занятия 35-68

Содержание занятий
Занятие 35. Текстовые задачи.
Методы решения задач на проценты, концентрацию.
Цель: повторить решение задач на проценты. Формулы сложных процентов. Научить решать
задачи на концентрацию, смеси и сплавы
Вычисление процентов. Из школьного курса нам известны следующие типы задач:
1.
1.
А*
Найти Р % от А:
2. Найти целое, если 3.
Р
= А*0,01Р.
100
Р % от него есть А?
Пример: Найти 10% от
А:
Сколько процентов А 4. На сколько процентов А
составляет от В?
Р
= А : 0,01Р
100
больше В?
А В
*100%
В
А
*100%
В
200?
Пример: 10% есть 200.
Пример: Сколько %
Пример: А=200, В=20. На
200 * 0,1 = 20
Найти целое? 200:0,01
составляет 20 от 200?
сколько А больше В?
= 2000
20:200*100% = 10%
200  20
*100% = 900%
20
Сложные проценты
Формулы сложных процентов (цена, банк, рост населения и т. д.)
а) Пусть некоторая начальная величина Ан увеличивается (уменьшается) на Р 0 %
n раз.
Тогда конечное значение Ак находится по формуле
Ак = Ан (1±
Р n
)
100
или
Ак = Ан (1± 0,01Р 0 )n
б) Пусть некоторая начальная величина Ан увеличивается (уменьшается) на Р 1 %, Р 2 %,…Рn
%, тогда
Ак = Ан (1±
Р1
Р
Рn
)(1± 2 )…(1±
)
100
100
100
в) Пусть некоторая начальная величина Ан увеличивается (уменьшается) до значения Ак,
тогда общий Р% изменения:
Р%=(
Aк
- 1)*100% (прирост)
Ан
Р%=(1 –
Aк
)*100% (снижение)
Ан
Концентрация и процентное содержание
Р% - процентное содержание
-
Р%
– концентрация
100
-
70%
0,7
Пример: Пусть в 10 литрах солёной воды содержится соли 15 % (концентрация 0,15) Сколько
соли в растворе?
10*0,15 = 1,5 кг.
При решении задач этого типа удобно пользоваться следующим алгоритмом.
Введём обозначения:
С – смесь, сплав, раствор, мокрое вещество
К – концентрация
М – масса чистого вещества
Между ними существуют зависимости: К =
М
С
С=
М
К
М = С*К
Алгоритм решения задач на концентрацию
Состояние вещества
I
Смесь
С
Концентрация
К
II
III
Масса чистого в-ва М
Задача1. Имеется 40 литров 0,5 % раствора и 50 литров 2% раствора уксусной кислоты.
Сколько нужно взять того и другого, чтобы получить 30 литров 1,5% - го раствора уксусной
кислоты.
Решение:
Состояние вещества
I
II
III
С
х
30 - х
30
К
0,005
0,02
0,015
М
0,005х
0,02(30 – х)
30*0,015
0,005х + 0,02(30-х) = 30*0,015; х = 10 литров
Ответ: 10 литров, 20 литров.
Задача1. Имеется два сосуда, содержащие 4 кг и 6 кг раствора кислоты разной концентрации.
Если их слить, то получится 35 % раствор. Если слить равные массы этих растворов, то
получится 36% раствор. Найти концентрацию каждого раствора?
Решение:
Состояние вещества
I
II
III
С
4
6
10
а) К
0,01р 1
0,01р 2
0,35
М
4*0,01р 1
6*0,01р 2
10*0,35
б) К
0,01р 1
0,01р 2
0,36
М
0,01р 1
0,01р 2
2*0,36
4*0,01р 1 + 6*0,01р 2 = 10*0,35
0,01р 1 + 0,01р 2 = 2*0,36
Ответ: р 1 =41%, р 2 =31%.
Переливание
Ан - начальное количество раствора
Ак = Ан (1 -
Ак - конечное количество раствора
а n;
)
Ан
К=
Ак
а n
= (1 )
Ан
Ан
а – количество отлитых литров
n – количество переливаний
К-концентрация
Пример. В сосуде 12 литров кислоты. Часть кислоты отлили и долили водой. Затем опять
столько же отлили и долили водой. Концентрация кислоты стала 0,25. Сколько литров
отливали каждый раз?
Решение:
К = 0,25,
Ан =12;
0,25 = (1 -
а 2
)
12
Ответ: а = 6 л.
Пример. В сосуде х литров глицерина. Отлили два литра, добавили воды. Сделали так три
раза. Воды получилось на три литра больше, чем глицерина. Сколько глицерина было в
сосуде?
Решение:
Ан = х,
Ак =
а = 2,
х3
2
n = 3,
х3
2
= (1 - ) 3
х
2х
х=4
Ответ: 4 литра.
Задачи для самостоятельного решения.
Сложные проценты.
1. Стоимость товара снизили на 25%, а затем ещё на 5 %. Сколько % от первоначальной
стоимости составит окончательная стоимость товара? На сколько % снижена, в общем,
стоимость товара? Ответ: 16,4%
2. Некоторое число уменьшили на 25 %. На сколько процентов нужно увеличить
получившееся число, чтобы получить первоначальное? Ответ: 33,3.
3. На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если его периметр увеличить на 10
%? Ответ: 21%;
4. На сколько процентов изменится площадь прямоугольника, если длина его увеличится на
30 %, а ширина уменьшится на 30 %?
Oтвет: 9%.
5. Цену на пылесос снизили на 10%. Он стоит сейчас 38,7 рублей. Сколько он стоил?
Ответ: 43 р.
Задачи на концентрацию
1. Влажность сухого цемента на складе 18 %. Во время дождей влажность повысилась на 2
%. Какова стала масса цемента, если его было 400 кг. Ответ: х=410 кг.
2. Из 38 тонн руды, содержащей 25% примесей получили 30 тонн металла. Сколько
процентов примесей содержит металл? Ответ: р=95% - содержание металла, р=5% содержание примесей.
3. В 4 кг сплава меди и олова содержится 40 % олова. Сколько кг олова надо добавить к
этому сплаву, чтобы его процентное содержание было 70%? Ответ: х=4
4. Имеется два сплава золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2:3, в
другом 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в
котором эти металлы были бы в отношении 5:11?
Ответ: золота – 1 кг, серебра – 7 кг.
5. В двух сплавах медь и цинк относятся как 4 : 1 и как 1 : 3. После переплавки 10 кг первого
и 16 кг второго и нескольких кг чистой меди, получили сплав, в котором цинк и медь
относятся как 3 : 2. Определить вес нового сплава.
Ответ: 35кг.
6. Из двух сплавов первый содержит 7 кг, второй 8 кг меди. Получили новый сплав,
содержащий 18 % меди. Какое % содержание меди в первом сплаве, если во втором на 20 %
её больше? Ответ: 12%.
7. Имеется два сплава меди и цинка. Первом меди в 2 раза больше, чем цинка, а во втором –
в 5 раз меньше. Во сколько раз больше надо взять второго сплава, чем первого, чтобы
получить новый сплав, в котором цинка было бы в 2 раза больше, чем меди.
Ответ: в два
раза.
8. Имеются два сплава из цинка, меди и олова. Первый содержит 40% олова, второй 26 %
меди. Процентное содержание цинка одинаково в обоих сплавах. Сплавив 150 кг первого и
250 кг второго, получили новый сплав, в котором 30 % цинка. Сколько кг олова в новом
сплаве?
Решение
Цинк
Состояние вещества
I
II
III
С
150
250
400
К
х
х
0,3
М
150х
250х
120
I
II
III
С
150
250
400
К
0,4
0,44
М
60
110
Олово
Состояние вещества
400 х = 120 , х = 0,3 = 30%.
Ответ: 30%.
170
9.
Вычислить вес сплава серебра с медью, зная, что, сплавив его с 3 кг чистого серебра,
получат сплав, содержащий 90 % серебра, а, сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90 %
серебра получат сплав, содержащий 84 % меди.
Решение
Ситуация первая:
Состояние вещества
I
II
III
С
х
3
х+3
К
0,01у
1
0,9
М
0,01ху
3
0,9(х + 3)
Ситуация вторая
Состояние вещества
I
II
III
С
х
2
х+2
К
0,01у
0,9
0,84
М
0,01ху
1,8
0,84(х + 2)
0,01ху  3  0,9 х  2,7

0,01ху  1,8  0,84 х  1,68
х = 3кг,
у = 80%.
Ответ: 3кг. 80%.
10. Имеется два слитка сплавов меди и олова. Первый – 3 кг содержит 40 % меди, второй – 7
кг содержит 30 % меди. Какой величины нужно взять каждого куска, чтобы получить 8 кг
сплава, содержащего 32% меди?
Решение
Состояние вещества
I
II
III
С
х
8-х
8
К
0,4
0,3
0,32
М
0,4х
0,3(8 – х)
8*0,32
0,4х + 0,3(8 - х) = 8*0,32;
х = 1,6кг.
8 - 1,6 = 6,4кг.
Ответ: 6,4кг
11. В сплав магния и алюминия, содержащего 22 кг алюминия, добавили 15 кг магния, после
чего содержание магния повысилась на 33 %. Сколько весил сплав первоначально?
Решение
Состояние вещества
I
II
С
х
15 + х
К
х  22
х
х7
х  15
М
х - 22
х-7
х7
х  22
–
= 0,3
х  15
х
х = 25.
Ответ: 25
12. Сплав меди и алюминия равен 10 кг и содержит 15 % меди. Сколько алюминия
оказалось в сплаве? Ответ: 7,5кг
13. Из 40 т железной руды выплавляют 20 т стали, содержащей 6 % примеси. Сколько %
примеси содержится в руде?
Решение
Состояние вещества
I
II
С
40
20
К
х
0,06
М
20 + 1,2
1,2
х=
21,2
= 53%
40
Ответ: 53%
14. В 100 кг сплава меди и цинка содержание меди составляет 45% . Сколько кг чистого
цинка надо добавить к сплаву, чтобы количество меди составило 20 % количества цинка?
Решение
Состояние вещества
I
II
С
100
100 + х
К
0,45
0,2
М
45
0,2(100 + х)
45 = 0,2(100 + х);
х = 125кг.
Ответ: 125кг
15. В первом сплаве медь и цинк находятся в отношении 1 : 3, во втором 3 : 5. Сколько кг
первого сплава надо сплавить с 15 кг второго, чтобы в новом сплаве медь и цинк находились
в отношении 13 : 27?
Решение
Состояние вещества
I
II
III
С
х
15
15 + х
К
1
4
3
8
13
40
М
1
х
4
3
*15
8
х = 10 Ответ: 10
(15 + х)*
13
40
16. Содержание меди в первом сплаве 20 %, а во втором 40 % .10 кг первого и 7 кг второго
сплавили с 3 кг чистой меди. Определить % содержание меди в сплаве?
Решение
Состояние вещества
I
II
III
IV
С
10
7
3
20
К
0,2
0,4
1
х
М
2
2,8
3
20х
20х = 7,8;
х = 0,39 = 39%. Ответ: 39%
17. Кусок сплава меди и цинка массой в 36 кг содержит 45 % меди. Сколько надо добавить к
этому сплаву меди, чтобы новый сплав содержал 60 % меди?
Решение
Состояние вещества
I
II
С
36
36 + х
К
0,45
0,6
М
36* 0,45
0,6(36 + х)
36*0,45 = 0,6(36 + х) х = 13,5
Ответ: 13,5
18. Имеются два сплава, состоящие из железа, никеля и хрома. Процентное содержание
хрома в первом сплаве в 5 раз больше, чем никеля во втором сплаве. Кусок первого сплава
массой 200 г сплавили с куском второго сплава массой 400 г и получили сплав, содержащий
р% никеля. Сколько граммов железа содержит новый сплав, если первый сплав содержит
30% никеля, а второй – 40% железа?
Дидактический материал для учащихся
Упражнения и задачи
1. Найти 1 % от:
а) 34000 р.;
д) 6 тыс. жителей;
б) 1 км;
е) 6 га,;
в) 0,3 л;
ж) 12 р.;
г) 200 г;
з) 700 овец.
2. Найти целое, если 1 % от него составляет:
а) 0,2 л;
в) 10 р.;
б) 30 м3;
г) 38 чел.
3. Верно ли, что выплачена вся сумма, если:
а) в первый раз выплачено 75 % от суммы, а во второй – 15 %;
б) в первый раз выплачено 37 % от суммы, во второй – 48 %, а в третий – 15 % от остатка.
4. Найти:
а) 200 % от 200 л;
г) 0,3 % от 0,3 кг;
б) 25 % от 10 км;
д) 50 % от 30 чел.;
в) 5 % от 15 л;
е) 0,1 % от 0,1 %.
5. Что больше:
а) 15 % от 17 или 17 % от 15;
б) 1,2 % от 17 или 12 % от 170;
в) 115 % от 657 или 117 % от 715;
г) 72 % от 150 или 70 % от 152?
6. Сколько будет, если:
а) 100 р. увеличить на 300 %;
б) 500 р. уменьшить на 5 %;
в) 70 % увеличить на 30 %;
г) 40 % уменьшить на 40 %.
7. Найдите:
а) 50 % от 2000 р.;
и
200 % от 50 р.;
б) 20 % от 750;
и
750 % от 20;
в) 10 % от 15000;
и
15000 % от 10.
8. Найдите:
а) 450 % от 50;
в) 17,2 % от 10;
б) 370 % от 100;
г) 342 % от 10.
9. Вычислите, на сколько процентов:
а) 500 больше 400;
г) 6000 больше 3000;
б) 400 меньше 500;
д) 20 кг меньше 60 кг;
в) 3000 меньше 6000;
е) 60 кг больше 20 кг.
10. На сколько процентов изменилась величина, если она:
а) увеличилась в 2,4 раза;
г) уменьшалась в 8 раз;
б) увеличилась в 3,5 раза; д) уменьшилась в 4 раза;
в) увеличилась в 10 раз;
е) уменьшилась в 10 раз.
11. Какие из утверждений означают одно и то же:
– величины относятся как 1 : 2;
– величины относятся как 1 : 4?
а) одна величина вдвое меньше другой;
б) вторая величина на 300 % больше первой;
в) первая величина на 300 % меньше второй;
г) вторая величина на 100 % больше первой;
д) первая величина на 75 % меньше второй;
е) одна величина составляет от другой 50 %;
ж) одна величина в четыре раза меньше другой;
з) первая величина составляет от второй 25 %.
12. Сколько было, если:
а) после увеличения на 10 % стало 100 р.;
б) после уменьшения на 10 % стало 500 р.
13. Найти, в каком случае первоначальная цена больше:
а) при скидке 5 % заплачено 100 р.;
б) при скидке 10 % заплачено 90 р.;
в) при скидке 20 % заплачено 80 р.
14. Сколько процентов составляют:
а) 0,5 кг от 6 кг;
б) 375 р. от 100 р.;
в) 250 р. от 200 р.;
г) 15 г от 1 кг;
д) 1048 человек от 3764 человек;
е) 3 мм от 4 м?
15. На сколько процентов изменилась цена, если она:
а) была 100 р., а стала 250 р.;
б) была 100 р., а стала 120 р.?
16. В магазине цены были сначала повышены на 10 %, а потом снижены на 10 %. Как
изменились цены?
17. На сколько процентов новая цена меньше старой и на сколько процентов старая цена
больше новой, если:
а) цена снижена наполовину;
б) цена повышена наполовину;
в) цена увеличена в 4 раза;
г) цена уменьшена в 3 раза?
18. Фирма платит рекламным агентам 5 % от стоимости заказа. На какую сумму надо найти заказ,
чтобы заработать 1000 р.?
19. Предприниматель покупает кондитерские изделия по оптовой цене 96 рублей и продает их в
розницу с надбавкой в 30 %. Какова розничная цена?
Р е ш е н и е.
1,3·96 = 124,8 (р.)
О т в е т: 124,8 р.
20. Каждую сторону квадрата увеличили на 20 %. На сколько процентов увеличилась площадь
квадрата?
О т в е т: на 44 %.
21. На сколько процентов увеличится объем куба, если его ребро увеличить на 10 %.
О т в е т: 33,1 %.
22. Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за прибылью он увеличил цену на
билеты на 25 %. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он
вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов владелец дискотеки снизил новую
цену билетов, чтобы она стала первоначальной?
О т в е т: 20 %.
23. Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину
прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?
О т в е т: на 25 %.
24. После уплаты всех налогов, которые в сумме составили 30 % от дохода, предприниматель
оставил себе на законном основании 35 000 р. Какова была величина чистого дохода
предпринимателя?
О т в е т: 50 000 р.
25. В Волгограде месячный проездной билет на трамвай–троллейбус для студентов стоит 200 р.
Сколько процентов от стипендии составляет цена проездного билета, если стипендия – 600 р.?
1
3
О т в е т: 33 %.
26. По расчетам предпринимателя предприятие принесет 15 % прибыли. Какую прибыль
можно получить, затратив 200 000 р.?
О т в е т: 30 000 р.
27. Товар стоимостью 15 р. уценен до 12 р. Определите процент уценки.
О т в е т: на 10 %.
28. Завод выпускает 300 изделий в месяц. В связи с модернизацией производства завод
стал выпускать на 20 % изделий больше. На сколько изделий в месяц увеличится выпуск
продукции?
О т в е т: 60 изделий.
29. Произведение двух чисел равно 10, а их сумма составляет 70 % от произведения.
Найдите эти числа.
О т в е т: 2 и 5.
30. Турист должен был пройти 64 км. В первый день он прошел 25 % всего пути, во второй день
50 % оставшегося пути. Сколько километров ему осталось еще пройти?
О т в е т: 24 км.
31. В одном из городов часть жителей умеет говорить только по-грузински, часть – только
по-русски. По-грузински говорят 85 % всех жителей, а по-русски – 75 %. Сколько процентов
всех жителей говорят на обоих языках?
О т в е т: 60 %.
32. Ученик прочитал в первый день 15 % книги, что составило 60 страниц, во второй день
он прочитал 200 страниц. Сколько страниц ему осталось прочитать?
О т в е т: 140 страниц.
33. Сравните числа а и в, если 3 % числа а равны 27, а 5 % числа в равны 45.
О т в е т: а = в = 900.
34. В одном магазине на товар установили цену 200 р., а в другом аналогичный товар
стоит 180 р.
а) На сколько процентов в первом магазине цена на товар выше, чем во втором?
б) На сколько процентов во втором магазине цена ниже, чем в первом?
О т в е т: а) ≈ 11,1 %; б) на 10 %.
35. Определите, какую массу картофеля (сырья) нужно взять для получения 120 кг
полуфабриката, если потери при холодной обработке составляют 20 % массы сырья.
О т в е т: 150 кг.
36. В магазине цену на товар снизили с 400 р. до 360 р. На сколько процентов снижена
цена?
О т в е т: на 10 %.
37. В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала
уменьшили на 10 %, а затем увеличили на 10 %. Количество воды во второй бочке сначала
увеличили на 10 %, а затем уменьшили на 10 %. В какой бочке стало больше воды?
О т в е т: воды в бочках осталось поровну.
38. Первоначально цена на аналогичный товар в двух магазинах была одинакова. В
первом магазине цену сначала снизили на 20 %, а потом еще на 20 %, а во втором магазине ее
сразу снизили на 40 %. Одинаковы ли стали цены в магазинах?
О т в е т: в первом магазине цена стала выше, чем во втором.
39. Цена на бензин в первом квартале увеличилась на 20 %, а во втором – на 30 %. На
сколько процентов увеличилась цена на бензин за два квартала?
О т в е т: на 56 %.
40. За 3 года население города увеличилось с 2 000 000 до 2 315 250 человек. Найдите годовой
прирост населения в процентах.
О т в е т: 5 %.
41. Зарплату рабочему повысили на 10 %, а через год еще на 20 %. На сколько процентов
повысилась зарплата по сравнению с первоначальной?
О т в е т: на 32 %.
42. Производительность труда на заводе снизилась на 20 %. На сколько процентов надо
ее теперь повысить, чтобы достигнуть первоначальной?
О т в е т: на 25 %.
43. Цена товара была повышена на 12 %. На сколько процентов надо снизить новую цену,
чтобы получить первоначальную?
5
7
О т в е т: 10 %.
44. Определите первоначальную стоимость продукта, если после подорожания на 120 %,
200 % и 100 % его конечная стоимость составила 264 р.
О т в е т: 20 р.
45. После реконструкции завод увеличил выпуск продукции на 30 %. Спустя некоторое
время выпуск продукции увеличился на
10 %, а после замены оборудование еще на 15 %. На сколько процентов увеличился
первоначальный выпуск продукции?
О т в е т: на 61,45 %.
46. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в
среднем на 10 % за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?
О т в е т: на 33,1 %.
47. Выпуск продукции завода за 4 года увеличился в 16 раз. На сколько процентов в
среднем увеличился выпуск продукции за каждый год по сравнению с предыдущим годом?
О т в е т: 100 %.
48. Саша за весну похудел на 20 %, за лето поправился на 30 %, за осень похудел на 20 %,
за зиму поправился на 10 %. Как изменился его вес?
О т в е т: похудел на 8,48 %.
49. Влажность воздуха к полудню по сравнению с утренней снизилась на 12 %, а затем
повысилась на 5 % по сравнению с полуднем. Сколько процентов от утренней влажности
составляет влажность воздуха к вечеру и на сколько процентов она снизилась?
О т в е т: снизилась на 16,4 %, составляет 83,6 %.
50. Зарплата, которую принес домой папа составляет 5650 р. Какая сумма была ему
начислена?
О т в е т: 6937,50 р.
51. В ходе утверждения городского бюджета были сокращены на 20 % планируемые
ассигнования на социальные нужды. Какую сумму предполагалось выделить на социальные
нужды первоначально, если в окончательном варианте бюджета эта статья расходов
составила 2,5 млн р.?
О т в е т: 3,125 млн р.
52. Цена входного билета на стадион была 18 р. После снижения входной платы число
зрителей увеличилось на 50 %, а выручка выросла на 25 %. Сколько стал стоить билет после
снижения?
О т в е т: 15 р.
53. В этом году тарифы на услуги лодочной станции оказались на 20 % ниже, чем в
прошлом году. Можно ли утверждать, что в прошлом году тарифы были на 20 % выше, чем в
нынешнем году?
О т в е т: нет.
54. Стоимость проезда в городском автобусе составляла 5 р. В связи с инфляцией она возросла на
200 %. Во сколько раз повысилась стоимость проезда в автобусе?
О т в е т: в 3 раза.
55. За несвоевременное выполнение договорных обязательств сотрудник фирмы
лишается 25 % месячного оклада и, кроме того, за каждый просроченный месяц к штрафу
прибавляется 5 % месячного оклада. Оклад сотрудника 10 тыс. р. В каком размере он должен
заплатить штраф при нарушении сроков на 5 месяцев?
О т в е т: 5 тыс. р.
56. Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15 %, а в декабре еще на 10 %.
Какой стала стоимость зонта в декабре?
О т в е т: 274 р. 40 к.
57. Заработок рабочего повысился на 20 %, а цены на продукты и другие товары
снизились на 15 %. На сколько процентов рабочий теперь на свой заработок может купить
больше продуктов и товаров, чем прежде?
О т в е т: на 41 % больше.
58. В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления
почтовой открытки составит 3 р. 15 к. вместо 2 р. 27 к. Соответствует ли рост цен на услуги
почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5 %.
О т в е т: да, соответствует.
59. Стоимость проезда в городском автобусе составляла 1 р. 60 к. В связи с инфляцией она
возросла на 150 %. Во сколько раз возросла стоимость проезда в автобусе? Можно ли
ответить на данный вопрос, не зная стоимости проезда?
О т в е т: в 2,5 раза.
60. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося
ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за
каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4 % от суммы оплаты занятий за
один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?
О т в е т: 320 р.
61. Во время распродажи масляные краски для рисования стоимостью 213 р. за коробку
продавали на 19 % дешевле. Сколько примерно денег сэкономит художественная студия, если она
купит партию в 150 коробок?
О т в е т: около 6000 р.
62. Комиссионный магазин продал сданную на продажу вещь со скидкой 12 % от
первоначально назначенной цены и получил при этом 10 % прибыли. Сколько процентов
прибыли первоначально предполагал получить магазин?
О т в е т: 26 %.
63. Два магазина торгуют одним и тем же товаром. В первом из них цены на 10 % ниже,
но и количество проданных изделий в день на 10 % больше. В каком из этих магазинов
выручка за день больше?
О т в е т: во втором.
64. На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350 р. уценили на 40 %,
а через неделю еще на 5 %. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45
%. В каком магазине выгоднее купить шарф?
О т в е т: во втором.
65. На сезонной распродаже в марте месяце зимние сапоги можно купить за 1875 р.,
скидка на них составила 25 % от первоначальной стоимости. Через месяц сапоги подешевели
еще на 20 %. Сколько денег сэкономит человек от первоначальной стоимости сапог, если
купит их в апреле?
О т в е т: 1000 р.
66. В Волгоградском автосалоне ВАЗ 21099 в 2002 г. стоил 180 000 р. В 2003 году
спрос на этот автомобиль упал, и на него снизили цену на 30 %, а в 2004 г. эта марка опять
пользуется успехом и новую цену подняли на 50 %. Сколько стоил автомобиль в 2004 году?
На сколько процентов изменилась цена по сравнению с первоначальной.
О т в е т: 189 000 р., увеличилась на 5 %.
67. Пеня за несвоевременную квартирную плату в городе N начисляется в размере 0,1 %
от неуплаченной суммы за каждый день просрочки. На сколько дней была задержана
квартирная плата, если на сумму 200 р. была начислена пеня:
а) 10 р.; б) 4,4 р.; в) 6 р.; г) 1,8 р.?
О т в е т: а) 50 дней; б) 22 дня; в) 30 дней; г) 9 дней.
68. За несвоевременное выполнение обязательств по кредиту заемщик должен заплатить
штраф за первый месяц просрочки 7 % от суммы кредита, за каждый следующий месяц
просрочки 1000 р. Какой процент составит пеня от суммы кредита 32 000 р.? Какой штраф
заплатит заемщик при нарушении сроков оплаты за 3 месяца?
О т в е т: 4200 р.
69. Тарифы на проезд в наземном транспорте в г. N возросли с 2 до 10 р., соответственно
с 2,5 до 15 р. – в городском метрополитене. Какие тарифы возросли больше?
О т в е т: 5000 р.
70. Занятия ребенка в танцевальном кружке родители оплачивают в сбербанке, внося
ежемесячно 350 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за
каждый просроченный день начисляется пеня в размере 5 % от суммы оплаты занятий за
один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на две
недели?
О т в е т: 595 р.
71. Арендатор отдела в магазине забыл вовремя оплатить аренду за место. Определите
размер пени за каждый просроченный день, если за 20 дней просрочки сумма платежа
увеличилась с 10 до 14 тыс. р.
О т в е т: 2 %.
72. Какой должен быть первоначальный капитал, чтобы при начислении 5 % в месяц
получить через полгода 10 тыс. р.?
О т в е т: 7463 р.
73. Какой должна быть процентная ставка в банке, чтобы каждые три года капитал
увеличивался в четыре раза?
О т в е т: 59 %.
74. Банк обещает вкладчикам удвоить их сбережения за пять лет, если они воспользуются
вкладом «накопление» с годовой процентной ставкой 16 %. Проверьте, выполнит ли банк
свое обязательство.
О т в е т: да.
75. В прошлом году Антон для оплаты своего обучения воспользовался кредитом
сбербанка, взяв сумму 40 000 р. с обязательством возвратить кредит (с учетом 20 % годовых)
через 3 года. В этом году снижены процентные ставки для кредита на оплату обучения в
образовательных учреждениях с 20 % до 19 % годовых. Поэтому у Бориса, последовавшего
примеру брата, долг окажется меньше. На сколько?
О т в е т: на 1700 р.
76. Банк «Диалог-Оптима» осуществляет денежные переводы. Минимальная сумма
перевода 50 р., максимальная – 300 р. С суммы перевода банк берет 1,5 % за оказание своих
услуг. На сколько в процентном отношении возьмут больше с человека, сделавшего перевод на
максимальную сумму, чем с того, кто сделал перевод на 50 р.?
О т в е т: на 500 %.
77. За каждый из девяти первых месяцев года цены вырастали на 25 %, а за каждые из
трех следующих месяцев на х %. Найдите х, если в целом за год цены выросли в восемь раз.
О т в е т: 2,4 %.
78. Банк «Винни-Пух и Пятачок» начисляет своим вкладчикам по 10 % ежемесячно. Иа
сделал вклад в этот банк в размере 1,00 $. Сколько денег он может снять со своего счета через
два месяца?
О т в е т: 1,21 $.
79. Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4 % в месяц он увеличился за
8 месяцев до 33 000?
О т в е т: 25 000 р.
80. Деньги, вложенные в банк, приносят ежегодно 20 % дохода. За сколько лет вложенная
сумма удвоится?
О т в е т: за 5 лет.
81. При какой процентной ставке вклад на сумму 500 р. возрастет за 6 месяцев до 650 р.?
О т в е т: 5 %.
82. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8 % от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в
размере 200 000 р. Какая сумма будет на его счете через 5 лет, через 10 лет?
О т в е т: 280 000 р., 360 000 р.
83. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому
составляет 12 %, и решил в течение шести лет не брать процентные начисления. Какая сумма
будет лежать на его счете через год, через два, через 6 лет?
О т в е т: 3947 р. 65 к.
84. Клиент имел в банке счет, по которому начислялось 6 % годовых. После того как банк
предложил новые виды вкладов, он снял с этого счета все деньги и 2000 р. положил на вклад,
по которому начислялось 8 % годовых, а остальные – на вклад с 9 % годовых. В результате
его годовой доход оказался на 130 р. больше, чем по прежнему вкладу. Сколько всего денег он
внес на новые вклады?
О т в е т: 5000 р.
85. Некто не доверяет банкам и хранит сбережения дома. Крупная премия пролежала
дома до лета. За это время цены на товары выросли в среднем на 50 %. На сколько процентов
уменьшилась покупательная способность отложенных денег?
1
3
О т в е т: на 33 %.
86. Компания Х выплачивает доход по своим акциям ежемесячно из расчета 140 %
годовых. Компания У выплачивает доход по акциям 1 раз в полгода из того же расчета. В
акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?
О т в е т: в акции компании У.
87. Инвестиционный фонд вложил деньги в два предприятия, приносящих годовой
доход в 12 % и 5 %, в первое он внес на 300 000 р. больше, чем во второе, и получил в нем
за год на 6000 р. больше. Сколько рублей внес инвестиционный фонд в каждое из этих
предприятий?
О т в е т: 1300 тыс. р. и 1000 тыс. р.
88. Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу сумма, имеющаяся на 1
января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик вложил 1 января
1000 р. и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате
вложенная им сумма увеличилась до 1210 р. На сколько процентов ежегодно увеличивается
сумма денег, положенная на этот вклад?
О т в е т: 10 %.
89. На деньги, размещенные в банках, за год начисляется определенный процент, свой
для каждого банка. Если 1/5 некоторой суммы положить в первый банк, то через год сумма
вкладов превысит исходную сумму на 106 %. Если же 1/4 суммы положить в первый банк, а
остальные деньги – во второй банк, то через год сумма вкладов будет такой же, как и при
размещении 1/2 исходной суммы во втором банке, а остальных денег – в третьем банке. И,
наконец, при размещении всей суммы во втором банке через год вклад станет на 5 % больше,
чем сумма вкладов в первом, втором и третьем банках, если разместить в них деньги в
равных долях. Найдите процент, начисляемый на вклады во втором банке.
О т в е т: 110 %.
90. Сколько граммов воды можно выпарить из 80 г 6 %-го раствора соли, чтобы получить
раствор, содержащий 10 % соли?
О т в е т: 32 г.
91. Имеется два кислотных раствора: один 20 %, другой 30 %. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л
второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом
растворе?
О т в е т: 27,5 %.
92. Смешали 300 г 50 %-го и 100 г 30 %-го раствора кислоты. Определите процентное
содержание кислоты в полученной смеси.
О т в е т: 45 %.
93. Сколько чистой воды надо добавить к 300 г морской воды, содержащей 4 % соли,
чтобы получить воду, содержащую 3 % соли?
О т в е т: 100 г.
94. Имеется два сосуда, содержащие 4 кг и 6 кг раствора кислоты различной
концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 35 % кислоты. Если
же слить равные массы этих растворов, то получим раствор, содержащий 36 % кислоты.
Сколько килограммов кислоты содержится в каждом растворе?
О т в е т: 1,64 кг и 1,86 кг.
95. Имеются два раствора серной кислоты в воде, первый 40 %-й,
второй – 60 %-й. Эти растворы смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили
20 %-й раствор кислоты. Если бы вместо
5 кг воды добавили 5 кг 80 %-го раствора, то получили бы 70 %-й раствор. Определите
количество 40 %-го и 60 %-го раствора.
О т в е т: 1 кг; 2 кг.
96. Имеются две смеси апельсинового и ананасового соков. Первая смесь содержит 40 %
апельсинового сока, а вторая – 80 %. Сливаются р л первой смеси и q л второй, в результате
получается
20 л смеси, содержащей 70 % апельсинового сока. Определите р и q.
О т в е т: р = 5 л, q = 15 л.
97. Имеется раствор 1 и раствор 2 некоторой кислоты в воде. При смешивании 5 л
раствора 1, 6 л раствора 2 и 3 л чистой воды получается раствор с концентрацией кислоты,
равной 30 %. При смешивании 10 л раствора 1, 3 л раствора 2 и 2 л чистой кислоты
1
3
получается раствор с концентрацией кислоты равной 33 %. Определите α- и β-концентрации
раствора 1 и раствора 2 соответственно.
О т в е т: α = 12 %, β = 60 %.
98. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8 % соли, чтобы
получить 5 % раствор?
О т в е т: 30 г.
99. Сколько граммов 30 %-го раствора надо добавить к 80 г
12 %-го раствора этой же соли, чтобы получить 20 %-й раствор соли?
О т в е т: 64 г.
100. Если смешать 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то
получим 12 %-й раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов
получим 15 %-й раствор. Определите первоначальную концентрацию каждого раствора.
О т в е т: 10 % и 20 % раствор.
101. Найти процентное содержание олова в сплаве, полученном из двух кусков массой т1
и т2, если известно, что первый содержит р1 %, а второй – р2 % олова.
т1 р1  т2 р2
.
т1  т2
102. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20 %
олова. Второй, массой 200 г, содержит 40 % олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав,
полученный из этих кусков?
О т в е т: р 
О т в е т: 28 %.
103. Имеется два куска сплава олова и свинца, содержащие 60 % и 40 % олова. По сколько
граммов от каждого куска надо взять, чтобы получить 600 г сплава, содержащего 45 % олова?
О т в е т: 150 г; 450 г.
104. Имеются два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в первом
слитке в 2,5 раза больше, чем процентное содержание золота во втором слитке. Если
сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором будет 40 % золота. Найдите, во
сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплаве равных по весу
частей первого и второго слитков получается сплав, в котором 35 % золота.
О т в е т: в два раза.
105. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45 % меди. Сколько килограммов
меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60 % меди?
О т в е т: 13,5 кг.
106. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащей 45 % меди.
Сколько килограммов олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся
новый сплав содержал 40 % меди?
О т в е т: 1,5 кг.
107. Два слитка, один из которых содержит 35 % серебра, а другой 65 %, сплавляют и
получают слиток массой 30 г, содержащий 47 % серебра. Какова масса каждого из этих
слитков?
О т в е т: 12 г; 18 г.
108. Даны два сплава. Первый весит 4 кг и содержит 70 % серебра. Второй весит 3 кг и
содержит 90 % серебра. Сколько кг второго сплава надо сплавить с первым сплавом, чтобы
получить r%-й сплав серебра. При каких r задача имеет решение?
4
7
О т в е т: 70 ≤ r ≤ 78 .
109. Имеются два сплава из цинка, меди и олова. Первый содержит 25 % цинка, второй –
50 % меди. Процентное содержание олова в первом сплаве в два раза больше, чем во втором.
Сплавив 200 кг первого и 300 кг второго, получили сплав, где 28 % олова. Сколько же меди в
этом новом сплаве?
О т в е т: 220 кг.
110. Имеется два слитка, представляющие собой сплавы цинка с медью. Масса первого
слитка 2 кг, масса второго – 3 кг. Эти два слитка сплавили вместе с 5 кг сплава цинка с
медью, в котором цинка было 45 %, и получили сплав цинка с медью, в котором цинка стало
50 %. Если бы процентное содержание цинка в первом слитке было бы равно процентному
содержанию цинка во втором, а процентное содержание цинка во втором такое же, как в
первом, то, сплавив эти два слитка с 5 кг сплава, в котором содержится
60 % цинка, мы бы получили сплав, в котором цинка содержится 55 %. Найдите процентное
содержание цинка в первом и во втором сплавах.
О т в е т: 40 %, 60 %.
111. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав
содержит 40 % олова, а второй – 26 % меди. Процентное содержание цинка в первом и
втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получим новый
сплав, в котором оказалось 30 % цинка. Определите, сколько килограммов олова в
получившемся новом сплаве.
О т в е т: 170 кг.
112. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200
кг примесей, содержащих в среднем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде
повысилось на 20 %. Определите, какое количество железа осталось еще в руде?
О т в е т: 187,5 кг.
113. Имеется два сплава с разным содержанием меди. Число, выражающее в процентах
содержание меди в первом сплаве, на 40 меньше числа, выражающего в процентах
содержание меди во втором сплаве. Оба эти сплава сплавили вместе, после чего содержание
меди составило 36 %. Определите процентное содержание меди в первом и во втором
сплавах, если известно, что в первом сплаве меди было 6 кг, а во втором – 12 кг.
О т в е т: 20 % и 60 %.
114. Торговец продает орехи двух сортов: одни по 90 центов, другие по 60 центов за килограмм.
Он хочет получить 50 кг смеси по 72 цента за килограмм. Сколько для этого потребуется орехов
каждого сорта?
О т в е т: 20 кг и 30 кг.
115. Объем строительных работ увеличивается на 80 %. На сколько процентов нужно
увеличить число рабочих, если производительность труда будет увеличена на 20 %?
О т в е т: на 60 %.
116. В связи с введением рационализаторского предложения время, необходимое для
изготовления некоторой детали машины, уменьшилось на 20 %. На сколько процентов
увеличилась производительность труда?
О т в е т: на 25 %.
117. Рабочий в феврале увеличил производительность труда по сравнению с январем на 5
%, а в марте увеличил ее снова по сравнению с предыдущим месяцем на 10 %. Сколько
деталей изготовил рабочий в марте, если в январе изготовил 200 деталей?
О т в е т: 231 деталь.
118. Число коров на одной молочной ферме на 12,5 % меньше, чем на другой, но средний
удой каждой коровы на 8 % выше. На какой ферме получают молока меньше и на сколько
процентов?
О т в е т: на 5,5 %.
119. В бассейн проведена труба. Вследствие ее засорения приток воды уменьшился на 60
%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения
бассейна?
О т в е т: на 150 %.
120. Только что добытый каменный уголь содержит 2 % воды. После некоторого времени
он впитывает в себя еще некоторое количество воды и содержит уже 15 % ее. На сколько
увеличится при этом вес 27,75 т только что добытого каменного угля?
О т в е т: 3,9 т.
121. Перерабатывая цветочный нектар в мед, пчелы освобождают его от значительной
части воды. Нектар содержит 70 % воды, а мед – 16 %. Сколько килограммов нектара надо
переработать для получения 1 кг меда?
О т в е т: 2,8 кг.
122. На овощную базу привезли 10 тонн крыжовника, влажность которого 99 %. За время
хранения на базе влажность уменьшилась на 1 %. Сколько тонн крыжовника теперь хранится
на базе?
О т в е т: 5 т.
123. В свежих грибах было 90 % воды. Когда их подсушили, то они стали легче на 15 кг
при влажности 60 %. Сколько было свежих грибов?
О т в е т: 90 кг.
124. Свежие грибы содержали по массе 90 % воды, а сухие 12 %. Сколько получится сухих
грибов из 22 кг свежих?
О т в е т: 2,5 кг.
125. Арбуз весил 20 кг и содержал 99 % воды, когда он немного усох, то стал содержать
98 % воды. Сколько теперь весит арбуз?
О т в е т: 10 кг.
126. В референдуме приняли участие 60 % всех жителей одного из районов города N,
имеющих право голоса. Сколько человек при-няли участие в референдуме, если в районе
около 180 000 жителей, а право голоса имеют 81 %.
О т в е т: 87 480 человек.
127. На конкурсе присутствовало 90 % членов жюри. Из них 12 человек отдали свои
голоса за присуждение первого места. Сколько всего человек в жюри, если за этого
конкурсанта проголосовало 66 % членов жюри?
О т в е т: 20 человек.
128. 14 марта 2004 г. в Волгограде проводились выборы в Городской совет. На
избирательный участок из 2844 человек явилось 1592. Выборы считаются состоявшимися,
если явка избирателей составляет не менее
1
от общего числа и число человек,
5
проголосовавших против всех кандидатов, менее 30 %. Состоялись ли на данном участке
выборы, если за кандидата А проголосовали 358 человек, за кандидата Б – 144, «против
всех» – 612 человек?
О т в е т: нет.
129. Рабочий коллектив одной из школ состоит из 54 человек. На педагогическом совете
рассматривался вопрос о выборе экзаменов для 5–6 классов. Педагогический коллектив
составляет 80 % от числа работников школы, на педсовете присутствовало 27 человек.
Поступило предложение 5–6 классам сдавать следующие экзамены: математику в форме
контрольной работы и русский язык – диктант. Все проголосовали единогласно. Можно ли
считать решение принятым? (Решение принято, если за него проголосовало больше 50 %
педагогов школы.)
О т в е т: да.
130. Собрание гаражного кооператива считается правомерным, если в нем приняли
участие 2/3 всех его членов, и вопрос считается решенным, если за него проголосовали не
менее 50 % присутствовавших. В гаражном кооперативе 240 человек. На собрание пришли
168, а за положительное решение обсуждаемого вопроса проголосовали 86 человек. Какое
принято решение?
О т в е т: положительное.
131. Некто купил зимой акции по 50 р. за штуку. Летом стоимость акций поднялась до 90
р., а цены на товар за это же время увеличились в среднем на 20 %. На сколько процентов
увеличилась покупательная способность денег, вложенных в акции?
О т в е т: на 50 %.
132. Для нормальной работы пансионата требуется 670 электролампочек. Каждый месяц
требуют замены 10 % лампочек. Сколько лампочек надо купить, чтобы обеспечить работу
пансионата в течение четырех месяцев?
О т в е т: 268 лампочек.
133. Один насос может выкачать всю воду из котлована за 16 ч, другой за 75 % этого времени.
Первые 3 часа насосы работали вместе, оставшуюся воду выкачал только первый насос. Сколько
времени работал только первый насос?
О т в е т: 9 ч.
134. Две машинистки, работая вместе, печатают в час 44 страницы текста. Первые 25 %
двухсотстраничной рукописи печатала первая машинистка, затем к ней присоединилась
вторая, а последние 20 % текста печатала только вторая машинистка. Сколько страниц в час
печатает каждая машинистка, если на перепечатывание всей рукописи ушло 6 ч 40 мин?
О т в е т: первая машинистка печатала в час 20 с., вторая – 24 с
Занятие 2. Текстовые задачи. Методы решения задач на «движение»
Цель: составить алгоритмы решения задач на движение и закрепить их:
1. по прямой (навстречу и вдогонку)
2. по замкнутой трассе
3. по воде
4. на среднюю скорость
5. протяженных тел
При решении задач на движение принимают такие допущения:

