MAIN

Артемьев В.М., Наумов А. О. (Институт прикладной физики НАН Беларуси)
Йениш Г.-Р. (Федеральный институт исследования и испытания материалов, Берлин)
Реконструкция динамических изображений в томографии процессов
ВВЕДЕНИЕ
Изображение является одной из форм представления информации и играет важную
роль в современной науке и технике, где оно выступает как результат проведенных
измерений. Способы формирования и передачи изображений используют почти весь
диапазон электромагнитного излучения: видимый свет, СВЧ, инфракрасные и ультрафиолетовые волны, рентгеновские и гамма-лучи, а также упругие волны в сплошных средах. При решении современных задач приходится использовать все больший
объем информации об исследуемых объектах и явлениях, поступающей в систему обработки изображений. Чтобы извлечь эту информацию, необходимо совершенствовать
способы и методы обработки изображений. Для этого применяется широкий набор
технических средств: компьютеры, телевизионные, оптические, электроннооптические системы. Несмотря на разнообразие этих средств, общими для них являются алгоритмы обработки, позволяющие решать такие задачи, как восстановление,
реконструкция, анализ, кодирование, сжатие, синтез изображений и ряд других.
Под восстановлением понимается улучшение качества изображений, искаженных в
процессе их формирования, передачи и регистрации. К настоящему времени число
монографий, книг и обзорных статей по восстановлению изображений столь велико,
что не представляется возможным дать сколько-нибудь подробный их перечень. Лишь
к некоторым из них авторы по тем или иным причинам обращались в процессе своей
работы [68, 110, 124, 179, 147].
Реконструкция изображений предполагает их восстановление по неполным данным. В
составе этой проблемы особое место занимает задача реконструкции изображений по
проекциям в целях компьютерной томографии внутренней структуры объектов. Прикладная направленность предлагаемой монографии связана именно с этой задачей.
Впервые потенциальные возможности рентгеновской компьютерной томографии были
изучены в медицине [140]. Исследованиями проблем реконструкции изображений в
медицинской диагностике занимался А. М. Кормак, который предложил алгоритм реконструкции с использованием разложения многомерной функции в ряд [91]. Первый
рентгеновский компьютерный томограф был разработан Дж. Н. Хаунсфилдом для исследования структуры головного мозга человека [109]. Работы А. М. Кормака и Дж. Н.
Хаунсфилда отмечены в 1979 г. Нобелевской премией в области физиологии и медицины. Фундаментальные теоретические результаты в этой области впервые опубликованы в монографиях [58, 35]. Компьютерная томография в медицине продолжает
интенсивно развиваться, находя все новые области применения [122, 98, 179].
В неразрушающем контроле применение томографических методов позволяет решать
следующие задачи: получение изображения внутренней структуры изделий произвольной сложности, измерение геометрических размеров внутренних узлов, обнаружение локальных дефектов [181, 17, 99]. Подобные методы нашли применение в астрофизике, сейсмологии, исследованиях ионосферы и др. [86, 79, 66].
Исходными данными для томографии являются результаты проекционных измерений
исследуемых объектов. По способам получения этой информации томографические
системы подразделяются на трансмиссионные и эмиссионные. В трансмиссионных системах с помощью источника излучения, лежащего вне объекта или на его поверхности, осуществляется «просвечивание» объекта, а в эмиссионных источником излуче1
ния служит сам объект или отдельные его части. Для наблюдения проекций используются различные физические принципы, однако сущность их одинакова — взаимодействие излучения с веществом объекта и измерение результатов этого взаимодействия тем или иным способом. Столь общие свойства томографических систем позволяют выделить их типовые структуры [182] и соответствующие им математические
модели. В данной работе используются достаточно общие модели наблюдения проекций, позволяющие формулировать с единых позиций методику решения задачи компьютерной томографии для широкого круга систем. Получение этих моделей производится на примере наиболее широко распространенной трансмиссионной рентгеновской системы [122, 58].
Главной процедурой в компьютерной томографии является реконструкция изображений по их проекциям. В настоящее время разработано множество различных методов
и алгоритмов решения этой задачи, зависящих как от модели наблюдения проекций,
так и от модели изображения. В предлагаемой книге изображения моделируются случайными полями, поэтому основное внимание уделяется статистическим методам реконструкции.
Существующие методы реконструкции изображений, принадлежащих случайному
множеству, основаны на классических подходах теории статистических решений [7,
13]. Если априорные статистические характеристики изображений известны полностью, т. е. задана их априорная функция или функционал плотности распределения
вероятности, то используется байесов подход к реконструкции изображений. Одной
из первых в этом направлении была работа [104], за которой последовала целая серия исследований, например [95, 100, 113, 139, 173, 172]. Этот подход является
наиболее эффективным, однако, как уже говорилось, он требует знания полных
априорных статистических данных об изображении. В предлагаемой книге методика
реконструкции основана на использовании данного подхода. При неполной априорной статистической информации используются небайесовы подходы [40], в частности
такие, как метод максимального правдоподобия [132], метод максимальной энтропии
[180, 137], метод наименьших квадратов [103]. Эти подходы и методы применялись
для решения задач реконструкции изображений, постоянных во времени. Такие изображения в дальнейшем будем называть статическими.
Изображения, изменяющиеся с течением времени, будем называть динамическими.
Задача их реконструкции возникла достаточно давно. Впервые ее решить попытались
ученые, работающие в области медицинской томографии. Вследствие наличия дыхательных перемещений за счет биения сердца, пульсации сосудов и др., изображение
внутренней структуры объекта подвержено временным изменениям. При наблюдении
проекций от одного измерения к другому изображения изменяются, и в результате
при реконструкции классическими методами они оказываются «смазанными». Для
устранения этого эффекта предлагались различные методы компенсации перемещений элементов изображения. Несмотря на их разнообразие, смысловое содержание
таких методов имеет единую основу. Последовательность измеренных проекций, полученная от изменяющегося во времени изображения, подвергается предварительной
обработке с целью компенсации влияния перемещений на измеренные данные. Затем
осуществляется реконструкция изображений стандартными методами. Имеется достаточно много работ по компенсации изменений изображения. Ограничимся ссылкой на
обзор [135], где приведены некоторые результаты этих исследований. Таким образом, данное направление напрямую не связано с реконструкцией динамических изображений, а лишь устраняет влияние временных изменений на качество реконструкции. В основном эти методы используются в случаях, когда изменения носят периодический или квазипериодический характер.
