В магазине куплено 3 электроприбора: чайник, утюг и пылесос

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ
СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Ставропольский строительный техникум»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ВНЕАУДИТОРНОЙ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
МАТЕМАТИКА
1 КУРС (ЗФО)
270841 «Монтаж и эксплуатация оборудования и систем газоснабжения»,
270839 «Монтаж и эксплуатация внутренних сантехнических устройств,
кондиционирования воздуха и вентиляции»
Ставрополь, 2014
1
Рекомендовано к применению решением
Методического совета ГБОУ СПО «ССТ»
протокол №__ от _______201 г.
Рассмотрено на заседании цикловой
комиссии «Естественно-математических
дисциплин»
протокол №__ от _______201 г.
председатель цикловой комиссии
Е.А Андреева
Автор-разработчик:
Воробьева Л.В. – преподаватель математика
2
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Методическая разработка составлена в соответствии с рекомендациями
по планированию и организации самостоятельной работы студентов
образовательных учреждений среднего профессионального образования.
Уважаемые студенты, предлагаемая система методических указаний
призвана помочь вам овладеть умениями и навыками самостоятельной
работы с учебной литературой, отвечать на поставленные вопросы, выделять
главное в большом объеме теоретического материала, решать качественные и
количественные задачи.
Знания, которые вы приобретаете, в ходе самостоятельной работы,
значительно прочнее тех, которые вы получаете во время аудиторного
занятия. Самостоятельно можно ликвидировать пробелы в знаниях,
расширять временные границы для усвоения знания, творчески подходить к
решению практических задач.
Количество часов на освоение программы дисциплины математика:
максимальной учебной нагрузки обучающегося 72 часа, в том числе:
обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 8 часов;
самостоятельной работы обучающегося 64 часа.
3
График выполнения внеаудиторных самостоятельных работ по
математике
№
п/п
1
Тема
Колво
часов
Тема 1.1
Элементарная
математика.
Элементы
векторной
алгебры,
тригонометрии,
геометрии
12
Вид
самостоятельной
работы
Решение примеров на
вычисления значений
выражений;
Решение задач на
проценты и
пропорции
Выполнение
действий со
степенями
Вычисления по
формулам.
Выполнение
необходимых
измерений и
связанных с ними
расчетов
точных и
приближенных
значений величин
Вычисление
расстояний между
двумя точками
Решение прикладных
задач, связанных с
решением
прямоугольных и
косоугольных
треугольников.
Задачи на
вычисление площадей
и объемов
строительных
элементов,
конструкций,
сооружений методом
элементарной
математики.
4
Результат
работы
Сроки
выпол
нения
2
Тема 1.2.
Алгебра и
начала
анализа
Вычисление пределов
функций, производных,
применение производной к
исследованию функции.
Нахождение и вычисление
интегралов, приложение
определенного интеграла.
Вычисление пределов
функции по вариантам ;
12
вычисление производных
функций;
нахождение
неопределенных
интегралов;
вычисление определенных
интегралов;
1. расчетная
работа по
построению
графиков
функции с
помощью
производной.
2.расчетная
работа по
вычислению
площадей и
объемов с
помощью
определенног
о интеграла
3
Тема 2.1.
Дискретная
математика.
Множества и операции над
ними
Элементы математической
12
логики
используя
ИР дополнить
ОЛК по теме;
простейшие
действия над
множествами.
5
4
Тема 2.2.
Основные
понятия теории
вероятностей
14
5
Тема 2.3.
Элементы
математической
статистики
14
Область приложения и
задачи теории
вероятности. Элементы
комбинаторики.
События, их виды.
Алгебра событий.
Случайные величины.
Область применения и
задачи математической
статистики.
Статистическая функция
распределения.
Статистические оценки
параметров
распределения.
Отработка навыков
методов сбора и
обработки статистических
данных для получения
практических выводов
Уметь
вычислять
элементы
теории
вероятносте
й
Решать
прикладные
задачи
Индивидуал
ьная работа
обработки
статистичес
ких данных
Всего
6
64
часа
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ОСНОВНЫХ
ВИДОВ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ:
умения работать с заголовком учебного текста, информацией:
-
формулировать вопросы к заголовку;
выделять какими знаниями, умениями по данной теме уже владеете;
установить, почему именно эти слова вынесены в заголовок;
предвосхищать, что из ранее неизвестного может открыться;
осознать, что неизвестно по этой теме;
переформулировать заголовок в форму вопроса.
умения, необходимые для структурирования информации:
- делить информацию на относительно самостоятельные смысловые части;
- выделять в смысловой части главное (с точки зрения поставленной
учебной задачи) и вспомогательное, новое и уже знакомое;
- выделять в смысловой части, о чем говорится (объект) и что о нем
говорится;
- оценивать
информативную значимость выделенных мыслей соотносить их с теми или иными категориями содержательной структуры
информации (фактами, явлениями, понятиями, законами, теориями);
- определять логические и содержательные связи и отношения между
мыслями информации;
- выделять «смысловые и опорные пункты», элементы информации,
несущие основную смысловую нагрузку (термины, понятия, формулы,
рисунки и др.)
- группировать по смыслу выделенные при анализе информации мысли,
объединяя их в более крупные части;
- формулировать главные мысли этих частей, всей информации;
- обобщать то, что в тексте дано конкретно;
- конкретизировать то, что дано обобщено;
- доказывать, аргументировать то, что не доказано, но требует
доказательства;
- выделять трудное, непонятное;
- формулировать вопрос по учебной информации;
- выделять противоречия с ранее изученным, с собственным опытом;
- соотносить результаты изучения с поставленными целями, вопросами;
- синтезировать информацию, полученную из разных источников.
умения письменной фиксации результатов работы с учебной информацией:
- составлять план (простой или сложный), отражать информацию
графически;
- отражать содержание информации тезисно;
- составлять конспект (следящий, структурный и др.);
7
коммуникативные умения:
- устно характеризовать систему вопросов, освещенных в учебной
информации;
- тезисно излагать содержание информации;
- развернуто излагать содержание.
умения контролировать свою работу с учебной информацией:
-
воспроизводить изученное;
составлять тезаурус понятий темы;
подбирать, конструировать задания на применение изученного;
приводить собственные примеры;
устанавливать связи изученного с ранее известным.
Общие методические рекомендации для решения задач:
прикладных:
Решение прикладных задач включает три этапа: чтение условия, анализ
задачи и решение.
1. При анализе содержания задачи необходимо использовать, прежде всего,
общие алгоритмы решения по данной теме.
2. Выяснить, как конкретно должно быть объяснено то условие, которое
описано в задаче.
3. Ответ к задаче получают как завершение проведенного анализа. В
прикладных задачах анализ условия тесно сливается с получением
нужного обоснованного ответа.
количественных:
1. Внимательно прочитать текст задачи.
2. Кратко записать условие и сделать чертеж или схему.
3. При разборе задачи, прежде всего обратить внимание искомые элементы,
зависимость между геометрическими или алгебраическими величинами.
4. Решение задачи необходимо сопровождать краткими пояснениями.
5. Вычисления следует производить рациональными приемами, используя
законы и правила.
6. Ответ задачи рекомендуется.
7. Полученный ответ задачи необходимо проверить. Нужно обратить
внимание на реальность ответа.
8
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Самостоятельная работа по теме:
Дифференциальное и интегральное исчисление.
Формируемые компетенции:
ОК2. Организовывать собственную деятельность, определять методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность
и качество.
Должен уметь: вычислять производные и дифференциалы элементарных
функций, сложных функций;
Знать: формулы и правила дифференцирования, определение производной
функции в точке, свойства функций;
Цели самостоятельной работы: научить находить производную сложной
функции; значение производной в точке;
Вид работы:
1. Самостоятельно по выбору заданий.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ОБУЧАЮЩИХСЯ
Актуализация опорных знаний:
 Определение производной функции в точке;
 Формулы производных;
 Правила дифференцирования;
Задание №1-4.Найти производные следующих функций.
1. 𝑓(𝑥) =
2. 𝑓(𝑥) =
3. 𝑓(𝑥) =
ln 𝑥+2
2−ln 𝑥
𝑒 𝑥 −1
𝑒 𝑥 +1
Вычислить f `(2),
Найти f `(-1),
2−sin 𝑥
2+sin 𝑥
𝜋
Найти 𝑓` ( ),
3
𝜋
4. 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 sin 𝑥Вычислить 𝑓` ( ),
4
4
5. 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 3 sin 𝑥 + 6 cos 𝑥 − ln 𝑥 + 11Вычислить y`(1)
𝜋
6. 𝑓(𝑥) = (3 + sin 𝑥)(3 − sin 𝑥) Вычислить 𝑓` ( ),
4
9
Задание№2.
5
y = √(4x 3 − 9)3 . Найти y’.
Задание№3.
6
y = √sin5 4x 2 . Найти y’ .
Задание №4.
3
𝑦 = 73𝑥 . Найти y’ .
Задание №1.
Найти производную функции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
ПРОВЕРКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ОЦЕНКА ИНДИВИДУАЛЬНОЙ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ОБУЧАЮЩИХСЯ
Проверка результатов решения по выбору обучающегося.
Критерии оценки:
оценка «отлично» выставляется обучающемуся,если……12 заданий;
оценка хорошо»……………………………... 9-11 баллов;
оценка «удовлетворительно» ..……………… 7-8 баллов;
10
оценка «неудовлетворительно» ……………………...меньше 7 баллов
КОНСУЛЬТАЦИЯ ПО ТЕМЕ
Производной функции f (x) в точке x 0 называется предел отношения
приращения ∆ f функции в этой точке к приращению ∆ x аргумента, когда
последнее стремится к нулю:
f ( x0 )
f ( x0  x)  f ( x0 )
.
 lim
x 0
x 0
x
x
lim
Функция f (x) , имеющая производную в каждой точке некоторого
промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.
Вычисление производной функции y  f (x) производится по общему
правилу дифференцирования:
I.
Придавая аргументу, x приращение ∆ x и подставляя в выражение
функции вместо аргумента x наращенное значение x  x , находим
наращенное значение функции:
y  y  f ( x  x) .
II.
Вычитая из наращенного значения функции ее первоначальное
значение, находим приращение функции :
y  f ( x  x)  f ( x) .
III.
Делим приращение функции
составляем отношение
IV.
 y на приращение
y f ( x  x)  f ( x)
.

