Математика - Университет Российской академии
advertisement
УНИВЕРСИТЕТ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ
Красноярский филиал
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
«МАТЕМАТИКА»
(для студентов, обучающихся по специальности
030301.65 «Психология»)
Красноярск 2013
УНИВЕРСИТЕТ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ
Красноярский филиал
ПСИХОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА ПСИХОЛОГИИ И ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
«МАТЕМАТИКА»
(для студентов, обучающихся по специальности
030301.65 «Психология»)
Утвержден
Согласовано:
решением
УМС
филиала
протокол № ___ от ___ ___ 2013
Первый проректор:
___________________
Директор филиала ___________
/Решетова Т.Я./
Фамилия, инициалы
/Дроздов Н.И./
Фамилия, инициалы
Красноярск 2013
2
УДК 16(073)
ББК 87.4я73
М 25
Печатается по решению Учебно-методического совета
Университета Российской академии образования
Красноярский филиал
Авторы-составители: кандидат физико-математических наук Матусов Л.Б.,
кандидат педагогических наук, доцент Шушерина О.А.
Матусов Л.Б., Шушерина О.А. Учебно-методический комплекс по дисциплине
"Математика" для специальности 030301.65 «Психология» – Красноярск:
Издательство КФ УРАО, 2013. – 25 с.
УРАО, 2013.
3
1. Пояснительная записка
Программа разработана в соответствии с:
- государственными стандартами высшего профессионального образования
по специальности 030301.65 «Психология»;
- учебными планами очной, очно-заочной и заочной форм обучения по
указанной специальности (со сроком обучения 5 лет), одобренными на
заседании Ученого Совета;
- учебной программой УРАО по данной дисциплине.
Программа построена с учетом того, что математическое образование
является составляющей фундаментальной базовой подготовки обучающихся.
Математика является не только мощным средством решения прикладных
задач, но и эффективным средством интеллектуального развития личности. На
основе этой программы выпускник должен получить базовое общее высшее
образование по математике, способствующее его дальнейшему развитию,
обеспечивающее готовность к усвоению профессионально ориентированных
курсов математики, математических методов, применяемых в психологии.
2. Организационно - методический раздел
Курс «Математика» рассчитан на 3 семестра. Изучается на 1 и 2 курсах.
Курс продолжает традиции отечественной науки в области высшей математики.
В курсе рассмотрены базовые элементы алгебры, функционального
анализа, математического моделирования и математических методов обработки
экспериментальных данных.
Основные цели курса.
Развитие навыков математического мышления; навыков использования
математических методов и основ математического моделирования,
математической культуры у студентов.
Методологическими целями являются формирование у студентов понятия
о математике как универсальном инструменте познания, выработке
представлений о роли и месте математики в современном мире, о принципах
построения математических моделей и границах применимости математических
методов в психологии, ознакомление с достижениями и возможными
перспективами «математизации» психологии.
Задачи изучения дисциплины:
- формировать широкий взгляд на развитие фундаментальных
математических идей и концепций современной математики;
4
- ознакомить с широким кругом методов из разных фундаментальных
областей математики и средств вычислений с целью их использования в
решении различных прикладных задач;
- воспитать определенную культуру мышления путем формирования
обобщенных мыслительных действий таких как умение аргументировать,
обобщать, анализировать, сравнивать и т.п.;
- определить круг знаний, умений и навыков при активном использовании
математического языка и различных математических методов;
- во взаимосвязи с курсом «Информатика и ЭВМ в психологии»
формировать
уровень
информационной
культуры
и
применения
информационных и коммуникативных технологий в профессиональной
деятельности психолога.
Основными дидактическими принципами в обучении математике являются
прагматичность, обусловленная синергетическим подходом к системе высшего
образования; принцип предметно-ориентированное обучение и принцип
научности при этом трансформируется в принцип простоты и доступности.
Предлагаемый курс специально адаптирован для психологов, практическая
часть которого подбирались с учетом возможных интересов будущих
специалистов психологов.
