическое пространство — Rn. Геометрический смысл пространств R2
и R3. Векторы. Длина вектора. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение
векторов. Линейно зависимые и линейно не зависимые системы векторов. Геометрический
смысл линейной зависимости векторов. Базис и ранг системы векторов. Ортогональный и
ортонормированный базисы. Представление вектора в координатной форме. Действия с векторами, заданными в координатной форме. Угол между векторами. Разложение вектора по
произвольному базису.
Тема 2. Элементы аналитической геометрии
Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой, уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых.
9
Расстояние от точки до прямой. Понятие о кривых второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Прямая и плоскость в пространстве R.3. Расстояние от точки до плоскости. Векторное, параметрическое, каноническое уравнения прямой в R3. применение аналитической геометрии к
экономическом задачам.
Тема 3. Матрицы и определители
Понятие Определителя n-го порядка. Миноры, алгебраические дополнения. Способы
вычисления и свойства определителей. Матрицы и действия над ними. Транспонированная
матрица. Обратная матрица и способы ее нахождения. Ранг матрицы.
Тема 4. Системы линейных уравнений (СЛУ)
Линейные уравнения с n неизвестными. Условия совместности и определенности
СЛУ. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера. Метод Гаусса. Однородные системы
линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений. Теорема
Кронекера – Капелли. Допустимое, базисное, опорное решение системы линейных уравнений.
РАЗДЕЛ 2. Дифференциальное исчисление
Тема 5. Предел и непрерывность функции
Множество действительных чисел. Понятие функции. Способы задания функций.
Элементарные функции. Простейшие неэлементарные функции.
Числовая последовательность и ее предел. Предел функции. Основные теоремы о
пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Односторонние пределы. Два
замечательных предела.
Приращение функции. Возрастание и убывание функции. Свойства непрерывных
функций.
Тема 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Определение производной. Дифференцируемость и непрерывность функций. Геометрический, физический и экономический смысл производной. Свойства производной.
Правила дифференцирования (включая производные сложной и обратной функции). Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Дифференциал функции, его связь с произ10
водной. Геометрический смысл дифференциала и его использование в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков.
Исследование функций с помощью дифференциального исчисления. Условия возрастания и убывания функций. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. Выпуклость графика функции. Точки перегиба и их нахождение.
Асимптоты. Общая схема исследования функции. Простейшие экономические задачи на экстремум функции.
Формулы Тейлора и Маклорена. Примеры разложения элементарных функций по
формуле Маклорена.
Тема 7. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Понятие функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функций нескольких переменных.
Полное и частное приращение
функций.
Частные
производные.
Дифференцируемость и дифференциал функции. Геометрический смысл дифференцируемости функций двух переменных.
Производная по направлению. Градиент и его свойства. Экстремум функции нескольких
переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие для случая двух независимых переменных. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции нескольких переменных. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Метод наименьших
квадратов.
РАЗДЕЛ 3. Интегральное исчисление дифференциальные уравнения. Ряды
Тема 8. Интегралы
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям.
Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в
определенном интеграле. Геометрические приложения определенного интеграла: площадь
плоской фигуры, объем тела вращения. Приближенные методы вычисления определенного
интеграла: формулы прямоугольников, трапеций Симпсона. Несобственные интегралы. Понятие о кратных интегралах.
Тема 9. Дифференциальные уравнения
11
Понятие о дифференциальном уравнении. Примеры торгово-экономических задач,
приводящие к дифференциальным уравнениям. Порядок дифференциального уравнения. Семейство решений. Теорема существования и единственности решения (без доказательства).
Задача Коши. Геометрическое истолкование решения. Общее и частное решение дифференциального уравнения.
Уравнения с разделяющимися переменными. Линейное уравнение первого порядка.
Возможные случаи понижения порядка дифференциального уравнения (на примере уравнений второго порядка), когда в его записи отсутствуют независимая переменная или искомая
функция.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами. Подбор частных решений при специальном виде правой части.
Тема 10. Ряды
Числовые ряды. Сходимость ряда. Сумма ряда. Свойства рядов. Необходимое условие
сходимости ряда. Теорема сравнения. Признаки сходимости Даламбера, Коши. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.
Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости. Разложение элементарных
функций в ряд Маклорена или Тейлора. Использование рядов для приближенных вычислений.
РАЗДЕЛ 4. Теория вероятностей и математическая статистика
Тема 11. Основные понятия теории вероятностей. Случайные события
Предмет и задачи теории вероятностей. Статистические закономерности, области
применения теории вероятностей в экономике и коммерции.
Опыт, событие. Относительная частота, ее устойчивость. Построение математической
модели случайного опыта: пространство элементарных событий. Алгебра событий. Поле событий. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Примеры вероятностных моделей. Классическая вероятность. Элементы комбинаторики. Геометрическая вероятность.
Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимость событий. Формулы полной вероятности и Бейеса.
12
Тема 12. Случайные величины и их числовые характеристики
Определение случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины.
Ряд распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Плотность
распределения и функция распределения непрерывной случайной величины. Основные числовые характеристики случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, среднее
квадратичное отклонение) и их свойства.
Тема 13. Основные распределения случайных величин
Схема Бернулли. Распределения дискретных случайных величин: биномиальное, Пуассона, гипергеометрическое. Основные характеристики этих распределений.
Распределения непрерывных случайных величин: равномерное, показательное, нормальное. Основные характеристики непрерывных распределений.
Тема 14. Функция случайной величины
Понятия функции случайной величины. Функция распределения и плотность вероятностей функции случайной величины. Числовые характеристики случайной величины.
Тема 15. Закон больших чисел и предельные теоремы
Последовательность случайных величин, сходимость по вероятности. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема и её приложения.
Тема 16. Выборка и ее представление
Распределение частот. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма
Тема 17. Статистическое оценивание
Точечные оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия. Метод моментов. Интервальные оценки.
Тема 18. Проверка статистических гипотез
Основные понятия. Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием.
Сравнение двух дисперсий. Сравнение двух математических ожиданий.
РАЗДЕЛ 5. Линейное программирование
Тема 19. Математическая модель задачи математического программирования
13
Примеры составления математических моделей экономических задач. Приведение
общей задачи ЛП к канонической форме.
Тема 20. Графический метод решения ЗЛП
Графический метод решения ЗЛП с двумя переменными. Графический метод решения
ЗЛП с n переменными.
Тема 21. Симплексный метод решения ЗЛП
Опорное решение задачи ЛП. Алгоритм симплексного метода. Метод искусственного
базиса.
Тема 22. Теория двойственности
Составление математических моделей двойственных задач. Первая теорема двойственности. Вторая теорема двойственности. Двойственный симплексный метод.
Тема 23. Транспортная задача ЛП (ТЗ)
Математическая модель ТЗ. Опорное решение ТЗ. Метод потенциалов. Транспортная
задача с ограничениями на пропускную способность. ТЗ по критерии времени.
5. Темы и задания практических, семинарских занятий
РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии.
Тема 1. Векторная алгебра
Арифметическое векторное пространство
1.2.
Выполнить указанные операции с векторами:
а) (1; 2; 1) + (1; 1; 2)
б) (1; 1; 3; 2) + (1; 1; 3; 2)
в)
4 (4; 1; 2; 0) 7 (2; 1; 0; 5)
г)
5 (1; 3; 2) 2 (5; 0; 5) + 3 (5; 5; 0)
14
Литература: [1,4,6,9,10,12,13,14,15]
Тема 2. Элементы аналитической геометрии
Скалярное и векторное произведения векторов
2.1. Векторы a и b образуют угол /6, а = 2 и b = 5. Найти
(a, b).
2.2. Векторы a и b образуют угол /4, а = 4 и b = 3. Найти
(a, b).
2.3. Векторы a и b образуют угол 2/3, а = 3 и b = 2. Найти
(a, b).
2.4. Векторы a и b образуют угол /6, а = 2 и b = 1. Найти (2a – 3b, 4a + 2b).
2.5. Векторы a и b образуют угол /4, а = 4 и b = 3. Найти (2a – 3b, a + 2b).
2.6. Векторы a и b образуют угол 2/3, а = 3 и b = 2. Найти (a –
3b, 4a + 2b).
Прямая на плоскости
2.7. Даны точки A = (1;2), B = (3;0), C = (6;2). Найти уравнение прямой, проходящей через
точку A и параллельной вектору BC .
2.8. Даны точки A = (3;1), B = (1;-1), C = (0;2). Найти уравнение прямой, проходящей через
точку A и параллельной вектору BC .
2.9. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A = (1;2) и B = (3;8).
2.10. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A = (1;2) и B = (3;4).
2.11. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A = (-1;0) и B = (-1,3).
Плоскость
2.12. Даны точка A = (1;-2;5) и вектор a = {-3,4,7}. Найти уравнение плоскости, проходящей
через точку A и перпендикулярной вектору a.
2.13. Даны точки A = (1;2;0), B = (3,0,-3), C = (6,2,-2). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору BC .
2.14. Даны точки A = (1;2;-1), B = (1,0,-1), C = (0,2,2). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору BC .
15
2.15. Точка M0 = (2;3;-1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки A = (1;2;-1) на
плоскость. Найти уравнение этой плоскости.
2.16. Точка M0 = (3;4;-2) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на
плоскость. Найти уравнение этой плоскости.
Прямая в пространстве
2.17. Даны точки A = (1;2;0), B = (3,0,-3), C = (6,2,-2). Найти канонические и параметрические
уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной вектору BC .
2.18. Даны точки A = (1;2;-1), B = (1,0,-1), C = (0,2,2). Найти канонические и параметрические
уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной вектору BC .
2.19. Даны точки A = (1;2;0) и B = (3,0,-3). Найти канонические и параметрические уравнения
прямой, проходящей через точки A и B.
2.20. Даны точки A = (3;-2;1) и B = (5,0,2). Найти канонические и параметрические уравнения
прямой, проходящей через точки A и B.
z 3
y2
x 1
=
=
. Найти канонические и пара2
2
5
2.21. Даны точка A = (1;-3;2) и прямая L:
метрические уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой L.
Литература :[1,4,6,9,10,12,13,14,15]
Тема 3. Матрицы и определители
Матрицы
3.1. Найти матрицу , если:
1 0
,
а)
2 3
3 2
, 2, 3;
5 7
1 1
1 3 8
2
,
, 3, 2;
б)
4 1 0
0 3 5
16
1 0 2
в) 1 1 0 ,
3 0 1
3
2
1
2
0
0 , 5, 1.
1 2
1
3.2. Умножить матрицы:
2 1 3 0
;
а)
5 4 2
1
б)
2 1 3 0 1
;
1 1 5 2
3
4 5
7 1 0 1
;
в) 3 1
2
0
1
5
1 0
1 0 1
1 5
3
2 1 0 ;
г)
6 2 7 0 3 2
6 2
0 3
1 1
1 1
1
1 ;
д) 4 0
1 2 1 0 4
7
1 11 2
3 0
е) 1 2 1 1
5;
1 4 0 7
0
0
1 3
2
ж) 0 1
1 1 1
10 1 13
1
5
6
3 1 4
1
1 0
0 2 10 .
1 0
0
Определители
3.3 Вычислить определитель:
1 2
;
2 1
а)
1 2
;
0 1
г)
7 5
2 3
;д)
; е)
10 7
100 100
ж)
1
1
3
3
б)
1
1
4
2
;
з)
1
1
2
12
3
13
в)
0,1
1
; и)
2 3
;
4
6
0,01
;
0,1
5
25
1
15
5
;
17
к)
ab a b
; л)
ab ab
5 3 0 7
0 1 2 3
;
0 0 3 1
0 0
2 5 1
м)
0 1
4 3 2 4
1 2 3 1
4 2 1 0
6 4 4 6
1 5 1
н) 0 1 3 ,
4 5 6
о)
3 2 1
6 2 1
Литература: [1,4,6,9,10,12,13,14,15]
Тема 4. Системы линейных уравнений (СЛУ)
Система линейных уравнений. Метод Гаусса
4.1. Решить систему методом Гаусса:
x y z0
x 2 y 2z 1
x 2 y 3z 2
а)
x y 2z 1
б) 2 x 2 y 3 z 1
x 2 y 4z 1
3x1 5 x 2 3x 3 1
в)
x1 2 x 2 2 x 3 1
2 x1 x 2 2 x 3 4
г)
4 x1 6 x 2 3x 3 3
4 x1 x 2 6 x 3 2
6 x1 2 x 2 7 x 3 4
Литература: [1,4,6,9,10,12,13,14,15]
РАЗДЕЛ 2. Дифференциальное исчисление
Тема 5. Предел и непрерывность функции
Понятие функции
5.1. Найти области определения и построить графики функций:
1) y x
6) y -x 2 1
2) y - x
1
3) y x
7) y (x - 1) 2 2
1
8) y 2
x 1
18
4) y 1 - x
9) y
5) y x x
10) y
1
1- x
x 1
5.2. Найти области определения функций:
1) y x - 1 - 5 - x
5) y ( x - 1)(x - 2)
2) y log 2 x
6) y log x 2 - x
1
1
2
x 1 x 1
1
8) y
-x 2x
3) y ln x
4) y
7) y
1
x -1 1
2
5.3. По заданным функциям f ( x) u g(x)
построить сложную функцию y f ( g ( x)) :
1) f(x) ln x, g(x) x ;
6) f(x) x 1, g(x) x 2 ;
2) f(x) x , g(x) ln x;
7) f(x) ln x, g(x) e x ;
3) f(x) sin x, g(x) x ;
8) f(x) e x , g(x) ln x;
4) f(x) x , g(x) sin x;
9) f(x) tg x, g(x) arctg x;
5) f(x) x , g(x) x 1; 10) f(x) arctg x, g(x) tg x.
2
Числовая последовательность и ее предел
5.4. Написать пять первых членов последовательности:
1
;
n
1
2) x n
;
n 1
1) x n
5) x n n 2 1;
6) x n 10 n ;
3) x n (-1)n n; 7) x n 1
4) x n 1 -
1
;
n
1
;
n2
1
8) x n (1 n) 2 .
5.5. Написать формулу общего члена последовательности:
1 1 1
1) 1; ; ; ;...
3 5 7
3) 0; 0,9; 0,99; 0,999;...
2) 2; 2 ; 3 2 ; 4 2 ;...
3 4 5
4) 2; ; ; ;...
2 3 4
Используя определения предела последовательности, доказать равенства:
5
0;
n n
5.6. lim
n 1
1;
n n
5.7. lim
19
n 1
0;
n n 2
1
0;
n
n
(-1)n
5.11. lim
0.
n n 1
5.8. lim
5.9. lim
1
0;
n 2 n
5.10. lim
Предел функции
Используя определения предела функции, доказать равенства:
5.12. lim (3x 2) 5;
x 1
1
;
x 1 x - 1
5.14. lim
5.16. lim
x 2
x 2;
5.13. lim (1 2 x) 3;
x 1
5.15. lim ( x 2 1) ;
x
sin x
0;
x
x
5.17. lim
Найти пределы:
x2 1
;
x 1 x 2 2
2
1 x
5.19. lim (
);
x 1 x 1
x 1
5.17. lim
5.21. lim
x 0
1 x 1
;
x
5.23. lim ( x 2 1 x);
x
5.25. lim
x
x 1
x2 1
;
1 x 1
;
x 0
x2
ln( 3 x)
5.29. lim
;
x 1
1
1
x
sin x
5.31. lim
;
x
x
5.27. lim
x2 2x 1
;
x 1
x3 x 2
2x2
5.20. lim
;
x 0
x 2 16 4
5.18. lim
x2 1
;
x 2 x 2 2
5.22. lim
5.24. lim ( x 2 1 x);
x
5.26. lim
x
x 1
x2 1
;
3x 2 2 x 8
;
x
x3 4
1 x x2
5.30. lim
;
x 1 x x 2
5.28. lim
( x 1) 2 x
.
x 1
x2 1
5.32. lim
Используя первый замечательный предел, вычислить:
sin5 x
;
x 0
x
tg 3 x
5.37. lim
;
x 0 sin 4 x
x tg x
5.38. lim
;
x 0 1 cos 2 x
5.33. lim
tg x
;
x 0 x
sin 7 x
5.36. lim
;
x 0 sin 3 x
1 cos x
5.39. lim
;
x 0
x2
5.34. lim
20
x
;
1 cos x
tg x
5.42. lim
;
x x
1
1
);
sin x tg x
tg 2 x
5.43. lim
;
x tg x
5.40. lim
5.41. lim (
x 0
x 0
Непрерывность функций. Точки разрыва.
Найти точки разрыва функций:
1
x5
; 5.45. y 2
;
x x-2
x - 3x 2
x
3x 2
y
; 5.47. y
;
2
ln(1 x )
2x 3
x
x 1
y
;
5.49. y 3 ;
sin x
x 1
x -1
(x 1)(x 2)(x 3)
y 3 ;
5.51. y
;
x 1
( x - 1)(x - 2)(x - 3)
x 2 x 3
y
.
x -3 x 2
5.44. y
5.46.
5.48.
5.50.
5.52.
2
5.53 Исследовать на непрерывность функцию y
1) 2;5;
2) 4;10;
1
( x 1)( x 6)
3) 0;7.
5.54. Исследовать на непрерывность функцию y
1
1
1
x x 10 x 10
на отрезке:
1) - 2;2 ;
5) 2;12 ;
2) - 20;20 ;
6) 0,1;9,9 ;
на отрезке:
3) 1;5 ;
7) - 11;-9 ;
4) - 1;5 ;
8) - 90;-20.
Определить характер точек разрыва:
5.55. y
x2
;
x2
5.56. y
1
;
( x 2)( x 3)
5.57. y
1
;
1 e1 x
5.58. y
ex
;
( x 1) 2
sin x
12
, x0
x
5.59. y x
; 5.60. y e , x 0 ;
1, x 0
0, x 0
21
1, x 0
5.61. y sgn x 0, x 0 .
1, x 0
Литература: [1,4,6,9,10,12,13,14,15]
Тема 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Понятие производной. Вычисление производных
Исходя из определения производной, найдите производную функции:
6.1. y 2x 3.
6.2. y 1 - 5x.
6.4. y (x 1) 2 .
6.5. y x 1.
1 2 1
x .
2
4
1
6.6. y
.
x-2
6.3. y
Вычислить производные:
6.7. 1) x 2 - 6x 8;
1
;
x
6)
7)
3) - 1 - x -1 - x - 2 ;
1
8) x ;
x
1
1
9) 2x - 2 3 ;
x
x
2 5
10) x .
5
4) 2x 2 x ;
5)
3
x 3 2;
6.8. 1) sin x - cos x;
1
1
2)
;
sin x cos x
3) x - arcsin x;
3
x3
3
;
x
2) 1 x x 2 x 3 ;
4) x - arctg x;
5) tg x ctg x;
6) cos x arccos x.
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найти производные функций:
6.9. y=cos (x2 +2x - 4).
6.10. y=sin (x3 - 3x +5).
6.11. y=sin ex.
6.13. y=e 2x-3.
6.12. y=cos ln x.
2
6.14. y=e x .
6.15. y=etgx.
6.16. y=esinx.
6.17. y= ln(1+2 x ).
6.18. y= ln( 2x2 +4x -1).
Составить уравнения касательных к графикам функций:
6.19. y=x2 - 3x + 2
в точке (3;2) .
6.20. y= x
в точке (4;2) .
22
в точке пересечения с осью Оx.
6.21. y= ln x
6.22. y= x2 - 5x + 6
в точках пересечения с осью Оx .
6.23. y=e7x
в точке пересечения с осью Оy.
Понятие дифференциала.
Производные и дифференциалы высших порядков
Найти дифференциалы функций:
6.24. y= x3 - 3ln x.
6.25. y= cos x ex.
6.26. y= sin 3x.
6.27. y= tg ln x.
6.28. y= x2 arctg x.
6.29. y=
6.30. y=
sin x
.
1 cos x
1 sin x
.
1 sin x
6.31. y= sin 2x 2x x .
6.32. Найти приближенно приращение у:
1) функции у=
1
x
если х= 4 , х= 0,08;
,
2) функции у= sinx ,
если х=
, х= 0,02;
3
Найти дифференциалы 2-го порядка от функций:
6.33. y= x3 - 3x2 + x + 1.
6.34. y= (0,1x+1)5.
6.35. y= xcos2x.
6.36. y= sin2x.
Найти производные 3-го порядка от функций:
6.37. y=ex cosx.
6.38. y= x2 ex.
6.39. y=ln(2x+5).
6.40. y= xlnx.
Найти производные n-го порядка от функций:
6.41. y=
1
.
x
6.43. y= 5x.
6.42. y= e2x.
6.44. y= ln(1+x).
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Правило Лопиталя.
6.45. Удовлетворяют ли условиям теоремы Ролля функции:
23
1) f(x)=x, x [0,1];
x, если x [0,1)
2) f(x)=
;
0, если x = 1
Найти пределы с помощью правила Лопиталя:
6.46. lim
ex 1
.
x
6.47. lim
sin 5x
.
e 2x 1
6.48. lim
e x e x
.
ln(1 x )
6.49. lim
x sin x
.
e x e sin x
x 0
x 0
6.50. lim
x
x 0
x 0
ln x
.
x
6.51. lim
x 0
ln x
.
1
x
6.52. lim
ln( x 2 2 x 10)
.
ln(3x 2 x 5)
6.53. lim
x 1
.
ln x
6.54. lim
ln( x 1)
.
ctgx
6.55. lim
ex
.
x2
x
x 1
x 1
x
Исследование функций и построение графиков
6.56. Найти максимумы и минимумы и промежутки возрастания и убывания функций:
x 2 6x 13
;
x3
1) f(x)=x3 – 3x2 – 9x + 5;
2) f(x)=
3) f(x)=xlnx;
4) f(x)= x – arctg2x;
Применение дифференциального исчисления
в экономических вопросах
6.57. Зависимость спроса (объема продаж) от цены выражается формулой d(p)= e
p2
16
. Опре-
делить, для каких p спрос эластичен, неэластичен, нейтрален.
6.58. Зависимость спроса от цены при р p0 выражается формулой d(p)=
1
, где >0p
const. Определить, когда спрос будет эластичен, неэластичен, нейтрален.
6.59. Пусть х – объем продаж некоторого товара торговой фирмой, р(х) – функция спроса
(выражает зависимость между ценой и объемом продаж), Z(х) – функция издержек (затраты
фирмы на реализацию товара). Учитывая, что прибыль от продажи товара находится по
формуле V(x) = x p(x) – Z(x), определить:
24
а) интервалы значений объемов продаж, при которых торговля этим товаром будет прибыльной (убыточной);
б) оптимальные значения объема продаж х и цены р, обеспечивающие максимум прибыли
V(x), вычислить Vmax.
Используя эскизы графиков функций выручки W(x) =x p(x) и функции издержек Z(x), дать
геометрическую интерпретацию полученным результатам.
