2 Особенности метода расчета

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный морской технический университет
(СПбГМТУ)
Факультет кораблестроения и океанотехники
Кафедра прикладной математики и математического моделирования
ДОПУЩЕН К ЗАЩИТЕ
ЗАВКАФЕДРОЙ __________
д.т.н.,
профессор, К.В.
Рождественский
ДИПЛОМНАЯ
РАБОТА
Метод численного расчета нестационарных течений
вязкой несжимаемой жидкости в двумерных областях
сложной геометрии с подвижными границами
ДИПЛОМНИК
С.В.
__________
РУКОВОДИТЕЛЬ __________
Тарасов
д.т.н.,
профессор,
В.А. Рыжов
Санкт-Петербург
2007
Реферат
Настоящая дипломная работа посвящена математическому моделированию
нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости в двумерных областях сложной
геометрии с подвижными границами.
Предложенный метод основывается на решения осредненных по Рейнольдсу
уравнений
Навье-Стокса,
замкнутых
при
помощи
модели
турбулентности
Спаларта-Аллмараса.
Расчетный алгоритм построен с использованием метода искусственной сжимаемости,
что позволяет избежать возникновения неустойчивости решения при наложении условия
несжимаемости. Получение монотонного решения при сохранении точности обеспечивается
путем применения противопоточной схемы высокого порядка для расчета конвективных
слагаемых. Для пространственной дискретизации определяющих уравнений применяется
метод конечных объемов на неструктурированных треугольных сетках. Нахождение
конвективного и диффузионного потоков через границу контрольной ячейки осуществляется
при помощи полиномиальной аппроксимации второго порядка точности на
неструктурированных сетках.
Для дискретизации по времени в общем случае используется неявная схема второго
порядка. При расчете нестационарного течения применяется метод двойных шагов по
времени. Результирующая система линейных уравнений решается методом бисопряженных
градиентов.
Проанализировано влияние порядка аппроксимации слагаемых уравнений
Навье-Стокса на точность вычислений и устойчивость решения. Верификация расчетного
метода показала удовлетворительное соответствие полученных результатов расчета для
различных режимов течения в двумерных областях с известными и расчетными данными.
Дипломная работа содержит 88 страниц текста, 36 иллюстраций, 41 наименование
библиографических ссылок.
Contents
Список иллюстраций .................................................................................................. 7
Основные обозначения .............................................................................................. 8
Введение ................................................................................................................... 10
1
Обзор методов вычислительной аэрогидродинамики ...................................... 13
1
Математическая модель движения жидкости ................................................... 13
1.1 Уравнения движения сплошной среды ......................................................... 13
1.2 Уравнения Навье-Стокса .................................................................................. 14
1.3 Динамическое подобие ................................................................................... 15
1.4
1.5
Приближения уравнений Навье-Стокса. Моделирование турбулентности16
1.4.1 Прямое численное моделирование: DNS .................................. 16
1.4.2 Метод моделирования крупных вихрей: LES ............................ 17
1.4.3 Уравнения осредненного движения: RANS ............................... 17
Выводы .............................................................................................................. 23
2
Численные методы решения задач вычислительной гидродинамики ............. 24
2.1 Дискретизация определяющих уравнений ................................................... 24
2.1.1 Метод конечных разностей: FDM ............................................... 24
2.1.2 Метод конечных объемов: FVM .................................................. 25
2.1.3 Метод конечных элементов. FEM ............................................... 25
2.2 Разбиение расчетной области на элементы .................................................. 26
2.2.1 Регулярные сетки.......................................................................... 26
2.2.2 Блочные сетки ............................................................................... 27
2.2.3 Неструктурированные сетки ........................................................ 27
2.2.4 Гибридные сетки .......................................................................... 29
2.3 Особенности методов решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой
жидкости......................................................................................................................................... 29
2.3.1 Метод завихренности и функции тока ....................................... 29
2.3.2 Проекционные методы и метод коррекции давления ............. 30
2.3.3 Метод искусственной сжимаемости .......................................... 31
2.4 Задачи с подвижными границами.................................................................. 32
2.4.1 Методы с подвижной сеткой ...................................................... 32
2.4.2 Методы с неподвижной сеткой .................................................. 33
2.5 Методы решения СЛАУ .................................................................................... 33
2.5.1 Классические итерационные методы ........................................ 34
2.5.2 Методы вариационного типа ...................................................... 35
2.6 Выводы .............................................................................................................. 36
2
Численная реализация разработанного метода ................................................. 36
1
Общая постановка задачи и основные допущения ............................................ 36
2
Особенности метода расчета .............................................................................. 37
3
Дискретизация по пространству. Метод конечных объемов ............................. 38
3.1 Аппроксимация невязкого потока .................................................................. 39
3.2 Полиномиальная аппроксимация .................................................................. 40
3.2.1 Кусочно-постоянная аппроксимация ......................................... 41
3.2.2 Кусочно-линейная аппроксимация............................................. 41
3.2.3 Ограничивающий множитель ..................................................... 43
3.3 Аппроксимация вязкого потока ...................................................................... 43
3.3.1 Центрально-разностный метод................................................... 43
3.3.2 Кусочно-линейная аппроксимация............................................. 44
3.4 Граничные условия .......................................................................................... 45
3.4.1 Граничные условия ....................................................................... 45
3.4.2
3.4.3
Дискретизация граничных условий ............................................ 45
Начальные условия ...................................................................... 46
4
Неявная дискретизация по времени ................................................................... 46
4.1 Одинарный шаг по времени ........................................................................... 46
4.2 Двойной шаг по времени ................................................................................ 47
4.3 Построение матрицы СЛАУ ............................................................................. 48
4.3.1 Первый порядок точности по пространству............................... 48
4.3.2 Второй порядок точности по пространству ................................ 49
4.3.3 Получение скалярных уравнений из матричного ................... 51
5
Расчет турбулентной вязкости. Модель Спаларта-Аллмараса ........................... 51
5.1 Дискретизация по пространству ..................................................................... 51
5.1.1 Конвективное слагаемое ............................................................. 52
5.1.2 Диффузионное слагаемое ........................................................... 52
5.2 Дискретизация по времени ............................................................................. 54
5.2.1 Первый порядок точности по пространству............................... 54
5.2.2 Второй порядок точности по пространству ................................ 55
6
Программная реализация. Расчетные алгоритмы ............................................. 56
6.0.1 Краткая характеристика вычислительных средств .................... 56
6.1 Алгоритм расчета установившегося течения ................................................. 56
6.2 Алгоритм расчета нестационарного течения ................................................ 57
6.3 Алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений ........... 58
3
Верификация расчетного метода. Анализ результатов расчетов ....................... 59
1
Интегральные и распределенные гидродинамические характеристики .......... 59
2
Оценка сходимости метода ................................................................................ 60
3
Результаты тестовых расчетов............................................................................. 61
3.1 Задача обтекания двумерного кругового цилиндра в канале ..................... 62
3.1.1 Обтекание кругового цилиндра в канале при ......................... 62
3.1.2 Обтекание кругового цилиндра в канале при ......................... 63
3.2 Задача обтекания двумерного канала с обратным уступом ........................ 64
3.2.1 Ламинарное обтекание обратного уступа ................................. 65
3.2.2 Турбулентное обтекание обратного уступа ............................... 65
3.3 Задача обтекания двумерного квадратного цилиндра в неограниченной
жидкости......................................................................................................................................... 66
3.4 Задача обтекания двумерного кругового цилиндра, совершающего
вынужденные колебания поперек потока .................................................................................. 68
Заключение ............................................................................................................... 71
Литература................................................................................................................. 72
Основные обозначения
𝑣⃗
𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑣𝑖
---
𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑥𝑖
--
𝑡
𝑝
---
𝜌
--
𝜎𝑖𝑗
--
𝜏𝑖𝑗
--
𝑓⃗
--
𝑛⃗⃗
--
𝑅𝑒
𝑆𝑡
𝜇, 𝜇𝑡
----
𝜈, 𝜈𝑡
--
𝑘
--
𝜀
--
𝜔
--
вектор скорости
компоненты
вектора скорости
декартовы
координаты точки
время
гидродинамическое
давление
плотность
жидкости
тензор
напряжений
тензор
вязких
напряжений
вектор
напряженности
масссовых сил
единичный вектор
нормали
к
поверхности
число Рейнольдса
число Струхаля
молекулярная
и
турбулентная
динамические
вязкости
молекулярная
и
турбулентная
кинематические
вязкости
удельная
кинетическая
энергия
турбулентности
скорость
диссипации
турбулентности
удельная
диссипация
турбулентности
𝛽
--
𝜏
--
𝑆
--
𝑞
--
Δ 𝑞
--
𝑅,
𝐹
--
Φ
--
𝑢𝑔 , 𝑣𝑔
--
𝑢0 , 𝑣0
--
𝐶𝑑 , 𝐶𝑙
--
параметр
искусственной
сжимаемости
искусственное
время
площадь
контрольной
ячейки
вектор физических
переменных
в
ячейке
приращение
вектора физических
переменных
в
ячейке
вязкий и невязкий
потоки
через
границу ячейки
ограничивающий
множитель
скорость
движения границы
ячейки
входной профиль
скорости
коэффициенты
сопротивления
и
подъемной силы
Введение
Традиционно при определении гидродинамических характеристик объектов
совместно использовались аналитические и экспериментальные методы. С появлением
быстродействующих ЭВМ стало возможным применение вычислительных методов.
Тенденция ко все более широкому использованию численного моделирования во многом
связана с экономическими соображениями. За последние годы, вследствие роста
производительности ЭВМ и развития численных методов, стоимость расчета фантастически
уменьшилась. Стоимость же проведения экспериментов неуклонно растет.
Одной из характерных черт современных исследований в области гидродинамики
стала математизация физического познания. Проникновение математических моделей, как
инструмента исследований, вызвано не только быстротой развития вычислительной техники,
но в ряде случаев и трудностью получения информации методами физического
эксперимента. Развитие математического моделирования неразрывно связано с
совершенствованием аппарата вычислительной математики, поэтому создание численных
методов (алгоритмов) решения задач нелинейной механики приобрело на сегодняшний
день столь важное значение.
Настоящая дипломная работа посвящена разработке численного метода расчета
нестационарных (ламинарных и турбулентных) течений вязкой несжимаемой жидкости в
двумерных областях сложной геометрии с подвижными границами.
Актуальность данной темы связана с решением большого числа практических задач,
например
таких
как
гидродинамическое
проектирование
нетрадиционных
пропульсивно-несущих комплексов типа ''машущее крыло'' для микролетательных аппаратов
(MAV --- Micro Aerial Vehicle) и автономных подводных аппаратов (AUV -- Automatic
Underwater Vehicle). Одной из особенностей обтекания подобных объектов является
низкорейнольдсовый турбулентный режим, моделирование которого требует применения
специальных моделей турбулентности.
На сегодняшний день существует большое количество программных продуктов,
позволяющих решать задачи вязкого обтекания. Однако говорить об их универсальности, по
видимому, пока преждевременно. Остается актуальной разработка академических
расчетных кодов, предназначенных как для решения специальных прикладных задач (таких
как низкорейнольдсовый режим течения, подвижные границы и др.), так и общих задач
аэрогидродинамики.
Целью настоящей дипломной работы является
• Численное моделирование нестационарных течений вязкой несжимаемой
жидкости в двумерных областях сложной геометрии с подвижными границами
Для достижения указанной цели в работе решены следующие задачи
• Осуществлен анализ современных тенденций развития вычислительной
гидродинамики
• Сформулирована математическая модель исследуемой прикладной проблемы
• Разработан численный метод и его программная реализация (программный
код ''SmartFlow 2.0'', разрабатываемый на кафедре Прикладной математики и
математического моделирования СПбГМТУ)
• Проведено сравнение полученных расчетных результатов с известными
экспериментальными и расчетными данными
В первой главе работы выполнен краткий обзор и анализ литературы.
В разделе 1.1 рассмотрены математические модели движения вязкой жидкости.
Приведены приближения уравнений Навье-Стокса для расчета турбулентных течений, с
учетом их возможностей и ограничений. Описаны наиболее распространенные модели
турбулентности, предназначенные для замыкания уравнений в форме Рейнольдса. Выбрана
математическая модель, отвечающая поставленным требованиям.
Раздел 1.2 посвящен способам реализации основных этапов разработки численного
метода для выбранного класса задач, в частности: способам дискретизации определяющих
уравнений, построению различных типов расчетных сеток, особенностям методов решения
задач для несжимаемой жидкости и задач с подвижными границами, методам решения
результирующей системы линейных уравнений. Указаны преимущества и недостатки
рассмотренных методов, определены конкретные пути реализации поставленной задачи.
Вторая глава содержит описание конкретной реализации разработанного численного
метода.
В разделе 2.1 дается математическая постановка поставленной в дипломной работе
задачи.
В разделе 2.2 кратко перечислены основные особенности методов, выбранных для
применения на каждом этапе численного решения задачи.
В разделе 2.3 приведены этапы пространственной дискретизации определяющих
уравнений методом конечных объемов. Рассматривается полиномиальная аппроксимация
конвективных и диффузионных слагаемых на неструктурированной сетке со вторым
порядком точности, применение противопотоковой схемы для расчета конвективных
слагаемых, учет влияния деформации расчетной сетки.
В разделе 2.4 описывается дискретизация уравнений по времени неявным методом,
для случаев нестационарного и установившегося течений. Получены уравнения,
составляющие результирующую систему линейных алгебраических уравнений.
Раздел 2.5 содержит описание пространственной и временной дискретизации
уравнений модели турбулентности Спаларта-Аллмараса.
В разделе 2.6 рассмотрены элементы программной реализации численного метода, а
именно: расчетные алгоритмы для случаев расчета нестационарного и установившегося
течений, а также итерационный метод решения результирующей системы линейных
уравнений.
Третья глава посвящена верификации разработанного программного кода и анализу
результатов тестовых расчетов течений для различных объектов и режимов течения.
В разделе 3.1. указаны формы представления данных, получаемых в результате
расчета.
В разделе 3.2 дана оценка сходимости и устойчивости разработанного метода.
В разделе 3.3 приведены результаты тестовых расчетов. Выполнено сравнение
результатов с известными теоретическими и экспериментальными данными, которое
показало их удовлетворительное согласование.
В заключении сформулированы основные выводы по проделанной работе, намечены
дальнейшие пути развития предложенного численного метода и разработанного
программного кода.
По материалам данной работы сделан доклад на научно-технической конференции
XLII Крыловские чтения 2006: ''Проблемы мореходных качеств судов и корабельной
гидромеханики'' [12].
Автор выражает благодарность: научному руководителю профессору В.А. Рыжову за
неоценимую помощь в работе над дипломом, а также преподавательскому составу кафедры
Прикладной математики и математического моделирования СПбГМТУ.
1 Обзор методов вычислительной
аэрогидродинамики
1
Математическая модель движения жидкости
Необходимым условием успешного решения задачи механики является правильный
выбор математической модели, адекватно отражающей исследуемые динамические
процессы.
При рассмотрении безвихревого обтекания тел потоком идеальной жидкости
возникает парадокс Эйлера-Даламбера --- отсутствие каких-либо сил, действующих на тело.
Причиной его появления является пренебрежение процессами вихреобразования в данной
модели течения. Вихревые структуры в потоке жидкости возникают под действием вязкости,
поэтому для их исследования необходимо использовать модели вязкой среды. Известны
различные режимы течения потоков вязкой жидкости --- ламинарный, турбулентный и
смешанный ламинарно-турбулентный. Появляющиеся в таких потоках вихри имеют
некоторые отличия в своей динамике, обусловленные различием механизмов, действующих
в потоке.
1.1
Уравнения движения сплошной среды
Прежде, чем перейти к непосредственному численному моделированию течений
вязкой жидкости, рассмотрим основополагающие уравнения, описывающие это течение.
В гидромеханике применяют два основных метода изучения движения жидкости подходы Лагранжа и Эйлера. Любой жидкий объем можно представить состоящим из
большого числа жидких частиц. В соответствие с этим, к исследованию движения жидкой
частицы возможен такой же подход, как и в теоретической механике. То есть, для каждой
точки, однозначно определяемой начальными координатами, в любой момент времени
известны ее скорость и ускорение. Такой метод хорош при рассмотрении задач диффузии,
при описании одномерных потоков. В более сложных случаях он приводит к громоздким
вычислениям. Метод предложен Лагранжем и носит его имя.
Метод характеристики движения, при котором в каждой точке задаются функции
зависимости характеристик течения от времени, но частицы теряют свою индивидуальность,
называется методом Эйлера. Например, для случая нестационарного течения жидкости, поле
скоростей задается в виде
𝑣⃗ = 𝑣⃗ (𝑥⃗, 𝑡)
Большинство приборов измеряют характеристики жидкости в фиксированном месте (датчик
прибора неподвижен), то есть определяют Эйлерову характеристику среды.
Все основные уравнения движения сплошной среды представляют собой
фундаментальные законы сохранения [10, 14]. Для вывода уравнений движения жидкости
обычно рассматривается малый контрольный объем и требуется, чтобы для жидкости,
протекающей через этот объем, выполнялись законы сохранения массы и энергии и
количества движения.
Согласно закону сохранения вещества, для произвольного неподвижного объема Ω
скорость изменения массы внутри него равна потоку массы через поверхность 𝑆 ,
ограничивающую этот объем. Уравнение закона сохранения массы (уравнение
неразрывности) для некоторого объема в инерциальной системе координат, записанное в
интегральной форме, имеет вид
∂
(1)
∫ 𝜌 𝑑Ω + ∫𝑆 (𝜌𝑣⃗, 𝑛⃗⃗) 𝑑𝑆 = 0
∂𝑡 Ω
где 𝜌 -- плотность жидкости. Эквивалентное дифференциальное уравнение в частных
производных
∂𝜌
+ ∇ ⋅ (𝜌𝑣⃗) = 0
(2)
∂𝑡
То-же в координатной форме записи
∂𝜌
∂𝜌𝑣
+ ∂𝑡 𝑖 = 0
∂𝑡
(3)
Для несжимаемой жидкости, учитывая, что плотность есть величина постоянная (𝜌 =
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 )
∂𝑣𝑖
∂𝑡
=0
(4)
В соответствие со вторым законом Ньютона, скорость изменения количества
движения равна сумме действующих сил. Уравнение закона сохранения количества
движения (уравнение динамики в напряжениях) для некоторого объема, имеет вид
∂
(5)
∫ 𝜌𝑣⃗ 𝑑Ω + ∫𝑆 𝜌𝑣⃗(𝜌𝑣⃗, 𝑛⃗⃗) − 𝑛⃗⃗𝜎 𝑑𝑆 = ∫Ω 𝜌𝑓⃗ 𝑑Ω
∂𝑡 Ω
где 𝜎 -- тензор напряжений, 𝑓⃗ -- вектор напряженности массовых сил. Переходя к
уравнениям в частных производных, получаем консервативную (дивергентную) форму
уравнения сохранения количества движения
∂(𝜌𝑣𝑖 )
∂𝑡
+
∂(𝜌𝑣𝑖 𝑣𝑗 )
∂𝑥𝑗
=
∂𝜎𝑖𝑗
∂𝑥𝑗
+ 𝜌𝑓𝑖
(6)
Эквивалентная неконсервативная (конвективная) форма
∂(𝜌𝑣𝑖 )
∂𝑡
+ 𝑣𝑗
∂(𝜌𝑣𝑖 )
∂𝑥𝑗
= 𝜌𝑓𝑖 +
∂𝜎𝑖𝑗
∂𝑥𝑗
В механике вязкой несжимаемой жидкости предполагается, что перенос тепла происходит
мгновенно в силу большой скорости передачи тепла в несжимаемой жидкости, поэтому
изменения температуры пренебрежимо малы. В силу этого нет необходимости определять
изменение термодинамического состояния системы по балансу внутренней и механической
энергий, и уравнение сохранения энергии не используется.
В результате используются только уравнения, выражающие законы сохранения массы
(4) и количества движения (6). Эта система является незамкнутой в силу неопределенности
тензора напряжений. Для ее замыкания вводятся гипотезы о связи компонентов тензора
напряжений со скоростями потока, то есть используются реологические соотношения.
1.2
Уравнения Навье-Стокса
Обобщенный закон Ньютона для вязкой жидкости [10] устанавливает линейную связь
между тензором напряжений и тензором относительных скоростей деформации
∂𝑣
∂𝑣
2
∂𝑣
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 𝜇 [(∂𝑥𝑖 + ∂𝑥𝑗 ) − 3 𝛿𝑖𝑗 ∂𝑥𝑘 ] , 𝑖, 𝑗, 𝑘 = 1,2,3
𝑗
𝑘
𝑖
(7)
где 𝑝 -- гидродинамическое давление, 𝜇 -- молекулярная динамическая вязкость, 𝛿𝑖𝑗 -дельта-функция Кронекера.
В случае несжимаемой жидкости, тензор напряжений выглядит следующим образом
∂𝑣
∂𝑣
𝜇 (∂𝑥𝑖 + ∂𝑥𝑗 ) ,
𝑗
𝜎𝑖𝑗 =
при 𝑖 ≠ 𝑗
𝑖
−𝑝 + 2𝜇
∂𝑣𝑖
,
∂𝑥𝑖
(8)
при 𝑖 = 𝑗
{
Тензор напряжений часто разделяют на две части
∂𝑣
∂𝑣
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 𝜇 (∂𝑥𝑖 + ∂𝑥𝑗 ) = −𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 𝜏𝑖𝑗
𝑗
𝑖
(9)
где 𝜏𝑖𝑗 -- тензор вязких напряжений. Подстановка (8) в уравнения для напряжений (6) дает
известные уравнения Навье-Стокса
∇ ⋅ 𝑣⃗
=
0
⃗⃗
∂𝑣
1
+ 𝑣⃗ ⋅ ∇𝑣⃗ = 𝑓⃗ − 𝜌 ∇𝑝 + 𝜈Δ𝑣⃗
(10)
∂𝑡
где, 𝜈 = 𝜇/𝜌 -- молекулярная кинематическая вязкость.
Для получения конкретных решений, при интегрировании системы (10) должны быть
использованы граничные, а в случае нестационарного движения --- граничные и начальные
условия. На твердых границах задаются условия ''непротекания'' и ''прилипания'' 𝑣⃗|𝑆 = 0.
Начальные условия ставятся в задачах нестационарного движения и представляют собой
заданные в некоторый начальный момент времени поля скоростей и давлений.
1.3
Динамическое подобие
Для того, чтобы наиболее оптимальным образом (с точки зрения проведения
минимального числа расчетов или экспериментальных наблюдений) получить картину
течений у тел подобной конфигурации, желательно сгруппировать все параметры (такие как
длина тела, скорость набегающего потока и т. п.) в ряд безразмерных параметров [14]. Два
потока динамически подобны, если безразмерные числа, определяющие течения, равны.
Безразмерные переменные вводятся следующим образом
𝑥
𝑣 𝑡
𝑣
𝑝−𝑝
𝑥𝑖∗ = 𝐿 𝑖 , 𝑡 ∗ = 𝐿0 , 𝑣𝑖∗ = 𝑣 𝑖 , 𝑝∗ = 𝜌 𝑣20
0
0
0
0
Уравнения движения жидкости (10) в безразмерной координатной форме принимают вид
𝑆𝑡
∂𝑣𝑖∗
+ 𝑣𝑗∗
∂𝑡 ∗
∂𝑣𝑖∗
∂𝑥𝑖∗
∂𝑣𝑖∗
∂𝑥𝑗∗
=
1 ∂2 𝑣𝑖∗
𝑅𝑒
=
∂𝑝∗
1
− ∂𝑥 ∗ + 𝐹𝑟 2 𝑔𝑖
∂𝑥 ∗2
𝑗
𝑖
0
В данном выражении использованы следующие безразмерные параметры
𝑣 𝐿
𝐿
𝑣
𝑅𝑒 = 0𝜈 0 ,
𝑆𝑡 = 𝑣 0𝑡 ,
𝐹𝑟 = (𝑔𝐿 0)1/2
0 0
0
Здесь 𝑅𝑒 -- число Рейнольдса, 𝑆𝑡 -- число Струхаля и 𝐹𝑟 -- число Фруда соответственно.
Число Рейнольдса характеризует отношение инерционных сил к вязким, и является
критерием, определяющим этапы перехода от ламинарных течений к турбулентным.
1.4 Приближения уравнений Навье-Стокса. Моделирование
турбулентности
Основная трудность расчета потоков вязкой несжимаемой жидкости частично связана
с широким диапазоном изменения масштаба турбулентности. Прямой расчет полных
уравнений Навье-Стокса для трехмерного турбулентного потока требует значительных
вычислительных ресурсов и не под силу даже существующим суперкомпьютерам. В этой
связи, важную роль играет турбулентная модель, позволяющая учесть влияние
турбулентности в расчетах.
Вторая трудность в расчете вязкого потока связана с необходимостью использования
чрезвычайно мелких сеток при расчете течения в турбулентном пограничном слое.