В результате изучения дисциплины студенты должны:
- освоить базовые принципы и основные математические понятия;
-научиться использовать математические методы в обработке
экспериментальных данных, полученных в результате психодиагностических и
иных психологических исследованиях. В структуре курса предусмотрены
лекционные и практические занятия для студентов очной, очно-заочной и
заочной форм обучения. Для студентов заочной формы обучения
предусмотрены также контрольные работы.
В соответствии с учебным планом формой аттестации студентов являются
зачет и 2 экзамена.
Математика
относится
к
циклам
общих
математических
и
естественнонаучных дисциплин.
5
2. Организационно-методический раздел
Код
Код
дисциплины
дисциплины по
по ГОС
УП УРАО
Очная форма
ЕН.Ф.01.
Заочная форма
ЕН.Ф.01.
030301.65
«Психология»
Всего
Аудит.
Сам.
часов
занятий
раб.
ЕН.Ф.01.
350
180
170
ЕН.Ф.01.
350
30
320
Согласно ГОС дисциплина «Математика» для специальности 030301.65
«Психология» содержит следующие дидактические единицы:
введение в дискретную математику;
элементы теории множеств;
векторная алгебра;
матрицы;
элементы функционального анализа;
вероятность и статистика;
теория вероятностей;
статистическое оценивание и проверка гипотез;
параметрические и непараметрические методы;
элементы дисперсионного анализа;
статистические методы обработки экспериментальных данных.
6
3. Тематический план
Примерный тематический план
для очной/заочной формы обучения
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Темы
Раздел I. Введение в дискретную
математику. Тема 1.Элементы
теории множеств
Тема 2.Элементы математической
логики
Тема 3.Элементы комбинаторики
Раздел II. Элементы алгебры и
алгебраических методов
Раздел II. Элементы алгебры и
алгебраических методов. Тема 1.
Векторная алгебра и алгебра матриц
Раздел III.Элементы
функционального анализа. Тема
1.Понятия функции и способы ее
задания
Тема 2.Теория пределов
Тема 3.Дифференциальное
исчисление
Тема 4.Интегральное исчисление
Тема 5.Обыкновенные
дифференциальные уравнения
Раздел IV. Теория вероятности и
математической статистики. Тема
1.Теория вероятностей.
Тема 2.Статическое оценивание и
проверка гипотез. Параметрические
и непараметрические методы
Тема 3 .Методы дисперсионного
анализа
Тема 4.Статистические методы
обработки экспериментальных
данных
Итого
Всего
часов
Лекции
Семинары
СРС
24/25
6/1
6/1
12/23
24/25
6/1
6/1
12/23
24/25
6/1
6/1
12/23
24/25
6/1
6/1
12/23
24/25
6/1
6/1
12/23
24/25
6/1
6/1
12/23
24/25
6/1
6/1
12/23
24/25
6/1
6/1
12/23
24/25
6/1
6/1
12/23
24/25
6/1
6/1
12/23
24/25
6/1
6/1
12/23
24/25
6/1
6/1
12/23
30/26
9/2
9/1
12/23
32/24
9/2
9/1
14/21
350/350
90/16
90/14
170/320
Количество часов в примерном тематическом плане корректируется в соответствии с действующими
учебными планами
7
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
ДИСЦИПЛИНЫ
«МАТЕМАТИКА»
(для студентов, обучающихся по специальности 030301.65 «Психология»)
8
Основное содержание учебного курса
Раздел I. Введение в дискретную математику
Тема 1. Элементы теории множеств
Понятие множества; задание множества; множество и его элементы;
пустое множество; подмножество множества; равенство множеств; сумма
множеств; сумма множества и его подмножества; произведение множеств;
произведение и его подмножества; непересекающиеся множества; разность
множеств.
Взаимоодназначное соответствие между множествами; мощность
множества; счетные множества; необходимое и достаточное условие счетности
множества; возможность выделения из всякого бесконечного множества
счетного подмножества; счетность конечного числа счетных множеств;
счетность счетного множества конечных множеств; несчетные множества;
мощность множества всех подмножеств некоторого множества.
Тема 2. .Элементы математической логики
Классическая логика. Математическая логика. Высказывания. Операции
над высказываниями: коньюкция, дизъюнкция, отрицание, импликация,
эквивалентность. Законы логики. Неопределенные высказывания, кванторы.
