Полнотекстовый файл - Современные проблемы науки и

№ 1, 2011
Современные проблемы науки и производства
УДК 532.529
О МЕХАНИЗМЕ ВЫБРОСА ЖИДКОСТИ (КРОВИ) ИЗ КОНУСООБРАЗНОГО
КОЛЛАПСОБИЛЬНОГО СОСУДА
д.ф.-м.н., проф. Наврузов К.Н.
Ургенчский государственный университет, Республика Узбекистан.
Статья содержит более обобщённые задачи, при которых рассматриваются, выбросы
крови из конусообразного сосуда за счет сокращения стенок. Подобные процессы
наблюдаться при движении крови в крупных венозных кровеносных сосудах, а также
выбросы крови из желудочек сердца. Для описания процесса, о выбросе крови из
конусообразного сосуда, использовано уравнение Навье–Стокса и уравнение
неразрывности. После упрощения уравнений, решены задачи и найдены формулы для
распределения градиента давления, скоростей и расхода крови. Для качественного и
количественного анализа рассмотрен случай, когда стенка сосуда коллапсируется по
заданному закону.
Выявлено, что в конусообразном плоском сосуде, вытесняемый расход Q2 со
стороны расширенного участка превышает, относительно расход Q1 со стороны
суженного участка в зависимости от отношения ширины сосуда на концах.
MECHANISM OF THROWING THE BLOOD FROM CONE SHAPED
COLLAPSIBLE VESSEL
Navruzov K.N.
Of Urgench state university (Republic of Uzbekistan)
The article contains most general tasks, by the help of which, the throwing of blood from
cone shaped flat vessel because of reducing walls are considered. Similar processes are observed
in moving of blood in large venues blood vessels, beside that throwing of blood from heart
ventricles . For process description, about blood throwing from cone shaped flat vessels, its used
equations of Navies Stokes and equation of indissolubleness. After simplifying of equations,
the tasks were solved and formulas, for pressure gradient, velocities and blood expenses are
found. For qualified and quantities analysis its regarded the case, when the wall of vessel is
collapsing on admitted law.
Its revealed that in cone shaped flat vessel superseded expense Q2 from widening area
exceed relative expense Q1from the side narrowed area depending from the attitude width of
vessel on the ends.
Статья содержит более обобщённые
задачи, при которых рассматриваются,
выбросы крови из конусообразного сосуда
за счет сокращения стенок. Подобные
процессы наблюдаются при движении
крови в крупных венозных кровеносных
сосудах, а также при выбросе крови из
желудочков
сердца.
Для
описания
процесса,
о
выбросе
крови
из
конусообразного сосуда,
использованы
уравнения
Навье
–Стокса
и
неразрывности.
После
упрощения
уравнений, решены задачи и найдены
формулы для распределения градиента
давления, скоростей и расхода крови.
Для
качественного
и
количественного
анализа
рассмотрен
случай,
когда
стенка
сосуда
коллапсируется по заданному закону.
Выявлено, что в конусообразном плоском
и цилиндрическом сосудах вытесняемый
расход Q2 со стороны расширенного
участка, превышает Q1, относительного
расхода со стороны суженного участка в
зависимости от отношения ширины сосуда
на концах.
1
№ 1, 2011
1. Выброс вязкой жидкости из
конусообразного
коллапсобильного
плоского и цилиндрического сосудов
предоставляет интерес в моделирование
динамика сердечного выброса крови из
левого или правого желудочков. Также
описание движение крови в венозных
сосудов, где активно работает входные и
выходные клапаны в мелких сосудах. В
настоящие времени в литературе очень
редко встречается работа посвященные к
исследованию механизма работы сердца
как насос, а не как мышцы[1-3]. Как
известно сердца состоит из двух насосов
соединенных
друг
с
другом
последовательно, т. е. так что выход
одного оказывается, в конечном счете,
вход второго, а выход второго выходом
первого. Поскольку эмбриологическим оба
этих
насосов
развиваются
путем
дифференцировки единой структура, что
они тесно связаны анатомически и имеет
ряда общих свойств, так как у них единых
механизм возбуждения, обеспечивающий
почти синхронное действие обоих насосов.
Кроме этого, сходным является также
расположение камер и наличие клапанов
одностороннего
действия.
Ниже,
сердечные камеры и венозные сосуды
предполагаются,
как
плоской
и
цилиндрической трубки, стенки которой,
коллапсируется
по
периодическому
заданному
закону
по
времени
и
продольной координаты.
2. Будим рассматривать течения
жидкости в коллапсобильных сосудах,
которое частично или полностью вызывается
происходящими
определённым
образом
перемещениями
стенки
(проталкивание
жидкости
за
счет
периодического сокращения стенок) [1-4].
В общем случае на течение оказывает
влияние и зависящей от времени перепад
давлений на концах сосуда. Этот процесс
могут наблюдаться проталкивание крови в
венозных сосудах. В желудочках сердце
активно работает входной и выходной
клапаны. Поэтому здесь выброс кровь
осуществляется только за счёт сокращение
стенок желудочков.
Пусть
несжимаемая
вязкая
ньютоновская жидкость движется в
Современные проблемы науки и производства
сосуде, стенки которой есть заданная
функция r=R(x,t). Между входным и
выходным
сечениями
сосуда
поддерживается
разность
давлений,
которую можно задать в виде[1].
P(t)=P(x1,0,t) – P(x2,0,t)
(1)
Течение симметрично по продольной
оси и описывается уравнениями НавьеСтокса и уравнение неразрывности в
декартовой и цилиндрической системы
координат.
Для
упрощение
задачи
считается, что продольная скорость
намного больше, чем поперечной и длины
сосуды больше чем ширина. Также
считается, что безразмерное колебательного число Рейнольдса, намного меньше
чем единицы. Будем пренебречь любыми
движениями жидкости в при сокращении
его стенки. Для желудочках сердца
течения вязкой жидкости в сосуде
происходит только за счет перемещении
стенки по поперечному направлению.
Здесь кровь считается ньютоновская
вязкая
жидкость,
а
их
течение
ламинарное[5-8].
Пусть R0- радиус сосуды, 2L0-длины,
t-характерные времени, U, V и Pхарактерные значения продольной и
поперечной скоростей и давления, причем:
R
L
(2)
U  ,V  0 , p  UL / R0
T
T
При условий что,
V/U<<1, R0/L<<1, Re=µUL/R0<<1
(3)
Оценивая члены уравнений НавьеСтокса и уравнения неразрывности [4],
получим упрощенной системы уравнений
P
1    P
u
1   (4)
x