Выполнить задание для случаев:
1) р(х)=155-3х,
2) р(х)= 100-2х,
10
3) р(х)=
,
Z(x)=1800+5х;
Z(x)= 375+3х2;
Z(x)=21+х;
x
Литература :[1,4,6,9,10,12,13,14,15]
Тема 7. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Понятие функции нескольких переменных. Частные производные
1-го и 2-го порядка. Дифференциал функции.
7.1. Вычислить:
1) значения F(2,3), F(1,2), F(2,1), F(a,0), F(0,a), если F x , y
2) значения F(2,4), F(4,2), F(1,a), если F (x , y ) x
y
x 2y
;
y2 x2
y 2x 6 .
7.2. Найти области определения функций:
1) z
5
;
x y2
2
4) z ln( xy);
2) z
1
xy
3) z
5) z
4
;
x y2
6) z
2
1 x2 y2 ;
x y;
7) z arcsin( x 2 y 2 ).
7.3. Построить несколько линий уровня функций:
1) z=xy;
2) z=y-x2;
3) z=
5
;
xy
4) z=ln(x2+y2);
Найти частные производные 1-го порядка функции:
7.4. z=x2-2xy-5y3.
7.5. z=2x3+3x2y-y+5.
25
5) z=
7
.
x y2
2
2
2
7.6. z= e x y .
7.8. z=
7.7. z=ln(x2+y2).
y
.
x
7.9. z=
7.10. z= xy .
7.12. z= arctg(
xy
.
2x y
7.11. z=x2exy.
x ey ) .
7.13. z= arcsin
y
.
x
Найти частные производные 2-го порядка:
7.14. z= x2-2xy+5y2.
7.16. z=
x y2 .
7.15. z=
x2
.
1 2y
7.17. z= ln(x2-y2).
7.18. Найти частные производные 3-го порядка для функций:
1) z=2x3+xy2-y3+y2-x;
2) z=
x3
3
.
y
Производная по направлению и градиент функции
7.19. Найти grad z(x,y) для функции:
1) z
x y tg ( y 2 );
z
2)
3) z ln( x y sin x) ; 4)
xy
;
e ey
x
z e cos( x ln y ) .
7.20. Построить линии уровня и grad z в точке А(1;2) для функций:
1) z=4-x2-y2;
2) z=x2-y;
3) z=2x+y-3;
4) z=
y
.
x
Экстремум функции двух переменных
Найти экстремумы функции:
7.21. z= 3x2 +xy+2y2+4x-7y+15.
7.22. z= -x2+2xy-2y2 +2x+20.
7.23. z= 5x2 +2xy - y2-4x-8y+10.
7.24. z= x3 +8y3 -6xy +1.
7.25. z= 2x3 -xy2 +5x2+y2.
26
7.26. z= y x y 2 x 6 y .
Литература :[1,4,6,9,10,12,13,14,15]
РАЗДЕЛ 3. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды
Тема 8. Интегралы
Понятие неопределенного интеграла.
Вычисление неопределенных интегралов
8.1. Проверить, что:
dx
1
x
arctg C;
4 2
2
1)
x
3)
5)
x
7)
(x
2
dx
2 x C;
x
4
dx
1
arctgx C;
2
x
x
4x x
C;
3
2)
2
x dx
4)
e
1
dx e 5 x C;
5
6)
5 x
dx
x a
2
ln x x 2 a C ;
3x 5
2x 1
dx
arctg ( x 1) C.
2
2
2 x 2)
2( x 2 x 2)
2
Вычислить интегралы:
2
8.2. (5 x 4 x 2 x )dx.
x
8.3. ( x3 3x 2
8.4. (2 x 1) 2 dx.
8.5. (
8.6. cos x(2tg x +
8.8.
ex
cos x
4)dx.
1
1- x
2
8.7. sin x(1 +
1
2 x
2
4ctgx)dx.
x sin x
3
2 x cos 2 x 3ctg 2 x 5 cos3 x
dx.
cos 2 x
x
2
3x 7
dx.
5x 6
dx
.
1
8.11.
x
8.13.
3x 2 2 x 3
x( x 1)( x 1) dx.
2
8.10.
x8
dx.
x x2
2
8.12.
8.14.
x dx
.
x 3x 2
2
x2 2
dx.
x( x 2)( x 1)
27
2
)dx.
x2
2
)dx.
1 x2
Вычислить интегралы:
8.9.
2x 3
8.15.
( x 2)
8.17.
x
3
dx.
2x 1
dx.
4x 5
2
8.16.
dx
.
( x 1) 2 ( x 1)
8.18.
4x 3
dx.
x 2x 5
2
Понятие определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла
8.19. Составлением интегральных сумм и переходом к пределу найти интегралы:
b
1)
c dx;
a
a
2)
x dx;
a
e
3)
0
x
dx
0
2
8. 20. Вычислить интегральную сумму S5 для интеграла
dx
1
x
, разбив отрезок [1;2] на пять
равных частей и взяв в каждой части ее середину. Сравнить с точным значением интеграла.
2
8.21. Выполнить задание предыдущей задачи для интеграла
x dx.
2
1
Вычислить:
9
8.22.
dx
x
1
0
1
8.24.
1
2x
e dx.
(
8.25.
x x 2 )dx.
0
0
3
8.26.
2
(sin x cos x )dx.
8.23.
1
1
dx
.
2
x 1
8.27.
0
3x 4 3x 2 1
dx.
x2 1
Геометрические приложения определенного интеграла
Найти площади фигур, ограниченных линиями:
8.28.
у= ex, х=0, х=1, у=0.
8.29.
у= x2+5x+6, х=-1, х=2, у=0.
8.30.
у= -x2+2x+3, у=0.
8.31.
у=x7, х=2, у=0.
8.32.
у= ln x, х=e, у=0.
8.33.
у= sin x, у=0, 0 x .
Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями:
8.34. у= 4-x2, у=0, х=0, где x 0 , вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
8.35. у= ex, x=0, x=1, у=0
вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
8.36. у= x2+1, у=0, х=1, x=2
вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
28
Несобственные интегралы
Исследовать сходимость и вычислить сходящиеся интегралы:
+
8.37. 1)
dx
1
x
;
2)
+
8.38. 1)
8.39.
2
8.41.
2
dx
1 x 2 ; 4)
dx
x
a
, a 0.
1
0
e dx;
x
2)
e dx.
x
-
0
dx
1 x ; 3)
dx
.
x ln 2 x
8.40.
dx
.
2
x x
8.42.
e
x
0
x
2
x
dx.
dx
.
1
2
вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
Литература :[1,4,6,9,10,12,13,14,15]
Тема 9. Дифференциальные уравнения
Понятие о дифференциальных уравнениях.
Уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными
9.1.
Выяснить, является ли функция у=
1
х
решением дифференциального уравнения
2 у у 3 0 .
9.2.
Выяснить, является ли функция у х Сх 2 решением дифференциального уравнения ху 2 у х 0.
9.3. Является ли функция у Се х х решением дифференциального уравнения
2
у 2 ху х 2 0 ?
9.4.
Является ли функция у е sin х C cos х решением дифференциального уравнения
у у cos x 0 ?
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
9.5. cos x (1 y 4 )dx 2 y dy.
9.6. tgx y ctgy.
9.7.
x y (1 3x) y 0.
9.8. ( sin x y sin x ) y y cosx 0.
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения:
29
9.9.
y
3y
x3sin x.
x
9.10. y ytgx 2 cos 2 x.
2
9.11. y 2 y 5e x .
9.12. y 2 xy
ex
.
1 x2
Литература :[1,4,6,9,10,12,13,14,15]
Тема 10. Ряды
Понятие числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости
Вычислить первые четыре члена ряда:
n
10.1. 2
.
n =1 n + 1
2n
10.2. 2 .
n =1 n
10.3.
10.5.
(-1)n
.
n
n =1
10.4.
n
2 .
n!
sin
n =1
(-1)n +1
.
3n
n =1
n
n!
2
10.6.
.
n =1 (2n - 1)(2n + 3)
cos
Найти формулу для общего члена ряда:
1 1 1 1
... .
2 4 6 8
1
1
1
1
10.9.
... .
23 34 45 56
5 2 53 5 4
10.11. 5 - ... .
4 9 16
10.7.
1 1 1
1
10.8.
... .
3 9 27 81
1
1
1
1
10.10.
... .
ln2 2 ln 3 3 ln 4 4 ln 5
2
4
8
16
10.12. +
... .
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4
Проверить, выполнено ли необходимое условие сходимости ряда:
10.13.
n
.
n =1 7n + 100
10.14.
1
.
n =1 2n
10.16.
1
n + 2.
n =1
10.17.
n
n =1
10.15.
1
(1 n ) .
3n
.
n
n =1 7
10.18.
n
n =1
1
n
.
Разложить функцию в ряд Маклорена и найти интервал сходимости полученного ряда.
10.19. f(x)=
3
ex .
10.20. f(x)= ax, a>0, a 1.
10.21. f(x)= sin 3x .
10.22. f(x)= e-5x.
10.23. f(x)= cos x2 .
10.24. f(x)= xe -x .
10.25. f(x)= x3 e5x .
10.26. f(x)= x2cos2x.
2
30
10.27. f(x)= sin2 x .
10.28. f(x)= cos2x.
Литература :[1,4,6,9,10,12,13,14,15]
РАЗДЕЛ 4. Теория вероятностей
Тема 11. Основные понятия теории вероятностей. Случайные события
Элементы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки
11.1. В группе из 20 студентов необходимо выбрать троих делегатов на студенческую конференцию. Сколькими различными способами можно это сделать?
11.2. Сколькими различными способами можно заполнить карточку «Спортлото», если для
ее заполнения требуется отметить 6 видов спорта из перечисленных в карточке 49 видов?
11.3. Сколько разных требований на 3 книги может составить читатель, если в библиотеке
всего 1000 наименований книг?
11.4. В ассортименте магазина 10 видов шоколадных конфет. Для составления новогоднего
подарка используют 6 видов, причем берется одинаковое количество конфет каждого вида.
Сколько различных подарков можно составить?
11.5. Для составления новогодних подарков куплено 6 видов шоколадных конфет и 8 видов
карамели. Для составления одного подарка используется 4 вида шоколадных конфет и 5 видов карамели. Сколькими различными способами можно собрать подарок (количество конфет каждого вида, включаемого в подарок, одинаково)?
11.6. Из пяти имеющихся красок выбирают две краски для получения смеси. Сколько различных смесей можно получить, если разными считаются смеси, имеющие разный состав
красок?
11.7. На четвертом курсе одного из факультетов читается 6 спецкурсов. Каждый четверокурсник обязан выбрать для посещения два спецкурса. Сколькими способами он может это
сделать?
31
11.8. Из одиннадцати студентов, среди которых два отличника, необходимо выбрать восьмерых для работы по обслуживанию студенческой олимпиады. Сколькими способами это можно сделать, если отличники обязательно должны войти в число этих восьмерых?
Понятие случайного события. Классическое определение
вероятности события.
11.9. Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат – пара чисел, выпавших в первый и второй раз. События: А1 – оба раза выпало число 6; А2 – число 6 не выпало ни разу; А3 – число 6 выпало один раз; А4 – оба раза выпало число очков, кратное трем; А5
– первый раз выпало четное число, а второй раз – нечетное; А6 – оба раза выпало одно и то
же число; А7 – сумма выпавших чисел не больше 4.
11.10. Подбрасываются три монеты. Наблюдаемый результат – выпадение орла (О) или решки (Р) на первой, второй и третьей монетах. События: А1 – решка выпала на одной монете;
А2 – решка не выпала ни на одной монете; А3 – решка выпала на первой монете; А4 – орел
выпал хотя бы на двух монетах.
11.11. Эксперимент состоит в раскладывании наудачу трех занумерованных шаров по трем
ящикам. В каждый ящик может поместиться любое число шаров. Наблюдаемый результат –
тройка чисел (i, j, k), где i, j, k – номера ящиков, в которые попали соответственно первый,
второй и третий шары. События: А1 – первый ящик пустой; А2 – в каждый ящик попало по
одному шару; А3 – все шары попали в один ящик.
11.12. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени:
2 x 2, – 1 y 1 .
Наблюдаемый результат – координаты точки попадания в декартовой системе координат. По
условиям стрельбы непопадание в указанный прямоугольник исключено. События: А 1 – абсцисса точки попадания не меньше ординаты; А2 – произведение координат точки неотрицательно; А3 – абсцисса точки по модулю не больше единицы.
11.13. Из 20 яблок, находящихся в корзине, 6 яблок – сорта «шафран». Найти вероятность
того, что взятое из корзины яблоко не принадлежит сорту «шафран».
11.14. В магазин поступило 12 компьютеров, среди которых три имеют скрытые дефекты.
Найти вероятность того, что выбранный наудачу компьютер не имеет скрытых дефектов.
32
11.15. Автомат, изготавливающий однотипные детали, дает в среднем 6% брака. Из большой
партии взята наудачу одна деталь для контроля. Найти вероятность того, что она бракованная.
11.16. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятности следующих событий: А1
– выпало число 5; А2 – выпало число, кратное трем; А3 – выпало число меньше 5.
11.17. Найти вероятность событий из задачи 11.2, а также в условиях задачи 11.2 найти вероятности следующих событий: А8 – оба раза выпало число меньше 5; А9 – число 6 выпало хотя бы один раз.
Операции над событиями. Условная вероятность.
Теоремы сложения и умножения вероятностей
11.18. Игральная кость подбрасывается один раз. Наблюдаемый результат – выпавшее число
очков. Рассмотрим события: А1 – выпавшее число кратно трем; А2 – выпавшее число нечетно; А3 – выпавшее число не меньше трех; А4 – выпавшее число не больше двух; А5 – выпало
число от 2 до 4. Выяснить, какие из этих событий являются попарно несовместными. Сформулировать, в чем состоят события 2,, 3, А1А2, А1+А2, А1А3, А1+А3, А1А4, А1+А4, А1А5,
А2А3, А2А5, А2+А5, А3А4, А3+А4, А3А5, А3+А5, А4+А5, А1+А2+А5.
11.19. Из партии калькуляторов выбирают пять калькуляторов для проверки. Наблюдаемый
результат – число калькуляторов, имеющих брак. Рассмотрим события: А1 – число бракованных калькуляторов не более трех; А2 – бракованных калькуляторов – три; А3 – число бракованных калькуляторов не менее двух; А4 – есть хотя бы четыре калькулятора с браком; А5 –
есть хотя бы один калькулятор с браком. Выяснить, какие из этих событий являются попарно
несовместными. Сформулировать, в чем состоят события 1, 2, 4, 5, А1А3, А1+А3,
А2А3, А2+А3, А1А5, А1+А5, А2+А4, А2А5, А3А4, А3+А4.
11.20. Производится осмотр телевизора, при котором можно обнаружить всего 4 различных
дефекта. Наблюдаемый результат – количество обнаруженных дефектов. Рассмотрим события: А1 – обнаружен один дефект; А2 – обнаружено два дефекта; А3 – обнаружено три дефекта; А4 – обнаружены все дефекты; А5 – обнаружен хотя бы один дефект; А6 – обнаружено не
менее двух дефектов; А7 – обнаружено не более двух дефектов. Выяснить, какие события яв-
33
ляются попарно несовместными. Сформулировать, в чем состоят события 4, 5, 7, А1А5,
А1+А5, А1А6, А1+А6, А1А7, А1+А7, А3А4, А3+А4, А5А7, А5+А7, А6А7, А6+А7, А2+А3+А4.
11.21. Из урны, в которой находятся 7 черных и 8 белых шаров, вынимают наугад три шара.
Найти вероятность того, что они будут одного цвета.
Формула полной вероятности. Формула Бейеса
11.22. На складе имеется 20 телефонных аппаратов корейского производства и 30 – немецкого. В среднем 5% корейских аппаратов и 2% немецких имеют брак. Найти вероятность того,
что наугад взятый телефонный аппарат имеет брак.
11.23. На базу поступили одинаковые по объему партии холодильников с двух разных заводов. Вероятность того, что холодильник проработает без поломок в течение гарантийного
срока, равна 0,85, если холодильник собран на 1-м заводе, и 0,95 – если на втором. Найти вероятность того, что наугад взятый холодильник не сломается в течение гарантийного срока.
11.24. Вся продукция фабрики выпускается станками трех типов. На станках первого типа
выпускается 30% всей продукции, на станках второго – 20%. Станки первого типа дают 2%
брака, второго типа – 1,5% и третьего – 1,2%. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие этой фабрики окажется бракованным.
11.25. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема
проверки такова, что с вероятностью 0,95 дефект обнаруживается (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным.
Найти вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным.
11.26. В двух урнах находятся шары черного и белого цвета. Пятая часть шаров в первой
урне и треть шаров во второй урне – черного цвета. Наугад выбирается урна, и из нее извлекается шар. Найти вероятность того, что он – черный.
11.27. Из урны, содержащей 5 белых и 6 черных шаров, переложен вынутый наугад шар в
урну, содержащую 5 белых и 3 черных шара. Найти вероятность того, что вынутый затем
наугад шар из второй урны окажется белым.
34
11.28. Имеется 3 урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных
шаров, в третьей – 4 белых и 3 черных шара. Наугад выбрали урну и вынули два шара. Найти
вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Найти вероятность того, что шары были
вынуты из третьей урны, если оказалось, что они оба белые.
Литература :[2,3,4,7,16,17,19,21,23,24,25]
Формула Бернулли. Теорема Пуассона.
Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
11.29. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что: а) герб выпадет три раза; б) герб
выпадет один раз; в) герб выпадет не менее двух раз.
11.30. При бросании игральной кости, специально утяжеленной с одной стороны, вероятность выпадения шестерки равна 0,3. Найти вероятность того, что при пятикратном бросании
игральной кости: а) шестерка выпадет два раза; б) шестерка выпадет не менее двух и не более четырех раз; в) шестерка выпадет четное число раз.
11.31. Стрелок четыре раза стреляет по мишени. Считая, что вероятность попадания при одном выстреле не зависит от результатов предшествующих выстрелов и равна 0,8, найти вероятность того, что стрелок попал в мишень: а) два раза; б) не более трех раз; в) хотя бы
один раз;
г) один раз.
11.32. В среднем 10% автомобилей, производимых заводом, имеют брак. Для контроля из
партии автомобилей взяли 5 машин. Найти вероятность того, что среди них будет: а) 3 машины без брака; б) не более 3 машин без брака.
11.33. Из колоды в 36 карт вынимается карта, записывается ее название и затем карта возвращается в колоду, после чего та тщательно перемешивается. Найти вероятность того, что
при шестикратном повторении описываемого опыта: а) шестерки будут вынуты два раза; б)
шестерки будут вынуты 5 раз; в) трефовые карты будут вынуты трижды; г) будут вынуты
только трефовые карты; д) трефовый туз будет вынут дважды; е) трефовый туз появится хотя
бы один раз.
35
11.34. В память ЭВМ записывается 8-разрядное двоичное число. Значения 0 и 1 в каждом
разряде появляются с одинаковой вероятностью. Найти вероятность того, что будет записано число, в котором имеется: а) ровно 4 единицы; б) не менее двух единиц.
11.35. Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. В отдел магазина
поступило 20 телевизоров. Что вероятнее: что в этой партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три?
Литература :[2,3,4,7,16,17,19,21,23,24,25]
Тема 12. Случайные величины и их числовые характеристики
Закон распределения, функция распределения и числовые характеристики дискретной
случайной величины (ДСВ). Законы распределения: биноминальный, Пуассона
12.1. Дан закон распределения ДСВ Х:
хi
-1
0
2
рi
0,2
р
0,3
Найти: а) вероятность р; б) Р (Х 0); в) Р(-1<X<3); г) P(-2 X<0);
д) P(X>-1); е) функ-
цию распределения F(x). Построить график функции распределения и полигон. Вычислить
М [Х] и D[Х].
12.2. Дан закон распределения ДСВ Х:
хi
1
2
3
5
рi
0,2
0,1
0,4
0,3
Найти: а) Р (Х>2); б) Р(1,5 3, 5); в) Р (Х<4); г) Р(2 Х<5); д) функцию распределения; е)
M[Х]; ж) D[Х]. Построить график функции распределения и полигон.
12.3. Дан закон распределения ДСВ Х:
хi
0
2
3
рi
р1
р2
¼
Найти р1 и р2, если М [Х]=1. Найти: а) P(-1<X<3); б) P(0<X 3); в) P(2 X<4); г) D[Х]. Построить график функции распределения.
36
12.4. Выполнить задания предыдущей задачи, если закон распределения задан таблицей:
хi
1
2
3
рi
р1
р2
1/4
и М [Х]=7/4.
12.5. Найти: а) закон распределения; б)М[Х]; в) D [Х]; г) P (1<X<2); д) Р(X 1,5), если функция распределения случайной величины Х равна
0, если х 0,
3/5, если 0<x 1,
F (x)=
4/5, если 1<x 1,5
14/15, если 1,5<x 3,
1, если х>3
Литература: [2,3,4,7,16,17,19,21,23,24,25]
Тема 13. Основные распределения случайных величин
13.1. Случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [0;4]. Найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины Х.
13.2 Случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [1;6]. Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение
величины Х.
13.3 Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно
М х 5 , дисперсия равно Dх 9 . Написать выражение для плотности вероятности.
13.4 Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 15, и средним квадратичным отклонением, равным 2. Найти симметричный
относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью 0,954 попадает случайная величина.
13.5 Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины - количество сыра, используемого для изготовления 100 бутербродов, - равно 1 кг. Известно, что с
37
вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бутербродов составляет от 900 до 1100 г.
Определить среднее квадратичное отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.
13.6 Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей
0, если х 0,
F ( x)
0, 4 х
, если x 0.
1 е
Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины.
13.7. Найти вероятность попадания случайной величины Т, имеющей показательное распределение
0, если t 0,
f ( x)
0, 2 х
, если t 0.
0,2е
в интервале (4; 10).
Тема 14. Функция случайной величины
Плотность распределения, функция распределения и числовые
характеристики непрерывной случайной величины (НВС).
Нормальное распределение.
14.1. Плотность распределения вероятностей НСВ Х имеет вид:
Сх2, если - 1 х 1,
f (x)=
0, если |x|>1.
Найти: а) константу С; б) Р (Х [-2;0]); в) M[Х]; г) D[Х]; д) функцию распределения F(x).
14.2. Плотность распределения вероятностей НСВ Х имеет вид:
0, если х [0; ],
f (x)= Csin x, если х [0; ].
Найти: а) константу С; б) Р (Х [ /3; 5 /4]); в) M[Х]; г) функцию распределения F(x).
14.3. Плотность распределения вероятностей НСВ Х имеет вид:
0, если x<5,
f (x)=
C/x5, если х 5.
Найти: а) константу С; б) M[Х]; в) D[Х]; г) P(2<Х<10); д) функцию распределения F(x).
38
14.4. Плотность распределения вероятностей НСВ Х имеет вид:
0, если x<1,
f (x)=
C e-2x, если х 1.