Строение математической теоремы.
Тема 3. Элементы комбинаторики
Основные формулы комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения.
Правила комбинаторики: суммы и произведения.
Раздел II. Элементы алгебры и алгебраических методов
Тема 1. Векторная алгебра и алгебра матриц
Понятие векторы-столбцы и векторы-строки. Равенство, суммы и
произведение двух векторов. Перестановки и подстановки. Понятие матрицы;
элементы матрицы; сумма матриц; произведение матриц; единичная матрица.
Определители. Общее определение, свойства определителей; равноправность
строк и столбцов, изменение знака определителя при перестановке метами двух
строк, равенство нулю определителя; разложение определителя по элементам
строки или столбца; алгебраическое дополнение элемента определителя.
9
Присоединенная матрица. Обратная матрица. Характеристическая матрица;
характеристический многочлен; характеристические корни. Миноры матрицы;
ранг матрицы. Алгебраические методы в проблеме ранжирования
(шкалирования). Метод матриц доминирования. Метод характеристических
корней. Система линейных алгебраических уравнений; матричная запись
системы линейных алгебраических уравнений; неоднородная система линейных
алгебраических уравнений и ее ранг; решение неоднородной системы
уравнений. Система однородных линейных алгебраических уравнений: свойства
решений; линейно независимая совокупность решений; фундаментальная
система решений; свободные неизвестные. Алгебраические методы в анализе
причинно-следственных отношений.
Раздел III.Элементы функционального анализа
Тема 1.Понятия функции и способы ее задания
Функции: понятие функциональной зависимости; способы задания
функций; ограниченные функции; монотонные функции; четные и нечетные
функции; периодические функции; элементарные функции; линейная функция;
квадратичная функция; степенная функция; показательная функция;
логарифмическая функция; тригонометрические функции; графики основных
элементарных функций.
Тема 2.Теория пределов
Последовательности;
предел
последовательности;
ограниченные
множества; точная верхняя и нижняя границы множества; монотонная
последовательность;
бесконечно-малые
и
бесконечно-большие
последовательности; неопределенные выражения; теорема Штольца; число е.
Предел функции: классификация точек; определение предела функции;
предел функции как предел последовательности; эквивалентные бесконечномалые.
Тема 3.Дифференциальное исчисление
Производная функции и дифференцирование: определение производной.
Геометрический и смысл производной. Производные основных элементарных
функций; производная суммы, произведения и частного двух функций;
производная сложной функции; односторонние производные; основные
теоремы дифференциального исчисления; теоремы Ферма, Роля и Лагранжа;
производные высших порядков; исследование функций с помощью
производных и построение графиков; формула Тейлора; дифференциал.
Приложение производных к нахождению интервалов монотонности
функций, интервалов выпуклости кривых, точек экстремума функций.
10
Тема 4.Интегральное исчисление
Понятие неопределенный интеграл: первообразной (неопределенного
интеграла); простейшие правила интегрирования; интегрирование путем замены
переменной; интегрирование по частям; интегрирование рациональных
выражений; интегрирование некоторых иррациональных выражений;
интегрирование тригонометрических выражений. Определенный интеграл:
определение; формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы с
бесконечными пределами. Понятия сходимости и расходимости несобственных
интервалов. Геометрический смысл несобственных интервалов.
Тема 5.Обыкновенные дифференциальные уравнения
Определение; поле направлений; метод разделения переменных;
однородные уравнения; линейные уравнения; уравнения Бернулли; уравнение в
полных дифференциалах, интегрирующий множитель; особые точки.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные и
неоднородные линейные обыкновенные дифференциальные уравнения высших
порядков.
Раздел IV. Теория вероятности и математической статистики
Тема 1.Теория вероятностей.
Понятие вероятности как отражение свойств реального мира. Случайные
явления и случайные события; достоверные и невозможные события;
вероятности достоверного и невозможного события; вероятность случайного
события; полная группа событий; несовместные события; равновозможные
события; схема случаев; вероятность событий в схеме случаев; случайная
величина; непрерывная и дискретная случайные величины; сумма событий;
произведение событий, вероятность суммы нескольких независимых событий;
вероятность суммы полной группы событий; противоположные события; сумма
двух совместных событий; зависимые и независимые события; условная
вероятность; вероятность произведения двух событий; формула полной
вероятности; теорема гипотез.