2
Теперь интенсивно развивается другое направление — томография процессов, которое исследует объекты, структура и параметры которых изменяются во времени [82,
181]. Тем самым это направление непосредственно связано с реконструкцией динамических изображений. Здесь следует выделить два подхода. В первом предполагается наличие быстродействующей системы измерения, которая позволяет наблюдать
совокупность проекций за короткое время, в течение которого изменениями структуры объекта можно пренебречь. Такого рода технология нашла широкое применение в
медицине для рентгеновских томографов с быстрым круговым сканированием, когда
допустимое время экспозиции мало. Эту схему можно реализовать и с помощью систем электрической томографии (резистивной, емкостной, магнитной), обладающих
весьма большим быстродействием [88]. Данный подход является последовательностью статических реконструкций, поскольку он не учитывает характера временных
изменений изображения от одного момента измерения совокупности проекций к другому. Хотя такая технология и позволяет реконструировать развертку динамического
изображения во времени, в полной мере отнести ее к процессу динамической реконструкции нельзя.
Второй подход предполагает пространственно-временную реконструкцию динамических изображений и является сравнительно новой областью исследований в томографии процессов. Он вызван необходимостью реконструкции в реальном масштабе времени быстро меняющихся динамических изображений таких объектов, как потоки
жидкостей и газов в трубах, процессы в реакторах, перемешивание химических компонентов в сосудах, объекты на движущихся транспортерах, органы или части тела
человека, подверженные влиянию респираторных, кардиологических или иных воздействий.
В основе методики решения задачи реконструкции лежат модели динамического
изображения и наблюдения проекций, а также априорные данные о статистических
характеристиках изображения и шумов. Естественным оказалось представление моделей в пространстве состояний посредством векторных стохастических уравнений. В
результате стало возможным рассматривать реконструкцию как задачу оценивания
многомерного случайного процесса по его проекционным наблюдениям. Основными
методами решения этой задачи являются фильтр Калмана [123] и рекуррентный метод наименьших квадратов [1]. Следует отметить, что одной из первых работ по использованию фильтра Калмана для оценивания случайных полей была статья [11].
Общее решение задачи линейной фильтрации случайных полей дано в работе [23], а
ее обобщение приведено в [22]. Фильтрация негауссовых случайных полей изучалась
в работах [62, 29].
Реконструкция динамических изображений на основе линейного фильтра Калмана
рассматривалась в различных аспектах. Наиболее характерной является задача реконструкции в реальном масштабе времени, т. е. синхронно с процессом наблюдения
проекций. Как известно, в статистической теории оценивания такая задача называется фильтрацией. Результаты исследований в области оптимальной линейной реконструкции динамических изображений с использованием алгоритма фильтра Калмана
можно найти в работах [72, 73, 75, 77, 78, 80, 160, 161, 169, 121, 120, 176]. Ограниченные возможности этого подхода обусловлены двумя факторами: во-первых, тем,
что задача реконструкции относится к категории плохо определенных — вопросам регуляризации решения таких задач посвящены работы [76, 80, 121, 152]; во-вторых,
априорные статистические характеристики изображений и помех часто оказываются
недоступными и в этих условиях приходится довольствоваться эмпирической информацией, а для решения задачи использовать рекуррентный метод наименьших квадратов [74, 3, 4, 37, 150, 152].
3
Помимо фильтрации, в ряде случаев представляет интерес задача реконструкции с
интерполяцией. Для случая, когда момент времени оценивания изображения фиксирован, а наблюдение проекций продолжается, результаты получены в работах [120,
176]. Рассматривался и другой случай — когда интерполяция осуществляется с постоянным запаздыванием относительно текущего момента измерения проекций [167,
176, 171, 152].
При решении перечисленных и некоторых других задач важными являются вопросы
повышения скорости сходимости процесса реконструкции и снижения вычислительных затрат. В работе [36] для повышения скорости сходимости предложена процедура оптимального выбора последовательности проекций. Возможным путям снижения
вычислительных затрат для алгоритмов реконструкции рекуррентного типа посвящена работа [105]. Упрощение структуры модели динамических изображений является
одним из путей снижения вычислительных затрат. Представление изображения в виде совокупностей участков с постоянными значениями интенсивностей является вариантом, который рассмотрен в статьях [177, 128].
Важной и наиболее сложной является задача реконструкции при нелинейных моделях
изображений и наблюдений. В опубликованных исследованиях использовались два
подхода для ее решения, основанных на различных способах линеаризации задачи.
Традиционным является подход с использованием расширенного фильтра Калмана,
основанный на непосредственной линеаризации уравнений моделей [126, 128, 125].
При другом подходе используется способ статистической линеаризации с последующим применением алгоритма фильтра Калмана [166, 167, 148, 83]. К нелинейным алгоритмам приводит и задача адаптивной реконструкции, решение которой изложено в
работах [69, 70, 71, 2].
Примеры решения практических задач указанными выше методами с использованием
экспериментальных и модельных данных можно найти в публикациях [80, 153, 162,
163, 164, 165, 151, 154, 152, 125].
Несмотря на относительно большое число публикаций в периодических изданиях, до
сих пор отсутствует систематическое изложение методики решения задачи реконструкции динамических изображений. Предлагаемая монография является попыткой
восполнить этот пробел и содержит новые научные результаты, полученные авторами.
Излагаемая в книге методика основана на представлении модели динамического
изображения в виде случайного поля, дискретного в пространстве и во времени.
Предполагается, что подобное поле может быть описано многомерной марковской
случайной последовательностью [55], а задачу реконструкции динамических изображений по проекциям можно рассматривать как специальный случай марковской теории статистического оценивания [7, 13, 33]. Специфика задачи состоит в необходимости учета следующих факторов: высокой размерности вектора изображения, некорректности задачи реконструкции и нестационарности модели наблюдения проекций.
Высокая размерность изображений является одной из принципиальных особенностей
задачи их обработки, что предъявляет повышенные требования к производительности
вычислительных систем. Большое значение при этом имеет и разработка алгоритмов
реконструкции с минимальной вычислительной трудоемкостью. Для обработки динамических изображений подобными свойствами обладают алгоритмы рекуррентного
типа. Представление изображения в виде марковской случайной последовательности
позволяет получать рекуррентные алгоритмы реконструкции, используя марковскую
теорию статистического оценивания и, в частности, теорию фильтра Калмана [23, 44,
4
22, 48, 63, 116, 123, 89]. Векторно-матричная форма записи этих алгоритмов облегчает возможность их реализации на вычислителях с параллельной архитектурой.