Поскольку вычислительная устойчивость существующей схемы решения непосредственно
связана с размером минимальной ячейки, то, если не принимать достаточно малый шаг по
времени, возникают проблемы устойчивости расчета. В результате, и увеличение
разрешения и уменьшение шага по времени при вычислениях влекут за собой резкое
увеличение требуемых вычислительных ресурсов.
Поэтому для решения задач гидродинамики применяются различные подходы,
основной целью которых является уменьшение ''вычислительной стоимости'' методов
решения уравнений Навье-Стокса при минимально возможной потере точности.
Различают два основных подхода моделирования вязких течений
• Прямое численное моделирование (DNS) --- решение полных уравнений
Навье-Стокса.
• Моделирование с использованием осредненных уравнений Навье-Стокса, а
именно: по времени (RANS), по пространству (LES), гибридные модификации (DES).
1.4.1
Прямое численное моделирование: DNS
Среди известных методов численного моделирования трехмерных турбулентных
течений необходимо выделить прямое численное моделирование турбулентности (DNS --Direct Numerical Simulation of turbulent flows).
Метод DNS представляет собой прямое численное решение полной нестационарной
системы уравнений Навье-Стокса, при таком подходе разрешаются все масштабы движения
[22]. В результате возникает необходимость строить чрезвычайно мелкую сетку для больших
пространственных областей. Известна следующая оценка числа узлов при прямом
моделировании турбулентности
𝑁𝐷𝑁𝑆 = 𝑂(𝑅𝑒 9/4 )
Для реальных чисел Рейнольдса порядка 106−8 число расчетных узлов должно составлять
𝑁 = 1013−15. То есть для использования DNS требуются достаточно мощные вычислительные
ресурсы, и на сегодняшний день возможности применения метода ограничиваются лишь
случаями достаточно простых течений и весьма невысоких чисел Рейнольдса.
1.4.2
Метод моделирования крупных вихрей: LES
В методе моделирования крупных вихрей (LES --- Large Eddy Simulation)
осуществляется решение отфильтрованных по пространству уравнений Навье-Стокса и
разрешеатся движение только крупных вихрей [31].
Метод основан на двух предположениях. Первое состоит в возможности разделения
поля скорости на движение крупных и мелких вихрей, причем движение крупных вихрей
может быть рассчитано отдельно, что связано с достаточной изотропностью и
универсальностью мелких масштабов турбулентного движения. Второе предположение --- в
возможности аппроксимации нелинейных взаимодействий между крупными и мелкими
вихрями только о крупным вихрям с использованием моделей подсеточного масштаба SGS
(SubGrid Scale models).
Для отделения крупноых масштабов от мелких, применяется операция фильтрации,
определяемая следующим образом
𝑓(𝑥⃗) = ∫ 𝑓(𝜉⃗) 𝐺(𝑥⃗, 𝜉⃗, Δ) 𝑑𝜉𝑑𝜂𝑑𝜁
(11)
где 𝐺 -- фильтрационная функция, Δ -- ширина фильтра, определяющая наименьший
масштаб турбулентности, допустимый фильтром. Наиболее популярные и часто
используемые фильтрационные функции --- Гаусса, идеальный и ''top-hat'' фильтры.
Фильтр дает формальное определение процесса осреднения и отделяет способные к
разрешению масштабы от подсеточных. Фильтрация используется, чтобы вывести уравнения
для разрешимых масштабов. Для течения несжимаемой жидкости отфильтрованные
уравнения Навье-Стокса принимают следующую форму
∂𝑣𝑖
=
∂𝑥𝑖
∂𝑣𝑖
∂𝑡
+
∂(𝑣𝑖 𝑣𝑗 )
∂𝑥𝑗
=
0
1 ∂𝑝
−𝜌
∂𝑥𝑖
−
∗
∂𝜏𝑖𝑗
∂𝑥𝑗
+𝜈
∂2 𝑣𝑖
∂𝑥𝑗2
(12)
Здесь воздействие мелкомасштабных структур на движение жидкости представляется
через тензор напряжений подсеточного масштаба
∗
𝜏𝑖𝑗
= 𝑣𝑖 𝑣𝑗 − 𝑣𝑖 𝑣𝑗
(13)
Среди применяемых подсеточных моделей можно выделить модель Смагоринского,
двухточечные замыкания, динамические модели, модели одого уравнения [40].
Популярность метода моделирования крупных вихрей для проведения расчетов
сложных турбулентных течений с достаточно высокими числами Рейнольдса объясняется
тем, что он требует меньших вычислительных затрат по сравнению с DNS. Общее
соотношение количества узлов сетки для этих методов определяется зависимостью
𝑁𝐿𝐸𝑆 ≈ 0,4()𝑅𝑒 1/4 𝑁𝐷𝑁𝑆
Необходимо отметить, что на сегодняшний день опробовано значительное количество
подсеточных моделей, фильтров, граничных условий и расчетных схем. Несмотря на это,
пока не ясны ни оптимальный вариант подсеточной модели, ни обоснование выбора такого
варианта. Тем не менее, LES является перспективным направлением в развитии методов
расчета турбулентных течений и представляется весомой альтернативой DNS и RANS.
1.4.3
Уравнения осредненного движения: RANS
Как было отмечено, решение полных уравнений Навье-Стокса в трехмерном
пространстве при больших (турбулентных) числах Рейнольдса остается на сегодняшний день
довольно сложной задачей. Поэтому для описания трехмерных течений часто используют
осредненные по времени уравнения Навье-Стокса. В турбулентном течении локальные
давление и составляющие вектора скорости изменяются во времени случайным образом.
Основная идея осреднения состоит в том, чтобы разделить в потоке стационарные и
случайные части.
Figure
1: Осреднение скорости по времени для случаев установившегося и
нестационарного течений
Система уравнений Навье-Стокса для описания движения вязкой несжимаемой
жидкости при отсутствии массовых сил, использующая консервативную форму записи
уравнения изменения количества движения, может быть представлена в скалярно-тензорной
форме следующим образом
∂𝑣𝑖
=
0
∂𝑥
𝑖
∂𝑣𝑖
∂𝑡
+
∂(𝑣𝑖 𝑣𝑗 )
∂𝑥𝑗
=
1 ∂𝑝
−𝜌
∂𝑥𝑖
1 ∂𝜏𝑖𝑗
∂𝑥𝑗
+𝜌
(14)
С учетом уравнения неразрывности, компоненты тензора напряжений записываются
так
1 ∂𝜏𝑖𝑗
𝜌 ∂𝑥𝑗
= 𝜈
∂2 𝑣𝑖
∂𝑥𝑗2
(15)
Согласно подходу Рейнольдса, любые мгновенные значения гидродинамических
параметров потока представляются в виде суммы осредненной по времени величины и ее
пульсационной составляющей [4]. Фактически это означает, что гидродинамическая
величина является случайной, осреднение которой во времени дает математическое
ожидание, а пульсационная составляющая --- дисперсию случайной величины. Обозначая
осредненную во времени величину ( ), а пульсационную ( )′, можно записать для давления,
составляющих скорости, и тензора напряжений следующие выражения
𝑝 = 𝑝 + 𝑝′,
𝑣𝑖 = 𝑣𝑖 + 𝑣𝑖′ ,
𝜏𝑖𝑗 = 𝜏𝑖𝑗 + 𝜏𝑖𝑗 ′
Следует отметить, что среднее значение, несмотря на интегрирование по времени, может
изменяться во времени. Это означает, что период интегрирования 𝑇 должен быть малым по
сравнению с характерным временем нестационарного изменения величины. Кроме того,
период осреднения выбирается так, чтобы оно приводило к величине, не изменяющейся при
повторном осреднении.
1 𝑇
𝑣𝑖 (𝑡) = 𝑇 ∫0 𝑣𝑖 (𝑡) 𝑑𝑡
(16)
Применяя операцию осреднения по времени (16) к уравнениям системы (46), с учетом
уравнения неразрывности, получим
∂𝑣𝑖
=
∂𝑥𝑗
∂(𝜌𝑣𝑖 )
∂𝑡
+
∂(𝜌𝑣𝑖 𝑣𝑗 )
∂𝑥𝑗
0
∂𝑝
(17)
∂
= − ∂𝑥 + ∂𝑥 (𝜏𝑖𝑗 − 𝜌 𝑣𝑖′ 𝑣𝑗′ )
𝑖
𝑗
где −𝜌 𝑣𝑖′ 𝑣𝑗′ -- составляющие тензора напряжений Рейнольдса, или рейнольдсовых
напряжений. Они являются шестью дополнительными неизвестными к гидродинамическим
параметрам осредненного движения (𝑣𝑖 , 𝑝). Таким образом, система уравнений и (17)
является незамкнутой.
Вопрос замыкания полученной системы решается различными способами.
Простейший путь --- использование эмпирической информации о характеристиках
турбулентности, наиболее сложный --- заключается в выводе уравнений относительно
рейнольдсовых напряжений, где широкое применение получили модели турбулентной
вязкости
∂𝑣
∂𝑣
−𝜌 𝑣𝑖′ 𝑣𝑗′ = 𝜇𝑡 (∂𝑥𝑖 + ∂𝑥𝑗)
𝑗
𝑖
(18)
где 𝜇𝑡 -- турбулентная динамическая вязкость.
Используя зависимость (18) и опуская знак осреднения по времени, уравнения
Навье-Стокса в форме Рейнольдса (RANS --- Reynolds Averaged Navier-Stokes equations)
приводятся к виду
∇ ⋅ 𝑣⃗
=
0
⃗⃗
∂𝑣
1
+ 𝑣⃗ ⋅ ∇𝑣⃗ = − 𝜌 ∇𝑝 + ∇[(𝜈 + 𝜈𝑡 )∇𝑣⃗ ]
(19)
∂𝑡
где 𝜈𝑡 = 𝜇𝑡 /𝜌 -- турбулентная кинематическая вязкость.
Само по себе уравнение (18) не вводит модели турбулентности, а только
характеризует структуру такой модели. При этом основной задачей является определение
коэффициента турбулентной вязкости 𝜈𝑡 . В отличие от коэффициента молекулярной
кинематической вязкости 𝜈, коэффициент 𝜈𝑡 определяется состоянием турбулентности и не
связан со свойствами жидкости. Он может сильно изменяться от точки к точке пространства и
в зависимости от типа течения. Так, например, в зонах циркуляционного течения 𝜈𝑡 может
на несколько порядков превышать 𝜈.
Модели турбулентности обычно классифицируются по числу дифференциальных
уравнений, вводимых в дополнение к уравнениям Навье-Стокса. Различают модели
''0-уравнений''
(алгебраические),
''1-уравнений''
(модель
Спаларта-Аллмараса),
''2-уравнений'' ( 𝑘 − 𝜀 и 𝑘 − 𝜔 модели). Рассмотрим наиболее часто используемые
турбулентные модели.
Алгебраические модели турбулентности
Алгебраические модели принадлежат к простейшим типам моделей турбулентности,
в которых связь между турбулентной вязкостью и параметрами осредненного потока
задается алгебраическими соотношениями. Отсюда следуют основные достоинства моделей
такого типа вычислительная эффективность, простота калибровки и модификаций с учетом
специфики рассматриваемых течений. Однако очевидна и узкая специализация этих
моделей, поскольку они опираются на априорную (эмпирическую) информацию о структуре
конкретного рассматриваемого течения.
Модель пути смешения Прандтля (Prandtl, 1925)
Модель для описания распределения 𝜈𝑡 впервые была предложена Прандтлем в
1925 году и известна как модель пути смешения. Доказано, что она довольно хорошо
воспроизводит тонкие вязкие слои. Рассматривая осредненные сдвиговые течения без
градиента давления, Прандтль постулировал, что характерный масштаб пульсаций скорости
равен градиенту осредненной скорости, умноженному на характерный масштаб длины 𝑙𝑚 ,
который он назвал путем смешения
2
𝜈𝑡 = 𝑙𝑚
∂𝑣|| ∂𝑦
(20)
Длина пути смешения определяется эмпирически. При рассмотрении течения в
пограничном слое полагается
𝑙𝑚 = 𝜅𝑦
(21)
где 𝜅 ≈ 0.39 -- универсальный коэффициент пропорциональности, не зависящий от числа
Рейнольдса. Таким образом, путь перемешивания пропорционален расстоянию от стенки 𝑦.
Успех модели, предложенной Прандтлем, определяется тем обстоятельством, что для
многих типов сдвиговых течений 𝑙𝑚 может быть выражен относительно несложными
формулами.
Модель Болдуина-Ломакса (Baldwin-Lomax, 1978) [16]
Модель была сформулирована для расчета потока в тех случаях, когда параметры
пограничного слоя (толщина и скорость на границе) трудно определить. Такая ситуация часто
возникает при численном моделировании отрывных течений, в особенности, течений со
скачками уплотнения.
Турбулентная вязкость определена следующим соотношением
𝜈𝑡𝑖 , 𝑦 ≤ 𝑦𝑚
𝜈𝑡 = {𝜈𝑡𝑜 , 𝑦 > 𝑦𝑚
(22)
где 𝜈𝑡𝑖 и 𝜈𝑡𝑜 являются значениями 𝜈𝑡 во внутреннем и внешнем слоях, а 𝑦𝑚 есть
наименьшее значение 𝑦, при котором 𝜈𝑡𝑖 = 𝜈𝑡𝑜 . Вязкости во внутреннем и внешнем слоях
принимаются так
внутренний слой
2
𝜈𝑡𝑖 = 𝑙𝑚
|𝜔|
(23)
𝑙𝑚 = 𝜅𝑦(1 − 𝑒 −𝑦
+ /𝐴+
𝑜
)
внешний слой
𝜈𝑡𝑜 = 𝛼 𝐶𝑐𝑝 𝐹𝑤𝑎𝑘𝑒 𝐹𝑘𝑙𝑒𝑏
(24)
2
𝐹𝑤𝑎𝑘𝑒 = min (𝑦𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑚𝑎𝑥 ; 𝐶𝑤𝑘 𝑦𝑚𝑎𝑥 𝑈𝑑𝑖𝑣
/𝐹𝑚𝑎𝑥 )
1
𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝜅 [max(𝑙𝑚 |𝜔|)]
где |𝜔| -- величина вектора завихренности, 𝑦𝑚𝑎𝑥 -- величина 𝑦 , при котором 𝑙𝑚 |𝜔|
достигает максимальной величины, 𝑈𝑑𝑖𝑣 -- максимальная величина скорости в пограничном
слое. Функция 𝐹𝑘𝑙𝑒𝑏 является функцией перемежаемости Клебанова
Коэффициенты замыкания
𝜅 = 0.40,
{𝐶𝑐𝑝 = 1.6,
𝛼 = 0.0168,
𝐶𝑘𝑙𝑒𝑏 = 0.3,
𝐴+
𝑜 = 26
𝐶𝑤𝑘 = 1
Алгебраические модели, безусловно, являются наиболее простыми из всех турбулентных
моделей. Они концептуально очень просты и редко вызывают неожиданные
вычислительные трудности. Однако следует всегда помнить о проблеме неполноты
информации, получаемой с их помощью. Эти модели хорошо работают только при анализе
тех потоков, на которые они были предварительно настроены.
Ограниченность моделей такого типа заключается в их природе --- в локальном
равновесии моделируемой турбулентности. Это означает, что в каждой точке пространства
наблюдается баланс генерации и диссипации турбулентной энергии, на который не влияют
ни перенос из соседних точек, ни предыдущее развитие процесса. Трудности для сложных
типов течений представляет задание пути смешения. Однако для простых ситуаций, в
частности при описании сдвиговых слоев, модель вполне пригодна.
Модели одного уравнения
Такие модели дают описание турбулентности с помощью одной переменной
величины, для которой строится дифференциальное уравнение переноса. Другие
турбулентные характеристики связываются с ней при помощи алгебраических или иных
соотношений. К данному классу относится модель Спаларта-Аллмараса.
Модель Спаларта-Аллмараса (Spalart-Allmaras, 1992) [37]
Данная модель относится к классу низкорейнольдсовых. Первоначально она была
развита для получения разумных расчетных оценок для двумерных смешанных течений,
следов и пограничного слоя на плоской пластине. Испытания показали достоинство этой
модели при расчете потоков с неблагоприятными градиентами давления по сравнению с
𝑘 − 𝜀 и 𝑘 − 𝜔 моделями [4]. Определяющие уравнения модели таковы
Кинематическая турбулентная вязкость
𝜈𝑡 = 𝜈̃𝑓𝜈1
(25)
Уравнение турбулентной вязкости
̃
∂𝜈
∂𝑡
̃
∂𝜈
̃
∂𝜈
1 ∂
+ 𝑣𝑗 ∂𝑥 = 𝑐𝑏1 𝑆̃𝜈̃ − 𝑐𝜔1 𝑓𝜔 𝜈̃()𝑑 2 + 𝜎 ∂𝑥 [(𝜈 + 𝜈̃) ∂𝑥 ] +
𝑘
𝑗
𝑘
𝑐𝑏2 ∂𝜈
̃ ∂𝜈
̃
𝜎 ∂𝑥𝑘 ∂𝑥𝑘
Коэффициенты замыкания и вспомогательные соотношения
𝑐𝑏1 = 0.1355, 𝑐𝑏2 = 0.622, 𝑐𝜈1 = 7.1, 𝜎 = 2/3
{𝑐𝜔1 = 3.239, 𝑐𝜔2 = 0.3,
𝑐𝜔3 = 2,
𝜅 = 0.41
̃
𝜈
𝜒 = 𝜈 , 𝑓𝜈1 = 𝜒 3 𝜒 3 + 𝑐𝜈31 , 𝑓𝜈2 = 1 − 𝜒1 − 𝜒𝑓𝜈1
1/6
6
6
𝑓𝜔 = [1 + 𝑐𝜔
𝑔6 + 𝑐𝜔
]
3
3
̃
𝜈
, 𝑟 = 𝑆̃ 𝜅2𝑑2 , 𝑔 = 𝑟 + 𝑐𝜔2 (𝑟 6 − 𝑟)
̃
𝜈
𝑆̃ = 𝑆 + 𝜅2 𝑑2 𝑓𝜈2 , 𝑆 = √2 Ω𝑖𝑗 Ω𝑖𝑗
{
(26)
где 𝑑 -- расстояние до ближайшей стенки, Ω𝑖𝑗 -- тензор вращения.
Опыт использования модели Спаларта-Аллмареса показал, что ее реальные
возможности значительно шире, чем предполагалось при ее создании. Более того, после
введения в нее поправок на кривизну линий тока и вращение, границы применимости
модели заметно расширились. Модель является удовлетворительной для многих
инженерных приложений. В особенности она применима для расчета обтекания профилей и
крыльев, для которых она была калибрована.
Резюмируя, следует отметить, что класс моделей с одним дифференциальным
уравнением обладает большой приемлемостью к описанию турбулентных течений с учетом
сжимаемости, кривизны линий тока и отрыва потока. Однако, объектами их приложения, как
правило, являются простые конфигурации потоков с минимальным набором структурных
элементов.
Модели с двумя уравнениями
Модели турбулентности с двумя дифференциальными уравнениями являются
наиболее представительной группой дифференциальных моделей. Первая модель такого
типа была предложена в классической работе Колмогорова [27]. В качестве одного из
уравнений все развитые модели, также как и Модель Колмогорова, используют уравнение
переноса 𝑘 -- кинетической энергии турбулентных пульсаций. Причиной применения этого
уравнения является то, что оно строго следует из уравнений Навье-Стокса, а также то, что для
его замыкания необходимо промоделировать только два члена: диффузионный и
диссипативный [4]. В качестве примера рассмотрим 𝑘 − 𝜀 и 𝑘 − 𝜔 модели.
𝒌 − 𝜺 модель Лаундера-Шармы (Launder-Sharma, 1974)
Моделирование турбулентности осуществляется на основе стандартного или
низкорейнольдсового вариантов 𝑘 − 𝜀 модели. Уравнения модели включают формулу
Колмогорова-Прандтля для турбулентной вязкости и уравнения переноса кинетической
энергии турбулентных пульсаций и скорости ее диссипации.
Кинематическая турбулентная вязкость
𝜈𝑡 = 𝐶𝜇 𝑓𝜇 𝑘 2 𝜀
(27)
Кинетическая энергия турбулентности
∂𝑘
∂𝑡
∂𝑘
∂𝑣
∂
∂𝑘
+ 𝑣𝑗 ∂𝑥 = 𝜏𝑖𝑗 ∂𝑥 𝑖 − 𝜀 + ∂𝑥 [(𝜈 + 𝜈𝑡 /𝜎𝑘 ) ∂𝑥 ]
𝑗
𝑗
𝑗
(28)
𝑗
Степень диссипации турбулентности
∂𝜀
∂𝜀
𝜀 ∂𝑣
+ 𝑣𝑗 ∂𝑥 = 𝐶𝜀1 𝑓1 𝜏𝑖𝑗 𝑘 ∂𝑥𝑖 − 𝐶𝜀2 𝑓2
∂𝑡
𝑗
𝑗
𝜀2
𝑘
∂
∂𝜀
+ ∂𝑥 [(𝜈 + 𝜈𝑡 /𝜎𝜀 ) ∂𝑥 ]
𝑗
𝑗
(29)
Коэффициенты замыкания
𝐶𝜀1 = 1.44, 𝐶𝜀2 = 1.92, 𝐶𝜇 = 0.09, 𝜎𝑘 = 1.0, 𝜎𝜀 = 1.3
При постановке граничных условий на твердых поверхностях в рамках стандартной 𝑘 − 𝜀
модели предполагается, что в турбулентном пограничном слое имеет место универсальный
логарифмический профиль скорости. При этом полагается 𝑓𝜇 = 𝑓1 = 𝑓2 = 1.
При использовании низкорейнольдсового варианта 𝑘 − 𝜀 модели, вблизи твердой
поверхности принимается
3/4 𝑘 3/2
𝑘 Δ𝑥
∂𝑘
= 0,
∂𝑛
𝜀 = 𝐶𝜇
(30)
а также
2
𝑓𝜇 = 𝑒 −2.5/(1+0.02𝑅𝑒𝑡) ,
𝑓1 = 1.0,
2
где 𝑅𝑒𝑡 = 𝑘 /𝜈𝜀 -- турбулентное число Рейнольдса.
𝑓2 = 1 − 0.3 𝑒 𝑅𝑒𝑡
𝒌 − 𝝎 модель Вилкокса (Wilcox, 1998) [39]
Данная модель может применяться как в потоках с твердыми стенками, так и в
течениях без касательных напряжений. Использование 𝑘 − 𝜔 модели оказывается численно
более устойчивым, чем упомянутых 𝑘 − 𝜀 моделей. Соответствующие определяющие
уравнения следующие
Кинематическая турбулентная вязкость
𝜈𝑡 = 𝑘𝜔
(31)
где 𝜔 -- удельная диссипация турбулентности.
Кинетическая энергия турбулентности
∂𝑘
∂𝑘
∂𝑣
∂
∂𝑘
+ 𝑣𝑗 ∂𝑥 = 𝜏𝑖𝑗 ∂𝑥 𝑖 − 𝛽 ∗ 𝑘 𝜔 + ∂𝑥 [(𝜈 + 𝜎 ∗ 𝜈𝑡 ) ∂𝑥 ]
∂𝑡
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
(32)
Скорость диссипации
∂𝜔
∂𝑡
∂𝜔
𝑘
∂𝑣
∂
∂𝜔
+ 𝑣𝑗 ∂𝑥 = 𝛼 𝜔 𝜏𝑖𝑗 ∂𝑥𝑖 − 𝛽 𝜔2 + ∂𝑥 [(𝜈 + 𝜎𝜈𝑡 ) ∂𝑥 ]
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
(33)
Коэффициенты замыкания и вспомогательные соотношения
𝛼 = 0.52, 𝛽0 = 0.072, 𝛽0∗ = 0.09, 𝜎 = 0.5, 𝜎 ∗ = 0.5
Ω𝑖𝑗 Ω𝑗𝑘 𝑆𝑘𝑖
𝛽 = 𝛽0 𝑓𝛽 , 𝜒𝜔 = |
(𝛽0 𝜔)3
1+70𝜒
|, 𝑓𝛽 = 1+80𝜒𝜔
𝜔
1,
1 ∂𝑘 ∂𝜔
𝛽 ∗ = 𝛽0∗ 𝑓𝛽∗ , 𝜒𝑘 = 𝜔3 ∂𝑥
𝑗
∂𝑥𝑗
, 𝑓𝛽∗ = {
𝜒𝑘 ≤ 0
1+680𝜒𝑘2
1+400𝜒𝑘2
, 𝜒𝑘 > 0
{
где составляющие осредненных тензоров вращения и скоростей деформации определяются
так
1 ∂𝑣
∂𝑣
Ω𝑖𝑗 ≡ 2 (∂𝑥𝑖 − ∂𝑥𝑗 ),
𝑗
1.5
𝑖
1 ∂𝑣
∂𝑣
𝑆𝑖𝑗 ≡ 2 (∂𝑥𝑖 + ∂𝑥𝑗 )
𝑗
𝑖
Выводы
Исходя из особенностей описанных подходов, и учитывая имеющиеся
вычислительные возможности, в данной работе в качестве модели движения вязкой
несжимаемой жидкости выбраны осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса.