Тема 2.Статическое оценивание и проверка гипотез. Параметрические и
непараметрические методы.
Понятие о системе случайных величин; функция распределения и
плотность распределения системы двух случайных величин; числовые
характеристики системы двух случайных величин; корреляционный момент;
11
коэффициент корреляции; системы произвольного числа случайных величин.
Методы оценки и проверки гипотез. Области применения параметрическихи
непараметрических методов; нормальный закон распределения (закон Гаусса);
закон равномерной плотности; закон Пуассона.
Тема 4.Методы дисперсионного анализа
Закон распределения случайной величины; функция распределения
случайной величины и ее свойства; плотность распределения; математической
ожидание случайной величины; центрированные случайные величины;
центральные моменты; дисперсия; среднее квадратическое отклонение;
коэффициент асимметрии.
Тема 5.Статистические методы обработки экспериментальных данных
Основные задачи математической статистики; простая статистическая
совокупность; статистическая функция распределения; статистический ряд;
гистограмма; числовые характеристики статистического распределения;
выравнивание статистических рядов; критерии согласия.
Тематика и содержание практических занятий
Раздел I. Введение в дискретную математику
Тема 1. Элементы теории множеств
Привести примеры множеств. Рассмотреть несколько однородных
множеств и обсудить результаты пересечения и объединения этих множеств.
Обсудить соответствие между множеством и подмножеством. Расширить
какое-либо множество до бесконечного счетного или несчетного множества.
Решение задач на сравнение мощностей.
Тема 2. .Элементы математической логики
Привести примеры силлогизмов. Рассмотреть несколько высказываний и
перечислить логические высказывания. Обсудить примеры индуктивных и
дедуктивных методов в математике. Привести примеры строения
математических теорем.
Тема 3. Элементы комбинаторики
Обсудить и решить задачи на основные формулы и правила
комбинаторики. Привести примеры.
Раздел II. Элементы алгебры и алгебраических методов
Тема 1. Векторная алгебра и алгебра матриц
12
Привести примеры произведений нескольких элементов с двумя индексами
и определить, входят ли данные произведения в определитель
соответствующего порядка и с каким знаком. Привести ряд примеров на
вычисление определителей путем разложения их по строкам и столбцам.
Привести примеры на вычисление произведения матриц, обращая внимание на
некоммутативность операции. Найти обратные матрицы для заданных.
Раздел III.Элементы функционального анализа
Тема 1.Понятия функции и способы ее задания
Построить графики различных функций. Найти область определения этих
функций. Изобразить вид графика в четной и нечетной функций.
Тема 2.Теория пределов
Предложить различные примеры на определение пределов
последовательности и функции.
Тема 3.Дифференциальное исчисление
Исходя из определения, найти производные от некоторых простых
функций. Разобрать пример функций, не имеющих производной в точке (точка
излома). Используя правила дифференцирования, разобрать несколько
примеров. Найти производные от функций, заданных в сложном виде. Найти
углы пересечения двух заданных кривых в точке. Исследовать поведения
заданных функций одной переменной и построить графики.
Найти частные производные первого и второго порядков от заданных
функций. Найти дифференциалы первого и второго порядков от заданных
функций. Разложить в степенный ряд по формуле Тейлора заданные функции.
Исследовать на экстремум функции двух переменных. Разобрать несколько
примеров на условный экстремум функций двух переменных.
Тема 4.Интегральное исчисление
Применяя таблицу основных интегралов и основные свойства
неопределенного интеграла, найти интегралы от заданных функций. Разобрать
несколько примеров интегрирования с использованием замены переменной и
интегрирования по частям. Найти интегралы от тригонометрических функций.
Вычислить определенные интегралы, производя разбиение промежутка
интегрирования и рассматривая пределы соответствующих интегральных сумм.
Найти определенные интегралы, применяя формулу Ньютона-Лаейбница.