Найти: а) константу С; б) P (|X| 2); в) функцию распределения F(x).
14.5. Функция распределения НСВ Х имеет вид:
0, если x<2,
1)
F (x)= (x – 2)2, если 2 х 3
1, если x>3
0, если х 2,
3
x 2x
F ( x)
, если 0 х 1
3
1, если x 1.
2)
Найти: а) P (0,5 X 2,5); б) M[X]; в) D[X].
Законы распределения и числовые характеристики случайных векторов.
14.6. Дан закон распределения случайного вектора (X,Y) дискретного типа:
yj
xi
0
1
2
-1
0,1
0,05
0,05
1
0,35
0,25
0,2
а) Найти: Р (Х= -1, Y=1), P(X=1, Y>0), P(X Y), P(XY 0).
б) Найти безусловные законы распределения каждой из компонент случайного вектора
(X,Y).
в) Выяснить, зависимы или нет случайные величины X и Y.
г) Построить условный закон распределения случайной величины Y при условии Х=1 и
найти условное математическое ожидание M[Y/X=1].
д) Найти математическое ожидание случайного вектора (mx, my), дисперсии DX, DY каждой
компоненты, ковариацию KXY и коэффициент корреляции XY.
39
14.7. Дан закон распределения случайного вектора (X,Y):
yj
xi
0
1
-1
0,3
0,12
0
p
0,05
1
0,35
0,03
Найти: р, Р (Х=0, Y=0), P(X Y), P(X 0, Y=1).
Выполнить задания б) – д) из предыдущей задачи для данного случайного вектора.
14.8. Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X – количество выпадений
нечетного числа очков, Y – количество выпадений единицы. Построить закон распределения
случайного вектора (X,Y). Найти Р(X Y). Выполнить задания б) – д) из задачи 3.8.1.
14.9. Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: Х – индикатор четного числа выпавших очков (Х=1, если выпало четное число, и Х=0 – в остальных случаях), Y –
индикатор числа очков, кратного трем (Y=1, если выпало число, кратное трем, и Y=0 в противном случае). Построить закон распределения случайного вектора (X,Y) и безусловные
законы распределения компонент. Зависимы или нет случайные величины Х и Y? Вычислить
mX, mY, DX, DY, XY.
14.10. Производится два выстрела по мишени в неизменных условиях. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Случайные величины: Х – число промахов, Y –
индикатор попадания при первом выстреле (Y=1, если при первом выстреле было попадание
в мишень, и Y=0 – в остальных случаях). Построить закон распределения случайного вектора
(X,Y) и безусловные законы распределения компонент. Вычислить mX, mY, DX, DY, XY. Зависимы или нет случайные величины Х и Y?
Литература: [2,3,4,7,16,17,19,21,23,24,25]
Тема 15. Закон больших чисел и предельные теоремы
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
Теоремы Чебышева и Бернулли.
Центральная предельная теорема и её приложения.
40
15.1. среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течении часа, равно
300. Оценить вероятность того, что в течении следующего часа число вызовов на коммутатор
: а) превысит 400; б) будет не более 500.
15.2. Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 100 литров в день, а
среднее квадратичное отклонение этой случайной величины не превышает 200 литров. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет
2000 литров. Используя неравенство Чебышева.
15.3. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0,7. С помощью
неравенство Чебышева оценить вероятность того, что доля сдавших в срок все экзамены из
2000 студентов заключена в границах от 0,66 до 0,74.
Литература: [1,3,4,7,8,11,22,23,24,25]
Тема 16. Выборка и ее представление
Распределение частот.
16.1. В ходе проведения эксперимента получен следующий набор данных:
32, 26, 16, 44, 28, 40, 30, 31, 17, 30, 37, 32, 42, 31, 36, 49, 35, 21, 25, 40, 27, 25, 33, 34, 27, 43,
19, 23, 36, 48, 31, 35, 43, 32, 26, 35, 33, 45, 19, 22, 28, 49, 23, 32, 33, 27, 43, 35, 23, 44.
Составить интервальный вариационный ряд, выбрав число частичных интервалов, равное 7.
16.2. Наблюдается число выигрышей в мгновенной лотерее. В результате наблюдения получены следующие значения выигрышей(тыс.сом):
0, 1, 0, 0, 5, 0, 10, 0, 1, 0, 0, 1, 5, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 5, 0, 0, 1, 1, 1, 5, 10, 0, 1, 1, 0, 5,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 1, 0.
Составить вариационный ряд случайной величины Х - выигрыша в мгновенной лотерее.
16.3. В ходе проведения эксперимента получен следующих набор данных: 32, 26, 16, 44, 28,
40, 30, 31, 17, 30, 37, 32, 42, 31, 36, 49, 35, 21, 25, 40, 27, 25, 33, 34, 27, 43, 19, 23, 36, 48, 31,
35, 43, 32, 26, 35, 33, 45, 19, 22, 28, 49, 23, 32, 33, 27, 43, 35, 23, 44. Составить интервалов вариационный ряд, выбрав длину интервалов равное 5.
Эмпирическая функция распределения.
16.4. Построить дискретный вариационный ряд и начертить полигон частот, график эмпирической функции распределения 60 абитуриентов по числу баллов, полученных ими на при41
емных экзаменах: 20, 19, 22, 24, 21, 18, 23, 17, 20, 16, 15, 23, 21, 24, 21, 18, 23, 21, 19, 20, 24,
21, 20, 18, 17, 22, 20, 16, 22, 18, 20, 20, 17, 21, 17, 19, 20, 20, 21, 18, 22, 23, 21, 25, 22, 20, 19,
21, 24, 23, 21, 19, 22, 21, 19, 20, 23, 22, 25, 21.
16.5. Найти эмпирическую функцию распределения по данным вариационным рядам:
1)
хi
1
3
7
9
13
mi
2
10
4
24
10
хi
-2
0
5
8
14
mi
3
17
28
22
10
2)
16.6. Найти эмпирическую функцию распределения по данным интервальным вариационным рядам:
1)
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
хi Х хi 1
0-2
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12
12-14
14-16
16-18
mi
6
4
2
18
29
11
10
17
3
2)
i
1
2
3
4
5
6
7
8
хi Х хi 1
11-14
14-17
17-20
20-23
23-26
26-29
29-32
32-35
mi
16
24
30
7
8
6
5
4
Полигон и гистограмма
16.7. Построить полигон относительных частот по данным вариационным рядам (n=110):
1)
хi
1
4
5
7
9
mi
10
25
45
20
10
2)
хi
2
3
6
7
10
12
mi
8
10
32
45
13
2
42
16.8. Построить гистограмму относительных частот по данным распределениям выборки
объема n=100:
1)
i
1
2
3
4
5
6
7
хi Х хi 1
3-5
5-7
7-9
9-11
11-13
13-15
15-17
mi
20
25
15
13
12
8
7
i
1
2
3
4
5
хi Х хi 1
-2-2
2-6
6-10
10-14
14-16
mi
5
25
40
12
18
2)
Литература: [1,3,4,7,8,11,22,23,24,25]
Тема 17. Статистическое оценивание
Точечные оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия.
17.1. Из генеральной совокупности
хi
1
3
7
12
ni
8
16
6
10
Найти выборочную среднюю.
17.2. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки:
1)
хi
3140
3150
3180
ni
12
6
12
хi
2430
2460
2500
ni
24
14
12
2)
17.3. Найти несмещенную оценку дисперсии случайной величины Х на основании данного
распределения выборки:
хi
1
5
6
8
ni
6
4
7
3
43
17.4. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:
хi
0,002
0,005
0,006
ni
9
6
5
Метод моментов.
17.5. Случайная величина Х задана функцией распределения
F ( x) 1 e x
( x 0)
Произведена выборка
хi
3
5
6
8
10
ni
2
3
5
10
10
Найти оценку параметра .
17.6. При условии равномерного распределения случайной величины Х
1
, если х (a, b)
f ( x) b a
0,
если х (a, b)
Произведена выборка
хi
2
3
4
5
6
ni
4
6
5
12
8
Найти оценку параметров а и b.
17.7. Случайная величина подчиняется нормальному закону распределения
f ( x)
1
2
e
( x a )2
2 2
Известно, что Dx ,
a Mx
Произведена выборка
хi
3
5
7
9
11
13
15
ni
6
9
16
25
20
16
8
Найти оценку параметра а и несмещенную оценку параметра .
44
Интервальные оценки.
17.8. Найти доверительный интервал с надежностью 0,8 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины Х со средним квадратичным отклонением х 5, выборочной средней хв 20 и объемом выборки n=25.
17.9. По данным выборки объем n=20 найдено несмещенное значение выборочного среднего
квадратичного отклонения s=2 нормально распределенной случайной величины Х. Найти с
надежностью 0,95 доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения
случайной величины.
17.10.Случайная величина Х распределена по нормальному закону. статистическое распределение выборки представлено в таблице:
хi
1
3
5
7
9
ni
2
5
4
6
3
Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для оценки математического ожидания и
с надежностью 0,99 – для оценки среднего квадратичного отклонения.
Литература: [1,3,4,7,8,11,22,23,24,25]
Тема 18. Проверка статистических гипотез
Основные понятия.
Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием.
18.1. Средний диаметр подшипников должен составлять 35мм. Однако для выборки из 82
подшипников он составляет 35,3мм при «исправленном» среднем квадратичном отклонении
0,1мм. При 5%-м уровне значимости проверить гипотезу о том, что станок, на котором изготавливают подшипники, не требуют подналадки.
18.2. Среднесуточная продажа хлеба в течение многих лет для данного магазина составляет
6т при среднем квадратичном отклонении 0,05т. Сегодня магазином было продано 7т хлеба.
Можно ли при 5%-м уровне значимости предполагать, что и завтра будет продано 7т хлеба?
18.3. По паспортным данным на автомобильный двигатель, расход топлива на 100км пробега
составляет 10л при среднем квадратичном отклонении 2л. В результате совершенствования
конструкции ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки проведены испытания 25 случайно отобранных автомобилей с модернизированным двигателем: средний рас45
ход топлива на 100км пробега составил 9,2л. Используя 5%-й уровне значимости, проверить
гипотезу, утверждающую, что модернизация повлияла на расход топлива.
Сравнение двух дисперсий.
18.4. На двух станках производят одну и ту же продукцию, контролируемую по наружному
диаметру изделия. Из продукции станка А было проверено 16 изделий, а из продукции станка В – 25 изделий. Выборочные оценки математических ожиданий и дисперсий контролируемых
размеров
составили
х А 37,5 мм при s A2 1.21мм 2 и х В 36,8 мм при s В2 1,44 мм 2 . проверить гипотезу о
равенстве дисперсий, если 0,1 .
18.5. Фирма поставляет радары для измерения скорости движения автомобилей. Для запуски
большой партии проведены испытания приборов, изготовленных на заводе А и на заводе В.
Измерения проводили на одной и той же машине и на одной той же дороге. Определены величины отклонений между показаниями спидометра автомобиля и радара:
Завод А
Отклонение,
км/ч
Число
измерений
хi
-0,7
-0,3
-0,1
0,5
0,8
0,9
1,0
1,2
1,3
ni
5
4
2
6
3
1
3
1
1
Завод В
Отклонение,
км/ч
Число
измерений
уi
-0,6
-0,1
0,4
0,7
1,0
1,4
mi
4
5
3
2
2
1
Пологая показания спидометра автомобиля эталоном, проверить гипотезу об одинаковой
точности измерений, проводимых радарами завода А и завода В, при уровне значимости 0,1.
Сравнение двух математических ожиданий.
18.6. Расход сырья на единицу продукции составил:
по старой технологии
46
Расход
сырья
Число
изделий
хi
305
307
308
ni
1
4
4
уi
303
304
305
308
mi
2
6
4
1
по новой технологии
Расход
сырья
Число
изделий
Предположив, что соответствующие случайные величины Х и У имеют нормальные распределения с математическими ожиданиями
и а у и одинаковыми дисперсиями, проверить:
а) при уровне значимость 0,1 гипотезу Н 0 : х2 у2 при альтернативной гипотезе
Н1 : х2 у2 ;
б) при уровне значимости 0,05 гипотезу
Н 0 : а х а у при альтернативной гипотезе
Н1 : а х а у .
18.7. производительность каждого из агрегатов А и В составила (в в кг вещества за час работы):
Номер
1
2
3
4
5
Агрегат А
14,1
13,1
14,7
13,7
14,0
Агрегат В
14,0
14,5
13,7
12,7
14,1
замера
Можно ли считать производительность агрегатов А и В одинаковой в предположении, что
обе выборки получены из нормально распределенных генеральных совокупностей, при
уровне значимости 0,1 .
Литература: [1,3,4,7,8,11,22,23,24,25]
РАЗДЕЛ 5. Линейное программирование
Тема 19. Математическая модель задачи математического программирования
47
Примеры составления математических моделей экономических задач. Приведение общей
задачи ЛП к канонической форме.
19.1.
Вид сырья
Норма расхода сырья на одно изделие, кг.
Общее количество
сырья, кг.
А
B
Ι
12
4
300
ΙΙ
4
4
120
ΙΙΙ
3
12
252
30
40
Прибыль от реализации одного изделия (ден. ед.).
Составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации
продукции будет максимальной при условии, что изделие B надо выпустить не менее, чем
изделий А.
19.2. Рацион для питания животных на ферме состоит из двух видов кормов Ι и ΙΙ. Один кг
корма Ι стоит 80 ден. ед. и содержит: 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один кг корма ΙΙ стоит 10 ден. ед. и содержит: 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов,
4 ед. нитратов. Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не
менее 6 ед., белков не менее 9 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не менее 16 ед.
19.3. Построить множества решений системы неравенств и найти их угловые точки, координаты угловых точек.
2 х1 5 х 2
8 х1 5 х 2
5 х 6 х
2
1
х1 0,
20,
40,
30,
х2 0
19.4. Привести задачу линейного программирования к стандартной форме:
F(x) = x1+x2+x3-2x4+3x5 max
48
х1 х 2 х3 4 х 4 2 х5 5,
3 х1 х 2 2 х 3 7 х 4 9 х 5 8,
2 х 2 х х 9 х 3 х 15,
2
3
4
5
1
x j 0,
j 1,2,3,4,5.
Литература: [1,3,4,7,8,11,22,23,24,25]
Тема 20. Графический метод решения ЗЛП
Графический метод решения ЗЛП с двумя переменными.
20.1.FΧ 2x 1 x 2 min
20.2.FΧ x1 3x 2 min
x x 12,
2
1
2x 1 x 2 12,
2x 1 x 2 0,
2x 1 x 2 4,
x 0.
2
x1 x 2 6,
2x 1 x 2 6,
x1 3x 2 3,
x 2x 2,
1
2
20. 3.FΧ 4x1 3x 2 max
20.4.FΧ x1 4x 2 min
x1 x 2 5,
5x1 2x 2 20,
8x1 3x 2 0,
5x 6x 0,
1
2
20.5.FΧ x1 2x 2 max
x 6,
2
3x1 x 2 12,
x1 x 2 0,
x1 x 2 0,
x 2x 12.
2
1
20.6.FΧ 3x1 3x 2 max
2x1 x 2 4,
x1 x 2 0,
x1 2x 2 2,
x x 2,
1
2
20.7.FΧ 3x 1 5x 2 min
x1 x 2 0,
3x 1 x 2 3,
5x 1 4x 2 20,
x x 0,
1
2
2x1 3x 2 24,
8x1 3x 2 24,
2x1 3x 2 12,
4x 3x 12,
1
2
20. 8.FΧ 2x 1 5x 2 min
2x1 x 2 0,
2x1 x 2 16,
2x1 5x 2 3,
x 2x 2,
1
2
Графический метод решения ЗЛП с n переменными.
49
20 .9.F ( ) 6 x1 3 x3 x4 3 x5 тax
20 .10 .F ( ) 3 x1 8 x2 2 x3 2 x4 4 x5 тax
x1 4 x2 x3 x4 x5 22 ,
6 x1 3 x2 x3 x4 6,
2 x1 2 x2 x3 x5 17 ,
x 0, j 1,2,3,4,5
j
4 x1 4 x2 x3 x4 16 ,
2 x1 4 x2 x4 x5 4,
5 x1 x2 x3 x4 x5 34 ,
x 0, j 1,2,3,4,5
j
Литература: [1,3,4,7,8,11,22,23,24,25]
Тема 21. Симплексный метод решения ЗЛП
Опорное решение задачи ЛП.
21.1.F ( ) x1 x 2 2 x 3 4 x 4 тax
21.2 ..F ( ) 2 x1 2 x 2 3 x 3 2 x 4 тin
x 3 x 4 x 7 x 15,
2
3
4
1
2 x1 x 2 3 x3 4 x 4 10,
x j 0, j 1,2,3,4
5 x 3 x 2 x x 14,
2
3
4
1
6 x1 4 x 2 3 x 3 x 4 18,
x j 0, j 1,2,3,4
21.3..F ( ) x1 5 x 2 x3 3 x 4 òax
21.4.F ( ) 11x1 4 x 2 2 x3 5 x 4 2 x5 òin
3 x 5 x 2 x x 14,
2
3
4
1
4
x
10
x
x
3
x
1
2
3
4 22,
x j 0, j 1,2,3,4
x1 7 x 2 2 x3 2 x 4 x5 5,
2 x1 2 x 2 x3 x5 18,
2 x1 4 x 2 x3 x 4 8,
x 0, j 1,2,3,4,5
j
21.5.F ( ) 3 x1 6 x2 4 x3 2 x4 òin
21.6.F ( ) 2 x1 6 x2 2 x4 òax
x 2 x x 2,
3
4
2
2 x1 x2 4 x3 x4 8,
x j 0, j 1,2,3,4,5
3 x 3 x 4 x 2 x 6,
2
3
4
1
x1 2 x2 x3 x4 1,
x j 0, j 1,2,3,4,5
Алгоритм симплексного метода.
21.7.F Χ 3x1 4 x 2 x max,
3
x1 2 x 2 x3 10,
2x1 x 2 2 x3 6,
3x1 x 2 2 x3 12,
x j 0, j 1,2,3
21.8. F Χ 2 x1 3x 2 x max,
3
x1 3x 2 5 x3 15,
x1 x 2 x3 7,
2x1 x 2 4 x3 12,
x j 0, j 1,2,3
50
21.9.F Χ 6 x1 12 x 2 3 x max
3
- 2x1 3x 2 x3 12,
x1 2 x 2 2 x3 15,
2x1 x 2 3 x3 10,
x j 0, j 1,2,3
21.10.F Χ x 1 x 2 x max
3
21.11.F Χ x1 2 x 2 x max
3
x 1 x 2 x 3 7,
2x 1 x 2 3 x 3 9,
3x 1 x 2 4 x 3 12,
x j 0, j 1,2,3
- 2x 1 x 2 x 3 2,
x 1 x 2 3 x 3 3,
x 1 3x 2 x 3 1,
x j 0, j 1,2,3
21.12.F Χ 2 x 1 3x 2 2 x max
3
- 3x 1 x 2 x 3 1,
- x 1 2 x 2 2 x 3 7,
x 1 3x 2 x 3 1,
x j 0, j 1,2,3
Метод искусственного базиса.
21.13. F(X)=-2x1+x2+8x3-2x4 min
5 x1 x2 7 x3 2 x4 6
3x1 x2 4 x3 x4 2
X j 0, j=1,2,3,4.
21.14. F(X)=x1+2x2+3x3+6x4 min
2 x2 3x3 7 x4 26
x1 x2 2 x3 5 x4 12
X j 0, j=1,2,3,4.
21.15.F(X)= x1+x2-4x3 min
x1 3x2 2 x3 3
x1 2 x2 x3 5
x x 3x 7
3
1 2
X j 0, j=1,2,3.
21.16. F(X)= 2x1 -3x2+5x3 min
x1 2 x2 x3 1
x1 x2 2 x3 5
x x x 3
3
1 2
X j 0, j=1,2,3.
Литература: [1,3,4,7,8,11,22,23,24,25]
Тема 22. Теория двойственности
Составление математических моделей двойственных задач.
Первая теорема двойственности. Вторая теорема двойственности. Двойственный
симплексный метод.
51
22.1. F(X)=x1+x2+2x3 min
x1 x2 x3 1
2 x1 3x2 1
3x 4 x 2 x 1
1
2
3
X j 0, j=1,2,3.
22.2. F(X)=2x1+6x2+12x3 min
x1 x2 x3 1
2 x1 2 x2 x3 0
x 3x 3x 2
2
3
1
X j 0, j=1,2,3.
22.3. F(X)= 4х1+6 x2+2x3 min
2 x2 2 x3 3
x1 x2 x3 2
x 2x 2x 2
2
3
1
X j 0, j=1,2,3.
22.4. F(X)=x1+x2+3x3 min
2 x1 x2 2 x3 4
x1 x2 x3 3
x 2x 1
3
2
X j 0, j=1,2,3.
22.5. F(X)= 2x1+6 x2+x3+x4 max
4 x1 5 x2 2 x3 x4 2
5 x1 4 x2 x3 x4 1
X j 0, j=1,2,3,4.
22.6. F(X)=x1+2x2+4x3+x4 min
x1 2 x2 x3 x4 2
x1 x2 2 x3 x4 8
X j 0, j=1,2,3,4.
Литература: [1,3,4,7,8,11,22,23,24,25]
52
Тема 23. Транспортная задача ЛП (ТЗ)
Математическая модель ТЗ. Опорное решение ТЗ.
23.1.
bj 11
7
8
4
аi
9
2
5
8
1
16
8
3
9
2
5
7
4
6
3
200
200
300
23.2.
bj 100
аi
100
1
3
4
1
200
5
2
2
7
400
4
4
3
6
200
7
2
5
3
200
300
100
23.3.
bj 300
аi
300
3
4
3
1
200
2
3
5
6
100
1
2
3
3
200
4
5
7
9
10
5
8
7
23.4.
bj 10
аi
7
4
6
8
3
2
13
5
3
4
6
4
20
3
2
5
7
5
53
Метод потенциалов.
23.5. a1 = 200, a2 = 150, a3 = 150,
b1 = 90, b2 = 100, b3 = 70, b4 = 130, b5 = 110,
23.6. a1 = 300, a2 = 280, a3 = 220,
b1 = 180, b2 = 140, b3 = 190, b4 = 120, b5 = 170,
23.7. a1 = 250, a2 = 200, a3 = 150,
b1 = 180, b2 = 120, b3 = 90, b4 = 105, b5 = 105,
23.8. a1 = 400, a2 = 250, a3 = 350,
b1 = 200, b2 = 170, b3 = 230, b4 = 225, b5 = 175,
Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность.