x
x
аргумента x , т.е.
Находим предел этого отношения при x  0 , т.е.
y
f ( x  x)  f ( x)
. Этот
 lim
x 0 x
x 0
x
y  f (x) .
lim
предел и есть производная от функции
Производные элементарных функций.
Элементарными функциями называют степенную, показательную,
логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные
комбинации.
Правила дифференцирования.
1. Производная алгебраической суммы равна сумме производных:
 f x   g x   f x   g x 
11
2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:
cf x   cf x 
3.Производная произведения:
 f x g x   f x g x   f x g x 
4.Производная частного:

 f x  
f x   g x   f x   g x 

 
g 2 x 
 g x  
5.Производная сложной функции:

f g x   f g x g x  ;
! Обратите внимание на приоритет (порядок) применения
правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в
последнюю очередь.
Таблица производных некоторых сложных функций
Для сложных функций на основании правила дифференцирования сложной
функции
принимает другой вид.
1. Производная сложной
степенной функции, где u –
дифференцируемая функция
аргумента x
2. Производная корня от
выражения
3. Производная
показательной функции
4. Частный случай
показательной функции
5. Производная
логарифмической функции с
произвольным
положительным
основанием а
6. Производная сложной
логарифмической функции,
где u– дифференцируемая
функция аргумента x
7. Производная синуса
формула производной простой функции
12
8. Производная косинуса
9. Производная тангенса
10. Производная котангенса
11. Производная арксинуса
12. Производная арккосинуса
13. Производная арктангенса
14. Производная
арккотангенса
13
Вычисление неопределенных интегралов.
Формируемые компетенции:
ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей
профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
Должен уметь:
 находить неопределенные интегралы
Знать:
 Символику и определение неопределенного интеграла
 Свойства неопределенного интеграла
 Методы интегрирования (непосредственного интегрирования, по
частям, введения новой переменной)
 Понятие неопределенного интеграла. Основные свойства
неопределенного интеграла.
 Табличные интегралы.
Цели самостоятельной работы: научить вычислять определенные
интегралы, находить площадь криволинейной трапеции
Виды работ:
1.Самостоятельно по вариантам.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ОБУЧАЮЩИХСЯ
Актуализация опорных знаний:
1. Что называется неопределенным интегралом?
2. Как называются все элементы равенства ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥=F(x)+С?
3. В чем заключается правило интегрирования выражения, содержащего
постоянный множитель?
4. В чем заключается правило интегрирования алгебраической суммы
функций?
5. Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции?
6. Напишите основные формулы интегрирования.
7. Как проверить результаты интегрирования?
8. В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла?
Задание№ 1. Найти интегралы
1) ∫
dx
x4
dx
3
dx
3
; 2) ∫ √xdx; 3) ∫ ; 4) ∫ √3 − x dx ; 5) ∫
; 6) ∫ e−2x+7 dx;
4x+3
√x
7 x
7) 
3

 5 x 2  3 x  8 dx
 2 x  4 dx
2
; 8)
; )

14
dx
x  25 ; 9)  sin 6 x  3 cos x dx ;
2
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задание №1.
Найти производную функции (2 варианта)
dx
 x 1
1)
3)
4
  3 x
3
3 2

x  5 dx
4


dx
2)
 4x  6
4)
4
e
2x
dx

5)
 x x  7dx
6)
7)
 5  3x  dx
8)
 sin 2 x  5 dx
9)
5 x 2  2 x  4 x5
dx

x
10)
 x
3
 32

 5 x  7 x 4 dx




12)

14)
 cos
16)
 6 sin
11)
13)
15)
4
3
 7 x
3

 x 2  1 dx
 5x
19)
x
21)

18)
x dx
5dx
 36
dx
 3 x dx
x
3
3

 8 x 5 dx
dx
3x  2
2dx

20)
2
3
2x
2
x
dx
x

7
  sin 6  x dx
17)
19) 
22)
x2
2
x
dx
16 x 2  81
dx
 4 x 2  64
dx
 4x  14
ПРОВЕРКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ОЦЕНКА ИНДИВИДУАЛЬНОЙ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ОБУЧАЮЩИХСЯ
Проверка результатов решения по выбору обучающегося.
Критерии оценки:
оценка «отлично» выставляется обучающемуся, если……11 заданий;
 оценка хорошо»……………………... 10-9 баллов;
 оценка «удовлетворительно» ..……… 8-7 баллов;
оценка «неудовлетворительно» ...меньше 7 баллов
Решение прикладных задач с помощью определенного интеграла.
15
ОК6. Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение,
эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
Должен уметь: применять определенный интеграл к решению прикладных
задач
Знать:основные математические методы решения прикладных задач в
области профессиональной деятельности
Виды работ:
1. Самостоятельно по вариантам
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ОБУЧАЮЩИХСЯ
Актуализация опорных знаний:
 Формула вычисления пути, пройденного точкой;
 Вычисление площади плоской фигуры;
 Вычисление работы силы;
 Вычисление работы, производимой при поднятии груза;
 Длина дуги плоской кривой;
Задание№ 1
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
х-2у+4=0 и х+у-5+0 и у=0.
Задание№ 2
Скорость движения точки
за 4-ю секунду.
м/с. Найти путь, пройденный точкой
Задание№ 3
Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном
направлении по прямой. Первое тело движется со
скоростью
м/с, второе — со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком
расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?
Задание№ 4
Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает
пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22
до 0,32 м?
Задание№ 5
16
Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м
заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы
выкачать воду из цистерны.
Задание№ 6
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
, х=0, у=
вокруг оси Оу
ПРОВЕРКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ОЦЕНКА
Задание №1.
Реши задачи.
Вариант 1
Вариант 2
1. Вычислите
массу участка
стержня
от
,
1. Вычислите работу за
промежуток времени
[4;9 ], если мощность
вычисляется по
формуле
если его
линейная
плотность
задается
формулой