13
Тема 5.Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решить несколько примеров обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка различного вида и линейных уравнений высшего порядка.
Обсудите «психологическую» трактовку некоторых уравнений.
Раздел IV. Теория вероятности и математической статистики
Тема 1.Теория вероятностей.
Приведите и обсудите примеры явлений и событий и имеющих случайный
(вероятный) характер. Особое внимание следует уделить полным группам
событий. Какие из рассматриваемых примеров случайных событий являются
несовместными. Решение задач на основные темы теории вероятностей.
Тема 2.Статическое оценивание и проверка гипотез. Параметрические и
непараметрические методы
Обсудить
содержание
различных
законов
распределения,
их
количественные характеристики. Решение задач.
Тема 3.Методы дисперсионного анализа
Обсудить основные свойства дисперсии.
Тема 4.Статистические методы обработки экспериментальных данных
Привести конкретные примеры на решение задач по темам: простой
статистической совокупности, статистической функции распределения,
статистического ряда, выравнивания статистических рядов.
Темы для самостоятельной работы студентов
Введение в дискретную математику.
Тема 1.Элементы теории множеств.
1. Что понимают под множеством? Приведите примеры.
2. Сформулируйте определение известных вам операций над
множествами, перечислите их свойства и проиллюстрируйте
примерами.
14
3. Поясните и проиллюстрируйте примерами следующие понятия: а)
множество M отображено на множество N; б) между множествами M и
N установлено взаимно однозначное соответствие.
4. Какое множество называют счетными? Приведите примеры счетных и
несчетных множеств.
5. Что понимают под мощностью множества? Какова мощность конечного
множества? Приведите пример множества, имеющего мощность
континуум.
6. Найдите все подмножества A = {a, b, c, d, e}, которые включают: а)
только два элементы; б) только три элемента; в) только четыре
элемента.
Тема 2. Элементы математической логики
1. Какие рассуждения называют силлогизмами? Приведите примеры
силлогизмов.
2. Перечислите известные вам логические операции. Сформулируйте
определения: а) отрицания высказывания; б) коньюнкции; в)
дизъюнкции; г) импликации высказываний. Приведите таблицы
истинности этих операций.
3. Приведите примеры эквивалентных высказываний. Объясните, как
можно проверить эквивалентность высказываний при помощи таблицы
истинности.
Тема 3.Элементы комбинаторики
1. Какие соединения называют размещениями? По какой формуле можно
подсчитать число Ак размещений из n элементов по k элементов.
2. Научному обществу, состоящему из 25 человек, надо выбрать
президента, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими
способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества
может занимать лишь один пост?
3. Какие соединения называют перестановками? По какой формуле можно
подсчитать число Pn перестановок из n элементов?
4. Сколькими способами можно разместить за столом круглой формы
восемь гостей?
5. Какие соединения называют сочетаниями? По каким формулам можно
подсчитать число Ск сочетаний из n элементов по k элементов?
15
6. Четыре футбольные команды, занявшие последние места среди 15
команд, играющих в высшей лиге, покидают высшую лигу. Каково
число различных «печальных» исходов первенства по футболу?
Раздел II. Элементы алгебры и алгебраических методов.
Тема 1.Векторная алгебра и алгебра матриц
1. Линейные операции над векторами.
2. Даны векторы a(2;3) и в (1;5) . Вычислить координаты вектора:
а) а в ; б) а в ; в) в а ; г) 2а 3в ; д) а в
3. Вычислите скалярное произведение векторов а и в , заданных своими
координатами
а) а (5;2) , в (3,6) б) а (6;8) , в (12,9) .
4. Понятие матриц и действия над ними.
5. Понятие определителя.
3 5 2 3
и
4 1 1 2
6. Найти сумму матриц
3 4
В=
5 1
7. Найти матрицу А + 2 В если А =
8
2
3
1
1 2
3 4
8. Найти матрицу обратную данной:
Раздел III.Элементы функционального анализа
Тема 1.Понятия функции и способы ее задания
1. Определите понятие функции. Приведите примеры функций.
2. Что называют областью определения функции? областью (множеством)
значений функции?