движение считается равномерным, если нет специальных оговорок;

изменение направления движения и переходы на новый режим движения считаются
происходящими мгновенно;

если два тела начинают движение одновременно (если одно тело догоняет другое), то в
случае, если ини встречаются, каждое тело с момента выхода и до встречи затрачивает
одинаковое время;

если тела выходят в разное время, то до момента встречи из них затрачивает время
больше то, которое выходит раньше.

все величины, как правило, положительные (в природе скорость расстояние и время
положительны), поэтому можно смело умножать, делить и возводить в квадрат
получающиеся уравнения и неравенства, не делая необходимых в таких случаях оговорок;

скорость перемещения лодки v по воде, при скорости течения реки vр и собственной
скорости движения vс, выражается:
1.
vпо течению=vс+vр при движении лодки по течению реки.
2.
vпротив течения=vс−vр при движении лодки против течения реки.
Основные соотношения
 v=s/t- скорость движущегося объекта прямо пропорциональна пути s и обратно
пропорциональна времени t.
 t=s0/(v1+v2) - время, за которое два объекта движущиеся навстречу друг другу со
скоростью соответственно v1 и v2 преодолевают начальное расстояние s0.
 t=s0/(v1−v2) - время, за которое два объекта движущиеся в одном направлении со
скоростью соответственно v1 и v2 (v1 > v2) преодолевают начальное расстояние между ними,
равное s0 и первый объект догонит второго.
 vпо течению−vпротив течения=2vр - разность скоростей по течению и против течения реки равна
удвоенной скорости течения.
Задачи, связанные с движением двух тел удобно решать, если занести исходные данные
в таблицу:
Скорость v
Время t
Раcстояние s
v=s/t
t=s/v
s=vt
1 объект
2 объект
После внесения данных, нужно составить уравнения, содержащие искомую величину, исходя
из условий задачи.
Задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку)
В задачах на движение есть две стандартные модели: движение навстречу друг другу
и движение вдогонку. В первой модели рассматривается как бы совместная скорость
сближения, как сумма двух скоростей и поэтому время сближения считается так: t=S/(v1+v2 ).
Во второй модели время, за которое объект, идущий сзади с большей скоростью v1, догонит
другой объект, идущий с меньшей скоростью v2, считается так: t=S/(v1−v2), где S расстояние между объектами в начальный момент времени.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Из городов А и В, расстояние между которыми 480 км, навстречу друг другу
выехали два автомобиля. Из города А со скоростью 55 км/ч, а из города В со скоростью 65
км/ч. Найдите расстояние от города А где они встретятся. Ответ: 220 км.
Задача 2. Два пешехода отправляются из аптеки в одном направлении на прогулку по
набережной. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Найдите время в
минутах, когда расстояние между ними станет 200 м. Ответ:200 м.
Задачи на движение по замкнутой трассе
Движение по замкнутой трассе (допусим по стадиону) похоже на движение вдогонку:
если два бегуна начинают двигаться по окружности одновременно с разными скоростями
соответственно v1 и v2 (v1>v2), то первый бегун приближается ко второму бегуну со
скоростью v1−v2 и в момент, когда первый бегун догоняет второго бегуна, то первый бегун
как раз проходит на один круг больше второго. И поэтому время считается так: t=S/(v1−v2)
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 16 км, в одном
направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч и через
40 минут после старта, он опережает второй автомобиль ровно на один круг. Найдите
скорость второго автомобиля.
Ответ: 56.
Задачи на движение по воде
В задачах на движение по воде скорость реки считается постоянной и неизменной.
При движении по течению скорость реки прибавляется к собственной скорости плывущего
тела, так как скорость реки помогает двигаться телу. При движении против течения от
собственной скорости вычитается скорость реки (реально собственная скорость тела больше
скорости реки), так как в этом случае скорость реки мешает движущемуся телу. Скорость
плота считается равной скорости реки. Скорость перемещения тела v по воде, при скорости
течения реки vр и собственной скорости движения vс, выражается:
vпо течению=vс+vр при движении тела по течению реки.
vпротив течения=vс−vр при движении тела против течения реки.
Замечание. vпо течению−vпротив течения=2vр - разность скоростей по течению и против течения
реки равна удвоенной скорости течения.
Замечание. vс=2vпо течению+vпротив течения - формула нахождения собственной скорости тела.
Задача. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по
течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт.Скорость течения равна 3
км/ч, стоянка длилась 5 часов, а висходный пункт теплоход возвращается через 30 часов
после отплытия из него Определить сколько километров теплоход прошел за весь рейс.
Решение: Заполним таблицу данными из условия задачи: собственная скорость
теплохода vс=25, скорость течения реки vр=3, vпо течению=vс+vр=28 при движении по течению
реки, vпротив течения=vс−vр=22 при движении против течения реки.
Скорость v
Время
t:
Расстояние s
(t=s/v)
по течению
vпо течению=28
tпо
x
течению=x/28
против
vпротив
tпротив
течения
течения=22
течения=x/22
x
Зная, что стоянка длилась 5 часов, а на весь путь затрачено 30 часов, составим
уравнение: x/28+x/22+5=30 .
Решая его получим x/28+x/22=25; x/(2*14)+x/(2*11)=25;
(11x+14x)/ (2*14*11)=25; 25x/308=25; x=308.
Ответ: искомый путь 616 км.
Задачи на определение средней скорости движения
Средняя скорость. Если S - путь пройденный телом, а t - время за которое этот путь
пройден, то средняя скорость вычисляется по формуле: v=s/t. Если путь состоит из
нескольких участков, то для нахождения средней скорости на всем пути, надо весь
пройденный путь разделить на сумму времени, затраченного на каждый участок пути.
Например, если путь состоит из трех участков s1, s2, s3, скорости на которых были
соответственно равны v1, v2, v3, то s=s1+s2+s3 и t=t1+t2+t3 = s1/v1+s2/v2+s3/v3 , тогда средняя
скорость на всем пути находится по формуле: v=s/t .
Задача. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть - со
скоростью 16 км/ч, а последнюю треть - со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость
велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ: 16 км/ч
Задачи на движение протяженных тел
В задачах на движение протяжных тел требуется определить длину одного из них.
Наиболее типичные ситуации: определение длины поезда проезжающего мимо
 придорожного столба
 идущего параллельно путям пешехода
 лесополосы определенной длины
 другого двигающегося поезда
Если поезд движется мимо столба, то он проходит расстояние равное его длине. Если
поезд движется мимо протяженной лесополосы, то он проходит расстояние равное сумме
длины самого поезда и лесополосы.
Задача 1 Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо
придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах.
Решение: Зная скорость движения v = 60 км/ч = 1000 м/мин и время, за которое он
проезжает мимо столба t = 30 сек. = 1/2мин, можно найти длину поезда как пройденное
расстояние s=vt=1000*1/2=500.
Задача 2 Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо
лесополосы, длина которого 800 метрам, за 1 минуту. Найти длину поезда в метрах.
Решение: Зная скорость движения v = 90 км/ч = 1500 м/мин и время, за которое он
проезжает мимо лесополосы длиной 800 метров за t = 1мин, можно найти длину поезда как
пройденное расстояние s=vt=1500*1=1500 плюс длина лесополосы 800 метров и получим
длину поезда равную 2300 метра
Задачи для самостоятельного решения ЕГЭ В12.
Задача 1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км, одновременно
выехали мотоциклист и велосипедист. Известно, что за час мотоциклист проезжает на 50 км
больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он
прибыл в пункт В на 3 часа 20 минут позже мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.
Задача 2. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый
теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью, на 1 км/ч большей,
отправился второй. Расстояние между пристанями равно 240 км. Найдите скорость второго
теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.
Задача 3. Моторная лодка прошла 80 км от пункта А до пункта В и после трехчасовой
стоянки вернулась обратно, затратив на весь путь 12 часов. Найдите скорость лодки в
неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Обозначим скорость лодки в неподвижной воде через x км/ч. Очевидно, что x>2.
80
Тогда время, затраченное лодкой на путь по течению, равно x  2 ч, а время, затраченное на
80
путь против течения, равно x  2 ч. Составим по условию задачи уравнение
80
80
80
80

 3  12

9
x2 x2
, откуда x  2 x  2
. Получится квадратное уравнение:
9 x  160 x  36  0 . Корнями уравнения являются числа
2
больше 2.