Некорректность задач восстановления изображений широко известна [68, 8, 124,
179]. Томографическая реконструкция является задачей некорректной по своей сути,
что применительно к статическим изображениям многократно отмечалось в литературе [93, 95, 134, 143, 170, 168, 52, 51]. В теории статистического оценивания понятие
некорректности тесно связано с так называемой наблюдаемостью [123, 26, 22]. Использование этого понятия в задаче реконструкции дает возможность оценивать степень ее некорректности в случаях как статических, так и динамических изображений.
Томографическая реконструкция изображений основана на измерениях проекций
внутренней структуры объекта с различных ракурсов, когда наблюдения производятся последовательно во времени и каждое из них соответствует определенной геометрии взаимного положения измерительной системы и объекта. Иначе говоря, процесс
наблюдения проекций является нестационарным. Марковская теория статистического
оценивания позволяет синтезировать алгоритмы реконструкции статических и динамических изображений в условиях нестационарного наблюдения.
Таким образом, принятая в настоящей работе методология исследований, основанная
на теории марковских случайных последовательностей и теории статистического оценивания, позволяет находить алгоритмы реконструкции динамических изображений с
учетом характерных особенностей этой задачи.
В первой главе монографии приводится классификация моделей динамических изображений и даются краткие сведения по теории марковских случайных последовательностей. Основное содержание главы посвящено рассмотрению линейных моделей
динамических изображений на основе линейных стохастических конечно-разностных
уравнений. Детально описываются два типа модели: без пространственной динамики
и с пространственной динамикой.
Во второй главе рассматриваются нелинейные модели динамических изображений,
описываемых нелинейными стохастическими конечно-разностными уравнениями. Показывается, что уравнения общего вида малопригодны для решения практических задач. Предлагается и подробно анализируется линейно-нелинейная модель, позволяющая формировать изображения с желаемыми пространственными и временными статистическими характеристиками, а также заданным видом функции плотности распределения вероятности. В качестве частного случая рассматривается модель многоуровневого изображения.
В третьей главе на примере рентгеновской томографической системы излагается методика и приводятся модели наблюдения проекций. Они представлены в виде, пригодном для последующего применения к ним методов теории статистического оценивания. Приводятся уравнения линейных и нелинейных моделей наблюдения, а также
моделей шумов и искажений.
Реконструкция динамических изображений, как задача статистического оценивания,
рассматривается в четвертой главе. Кратко излагаются основы теории статистических
решений и показывается место задачи оценивания в этой проблеме. Рассматриваются
возможные типы функций потерь при реконструкции изображений и отмечается
определяющая роль квадратичной функции. Формулируется байесов подход к задаче
реконструкции динамических изображений и находится основное соотношение —
уравнение для функции апостериорной плотности вероятности.
Пятая глава посвящается рассмотрению линейных алгоритмов реконструкции для линейных моделей изображения и наблюдения. Приводится вывод уравнений алгоритма
фильтра Калмана и рассматриваются его особенности с учетом некорректности реша5
емой задачи. В целях повышения скорости сходимости алгоритма предлагается процедура оптимального выбора последовательности наблюдения проекций. Рассматривается задача реконструкции изображений с экстраполяцией, что позволяет предсказывать характер изображения в будущие моменты времени. Для уменьшения объема
вычислительных затрат предлагается использовать способ декомпозиции задачи. Для
этих же целей рассматривается линейный алгоритм реконструкции на основе рекуррентного метода наименьших квадратов. Приводится сравнительная оценка результатов с использованием фильтра Калмана и метода наименьших квадратов.
В заключительной шестой главе рассматриваются нелинейные алгоритмы реконструкции. В основу методики их синтеза положены различные способы линеаризации.
Первоначально приводятся уравнения алгоритма расширенного фильтра Калмана и
отмечается ограниченная возможность его использования в задаче реконструкции
изображений. Более эффективным является алгоритм, использующий способ статистической линеаризации. Показано, что он обладает большим динамическим диапазоном компенсации ошибок реконструкции. Приводятся уравнения для двух вариантов
этого способа. С точки зрения уменьшения вычислительных затрат при реконструкции изображений в реальном масштабе времени наиболее целесообразным оказывается способ статистической эквивалентности, однако он обладает худшими точностными характеристиками по сравнению со способом статистической линеаризации.
Предлагается комбинированный фильтр Калмана, сочетающий возможности обоих
способов. Отдельно рассматривается алгоритм реконструкции многоуровневого изображения.
В списке литературы приводятся лишь наиболее значимые источники — как ставшие
классическими монографии, обзорные и основополагающие статьи, так и публикации,
касающиеся отдельных конкретных аспектов методики. В каждом из приведенных источников можно найти ссылки на дополнительную литературу.
Материал книги и методика изложения рассчитаны на научных работников и инженеров, знакомых с принципами компьютерной томографии и работающих в этой области. Учитывая, что этот контингент читателей, как правило, плохо знаком с теорией
статистического оценивания, изложение материала сопровождается краткими справочными данными по марковским случайным процессам, теории статистических решений, методике нахождения уравнений для функций апостериорной плотности вероятности и фильтра Калмана. Тем не менее, читатели должны обладать знаниями из
области теории вероятностей и случайных процессов в объеме программ вузов радиотехнического и радиоэлектронного профилей. Книга может быть полезна и студентам
этих учебных заведений.
Работа над материалом для книги и ее написание проводились в стенах Института
прикладной физики НАН Беларуси (г. Минск) и Федерального института исследования
и испытания материалов (г. Берлин). Исследования осуществлялись при финансовой
поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований и
Министерства экономики ФРГ.
Авторы выражают благодарность В. А. Самодурову за помощь в подготовке материалов для разделов 6.2, 6.3, 6.5, 6.9, 6.10.
Соавтор книги Г.-Р. Йениш до недавнего времени носил фамилию Тиллак, под которой и опубликованы его работы.
Для контактов с авторами можно воспользоваться следующими адресами:
Институт прикладной физики НАН Беларуси, ул. Академическая, 16, Минск, Беларусь,
220072, e-mail: [email protected], [email protected];
6
Federal Institute for Material Research and Testing, Unter den Eichen 87, D-12205, Berlin,
Germany, e-mail: [email protected].