23.9. х24 500;
bj 500
х32 500
1000
500
1500
аi
500
1
3
1
2
1500
1
6
4
3
1000
2
5
3
4
1500
3
5
4
3
54
23.10. х44 200;
х32 100
bj 300
300
300
300
аi
100
7
2
3
1
200
2
4
4
7
300
3
4
5
5
400
4
3
3
2
23.11. х12 500;
х33 1000
bj 2000
1000
2000
1000
аi
1000
2
1
3
1
1500
4
2
4
5
2000
5
6
9
3
500
3
5
8
6
23.12. х31 50;
х14 50
bj 100
100
50
100
аi
100
3
4
5
6
50
1
2
3
4
100
2
6
7
9
50
4
5
2
8
ТЗ по критерии времени.
23.13
bj 5
10
20
15
аi
10
8
3
5
2
15
4
1
6
7
25
1
9
4
3
55
23.14
bj 200
200
200
200
аi
200
8
7
6
5
100
7
6
5
7
200
4
5
6
7
300
5
7
6
4
Литература: [1,3,4,7,8,11,22,23,24,25]
6.Темы контрольных работ
Контрольные задания для студентов очной формы обучения
(1 семестр)
1. Линейная алгебра (аудиторная работа)
2. Аналитическая геометрия (аудиторная работа)
(2 семестр)
1. Дифференциальное исчисление (аудиторная работа).
2. Интегральные исчисления. Дифференциальные уравнения (аудиторная работа).
(3 семестр)
1. Случайные события и случайные величины (аудиторная работа).
2. Математическая статистика(аудиторная работа).
(4 семестр)
1. Линейное программирование (аудиторная работа).
7. Варианты контрольных работ
Далее приведены варианты контрольной работы. Отметим, что номер варианта контрольной работы, выполняемой студентом, должен совпадать с последней цифрой номера
его зачетной книжки.
Вариант 0
1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A1, B1, C1,
D1. Найдите:
56
а) длину ребра A1B1;
б) косинус угла между векторами A1 B1 и A1C1 ;
в) уравнение ребра A1B1;
г) уравнение грани A1B1C1;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань A1B1C1;
е) координаты векторов e1 A1B1 , e2 A1C1 , e3 A1 D1 и докажите, что они образуют
линейно независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер A1D1 и B1C1, соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e1 , e2 , e3 ) ,
если A1(1, -1, 0), B1(2, 3, 1), C1(-1, 1, 1), D1(4, -3, 5).
2. Решите систему линейных уравнений:
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы:
2x y - z 2,
3x y - 2z 3,
x z 3.
3. Имеются 12 единиц товара в одинаковых упаковках. Известно, что в четырех из них
товар первого сорта. Случайным образом отбирают 3 единицы товара. Вычислить вероятность того, что среди них:
а) только упаковки с товаром первого сорта;
б) одна упаковка с товаром первого сорта.
4. В магазин поступила обувь от двух поставщиков. Количество обуви, поступившей от
первого поставщика, в 2 раза больше, чем от второго. Известно, что в среднем 20% обуви от
первого поставщика и 35% обуви от второго поставщика имеют различные дефекты отделки.
Из общей массы наугад отбирают одну упаковку с обувью. Оказалось, что она не имеет дефекта отделки. Какова вероятность, что её изготовил первый поставщик?
5. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:
57
X
-2
-1
p
0, 01
p
0
1
2
3
4
0, 23
0, 28
0, 19
0, 11
0, 06
Найдите:
а) неизвестную вероятность p;
б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратичное отклонение
данной случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = x - 1.
6. Известно, что в среднем 64% студентов потока выполняют контрольные работы в
срок. Какова вероятность того, что из 100 студентов потока задержат представление контрольных работ:
а) 30 студентов; б) от 30 до 40 студентов?
7. Решить задачу графическим методом
F(X) = 3x 1 +5x 2 min
x1 x2 0
3x x 3
1 2
5 x1 4 x2 20
x1 x2 0
8. Решить транспортную задачу методом потенциалов
bj 10
15
15
10 10
аi
5
3
4
5
4
6
10
1
5
7
1
5
15
4
6
6
3
4
10
2
7
4
7
2
Вариант 1
1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A1, B1, C1, D1.
Найдите:
а) длину ребра A1B1;
58
б) косинус угла между векторами A1B1 и
A1C1 ;
в) уравнение ребра A1B1;
г) уравнение грани A1B1C1;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань A1B1C1;
е) координаты векторов e1 A1 B1 , e2 A1C1 , e3 A1 D1 и докажите, что они образуют линейно не зависимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер A1D1 и B1C1, соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e1 , e2 , e3 ) ,
если A1(2, 0, -3), B1(1, 1, 1), C1(4, 6, 6), D1(-1, 2, 3).
2. Решите систему линейных уравнений
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы
y 3z - 1,
2x 3y 5z 3,
3x 5y 7z 6.
3. В коробке 25 одинаковых по форме шоколадных конфет. Известно, что 15 штук из
них сорта «Мишка на Севере», а остальные — сорта «Красная Шапочка». Случайным образом выбирают 3 конфеты. Вычислите вероятность того, что среди них:
а) все конфеты сорта «Мишка на севере»;
б) только одна конфета этого сорта.
4. В магазин поступил одноименный товар, изготовленный двумя предприятиями. С
первого предприятия поступило 150 единиц, из них 30 единиц первого сорта, а со второго
предприятия 200 единиц, из них 50 первого сорта. Из общей массы товара наугад извлекается одна единица. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом предприятии?
5. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:
X
-2
-1
p
0, 2
0, 31
0
1
2
3
4
0, 24
p
0, 07
0, 04
0, 01
59
Найдите:
а) неизвестную вероятность p;
б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратичное отклонение данной
случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной
зависимостью y = 2x + 3.
Известно, что в среднем 14% стаканов, изготовляемых на данном предприятии, имеет
6.
дефект. Какова вероятность того, что из 300 стаканов данной партии:
а) имеют дефект 45;
б) не имеют дефекта от 230 до 250.
7. Решить задачу графическим методом
F(X) = 3x 1 +5x 2 min
x1 x2 0
3x x 3
1 2
5 x1 4 x2 20
x1 x2 0
8. Решить транспортную задачу методом потенциалов
bj 10
15
15
10 10
аi
5
3
4
5
4
6
10
1
5
7
1
5
15
4
6
6
3
4
10
2
7
4
7
2
Вариант 2
1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A1, B1, C1,
D1. Найдите:
а) длину ребра A1B1;
б) косинус угла между векторами A1 B1и A1C1 ;
60
в) уравнение ребра A1B1;
г) уравнение грани A1B1C1;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань A1B1C1;
е) координаты векторов e1 A1 B1 , e2 A1C1 , e3 A1 D1 и докажите, что они образуют линейно не зависимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер A1D1 и B1C1, соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e1 , e2 , e3 ) ,
если A1(-3, 1, 1), B1(0, -4, -1), C1(5, 1, 3), D1(4, 6, -2).
2. Решите систему линейных уравнений
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы
2x y 3z 3,
3x - 5y z - 6,
4x - 7y z - 9.
3. В туристической группе 15 человек, среди которых только 5 человек хорошо говорят
по-английски. В Лондоне группу случайным образом расселили в два отеля (3 человека и 12
человек, соответственно). Вычислить вероятность того, что из членов группы в первом отеле:
а) все туристы хорошо говорят по-английски;
б) только один турист хорошо говорит по-английски.
4. Покупатель может приобрести нужный ему товар в двух магазинах. Вероятности обращения в каждый из двух магазинов зависят от их местоположения и соответственно равны
0,3 и 0,7. Вероятность того, что к приходу покупателя нужный ему товар не будет распродан,
равна 0,8 – для первого магазина и 0,4 – для второго. Какова вероятность того, что покупатель приобретет нужный ему товар?
5. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:
X
-2
-1
p
0, 04
0, 08
0
1
2
3
4
0, 32
0, 31
0, 15
0, 08
p
61
Найдите:
а) неизвестную вероятность p;
б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратичное отклонение
данной случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = x2 – 1.
6. Установлено, что предприятие бытового обслуживания выполняет в срок в среднем
60% заказов. Какова вероятность того, что из 150 заказов, принятых в течение некоторого
времени, будут выполнены в срок:
а) ровно 90 заказов;
б) от 93 до 107 заказов.
7.Решить задачу графическим методом
F(X) = 2x 1 +5x 2 min
2 x1 x2 0
2 x x 16
1 2
2 x1 5 x2 13
x1 2 x2 2
8. Решить транспортную задачу методом потенциалов
bj 30
90
60
90 30
30 1
3
4
3
1
60 9
5
2
4
8
90 3
4
7
4
3
аi
Вариант 3
1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A1, B1, C1,
D1. Найдите:
а) длину ребра A1B1;
62
б) косинус угла между векторами A1 B1 и A1C1 ;
в) уравнение ребра A1B1;
г) уравнение грани A1B1C1;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань A1B1C1;
е) координаты векторов e1 A1 B1 , e2 A1C1 , e3 A1 D1 и докажите, что они образуют линейно не зависимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер A1D1 и B1C1 соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e1 , e2 , e3 ) ,
если A1(1, 1, 4), B1(2, 1, 2), C1(1, -1, 2), D1(6, -3, 8).
2. Решите систему линейных уравнений
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы
3x 2 y z 4,
x y z 0,
x 2 y z 2.
3. В упаковке 12 одинаковых книг. Известно, что каждая третья книга имеет дефект обложки. Случайным образом выбирают 3 книги. Вычислите вероятность того, что среди них:
а) все книги имеют дефект обложки;
б) только одна книга имеет этот дефект.
4. Два контролёра производят оценку качества выпускаемых изделий. Вероятность того,
что очередное изделие попадет к первому контролеру, равна 0,55; ко второму контролеру –
0,45. Первый контролёр выявляет дефект с вероятностью 0,8, а второй – с вероятностью 0,9.
Вычислите вероятность того, что изделие с дефектом будет признано годным к эксплуатации.
5. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:
X
-2
-1
0
1
p
0,42
0,23
p
0,10
Найдите:
63
2
0,06
3
4
0,03
0,01
а) неизвестную вероятность p;
б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратичное отклонение
данной случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = -2x + 1.
6. Известно, что в данном технологическом процессе 10% изделий имеют дефект. Какова вероятность того, что в партии из 400 изделий:
а) не будут иметь дефекта 342 изделия;
б) будут иметь дефект от 30 до 52 изделий.
7.Решить задачу графическим методом
F(X) = x 1 +3x 2 max
2 x1 x2 2
x 2 x 7
2
1
x1 3x2 18
4 x 3x 12
2
1
x1 0..x2 0
8. Решить транспортную задачу методом потенциалов
9.
bj 150
200
200
450
аi
150
1
4
7
2
300
3
6
3
9
Вариант 4
1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A1, B1, C1,
D1. Найдите:
а) длину ребра A1B1;
б) косинус угла между векторами A1 B1и A1C1 ;
в) уравнение ребра A1B1;
г) уравнение грани A1B1C1;
64
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань A1B1C1;
е) координаты векторов e1 A1 B1 , e2 A1C1 , e3 A1 D1 и докажите, что они образуют
линейно не зависимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер A1D1 и B1C1, соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e1 , e2 , e3 ) , если
A1(2, 1, -4), B1(-3, -5, 6), C1(0, -3, -1), D1(-5, 2, -8).
2. Решите систему линейных уравнений:
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы
2 x 3 y z 1,
x y z 6,
x y z 0.
3. К экзамену приготовлено 24 одинаковых ручки. Известно, что треть из них имеет фиолетовый стержень, остальные – синий стержень. Случайным образом отбирают три ручки.
Вычислить вероятность того, что:
а) все ручки имеют фиолетовый стержень;
б) только одна ручка имеет фиолетовый стержень.
4. Пассажир может приобрести билет в одной из двух касс. Вероятность обращения в
первую кассу составляет 0,4, а во вторую – 0,6. Вероятность того, что к моменту приходя
пассажира нужные ему билеты будут распроданы, равна 0,35 для первой кассы и 0,7 для второй. Пассажир посетил одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что он приобрел его во второй кассе?
5. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:
X
-2
-1
0
1
p
p
0,29
0,12
Найдите:
а) неизвестную вероятность p;
65
0,15
2
0,21
3
4
0,16
0,04
б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = x.
6. По данным телеателье установлено, что в среднем 20% цветных телевизоров выходят
из строя в течение гарантийного срока. Какова вероятность того, что из 225 проданных цветных телевизоров будут работать исправно в течение гарантийного срока:
а) 164 телевизора;
б) от 172 до 184 телевизоров.
7.Решить задачу графическим методом
F(x) = -x1+4x2 max,
4 x1 x 2 4,
x x 5,
1
2
x1 2 x 2 2,
3x1 4 x 2 12,
x1 0, x 2 0
8. Решить транспортную задачу методом потенциалов
bj 300
150
300
150
аi
150
2
1
3
1
250
8
3
7
4
250
6
4
9
3
150
5
2
4
2
Вариант 5
1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A1, B1, C1,
D1. Найдите:
а) длину ребра A1B1;
б) косинус угла между векторами A1 B1и A1C1 ;
в) уравнение ребра A1B1;
г) уравнение грани A1B1C1;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань A1B1C1;
66
е) координаты векторов e1 A1B1 , e2 A1C1 , e3 A1 D1 и докажите, что они образуют линейно не зависимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер A1D1 и B1C1, соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e1, e2 , e3 ) ,
если A1(3, 0, 1), B1(1, 3, 0), C1(4, -1, 2), D1(-4, 3, 5).
2. Решите систему линейных уравнений:
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы.
x y z 2,
x y z 0,
x y 2 z 2.
3. В нижней палате парламента 40 депутатов, среди которых первая партия имеет 20
представителей, вторая – 12 представителей, третья – 5 представителей, а остальные считают
себя независимыми. Случайным образом выбирают трех депутатов. Вычислите вероятность
того, что среди них:
а) только представители первой партии,
б) только один депутат из первой партии.
4. Два специалиста ОТК проверяют качество выпускаемых изделий, причем каждое изделие с одинаковой вероятностью может быть проверено любым из них. Вероятность выявления дефекта первым специалистом равна 0,8, а вторым – 0,9. Из массы проверенных изделий наугад выбрано одно, оно оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что ошибку
допустил второй контролер?
5. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:
X
-2
-1
0
1
p
0,05
0,12
0,18
Найдите:
а) неизвестную вероятность p;
67
0,30
2
p
3
4
0,12
0,05
б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y =5x – 2.
6. При оценке качества продукции было установлено, что в среднем третья часть выпускаемой фабрикой обуви имеет различные дефекты отделки. Какова вероятность того, что в
партии из 200 пар, поступившей в магазин:
а) будут иметь дефекты отделки 60 пар;
б) не будут иметь дефектов отделки от 120 до 148 пар?
7.Решить задачу графическим методом
F(X) = x 1 +4x 2 max
4 x1 x2 4
x x 5
1 2
x1 2 x2 2
3x1 4 x2 12
8. Решить транспортную задачу методом потенциалов
bj 11
7
8
4
аi
9
2
5
8
1
16
8
3
9
2
5
7
4
6
3
Вариант 6
1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A1, B1, C1,
D1. Найдите:
а) длину ребра A1B1;
б) косинус угла между векторами A1 B1и A1C1 ;
в) уравнение ребра A1B1;
г) уравнение грани A1B1C1;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань A1B1C1;
е) координаты векторов e1 A1 B1 , e2 A1C1 , e3 A1 D1 и докажите, что они образуют линейно независимую систему;
68
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер A1D1 и B1C1, соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e1 , e2 , e3 ) ,
если A1(3, 0, -1), B1(-1, -2, -4), C1(-1, 2, 4), D1(7, -3, 1).
2. Решите систему линейных уравнений:
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы
x y z 6,
- x y - z 0,
x 2 y - 3z 1.
3. В ящике 18 одинаковых бутылок пива без этикеток. Известно, что треть из них «Жигулевское». Случайным образом выбирают 3 бутылки. Вычислите вероятность того, что среди них:
а) только пиво сорта «Жигулевское»;
б) ровно одна бутылка этого сорта.
4. В двух одинаковых коробках находятся карандаши «Конструктор». Известно, что
треть карандашей в первой коробке и ¼ во второй имеют твердость ТМ. Наугад выбирается
коробка, из нее наугад извлекается один карандаш. Он оказывается твердости ТМ. Какова
вероятность того, что он извлечен из первой коробки?
5. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:
X
-2
-1
p
0,16
0,25
0
1
0,25
0,16
2
0,10
3
p
4
0,03
Найдите:
а) неизвестную вероятность p;
б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
69
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = 4x - 1.
6. Известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,51, а девочки – 0,49. Какова
вероятность того, что 300 новорожденных окажется:
а) 150 мальчиков;
б) от 150 до 200 мальчиков?
7.Решить задачу графическим методом
F = x1 – 19x2 – 5x3 – 7x4 → min
5 x1 4 x2 x3 x4 1
6 x1 7 x2 x3 2 x4 10
x 0, x 0, x 0,
2
3
1
x4 0
8. Решить транспортную задачу методом потенциалов
a1 = 150, a2 = 200, a3 = 150,
b1 = 160, b2 = 70, b3 = 90, b4 = 80, b5 = 100,
Вариант 7
1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A1, B1, C1,
D1. Найдите:
а) длину ребра A1B1;
б) косинус угла между векторами A1 B1и A1C1 ;
в) уравнение ребра A1B1;
г) уравнение грани A1B1C1;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань A1B1C1;
е) координаты векторов e1 A1 B1 , e2 A1C1 , e3 A1 D1 и докажите, что они образуют линейно не зависимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер A1D1 и B1C1, соответственно;
70
з) разложение вектора MN по базису ( e1 , e2 , e3 ) ,
если A1(2, -2, 1), B1(1, 2, -1), C1(1, 0, 2), D1(2, 1, 0).
2. Решите систему линейных уравнений:
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы
x 2 y z 2,
2 x 3 y z 3,
x y 3.
3. В студенческой группе 20 девушек. Известно, что 5 из них не любят читать детективы. Случайным образом выбирают трех девушек и дарят им по детективу. Вычислите вероятность того, что:
а) все девушки оценят этот подарок;
б) только одна девушка оценит этот подарок.
4. Товаровед плодоовощной базы определяет сорт поступившей от постоянного поставщика партии яблок. Известно. что в среднем 40% выращенного поставщиком урожая составляют яблоки первого сорта. Вероятность того, что товаровед признает первосортную партию
первым сортом, равна 0,85. Кроме того, он может допустить ошибку, сочтя непервосортную
партию первосортной, с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что он неверно установит сорт партии яблок?
5. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:
X
-2
-1
p
,06
p
0
1
0,12
,24
2
3
4
,33
0,14
,03
Найдите:
а) неизвестную вероятность p;
б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратичное отклонение
данной случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
71
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = x2+2 .
6. Вероятность нормального расхода электроэнергии за день на предприятии бытового
обслуживания равна 0,7. Какова вероятность того, что из 90 дней предприятие нормально
расходует электроэнергию:
а) в течение 60 дней;
б) от 60 до 90 дней?
7.Решить задачу графическим методом
F = x1 – 2x2 + 3x4 → max
3x1 x2 x3 x4 10
2 x1 3x2 x3 2 x4 8
x 0, x 0, x 0, x 0
2
3
4
1
8. Решить транспортную задачу методом потенциалов
.a1 = 280, a2 = 300, a3 = 220,
b1 = 170, b2 = 120, b3 = 190, b4 = 140, b5 = 180,
Вариант 8
1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A1, B1, C1,
D1. Найдите:
а) длину ребра A1B1;
б) косинус угла между векторами A1 B1и A1C1 ;
в) уравнение ребра A1B1;
г) уравнение грани A1B1C1;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань A1B1C1;
е) координаты векторов e1 A1 B1 , e2 A1C1 , e3 A1 D1 и докажите, что они образуют линейно не зависимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер A1D1 и B1C1, соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e1 , e2 , e3 ) ,
72
если A1(1, -1, 1), B1(2, 1, -1), C1(-2, 0, 3), D1(2, -2, -4).
2. Решите систему линейных уравнений:
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы
3x z 1,
5 x 2 y 3 z 3,
7 x 3 y 5 z 6.
3. В коробке 30 одинаковых юбилейных монет. Известно, что 5 из них имеют нестандартный процент содержания золота. Случайным образом выбирают три монеты. Вычислите вероятность того, что:
а) все монеты имеют нестандартный процент содержания золота;
б) только одна монета имеет нестандартный процент содержания золота.
4. Магазин получил две равные по количеству партии одноименного товара. Известно,
что 25% первой партии и 40% второй партии составляет товар первого сорта. Какова вероятность того, что наугад выбранная единица товара будет не первого сорта?
5. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:
X
-2
p
0,02
-1
0,38
0
1
2
3
0,30
p
0,08
0,04
4
0,02
Найдите:
а) неизвестную вероятность p;
б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью у х2 3 .
73
6. Известно, что вероятность опоздания ежедневного поезда на станцию равна 0,2. Какова вероятность того, что в течение 200 дней поезд опоздает на станцию:
а) 50 раз;
б) от 100 до 150 раз?
7.Решить задачу графическим методом
F = 3x1 + 3x2 + 4x3 – 6x4 → max
3x1 x2 x3 x4 3
x1 x2 2 x3 2 x4 4
x 0, x 0, x 0, x 0
2
3
4
1
8. Решить транспортную задачу методом потенциалов
bj 30
90
60
90 30
аi
30
1
3
4
3
1
60
9
5
2
4
8
90
3
4
7
4
3
Вариант 9
1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A1, B1, C1,
D1. Найдите:
а) длину ребра A1B1;
б) косинус угла между векторами A1 B1и A1C1 ;
в) уравнение ребра A1B1;
г) уравнение грани A1B1C1;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань A1B1C1;
е) координаты векторов e1 A1 B1 , e2 A1C1 , e3 A1 D1 и докажите, что они образуют линейно не зависимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер A1D1 и B1C1, соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e1 , e2 , e3 ) ,
если A1(0, 1, -1), B1(-3, 0, 1), C1(1, 2, 0), D1(1, -1, 2).
74
2. Решите систему линейных уравнений:
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы
3 x 2 y z 3,
x 3 y - 5 z - 6,
x 4 y - 7z - 9.
3. На витрине 32 одинаковых булочки. Известно, что среди них четверть булочек с
изюмом, остальные с корицей. Случайным образом отбирают три булочки. Вычислите вероятность того, что:
а) все выбранные булочки с изюмом;
б) только одна булочка с изюмом.
4. Укупорка банок производится двумя автоматами с одинаковой производительностью.
Доля банок с дефектом укупорки для первого автомата составляет 1%, а для второго – 0,5%.
Какова вероятность того, что наугад взятая банка будет иметь дефект укупорки?
5. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:
p
-2X
-1
0,08
0,10
0
1
0,14
0,17
2
3
4
0,19
0,18
p
Найдите:
а) неизвестную вероятность p;
б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратичное отклонение
данной случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью у 2 х 4
6. Установлено, что третья часть покупателей при посещении модного магазина приобретает себе одежду. Какова вероятность того, что из 150 посетителей магазина:
а) ровно 50 человек приобретут товар;
75
б) от 100 до 120 человек приобретут товар?