Вычислите
количество
электричества,
1. Вычислите работу по
переносу единичной
массы, совершенную
17
протекшего по
проводнику за
промежуток
времени [ 2;3 ],
если сила тока
задается
формулой
силой
[ -1;2].
Задание №2.
Формулировка проблемы
Сечение траншеи имеет форму, близкую к криволинейной трапеции,
описываемой функцией у (х). Ширина траншеи на ее поверхности d1 ;d 2  м,
наибольшая глубина h м. Найдите площадь «живого сечения» траншеи, если
она полностью заполнена водой.
Инвариантность (10 вариантов)задается изменением размеров сечения.
№
варианта
функция
1
y  x 2  2x  2 ; у = 0
2
y  x 2  4x ; у = 0
3
4
y=
d1
d2
-1
1
4
,y=0
х
y  2 sin x ; y   sin x
2
е
2
3
0
5
1
у   х 2  3 ; у=0
3
6
y  2 x 2  8 ; у = 0
7
y  x 2  4 ; у = 3
8
y  x2  9 ; у = 0
9
y  ( x  3) 2  4 ; у = 0
1
5
10
y  8x ; y  x 2
16
25
18
Задание №3.
Решете задачу
№ 1. Используя формулу объёма тела вращения, получите формулу для
вычисления объёма конуса.
Чтобы воспользоваться полученной формулой необходимо задать с помощью
функции прямую, которую будем вращать вокруг оси Ох.
Уравнение прямой y=kx
k – угловой коэффициент прямой k=tg= , тогда уравнение прямой примет
вид
.
ПРОВЕРКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ОЦЕНКА ИНДИВИДУАЛЬНОЙ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ОБУЧАЮЩИХСЯ
Критерии оценки:
Оценка «5» (отлично) выставляется в случае полного выполнения всего
задания, отсутствия существенных ошибок при вычислениях и наличии
выводов, подтверждающихся выполнение работы.
Оценка «4» (хорошо) выставляется в случае полного выполнения всего
задания при наличии несущественных ошибок при вычислениях и
построениях чертежей, не повлиявших на общий результат работы (ошибки
при округлении чисел, неточность в построении точек, отсутствие
обозначений на чертежах и т.п.)
19
Оценка «3» (удовлетворительно) выставляется в случае полного выполнения
всех разделов работы при наличии ошибок, которые не оказали
существенного влияния на окончательный результат.
Оценка «2» (неудовлетворительно) выставляется в случае, когда допущены
принципиальные ошибки в вычислениях (перепутаны формулы; чертежи не
соответствуют расчетам; нарушена последовательность выполнения
вычислений; работа выполнена крайне небрежно и т.п.)
КОНСУЛЬТАЦИЯ ПО ТЕМЕ
Применение определённого интеграла в физике
1. Работа.
Пусть к движущейся по прямой точке приложена направленная вдоль этой
прямой переменная сила F=f(x), где f(x) есть непрерывная функция от х –
координаты движущейся точки. Работа силы F при передвижении точки от a
до b равна
где a=x0<x1<…<xn=b, ?xj=xj+1-xj
в силу непрерывности функции f(x) произведение
близко к истинной
работе на отрезке [xj; xj+1], а сумма таких произведений близка к истинной
работе на отрезке [a; b], и притом тем ближе, чем меньше наибольший из
всех xj.
Задача:К движущейся по прямой точке приложена направленная вдоль этой
прямой сила F=2х-1, где х – координата движущейся точки. Вычислите
работу силы F по перемещению точки от 0 до 3. (слайд 17)
Решение:
2. Масса стержня переменной плотности
Будем считать, что отрезок [a; b] оси Ох имеет массу с переменной линейной
плотностью
, где
- непрерывная на отрезке [a; b] функция. Общая
масса этого отрезка
, где a=x0<x1<…<xn=b,
?xj=xj+1-xj
Задача: Вычислить массу стержня на отрезке от 0 до 2, если его плотность
задаётся функцией
(слайд 19)
Решение:
20
.
3.
при
Математика
1. Вычисления Sфигур.
2. Длина дуги кривой.
3. Vтела на S
параллельных сечений.
4. V тела вращения и т.д.
.
Физика
1. Работа А переменной силы.
2. S – (путь) перемещения.
3. Вычисление массы.
4. Вычисление момента инерции линии,
круга, цилиндра.
5. Вычисление координаты центра
тяжести.
6. Количество теплоты и т.д.
4.Применение интеграла в математике для вычисления площади фигур.
Площадь всякой плоской фигуры, рассматриваемая в прямоугольной системе
координат, может быть составлена из площадей криволинейных трапеций,
прилежащих к оси Ох и оси Оу.
1. Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле
Ньютона-Лейбница:
b
S   ( x)dx  F ( x) ba  F (b)  F (a)
a
2. Если трапеция симметрична оси ординат, то ее площадь
a
вычисляется по формуле:
S  2 f ( x)dx
0
21
.
3. Если график функции y  f (x) на a; b расположен выше
графика функции y  g (x) , то площадь фигуры, ограниченной
этими графиками на отрезке
a; b вычисляется по формуле
b
S   (( f ( x)  g ( x))dx
a
.
4. Если график функции y  f x расположен под осью Ох , то
b
используют формулу:
S 2    f ( x)dx
a
22
.
Основные свойства определенного интеграла.
1.Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа
функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от
b
b
b
  f x  g xdx   f xdx   g xdx
a
a
слагаемых функций: a
.
2.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
b
b
 kf xdx  k  f xdx
.
3.При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет
a
a
знак на противоположный:
b
a
a
b
 f xdx   f xdx
.
a
4.Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
5.Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
b
c
b
a
a
c
 f xdx   f xdx   f xdx
.
23
 f x dx  0
a
.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Самостоятельная работа по теме:
Основные понятия теории вероятности.
Формируемые компетенции
ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием
Требования к умениям:
Должен уметь:обучающийся применяет знание основных понятий и
методов дискретной математики, теории вероятностей и математической
статистики, комбинаторики для решения практических задач.
Цель: формирование первичных навыков решения практических задач по
сбору и обработке статистических данных;развитие умений сравнивать,
обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли; развитие
логического мышления, внимания,
Виды работ:
1. Самостоятельно по вариантам.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ОБУЧАЮЩИХСЯ
Актуализация опорных знаний:
 случайная величина (дискретная, непрерывная)
 закон распределения вероятностей дискретной случайной
величины
 способы задания
 многоугольником распределения.
Задание №1.Разобрать задачу.
Составьте закон распределения вероятностей дискретной случайной
величины (д.с.в.) X – числа k выпадений хотя бы одной «шестерки» в n = 8
бросаниях пары игральных кубиков. Постройте многоугольник
распределения. Найдите числовые характеристики распределения (моду
распределения, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее
квадратическое отклонение s(X)).
Решение: Введем обозначение: событие A – «при бросании пары игральных
кубиков шестерка появилась хотя бы один раз». Для нахождения вероятности
P(A) = p события A удобнее вначале найти вероятность P(Ā) = q
противоположного события Ā – «при бросании пары игральных кубиков
24
шестерка не появилась ни разу».
Поскольку вероятность непоявления «шестерки» при бросании одного
кубика равна 5/6, то по теореме умножения вероятностей
P(Ā) = q =
=
.
Соответственно, P(A) = p = 1 – P(Ā) =
.
Испытания в задаче проходят по схеме Бернулли, поэтому д.с.в.
величина X – число k выпадений хотя одной шестерки при бросании двух
кубиков подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей:
где
=
– число сочетаний из n по k.
Проведенные для данной задачи расчеты удобно оформить в виде таблицы:
Распределение вероятностей д.с.в. X º k (n = 8; p =
k
;q=
)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
8
28
56
70
56
28
8
1
Pn(k) 0,0541 0,1904 0,2932 0,258 0,1419 0,05 0,011 0,0013 0,0001
Сумма
1
Полигон (многоугольник) распределения вероятностей дискретной
случайной величины Xпредставлен на рис.:
Полигон распределения вероятностей д.с.в. X=k.
Вертикальной линией показано математическое ожидание
распределения M(X).
Найдем числовые характеристики распределения вероятностей д.с.в. X. Мода
распределения равна 2 (здесь P8(2) = 0,2932 максимально). Математическое
ожидание по определению равно:
M(X) =
= 2,4444,
где xk = k – значение, принимаемое д.с.в. X. Дисперсию D(X) распределения
25
найдем по формуле:
D(X) =
= 4,8097.
Среднее квадратическое отклонение (СКО):
s(X) =
= 2,1931.
Задание №2.Решить задачу.
Дискретная случайная величинаX задана законом распределения
X
1
4
8
Р
0,3
0,1
0,6
Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.
Решение.
Если
, то
Действительно, X может
(третье свойство). Если
принять значение 1 с
, то
вероятностью
.
0,3.
Если
, то
. Действительно, если
удовлетворяет
неравенству
, то
равно вероятности события
, которое
может быть осуществлено, когда X примет значение 1 (вероятность этого
события равна 0,3) или значение 4 (вероятность этого события равна 0,1).
Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения
вероятность события
равна сумме вероятностей 0,3 + 0,1=0,4.
Если
, то
. Действительно, событие
достоверно,
следовательно,
его
вероятность
равна
единице.
Итак,
функция распределения аналитически может быть записана так:
График этой функции:
26
Задание №3. Решить задачу.
В магазине куплено 3 электроприбора: чайник, утюг и пылесос. Вероятность
выхода из строя в течение гарантийного срока для каждого из них
соответственно равны
. Составить закон
распределения случайной величины X – числа приборов, вышедших из строя
в течение гарантийного срока.
Решение. X – число приборов, вышедших из строя, имеет следующие
возможные значения:
- все три прибора не выйдут из строя в течении гарантийного срока;
- один прибор выйдет из строя;
- два прибора выйдут из строя;
- три прибора выйдут из строя.
Найдем соответствующие этим значениям вероятности. По условию,
вероятности выхода из строя приборов равны:
тогда
вероятности того, что приборы будут рабочими в течение гарантийного срока
равны:
Закон распределения имеет вид:
0
1
2
27
3
0,684
0,283
0,032
0,001
Проверка:
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задание №1.Решить задачу.
№1. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые
могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.
№2. Найти дисперсию случайных величин, зная закон её распределения:
X
0,1
2
10
20
Р
0,4
0,2
0,15
0,25
№3. Испытывается устройство, состоящее из трёх независимо работающих
приборов. Вероятности отказа приборов таковы: р1 = 0,4, р2 — 0,5, р3 - 0,6.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное
отклонение числа отказавших приборов.
№4. Построить график функции распределения дискретной случайной
величины X заданной таблицей:
X
P
2
0,3
6
0,6
10
0,1
Задача №5. В магазине имеется 15 автомобилей определенной марки. Среди
них 7 черного цвета, 6 серого и 2 белого. Представители фирмы обратились в
магазин с предложением о продаже им 3 автомобилей этой марки,
безразлично какого цвета. Составьте ряд распределения числа проданных
автомобилей черного цвета при условии, что автомобили отбирались
случайно.
Задача №6. В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в
течение года составляет 20%. Составьте ряд распределения числа банков,
которые могут обанкротиться в течение следующего года.
ПРОВЕРКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ОЦЕНКА ИНДИВИДУАЛЬНОЙ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ОБУЧАЮЩИХСЯ
1. проверка результатов решения задач по готовым ответам;
2. проверка результатов по действиям
28
КОНСУЛЬТАЦИЯ ПО ТЕМЕ
1. Случайной называют величину, которая в результате испытания
примет одно и только одно возможное значение, неизвестное заранее
какое именно.
Будем обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z,и их
возможные значения - соответствующими строчным буквами - х, у, z.
Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные,
возможные значения с определенной вероятностью. Число возможных
значений дискретной случайной величины может быть конечным или
бесконечным.
Пример.
1).Число появлений герба при трех бросаниях монеты: возможно 0; 1; 2; 3
2).Число самолетов, сбитых в воздушном бою: 0; 1; 2;….. N,где N-общее
число самолетов.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все
значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Пример.
1) Абсцисса точки попадания при выстреле.
2) Время безотказной работы лампы.
2. Закон распределения
величины
вероятностей
дискретной
случайной
Законом распределения дискретной случайной величины называют
соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Дискретные случайные величины
xi - значения величины X,
Математическое ожидание:
Свойства:
29
1) M(C) = C, C - постоянная;
2) M(CX) = CM(X);
3) M(X1 + X2) = M(X1) + M(X2), где X1, X2 - независимые случайные
величины;
4) M(X1X2) = M(X1)M(X2).
Дисперсия:
Свойства:
1) D(C) = 0;
2) D(CX) = C2D(X);
3) D(X1 + X2) = D(X1) + D(X2), где X1, X2 - независимые случайные
величины.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х:
Способы задания: таблично, аналитически, графически.
X
𝑥1
𝑥2
…
𝑥𝑛
P
𝑝1
𝑝2
…
𝑝𝑛
– вероятность возможных значений
- возможные значения
События x1 , х2, …, хп - образуют полную группу, т.е. р1 + р2 + ... + рп=
1). Такую таблицу называют рядом распределения случайной величины X.
2). Графическое изображение.
Для наглядности точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура
называется многоугольником распределения.
3. условные характеристики дискретных случайных величин
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют
сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей:
X
𝑥1
𝑥2
…
Хn
30
P
𝑝1
𝑝2
…
Рn
Тогда математическое ожидание М(Х)определяется равенством
М(Х)= х1р1 + Х2Р2 + • • • + ХnPn.
4. Дисперсия дискретной, случайной величины
Для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной
величины вокруг её математического ожидания, пользуются числовой
характеристикой, которую называют дисперсией.
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её
математического ожидания:
D(X) = M[(x-M(X)) 2 ].
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием
квадрата случайной величины X и квадратом её математического ожидания:
D(X) = М(Х2) - (М(Х))2.
5. Среднее квадратическое отклонение
Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют
квадратный корень из дисперсии Ơ(x)=√𝐷(𝑥)
размерность Ơ(Х) совпадает с размерностью X.
6. Определение функции распределения
Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую
вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет
значение, меньше х, т.е.
F(x) = Р(Х <x).
Геометрически: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет
значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее
точки х.
Иногда вместо термина "Функция распределения" используют термин
"Интегральная функция".
Случайную величину называют непрерывной, если её функция
распределения есть непрерывная, кусочно - дифференцируемая функция с
непрерывной производной.
Свойства функции распределения
1) Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:
0≤F(x)≤1.
2)F(x)- неубывающая функция, т.е. F(𝑥2 ) ≥F(𝑥1 ),если 𝑥2 >𝑥1 .
31
3)Вероятность того, что случайная величина X примет значение,
заключённое в интервале (а, b), равна приращению функции распределения
на этом интервале:
Р(а ≤Х<b)= F(b) – F(a).
4)Вероятность того, что непрерывная, случайная величина X примет одно
определённое значение, равна нулю. Тем самым имеет смысл рассматривать
вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал, пусть
даже сколько угодно малый.
5)Если возможное значение случайной величины X принадлежит интервалу
(а, b) ,то:
F(x) = 0, при х ≤ а;
F(x) = 1, при х ≥b.
6)Если возможное значение непрерывной случайной величины расположены
на всей оси, то
lim F(x) = 0; lim F(x) = l.
x→-∞
x→+∞
7.График функции распределения
График функции распределения непрерывной случайной величины,
возможные значения которой принадлежат интервалу (а, b) изображен на
рис. 1.
График функции распределения дискретной случайной величины X,
возможные значениякоторой заданы таблицей
X
1
2
3
Р
0,3
0,3
0,4
32
изображен на рис.
33
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ
Методические указания по выполнению контрольной работы.
Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить
соответствующие разделы курса, рекомендуемые в данном методическом
указании.
Контрольная работа должна выполняться самостоятельно.
Вариант контрольной работы определяется в зависимости от двух последних
цифр шифра (номера зачетной книжки)
Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради пастой любого
цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний.
На обложке тетради должны быть указаны: дисциплина, по которой
выполнена контрольная работа, фамилия и отчество студента, шифр, номер
контрольной работы, адрес и дата отправки работы в техникум.
Без зачета по контрольной работе студент не допускается к экзамену по
данной дисциплине.
34
Задание 1. Вычислить интеграл.
Задание 2. Вычислить интеграл.
Задание 3. Построить фигуру,
ограниченную линиями и найти её площадь.
 ctg
1/ 2
2.
2
x  sin x
x3
3x 3  x 2  1
5. lim 3
x  x  x  3
x3  x 2
6. y  2
; y  1 2x;
x x
xdx ?;
x  1dx
 1  4x
2
4. lim
x 0
;
0
3.
2
y
x
1 и
2

x
dx ;
x
y
2
x
5
2
;
x3  x 2
x2  x
Задание 5.4 Вычислить предел, не используя производных.
dx
x  sin x
2. 
;
lim
5.
x 0
1  x производную.
Задание 6.0 Найти
x3
1.
3
7. y 
x 2 1
x
4. lim
x 1
7. y 
ВАР № 2
1.
1
x
3. x  2 y  4  0, 3x  2 y  12 6.
 0, y y cos
 01  1  ; y  arcsin 1  3 x
Задание 7. Исследовать функцию и построить
её график.
x
1.
 2 x  1
2.
 4 x
2
3
20
ВАР № 1
Задание 4. Применяя правило Лопиталя, вычислить предел.
dx ;