3. При каких значениях k график функции y = kx + 3 параллелен прямой y
= -x? Выполните рисунок.
4. Постройте график функции и назовите ее промежутки возрастания и
убывания:
16
а) y = -x2 + 2; б) y = x2 + 3; в) y = x2 + 2x + 3; г) y = x2 - 2x + 1; д) y = -x2 –
4x + 5;
e) y = 4x2 – x + 9.
5. Укажите область определения и множество значений функции y =
6. Проанализируйте графики функций y = cosx,
отношению к каждой из функций установите: а)
множество значений; в) четность-нечетность; г)
функции; е) промежутки знакопостоянства;
экстремумы.
Тема 2.Теория пределов
1
x 9
2
у = sinx, y = tgxо и по
область определения; б)
периодичность; д) нули
ж) монотонность; з)
1.
Поясните понятия предела функции в точке. Приведите примеры.
Верны ли утверждения: а) если функция непрерывна в точке a, то она имеет
предел в этой точке; б) если функция имеет предел в точке а, то она
непрерывна в этой точке? в) Выводы проиллюстрируйте примерами.
2.
Найти пределы: а) lim (2x + 3); б) lim (x – 3x + 4); в) lim
3x 8
; lim
x9
x 2 5x
3x 2 8
х→-1
х→∞
х→1
х→∞
3. Пределом какой функции при x → 0 является число е? Найдите в
учебнике или справочнике числа е с двумя знаками после запятой. Как
называется и как обозначается логарифм числа х по основанию е?
Тема 3.Дифференциальное исчисление
1) Что называется производной функции f (x)? Как обозначается
производная? Вычислите производную функции y = ƒ(x3) в точке x0 = 1.
2) Какой вид имеют производные функций 1, хn, еx, ln x, sin x, cos x, arcsin
x, arccos x, arctg x, arcctg x?
3) Приведите формулы для производной суммы, разности, произведения и
отношения двух функций. Вычислите производные функций tgx = sin x /
cos x, ctg x = cos x / sin x.
4) Точка движется прямолинейно по закону S (t) = 0,5t2 + 3t +2, где S – путь
в метрах, t – время в секундах. Найдите скорость точки в момент
времени t = 4c и пройденный при этом путь.
17
5) Вычислите производную третьего порядка функции sin х, производную
четвертого порядка функции х lnx, производную любого порядка n
функции е2х.
Тема 4.Интегральное исчисление
1. Понятие интеграла.
2. Вычислить неопределенные интегралы:
1.
(1 х)(1 2 х)(1 3х)dx
2.
( х 1)
х
dx
х2
3
dx
(3х 27) 2 / 3
4.
ln xdx
5.
x
2
sin 2 xdx
х10 dx
6. 2
x x2
7.
x
8.
cos
1/ 2
5
dx
2 x 2 / 5 x 3 / 10
2 x sin 2 xdx
9. cos 2 x dx
2. Вычислить определенные интегралы:
18
1
II / 2
1. a x dx
a>0
0
4
3.
2.
sin xdx
0
dx
1 x
1/ 2
0
3. Найти площади фигур, ограниченные кривыми:
1). ax = y2 ; ay = х2
2). ч = а2 cos2x
5). Вычислить несобственные интегралы
1
1). lmxdx
0
4
2).
dx
1 x
2
0
1
3).
dx
(1 x
1
2 1/ 2
)
Раздел IV. Теория вероятностей и математическая статистика
Тема 1. Теория вероятностей
1. Основные понятия теории вероятностей.
2. Решение задач по отдельным темам.
1. В некотором опыте возможны 3 элементарных событий a, в, c.
Вероятность, что наступит либо а либо в равно 0,4; либо а либо с равно
0,7. Найти вероятность каждого из элементарных событий.
2. Случайным образом выбирают натуральное число от 1 до 50. Событие А –
выбрано четное число. Являются ли события А и В независимыми, если
событие В состоит в том, что выбранное число делится на 1)- на 7
2)- на 5
19
3. Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных)
можно составить из слова «книга».
4. Буквы, составляющие слово «банан» написаны на карточках, которые
перемешаны. Какова вероятность, что на двух последовательно вынутых
карточках получится слово «на».