2
9 и 18, из которых только второе
Ответ: 18
Задача 4. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист, а навстречу ему одновременно из В в
А выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в В через 2ч после встречи с велосипедистом,
а велосипедист прибыл в А через 4,5 ч после встречи. Сколько часов они были в пути?
Ответ: 5ч. и 7,5 ч.
Задача 5. Два поезда отправились одновременно в одном направлении из городов А и В,
расстояние между которыми 60 км., и одновременно прибыли в город С. Если бы один из
поездов увеличил скорость на 25 км/ч, а другой – на 20 км/ч, то оба поезда прибыли бы в С
одновременно, но на два часа раньше. Найти скорости поездов.
Ответ: 50 км/ч., 40 км/ч.
Задача 6. Поезд должен был пройти перегон в 120 км по расписанию с постоянной
скоростью. Однако, пройдя половину перегона с этой скоростью, поезд остановился на 5
минут. Увеличив на второй половине перегона скорость на 10 км/ч, поезд вовремя прибыл в
конечный пункт. Определить скорость поезда по расписанию.
Ответ: 80 км/ч.
Задача 7. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу, первый из пункта А,
второй – из пункта В. До встречи пешеходов первый прошел на 1 км больше, чем второй.
Первый пешеход прибыл в В через 45 мин после встречи, а второй прибыл в А через 1ч 20
мин после встречи. Найти расстояние от А до В.
Ответ: 7км.
Задача 8. Бригада лесорубов должна была по плану заготовить за несколько дней 216 м3
древесины. Первые три дня бригада выполняла ежедневно установленную планом норму, а
затем каждый день заготавливала 8 м3 сверх плана. Поэтому за день до срока было
заготовлено 232 м3 древесины. Сколько м3 древесины в день должна была бригада
заготавливать по плану?
Задача 9. Бассейн наполняется тремя насосами за 3 часа, причем первый насос
производительнее второго вдвое. Если бассейн наполнять сначала на ½ объема первым и
третьим насосами, а затем на ½ объема вторым и третьим, то он наполнится за 5 часов. За
какое время бассейн наполнится, если будет работать только третий насос?
Задача 10. В двух одинаковых сосудах, объемом по 30 л каждый, содержится всего 30 л
спирта. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй
сосуд, затем из второго сосуда отливают в первый 12 л новой смеси. Сколько спирта было
первоначально в каждом сосуде, если полученная смесь во втором сосуде содержит на 2 л
спирта меньше, чем в первом?
Занятие 3. Текстовые задачи. Методы решения задач на «работу»
Цель: создать условия для формирования умений решать задачи на производительность,
задачи на бассейны и трубы. Научить составлять математическую модель решения задачи на
«работу».
Задачи на выполнение определенного объема работы
Задачи на выполнение определенного объема работы по своему решению очень
схожы с задачами на движение: объем работы выполняет роль расстояния, а
производительность выполняет роль скорости. В тех случаях, когда объем работы не задан,
его принимают за единицу. Большого разнообразия таких задач нет, во всех задачах идет
идет речь о выполнении определенного объема работы, без уточнения характера самой
работы. При решении задач, связанных с выполнением определенного объема работ,
используют следующие соотношения:
A=Vt, где A - количество всей работы, t - время выполнения всего количества работы, V производительность труда, т.е. количество работы, выполняемой в единицу времени.
Если весь объем работы, принятый за единицу, выполняется одним работником за t1, а
вторым за t2 времени, то производительность труда при их совместной работы равна
Vсовм=1/t1+1/t2 и tсовм=1/Vсовм=t1*t2/(t1+t2).
Задачи, связанные с выполнением определенной работы удобно решать, если занести
исходные данные в таблицу:
Производительность
v
v=A/t
1
объект
2
объект
Время
t
t=A/V
Работа A
A=Vt
После внесения данных, нужно составить уравнения, содержащие искомую величину, исходя
из условий задачи.
Задачи на работу, на бассейны и трубы
Рассмотрим стандартную задача на работу: первый рабочий может выполнить
некоторую работу за a часов, а второй за b часов. Определите время, за которое оба рабочих
выполнят работу вместе. Так как объем работы не задан, то его можно принять за единицу.
Тогда производительность первого рабочего будет a1, производительность второго рабочего
будет b1, а совместная производительность равна a1+b1. Значит всю работу совместно два
рабочих выполнят за t=1/(a1+b1) времени.
Задачи на бассейны и трубы аналогичны задачам на совместную работу.
Математическая модель задачи сохраняется, только рабочим будут соответствовать насосы
разной производительности, а объем работы будет представлять наполнение бассейна водой.
Задача 1. Две трубы наполняют бассейн за 4 часа, а одна первая труба наполняет бассейн за
5 часов. Найдите время наполнения бассена одной второй трубой.
Решение: Заполним таблицу
Производительность
v
Время
t
Работа
две трубы
a+b=1/4
4
1
одна
первая
a=1/5
5
1
А
труба
одна
вторая
труба
b
1/b
1
Найдем b: b=1/4−1/5=1/20, значит время наполнения бассейна одной второй трубой 20 часов.
Ответ 20 ч.
Задача 2. Грузчики А и В работали одинаковое число часов. Если бы А работал на 1 час
меньше, а В – на 7 часов меньше, то А заработал бы 72 тыс. руб., а В – 64,8 тыс. руб. Если бы
А работал на 7 меньше, а В – на 1 час меньше, то В заработал бы на 32,4 тыс. руб. больше,
чем А. Сколько заработал каждый грузчик?
Решение.
Пусть за t часов работы грузчик А заработал х тыс. рублей, а В – у тыс. рублей. Из
условия задачи составляем систему уравнений
х
(t – 1) = 72,
t
y
(t – 7)
= 64.8
t
y
х
(t – 1)
– (t – 7) = 32,4.
t
t
t - 1 72
t 7
64.8
Из первых двух уравнений системы находим
=
,
=
.
t
x
t
y
y
х
Из этих равенств и третьего уравнения системы получим 72 – 64,8 = 32,4
x
y
y
y
y
6
или 20( )2 – 9
– 18 = 0. откуда
= .
5
x
x
x
1,2(t  7) 64,8

Разделив второе уравнение системы на первое, получим
,
t -1
72
t 7 3
 , откуда t = 25.
или
t -1 4
Значит х = 75, у = 90.
Ответ: 75 тыс. руб., 90 тыс. руб.
Задача 3. Бак объемом 425 м3 был наполнен водой из двух кранов, причем первый кран был
открыт на 5ч, дольше второго. Если бы первый кран был открыт столько времени, сколько на
самом деле был открыт второй, а второй кран был бы открыт столько времени, сколько был
открыт первый, то из первого крана вытекло бы вдвое меньше воды, чем из второго. Если
открыть оба крана одновременно, то бак наполнится за 17 ч. Определить, сколько времени
был открыт второй кран.
Решение.
Пусть х – искомое время, v,u – скорость поступления воды из первого и второго кранов
соответственно. Тогда
v(x + 5) + ux = 425,
2vx = u(x + 5),
(v + u)17 = 425.
25( х  5)
50 х
Из первого и второго уравнения находим v =
, u=
.
3х  5
3х  5
Подставим эти значения в третье уравнение, получим
3х2 – 41х – 60 = 0,
х = 15
Ответ: 15ч.
Задачи для самостоятельного решения.
Текстовые задачи
Часть А
1.
В цехе работает 60 человек, из них 30 % мужчины. Количество мужчин, которые
работают в цехе, равно:
1) 6
2.
2) 141
3) 370
4) 85,4
5) 33,3
2) 115
3) 118
4) 108
5) 109,(09)
2) 49,28
3) 82,72
4) 60
5) 366
2
3
Найдите время движения теплохода (ч), если известно, что он проплыл расстояние 210
км со скоростью 35 км/ч.
1) 4
6.
5) 42
Кофе при жарке теряет 12 % своей массы. Если получили 44 кг жаренного кофе, то
свежего кофе (в килограммах) было:
1) 50
5.
4) 36
Цена на товар поднялась на 20 %, а потом уменьшилась на 10 %. Сколько процентов
составляет окончательная цена от первоначальной?
1) 110
4.
3) 18
В младших классах учится 111 человек, что составляет 30 % общей численности
учеников школы. Сколько учеников в школе?
1) 144,3
3.
2) 15
2) 5
3) 6
4) 8
5) 12
Найдите время движения велосипедиста (мин), если известно, что расстояние 4 км он
проехал со скоростью 16 км/ч.
1) 10
2) 15
3) 20
4) 25
5) 30
7.
Белка за 20 минут приносит орех в гнездо. Сколько метров от гнезда до орешника, если
известно, что налегке белка бежит со скоростью 5 м/с, а с орехом – 3 м/с?
8.
Миша идет от дома до школы 30 мин, а брат его Петя – 40 мин. Петя вышел из дома на
5 мин раньше Миши. Через сколько минут Миша догонит Петю?
9.
Найдите скорость лодки в стоячей воде (в км/ч), если за 5 часов она прошла по реке
20 км и вернулась назад, а скорость течения 3 км/ч.
10.
В 336-ведерную емкость всякий час одною трубою втекает 70 ведер воды, а другою
вытекает 42 ведра. За какое время емкость наполнится?
11.
Маша съедает тарелку каши за 10 минут, а Витя такую же тарелку – за 15 минут. За
сколько минут Маша и Витя съедят тарелку каши, если будут есть из одной тарелки?
12.
Произведение двух положительных чисел равно 36, а их разность равна 16. Найдите
сумму этих чисел.
1) 15
13.
2) 18
3) 20
4) 22
5) 24
Сумма двух положительных чисел равна 15, а их среднее арифметическое на 25 %
больше среднего геометрического. Большее из этих чисел равно:
1) 11
2) 8
3) 9
4) 10
5) 12
14.
Одно число больше другого на 44. При делении чисел в частном получается 2, а в
остатке 15. Найдите эти числа.
Часть В
15.
Банк ежегодно увеличивает на одно и то же число процентов сумму, имеющуюся на
вкладе к моменту начисления процентов. На сколько процентов ежегодно
увеличивается сумма, если за два года она возросла с 200 000 до 242 000 рублей?
16.
До распродажи мужской и женский костюмы стоили одинаково. В начале распродажи
на 15 % была снижена цена на мужской костюм, но покупателя не нашлось, поэтому
еще раз снизили цену на 15 %. На сколько процентов нужно однократно снизить цену
на женский костюм, чтобы оба костюма снова стали стоить одинаково?
17.
Цена входного билета на стадион составляла 20 рублей. После снижения входной платы
число зрителей увеличилось на 25 %, а выручка возросла на 12,5 %. Сколько стал
стоить входной билет после снижения цены?
18.
В связи с финансовыми проблемами дирекция предприятия уменьшила
продолжительность рабочего дня с 8 до 7 часов. На сколько процентов предстоит
рабочим повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках их
заработная плата возросла на 5 %?
19.
За одно качание воздушный насос откачивает из резервуара 0,1 часть имеющегося там
воздуха. Сколько процентов воздуха останется в резервуаре после пяти качаний?
20.
В 2008 году в конкурсе участвовало 200 000 школьников – на 50 % больше, чем в 2007
году. Если и дальше каждый год число участников будет увеличиваться на 50 %, то в
каком году это число превысит 1 000 000?
21.
В поход ходили 80 % учеников класса, а на экскурсии было 60 % класса, причем
каждый был в походе или на экскурсии. Сколько процентов класса были и там, и там?
22.
Из 40 т руды выплавляют 20 т металла, содержащего 6 % примесей. Каков процент
примесей в руде?
23.
Какое максимальное количество 12 %-го раствора кислоты можно получить, имея по 1
литру 5 %-го, 10 %-го и 15 %-го растворов?
24.
Имеется два сплава. Один содержит 2,8 кг золота и 1,2 кг примесей, другой – 2,7 кг
золота и 0,3 кг примесей. Отрезав по куску от каждого сплава и сплавив их, получили 2
кг сплава с содержанием золота 85 %. Сколько килограммов металла отрезали от
второго сплава?
25.
В смеси ацетона и спирта ацетона в 2 раза меньше, чем спирта. Когда к этой смеси
добавили 300 л спирта, получили смесь с содержанием ацетона 28 %. Сколько литров
ацетона было в смеси первоначально?
26.
Смешали 300 г 60 %-го раствора серной кислоты и 200 г 80 %-го раствора серной
кислоты. Сколько процентов серной кислоты в получившемся растворе?
27.
В двух одинаковых сосудах находятся растворы серной кислоты концентрации 28,7 % и
37,3 %. Растворы смешивают. Какова концентрация полученного раствора кислоты?
28.
Велосипедист проехал 20 км со скоростью 10 км/ч и 15 км со скоростью 5 км/ч.
Найдите среднюю скорость (км/ч) движения велосипедиста.
29.
Автобус выполнял рейс между двумя городами: от А до В со скоростью 60 км/ч, а от В
до А со скоростью 40 км/ч. Какова была средняя скорость (км/ч) рейса?
30.
Из А в В и из В в А одновременно вышли два пешехода. Когда первый прошел
половину пути, второму осталось пройти 24 км, а когда второй прошел половину пути,
первому осталось пройти 15 км. Сколько километров останется пройти второму
пешеходу после того, как первый закончит переход?
31.
Поезд был задержан на станции на 2 ч 12 мин. Чтобы ликвидировать отставание к
прибытию на конечную станцию, машинист, преодолевая отрезок пути в 660 км,
увеличил скорость на 10 км/ч. Определите время (ч) движения на этом отрезке пути.
32.
Расстояние между городами А и В пассажирский поезд проходит за 16 часов, а скорый
поезд такое же расстояние – за 8 часов. В 21 час из А в В отправился пассажирский
поезд, а в 23 часа из В в А навстречу ему – скорый. Найдите сумму числа часов и числа
минут времени встречи этих двух поездов.
33.
Расстояние между городами А и В равно 50 км. Из города А в город В выехал
велосипедист, а через 1 ч 30 мин вслед за ним выехал мотоциклист. Обогнав
велосипедиста, он прибыл в город В на 1 ч раньше его. Найдите скорость
мотоциклиста, если известно, что она в 2,5 раза больше скорости велосипедиста.
34.
Расстояние между деревней и поселком мотоциклист проезжает на 0,4 ч быстрее
8
велосипедиста. Скорость мотоциклиста 18 км/ч, а скорость велосипедиста составляет
9
скорости мотоциклиста. Найдите расстояние между деревней и поселком.
35.
От турбазы в город, находящийся на расстоянии 24 км, вышел турист со скоростью 4
км/ч. Через 2 ч за ним отправился второй турист. С какой скоростью (км/ч) должен идти
второй турист, чтобы прийти в город одновременно с первым?
36.
Фермеры должны были закончить сев за 5 дней. Но, узнав о предстоящем ухудшении
погоды, они засевали в день на 20 га больше, чем предполагалось по плану, и поэтому
закончили сев за 4 дня. Сколько гектаров они засеяли?
37.
Через кран вода заполняет бак за 3 часа, а через сливное отверстие вся вода из бака
выливается за 5 часов. За какое время вода заполнит бак при открытых кране и
отверстии?
38.
Первая труба наполняет бассейн за 10 ч, а вторая – за 15 ч. За сколько часов будет
наполнен бассейн, если одновременно наполнять его из двух труб?
39.
На обработку одной детали один рабочий затрачивает на 1 мин меньше, чем другой.
Сколько деталей обрабатывает первый рабочий за 4 ч, если он обрабатывает за это
время на 8 деталей больше, чем второй?
40.
Два переводчика переводили рукопись. Первые 2 ч работал первый переводчик,
следующие 6 ч они работали вместе. За это время было переведено 80 % рукописи.
Сколько часов потребовалось бы первому переводчику, чтобы перевести всю рукопись,
если известно, что ему потребуется на эту работу на 4 ч меньше, чем второму?
41.
Два насоса разной мощности, работая одновременно, наполняли бассейн водой за 4 ч.
После реконструкции производительность первого насоса увеличилась на 20 %, а
второго – на 60 %. Теперь они, работая одновременно, наполняют бассейн за 3 ч. За
сколько часов может наполнить бассейн первый насос после реконструкции?
42.
Два станка разной мощности, работая вместе, могут выполнить работу за 6 ч. Если бы
первый проработал 4 ч, а затем один второй 6 ч, то они выполнили бы 80 % всей
работы. За сколько часов каждый станок, работая отдельно, может выполнить всю
работу?
1
числа,
4
выраженного цифрами сотен и десятков (написанных в том же порядке); цифра сотен
1
равна
числа, выраженного цифрами десятков и единиц, написанных в том же
23
порядке. Найдите число.
43.
Сумма цифр трехзначного числа равна 12. Число единиц этого числа равно
44.
Числитель несократимой дроби на 1 больше, чем знаменатель. Если уменьшить
5
числитель и знаменатель на 2 и полученную дробь умножить на , то получим дробь,
8
обратную исходной. Найдите произведение числителя и знаменателя исходной дроби.
45.
Число 59 разделили на некоторое натуральное число и получили, что неполное частное
на 6 меньше делителя, а остаток на 7 меньше делителя. Найдите делитель.
Часть С
46.
В корзине лежало не более 70 грибов. После разбора оказалось, что 52 % из них –
белые. Если отложить три самых маленьких гриба, то среди оставшихся будет ровно
половина белых. Сколько грибов было в корзине?
47.
В автобусе ехало не более ста пассажиров, причем число сидящих пассажиров было в 2
раза больше числа стоящих. На остановке из автобуса вышло ровно 4 % всех
пассажиров. Найдите число пассажиров, оставшихся в автобусе.
48.
Аквариум частично заполнен водой. В начале месяца воздух занимал половину объема
аквариума, а в конце объем воздуха увеличился на 50 % по сравнению с
первоначальным. Какую часть (%) от объема аквариума стала занимать вода?
49.
В сосуде было 20 литров соляной кислоты. Часть кислоты отлили, и сосуд дополнили
водой. Затем отлили в 2 раза большую (чем в первый раз) часть полученной смеси и
снова дополнили сосуд водой. В результате получился 28 %-й раствор кислоты.
Сколько литров кислоты отлили в первый раз?
50.
В двух сосудах находилось 600 г и 150 г растворов соли различной концентрации. Из
каждого сосуда взяли одновременно по n граммов раствора. Взятое из первого сосуда
вылили во второй, а взятое из второго – в первый. После этого концентрация растворов
в обоих сосудах стала одинаковой. Найдите n.
51.
В двух сосудах находилось 40 г и 60 г растворов соли различной концентрации. Из
каждого сосуда взяли одновременно по n граммов раствора. Взятое из первого сосуда
вылили во второй, а взятое из второго – в первый. После этого концентрация растворов
в обоих сосудах стала одинаковой. Найдите n.
52.
Два сосуда равных объемов до краев заполнены раствором кислоты одинаковой
концентрации. Из первого сосуда отлили 1 л раствора и долили 1 л воды. Потом эту же
процедуру повторили еще раз. Из второго сосуда отлили 3 л раствора и долили 3 л
воды. Потом эту же процедуру повторили еще раз. В результате концентрация кислоты
в первом сосуде стала в 1,96 раз больше, чем во втором. Найдите объем сосуда (в
литрах).
53.
Две материальные точки, двигаясь по окружности в одном направлении, оказываются
рядом через каждые 36 мин, а двигаясь в разных направлениях, встречаются каждые 4
мин. За какое время каждая точка совершает полный оборот?
54.
Два тела движутся по окружности равномерно в одну сторону. Первое тело проходит
окружность на 2 с быстрее второго и догоняет второе тело каждые 12 с. За какое время
каждое тело проходит окружность?
55.
Рыболов, охотник и грибник идут в одном направлении с постоянными скоростями.
Когда рыболов и охотник находились в одной точке, грибник отставал от них на 220 м.
Когда грибник догнал охотника, рыболов отставал от них на 180 м. Найдите расстояние
(м) между охотником и рыболовом в тот момент, когда грибник и рыболов находились
в одной точке.
56.
Из поселка в одном и том же направлении выехали последовательно с интервалом в 1
час три велосипедиста. Так как первый из них двигался со скоростью 12 км/ч, второй –
10 км/ч, то третий велосипедист, имея более высокую скорость, догнал сначала второго
велосипедиста, а еще через 2 часа – первого. Запишите в ответ число, выражающее
скорость (км/ч) третьего велосипедиста.
57.
Из двух городов А и В одновременно навстречу друг другу с постоянными скоростями
выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город В через 6 часов
после встречи, а велосипедист – в город А через 24 часа после встречи. З какое время
мотоциклист проезжает путь от А до В?
58.
Заказ по изготовлению деталей выполняется на станках марок А и В. За 9 ч выполняют
заказ 55 станков марки А и 36 станков марки В, а 13 станков марки А и 43 станка марки
В – за 18 ч. На сколько процентов время выполнения заказа одним станком марки А
меньше времени выполнения заказа одним станком марки В?
59.
Трое рабочих выполнили работу за 10 дней, причем третий из них работал только
первые три дня. За сколько дней выполнил бы работу каждый рабочий, если известно,
что за первые три дня они вместе выполнили 37 % всей работы, а за 5 дней первый
рабочий сделал столько же, сколько второй за 4 дня?
60.
На угольной шахте сначала работали два участка, а через некоторое время вступил в
строй третий участок, в результате чего производительность шахты увеличилась в
полтора раза. Сколько процентов составляет производительность второго участка от
производительности первого, если известно, что за 4 месяца первый и третий участки
выдают угля столько же, сколько второй за год?
61.
Двенадцать человек несут 12 хлебов. Мужчины – по 2 хлеба, женщины – по
дети – по
1) 1
62.
1
хлеба,
2
1
хлеба. Найдите, сколько мужчин несут хлеба.
4
2) 2
3) 3
4) 4
5) 5
В школе 1400 учеников. Из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 – на коньках. Ни на
лыжах, ни на коньках не умеют кататься 60 учащихся. Сколько учащихся умеют
кататься и на лыжах, и на коньках?
Текстовые задачи
ОТВЕТЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
3
3
4
1
3
2
2250
15
9
12 ч
6
3
5
73 и 29
10
27,75
18 р
20
59,049 %
2012
40 %
53 %
1
2 л
7
1,5
525
68
33 %
7
48
8
11
43
30
57,6
6
400
7,5
6
48
16
5
10 и 15
246
30
11
25
72
25
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
6
120
24
8
7,2 мин и 9 мин
4 сек и 6 сек
99
20
18
42
25, 20 и 30
60
5
862
Занятие 38-39. Прогрессии и последовательности
Цель: Повторить формулы и сформировать умения и навыки по теме, научить применять
их при решении задач:
1. арифметическая прогрессия;
2. геометрическая прогрессия;
3. сумма бесконечно убывающая геометрической прогрессии
b
при |q|<1.
S  _1
1 q
Арифметическая прогрессия
1. Выясните, является ли арифметической прогрессией последовательность, заданная
формулой 3п  2 . Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.
2. Между числами 23 и 15 вставьте число таким образом, чтобы получившиеся три
числа являлись последовательными членами арифметической прогрессии.
3. Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии, если ее
третий член равен -5, а пятый равен 2,4.
4. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 6,3; 5,8;
…
5. Выясните, является ли арифметической прогрессией последовательность, заданная
формулой 4п  3 . Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.
6. Между числами 16 и 28 вставьте число таким образом, чтобы получившиеся три
числа являлись последовательными членами арифметической прогрессии.
7. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если ее
четвертый член равен 3, а шестой равен – 1,2.
8. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии
- 7,1; - 6,3; …
Задачи для самостоятельного решения.
Варианты работ по теме: «Арифметическая прогрессия»,
которые можно использовать для классной и домашней работы
Вариант I
(не более 15 минут)
1.
2.
3.
4.
Найдите пятый член арифметической прогрессии: 15; 8, …
Найдите первый член арифметической прогрессии (а n ) , если а12  24; d = 4.
Найдите а 51 для арифметической прогрессии (а n ) : 0,5; 2; 3,5; … .
Дана конечная арифметическая прогрессия (а n ) . Найдите n, если а1  6,2 ; d = -4;
аn  29,8 .
5. Являются ли числа А = 48 и В = -128 членами арифметической прогрессии (а n ) , если
а n  2  8n ?
Ответы:
4. n = 10
5. А - не является, В - не является
1. C5  13 2. а1  68 3. а 51 = 75,5
4 – 5 верных ответов
2 – 3 верных ответов
0 – 1 верный ответ
Переходите к Варианту II
Проверьте себя на похожем Варианте III
Разберите решения Варианта I, после чего переходите к
Варианту III.
Вариант II
(не более 30 минут)
1. В арифметической прогрессии а1  29,2 и а2  27,9 . На каком месте (укажите номер)
стоит первое отрицательное число? Найдите это число.
2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (а n ) , если а6  а2  6 ,
а9  а 7  1 .
3. Между числами -5 и 7 вставьте три числа, которые вместе с данными числами
образуют арифметическую прогрессию.
4. а n – арифметическая прогрессия. а7  9 . При каком d а1 а 2 а 7 имеет минимальное
значение?
5. Сколько нужно сложить последовательных натуральных чисел, начиная с 25, чтобы их
сумма равнялась 196?
Ответы:
33
1. а  0,7
2. а1  4, d  2 3. -2; 1; 4.
4. d 
5. 7
20
4 – 5 верных ответов
2 – 3 верных ответов
0 – 1 верный ответ
Переходите к Варианту V
Проверьте себя на похожем Варианте IV
Вам следует вернуться к § учебника и к задачнику.
Вариант III
(не более 15 минут)
Найдите четвертый член арифметической прогрессии: 13; 9, …
Найдите первый член арифметической прогрессии (а n ) , если а4  18; d = -3.
Найдите а 26 для арифметической прогрессии (а n ) : 10; 4; -2; … .
Дана конечная арифметическая прогрессия (а n ) . Найдите n, если а1  5 ; d = 3;
а n  16 .
5. Являются ли числа А = -125 и В = 203 членами арифметической прогрессии (а n ) , если
а n  3  2n ?
Ответы:
4. n = 8
5. А - является, В - не является
1. C4  1
2. а1  27
3. а 26 = -140
1.
2.
3.
4.
3 – 5 верных ответов
0 – 2 верных ответа
Переходите к Варианту IV
Решите подобные задачи из учебника (по которому вы
занимаетесь)
Вариант IV
(не более 30 минут)
1. В арифметической прогрессии а1  38,1 и а2  36,7 . На каком месте (укажите номер)
стоит первое отрицательное число? Найдите это число.
2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (а n ) , если а9  а7  70 ,
а5  а12  1.
3. Между числами -28 и 12 вставьте четыре числа, которые вместе с данными числами
образуют арифметическую прогрессию.
4. а n – арифметическая прогрессия. а1  1 . При каком d а1а3  а2 а3 имеет минимальное
значение?
5. Сколько нужно сложить последовательных натуральных чисел, начиная с 32, чтобы их
сумма равнялась 170?
Ответы:
5
1. а  1,1
2. а1  0, d  5
4. d  
3. -20; -12; -4; 4.
5. 5
4
4 – 5 верных ответов
2 – 3 верных ответов
0 – 1 верный ответ
Переходите к Варианту V.
Разберите решения. Переходите к Варианту V.
Вам следует начать заново Вариант I.
Вариант V
(не более 30 минут)
1. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй ее член в частном
получается 7; при делении десятого члена прогрессии на ее пятый член в частном
получается 2 и в остатке 5. Найдите двадцатый член этой прогрессии.
2. Даны две арифметические прогрессии (11; 15; 19; …), (154; 147; 140; …). Найдите все
общие члены этих прогрессий.
3. а n - арифметическая прогрессия. а1  а3  а5  12 ; а1а3 а5  80 . Найдите а1 .
Ответы:
1. а 20  115
3. а1  10 или а1  2
2. 35; 63; 91; 119; 147.
Решение варианта 5.(по прогрессии)
1). Условие задачи можно кратко записать так:
 (a n )
a9  7a 2
a10  2a5  5
Воспользовавшись формулой n-го члена арифметической прогрессии, получим:
a9  a1  8d
a 2  a1  d
a10  a1  9d
a5  a1  4d
Тогда условие задачи а9=7а2 можно записать в виде
а1+8d=7(a1+d)
d=6a1
Условие задачи а10=2а5+5 можно записать в виде
а1+9в=2(а1+4d)+5
d=a1+5
d  6a1

d  a1  5
a1  1
d 6
a 20  115.
Ответ : a 20  115.
2) Для первой прогрессии имеем:
d=15-11=4
an=11+(n-1)4=7+4n
Для второй прогрессии имеем:
d=147-154=-7
bm=154+(m-1)(-7)=154-7m+7=161-7m
Общие члены прогрессии будем находить, исходя из условий: аn=bm
7+4n=161-7m
m  22 
4n
7
Так как n и m натуральные числа, то полученное равенство будет иметь место тогда и
только тогда, когда n=7k, где k  N , m  22  4k  1, k 
Имеется только 5 общих членов прогрессий.
Вычислим их, воспользовавшись формулой
аn=7+4n=7+27k
k=1, 7+28k=35
k=2, 7+28k=63
k=3, 7+28k=91
k=4, 7+28k=119
k=5, 7+28k=147
Ответ: 35, 63, 91, 119, 147.
3) а1+а3+а5=-12
а1а3а5=80
3а1+6d=-12
a1+2d=-4
a3=-4
a1=-4-2d
a1(-4)(a3+2d)=80
(-4-2d)(16-8d)=80
-64+32d-32d+16d2=80
16d2-64=80
16d2=144
d2=9
d=3
d=-3
d=3, то a1=-10
d=-3, то a1=2
Ответ: -10 или 2.
21
6
4
Самопроверка.
1. Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: b7= -30; b6= 15 ?
q
b7 _ 30 _

 2;
b6
15
_
2  1,⇒ Г.П. не является бесконечно убывающей
2. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: -25; -5; -1;…
_
b1
1
25 _ 125 _
1
; b1  _ 25; q  ; S 

 31
_
1 q
5
4
4
_ 1
1
5
Записать бесконечную десятичную
периодическую
S 
3.
дробь 0,(9) в виде обыкновенной
дроби.
0, 9 
9
9
9