Литература
1. Альберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука,
1977.
2. Артемьев В. М., Наумов А. О., Степанов В. Л., Тиллак Г.-Р. Адаптивная реконструкция изображений по проекциям // Докл. Междунар. конф. «Цифровая обработка информации и управление в чрезвычайных ситуациях». Мн., 1998. Т. 2. С. 40—47.
3. Артемьев В. М., Наумов А. О., Тиллак Г.-Р. Реконструкция динамических изображений на основе рекуррентного метода наименьших квадратов // 3-я Междунар. конф.
«Компьютерные методы и обратные задачи в неразрушающем контроле и диагностике»: Тез. докл. М., 2002. С. 269—270.
4. Артемьев В. М., Наумов А. О., Тиллак Г.-Р. Рекуррентная реконструкция изображений в рентгеновской томографии // 15-я науч.-техн. конф. по неразрушающему контролю и диагностике: Тез. докл. 1999. Т. 2. С. 191.
5. Артемьев В. М., Степанов В. Л. К оценке точности метода статистической линеаризации // Автоматика и телемеханика. 1978. № 4. С. 54—62.
6. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987.
7. Вальд А. Статистические решающие функции // Позиционные игры. М.: Наука,
1967.
8. Василенко Г. И., Тараторин А. М. Восстановление изображений. М.: Радио и связь.
1986.
9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.
10. Дмитриев С. П., Шимелевич Л. К. Обобщенный фильтр Калмана с многократной
линеаризацией и его применение в задаче навигации по геофизическим полям // Автоматика и телемеханика. 1978. № 4. С. 50—55.
11. Дубенко Т. И. Фильтр Калмана для случайных полей // Автоматика и телемеханика. 1978. № 4. С. 37—40.
12. Жуковский Е. Л. Статистическая регуляризация систем алгебраических уравнений
// ЖВМ и МВ. 12. 1972. № 1. С. 185—191.
13. Закс Ш. Теория статистических выводов. М: Мир, 1975.
14. Казаков И. Е. Обобщение метода статистической линеаризации на многоканальные системы // Автоматика и телемеханика. 1965. Т. 26. № 7. С. 21—28.
15. Казаков И. Е. Приближенный метод статистического исследования нелинейных
систем // Тр. ВВИА им. Н. Е. Жуковского. Вып. 394. 1954.
16. Кловский Д. Д., Конторович В. Я, Широков С. М. Модели непрерывных каналов
связи на основе стохастических дифференциальных уравнений. М.: Радио и связь,
1984.
17. Клюев В. В. (ред.) Неразрушающий контроль и диагностика: Справочник. М.: Машиностроение, 1995.
18. Кляцкин В. И. Стохастические уравнения и волны в случайных неоднородных
средах. М.: Наука, 1980.
19. Корнеев В. В. Параллельные вычислительные системы. М.: Наука, 1999.
7
20. Косачев И. М., Ерошенков М. Г. Аналитическое моделирование стохастических систем. Мн.: Наука и техника, 1993.
21. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.: Госэнергоиздат, 1956.
22. Красовский А. А. (ред.) Справочник по теории автоматического управления. М.:
Наука, 1987.
23. Красовский А. А. Оценивание стационарного поля при размытом изображении. //
ДАН СССР. 1979. Т. 249. № 5. С. 1071—1073.
24. Красовский А. А. Условие наблюдаемости нелинейных процессов // ДАН СССР.
1978. Т. 242. № 6. С. 1265—1268.
25. Кузнецов В. П., Чураков Е. П. Метод полигауссовской аппроксимации в задачах
построения оптимальной дискретной системы // Автоматика и телемеханика. 1975. №
9. С. 52—59.
26. Кузовков Н. Т., Карабанов С. В., Салычев О. С. Непрерывные и дискретные системы управления и методы идентификации. М.: Машиностроение, 1978.
27. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. М.: Физматгиз, 1958.
28. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1977.
29. Марков Л. Н. Нелинейная фильтрация сигналов в пространственнораспределенных системах // Радиотехника и электроника. 1979. Т. 24. № 2. С. 286—
292.
30. МарчукГ. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.
31. Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. М.: Энергия, 1973.
32. Мерсеро Р., Оппенхейм А. Цифровое восстановление многомерных сигналов по их
проекциям // ТИИЭР. 1974. Т. 62. № 10. С. 29—51.
33. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Т. 2. М.: Сов. радио, 1962.
34. Миронов М. А., Ярлыков М. С. Оценка точности метода гауссовой аппроксимации в
марковской теории оптимальной нелинейной фильтрации для случая импульсных сигналов // Радиотехника и электроника. 1973. Т. 18. № 11. С. 2302—2310.
35. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990.
36. Наумов А. О. Оптимальный выбор последовательности проекций в динамической
компьютерной томографии // Докл. 3-й Междунар. конф. «Цифровая обработка информации и управление в чрезвычайных ситуациях». Мн., 2002. Т. 2. С. 83—88.
37. Наумов А. О. Реконструкция динамических изображений на основе рекуррентного
метода наименьших квадратов // Анализ цифровых изображений: Сб. науч. тр. /
НАНБ ОИПИ. Мн., 2002. Вып. 1. С. 20—27.
38. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960.
39. Пузырев В. А. Идентификация полей. Обзор // Зарубежная радиоэлектроника.
1977. № 5. С. 68—96.
40. Репин В. Г., Тартаковский Г. П. Статистический анализ при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. М.: Сов. радио, 1977.
8
41. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир,
1972.
42. Рытов С. М., Кравцов Ю. А., Татарский В. Н. Введение в статистическую радиофизику. Ч. 2. М.: Наука, 1978.
43. СеберД. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир, 1980.
44. Сейдж Э., Мелс Д. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.:
Связь, 1976.
45. Сизиков В. С. Математические методы обработки результатов измерений. СанктПетербург: Политехника, 2001.
46. Смоляк С. А., Титоренко Б. П. Устойчивые методы оценивания. М.: Статистика,
1980.
47. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.:
Сов. радио, 1961.
48. Стратонович Р. Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: МГУ, 1966.
49. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука,
1966.
50. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука,
1979.
51. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной
томографии. М.: Наука, 1987.
52. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Регуляризующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983.