В качестве замыкающей модели турбулентности, для представляющих интерес
режимов обтекания нестационарных движущихся объектов, выбрана модель
Спаларта-Аллмараса, относящаяся к классу низкорейнольдсовых. В результате не возникает
необходимости применения пристеночных функций, что позволяет избежать связанных с
ними сложностей при моделировании отрывных течений.
2 Численные методы решения задач вычислительной
гидродинамики
2.1
Дискретизация определяющих уравнений
Выбор численной схемы дискретизации закона сохранения зависит от формы в
которой этот закон представлен [17].
В качестве примера рассмотрим модельное уравнение переноса величины 𝜑 .
Интегральная форма записи этого закона сохранения будет иметь вид
∂
(34)
∫ 𝜑 𝑑Ω + ∫ 𝐹⃗ (𝜑) ⋅ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝑆 = 0
∂𝑡 Ω
𝑆
Применяя теорему о дивергенции, и устремляя объем области Ω к нулю, можно
перейти к дифференциальной форме записи
∂
𝜑 + ∇ ⋅ 𝐹⃗ (𝜑) = 0
(35)
∂𝑡
Домножая это выражение на произвольную функцию 𝜓 и интегрируя по частям,
можно получить вариационную форму закона сохранения
∂
(36)
∫ 𝜓𝜑 𝑑Ω − ∫Ω ∇𝜓 ⋅ 𝐹⃗ (𝜑) 𝑑Ω + ∫𝑆 𝜓𝐹⃗ (𝜑) ⋅ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝑆 = 0
∂𝑡 Ω
Дискретизация дифференциальной формы записи осуществляется при помощи
конечно-разностных методов. Интегральная форма записи дискретизируется при помощи
метода конечных объемов, а вариационная форма --- при помощи метода конечных
элементов.
2.1.1
Метод конечных разностей: FDM
Метод конечных разностей (FDM --- Finite Differences Method) является одним из
самых первых и самых простых методов решения дифференциальных уравнений, особенно в
случае его использования в задачах с простой геометрией.
Наиболее часто метод применяется на регулярных сетках, когда линии координатной
сетки служат локальными координатными линиями. В методе конечных разностей исходное
дифференциальное уравнение аппроксимируются системой линейных алгебраических
уравнений, где неизвестными являются значения переменных решения в узлах сетки. При
этом Каждое слагаемое исходного дифференциального уравнения представляется
соответствующим конечно-разностным отношением. В результате получается система
алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений.
В принципе, метод конечных разностей может быть применен к любому типу сетки.
На регулярных сетках метод конечных разностей очень прост и эффективен. Особенно просто
в этом случае получить схемы более высокого порядка точности.
Недостатком конечно-разностных методов является то, что законы сохранения не
учитываются без специальной заботы об этом. Кроме того, имеет место ограничение по
сложности геометрии расчетной области.
2.1.2
Метод конечных объемов: FVM
Метод конечных объемов (FVM --- Finite Volume Method) представляет собой главный
способ решения связанных уравнений переноса импульса и турбулентности [22].
В отличие от метода конечных разностей, данный метод использует формулировку
уравнений в интегральной форме. Расчетная область разбивается на определенное
количество контрольных объемов (ячеек), каждому из которых сопоставляется неизвестная
величина, представляющая собой среднее значение переменной по этому объему. Для того,
чтобы получить алгебраическое уравнение, соответствующее интегральному, записанному
для некоторой контрольной ячейки, необходимо необходимо осуществить два этапа
аппроксимации
• Приближенные значения интегралов, входящих в уравнение, при помощи
квадратурных формул, выражаются через значения подынтегральных выражений в точках
границы.
• Значения переменных в точках границы ячейки интерполируются по их
значениям, заданным в узловых точках.
Интегральное уравнение выполняется как для каждого отдельного контрольного
объема в отдельности, так и для расчетной области в целом. Таким образом метод конечных
объемов обладает свойством глобального сохранения, что является важным преимуществом
этого метода.
Метод конечных объемов может применяться с любым типом сетки, так что он
применим для сложных геометрий. Сетка определяет только границы контрольного объема
и не нуждается в привязке к системе координат. По сравнению с методом конечных
элементов, метод конечных объемов более приемлем для большинства программистов,
менее сложен с математической точки зрения и требует меньшей памяти компьютера при
том же числе расчетных узлов.
Метод обладает преимуществами несложного программирования, математической
простоты и физической адекватности. Вследствие этих достоинств, большинство
разработанных коммерческих программ численного решения задач гидродинамики
используют метод конечных объемов.
2.1.3
Метод конечных элементов. FEM
Метод конечных элементов (FEM --- Finite Element Method) во многом подобен методу
конечных объемов [20]. Область разбивается на раздельные объемы, или конечные
элементы, которые в общем случае являются неструктурированными. В двумерном
пространстве это обычно треугольники или четырехугольники, а в трехмерном наиболее
часто используются тетраэдры или шестигранники.
В методе конечных элементов искомая функция аппроксимируется линейной
комбинацией координатных функций. Для получения уравнений метода, исходные
уравнения интегрируются по всей расчетной области с некоторым весом, в качестве весовых
функций принимаются координатные функции. В самых простых методах используются
функции формы, линейные в пределах каждого элемента, что гарантирует непрерывность
решения на границах элементов.
Важным преимуществом методов конечных методов является их применимость для
задач со сложными пространственными конфигурациями. Данные методы относительно
просто анализировать математически.
2.2
Разбиение расчетной области на элементы
Для численной реализации того или иного метода необходимо сгенерировать сетку
для дискретизации определяющих уравнений. Процесс построения сетки относится к
ключевым моментам численного моделирования, так как рациональным выбором сетки
можно значительно упростить решение уравнений [20].
2.2.1
Регулярные сетки
Традиционно, при решении задач вычислительной гидродинамики применялись
регулярные сетки (четырехсторонние на поверхности и шестигранные в пространстве).
Регулярность заключается в том, что сетка представляет собой упорядоченную по
определенным правилам структуру данных с явно выраженными сеточными направлениями,
которые, в общем случае, образуют криволинейную систему координат. В преобразованном
(вычислительном) пространстве ячейки сетки являются топологическими прямоугольниками
(двумерные задачи) или параллелепипедами (трехмерные задачи). Для дискретизации
уравнений Навье-Стокса на регулярных сетках используют, как правило, метод конечных
разностей.
При построении регулярных сеток в геометрически сложных областях применяют
преобразование координат общего вида, связанных с поверхностью тела. Основная цель
данного преобразования заключается в построении равномерной расчетной сетки в
преобразованном пространстве таким образом, чтобы координатные линии совпали с
границами физической области. Введение криволинейной системы координат общего вида
повышает эффективность расчетов в вычислительной области, так как система координат
является прямоугольной. Вместе с тем, при записи уравнений в криволинейных координатах,
появляются дополнительные члены --- параметры преобразования, определяющие
отображение физической области на пространство обобщенных координат.
Следует особо отметить случаи ортогональных и конформных сеток. В первом случае
при дискретизации модельных уравнений обнуляются некоторые параметры
преобразования --- компоненты метрического тензора преобразования (матрицы Якоби),
находящиеся не на главной диагонали данного тензора. Следствием является уменьшение
погрешности, и, следовательно, повышение точности решения. Использование конформных
преобразований позволяет сохранить такую же структуру модельных уравнений, записанных
в вычислительной системе координат, как и в декартовом пространстве.
Для построения регулярных сеток применяются следующие методы
• Алгебраические методы
• Дифференциальные методы
• Методы теории функций комплексного переменного
Из анализа литературы последних лет следует, что наиболее широко
распространенными являются методы построения сеток на основе решения эллиптических
уравнений и алгебраические методы --- трансфинитная интерполяция и метод многих
поверхностей. Однако, ни один из вышеперечисленных подходов не является
универсальным по отношению ко всему спектру задач вычислительной гидродинамики.
2.2.2
Блочные сетки
Для структурированных сеток сравнительно легко реализуются вычислительные
алгоритмы на основе современных методов высокого порядка точности. Однако, диапазон
геометрических объектов, описываемых структурированными сетками, ограничен. Как
правило, невозможно построить единую сетку для всей расчетной области, в связи с чем
производится разделение поля течения на подобласти, в каждой из которых генерируется
своя сетка регулярной структуры. Блочный подход предоставляет широкие возможности для
использования эффективных численных методов внутри отдельных блоков. Основной
недостаток блочного подхода состоит в достаточно сложной процедуре сшивки решений,
полученных в различных подобластях.
Можно выделить следующие подходы
• Многоблочные структуры. Физическая область разбивается на несколько зон
или блоков, причем границы блоков могут не соответствовать границам физической области.
Затем для каждого блока отдельно строится сетка в соответствии с граничными условиями
для каждой подобласти. Сетки из разных блоков могут как стыковаться точно по
поверхностям раздела физической области на зоны, так и пересекаться между собой.
• Иерархические блочные структуры. Данный метод подразумевает
иерархическую вложенность блоков сетки друг в друга. Нижестоящие по иерархии сетки
''погружены'' в вышестоящие.
2.2.3
Неструктурированные сетки
Характерной особенностью неструктурированных сеток является произвольное
расположение узлов сетки в физической области. Произвольность расположения узлов
понимается в том смысле, что отсутствуют выраженные сеточные направления и нет
структуры сетки, подобной регулярным сеткам. Число ячеек, содержащих каждый
конкретный узел, может изменяться от узла к узлу. Узлы сетки объединяются в
многоугольники (двумерный случай) или в многогранники (трехмерный случай). Как правило
на плоскости используются треугольные и четырехугольные ячейки, а в пространстве --тетраэдры и призмы. Основное преимущество неструктурированных сеток перед
регулярными состоит в большей гибкости при дискретизации физической области сложной
формы, а также в возможности полной автоматизации их построения. Для
неструктурированных сеток легче реализуются локальные сгущения и адаптация сетки в
зависимости от поведения решения. Современные программы генерации сеток позволяют за
приемлемое время строить сетки для сколь угодно сложных геометрических объектов. Для
дискретизации уравнений Навье-Стокса на неструктурированных сетках применяются
методы конечных элементов и конечных объемов. Метод конечных разностей к таким
сеткам неприменим.
Недостатком неструктурированных сеток по сравнению с регулярными сетками
является необходимость хранить информацию о структуре сетки, что повышает требования к
вычислительным ресурсам.
Тем не менее, данный подход получает все более широкое распространение по
следующим причинам
• Процесс генерации сетки сравнительно легко формализуется, и
автоматизируется. Генераторы неструктурированных сеток обладают универсальностью по
отношению к широкому диапазону прикладных задач.
• В случае очень сложной геометрии расчетной области, время генерации
неструктурированной сетки на порядок меньше времени генерации регулярной сетки.
• Измельчение произвольных участков сетки осуществляется естественным
образом, что дает преимущество при использовании адаптивных и многосеточных методов.
Как показывает практика, выбор структуры для представления триангуляции
оказывает существенное влияние на трудоемкость алгоритмов, использующих данную
структуру, а также на скорость конкретной реализации [13]. Рассмотрим структуры данных,
применяемые для двумерных треугольных сеток.
• ''Узлы с соседями''. Для каждого узла триангуляции хранятся его координаты на
плоскости и список указателей на соседние узлы, с которыми есть общие ребра.
Треугольники при этом не представляются вообще, что является обычно существенным
препятствием для дальнейшего применения триангуляции.
• ''Узлы, ребра и треугольники''. В явном виде задаются все виды объектов
триангуляции узлы, ребра и треугольники. Недостатком данной структуры является большой
расход памяти.
• ''Узлы и треугольники''. Для каждого треугольника хранятся три указателя на
образующие его узлы и три указателя на смежные треугольники. Данная структура
триангуляции наиболее часто применяется на практике в силу своей компактности и
относительного удобства в работе.
2.2.4
Гибридные сетки
Гибридные сетки комбинируют регулярные и неструктурированные области сетки.
Данный подход позволяет сочетать достоинства и снизить влияние недостатков, присущих
каждому типу сеток. Простейший пример гибридной сетки --- течение около системы
профилей. Область около профилей покрывается ортогональной регулярной сеткой, а
области между профилями и далекое поле --- неструктурированной. Вычислительный
алгоритм содержит процедуру переключения вычислительных схем на различных сетках, и,
при необходимости, переноса информации с одного типа сетки на другой.
2.3 Особенности методов решения уравнений Навье-Стокса для
несжимаемой жидкости
Для несжимаемой жидкости выполняются свойства
𝑀 = 0,
𝑐 = inf
где 𝑀 -- число Маха, 𝑐 -- местная скорость звука. Предположение о несжимаемости
является также хорошим приближением, например для воздуха при скорости 𝑣 < 100 м/с ,
или числе Маха 𝑀 < 0,3.
При рассмотрении задач о несжимаемой жидкости используется частный случай
уравнений для сжимаемой жидкости. Эти уравнения, в случае отсутствия массовых сил и
подвода тепла извне, записываются следующим образом
∇ ⋅ 𝑣⃗
=
0
⃗⃗
∂𝑣
1
+ 𝑣⃗ ⋅ ∇𝑣⃗ = − 𝜌 ∇𝑝 + 𝜈Δ𝑣⃗
(37)
∂𝑡
Эти уравнения образуют смешанную эллиптически-параболическую систему
относительно неизвестных (𝑝, 𝑣⃗). Моделирование вихревых течений на основе численного
решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости сопровождается рядом
трудностей математического характера.
Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости содержит лишь составляющие
скорости, в связи с чем нет прямой связи с давлением, которая для сжимаемых течений
осуществляется через плотность. Вследствие этого одной из главных проблем является
наложении условия несжимаемости, и возможное возникновение неустойчивости решения
при наложении условия несжимаемости.
Другой проблемой при решении системы уравнений Навье-Стокса является
нелинейность, связанная с конвективными слагаемыми в уравнениях движения, которая
может приводить к появлению осцилляций решения в областях с большими градиентами. В
случае превалирования конвекции над диффузией происходит ухудшение решения из-за
жесткости, которую вносят в систему уравнений конвективные члены, и несимметричности
матрицы системы линейных алгебраических уравнений. Наиболее эффективными методами
учета конвективных слагаемых являются противопотоковые схемы, реализованные методом
конечных объемов.
2.3.1
Метод завихренности и функции тока
В методе завихренности и функции тока [14], выполняется замена переменных для
перехода от компонент скорости (𝑢, 𝑣) к завихренности 𝜔 и функции тока 𝜓, которые в
двумерных декартовых координатах определяются так
∂𝑣
∂𝑢
∂𝜓
∂𝜓
𝜔 = ∂𝑥 − ∂𝑦 ,
= 𝑢,
= −𝑣
(38)
∂𝑦
∂𝑥
Используя новые независимые переменные, можно скомбинировать уравнения
сохранения импульса, исключая из них давление, что дает
∂𝜔
∂𝑡
∂𝜔
∂𝜔
∂2 𝜔
∂2 𝜔
+ 𝑢 ∂𝑥 + 𝑣 ∂𝑦 = 𝜈 ( ∂𝑥 2 + ∂𝑦 2 )
(39)
Это параболическое уравнение в частных производных называется уравнением
переноса завихренности.
Зависимости (38) позволяют получить уравнение для 𝜔 и 𝜓
∂2 𝜓
∂𝑥 2
∂2 𝜓
+ ∂𝑦 2 = −𝜔
(40)
Это выражение представляет собой уравнение Пуассона, являющееся эллиптическим.
Итак, в результате замены переменных, смешанная эллиптически-параболическая
система уравнений разделилась на одно параболическое и одно эллиптическое уравнение.
Обычно эти уравнения решают методом установления по времени.
Чтобы определить давление, необходимо решить уравнение Пуассона для давления
∂2 𝑝
∂2 𝑝
+ ∂𝑦 2 = 2𝜌[∂2 𝜓() ∂𝑥 2 ∂2 𝜓() ∂𝑦 2 ]
∂𝑥 2
(41)
Распространение подхода с использованием завихренности и функции тока в качестве
независимых переменных на трехмерные задачи осложнено тем, что для действительного
трехмерного течения нельзя ввести функцию тока.
2.3.2
Проекционные методы и метод коррекции давления
Конечно-разностные и конечно-объемные методы решения делятся на методы,
использующие процедуру коррекции давления (pressure-based algorithm), и методы,
основанные на принципе расщепления неизвестных (pressure-velocity coupling) [26].
Метод расщепления по физическим факторам подразумевает разделение системы
уравнений Навье-Стокса на последовательность более простых уравнений, таких как
уравнения диффузии, переноса и уравнение Пуассона. Разработка численных методов для
этих уравнений оказывается значительно проще, чем непосредственного для уравнений
Навье-Стокса.
Фактически, производится расчет поля скоростей в два этапа. На первом этапе
вычисляется промежуточное поле скоростей без учета уравнения неразрывности. На втором
этапе осуществляется коррекция поля скоростей, чтобы обеспечить выполнение уравнения
неразрывности. Тем самым осуществляется ''проекция'' поля скоростей на пространство
векторов с нулевой дивергенцией, поэтому методы называются проекционными.
Схема расщепления по физическим факторам (метод проекции), применяемая для
дискретизации уравнений Навье-Стокса, записанных в физических переменных [7].
Пусть в момент времени 𝑡 𝑛 известны поле скорости 𝑣⃗ и поле давления 𝑝. Тогда для
расчета неизвестных функций в момент времени 𝑡 𝑛+1 используется схема расщепления [6],
состоящая из трех этапов.
На этапе 1 предполагается, что перенос количества движения осуществляется только
за счет конвекции и диффузии
⃗⃗ ∗ −𝑣
⃗⃗ 𝑛
𝑣
= −𝑣⃗ 𝑛 ⋅ ∇𝑣⃗ 𝑛 + 𝜈Δ𝑣⃗ 𝑛 + 𝑓⃗ 𝑛
(42)
Δ𝑡
Несмотря на то, что промежуточное поле скорости 𝑣⃗ ∗ не удовлетворяет уравнению
неразрывности, оно имеет физический смысл, так как сохраняет вихревые характеристики
𝑟𝑜𝑡 𝑣⃗ ∗ = 𝑟𝑜𝑡 𝑣⃗ 𝑛+1 .
На этапе 2 по найденному промежуточному полю скорости 𝑣⃗ ∗ , с учетом
соленоидальности вектора скорости 𝑣⃗ 𝑛+1 , рассчитывается поле давления
1
Δ𝑝𝑛+1 = Δ𝑡 ∇𝑣⃗ ∗
(43)
Для решения уравнения Пуассона (43) на каждом шаге по времени могут
использоваться как итерационные, так и прямые методы.
На этапе 3 предполагается, что перенос количества движения осуществляется только
за счет градиента давления (конвекция и диффузия отсутствуют)
⃗⃗ 𝑛+1 −𝑣
⃗⃗ ∗
𝑣
Δ𝑡
= −∇𝑝𝑛+1
(44)
Следует отметить, что уравнение Пуассона (43) получено путем взятия дивергенции от
обеих частей равенства (44) с учетом уравнения неразрывности ∇𝑣⃗ 𝑛+1 = 0.
2.3.3
Метод искусственной сжимаемости
Рассматривается формулировка метода искусственной сжимаемости, в которой в
уравнение неразрывности включено слагаемое, содержащее производную давления по
искусственному времени [26, 22]. Полученное уравнение вместе с уравнениями сохранения
количества движения образуют гиперболическую систему уравнений, для которой скорость
распространения возмущений давления конечна.
Преимущество метода при решении задач стационарного течения, заключается в том,
что он не требует получения поля скоростей с нулевой дивергенцией на каждой итерации.
Дивергенция поля скоростей автоматически обращается в ноль, когда решение
устанавливается во времени. Кроме того, данный метод может быть обобщен на случай
нестационарного движения.
За счет введения искусственного уравнения состояния, уравнение неразрывности
приводится к виду
∂𝑝
∂(𝜌𝑣𝑖 )
1𝛽 2 +
=0
(45)
∂𝜏
∂𝑥𝑖
Параметр β, представляющий собой искусственную скорость звука должен быть
выбран с учетом двух факторов. С одной стороны, искусственная скорость звука должна быть
близка к скорости движения жидкости, обеспечивая лучшую обусловленность системы. С
другой стороны, искусственная скорость звука должна быть достаточно велика, чтобы
возмущения поля давлений успевали распространяться достаточно далеко до того, как
произойдет их затухание. Тем самым осуществляется переход к установившемуся состоянию,
при котором выполняется условие несжимаемости. Для обезразмеренных уравнений этим
условиям удовлетворяет диапазон значений 𝛽 от 0.1 до 10, предложенный в работе [29].
С точки зрения линейной алгебры, система линейных уравнений, возникающая при
дискретизации уравнений метода искусственной сжимаемости, оказывается хорошо
обусловленной (при правильном выборе параметра 𝛽 ) по сравнению с исходными
уравнениями. Любые другие методы решения должны использовать специальные приемы
для получения корректных распределений давления.
В случае применения метода искусственной сжимаемости для расчета
нестационарных течений, применяется метод двойных шагов по времени (dual time step)
[33].
В этом случае интегрирование по физическому времени 𝑡 осуществляется только для
уравнения сохранения количества движения. На каждом шаге физического времени
осуществляется итерационный процесс интегрирования по искусственному времени 𝜏
следующей системы
∂𝑝
∂(𝜌𝑣𝑖 )
1𝛽 2 +
=
0
∂𝜏
∂𝑣𝑖
∂𝑡
+
∂𝑣𝑖
∂𝜏
+
∂𝑥𝑖
∂(𝑣𝑖 𝑣𝑗 )
∂𝑥𝑗
=
1 ∂𝑝
−𝜌
∂𝑥𝑖
+𝜈
∂2 𝑣𝑖
∂𝑥𝑗2
(46)
Таким образом, на каждом шаге физического времени обеспечивается выполнение
условия несжимаемости.
2.4
Задачи с подвижными границами
При расчете обтекания тел, перемещающихся относительно физической области,
возникает задача с подвижными границами. Для моделирования движущихся границ
применяются методы с подвижной и неподвижной сетками.
2.4.1
Методы с подвижной сеткой
Данный метод также носит название метода лагранжевых координат.
Расчетная сетка строится таким образом [21], чтобы границы ячееек совпадали с
границами расчетной области. По мере перемещения границ области, сетка деформируется,
повторяя движение границы. Таким образом, наложение граничных условий осуществляется
с высокой точностью. Однако, необходимость расчитывать новое положение расчетной сетки
для каждого момента времени увеличивает затраты вычислительных ресурсов.
В задачах с подвижными границами применяются уравнения Навье-Стокса в
консервативной форме. Рассмотрим интегральную форму записи этих уравнений для
некоторого контрольного объема Ω.
Так, уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости будет иметь вид
(47)
∫𝑆 (𝑣⃗, 𝑛⃗⃗) 𝑑𝑆 = 0
Уравнения сохранения количества движения, записанные относительно вектора скорости 𝑣⃗
примут вид
∫Ω
∂
∂𝑡
𝑝
𝑣⃗ 𝑑Ω + ∫𝑆 𝑣⃗(𝑣⃗, 𝑛⃗⃗) 𝑑𝑆 = ∫𝑆 [ 𝜈(∇𝑣⃗, 𝑛⃗⃗) − 𝜌 𝑛⃗⃗ ] 𝑑𝑆
(48)
где 𝑛⃗⃗ -- нормаль к границе контрольного объема.
Если используется подвижная сетка, то величина конвективного потока через границу
контрольного объема будет зависеть от скорости движения границы, тогда как величина
диффузионного потока останется без изменений. При этом уравнение (48) принимает вид
∫Ω
∂
∂𝑡
𝑝
𝑣⃗ 𝑑Ω + ∫𝑆 (𝑣⃗ − 𝑣⃗𝑔 )(𝑣⃗, 𝑛⃗⃗) 𝑑𝑆 = ∫𝑆 [ 𝜈(∇𝑣⃗, 𝑛⃗⃗) − 𝜌 𝑛⃗⃗ ] 𝑑𝑆
(49)
где 𝑣⃗𝑔 -- скорость перемещения границы данной ячейки.
При дискретизации уравнений, положение и скорость движения границ контрольных
объемов в каждый момент времени вычисляется в соответствии с перемещением твердого
тела[25, 19]. Для каждого контрольного объема записываются уравнения вида (47, 49).
Величина скорости на участках границ контрольных объемов, совпадающих с границей
движущегося тела, приравнивается к скорости этого тела.
2.4.2
Методы с неподвижной сеткой
Данный метод также носит название метода эйлеровых координат.
Расчет осуществляется на неподвижной сетке. При этом для тех ячеек, часть объема
которых лежит вне области, занятой жидкостью, уравнения для записываются специальным
образом [21]. Таким образом граница расчетной области в явном виде отсутствует. При этом
возможна потеря точности, если разрешение сетки оказывается недостаточным для
отображения деформации границы.