 ...
10 10 2 103
q
1
b
0,9 0,9
; S  _1 ; S  _ 
 1.  0, 9  1
10
1 q
1 0,1 0,9
Задачи на прогрессии
ЧАСТЬ А
1) Найдите три первых члена
a1 ,а2 ,а3 арифметической прогрессии, если известно,
что а1  а3  а5   12 и а1а3а5  80 .
2) Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если известно,
45
 45 
что b4  b2   ; и b6  b4   
.
32
 512 
3) Найдите первый и пятый члены геометрической прогрессии, если, известно, что её
знаменатель равен 3, а сумма шести первых членов равна 1820
4) Сумма трёх первых чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 2; а
14
сумма
квадратов этих же чисел равна
. Найдите эти числа.
9
5) Найдите четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой третий
член больше первого на 9, а второй больше четвёртого на 18.
6) Знаменатель геометрической прогрессии равен
равен
1
; четвёртый член этой прогрессии
3
1
121
; а сумма всех её членов равна
. Найдите число членов прогрессии.
162
54
7) Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найдите
сумму одиннадцати членов этой прогрессии.
8) Найдите натуральные числа, образующие арифметическую прогрессию, если
произведения трёх и четырёх первых её членов равны соответственно 6 и 24.
9) В арифметической прогрессии a3  a7  5 и a4  1 . Тогда сумма первых десяти
членов равна…
10) Шестой член арифметической прогрессии составляет
равна 48. Тогда разность прогрессии равна…
60% от третьего, а их сумма
11) В арифметической прогрессии седьмой член в три раза больше второго, а сумма
первых шести членов равна 48. Найдите сумму членов с пятого по восемнадцатый
включительно.
12) Известно, что в арифметической прогрессии сумма её первых 11 членов равна 22.
Чему равна сумма a4  2a6  a8 .
13) Известно, что в арифметической прогрессии a6  a9  a12  a15  20 . Найдите сумму
её первых 20 членов.
14) В арифметической прогрессии сумма первых трёх членов равна 30, a6  a4   4 ; и
an   10  . Чему равно n ?
15) Сумма членов арифметической прогрессии
включительно равна 55 и an  5 . Чему равно n ?
с
третьего
по
тринадцатый
16) В арифметической прогрессии 100 членов. Если сумма всех членов этой
прогрессии равна 280, а сумма членов с чётными номерами равна 200, то разность
этой прогрессии равна…
17) Сколько натуральных чисел, принадлежащих отрезку 1000; 5000 , делятся на 17?
18) Найдите сумму всех чётных натуральных чисел, не превосходящих 300, которые
при делении на 13 дают в остатке 5.
19) В
геометрической
прогрессии
с
b1  b2  20; b3  b4  180; и bn  405. Чему равно n?
положительными
членами
20) в геометрической прогрессии b2  b4  b6  216 и b3  12 . Найдите сумму первых
шести членов.
ЧАСТЬ В
21) Найдите сумму всех чётных трёхзначных чисел, делящихся на 3.
22) Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем g  1 равна 4, а
сумма кубов её членов равна 192. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
23) Найдите четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую
прогрессию, а последние три - арифметическую прогрессию. Сумма крайних чисел
равна 21; а сума средних равна 18.
24) Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на
2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого увеличить последнее
число на 9, то прогрессия снова станет геометрической. Найдите эти числа.
25) Найдите три числа, образующих геометрическую прогрессию, если известно, что
их произведение равно 64, а их среднее арифметическое равно 14 .
3
26) Даны две арифметические прогрессии. Первый и пятый члены первой прогрессии
равны соответственно 7 и  5 . У второй прогрессии первый член равен 0, а
7
. Найдите сумму членов второй прогрессии, если известно, что
2
третьи члены обеих прогрессий равны между собой.
последний равен
27) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, делящихся на 7.
28) Найдите сумму семи первых членов бесконечной геометрической прогрессии со
знаменателем g  1 , если её второй член равен 4, а отношение суммы квадратов
членов к сумме членов равна 16 .
3
29) В геометрической прогрессии с отрицательными членами сумма первых шести
членов равна  504 и b1  b4   24 . Знаменатель прогрессии равен…
30) В геометрической прогрессии 10 членов. Если сумма всех её членов равна 3069 и
она в 3 раза больше суммы членов, стоящих на нечётных местах, то первый член
прогрессии равен…
31) Три числа x, y и 12 образуют убывающую геометрическую прогрессию. Если
вместо 12 взять 9, то три числа составят арифметическую прогрессию. Сумма
x  y равна…
32) Сума всех членов бесконечной прогрессии составляет 75% от суммы её членов с
32
5
нечётными номерами равной
. Найдите номер члена равного
.
128
3
33) Четыре числа составляют возрастающую геометрическую прогрессию, в которой
сумма крайних членов равна 27, а произведение средних равно 72. Большее из этих
чисел равно…
34) Корень уравнения
3  7  11  .....  x 24

равен…
1  1  3  .....  x 27
35) Для некоторой арифметической прогрессии сумму её первых n членов можно
найти по формуле Sn  6n  3n 2 (для любого натурального n ). Чему равна разность
этой прогрессии?
36) Найти такое натуральное n , что для любого числа a   1 выполняется равенство
1  a  a 2  .....  a n  1  a  1  a 2 1  a 4 1  a8 1  a16  .
37) В геометрической прогрессии b5  3 2 . Найдите произведение первых девяти
членов этой прогрессии.
38) Для некоторой геометрической прогрессии сумму её первых n членов можно
найти по формуле Sn  3  31 n (для любого натурального n). Найдите сумму
первого члена и знаменателя прогрессии.
39) Три различных числа x, y и z образуют геометрическую прогрессию. Найдите
знаменатель этой прогрессии, если известно, что числа x, 2 y и 3z образуют
арифметическую прогрессию.
40) Вычислите 7002  6962  6922  6882  .....  4042  400 2
ЧАСТЬС
41) Решите уравнение

x 1 x  2 x  3
1


 .....   3 .
x
x
x
x
 
42) Вычислите 1  32  52  ...   2n  1  ...  1992  22  42  62  ...   2n   ...  2002
2
43) Решите уравнение 2 x  1  x 2  x3  x 4  x 5  ... 
2

13
; где ч  1 .
6
44) Если a  4 3 4 3 4 3 ... , то a 3  ?
45) Второй, первый и третий члены арифметической прогрессии разность которой
отлична от нуля образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию.
Найдите её знаменатель.
46) Найдите число корней уравнения  x  1  x 9  x8  ...x  1  991  x5 .
47) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 5, а сумма
квадратов членов этой же прогрессии равна 15. Знаменатель прогрессии равен…
48) Четыре числа составляют возрастающую геометрическую прогрессию, в которой
сумма крайних членов равна 27, а произведение средних равно 72. Большее их этих
чисел равно…
49) Найдите первый член бесконечно убывающей прогрессии, если S  2
g


2 1 ,
2
.
2
50) Первый член арифметической прогрессии равен  53 , разность прогрессии равна
4. Укажите максимальный номер
an  200 .
 n
члена последовательности, для которого
51) Найдите третий член арифметической прогрессии, у которой сколько бы ни взять
первых членов, сумма их всегда будет равна утроенному квадрату числа этих
членов.
52) В арифметической прогрессии первый член равен
 124 ,
разность прогрессии
равна 17, n -й член равен  22 . Найдите n.
53) Первый член в геометрической прогрессии равен 5, а шестой член равен 1215.
Найдите знаменатель этой прогрессии.
54) В арифметической прогрессии первый член равен  124 , а седьмой член равен
 22 . Найдите разность прогрессии.
55) Между числами 20 т 97 вставить 10 чисел так, чтобы все вместе они образовывали
бы арифметическую прогрессию. В ответ запишите наибольшее из добавляемых
чисел.
56) В возрастающей арифметической прогрессии a1  a10  58 , а сумма первых 10
членов равна 155. Найдите a4 .
57) Найдите среднее геометрическое двух чисел, которые находятся между числами 10
и 610 и вместе с ними составляют геометрическую прогрессию.
58) Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 72. Если
первое число в 5 раз больше третьего, то разность прогрессии равна…
59) Три числа, записанные по убыванию, образуют геометрическую прогрессию. если
вместо меньшего числа записать число 6, то эти числа будут образовывать
арифметическую прогрессию. Найдите большее из этих чисел, если меньшее из
них равно 8.
1) 2; 1 ; 4 ;
2) 10 ; 7 ; 4
1
2. 1) 6: ;
4
1
2) 6 ; 
4
3. 5; 405
1 2
4. ; ;1
3 3
5. 3; 6 ; 12; 24
6. 5
7. 44
8. 1; 2; 3; 4
9. 32; 5
10. 4
11. 336
12. 8
13. 100
14. 12
1.
Ответы.
21. 82350
1
22. 6; 
2
23. 1) 3; 6; 12; 18;
2) 18, 75; 11, 25; 6,75; 2,25
24. 1) 4; 8; 16;
4
16 64
2)
;  ;
25 25
25
25. 1) 8; 4; 2
2) 2; 4; 8
26. 14
27. 70336
127
28.
8
29. 4
30. 341. 7
31. 45
32. 5
33. 24
7
3
1
39.
3
40. 167200
42. 12100
1
7
43. x1  ; x2  
2
9
44. 48
45. 2
46. 45
47. 0,25
48. 24
49. 2
50. 64
51. 15
52. 753. 3
54. 17
38.
15. 8
16.2,4
17. 236
18. 1628
19. 5
20. 94, 5
34. 3
35. 6
36. 31
37. 8
55. 90
56. 1
57. 80
58. 4
59. 18
Занятия №40-49 Функции и их основные свойства. Использование свойств функций
при решении уравнений и неравенств. Решение заданий из части «С» ЕГЭ.
1. На рисунке изображен график функции у=f(х). Выберете те утверждения, которые
соответствуют свойствам функции у=f(х).
у
1.Область определения функции : [3;)
2. Область определения функции : (;)
у=f(х)
3. Функция непрерывна.
4 . Функция имеет разрыв при х  2.
1
х 5. Область значения функции :  ;0  0; .
6. Область значения функции : (;).
7. Область значения функции : [3;).
8. у наиб не существует, у наим  3.
9. у наиб и у наим не существует.
10. Функция ограничена сверху.
11. Функция ограничена снизу.
12. Ограниченн ая функция .
13.Нули функции : х   3 и х  1.
14. Нули функции : х  1
15. Функция убывает на открытом луче (;2)
16. Функция возрастает на луче [3;  )
17.Функция убывает на луче (;2]
18.Функция возрастает на луче [2;)
19.Функция выпукла вверх на луче [2;)
20.Функция выпукла вниз на луче [2;)
2. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
1. Среди заданных функций убывающими являются:
 
y1   
3
x
1
y2   
2
x
y3  5
x
 
y4    
6
2. а) Найдите наибольшее значение функции y 
 
3
x 3
2
x 1
12 x 19 2 x 2
1
б) Найдите наименьшее значение функции y   
7
3. Найдите множество значений функции:
y5  2 x1  3
y6  2 x
x2
а) y  2 x  2 ;
1
б) y   
2
д) y  2 ;
1
е) y    ;
2
1
в) y    
2
;
x
x
1
з) y   
3
x2
г) y  2 x  4 ;
;
ж) y  54  3cos4 x cos3xsin 4 x sin3x2 ;
1 16 x  2
1
к) y   
2
9
x 1
и) y 
;
2
2
3;
x 1
.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. ОТВЕТЫ
1. y2 , y3 , y6
2. а) 3 б) 7
3. а)  2;  
з)  3; 2
б)  0;   в)  ;0  г)  0;  
и) 0;2
д) 1; 
е)  0;1 ж)  2;18
1 
к)  ;8
2 
3. Логарифмическая функция
1. Логарифмической не является функция, заданная формулой:
1) y  log 1 x
3) y  2 x
5) y  log
2
x
2
2) y  log
2
4) y  log2 x
x
2. Точка A  2; 1 не принадлежит графику функций:
 1
1) y  log 2   
 x
2) y  log2 x
5) y   log2 x
3) y  log 1 x
2
4) y   log2   x 
3. Укажите функцию, убывающую на всей области определения:
1) y  log01,,25  2  x 
3) y  log0,15,2  x  2
5) y  lg x
2) y  log0,15,2  2  x 
4) y  log01,,25   x 
4. Укажите рисунок, на котором изображен график функции а) y  log 1 x ;
4
б) y  log 4 x .
1)
y
2)
3)
y
y
1
1
0
4)
x
1
0
5)
1
x
1
0
x
1
y
y
1
0
1
x
1
0
x
1
5. Функция задана графиком
y
1
0
1
x
Укажите область определения:
1)  ;   
3)  0;1
2)  0;   
5) 1;   
4) 1;   
6. Для какой из указанных функций областью определения является промежуток
 2;    :
1) y  log2  x  3
3) y  log2  2  x 
5) y  lg  2  x 
x
2) y  log 2  
4) y  log2  x  2
2
7. Укажите все значения аргумента, при которых функция y  lg  x  2  lg  3  x 
определена:
1)  2;3
3)  2;   
2)  ;  2   3;   
4)  ;3
5)  3;   
8. Укажите абсциссы всех точек, принадлежащих графику функций y  ln  x  x  :
1)  ;0   0;   
3)  0;   
2)  ;   
4)  ;0
5)  ; 1  1;   
9. Наибольшее значение функция y  log x  x  1 , x 2;3;4;5;6 принимает, когда
значение аргумента равно:
1) x  2
3) x  4
5) x  6
2) x  3
4) x  5
 x 
10. Областью определения функции, заданной формулой y  log x 
 является:
 1 x 
1)  0;1
3)  ;0
5) 
4)  ;0  1;   
2) 1;   
11. Возрастающей на всей области определения не является функция:
1
1) y  log3 x
3) y  log 0 ,5
5) y  log3 x
x
2) y  ln x
4) y  log 1   x 
3
2
1
12. Графику функции log 2  x   принадлежит:
3
3
1) только одна тока с целыми координатами;
2) только две точки с целыми координатами;
3) бесконечно много точек с целыми координатами;
4) точек с целыми координатами, принадлежащих графику функции, нет;
5) только пять точек с целыми координатами.
13. Имеет ли нули функция y  log 2 x 2 ? Если Да, то в ответе запишите их сумму.
14. Возрастает или убывает на интервале  1;0  функция y  log3   x  .
15. Является ли монотонной на интервале  0;+  функция y  log 2 x ?
16. Имеет ли функция y  log 1  x  1  наибольшее значение на D  y  ?
3
17. Является ли функция y  lg
1 x
четной?
1 x
18. Является ли функция y  log3
1
ограниченной?
x
19. Найдите область определения функции:
а) y  log3  2 x  6
б) y  log 1 1  4 x 
в) y  log5
3
x 1
x 1
20. Найдите множество значений функции y  3  log 1 x 2 :
1)  ;   
3)  3;   
2)  ;3
4)  9;   
3
5)  ; 1  1;   
21. Найдите множество значений функции y  0,5  log11 x :
1)  ;   
3)  0,5;   
5)  0;   
2)  ;0,5
4)  ;0,5   0,5;   
22. Найдите множество значений функции y  log4  x  2  .
1)  2;   
3)  ;   
5)  0;   
2)  ;  2 
4)  ;  2    2;   


23. Является ли четной или нечетной функция y  log 2 x  1  x 2 ?
24. Множество, на котором функция y  log sin  x 2  5x  3  2 положительна, есть:
3
1) вся прямая
4) пустое множество
2) один интервал
5)одно число
3) объединение двух интервалов
25. Найдите область определения функции y  log3  cos x  .
26. Постройте график функции y  log2 x .
1)
2)
у
y
1
1
0
х
0
1
х
1
3)
4)
y
y
1 0
5)
1
x
0
1
х
y
1
0
х
1
27. График функции y  log 1 x может быть получен из графика функции y  log3 x :
3
1) симметричным отображением относительно оси Oy ;
2) симметричным отображением относительно оси Ox ;
3) сжатием относительно оси Ox ;
4) растяжением относительно оси Ox ;
5) останется тем же.
Таблица ответов «Логарифмическая функция»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
3
2
2
а) 3
б) 4
2
4
1
3
1
1
1
3
0
убывает
да
нет
нет
нет
а)  3;   
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
1

б)  ; 
4

в)  ; 1  1;   
3
1
3
2
2
2 n, n  Z
4
2
4. Тригонометрические функции
ЧАСТЬ А
1. На рисунке изображен график функции:
y
3

2
0




2
2

3
2
1) y  ctgx ;
2) y  sin x ; 3) y  tgx ; 4) y  tgx ;
5) y  tg 2 x .
2. График функции y  sin 2 x не проходит через точку с координатами:

2
3)  ;
 ;
 12 2 
5 

3. Какой знак имеет tgx на промежутке  2 ;  ?
2 

 
1)  ;1  ;
4 

3
2)  ;
 ;
3 2 

3
4)  ;
 .
6 3 
 
4. Функция задана формулой f  x   4 sin 3x  5 cos 3x  2 sin x. Вычислите f   .
6
5. Чётная или нечётная функция f  x   1  cos x ?
1) чётная;
2) нечётная;
3) ни чётная, ни нечётная.
x
6. Найдите наименьший положительный период функции y  sin
.
5
1
1) 2 ;
2) 2;
3) ;
4) 5 ;
5) 10.
5


7. Наименьший положительный период функции y  sin  x   равен:
2


1)  ;
2) 2 ;
3) ;
4) 4 .
2
8. Наименьший положительный период функции y  tg   x  равен:


;
4) .
2
4
9. Найдите область определения функции y  cos x  3 .
10. Найдите сумму целых значений функции y  3 cos x  5 .
1) 12 ;
2) 8 ;
3) 21 ;
4) 35 .
1)  ;
2) 2 ;
3)
x
Найдите множество значений функции
y  sin x на отрезке 30;120 .
1 3 
 1
1 
1)  ;  ;
2)  0;  ;
3)  ;1 ;
4)  1;1 .
 2
2 
2 2 
11. При каком из следующих значений аргумента значение функции y  sin x наибольшее?


1) 1;
2) ;
3)  ;
4)  .
2
4
ЧАСТЬ В
12. Установите чётность или нечётность функции y  x  cos x  sin2 x.
9  x2
13. Установите чётность или нечётность функции y 
.
sin x
14. Установите чётность или нечётность функции y  tgx  ctgx .
2 x
2 x
 sin
.
5
7




16. Укажите наименьший положительный период функции y  cos 2  x    sin 2  x   .
3
3


15. Найдите наименьший положительный период функции y  cos
1)

;
2
2) 2 ;
3)  ;
4) 4 .
17. Значение функции y  sin x  sin3x в точке x 

8
равно:
3
2
1
;
2) ;
3) 0,5 2 ;
4)
.
2
2
4
18. Чему равно наибольшее значение функции y  sin(sin 2009 x ) ?
x
x
19. Найдите множество значений функции y  6 sin  cos  1 .
4
4
2
20. Найдите множество значений функции y  4  3 sin x  cos 2 x .
1)
2
x 1
x
1
22. Найдите сумму натуральных значений функции y  50  sin  cos  .
2 5
2
5
2
23. Найдите наибольшее значение функции y  cos x  2 cos x  3 .
24. Найдите сумму целых значений функции y  sin4 3x  cos 4 3x  5 .
25. Найдите наименьшее значение функции y  sin x  cos 3 x  sin3 x  cos x .
1
1) 1 ;
2)  ;
3) 0;
4) 2.
4
26. Найдите произведение наибольшего и наименьшего значений функции


y  2 cos 2   x   sin 2 2 x .
4



1
,
25
1)
;
2) 0,875 ;
3) 0;
4) 2.
27. Сколько целых значений может принимать функция y  3sin2 x  5 sin 2 x ?
ЧАСТЬ С
x2  x
28. Является функция y  cos
чётной или нечётной?
x 1
1) чётная;
2) нечётная;
3) ни чётная, ни нечётная.
 

  x  , принадлежащих отрезку
29. Найдите сумму периодов функции y  2009  cos 
 100

5;10 .
49
30. Найдите сумму периодов функции y  2010 
отрезку  5;10 .
1
 x 
cos  
 , принадлежащих
2009
3 2 
31. Найдите множество значений функции y  3  5 sin 2 x .
1)  2; 3 ;
2)  2;8 ;
3) 3;8 ;
32. Множество значений функции y  cos
1)  1;1 ;
2)  1;1 ;
4)  5; 5 ;
5)  3; 3 .

для x  R является:
1  x2
3)  1;1 ;
4)  1;1 .
33. Найдите сумму целых значений функции y  9 sin2 x  6 cos x  16 .
34. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции
y  29 sin x  7 cos x  5 .
8
.
3 sin x  7
Ответы.
35. Найдите наименьшее значение функции y 
20.  4; 2
1. 3
 1 
21. 3 ; 4 
 4 
22. 10
23. 0
24. 4
25. 2
26. 1
27. 10
28. 3
29. 24
30. 8
31. 1
32. 1
33. 9
34. 10
35. 2
2. 3
3. плюс
4. 3
5. 1
6. 5
7. 2
8. 1
9.  2; 4
10. 4
11. 3
12. 2
13. чётная
14. нечётная
15. нечётная
16. 35
17. 3
18. 4
19. sin1
5. Свойства функций.
Построить эскизы графиков функций (индивидуальная дом.
работа):
Вариант1
y
Вариант 2
y  2( x  1) 2  5; y 
1
5 1 х
 2; у  
 1
х3
3 2 2
50
3  x 1  2
Вариант 3
y  2 x  4 ; y  2 
Вариант 13
1
2 x 2 3
3
y
Вариант 14
Вариант 4
y  1,5
y  (3x  6) 2  1; y  5  1  1  x
x
x
 4; y  2 
1  2 1
3
2
Вариант 5
y  ( x  3) 2  2; y  3 x  1  4
Вариант 6
y  2 
1
 5; y 
x 1
x  2  2 1
Вариант 7
y  2x  4 ; y   3  x  1  5
Вариант 8
2
 x
y  1,5   4; y 
3
2x 2 2 4
Вариант 9
y  ( x  3) 3  2; y  
1
3 x  2
2
Вариант 10
y  2 x  1  5; y 
1 x

 3 1
2 2
Вариант11
y  (2 x  4) 2 ; у  2 3 x  1  1
Вариант 12
y  1,5
x
1
 4; y  
3
3
1 1
 ; y  2  2  x
2 3x
x 1  2 1
51
Занятия 50-51 Производная функции.
Цель: сформировать понятия геометрический и механический смысл производной;
применение производной к исследованию функции.
В заданиях ЕГЭ широко применяются:

Задания на исследование функций с помощью производной.

Задания на вычисление с помощью производной точек экстремума данной функции или
наибольшего (наименьшего) значения данной функции на данном отрезке.

Производная в некоторых задачах может быть задана графиком.
Решение задания связано с нахождением при помощи производной точек минимума
(максимума) заданной функции или ее наименьшего (наибольшего) значения на отрезке. При
этом возможны два основных случая: либо производная задана графиком, либо функция задана
формулой. Если производная задана графиком, о на тех промежутках, где он расположен выше
оси абсцисс (т.е. производная положительна), функция возрастает; на тех промежутках, где он
расположен ниже оси абсцисс (т.е. производная отрицательна), функция убывает. Точки, в
которых график производной пересекает ось абсцисс (т.е. точки, в которых производная меняет
знак), являются точками экстремума. Если функция задана формулой, то при нахождении
наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке можно использовать стандартный
алгоритм.
Пример.
Найдите наибольшее значение функции y  19  2 cos x 
Найдем производную данной функции y   2 sin x 
18

 2 
x на отрезке 
;0 .

 3 
18
.
y   0 при любом значении x .
Поэтому функция y  19  2 cos x 
18

x убывает на всей числовой оси и, значит, достигает своего
наибольшего значения на отрезке в точке 
 2
y 
 3

 2
  19  2 cos 

 3
 18  2
  
   3
2
.
3

  19  1  12  32.

Ответ: 32
Задача 1. Найдите наименьшее значение функции y  5 x  ln x  5 на отрезке  4,5;1 .
5
y  5 
5
5 x  20

.
x5
x5
y   0 при x  4 .
 4   4,5;1.
52
В точке x  4 производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. x  4 - точка минимума.
y 4  20  ln 1  20 .
Ответ:-20
  
Задача 2. Найдите наибольшее значение функции y  9 x  8 sin x  7 на отрезке  ;0.
 2 
y   9  8 cos x
y   0 при любом значении x .
Поэтому функция возрастает на всей числовой оси и, значит, достигает своего наибольшего
значения в точке 0.
y0  7 .
Ответ: 7
Тема «Исследование функции с помощью производной» была широко представлена и в заданиях
ЕГЭ прошлых лет. На протяжении нескольких лет это было задание С1 повышенного уровня
сложности с развернутым ответом. Вот примеры таких заданий:
Задача 3. Найдите наибольшее значение функции f x  
30 x
при x  2  1
x2  9
Решение.
1.  1  x  2  1 , 1  x  3
2. f x  


30 x 2  9  30 x  2 x
x
2
9

2


30 9  x 2
x
2
9


2
3. f x   0 , x  3 или x  3
4. x  3 не удовлетворяет условию 1  x  3
5. f 1  3,
f 3 
90
 5 - наибольшее значение функции на отрезке 1;3
18
Ответ: 5
Задача 4. Найдите наибольшее значение функции
f x   5 64  x 2  41  5 64  x 2  x 2  18 x  41
Решение.
1. 64  x 2  0 , то есть  8  x  8
2. 64  x 2  64,
64  x 2  8,
5 64  x 2  40, значит подмодульное выражение для любого x из области определения всегда
отрицательно
53
3. f x    x 2  18 x
4. f x  2x  18
f x   0 при x  9
5. 9   8;8
f  8  64  144  208
f 8  64  144  80 - наибольшее значение функции на отрезке  8;8 .
Ответ:80
Задача 5. Через точку M x; y  графика функции f x   0,5 x 2  ln x  3 проведена касательная.
Угловой коэффициент этой касательной равен (-3). Найдите координаты точки M .
Решение.
1. Область определения функции x  3
2.
f x   x 
1
x3
3. По условию x 
x 3
1
 3 ,
x3
1
 0,
x3
x  32  1  0 ,
x3
x  3  1 или x  3  1
x  2
x  4 не удовлетворяет условию x  3
4. f  2  0,5  4  ln 1  2
Ответ: M  2;2
Задача 6. Найдите абсциссы всех точек графика функции f x  
которых параллельны прямой y  54 x или совпадают с ней.
Решение.
1. Область определения функции x  2
2.
f x   2x 3
3.
f x   6x 2
4. По условию 6 x 2  54 , x 2  9 , x  3 или x  3
Но x  3 не удовлетворяет условию x  2
Ответ: 3
54
x3  4x  8
x2
, касательные в
Задача 7. Найдите абсциссы всех точек графика функции f x  
x 3  16 x  16
x 1
, касательные в
которых параллельны прямой y  48 x или совпадают с ней.
Ответ: 2
Задача 8. Найдите точки экстремума функции f x  
x
2

 6 x x 2  12 x  36
2 x  12
Задача 9. Найдите промежутки убывания функции f x  
x
2


 8 x x 2  16 x  64
3x  24

Решение.
xx  8x  8
1
1
1. f x  
 x x 2  16 x  64  x 3  16 x 2  64 x при x  8
3x  8
3
3

2
2. f x  





1 2
1
3x  32 x  64  3 x  8 x  8 при x  8
3
3
3. f x   0 при x 
8
.
3
8 
Функция y  f x  убывает на промежутке  ;8 
3 
8 
Ответ:  ;8 
3 

Задача 10. Найдите точки минимума функции f x   6
1 x
Решение.
f x  36
1 x
 14  6
1 x
 49  4 x 2  36
1 x
 14  6
1 x
 0,5x 4 ,
f x   0,5x 4  4 x 2  49 при 1  x  0 , то есть x  1

f x   2 x 3  8 x  2 x x 2  4

f x   0
x  0, x  2, x  2 , но x  2 не удовлетворяет условию x  1.
x  2 единственная точка минимума.
55

2
 7  4 x 2  36
1 x
 14  6
1 x
 0,5 x 4
Ответ: -2
Задачи для самостоятельного решения.
1.Найдите наименьшее значение функции
f x  
4  x 2  3  4  x 2  x 2  6x
2. Найдите наименьшее значение функции
f x   16  x 2  8  16  x 2  x 2  12 x  9
3. Найдите наибольшее значение функции
f x  
9  x 2  7  9  x 2  x 2  8x  5
4. Найдите наибольшее значение функции
f x  
120 x
при x  3  1
x 2  16
130 x
при x  3  2
x 2  25
2. Найдите точки минимума функции
f x   3x 4  3x 3  72 x 2  2
f x   32 x  4  2 x  4 при x  2  1
5
7. Найдите наибольшее значение функции
f x   500,5 x  1  0,5 x  1 при
2
4

f x   0,6

0 , 5 x

 2 x 0,6
0 , 5 x

 2 x  2 x 4  0,36
0,5 x
4. Найдите точки максимума функции
6  6 sin 2 x  2
 x  2 x 3  15 x 4
2
cos x 
5. Найдите точки минимума функции
12  12 cos 2 x  2
x
sin 2 x 
6. Найдите промежутки возрастания функции
f x  
x2
x2  3
7. Найдите абсциссы всех точек графика функции
f x  
x 3  3

 log0 , 5 x 3 8
3. Найдите точки минимума функции
f x   15 x 4  26 x 3 
6. Найдите наибольшее значение функции
4
3
f x  48x 2  3x 4  9 x 3  0,1 lgx 8
f x  
5. Найдите наибольшее значение функции
f x  
1. Найдите точки максимума функции
x3
 4 log4 5 x  ,
3
касательные
в
которых
параллельны прямой y  37 x или совпадают с ней.
8. Найдите наименьшее значение функции
f x   x0,5 x  4 при x  8  2
6
8.Найдите абсциссы всех точек графика функции
f x   12 log12  x 3 
x3
, касательные в которых
3
параллельны прямой y  15 x или совпадают с ней.
9. Наибольшее значение функции
f x  
 2x  x  8   x  x
2
2
2
9. Найдите абсциссы всех точек графика функции