 3 x 2  2 x 2 dx
x5  x 4  2
;
4. lim
x  3 x 5  x  4
3. Вычислить площадь
1  cos 2  5 x 
криволинейной
5. lim
x 0
трапеции,
x2
построенной на
6. y  1  x 2 ; y  sin 2 x
отрезке [4; 9] оси
абсцисс и
ограниченной
кривой y  x
35
7. y 
10
x 4
2
ВАР № 3
1
x2  x  3
4. lim 2
x  2 x  5
3x
 5
5. lim
1



x 
x

3. Найти площадь
7. y  x3  3
фигуры,
ограниченной
6. y  arccos 2 x ; y  3  4  3x 2
частью линии
y  2 x  5 от x  1
до x  4 и осью
абсцисс
1
x2  1
 5
4. lim
1.   3x  2 x  dx ;
x 1 x  1
x

sin x  tgx
9
5. lim
x dx
7. y  4
x 0
2. 
;
x
4 x
x 1
4
6. y  3 sin x ; y  arctg x
3. x  2 y  4  0, 3x  2 y  12  0, y  0
.
xy 6  x 2 y 4  1
1. 
dy ;
y2
3x 4  x  6
4.
lim 4
4
x  x  x 2  2
dx
x
2. 
;
1 

1

2
x

1
5.
lim
1

0


x 
 3x 
3. Найти площадь,
6. y  1  x2 ; y  sin 3 x  cos x
ограниченную
1
3
дугой синусоиды
7. y  x3  x 2  4 x  6
3
2
y  sin x от x  
до x  
cos3 x  5
dx ;
1. 
 x  1 2  x
cos2 x
4.
lim
 4
x 1
x2 1
dx
2. 
;
sin 2 x  sin x
2
5. lim
1

2
sin
x
x 0
0
x2
3. Найти площадь,
2x
y  arctan
; y  x 1  x2
6.
2
заключенную
1 x
между параболой
1
7. y 
 x  1   x  5
y  x 2 и прямой
2x  y  3  0
2
36
ВАР № 5
0
4  x2 ;
ВАР № 6

ВАР № 7
1
2.
ВАР № 4
x2  3 x2
1. 
dx ;
x
2.

sin 2 x
;
sin x
e
dx

;
x 1  ln x 
3. Вычислить площадь
сегмента,
отсекаемого прямой
y   x от параболы
2
1
x ln  x  3  ln x 
4. lim
x  
6 x3  x 2  4
2 x3  x 2  1
1  cos x
1
6. y 
; y  arcsin
1  cos x
x
2
7. y   x  x  1
5. lim
x 
ВАР № 8
1.
y  2x  x2
3
2
3. y  x   4  x 2 ; g  x   x 2 6.2 xy  tg ; y  arcsin x
1.
2.
3.
1.
2.
1
x
1
7. y  2
x  2x 1
1 
 2

4. lim
dx


2
x 1 x  1
x 1 
;

4
2
x x
sin 3 x
1
5. lim
x  0 sin 2 x
x
 xe dx ;
3 x
4x 1
0
; y
6. y  arctan
1  3x
x2
y  x   0; g  x   x ; h x   2  x
x
7. y 
x2
e x  e x
1
4. lim
;
dx
x  0 sin x
sin 2 x  cos2 x
3 x

 4
5.
lim 1  
3
x 
 x
 x sin xdx ;


0

6. y   2 x3  5 ; y  sin 2 x
4
1
3. y  x   ; g  x   x
x
1.
1
3
4
dx
 1  2 sin 2 x ;
0
ВАР № 9
3x
ВАР № 10
5.
 2
lim 1  
x 
 x
ВАР № 11
e
2
2.  1  ln x  dx ;
1
1 x
1 x
7. y  6 x  x2  7
4. lim
x 
6 x2  2 x2  5
x 2  3x  3
sin 2  2 x 
5. lim
x 0
x2
dx
2. 
;
3 x
cos2 x  sin 2 x
; y  x2 1  x2
6. y  arctan
1  3x
3. y  x   x 2  2 x  3; g  x   3x  11
7. y  x 4  2 x
2
37
ВАР № 12
1.  sin 4 x  sin 6 xdx ;
4. lim
x 1


2
 x  ln xdx ;
x 0
1
3
1
1
x
6. y  tg 3 ; y  arcsin x 2
3
3. yx   x 2 ; g x   1  x 2
4 7. y  x 2  1  x 2  1



4. lim


x 1 x 2  1
x 1 

2
1.

dx
4  x2
5. lim
x0
ln 2
2.

ex 1
3. y  1  x2 , y  0
1.
tgx
x3
6. y  arctan
0
7. y 
  x  3 sin xdx
1
2x
4
; y  1  5 x 
3
1 x
ВАР № 14
2.
x4  2 x2  x  1
5 x 4  3x 2  3x  4
5. lim x  ctg2x
4. lim
x 
ВАР № 13
2  3x 2
1.  2
dx ;
x  1  x2
x2  5
x2 1
1 x 2
 x2  1 
1
5.
lim
 2 
x 
0 1  x  2 dx
 x 
1 3 3 2
x
y  x 2  3x; x  2; x  0 6. y  x  x  4 x; y  1  x  tg
3
2
2
2
x 1
7. y 
4 x3  x 2  8
x
lim 3
x  x  2 x  4
4. lim 1  sin x  tg x
x
2
ln 2
x
e  sin x  1
e x  1dx
5. lim
x0 ln 1  x 
0
3.
4.
1.
2.

dx
 5x  4
1
2
6. y  x  e x ; y 
ln sin x
2
3. y  x 2 ; y  3  2 x
  2 x 
2
ВАР № 16
2.
ВАР № 15
2
1
7. y  x 4  2 x
  x  3 sin xdx
2
2.
 1  x 
1
2
 1 cos x 
5. lim  2  2 
x 0 x
x 

dx
0
3. y  4  x ; y  x
 1
ln 1  
x
4. lim 
x  arcctgx
2
2
6. y  3 4 x 2  x3 ; y 
7. y 
x2  2 x  1
x
38
ln  x  a 
ln  e x  ea 
ВАР № 17
1.
2
ln 2
cos x  5
 cos2 x dx
3
2.
5.
sin 2 x
sin x

e

2.
3x
2x
4
x 2 6. y  arctan 1  x 3 ; y  1  5 x 
y
5
2
7. y   x 2  x  1
x2
3. y   1 и
2
1.
 5
lim 1  
x 
x

x4  2 x2  x  1
5 x 4  3x 2  3x  4
5. lim x  ctg2x
4. lim
x 
dx
x 0
x 1  ln x 
2
1  cos x
1
6. y 
; y  arcsin
1  cos x
x
2
2
3. y  x   4  x ; g  x   x  2 x
3
2
7. y  x  9 x  15 x  3
1
1.
 sin
2
xdx
2 x4  5x2  3
2. 
dx
x 1
2
3
4. lim   2arctan x  ln x 
x
5. lim cos x tan 5 x
x
2
2x  1
2
6. y  2 ; y  x sin
x
3. y  x3 ; y  8; x  0, I четверть x  1
3
2x
7. y  2
x 1
ВАР № 19
0
ВАР № 18
x ln  x  3  ln x 
4. lim
x  
e x  1dx
ВАР № 20

1.
 sin 4 x  sin 6 xdx
 xe
x
dx
4 x3  x 2  8
x  x 3  2 x  4
lim
0
1
y  x   x 2  2 x  3; g  x   3xy1x 2  e x2 ; y  ln sin x
2
  2 x 
x
e  sin x  1
lim
x0 ln 1  x 
y
1
 x  1   x  5
39
ВАР № 21
1
Задание 8. Найти отношения между множествами.
Задание 9. Решить задачу.
8. Даны множества
 3