5. В ящике 4 красных и 2 желтых флажка. Наудачу извлекают 3. Какова
вероятность, что они красные.
6. В ящике 33 кубика с буквами алфавита. Найти вероятность, что
последовательно извлекая кубики можно сложить слово «опера».
7. В цеху работает несколько станков. Вероятность того, что за смену
потребует наладки 1 станок равно 0,2; два станка- 0,3; более 2-х станков
0,07. Какова вероятность, что за смену придется провести наладку всех
станков.
8. В коробке лежат 10 красных, 9 синих и 6 зеленых шариков. Продавец не
глядя достает шарики из коробки. Найти вероятность, что первые два
шарика будут зелеными, а третий – красный.
9. В цеху 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что в данный
момент он выключен равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный
момент включено 4 мотора.
10.Прибор может работать в 2-х режимах
а) нормальном и б)
экстремальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев
работы прибора. Экстремальный – 20%. Вероятность выхода прибора из
строя за время работы t в нормальном режиме равно 0,1; в экстремальном
– 0,7. Найти полную вероятность выхода прибора из строя за время t.
11.Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатывают однотипные
детали. Вероятность брака на 1 станке 0,02; на П – 0,03; на Ш –
0,04.Детали складываются в один ящик. Производительность 1 станка в 3
раза больше, чем П; Ш –в 2раза меньше чем П. Определить вероятность
того, что вынутая на удачу деталь будет стандартна.
20
Тема 2. Статистическое оценивание и проверка гипотез.
Параметрические и не параметрические методы
1. Что называют статистической гипотезой?
2. Нулевые (основные), конкурирующие (альтернативные) и простые
гипотезы.
3. Ошибки в статистической проверке гипотез.
4. Параметрические и непараметрические методы оценки законов
распределения.
Тема 3. Методы дисперсионного анализа
1. Понятие дисперсии.
2. Сравнение дисперсий нормальных и генеральных совокупностей.
3. Решить: По двум независимым выборкам, объемы которых n1 = 11 n2 =
14, извлеченных из нормальных генеральных совокупностей Х и У,
2
x
найдены исправленные выборочные дисперсии S 0,76
S
2
y
0,38 .
При уровне значимости £ = 0,05. Проверить нулевую гипотезу H0 D(х) =
D (y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе
H1 :D(x) > D(y)
4. Статистические методы обработки экспериментальных данных
1.
2.
3.
4.
Понятия простого статистического ряда. Примеры.
Понятия среднее статистическое случайной величины.
Понятие статистической дисперсии случайной величины. Примеры.
Понятие меры расхождения или критерии согласия. Примеры.
Перечень вопросов к итоговому контролю
1.
2.
3.
4.
Понятие множества.
Задание множества.
Подмножество множество.
Сумма множества и его подмножества.
21
5. Произведение множества и его подмножества.
6. Мощность множества.
7. Счетные множества.
8. Перестановки.
9. Сочетания.
10.Размещения.
11.Четные и нечетные перестановки.
12.Определение определителя.
13.Свойства определителей.
14.Разложение определителя по элементам 1-ой строки.
15.Разложение определителя по элементам к-ого столбца.
16.Определение матриц.
17.Сумма матриц
18.Умножение матрицы на число.
19.Произведение матриц.
20.Единичная матрица.
21.Присоединенная матрица и ее определитель.
22.Обратная матрица.
23.Понятие функциональной зависимости. Способы задания функций.
Системы координат.
24.Ограниченные функции.
25.Монотонные функции.
26.Четные и нечетные функции.
27.Периодические функции.
28.Прямая пропорциональность; линейная функция.
29.Квадратичная зависимость.
30.Степенная функция.
31.Показательная функция.
32.Логарифмическая функция.
33.Тригонометрическая функции.
34.Определение предела функции.
35.Предел функции как предел последовательности.
36.Приведите формулы для производных суммы, разности, произведения и
отношения двух функций.
37.Какой вид имеет формула для производной сложности функции.
38.Что называется производной функции ƒ(х) второго порядка: третьего
порядка? Любого порядка? Как они обозначаются?