53. Тихонов А. Н., Уфимцев М. В. Статистическая обработка результатов экспериментов. М.: Изд-во МГУ, 1988.
54. Тихонов В. И., Кульман Н. К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием
сигналов. М.: Сов. радио, 1975.
55. Тихонов В. И., МироновМ. А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977.
56. Уинстон П. Психология машинного зрения. М.: Мир, 1978.
57. Фано У., Спенсер Л., Бергер М. Перенос гамма-излучения. М.: Госатомиздат, 1963.
58. Херман Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной
томографии. М.: Мир, 1983.
59. Цыпкин Я. З. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968.
60. Цыпкин Я. З. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматгиз, 1963.
61. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978.
62. Шмелев А. Б. Основы марковской теории нелинейной обработки случайных полей.
М.: Изд. МФТИ, 1998.
63. Ярлыков М. С., Миронов М. А. Марковская теория оценивания случайных процессов. М.: Радио и связь, 1993.
64. Ярлыков М. С., Миронов М. А. О применимости гауссовой аппроксимации в марковской теории нелинейной фильтрации // Радиотехника и электроника. 1972. Т. 17.
№ 11. С. 2285—2294.
9
65. Adler A., Guardo R. Electrical Impendance Tomography: Regularized Imaging and
Contrast Detection // IEEE Trans. Med. Imag. 1996. Vol. 15. № 2. P. 170-179.
66. Aki K., Richards P. G. Quantitative Seismology: Theory and Methods. San Francisco:
Freeman, 1980.
67. Alspace D. L., Sorenson H. W. Nonlinear Bayesian Estimation by Gaussian Sum Approximation // IEEE Trans. Autom. Contr. 1972. Vol. AC—17. № 4. P. 439—448.
68. Andrews H. C., Hunt B. K. Digital Image Restoration. NJ: Prentice Hall, 1977.
69. Artemiev V. M., Naumov A. O., Tillack G.-R. Adaptive Image Reconstruction in X-Ray
Tomography // Proc. of the 7th European Conf. on Non-Destructive Testing. Copenhagen,
1998. P. 2379—2384.
70. Artemiev V., Naumov A., Tillack G.-R. Adaptive Image Reconstruction Applied to XRay Tomography // Materialpriifung. 1998. Vol. 40. № 9. P. 342—345.
71. Artemiev V., Naumov A., Tillack G.-R. Adaptive Image Reconstruction with Predictive
Model // Maximum Entrophy and Bayesian Methods. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. P. 123—130.
72. Artemiev V. M., Naumov A. O., Tillack G.-R. Dynamic Image Reconstruction: General
Estimation Principles for Dynamic Tomography // Proc. 15th World Conf. on Nondestructive Testing. Roma, 2000. ОП CDrom, idn 326.
73. Artemiev V. M., Naumov A. O., Tillack G.-R. Dynamic Image Reconstruction // Докл.
2-й Междунар. конф. «Цифровая обработка информации и управление в чрезвычайных ситуациях». Мн., 2000. Т. 2. С. 168—178.
74. Artemiev V. M., Naumov A. O., Tillack G.-R. Image Reconstruction from Projections in
the Case of Prior Uncertainty // Proc. of the 2nd Intern. Conf. on Computer Methods and
Inverse Problems in Non-Destructive Testing and Diagnostic. DGZfP Berichtsband, 1998.
Vol. 64. P. 85—90.
75. Artemiev V. M., Naumov A. O., Tillack G.-R. Optimal Dynamic Image Reconstruction
with Sequence Projection Data Acquisition // Сб. науч. тр. ИТК НАНБ «Цифровая обработка изображений». 2000. Вып. 4. C. 7—20.
76. Artemiev V. M., Naumov A. O., Tillack G.-R. Pseudo Kalman Filter Approach for Dynamic Image Reconstruction // Сб. науч. тр. ИТК НАНБ «Цифровая обработка изображений». 2000. Вып. 4. C. 133—142.
77. Artemiev V. M., Naumov A. O., Tillack G.-R. Recursive Tomographic Image Reconstruction Using a Kalman Filter Aррroach in the Time Domain // J. Phys. D: Aррl. Phys.
2001. Vol. 34. P. 2073—2083.
78. Artemiev V. M., Naumov A. O., Tillack G.-R. Statistical Estimation Theory Aррroach for
the Dynamic Image Reconstruction // Proc. 2nd World Congr. on Industrial Process Tomography. Hannover, 2001. P. 772—779.
79. Austen J. R., Franke S. J., Liu C. H. Ionospheric Imaging Using Computerized Tomography // Radio Sci. 1988. Vol. 23. P. 299—307.
80. Baroudi D., Kaipio J., Somersalo E. Dynamical Electric Wire Tomography: a Time Series Aррroach // Inverse Problems. 1998. Vol. 14. P. 799—813.
81. Bates R. H. T., Garden K. L., Peters T. M. Overview of Computerized Tomography with
Emphasis on Feature Developments // Proc. IEEE. 1983. Vol. 71. №3. P. 356—372.
82. Beck M. S., Dyakowski T., Williams R. A. Process Tomography — the State of the Art
// Trans. Inst. Meas. Control. 1998. Vol. 20. P. 163—177.
10
83. Belotserkovsky A., Samadurau U., Tillack G.-R., Artemiev V. M. Kalman Filter Reconstruction and Image Post-processing for Flow Pattern Recognition // Proc. Intern. Conf.
Pattern Recognition and Information Processing)) (PRIP'2003). Minsk, 2003. Vol. 1. P.
97—102.
84. Bennet M. A., West R. M., Luke S. P., Jia X., Williams R. A. Measurement and analysis
of flow in a gas-liquid column reactor // Chem. Eng. Sci. 1999. Vol. 54. P. 5003—5012.
85. Booton R. C. Nonlinear control systems with random inputs, Transl. IRE, Prof. group
on circuit theory. 1954. PGIT-1. P. 9—18.
86. Bracewell R. N. Strip integration in radio astronomy // Aust. J. Phys. 1965. Vol. 9. P.
198—217.
87. Brown R. G., Hwang P. Y. C. Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. 2nd Ed. NY: John Wiley and Sons. Inc., 1992.
88. Byars M. Developments in Electrical Capacitance Tomography // Proc. 2nd World
Congr. on Industrial Process Tomography. Hannover, 2001. P. 542—549.