 3
P   ;2; 3;0 и М  0;2;  . Найти
 4

 4
Р  М ; Р  М ; Р / М ; М / Р; М Р .
9. В урне 15 красных шаров и 12
белых. Сколькими
способами можно достать 1
шар?
10. Студент выучил 17
экзаменационных билетов, а 8
оставшихся не выучил. Какова
вероятность, что студент не
получит «двойку» (А), что
получит «двойку» (В)?
ВАР № 1
Задание 10. Решить задачу.
8. Даны множества М = [2;
2,74), N = {x: x< 8}. Найти
MN, MN, M\N, N\M, N M .
10. К зачету по литературе
нужно было прочитать 34
книги. Студентка 12
книг прочла полностью, 11 –
наполовину, а остальные не
читала вообще.
Какова вероятность того, что
она не сдаст зачет?
40
ВАР № 2
9.
У одного филателиста 3
новые марки, у другого 5. Все
марки разные.
Сколькими способами
коллекционеры могут
произвести обмен марки на
марку?
10. На полке 5 учебников
понадобятся студенту на
занятиях, а 17 нет.
8. Даны множества М = (-42;
17], N = [5; 17]. Найти MN,
MN, M\N, N\M, N M .
Какова вероятность, что сонный
студент в темноте выберет
нужный учебник (А)? Не
нужный (В)?
ВАР № 3
9. Сколькими способами 5
человек могут занять пять
стульев?
9. В магазине 4 упаковки с
разными сортами газировки и 5
упаковок с
8. Даны множества М = (-42;
17), N = {5; 17}. Найти
MN, MN, M\N, N\M, N M .
10. В коробке 6 конфет с
вишневой начинкой, 9 - с
шоколадной. Какова
вероятность того, что наудачу
извлеченная из коробки
конфета окажется с вишневой
начинкой (А)? С шоколадной (
А)?
41
ВАР № 4
разными сортами минералки.
Сколькими способами можно
выбрать одну упаковку с
напитком?
ВАР № 5
9. Сколько могло бы быть
расположений цветов
радуги?
10. Вероятность того, что на
соревнованиях спортсмен из
8. Даны множества М = [2; 22], России придет к финишу
N = {2; 22}. Найти MN,
первым – 0,39. Вероятность
MN, M\N, N\M, M N , N M .
того, что к финишу первым
придет спортсмен из Беларуси
– 0,41. Какова вероятность
того, что к финишу первым
хотя бы один из них?
9. У одного филателиста 3
новые марки, у другого 5. Все
марки разные.
8. Даны множества М = [-4;-1], марку?
N = (0; 4). Найти MN,
10. У одного филателиста 3
MN, M\N, N\M, M N , N M .
новые марки, у другого 5. Все
марки разные.
Сколькими способами
коллекционеры могут
произвести обмен марки на
марку?
42
ВАР № 6
Сколькими способами
коллекционеры могут
произвести обмен марки на
9. На лугу 5 разных ромашек и
7 разных васильков. Сколькими
способами
10. Первый преподаватель не
8. Даны множества М = [2; 22], опоздает на пару с
N = {2; 22}. Найти MN,
вероятностью 0,48, второй
MN, M\N, N\M, M N , N M .
– с вероятностью 0,4. Какова
вероятность того, что хотя бы
один из
ВАР № 7
можно сорвать один цветок?
9. Сколькими способами 5
человек могут занять пять
стульев?
На полке 5 учебников
8. Даны множества М = {1,2; 2; понадобятся студенту на
3; 7; 11; 22], N = {-2; 1; 3;
занятиях, а 17 нет.
22}. Найти MN, MN,
10. Какова вероятность, что
M\N, N\M, M N , N M .
сонный студент в темноте
выберет нужный учебник (А)?
Не нужный (А)?
43
ВАР № 8
преподавателей придет на пару
вовремя?
9. Сколькими способами можно
расположить шесть
экзаменационных
10. Два работника приходят
8. Даны множества М = [2; 22], каждое утро в магазин, чтобы
N = {2; 22}. Найти MN,
открыть его для
MN, M\N, N\M, M N , N M .
покупателей. Первый работник
не опоздает к открытию с
вероятностью 0,51,второй – с
вероятностью 0,38. Какова
вероятность того, что магазин
откроется вовремя?
ВАР № 9
билетов в различном порядке?
последовательности, если
каждая нота используется
только один раз?
8. Даны множества М = (-; 1],
10. В ученическом портфеле 5
N = {1; 5}. Найти MN,
учебников в синих обложках и
MN, M\N, N\M, M N , N M .
7 в красных. Какова
вероятность, что наудачу
извлеченный учебник окажется
в синей обложке (А)? В красной
( А)?
44
ВАР № 10
9. Сколькими способами можно
расположить все 7 нот в разной
10. Студент выучил 17
8. Даны множества М = (-; 2],
экзаменационных билетов, а 8
N = (2; ). Найти MN,
оставшихся не
MN, M\N, N\M, M N , N M .
выучил. Какова вероятность,
что студент не получит
«двойку» (А), что получит
«двойку» ( А)?
ВАР № 11
9. В урне 15 красных шаров и
12 белых. Сколькими
способами можно
достать 1 шар?
марку?
8. Даны множества М = [2; 10],
10. К зачету по литературе
N = [3; 9]. Найти MN,
нужно было прочитать 34
MN, M\N, N\M, M N , N M .
книги. Студентка 12
книг прочла полностью, 11 –
наполовину, а остальные не
читала вообще. Какова
вероятность того, что она не
сдаст зачет?
45
ВАР № 12
9. У одного филателиста 3
новые марки, у другого 5.
Все марки разные.
Сколькими способами
коллекционеры могут
произвести обмен марки на
8. Даны множества М = (-12;
2], N = (0; 2). Найти MN,
MN, M\N, N\M, M N , N M .
разными сортами минералки.
Сколькими способами можно
выбрать одну упаковку с
напитком?
10. В коробке 6 конфет с
вишневой начинкой, 9 - с
шоколадной. Какова
ВАР № 13
9. В магазине 4 упаковки с
разными сортами газировки и 5
упаковок с
8. Даны множества М = [4; 5],
N = (4; 5). Найти MN,
MN, M\N, N\M, M N , N M .
9. Сколькими способами 5
человек могут занять пять
стульев?
На полке 5 учебников
понадобятся студенту на
занятиях, а 17 нет.
10. Какова вероятность, что
сонный студент в темноте
выберет нужный учебник (А)?
Не нужный (А)?
46
ВАР № 14
вероятность того, что наудачу
извлеченная из коробки
конфета окажется с вишневой
начинкой (А)? С шоколадной (
А)?
ВАР № 15
8. Даны множества М = [3; 11),
N = (3,02; 9,9). Найти MN,
MN, M\N, N\M, M N , N M .
9. Сколько могло бы быть
расположений цветов
радуги?
10. Вероятность того, что на
соревнованиях спортсмен из
России придет к финишу
первым – 0,39. Вероятность
того, что к финишу первым
придет спортсмен из Беларуси
– 0,41. Какова вероятность
того, что к финишу первым
хотя бы один из них?
9. У одного филателиста 3
новые марки, у другого 5. Все
марки разные.
8. Даны множества М = [1; 2],
марку?
N = {0; 2; 4; 6; 77}. Найти
MN, MN, M\N, N\M, M N , 10. У одного филателиста 3
NM .
новые марки, у другого 5. Все
марки разные.
Сколькими способами
коллекционеры могут
произвести обмен марки на
марку?
47
ВАР № 16
Сколькими способами
коллекционеры могут
произвести обмен марки на
9. На лугу 5 разных ромашек и
7 разных васильков. Сколькими
способами
8. Даны множества М = [2; 22],
N = {2; 22}. Найти MN,
MN, M\N, N\M, M N , N M .
10. Первый преподаватель не
опоздает на пару с
вероятностью 0,48, второй
– с вероятностью 0,4. Какова
вероятность того, что хотя бы
один из
ВАР № 17
можно сорвать один цветок?
8. Даны множества М = (2; ],
N = (-2; 2]. Найти MN,
MN, M\N, N\M, M N , N M .
9. Сколькими способами 5
человек могут занять пять
стульев?
На полке 5 учебников
понадобятся студенту на
занятиях, а 17 нет.
10. Какова вероятность, что
сонный студент в темноте
выберет нужный учебник (А)?
Не нужный (А)?
48
ВАР № 18
преподавателей придет на пару
вовремя?
9. Сколькими способами можно
расположить шесть
экзаменационных
8. Даны множества М = [0; 1),
N = (0; 2]. Найти MN,
MN, M\N, N\M, M N , N M .
10. Два работника приходят
каждое утро в магазин, чтобы
открыть его для
покупателей. Первый работник
не опоздает к открытию с
вероятностью 0,51,второй – с
вероятностью 0,38. Какова
вероятность того, что магазин
откроется вовремя?
ВАР № 19
билетов в различном порядке?
8. Даны множества С и D:
2

С   ; 3 3  ; D   24 ;84  .
9

Найти C  D; C  D; C / D; DC
последовательности, если
каждая нота используется
только один раз?
10. В ученическом портфеле 5
учебников в синих обложках и
7 в красных. Какова
вероятность, что наудачу
извлеченный учебник окажется
в синей обложке (А)? В красной
( А)?
49
ВАР № 20
9. Сколькими способами можно
расположить все 7 нот в разной
9.В урне 15 красных шаров и 12
белых. Сколькими способами
можно

достать 1 шар?

10. Студент выучил 17
экзаменационных билетов, а 8
оставшихся не
выучил. Какова вероятность,
что студент не получит
«двойку» (А), что получит
«двойку» ( А)?
50
ВАР № 21
8. Даны множества С и D:
2