Рассмотрим некоторый контрольный объем Ω , часть которого Ω𝑏 занята
движущимся твердым телом. Оставшаяся часть объема Ω𝑓 занята жидкостью. При этом
часть поверхности 𝑆𝑏 располагается внутри твердого тела, а 𝑆𝑓 --- внутри жидкости. Участок
поверхности 𝑆𝑏𝑓 представляет собой границу между объемами Ω𝑏 и Ω𝑓 .
Учитывая, что скорость каждой точки твердого тела 𝑣⃗𝑏 задана, уравнение
неразрывности для всего контрольного объема Ω может быть записано в виде
(50)
∫𝑆 (𝑣⃗, 𝑛⃗⃗𝑓 ) 𝑑𝑆𝑓 + ∫𝑆 (𝑣⃗𝑏 , 𝑛⃗⃗𝑏 ) 𝑑𝑆𝑏 = 0
𝑓
𝑏
где 𝑛⃗⃗𝑓 , 𝑛⃗⃗𝑏 -- внешние нормали к 𝑆𝑓 и 𝑆𝑏 соответственно.
Другим вариантом является запись уравнения неразрывности только для объема Ω𝑓 ,
занятго жидкостью
(51)
∫𝑆 (𝑣⃗, 𝑛⃗⃗𝑓 ) 𝑑𝑆𝑓 + ∫𝑆 (𝑣⃗𝑏 , 𝑛⃗⃗𝑓 ) 𝑑𝑆𝑏𝑓 = 0
𝑓
𝑏𝑓
где 𝑛⃗⃗𝑏𝑓 -- нормаль к 𝑆𝑏𝑓 .
Соответственно, уравнение сохранения количества движения для объема Ω𝑓 , будет
иметь вид
∫Ω
∂
𝑓
∂𝑡
𝑝
𝑣⃗ 𝑑Ω𝑓 + ∫𝑆 𝑣⃗(𝑣⃗, 𝑛⃗⃗𝑓 ) 𝑑𝑆𝑓 = ∫𝑆 [ 𝜈(∇𝑣⃗, 𝑛⃗⃗𝑓 ) − 𝜌 𝑛⃗⃗𝑓 ] 𝑑𝑆𝑓
𝑓
𝑓
(52)
При дискретизации уравнений на неподвижной сетке, поверхность движущегося тела
в пределах каждого каждого контрольного объема как правило аппроксимируется
плоскостью[21]. Для контрольных объемов, содержащих фрагменты движущегося тела,
записываются уравнения вида (51, 52), для не содержащих --- уравнения вида (47, 48).
2.5
Методы решения СЛАУ
Одним из наиболее емких, с точки зрения затрат машинных ресурсов, этапов
вычислительной процедуры является решение системы линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) большой размерности. Необходимость решения такой системы возникает в
следующих двух случаях
• в результате применения неявных схем для дискретизации определяющих
уравнений по времени,
• в результате дискретизации уравнения Пуассона при использовании
проекционных методов наложения условия несжимаемости.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений, записанную в виде
𝐴 𝑥 = 𝑏
(53)
где
𝐴 = {𝑎𝑖𝑗 } -- матрица системы, имеющая размерность 𝑛 × 𝑛 , вектор
𝑥 =
(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) -- вектор решения, 𝑏 = (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 ) -- вектор правых частей.
Численные методы решения систем данного вида [3, 8] принято разделять на два
класса: прямые методы и итерационные.
Методы, позволяющие получить решение системы уравнений за конечное число
арифметических операций, называются прямыми. К ним относятся метод Крамера, метод
исключения Гаусса, метод 𝐿𝑈-разложения и ряд других методов. Основным недостатком
прямых методов являются жесткие требования к быстродействию и памяти. Например,
метод Гаусса требует выполнения порядка 𝑛3 арифметических операций и хранения
порядка 𝑛2 переменных. Кроме того, если 𝑛 велико, то машинная погрешность
вычислений будет оказывать значительное влияние на конечный результат.
Итерационный метод общего вида [2, 8] основан на последовательном улучшении
начального приближения решения. Построение последовательности приближений
осуществляется посредством единообразного процесса, называемого процессом итераций.
Вычислительный процесс заканчивается, когда изменение решения при переходе к
следующей итерации становится достаточно малым, или когда невязка уменьшается до
заданного значения. Итерационные методы требуют хранения порядка 𝑛 переменных, а
время решения зависит от обусловленности матрицы и качества начального приближения.
Например для методов Якоби и Гаусса-Зейделя количество арифметических операций
составляет порядка 𝑘 2 , где 𝑘 -- количество проведенных итераций. Особенностью
итерационных методов является необходимость исследования сходимости каждого метода.
Общая структура итерационных методов связана с представлением матрицы в виде
𝐴 = 𝑁 − 𝑆 и видоизмененной формой исходного уравнения ( 𝑁 − 𝑆 ) 𝑥 = 𝑏 .
Различные итерационные методы отличаются друг от друга способом выбора матрицы 𝑁 .
Примером обычных итерационных методов могут служить метод Якоби (метод простых
итераций), метод Зейделя, метод последовательной релаксации. К отдельному классу
следует отнести вариационные итерационные методы: метод наискорейшего спуска,
минимальных невязок, минимальных поправок, минимальных погрешностей и другие.
2.5.1
Классические итерационные методы
Рассмотрим для системы (53) итерационный процесс общего вида, заданный
следующим образом
𝑥 𝑘+1 = 𝑥 𝑘 − 𝐻 𝑘 ( 𝐴 𝑥 𝑘 − 𝑏 )
где 𝐻 𝑘 -- невырожденная матрица. Перепишем выражение в виде
𝑥 𝑘+1 = 𝑇 𝑘 𝑥 𝑘 + 𝐻 𝑘 𝑏
(54)
𝑘
𝑘
где 𝑇 = 𝐼 − 𝐻 𝐴 -- оператор 𝑘-го шага итерационного процесса, 𝐼 -- единичная
матрица.
Пусть 𝑥 ∗ -- точное решение системы. Введем обозначения
𝑧 𝑘 = 𝑥 𝑘 − 𝑥 ∗,
𝑟𝑘 = 𝐴 𝑥𝑘− 𝑏
𝑘
𝑘
где 𝑧 -- вектор ошибки, 𝑟 -- вектор невязки. В таком случае имеют место
соотношения
𝐴 𝑧 𝑘 = 𝑟 𝑘,
𝑧 𝑘+1 = 𝑇 𝑘 𝑟 𝑘
Итерационный процесс (54) называется сходящимся, если последовательность { 𝑥 𝑘 }
сходится к 𝑥 ∗ при любом начальном приближении 𝑥 0 . Итерационный процесс
называется стационарным, если 𝑇 𝑘 не зависит от номера итерации 𝑘. В противном
случае процесс называется нестационарным.
2.5.2
Методы вариационного типа
В методах вариационного типа [2, 8] решение линейной алгебраической системы
заменяется эквивалентной экстремальной задачей. Пользуясь обозначениями (53), образуем
квадратичный функционал следующего вида
Φ( 𝑥 ) = ( 𝐴 𝑥 , 𝑥 ) − 2( 𝑏 , 𝑥 )
(55)
где символ (⋅,⋅) обозначает скалярное произведение двух векторов. Можно показать, что
если матрица 𝐴 симметрична и положительно определена, то задача решения системы
линейных уравнений и задача минимизации функционала (55) эквивалентны. Для случая
произвольной невырожденной матрицы 𝐴 , не являющейся симметричной, можно
сформулировать аналогичную задачу минимизации функционала.
Конструирование итерационного процесса осуществляется путем применения к
задаче (55) различных методов численной минимизации функционала.
Итерационные методы Крылова
[8] Наиболее эффективными и устойчивыми среди итерационных методов являются
проекционные методы, связанные с проектированием на подпространства Крылова (Krylov
subspace methods). По сравнению с классическими итерационными методами, они не
содержат эмпирически подбираемых параметров и позволяют получить более высокую
скорость сходимости, несмотря на увеличение числа операций на каждой итерации.
В семейство итерационных методов Крылова входят, в частности
• обобщенный метод минимальных невязок (Generalized Minimum Residual,
GMRES),
• метод сопряженных градиентов (Conjugate Gradients, CG),
• метод квадратичных сопряженных градиентов (Conjugate Gradients Squared,
CGS),
• метод бисопряженных градиентов (Bi-Conjugate Gradients, BiCG),
• метод бисопряженных градиентов со стабилизацией (BiCGStab).
2.6
Выводы
Исходя из поставленной задачи расчета течений в сложных областях с подвижными
границами, для разделения расчетной области на элементы наиболее перспективным, с
точки зрения автора, оказывается неструктурированный тип сетки.
Для пространственной дискретизации определяющих уравнений выбран метод
конечных объемов с высоким порядком аппроксимации, который, наряду с другими
достоинствами, хорошо зарекомендовал себя при расчетах на неструктурированных сетках.
Для наложения условия несжимаемости в уравнениях Навье-Стокса выбран подход с
искусственной сжимаемостью. Результирующие уравнения дискретизируются по времени
при помощи неявной схемы второго порядка точности. Возможность применения метода
искусственной сжимаемости для решения нестационарных задач обеспечивается за счет
применения метода двойных шагов по времени.
Учитывая, что система линейных алгебраических уравнений, возникающая в
результате применения неявной схемы дискретизации по времени, имеет большую
размерность и обладает разреженной несимметричной матрицей, для решения этой
системы выбран итерационный метод бисопряженных градиентов.
2
Численная реализация разработанного метода
1
Общая постановка задачи и основные допущения
Рассматривается нестационарное турбулентное (низкорейнольдсовое) обтекание
двумерного тела произвольной формы, совершающего колебания вблизи плоских границ
раздела сред или в неограниченной жидкости. Предполагается, что массовые силы,
действующие в жидкости, известны и постоянны во времени. в начальный момент времени
также известны все характеристики течения: давление, компоненты вектора скорости,
плотность и кинематическая вязкость жидкости. На всем временном промежутке известны
значения гидродинамических характеристик на границах расчетной области, а также закон
перемещения обтекаемого тела.
Необходимо определить состояние поля скоростей и давления в последующие
моменты времени, а также интегральные гидродинамические характеристики потока.
Течение описывается осредненными по Рейнольдсу уравнениями Навье-Стокса
∇ ⋅ 𝑣⃗
=
0
⃗⃗
∂𝑣
1
+ 𝑣⃗ ⋅ ∇𝑣⃗ = − 𝜌 ∇𝑝 + ∇[(𝜈 + 𝜈𝑡 )∇𝑣⃗ ]
(56)
∂𝑡
На твердых границах задаются условия прилипания и непротекания, а также
граничное условие для давления. Задается профиль скорости набегающего потока.
Начальные условия представляют собой заранее заданные распределения полей скоростей и
давления в начальный момент времени, которые должны удовлетворять уравнениям (56).
Для замыкания системы уравнений (56) используется стандартная модель
турбулентности Спаларта-Аллмараса.
𝜈𝑡
=
𝜈̃𝑓𝜈1
∂𝜈̃ ∂𝑡 + (𝑣⃗ ⋅ ∇)𝜈̃ =
𝑐𝑏1 𝑆̃𝜈̃ − 𝑐𝑤1 𝑓𝑤 𝜈̃()𝑑2 +
(57)
2
+1𝜎{∇[(𝜈 + 𝜈̃)∇𝜈̃] + 𝑐𝑏2 (∇𝜈̃) }
Последующие разделы посвящены численной реализации описанной математической
модели течения вязкой несжимаемой жидкости.
2
Особенности метода расчета
Сформулируем основные методологические особенности разработанного метода,
которые будут детально рассмотрены в следующих разделах данной главы.
Расчетный алгоритм построен с использованием метода искусственной сжимаемости,
что позволяет избежать возникновения неустойчивости решения при наложении условия
несжимаемости. Получение монотонного решения при сохранении точности обеспечивается
путем применения противопоточной схемы высокого порядка для расчета конвективных
слагаемых. Для пространственной дискретизации определяющих уравнений применяется
метод конечных объемов на неструктурированных треугольных сетках. Построение
расчетной сетки осуществляется с использованием внешнего генератора (Gambit, Geompack).
В предложенном подходе контрольные объемы выбраны совпадающими с ячейками
сетки. В качестве основных переменных выступают средние значения переменных решения
(давление и компоненты скорости потока) по ячейкам сетки, заданные в центральных точках
ячеек.
Нахождение как конвективного, так и диффузионного потоков на границе
контрольной ячейки осуществляется при помощи кусочно-линейной аппроксимации
решения в каждой ячейке. Коэффициенты аппроксимационного полинома в ячейке
определяются методом наименьших квадратов. Монотонность аппроксимации
обеспечивается
при
помощи
ограничивающего
множителя.
Кусочно-линейная
аппроксимация позволяет находить со вторым порядком точности значение решения в
любой точке ячейки, а также градиент решения в центральной точке ячейки.
Величина конвективного потока через границу ячейки определяется при помощи
противопоточной схемы, по значениям переменных решения, вычисленным при помощи
аппроксимационных полиномов двух соседних ячеек. При этом учитывается скорость
перемещения сторон ячеек деформируемой расчетной сетки. Значение градиента на границе
между двумя ячейками, используемое при вычислении диффузионного потока,
определяется как взвешенное среднее его значений в соседних ячейках, пропорционально
их площадям.
В случае расчета установившегося течения, для интегрирования уравнений по
искусственному времени применяется неявная схема Эйлера первого порядка точности. Для
расчета нестационарного течения применяется техника введения дополнительных итераций
по искусственному времени на каждом шаге физического времени. При этом для
дискретизации по физическому времени используется неявная формула Эйлера второго
порядка. Получаемая таким образом СЛАУ является аналогом соответствующей системы для
случая установившегося течения, что позволяет создать универсальный программный код,
пригодный для решения обеих задач.
3
Дискретизация по пространству. Метод конечных объемов
Решение осуществляется на основе осредненных по Рейнольдсу уравнений
Навье-Стокса с искусственной сжимаемостью. После приведения к безразмерному виду,
консервативная форма этой системы уравнений имеет вид
∂𝑝
+ 𝛽 2 ∇ ⋅ 𝑣⃗
=
0
∂𝑡
(58)
⃗⃗
∂𝑣
1
(𝑣⃗ ⋅ 𝑣⃗) = −∇𝑝 + ∇ [( + 𝜈𝑡 ) ∇𝑣⃗ ]
+
∇
⋅
∂𝑡
𝑅𝑒
В качестве безразмерного параметра принимается число Рейнольдса 𝑅𝑒 = 𝑈0 𝐿0 /𝜈,
где 𝐿0 , 𝑈0 -- характерные длина и скорость, 𝜈 -- кинематическая вязкость, 𝜈𝑡 -обезразмеренная турбулентная кинематическая вязкость, определяемая при помощи
модели Спаларта-Аллмараса.
Интегральная форма уравнений (58), записанная для контрольной ячейки 𝑆, имеет
вид
∂𝑝
=
0
∫𝑆 ∂𝑡 𝑑𝑆 + 𝛽 2 ∫𝐿 (𝑣⃗ ⋅ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝑙
(59)
⃗⃗
∂𝑣
1
∫𝑆 ∂𝑡 𝑑𝑆 + ∫𝐿 𝑣⃗(𝑣⃗ ⋅ 𝑛⃗⃗) + 𝑝𝑛⃗⃗ 𝑑𝑙 = (𝑅𝑒 + 𝜈𝑡 ) ∫𝐿 (∇𝑣⃗ ⋅ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝑙
В случае, если граница контрольной ячейки 𝑆 подвижна, второе уравнение
принимает вид
⃗⃗
∂𝑣
1
(60)
∫𝑆 ∂𝑡 𝑑𝑆 + ∫𝐿 (𝑣⃗ − 𝑣⃗𝑔 )(𝑣⃗ ⋅ 𝑛⃗⃗) + 𝑝𝑛⃗⃗ d𝑙 = (𝑅𝑒 + 𝜈𝑡 ) ∫𝐿 (∇𝑣⃗ ⋅ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝑙
где 𝑣⃗𝑔 -- скорость перемещения границы.
Перепишем полученную систему уравнений относительно вектора физических
переменных 𝑞 следующим образом
∂ 𝑞
∫𝑆 ∂𝑡 𝑑𝑆 + ∫𝐿 ( 𝑒 − 𝑒 𝑣 )𝑛𝑥 + ( 𝑓 − 𝑓 𝑣 ) 𝑑𝐿 = 0
где 𝑞 -- вектор переменных решения, включающий в себя давление и компоненты
скорости, 𝑒, 𝑓 -- невязкие потоки, 𝑒 𝑣 , 𝑓 𝑣 -- вязкие потоки
𝑝
𝛽2𝑣
𝛽2𝑢
𝑞 = (𝑢 ) ,
𝑒 = (𝑢 2 + 𝑝 ) ,
𝑓 = (𝑢𝑣
)
2
𝑣
𝑣
+
𝑝
𝑢𝑣
𝑒
∂𝑢
𝑣
0
= (𝜃𝑥𝑥 ),
𝜃𝑥𝑦
𝑓
𝑣
∂𝑢
0
= (𝜃𝑦𝑥 )
𝜃𝑦𝑦
∂𝑣
∂𝑣
𝜃𝑥𝑦 = 2𝜈Σ (∂𝑥 ), 𝜃𝑥𝑦 = 𝜃𝑦𝑥 = 𝜈Σ (∂𝑦 + ∂𝑥), 𝜃𝑦𝑦 = 2𝜈Σ (∂𝑦)
где 𝛽 -- параметр искусственной сжимаемости, 𝜈Σ = (1/𝑅𝑒 + 𝜈𝑡 ) .
В случае подвижной границы ячейки, вместо 𝑒 , 𝑓 используются
𝑒 ∗,
𝑓∗
𝛽2𝑢
𝛽2𝑣
𝑒 ∗ = (𝑢(𝑢 − 𝑢𝑔 ) + 𝑝) ,
𝑓 ∗ = (𝑣(𝑢 − 𝑢𝑔 )
)
𝑢(𝑣 − 𝑣𝑔 )
𝑣(𝑣 − 𝑣𝑔 ) + 𝑝
Представив границу ячейки в виде суммы сторон, найдем значение интеграла по каждой
грани при помощи квадратурной формулы прямоугольников. Тем самым получим уравнения
метода конечных объемов, записанные относительно вязкого и невязкого потоков через
поверхность контрольного объема.
∂ 𝑞
𝑆𝑖 ∂𝑡 𝑖 + ∑𝑗 𝐹 (𝑖,𝑗) − ∑𝑗 𝑅 (𝑖,𝑗) = 0
(61)
где 𝑆𝑖 -- площадь 𝑖-ой ячейки, 𝐹 (𝑖,𝑗) и 𝑅 (𝑖,𝑗) -- невязкий и вязкий потоки через 𝑗-ый
отрезок границы этой ячейки, имеющие следующий вид
𝐹 = 𝑒 𝑆𝑥 + 𝑓 𝑆𝑦 ,
𝑅 = 𝑒 𝑣 𝑆𝑥 + 𝑓 𝑣 𝑆𝑦 ,
где 𝑆𝑥 , 𝑆𝑦 проекции вектора 𝑆⃗ = 𝑆𝑛⃗⃗ представляющего собой единичную нормаль к
стороне ячейки умноженную на длину этой стороны.
Таким образом невязкий и вязкий потоки представляются в виде функций вектора
переменных решения
𝛽 2 𝑢𝑆𝑥 + 𝛽 2 𝑣𝑆𝑦
𝐹 ( 𝑞 ) = ((𝑢2 + 𝑝)𝑆𝑥 + 𝑢𝑣𝑆𝑦 )
(62)
2
𝑢𝑣𝑆𝑥 + (𝑣 + 𝑝)𝑆𝑦
0
𝑅 ( 𝑞 ) = (𝜃𝑥𝑥 𝑆𝑥 + 𝜃𝑥𝑦 𝑆𝑦 )
(63)
𝜃𝑦𝑥 𝑆𝑥 + 𝜃𝑦𝑦 𝑆𝑦
Используя обозначение 𝑈 = 𝑢𝑆𝑥 + 𝑣𝑆𝑦 , удобно представить невязкий поток следующим
образом
𝛽2𝑈
𝐹 ( 𝑞 ) = (𝑢𝑈 + 𝑝𝑆𝑥 )
𝑣𝑈 + 𝑝𝑆𝑦
В случае подвижной границы ячейки, невязкий поток примет вид
𝛽2𝑈
𝐹 ∗ ( 𝑞 ) = ((𝑢 − 𝑢𝑔 )𝑈 + 𝑝𝑆𝑥 )
(𝑣 − 𝑣𝑔 )𝑈 + 𝑝𝑆𝑦
3.1
Аппроксимация невязкого потока
Чтобы избежать возникновения осцилляций, связанных с нелинейностью
конвективных слагаемых, будем использовать противопотоковую схему [32] для вычисления
невязкого потока через каждую грань контрольного объема (сторону ячейки).
В этом случае поток 𝐹 через общую грань двух контрольных объемов (общий
отрезок границы двух ячеек) будет иметь вид
𝐹 (𝑖,𝑗) = 12[ 𝐹 ( 𝑞 𝑅 ) + 𝐹 ( 𝑞 𝐿 ) + | 𝐴 |(𝑖,𝑗) ( 𝑞 𝑅 − 𝑞 𝐿 )]
(64)
𝐿
𝑅
где 𝑞 и 𝑞 -- значения вектора переменных 𝑞 на внутренней и внешней сторонах
отрезка границы. Элементы матрицы | 𝐴 | вычисляются как функции переменных решения
в точке границы 𝑞 (𝑖,𝑗) = ( 𝑞 𝑅 + 𝑞 𝐿 )/2.
Здесь матрица | 𝐴 | представляет собой модуль якобиана 𝐴 = ∂ 𝐹 / ∂ 𝑞 .
Представим матрицу Якоби 𝐴 в виде
𝐴 = 𝑋 Λ 𝑋 −1
(65)
где 𝑋 -- матрица собственных векторов якобиана, Λ -- диагональная матрица его
собственных значений. Тогда | 𝐴 | определяется следующим образом
| 𝐴 | = 𝑋 | Λ | 𝑋 −1
(66)
Выпишем структуру перечисленных матриц.
0 𝛽 2 𝑆𝑥
𝛽 2 𝑆𝑦
𝑆 𝑢𝑆𝑥 + 𝑈 𝑢𝑆𝑦
∂ 𝐹
𝐴 =∂ 𝑞 = 𝑥
𝑆𝑦 𝑣𝑆𝑥
𝑣𝑆𝑦 + 𝑈
[
]
Якобиан 𝐴 имеет три собственных значения
𝑈, 𝑈 + 𝑐, 𝑈 − 𝑐
где 𝑐 -- искусственная скорость звука
𝑐 = √𝑈 2 + 𝛽 2 (𝑆𝑥2 + 𝑆𝑦2 ), 𝑈 = 𝑢𝑆𝑥 + 𝑣𝑆𝑦
Матрица собственных значений якобиана 𝐴 и ее модуль имеют вид
|𝑈| 0
0
𝑈 0
0
0
|𝑈
+
𝑐|
0
0 𝑈+𝑐 0
Λ =[
], | Λ | = [
]
0 0
𝑈−𝑐
0
0
|𝑈 − 𝑐|
(67)
Матрица собственных векторов якобиана 𝐴 имеет вид
0
𝑐𝛽 2
−𝑐𝛽 2
𝛽 2 𝑆𝑥 + 𝑢(𝑈 + 𝑐) 𝛽 2 𝑆𝑥 + 𝑢(𝑈 − 𝑐)]
𝑋 = [𝑆𝑦
−𝑆𝑥 𝛽 2 𝑆𝑦 + 𝑣(𝑈 + 𝑐) 𝛽 2 𝑆𝑦 + 𝑣(𝑈 − 𝑐)
В случае подвижной границы ячейки, Якобиан примет вид
0 𝛽 2 𝑆𝑥
𝛽 2 𝑆𝑦
𝑆 (𝑢 − 𝑢𝑔 )𝑆𝑥 + 𝑈 𝑢𝑆𝑦
∂ 𝐹∗
𝐴∗ = ∂ 𝑞 = 𝑥
𝑆𝑦 𝑣𝑆𝑥
(𝑣 − 𝑣𝑔 )𝑆𝑦 + 𝑈
[
]
Его собственными числами будут
𝑈, 𝑈 ∗ + 𝑐 ∗ , 𝑈 ∗ − 𝑐 ∗
где
1
𝑈 ∗ = 𝑈 − 2 (𝑢𝑔 𝑆𝑥 + 𝑣𝑔 𝑆𝑦 ), 𝑐 ∗ = √(𝑈 ∗ )2 + 𝛽 2 (𝑆𝑥2 + 𝑆𝑦2 )
3.2
(68)
Полиномиальная аппроксимация
Так как переменные решения заданы в центральных точках ячеек, то их значения в
точках отрезков, должны быть интерполированы.