 2x  3
f x   2 x 3  15log15 1 x  , касательные в которых
параллельны прямой y  25 x или совпадают с ней.
Задание № 1. (базовый уровень.)
1. Для функции y 
x4
 3x 2 укажите множество всех корней уравнения y  y   0.
x
56
2) 2;3 3) 3 4) 0;2;3.
1) 2
2. Выберите верное утверждение относительно функции y 
9  x2  4  9  x2  x3.
1) она не имеет нулей; 2) ее производная не имеет нулей, 3) она не является четной
4) D(y)   ;
3. Укажите уравнение (совокупность, систему), равносильное уравнению y   0 , где
y  3x 2 
81  18 x 2  x 4
 10 x 3  18 x 2
2
x 9
 x  0,
1) 
 x  0,5
2 x 2  5 x  3  0,
2 x 2  5 x  9  0,
2) 
3) xx  32x  1  0 4) 
.
x3
x  3


4. Выберите неверное утверждение относительно функции y  x 2  1  tg 2 x   cosx .
1) у нее есть производная на всей области определения 2) ее график – парабола
3) она четна;
4) она не является периодической.
Задание № 2 ( повышенный уровень)
5. На сколько процентов наименьшее значение функции y  x 2  6 на отрезке  4;3 больше ее
наибольшего значения на отрезке 1;2?
6.Решите уравнение y  y   0, где y  x 5 
5x 5
.
x
7.Найдите наибольшее значение функции y  ln 5  2 x  x на отрезке 0,8;1,8.
x4
8.Найдите наибольшее значение функции y  x 4 на отрезке 3,5;5 .
4e

 
2
9.Найдите точки минимума функции y  x  cos 2 x  3  2 sin 2 x  x  cos 2 x  8  2 cos 2 x

10. Найдите наименьшее значение функции y  0,999  x  e x
Ответы: 1) 2; 2) 3; 3) 1; 4) 2; 5) 50; 6) 4;5 7) ln 2  1,5 ; 8) 64; 9) -2; 10) 0,001.
Занятие 52-56 Задачи с параметрами. Системы уравнений и неравенств с параметрами
Цель: Сформировать навыки решения задач с параметром:
1) сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена;
2) использование ограничений функции;
3) использование графических иллюстраций в задачах с параметрами;
4) отработать навыки решения уравнений и неравенств с параметрами смешанного типа
графическим способом.
( Материал с дистанционных курсов 2009-2010 «Теоретические и практические
вопросы подготовки к ЕГЭ по математике»)
57
1. Общая постановка задачи с параметром.
Для определенности, рассмотрим задачу с параметром на примере уравнения, поскольку
общая ее постановка не зависит от конкретного вида задачи.
Пусть дано уравнение F x; a  0 (1) с двумя переменными x и a . Задача с параметром в данном
случае формулируется следующим образом: для каждого значения параметра a из некоторого
числового множества A решить уравнение (1) относительно переменной x , т.е. привести его к
виду x  f (a) (2).
Множество A называется областью изменения параметра и в общем случае (если нет
дополнительных условий) считается множеством действительных чисел R .
Таким образом, уравнение (1) можно рассматривать как бесконечное множество (семейство)
уравнений относительно x , каждое из которых получается при подстановке в это уравнение
любого конкретного значения параметра a  R .
Решить уравнение с параметром – это значит, разбить множество всех значений параметра
на подмножества, на каждом из которых выражение x  f (a) имеет различный вид и найти его,
если оно существует.
Те значения, которые осуществляют такое разбиение области изменения параметра, называются
контрольными. При этих значениях или при переходе через них происходят качественные
изменения семейства уравнений. Способы их нахождения определяются конкретными условиями
задачи.
Возможно также, что уравнению (1) удовлетворяет конечный набор пар x; a  , которые
находятся непосредственно из его решения. Однако и в этом случае переменную a принято
считать параметром и исходя из этого, формулировать ответ задачи.
Еще раз следует отметить, что сформулированные выше положения распространяется и на
неравенства, и на системы уравнений и неравенств с параметрами.
2. Поиск решения задачи с параметрами.
Рассматриваются задачи, решением которых в определенном смысле "управляют"
параметр a или неизвестная величина x . В этом случае выбор контрольных значений и
разбиение области изменения на подмножества очевидны и решение сводится к перебору
различных случаев зависимости от значений переменных a или x .
Задача 1. Для каждого значения параметра решить неравенство ax 2  2a  3x  a  1  0 .
Решение. Из этого бесконечного множества неравенств выделим то, которое является линейным.
При a  0 неравенство имеет вид  3x  1  0 . Его решение: x 
1
.
3
При всех значениях a  0 неравенства этого семейства являются квадратными. При a  0 ветви
парабол направлены вниз, при a  0 - вверх. Следующее контрольное значение параметра
58
найдем из условия равенства нулю дискриминанта квадратного трехчлена:
9
2
D  2a  3  4aa  1  4a 2  12a  9  4a 2  4a  9  16a ; D  0 ; a 
.
16
9
9
Если a  , то D  0 ; если a 
, то D  0 . Графически все эти случаи можно представить
16
16
следующим образом:
3  2a  9  16a
3  2a  9  16a
; x
;
2a
2a
1
x ;
a0
3
3  2a  9  16a
3  2a  9  16a
9
x
;
0a
2a
2a
16
9
5
a
x ;
16
3
9
a
решений нет.
16
Ответ: при a  0
при
при
при
при
x
Задача 2. Для каждого значения параметра a решить неравенство x  2a  3ax  4a 2  0
Решение.
Перепишем неравенство в виде x  2a  3ax  4a 2 .
Это неравенство равносильно следующей системе неравенств
 a(3x  4a)  0
.

 x  2a  a(3x  4a
Ее решением «управляет» параметр a . Необходимо последовательно рассмотреть три случая:
a  0 ; a  0 и a  0 . Получаем совокупность следующих трех систем неравенств:

a0

 a (3 x  4a)  0
(1)
 x  2a  a(3x  4a)

a  0

( 2)


x  0

a0

(3)

 a (3 x  4a)  0

 x  2a  a(3x  4a)
Решим систему (1):


a0
a0


4a
2a

3 x  4a  0
0.
x

Система не имеет решений, т.к.

3
3

 x  2a  a(3x  4a)

 2a  a (3 x  4a )
 3
Решим систему (3):
59

a0

4a
x


3

2
( x  2a)  a(3x  4a)
 a0

4a
 x
3

x
(
x

a
)
0

 4a

x  
; a   0;   .
 3

Ответ: при a  0 неравенство не имеет решений;
при a  0 x  0;  ;
 4a

при a  0 x   ;a   0;   .
 3

3. Решение относительно параметра (использование параметра как равноправной
переменной).
Метод решения относительно параметра используется, прежде всего, в том случае, когда
степень искомой переменной в уравнении или неравенстве выше двух, а степень параметра не
превосходит двух. Также он используется и тогда, когда для решения задачи необходимо менять
местами переменные и параметры.
Задача 3. Для каждого значения параметра a решить уравнение
x 4  6 x 3  (4  2a) x 2  (6a  1) x  a 2  a  0
Решение. Так как данное уравнение является квадратным относительно a , то представим его
в следующем виде: a 2  (2 x 2  6 x  1)a  x 4  6 x 3  4 x 2  x  0 .
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
D  (2 x 2  6 x  1) 2  4 x 4  24 x 3  16 x 2  4 x  4 x 4  36 x 2  1  24 x 3  4 x 2  12 x  4 x 4  24 x 3 
 16 x 2  4 x  16 x 2  8 x  1  (4 x  1) 2  0.
2 x 2  6 x  1  (4 x  1)
. Отсюда, a  x 2  5 x  1 или a  x 2  x .
2
1
5
Отметим, что D  0 при x  . Этот корень существует при a 
.
4
16
Решим полученную совокупность квадратных уравнений
x 2  5x  a  1  0
x2  x  a  0 .
или
D1  29  4a ;
D2  1  4a
29
1
D1  0 при a   ;
D2  0 при a   .
4
4
29
1
Очевидно, что D1  0 при a   , D2  0 при a   .
4
4
Ответ:
29
при a  
уравнение не имеет корней;
4
29
5
29
1
 a   уравнение имеет два
при a  
уравнение имеет один корень: x   ; при 
4
2
4
4
 5  29  4a
корня: x1, 2 
;
2
1
при a  
уравнение имеет три корня:
4
 5  28
1
x1, 2 
, x3   ;
2
2
1
5
5
при   a  ; a 
уравнение имеет четыре
4
16
16
Следовательно, a 
корня: x1, 2   5  29  4a ; x3, 4   1  1  4a ;
2
2
60
5
1
21
5
уравнение имеет три корня: x1  , x 2   , x3   .
16
4
4
4
Полученные результаты можно проиллюстрировать графически, изобразив на плоскости
(x,a) параболы a  x 2  5 x  1 и a  x 2  x , а также прямые y  a .
Задача 4. На плоскости (x,y) указать все точки, через которые не проходит ни одна из кривых
при a 
семейства y  x 2  2(1  2ax)  2a 2  1 .
Решение. Ни одна из кривых указанного семейства не проходит через точку плоскости (x,y)
тогда и только тогда, когда не существует тройки чисел
удовлетворяющих
уравнению
( a , x, y ) ,
2
2
2a  4 xa  x  y  3  0 . Это возможно тогда и только
D
тогда, когда
 4x 2  2x 2  2 y  6  0 .
4
Ответ: y   x 2  3 .
Задача 5. При каких значениях параметра
a
неравенство  x  a  8x  6a  16a   x  2  0
имеет единственное решение?
2
Решение. Так как
 0,
2
х  2  0, то - х2 – (а -8)х +6а2 - 16а
х2 + (а -8)х -6а2 + 16а  0
Причём неравенство будет иметь единственное решение при х=-2,
D=(а- 8)2-4*(-6а2 + 16а)= 25а2-80 а+ 64=(5a-8)2 т.е. уравнение будет иметь два корня, кроме
8а
случая (5a-8)2 =0, а =1,6 , когда корень будет единственный х 0 
.
2
8  а
 2;

 2
 f (2)  6a 2  14a  20  0,

a  12;
 2
3a  7a  10  0,
Ответ: a [-1; 3
a [-1; 3
2
]
3
2
]
3
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. При каких значениях k оба корня квадратного уравнения x2-kx-1=0 меньше, чем 3?
Задача 2. Найти все k, при которых корни уравнения x2—2kx+k2-1=0 заключены между числами
2 и 4.
Задача 3. При каких действительных значениях k неравенство x2 +kx +k2+6k<0
выполняется для любых x  (1; 2)
Задача 4. Решить уравнения: log 7 ( х  2)  b  х
Задача 5. Найдите все значения а, при каждом из которых функция
имеет хотя бы одну точку максимума.
61
Задача 6. При каких значениях параметра a разность между большим и меньшим корнями
уравнения x 2  3  x 2  2 x  a 2  6a  9  0 достигает наибольшего значения. Найти это
значение



Решение.
x 2  3 x 2  2x  a 2  6a  9  0
Произведение двух множителей равно нулю, значит хотя бы один из них равен нулю :
или
Решив отдельно каждое уравнение, получаем:
Очевидно, что наименьший корень
а наибольший :
Найдем разность между большим и меньшим корнями уравнения .
Составим функцию
И исследуем её.
a=3 – точка максимума
Ответ: при а =3 разность между большим и меньшим корнями уравнения
x 2  3  x 2  2 x  a 2  6a  9  0 достигает наибольшего значения, равного



.
Задача 7. При каких значениях параметра а разность между большим и меньшим корнями
уравнения (х2 – 3) ∙ (х2 + 2х + а2 – 4а + 4) = 0 достигает наибольшего значения. Найти это
значение.
Решение.
(х2 – 3) ∙ (х2 + 2х + а2 – 4а + 4) = 0
х2 – 3 = 0
или
х2 + 2х + а2 – 4а + 4 = 0
х1,2 = ±
х2 + 2х + (а2 – 4а + 4) = 0
D = - 4а2 + 16 а – 12
1) Д = 0, т.е. - 4а2 + 16 а – 12 = 0, а = 1, а = 3, при таких а: х = -1, тогда наибольший корень
наименьший - .
,
Их разность
- ()=2
2
2) D < 0, т.е. - 4а + 16 а – 12 < 0, а < 1, а > 3
Уравнение х2 + 2х + а2 – 4а + 4 = 0 корней не имеет. Следовательно, больший и меньший корни
уравнения равны
исоответственно. Разность между ними составляет 2
2
3) D > 0, - 4а + 16 а – 12 > 0, 1 < а < 3
х=-1±
Наибольший корень
и наименьший равен – 1 -
Найдем наибольшее значение функции у =
у' = - 2а + 4, а = 2 – точка максимума.
у(2) = 1 – наибольшее значение функции
62
Тогда наименьший корень равен – 1 -1 = -2. Найдем разность между большим и меньшим
корнями:
- (- 2) =
+ 2 3,7
Ответ: при а = 2 разность между большим и меньшим корнями уравнения достигает
наибольшего значения равного 2 +
.
Тренировочные задания (С5 ЕГЭ)
1. Найдите все значения a , такие, что для любого x выполняется неравенство
x  1  2 x  a  3  2x .
Первое решение
Рассмотрим функцию f x   2 x  x  1  2 x  a .
 x  a
Если 
, то f x   x  2a  1 убывает.
x


1

 x  a
Если 
, то f x   5x  2a  1 возрастает.
x


1

Значит, наименьшее значение функции f x  равно или f  a  , или f  1 . Поэтому
решение задачи получаем из решения системы
 f  a   3   2a  a  1  3
; 

 f  1  3  2  2 a  1  3.
a 1

 a 1


1)   2a  a  1  3 ; a  4 . Решений нет.
 2  2a  2  3 2a  7


a 1

 a 1
3


2)   2a  a  1  3 ; 3a  2 ; a   .
2
 2  2a  2  3 2a  3


Второе решение.
Перенесем слагаемые, не содержащие параметр, в правую часть неравенства:
2 x  a  3  2x  x  1 .
Построим график функции y  3  2 x  x  1 и найдем те значения a , при которых все
точки графиков параметрического семейства функций y  2 x  a лежат выше этого графика.
 4  x; еслиx  1
;
3  2x  x  1  
2  3x; еслиx  1
 2 x  2a, еслиx  a
2xa 
 2 x  2a, еслиx  a
Очевидно, что контрольным значением параметра является
значение параметра a1 , при котором график функции
y  2 x  a проходит через точку A 1;5 . Подставим ее
координаты в уравнение y  2 x  2a , получим: 2  2a  5 ;
3
a1   .
2
63
3
Ответ: a   .
2
2. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение
x  3  1  2 x  a имеет единственное решение.
Решение.
Рассмотрим графики функций y  x  3  1 и y  2 x  a . Они имеют
одну общую точку только в двух случаях:
Ответ: a  8 ;
a
a
 4 или
 2 .
2
2
a  4 .
Зачёт
Задача 1. Найти все значения a , при которых найдутся x и y , удовлетворяющие уравнению
a  2 xy  x  y  1 .
Решение: Уравнение имеет смысл при x  y  1  0 . Выражая y ( x) получаем y   x  1.
Возведём в квадрат обе части уравнения. Получим: ( x  1)2  ( y  1) 2  a  1.
Это уравнение окружности, где r 2  a  1. Путем графического исследования получается, что при
1
a   одна точка пересечения окружности с прямой y   x  1.
2
1
Ответ: при a   .
2
Задача 2. При каких значениях параметра a неравенство x 2  a  8x  6a 2  24a  3  x  0


имеет единственное решение?
Решение: Так как
3  х  0 , то  x 2   a  8  x  6a 2  24a   0 . Причём неравенство будет иметь
единственное решение при х=3.
D = (a  8)2  4(24a  6a 2 )  (5a  8)2 ,
когда корень будет единственный.
a8

 3,
 x0 
2

 f (3)  9  3(a  8)  6a 2  24a  0;

т.е. уравнение будет иметь два корня, кроме случая a  1,6,
a  2,
 2
2a  7a  5  0.
a  1;2,5.
Ответ: a  1;2,5.
Задача 3. Найти все значения параметра a , при которых уравнение
4a x 4  2a  8x 2  a  a  0 имеет ровно три корня на промежутке  1;1 .
2
Решение: 1) Пусть a=0, то уравнение примет вид: 8 х 2  0 , где будет единственное решение.
Уравнение биквадратное, значит, введем замену переменной: пусть x 2  t , t  0.
Тогда имеем 4a2t 2  (2a  8)t  a  a  0.
Три корня, если t1  0,0  t2  1 , Исходя из условия задания, что три корня на полуинтервале
возможен еще один случай: t1  1,0  t2  1.
a4
)  o. Поскольку
2) Пусть a>0. Тогда уравнение примет вид: 4a 2t 2  (2a  8)t  0, t (t 
2a 2
a4
 1. Отсюда с учётом а>0 получаем, что система не
0  t2  1, то потребуем, чтобы 0  
2a 2
имеет решений.
64
3) Пусть а<0. Тогда уравнение примет вид: 4a 2t 2  (2a  8)t  2a  0 . Ни одна система так же не
имеет решений.
Ответ: таких значений параметра а нет.
Занятие 57-59 Геометрические задачи. Планиметрия.
Цель: Обобщить знания по теме: Планиметрические задачи в ЕГЭ.
Большинство планиметрических задач, предъявляемых на ЕГЭ, можно отнести к одной из следующих тем::
1. треугольники;
2. четырехугольники;
3. окружности;
4. треугольники и окружность;
5. четырехугольники и окружность.
В задачах, относящихся к первой теме, требуется вычислить величины углов или
отрезков (сторон, медиан, высот, биссектрис, а также их частей), площади
треугольников. Для решения этих задач требуется знать свойства треугольников
Рис 1
различных видов, их медиан, высот и биссектрис, находить равные и
подобные треугольники, уметь вычислять площадь треугольника разными
способами.
Пример 1. Высоты АН и В К равнобедренного треугольника ABC
с основанием ВСпересекаются в точке О так, что ВО = 5, О К = 3 (рис. 1).
Р е ш е н и е .
Высота АН равнобедренного треугольника ABC является и его биссектрисой.. Значит, и отрезок АО — биссектриса
треугольника АВ К , а потому выполняется равенство: ВО : О К = АВ : АК (свойство биссектрисы
треугольника). Отсюда АК : АВ = 3 : 5.
2) Пусть АК = Зх, тогда АВ = 5х, и в прямоугольном треугольнике АВК (5х)2 — (Зх)2 - (5 + З)2.
Следовательно, 16х = 64, т.е. х = 2.
Итак, АВ = 10, АК= 6.
3) Поскольку АС = АВ, получаем: КС = 10 - 6 = 4. И в прямоугольном треугольнике ВСК
ВС2 = 82 + 42. Отсюда получаем: ВС = 4 5
4) Используя дважды формулу площади для треугольника ABC, получаем: ВС* АН = АС*ВК,
т.е. 4 5 -АН = 10 -8.
20
Следовательно, АН =
=4 5.
Ответ: 4 5
5
В представленном решении использовались следующие геометрические факты:
1. Определение равнобедренного треугольника.
2. Определение высоты треугольника.
3. Свойство высоты равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию.
4. Определение биссектрисы треугольника.
5. Свойство биссектрисы треугольника: отрезки, на которые биссектриса треугольника разделяет
его сторону, пропорциональны прилежащим к ним сторонам.
65
6. Определение прямоугольного треугольника.
7. Теорема Пифагора.
8. Теорема о площади треугольника.
Кроме того, потребовалось умение составлять пропорцию и, используя основное свойство пропорции, вычислять ее неизвестный член.
Таким образом, даже не очень сложная планиметрическая задача требует применения довольно
большого количества определений и теорем, умения решать уравнения.
Пример 2. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Известно, что B + C = AKB,
АК = 5, В К = 16, КС =2 (рис. 2). Найдите сторону АВ.
Решение.
1) Угол АКВ является внешним углом треугольника АКС, поэтому
AKB = KAC + C. Но по условию задачи В + C= AKB, значит, KAC=B.
2) В треугольниках ABC и КАС угол С общий,
КАC = B, следовательно, они подобны. Отсюда получаем
АВ ВС АС
АВ ВС АС


. Из пропорции

.
АК АС КС
АК АС КС
16  2 АС

получаем
. Значит, АС2 =36, АС=6
АС
2
АВ ВС
АВ 18

 . Следовательно, AВ =15.
3) Из пропорции
получаем
АК АС
5
6
Ответ: 15.
В рассмотренном решении использовались следующие геометрические факты:
получаем:
1. Свойство внешнего угла треугольника.
2. Первый признак подобия треугольников.
3. Определение подобных треугольников. Кроме того, потребовалось умение составлять
пропорцию и вычислять ее неизвестный член.
Для «решения» прямоугольных треугольников необходимо уметь вычислять
тригонометрические функции его острых углов:
1) синусом угла а называется отношение противолежащего катета к гипотенузе
2) косинусом угла а называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3) тангенсом угла а называется отношение противолежащего катета к
прилежащему катету.
В непрямоугольном треугольнике соответствующие вычисления строятся на
применении теоремы синусов и теоремы косинусов:
Рис. 3
66
В
С
Рис. 4
Пример 3. В треугольнике ABC B = 135°, АВ = 3 2 , АС = 5. Найдите площадь треугольника.
Решение.
Рис. 5
1) Пусть ВС = х. Тогда по теореме косинусов получаем: АС2 = АВ2 + х2 - 2АВ • х • cos В. Подставив данные, получим:
52 = ( 3 2 )2 + х2 -2 • 3 2 • х • cosl35°, т.е. 25 = 18 + х2 + 6х или х2 + 6х - 7 = 0.
Корни уравнения — числа -7 и 1. Следовательно, длина стороны ВС равна 1.
1
2) Применив формулу SABC = АВ• BC• sinB, найдем площадь треугольника.
2
Ответ: 1,5.
Пример 4. Сторона АВ треугольника ABC равна 3 13 . На стороне ВС отмечена точка К
так, что KAC= B. Найдите площадь треугольника, если ВК = 9, КС = 4.
Решение.
1) В треугольниках ABC и КАС угол С общий, KAC = B, следовательно, они подобны.
9  4 АС
АВ ВС АС


. Из этой пропорции следует:
Отсюда получаем:
.
АС
4
АК АС КС
Значит, АС2 = 2 13 ,
2) Так как АВ2 + АС2 =( 3 13 )2 +( 2 13 )2 = = 13* 13 = ВС2, треугольник ABC является пря1
моугольным с катетами АВ и АС. Следовательно, SABC = АВ•АС = 39. Ответ: 39.
2
Пример 5. В треугольнике КМР сторона MP равна 9. Точки А и В лежат соответственно на
сторонах КМ и КР так, что КA = 4, AM= KB= 2, КАВ = KPM. Найдите периметр
четырехугольника АВРМ.
М
Р
Рис. 9
Решение.
67
1) Треугольники КАВ и КРМ подобны (по двум углам), следовательно, КА : KB = КР : КМ.
КА  КМ 4(4  2)

 12
Отсюда получаем: КР 
КВ
2
МР  КВ 9  2

3
2) АВ:МР = KB: КМ, значит, АВ 
КМ
6
3) Найдем периметр четырехугольника АВРМ: АВ + ВР+ РМ + МА = 3 + (12 - 2) + 9 + 2 = 24.
Ответ: 24.
Пример 6. В остроугольном треугольнике ABC A = 60°, ВС= 10, отрезки ВМ и СК-высоты.
Найдите отрезок КМ.
Решение.
А
Рис. 10
1) Прямоугольные треугольники АВМ и АСК подобны (по двум углам), следовательно,
АМ АК

АВ
АС
АМ АК

. Следовательно, эти треугольники
АВ
АС
КМ АМ

 cosA
подобны (согласно второму признаку подобия), поэтому
ВС
АВ
KМ 1
 следовательно, КМ = 5.
Итак,
10
2
Ответ: 5.
Пример 7. Из точки К катета АС прямоугольного треугольника АВС проведен перпендикуляр
2) В треугольниках АВС и АМК угол А общий,
КМ к гипотенузе АВ. Найдите площадь треугольника АКМ, если АВ= 10, АК= 5, КС= 3.
Решение.
Рис. 11
1) В прямоугольном треугольнике АВС ВС= АВ 2  АС 2  10 2  (5  3) 2  6
2) SABC= 0,5 • AC: • BС = 0,5 • 8 • 6 = 24.
2
S
1
 AK 
3) Треугольники АКМ и АВС подобны, следовательно, AKM  
 