r r
(r
r
),
r
 0,
x

r
(r
r
)
где Р-гидродинамическое давление,
x,r-продольные и радиальные координаты,
µ- динамический коэффициент вязкости,
u,v-продольные и поперечные скорости, Vхарактеризует геометрические формы
камеры, v=0 соответствует плоскому, v=1цилиндрическому сосудах.
Как выше было упомянуто, что
деформации стенки в общем случае
считается заданной функцией, зависящей
от времени и от продольной координаты
R(x,t).
№ 1, 2011
Современные проблемы науки и производства
Граничные условия на стенке и на
оси запишем в виде:
R( x, t )
при
r=
u  0, 
инерционные силы, как исследовало
ожидать, этот вклад не завесить явно от
коэффициента
вязкости.
Однако,
вытисняемые расходы из сосудов завесить
от свойства и структуры жидкости, через
градиента давления. Из формулы (9),
видно, что именно члены, содержавшие Fτ
в формуле, для определения градиента
давления, зависит от вязкости и формы
сосудов.
3. Для качественного анализа
рассмотрим выброс жидкости из плоского
конусообразного
коллапсобильного
сосуда, стенки которой определяется
формулой
h( x, t )  a  bx   m cos t
(10)
h  h , h1 -входной и h 2 где
h2  h1 ,
b 2 1
t
R(x,t)
при
u
 0,  0
r
r=0
(5)
В начальном и конечном сечении
сосуда поддерживается разность давлений,
которую можно определить с помощью
формулой (1).
Решения системы уравнений (3) при
граничных условий (4), имеют вид
u