89. Chui C. K., Chen G. Kalman Filtering with Real-Time Applications. Berlin: SpringerVerlag, 1991.
90. Ciarlet P. G. Mathematical Elasticy. Vol. 1. Three-Dimensional Elasticy. Amsterdam:
The Netherlands Nord-Holland, 1993.
91. Cormack A. M. Representation of a Function by its Line Integrals, with Some Radiological Applications // J. Appl. Phys. 1963. Vol. 34. P. 1722—1727.
92. Darling A. M., Hall T. J., Fiddy M. A. Stable, Noniterative Object Reconstruction from
Incomplete Data Using a Priori Knowledge // J. Opt. Soc. Am. 1983. Vol. 73. № 11. P.
1466—1469.
93. Demoment G. Image Reconstruction and Restoration: Overview of Common Estimation Structures and Problems // IEEE Trans. Acoust. Speech Sign. Proc. 1989. Vol. 37. №
2. P. 2024—2036.
94. Gee J. C., Reivich M., Bajcsy R. Elastically Deforming 3D Atlas to Match Anatomical
Brain Images // J. Comp. Assis. Tomography. 1993. Vol. 17. P. 225—236.
95. Geman S., Geman D. Stochastic Relaxation, Gibbs Distributions, and the Baye-sian
Restoration of Images // IEEE Trans. Patt. Anal. Mach. Intell. 1984. Vol. PAMI-6. № 6. P.
721—741.
96. Glover G. H. Compton Scatter Effects in CT Reconstructions // Med. Phys. 1982. Vol.
9. № 11—12. P. 860—867.
97. Granfors P. Performance Characteristics of an Amorphous Silicon Flat Panel X-Ray Imaging Detector // SPIE. 1999. Vol. 3659. P. 480—490.
98. Hale J. The Fundamentals of Radiological Science. Springfield, IL: C. C. Thomas Publisher, 1974.
99. Halmshaw R. Industrial Radiology. Theory and Practice. London: Chapman &Hall,
1995.
100. Hanson K. M., Wecksung G. W. Bayesian Approach to Limited-Angle Reconstruction
in Computed Tomography // J. Opt. Soc. Amer. 1983. Vol. 73. № 11. P. 1501—1509.
101. Haralick R. M. Edge and Region Analysis for Digital Image Data // Comp. Graph. Im.
Proc. 1980. Vol. 12. № 1. P. 60—73.
102. Hehhes H. The Effect of Erroneous Models on the Kalman Filter Response // IEEE
Trans. Autom. Contr. 1966. Vol. AC-11. № 3. P. 541—543.
11
103. Helstrom C. W. Image Restoration by the Method of Least Squares // J. Opt. Soc.
Amer. 1967. Vol. 57. № 3. P. 297—303.
104. Herman G. T., Lent A. A Computer Implementation of a Bayesian Analysis of Image
Reconstruction // Information and Control. 1976. Vol. 31. P. 364—384.
105. Herman G. T., Meyer L. B. Algebraic Reconstruction Techniques Can Be Made Computationally Efficient // IEEE Trans. Med. Imag. 1993. Vol. 12. № 3. P. 600—609.
106. Hetsroni G. Handbook of Multiphase Systems. Washington; London: Hemisphere,
1982.
107. Horn B. K. P. Robot Vision. London: MIT Press, 1987.
108. Horn B. K. P. Shunk B.G. Determining Optical Flow // Artiff. Intell. 1981. Vol. 17. P.
185—204.
109. Hounsfield G. N. Computerized Transverse Axial Scanning Tomography. Part I: Description of the System // Brit. J. Radiol. 1973. Vol. 46. P. 1016—1022.
110. Huang T. S. (Ed.) Image Sequence Processing and Dynamic Scene Analysis. Berlin:
Springer-Verlag, 1983.
111. Hunt B. R., Cannon T. M. Nonstationary Assumptions for Gaussian Models of Images
// IEEE Trans. Syst. Man Cyb. 1976. № 12. P. 876—882.
112. Ito K., Xiong K. Gaussian Filters for Nonlinear Filtering Problems // IEEE Trans. Autom. Contr. 2000. Vol. AC-45. № 5. P. 910—927.
113. Ivasaki S. et.al. New CT Image Reconstruction Algorithm Based on the Bayes Estimation // Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. 1999. Vol. A 422. P. 683—687.
114. Jain A. K., Jain J. R. Partial Differential Equations and Finite-Difference Methods in
Image Processing. Part II: Image Restoration // IEEE Trans. Autom. Cont. 1978. Vol. AC23. № 5. P. 817—833.
115. Jain A. K. Partial Differential Equations and Finite-Difference Methods in Image Processing. Part I: Image Representation // J. Optim. Th. Appl. 1977. Vol. 23. № 1. P. 65—
91.
116. Jazwinski A. H. Stochastic Process and Filtering Theory. NY: Academic Press, 1988.
117. Joseph P. M. The effects of scatter in X-ray computed tomography // Med. Phys.
1982. Vol. 9. № 7—8. P. 464—472.
118. Julier S., Uhlman J. K. A General Method for Approximating Nonlinear Transformations of Probability Distributions, Robotics Research Group, Department of Engineering
Science, University of Oxford. http://www.robots.
ox.ac.uk/~siju/work/publications/Unscented.zip, 1994.
119. Julier S., Uhlman J. K., Durrant-White H. F. Method for the Nonlinear Transformation
of Means and Covariances in Filters and Estimators // IEEE Trans. Autom. Contr. 2000.
Vol. 45. № 3. P. 477—482.
120. Kaipio J. P., Karjalainen P. A., Somersalo E., Vauhkonen M. State estimation in timevarying electrical impedance tomograpy // Ann. NY Acad. Sci. 1999. Vol. 873. P. 430—
439.
121. Kaipio J. P., Somersalo E. Nonstationary inverse problems and sate estimation // Inverse and Ill-posed Problems. № 7. 1999. P. 273—282.
122. Kak A. C., Slaney M. Principles of Computerized Tomographic Imaging. NY: IEEE
Press, 1988.
12
123. Kalman R. E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems // Trans.
ASME J. Basic Eng. 1960. Vol. 82. № 3. P. 34—45.