S ABC  AB 
4
Отсюда получаем: SAKM =(1/4)*24=6
Ответ: 6
Пример 8. В треугольнике ABC: АВ= 5, ВС = 10, АС= 3 5 Найдите площадь треугольника,
образованного высотой АН, медианой AM и биссектрисой ВК данного треугольника.
68
Решение. 1) Пусть биссектриса ВК треугольника ABC пересекает
высоту АН в точке О, а медиану AM — в точке Т. Выразим катет АН
прямоугольных треугольников АВН и АСН через их гипотенузы и
катеты:
АВ2 – ВН2 = АС2 – СН2.
Пусть ВН = х, тогда получим:
Корень полученного уравнения равен 4, т.е. ВН= 4.
Значит,
2) В прямоугольном треугольнике АМН
Тогда
3) Так как AM — медиана, ВМ = 10:2 = 5 = АВ. Поэтому в треугольнике АВМ биссектриса ВТ
является также высотой и медианой. Следовательно, в треугольнике АТО ATO = 90°,
4) Прямоугольные треугольники АНМ и АТО подобны, следовательно,
Следовательно,
Пример 9. В треугольнике ABC: АВ = 13. ВС = 21, АС = 20. Найдите
Ответ:
площадь
треугольника, образованного стороной ВС и проведенными из вершины А высотой и медианой.
Решение. 1) Пусть АН — высота, a AM — медиана треугольника ABC. По условию АВ < АС,
следовательно, BE < НС, а значит, точка М лежит между точками Н и С.
2) По формуле Герона:
(27 — полупериметр треугольника).
3) Так как
4) В прямоугольном треугольнике АВН
Тогда HM = BМ - ВН = 10,5 - 5 = 5,5.
5) SAMH = 0,5AH* Н М = 33.
Ответ: 33
69
Пример 10. В треугольнике ABC АВ = 13, ВС =21, АС = 20. Найдите площадь треугольника,
образованного стороной АС, медианой ВМ и биссектрисой СК данного треугольника.
Решение.
1) Пусть медиана ВМ и биссектриса СК треугольника ABC пересекаются в точке О. Тогда
СО — биссектриса треугольника ВСМ, и по свойству биссектрис треугольника
ВО : ОМ = ВС : СМ = = 21 : 10.
2) По формуле Герона:
(27 — полупериметр треугольника).
3) ВМ — медиана треугольника ABC, следовательно,
SBCM = 0,5*SABC = 63.
4) Так как
Отсюда
SBCM 31
 , и
SCOM 10
S COM 
получаем:
следовательно,
10
S BCM .
31
10
630
10
 20
Ответ: 20
31
31
31
Пример 11. Площадь равнобедренного треугольника ABC с основанием C равна 160, боковая
Итак, S COM 
сторона равна 20. Высоты В К и АН пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВО.
Решение
B
Н
С
1) SABC =0,5BK*AC, значит, BK =(2*160)/20 =16
2)
3)Высота А Н равнобедренного треугольника ABC является его биссектрисой, следовательно, АО
— биссектриса треугольника АВК.
Поэтому
70
Отсюда получаем
4)Так как АК — высота треугольника АВО,
SABO = 0,5ВО • АК = 0,5 10 - 12 = 60.
Ответ: 60
Пример 12. Точка К лежит на стороне ВС треугольника ABC. Известно, что ВК = 9 , КС= 7,
Найдите площадь треугольника АВК
Решение.
Тема «четырехугольники» в контрольных измерительных материалах представлена
задачами о параллелограмме (и его частных видах: ромбе, прямоугольнике и квадрате), а также
задачами о трапеции. Для их решения, кроме определений, признаков и свойств перечисленных
четырехугольников, изучаемых в школьном курсе планиметрии, могут быть полезны и
некоторые сведения и приемы, встречающиеся в ходе решения школьных задач.
Пример 13. В параллелограмме ABCD C = 120°. Биссектрисы углов В и С пересекаются в
точке К, лежащей на стороне AD, СК = 3. Найдите площадь параллелограмма.
Решение.
1) В параллелограмме ABCD B = 180° - BCD = 60°. Так как СК — биссектриса угла BCD,
BCK = DCK = 60°. Так как ВК - биссектриса угла ABC, ABK = CBK = 30°. Следовательно,
BKC = 180° - (30° + 60°) - 90°. Поэтому в треугольнике ВСК ВС = 2КС = 6.
2) AD || ВС, поэтому CKD = BCK = 60° (внутренние накрест лежащие). Следовательно,
треугольник KCD равносторонний, поэтому CD = КС = 3. Значит, AB = CD= 3.
71
3) Площадь параллелограмма найдем по формуле S = AB*BC*sinB. Итак, S = 3*6*sin60o = 9 3 .
Ответ: 9 3 .
В рассмотренной задаче использовано свойство углов, образованных параллельными
прямыми и секущей, а также одна из формул площади параллелограмма: S = АВ • ВС • sin В.
Приведем еще две часто используемые формулы площади параллелограмма.
а) S = a ha=bhb;
б) S = 0,5d1d2 sin,
(а и b — длины сторон параллелограмма, ha и hb -высоты, проведенные к соответствующим
сторонам, d1 и d2 - диагоналей параллелограмма,  - величина угла между прямыми,
содержащими диагонали, 0 <  < 90°).
Отметим, что последняя формула верна для любого выпуклого четырехугольника. Если
же диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны (например, это — ромб), то его
площадь равна половине произведения диагоналей.
Пример 14. Найдите площадь ромба, высота которого равна равно 4,8, а отношение диагоналей
3:4.
Решение.
1)Пусть АС=8х и BD = 6x. Тогда АО = 4х, ВО= Зх. В треугольнике ABO АВ= (3 х) 2  (4 х) 2 =
5х.
2) SABCD = 0,5АС • BD = АВ • DK. Следователь но, 0,5 • 8х • 6х = 5х •
4, 8. Отсюда получаем, что х = 1 и, значит, SABCD = 5 • 4,8 = 24.
Ответ: 24.
В ходе решения примера 13 были получены также следующие
факты:
1. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны.
3. Отметим, что трапеция также обладает первым свойством и свойством, близким второму:
биссектрисы углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, перпендикулярны.
Пример 15. Основания АВ и CD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 10, AD = 3, ВС = 7.
Биссектрисы углов А и D пересекаются в точке К, биссектрисы углов В и С — в точке М.
Найдите КМ.
Решение.
1) Луч АК — биссектриса угла А, следовательно, точка К
равноудалена от его сторон АВ и AD. Аналогично точка К
72
равноудалена от сторон DA и DC. Значит, точка К равноудалена от оснований трапеции АВ и CD.
Аналогично доказывается, что и точка М равноудалена от оснований трапеции. Отсюда следует,
что прямая КМ параллельна прямым, содержащим основания трапеции и равноудалена от них.
2) Пусть прямая КМ пересекает боковые стороны AD и ВС в точках Р и Т соответственно, тогда
РТ— средняя линия трапеции, и поэтому РТ=0,5(АВ+ CD) = 7,5.
3) Так как АК и DK— биссектрисы углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, АК  СК.
Тогда КР — медиана прямоугольного треугольника AKD, проведенная к его гипотенузе, поэтому
KP=0,5AD= 1,5. Аналогично МТ=0,5ВС = = 3,5. Следовательно, КМ=РТ-(КР + МТ) = 7,5 - (1,5
+ 3,5) = 2,5.
Ответ: 2,5.
К
перечисленным
утверждениям
следует
добавить
еще
одно
полезное
свойство
параллелограмма:
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его
сторон.
То есть в параллелограмме ABCD АС2 + BD2 = 2(AB2 + AD2).
Эту формулу легко получить, применив теорему косинусов к
треугольникам
ABC
и
BCD,
а
затем
сложив
почленно
полученные равенства. Для прямоугольника это свойство
вытекает из теоремы Пифагора.
Еще один интересный геометрический факт получается, если
последовательно
соединить
отрезками
середины
сторон
произвольного четырехугольника. Построенный таким образом
четырехугольник KMNP является параллелограммом, так как его
противоположные стороны попарно параллельны диагоналям АС
и BD.
Пример 16. В четырехугольнике ABCD АС  BD, АС= 12, BD =16. Найдите расстояние между
серединами сторон АВ и CD.
Решение.
1) Середины сторон данного четырехугольника ABCD служат вершинами параллелограмма,
стороны которого равны половинам диагоналей АС и BD, то есть равны 6 и 8.
2) Так как AC  BD, параллелограмм является прямоугольником, а искомое расстояние между
серединами сторон АВ и CD — диагональ этого прямоугольника. Отсюда получаем, что искомое
расстояние равно б2+82 =10.
Ответ: 10.
73
Интересны
которые
соотношения
получаются
между
при
площадями
проведении
треугольников,
диагоналей
в
параллелограмме и трапеции.
В параллелограмме ABCD треугольники ABC и DBC не
равны, но равновелики, то есть равны их площади, поскольку
равны высоты, проведенные к их общему основанию ВС. Вычитая
из равных площадей треугольников ABC и ВВС площадь треугольника ВОС, получаем, что SA0B
= SC0D.
По тем же причинам в трапеции ABCD SABC = SDBC и SAOB =
SCOD
Отметим, что в параллелограмме (но не в трапеции) равенства
SAOB = SC0D и SAOD = SC0B можно обосновать иначе: треугольники
АО В и COD, AOD и СОВ равны, следовательно, и равновелики.
Но в трапеции SA0D  SC0B.
Более того, в параллелограмме равны площади всех четырех треугольников, на которые он разделяется диагоналями.
Пример 17. Диагонали АС и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, BD = 26, АС=
40, BС=21. Отрезок OE — перпендикуляр к стороне ВС. Найдите разность площадей четырехугольников DCEO и АВЕО.
Решение.
1) В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, СО = 20
и BO = 13. Пусть ВЕ=х, тогда EС = 21 — х.. В прямоугольных треугольниках ОBЕ и ОСЕ найдем
ОЕ2 . Получим уравнение 132 — х2 = 202 — (21 — х)2 , откуда х = 5.
2) Итак, BE = 5, СЕ = 16. Тогда в треугольнике ОBЕ OB = 132-52 =12.
Значит, SOBE =5*12/2=30, SOCE =16*12/2=96.
3) AОВ = COD, следовательно, SAOB = SCOD. Поэтому
SDCEO – SABEO = (SCOD + SOCE) – (SAOB + SOBE) = SOCE – SOBE =96 – 30 = 66
Ответ: 66.
Пример 18. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О, основание AD
трапеции равно 2, ВС=3, площадь треугольника АОВ равна 6. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 25.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. . Высоты АН и ВК равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС пересекаются
в точке О, АН = ВС = 8 5 . Найдите площадь треугольника АВО.
Задача 2. Высоты АН и В К равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС пересекаются
в точке О, АК= 12, КС = 8. Найдите АО.
74
Задача 3. Биссектрисы AM и ВК треугольника ABC пересекаются в точке О, АО = 2, ОМ = 1,
АК= 2, СК = 3. Найдите периметр треугольника.
Задача 4. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС высота BP и биссектриса АM
пересекаются в точке О, АО = 4, ОМ= 3, АС = 2. Найдите боковую сторону треугольника ABC.
Задача 5. В прямоугольном треугольнике ABC на катете АС взята точка К так, что угол ВКС
равен углу В. Найдите гипотенузу АВ, если СК = 4,5 и АК= 3,5.
Задача 6. В остроугольном треугольнике АВС А = 60°, АВ = 8, ВС = 7. Найдите периметр
треугольника.
Задача 7. Наибольшая сторона АВ треугольника ABC равна 8 2 , ВС= 10, А = 45°. Найдите
площадь треугольника.
Задача 8. Точки В и М лежат по разные стороны от прямой AC, ABC = САМ, BAC =
АMC, АВ = 3, СМ = 12. Найдите длину отрезка АС.
Задача 9. Сторона АВ треугольника ABC равна 15 3 . На стороне ВС взята точка К так, что
ВК = 9 3 , KC= 16 3 и треугольники АВС и КАС подобны. Найдите площадь треугольника
КАС.
Задача 10. Сторона ВС треугольника ABC равна 3 3 . На стороне АВ отмечена точка Р так, что
треугольники АВС и АСР подобны. Найдите площадь треугольника ABC, если ВР 9
3
и
5
АР =
16 3
5
Задача 11. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и СК, АС = 18, ВК= 8,
АК= ВМ = 4. Найдите периметр четырехугольника АКМС.
Задача 12. Отрезки AM и СК — высоты остроугольного треугольника ABC, в котором АС = 18,
В= 60°. Найдите КМ
Задача 13. Через середину М гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к гипотенузе и пересекающая катет АС в точке К. Найдите площадь
треугольника АМК, если АК= 12,5 и КС = 3,5.
Задача 14. В прямоугольном треугольнике ABC из середины М катета АС проведен перпендикуляр МК к гипотенузе АВ. Найдите площадь треугольника АКМ, если АВ = 100 и AM =
30.
Задача 15. В треугольнике ABC
A : B: C = = 1:2:3, ВК — биссектриса треугольника,
AK = 8 3 . Найдите АВ.
Задача 16. В треугольнике ABC C = 90°, отрезок AT— биссектриса треугольника, BAT:
ATB = 1:5, АВ = 12 2 . Найдите АС.
75
Задача 17. В треугольнике ABC АВ = 17, ВС = С = 8, отрезок АО — биссектриса треугольника.
Найдите площадь треугольника АВО.
Задача 18. В прямоугольном треугольнике ABC биссектриса острого угла С пересекает сторону
АВ в точке X. Площадь треугольника ABC равна 20, a sinВ = 0,25. Найдите площадь треугольника АСХ.
Задача 19. В треугольнике ABC АВ = 39, ВС = 42, СМ = 45. Найдите площадь треугольника,
образованного стороной АС, биссектрисой ВК и медианой ВМ.
Задача 20. В треугольнике ABC АВ = 39, ВС = 42, СА = 45. Найдите площадь треугольника,
образованного стороной АС, биссектрисой ВК и высотой ВН.
Задача 21. В треугольнике ABC АВ = 39, ВС = 42, СА = 45. Найдите площадь треугольника,
образованного стороной АС и биссектрисами ВК и СМ.
Задача 22. В треугольнике ABC АВ = 42, ВС = 39, АС = 45. Найдите площадь треугольника,
образованного стороной АС, биссектрисой ВК и высотой СН.
Задача 23. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой АВ проведены высота СН и
биссектриса ВМ, которые пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АОС,
если АС =8, ВС = 6.
Задача 24. Медианы АК и ВМ треугольника ABC пересекаются в точке О, АВ = 13, ВС = 14,
СА= 15. Найдите площадь треугольника АОМ.
Задача 25. В треугольнике ABC A = 30°. На стороне АС взята точка К так, что АК = 4, СК =5,
АВС = C. Найдите площадь треугольника ВКС.
Задача 26. В треугольнике ABC В = 60°, ВМ — биссектриса треугольника. На стороне ВC
взята точка К так, что BAK = AMB. Отрезки АК и ВМ пересекаются в точке О. Найдите
площадь треугольника АМО, если ВО = 1, OМ=8.
Задача 27. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К так, что
ВК: КС =4:3. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 132.
Задача 28. Биссектрисы углов В и С параллелограмма ABCD пересекаются в точке К, лежащей
на стороне AD. Площадь параллелограмма равна Зб3, C = 120°. Найдите большую сторону
параллелограмма.
Задача 29. В параллелограмме ABCD АВ = 4, АО = 8. Биссектрисы углов А и В пересекаются в
точке К, углов С и D — в точке М. Найдите КМ
Задача 30. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекают сторону ВС в точках К
и М соответственно, причем ВК = КМ = МС, АК= 8, DM =6. Найдите периметр
параллелограмма.
Задача 31. Биссектрисы углов А и С параллелограмма ABCD пересекают стороны ВС и AD в
точках К и Р соответственно, причем ВС : КС =5:2. Площадь параллелограмма ABCД равна 75.
Найдите площадь четырехугольника АКСР.
76
Задача 32. Площадь ромба равна 600, а отношение длин диагоналей равно 4 : 3. Найдите высоту
ромба.
Задача 33. Найдите высоту ромба, если его меньшая диагональ равна 6, а сторона равна 5.
Задача 34. На стороне АВ параллелограмма ABCD отмечены точки К и М так, что АК = КМ =
MB. Отрезки СК и DM пересекаются в точке О. Площадь параллелограмма равна 40. Найдите
площадь треугольника COD.
Задача 35. Точка М — середина боковой стороны ВС трапеции ABCD. Площадь треугольника
AMD равна 8. Найдите площадь трапеции.
Задача 36. Сторона параллелограмма равна 21, а диагонали равны 34 и 20. Найдите площадь
параллелограмма.
Задача 37. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О, основания ВС и AD равны 3 и 4,
а площадь равна 98. Найдите площадь треугольника АОВ.
Задача 38. Основания ВС и AD трапеции ABCD равны 3 и 6, диагонали пересекаются в точке О,
сумма площадей треугольников АОВ и COD равна 40. Найдите высоту трапеции.
Задача 39. Площадь четырехугольника ABCD равна 135. Диагонали пересекаются в точке О, АО
= 6, ОС =4 и ВО : OD = 2 : 7. Найдите площадь треугольника АОВ.
Задача 40. Площадь четырехугольника ABCD равна 52. Диагонали пересекаются в точке О, АО:
ОС = 4 : 9, ВО: OD = 3 : 5. Найдите площадь треугольника AOD.
Задача 41. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если площади треугольников ABC, BCD и AOD равны соответственно 34,
80 и 168.
Задача 42. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, а отрезок, соединяющий
середину меньшего основания и середину боковой стороны, равен 7. Найдите площадь трапеции.
Задача 43. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, одно из оснований равно 17,
а площадь равна 81. Найдите второе основание трапеции.
Задача 44. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны и точкой пересечения делятся
в отношении 3 :4. Площадь четырехугольника с вершинами в серединах сторон трапеции равна
196. Найдите боковую сторону трапеции.
Задача 45. Боковые стороны трапеции равны 12 и 16, а содержащие их прямые взаимно перпендикулярны, площадь трапеции равна 144. Найдите среднюю линию трапеции.
Задача 46. В трапеции ABCD основания равны 13 и 26, одна из боковых сторон равна 5, a
C —A = 90°. Найдите площадь трапеции.
Задача 47. Найдите высоту трапеции, если ее диагонали взаимно перпендикулярны и равны
15 и 20.
Задача 48. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а средняя линия равна 13. Одна из
диагоналей равна 10. Найдите другую диагональ.
77
Задача 49. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Высота,
проведенная из вершины тупого угла, делит основание на отрезки длиной 20 и 5. Найдите
площадь трапеции.
Задача 50. Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О и равны 8
и 5. Найдите среднюю линию трапеции, если BOC = 60°.
Номер задачи
1
2
Ответ
60
65 11,25 6
Номер задачи
11
12
13
14
Ответ
48
9
37,5
216 24 12
Номер задачи
21
22
23
24
Ответ
140 169 9,6
Номер задачи
31
32
Ответ
30
Номер задачи
41
Ответ
272 98
3
4
5
6
7
8
9
10
10 20
8
6
288 18
15 16
17
18
19
20
40,8 4
14
31,36
25 26
27
28
29
30
14
16 6
42
12
4
40
33
34
35 36
37
38
39
40
24
4,8
15
7,5 336 24
20
18
10
42
43
44
45 46
47
48
49
50
1
20
15 90
12
24
200 3,5
Окружность и её элементы. Хорды. Секущие и касательные.
На первом этапе учащиеся самостоятельно работают с учебной литературой, со справочниками,
пособиями по математике. Обязательными являются следующие вопросы:
1. Теоремы об окружностях и треугольниках;
2. Измерение углов связанных с окружностью:
а) центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается;
б) вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается;
3. Теоремы об окружностях и четырёхугольниках;
4. Понятие хорды, секущей и касательной;Измерение углов связанных с окружностью «угол
между касательной и хордой измеряется половиной дуги, заключённой между касательной и
хордой»;
5. Особенно уделить внимание теоремам, которые вскользь изучаются в школьном курсе
геометрии. Это такие как: «У четырёхугольника, в который вписана окружность, суммы
противоположных сторон равны» и «У четырёхугольника , около которого описана окружность,
сумма противоположных углов равна 180 градусов
Задачи для самостоятельного решения:
78
Задача 1. АВ и СD-взаимно перпендикулярные пересекающиеся хорды окружности радиуса R.
Докажите, что АС2+DВ2=4R2.
Задача 2. Через данную точку А, расположенную вне данной окружности, провести
прямую, касающуюся окружности
Задача 3. Точки C и
D делят окружность на дуги, градусные меры которых
пропорциональны числам 5 и 7. DK – диаметр окружности. Вычислите градусные меры
углов треугольника CDK
Задача 4. Хорды окружности AB и KM пересекаются в точке P. Вычислите длину
отрезка KP, если PM на 9 см. меньше KP и AP=12 см, AB=19,5 см.
Задача 5. Длина окружности, описанной около квадрата равна 16  см. Найдите
периметр
квадрата.
Задача 6. Периметр правильного шестиугольника равен
72 см. Вычислите длину
диаметра окружности, описанной около этого шестиугольника.
Задача 7. Высота правильного треугольника равна 9 см.Вычислите площадь круга,
ограниченного описанной около треугольника окружностью.
Задача 8.Диаметр окружности, описанной около правильного треугольника, равен12 3 см.
Вычислите периметр этого треугольника.
Задача 9.Дано: MN – касательная к окружности,
POM = 1100 (см.рис)
Задача 10. Две окружности внешне касаются в точке А, ВС - их общая внешняя
касательная. Докажите, что угол ВАС равен 90 градусов
Задача 11. Две равные окружности внешне касаются друг друга и третьей
окружности, радиус которой равен 8 см. Отрезок, соединяющий точки касания двух
равных кружностей с третьей, равен 12 см. Найдите радиусы равных окружностей.
Задача12. Найдите углы треугольника, если известно, что центры его вписанной и
описанной окружностей симметричны относительно одной из сторон треугольника
79
Задача 13. Около треугольника АВС описана окружность. Через точку В проведена
касательная к окружности до пересечения с продолжением стороны СА за точку А в
точке D. Найдите периметр треугольника АВС, если АВ+АD=АС, СD=3, угол ВАС
равен 60 градусов
Задача 14. На стороне АВ треугольника АВС как на диаметре построена окружность,
пересекающая сторону ВС в точкеD . Найдите АС, если известно , что СD=2 см и
АВ=ВС=6 см.
Задача 15. Основания равнобедренной трапеции a и b, острый  . Найдите радиус описанной
окружности. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 2400. Высота
конуса 5 5 .
Задача 16. Найти площадь боковой поверхности конуса.
Решение.
S бок.конуса  S сектора 
2  r 
2R
 240;
360
R 2
360
 240 
2R 2
3
2
4
R; r  R
3
3
Из прямоугольного треугольника АОВ
R
240
º
2  r 
(5 5 ) 2 
ОА2 +ОВ2 = АВ2
O
r
4 2
5
125  9
R  R 2 ; 125  R 2 ; R 2 
 25  9
9
9
5
S бок.конуса 
2  25  9
 150
3
ТРЕУГОЛЬНИК
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ЧАСТЬ А
В треугольнике АВС В  48 , внешний угол при вершине С равен 100 . Найдите градусную
меру угла А.
Площадь правильного треугольника равна 4 3 . Найдите его периметр.
В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен 3 . Найдите площадь
треугольника.
Найдите площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной 3 и основанием 4.
В треугольнике биссектриса угла, образованного сторонами с длинами 21 и 28, делит
противолежащую сторону на отрезки, длина меньшего из которых равна 24. Найдите
периметр треугольника.
Две стороны треугольника равны 15 и 25, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 16.
Найдите длину третьей стороны треугольника.
Дан треугольник со сторонами 26, 40 и 42. Найдите длину высоты, проведенной к средней
стороне треугольника.
1
Найдите сторону МР треугольника MNP, если известно, что MN  9, NP  8, cos N  .
6
80
9. Стороны треугольника равны 5, 6 и 91 . Найдите больший угол треугольника.
10. В равнобедренном треугольнике боковая сторона в 1,5 раза больше радиуса описанной около
треугольника окружности. Определите синус угла, образованного основанием и боковой
стороной.
11. Найдите сторону ВС треугольника BDC, если известно, что CD  2 , B  30, D  45.
12. Площадь треугольника АВС равна 16. Найти длину стороны АВ, если АС = 5, ВС = 8 и угол
С – тупой.
13. Найдите площадь прямоугольного треугольника с острым углом 30 и гипотенузой, равной
4.
14. Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна 36. Найдите длину
гипотенузы.
15. Найдите градусную меру острого угла между биссектрисами острых углов прямоугольного
треугольника.
16. Катеты прямоугольного треугольника равны 30 и 40. Найдите медиану, проведенную к
гипотенузе.
17. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, длины
которых относятся как 1:4. Если высота равна 4, то гипотенуза равна…
ЧАСТЬ В
18. Три высоты треугольника АВС пересекаются в точке О внутри треугольника, причём ОС =
АВ. Найдите угол АСВ.
19. В треугольнике АВС из вершины В проведена медиана и высота, которые делят угол АВС на
три равные части. Найти углы треугольника АВС.
20. Длины сторон треугольника относятся как 5:12:13. Соединив середины его сторон, получили
треугольник площадью 30. Найдите периметр исходного треугольника.
21. В треугольнике АВС величина угла ВАС равна 120 , АВ = 3, АС = 5. Найти длину
биссектрисы ВК.
22. Дан треугольник АВС, в котором угол АВС равен 30 , АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла АВС
пересекает сторону АС в точке К. Найти площадь треугольника АВК.
23. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВЕ, которую центр О вписанной окружности
делит в отношении ВО:ОЕ = 2:1. Стороны АС = 7, ВС = 8. Найти длину стороны АВ.
24. Основание треугольника равно 14, а медианы, проведенные к боковым сторонам, равны 3 7
и 6 7 . Найти меньшую боковую сторону этого треугольника.
25. Две стороны треугольника равны 6 и 8. Медианы, проведённые к этим сторонам, взаимно
перпендикулярны. Найти третью сторону треугольника.
26. Найти площадь треугольника, медианы которого равны 3, 4, 5.
27. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20, а основание равно 24. Найти
расстояние между точкой пересечения биссектрис и медиан треугольника.
28. В равнобедренном треугольнике АВС со сторонами 40 и 100 проведена высота СН к боковой
стороне. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников
АСН и ВСН.
29. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если длина его высоты, проведенной к
боковой стороне, равна 12, а длина основания 15.
30. Основание равнобедренного треугольника равно 12, а боковая сторона 18. К боковым
сторонам проведены высоты. Найдите длину отрезка, концами которого служат основания
высот.
31. В тупоугольном треугольнике основание равно 6, а высоты, опущенные на боковые стороны,
равны 2 и 2 3 . Найдите высоту, опущенную на основание.
32. Параллельно стороне АВ треугольника АВС проведена прямая, пересекающая сторону АС в
точке D так, что AD : DC = 3 : 2. Если площадь треугольника АВС равна 50, то площадь
получившейся трапеции равна…
81
33. В равносторонний треугольник вписан квадрат со стороной, равной 3 . Найдите длину
стороны треугольника.
34. Высота треугольника равна 4. Она делит основание на две части, относящиеся как 1:8. Найти
длину отрезка прямой, параллельной высоте и делящей треугольник на равновеликие части.
35. Точка М – середина основания АС треугольника АВС. Известно, что АВ = 2, ВС = 3,
ABМ  2MBC . Определить площадь треугольника АВС.
36. В треугольнике АВС АВ = 3, ВС = 5, АС = 6. На стороне АВ взята точка М, на ВС – точка К
так, что ВМ = 2АМ, 3ВК = 2КС. Найти длину МК.
37. В треугольнике АВС угол А вдвое больше угла В, а длины сторон, противолежащих этим
углам, соответственно равны 6 и 4. Найдите длину третьей стороны треугольника.
38. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 10, а основание – 12. Найдите
радиус описанной около треугольника окружности.
39. В остроугольном треугольнике АВС известны две стороны АС = 8, ВС = 6 и площадь
треугольника равна 3 15 . Найдите радиус окружности , описанной около этого
треугольника.
40. Радиус вписанной в треугольник окружности равен 2, а одна из точек касания делит сторону
треугольника на отрезки 3 и 4. Найдите площадь треугольника.
41. На медиане ВМ треугольника АВС взята точка К такая, что ВК:КМ = 3:1. В каком отношении
прямая АК делит площадь треугольника АВС?
42. В равнобедренном треугольнике АВС сторона АВ=ВС=12. Через середину высоты ВD
проведен отрезок МР параллельно стороне ВС. Найдите длину отрезка МР.
43. В треугольнике АВС, площадью 24, точка М лежит на стороне АВ, точка N на стороне BC,
точка K на стороне AC, причем AM:MB = 2:1, BN = NC, AK:KC = 1:3. Найдите площадь
треугольника MNK.
44. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе,
равна 2 5 . Найдите гипотенузу, если один из катетов равен 6.
45. Катеты прямоугольного треугольника равны 2 21 и 4 7 . Найдите высоту, проведенную из
вершины прямого угла.
46. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, делит
гипотенузу на отрезки длиной 7,2 и 12,8. Найдите площадь треугольника.
47. В прямоугольном треугольнике длина одного катета равна 15, а проекция другого катета на
гипотенузу равна 16. Найдите периметр треугольника.
48. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит прямой угол в
отношении 1:2 и равна 6. Найдите площадь треугольника.
49. В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 18. Найдите биссектрису прямого угла.
50. Площадь прямоугольного треугольника равна 2 3 . Определить его высоту, проведенную к
гипотенузе, если она делит прямой угол в отношении 1:2.
51. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки 10 и 26.
Найдите площадь треугольника.
52. В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам, равны 52 и 73 .
Найдите гипотенузу.
53. В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АС = 15 и ВС = 20 проведена высота СН.
Найдите расстояние от точки Н до катета АС.
54. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла В проведена высота ВР. Если
выполнено условие АВ = РС, тогда косинус угла А равен…
55. Катет прямоугольного треугольника равен 18. Точка, принадлежащая данному катету,
удалена от гипотенузы и другого катета на 5. Найдите периметр треугольника.
56. Два подобных прямоугольных треугольника имеют по катету одинаковой длины, равной 12.
Если площади треугольников относятся как 10:9, то площадь большего треугольника равна…
57. Точка на гипотенузе прямоугольного треугольника равноудалена от обоих катетов и делит
гипотенузу на отрезки, длины которых равны 30 и 40. Найдите периметр треугольника.
82
58. В прямоугольный треугольник, катеты которого равны 10 и 15, вписан квадрат, имеющий с
ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.
59. В прямоугольный треугольник с острым углом 30 вписан ромб так что этот угол у них
общий и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Если длина большего катета
равна 9 3  2 , то сторона ромба равна…
60. Периметр прямоугольного треугольника равен 60. Найти его площадь, если высота,
опущенная на гипотенузу, равна 12.
61. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на
отрезки 5 и 12. Найдите сумму катетов треугольника.
62. В прямоугольном треугольнике радиусы вписанной и описанной около него окружностей
равны 2 и 5. Найдите площадь треугольника.
63. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит катет на отрезки
2 и 6. Найдите расстояние от центра вписанной до центра описанной окружности.