7.Решить задачу графическим методом
1. F(x) = x1+3x2 max,
2 х1 х 2 2,
х 2 х 7,
1
2
х1 3 х 2 18,
4 х1 3 х 2 12,
х1 0, х 2 0
8. Решить транспортную задачу методом потенциалов
a1 = 250, a2 = 200, a3 = 150,
b1 = 180, b2 = 120, b3 = 90, b4 = 105, b5 = 105,
8. Методические указания по выполнению контрольных работ
Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии
ЗАДАЧА 1.
В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды А1 В1 С1
D1. Найдите:
а) длину ребра А1 В1;
б) косинус угла между векторами 11 и 1С1 ;
в) уравнение ребра А1 В1;
г) уравнение грани А1 В1 С1;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань А1 В1 С1;
е) координаты векторов е1 А1 В1 ,
е2 А1 С1 ,
е3 А1 D1 , и докажите, что они
образуют линейно независимую систему;
ж) координаты вектора , где и — середины ребер А1 D1 и В1 С1, соответственно;
з) разложение вектора по базису е1 , е2 , е3 , если А1(-2,2,2), В1(1,-3,0), С1(6,2,4),
D1(5,7,-1).
76
Решение:
а) Найдем координаты вектора 11 по формуле:
11 =
XВ 1 - XА 1 ; YВ 1 - YА 1 ; ZВ 1 - ZА 1
, где
(ХА 1 , YА 1 , ZА 1 ) – координаты точки А1,
(ХВ 1 , YВ 1 , ZВ 1 ) – координаты точки В1.
1 2;3 2;0 2 3;5;2.
11 =
Итак,
Тогда
11
=
32 5 2 38 .
2
2
Итак, длина отрезка 11 (или длина вектора 11 ) равна
38 . Это и есть искомая
длина ребра;
б) Координаты вектора 11 = 3;5;2 уже известны, осталось определить координаты вектора 1С1 : 1С1 = 6 2 ; 2 2; 4 2 8,0 ; 2.
Угол между векторами 11 и 1С1 вычислим по формуле cos =
, С ,
1 1
1 1
11 1С1
где скалярное произведение векторов 11 и 1С1 равно ( 11 , 1С1 )= 3 8 + (-5) 0
+ (-2) 2 =
=
cos =
24
+
20
38 68
0
=
-
4=20,
11 = 38 ,
1С1 =
82 02 22 68.
Итак,
10
;
646
в) Координаты точки А1(-2,2,2) обозначим соответственно Х0 = -2, У0 = 2, Z0=2, а координаты точки В1 (1,-3,0) через Х1=1, У1 = -3, Z1=0 и воспользуемся уравнением прямой в
пространстве, проходящей через две точки:
0 Y Y0
0
.
1 0 Y1 Y1 1 0
Следовательно, уравнение ребра А1В1 имеет вид
Х (2) Y 2 2
1 (2) 3 2 0 2
или
Х 2 Y 2 2
;
3
5
2
г) Обозначим координаты векторов 11 и 1С1 через Х1=3, У1= -5, 1= -2 и Х2=8, У2=
0, 2=2, соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой:
77
А1В1 А1С1 У1 2 У 2 1; 1 Х 2 2 Х 1; Х 1 У 2 Х 2 У1
(5) 2 0 (2); 2 8 2 3; 3 0 8 (5) 10,22,40
Так как данный вектор перпендикулярен грани А1 В1 С1, то можно воспользоваться
уравнением плоскости, проходящей через точку (Х0, У0, 0) перпендикулярно вектору
А; В; С, которое имеет вид:
А ( Х Х 0 ) В (У У 0 ) С ( 0 ) 0 .
Подставим координаты точки А1 (Х0=-2, У0=2, 0=2) и координаты перпендикулярного вектора А=-10, В=-22, С=40 в это уравнение:
– 10 ( Х + 2 ) - 22 (У - 2) + 40 ( - 2) = 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены – 10 х – 22 у + 40z + (- 20 + 44-80)=0. Итак, уравнение грани А1 В1 С1 имеет вид: -10х 22у + 40 z-56=0 или -5х - 11у + 20 z - 28=0;
д) Вектор А; В; Сявляется направляющим вектором высоты, опущенной из вершины
D1 на грань А1В1С1. Воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через
точку
х, у , z .
х 5, у 7, z 1
с заданным направляющим вектором:
–
координаты
точки
D1.
х х у у z z
, где
А
В
C
Отсюда
искомое
уравнение:
Х 5 У 7 1
Х 5 У 7 (1)
или
;
10
22
40
10
22
40
е) Координаты вектора А1 D1 = 5 (2); 7 2; 1 2= 7; 5; 3.
Обозначим е1 11 = 3; 5; 2, е2 1С1 = 8; 0; 2, е3 А1D1 7; 5; 3.
Чтобы доказать, что векторы е1 , е2 , е3 образуют линейно независимую систему векторов необходимо убедиться, что определитель третьего порядка, составленный из координат
этих векторов,
3 5 2
8
7
0 2 отличен от 0. Определитель третьего порядка равен
5 3
а11 а12 а13
а21 а22
а22 а23
а21 а23
а21 а22 а23 = а11
- а12
+ а13
=
а31 а32
а32 а33
а31 а33
а31 а32 а33
= а11 (а22 а33 а32 а23 ) а12 (а21 а33 а31 а23 ) а13 (а21 а32 а31 а22 ).
Вычислим определитель:
78
3 5 2
0 2
8 2
8 0
– (–5)
+(–2)
= 3 (0 (–3) – 5 2)+5 (8 (–3) –
0 2 =3
53
7 3
7 5
5 3
8
7
7 2) –
- 2 (8 5 – 7 0) =3 (–10)+5 (–24 – 14) – 2 40=–30 – 190 – 80 = –300.
Так как данный определитель отличен от 0, то вектора е1 , е2 , е3 образуют линейно независимую систему;
ж) Сначала найдем координаты точек М и N, соответственно. Координаты точки
М =
Х А 1 Х D 1 У А 1 У D 1 А 1 D 1
,
,
2
2
2
=
(2) 5 2 7 2 (1)
,
,
2
2
2
3 9 1
, ,
2 2 2
= ,
Х В 1 Х С 1 У В 1 УС 1 В 1 С1
,
,
N =
2
2
2
1 6 3 2 0 4 7 1
=
,
,
= , ,2 .
2
2
2
2 2
1
7 3 1 9
; 2 = 2; 5; 1,5;
Получаем вектор ;
2
2 2 2 2
з) Обозначим через х, у, zкоординаты вектора в базе е1 , е2 , е3 .
Тогда = 2; 5; 1,5 = х е1 у е2 z е3 .
Так как хе1 уе2 zе3 = х 3; 5; 2+ у 8; 0; 2+ z 7; 5; 3; х е1 у е2 z е3
= 3х; 5х; 2 х+ 8 у; 0; 2 у+ 7 z; 5z; 3z= 3х 8 у 7 z; 5х 5z; 2х 2 у 3z,
то приравнивая соответствующие координаты, получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
(1)
3х 8 у 7 z 2
5 х 5 z 5
2 х 2 у 3z 1,5.
Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера
Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а1 х в1 у с1 z h1
(2) а2 х в2 у с2 z h2
а х в у с z h
3
3
3
3
Тогда х =
х
,
у
у
,
z
z
, где:
79
а1 в1 с1
h1 в1 с1
а1 h1 c1
а1 в1 h1
а2 в2 с2 0, х h2 в2 с2 , у а2 h2 c2 , z а2 в2 h2 .
а3 в3 с3
h3 в3 с3
а3 h3 c3
а3 в3 h3
Для системы (1) определитель:
3 8
7
0 5
5 5
5 0
–8
+7
=
5 0 5 =3
2 3
2 3
2 2
2 2 3
= 3 ( –10) – 8 ( 15 + 10 ) + 7 ( –10) = –30 – 200 – 70 = –300;
2
х 5
1,5
8
7
0 5
5 5
5 0
–8
+7
=
0 5 = 2
1,5 3
2 3
1,5 2
2 3
2 0 10 8 15 7,5 7 10 20 60 70 150;
3
2
7
5 5
5
5
5 5
–2
+7
=
у 5 5 5 =3
1,5 3
2 3
2 1,5
2 1,5 3
=3 15 7,5 2 15 10 7 7,5 10 22,5 50 122,5 150;
3 8 2
0 5
5 5
5 0
–8
+2
=
z 5 0 5 =3
2 1,5
2 2
2 1,5
2 2 1,5
= 3 0 10 8 7,5 10 2 10 30 140 20 150.
По формулам Крамера х
х 150 1
у 150 1
150
1
,у
,
.
300 2
300 2
300
2
Итак, разложение вектора по базису ( е1 , е2 , е3 ) имеет вид:
= х е1 у е2 z е3
1
1
1
е1 е2 е3 .
2
2
2
ЗАДАЧА 2.
Решите систему линейных уравнений
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы
80
4 х 4 у 6 z 3
х z 1
3х 8 у 7 z 2.
Решение:
а) метод Крамера состоит в решении системы линейных уравнений по формулам Крамера х
х
у
z
,у
,z
,
где 0 (подробности смотрите в пункте з) задачи 1.
Так как х 60; у 60; z 60; 120 ; то х
1
1
1
;у ;z ;
2
2
2
б) решим данную систему уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том,
что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с
последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы:
Составим расширенную матрицу данной системы.
4 4 6 3
1 0 1 1 .
3 8
7 2
Поменяем местами первую и вторую строки матрицы чтобы в ее левом верхнем углу
была единица. Получим матрицу:
1 0 1 1
4 4 6 3 .
3 8
7 2
Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 4 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид:
1
1 4 (4)
3
0
0 4 4
8
1
1
1 0 1 1
(1) 4 6 1 4 3 = 0 4 10 7 .
7
7 2
2 3 8
Умножим каждый элемент первой строки матрицы на –3 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки. Получим:
1
1
0
1
1
0
4
10
7
=0
1 (3) 3 0 (3) 8 (1) (3) 7 1 (3) 2 0
81
0 1 1
4 10 7 .
8 10 1
Разделим каждый элемент второй строки матрицы на 4, чтобы второй элемент, стоящий на главной диагонали матрицы, стал равным 1:
1
0
0
1 1
10 7
.
1
4 4
8 10 1
0
Умножим каждый элемент второй строки матрицы на –8 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки:
1
1
0
1
1
10
7
0
1
0
4
4
0 (8) 0 1 (8) 8 10 (8) 10 7 (8) 1 0
4
4
1 1
10 7
.
1
4
4
0 30 15
0
х z 1
10
7
Данная матрица соответствует системе уравнений у z , решение которой
4
4
30 z 15
совпадает с решением исходной системы. Начиная с последнего уравнения, несложно найти
все неизвестные.
Действительно, так как z
Отсюда, у
15
1
10
7
10 1 7
и у z , то у .
30
2
4
4
4 2 4
7 10 7 5 2 1
1
1
. Из х z 1 имеем х z 1 1 .
2
2
4 8
4
4 2
1
1
1
Ответ: х , у , z .
2
2
2
h1
х
в) решение системы в этом случае равно у = A1 h2 , где :
h
z
3
А1 /
A = В1 /
С /
1
1
А2 /
А3 /
а1
В2 / В3 / – обратная матрица для матрицы A = а2
а
С2 / С3 /
3
в1
в2
в3
с1
с2 ,
с3
h1
h2 – столбец свободных членов, – определитель этой матрицы. (Общую запись системы
h3
трех линейных уравнений с тремя неизвестными смотрите в задаче 1, пункт з, система 2).
82
Составим матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных данной системы:
4
А= 1
3
Вычислим
ее
определитель
4 4 6
1 0 1
3
6
1 0
3 8
4 6
0 1 .
8 7
8
=
–4
7
0 1
8 7
= 4 0 8 4 7 3 6 8 0 32 40 48 120 .
Вычислим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А:
А1
в 2 с2
в3 с3
А2
А3
С1
а 2 с2
a3 в3
а1 в1
а3 в 3
а1 в1
а2 в 2
7
1 1
3
7
3
7
4 6
1 1
1
0
3
8
(7 (3)) 10;
28 (18) 28 18 10;
(4 (6)) 10;
8 0 8;
4 4
3 8
4 4
1 0
(28 (48)) (28 48) 76;
4 (1) 0 (6) 4;
4 6
а1 с1
а2 в 2
С2
С3
а3 с3
В3
8
0 1
а 2 с2
а 3 с3
4 6
4 6
а1 с1
0 (8) 8;
7
в 3 с3
в 2 с2
В2
8
в1 с1
в1 с1
В1
0 1
(32 12) 44;
0 4 4.
83
–4
1 1
3
7
–
Тогда A 1
8
120
10
=
120
8
120
8
х
120
10
у =
z 120
8
120
76
120
10
120
44
120
4 8
120 120
10 10
=
120 120
4 8
120 120
76
4
120 120
10
10
и
120 120
44
4
120 120
76
4
120 120 3
10
10
1 =
120 120
2
44
4
120 120
8 3 76 1 4 2 24 76 8
120
120
10 3 10 1 10 2 30 10 20
=
=
=
120
120
8 3 44 1 4 2 24 44 8
120
120
60 1
120 2
60 1
.
=
120 2
60 1
120 2
Отметим, что ответы, полученные при решениями разными методами, совпадают
между собой.
1
Ответ: х ,
2
1
у ,
2
1
z .
2
Элементы теории вероятности и математической статистики
ЗАДАЧА 3.
На складе университета хранится 28 одинаковых упаковок писчей бумаги. Известно,
что в четырех из них содержится бумага более низкого качества. Случайным образом выбирают три упаковки бумаги. Вычислить вероятность того, что среди них:
а) нет упаковок с бумагой более низкого качества,
б) есть одна упаковка такой бумаги.
Решение: Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний
равно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 28 упаковок, то есть:
3
С28
28!
1 2 3....... 25 26 27 28 26 27 28
13 9 28 3276 – числу сочета3!(28 3)! 1 2 3 (1 2 3 ....... 25)
1 2 3
ний из 28 элементов по 3:
а) подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию
(нет упаковок с бумагой более низкого качества). Это число исходов ровно числу способов,
которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 24 упаковок (столько упаковок содержит бумагу высшего сорта), то есть:
84
3
С 24
24!
24!
22 23 24
11 23 8 2024 –
3! (24 3)! 3 ! 21!
1 2 3
искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к
числу всех элементарных исходов:
3
С24
2024
Р1 3
0,62;
С28 3276
б) подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди трех
упаковок бумаги 1 упаковка содержит бумагу более низкого качества): две упаковки можно
2
выбрать из 24 упаковок: С24
24!
24!
23 24
276 способами, при этом одну
2! 24 2 ! 2! 22!
2
упаковку нужно выбирать из четырех: С 41
4!
4!
4 способами. Следовательно,
1!4 1! 1!3 !
2
С 41 276 4 1104.
число благоприятствующих исходов равно С 24
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному
2
С24
С41 1104
0,34 .
событию, к числу всех элементарных исходов р2
3
3276
С28
Ответ: а) р1 0,62;
б) р2 0,34.
ЗАДАЧА 4.
Магазин получает электролампочки с двух заводов, причем доля первого завода составляет 25 %. Известно, что доля брака на этих заводах равна соответственно 5 % и 10 % от
всей выпускаемой продукции. Продавец наугад берет одну лампочку. Какова вероятность
того, что она окажется бракованной?
Решение: Обозначим через А событие – «лампочка окажется бракованной». Возможны следующие гипотезы о происхождении этой лампочки: Н1 «лампочка поступила с первого завода», Н 2 «лампочка поступила со второго завода». Так как доля первого завода
составляет
р( Н1 )
25
%,
25%
0,25;
100%
то
р( Н 2 )
вероятности
этих
гипотез
равны
соответственно
75%
0,75.
100%
Условная вероятность того, что бракованная лампочка выпущена первым заводом –
р А / Н 1
5%
10%
0,05, вторым заводом – р А / Н 2
0,10. искомую вероятность то100%
100%
го, что продавец взял бракованную лампочку, находим по формуле полной вероятности:
р( А) Р( Н1 ) р( А / Н1 ) Р( Н2 ) р( А / Н2 ) 0,25 0,05 0,75 0,10 0,0125 0,075 0,0875.
85
Ответ: р( А) 0,0875.
ЗАДАЧА 5.
Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
Х
–4
–2
р
0,05
р
0
2
0,12
0,23
4
0,32
6
8
0,14
0,04
Найдите:
а) неизвестную вероятность р,
б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение
данной случайной величены;
в) функцию распределения F(x) и построить ее график ;
г) закон распределения случайной величины Y , если ее значения заданы функциональной зависимостью у 2 х 1.
Решение:
а) так как сумма всех вероятностей должна равняться единице, то получим уравнение:
0,05 р 0,12 0,23 0,32 0,14 0,04 1. Отсюда р 0,9 1 и
р 0,1 ;
б) математическое ожидание М это сумма всех произведений значений случайной величины на их вероятности:
М (4) 0,05 (2) 0,1 0 0,12 2 0,23 4 0,32 6 0,14 8 0,04
0,2 0,2 0 0,46 1,28 0,84 0,32 0,4 2,9 2,5.
7
Дисперсия D= ( xi ) 2 pi M 2
i 1
(4) 2 0,05 (2) 2 0,1 0 2 0,12 2 2 0,23 4 2 0,32 6 2 0,14 82 0,04
(2,5) 2 0,8 0,4 0 0,92 5,12 5,04 2,56 6,25 8,59.
Среднее квадратическое отклонение =
D 8,59 2,9.
в) Если х 4, то F ( x) P( X x) 0;
Если – 4 х 2, то F ( x) P( X x) 0,05;
Если – 2 х 0, то F ( x) P( X x) 0,05 0,1 0,15;
Если 0 х 4, то F ( x) 0,05 + 0,1 + 0,12 = 0,15 + 0,12 = 0,27
Если 2 х 4, то F ( x) 0,27 + 0,23 = 0,5;
86
Если 4 х 6, то F ( x) 0,5 + 0,32 = 0,82;
Если 6 х 8, то F ( x) 0,82 + 0,14=0,96;
Если х 8, то F(x)=Р( Х х )=0,96 + 0,04=1.
Итак, функция распределения может быть записана так:
0, при х 4;
0,05, при 4 x 2;
0,15, при 2 х 0;
0,27, при 0 х 2;
F (x) =
0,5, при 2 х 4;
0,82, при 4 х 6;
0,96, при 6 х 8;
1 , при х 8.
График этой функции приведен на рисунке:
г) Сначала найдем значения случайной величены Y.
По условиям задачи у 2 х 1,
Поэтому 2 4 1 8 1 7; 2 2 1 4 1 3; 2 0 1 0 1 1;
2 2 1 4 1 3; 2 4 1 8 1 7; 2 6 1 11; 2 8 1 15.
Составим таблицу вида.
Y
7
P
0,05
3
–1
3
7
11
15
0,1
0,12
0,23
0,32
0,14
0,04
Чтобы получить закон распределения случайной величины Y, необходимо:
87
1) рассмотреть ее значение в порядке возрастания;
2) сложить вероятности, соответствующие совпадающим значениям данной
таблицы.
Итак, закон распределения случайной величены Y :
Y
–1
3
7
11
15
Р
0,12
0,33
0,37
0,14
0,04
ЗАДАЧА 6.
Известно, что вероятность положительного исхода некоторого опыта равна 0,125.
Найдите вероятность того, что в серии из 128 опытов положительный исход произойдет:
а) в 20 опытах;
б) от 12 до 20 опытов.
Решение:
а) воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Вероятность того, что в n =128 испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р 0,125, равна к=20
раз
(безразлично,
рn (к )
в
какой
последовательности),
приближенно
равна
к nр
1
, где q 1 p 1 0.125 0.875.
nрq
nрq
Так как
к nр
nрq
nрq 128 0.125 0.875 14 3.74,
1
nрq
1
0,27
3,74
20 128 0.125 20 16
1,07, то Р12820 0,27 1,07 .
3,74
3,74
Значение функции ( х)
1
2
е
х
2
2
находим в таблице (см. например, 5 , стр. 461):
(1,07) 0,2251.
Итак, Р128 (20) 0,27 0,2251 0,06.
Отметим, что таблица функции (х ) приведена только для положительных значений.
Если же значение х получилось отрицательным, то знак минус можно просто опустить в силу четности функции (х ) ;
б) воспользуемся интегральной теоремой Лапласа. Вероятность того, что в n =128 независимых испытаниях событие наступит от К1=12 до К2 =20 раз, приближенно равна:
88
к nр
к1 nр .
Р(к1 , к 2 ) 2
nрq
nрq
к2 nр 20 128 0,125
4
1,07,
3,74
3,74
nрр
Так как
к1 nр
nрq
12 128 0,125 4
1,07, то
3,74
3,74
1
Р12,20 1,07 1,07 , где х
2
х
е
z2
2 dz.
0
Значение функции х также находим в специальной таблице (см. например 5 , стр.
389). В таблице 1,07 0,3577. Для отрицательных значений х используют эту же таблицу,
учитывая, что х является нечетной функцией, то есть х х . Итак,
1,07 1,07 0,3577 . Отсюда Р12,20 0,3577 0,3577 0,7154.
Ответ: Р128 20 0,06; Р12,20 0,7154.
Линейное программирование
Задача 7
Решить графическим методом
F ( X ) x1 x 2 5 x 3 3 x 4 max
x1 2 x 2 3 x 3 3 x 4 9
x1 x 2 x 3 2 x 4 5
x j 0,
j 1, 2, 3, 4
Алгоритм решение:
1) m=2, n=4, n-m=4-2=2, графический метод применим.
1 2 3 3 9 0 1 2 1 4 0 1 2 1 4
2) 1 1 1 2 5 1 1 1 2 5 1 0 1 1 1
1 1 5 3 0 0 0 4 1 5 0 0 4 1 5
F ( X ) 4 x 2 x 4 5 max
x 2 2 x3 x 4 4
x1 x 3 x 4 1
x j 0, j 1, 2, 3, 4
3) Целевая функция F ( X ) 4x 2 x 4 5 max
89
Система ограничений имеет вид
x 2 4 2 x3 x 4 0
4 2 x 3 x 4 0
x1 1 x 3 x 4 0
1 x 3 x 4 0
2 x 3 x 4 4
x 3 x 4 1
При условии не отрицательности x 3 0, x 4 0
Таким образом, получим задачу линейного программирования с двумя переменными:
F ( X ) 4 x 2 x 4 5 max
2 x 3 x 4 4
x 3 x 4 1
x 3 0, x 4 0
Построим график, для этого обозначим линии т.е.:
l1 : 2 x 3 x 4 4
l 2 : x3 x 4 1
l3 : x3 0
l4 : x4 0
ОДР: четырёхугольник OABC с угловыми точками O (0;0), A (0,1)
B: l1 l 2 , С(2;0)
4)
Задача 8
200
200
300
400
200
4
3
2
1
300
2
6
500
100
ai
bj
3
100
5
6
7
100
9
0
0
200
0
300
200
12
0
100
100
90
1.
a =1000, b
i
j
=1100 задача с неправильным балансом. Вводим четвертого фик-
тивного (потребителя) поставщика
a
4
=1100-1000=100 нулевыми стоимостями еди-
ницы груза.