124. Katsaggelos A. K. (Ed.) Digital Image Restoration. Berlin: Springer-Verlag, 1991.
125. Kim K. Y., Kang S. I., Kim M. C., Kin S., Lee Y. J., Vouhkonen M. Dynamic Image Reconstruction in Electrical Impedance Tomography with Known internal Structure // IEEE
Trans. Magn. 2002. Vol. 28. P. 1301—1304.
126. Kim K. Y., Kim B. S., Kim M. C., Lee Y. J., Vouhkonen M. Image Reconstruction in
Time-varying Electrical Impedance Tomography Based on the Extended Kalman Filter //
Meas. Sc. Techn. 2001. Vol. 12. № 8. P. 1032—1039.
127. Kim S. P., Su W. Y. Recursive High-resolution Reconstruction of Blurred Multi-frame
Images // IEEE Trans. Im. Proc. 1993. Vol. 2. P. 534—539.
128. Kolehmainen V., Voutilainen A., Kaipio J. P. Estimation of non-stationary region
boundaries in EIT. State estimation approach // Inverse Problems. 2001. Vol. 17. P.
1937—1956.
129. Kuhn F. T., Schonten J. C., Mudde R. F., C. M. van den Bleck, Scarlett B. Analysis of
Chaos in Fluidization Using Electrical Capacitance Tomography // Meas. Science and
Techn. 1996. Vol. 7. P. 361—368.
130. Lainiotis D. G., Park S. K., Krishnaiah R. Optimal State-Vector Estimation for NonGaussian Initial State-Vector // IEEE Trans. Autom. Contr. 1971. Vol. AC-16. № 4. P.
197—198.
131. Lainiotis D. G., Sims F. L. Sensitivity Analysis of Discrete Kalman Filter // Int. J.
Contr. 1970. Vol. 12. P. 657—669.
132. Lange K., Bahn M., Little R. A Theoretical Study of Some Maximal Likelihood Algorithms for Emission and Transmission Tomography // IEEE Trans. Med. Im. 1987. Vol. MI6. № 2. P. 106—114.
133. Levy B. C., Adams M. B., Willsky A. S. Solution and Linear Estimation of 2-D NearestNeighbor Models // Proc. IEEE. 1990. Vol. 78. № 4. P. 42—55.
134. Marroquin J., Mitter S., Poggio T. Probabilistic Solution of Ill-posed Problems in Computational Vision // J. Amer. Stat. Ass. 1987. Vol. 82. P. 76—89.
135. Meijering E. H. W., Niessen W. J., Viergever M. A. Retrospective Motion Correction in
Digital Subtraction Angiography: A Review // IEEE Trans. Med. Im. 1999. Vol. 18. № 1. P.
2—21.
136. Mendel J. M. Computational Requirements for a Discrete Kalman Filter // IEEE Trans.
Autom. Contr. 1971. Vol. AC-16. P. 748—758.
137. Mohamed-Djafari A., Demoment G. Maximum Entropy Image Reconstruction in XRay and Diffraction Tomography // IEEE Trans. Med. Im. 1988. Vol. 7. № 4. P. 345—354.
138. Nakagami M. The m-distribution — a General Formuls of Intensity Distribution of
Rapid Fading // Statist. Meth. in Radio Wave Propogation. NY: Pergamon Press, 1960. P.
3—35.
139. Noumeir R., Mailloux G. E., Lemieux R. Bayesian Image Reconstruction: an Application to Emission Tomography // Proc. IEEE 7th SP Workshop on Statistical Signal and Array Processing. 1994. P. 405—408.
140. Oldendorf W. H. Isolated Flying-spot Detection of Radiodensity Discontinuities; Displaying the Internal-structural Pattern of a Complex Object // IRE Trans. Bio.-Med. Electron. 1961. Vol. BME—8. P. 68—72.
13
141. Park S. K., Lainiotis D. G. Monte Carlo Study of the Optimal Non-linear Estimator:
Linear Systems with Non-Gaussian Initial States // Int. J. Contr. 1972. Vol. 16. № 6. P.
1029—1040.
142. Peterson D. P., Middelton D. Sampling and Reconstruction of Wave Number-limited
Functions in N-Dimensional Euclidean Spaces // Inform. Contr. 1962. Vol. 5. P. 279—323.
143. Poggio T., Torre V., Coch C. Computational Vision and Regularization Theory // Nature. 1985. Vol. 317. P. 314—319.
144. Price C. F. An Analysis of the Divergence Problem in the Kalman Filter // IEEE Trans.
Autom. Contr. 1968. Vol. AC-13. № 12. P. 699—702.
145. Riesemeier H., Goebbels J., Illerhaus B. Development and Application of Cone Beam
Tomography for Materials Research // DGZFP Berichtsband. 1994. Vol. 44. P. 112—119.
146. Rosenfeld A., Davis L. S. Image Segmentation and Image Models // Proc. IEEE.
1979. Vol. 67. № 5. P. 7647—7672.
147. RosenfeldA., KakA. C. Digital Picture Processing. NY: Academic Press, 1976.
148. Samodurov V. A. Application of Statistical Linearization Technique for the Reconstruction Dynamical Images in Process Tomography // Proc. of the 3nd Intern. Conf. «Digital Information Processing and Control in Extreme situations». Minsk, 2002. P. 133—139.
149. Schlee F. H., Standish C. J., Toda N. F. Divergence in the Kalman Filter // AIAA J.
1967. Vol. 5. № 6. P. 1114—1120.
150. Schmitt U., Louis A. K. Efficient Algorithms for the Regularization of Dynamic Inverse
Problems: I. Theory // Inverse Problems. 2002. Vol. 18. P. 645—658.
151. Schmitt U., Louis A. K. Efficient Algorithms for the Regularization of Dynamic Inverse
Problems: II. Applications // Inverse Problems. 2002. Vol. 18. P. 659—676.
152. Seppanen A., Vauhkonen M., Somersalo E., Kaipio J. P. State-space Models in Process Tomography — Approximation of the State Noise Covariance // Inverse Problems.
2001. Vol. 9. P. 561—585.
153. Seppanen A., Vauhkonen M., Vauhkonen P. J. et. al. State Estimation with Fluid Dynamical Evolution Models in Process Tomography — an Application to Impedance Tomography // Inverse Problems. 2001. Vol. 17. № 3. P. 467—483.
154. Seppanen A., Vauhkonen M., Vauhkonen P. J., Somersalo E., Kaipio J. P. Fluid Dynamical Models and State Estimation in Process Tomography : Effects due to inaccuracies
in Flow Fields // J. Electronical Imaging. 2001. Vol. 10. P. 630—640.