ЧАСТЬ С
64. В треугольнике АВС величины углов А, В, С составляют арифметическую прогрессию.
Наименьшая сторона в 4 раза меньше наибольшей. Найти тангенс наименьшего угла.
65. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = АС) с углом BAC  80 выбрана точка М так,
что MBC  30, MCB  10 . Вычислить AMC .
66. Боковые стороны АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС равны 15, а cos A  0,8 .
Найдите расстояние от точки пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, до
точки пересечения его биссектрис.
67. В треугольнике АВС АВ  4 7 , АС  5 7 , ВС  6 7 . Найдите расстояние от вершины В до
точки пересечения высот треугольника АВС.
68. В треугольнике АВС на сторонах взяты точки М, К, N так, что АМ : МВ = 1 : 4, ВК : КС = 2 : 3,
АN : NС = 2 : 3. Прямые АК и МN пересекаются в точке Р. Определите во сколько раз РК
больше АР.
69. Через точку М внутри треугольника АВС проведены прямые параллельные сторонам
треугольника. Площади треугольников, отсекаемых этими прямыми, равны 16, 25 и 49. Найти
площадь треугольника АВС.
70. В равнобедренном треугольнике АВС через вершины основания В и С и точку N, которая
является серединой высоты, проведённой к основанию, проведены прямые CD и ВЕ
( D  AB, E  AC ). Найти площадь треугольника СЕD, если площадь треугольника АВС равна
27.
71.
В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и CF углов BAC и ACB. Найдите
отношение площадей треугольников ABC и AFD, если АВ = 21, АС = 28, СВ = 20.
72. Дан треугольник АВС, площадь которого равна 12. На медианах AK, BL, CN взяты
соответственно точки P, Q, R так, что АР : РК = 1 : 1, BQ : QL = 1 : 2, CR : RN = 5 : 4. Найти
площадь треугольника PQR.
73. В треугольнике АВС медиана АD и биссектриса ВЕ перпендикулярны и пересекаются в точке
F. Известно, что площадь треугольника DEF равна 6. Найдите площадь треугольника АВС.
74. В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты АN и СМ на стороны
ВС и АВ. Известно, что площадь треугольника АВС равна 18, а площадь треугольника ВNМ
равна 2, длина отрезка NМ равна 2 2 . Вычислить радиус окружности, описанной около
треугольника АВС.
75. Прямоугольный треугольник, периметр которого равен 10, разбит высотой, опущенной на
гипотенузу, на два треугольника. Периметр одного из них равен 6. Найти периметр другого.
76. Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника удалена от катетов на расстояния 3
и 4. Найти расстояние от этой точки до гипотенузы.
77. Высота и биссектриса прямоугольного треугольника, опущенные из вершины прямого угла,
равны соответственно 3 и 4. Найти площадь треугольника.
83
78. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины А прямого угла к гипотенузе ВС = 12
7
проведена биссектриса АК =
. Найдите радиус вписанной окружности в треугольник АВС.
2
79. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины А прямого угла проведена медиана АМ,
биссектриса АК и высота АН. Оказалось, что МК = 4 и КН = 3. Найти площадь треугольника
АВС.
80. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведена высота СН.
Радиусы окружностей, вписанных в треугольники АСН и ВСН, равны соответственно 5 и 12.
Найти радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
81. В треугольнике АВС со сторонами АВ  3, ВС  4, АС  5 проведена биссектриса ВМ. В
треугольники АВМ и ВСМ вписаны окружности, которые касаются ВМ в точках К и Р.
Найдите длину КР.
ТРЕУГОЛЬНИК
ОТВЕТЫ
1.
2.
3.
52
12
9 3
4.
5.
6.
7.
8.
2 5
77
26
24
11
9.
120
10. 0,75
28. 50
29. 75
28
30.
3
31.
2
32. 42
32
33.
34. 3
15 7
35.
16
8 30
36.
15
37. 8
55. 30
56. 80
57. 160
58.
59.
60.
61.
62.
24
18
150
23
60
63.
5
3
7
65. 70
66. 12
64.
11. 2
12. 137
2 3
12
45
25
4
45
30,60,90
60
3 7
21.
2
22. 2,4
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
38. 6,25
16 15
39.
15
40. 21
41. 3 : 2
42. 8
43. 7
44. 9
45. 4 3
46. 96
47. 60
48. 18 3
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
9
3
256
6
4:1
1
60
4,5
8
76. 2,4
9 2
2
3
50.
51. 270
49.
23. 6
24. 4 21
77. 72
78. 2
84
25. 2 5
26. 8
2
27.
3
52. 10
53. 7,2
1 5
54.
2
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК
79. 84
80. 13
1
81.
7
ЧАСТЬ А
1. Внутренние углы выпуклого четырехугольника относятся как 2:2,5:9,5:10. Найдите меньший
угол.
2. Одна из сторон прямоугольника равна 4, а вторая – в пять раз больше. Найдите площадь
прямоугольника.
3. В ромбе ABCD проведена диагональ BD. Найдите угол ADC, если ABD  20 .
4. Диагональ ромба, лежащая против угла 60 , равна 11,2. Найдите периметр ромба.
5. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла А делит сторону ВС на отрезки ВК = 4, КС = 6.
Найдите периметр прямоугольника.
6. Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна 2 17 .
7. Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ равна 3 41 , а одна из его сторон равна
15.
8. В равнобочной трапеции боковая сторона равна средней линии, а периметр равен 48.
Определите боковую сторону трапеции.
9. Площадь ромба равна 96, а диагонали относятся как 3:4. Найдите сторону ромба.
9
6 , составляет с основанием угол 60 .
10. Одна из диагоналей параллелограмма, равная
2
Найдите длину второй диагонали, если она составляет с тем же основанием угол 45 .
11. Боковые стороны и меньшее основание прямоугольной трапеции равны соответственно 8, 10
и 10. Найдите большее основание.
12. Острый угол равнобедренной трапеции равен 45 . Найдите площадь трапеции, если ее
основания равны 5 и 11.
13. В трапеции ABCD AD BC , диагонали пересекаются в точке К, основания BC и AD равны
соответственно 6 и 8, а диагональ АС = 35. Найдите длину отрезка АК.
14. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна 13 , а высота равна 2.
ЧАСТЬ В
15. В прямоугольнике ABCD сторона AD вдвое длиннее стороны АВ. Внутри прямоугольника
взята точка М так, что АМ  2 , ВМ  2, СМ  6 . Найдите длину стороны АВ.
16. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, площади треугольников AOB,
BOC, COD равны соответственно 12, 18 и 24. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
17. Периметр параллелограмма ABCD равен 24. Найдите площадь параллелограмма, если высота
BH, проведенная к стороне AD, равна 2, а величина угла А равна 30 .
18. В параллелограмме ABCD из вершины тупого угла В проведены высота ВН и отрезок ВК, где
К – середина стороны AD. Найдите площадь параллелограмма, если ВН  4, ВК  4 5 ,
АВ  4 2 .
19. Одна из сторон параллелограмма равна диагонали и равна 5. Найдите площадь
параллелограмма, если вторая диагональ равна 33 .
20. Острый угол параллелограмма равен 60 , а диагонали 13 и 37 . Найдите периметр
параллелограмма.
21. Стороны параллелограмма равны 3 и 5, а угол между диагоналями равен 60 . Найдите
площадь параллелограмма.
85
22. Перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к его диагонали, делит эту
диагональ на отрезки длиной 6 и 15. Разность длин сторон равна 7. Найдите периметр
параллелограмма.
23. Из вершины В параллелограмма ABCD проведены высоты ВК и ВН к сторонам AD и CD
соответственно. Угол КВН равен 60 , ВК : ВН = 1 : 4, AD = 4. Найдите площадь
параллелограмма.
24. В параллелограмме даны острый угол, равный 45 , и расстояние от точки пересечения
диагоналей до неравных сторон, равных соответственно 2 и 3. Найдите площадь
параллелограмма.
25. Высота ромба равна 12, а одна из диагоналей равна 15. Найдите площадь ромба.
26. Высота ВН ромба ABCD, проведенная из вершины тупого угла В, делит сторону AD на
отрезки АН = 17, HD = 8. Найдите большую диагональ ромба.
27. ABCD – ромб, DAB  120 , M – середина стороны BC, точка N лежит на стороне DC,
причем 2DN = NC. Найдите тангенс угла NAM.
28. Точка М делит диагональ квадрата ABCD со стороной, равной 24, в отношении
АМ : МС = 3 : 1, точка N лежит на стороне AD, причем угол NMD прямой. Найдите длину
отрезка AN.
29. Длины оснований трапеции равны 25 и 39, а длины боковых сторон равны 13 и 15. Найдите
высоту трапеции.
30. В трапеции диагонали являются биссектрисами острых углов. Определить периметр
трапеции, площадь трапеции с если диагональ делит среднюю линию на отрезки 10 и 18.
31. Найдите площадь трапеции с основаниями 3 и 6 и диагоналями 7 и 8.
32. В прямоугольной трапеции средняя линия равна 13,5. Меньшая диагональ является
биссектрисой тупого угла и имеет длину 12. Найдите периметр трапеции.
33. В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Большая диагональ
составляет с меньшей боковой стороной угол 60 . Найдите длину средней линии трапеции,
если длина меньшей диагонали равна 10.
34. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Найти площадь трапеции.
35. В равнобедренной трапеции большее основание равно 44, боковая сторона равна 17, а
диагональ равна 39. Найти площадь трапеции.
36. В равнобедренной трапеции биссектриса острого угла делит боковую сторону в отношении
19 : 14. Верхнее основание равно 3. Найти площадь трапеции, если боковая сторона равна 17.
ЧАСТЬ С
37. Площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон выпуклого
четырехугольника ABCD, равна 24. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
38. На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD, площадь которого равна 1, взяты точки K
на AB, L на BC, M на CD, N на AD так , что AK : BK = CL : BL = 3:1; AN : ND = CM :MD = 5:1.
Найдите площадь многоугольника KBLMDN.
39. В четырехугольнике ABCD известно, что A  D  60, AB  3 , BC  3, CD  2 3 .
Найдите величину угла АВС.
40. В квадрат площадью 24 вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит
одна вершина прямоугольника. Длины сторон прямоугольника относятся как 1:3. Найти
площадь прямоугольника.
41. В параллелограмме со сторонами 3 и 5 и острым углом 30 проведены биссектрисы четырех
углов. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.
42. В параллелограмме ABCD биссектрисы AE и DF делят сторону BC на три равные части и
пересекаются в точке О внутри параллелограмма. Найдите площадь параллелограмма, если
площадь треугольника AOD равна 18.
43. Из вершины острого угла ромба проведены две высоты расстояние между концами, которых
в 1,5 раза больше меньшей диагонали ромба. Определите больший угол ромба.
86
44. Большее основание трапеции равно 8. Прямая параллельная основаниям, делит трапецию на
две равновеликие фигуры. Отрезок этой прямой внутри трапеции равен 5 2 . Найти меньшее
основание трапеции.
45. В трапеции углы при одном из оснований равны 20 и 70 , а длина отрезка, соединяющего
середины оснований, равна 2. Найдите большее основание трапеции, если длина её средней
линии равна 4.
46. В трапеции диагонали равны 3 и 5 , а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2.
Найти площадь трапеции.
47. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее боковой стороны AD и вдвое длиннее
основания CD. Длина диагонали АС равна 10, длина боковой стороны ВС равна 8. Найти
площадь трапеции.
48. Найти высоту трапеции с основаниями 10 и 15, у которой диагонали взаимно
перпендикулярны, а угол, образованный продолжением боковых сторон, равен 45 .
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК
ОТВЕТЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
30
100
40
44,8
28
34
180
12
9. 5 2
10. 13,5
11. 16
12. 24
13. 15
14. 6
15. 10
16. 16
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
16
36
4 21
14
8 3
54
2 3
24 2
150
26. 10 21
5 3
27.
3
28. 12
29. 12
30. 96
8 5
31.
3
32. 51 3 15
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
10
16
540
165
96
9
150
9
1
48
120
44.
45.
46.
47.
6
6
6
60
48. 0,5
ОКРУЖНОСТЬ
ЧАСТЬ А
1. Найдите длину окружности, если площадь ограниченного ею круга равна 81 .
2. Вычислите площадь кругового сектора с центральным углом 30 , если радиус круга равен 4.
3. Вычислите длину дуги кругового сектора с центральным углом 60 , если радиус круга равен
3.
4. Радиус большей окружности и диаметр меньшей окружности равны 6. Найдите площадь
кругового кольца.
5. Площадь сектора равна 49, а длина дуги равна 14. Найдите радиус сектора.
6. Точки C и D лежат на окружности по одну сторону от хорды AB, ACB  86 . Найдите
градусную меру угла ADB.
7. Точки C и D лежат на окружности по разные стороны от хорды AB, ACB  118 . Найдите
градусную меру угла ADB.
87
8. Точки B, D и N лежат на окружности с центром О. Найдите угол BOD, если BND  68 .
9. Хорда АВ стягивает дугу в 46 . Определить углы, которые образует хорда с касательными к
окружности, проходящими через ее концы.
10. Из точки В к окружности с центром О проведена касательная. Найдите радиус окружности,
если АВ  6 3 , АВО  30 .
11. Из точки вне окружности проведены касательная и секущая. Известно, что касательная
меньше секущей на 2, и что внешний отрезок секущей равен 6,4. Найти длину отрезка
касательной.
ЧАСТЬ В
12. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, DAB  88 , ADB  30, DBC  54 .
Боковые стороны АB и DC продолжены до пересечения в точке O. Найдите градусную меру
угла AOD.
13. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, диагонали АС и ВD пересекаются в точке в
точке O, ABC  98, BCA  22 , ACD  40 . Найдите градусную меру угла COD.
14. Окружность касается стороны АС треугольника ABC в точке D, стороны BC – в точке B и
пересекает AB в точке E, DBC  62, DBE  28 . Найдите градусную меру угла BAC.
15. Из одной точки окружности проведены две хорды длиной 7 и 2 3 . Найдите радиус
окружности, если расстояние между серединами хорд равно 2,5.
16. В круге радиусом 9 проведена хорда. Расстояние от одного конца хорды до касательной к
окружности, проведенной через другой конец хорды, равно 12,5. Найдите длину хорды.
17. Точка К делит хорду АР на отрезки 12 и 14, а расстояние от центра окружности до точки К
равно 11. Найдите радиус данной окружности.
18. Из точки вне окружности проведены к ней две касательные, угол между которыми 60 .
Расстояние между точками касания равно 2 3 . Найти радиус окружности.
19. Если в треугольнике ABC стороны AB, AC, BC имеют длины 10, 17 и 21 соответственно, то
наименьшее из расстояний от вершины А до точек касания сторон треугольника с вписанной
окружностью равно…
20. Продолжение общей хорды АВ двух окружностей пересекает их общую касательную MN в
точке K. Если KA  3, AB  9 , то расстояние MN между точками касания равно…
21. В окружности хорды AB и CD пересекаются под прямым углом, AD = 6, BC = 8. Найдите
радиус окружности.
22. В окружности радиусом 3 из одного конца диаметра проведена касательная, а из другого –
хорда, стягивающая дугу, равную 120 . Хорда продолжена до пересечения с касательной.
Найдите внешний отрезок секущей.
23. В треугольник с периметром 18 вписана окружность. Отрезок касательной, проведённой к
окружности параллельно основанию, заключенный между сторонами треугольника, равен 2.
Найти основание треугольника при условии, что оно больше 4.
24. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 5, большее основание равно 8. Найдите
радиус круга, вписанного в трапецию.
25. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиусом 4. Найдите длину большего
основания, если меньшее основание равно 6.
26. В равнобедренной трапеции основания равны 9 и 21, а высота равна 8. Найдите радиус
описанного круга.
27. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 6. Найти среднюю линию
трапеции, если точка касания делит боковую сторону на отрезки, разность между которыми
равна 5.
28. Большее основание трапеции служит диаметром описанной около нее окружности радиуса
6  4 3 . Острый угол при основании трапеции равен 60 . Найти площадь трапеции.
29. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания
на отрезки 4 и 9. Найти площадь трапеции.
88
30. Стороны КN и LM трапеции KLMN параллельны. KN = 3, LMN  120 0. Прямые LM и MN
являются касательными к окружности, описанной около треугольника KLN. Найти площадь
треугольника KLN.
31. На стороне АВ треугольника АВС, как на диаметре, построена окружность, которая
пересекает АС в точке М и ВС в точке Е. Найдите АС и ВС, если известно, что АВ = 3, АМ :
МС = 1 : 1,
ВЕ : ЕС = 7 : 2.
32. Хорда АВ стягивает дугу окружности, равную 120 . Точка С лежит на этой дуге, а точка D
лежит на хорде АВ. При этом AD = 2, BD = 1, CD  2 .Найдите площадь АВС.
33. В окружность вписан треугольник АВС. Расстояние от точек А и С до прямой, касающейся
окружности в точке В, равны соответственно 4 и 9. Найти длину высоты, проведённой из
вершины В.
34. Треугольник АВС вписан в окружность радиуса 7 . Точка D лежит на дуге ВС, а хорды АD и
ВС пересекаются в точке М, BMD  120 , АВ = 7 , ВМ : МС = 2 : 3. Найти длину ВС.
35. Две окружности радиусами 4 и 9 касаются внешним образом в точке С. К ним проведена
общая внешняя касательная. Найдите длину отрезка АВ, где А и В – точки касания
окружности с касательной.
36. В угол 60 вписаны две внешне касающиеся окружности. Найдите отношение радиуса
большей к радиусу меньшей окружности.
37. В угол вписаны две внешнекасающиеся окружности. Хорды, соединяющие точки касания
каждой окружности со сторонами угла, равны соответственно 4 и 12. Найдите градусную
меру угла.
38. Общая хорда АВ двух пересекающихся окружностей равна 48. Радиусы двух окружностей,
проведенные в точку А, взаимно перпендикулярны. Радиус большей окружности равен 40.
найдите радиус меньшей окружности.
39. Две окружности радиусами 15 и 13 пересекаются в точках А и В так, что центры окружностей
находятся по одну сторону от хорды АВ. Найдите длину хорды АВ, если расстояние между
центрами окружностей равно 4.
40. Две окружности касаются внутренним образом. Через центр меньшей проходит прямая,
которая пересекает большую окружность в точках M и K , а меньшую в точках B и C ,
R
причем MB : BC : CK  7 : 8 : 5 . Найдите 32  , где R - радиус большей, а r - радиус
r
меньшей окружности.
ЧАСТЬ С
41. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС взяты точки D и E соответственно, причем
AD : ВD = 11, CE : EB = 2. Найдите отношение радиуса окружности, описанной около
треугольника АВС, к радиусу окружности, вписанной в этот треугольник, если известно, что
угол ВАЕ равен углу BCD, а угол АВС равен 60 .
42. Отрезок АВ является диаметром окружности, точка С лежит вне этой окружности. Отрезки
АС и ВС пересекаются с окружностью в точках D и M соответственно. Найдите косинус угла
ACB, если площади треугольников DCM и ACB относятся как 1 : 4.
43. Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке О. Радиус АО
перпендикулярен радиусу ВО, а радиус ОС перпендикулярен радиусу OD. Длина
перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую AD, равна 9. Длина отрезка ВС в два раза
меньше длины отрезка AD. Найдите площадь треугольника АОВ.
44. В равнобедренную трапецию с периметром 100 вписана окружность . Найти радиус
окружности, если расстояние между точками касания окружности и боковых сторон равно 16.
89
45. В трапеции АВСD основание АD = 16. Боковая сторона СD равна 8 3. Окружность,
проходящая через точки А, В ,С пересекает АD в точке N, причем угол АNВ равен 60 . Найти
ВN.
46. В трапеции ABCD основания AB = 4 и CD = 12. Окружность проходит через вершины А, В, С
и касается AD. Найти диагональ АС.
47. В трапеции ABCD основания BC  26, AD  39 и боковые стороны AB  5, CD  12 . Найдите
радиус окружности проходящей через точки А и В и касающейся стороны CD.
48. Во вписанном четырёхугольнике АВСD, в котором АВ = ВС, К – точка пересечения
диагоналей. Найдите АВ, если BK = 3, KD = 6.
49. Дан параллелограмм ABCD. Биссектриса угла D пересекает сторону AB в точке E. В
треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке P и стороны AD в
точке Q. Найти угол BAD, если AD = 6, PQ = 3.
50. Окружность касается сторон АВ и ВС треугольника АВС в точках А и С. На дуге, лежащей
внутри треугольника взята точка М такая, что расстояние от неё до сторон АВ и ВС равны 6 и
24. Найти расстояние от М до стороны АС.
51. В треугольнике KLM проведены биссектрисы KN и LP, которые пересекаются в точке Q.
Отрезок PN равен 1, а вершина М лежит на окружности, проходящей через точки N, P, Q.
Найдите периметр треугольника NPQ.
52. Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, зная, что точка
пересечения его высот лежит на вписанной окружности.
53. Центры вписанной и описанной окружностей треугольника симметричны относительно
одной из его сторон. Найдите радиус описанной окружности, если радиус вписанной
окружности равен 1  5 .
54. Две окружности радиусами 3 и 1 касаются внешним образом. Найти расстояние от точки
касания окружностей до их общих касательных.
55. Две окружности касаются внешним образом в точке А. Найти радиус большейокружности,
если хорды, соединяющие точку А с точками касания одной из общих внешних касательных
равны 6 и 8.
56. Две окружности радиусов 4 и 1 касаются внешним образом. Найти радиус окружности,
которая касается данных окружностей и их общей внешней касательной.
57. В угол, величина которого равна 60 , вписаны две пересекающиеся окружности.
Касательные к окружностям, проходящие через их общую точку образуют прямой угол.
Найти радиус меньшей окружности, если длина их общей хорды равна 3.
90
ОКРУЖНОСТЬ
ОТВЕТЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
18
4
3

27 
7
86
62
136
134 ,23, 23
6
11. 8
20. 12
21. 5
39. 24
40. 115
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
1
6
2
12
10,625
13
81
78
14. 34
3 3
4
31. 3; 2
3 2
32.
4
33. 6
7
15.
16. 15
17. 17
34. 5
35. 12
36. 3 : 1
18. 2
37. 60
19. 3
38. 30
48. 3 3
49. 60
30.
12. 28
13. 80
3 1
0,5
22,5
10
8
4 3
12,5
50. 12
2 3
1
51.
3
2
52.
3
53. 3  5
54. 0; 1,5
20
55.
3
4
56.
9
7 1
57.
Векторы, метод координат на плоскости
На
первом
этапе
литературой,
со
учащиеся
самостоятельно
справочниками,
работают
пособиями
по
с
учебной
математике.
Обязательными являются следующие вопросы:
1.
Сложение векторов
2.
Умножение вектора на число
3.
Скалярное произведение векторов
Задача 1.Начертите два произвольных вектора AB и AC .Отложите от точки A вектор, равный
вектору AB +2 BC .
Задача 2. Точки E и F лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD,
Причем AF=ED, BF: FC=3:1. Выразите через векторы m = AB и n = AD вектор:
91
а) AF , б) EF .
Задача 3.Дано: m {2;-1}, k {-3;3}, p =2 m - k .
а) Вычислите координаты вектора p . б) Найдите длину вектора p .
Задача 4. Вершины четырехугольника имеют координаты: A(4;-1), B(2;-4), C(0;-1),D(2;2).
Докажите, что четырехугольник ABCD- ромб.
Задача 5. Даны векторы a и b . Построй те векторы a + b , a - b , 2 a .
Задача 6. Точки X и Y – середины сторон AB и BC треугольника ABC . Точка T- середина
отрезка XY. Выразите через векторы a  CA и b = CB вектор CT ; вектор BX .
Задача 7. АВ и СD-взаимно перпендикулярные пересекающиеся хорды окружности радиуса R.
Докажите, что АС2+DВ2=4R2.
Задача 8. Через данную точку А, расположенную вне данной окружности, провести прямую,
касающуюся окружности.
Задача 9. Две окружности внешне касаются в точке С, АВ- их общая внешняя касательная.
Найдите радиусы, если АС=8 см, ВС=6см.
Задача 10. Даны три окружности. Постройте точку, касательные из которой ко всем трём
окружностям равны между собой.
Задача 11. (С5) В треугольнике АВС АВ = 9, ВС = 4, АС = 6. Точка D лежит на прямой ВС
так, что ВD : DС = 3 : 4. Окружности, вписанные в каждый из треугольников АDС и АDВ,
касаются стороны АD в точках Е и F. Найдите длину отрезка ЕF.
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Занятия 60-62 Геометрические задачи. Стереометрия
Цель:
1. решение задач повышенной сложности, рассмотреть
2. различные способы построения сечений;
3. решение задач на комбинацию стереометрических тел;
4. применение метода координат, задачи части «С» ЕГЭ.
Роль учителя – подобрать таким образом теоретический и практический учебный
материал, чтобы он был направлен на решение интегрированной дидактической цели,
обеспечивал системность деятельности учащихся при индивидуальной и групповой работе. При
такой организации учебного процесса все участники оперируют одинаковыми понятиями.
Данная технология обучения базируется на единстве принципов, системности, проблемности и
блочности.
Перпендикулярные прямые
1.
Отрезок АВ не пересекает плоскость  . Расстояния от концов отрезка АВ до плоскости 
равны соответственно 10 и 6. Найдите расстояние от середины АВ до  .
2.
Из точки А к плоскости  проведены перпендикуляр АВ и наклонные АС и AD , равной
длины, проекции которых образуют между собой угол 90 . Найдите длины наклонных, если
CD  2, AB  4.
3.
Параллелограммы ABCD и CDEK не лежат в одной плоскости. Точка M принадлежит
отрезку CD. Как располагаются прямые EM и BC ?
4.
Точка О не лежит в плоскости параллелограмма ABCD . Точки M и N  середины отрезков
OB и OC соответственно. Как располагаются прямая MN и плоскость ABD ?
5.
Из точки А проведены к плоскости  две наклонные AB и AC , равные 12 см и 18 см.
Найдите длины проекций наклонных, если одна из них на 10 см больше другой.
6.
Вершины А и D ромба ABCD лежат в плоскости  .Расстояние от вершины В до этой
плоскости равно 8. Вычислите периметр четырехугольника, вершинами которого являются
точки В, С и их проекции на плоскость  , если угол между стороной АВ и ее проекцией равен
60 .
7.
К плоскости ромба ABCD , в котором A  45 , AB  8 см, проведен перпендикуляр MC  7
см. Найдите расстояние от точки M до прямых, содержащих стороны ромба.
8.
Один из катетов прямоугольного равнобедренного треугольника находится в плоскости  , а
другой катет составляет с плоскостью  угол 60 . Плд каким углом наклонена к плоскости 
гипотенуза?
9.
Плоскость прямоугольного треугольника, длины катетов которого 3 и 4, образует с
плоскостью  угол 30 . Гипотенуза этого треугольника лежит в плоскости  . Найдите угол,
образуемый меньшим катетом с плоскостью  .
10. Два плоских угла трехгранного угла равны 45 , а третий плоский угол – 60 . Двугранный
угол, противоположный третьему плоскому углу равен …
101
11. Из точки, от стоящей от плоскости на расстоянии Q проведены, к этой плоскости две
наклонные с проекциями на плоскость, равными 2Q и 3Q . Сумма углов (в градусах) между
наклонными и плоскостью равна …
12. Плоскость  и  параллельны. Найдите отношение MB : MA , если EM : MF  2 : 5.
Е

F
M

13.
A
B
AA1  перпендикуляр к плоскости  , AB и AC  наклонные. Найдите x и y.
14.
А
А
x
x
12
60
А1

y
В
С
5

С
Дано: BD  5, AD  15
15.
А

b

В
a
А1
y
x
С
Прямая a перпендикулярна плоскости ABC.
16.
В
D
17.
102
9
А1
а
а
М
M
В
C
В
О
А
А
D
Дано: ABCD  ромб. AB  17 ,
AC  16, OMD  30
Найдите MD.
С
D
Дано: ABCD  параллелограмм.
BD  5, BC  3, BM  3
Найдите MA.
18. AA1  перпендикуляр к плоскости  , AB и AC  наклонные. Найдите x и y.
А
60
2
30
А1
В
x