1
p 2
(r  R 2 ( x, t ))
2(  1)  x
1
1  p  1
( r ((  1)r 2  (  3) R 2 ))
2(  1)(  3)  r x x
(6)
Связь между P(x,t) и R(x,t)
получается
после
интегрирования
уравнения неразрывности соотношением
(7)
R 1
1
  3 P

t
 (  1)(  3) x
(R
x
a
выходной радиусы,
2 L -длинa,  m максимальные отклонение стенки от
равновесия,  -частота колебания.
Пусть
выброса
жидкости
осуществляется из плоскопараллельного
сосуда, образованные между двумя
колеблющимися
параллельными
плоскостями
конечной
длины,
расположенного на расстоянии 2h0 (рис.1).
В
этом
случае
h(x,t)
функция,
определяющая перемещение стенки не
зависит от продольной координаты.
Поэтому при условии, что h1=h2 и
учитывая, что h-не завысить от x, находим
из (8) при v=0, формулы для определения
градиента давления
p 3 h
p(t )
(11)

x
)
При заданной зависимости R(x,t). Это
уравнения легко интегрируется и даёт в
итоге с учётом (4) формулы для P .
x
F R ( 3
P  (  1) 2 (  3) 

 F 
 3
x
R
R 3

(8)
где
f 

P(t )

 3
(
x

x
)
R
R ( 3)

2
1
,
 R
1 x2
dx
fdx F   R

t
x2  x1 x1
Затем можно вычислить расход
жидкости через сечения x=-L и x=L за
период время t.
TR
(9)


G  2
  r udrdt  G1  G2  G3
x
00
T
,
T
G1  2   F dt G2  2  
0
G3 
0


F R
R
( 3)
( 3)
T
dt
R
h 3 t
x2  x1
Из формулы (11) при p(t)=0, получим
изменение градиента давления за счет
перемещения стенок.
p 3 h
(12)

x
,
P(t )dt
 (  1)(  3)( x2  x1) 0 R ( 3)
x
h 3 t
Отсюда следует, что при x=0
градиент давления будет равен нулю,
следовательно,
протекающий
расход
жидкости, через сечения соответствующей
точке x0  0, также будет равен нулю.
Используя, эти условия в работах[1-10],
решены задачи, что течения жидкости
осуществляются
симметрично
по
вертикальной и горизонтальной оси. При
Здесь в формуле (9) G3-есть обычное
выражение между перепадом давления и
расходом при квазипуазейловском течении
в сосуде с гидравлическим радиусом
1
( 3)  3 .
2L
2
Остальные слагаемые в (9)
G1 и G2 отражает вклад в расход от
перемещения
стенок
сосудов.
В
приближении,
не
учитывающем
3
№ 1, 2011
Современные проблемы науки и производства
таких симметриях в работах [10] решении
задачи о движении жидкости в плоских и
цилиндрических трубах с колеблющимися
стенками, и, доказаны, что вытесняемые
расходы начальном и конечном сечениях
равны, т.е. |Qx=- L=Q|, при p(t)=0. Для
удобства,
сечения
соответствующего
нулевого расхода, в дальнейшим будем
называть «мёртвым сечением» и её
продольная координата обозначим через
xm. Если сосуд имеет конусообразную
форму, то «мертвое сечение» не всегда
находится в точке xm=0 (рис.2).
Рис.1.
Следовательно, в
Q x L  Qx L . Поэтому
Рис.2.
этом случае
при решении
задачи, учет конусообразности имеет
весьма важную роль. С этой связи, считая,
что h1<h2 и интегрируя (8) в интервале (-L,
L), находим при p(t)=0 и v=0
p 3 h
bL2
 3
(x 
)
x h t
a1
Где b  h2  h1 ,
2L
a1 
(13)
h2  h1
  m cos t ,
2
h( x, t )  a1  bx
p
 0 , когда
x
bL2
x
 0 , так как 33 . h  0 . Отсюда,
a1
h t
находим
Из
(13),
будет
bL2 .
(14)
a1
Используя значения a1 и b, из
формулы (14) находим
(h2  h1) L
(15)
x 
xm  
(h2  h1 )  2 m cos t
Здесь   2 m cos t  2 m . Поэтому
xm/L - имеет максимальное значение при
σ=2δm,
x
h2  h1
,
(16)
( m ) max  
L
h2  h1  2 m
m
и при σ = -2δm минимальное значение,
(
xm
h2  h1
) min  
L
h2  h1  2 m
(17)
Используя формулы (15) и (16)
построено графики функции (xm/L)max и
xm/L)min в зависимости от отношения
ширины сосуда расширенной участке к
суженному (h2/h1) (рис.3).
Из графика видно, что «мёртвое
сечение» с ростом (h2/h1) приближается к
суженному
сечению
сосуда,
это
свидетельствует о том, что вытесняемый
расход
жидкости
со
стороны
расширенного
участка
Q2
намного
превышает,
относительно
суженного
участка Q1 (рис.4).
4. Теперь рассмотрим выбросы
жидкости
из
цилиндрического
конусообразного
коллапсобильного
сосуда, стенки которой определяется
формулой
(18)
R( x, t )  a  bx   m cos t
где a  R2  R1 , b  R2  R1 , R1-входная и
2
2L
R2-выходные радиусы сосуда, 2L-длина,
δm-максимальное отклонение стенки от
равновесия,ω-частота колебания. Пусть
выброс жидкости осуществляется из
прямой цилиндрической сосуде (рис.5.). В
этом
случае
R(x,t)
функция,
определяющая перемещение стенки не
зависит от продольной координаты.
Поэтому при условии, что R1=R2 и
учитывая, что R-не завысить от x ,
№ 1, 2011
Современные проблемы науки и производства
Рис.3.
Рис.4.
находим из (8) формулы для определения
градиента давления
p 8 R 2
p (t )
(19)
 4
x
x R t
x2  x1
Из формулы (19) при p(t)=0,
получим изменение градиента давления за
счет перемещения стенок.
p 8 R 2
(20)