155. Shepp L. A., Logan B. F. The Fourier Reconstruction of a Head Section // IEEE Trans.
Nucl. Sci. 1974. Vol. 21. P. 21—43.
156. Smith G. D. Numerical Solutions of Partial Differential Equation: Finite Difference
Methods. Oxford: Clarendon Press, 1985.
157. Sorenson H. W., Alspace D. L. Recursive Bayesian Estimation Using Gaussian Sums
// Automatica. 1967. Vol. 7. P. 465—479.
158. Stockham T. G. Image Processing in the Context of a Visual Model // Proc. IEEE.
1972. Vol. 60. № 7. P. 828—842.
159. Ter Pogossian M. The Physical Aspects of Diagnostic Radiology. NY: Harper and Row,
1967.
160. Tillack G.-R., Artemiev V. M., Naumov A. O. Dynamic Image Reconstruction for CT
Applications // Rev. of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation. 2001. Vol. 20.
P. 748—755.
14
161. Tillack G.-R., Artemiev V. M., Naumov A. O. Dynamische Bildrekonstruktion fuer CTAnwendungen // DACH Jahrestagung «ZfP im Ubergang zum 3. Jahrtausend». Berlin:
DGZfP-Berichtsband, 2000. P. 817—826.
162. Tillack G.-R., Artemiev V. M., Naumov A. O. Reconstruction of Dynamic Object Properties for CT Applications // Materialprufung. 2001. № 6. P. 254—258.
163. Tillack G.-R., Goebbels J., Illerhaus B., Artemiev V. M., Naumov A. O. Machbarkeitsstudie zum Einsatz der dynamischen Tomographie fir die statistische Charakterisierung komplexer Objektstrukturen // DGZfP-Jahrestagung «ZfP in Anwendung,
Entwicklung und Forschung». Berlin: DGZfP-Berichtsband, 2001. CDrom P. 22.
164. Tillack G.-R., Goebbels J., Illerhaus B., Artemiev V. M., Naumov A. O. Statistical
Characterization of Complex Object Structure by Dynamic Tomography // Rev. of Progress
in QNDE. 2002. Vol. 21. P. 764—771.
165. Tillack G.-R., Goebbels J., Illerhaus B., Artemiev V. M., Naumov A. O. Characterization of Material Structure by Dynamic Tomography // Proc. of the 11th Intern. Symp. on
Nondestructive Characterization of Materials. 2003. P. 243—250.
166. Tillack G.-R., Samadurau U. A., Artemiev V. M., Naumov A. O. Nonlinear Dynamic
Image Reconstruction for X-Ray Process Tomography // Proc. 8th ECNDT. Barcelona,
2002. ОП CDrom. P. 80.
167. Tillack G.-R., Samadurau U. A., Artemiev V. M., Naumov A. O. Statistical Characterization of Multi-phase Flow by Dynamic Tomography // Rev. of Progress in QNDE. 2003.
Vol. 22. P. 643—650.
168. Titterington D. M. General Structure of Regularization Procedures in Image Reconstruction // Astronomy and Astrophysics. 1985. Vol. 144. P. 381—387.
169. Vauhkonen M., Karjalainen P. A., Kaipio J. P. A Kalman Filter Approach to Track Fast
Impedance Changes in Electrical Impedance Tomograpy // IEEE Trans. Biomed. Eng.
1998. Vol. 45. № 4. P. 486—493.
170. Vauhkonen M., Vadasz D., Karjalainen P. A. et. al. Tikhonov Regularization and Prior
Information in Electrical Impendance Tomography // IEEE Trans. Med. Im. 1998. Vol. 17.
№ 2. P. 285—293.
171. Vauhkonen P. J., Vauhkonen M., Kaipio J. P. Fixed-lag Smoothing in Electrical Impedance Tomography // Int. J. Num. Meth. 2001. Vol. 50. P. 2195—2209.
172. Vengrinovich V. L., Denkevich Y. B., Tillack G.-R. Bayesian 3D X-Ray Reconstruction
from Incomplete Noisy Data // Maximum Entrophy and Bayesian Methods. Dordrecht:
Kluwer Academic Publishers, 1999. P. 73—83.
173. Vengrinovich V. L., Denkevich Y. B., Tillack G.-R. Reconstruction of Tree-Dimensional
Binary Structures from an Extreamly Limited Number of Cone-Beam X-ray Projections.
Choice of Prior // J. Phys. D: Appl. Phys. 1999. Vol. 32. P. 2505—2514.
174. Verri A., Poggio T. Motion Field and Optical Flow: Qualitative Properties // IEEE
Trans. Patt. Anal. Mach. Intel. 1989. Vol. 11. P. 490—498.
175. Vogel C.R., Oman M. E. Fast, Robust Total Variation-based Reconstruction of Noisy,
Blurred Images // IEEE Trans. Im. Proc. 1998. Vol. 7. P. 813—824.
176. Voutilainen A., Kaipio J. P. Estimation of nonstationary Aerosol Distributions Using
the State Space Approach // J. Aerosol Sci. 2001. Vol. 32. P. 631—648.
177. Voutilainen A., Kaipio J. P. Estimation of Time-Varying Aerosol Size Distributions —
Explotation of Model Aerosol Dynamical Models // J. Aerosol Sci. 2002. Vol. 33. P. 1181—
1200.
15
178. WangM., Zhen Z., Ma Y., Li D., Lao L., Williams R. A., Wu Y., Hoyle B. Gas-water
flow interface Characterization Using Electrical Resistance Tomography // Proc. 2nd World
Conf. on Industrial Process Tomography. Hannover, 2001. P. 525—530.
179. Webb S (Ed.) The Physics of Medical Imaging. Bristol: Adam-Hilger Publ., 1988.
180. Wernece S. T., DAddario L. Maximum Entropy Image Reconstruction // IEEE Trans.
Com. 1977. Vol. 26. No. 4. P. 351—364.
181. Williams R. A., BeckM. S. (Eds.) Process Tomography — Principles, Technique and
Applications. Oxford: Butterworth-Heinemann, 1995.
182. Xie C. G. Image Reconstruction // Williams R. A., Beck M. S. (Eds.) Process Tomography — Principles, Technique and Applications. Oxford: Butterworth- Heinemann, 1995.
P. 281—323.
16