4
С
Рис 1
19. Основанием пирамиды АВСD (рис 1) является прямоугольный треугольник АВС, у которого
гипотенуза АВ равна 29см, катет АС равен 21см. Ребро DА перпендикулярно к плоскости
основания и равно 20см. Найти площадь полной поверхности пирамиды
Перпендикулярные прямые
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
С2
8
3 2
скрещиваются
параллельны
4; 14
2 

16 1 

3

9
3
arccos
8
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
ОТВЕТЫ
2
arccos
5
10
45
2:5
13 3
69
;
2
2
5 10
atg
arcsin
, b 2  a 2  ctg 2
b
Вычислите объем правильного тетраэдра, если радиус
окружности, описанной около его грани, равен R  6 .
Решение.
1
V  S ABC  DO
3
103
16.
802
3
17.
18.
19.
5
45
1000см2
AB  R 3  6  3  3 2 . Из прямоугольного треугольника ДОС
DO  DC 2  OC 2  18  6  12  2 3 ;
1 (3 2 ) 2  3
18  3  2
V  
2 3 
9
Ответ: 9
3
4
3 4
104
105
С2
106
С2. В основании прямой призмы ABCDA1 B1C1 D1 лежит ромб ABCD , AB  61 , BD  10 .
Высота призмы равна 25. Сечение призмы плоскостью, проходящей через вершину А и
107
перпендикулярной прямой BD1 , является основанием пирамиды, вершина T которой лежит на
ребре DD1 так, что DT : TD1  2 : 3. Найти объём этой пирамиды.
Решение. 1-й способ. В сечении BB1 D1 D из точки О - центра ромба - проведём
перпендикуляр ОЕ к BD1 . Е- точка пересечения ОЕ с BB1 (см. рис. 2,3). Покажем, что
AEC  BD1 , то есть треугольник АЕС является основанием рассматриваемой пирамиды. По
построению OE  BD1 . Второй прямой, лежащей в АЕС и перпендикулярной BD1 , является
АС, поскольку AC  DD1 и AC  BD . Следовательно, АС перпендикулярна BB1 D1 D и прямой
BD1 , которая в этой плоскости лежит. Итак, пересекающиеся прямые ОЕ и АС, лежащие в АЕС,
перпендикулярны BD1 . Поэтому AEC  BD1 . Таким образом, требуется найти объём пирамиды
TAEC . Заметим, что TAEC состоит из двух равных пирамид AOET и COET ; VTAEC  2V AOET . В
качестве основания пирамиды AOET возьмём треугольник
OET . Найдём его площадь.
BOE  DD1 B   (углы со взаимно перпендикулярными сторонами, см. рис. 3).
tg 
BD 10 2

 . В треугольнике BEO
DD1 25 5
Из квадрата
BE  BO  tg  5 
2
 2.
5
DT 
2
DD1  10, EF  8.
5
BFTD получаем площадь треугольника OET вычитанием площадей трёх
Рис2.
Рис. 3
1
1
1
 8  10   5  10   5  2  30. Поскольку AO  OET , то АО –
2
2
2
высота пирамиды AOET , опущенная из вершины А. Из прямоугольного треугольника АОВ
1
AO  61  25  6. Находим искомый объём: VTAEC  2V AOET  2   30  6  120.
3
Ответ: 120.
треугольников:
S OET  100 
108
2-й способ до вычисления площади треугольника OET совпадает с 1-м (и мы не разбиваем
пирамиду на части). Далее…Высота h треугольника OET , опущенная из вершины Т,
параллельна BD1 . Поэтому h  AEC и h является высотой пирамиды TAEC . Находим
2S
1
1 1
1
искомый объём: VTAEC  S AEC  h    AC  OE  OET   6  60  120.
3
3 2
OE
3
C2. В правильной треугольной пирамиде SАВС с основанием АВС известны рёбра:
Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой,
проходящей через середины рёбер АS и ВС.
Зачёт
(по материалам ЕГЭ)
Задача №1. Вычислите объём правильной треугольной
пирамиды, если радиус описанной вокруг основания
окружности равен 3 , а высота пирамиды равна 4 3 .
Решение.
V 
1
SH .
3
1) найдем сторону основания правильной пирамиды по
формуле а  R 3 , а  3  3  3 .
2) найдем площадь основания, как площадь правильного
треугольника S 
9 3
a2  3
,S
.
4
4
3) вычислим объём пирамиды
V 
1
1 9 3
 S  H, V  
4 3  9.
3
3 4
Ответ. 9
Задача №2. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус
вписанной в основание окружности равен 3 , а боковые ребра пирамиды равны 6.
109
1
3
Решение. V  S  H
1) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше
радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. R  2r , тогда
R2 3.
2) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле а  R 3 ,
а  2 3 3  6.
3) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника S 
S
a2  3
,
4
36 3
.
4
4) из прямоугольного треугольника AOM по теореме Пифагора находим высоту
пирамиды: H  AM 2  AO2 , H  62  (2 3)2  36  12  24  2 6 .
5) вычислим объём пирамиды
V 
1
1 36 3
 S  H, V  
 2 6  18 2 .
3
3
4
Ответ. 18 2 .
Задача №3. Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной
пирамиды, если радиус описанной около основания окружности равен 3 , а высота
пирамиды равны 1.
Решение.
S
1
Ph
2
1) найдем сторону основания правильной
пирамиды по формуле а  R 3 , а  3  3  3 .
2) найдем периметр основания Р = 3·а,
Р = 9.
3) радиус вписанной в правильный
треугольник окружности в 2 раза меньше
радиуса описанной около этого треугольника
окружности, т.е. R  2r , тогда OP 
3
.
2
4) из прямоугольного треугольника МОР по
теореме Пифагора находим апофему МР:
МР  МО 2  ОР 2 ,
2
МР =
 3
3
7
  1 
1  

4
2
 2 
5) вычислим площадь боковой поверхности правильной пирамиды:
S
1
7 9 7
1
P h, S  9

.
2
2
2
4
Ответ.
9 7
.
4
Задача №4. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, сторона
основания которой равна 6, а апофема пирамиды равна 15 .
1
3
Решение. V  S  H ,
110
1) найдем радиус описанной около основания и
вписанной в основание окружностей: а  R 3 ,
R
a
R
6
3
то есть R  , r 
.
, r
2
3
3
3
2)
найдем
площадь
правильного
S
основания,
как
треугольника
площадь
S
a2  3
,
4
36 3
 9 3.
4
3) из прямоугольного треугольника МОР по
теореме Пифагора находим высоту: МО  МР2  ОР 2 , МО = 15  3  12  2 3 .
1
3
4) вычислим объём правильной пирамиды: V  S  H =
1
 9 3  2 3  18 . Ответ. 18.
3
Задача №5. Вычислите объём правильной
треугольной
пирамиды,
если
радиус
вписанной в основание окружности равен 2, а
высота правильной пирамиды равна 3 3 .
1
3
Решение. V  S  H
1) радиус вписанной в правильный
треугольник окружности в 2 раза меньше
радиуса описанной около этого треугольника
окружности, т.е. R  2r , тогда R  2  2  4 .
2) найдем сторону основания правильной
пирамиды по формуле а  R 3 , а  4 3 .
3) найдем площадь основания, как площадь
правильного
4 3 
S
2
4
3
треугольника
S
a2  3
,
4
 12 3 .
4) вычислим объём правильной пирамиды:
1
1
V  S  H =  12 3  3 3  36 .
3
3
Ответ. 36.
Задача №6. Вычислите площадь боковой поверхности правильной
четырехугольной пирамиды, если её ребра равны 5, а радиус окружности,
описанной вокруг основания равен 3 2 .
1
2
Решение. S  P  h
1) найдем сторону основания по формуле а  R 2 , т.е. a  3 2  2  6 .
2) найдем периметр основания: Р = 4а, Р = 24.
3) из прямоугольного треугольника МDР по теореме Пифагора находим апофему
МР: МР  МD 2  DР 2 ,DP =
a
,
2
тогда: МР = 25  9  16  4 .
111
4)
вычислим
площадь
боковой
поверхности
1
1
пирамиды: S  P  h =  24  4  48 .
2
2
Ответ. 48.
Задача №7. В правильной четырехугольной пирамиде
площадь боковой поверхности равна 16 2 , а площадь
основания 4. Найдите высоту пирамиды.
Решение.
1) найдем сторону основания: так как в основании
пирамиды квадрат с площадью равной 4, то сторона
квадрата равна 2, а его периметр 8.
1
2
2) по условию S  P  h = 16 2 т.е.
1
 8  h  16 2  h  4 2 .
2
3) из прямоугольного треугольника МОР по теореме
Пифагора находим высоту: МО  МР2  ОР 2 , учитывая, что ОР =
1
а = 1, получаем:
2
МО = 4 2   12  31 . Ответ. 31 .
Задача №8. Вычислите объём правильной шестиугольной
пирамиды, если сторона основания равна 4, а боковые ребра
пирамиды равны 5.
2
1
3
Решение. V  S  H
1) сторона основания правильного шестиугольника равна
радиусу описанной около него окружности т.е. a  R , R  4
2) площадь правильного шестиугольника найдем по формуле S  6  S или
S
3 3 2
a = 24 3 .
2
3) из прямоугольного треугольника МОВ найдем высоту МО:
МО  ВМ 2  ВО 2  25 16  9  3 .
1
3
1
3
4) вычисляем объём пирамиды: V  S  H =  24 3  3  24 3 . Ответ. 24 3 .
Задача №9. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2 2 ,
а боковое ребро равно 2 5 . Найдите объём пирамиды.
Решение.
V 
1
SH
3
1) найдем площадь правильного шестиугольника по формуле S  6  S или
S
3 3 2
a = 12 3 .
2
2) из прямоугольного треугольника МОВ найдем высоту МО, учитывая, что в
правильном шестиугольнике a  R : МО  ВМ 2  ВО 2  20  8  12  2 3 .
112
1
3
1
3
3) вычисляем объём пирамиды: V  S  H =  12 3  2 3  24 .
Ответ: 24.
Задача № 10. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Высота
цилиндра равна 5, а радиус его основания R удовлетворяет уравнению R2 + R – 6 =
0. Найдите объём призмы. 3 3
Решение.V = S · H
1) так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы
равна высоте цилиндра, а основание призмы вписано в
основание цилиндра, Н = 5.
2) по условию R удовлетворяет уравнению R2 + R – 6 = 0,
решая которое находим
R1 = - 3, R2 = 2, так как радиус величина положительная то 3 не удовлетворяет условию задачи.
3) найдем сторону вписанного правильного треугольника
по формуле a  R 3 , a  2 3 .
4) найдем площадь основания правильной призмы, как
площадь правильного треугольника:
 
2
a2 3
2 3  3
S
3 3
=
4
4
5) вычислим объём призмы: V = S · H = 3 3  5  15 3 . Ответ. 15 3 .
Задача №11. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Расстояние
между осью цилиндра и стороной основания призмы равно
3 . Высота цилиндра равна трем его радиусам. Найдите
объём призмы.
Решение. V = S · H
1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы
равна высоте цилиндра, а основание призмы вписано в
основание цилиндра, по условию Н =3R..
2) Расстояние между осью цилиндра и стороной основания
призмы равно радиусу вписанной в треугольник АВС
окружности, т.е. r  OP , и по условию равно 3 .
3) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше
радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. R  2r , тогда
R2 3.
4) найдем сторону вписанного правильного треугольника по формуле a  R 3 ,
a  2 3 3  6.
5) найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного
треугольника: S 
a2 3
62  3
9 3
=
4
4
6) вычислим объём призмы: V = S · H =S·3·R = 9 3  3  2 3  162.
Ответ. 162.
Задача №12. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Площадь
боковой поверхности цилиндра равна 16 . Найдите объём призмы, если сторона её
основания равна 5.
113
Решение. V = S · H
1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а
основание призмы вписано в основание цилиндра.
2) Найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного
треугольника: S 
a 2 3 25 3
=
.
4
4
3) Сторона вписанного правильного треугольника находится по формуле a  R 3 ,
тогда R 
a
5
.

3
3
4)
условию
По
площадь
т.е. 2RH  16 , откуда Н =
боковой
поверхности
цилиндра
равна
16·
8 3
16
=
.
5
2R
5) Вычислим объём призмы: V = S · H =
25 3 8 3
·
= 30. Ответ. 30.
4
5
Задача №13. Около правильной четырехугольной призмы описан цилиндр,
площадь боковой поверхности которого равна 20. Найдите площадь боковой
поверхности призмы.
Решение. S  P  Н
1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна
высоте цилиндра, а основание призмы вписано в основание
цилиндра.
2) По условию площадь боковой поверхности цилиндра равна
20, т.е. 2RH  20 , RH  10 .
3) так как призма правильная, то в её основании лежит квадрат,
со стороной a  R 2 , тогда периметр основания равен
4R 2 .
4) вычислим площадь боковой поверхности призмы S  P  Н =
4R 2  H  4 2  RH  4 2 10  40 2 .
Ответ. 40 2 .
Задача №14. В правильную четырехугольную призму вписан
цилиндр. Объем цилиндра равен 16  2 , а радиус окружности,
описанной вокруг основания призмы, равен 2 2 . Найдите
диагональ призмы.
Решение. 1) Так как цилиндр вписан в призму, то высота призмы равна высоте
цилиндра, а основание цилиндра вписано в основание призмы.
2) Так как радиус окружности, описанной вокруг основания призмы, равен
R = 2 2 , то сторона квадрата равна a  R 2  2 2  2  4 , а радиус цилиндра
равен, радиусу вписанной в квадрат окружности и равен: r 
a
2
2
3) По условию объём цилиндра равен 16  2 , т.е. r 2 H  16 2 , H 
4) Из прямоугольного треугольника АСА1 находим диагональ А1С :
114
16 2
=4 2.
r2
А1С = Н 2  2R2  32  32  64  8 .
Ответ. 8.
Задача №15. В правильную шестиугольную призму вписан цилиндр. Найдите
высоту призмы, если её площадь равна 54 3 , а радиус цилиндра равен 3.
Решение.
1) Так как цилиндр вписан в призму, то высота призмы равна
высоте цилиндра, а основание цилиндра вписано в основание
призмы.
2r
2) по условию радиус цилиндра r равен 3, тогда R 
,
3
R  2 3.
3) сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной
около него окружности, т.е. a  R  2 3 .
4) по условию площадь призмы равна 54 3 ,
т.е. Pосн.·Н + 2 Sосн=54 3 .
5) найдем периметр основания и его площадь: Р = 6·а =
= 6 ·2 3 =12 3 .
Sосн =
 
3 3 2 3 3
а 
2 3
2
2
2
 18 3 .
6) подставим полученные значения в формулу Pосн.·Н + 2 Sосн=54 3 и
получим Н = (54 3 – 36 3 ): 12 3 =1,5. Ответ. 1,5.
Задача № 16. Около правильной шестиугольной призмы описан
цилиндр. Объём цилиндра равен 16 , высота цилиндра равна 4.
Найдите объём призмы.
Решение. V = S · H
1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте
цилиндра, т.е. Н = 4.
2) по условию V  16 , т.е.
16
R 2 H  16  R 2 
,R = 2.
H
3) так как сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около
него окружности, то а = 2.
4) Найдем площадь основания призмы по
a2  3 3
формуле: S 
=6 3 .
2
5) вычислим объём призмы: V  6 3  4  24 3 .
Ответ. 24 3 .
Задача №17. Около правильной шестиугольной призмы
описан цилиндр. Объём цилиндра равен 10 . Найдите
объём цилиндра, вписанного в эту же призму.
Решение. V = S · H
1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота
призмы равна высоте цилиндра.
115
2) по условию V  10 , т.е.
R 2 H  10  R 2 Н  10 .
3) так как сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около
него окружности, то R = а.
4) выразим радиус основания вписанного цилиндра r через радиус описанного
цилиндра R : r 
3
R.
2
5) запишем формулу вычисления объёма вписанного в призму цилиндра: V = S · H,
т.е.:
V = r H
2
2
 3 
3
3
=·  R   H    R 2  H     10  7,5 .
4
4
 2 
Ответ. 7,5.
Задача №18. Около правильной четырехугольной призмы описан цилиндр. Объём
цилиндра равен 24. Найдите радиус цилиндра, если диагональ боковой грани
призмы равна 5.
Решение.
1) Так как призма правильная, то в её основании
лежит квадрат, и радиус описанной окружности R
a
равен половине диагонали АС, или R 
, где а –
2
сторона квадрата.
2
2) по условию V  24 , т.е. R H = 24, или
a2
48
R  H  24 , или H  24  H  2
2
a
2
3) из прямоугольного треугольника DCC1 найдем
СС1 = Н по теореме Пифагора:
Н = 52  а2 .
48
 25  а 2 ,
2
а
Комбинации геометрических фигур с телами вращения
4) приравняем значения для Н:
1. В конус, образующая которого равна 15 см , вписана треугольная пирамида, стороны основания
которой равны 6, 8 и 10. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.
2. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 2 3 см, высота - 3 см.
Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.
3. Найдите площадь поверхности шестиугольной призмы, в которую вписана сфера радиуса 3 .
4. Найдите ребро правильного тетраэдра, вписанного в сферу радиуса 1.
5. вокруг шара описана прямая призма, основанием которой является ромб с диагоналями 6 и 8.
Найдите полную поверхность призмы.
6. Шар вписан в усечённый конус, радиусы которого равны соответственно 8 и 2. Найдите радиус
шара.
116
7. В основании пирамиды лежит квадрат со стороной a  2 21 . Высота пирамиды проходит через
а 3
одну из сторон основания и равна
. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.
2
8. В прямую призму в основании которой лежит ромб с углом 60 вписан цилиндр, площадь
боковой поверхности которого равна 5 . Расстояние от оси цилиндра до диагонали боковой
грани равно 5 3 . Найдите объём призмы.
9. В правильной треугольной призме расположены два шара. Первый шар вписан в призму, а
второй шар радиуса ( 3  5 ) касается одного основания призмы, двух её боковых граней и
первого шара. Найдите радиус первого шара.
10. Сфера радиуса 10 проходит через вершины А и S правильной четырёхугольной пирамиды
SABCD и делит ребро SC в отношении 1:7 считая от вершины S . Найдите высоту пирамиды
SH , если её боковое ребро равно 20.
11. Сфера радиуса 3 касается всех боковых граней пирамиды в точках, лежащих на сторонах
основания пирамиды. Найдите объём пирамиды, если её основанием является ромб со стороной
4 и углом 135 .
12. Найдите радиус сферы, касающейся всех боковых рёбер правильной треугольной пирамиды и её
основания, если сторона основания равна 2., а боковое ребро равно 3.
117
Пирамида
ЧАСТЬ А
1. Каждое боковое ребро пятиугольной пирамиды образует с её основанием угол 60 и равно 6.
Найдите радиус окружности, описанной около основания пирамиды.
2. Все боковые грани шестиугольной пирамиды образуют с основанием угол 30, высота
пирамиды равна 6 3. Найдите радиус окружности вписанной в основание пирамиды.
3. Ребро SA треугольной пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания. Найдите угол (в
градусах) между плоскостями ABC и SBC, если AB=17, BC=8, AC=10.
4. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 6, а углы между смежными боковыми
рёбрами 60. Найдите объём пирамиды.
ЧАСТЬ В
5. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 2. Площадь полной поверхности равна
3 3. Найдите высоту пирамиды.
6. Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания
равной 9 и плоским углом при вершине равным 60.
7. Вычислите объём правильной четырёхугольной пирамиды, каждое ребро которой равно 2.
8. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, если боковое ребро составляет с ребром
основания угол 45, а высота основания пирамиды равна 3 6.
9. Расстояния от центра основания правильной четырёхугольной пирамиды до бокового ребра равно
4, а до боковой грани равно 3. Найдите объём пирамиды.
10. В основании четырёхугольной пирамиды квадрат со стороной 10. Все боковые грани наклонены к
плоскости основания под углом 60. Найдите радиус описанного около пирамиды шара.
11. Боковые рёбра правильной треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и равны 6.Найдите
высоту пирамиды.
12. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания 2 2, боковое ребро 2 5. Найдите
расстояние между серединой стороны основания и серединой скрещивающегося с ней бокового
ребра.
13. В пирамиде на расстоянии 5 от вершины проведена плоскость, параллельная основанию
пирамиды. Найдите высоту пирамиды, если площади основания и сечения соответственно равны
25 и 16.
14. В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит высоту в отношении 1:1. Площадь
основания больше площади сечения на 381. Найдите площадь основания.
ЧАСТЬ С
15. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна
4 2. Боковое ребро SC=2 перпендикулярно плоскости основания. найдите расстояние и угол
между прямыми SE и CD, если E и В – середина рёбер BC и AB соответственно.
16. В правильном тетраэдре ABCD определите угол между гранями ABC и ABD.
17. В правильном тетраэдре ABCD определите угол между прямой AD и прямой CM, содержащей
меридиану основания ABC.
18. В правильной четырёхугольной пирамиде углы между боковыми рёбрами, лежащими в одной
грани, равны 60, длина бокового ребра – 4. Через середину высоты проведено сечение,
перпендикулярное боковому ребру. Найдите площадь S сечения. В ответ запишите значение 2S.
118
Призма
ЧАСТЬ А
1. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, длина диагонали которого равна 13, а длины
диагоналей боковых граней 4 10 и 3 17.
2. Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 и 4. Диагональ его наклонена
к плоскости основания под углом 45 . Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
3. В прямом параллелепипеде стороны основания длиной 2 и 8 образуют угол 30 . Площадь боковой
поверхности равна 10. Найдите объём параллелепипеда.
4. Найдите объём правильной треугольной призмы, если длина основания – 2, а площадь боковой
поверхности равна сумме площадей оснований.
5. Найдите сумму длин диагоналей куба с ребром равным 2.
ЧАСТЬ В
ABCDA1B1C1D1 проведено сечение. В каком отношении оно
6. Через вершины A1, C1, D куба
разделило объём куба?
7. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна 1 и составляет с
одной боковой гранью угол 30 , а с другой боковой гранью угол 45.
8. Основание призмы - квадрат со стороной 1. Одна из боковых граней - также квадрат, другая – ромб
с углом 60 . Вычислите полную поверхность призмы.
9. В основании прямой призмы лежит треугольник со сторонами 5,5 и 8 см . Через большую сторону
нижнего основания призмы и середину бокового противоположного ребра проведена плоскость,
образующая угол 30 с основанием призмы. Вычислите площадь сечения.
10. Найдите площадь поверхности прямой призмы высотой 8 см , если в основании её лежит
равнобокая трапеция с острым углом 45 , одно основание которой больше другого на 6 см , а
средняя линия равна 8 см .
11. В треугольной призме каждое ребро равно 1. Одна из вершин верхнего основания имеет своей
проекцией точку пересечения медиан нижнего основания. Найдите боковую поверхность призмы.
12. В кубе ABCDA1B1C1D1 длина ребра равна 3 . Найдите расстояние между прямыми CB1 и A1B .
13. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между диагональю DB1 и плоскостью ABC .
14. Высота прямой призмы ABCA1 B1C1 равна 12.Плоскость ACB1 наклонена к плоскости основания
ABC под углом 45 . Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ABC  90,BC  15.
ЧАСТЬ С
15. Пусть ABCA1 B1C1 – треугольная призма. Её основанием является равносторонний треугольник со
 A1 AB  60 . Найдите высоту призмы, если AA1  1 .
стороной 2, AAC
1
16. В правильной четырёхугольной призме площадь основания равна 117, а боковое ребро- 2 13 .
Найдите расстояние между стороной основания и диагональю призмы, не пересекающейся с ней.
119
Цилиндр. Конус. Шар
ЧАСТЬ А
1. Радиус основания конуса равен 2, через середину высоты конуса проведена плоскость,
параллельная основанию. Найдите площадь сечения.
2. Высота конуса равна 2 3, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60 . Найдите
боковую поверхность конуса.
3. Диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом 45. Площадь
основания цилиндра равна 100 . Найдите площадь поверхности цилиндра.
4. Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник. Площадь полной поверхности конуса равна
18cм 2 . Найдите площадь основания конуса.
5. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Площадь основания конуса равна 9 см2 .
Найдите боковую поверхность конуса.
ЧАСТЬ В
6. Площадь сечения шара равна 80 см2 . Секущая плоскость удалена от центра на 8см. Найдите
объём шара.
7. Линия сечения сферы и плоскости имеет длину 12 см. Найдите расстояние от центра сферы до
плоскости, если диаметр сферы равен 16 см.
8. В шаре радиусом 13см проведены два взаимно перпендикулярных сечения на расстоянии 4 и
12 см от центра. Найдите длину общей хорды сечений.
9. Длина окружности основания цилиндра равна 8 см, а диагональ осевого сечения - 10 см.
Вычислите объём цилиндра.
10. В цилиндре диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны. Вычислите площадь боковой
поверхности цилиндра, если высота его равна 10см.
256 3
см . вычислите площадь его поверхности.
11. Объём шара равен
3
12. Образующая конуса равна 6, а угол развёртки его боковой поверхности равен 60.
Вычислите объём конуса.

13. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол . Расстояние от центра основания
3
до образующей равно 8. Найдите объём конуса.
14. Цилиндр и конус имеют общее основание радиусом 6 3. Угол при вершине осевого сечения
конуса равен 120. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если он имеет равный объём
с конусом.
15. В полушар радиусом 9 вписан цилиндр с квадратным сечением так, что его высота принадлежит
оси вращения полушара. Найдите объём цилиндра.
ЧАСТЬ С
16. Радиусы оснований усечённого конуса равны 5 см и 2 см, Высота конуса 4 см. Найдите
центральный угол (в градусах) в развёртке боковой поверхности конуса.
17. Радиусы основания усечённого конуса равны 50 и 10. через две его образующие проведено
сечение, отсекающее от окружности оснований дуги 90 и образующие с плоскостью оснований
угол 60. Найдите площадь сечения.
18. Сфера касается граней двугранного угла, величина которого равна 60. Найдите радиус сферы,
если расстояние от её центра до ребра двугранного угла равно 26 см.
19. Угол при вершине в осевом сечении конуса равен 60. Центральный угол в развёртке боковой
поверхности конуса равен…
120
ОТВЕТЫ
Комбинации геометрических фигур с телами вращения
1. 75
2.
3 2 1

7. 4 3
8. 100
9. 2
10. 15
11. 16 2
12. 12

3. 18
2
3
4. 2
5. 72
6. 4
Призма
10. 176  48 2
11. 1  3
12. 1
1
13. arctg
2
14. 720
2
15.
3
16. 6
1.
2.
3.
4.
5.
6.
144
70
4
1
8 3
1:5
2
7.
8
8. 4  3
9. 6 3
Цилиндр. Конус. Шар
1. 
2. 8
3. 400
4. 6
5. 9 2
6. 1304
7. 2 7
8. 6
9. 96
10. 100
11. 64
12.  35
13. 256
14. 24 3
5832 5
100
16. 216
17. 75
18. 13
19. 180
15.
Пирамида
1.
2.
3.
4.
5.
3
18
60
144
1 5
6. 81 3
2
7.
3
8. 72
9. 9
10 3
10.
3
11. 4 3
12. 3
13. 6,25
14. 508
2 3
; 45
15.
3
121
16. arccos
17. arccos
18. 10
1
3
3
6
Занятие 63-64 Учимся на чужих ошибках. Типичные ошибки выпускников на
внутренних экзаменах
Цель:
1) Арифметические ошибки при вычислениях ошибки,
связанные с незнанием или с неправильным
использованием формул;
2) ошибки, допускаемые из-за незнания алгоритма
решения задач конкретного типа
Занятие 65-68 Пробный экзамен в форме ЕГЭ
Цель:
122