В данном случае полиномиальная аппроксимация [17] применяется для вычисления
𝐿
𝑞 и 𝑞 𝑅 -- значений вектора переменных на внутренней и внешней сторонах отрезка, а
также для вычисления компонентов градиента 𝑞 𝑥 , 𝑞 𝑦 в центральной точке ячейки.
3.2.1
Кусочно-постоянная аппроксимация
Данная аппроксимации обладает первым порядком точности по пространству. Как в
двумерном, так и в трехмерном случаях, значения 𝑞 𝐿 и 𝑞 𝑅 принимаются равными
значениям вектора 𝑞 в центрах соответствующих ячеек
𝑞 𝐿 = 𝑞 𝑖,
𝑞 𝑅 = 𝑞𝑗
(69)
Таким образом, значение конвективного потока через границу между 𝑖 -ой и 𝑗 -ой
ячейками, при использовании противопотоковой схемы, будет иметь вид
𝐹 (𝑖,𝑗) = 12[ 𝐹 ( 𝑞 𝑖 ) + 𝐹 ( 𝑞 𝑗 ) + | 𝐴 |(𝑖,𝑗) ( 𝑞 𝑗 − 𝑞 𝑖 )]
(70)
3.2.2
Кусочно-линейная аппроксимация
Данная аппроксимация имеет второй порядок точности. Обозначим одну из
компонент вектора переменных решения как некоторую скалярную переменную 𝑞 , и
рассмотрим кусочно-линейную аппроксимацию этой переменной.
В пределах ячейки, функция 𝑞(𝑥⃗) представляется в виде
𝑞(𝑥⃗) = 𝑞0 + ∇𝑞0 (𝑥⃗ − 𝑥⃗0 )
(71)
где 𝑥⃗0 -- центральная точка ячейки, ∇𝑞0 -- значение градиента функции 𝑞(𝑥⃗) в этой
точке.
Подставляя значения переменной в соседних ячейках и координаты центров этих
ячеек, получаем систему уравнений:
(𝑥⃗𝑖 − 𝑥⃗0 )∇𝑞0 = 𝑞𝑖 − 𝑞0 , 𝑖 = 1, … , 𝑚
(72)
где 𝑚 -- количество соседних ячеек. Количество соседних ячеек больше, чем количество
компонент градиента (три соседних треугольных ячейки в двумерном, и четыре соседних
тетраэдра в трехмерном случае). Таким образом, система линейных уравнений оказывается
переопределенной, и ее решение может быть найдено методом наименьших квадратов.
Воспользуемся трансформацией Гаусса, которую можно записать как
Λ 𝑥 = 𝜑 ⇒
Λ𝑇 Λ 𝑥 = Λ𝑇 𝜑 ⇒
𝐿 𝑥 = 𝑓
Известно, что решение системы 𝐿 𝑥 = 𝑓 является обобщенным решением системы
Λ 𝑥 = 𝜑 , доставляющим этой системе минимум нормы невязки. Такое решение,
полученное для системы (72), будет искомым значением градиента.
Решив СЛАУ метода наименьших квадратов численно (например методом Гаусса),
можно получить значения 𝑞𝑥 , 𝑞𝑦 для данной ячейки. Если же когда возникает
необходимость выразить 𝑞𝑥 , 𝑞𝑦 через узловые значения 𝑞 , необходимо решить СЛАУ
метода наименьших квадратов аналитически (методом Крамера).
Построим при помощи метода наименьших квадратов систему линейных
алгебраических уравнений относительно компонентов градиента функции 𝑞 в центре
ячейки.
𝑞(𝑥, 𝑦) = 𝑞0 + 𝑞𝑥 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑞𝑦 (𝑦 − 𝑦0 )
(73)
Система уравнений, записанная в матричной форме, имеет вид
𝑞1 − 𝑞0
Δ𝑥1 Δ𝑦1 𝑞
𝑥
[Δ𝑥2 Δ𝑦2 ] (𝑞 ) = (𝑞2 − 𝑞0 )
𝑦
𝑞3 − 𝑞0
Δ𝑥3 Δ𝑦3
где Δ𝑥𝑘 , Δ𝑦𝑘 -- проекции расстояния от центра 𝑘-ой ячейки до центра нулевой ячейки на
координатные оси. Данная система является переопределенной. Воспользуемся
трансформацией Гаусса для перехода к системе уравнений метода наименьших квадратов
следующего вида
𝑓
𝐿
𝐿12 𝑞𝑥
[ 11
] (𝑞 ) = ( 1 )
(74)
𝐿21 𝐿22
𝑦
𝑓2
Здесь
𝐿11 = ∑3𝑖=1 (Δ𝑥𝑖 )2 , 𝐿12 = 𝐿21 = ∑3𝑖=1 Δ𝑥i Δ𝑦𝑖 , 𝐿22 = ∑3𝑖=1 (Δ𝑦𝑖 )2
𝑓1 = ∑3𝑖=1 Δ𝑥𝑖 (𝑞𝑖 − 𝑞0 ), 𝑓2 = ∑3𝑖=1 Δ𝑦𝑖 (𝑞𝑖 − 𝑞0 )
где индекс 𝑖 обозначает суммирование по ячейкам, соседним с нулевой ячейкой. Таким
образом, получена систему линейных уравнений для нахождения компонентов градиента.
Найдем решение системы (74) аналитически при помощи метода Крамера, выражая
компоненты градиента функции 𝑞 через ее узловые значения
𝑞𝑥 = Δ𝑥 Δ,
𝑞𝑦 = Δ𝑦 Δ
где определители Δ𝑥 , Δ𝑦 и Δ имеют вид
𝐿11 𝐿12
Δ = |𝐿21 𝐿22 | = 𝐿11 𝐿22 − 𝐿212
(75)
𝑓1
Δ𝑥 = |𝑓2
𝐿12
𝐿22 | = 𝐿22 𝑓1 − 𝐿12 𝑓2
(76)
𝐿11
Δ𝑦 = |𝐿12
𝑓1
𝑓2 | = 𝐿11 𝑓2 − 𝐿12 𝑓1
(77)
Выпишем выражения для 𝑞𝑥 и 𝑞𝑦 , группируя слагаемые, содержащие значения
переменной 𝑞 в одних и тех же ячейках
𝑞𝑥 = 𝐶𝑥0 𝑞0 + ∑3𝑖=1 𝐶𝑥𝑖 𝑞𝑖 ,
𝑞𝑦 = 𝐶𝑦0 𝑞0 + ∑3𝑖=1 𝐶𝑦𝑖 𝑞𝑖
(78)
где коэффициенты 𝐶𝑥0 , 𝐶𝑦0 и 𝐶𝑥𝑖 , 𝐶𝑦𝑖 будут иметь вид
𝐶𝑥0 = −1Δ ∑3𝑖=1 (𝐿22 Δ𝑥𝑖 − 𝐿12 Δ𝑦𝑖 ), 𝐶𝑥𝑖 = 1Δ(𝐿22 Δ𝑥𝑖 − 𝐿12 Δ𝑦𝑖 )
𝐶𝑦0 = 1Δ ∑3𝑖=1 (𝐿12 Δ𝑥𝑖 − 𝐿11 Δ𝑦𝑖 ), 𝐶𝑦𝑖 = −1Δ(𝐿12 Δ𝑥𝑖 − 𝐿11 Δ𝑦𝑖 )
Коэффициенты зависят только от геометрии сетки, следовательно они будут одинаковы для
любой переменной, заданной на этой сетке. Таким образом, для вектора переменных
решения 𝑞 будем иметь
𝑞 𝑥 = 𝐶𝑥0 𝑞 0 + ∑3𝑖=1 𝐶𝑥𝑖 𝑞 𝑖 ,
𝑞 𝑦 = 𝐶𝑦0 𝑞 0 + ∑3𝑖=1 𝐶𝑦𝑖 𝑞 𝑖
(79)
Теперь значение 𝑞 𝐿 может быть вычислено при помощи выражения (71)
записанного в данной ячейке, а значение 𝑞 𝑅 --- при помощи аналогичного выражения в
соседней ячейке
𝑞 𝐿 = [1 + Φ𝑖 (𝐶𝑥𝑖 0 𝑑𝑥𝑖 + 𝐶𝑦𝑖 0 𝑑𝑦𝑖 )] 𝑞 𝑖 + Φ𝑖 ∑3𝑘=1 [𝐶𝑥𝑖 𝑘 𝑑𝑥𝑖 + 𝐶𝑦𝑖 𝑘 𝑑𝑦𝑖 ] 𝑞 𝑘
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑞 𝑅 = [1 + Φ𝑗 (𝐶𝑥0 𝑑𝑥𝑗 + 𝐶𝑦0 𝑑𝑦𝑗 )] 𝑞 𝑗 + Φ𝑖 ∑3𝑙=1 [𝐶𝑥𝑙 𝑑𝑥𝑗 + 𝐶𝑦𝑙 𝑑𝑦𝑗 ] 𝑞 𝑙
Здесь индекс 𝑘 обозначает суммирование по ячейкам, соседним с 𝑖-ой ячейкой, 𝑙 --- по
соседним с 𝑗-ой ячейкой. Удобно записать эти выражения в виде
(𝑖,𝑗)
𝑞 𝐿(𝑖,𝑗) = [1 + Φ𝑖 𝐶0
(𝑖,𝑗)
] 𝑞 𝑖 + Φ𝑖 ∑3𝑘=1 𝐶𝑘
𝑞𝑘
(j,𝑖)
(𝑗,𝑖)
𝑞 𝑅(𝑖,𝑗) = [1 + Φ𝑗 𝐶0 ] 𝑞 𝑗 + Φ𝑖 ∑3𝑙=1 𝐶𝑙
𝑞𝑙
где коэффициенты, зависящие только от геометрии сетки имеют вид
(𝑖,𝑗)
(𝑖,𝑗)
𝐶0 = 𝐶𝑥𝑖 0 𝑑𝑥𝑖 + 𝐶𝑦𝑖 0 𝑑𝑦𝑖 ,
𝐶𝑘 = 𝐶𝑥𝑖 𝑘 𝑑𝑥𝑖 + 𝐶𝑦𝑖 𝑘 𝑑𝑦𝑖
(𝑗,𝑖)
𝐶0
𝑗
𝑗
= 𝐶𝑥0 𝑑𝑥𝑗 + 𝐶𝑦0 𝑑𝑦𝑗 ,
(𝑗,𝑖)
𝐶𝑙
𝑗
(80)
𝑗
= 𝐶𝑥𝑙 𝑑𝑥𝑗 + 𝐶𝑦𝑙 𝑑𝑦𝑗
3.2.3 Ограничивающий множитель
Кусочно-линейная аппроксимация монотонна в том случае, если значения
аппроксимационной функции на границах ячеек не выходят за пределы средних значений
соответствующей переменной в соседних ячейках. Для обеспечения монотонности
аппроксимации некоторой скалярной переменной 𝑞 применим ограничивающий
множитель Φ. При вычислении 𝑞 𝐿 и 𝑞 𝑅 , вместо (71) будем использовать выражения
𝑞 𝐿 = 𝑞𝑖 + Φ𝑖 ∇𝑞𝑖 (𝑥⃗(𝑖,𝑗) − 𝑥⃗𝑖 )
𝑞 𝑅 = 𝑞𝑗 + Φ𝑗 ∇𝑞𝑗 (𝑥⃗(𝑖,𝑗) − 𝑥⃗𝑗 )
В качестве ограничивающего множителя в 𝑖 -ой ячейке принимается минимальное из
значений, вычисленных для границ с каждой соседней 𝑗-ой ячейкой по следующему правилу
min(1, 𝑞 max − 𝑞𝑖 𝑞(𝑖,𝑗) − 𝑞𝑖 ) при 𝑞(𝑖,𝑗) − 𝑞𝑖 > 0
Φ𝑖 = {min(1, 𝑞 min − 𝑞𝑖 𝑞(𝑖,𝑗) − 𝑞𝑖 ) при 𝑞(𝑖,𝑗) − 𝑞𝑖 < 0
(81)
1
при 𝑞(𝑖,𝑗) − 𝑞𝑖 = 0
max
min
где 𝑞
и 𝑞
-- максимальное и минимальное значение переменной по ячейкам,
соседним с 𝑖 -ой ячейкой, 𝑞(𝑖,𝑗) -- значение кусочно-линейной аппроксимации в точке
границы, вычисленное при Φ𝑖 = 1.
Очевидно, что ограничивающие множители для переменных 𝑝, 𝑢, 𝑣 и 𝑤 будут
различными. Поэтому ограничивающий множитель для вектора переменных решения 𝑞
будет представлять собой диагональную матрицу
Φ𝑝 0
0
Φ𝑢 0 ]
Φ = [0
0
0
Φ𝑝
где Φ𝑝 , Φ𝑢 , Φ𝑣 -- ограничивающие множители, вычисленные для соответствующих
скалярных переменных.
3.3
3.3.1
Аппроксимация вязкого потока
Центрально-разностный метод
При вычислении вязкого потока 𝑅 на границе контрольных ячеек, необходимо
знать значение градиента вектора переменных решения. Рассмотрим получение
аппроксимации производной на границе контрольной ячейки при помощи центрально
разностного метода, реализуемого на неструктурированной сетке [24, 38].
Выберем некоторую область 𝑆 ∗ вокруг одной из граней 𝑖-го контрольного объема.
Проинтегрируем производную скалярной величины 𝑞 по этой области и перейдем к
интегралу по ее границе 𝐿∗ объема
(82)
∫𝑆∗ ∂𝑞 ∂𝑥 𝑑𝑆 = ∫𝐿∗ 𝑞𝑛𝑥 𝑑𝐿
Аппроксимируя интеграл по площади с первым порядком точности, а интеграл по объему --со вторым, получаем для производной приближенное выражение первого порядка точности
∂𝑞 ∂𝑥 ≈ 1𝑆 ∗ 𝑆𝑥 2(𝑞𝑗 − 𝑞𝑖 )
(83)
Аналогичное выражения можно записать для ∂𝑞/ ∂𝑦.
Аппроксимируя производные переменных 𝑝, 𝑢, 𝑣 указанным образом, получим для
вектора переменных решения
∂ 𝑞 ∂𝑥 = 𝑆𝑥 2𝑆 ∗ ( 𝑞 𝑗 − 𝑞 𝑖 ), ∂ 𝑞 ∂𝑦 = 𝑆𝑦 2𝑆 ∗ ( 𝑞 𝑗 − 𝑞 𝑖 ),
Подставляя полученные выражения в формулу (63) для вязкого потока, получаем
аппроксимацию первого порядка точности
𝑅 (𝑖,𝑗) = 𝜈Σ 𝐵 𝑗 ( 𝑞 𝑗 − 𝑞 𝑗 )
(84)
где 𝜈Σ = (1/𝑅𝑒 + 𝜈𝑡 ), матрица 𝐵 𝑗 имеет следующую структуру
0 0
0
2
2
0 2𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 𝑆𝑥 𝑆𝑦
𝐵 𝑗 = 12𝑆 ∗
0 𝑆𝑥 𝑆𝑦
2𝑆𝑦2 + 𝑆𝑥2
[
]
3.3.2 Кусочно-линейная аппроксимация
Выше была получена система уравнений метода наименьших квадратов (74). С ее
помощью компоненты градиента вектора переменных решения 𝑞 𝑥 , 𝑞 𝑦 в ячейке
вычисляются со вторым порядком точности по пространству. Также была получена формула
вида (79) выражающая компоненты градиента через узловые значения 𝑞 .
Определим градиент вектора переменных решения на границе между 𝑖-й и 𝑗-й
контрольными ячейками как взвешенное среднее значений градиентов в этих ячейках
(∇ 𝑞 )(𝑖,𝑗) =
𝑆𝑖 (∇ 𝑞 )𝑖 +𝑆𝑗 (∇ 𝑞 )𝑗
(85)
𝑆𝑖 +𝑆𝑗
Найдем вязкий поток через границу между 𝑖-й и 𝑗-й ячейками, подставляя в формулу
(63) значения компонентов градиента на этой границе.
Перепишем выражение для вязкого потока (63) следующим образом
0
𝑅 ( 𝑞 ) = 𝜈Σ (2𝑆𝑥 𝑢𝑥 + 𝑆𝑦 (𝑢𝑦 + 𝑣𝑥 )) = 𝜈Σ ( 𝐵 𝑥 𝑞 𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑞 𝑦 )
𝑆𝑥 (𝑢𝑦 + 𝑣𝑥 ) + 2𝑆𝑦 𝑣𝑦
где 𝜈Σ = (1/𝑅𝑒 + 𝜈𝑡 ), матрицы 𝐵 𝑥 и 𝐵 𝑦 имеют вид
0 0 0
0 0
0
𝐵 𝑥 = [0 2𝑆𝑥 𝑆𝑦 ] ,
𝐵 𝑦 = [0 𝑆𝑦 0 ]
0 𝑆𝑥 𝑆𝑦
0 0
𝑆𝑥
Для компонентов градиента имеют место формулы вида (79). Подставляя их в выражение
для вязкого потока и группируя слагаемые, содержащие значения переменной 𝑞 в одних
и тех же ячейках, получим
𝑅 (𝑖,𝑗) = 𝜈Σ 𝑆𝑖 + 𝑆𝑗 [ 𝑆𝑖 ( ( 𝐵 𝑥 𝐶𝑥𝑖 0 + 𝐵 𝑦 𝐶𝑦𝑖 0 ) 𝑞 𝑖 + ∑3𝑘=1 ( 𝐵 𝑥 𝐶𝑥𝑖 𝑘 + 𝐵 𝑦 𝐶𝑦𝑖 𝑘 ) 𝑞 𝑘 ) +
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
+𝑆𝑗 ( ( 𝐵 𝑥 𝐶𝑥0 + 𝐵 𝑦 𝐶𝑦0 ) 𝑞 𝑗 + ∑3𝑙=1 ( 𝐵 𝑥 𝐶𝑥𝑙 + 𝐵 𝑦 𝐶𝑦𝑙 ) 𝑞 𝑙 )]
Здесь индекс 𝑘 обозначает суммирование по ячейкам, соседним с 𝑖-ой ячейкой, 𝑙 --- по
соседним с 𝑗-ой ячейкой. Удобно записать данное выражение в следующем виде
(𝑖,𝑗)
(𝑖,𝑗)
(𝑗,𝑖)
(𝑗,𝑖)
𝑅 (𝑖,𝑗) = 𝜈Σ ( 𝐵 0
𝑞 𝑖 + ∑3𝑘=1 𝐵 𝑘
𝑞𝑘+ 𝐵0
𝑞 𝑗 + ∑3𝑙=1 𝐵 𝑙
𝑞 𝑙)
(86)
где коэффициенты, зависящие только от геометрии сетки, имеют вид
(𝑖,𝑗)
(𝑖,𝑗)
𝐵 0 = 𝑆𝑖 𝑆𝑖 + 𝑆𝑗 ( 𝐵 𝑥 𝐶𝑥𝑖 0 + 𝐵 𝑦 𝐶𝑦𝑖 0 ),
𝐵 𝑘 = 𝑆𝑖 𝑆𝑖 + 𝑆𝑗 ( 𝐵 𝑥 𝐶𝑥𝑖 𝑘 + 𝐵 𝑦 𝐶𝑦𝑖 𝑘 )
(𝑗,𝑖)
𝐵0
3.4
3.4.1
𝑗
𝑗
= 𝑆𝑗 𝑆𝑖 + 𝑆𝑗 ( 𝐵 𝑥 𝐶𝑥0 + 𝐵 𝑦 𝐶𝑦0 ),
(𝑗,𝑖)
𝐵𝑙
𝑗
𝑗
= 𝑆𝑗 𝑆𝑖 + 𝑆𝑗 ( 𝐵 𝑥 𝐶𝑥𝑙 + 𝐵 𝑦 𝐶𝑦𝑙 )
Граничные условия
Граничные условия
Граница расчетной области подразделяется на участки, соответствующие твердой
стенке, входу и выходу. Рассмотрим граничные условия, задаваемые на участках каждого
типа.
Уравнения Навье-Стокса
Задаются граничные условия для физических переменных: 𝑝 -- давление, 𝑢, 𝑣 -компоненты скорости.
Вход:
Твердая
стенка:
Выход:
∂𝑝/ ∂𝑛 =
0 , 𝑢 = 𝑢0 ,
𝑣 = 𝑣0
∂𝑝/ ∂𝑛 =
0, 𝑢=𝑣=
0
𝑝=0
,
∂𝑢/ ∂𝑛 =
∂𝑣/ ∂𝑛 = 0
где (𝑢0 , 𝑣0 ) -- входной профиль скорости.
Модель Спаларта-Аллмараса
Граничные условия задаются для рабочей переменной 𝜈̃.
Вход:
Твердая
стенка:
Выход:
3.4.2
𝜈̃ = 0
𝜈̃ = 0
∂𝜈̃/ ∂𝑛 = 0
Дискретизация граничных условий
Рассмотрим 𝑖 -й контрольный объем (ячейку), для которого 𝑗 -я грань (сторона)
совпадает с границей расчетной области. При вычислении конвективного и диффузионного
потоков через 𝑗-й участок границы, значения каждой из переменных задаются в зависимости
от типа граничного условия, заданного для этой переменной
• Граничное условие типа Дирихле (𝑞 = 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡)
𝑞𝑗 = 𝐶𝑗
• Граничное условие типа Неймана (∂𝑞/ ∂𝑛 = 0 )
𝑞𝑗 = 𝑞𝑖
3.4.3
Начальные условия
Во всей расчетной области значения физических переменных (давления и
компонентов скорости), а также переменные моделей турбулентности принимаются
равными нулю
𝑝𝑖0 = 0,
𝑢𝑖0 = 𝑣𝑖0 = 0,
ν̃0𝑖 = 0
4
4.1
Неявная дискретизация по времени
Одинарный шаг по времени
В случае расчета установившегося значения для интегрирования уравнений по
искусственному времени [34] применяется неявная схема Эйлера первого порядка точности.
Как было показано, после дискретизации по пространству, вне зависимости от
примененного способа, векторное уравнение для 𝑖-й ячейки, записанное относительно
вектора переменных решения 𝑞 , будет иметь вид
∂ 𝑞
𝑆𝑖 ∂𝑡 𝑖 + 𝐹 − 𝑅 = 0
(87)
где 𝐹 , 𝑅 -- суммарные потоки по всем участкам границы ячейки, 𝑆𝑖 -- площадь
ячейки.
Применим неявную схему Эйлера первого порядка для интегрирования по времени
𝑞 𝑛+1 − 𝑞 𝑛
𝑆𝑖
= 𝑅 𝑛+1 − 𝐹 𝑛+1
(88)
Δ𝑡
где Δ𝑡 -- шаг по времени, индекс 𝑛 + 1 обозначает текущую итерацию, индекс 𝑛 --предыдущую итерацию по времени.
Осуществим линеаризацию невязкого и вязкого потоков через границу ячейки по
времени
𝑅 𝑛+1 = 𝑅 𝑛 + ∂ 𝑅 () ∂ 𝑞 𝑛 Δ 𝑞 ,
𝐹 𝑛+1 = 𝐹 𝑛 + ∂ 𝐹 () ∂ 𝑞 𝑛 Δ 𝑞
(89)
где Δ 𝑞 = 𝑞 𝑛+1 − 𝑞 𝑛 . Подставляя линеаризованные потоки в выражение для неявного
метода Эйлера, получим уравнение относительно Δ 𝑞
𝑆
[Δ𝑡𝑖 𝐼 + ∂ 𝐹 () ∂ 𝑞 𝑛 − ∂ 𝑅 () ∂ 𝑞 𝑛 ] Δ 𝑞 = 𝑅 𝑛 − 𝐹 𝑛
(90)
где 𝐼 -- единичная матрица. Правая часть уравнения, представляющая значения потоков
на предыдущей итерации, вычисляется по известным значеням 𝑞 𝑛 при помощи
аппроксимаций, рассмотренных выше.
Уравнения вида (90), записанные для каждой ячейки, образуют систему,
позволяющую вычислить приращения вектора переменных решения Δ 𝑞 в каждой ячейке,
переходя к следующей итерации по времени по следующей формуле
𝑞 𝑛+1
= 𝑞 𝑛𝑖 + Δ 𝑞 𝑖
𝑖
Условием прекращения итерационного процесса может служить как достижение заданного
количества итераций 𝑁, так и выполнение критерия сходимости решения: минимальное
значение нормы правой части уравнения должно быть меньше заранее заданной величины
𝜀
min ∥ 𝑅 𝑛𝑖 − 𝐹 𝑛𝑖 ∥< 𝜀
𝑖
Здесь квадратичная норма вектора 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 )𝑇 задается следующим образом
∥ 𝑥 ∥= (𝑥12 + 𝑥22 + ⋯ + 𝑥𝑘2 )1/2
Остается выразить величины (∂ 𝐹 / ∂ 𝑞 )Δ 𝑞 и (∂ 𝑅 / ∂ 𝑞 )Δ 𝑞 через узловые
значения Δ 𝑞 , тем самым получая систему алгебраических уравнений относительно Δ 𝑞 .