С    7,3  ; D  2;2  4i
9

. Найти C  D; C  D; C / D; DC .
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
Понятие первообразной, неопределенный интеграл.
Основные понятия комбинаторики. Понятие факториала.
Основные понятия комбинаторики. Перестановки.
Основные понятия комбинаторики. Размещения.
Основные понятия комбинаторики. Сочетания.
События, их виды (случайное, искомое, равновозможные).
Производная, правила дифференцирования.
События, их виды (несовместные, совместные, достоверное,
невозможное)
9. Таблица неопределенных интегралов.
10.Производные элементарных функций.
11.События, их виды (несовместные, совместные, достоверное,
невозможное).
12.События, их виды. (Полная система событий, противоположные
события).
13. Относительная частота событий.
14.Определение вероятности событий. Свойства вероятности событий.
15.Теорема сложения вероятностей. Следствия из нее.
16.Случайные величины. Формула Бернули.
17.Статистическая функция распределения.
18.Понятие функции. Свойства функций.
19.Приращение аргумента. Приращение функции.
20.Предел функции. Теорема о пределах.
21.Производная функции. Правила дифференцирования.
22.Формулы производных элементарных функций.
23.Неопределенный интеграл. Понятие первообразной.
24.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
25.Теорема сложения вероятностей. Следствия из нее.
26.Основные понятия комбинаторики. Понятие факториала.
27.Таблица неопределенных интегралов.
28.Производные элементарных функций.
29.Основные понятия комбинаторики. Размещения.
30.События, их виды (несовместные, совместные, достоверное,
невозможное)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
51
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
Качество выполнения внеаудиторной самостоятельной работы
студентов оценивается посредством текущего контроля самостоятельной
работы студентов с использованием балльно-рейтинговой системы. Текущий
контроль СРС – это форма планомерного контроля качества и объема,
приобретаемых студентом компетенций в процессе изучения дисциплины,
проводится на практических и семинарских занятиях и во время
консультаций преподавателя.
Максимальное количество «5» баллов, самостоятельной работы
студента по каждому виду задания, студент получает, если:
•
обстоятельно с достаточной полнотой излагает соответствующую
тему;
•
дает правильные формулировки, точные определения, понятия
терминов;
•
может обосновать свой ответ, привести необходимые примеры;
•
правильно отвечает на дополнительные вопросы преподавателя,
имеющие целью выяснить степень понимания студентом данного материала.
Оценку «4»студент получает, если:
•
задание;
неполно (не менее 70% от полного), но правильно изложено
•
при изложении были допущены 1-2 несущественные ошибки,
которые он исправляет после замечания преподавателя;
•
дает правильные формулировки, точные определения, понятия
терминов;
•
может обосновать свой ответ, привести необходимые примеры;
•
правильно отвечает на дополнительные вопросы преподавателя,
имеющие целью выяснить степень понимания студентом данного материала.
Оценку «3»студент студент получает, если:
•
задание;
неполно
(не менее 50% от полного), но правильно изложено
52
•
при изложении была допущена 1 существенная ошибка;
•
знает и понимает основные положения данной темы, но
допускает неточности в формулировке понятий;
•
излагает
последовательно;
•
выполнение
задания
недостаточно
логично
и
затрудняется при ответах на вопросы преподавателя.
Оценку «2»студент получает, если:
•
неполно (менее 50% от полного) изложено задание;
•
при изложении были допущены существенные ошибки.
В "0" баллов преподаватель вправе оценить выполненное студентом
задание, если оно не удовлетворяет требованиям, установленным
преподавателем к данному виду работы.
Сумма полученных баллов по всем видам заданий внеаудиторной
самостоятельной работы составляет рейтинговый показатель студента.
Рейтинговый показатель студента влияет на выставление итоговой оценки по
результатам изучения дисциплины.
53
ГЛОССАРИЙ
Абсцисса (лат.словоabscissa - «отрезанная»). Заимств. из франц. яз.в начале
19 в. Франц. abscisse – из лат. Это одна из декартовых координат точки,
обычно первая, обозначаемая буквой x. В современном смысле Т. употреблен
впервые немецким ученым Г. Лейбницем (1675).
Аддитивность(лат. слово additivus – «прибавляемый»).
Свойство величин, состоящее в том, что значение величины,
соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин,
соответствующих его частям при любом разбиении объекта на части.
Аксиома (греч.словоaxios- ценный; axioma – «принятие положения»,
«почет», «уважение», «авторитет»). В рус.яз. – с Петровских времен. Это
основное положение, самоочевидный принцип. Впервые Т. встречается у
Аристотеля. Использовался в книгах Евклида «Начала». Большую роль
сыграли
работы
древнегреческого
ученого
Архимеда,
который
сформулировал аксиомы, относящиеся к измерению величин. Вклад в
аксиоматику внесли Лобачевский, Паш, Пеано. Логически безупречный
список аксиом геометрии был указан немецким математиком Гильбертом на
рубеже 19 и 20 вв.
Аксонометрия (от греч.словаakon – «ось» и metrio – «измеряю»). Это
один из способов изображения пространственных фигур на плоскости.
Алгебра (араб.слово «ал-джебр». Заимств. В 18 в. из польск. яз.). Это часть
математики, развивающаяся в связи с задачей о решении алгебраических
уравнений. Т. впервые появляется у выдающегося среднеазиатского
математика и астронома 11 века Мухам меда бен-Мусы ал-Хорезми.
Анализ (греч.словоanalozis
–
«решение»,
«разрешение»). Т.
«аналитическая» восходит к Виету, который отвергал слово «алгебра» как
варварское, заменяя его словом «анализ».
Антье (франц. слово entiere – «целый»). Это то же, что целая часть
действительного числа.
Апофема (греч.словоapothema,apo – «от», «из»; thema – «приложенное»,
«поставленное»).
1.В правильном многоугольнике апофема – отрезок перпендикуляра,
опущенного из его центра на любую из его сторон, а также его длина.
54
2.В правильной пирамиде апофема – высота любой его боковой грани.
3.В правильной усеченной пирамиде апофема – высота любой ее боковой
грани.
Аппликата (лат.словоapplicata – «приложенная»). Это одна из декартовых
координат точки в пространстве, обычно третья, обозначаемая буквой Z.
Аргумент функции (лат.словоargumentum – «предмет», «знак»). Это
независимая переменная величина, по значениям которой определяют
значения функции.
Арифметика (греч.словоarithmos – «число»). Это наука, изучающая
действия над числами. Арифметика возникла в странах Др. Востока,
Вавилона, Китае, Индии, Египте. Особый вклад внесли: Анаксагор и Зенон,
Евклид, Эратосфен, Диофант, Пифагор, Л. Пизанский и др.
Арктангенс, Арксинус (приставка «арк»- лат.словоarcus – «лук», «дуга»).
Arcsin и arctg появляются в 1772 году в работах венского математика
Шеффера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа, хотя несколько
ранее их уже рассматривал Д. Бернулли, но который употреблял другую
символику.
Асимметрия (греч.словоasymmetria – «несоразмерность»). Это отсутствие
или нарушение симметрии
Асимптота (греч.словоasymptotes – «несовпадающий»). Это прямая, к
которой неограниченно приближаются точки некоторой кривой по мере того,
как эти точки удаляются в бесконечность.
Ассоциативность (лат.словоassociatio – «соединение»). Сочетательный
закон чисел. Т. введен У.Гамильтоном (1843).
Б
Биллион (франц. слово billion, или миллиард – milliard). Это тысяча
миллионов, число изображаемое единицей с 9 нулями, т.е. число 10 9 . В
некоторых странах биллионом называют число, равное 10 12.
Бином лат.словаbi – «двойной», nomen – «имя». Это сумма или разность
двух чисел или алгебраических выражений, называемых членами бинома.
55
Биссектриса (лат.словаbis – «дважды» и sectrix –«секущая»). Заимств. В
19 в. из франц. яз.гдеbissectrice – восходит к лат. словосочетанию. Это
прямая, проходящая через вершину угла и делящая его пополам.
В
Вектор (лат.словоvector – «несущий», «носитель»). Это направленный
отрезок прямой, у которой один конец называют началом вектора, другой
конец – концом вектора. Этот термин ввел ирландский ученый У. Гамильтон
(1845).
Вертикальные углы (лат.слова verticalis – «вершинный»). Это пары углов
с общей вершиной, образуемые при пересечении двух прямых так, что
стороны одного угла являются продолжением сторон другого.
Г
Гексаэдр (греч.словаgeks – «шесть» и edra – «грань»). Это шестигранник.
Этот Т. приписывают древнегреческому ученому Паппу Александрийскому
(3 век).
Геометрия (греч.словаgeо – «Земля» и metreo – «измеряю»). Др.-рус.
заимств. из греч.яз. Часть математики, изучающая пространственные
отношения и формы. Т. появился в 5 веке до н.э. в Египте, Вавилоне.
Гипербола (греч.словоhyperballo – «прохожу через что-либо»). Заимств. в
18 в. из лат.яз. Это незамкнутая кривая из двух неограниченно
простирающихся ветвей. Т.ввел древнегреческий ученый Апполоний
Пермский.
Гипотенуза (греч.словоgyipotenusa – «стягивающая»). Замств. из лат.яз. в
18 в., в котором hypotenusa – от греч. сторона прямоугольного треугольника,
лежащая против прямого угла. Древнегреческий ученый Евклид (3 век до
н.э.) вместо этого термина писал, «сторона, которая стягивает прямой
угол».
Градус (лат.словоgradus – «шаг», «ступень»). Единица измерения плоского
угла, равная 1/90 части прямого угла. Измерение углов в градусах появилось
более 3 лет назад в Вавилоне. Обозначения, напоминающие современные,
использовались древнегреческимиученым Птолемеем.
56
График (греч.словоgraphikos- «начертанный»). Это график функции –
кривая на плоскости, изображаемая зависимость функции от аргумента.
Д
Дедукция (лат.словоdeductio-«выведение»). Это форма мышления,
посредством которой утверждение выводится чисто логически (по правилам
логики) из некоторых данных утверждений – посылок.
Деференты (лат.словоdefero-«несу», «перемещаю»). Это окружность, по
которой вращаются эпициклоиды каждой планеты. У Птолемея планеты
вращаются по окружностям – эпициклам, а центры эпициклов каждой
планеты вращаются вокруг Земли по большим окружностям – деферентам.
Диагональ (греч.словоdia – «через» и gonium – «угол»). Это отрезок прямой,
соединяющий две вершины многоугольника, не лежащие на одной стороне.
Т. встречается у древнегреческого ученого Евклида (3 век до н.э.).
Диаметр (греч.словоdiametros – «поперечник», «насквозь», «измеряющий» и
слово dia – «между», «сквозь»). Т. «деление» в русском языке впервые
встречаются у Л.Ф.Магницкий.
Директриса (лат.словоdirectrix – «направляющий»).
Дискретность (лат.словоdiscretus – «разделенный», «прерывистый»). Это
прерывность; противопоставляется непрерывности.
Дискриминант (лат.словоdiscriminans- «различающий», «разделяющий»).
Это составленное из величин, определенных заданную функцию, выражение,
обращением которого в нуль характеризуется то или иное отклонение
функции от нормы.
Дистрибутивность (лат.словоdistributivus – «распределительный»).
Распределительный закон, связывающий сложение и умножение чисел. Т.
ввел франц. ученый Ф. Сервуа (1815 г.).
Дифференциал (лат.словоdifferento- «разность»). Это одно из основных
понятий математического анализа. Этот Т. встречается у немецкого ученого
Г. Лейбница в 1675 г. (опубликовано в 1684г.).
Додекаэдр (греч.словаdodeka – «двенадцать» и edra – «основание»). Это один
из пяти правильных многогранников. Т. впервые встречается у
древнегреческого ученого Теэтет (4 век до н.э.).
З
57
Знаменатель - число, показывающее размеры долей единицы, из которых
составлена дробь. Впервые встречается у византийского ученого Максима
Плануда (конец 13 века).
И
Изоморфизм (греч.словаisos – «равный» и morfe – «вид», «форма»). Это
понятие современной математики, уточняющее широко распространенное
понятие аналогии, модели. Т. был введен в середине 17 века.
Икосаэдр(греч. слова eicosi – «двадцать» и edra – основание). Один из
