Управление сложными колебаниями гибких вязкоупругих пластин

УДК 539.3
УПРАВЛЕНИЕ СЛОЖНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ
ГИБКИХ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИН
В. А. Крысько, И. В. Папкова, М. В. Жигалов, М. И. Коч
Саратовский государственный технический университет, Саратов, Россия
Анализу хаотических колебаний конструкций посвящены работы [1–5], но в
известной литературе отсутствуют публикации по управлению колебаниями с учетом
вязкоупругих свойств материала.
В работе построена теория управления сложными колебаниями гибких вязкоупругих
пластинок. Из вариационных принципов получены исходные дифференциальные
уравнения теории гибких пластинок кинематической модели Кирхгофа с учетом
вязкоупругих свойств материала. Вязкоупругие свойства учитываются с помощью трех
моделей вязкоупругой среды: модели Кельвина-Фойхта, модели Максвелла и модели
Больцмана. Полученные системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в
частных
производных
сводятся
к
системам
обыкновенных
нелинейных
дифференциальных уравнений методами Бубнова-Галеркина в высших приближениях,
методом конечных разностей с аппроксимацией О(h2) по пространственным переменным
и конечного элемента в форме Бубнова-Галеркина. Система обыкновенных
дифференциальных уравнений по времени решается методом Рунге-Кутта четвертого
порядка. Для исследования сложных колебаний применяется качественная теория
обыкновенных дифференциальных уравнений. Используется анализ сигналов, фазовых и
модальных портретов, сечений Пуанкаре, автокорреляционных функций, анализ знаков
Ляпуновских показателей, Фурье-анализ и вейвлет-анализ.
В качестве примера рассмотрим управление хаотическими колебаниями гибких
упругих пластинок кинематической модели Кирхгофа. Исходными уравнениями являются
уравнения Кармана:
4
4
2
2
 1 4w
1
 w 
 F
 w
w
2  w
2


 2 2 2   k y 2  L( w, F )  2  
 k y q( x, y, t )  0,
2  2
4
4
t
12(1   )   x
y
x y 
x
t
1  F
4
 x
2
 w F
2
где L( w, F ) 
2
x y
2
2
4

y
 w F
2

 F
4
4
2
2
y x
2
 F
4
2
2
x y
2
2
x
2

1
L( w, w)  0 ,
2
 w  F
– известный нелинейный оператор.
xy xy
2
2
 w
2
 ky
2
В работе рассмотрен один тип граничных условий – шарнирное опирание по торцам с
присутствием на торцах гибких ребер:
2w
2 F
w  0,

0,
F

0,
 0 при x  0;1
x 2
x 2
(1)
2w
2 F
w  0,
 0, F  0,
 0 при y  0;1
y 2
y 2
и начальными условиями w  w  0 .
Уравнения приведены к безразмерному виду обычным образом. Внешняя нагрузка
q  q 0 sin  p t  .
В методе Бубнова-Галеркина система аппроксимирующих функций для краевых
условий (1)
Mx My
Mx My
i 1 j  0
i 1 j  0
w   Aij (t ) ij ( x, y ), F   Bij (t ) ij ( x, y ) ,
где  ij ( x, y )   ij ( x, y )  sin( ix) sin( jy) .
Для анализа сложных колебаний пластинок и управления ими строятся карты
характера колебаний q 0 ,  p . Область q 0 ,  p  разбивается на m n частей (m = 300,
n = 300) и для каждой точки этой области делается анализ выше описанных
характеристик, то есть для построения этих карт следует решить и проанализировать
4
9 10 вариантов задач.
В таблице 1 приведены спектр Фурье и фазовый портрет для заданной точки А с
координатами 850;16.6 и карты характеров колебаний для квадратной пластинки,
полученные с использованием метода Бубнова-Галеркина в 1 и 5 приближении, а также
методом конечных разностей при разбиениях 8х8 и 16х16.
Как видно из таблицы характер колебаний существенным образом зависит от выбора
количества членов ряда в методе Бубнова-Галеркина и количества разбиений в методе
конечных разностей. Для одночленного представления функций в методе БубноваГалеркина ( M x  M y  1 ) и при малом разбиении в методе конечных разностей (8х8)
колебания являются гармоническими. С увеличением количества членов разложения
основных функций в методе Бубнова-Галеркина ( M x  M y  5 ) и увеличении количества
разбиений области в методе конечных разностей (16х16) колебания становятся
хаотическими, но хаос по своей структуре разный. Так спектр Фурье для МКР показывает,
что переход к хаосу происходит в результате бифуркаций удвоения, в то время как для
МБГ этого не наблюдается. Решение задач нелинейной динамики пластин следует
проводить разными по своей структуре методами для того, чтобы исключить
вычислительную погрешность, то есть в данной задаче в точке А карты колебаний мы
получаем хаотические колебания. Рассматривая карту характера колебаний можно
подобрать частоты и интенсивность поперечных нагрузок, при которых колебания
являются хаотическими или гармоническими, то есть построение таких карт дает
возможность избежать областей, неблагоприятных для колебаний пластинчатых систем.
Это есть один из подходов управления нелинейными колебаниями.
Таблица 1
Спектр Фурье
Фазовый портрет
Карты характеров
колебаний q 0 ,  p 
МБГ
1
прибл
МКР
8х8
МБГ
5
прибл
МКР
16х16
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант МК-3877.2009.8).
ЛИТЕРАТУРА
1. Awrejcewicz J., Krysko V. A. Nonclassical thermoelastic problems in nonlinear
dynamics of shells. – Springer, 2003. – 427 p.
2. Awrejcewicz J., Krysko V.A., Vakakis A. Nonlinear dynamics of continuous elastic
systems. – Springer, 2004. – 341 p.
3. Awrejcewicz J., Krysko V.A., Krysko A.V. Thermo-dynamics of plates and shells. –
Springer, 2007. – 777 p.
4. Awrejcewicz J., Krysko V.A. CRC Series: Modern Mechanics and Mathematics.
Introduction to asymptotic methods. – Chapman&Hall/SRC London, New York, 2006. – 251 p.
5. Awrejcewicz J., Krysko V.A. Chaos in Structural Mechanics. – Springer. 2008. – 434 p.