Этот вопрос рассматривается в пункте 4.3.
4.2
Двойной шаг по времени
Для расчета нестационарного течения методом искусственной сжимаемости
применяется техника двойных шагов по времени (dual time-stepping) [33]. Внешние итерации
осуществляют интегрирование уравнений сохранения количества движения по физическому
времени при помощи неявной схемы Эйлера второго порядка точности. Внутренние
итерации осуществляют интегрирование всей системы уравнений метода искусственной
сжимаемости по искусственному времени, при помощи неявной схемы первого первого
порядка.
После дискретизации по пространству, вне зависимости от примененного способа,
векторное уравнение для 𝑖 -й контрольной ячейки, записанное относительно вектора
переменных решения, будет иметь вид
∂ 𝑞
𝑆𝑖 ∂𝑡 𝑖 + 𝐹 − 𝑅 = 0
(91)
где 𝐹 , 𝑅 -- суммарные потоки по всем участкам границы ячейки, 𝑆𝑖 -- площадь
ячейки.
Данное уравнение соответствует системе скалярных уравнений, включающей
уравнение неразрывности с искусственной сжимаемостью и уравнения сохранения
количества движения. Применим неявную схему Эйлера второго порядка для
интегрирования уравнений сохранения количества движения по физическому времени 𝑡
𝑆
𝐼 𝑚 Δ𝑡𝑖 (1.5 𝑞 𝑛+1 − 2 𝑞 𝑛 + 0.5 𝑞 𝑛−1 ) = 𝑅 𝑛+1 − 𝐹 𝑛+1
(92)
где Δ𝑡 -- шаг по физическому времени, индекс 𝑛 + 1 обозначает текущую итерацию,
индекс 𝑛, 𝑛 − 1 обозначают предыдущие итерации по физическому времени. Матрица
𝐼 𝑚 , предназначена для исключения уравнения неразрывности
𝐼 𝑚 = 𝑑𝑖𝑎𝑔 (0, 1, 1)
Для интегрирования по искусственному времени 𝜏 введем дополнительные внутренние
итерации с индексом 𝑚 и применим неявную схему Эйлера первого порядка
𝑆𝑖 𝐼 𝜏𝑡 ( 𝑞 𝑛+1,𝑚+1 − 𝑞 𝑛+1,𝑚 )
𝑅 𝑛+1,𝑚+1 − 𝐹 𝑛+1,𝑚+1 −
=
1
− 𝐼 𝑚 Δ𝑡 (1.5 𝑞 𝑛+1,𝑚 − 2 𝑞 𝑛 + 0.5 𝑞 𝑛−1 )
где матрица
𝐼 𝜏𝑡 имеет вид
𝐼 𝜏𝑡 = 𝑑𝑖𝑎𝑔 (1Δ𝜏, 1.5Δ𝑡, 1.5Δ𝑡)
Осуществим линеаризацию невязкого и вязкого потоков через границу ячейки по
искусственному времени
𝑅 𝑛+1,𝑚+1 = 𝑅 𝑛+1,𝑚 + ∂ 𝑅 () ∂ 𝑞 𝑛+1,𝑚 Δ 𝑞
(93)
𝐹 𝑛+1,𝑚+1 = 𝐹 𝑛+1,𝑚 + ∂ 𝐹 () ∂ 𝑞 𝑛+1,𝑚 Δ 𝑞
где Δ 𝑞 = 𝑞 𝑛+1,𝑚+1 − 𝑞 𝑛+1,𝑚 . Подставляя линеаризованные потоки в выражение для
метода Эйлера, получим уравнение относительно Δ 𝑞
[𝑆𝑖 𝐼 𝜏𝑡 + ∂ 𝐹 () ∂ 𝑞 𝑛+1,𝑚 − ∂ 𝑅 () ∂ 𝑞 𝑛+1,𝑚 ]Δ 𝑞 =
= 𝑅 𝑛+1,𝑚 − 𝐹 𝑛+1,𝑚 −
(94)
1
− 𝐼 𝑚 Δ𝑡 (1.5 𝑞 𝑛+1,𝑚 − 2 𝑞 𝑛 + 0.5 𝑞 𝑛−1 )
Правая часть уравнения вычисляется по известным значеням 𝑞 𝑛+1,𝑚 , 𝑞 𝑛 , 𝑞 𝑛−1 при
помощи аппроксимаций, рассмотренных выше.
Уравнения вида (94), записанные для каждой ячейки, образуют систему,
позволяющую вычислить приращения вектора переменных решения Δ 𝑞 в каждой ячейке,
переходя к следующей итерации по искусственному времени по формуле
𝑞 𝑛+1,𝑚+1
= 𝑞 𝑛+1,𝑚
+Δ 𝑞𝑖
𝑖
𝑖
Условием прекращения итераций по искуственному времени может служить как достижение
заданного количества итераций 𝑀 , так и выполнение критерия сходимости решения:
минимальное значение нормы правой части уравнения должно быть меньше заранее
заданной величины 𝜀
min ∥ 𝑅 𝑛+1,𝑚
− 𝐹 𝑛+1,𝑚
∥< 𝜀
𝑖
𝑖
𝑖
При достижении сходимости решения по внутренним шагам, осуществляется переход на
следующий шаг физического времени по следующим формулам
𝑞 𝑛−1 = 𝑞 𝑛 ,
𝑞 𝑛 = 𝑞 𝑛+1,𝑚
Остается выразить величины (∂ 𝐹 / ∂ 𝑞 )Δ 𝑞 и (∂ 𝑅 / ∂ 𝑞 )Δ 𝑞 через узловые
значения Δ 𝑞 , тем самым получая систему алгебраических уравнений относительно Δ 𝑞 .
Этот вопрос рассматривается в далее.
4.3
Построение матрицы СЛАУ
Рассмотренные в предыдущей главе методы дискретизации по времени позволяют
получить систему уравнений (90, 94) для нахождения приращений вектора переменных
решения Δ 𝑞 при переходе с текущей итерации на следующую.
Для перехода к соответствующей системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
относительно Δ 𝑞 , необходимо выразить величины вида (∂ 𝐹 / ∂ 𝑞 )Δ 𝑞 и (∂ 𝑅 /
∂ 𝑞 )Δ 𝑞 через узловые значения Δ 𝑞 при помощи рассмотренных ранее методов
аппроксимации невязкого и вязкого потоков.
4.3.1
Первый порядок точности по пространству
Используя выражение первого порядка точности для невязкого потока через границу
между 𝑖-й и 𝑗-й ячейками, полученное путем кусочно-постоянной аппроксимации (70) ,
находим
(∂ 𝐹 ∂ 𝑞 Δ 𝑞 )(𝑖,𝑗) = 12[ 𝐴 𝑖 Δ 𝑞 𝑖 + 𝐴 𝑗 Δ 𝑞 𝑗 + | 𝐴 |(𝑖,𝑗) (Δ 𝑞 𝑗 − Δ 𝑞 𝑖 )]
(95)
где матрицы 𝐴 𝑖 , 𝐴 𝑗 , | 𝐴 |𝑖,𝑗 вычисляются по известным значениям 𝑞 𝑖 , 𝑞 𝑗 на
предыдущей итерации.
Используя выражение первого порядка точности для вязкого потока через границу
между 𝑖-й и 𝑗-й ячейками, полученное при помощи центрально-разностного метода (84),
находим
(∂ 𝑅 ∂ 𝑞 Δ 𝑞 )(𝑖,𝑗) = 𝜈Σ 𝐵 𝑗 (Δ 𝑞 𝑗 − Δ 𝑞 𝑖 )
(96)
Просуммируем полученные выражения по всем сторонам 𝑖-й ячейки и подставим в
уравнение неявного метода Эйлера (90)
𝑆𝑖
𝐼 Δ 𝑞 𝑖 + 12 ∑𝑗 [ 𝐴 𝑖 Δ 𝑞 𝑖 + 𝐴 𝑗 Δ 𝑞 𝑗 + | 𝐴 |(𝑖,𝑗) (Δ 𝑞 𝑗 − Δ 𝑞 𝑖 )] −
Δ𝑡
− ∑𝑗 𝜈Σ 𝐵 𝑗 (Δ 𝑞 𝑗 − Δ 𝑞 𝑖 ) = ∑𝑗 𝑅 𝑛(𝑖,𝑗) − ∑𝑗 𝐹 𝑛(𝑖,𝑗)
где индекс 𝑗 обозначает суммирование по ячейкам, соседним с 𝑖-й ячейкой через 𝑗-й
участок ее границы. Значения потоков 𝐹 𝑛(𝑖,𝑗) и 𝑅 𝑛(𝑖,𝑗) в правой части выражения
вычисляются при помощи рассмотренных ранее аппроксимаций по известным узловым
значениям 𝑞 на предыдущей итерации.
Группируя слагаемые, содержащие узловые значения Δ 𝑞 в одних и тех же ячейках,
получим следующее матричное уравнение
𝑆
[ Δ𝑡𝑖 𝐼 + ∑𝑗 (
+ ∑𝑗 (
𝐴 𝑖 +| 𝐴 |(𝑖,𝑗)
2
𝐴 𝑗 −| 𝐴 |(𝑖,𝑗)
2
+ 𝜈Σ 𝐵 𝑗 )]Δ 𝑞 𝑖 +
− 𝜈Σ 𝐵 𝑗 ) Δ 𝑞 𝑗 = ∑𝑗
𝑅 𝑛(𝑖,𝑗) − ∑𝑗
𝐹 𝑛(𝑖,𝑗)
(97)
Таким образом, уравнения для расчета установившегося течения сведены к СЛАУ
относительно приращений Δ 𝑞 при переходе к следующей итерации.
Аналогичным образом, суммируя по участкам границы выражения (95), (96) и
подставляя в уравнение метода двойных шагов по времени (94), получим
[ 𝑆𝑖 𝐼 𝜏𝑡 + ∑𝑗 (
+ ∑𝑗 (
𝐴 𝑖 +| 𝐴 |(𝑖,𝑗)
2
𝐴 𝑗 −| 𝐴 |(𝑖,𝑗)
2
+ 𝜈Σ 𝐵 𝑗 )]Δ 𝑞 𝑖 +
− 𝜈Σ 𝐵 𝑗 ) Δ 𝑞 𝑗 =
= ∑𝑗
𝑅 𝑛+1,𝑚
− ∑𝑗
(𝑖,𝑗)
𝐹 𝑛+1,𝑚
−
(𝑖,𝑗)
(98)
1
− 𝐼 𝑚 Δ𝑡 (1.5 𝑞 𝑛+1,𝑚
− 2 𝑞 𝑛𝑖 + 0.5 𝑞 𝑛−1
)
𝑖
𝑖
Выражения данного вида, записанные для каждой ячейки, составляют СЛАУ относительно
приращений Δ 𝑞 для случая расчета нестационарного течения методом двойных шагов по
времени.
4.3.2
Второй порядок точности по пространству
Невязкий поток через границу между 𝑖-й и 𝑗-й ячейками определяется выражением
(64). Для входящих в это выражение величин 𝑞 𝐿 и 𝑞 𝑅 путем кусочно-линейной
аппроксимации были получены выражения второго порядка точности, а именно: (80).
Используя указанные выражения, находим
(∂ 𝐹 ∂ 𝑞 Δ 𝑞 )(𝑖,𝑗) =
=
𝐴 𝐿𝑗 +| 𝐴 |(𝑖,𝑗)
[(1 +
2
𝑅
𝐴 𝑗 −| 𝐴 |(𝑖,𝑗)
+
(𝑖,𝑗)
Φ𝑖 𝐶0
(𝑗,𝑖)
[(1 + Φ𝑗 𝐶0
2
(𝑖,𝑗)
)Δ 𝑞 𝑖 + Φ𝑖 ∑𝑘 𝐶𝑘
Δ 𝑞 𝑘] +
(𝑗,𝑖)
)Δ 𝑞 𝑗 + Φ𝑖 ∑𝑙 𝐶𝑙
(99)
Δ 𝑞 𝑙]
где матрицы 𝐴 𝑗𝐿 , 𝐴 𝑗𝑅 и | 𝐴 |(𝑖,𝑗) вычисляются как функции значений q 𝐿(𝑖,𝑗) и 𝑞 𝑅(𝑖,𝑗) ,
аппроксимированных по известным узловым значениям 𝑞 на предыдущей итерации.
Для вязкого потока на границе между 𝑖-й и 𝑗-й ячейками, путем кусочно-линейной
аппроксимации, были получены выражения второго порядка точности: (86).
Используя это выражение, находим
(𝑖,𝑗)
(∂ 𝑅 ∂ 𝑞 Δ 𝑞 )(𝑖,𝑗) = 𝜈Σ ( 𝐵 (𝑖,𝑗)
0 Δ 𝑞 𝑖 + ∑𝑘 𝐵 𝑘 Δ 𝑞 𝑘 +
(100)
(𝑗,𝑖)
(𝑗,𝑖)
+ 𝐵 0 Δ 𝑞 𝑗 + ∑𝑙 𝐵 𝑙 Δ 𝑞 𝑙 )
Просуммируем выражения (99), (100) по всем сторонам 𝑖-й ячейки и подставим в
уравнение неявного метода Эйлера (90). Группируя слагаемые, содержащие узловые
значения Δ 𝑞 в одних и тех же ячейках, получим следующее матричное уравнение
𝑆
[ Δ𝑡𝑖 𝐼 +
𝐴 𝐿𝑗 +| 𝐴 |(𝑖,𝑗)
(𝑖,𝑗)
(1 + Φ𝑖 𝐶0 ) + 𝜈Σ ∑𝑗
2
𝐴 𝐿 +| 𝐴 |(𝑖,𝑗)
(𝑖,𝑗)
+ ∑𝑘 [ ∑𝑗 𝑗 2
Φ𝑖 𝐶𝑘 + 𝜈Σ ∑𝑗
(𝑖,𝑗)
+ ∑𝑗
+ ∑𝑗 [
𝐴𝑅
𝑗 −| 𝐴 |(𝑖,𝑗)
+ ∑𝑗 ∑𝑙 [
(1 +
(𝑗,𝑖)
Φ𝑗 𝐶0 )
2
𝐴𝑅
(𝑗,𝑖)
𝑗 −| 𝐴 |(𝑖,𝑗)
Φ𝑗 𝐶𝑙
2
𝐵 0 ]Δ 𝑞 𝑖 +
(𝑖,𝑗)
𝐵 𝑘 ]Δ 𝑞 𝑘 +
+ 𝜈Σ 𝐵
(𝑗,𝑖)
0 ]Δ
(𝑗,𝑖)
+ 𝜈Σ 𝐵 𝑙
(101)
𝑞𝑗 +
]Δ 𝑞 𝑗 ,𝑙 =
= ∑𝑗 𝑅 𝑛(𝑖,𝑗) − ∑𝑗 𝐹 𝑛(𝑖,j)
где двойной индекс 𝑗 , 𝑙 обозначает, что суммирование по соседним ячейкам
производится для каждой из ячеек, соседней с 𝑖-м через через 𝑗-й участок границы.
Таким образом, уравнения для расчета установившегося течения сведены к СЛАУ
относительно приращений Δ 𝑞 при переходе к следующей итерации.
Аналогичным образом, суммируя по участкам границы выражения (99), (100) и
подставляя в уравнение метода двойных шагов по времени (94), получим
[ 𝑆𝑖 𝐼 𝜏𝑡 +
+ ∑𝑗
𝐴 𝐿𝑗 +| 𝐴 |(𝑖,𝑗)
2
(𝑖,𝑗)
(1 + Φ𝑖 𝐶0
) + 𝜈Σ ∑𝑗
𝐴 𝐿𝑗 +| 𝐴 |(𝑖,𝑗)
(𝑖,𝑗)
Φ𝑖 𝐶𝑘 + 𝜈Σ ∑𝑗
2
𝐴𝑅
(𝑗,𝑖)
𝑗 −| 𝐴 |(𝑖,𝑗)
(1 + Φ𝑗 𝐶0 ) + 𝜈Σ
2
(𝑖,𝑗)
+ ∑𝑘 [ ∑𝑗
+ ∑𝑗 [
+ ∑𝑗 ∑𝑙 [
𝐴𝑅
𝑗 −| 𝐴 |(𝑖,𝑗)
2
= ∑𝑗
(𝑗,𝑖)
Φ𝑗 𝐶𝑙
𝐵 𝑘 ]Δ 𝑞 𝑘 +
(𝑗,𝑖)
𝐵 0 ]Δ 𝑞 𝑗 +
(𝑗,𝑖)
+ 𝜈Σ 𝐵 𝑙
𝑅 𝑛+1,𝑚
− ∑𝑗
(𝑖,𝑗)
(𝑖,𝑗)
𝐵 0 ]Δ 𝑞 𝑖 +
(102)
]Δ 𝑞 𝑗,𝑙 =
𝐹 𝑛+1,𝑚
−
(𝑖,𝑗)
1
− 𝐼 𝑚 Δ𝑡 (1.5 𝑞 𝑛+1,𝑚
− 2 𝑞 𝑛𝑖 + 0.5 𝑞 𝑛−1
)
𝑖
𝑖
Выражения данного вида, записанные для каждой ячейки, составляют СЛАУ
относительно приращений Δ 𝑞 для случая расчета нестационарного течения методом
двойных шагов по времени со вторым порядком точности по пространству.
4.3.3
Получение скалярных уравнений из матричного
Матричное уравнение для 𝑖 -й контрольной ячейки, записанное относительно
приращения вектора переменных решения Δ 𝑞 имеет вид
∑𝑗 𝑀 𝑗 Δ 𝑞 𝑗 = 𝐺 𝑗
(103)
Здесь индекс 𝑗 обозначает суммирование по тем ячейкам, которым принадлежат Δ 𝑞 ,
входящие в уравнение для 𝑖-й ячейки
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑚0 𝑚1 𝑚2
𝑔0
Δ𝑝𝑗
Δ 𝑞 𝑗 = (Δ𝑢𝑗 ) ,
𝑀 𝑗 = [𝑚3𝑗 𝑚4𝑗 𝑚5𝑗 ] ,
𝐺 𝑗 = [𝑔1𝑗 ]
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
Δ𝑣𝑗
𝑚 𝑚 𝑚
𝑔
6
7
Перемножая матрицу и вектор в (103), получаем
𝑗
𝑗
𝑗
𝑚0 Δ𝑝𝑗 + 𝑚1 Δ𝑢𝑗 + 𝑚2 Δ𝑣𝑗
8
2
𝑗
𝑔0
∑𝑗 (𝑚3𝑗 Δ𝑝𝑗 + 𝑚4𝑗 Δ𝑢𝑗 + 𝑚5𝑗 Δ𝑣𝑗 ) = (𝑔1𝑗 )
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑔2
𝑚6 Δ𝑝𝑗 + 𝑚7 Δ𝑢𝑗 + 𝑚8 Δ𝑣𝑗
Что соответствует трем скалярным уравнениям
∑𝑗 (𝑚0𝑗 Δ𝑝𝑗 + 𝑚1𝑗 Δ𝑢𝑗 + 𝑚2𝑗 Δ𝑣𝑗 ) = 𝑔0𝑗
∑𝑗 (𝑚3𝑗 Δ𝑝𝑗 + 𝑚4𝑗 Δ𝑢𝑗 + 𝑚5𝑗 Δ𝑣𝑗 ) = 𝑔1𝑗
∑𝑗 (𝑚6𝑗 Δ𝑝𝑗 + 𝑚7𝑗 Δ𝑢𝑗 + 𝑚8𝑗 Δ𝑣𝑗 ) = 𝑔2𝑗
Уравнения данного вида, записанные во всех ячейках, составляют СЛАУ размерности 3𝐼, где
𝐼 -- общее количество ячеек.
5 Расчет турбулентной вязкости. Модель
Спаларта-Аллмараса
5.1
Дискретизация по пространству
В случае использования в расчетах однопараметрической модели турбулентности
Спаларта-Аллмараса, турбулентная вязкость 𝜈𝑡 из (58) определяется как
𝜈𝑡 = 𝜈̃𝑓𝜈1
Здесь 𝜈̃ -- рабочая переменная, 𝑓𝜈1 -- вспомогательная функция, вычисляемая по формуле
пункта .
Дифференциальное уравнение для рабочей переменной 𝜈̃ , при заданном поле
скоростей 𝑣⃗ = (𝑢, 𝑣), имеет вид
∂𝜈̃ ∂𝑡 + (𝑣⃗ ⋅ ∇)𝜈̃ = 1𝜎{∇[(𝜈 + 𝜈̃)∇𝜈̃] + 𝑐𝑏2 (∇𝜈̃)2 } + 𝑄 𝑆𝐴
(104)
𝑆𝐴
Источниковый член 𝑄 , учитывающий порождение и диссипацию турбулентности, имеет
вид
𝑄 𝑆𝐴 = 𝑐𝑏1 𝑆̃𝜈̃ − 𝑐𝑤1 𝑓𝑤 𝜈̃()𝑑 2
(105)
Здесь 𝑑 -- расстояние до ближайшей стенки, 𝑓𝑤 , 𝑆̃ -- вспомогательные функции,
𝑐𝑏1, 𝑐𝑏2, 𝜎, 𝑐𝑤1 -- константы, задаваемые в соответствии с пунктом .
Дискретизация уравнения (104) проводится также, как и уравнений Навье-Стокса.
Исключением является пространственная дискретизация диффузионного слагаемого,
которое имеет неконсервативную форму.
Рассмотрим дискретизацию конвективного и диффузионного слагаемых методом
конечных объемов.
5.1.1
Конвективное слагаемое
Согласно методу конечных объемов, проинтегрируем данное слагаемое по площади
контрольной ячейки 𝑆𝑖 , и сведем интеграл по площади к интегралу по границе этой ячейки
̃
̃
∂𝑢𝜈
∂𝑣𝜈
𝑆𝐴
+
} 𝑑𝑆 = ∫𝐿 𝜈̃ 𝑣⃗ ⋅ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐿 = ∑𝑗 𝐹(𝑖,𝑗)
∫𝑆 (𝑣⃗ ⋅ ∇)𝜈̃ 𝑑𝑆 = ∫𝑆 {
𝑖
𝑖
∂𝑥
∂𝑦
𝑖
𝑆𝐴
где 𝐹(𝑖,𝑗)
-- конвективный рабочей переменной через 𝑗-ую сторону ячейки, имеющий вид
𝐹 𝑆𝐴 = 𝜈̃(𝑢𝑆𝑥 + 𝑣𝑆𝑦 )
Противопотоковая схема для нахождения потока через границу между 𝑖-м 𝑗-м контрольным
объемами (ячейками) будет иметь вид
𝑆𝐴
𝐹(𝑖,𝑗)
= 12[𝐹 𝑆𝐴 (𝜈̃ 𝑅 ) + 𝐹 𝑆𝐴 (𝜈̃ 𝐿 ) + |𝐴𝑆𝐴 |(𝑖,𝑗) (𝜈̃ 𝑅 − 𝜈̃ 𝐿 )]
(106)
𝑆𝐴
Очевидно, что в данном случае якобиан 𝐴 = ∂𝐹/ ∂𝜈̃ представляет собой величину
скорости на границе, а |𝐴𝑆𝐴 | -- абсолютное значение скорости.
𝐴𝑆𝐴 = 𝑈 = 𝑢𝑆𝑥 + 𝑣𝑆𝑦 , |𝐴𝑆𝐴 | = |𝑈|
𝐿
𝑅
Значения рабочей переменной 𝜈̃(𝑖,𝑗)
, 𝜈̃(𝑖,𝑗)
на внутренней и внешней сторонах границы
между 𝑖 -м и 𝑗 -м контрольными объемами (ячейками) аппроксимируются по узловым
значениям 𝜈̃ при помощи формул, аналогичных полученным в пункте 3.2 для вектора
физических переменных 𝑞 . Будут иметь место следующие формулы
Кусочно-постоянная аппроксимация
𝐿
𝜈̃(𝑖,𝑗)
= 𝜈̃𝑖 ,
𝑅
𝜈̃(𝑖,𝑗)
= 𝜈̃𝑗
(107)
Кусочно-линейная аппроксимация
(𝑖,𝑗)
𝐿
𝜈̃(𝑖,𝑗)
= [1 + Φ𝑖 𝐶0
𝑅
𝜈̃(𝑖,𝑗)
= [1 +
5.1.2
(𝑖,𝑗)
]𝜈̃𝑖 + Φ𝑖 ∑𝑘 𝐶𝑘
(𝑗,𝑖)
Φ𝑗 𝐶0 ]𝜈̃𝑗
+
𝜈̃𝑘
(𝑗,𝑖)
Φ𝑖 ∑𝑙 𝐶𝑙 𝜈̃𝑙
(108)
Диффузионное слагаемое
Выражение для диффузионного слагаемого уравнения модели Спаларта-Аллмараса
имеет вид
1𝜎{∇[(𝜈 + 𝜈̃)∇𝜈̃] + 𝑐𝑏2 (∇𝜈̃)2 }
(109)
2
Величина 𝑐𝑏2 (∇𝜈̃) располагается вне знака градиента, вследствие чего слагаемое
принимает неконсервативную форму, и применить метод конечных объемов напрямую не
удается.