пяти правильных многогранников; имеет 20 треугольных граней, 30 ребер и
12 вершин. Т. дан Теэтетом, который и открыл его (4 век до н.э.).
Инвариантность(лат. слова in - «отрицание» и
varians «изменяющийся»). Это неизменность какой-либо величины по отношению
к преобразованиям координат. Т. введен англ. ученым Дж. Сильвестром
(1851).
Индукция (лат.словоinductio – «наведение»). Один из
доказательства математических утверждений. Этот метод
появляется у Паскаля.
методов
впервые
Индекс (лат.словоindex – «указатель». Заимств. в начале 18 в. из лат.яз.).
Числовой или буквенный указатель, которым снабжаются математические
выражения для того, чтобы отличать их друг от друга.
Интеграл (лат.словоintegro – «восстанавливать» или integer – «целый»).
Заимств. во второй половине 18 в. из франц. яз.на базе лат. integralis –
«целый», «полный». Одно из основных понятий математического анализа,
возникшее в связи потребностью измерять площади, объемы, отыскивать
функции по их производным. Обычно эти концепции интеграла связывают с
Ньютоном и Лейбницем. Впервые это слово употребил в печати швец.
Ученый Я. Бернулли (1690 г.). Знак ∫ - стилизованная буква S от
лат.словаsumma – «сумма». Впервые появился у Г. В. Лейбница.
Интервал (лат.словоintervallum
–
«промежуток»,
«расстояние»).
Множество действительных чисел, удовлетворяющее неравенству a < x <b.
Иррациональное число (т. слово irrationalis – «неразумный»). Число, не
являющееся рациональным. Т. ввел немецк. ученый М.Штифель (1544).
Строгая теория иррациональных чисел была построена во 2-ой половине 19
века.
58
Итерация (ат. слово iteratio – «повторение»). Результат повторного
применения какой-либо математической операции.</b.
К
Калькулятор - немецк. слово kalkulator восходит к лат.словуcalculator –
«считать». Заимств. в конце 18 в. из немец.яз. Портативное вычислительное
устройство.
Каноническое разложение - греч.словоcanon – «правило», «норма».
Касательная - лат.словоtangens – «касающийся». Семантическая калька
конца 18 века.
Катет - лат.словоkatetos – «отвес». Сторона прямоугольного треугольника,
прилежащая к прямому углу. Т. впервые встречается в форме «катетус» в
«Арифметике» Магницкого 1703 года, но уже во втором десятилетии 18 века
получает распространение современная форма.
Квадрат - лат.словоquadratus – «четырехугольный» (от guattuor «четыре»). Прямоугольник, у которого все стороны равны, или, что
равносильно, ромб, у которого все углы равны.
Коллинеарность - лат.словоcon, com – «вместе» и linea - «линия».
Расположенность на одной линии (прямой). Т. ввел америк. ученый
Дж.Гиббс; впрочем, это понятие встречалось ранее у У. Гамильтона (1843).
Комбинаторика - лат.словоcombinare – «соединять». Раздел математики, в
котором изучаются различные соединения и размещения, связанные с
подсчетом комбинаций из элементов данного конечного множества.
Компланарность - лат.словаcon, com – «вместе» и planum – «плоскость».
Расположение в одной плоскости. Т. впервые встречается у Я.Бернулли;
впрочем, это понятие встречалось ранее у У.Гамильтона (1843).
Конгруэнтность лат.словоcongruens
–
«соразмерный».
Т.,
употребляемый для обозначения равенства отрезков, углов, треугольников и
др.
Константа лат.словоconstans–«постоянный»,
«неизменный».
Постоянная величина при рассмотрении математических и др. процессов.
Конус - греч.словоkonos – «кегля», «шишка», «верхушка шлема». Тело,
ограниченное одной полостью конической поверхности и пересекающей эту
59
полость плоскостью, перпендикулярной ее оси. Т. получил современный
смысл у Аристарха, Евклида, Архимеда.
Конфигурация - лат.слово со – «вместе» и figura - «вид». Расположение
фигур.
Конхоида - греч. слово conchoides – «подобная раковине мидии».
Алгебраическая кривая. Ввел Никомед из Александрии (2 век до н.э.).
Координаты - лат.слово со – «вместе» и ordinates - «определенный».
Числа, взятые в определенном порядке, определяющие положение точки на
линии, плоскости, пространстве. Т. ввел Г. Лейбниц (1692)
Косинус - лат.словоcomplementisinus, complementus – «дополнение», sinus
– «впадина». Заимств. в конце 18 в. из языка ученой латыни. Одна из
тригонометрических функций, обозначаемая cos. Ввел Л.Эйлер в 1748 году.
Котангенс - лат.словоcomplementitangens: complementus – «дополнение»
или от лат. слова cotangere – «соприкасаться». Во второй половине 18
в. из языка научной латыни. Одна из тригонометрических функций,
обозначается ctg.
Коэффициент - лат.слово со – «вместе» и efficiens – «производящий».
Множитель, обычно выражаемый цифрами. Т. ввел Виет.
Куб - греч.словоkubos – «игральная кость». Заимств. в конце 18 в. из
ученой латыни. Один из правильных многогранников; имеет 6 квадратных
граней, 12 ребер, 8 вершин. Название введено пифагорейцами, затем
встречается у Евклида (3 век до н.э.).
Л
Лемма - греч.словоlemma – «допущение». Это вспомогательное
предложение, употребляемое при доказательствах других утверждений. Т.
введен древнегреческими геометрами; особенно часто встречается у
Архимеда.
Лемниската - греч.словоlemniscatus – «украшенный лентами».
Алгебраическая кривая. Изобрел Бернулли.
Линия - лат. слово linea – «лен», «нить»,«шнур», «веревка». Один из
основных геометрических образов. Представлением о ней может служить
нить или образ, описываемый движением точки в плоскости или
пространстве.
60
Логарифм - греч.словоlogos – «отношение» и arithmos – «число». Заимств. в
18 в. из франц. яз., где logarithme - англ. logarithmus – образовано сложением
греч.слов. Показатель степени m, в которую необходимо возвести a, чтобы
получить N.Т. предложил Дж. Непер.
М
Максимумт - лат.словоmaximum – «наибольшее». Заимств. во второй
половине 19 в. из лат.яз. Наибольшее значение функции на множестве
определения функции.
Масштаб - немецк. слово mas – «мера» и stab – палка». Это отношение
длины линии на чертеже к длине соответствующей линии в натуре.
Математика - греч. слово matematike от греч.словаmatema – «знание»,
«наука». Заимств. в начале 18 в. из лат. яз., где mathematica – греч. Наука о
количественных отношениях и пространственных формах действительного
мира.
Матрица - лат.словоmatrix – «матка», «источник», «начало». Это
прямоугольная таблица, образованная из некоторого множества и состоящая
из строк и столбцов. Впервые Т. появился у У. Гамильтона и ученых А. Кэли
и Дж. Сильвестра всер. 19 века. Современное обозначение – две вертик.
черточки - ввел А. Кэли (1841).
Медиана (треуг-ка) - лат.словоmedianus – «средний». Это отрезок,
соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной
стороны.
Метр - франц. слово metre – «палка для измерения» или
греч.словоmetron – «мера». Заимств. в 18 в. из франц. яз., где metre – греч.
Это основная единица длины. Она появилась на свет 2 века назад. Метр был
«рожден» Великой французской революцией в 1791 году.
Метрика - греч.словоmetrike<metron – «мера», «размер». Это правило
определения расстояния между любыми двумя точками данного
пространства.
Миллиард - франц. слово mille – «тысяча». Заимств. в 19 в. из франц.
яз., где milliard – суф. Производное от mille – «тысяча».
Минимум - лат.словоminimum – «наименьшее». Наименьшее значение
функции на множестве определения функции.
61
Минус - лат.словоminus – «менее». Это математический знак в виде
горизонтальной черты, употребляемый для обозначения отрицательных
чисел и действия вычитания. Введен в науку Видманом в 1489 году
Модуль - лат.словоmodulus – «мера», «величина». Это абсолютная
величина действительного числа. Т. ввел Р.Котс, ученик И. Ньютона. Знак
модуля введен в 19 веке К.Вейерштрассом.
Н
Норма - лат.словоnorma – «правило», «образец». Обобщение понятия
абсолютной величины числа. Знак «нормы» ввел немецк.ученыйЭ.Шмидт
(1908).
Нуль - лат слово nullum–«ничто», «никакой». Первоначально Т. обозначал
отсутствие числа. Обозначение нуля появилось около середины первого
тысячелетия до н.э.
Нумерация - лат.словоnumero – «считаю». Это счисление
совокупность приемов наименования и обозначения чисел.
или
О
Овал - лат. слово ovaum – «яйцо».Заимств. в 18 в. из франц., где ovale –
лат. Это замкнутая выпуклая плоская фигур
Окружность греч.словоperiferia – «периферия», «окружность». Это
множество точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной
точки, лежащей в той же плоскости и называемой ее центром.
Октаэдр - греч.словаokto – «восемь» и edra – «основание». Это один из
пяти правильных многогранников; имеет 8 треугольных граней, 12 ребер и 6
вершин. Этот Т. дан древнегреческим ученым Теэтетом (4 век до н.э),
который впервые и построил октаэдр.
Ордината - лат.словоordinatum – «по порядку». Одна из декартовых
координат точки, обычно вторая, обозначаемая буквой y. Как одна из
декартовых координат точки, этот Т. употреблен немецк. ученым
Г.Лейбницем (1694 г.).
Орт - греч.словоortos – «прямой». То же, что единичный вектор, длина
которого принята равной единице. Т. ввел англ. ученый О.Хевисайд (1892 г.).
62
Ортогональность - греч.словоortogonios – «прямоугольный». Обобщение
понятие перпендикулярности. Встречается у древнегреческого ученого
Евклида (3 век до н.э.).
П
Парабола - греч.словоparabole – «приложение».Это нецентральная линия
второго порядка, состоящая из одной бесконечной ветви, симметричной
относительно оси. Т. ввел древнегреческий ученый АполлонийПергский,
рассматривавший параболу как одно из конических сечений.
Параллелепипед - греч.словоparallelos- «параллельный» и epipedos –
«поверхность». Это шестигранник, все грани которого – параллелограммы.
Т. встречался у древнегреческих ученых Евклида и Герона.
Параллелограмм - греч.словаparallelos – «параллельный» и gramma –
«линия», «черта». Это четырехугольник, у которого противоположные
стороны попарно параллельны. Т. начал употреблять Евклид.
Параллельность - parallelos –
употреблялся в школе Пифагора.
«рядом
идущий».
Параметр греч.словоparametros
–
вспомогательная переменная, входящая в
До
Евклида
Т.
«отмеривающий».
Это
формулы и выражения.
Периметр - греч.словоperi – «вокруг», «около» и metreo – «измеряю». Т.
встречается у древнегреческих ученых Архимеда (3 век до н.э.), Герона (1
век до н.э.), Паппа (3 век).
Перпендикуля - лат.словоperpendicularis – «отвесный». Это прямая,
пересекающая данную прямую (плоскость) под прямым углом. Т. был
образован в средние века.
Пирамида - греч.словоpyramis, кот. произошло от егип.словаpermeous –
«боковое ребро сооружения» или от pyros –«пшеница», или от pyra –
«огонь». Заимств. из ст.-сл. яз. Это многогранник, одна из граней которого –
плоский многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей
вершиной,
не
лежащей
в
плоскости
основания.
Площадь - греч.словоplateia – «широкая». Происхождение неясно.
Некоторые ученые считают заимств. из ст.-сл. Другие толкуют как исконно
русское.
63
Планиметрия - лат.словоplanum – «плоскость» и metreo – «измеряю».
Это часть элементарной геометрии, в которой изучаются свойства фигур,
лежащих в плоскости. Т. встречается у древнегреч. ученого Евклида (4 век до
н.э.).
Плюс - лат.словоplus – «больше». Это знак для обозначения действия
сложения, а также для обозначения положительности чисел. Знак ввел
чешский ученый Я. Видман (1489 г.).
Полином - греч.словоpolis – «многочисленный», «обширный» и
лат.словоnomen – «имя». Это то же, что многочлен, т.е. сумма
некоторого числа одночленов.
Потенцирование - немецк.словоpotenzieren – «возводить в степень».
Действие, заключающееся в нахождении числа по данному логарифму.
Предел - лат.словоlimes – «граница». Это одно из основных понятий
математики, означающее, что некоторая переменная величина в
рассматриваемом процессе ее изменения неограниченно приближается к
определенному постоянному значению. Т. ввел Ньютон, а употребляемый
ныне символ lim (3 первые буквы от limes) – франц.ученыйС.Люилье (1786
г.). Выражение lim первым записал У.Гамильтон (1853 г.).