x
x
вертикальной и горизонтальной оси. При
таких симметриях в работах [10-14]
решении задачи о движении жидкости в
плоских и цилиндрических трубах с
колеблющимися стенками, и доказаны,
что вытесняемые расходы начальном и
конечном
сечениях
равны,
т.е.
при
p(t )  0 . Для
Q x  L  Q x  L
удобства,
сечения
соответствующего
нулевого расхода, в дальнейшим будем
называть «мёртвым сечением» и её
продольная координата обозначим через
xm .
Если сосуд имеет конусообразную
форму, то «мертвое сечение» не всегда
находится в точке xm = 0 (рис.6.)
R 4 t
Отсюда следует, что при x  0
градиент давления будет равен нулю,
следовательно,
протекающий
расход
жидкости, через сечения соответствующей
точке x0=0 также будет равен нулю.
Используя, эти условия в работах [1-14],
решены задачи, что течения жидкости
осуществляются
симметрично
по
Рис.5.
Рис.6.
R

R
1
где b  2
,
2L
R  R1
a  2
  cos t ,
Следовательно, в этом случае
Q x L  Qx L . Поэтому при решении
задачи,
учет конусообразности имеет
весьма важную роль. С этой связи, считая,
что R1 < R2 и интегрируя (8) в интервале (L, L), находим при p(t)=0
p 8 R
bx 2 7a12bL2  3b 3 L4
x

R 4 t
(a1 x 
2

6a12  2b 2 L2
1
2
m
R( x, t )  a1  bx
Из (21), будет (∂p/∂x) =0, когда
bx 2 7a12bL2  3b 3 L4
(22)
a1 x 