2. Находим начальное опорное решение методом минимальной стоимости. Получим
первое опорное решение Х 1 =
0
0
0 200
200 100 0
0
0 100 300 100
0
0
0 100
m+n-1=7 – базисные пе
ременные.
F (Х)= 1 200 2 200 3 100 7 100 9 300 12 100 0 100 5500
3. Для проверки оптимальности опорного решения, необходимо найти потенциалы. По
признаку оптимальности в каждой занятой опорным решением клетке таблицы транспортной задачи. Сумма потенциалов равна стоимости. Записываем систему уравнений
для нахождения потенциалов и решаем её.
u + v =1
u + v =2
u + v =3
u + v =7
u + v =9
u + v =12
u + v =0
1
4
2
1
2
2
3
2
3
3
3
4
4
4
Система имеет 7 уравнений, 8 переменных, система неопределенная. Одному из потенциалов задаем значение произвольно. Пусть
u
2
=-4,
u
4
=-12,
u =0,
3
тогда
v
2
=7,
v =9, v
3
4
=12,
v =6, u =-11.
1
1
Значение потенциалов записываем в таблицу рядом с запасами или запросами соответствующих поставщиков и потребителей.
91
200
200
300
400
200
4
3
2
1
300
2
500
100
ai
bj
200
3
100
5
0
6
6
7
100
9
300
12
0
0
200
0
0
100
100
Система уравнений для нахождения потенциалов достаточно просто, любой неизвестный потенциал, соответствующий занятой клетке, равен находящейся в этой
клетке стоимости минус известный потенциал, соответствующий этой клетке.
4. Проверяем оптимальности решения Х 1 . Для этого вычисляем оценки
ij
для всех не-
заполненных клеток таблицы:
11
9 <0
13
4 <0
24
2 >0
12
7 <0
23
0
31
0
41
6 <0
42
5 <0
43
3 <0
Положительные оценки записываем в левые нижние углы соответствующих клеток таблицы.
Начальное опорное решение Х 1 не является оптимальным, так как имеется положительная
оценка
5.
24
>0.
Переходим к новому опорному решению. Для клетки (2;4) с положительной оценкой
строим цикл. Ставим в эту клетку знак «+», присоединим её к занятым клеткам и применяя
метод вычеркивания, находим цикл (2;4),(3;4),(3;2),(2;2). Цикл изображен в таблице. В угловых точках цикла расставляем поочередно знаки «+», «-», начиная с «+» в клетке (2;4). В
клетки, отмеченные знаком «+», добавляется груз , а из клеток, отмеченных знаком «-»,
убавляется такой же по величине груз. Определяем величину груза перераспределяемого
по циклу. Она равна значению наименьшей из перевозок в клетках цикла, отмеченных зна92
ком «-». =min {100,100}=100 осуществляем сдвиг по циклу на величину =100. Получаем
второе опорное решение:
200
200
300
400
200
4
3
2
1
300
2
6
500
100
bj
ai
3
0*
5
6
7
200
9
0
0
200
0
300
200
100
12
0
X2 =
100
0
0 200
0
0 100
200 0 *
0 200 300 0
0
0
0 100
r = n+m-1=7
F (X 2 )= 1 200 2 200 6 100 7 200 9 300 0 100 5300
u + v =1
u + v =2
u + v =3
u + v =6
u + v =7
u + v =9
u + v =0
1
4
2
1
2
2
2
4
3
2
3
3
4
4
u 5
u 0
u 4
u 6
v 2
v 3
v 5 v
1
2
3
4
1
2
3
4
6
Вычисляем оценки:
11
7 <0
13
2 <0
12
5 <0
23
0
31
0
34
2 <0
41
4 <0
42
3 <0
43
1 <0
93
Все оценки положительные. Следовательно решение X 2 оптимальное.
F min =5200,
0
0 200
0
X*= 200 0 *
0 100
0 200 300 0
9. Вопросы для подготовки к экзамену
(1-й семестр)
1.
Понятие вектора: координаты вектора, длина вектора. Действие над векторами.
2.
Скалярное произведение векторов.
3.
Угол между векторами.
4.
n- мерный вектор и его длина.
5.
Скалярное произведение n- мерных векторов.
6.
Понятие матрицы: квадратная, прямоугольная, диагональная, единичная, транспони-
рованная.
7.
Действие над матрицами: 1) умножение матрицы на число; 2) сложение, вычитание
матрицы; 3) умножение двух матриц; 4) возведение в степень.
8.
Определители II и III порядков. Миноры, алгебраические дополнения элементов
матрицы.
9.
Свойства определителя
10.
Теорема Лапласа
11.
Понятие обратной матрицы и ее формула.
12.
Ранг матрицы и способы определения ранга матрицы.
13.
Применение преобразования Жордана для вычисления определителя более высоко
порядка.
14.
Система линейных уравнений: определенная, неопределенная, совместная, несов-
местная система уравнений, однородная и неоднородная системы.
15.
Разрешенная система линейных уравнений.
16.
Жорданова преобразования в системе уравнений. Общее, частное решение системы.
17.
Метод Гаусса.
18.
Метод Кремера.
19.
Матричный метод решения системы.
20.
Базис системы векторов, ранг системы векторов.
21.
Координаты точек на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками.
Деление отрезка в данном отношении.
94
22.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом, разные случаи расположения прямой
на плоскости.
23.
Уравнение прямой проходящей через одну, через две точки.
24.
Общее уравнение прямой и его частные случаи. Уравнение прямой в отрезках.
25.
Расстояние от точки до прямой.
26.
Угол между прямыми.
27.
Условие параллельности, перпендикулярности прямых.
28.
Общее, каноническое уравнение окружности.
29.
Эллипс.
30.
Гипербола и ее асимптоты.
31.
Парабола
(2-й семестр)
1.
Множества. Действия над множествами.
2.
Понятие функции. Способы задания функции. Основные свойства функции.
3.
Понятие числовой последовательности и её предел. Предел функции. Основные свой-
ства предела функции.
4.
Замечательные пределы и их применение. Непрерывность функции. Точки разрыва I, I
I рода
5.
Определение производной. Основные правила дифференцирования. Таблица произ-
водных.
6.
Производные функции высших порядков. Использование понятия производной в эко-
номике.
7.
Первообразная функция и неопределенный интеграл и свойства.
8.
Таблица интегралов.
9.
Методы интегрирования
10.
Методы интегрирования рациональных дробей.
11.
Методы интегрирования тригонометрических и иррациональных функций.
12.
Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница.
13.
Методы интегрирования в определенном интеграле
14.
Приложение определенного интеграла.
15.
Несобственные интегралы. Вычисление несобственных интегралов.
16.
Использование определенного интеграла в экономике.
17.
Понятие дифференциального уравнения, решение, общее решение. Задача Коши и её
решение.
18.
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными I порядка.
95
19.
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
20.
Линейное д.у. первого порядка
21.
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
22.
Линейное однородное д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами
23.
Линейное неоднородное д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами.
24.
Определение частного решения линейного д.у. второго порядка с постоянными коэф-
фициентами.
25.
Дифференциальное уравнение в экономической динамике.
26.
Функция двух переменных. Частные производные функции двух переменных.
27.
Полный дифференциал функции двух переменных.
28.
Частные производные второго порядка.
29.
Производная по направлению. Градиент.
30.
Экстремум функции двух переменных.
31.
Условный экстремум функции двух переменных.
(3-й семестр)
1.
Понятие события. Классификация событий. Вероятность события и её свойства.
2.
Элементы комбинаторики сочетание, размещение и перестановка. Применение ком-
бинаторики при вычислении вероятности события.
3.
Статическая вероятность события.
4.
Действия над событиями. Теорема сложения вероятности , примеры.
5.
Зависимые, независимые события.
6.
Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей. Вероятность по-
явления хотя бы одного события.
7.
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
8.
Формула Бернулли. Формула Пуассона
9.
Локальная формула Лапласа.
10.
Интегральная формула Лапласа. Следствия интегральной теоремы Лапласа
11.
Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной с.в., полигон распре-
деления д.с.в.
12.
Математические действия над д.с.в.
13.
Числовые характеристики д.с.в. Математическое ожидание. Свойства математическо-
го ожидания. Дисперсия д.с.в. и её свойства.
14.
Функция распределения случайной величины и её свойства.
15.
Непрерывные случайные величины. Следствие.
96
16.
Плотность вероятности и свойства.
17.
Математическое ожидание, дисперсия н.с.в.
18.
Основные законы распределения д.с.в. Биноминальный закон распределения. Мате-
матическое ожидание и дисперсия.
19.
Закон распределения Пуасона д.с.в.
20.
Гипергеометрическое распределение д.с.в. Показательный закон распределения н.с.в.
21.
Равномерный закон распределения н.с.в. Нормальный закон распределения н.с.в.
22.
Логарифмически-нормальное распределение н.с.в..
23.
Распределение некоторых случайных величин, представляющих функции нормальных
величин. Х2 распределение. Распределение Стьюдента. Распределение
24.
Математическая статистика. Вариационные ряды и их графическое изображение
25.
Средние величины вариационного ряда.
26.
Эмпирическая функция распределения.
27.
Точечные оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия
28.
Интервальные оценки. Проверка статических гипотез.
29.
Сравнение среднего значения с математическим ожиданием.
30.
Сравнение двух дисперсии.
(4-й семестр)
1.
Общая постановка задач исследования операций. Задача математического и линейного программирования.
2.
Математические модели простейших экономических задач.
3.
Каноническая форма задачи ЛП.
4.
Приведение общей задачи ЛП к канонической форме.
5.
Система m линейных уравнений с n переменными. Задачи с двумя переменными.
6.
Свойства задач ЛП.
7.
Графический метод решения задач ЛП.
8.
Нахождение максимума и минимума целевой функции.
9.
Симплексный метод решения задач ЛП.
10.
Геометрическая интерпретация симплексного метода.
11.
Нахождение начального опорного решения и переход к новому опорному решению.
12.
Отыскивание максимума и минимума линейной функции симплекс методом.
13.
Определение первоначального допустимого базисного решения.
14.
Алгоритм симплексного метода.
15.
Симплексные таблицы.
16.
Понятие об М-методе (метод искусственного базиса).
97
17.
Особенности алгоритма метода искусственного базиса.
18.
Экономическая интерпретация задачи, двойственные задачи, об использовании ресурсов.
19.
Взаимно двойственные задачи ЛП и их свойства.
20.
Первая теорема двойственности.
21.
Вторая теорема двойственности.
22.
Алгоритм двойственного симплексного метода.
23.
Формулировка транспортной задачи. Экономико-математический модель транспортных задач (ТЗ).
24.
Необходимое и достаточное условия разрешимости ТЗ. Свойство системы ограничений ТЗ.
25.
Опорное решение ТЗ. Цикл. Метод вычеркивания.
26.
Метод потенциалов. Алгоритм решения ТЗ методом потенциалов.
27.
Особенности решения ТЗ с неправильным балансом.
28.
ТЗ с ограничениями на пропускную способность.
29.
ТЗ по критерии времени.
30.
Применение ТЗ для решения экономических задач.
10. Тесты
ВАРИАНТ-1
1. Определитель невырожденной квадратной матрицы умножается на 8, если…
А) все элементы матрицы делятся на 8
Б) к какой-либо строке прибавляется другая, умноженная на 8
В) какая-либо строка умножается на 8
7 11
2. Если A
, то матрица 5А имеет вид…
8 6
35 55
А)
40 30
35 55
Б)
8 6
35 55
В)
40 30
98
3. Какие из следующих матриц являются квадратными …
1 4
А)
5 30
3
3
4
1
Б)
5 30
4
1
В) 5 30
10 3
4. Решить уравнение
2х 1
х5
3
0
2
А) 11
Б) 0
В) 13
2 1
5. Вычислить определитель 5 3
3
2
1 4
3
А) 40
Б) 15
В) -10
6. Найти произведение матриц АВ если А 1 2
А) АВ 1
Б) АВ 10
В) АВ 2
1 2 3
7. Вычислить ранг матрицы А 2 4 5
7 8 9
99
3
5
3
0, В
4
1
А) r ( A) 3
Б) r ( A) 2
В) r ( A) 1
3 1
3 1
8. Даны матрицы А 2 1 и В
2 1
0 3
0
. Тогда матрица A B имеет размер1
ность….
А) 3 2
Б) 2 2
В) 3 3
9. Чему равен определитель третьего порядка, все элементы третьей строки которого
равны нулю?
А) Произведению элементов главной диагонали.
Б) Произведение элементов 1 строки + произведение элементов 2 строки.
В) Нулю.
1
10. Найти обратную матрицу к матрице В
1
2
3
3 2
А) В 1
1 1
3 2
Б) В 1
1 1
3 2
В) В 1
2 2
ВАРИАНТ-2
1. Что произойдет с определителем, если поменять местами какие-либо 2 столбца?
А) Определитель от этого не изменится.
Б) Абсолютная величина определителя останется прежней, изменится только его знак.
В) Абсолютная величина определителя уменьшится.
100
3 2
, то матрица 6В имеет вид…
2. Если В
1 1
18 12
А)
6
6
18 12
Б)
6
6
18 12
В)
1
1
3. Какие из следующих матриц являются квадратными …
1 4
А)
5 30
4
1
Б) 5 30
1
0
1
В) 5
10
1
0
3
3
0
4
30
1
1
0
0
0
1
0
4. Решить уравнение
3х 1
х2
4
0
3
А) 1
Б) 0
В) 3
3 2 1
5. Вычислить определитель 2 2
3
4
2
3
А) 12
Б) -12
101
В) 3
6. Найти произведение матриц ВА если А 1 2
5 10
3 6
А) ВА
4 8
1
2
3
5
3
0, В
4
1
15
0
9 0
12 0
3 0
Б) ВА 1
4 10
3 6
В) ВА
4 8
1
3
8
9
12
3
0
0
0
0
1 2 3
7. Вычислить ранг матрицы А 2 4 5
4 8 11
А) r ( A) 3
Б) r ( A) 2
В) r ( A) 1
3 1
8. Даны матрицы А
2 1
3 1
2
и В 2 1
0
1
2
мерность….
А) 3 2
102
0
1 . Тогда матрица A B имеет раз3
Б) 2 3
В) 3 3
9. Чему равен определитель третьего порядка, все элементы первого столбца которого
равны нулю?
А) Произведению элементов главной диагонали.
Б) Произведение элементов 1 строки + произведение элементов 2 строки.
В) Нулю.
1
10. Найти обратную матрицу к матрице В
3
А) В 1
Б) В
1
2
4
1 3 2
2 1 1
2 1
3
1
2
2
3 2
В) В 1
2
2
ВАРИАНТ-3
1. Как изменится определитель 3-го порядка, если все элементы какой-либо строки
умножить на какое-либо число?
А) Определитель останется прежним.
Б) Определитель станет равным нулю.
В) Определитель умножится на это число.
3 2 0
2. Если В 1 1 5 , то матрица -3В имеет вид…
2
1
5
103
9
А) 3
6
6
3
0
15
15
9 6
Б) 3 3
6 3
0
15
15
9
В) 3
2
0
15
15
6
6
6
1
3. Какие из следующих матриц являются квадратными …
1
3 4
А)
5 3 0
3
Б) 5
1
1
В) 5
10
4
1
0
32
3
0
30
0
4
4. Решить уравнение
х3
х2
2
0
4
А) 1
Б) 0
В) -8
1
5. Вычислить определитель 1
1
2
1
3
1
3
6
А) 1
Б) -12
В) 2
104
2 0
6. Найти произведение матриц АВ если А
1 2
4
3
, В 3
1
5
А) Нет решения
7
Б) АВ
3
В) АВ 7
3
1 2
7. Вычислить ранг матрицы А
2 4
А) r ( A) 0
Б) r ( A) 2
В) r ( A) 1
3 1
3 1
и В
8. Даны матрицы А
2 1
2 1
0
. Тогда матрица A B имеет размер1
ность….
А) 3 2
Б) 2 3
В) 3 3
9. Чему равен определитель третьего порядка, в котором какие-либо 2 строки совпадают?
А) Нулю.
Б) Произведению несовпадающих элементов.
В) Произведению элементов главной диагонали.
105
2
10. Найти обратную матрицу к матрице В 4
5
А) В
1
Б) В 1
3
5
7
1
2
3
1 2 1
2 1
0
3 1 2
2
2
1
В) В 1
1
1
3
2
2
3
1
3 2 0
2 2 1
1
1 1
ВАРИАНТ-4
1. Решением матричного уравнения АХ С является ….
А) Х СА1
Б) Х А 1С
В) Х
С
А
12 2 10
1
, то матрица В имеет вид…
2. Если В
2
4 6 20
24
А)
8
4
12
20
40
6 1
Б)
4 6
5
10
6 1
В)
2 3
5
10
106
3. Какие из следующих матриц являются квадратными …
1
3 4
А)
5 3 0
1
Б) 0
0
0
3 0
0 1
0
В) Нет квадратной матрицы
4. Решить уравнение
2х 1 3
0
х2 3
А) -1
Б) 2
В) 3
1
5. Вычислить определитель
1
1
4 5
9
16 25 81
А) 0
Б) 2
В) 20
2 4
3 5 1
, В 3 0
6. Найти произведение матриц АВ если А
2 2 0
5 1
А) Нет решения
14 11
Б) АВ
10 8
14 10
В) АВ
11 8
107
2
7. Вычислить ранг матрицы А 1
1
1
5
1
5
3
1
6
5
3
А) r ( A) 3
Б) r ( A) 2
В) r ( A) 1
3 1
3 1
8. Даны матрицы А 2 1 и В
2 1
0
3
0
. Тогда матрица A B имеет размер1
ность….
А) 3 2
Б) 2 3
В) 3 3
9. Чему равен определитель третьего порядка, если две строки пропорциональны
А) Нулю.
Б) Произведению несовпадающих элементов.
В) Произведению пропорциональных элементов.
1 0 0
10. Найти обратную матрицу к матрице В 0 1 0
0 0 1
А) В
Б) В
1
1
1 0
0 0
0 1
1 0
0 1
0 0
0
1
0
0
0
1
108
В) В
1
0
0
1
1 1
1 0
1 0
ВАРИАНТ-5
1. Решением матричного уравнения ХА С является ….
А) Х СА1
Б) Х А 1С
В) Х
С
А
12 2 10
2. Если А
4 6 20
0
1 3 0 1
, В
, то матрица А-В равен…
1
1 2 1 1
11 5 10 1
А)
4 21 2
5
1 10
4 19
11
Б)
5
11 5 10
В)
4 21
5
1
0
1
2
3. Какие из следующих матриц являются квадратными …
1
3 4
А)
5 3 0
1
Б) 0
0
0
1
0
0
0
1
В) Нет квадратной матрицы
4. Решить уравнение
х 1
7х
5
0
3
109
А) 4
Б) 3
В) -4
1
5. Вычислить определитель
1
5 7
25 49
1
8
64
А) 0
Б) 6
В) 5
2 4
3 5 1
, В 3 0
6. Найти произведение матриц ВА если А
2 2 0
5 1
А) Нет решения
14 11
Б) ВА
10 8
14 2 2
В) ВА 9 15 3
17
23 5
1 2 3 5
7. Вычислить ранг матрицы А
14 28 42 70
А) r ( A) 0
Б) r ( A) 2
В) r ( A) 1
110
3 1
3 1
2 1
8. Даны матрицы А
и
В
0
3
2 1
1 2
0
. Тогда матрица A B имеет размер1
ность….
А) 3 2
Б) 4 3
В) 3 4
9. Каких матриц можно складывать?
А) Матриц одинакового размера
Б) Если число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы.
В) Только квадратных матриц.
1 2 3
10. Найти обратную матрицу к матрице В 3 2 4
2 1 0
А) В 1
Б) В
1
В) В
1
4 3
8 6
7 5
4 8
3
6
2 5
2
5
4
7
5
4
1 0 4
2 1 7
4 2 6
«Теория вероятностей и математическая статистика»
1. Вероятность события P( A) это:
111
отношение P ( A)
m
, где m число исходов испытаний, благоприятствующих появn
лению события A , n -общее число исходов испытаний;
числовая функция, определенная на поле событий F и удовлетворяющая трем условиям:
P( A) 0 ; 2. P() 1 ; 3. P Ak P( Ak ).
k
k
числовая мера появления события A в n испытаниях;
отношение P ( A)
m
, где m число появлений событий А в n испытаниях;
n
число элементарных событий в некотором подмножестве A .
2. Назовите основные аксиомы вероятностей:
3.
P( A) 0 ; P Ak P( Ak ). ; P() 1 ;
k
k
P( A) 0 ; P Ak P( Ak ). ; P() 1 ;
k
k
P( A) 0 ; P() 1 ; P Ak P( Ak ).
k
k
P Ak P( Ak ). ; P( A) 0 ; P() 1 .
k
k
Суммой двух событий A и B называют:
событие A B , состоящее из элементарных событий, принадлежащих или событию
A или B ;
событие A B , состоящее из элементарных событий, принадлежащих или событию
A или B ;
событие A B , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию
Aи B;
событие A B , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию
Aи B;
событие A B , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию
Aи B;
4.
Произведением двух событий A и B называют:
112
событие A B , состоящее из элементарных событий, принадлежащих или событию
A или B ;
событие A B , состоящее из элементарных событий, принадлежащих или событию
A или B ;
событие A B , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию
Aи B;
событие A B , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию
Aи B;
событие A B , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию
Aи B;
5.Вероятность суммы двух совместных событий A1 , A2 равна:
P A1 A2 P( A1 ) P( A2 );
P A1 A2 P( A1 ) P( A2 ) P( A2 | A1 );
P A1 A2 P( A1 ) P( A2 ) P( A2 | A1 );
P A1 A2 P( A1 ) P( A2 ) P( A2 A1 );
P A1 A2 P( A1 ) P( A2 ) P( A2 A1 );
6. Вероятность произведения двух совместных событий рана:
P( AB) P( A) P(B);
P( AB) P( A) P( A| B);
P( AB) P( B) P( A| B);
P( AB) P( A) P( B| A);
P( AB) P( A) P( A B);
7. Формула полной вероятности:
m
P ( A) P ( Ai ) P ( Hi );
i 1
m
P( A) P( Ai ) P( Hi | Ai );
i 1
113
m
P( A) P( Hi ) P( A| Hi );
i 1
m
P( A) P( Ai ) P( A| Hi );
i 1
8. Законы распределения случайной дискретной величины представляются в виде:
функции распределения F (x) и совокупностью значений X ;
функции распределения F (x) и функции плотности распределения ( x ) ;
функции распределения F (x) и совокупностью значений pi ;
функции распределения F (x) и рядом распределения ( xi ; pi ) ;
функции распределения F (x) и
функции распределения F (x) и
P( X x ) ;
(x )dx .