Призма - греч.словоprisma – «отпиленный кусок». Это многогранник, две
грани которого – равные n-угольники, называемые основаниями призмы, а
остальные грани – боковые. Т. встречается уже в 3 веке до н.э. у древнегреч.
ученых Евклида и Архимеда.
Производная - франц.словоderivee. Ввел Ж.Лагранж в 1797 году.
Проекция - лат.словоprojectio – «бросание вперед». Это способ
изображения
плоской
или
пространственной
фигуры.
Пропорция - лат.словоproportio – «соотношение». Это равенство между
двумя
отношениями
четырех
величин.
Процент - лат.словоprocentum - «со ста». Идея процента возникла в
Вавилоне.
Постулат - лат.словоpostulatum – «требование». Употребляемое иногда
название для аксиом математической теории
Р
64
Радиан - лат.словоradius – «спица», «луч». Это единица измерения углов.
Первое издание, содержащее этот термин, появилось в 1873 году в Англии.
Радикал - лат.словоradix – «корень», radicalis – «коренной». Современный
знак √ впервые появился в книге Р.Декарта «Геометрия», изданной в 1637 г.
Этот знак состоит из двух частей: модифицированной буквы r и черты,
заменявшей ранее скобки. Индийцы называли «мула», арабы – «джизр»,
европейцы – «радикс».
Радиус - лат слово radius – «спица в колесе». Заимств. в Петровскую эпоху
из лат.яз. Это отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо ее
точкой, а также длина этого отрезка. В древности Т. не было, он встречается
впервые в 1569 г. у франц. ученого П. Раме, затем у Ф.Виета и становится
общепринятым в конце 17 века.
Рекуррентный - лат.словоrecurrere
возвратное движение в математике.
–
«возвращаться
назад».
Это
Ромб - греч.словоrombos – «бубен». Это четырехугольник, у которого все
стороны равны. Т. употребляется у древнегреческих ученых Герона (1 век
до н.э.), Паппа (2-ая половина 3 века).
Рулетты - франц.словоroulette – «колесико», «сравните», «рулетка»,
«руль». Это кривые. Т. придумали франц. математики, изучавшие свойство
кривых.
С
Сегмент - лат.словоsegmentum – «отрезок», «полоса». Это часть круга,
ограниченная
дугой
граничной
окружности
и
хордой,
соединяющей концы этой дуги.
Секанс лат.словоsecans
–
«секущая».
Это
одна
из
тригонометрических
функций.
Обозначается
sec.
Сектор - лат.словоseco – «режу». Это часть круга, ограниченная дугой его
граничной окружности и двумя ее радиусами, соединяющими концы дуги с
центром круга.
Секунда - лат.словоsecunda – «вторая». Это единица измерения плоских
углов,
равная
1/3600
градуса
или
1/60
минуты.
Симметрия - греч.словоsimmetria – «соразмерность». Свойство формы
или расположения фигур симметрично.
65
Синус - лат. sinus –«изгиб», «кривизна», «пазуха». Это одна из
тригонометрических функций. В 4-5 вв. называли «ардхаджива» (ардха –
половина, джива – тетива лука). Арабскими математиками в 9 в. слово
«джайб» - выпуклость. При переводе арабских математических текстов в 12
в. Т. был заменен «синусом». Современное обозначение sin ввел
российский ученый Эйлер (1748 г.).
Скаляр - лат.словоscalaris – «ступенчатый». Это величина, каждое
значение которой выражается одним числом. Этот Т. ввел ирландский
ученый У.Гамильтон (1843 г.).
Спираль - греч.словоsperia – «виток». Это плоская кривая, которая обычно
обходит вокруг одной (или нескольких) точки, приближаясь или удаляясь от
нее.
Стереометрия - греч.словаstereos – «объемный» и metreo – «измеряю».
Это
часть
элементарной
геометрии,
в
которой
изучаются пространственные фигуры.
Сумма - лат.словоsumma – «итог», «общее количество». Результат
сложения. Знак ∑ (греч.буква «сигма») ввел российский ученый Л.Эйлер
(1755 г.).
Сфера - греч.словоsfaira – «шар», «мяч». Это замкнутая поверхность,
получаемая вращением полуокружности вокруг прямой, содержащей
стягивающий ее диаметр. Т.встречается у древнегреческих ученых Платона,
Аристотеля.
Т
Тангенс - лат.словоtanger – «касаться». Одна из тригонометр. функций. Т.
введен в 10 веке арабским математиком Абу-л-Вафой, который составил и
первые
таблицы
для
нахождения
тангенсов
и
котангенсов.
Обозначение tg ввел российский ученый Л.Эйлер.
Теорема - греч.словоtereo – «исследую». Это математическое утверждение,
истинность которого установлена путем доказательства. Т. употребляется
еще Архимедом.
Тетраэдр - греч.словаtetra – «четыре» и edra – «основание». Один из пяти
правильных многранников; имеет 4 треугольные грани, 6 ребер и 4 вершины.
По-видимому, Т. впервые употреблен древнегреческим ученым Евклидом (3
век до н.э.).
66
Топология - греч.словоtopos – «место». Ветвь геометрии, изучающая
свойства геометрических фигур, связанных с их взаимным расположением.
Так считали Эйлер, Гаусс, Риман, что Т. Лейбница относится именно к этой
ветви геометрии. Во второй половине прошлого столетия в новую область
математики, она получила название топологии.
Точка - русс.слово «ткнуть» как бы результат мгновенного
прикосновения, укола. Н.И.Лобачевский, впрочем, считал, что Т.
происходит от глагола «точить» - как результат прикосновения острия
отточенного пера. Одно из основных понятий геометрии.
Транспортир - лат.словоtransortare – «переносить», «перекладывать».
Приспособление для построения и измерения углов на чертеже.
Трансцендентный - лат.словоtranscendens –«выходящий за пределы»,
«переходящий». Его впервые употребил немецк.ученый Г.Лейбниц (1686 г).
Трапеция - греч.слово trapezion – «столик». Заимств. в 18 в. из лат. яз., где
trapezion – греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные
стороны параллельны. Т. встречается впервые у древнегреческого ученого
Посидония (2 век до н.э.).
Тригонометрия - греч.словаtrigonon – «треугольник» и metreo –
«измеряю». Заимств. в 18 в. из ученой латыни. Раздел геометрии, в котором
изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Т.
впервые встречается в заглавии книги немецкого ученого Б.Титиска (1595
г.).
Трисекция - угла лат.словаtri – «три» и section – «разрезание»,
«рассечение». Задача о разделении угла на три равные части.
Трохоида - греч.словоtrochoeides
Плоская трансцендентная кривая.
–
«колесообразный»,
«круглый».
У
Угол - лат.словоangulus – «угол». Геометрическая фигура, состоящая из двух
лучей с общим началом.
Уникурсальный - лат.словаunus – «один», cursus – «путь».Маршрут обхода
всех ребер построенного графа, при котором ни одно ребро не проходит
дважды.
Ф
67
Факториал (k) - лат.слово factor – «множитель». Впервые появился у
французского математика Луи Арбогаста. Обозначение k ввел немецк.
математик КретьенКрамп.
Фигура - лат.словоfigura – «внешний вид», «образ». Т. применяемый к
разнообразным множествам точек.Фокус - лат.словоfocus – «огонь», «очаг».
Расстояние до данной точки. Арабы называли параболу «зажигательным
зеркалом», а точку, в которой собираются солнечные лучи – «местом
зажигания». Кеплер в «Оптической астрономии» перевел этот Т. словом
«фокус».
Формула - лат.словоformula – «форма», «правило». Это комбинация
математических знаков, выражающая какое-либо предложение.
Функция - лат.словоfunctio – «исполнение», «совершение». Одно из
основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных
величин от других. Т. впервые появляется в 1692 г. у немецк.
ученого Г.Лейбница притом не в современном понимании. Т., близкий к
современному встречается у швейцарского ученого И.Бернулли (1718 г.).
Обозначение функции f(x) ввел российский ученый Л.Эйлер (1734 г.).
Х
Характеристика - греч.словоcharacter – «признак», «особенность». Целая
часть десятичного логарифма. Т. был предложен австрийским ученым Г.
Бригсом (1624 г.).
Хорда - греч.словоhorde – «струна», «тетива». Отрезок,
соединяющий две точки окружности.
Ц
Центр - лат.словоcentrum – «острие ножки циркуля», «колющее орудие».
Заимств. в 18 в. из лат. Середина чего-либо, например круга.
Циклоида - греч.словоkykloeides – «кругообразный». Кривая, которую
описывает отмеченная точка окружности, катящяяся без скольжения по
прямой.
Цилиндр - греч.словоkilindros – «валик», «каток». Заимств. в 18 в. из нем. яз.,
где zilinder – лат., но восходящее к греч. kylindros. Это тело, ограниченное
цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями,
перпендикулярными ее оси. Т. встречается у
древнегреческих ученых Аристарха, Евклида.
Циркуль - лат.словоcirculus – «круг», «обод». Заимств. в первой трети 19 в. из
68
лат.яз. Прибор для вычерчивания дуг, окружностей, линейных измерений.
Циссоида - греч.словоkissoeides – «плющевидный». Алгебраическая кривая.
Изобрел греческий математик Диоглес (2 век до н.э.).
Цифры - лат.словаcifra – «цифра», происходящего от арабск.слова «сифр»,
означающего «нуль».
Ч
Числитель - число, показывающее из скольких частей составлена дробь. Т.
впервые встречается у византийского ученого Максима Плануда (конец 13
века).
Число π - (от нач. буквы греч.слова perimetron – «окружность»,
«преиферия»). Отношение длины окружности к ее диаметру. Впервые
появилось у У.Джонса (1706 г.). Стало общепринятым после 1736 года. π =
3,141592653589793238462…
Ш
Шкала - лат.словоscalae – «ступень». Последовательность чисел, служащая
для количественной оценки каких-либо величин.
Э
Эвольвента - лат.словоevolvens – «разворачивающий». Развертка кривой.
Экспонента - лат.слово exponentis – «показывающий». То же, что и
экспоненциальная функция. Т. ввел немецкий ученый Г.Лейбниц (1679,
1692).
Экстраполирование - лат.словаextra – «сверх» и polio – «приглаживаю»,
«выправляю». Продолжение функции за пределы ее области определения,
при котором продолженная функция принадлежит заданному классу.
Экстремум - лат.словоexstremum –
максимума и минимума функции.
«крайнее». Это общее название
Эксцентриситет - лат.словаex – «из», «от» и centrum – «центр». Число,
равное отношению расстояния от точки конического сечения до фокуса к
расстоянию от этой точки до соответственной директрисы.
Эллипс - греч.словаellipsis – «недостаток». Это овальная кривая. Т. ввел
древнегреческий ученый АпполонийПергский (260-190 вв. до н.э.).
69
Энтропия греч.словоentropia«поворот»,
«превращение».
Эпициклоида - греч.словаepi – «над», «на» и kykloeides – «кругообразный».
Это плоская кривая, описываемая точкой окружности.
70
ЛИТЕРАТУРА
1
2
3
4
Основная:
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. Учебное пособие
по математике для средних специальных учебных заведений. М.:
Высшая школа,2010
Богомолова Н.В., Самойленко П.И «Математика», Под ред. Москва,
ДРОФА, 2010
Колягин Ю.М., Луканин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика: М. Новая
Волна , 2009
Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями:
Учебное пособие. 3-е изд., стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2011.
Дополнительная:
1. Калинин В.Н., Панкин В.Ф. «Математическая статистика», Москва,
ДРОФА,2010.
2. КолмогоровА.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др.; Под.ред.
Колмогорова А.Н. Алгебра и начала анализа: Учеб.для 10–11 кл.
общеобразоват. учреждений М.: Просвещение, 2009.
Интернет-ресурсы:
1. www.bymath.net – интернет-школа «Вся элементарная математика»
2. http://easymath.com.ua – обучающий сайт «Математика- это просто».
3. http://window.edu.ru/window Единое окно доступа к образовательным
ресурсам. Электронная библиотека.
71
СОДЕРЖАНИЕ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА…………………….……………..………..3
ГРАФИК ВЫПОЛНЕНИЯ ВНЕАУДИТОРНЫХ
САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ………………………………………….….4
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
ОСНОВНЫХ ВИДОВ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ…………….…...7
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ…….………………………………………………………...………9
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА……………………………………………….…34
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ………………………………………..…..……51
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ СТУДЕНТОВ……………………………………………...……..52
ГЛОССАРИЙ……………………….…….…………………………………54
ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………….…71
72