Рассмотрим вначале консервативную часть выражения (109). Сведем интеграл по
площади контрольной ячейки 𝑆𝑖 к интегралу по границе этой ячейки
̃
∂𝜈
̃
∂𝜈
1𝜎 ∫𝑆 ∇[(𝜈 + 𝜈̃)∇𝜈̃] 𝑑𝑆 = 1𝜎 ∫𝐿 (𝜈 + 𝜈̃) (∂𝑥 𝑛𝑥 + ∂𝑦 𝑛𝑦 ) 𝑑𝐿 =
𝑖
𝑖
̃
∂𝜈
̃
∂𝜈
= 1𝜎 ∑𝑗 (𝜈 + 𝜈̃) (∂𝑥 𝑆𝑥 + ∂𝑦 𝑆𝑦 )
Воспользуемся приближенной формулой, выражающей значение градиента переменной в
центральной точке ячейки, через узловые значения переменной
(∇𝜈̃)𝑖 = 1𝑆𝑖 ∑3𝑗=1 12(𝜈̃𝑗 − 𝜈̃𝑖 )𝑛⃗⃗𝑗 𝐿𝑗
(110)
Интегрируя неконсервативное слагаемое выражения (109) по площади ячейки 𝑆𝑖 , с
учетом (110), получаем
1𝜎 ∫Ω 𝑐𝑏2 (∇𝜈̃)2 𝑑Ω = 𝑐𝑏2 2𝜎 ∑𝑗 (𝜈̃𝑗 − 𝜈̃𝑖 )∇𝜈̃ ⋅ 𝑛⃗⃗𝑗 𝐿𝑗
𝑖
Таким образом, интегральную форму диффузионного слагаемого в двумерном случае можно
представить в виде суммы потоков через стороны ячейки
𝑆𝐴
∫𝑆 1𝜎{∇[(𝜈 + 𝜈̃)∇𝜈̃] + 𝑐𝑏2 (∇𝜈̃)2 } 𝑑𝑆 = ∑𝑗 𝑅(𝑖,𝑗)
𝑖
𝑆𝐴
где 𝑅(𝑖,𝑗)
-- диффузионный поток турбулентной вязкости через 𝑗 -ую сторону ячейки,
имеющий вид
̃
∂𝜈
̃
∂𝜈
𝑆𝐴
𝑅(𝑖,𝑗)
= 1𝜎(𝜈 + 𝜈̃𝑖 + 𝑐𝑏2 2(𝜈̃𝑗 − 𝜈̃𝑖 )) [ ∂𝑥 𝑆𝑥 + ∂𝑦 𝑆𝑦 ]
Введем обозначение 𝑁(𝑖,𝑗) для выражения в круглых скобках, не содержащего производных
̃
∂𝜈
̃
∂𝜈
𝑆𝐴
𝑅(𝑖,𝑗)
= 𝑁(𝑖,𝑗) [ ∂𝑥 𝑆𝑥 + ∂𝑦 𝑆𝑦 ]
(111)
Рассмотрим аппроксимацию производных переменной 𝜈̃, входящих в выражение для
𝑆𝐴
диффузионного потока 𝑅(𝑖,𝑗)
. При этом будем применять методы, рассмотренные в
параграфе 3.3.
Центрально-разностный метод
Производные на границе ячейки аппроксимируются с первым порядком точности
формулами вида (83), следовательно
∂𝜈̃ ∂𝑥 ≈ 𝑆𝑥 2𝑆 ∗ (𝜈̃𝑗 − 𝜈̃𝑖 ),
∂𝜈̃ ∂𝑦 ≈ 𝑆𝑦 2𝑆 ∗ (𝜈̃𝑗 − 𝜈̃𝑖 )
Тогда выражение первого порядка точности для диффузионного потока будет иметь вид
𝑆𝐴
𝑅(𝑖,𝑗)
= 𝑁(𝑖,𝑗) 𝐵𝑗 (𝜈̃𝑗 − 𝜈̃𝑖 )
(112)
2
2
∗
где 𝐵𝑗 = (𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 )/2𝑆 .
Кусочно-линейная аппроксимация
Для аппроксимации компонентов градиента в центре некоторой ячейки со вторым
порядком точности были получены формулы вида (79).
𝜈̃𝑥 = 𝐶𝑥0 𝜈̃0 + ∑𝑖 𝐶𝑥𝑖 𝜈̃𝑖 ,
𝜈̃𝑦 = 𝐶𝑦0 𝜈̃0 + ∑𝑖 𝐶𝑦𝑖 𝜈̃𝑖
Определяя значение компонент градиента 𝜈̃ на границе между 𝑖-ой и 𝑗-ой ячейками при
помощи (85), находим
(𝑖,𝑗)
(𝑖,𝑗)
(𝑗,𝑖)
(𝑗,𝑖)
𝑆𝐴
𝑅(𝑖,𝑗)
= 𝑁(𝑖,𝑗) (𝐵0 𝜈̃𝑖 + ∑𝑘 𝐵𝑘 𝜈̃𝑘 + 𝐵0 𝜈̃𝑗 + ∑𝑙 𝐵𝑙 𝜈̃𝑙 )
(113)
где коэффициенты, зависящие только от геометрии сетки, имеют вид
(𝑖,𝑗)
= 𝑆𝑖 𝑆𝑖 + 𝑆𝑗 (𝑆𝑥 𝐶𝑥𝑖 0 + 𝑆𝑦 𝐶𝑦𝑖 0 ), 𝐵𝑘
(𝑗,𝑖)
= 𝑆𝑗 𝑆𝑖 + 𝑆𝑗 (𝑆𝑥 𝐶x0 + 𝑆𝑦 𝐶𝑦0 ), 𝐵𝑙
𝐵0
𝐵0
5.2
𝑗
𝑗
(𝑖,𝑗)
= 𝑆𝑖 𝑆𝑖 + 𝑆𝑗 (𝑆𝑥 𝐶𝑥𝑖 𝑘 + 𝑆𝑦 𝐶𝑦𝑖 𝑘 )
(𝑗,𝑖)
= 𝑆𝑗 𝑆𝑖 + 𝑆𝑗 (𝑆𝑥 𝐶𝑥𝑙 + 𝑆𝑦 𝐶𝑦𝑙 )
𝑗
𝑗
Дискретизация по времени
Для интегрирования уравнения модели Спаларта-Аллмараса (104) по времени
используем неявную схему Эйлера первого порядка точности.
После дискретизации по пространству методом контрольного объема, уравнение,
записанное для 𝑖-й контрольнй ячейки, будет иметь вид
̃
∂𝜈
𝑆𝑖 ∂𝑡𝑖 + 𝐹 𝑆𝐴 − 𝑅 𝑆𝐴 = 𝑆𝑖 𝑄𝑖𝑆𝐴
(114)
где 𝐹 , 𝑅 -- суммарные потоки турбулентной вязкости по всем участкам границы
контрольного объема (ячейки), 𝑆𝑖 площадь ячейки.
Применим неявную схему Эйлера первого порядка для интегрирования по времени.
Осуществляя линеаризацию потоков через границу ячейки по времени, получим
𝑆
[Δ𝑡𝑖 + ∂𝐹 𝑆A () ∂𝜈̃ 𝑛 − ∂𝑅 𝑆𝐴 () ∂𝜈̃ 𝑛 ] Δ𝜈̃ =
(115)
= (𝑅 𝑆𝐴 )𝑛 − (𝐹 𝑆𝐴 )𝑛 + 𝑆𝑖 (𝑄𝑖𝑆𝐴 )𝑛
где Δ𝜈̃ = 𝜈̃ 𝑛+1 − 𝜈̃ 𝑛 , индекс 𝑛 + 1 обозначает текущую итерацию, индекс 𝑛 --предыдущую итерацию по времени, Δ𝑡 -- шаг по времени.
Правая часть уравнения, представляющая значения потоков и источникового
слагаемого на предыдущей итерации, вычисляется по известным значениям 𝜈̃ на
предыдущей итерации.
Уравнения вида (115), записанные для каждого контрольного объема (ячейки)
образуют систему, позволяющую вычислить приращения рабочей переменной Δ𝜈̃ в каждой
ячейке, переходя к следующей итерации по времени по следующей формуле
𝜈̃𝑖𝑛+1 = 𝜈̃𝑖𝑛 + Δ𝜈̃𝑖
Остается выразить величины (∂𝐹 𝑆𝐴 / ∂𝜈̃)Δ𝜈̃ и (∂𝑅 𝑆𝐴 / ∂𝜈̃)Δ𝜈̃ через узловые значения Δ𝜈̃,
тем самым получая систему алгебраических уравнений относительно Δ𝜈̃.
5.2.1
Первый порядок точности по пространству
Используя противопотоковую схему (106) первого порядка точности для
конвективного потока через границу между 𝑖-й и 𝑗-й контрольными ячейками, и выражения
первого порядка точности (107), находим
(∂𝐹 ∂𝜈̃Δ𝜈̃)(𝑖,𝑗) = 12[𝑈𝑖 Δ𝜈̃𝑖 + 𝑈𝑗 Δ𝜈̃𝑗 + |𝑈|(𝑖,𝑗) (Δ𝜈̃𝑗 − Δ𝜈̃𝑖 )]
(116)
где значения 𝑈𝑖 , 𝑈𝑗 и |𝑈|𝑖,𝑗 вычисляются по известным узловым значениям вектора
скорости (𝑢, 𝑣, 𝑤) на предыдущей итерации.
Используя выражение первого порядка точности (112) для диффузионного потока
через границу между 𝑖-й и 𝑗-й ячейками, находим
(∂𝑅 ∂𝜈̃Δ𝜈̃)(𝑖,𝑗) = 𝑁(𝑖,𝑗) 𝐵𝑗 (Δ𝜈̃𝑗 − Δ𝜈̃𝑖 )
(117)
где значение 𝑁(𝑖,𝑗) вычисляется по известным узловым значениям 𝜈̃ на предыдущей
итерации.
Просуммируем полученные выражения по всем сторонам 𝑖-й ячейки и подставим в
уравнение неявного метода Эйлера (115). Группируя слагаемые, содержащие узловые
значения Δ𝜈̃ в одних и тех же ячейках, получим уравнение
𝑈𝑖 +|𝑈|(𝑖,𝑗)
𝑆
[ Δ𝑡𝑖 + ∑𝑗 (
2
𝑈𝑗 −|𝑈|(𝑖,𝑗)
+ ∑𝑗 (
2
+ 𝐵𝑗 𝑁(𝑖,𝑗) )]Δ𝜈̃𝑖 +
(118)
− 𝐵𝑗 𝑁(𝑖,𝑗) ) Δ𝜈̃𝑗 =
𝑛
𝑛
= ∑𝑗 𝑅(𝑖,𝑗)
− ∑𝑗 𝐹(𝑖,𝑗)
+ 𝑆𝑖 𝑄𝑖𝑛
где индекс 𝑗 обозначает суммирование по ячейкам, соседним с 𝑖-й ячейкой через 𝑗-й
участок ее границы.
Выражения данного вида, записанные для каждой ячейки, составляют СЛАУ
относительно приращений рабочей переменной Δ𝜈̃ при переходе к следующей итерации.
5.2.2
Второй порядок точности по пространству
Конвективный поток через границу между 𝑖 -й и 𝑗 -й ячейками определяется
выражением (106). Для входящих в это выражение величин 𝜈̃ 𝐿 и 𝜈̃ 𝑅 путем
кусочно-линейной аппроксимации были получены выражения (108) второго порядка
точности. Используя указанные выражения, находим
(∂𝐹 ∂𝜈̃Δ𝜈̃)(𝑖,𝑗) =
=
𝑈𝑗𝐿 +|𝑈|(𝑖,𝑗)
+
𝑈𝑗𝐿 ,
(𝑖,𝑗)
[(1 + Φ𝑖 𝐶0
2
𝑈𝑗𝑅 −|𝑈|(𝑖,𝑗)
2
𝑈𝑗𝑅
(𝑖,j)
)Δ𝜈̃𝑖 + Φ𝑖 ∑𝑘 𝐶𝑘 Δ𝜈̃𝑘 ] +
(𝑗,𝑖)
[(1 + Φ𝑗 𝐶0
(𝑗,𝑖)
)Δ𝜈̃𝑗 + Φ𝑖 ∑𝑙 𝐶𝑙
(119)
Δ𝜈̃𝑙 ]
где значения
и |𝑈|(𝑖,𝑗) аппроксимируются по известным значениям вектора
скорости (𝑢, 𝑣, 𝑤) на предыдущей итерации.
Для диффузионного потока на границе между 𝑖-й и 𝑗-й контрольными ячейками
было получено выражение (113) второго порядка точности, при помощи которого находим
(𝑖,𝑗)
(𝑖,𝑗)
(∂𝑅 ∂𝜈̃Δ𝜈̃)(𝑖,𝑗) =
(𝐵0 Δ𝜈̃𝑖 + ∑𝑘 𝐵𝑘 Δ𝜈̃𝑘 +
(120)
(𝑗,𝑖)
(𝑗,𝑖)
+𝐵0 Δ𝜈̃𝑗 + ∑𝑙 𝐵𝑙 Δ𝜈̃𝑙 )𝑁(𝑖,𝑗)
где значение 𝑁(𝑖,𝑗) вычисляется по известным узловым значениям 𝜈̃ на предыдущей
итерации.
Просуммируем выражения (119), (120) по всем сторонам 𝑖-й ячейки и подставим в
уравнение неявного метода Эйлера (115). Группируя слагаемые, содержащие узловые
значения Δ𝜈̃ в одних и тех же ячейках, получим уравнение
𝑆
[ Δ𝑡𝑖 +
∑𝑗
𝑈𝑗𝐿 +|𝑈|(𝑖,𝑗)
2
+ ∑𝑘 [ ∑𝑗
+ ∑𝑗 [
(𝑖,𝑗)
(1 + Φ𝑖 𝐶0
𝑈𝑗𝐿 +|𝑈|(𝑖,𝑗)
2
𝑈𝑗𝑅 −|𝑈|(𝑖,𝑗)
+ ∑𝑗 ∑𝑙 [
2
(i,𝑗)
Φ𝑖 𝐶𝑘
(1 +
2
𝑈𝑗𝑅 −|𝑈|(𝑖,𝑗)
(𝑖,𝑗)
) + ∑𝑗 𝐵0
(𝑖,𝑗)
+ ∑𝑗 𝐵𝑘
(𝑗,𝑖)
Φ𝑗 𝐶0 )
(𝑗,𝑖)
Φ𝑗 𝐶𝑙
𝑁(𝑖,𝑗) ]Δ𝜈̃𝑖 +
+
(𝑗,𝑖)
𝐵0 𝑁(𝑖,𝑗) ]Δ𝜈̃𝑗
(𝑗,𝑖)
+ 𝐵𝑙
𝑁(𝑖,𝑗) ]Δ𝜈̃𝑘 +
(121)
+
𝑁(𝑖,𝑗) ]Δ𝜈̃𝑗 ,𝑙 =
𝑛
𝑛
= ∑𝑗 𝑅(𝑖,𝑗)
− ∑𝑗 𝐹(𝑖,𝑗)
+ 𝑆𝑖 𝑄𝑖𝑛
где двойной индекс 𝑗 , 𝑙 обозначает, что суммирование по соседним ячейкам
производится для каждой из ячеек, соседних с 𝑖-й через через 𝑗-й участок ее границы.
Таким образом, уравнение модели Спаларта-Аллмараса (104) сведено к СЛАУ относительно
приращений рабочей переменной Δ𝜈̃ при переходе к следующей итерации.
6
Программная реализация. Расчетные алгоритмы
Разбиение расчетной области на контрольные объемы осуществляется при помощи
неструктурированных треугольных сеток. В качестве основных переменных выступают
средние значения переменных решения (давление и компоненты скорости потока) по
ячейкам сетки, заданные в центральных точках ячеек. Для представления сетки в памяти
выбрана структура ''узлы и треугольники''.
Построение расчетной сетки осуществляется во внешнем генераторе (Gambit,
Geompack), после чего данные транслируются во внутренний формат разработанного
программного кода.
6.0.1
Краткая характеристика вычислительных средств
Для выполнения расчетов в данной работе был использован современный
персональный компьютер. Это соответствует общей тенденции, состоящей в том, что, с
развитием высокоскоростных и недорогих ПК, расширяются возможности их применения для
решения таких ресурсоемких задач, как задачи вычислительной гидродинамики.
Характеристики применявшегося ПК: 1 процессор Pentium P-IV 2800 КГц, 512 Мб ОЗУ
(RAM).
6.1
Алгоритм расчета установившегося течения
Используется метод искусственной сжимаемости. Система уравнений модели
турбулентности решается отдельно от системы уравнений Навье-Стокса.
• Инициализация физических переменных
турбулентности 𝜈̃𝑖0 начальными значениями
𝑞 0𝑖 и переменных модели
• Итерационный процесс (𝑛 = 0,1,2, …) по времени
- Вычисление турбулентной вязкости 𝜈̃𝑡𝑖𝑛 (раздел 5)
- Построение вектора правых частей и матрицы СЛАУ относительно Δ 𝑞 по
известным значениям 𝑞 𝑛𝑖 (параграф 4.3)
- Численное решение СЛАУ методом бисопряженных градиентов
- Вычисление узловых значений переменных модели турбулентности 𝜈̃𝑖𝑛+1
на следующем шаге по известным значениям 𝑞 𝑛𝑖
- Вычисление узловых значений 𝑞 𝑛+1
на следующей итерации
𝑖
𝑛+1
𝑛
𝑞𝑖 = 𝑞𝑖 +Δ 𝑞𝑖
- Проверка достижения сходимости решения (параграф 4.1)
• По завершении итерационного процесса, узловые значения физических
𝑁
переменных 𝑞 𝑁
𝑖 и турбулентной вязкости 𝜈𝑡𝑖 соответствуют установившемуся течению
6.2
Алгоритм расчета нестационарного течения
Используется метод искусственной сжимаемости с двойным шагом по времени.
Система уравнений модели турбулентности решается отдельно от системы уравнений
Навье-Стокса.
• Инициализация физических переменных 𝑞 0𝑖 и переменных модели
турбулентности 𝜈̃𝑖0 или значениями в начальный момент физического времени 𝑡0 = 0
• Внешний итерационный процесс (𝑛 = 0,1,2, …) по физическому времени
- Деформация расчетной сетки в соответствие с законом перемещения
обтекаемого тела, вычисление скоростей движения сторон ячеек
- Вычисление турбулентной вязкости 𝜈̃𝑡𝑖𝑛 (раздел 5)
- Инициализация переменных
физического времени 𝑡𝑛
𝑞 𝑛+1,0
значениями
𝑖
𝑞 𝑛𝑖 в момент
- Внутренний итерационный процесс (𝑚 = 0,1,2, …) по искусственному
времени
* Построение вектора правых частей и матрицы СЛАУ относительно
Δ 𝑞 по известным узловым значениям 𝑞 𝑛+1,𝑚
, 𝜈̃𝑖𝑛 (параграф 4.3)
𝑖
* Численное решение СЛАУ методом бисопряженных градиентов
* Вычисление узловых значений 𝑞 𝑛+1,𝑚
на следующем шаге
𝑖
искусственного времени
𝑞 𝑛+1,𝑚+1
= 𝑞 𝑛+1,𝑚
+Δ 𝑞𝑖
𝑖
𝑖
* Проверка достижения сходимости решения по искусственному
времени (параграф 4.2)
в момент 𝑡𝑛+1
- Вычисление узловых значений переменных модели турбулентности 𝜈̃𝑖𝑛+1
по известным значениям 𝑞 𝑛𝑖
- По завершении внутреннего итерационного процесса, узловые значения
переменных 𝑞 𝑛+1,𝑀
соответствуют состоянию течения в момент физического времени
𝑖
𝑡𝑛+1 = (𝑛 + 1)Δ𝑡
𝑞 𝑛−1
= 𝑞 𝑛𝑖 ,
𝑞 𝑛+1
= 𝑞 𝑛+1,𝑀
𝑖
𝑖
𝑖
• К моменту завершения внешнего итерационного процесса, получена
последовательность состояний течения 𝑞 𝑛𝑖 , 𝜈𝑡𝑖𝑛 в моменты физического времени 𝑡𝑛 =
𝑛Δ𝑡, 𝑛 = 0,1, … , 𝑁
6.3
Алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений
Как было показано, при помощи неявной дискретизации по времени можно свести
системы уравнений Навье-Стокса (пункт 4.3) и уравнений моделей турбулентности (пункт 5)
СЛАУ относительно узловых значений приращения переменных при переходе к следующему
шагу по времени. Обозначим полученную СЛАУ следующим образом
𝐴 𝑥 = 𝑏
(122)
Здесь размерность матрицы 𝐴 равна общему количеству переменных, вектор 𝑥
соответствует вектору приращений переменных.
Данная система имеет большую размерность, ее матрица является разреженной.
Кроме того, матрица системы несимметрична. Для решения СЛАУ, обладающих указанными
свойствами, целесообразно применить итерационный метод бисопряженных градиентов.
Рассмотрим алгоритм метода бисопряженных градиентов [2], введя следующие
обозначения
𝑥0
--
𝑥𝑘
--
𝑟 𝑘,
𝑟𝑘
--
𝑝 𝑘,
𝑝𝑘
--
вектор
начального
приближения
вектор
решения на
на
𝑘 -ой
итерации
векторы
невязки на
𝑘
-ой
итерации
векторы
спуска
на
𝑘
-ой
итерации
Алгоритм метода бисопряженных градиентов
•
•
•
•
𝑟0 =
𝑟0 =
𝑝0 =
𝑝0 =
𝑏 − 𝐴 𝑥0
𝑏 − 𝐴𝑇 𝑥0
𝑟0
𝑝0
• Итерационный процесс (𝑘 = 1,2, …)
- 𝛼𝑘 = ( 𝑟 𝑘 , 𝑟 𝑘 )/( 𝐴 𝑝 𝑘 , 𝑝 𝑘 )
-
𝑥 𝑘+1 = 𝑥 𝑘 + 𝛼𝑘 𝑝 𝑘
-
𝑟 𝑘+1 = 𝑟 𝑘 − 𝛼𝑘 𝐴 𝑝 𝑘
-
𝑟 𝑘+1 = 𝑟 𝑘 − 𝛼𝑘 𝐴 𝑝 𝑘
- 𝛽𝑘 = ( 𝑟 𝑘+1 , 𝑟 𝑘+1 )/( 𝑟 𝑘 , 𝑟 𝑘 )
- Проверка условий прекращения итерационного процесса.
* Достижение максимального числа итераций 𝐾
* Выполнение условия малости невязки ∥ 𝑟 𝑘+1 ∥< 𝜀
-
𝑝 𝑘+1 = 𝑟 𝑘+1 + 𝛽𝑘 𝑝 𝑘
𝑝 𝑘+1 = 𝑟 𝑘+1 + 𝛽𝑘 𝑝 𝑘
3 Верификация расчетного метода. Анализ
результатов расчетов
1
Интегральные и распределенные гидродинамические
характеристики
Анализируемые расчетные данные, полученные с использованием разработанного
программного кода ''SmartFlow 2.0'' представляются в виде распределенных (поля давлений,
завихренности, компонент скорости) и интегральных (коэффициенты сопротивления и
подъемной силы) характеристик исследуемых течений.
Распределенные характеристики непосредственно представляют собой состояние
решения на каждом временном шаге расчетного алгоритма (см. пункт 6).
Интегральные характеристики --- коэффициенты сопротивления и подъемной силы --вычисляются на каждом временном шаге по формулам
2𝐹
2𝐹
𝐶𝑑 = 𝜌𝑈̅𝑑𝐿 ,
𝐶𝑙 = 𝜌𝑈̅𝑙𝐿
̅, 𝐿 -- характерная скорость и длина, 𝐹𝑑 , 𝐹𝑙 -- соответственно
где 𝑈
∂𝑢
∂𝑢
𝐹𝑑 = ∫𝑆 (𝜌𝜈 ∂𝑛𝜏 𝑛𝑦 − 𝑝𝑛𝑥 ) 𝑑𝑆,
𝐹𝑙 = − ∫𝑆 (𝜌𝜈 ∂𝑛𝜏 𝑛𝑥 + 𝑝𝑛𝑦 ) 𝑑𝑆
где 𝑛𝑥 , 𝑛𝑦 -- координаты внешней нормали к поверхности тела, 𝑢𝜏 -- тангенциальная
составляющая скорости.
2
Оценка сходимости метода
На примере решения задачи ламинарного обтекания кругового двумерного цилиндра
в канале (см. параграф 3.1) при Re = 20, продемонстрируем влияние порядка
пространственной аппроксимации слагаемых уравнений Навье-Стокса на точность
вычислений.