9. Законы распределения непрерывной случайной величины представляются в виде:
функции распределения F (x) и совокупностью значений X ;
функции распределения F (x) и функции плотности распределения ( x ) ;
функции распределения F (x) и совокупностью значений pi ;
функции распределения F (x) и рядом распределения ( xi ; pi ) ;
функции распределения F (x) и
функции распределения F (x) и
P( X x ) ;
(x )dx .
10. Функция распределения случайной величины это:
Вероятность того, что P( X x);
Вероятность того, что P( X x);
Вероятность того, что P( X x);
Вероятность того, что P( X x);
Вероятность того, что P( X x) .
11. Функция плотности распределения случайной величины ( x ) это:
114
средняя плотность распределения вероятности на интервале x , равная
( x)
F ( x)
;
x
|
предельная средняя плотность вероятности на интервале x , равная ( x ) F ( x ) ;
предельная средняя плотность вероятности на интервале x , равная ( x ) dF ( x ) ;
предельная средняя плотность вероятности на интервале x , равная ( x )
средняя плотность распределения вероятности на интервале x , равная
( x)
F ( x)
;
dx
F ( x ) F ( x )
;
x
12. Основные числовые характеристики дискретных случайных величин это:
Среднее арифметическое, дисперсия, квантиль, моменты k -того порядка, мода и медиана;
Дисперсия, центральные и начальные моменты k -того порядка, среднее геометрическое, мода и медиана;
Математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, центральные и начальные моменты k -того порядка.
Математическое ожидание, среднее арифметическое, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, мода, медиана, центральные и начальные моменты k -того порядка.
Математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, центральные и начальные моменты k -того порядка, эксцесс, асимметрия.
13. Функция распределения F (x) и функция плотности распределения имеют ( x ) следующие свойства:
F (x ) 0; (x ) 1;
0 F (x ) 1; 0 (x ) 1;
0 F (x) 1; (x) 1;
0 F (x ) 1; (x ) 0;
0 F ( x) 1; ( x)dx 1.
0 F (x) ; (x) 1.
14. Дисперсия случайно величины равна:
115
2
D[ X ] M x M[ X ];
2
2
D[ X ] M x M[ X ];
2
D[ X ] M ( x M [ X ]) ;
2
D[ X ] M ( x M [ X ]) ;
15. Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно:
M[ X ] x p
M[ X ] x p / p
x
M[ X ] x (x )dx;
0
1
M [ X ] x ( x)dx;
0
M[ X ]
x ( x)dx;
n
M [ X ] xi pi .
i 1
16. Нормальный закон распределения имеет следующую функцию плотности распределения ( x ) :
(x )
2
1
x
e dx;
0
(x )
1 x
e ;
2
(x )
1
e
t
2
dt ;
( x m)
1
e
2
( x)
1
( x)
2
2
e
t
2
2
2
dt ;
116
11. Примерные экзаменационные билеты
I семестр
Министерство образования и науки Кыргызской Республики
Кыргызский экономический университет
Экзаменационный билет № ___1____
по дисциплине (блоки)_________Высшая математика___________
1. Понятие вектора. Координаты вектора, длина вектора. Действия над векторами.
2. Найти координаты центра и радиус окружности
x 2 4 y 2 6x 8 y 3 .
2 4 1
1 3 1
3. Найти А+В и А-В, если А= 3 0 2 ; В= 3 1 4
3 4 5
4 4 4
«_____» ___________ 20__ г.
Зав. кафедрой ______________
Министерство образования и науки Кыргызской Республики
Кыргызский экономический университет
Экзаменационный билет № __2_____
по дисциплине (блоки)_____________Высшая математика______________
1. Определители II и III порядков. Минор, алгебраическое дополнение элементов матрицы.
0 1 1
2. Найти собственные векторы матрицы A 1 0 1
1 1 0
x1 2x 2 x 3 8
3. Решить систему уравнения методом обратной матрицы: - 2x1 3x 2 - 3x 3 -5
3x - 4x 5x 10
2
3
1
«______» _________ 20___ г.
Зав. кафедрой ______________
117
Министерство образования и науки Кыргызской Республики
Кыргызский экономический университет
Экзаменационный билет № ___3____
по дисциплине (блоки)_________Высшая математика___________
1. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.
2.
Вычислить угол между векторами a и b если a = (1, 4, -2, 2), b = (3, 1, 1, 5)
1 3 1 3 0
X=
.
2 5 1 2 1
3. Решить матричное уравнение
«_____» ___________ 20___ г.
Зав. кафедрой ______________
II семестр
Министерство образования и науки Кыргызской Республики
Кыргызский экономический университет
Экзаменационный билет № 1
по математике
1. Первый и второй замечательные пределы.
2. Понятие функции. Способы задания функции. Область определения функции.
3. Найти интеграл
x( x
2
3
7)dx
x
«____» ______________ 20____г.
Зав. кафедрой ___________
Министерство образования и науки Кыргызской Республики
Кыргызский экономический университет
Экзаменационный билет № 3
по математике
1. Предел функции. Свойства предела функции.
2. Таблица интегралов.
3. Найти производную от данной функции
x2 1
y 2
x 1
Зав. кафедрой ___________
«____» ______________ 2011г.
118
Министерство образования и науки Кыргызской Республики
Кыргызский экономический университет
Экзаменационный билет № 2
по математике
1. Неопределенный интеграл.
2. Понятие функции. Предел функции.
3. Найти предел
5 2 x 4 x3
lim
x x 3x5 4 x3
«____» ______________ 20__г.
Зав. кафедрой ___________
III семестр
Министерство образования и науки Кыргызской Республики
Кыргызский экономический университет
Экзаменационный билет № 1
по математике
1. Понятие события. Классификация событий.
2. Нормальный закон распределения н.с.в.
3. В группе 25 студентов, из которых отлично учится 5 человек, хорошо- 12, удовлетворительно- 6 и слабо-2. Преподаватель вызывает студента. Какова вероятность того,
что вызванный студент или отличник или хорошист?
Зав. кафедрой ___________
«____» ______________ 20__г.
Министерство образования и науки Кыргызской Республики
Кыргызский экономический университет
Экзаменационный билет № 2
по математике
1. Вероятность события и её свойства.
2. Математическое ожидание, дисперсия н.с.в.
3. Ряд распределения величины X имеет вид:
0
1
2
3
xi
pi
0,2
0,4
0,3
Найдем M (X ) ,D(X).
«____» ______________ 20__г.
0,1
Зав. кафедрой ___________
119
Министерство образования и науки Кыргызской Республики
Кыргызский экономический университет
Экзаменационный билет № 4
по математике
1. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
2. Показательный закон распределения н.с.в.
3. Случайная величина X задана функцией распределения:
если x 2,
0,
F ( x) ( x 2) 2 , если
2 x 3,
1,
если
x 3.
Найти вероятность попадания величины X в интервал:
а) (1; 2,5)
б) (2,5; 3,5)
Зав. кафедрой ___________
«____» ______________ 20___г.
IV семестр
Министерство образования и науки Кыргызской Республики
Кыргызский экономический университет
Экзаменационный билет № ___1____
по дисциплине (блоки) Высшая математика
1. Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность.
2. Решить задачу линейного программирования с двумя переменными графическим методом:
3.
F(X) = 2x 1 +x 2 min
x1 x2 12
2 x x 12
1 2
2 x1 x2 0
2 x x 4
2
1
x2 0
«_____» _________________ 20___ г.
Зав. кафедрой __________
Министерство образования и науки Кыргызской Республики
Кыргызский экономический университет
Экзаменационный билет № ___2____
по дисциплине (блоки) Высшая математика
1. Математические модели простейших экономических задач. Каноническая форма задачи линейного программирования.
120
2. Решить задачу линейного программирования с n переменными графическим методом:
F(X) = 6x 1 +3x 3 -x 4 +3x 5 max
4 x1 4 x2 x3 x4 16
2 x 4 x x x 4
1
2
4
5
5 x1 x2 x3 x4 x5 34
x j 0.. j 1.2.3.4.5
«_____» _________________ 20__г.
Зав. кафедрой ______________
Министерство образования и науки Кыргызской Республики
Кыргызский экономический университет
Экзаменационный билет № ___5____
по дисциплине (блоки) Высшая математика
1. Нахождение начального опорного решения и переход к новому опорному решению.
2. Решить транспортную задачу методом потенциалов и методом северо-западного угла:
bj 11
7
8
4
аi
9
2
5
8
1
16
8
3
9
2
5
7
4
6
3
«_____» _________________ 20__ г.
Зав. кафедрой ______________
12. Глоссарий
Абсцисса лат. слово abscissa - “отрезанная”. Заимств. из франц. яз. в начале 19 в. Франц.
abscisse – из лат. Это одна из декартовых координат точки, обычно первая, обозначаемая
буквой x. В современном смысле Т. употреблен впервые немецким ученым Г. Лейбницем
(1675).
Аксиома греч. слово axios- ценный; axioma – “принятие положения”, “почет”, “уважение”, “авторитет”. В рус.яз. – с Петровских времен. Это основное положение, самоочевидный принцип. Впервые Т. встречается у Аристотеля. Использовался в книгах Евклида
“Начала”. Большую роль сыграли работы древнегреческого ученого Архимеда, который
сформулировал аксиомы, относящиеся к измерению величин. Вклад в аксиоматику внесли
Лобачевский, Паш, Пеано. Логически безупречный список аксиом геометрии был указан
немецким математиком Гильбертом на рубеже 19 и 20 вв.
121
Алгебра араб. слово “ал-джебр”. Заимств. В 18 в. из польск. яз. Это часть математики, развивающаяся в связи с задачей о решении алгебраических уравнений. Т. впервые появляется у
выдающегося среднеазиатского математика и астронома 11 века Мухам меда бен-Мусы алХорезми.
Анализ греч. слово analozis – “решение”, “разрешение”. Т. “аналитическая” восходит к
Виету, который отвергал слово “алгебра” как варварское, заменяя его словом “анализ”.
Аргумент функции лат. слово argumentum – “предмет”, “знак”. Это независимая переменная величина, по значениям которой определяют значения функции.
Арифметика греч. слово arithmos – “число”. Это наука, изучающая действия над числами.
Арифметика возникла в странах Др. Востока, Вавилона, Китае, Индии, Египте. Особый
вклад внесли: Анаксагор и Зенон, Евклид, Эратосфен, Диофант, Пифагор, Л. Пизанский и др.
Арктангенс, Арксинус приставка “арк”- лат. слово arcus – “лук”, “дуга”. Arcsin и arctg
появляются в 1772 году в работах венского математика Шеффера и известного французского
ученого Ж.Л. Лагранжа, хотя несколько ранее их уже рассматривал Д. Бернулли, но который
употреблял другую символику.
Асимптота греч. слово asymptotes – “несовпадающий”. Это прямая, к которой неограниченно приближаются точки некоторой кривой по мере того, как эти точки удаляются в бесконечность.
Ассоциативность лат. слово associatio – “соединение”. Сочетательный закон чисел. Т.
введен У.Гамильтоном (1843).
Бином лат. слова bi – “двойной”, nomen – “имя”. Это сумма или разность двух чисел или
алгебраических выражений, называемых членами бинома.
Биссектриса лат. слова bis – “дважды” и sectrix –“секущая”. Заимств. В 19 в. из франц.
яз. где bissectrice – восходит к лат. словосочетанию. Это прямая, проходящая через вершину
угла и делящая его пополам.
Вектор лат. слово vector – “несущий”, “носитель”. Это направленный отрезок прямой, у
которой один конец называют началом вектора, другой конец – концом вектора. Этот термин
ввел ирландский ученый У. Гамильтон (1845).
Геометрия греч. слова geо – “Земля” и metreo – “измеряю”. Др.-рус. заимств. из греч.яз.
Часть математики, изучающая пространственные отношения и формы. Т. появился в 5 веке
до н.э. в Египте, Вавилоне.
Гипербола греч. слово hyperballo – “прохожу через что-либо”. Заимств. в 18 в. из лат. яз.
Это незамкнутая кривая из двух неограниченно простирающихся ветвей. Т.ввел древнегреческий ученый Апполоний Пермский.
122
Гипотенуза греч.слово gyipotenusa – “стягивающая”. Заимств. из лат. яз. в 18 в., в котором hypotenusa – от греч. сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого
угла. Древнегреческий ученый Евклид (3 век до н.э.) вместо этого термина писал, “сторона,
которая стягивает прямой угол”.
Градус лат. слово gradus – “шаг”, “ступень”. Единица измерения плоского угла, равная
1/90 части прямого угла. Измерение углов в градусах появилось более 3 лет назад в Вавилоне. Обозначения, напоминающие современные, использовались древнегреческими ученым
Птолемеем.
График греч. слово graphikos- “начертанный”. Это график функции – кривая на плоскости, изображаемая зависимость функции от аргумента.
Дедукция лат. слово deductio-“выведение”. Это форма мышления, посредством которой
утверждение выводится чисто логически (по правилам логики) из некоторых данных утверждений – посылок.
Диагональ греч. слово dia – “через” и gonium – “угол”. Это отрезок прямой, соединяющий
две вершины многоугольника, не лежащие на одной стороне. Т. встречается у древнегреческого ученого Евклида (3 век до н.э.).
Диаметр греч. слово diametros – “поперечник”, “насквозь”, “измеряющий” и слово dia
– “между”, “сквозь”. Т. “деление” в русском языке впервые встречаются у Л.Ф.Магницкий.
Директриса лат. слово directrix – “направляющий”.
Дискретность лат. слово discretus – “разделенный”, “прерывистый”. Это прерывность;
противопоставляется непрерывности.
Дискриминант лат. слово discriminans- “различающий”, “разделяющий”. Это составленное из величин, определенных заданную функцию, выражение, обращением которого в
нуль характеризуется то или иное отклонение функции от нормы.
Дистрибутивность лат. слово distributivus – “распределительный”. Распределительный
закон, связывающий сложение и умножение чисел. Т. ввел франц. ученый Ф. Сервуа (1815
г.).
Дифференциал лат. слово differento- “разность”. Это одно из основных понятий математического анализа. Этот Т. встречается у немецкого ученого Г. Лейбница в 1675 г. (опубликовано в 1684г.).
Изоморфизм греч. слова isos – “равный” и morfe – “вид”, “форма”. Это понятие современной математики, уточняющее широко распространенное понятие аналогии, модели. Т.
был введен в середине 17 века.
123
Инвариантность лат. слова in - “отрицание” и varians - “изменяющийся”. Это неизменность какой-либо величины по отношению к преобразованиям координат. Т. введен англ.
ученым Дж. Сильвестром (1851).
Индукция лат. слово inductio – “наведение”. Один из методов доказательства математических утверждений. Этот метод впервые появляется у Паскаля.
Индекс лат. слово index – “указатель”. Заимств. в начале 18 в. из лат. яз. Числовой или
буквенный указатель, которым снабжаются математические выражения для того, чтобы отличать их друг от друга.
Интеграл лат. слово integro – “восстанавливать” или integer – “целый”. Заимств. во второй половине 18 в. из франц. яз. на базе лат. integralis – “целый”, “полный”. Одно из основных понятий математического анализа, возникшее в связи потребностью измерять площади,
объемы, отыскивать функции по их производным. Обычно эти концепции интеграла связывают с Ньютоном и Лейбницем. Впервые это слово употребил в печати швец. Ученый Я.
Бернулли (1690 г.). Знак ∫ - стилизованная буква S от лат. слова summa – “сумма”. Впервые
появился у Г. В. Лейбница.
Интервал лат. слово intervallum – “промежуток”, “расстояние”. Множество действительных чисел, удовлетворяющее неравенству a< x<b.
Иррациональное число лат. слово irrationalis – “неразумный”. Число, не являющееся рациональным. Т. ввел немецк. ученый М.Штифель (1544). Строгая теория иррациональных
чисел была построена во 2-ой половине 19 века.
Знаменатель Это число, показывающее размеры долей единицы, из которых составлена
дробь. Т. впервые встречается у византийского ученого Максима Плануда (конец 13 века).
Каноническое (разложение) греч. слово canon – “правило”, “норма”.
Касательная лат.слово tangens – “касающийся”. Семантическая калька конца 18 века.
Катет лат. слово katetos – “отвес”. Сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к
прямому углу. Т. впервые встречается в форме “катетус” в “Арифметике” Магницкого 1703
года, но уже во втором десятилетии 18 века получает распространение современная форма.
Квадрат лат.слово quadratus – “четырехугольный” (от guattuor - “четыре”). Прямоугольник, у которого все стороны равны, или, что равносильно, ромб, у которого все углы
равны.
Квинтиллион франц.слово quintillion. Число, изображаемое единицей с 18 нулями. Заимствовано в конце 19 века.
124
Коллинеарность лат.слово con, com – “вместе” и linea - “линия”. Расположенность на одной линии (прямой). Т. ввел америк. ученый Дж.Гиббс; впрочем, это понятие встречалось
ранее у У. Гамильтона (1843).
Комбинаторика лат.слово combinare – “соединять”. Раздел математики, в котором изучаются различные соединения и размещения, связанные с подсчетом комбинаций из элементов
данного конечного множества.
Компланарность лат.слова con, com – “вместе” и planum – “плоскость”. Расположение в
одной плоскости. Т. впервые встречается у Я.Бернулли; впрочем, это понятие встречалось
ранее у У.Гамильтона (1843).
Коммутативность позднелат. слово commutativus – “меняющийся”. Свойство сложения
и умножения чисел, выражаемое тождествами: a+b=b+a , ab=ba.
Константа лат.слово constans–“постоянный”, “неизменный”. Постоянная величина при
рассмотрении математических и др. процессов.
Конус греч. слово konos – “кегля”, “шишка”, “верхушка шлема”. Тело, ограниченное одной полостью конической поверхности и пересекающей эту полость плоскостью, перпендикулярной ее оси. Т. получил современный смысл у Аристарха, Евклида, Архимеда.
Конфигурация лат. слово со – “вместе” и figura - “вид”. Расположение фигур.
Координаты лат.слово со – “вместе” и ordinates - “определенный”. Числа, взятые в определенном порядке, определяющие положение точки на линии, плоскости, пространстве. Т.
ввел Г. Лейбниц (1692).
Косеканс лат. слово cosecans. Одна из тригонометрических функций.
Косинус лат.слово complementi sinus, complementus – “дополнение”, sinus – “впадина”.
Заимств. в конце 18 в. из языка ученой латыни. Одна из тригонометрических функций, обозначаемая cos. Ввел Л.Эйлер в 1748 году.
Котангенс лат. слово complementi tangens: complementus – “дополнение” или от лат.
слова cotangere – “соприкасаться”. Во второй половине 18 в. из языка научной латыни.
Одна из тригонометрических функций, обозначается ctg.
Коэффициент лат. слово со – “вместе” и efficiens – “производящий”. Множитель, обычно
выражаемый цифрами. Т. ввел Виет.
125
Куб греч. слово kubos – “игральная кость”. Заимств. в конце 18 в. из ученой латыни. Один
из правильных многогранников; имеет 6 квадратных граней, 12 ребер, 8 вершин. Название
введено пифагорейцами, затем встречается у Евклида (3 век до н.э.).
Лемма греч. слово lemma – “допущение”. Это вспомогательное предложение, употребляемое при доказательствах других утверждений. Т. введен древнегреческими геометрами; особенно часто встречается у Архимеда.
Линия лат. слово linea – “лен”, “нить”, “шнур”, “веревка”. Один из основных геометрических образов. Представлением о ней может служить нить или образ, описываемый движением точки в плоскости или пространстве.
Логарифм греч. слово logos – “отношение” и arithmos – “число”. Заимств. в 18 в. из
франц. яз., где logarithme - англ. logarithmus – образовано сложением греч. слов. Показатель
степени m, в которую необходимо возвести a, чтобы получить N. Т. предложил Дж. Непер.
Максимум лат.слово maximum – “наибольшее”. Заимств. во второй половине 19 в. из лат.
яз. Наибольшее значение функции на множестве определения функции.
Математика греч. слово matematike от греч.слова matema – “знание”, “наука”. Заимств. в начале 18 в. из лат. яз., где mathematica – греч. Наука о количественных отношениях
и пространственных формах действительного мира.
Матрица лат. слово matrix – “матка”, “источник”, “начало”. Это прямоугольная таблица, образованная из некоторого множества и состоящая из строк и столбцов. Впервые Т. появился у У. Гамильтона и ученых А. Кэли и Дж. Сильвестра в сер. 19 века. Современное обозначение – две вертик. черточки - ввел А. Кэли (1841).
Медиана (треуг-ка) лат. слово medianus – “средний”. Это отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой противоположной стороны.
Метр франц. слово metre – “палка для измерения” или греч. слово metron – “мера”. Заимств. в 18 в. из франц. яз., где metre – греч. Это основная единица длины. Она появилась на
свет 2 века назад. Метр был “рожден” Великой французской революцией в 1791 году.
Минимум лат.слово minimum – “наименьшее”.Наименьшее значение функции на множестве определения функции.
Минус лат.слово minus – “менее”. Это математический знак в виде горизонтальной черты,
употребляемый для обозначения отрицательных чисел и действия вычитания. Введен в науку
Видманом в 1489 году.
Минута лат. слово minutus – “мелкий”, “уменьшенный”. Заимств. в начале 18 в. из
франц. яз., где minute – лат. Это единица измерения плоских углов, равная 1/60 градуса.
126
Модуль лат. слово modulus – “мера”, “величина”. Это абсолютная величина действительного числа. Т. ввел Р.Котс, ученик И. Ньютона. Знак модуля введен в 19 веке
К.Вейерштрассом.
Мультипликативность лат. слово multiplicatio – “умножение”. Это свойство функции Эйлера.
Норма лат.слово norma – “правило”, “образец”. Обобщение понятия абсолютной величины числа. Знак “нормы” ввел немецк.ученый Э.Шмидт (1908).
Нуль лат слово nullum–“ничто”, “никакой”. Первоначально Т. обозначал отсутствие числа. Обозначение нуля появилось около середины первого тысячелетия до н.э.
Нумерация лат. слово numero – “считаю”. Это счисление или совокупность приемов
наименования и обозначения чисел.
Окружность греч. слово periferia – “периферия”, “окружность”. Это множество точек
плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки, лежащей в той же плоскости и называемой ее центром.
Ордината лат.слово ordinatum – “по порядку”. Одна из декартовых координат точки,
обычно вторая, обозначаемая буквой y. Как одна из декартовых координат точки, этот Т.
употреблен немецк. ученым Г.Лейбницем (1694 г.).
Ортогональность греч. слово ortogonios – “прямоугольный”. Обобщение понятие перпендикулярности. Встречается у древнегреческого ученого Евклида (3 век до н.э.).