0
2
2 2
2
6a1  2b L
так как (8μ / R4) ∙ (∂К / ∂t) ≠0. Отсюда,
находим решения квадратное уравнение
)
(21)
5
№ 1, 2011
Современные проблемы науки и производства
(22) для каждого (R2/R1) при (δm /R1) =0,5
и |δm∙ cos ωt| ≤ δm
R
R2
x2 m ( 2 )
)
R1
R
R1
R и
 2 ( 2 )
 1 ( 2 )
L
R1
L
R1
x1m (
(23)
Здесь σ = |δm∙ cos ωt| ≤ δm. Поэтому,
(x1m/L) - имеет максимальное значение при
σ = δm, его обозначим через - (x1m/L)max, а
при σ =- δm минимальное, и его тоже
обозначим через-(x1m/L)min. В оба случаях
квадратное
уравнение
имеет
две
действительные корны. Анализируя эти
корны
с
точки
зрения
реальных
рассматриваемых объектов, приходим к
выводу, что одну корен находится в
рассматриваемые области, а другая вне
него. Поэтому для качественного анализа
берём только, те корны, которые
находится в рассматриваемой области.
Исходя из этих соображения, используя
решения уравнение (22) в виде (23),
построено графики функции (x1m/L)max и
(x1m/L)min в зависимости от отношения
радиусов сосуда, радиус расширенной
Рис.7.
Другое важное приложение имеет,
полученный эффект, при выбросе крови из
желудочков. Так как, оба этих желудочков
имеют полой конусообразной формы. При
сокращении стенки желудочков основное
содержимое крови проталкивается со
стороны расширенной области желудочки.
При этом конусообразность сосудов
соблюдает без вихревых течений, и
обеспечивает
минимальной
потери
энергии. Отклонение желудочков от
конусообразной
формы
приводит
существование
внутри
желудочки
вихревого течения. Это приводит к
участке к радиусу суженному (R2/R1)
(рис.7.).
Из графика видно, что «мёртвое
сечение» с ростом (R2/R1) приближается к
суженному
сечению
сосуда,
это
свидетельствует о том, что вытесняемый
расход
жидкости
со
стороны
расширенного
участка
Q2
намного
превышает,
относительно
суженного
участка Q1. (рис.8.).
Полученный эффект при выброса
жидкости из плоского и цилиндрического
конусообразного
коллапсобильного
сосудах имеет практическое применение:
для перекачки крови крупных венозных
кровеносных сосудов, а также выброса
крови из желудочков сердца (левого и
правого). Любая деформация, приводящая
к
сжимаемости
венозных
сосудов,
вытесняет
содержимое
крови
по
направлению
расширенной
стороны
сосуда, т.е. к сердцу. Следовательно,
любое механическое движение, массаж,
физическая
упражнения,
вибрация
улучшает венозного кровотока.
Рис.8.
повышению внутреннего давления, что
существенно влияет на ритмическое
сокращение сердца, и могут быть
причиной
возникновения
сердечных
болезней, таких как аритмия, ишемическая
болезнь и инфаркт миокарда.
Список использованной литературы
1. Наврузов К. Гидродинамика
пульсирующих течений в трубопроводах .
Ташкент: Фан, 1986. 112 с.
Современные проблемы науки и производства
№ 1, 2011
7. Повловский Ю.Н., Регирер С.А.,
Скобелева И.М. Гидродинамики крови //
Итоги науки. М.: ВИНИТИ, 1970, с.7-96
8. Гидродинамика кровообращения.
Сб. переводов, М.: Мир, 1971, 269 с.
9. Наврузов К., Хакбердиев Ж. Б.
Динамика неньютоновских жидкостей.
Ташкент: Фан, 2000. 246 с.
10.Наврузов
К.Н.,
Якубов
Б.С.Гидродинамические
особенности
течения вязкой жидкости в круглой
цилиндрической трубе с периодически
колеблющимися
стенками.//Материалы
межд.
научно-технической
конф.
посвященной 70-летию академика Т.Ш.
Ширинкулова. Самарканд, 2007, с 70-73.
2. Uchida S., Aoki H. Unsteady flows
in a semi – infinite contracting or expanding
pipe // J. Fluid. Mtch. 82, 1977, pp 371-387.
3. Scomb T.W. Flow in a channel with
pulsating walls //J.Fluid.Mech., 1978,vol.88
Part 2, pp 273-288.
4. Skalak F.M. and Wang C.Y. On the
unsteady squeezing of a viscous fluid from a
tube //J. Austral. Math. Soc.21(Series B).
1979 , pp 65-74.
5. Педли Т. Гидродинамика крупных
кровеносных сосудов М. Мир. 1983. 400с.
6. Файзуллаев Д.Ф., Наврузов К.
Гидродинамика пульсирующих потоков.
Ташкент: Фан, 1986. 192 с.
7