Figure
2: Сходимость коэффициента сопротивления 𝐶𝑑 по итерациям для методов
первого и второго порядков точности
Figure
3: Влияние разрешения расчетной сетки на точность определения 𝐶𝑑
Figure 4: Влияние детализации поверхности обтекаемого тела на точность
определения 𝐶𝑑 для методов первого и второго порядков точности
Исходя из графика, приведенного на Рис. 3.1, можно сделать вывод о том, что для
данной задачи оба метода устойчивы. Зависимости на Рис. 3.1 и 3.2 указывают также на
более высокую эффективность метода со вторым порядком аппроксимации.
Рис. 3.3 свидетельствует о значительном влиянии количества элементов,
аппроксимирующих поверхность обтекаемого тела, на точность расчетного значения
коэффициента сопротивления. Это связано с наличием рассматриваемом течении (обтекание
кругового цилиндра) значительных градиентов давления на поверхности тела, точность учета
которых в значительной мере определяет конечный результат.
3
Результаты тестовых расчетов
В ходе верификации предложенного расчетного метода, были выполнены решения
различных модельных задач в широком диапазоне чисел Рейнольдса, а именно
• Задача ламинарного обтекания двумерного кругового цилиндра в канале
• Задача обтекания двумерного канала с обратным уступом в ламинарном и
турбулентном режимах
• Задача ламинарного обтекания двумерного квадратного цилиндра в
неограниченной жидкости
• Задача ламинарного обтекания двумерного кругового цилиндра,
совершающего вынужденные колебания поперек потока
Как следует из перечня задач, большинство из них относятся к ламинарному режиму
обтекания. Это объясняется тем фактом, что для указанных задач диапазон чисел
Рейнольдса, в котором имеет место адекватность двумерных задач физической картине
обтекания, соответствует ламинарному режиму течения.
Ниже, в форме интегральных и распределенных гидродинамических характеристик
течений, приводятся полученные автором результаты. Показывается сравнение с
экспериментальными и расчетными данными других авторов.
Figure
5: Круговой цилиндр в канале. Чертеж расчетной области
Figure
6: Круговой цилиндр в канале. Пример расчетной сетки (8000 ячеек)
Figure
7: Круговой цилиндр в канале, 𝑅𝑒 = 20. Распределение давлений по
поверхности цилиндра
3.1
Задача обтекания двумерного кругового цилиндра в канале
В качестве первой тестовой задачи выбрана задача формирования ближнего следа за
круговым цилиндром в потоке вязкой несжимаемой жидкости. Несмотря на кажущуюся
простоту задачи и сравнительно большое число экспериментальных данных,
нестационарные эффекты и обусловленные ими процессы переноса, особенно в
турбулентном режиме, все еще далеки от понимания. Важно отметить, что данная задача
является не только фундаментальной, но и имеет практическое значение, так как данное
течение встречается на практике при обтекании различных конструкций.
Рассмотрим задачу ламинарного обтекания двумерного кругового, расположенного
несимметрично в канале. Геометрия канала и условия обтекания выбраны аналогично
принятым в работе [35].
Входной профиль скорости (𝑢0 , 𝑣0 ) задается формулой
𝑦(𝐻−𝑦)
𝑢(𝑦) = 4𝑢𝑚 𝐻 2 ,
𝑣(𝑦) = 0
где 𝑢𝑚 = 𝑢(𝐻/2), 𝐻 – высота канала, 𝑦 – расстояние от нижней стенки канала. В качестве
характерной длины принят диаметр цилиндра 𝑑
̅𝑑
𝑢
𝑅𝑒 = 𝜈 ,
𝑢 = 23 𝑢(𝐻/2)
Течение жидкости вокруг кругового цилиндра при числах Рейнольдса, меньших некоторого
критического числа 𝑅𝑒∗ (в отсутствии загромождения потока 𝑅𝑒∗ = 40), сопровождается
возникновением устойчивой пары вихрей в следе за ним. При 𝑅𝑒, превосходящем 𝑅𝑒∗ , в
следе за цилиндром развивается доорожка Кармана, характеризующаяся периодическим
сходом вихрей поочередно с верхней и нижней сторон поверхности цилиндра. Дальнейшее
увеличение числа Рейнольдса вызывает развитие неустойчивости Кельвина-Гельмгольца,
признаком которой является появление вторичных вихрей между срывом основных.
В данной работе для расчетов был выбран диапазон чисел Рейнольдса до 𝑅𝑒 = 250,
так как адекватность решения двумерных уравнений Навье-Стокса физическим наблюдениям
подтверждена именно для этого диапазона [28].
3.1.1
Обтекание кругового цилиндра в канале при
𝑹𝒆 = 𝟐𝟎
Расчет обтекания цилиндра при Re = 20 выявил формирование устойчивой по
времени пары вихрей в следе за цилиндром.
Полученные распределенные характеристики показаны на Рис. 3.6 -- 3.9. Результаты
сопоставления найденных интегральных гидродинамических характеристик с диапазонами
их значений, приведенными в работе [35]
𝐶𝑑
данная
работа
5.58
𝐶𝑙
0.01
работа [35]
5.57 −
5.59
0.0104 −
0.011
Figure
3.1.2
8: Круговой цилиндр в канале, 𝑅𝑒 = 20. Поля давления, продольной и
поперечной скоростей
Figure
9: Круговой цилиндр в канале, 𝑅𝑒 = 20. Поле завихренности
Figure
10: Круговой цилиндр в канале, 𝑅𝑒 = 20. Картина линий тока
Обтекание кругового цилиндра в канале при
𝑹𝒆 = 𝟏𝟎𝟎
Расчет обтекания цилиндра при Re = 100 выявил формирование за цилиндром
вихревого следа вихревого следа.
Результаты сравнения вычисленных интегральных гидродинамических характеристик
со значениями, приведенными в работе [35]
𝐶𝑑 𝑚𝑎𝑥
данная
работа
3.25
𝐶𝑙 𝑚𝑎𝑥
1.04
𝑆𝑡
0.297
работа [35]
3.22 −
3.24
0.99 −
1.01
0.295 −
0.305
Изменение коэффициентов сопротивления и подъемной силы во времени показано
на Рис. 3.10. Полученные мгновенные распределенные характеристики показаны на Рис. 3.11
-- 3.13.
Figure
11: Круговой цилиндр в канале, 𝑅𝑒 = 100. Зависимость коэффициентов
сопротивления и подъемной силы от времени
12: Круговой цилиндр в канале, 𝑅𝑒 = 100. Поле давления
Figure
3.2
Figure
13: Круговой цилиндр в канале, 𝑅𝑒 = 100. Поле завихренности
Figure
14: Круговой цилиндр в канале, 𝑅𝑒 = 100. Картина линий тока
Задача обтекания двумерного канала с обратным уступом
Figure
Figure
15: Обратный уступ. Чертеж расчетной области
16: Обратный уступ. Пример расчетной сетки (8000 ячеек)
Для тестирования алгоритмов расчета отрывных течений традиционно используется
задача обтекания обратного уступа.
Данная задача хорошо отражает основные структурные особенности отрывных
течений. Вместе с тем, наличие фиксированной точки отрыва исключает влияние
перемещения точки отрыва на результат, тем самым позволяя получать более однозначные
зависимости. Следует также отметить, что для данного типа течения нехарактерны
значительные градиенты давления.
Для задачи имеются надежные экспериментальные данные, полученные как для
ламинарного. так и для турбулентного режимов течения.
Рассмотрим задачу обтекания обратного уступа в ламинарном и турбулентном
режимах. Схема геометрии расчетной области приведена на Рис. 3.14. В качестве
характерной длины принимается высота уступа ℎ . Соответственно, число Рейнольдса
определяется по формуле 𝑅𝑒 = (𝑢̅ℎ)/𝜈, где 𝑢̅ -- средняя скорость жидкости во входном
сечении. Отношение высоты уступа к высоте канала принимается, также как в работе [34],
равным ℎ/𝐻 = 0.5.
При обтекании обратного уступа, по мере роста числа Рейнольдса ламинарный режим
течения за уступом сменяется турбулентным. Длина отрывной зоны за уступом 𝐿𝑆 является
показательной и чувствительной характеристикой течения.
При числах 𝑅𝑒 < 1000 течение является ламинарным. В этом случае 𝐿𝑆 растет
почти линейно с увеличением числа Рейнольдса. Ламинарные течения за уступом хорошо
моделируются численно и результаты расчетов этого режима течений отвечают
экспериментальным данным. При 𝑅𝑒 > 1000 течение становится турбулентным. В
турбулентном режиме длина отрывной зоны, отнесенная к высоте уступа, практически не
зависит от числа Рейнольдса [9].
Figure
3.2.1
17: Обратный уступ. Зависимость длины отрывной зоны от числа Рейнольдса
для ламинарного режима
Ламинарное обтекание обратного уступа
Расчетная зависимость зависимость длины отрывной зоны 𝐿𝑠 /ℎ от 𝑅𝑒 для
ламинарного режима, удовлетворительно совпадающая с данными, приведенными в работе
[34], приведена на Рис. 16.
Примером полученных распределенных характеристик, является расчетный результат
для случая обтекания обратного уступа при 𝑅𝑒 = 200, показанный на Рис. 3.17 -- 3.19.
3.2.2
Турбулентное обтекание обратного уступа
Figure
Figure
18: Обратный уступ, 𝑅𝑒 = 200. Поле давления
19: Обратный уступ, 𝑅𝑒 = 200. Поле продольных скоростей
Figure
20: Обратный уступ, 𝑅𝑒 = 200. Картина линий тока
В расчетах моделировалось турбулентное обтекание обратного уступа при 𝑅𝑒 =
4700 . Полученные данные сравнивались с экспериментальным результатом для
аналогичного течения, приведенным в работе [9].
Сравнение расчетной и экспериментальной картин течения, показывает
удовлетворительное качественное согласование конфигурации вихрей в отрывной зоне (Рис.
3.22 и 3.23).
Длина отрывной зоны, отнесенная к высоте уступа, составила порядка 𝐿𝑆 /ℎ = 5.6
для расчетного результата и 6.0 для экспериментального. Отмеченное рассогласование
может объясняться влиянием трехмерности присутствующим при получении
экспериментальных данных.
Figure
Figure
21: Обратный уступ, 𝑅𝑒 = 4700. Поле продольных скоростей
22: Обратный уступ, 𝑅𝑒 = 4700. Распределение безразмерной турбулентной
вязкости 𝜈𝑡
Figure
Figure
23: Обратный уступ, 𝑅𝑒 = 4700. Картина линий тока
24: Экспериментальная картина линий тока и продольной скорости для
обратного уступа при 𝑅𝑒 = 4700
3.3 Задача обтекания двумерного квадратного цилиндра в
неограниченной жидкости
Показательными являются задачи обтекания тел, имеющих острые кромки. В этом
случае возникновение и срыв вихрей происходит организованно, а именно, с острых кромок.
В качестве примера такого тела, для верификации был выбран цилиндр квадратного сечения.
Автором рассмотрена задача ламинарного обтекания двумерного квадратного цилиндра при
нулевом угле атаки в неограниченной жидкости. Для сравнения были использованы
результаты, приведенные в работе [36].
Figure
Figure
25: Квадратный цилиндр. Чертеж расчетной области
26: Квадратный цилиндр. Пример расчетной сетки (8000 ячеек)
Figure
27: Квадратный цилиндр, 𝑅𝑒 = 200. Поле давления
Figure
28: Квадратный цилиндр, 𝑅𝑒 = 200. Поле завихренности
Figure
29: Квадратный цилиндр, 𝑅𝑒 = 200. Картина линий тока
Figure
30: Квадратный цилиндр. Зависимость коэффициента сопротивления от числа
Рейнольдса
В качестве характерной длины в данной задаче принимается длина стороны квадрата.
Критическое значение числа Рейнольдса, при котором за цилиндром развивается вихревая
дорожка Кармана, составляет порядка 𝑅𝑒∗ = 53 . При ламинарном режиме течения,
имеющем место в диапазоне чисел Рейнольдса до 200 − 300, процесс вихреобразования
характеризуется четкой зависимостью частоты схода вихрей от числа Рейнольдса.
Геометрия расчетной области и параметры потока выбраны аналогично принятым в
работе [36].
Расчетные значения коэфициента сопротивления 𝐶d для различных чисел
Рейнольдса приведены на Рис. 3.26. На Рис. 3.27 -- 3.29 показаны моментальные
распределенные характеристики, полученные для случая 𝑅𝑒 = 200.
3.4 Задача обтекания двумерного кругового цилиндра, совершающего
вынужденные колебания поперек потока
В качестве задачи, демонстрирующей работоспособность численного метода для
моделирования течений в областях с подвижными границами, была выбрана задача
обтекания двумерного кругового цилиндра, совершающего вынужденные колебания
поперек потока. Параметрами данной задачи является число Рейнольдса 𝑅𝑒 = 𝑈∞ 𝑑/𝜈 (где
𝑈∞ -- скорость потока, 𝑑 -- диаметр цилиндра), а также частота 𝑓𝑒 и амплитуда 𝐴
вынужденных колебаний цилиндра.
При достаточном большом значении амплитуды 𝐴 , возникает явление
скачкообразного изменения фазового угла между движением цилиндра и коэффициентом
подъемной силы при изменении частоты 𝑓𝑒 в окрестности естественной частоты 𝑓0 срыва
вихрей при отсутствии колебаний цилиндра. Это явление объясняется изменением
направления передачи энергии между потоком и колеблющимся цилиндром.
Параметры потока выбраны аналогично принятым в работах [23, 41]. Закон колебаний
цилиндра задан выражением 𝑧(𝑡) = 𝐴cos(2𝜋𝑓𝑒 𝑡) где 𝑧(𝑡) -- смещение цилиндра поперек
потока.
Рассматриваются три случая, характеризуемые значениями параметров 𝑅𝑒 = 185,
𝐴 = 0.2𝑑, 𝑓𝑒 /𝑓0 = {0.8, 1.0, 1.2}.
Figure
31: Вынужденные колебания кругового цилиндра. Чертеж расчетной области
Figure
32: Вынужденные колебания кругового цилиндра. Пример расчетной сетки
(8000 ячеек)
Геометрия расчетной области представлена на Рис.3.30 Для определения
естественной частоты срыва вихрей 𝑓0 проведен расчет обтекания неподвижного цилиндра
при 𝑅𝑒 = 185. Для этого режима получено значение числа Струхаля 𝑆𝑡 = 0.195.
На Рис. 3.33 показаны мгновенные картины линий тока, а на Рис. 3.34 --- поля
завихренности в момент, когда цилиндр находится в крайнем верхнем положении, для
различных соотношений 𝑓𝑒 /𝑓0 . Эти результаты показывают изменение структуры ближнего
следа за колеблющимся цилиндром при 𝑓𝑒 /𝑓0 > 1.0 , и демонстрируют хорошее
качественное согласование с данными работы [41].
Рис.3.35 демонстрирует различный характер изменения коэффициентов
сопротивления и подъемной силы во времени для каждого из трех случаев 𝑓𝑒 /𝑓0 =
{0.8, 1.0, 1.2}.
Полученные в среднеквадратические значения коэффициента подъемной силы для
различных соотношений 𝑓𝑒 /𝑓0 , показанные на Рис. 3.32 также показывают хорошее
соответствие с данными [41].
Figure 33: Вынужденные колебания кругового цилиндра, 𝑅𝑒 = 185. Зависимость
среднеквадратического значения коэффициента подъемной силы от соотношения 𝑓𝑒 /𝑓0
Figure 34: Вынужденные колебания кругового цилиндра, 𝑅𝑒 = 185. Моментальные
картины линий тока (цилиндр в верхней точке). (a) -- 𝑓𝑒 /𝑓0 = 0.8, (б) -- 𝑓𝑒 /𝑓0 = 1.0, (в) -𝑓𝑒 /𝑓0 = 1.2
Figure 35: Вынужденные колебания кругового цилиндра, 𝑅𝑒 = 185. Поле
завихренности (цилиндр в верхней точке). (a) -- 𝑓𝑒 /𝑓0 = 0.8, (б) -- 𝑓𝑒 /𝑓0 = 1.0, (в) -- 𝑓𝑒 /𝑓0 =
1.2
Figure 36: Вынужденные колебания кругового цилиндра, 𝑅𝑒 = 185. Зависимость
коэффициентов сопротивления и подъемной силы от времени (a) -- 𝑓𝑒 /𝑓0 = 0.8, (б) --
𝑓𝑒 /𝑓0 = 1.0, (в) -- 𝑓𝑒 /𝑓0 = 1.2
Можно констатировать, что, по результатам тестовых расчетов, предложенный
численный метод и разработанный программный код ''SmartFlow 2.0'' показали хорошее
соответствие полученных расчетных результатов с экспериментальными и расчетными
данными других авторов.
Заключение
В настоящей дипломной работе, посвященной математическому моделированию
нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости в двумерных областях сложной
геометрии с подвижными границами, автором решены следующие задачи:
• Выполнен обзор и анализ литературы по существующим методам расчета
течений вязкой несжимаемой жидкости
• Сформулирована общая задача двумерного турбулентного
(низкорейнольдсового) обтекания тела произвольной формы, совершающего колебания в
безграничном или ограниченном потоке вязкой несжимаемой жидкости
• Выбран метод, наиболее подходящий для данного класса задач с учетом
имеющихся вычислительных ресурсов
• Разработан численный метод высокого порядка точности для решения
нестационарных осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса для ламинарных и
турбулентных течений в двумерных областях с подвижными границами
• Разработан программный код (''SmartFlow 2.0'') для расчета
гидродинамических характеристик течений
• В развитие программного кода ''SmartFlow 1.0'', в данной версии автором
реализованы следующие расчетные методы, обеспечивающие решение поставленных в
данной работе задач:
- Полиномиальная аппроксимация второго порядка точности конвективных
и диффузионных слагаемых определяющих уравнений, реализованная на
неструктурированной сетке
- Расчет существенно нестационарных течений при помощи метода двойных
шагов по времени
- Расчет турбулентной вязкости при помощи низкорейнольдсовой модели
Спаларта-Аллмараса
- Расчет течений за в областях с подвижной границей за счет применения
метода деформируемых сеток
• Верификация разработанного метода показала удовлетворительное
согласование полученных результатов расчета различных режимов течений в двумерных
областях (канал с обратным уступом, круговой цилиндр в канале, квадратный цилиндр в
неограниченной жидкости, круговой цилиндр, совершающий вынужденные колебания
поперек потока) с известными экспериментальными и расчетными данными
Следует отметить, что преимуществами рассмотренного в работе подхода являются:
простота программной реализации схем пространственной дискретизации высокого
порядка, эффективность его применения для расчета установившихся и нестационарных
течений, течений с подвижными границами.
В дальнейшем предложенный метод может быть сравнительно легко обобщен на
случай расчета течений в трехмерных областях, течений со свободной поверхностью, а также
расчета обтекания тел, меняющих свою геометрию под воздействием гидродинамических
сил (деформирующихся упругих тел).
Возможна интеграция разработанного RANS-метода с другими вычислительными
методами для получения гибридной модификации (DES, RANS/LES).
References
[1]
Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и
теплообмен. М.: Мир, 1990.
[2]
Баландин М.Ю., Шурина Э.П.
Новосибирск: Изд­во НГТУ, 2000.
[3]
Методы решения СЛАУ большой размерности. //
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.
Численные методы. // М.: Наука,
1987.
[4]
Белов И.А., Исаев С.А. Моделирование турбулентных течений: Учебное пособие.
// СПб: БГТУ, 2001.
[5]
Белов И.А., Исаев С.А., Коробков В.А. Задачи и методы расчета отрывных
течений несжимаемой жидкости // Л.: Судостроение, 1989.
[6]
Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред.
М.: Физматлит, 1994.
[7]
Волков К.Н. Реализация схемы расщерления на разнесенной сетке для расчета
нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости. // Вычислительные методы и
программирование. 2006. 269-282.
[8]
Голуб Дж., Ван Лоун Ч.
Матричные вычисления. // М.: Мир, 1999.
[9]
Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Шеретов Ю.В., Шильников Е.В.
моделирование отрывных течений за обратным уступом.
[10]
Численное
Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. // М.: ГИТТЛ, 1970.
[11]
Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости.
// Л.: Гидрометеоиздат, 1986.
[12]
В.А., Тарасов С.В. Метод численного расчета течений вязкой жидкости с
использованием осредненных по Рейнодльдсу уравнений Навье-Стокса // Тезисы докладов
научно-технической конференции ''Проблемы мореходных качеств судов и корабельной
гидромеханики'' (XLII Крыловские чтения). СПб, 2006. 17-19.
[13]
Скворцов А.В. Обзор алгоритмов построения триангуляции Делоне. //
Вычислительные методы и программирование. 2002. 14-39.
[14]
Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991.
[15]
Anderson J.D. Computational Fluid Dynamics. The Basics with Applications. 1995.
[16]
Baldwin B.S., Lomax H. Thin-Layer Approximation and Algebraic Model for
Separated turbulent Flows. // AIAA Paper, 78-257. 1978.
[17]
Barth T.J. Aspects of Unstructured Grids and Finite-Volume Solvers for the Euler
and Navier-Stokes Equations. // Unstructured Grid Methods for Advection-Dominated Flows.
AGARD, 1992.
[18]
Barth T.J., Frederickson P.O. Recent Developments in High Order K-Exact
Reconstruction on Unstructured Meshes. // AIAA paper 93-0668, 1993.
[19]
Biedron R.T., Vatsa V.N., Atkins H.L. Simulation of Unsteady Flows Using an
Unstructured Navier-Stokes Solver on Moving and Stationary Grids. // AIAA paper 2005-5093,
2005.
[20]
Chung T.J. Computational fluid dynamics. // CUP, 2002.
[21]
Fekken G.
[22]
Ferziger J.H., Peric M. Computational methods fluid dynamics. // Springer, 2001.
Numerical Simulation of Free-Surface Flow with Moving Rigid Bodies.
2004.
[23]
Guilmineau, E. and Queutey, P. A Numerical simulation of vortex shedding from an
oscillating circular cylinder // J. Fluids Struct. Vol. 16. 2002. 773–794.
[24]
Hino T. Navier-Stokes Computations of Ship Flows on Unstructured Grids //
Twenty-Second Symposium on Naval Hydrodynamics, 1998. 463-475.
[25]
Hino T.
Navier-Stokes Solver.
Unsteady Flow Simulation Around a Moving Body by an Unstructured
[26]
Langtangen H.P., Mardal K. Numerical Methods for Incompressible Viscous Flow.
[27]
Kolmogorov A.N. Equations of Turbulent Motion of an Incompressible Fluid. 1942.
[28]
Kravchencko A.G., Moin P. Numerical Studies of Flow Over a Circular Cylinder at
ReD=3900 // Physics of Fluids. 2000. Vol. 12. 403-417.
[29]
Kwak D.C., Chang J.L., Shanks S.P., Chakravarthy S.K. A Three-Dimensional
Incompressible Navier-Stokes Solver Using Primitive Variables.
[30]
Ollivier-Gooch C., Van Altena M. A High Order Accurate Unstructured Mesh
Finite-Volume Scheme for the Advection-Diffusion Equation. 2002.
[31]
Piomelli U., Scotti A., Balaras E. Large-Eddy Simulations of Turbulent Flows, from
Desktop to Supercomputer (Invited Talk). 2002.
[32]
Roe P.L. Characteristic-Based Scheme for the Euler Equations // Annual Review on
Fluid Mechanics. 1986. Vol. 18. 337-365.
[33]
Rogers S.E., Kwak D. Upwind Differencing Scheme for the Time-Accurate
Incompressible Navier-Stokes Equations // AIAA Journal. 1990. Vol. 28. 253-262.
[34]
Rogers S.E., Kwak D. Upwind Differencing Scheme for the Incompressible
Navier-Stokes Equations // Applied Numerical Mathematics. 1991. Vol. 8. 43-64.
[35]
Schafer M., Turek S. Benchmark Computations of Laminar Flow Around a Cylinder
// Notes on Numerical Fluid Mechanics. 1996. 856-869.
[36]
Sohankar A., Davidson L., Norberg C. Numerical Simulation of Unsteady Flow
Around a Square Two-Dimensional Cylinder // In Proc. 12-th Australasian Fluid Mechanics
Conference, 1995. 517-520.
[37]
Spalart P.R., Allmaras S.R.
Flows. AIAA Paper, 92-439. 1992
A One Equation Turbulence Model for Aerodynamic
[38]
Van Altena M. High-Order Finite-Volume Discretisation for Solving a Modified
Advection-Diffusion Problem on Unstructured Triangular Meshes. 1999.
[39]
Wilcox D.C. Multiscale Model for Turbulent Flows. // AIAA Journal. Vol. 26. 1988.
[40]
Wilcox D.C. Turbulence modelling for CFD. // DCW Industries, 1993.
[41]
Yang J., Balaras E. An embedded-boundary formulation for large-eddy simulation of
turbulent flows interacting with moving boundaries. 2005.