39.Сформулируйте правило нахождения точек максимума и точек
минимума функции ƒ(х), связанное со знаком е производной в
окрестностях этих точек.
22
40.Какая функция F(х) называется первообразной от функции ƒ(х),
заданной на интервале (a, b)? Что такое неопределенный интеграл
ƒ(х)dx? По какой формуле он вычисляется?
41.Приведите основные формулы для вычисления неопределенных
интегралов.
42.Что называется интегральной суммой для функции ƒ(х), заданной на
отрезке [a,b]? определенным интегралом ƒ(х)dx?
43.Какая фигура на плоскости называется криволинейной трапецией? По
какой формуле вычисляется е площадь?
44.Какой вид имеет формула Ньютона-Лейбница для вычисления
определенного интеграла?
45.Как определяется несобственный интеграл
ƒ(х)dx? Всегда ли он
a
существует? В
расходящимся?
каком
случае
он
называется
сходящимся?
46.Объясните геометрический смысл несобственного интеграла
e
x 2
dx и
установите его сходимость.
47.Случайное явление и случайное событие; достоверные и невозможные
события и их вероятности; вероятность случайного события.
48.Полная группа событий.
49.Несовместимые и совместимые события.
50.Равновозможные события: схема случаев.
51.Зависимые и независимые события; условная вероятность.
52.Произведение событий, вероятность произведения нескольких
независимых случайных событий.
53.Произведение событий, вероятность произведения двух зависимых
событий.
54.Сумма случайных событий; вероятность суммы нескольких
несовместных событий.
55.Формула полной вероятности.
56.Формула Бейеса.
57.Случайное явление и случайное событие; достоверные и невозможные
события и их вероятности; вероятность случайного события.
58.Повторение опытов: Марковские цепи.
59.Потоки событий; пуассоновский поток.
60.Числовые
характеристики
функций
случайного
аргумента:
математическое ожидание суммы случайных величин.
61.Числовые характеристики функций случайного аргумента: дисперсия
суммы случайных величин.
23
62.Числовые характеристики функций случайного аргумента: дисперсия
линейной функции нескольких случайных величин.
63.Числовые
характеристики
функций
случайного
аргумента:
математическое ожидание произведения случайных величин.
64.Числовые характеристики функций случайного аргумента: дисперсия
произведения случайных величин.
65.Математическое ожидание числа появлений события при нескольких
опытах.
66.Дисперсия числа появлений события при нескольких независимых
опытах.
67.Дисперсия числа появлений события при нескольких зависимых
опытах.
68.Математическое ожидание числа пациентов, приведенных в заданное
состояние.
24
Список рекомендуемой учебной литературы.
Список основной учебной литературы:
1. Кочетков Е.С., Осокин А.В. Линейная алгебра: учебное пособие /
Е.С.Кочетков, А.В.Осокин. – М.: ФОРУМ, 2012. – 416с.
2. Куликов В.В. Дискретная математика: Учеб. пособие. – М.: РИОР, 2010. –
174 с. (Гриф).
3. Ковалев С.В. Экономическая математика: учебное пособие / С.В. Ковалев.
– М.: КНОРУС, 2010. – 248 с. (Гриф).
4. Красс
М.С.,
Чупрынов
Б.П.
Математика
для
экономического
бакалавриата: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2012. 472 с. (Гриф).
5. А.С.Солодовников,
В.А.
Бабайцева,
А.В.Браилов.
Математика
в
экономике: Учебник: В 2-х ч.Ч.1. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 224
с. (Гриф).
6. Никольский С.М. Элементы математического анализа: Учеб. пособие для
студ.- 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Дрофа, 2002. – 272 с. (Гриф).
Список дополнительной учебной литературы:
1. Щипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. М. Высш.школа.
1998.
2. Щипачев В.С. Задачник по высшей математике. М. Высш шк.,1998.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
Учеб.пособие для вузов. М. Высш.шк.,2000. (Гриф).
4. Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике / Сост.
Г.Д.Глейзер. М.: УРАО. 2001.(Гриф).
5. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М. 1998.
6. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Для вузов и втузов.
М.1998.
25