Парабола греч. слово parabole – “приложение”. Это нецентральная линия второго порядка,
состоящая из одной бесконечной ветви, симметричной относительно оси. Т. ввел древнегреческий ученый Аполлоний Пергский, рассматривавший параболу как одно из конических
сечений.
Параллелепипед греч.слово parallelos- “параллельный” и epipedos – “поверхность”. Это
шестигранник, все грани которого – параллелограммы. Т. встречался у древнегреческих ученых Евклида и Герона.
Параллелограмм греч.слова parallelos – “параллельный” и gramma – “линия”, “черта”.
Это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Т. начал
употреблять Евклид.
Параллельность parallelos – “рядом идущий”. До Евклида Т. употреблялся в школе Пифагора.
Параметр греч.слово parametros – “отмеривающий”. Это вспомогательная переменная,
входящая в формулы и выражения.
127
Периметр греч.слово peri – “вокруг”, “около” и metreo – “измеряю”. Т. встречается у
древнегреческих ученых Архимеда (3 век до н.э.), Герона (1 век до н.э.), Паппа (3 век).
Перпендикуляр лат.слово perpendicularis – “отвесный”. Это прямая, пересекающая данную прямую (плоскость) под прямым углом. Т. был образован в средние века.
Пирамида греч.слово pyramis, кот. произошло от егип.слова permeous – “боковое ребро
сооружения” или от pyros –“пшеница”, или от pyra – “огонь”. Заимств. из ст.-сл. яз. Это
многогранник, одна из граней которого – плоский многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной, не лежащей в плоскости основания.
Площадь греч. слово plateia – “широкая”. Происхождение неясно. Некоторые ученые считают заимств. из ст.-сл. Другие толкуют как исконно русское.
Плюс лат.слово plus – “больше”. Это знак для обозначения действия сложения, а также для
обозначения положительности чисел. Знак ввел чешский ученый Я. Видман (1489 г.).
Полином греч.слово polis – “многочисленный”, “обширный” и лат.слово nomen –
“имя”. Это то же, что многочлен, т.е. сумма некоторого числа одночленов.
Предел лат.слово limes – “граница”. Это одно из основных понятий математики, означающее, что некоторая переменная величина в рассматриваемом процессе ее изменения неограниченно приближается к определенному постоянному значению. Т. ввел Ньютон, а употребляемый ныне символ lim (3 первые буквы от limes) – франц.ученый С.Люилье (1786 г.). Выражение lim первым записал У.Гамильтон (1853 г.).
Пример греч.слово primus – “первый”. Задача с числами. Т. изобрели греческие математики.
Производная франц.слово derivee. Ввел Ж.Лагранж в 1797 году.
Проекция лат.слово projectio – “бросание вперед”. Это способ изображения плоской или
пространственной фигуры.
Пропорция лат.слово proportio – “соотношение”. Это равенство между двумя отношениями четырех величин.
Процент лат.слово pro centum - “со ста”. Идея процента возникла в Вавилоне.
Радиан лат.слово radius – “спица”, “луч”. Это единица измерения углов. Первое издание,
содержащее этот термин, появилось в 1873 году в Англии.
Радикал лат. слово radix – “корень”, radicalis – “коренной”. Современный знак √ впервые
появился в книге Р.Декарта “Геометрия”, изданной в 1637 г. Этот знак состоит из двух частей: модифицированной буквы r и черты, заменявшей ранее скобки. Индийцы называли
“мула”, арабы – “джизр”, европейцы – “радикс”.
Радиус лат слово radius – “спица в колесе”. Заимств. в Петровскую эпоху из лат. яз. Это
отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо ее точкой, а также длина этого отрез128
ка. В древности Т. не было, он встречается впервые в 1569 г. у франц. ученого П. Раме, затем
у Ф.Виета и становится общепринятым в конце 17 века.
Рекуррентный лат.слово recurrere – “возвращаться назад”. Это возвратное движение в
математике.
Сегмент лат.слово segmentum – “отрезок”, “полоса”. Это часть круга, ограниченная дугой
граничной окружности и хордой, соединяющей концы этой дуги.
Секанс лат.слово secans – “секущая”. Это одна из тригонометрических функций. Обозначается sec.
Сектор лат.слово seco – “режу”. Это часть круга, ограниченная дугой его граничной
окружности и двумя ее радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Симметрия греч.слово simmetria – “соразмерность”. Свойство формы или расположения
фигур симметрично.
Синус лат. sinus –“изгиб”, “кривизна”, “пазуха”. Это одна из тригонометрических функций. В 4-5 вв. называли “ардхаджива” (ардха – половина, джива – тетива лука). Арабскими
математиками в 9 в. слово “джайб” - выпуклость. При переводе арабских математических
текстов в 12 в. Т. был заменен “синусом”. Современное обозначение sin ввел российский
ученый Эйлер (1748 г.).
Скаляр лат.слово scalaris – “ступенчатый”. Это величина, каждое значение которой выражается одним числом. Этот Т. ввел ирландский ученый У.Гамильтон (1843 г.).
Стереометрия греч. слова stereos – “объемный” и metreo – “измеряю”. Это часть элементарной геометрии, в которой изучаются пространственные фигуры.
Сумма лат.слово summa – “итог”, “общее количество”. Результат сложения. Знак ∑ (греч.
буква “сигма”) ввел российский ученый Л.Эйлер (1755 г.).
Сфера греч. слово sfaira – “шар”, “мяч”. Это замкнутая поверхность, получаемая вращением полуокружности вокруг прямой, содержащей стягивающий ее диаметр. Т.встречается у
древнегреческих ученых Платона, Аристотеля.
Тангенс лат.слово tanger – “касаться”. Одна из тригонометр. функций. Т. введен в 10 веке
арабским математиком Абу-л-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения
тангенсов и котангенсов. Обозначение tg ввел российский ученый Л.Эйлер.
Теорема греч.слово tereo – “исследую”. Это математическое утверждение, истинность которого установлена путем доказательства. Т. употребляется еще Архимедом.
Трансцендентный лат.слово transcendens –“выходящий за пределы”, “переходящий”.
Его впервые употребил немецк.ученый Г.Лейбниц (1686 г).
129
Трапеция греч.слово trapezion – “столик”. Заимств. в 18 в. из лат. яз., где trapezion – греч.
Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Т. встречается впервые у древнегреческого ученого Посидония (2 век до н.э.).
Тригонометрия греч.слова trigonon – “треугольник” и metreo –“измеряю”. Заимств. в 18
в. из ученой латыни. Раздел геометрии, в котором изучаются тригонометрические функции и
их приложения к геометрии. Т. впервые встречается в заглавии книги немецкого ученого
Б.Титиска (1595 г.).
Угол лат.слово angulus – “угол”. Геометрическая фигура, состоящая из двух лучей с общим
началом.
Факториал (k) лат.слово factor – “множитель”. Впервые появился у французского математика Луи Арбогаста. Обозначение k ввел немецк. математик Кретьен Крамп.
Фокус лат.слово focus – “огонь”, “очаг”. Расстояние до данной точки. Арабы называли параболу “зажигательным зеркалом”, а точку, в которой собираются солнечные лучи – “местом
зажигания”. Кеплер в “Оптической астрономии” перевел этот Т. словом “фокус”.
Формула лат. слово formula – “форма”, “правило”. Это комбинация математических знаков, выражающая какое-либо предложение.
Функция лат. слово functio – “исполнение”, “совершение”. Одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Т. впервые появляется в 1692 г. у немецк. ученого Г.Лейбница притом не в современном понимании. Т.,
близкий к современному встречается у швейцарского ученого И.Бернулли (1718 г.). Обозначение функции f(x) ввел российский ученый Л.Эйлер (1734 г.).
Характеристика греч.слово character – “признак”, “особенность”. Целая часть десятичного логарифма. Т. был предложен австрийским ученым Г.Бригсом (1624 г.).
Хорда греч. слово horde – “струна”, “тетива”. Отрезок, соединяющий две точки окружности.
Центр лат. слово centrum – “острие ножки циркуля”, “колющее орудие”. Заимств. в 18
в. из лат.
Середина чего-либо, например круга.
Цифры лат.слова cifra – “цифра”, происходящего от арабск.слова “сифр”, означающего
“нуль”.
Числитель число, показывающее из скольких частей составлена дробь. Т. впервые встречается у византийского ученого Максима Плануда (конец 13 века).
Число π (от нач. буквы греч. слова perimetron – “окружность”, “преиферия”). Отношение длины окружности к ее диаметру. Впервые появилось у У.Джонса (1706 г.). Стало общепринятым после 1736 года. π = 3,141592653589793238462…
130
Экспонента лат.слово exponentis – “показывающий”. То же, что и экспоненциальная
функция. Т. ввел немецкий ученый Г.Лейбниц (1679, 1692).
Экстремум лат.слово exstremum – “крайнее”. Это общее название максимума и минимума
функции.
Эксцентриситет лат.слова ex – “из”, “от” и centrum – “центр”. Число, равное отношению расстояния от точки конического сечения до фокуса к расстоянию от этой точки до соответственной директрисы.
Эллипс греч. слова ellipsis – “недостаток”. Это овальная кривая. Т. ввел древнегреческий
ученый Апполоний Пергский (260-190 вв. до н.э.).
13. Таблица возникновения основных математических знаков
Знак
+
Его значение
Кто ввел
Когда знак введен
сложение
Я. Видман
Конец 15 в.
-
вычитание
Я. Видман
Конец 15 в.
*
умножение
У.Оутред
1631
.
умножение
Г.Лейбниц
1698
:
деление
Г.Лейбниц
1684
a2 , a3 ,.. an
степени
Р.Декарт
1637
корень
Х.Рудольф, А.Жирор 1525, 1629.
логарифм
И.Кеплер
1624
sin
синус
Б.Кавальери
1632
cos
косинус
А.Эйлер
1748
tg
тангенс
А.Эйлер
1753
arcsin, arctg
Арксинус, арктангенс
Ж.Лагранж
1772
dx, ddx,..d2x
Дифференциал
Г. Лейбниц
1675
Интеграл
Г.Лейбниц
1675
Производная
Опред.интеграл
Г.Лейбниц
Ж.Фурье
1675
1819-1822
√
Log, log
∫ydx
dy/dx
∫
131
∑
Сумма
Л.Эйлер
1755
Факториал
Х.Крамп
1803
Lim
Предел
У.Гамильтон
1853
Lim, lim
n=∞ n→∞
f(x)
∞
Предел
Многие математики
Нач.20 в.
Функция
И.Бернулли, Л.Эйлер 1718, 1734
Бесконечность
Дж.Валлис
1655
π
Отношение длины
окружности к диаметру
У.Джонс,Л.Эйлер
1706, 1736
i
Корень квадратный из –1 Л.Эйлер
1777
Неизвестные величины
Р.Декарт
1637
Вектор
О.Коши
1853
Равенство
Р.Рекорд
1557
Больше, меньше
Т.Гарриот
1631
Сравнимость
К.Гаусс
1801
Параллельность
У.Оутред
1677
Перпендикулярность
П.Эригон
Индийские математики
1634
k!
x,y,z
→
═
><
≡
║
┴
Арабские цифры
|x|
Матем. знаки
5 век
Модуль
К.Вейерштрасс
Матем. знаки
Нестрогие неравенства
Римские математики
П.Буге
5 век до н.э.
1734
Квадратные скобки
Р.Бомбелли
1550
()
Круглые скобки
Н.Тарталья
1556
{}
Фигурные скобки
Ф.Виет
1593
ℓ
Основание
натур.логарифмов
Л.Эйлер
1736
Знак тождества
Б.Риман
1857
Пересечение
Дж.Пеано
1895
Римские цифры
≤≥
[]
≡
∩
132
Приложение 1
Значение функции e x
x
ex
x
ex
x
ex
x
ex
0,00
1,000
0,40
0,670
0,80
0,449
3,00
0,050
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,980
0,961
0,942
0,923
0,905
0,887
0,869
0,852
0,835
0,819
0,803
0,787
0,771
0,756
0,741
0,726
0,712
0,698
0,684
0,670
0,42
0,44
0,46
0,48
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,62
0,64
0,66
0,68
0,70
0,72
0,74
0,76
0,78
0,80
0,657
0,644
0,631
0,619
0,606
0,595
0,583
0,571
0,560
0,549
0,538
0,527
0,517
0,507
0,497
0,487
0,477
0,468
0,458
0,449
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
2,40
2,60
2,80
3,00
0,440
0,432
0,423
0,415
0,407
0,399
0,391
0,383
0,375
0,368
0,302
0,247
0,202
0,165
0,135
0,111
0,091
0,074
0,061
0,050
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,20
4,40
4,60
4,80
5,00
5,20
5,40
5,60
5,80
6,00
6,20
6,40
6,60
6,80
7,00
0,041
0,033
0,027
0,022
0,0183
0,0150
0,0123
0,0101
0,0082
0,0067
0,0055
0,0045
0,0037
0,0030
0,0025
0,0020
0,0017
0,0014
0,0011
0,0009
Приложение 2
Нормированная функция Лапласа Ф(z)
z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
0
00000
03983
07936
11791
15542
19146
22575
25804
28814
31594
34134
36433
38493
1
00399
04380
08317
12172
15910
19497
22907
26115
29103
31859
34375
36650
38686
2
00789
04776
08706
12552
16276
19847
23237
26424
29389
32121
34614
36864
38877
3
01197
05172
09095
12930
16640
20194
23565
26730
29673
32381
34850
37076
39065
4
01595
05567
09483
13307
17003
20540
23891
27035
29955
32639
35083
37286
39251
133
5
01994
05962
09871
13683
17364
20884
24215
27337
30234
32894
35314
37493
39435
1
2
6
02392
06356
10257
14058
47724
21226
24537
27637
30511
33147
35543
37698
39617
z
e
t2
2
dt
0
7
02790
06749
10642
14431
18082
21566
24857
27935
30785
33998
35769
38000
39796
8
03188
07142
11026
14803
18439
21904
25175
28230
31057
33646
35993
38100
39973
9
03586
7535
11409
15173
18793
22240
25490
28524
31327
33891
36214
38298
40147
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
5,0
40320
41924
43319
44520
45543
46407
47128
47725
48214
48610
48928
49180
49379
49534
49653
49744
49813
49865
49903
49931
49952
49966
49977
49984
49989
49993
49995
49997
49999
40490
42073
43448
44630
45637
46485
47193
47778
48257
48645
48956
49202
49396
49547
49664
49752
49819
49869
49906
49934
49953
49968
49978
49985
49990
49993
49995
40658
42220
43574
44738
45720
46562
47257
47831
48300
48679
48983
49224
49413
49560
49674
49760
49825
49874
49910
49936
49955
49969
49978
49985
49990
49993
49996
40824
42364
43699
44845
45818
46638
47320
47882
48341
48713
49010
49245
49430
49573
49683
49767
49831
49878
49913
49938
49957
49970
49979
49986
49990
49994
49996
40988
42507
43822
44950
45907
46712
47381
47932
48382
48745
49036
49266
49446
49585
49693
49774
49836
49882
49916
49940
49958
49971
49980
49986
49991
49994
49996
41149
42647
43943
45053
45994
46784
47441
47982
48422
48778
49061
49286
49461
49598
49702
49781
49841
49886
49918
49942
49960
49972
49981
49987
49991
49994
49996
41308
42786
44062
45154
46080
46856
47500
48030
48461
48809
49086
49305
49477
49609
49711
49788
49846
49889
49921
49944
49961
49973
49981
49987
49992
49994
49996
41466
42922
44179
45254
46164
46926
47558
48077
48500
48840
49111
49324
49492
49621
49720
49795
49851
49893
49924
49946
49962
49974
49982
49988
49992
49995
49996
41621
43056
44295
45352
46246
46995
47615
48124
48537
48870
49134
49343
49506
49632
49728
49801
49856
49896
49926
49948
49964
49975
49983
49988
49992
49995
49997
41774
43189
44408
45449
46327
47062
47670
48169
48574
48899
49158
49361
49520
49643
49736
49807
49861
49900
49929
49950
49965
49976
49983
49989
49992
49995
49997
Приложение 3
Математико-статистические таблицы
Таблица значений
k1
k2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
F -критерия Фишера при уровне значимости 0,05
1
2
3
4
5
6
8
12
24
2
161,5
18,51
10,13
7,71
6,61
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
3
199,5
19,00
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
4
215,7
19,16
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
5
224,6
19,25
9,12
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
6
230,2
19,30
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
7
233,9
19,33
8,94
6,16
4,95
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
8
238,9
19,37
8,84
6,04
4,82
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
9
243,9
19,41
8,74
5,91
4,68
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
10
249,0
19,45
8,64
5,77
4,53
3,84
3,41
3,12
2,90
2,74
11
254,3
19,50
8,53
5,63
4,36
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
134
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
125
150
200
300
400
500
1000
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
4,32
4,30
4,28
4,26
4,24
4,22
4,21
4,20
4,18
4,17
4,12
4,08
4,06
4,03
4,00
3,98
3,96
3,95
3,94
3,92
3,90
3,89
3,87
3,86
3,86
3,85
3,84
3,98
3,88
3,80
3,74
3,68
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,47
3,44
3,42
3,40
3,38
3,37
3,35
3,34
3,33
3,32
3,26
3,23
3,21
3,18
3,15
3,13
3,11
3,10
3,09
3,07
3,06
3,04
3,03
3,02
3,01
3,00
2,99
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,98
2,96
2,95
2,93
2,92
2,87
2,84
2,81
2,79
2,76
2,74
2,72
2,71
2,70
2,68
2,66
2,65
2,64
2,63
2,62
2,61
2,60
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,82
2,80
2,78
2,76
2,74
2,73
2,71
2,70
2,69
2,64
2,61
2,58
2,56
2,52
2,50
2,49
2,47
2,46
2,44
2,43
2,42
2,41
2,40
2,39
2,38
2,37
3,20
3,11
3,02
2,96
2,90
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,68
2,66
2,64
2,62
2,60
2,59
2,57
2,56
2,54
2,53
2,48
2,45
2,42
2,40
2,37
2,35
2,33
2,32
2,30
2,29
2,27
2,26
2,25
2,24
2,23
2,22
2,21
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
2,55
2,53
2,51
2,49
2,47
2,46
2,44
2,43
2,42
2,37
2,34
2,31
2,29
2,25
2,23
2,21
2,20
2,19
2,17
2,16
2,14
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,42
2,40
2,38
2,36
2,34
2,32
2,30
2,29
2,28
2,27
2,22
2,18
2,15
2,13
2,10
2,07
2,06
2,04
2,03
2,01
2,00
1,98
1,97
1,96
1,96
1,95
1,94
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,10
2,09
2,04
2,00
1,97
1,95
1,92
1,89
1,88
1,86
1,85
1,83
1,82
1,80
1,79
1,78
1,77
1,76
1,75
2,61
2,50
2,42
2,35
2,29
2,24
2,19
2,15
2,11
2,08
2,05
2,03
2,00
1,98
1,96
1,95
1,93
1,91
1,90
1,89
1,83
1,79
1,76
1,74
1,70
1,67
1,65
1,64
1,63
1,60
1,59
1,57
1,55
1,54
1,54
1,53
1,52
2,40
2,30
2,21
2,13
2,07
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
1,81
1,78
1,76
1,73
1,71
1,69
1,67
1,65
1,64
1,62
1,57
1,51
1,48
1,44
1,39
1,35
1,31
1,28
1,26
1,21
1,18
1,14
1,10
1,07
1,06
1,03
1
Приложение 4
Критические значения t -критерия Стьюдента при уровне значимости 0,10, 0,05, 0,01
(двухсторонний)
Число
степеней
свободы
d.f.
1
00,10
0,05
0,01
6,3138
12,706
63,657
Число
степеней
свободы
d.f.
18
135
00,10
0,05
0,01
1,7341
2,1009
2,8784
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
2,9200
2,3534
2,1318
2,0150
1,9432
1,8946
1,8595
1,8331
1,8125
1,7959
1,7823
1,7709
1,7613
1,7530
1,7459
1,7396
4,3027
3,1825
2,7764
2,5706
2,4469
2,3646
2,3060
2,2622
2,2281
2,2010
2,1788
2,1604
2,1448
2,1315
2,1199
2,1098
9,9248
5,8409
4,5041
4,0321
3,7074
3,4995
3,3554
3,2498
3,1693
3,1058
3,0545
3,0123
2,9768
2,9467
2,9208
2,8982
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
1,7291
1,7247
1,7207
1,7171
1,7139
1,7109
1,7081
1,7056
1,7033
1,7011
1,6991
1,6973
1,6839
1,6707
1,6577
1,6449
2,0930
2,0860
2,0796
2,0739
2,0687
2,0639
2,0595
2,0555
2,0518
2,0484
2,0452
2,0423
2,0211
2,0003
1,9799
1,9600
2,8609
2,8453
2,8314
2,8188
2,8073
2,7969
2,7874
2,7787
2,7707
2,7633
2,7564
2,7500
2,7045
2,6603
2,6174
2,5758
Литература
Основная
1. Высшая математика для экономистов под ред. Кремера Н. Ш. –
М., ЮНИТИ. 2006
2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М., Высшая школа, 2002.
3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М., Высшая
школа, 2001.
4. Ермаков В.И. (ред). Сборник задач по высшей математике для экономистов. – М.,
«ИНФРА-М», 2001.
5.Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. — М., Наука, 2002.
6.Карасев А. И., Аксютина 3. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. — М., Высшая школа, 1982.
7.Крупин В.Г., Туганбаев А.А. Теория вероятностей. — М., Факториал, 2006.
8. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. – М., Высшая школа,1980. Стр. 66 – 76.
9.Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. — М., Наука,
2005.
10. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в
экономике. – М., «ДИС», 1999.
11. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. – М.,
Финансы и статистика, 2005.
136
12.Шипачев В. С. Высшая математика. — М., Высшая школа, 2002.
13.Шипачев В. С. Сборник задач по высшей математике. — М., Высшая школа, 2006.
Дополнительная
14.Ефимов А.В., Демидович Б.П. (ред.) Сборник задач по математике для ВТУЗов. Части 1–
2. – М., Наука, 1986.
15.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1–2.
— М., Наука, 1985.
16.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М., Наука, 1988.
17.Данко П. Е., Попов Я.Г., Кожевникова Т.Я., Высшая математика в упражнениях и
задачах. Ч. 1. — М., Высшая школа, 1980.
18.Ефимов А.В. (ред.) Сборник задач по математике для ВТУЗов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика. – М., Наука, 1990.
19.Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей. – М., Наука, 1989.
20.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М., Наука, 1980.
21.Колемаев В.А., Староверов О.В, Турудаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика.– М., Высшая школа, 1991.
22.Феллер В. Введения в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1 – 2. – М.., Мир,
1984.
23.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М., Наука, 1982.
24.Ширяев А.Н. Вероятность. – М., Наука, 1980.
137