Алгебраическая геометрия_обязательный курс_2годx (новое

1
Приложение к приказу первого проректора
по учебной и научной работе
от________________№_______________
Правительство Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный университет
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Алгебраическая геометрия
Algebraic geometry
Язык обучения
русский
Трудоёмкость (границы трудоёмкости) в зачетных единицах: __4__
Регистрационный номер рабочей программы: 2014/ Санкт-Петербург
2014
2
Раздел 1.
Характеристики учебных занятий
Цели и задачи учебных занятий
1.1.
Основная задача курса — дать аспиранту представление о ключевых понятиях и
методах алгебраической геометрии.
Целью курса является формирование навыков самостоятельного использования слушателями аппарата алгебраической геометрии.
1.2. Требования к подготовленности обучающегося к освоению содержания
учебных занятий (пререквизиты)
Необходимо знание содержания курса «Основы алгебраической геометрии I».
Перечень результатов обучения (learning outcomes)
1.3.
Знать содержание программы курса и иметь представление о возможностях
применения ее разделов в различных теоретических и прикладных задачах
Перечень активных и интерактивных форм учебных занятий
1.4.
зачет
Раздел 2.
2.1.
Организация, структура и содержание учебных занятий
Организация учебных занятий
2.1.1 Основной курс
(Пример заполнения таблицы)
Трудоёмкость
итоговая аттестация
(сам.раб.)
промежуточная аттестация
(сам.раб.)
текущий контроль (сам.раб.)
сам.раб. с использованием
методических материалов
Самостоятельная работа
итоговая аттестация
под руководством
преподавателя
в присутствии
преподавателя
промежуточная
аттестация
текущий контроль
коллоквиумы
контрольные работы
лабораторные работы
консультации
практические
занятия
семинары
лекции
Период обучения (модуль)
Контактная работа обучающихся с преподавателем
Объём активных и интерактивных
форм учебных занятий
Трудоёмкость, объёмы учебной работы и наполняемость групп обучающихся
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
54
90
2 год
ИТОГО
4
60
90
4
3
Формы текущего контроля успеваемости, виды промежуточной и итоговой аттестации
Период обучения (модуль)
Формы текущего
контроля
успеваемости
Виды итоговой аттестации
Виды промежуточной
аттестации
(только для программ итоговой
аттестации и дополнительных
образовательных программ)
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
2 год
зачет
2.2. Структура и содержание учебных занятий
Основной курс
Основная траектория
Очная форма обучения
Период обучения (модуль): 2 год
№
п/п
1.
2.
3.
4.
Наименование темы (раздела, части)
Геометрическое введение
Функтор точек
Кривые и поверхности
Когомологические методы
Вид учебных занятий
Количество
часов
Лекции
18
По методическим материалам
12
Лекции
10
По методическим материалам
14
Лекции
16
По методическим материалам
32
Лекции
10
По методическим материалам
32
Модуль 1. Геометрическое введение.
Замкнутые алгебраические подмножества в аффинном и проективном пространствах.
Категория аффинных многообразий, возможность локального задания регулярной
функции на аффинном многообразий. Покрытие проективного пространства аффинными
кусками. Примеры отображений между проективными многообразиями, вложения Сегре и
Веронезе. (4 часа)
4
Теорема Гильберта о нулях. Теория исключения (классическое доказательство и при
помощи леммы Накаямы) и ее применения: замкнутость конечного морфизма, полнота
проективного пространства, пересечение замкнутых подмногообразий в проективном
пространстве. Лемма Нётер о нормализации и теорема о размерности слоев. (4 часа).
Рациональные функции на аффинном многообразии. Бирациональная эквивалентность.
Неособая алгебраическая кривая и ее поле функций. Плоская модель кривой. Ветви
кривой и разрешение особенностей кривой при помощи раздутия и при помощи
квадратичного преобразования Нетера (4 часа).
Напоминание о теории Крулля колец с теорией дивизоров. Продолжение нормирований.
Дивизоры на кривой, степень дивизора рациональной функции, теорема Безу на
проективной плоскости и на прямом произведении проективных прямых. Геометрическое
определение размерности и степени замкнутого подмногообразия в проективном
пространстве. Теорема Безу в трехмерном проективном пространстве (4 часа).
Дивизоры Вейля и дивизоры Картье, связь с линейными расслоениями. Отображения в
проективное пространство. Линейная эквивалентность дивизоров. Прямой образ дивизора
при конечном морфизме, дивизоры на относительном проективном пространстве.
Раздутие аффинного многообразия с центром в замкнутом подмножестве и его
универсальное свойство (4 часа).
Модуль 2. Категория схем.
Аффинная схема и её функтор точек. Пучки на категории аффинных схем в топологии
Зариского. Понятие открытого подфунктора, пример: главное открытое подмножество,
аффинная плоскость с выколотой точкой. Конструкция тотального касательного
пространства (4 часа).
Функтор точек проективного пространства и проективные модули, еще раз об
отображениях в проективное пространство. (1 час).
Понятие пространства модулей. Базовые примеры. Отображение Абеля-Якоби и якобиан
комплесной алгебрической кривой (2 часа).
Схема Пикара и ее построение (3 часа).
Модуль 3. Кривые и поверхности.
Линейные системы дивизоров на кривых. Присоединенная система дивизоров на кривых,
классическое доказательство теоремы Римана-Роха (3 часа). Канонические кривые малого
родаи гиперэллиптические кривые. Теорема Клиффорда, оценки Кастельнуово (2 часа).
Соответствия между кривыми, формулы Цайтена и Плюккера (2 часа). Точки
Вейерштрасса и их приложения (2 часа).
Рациональные поверхности, поверхности дель Пеццо степени 5,4 и 3 (2 часа). Формула
присоединения и формула для рода кривой на рациональной поверхности (1 час).
Линейчатые поверхности и теорема Кастельнуово о стягивании (2 часа). Теорема РиманаРоха для поверхностей (4 часа). Теорема Ходжа об индексе и ее применение к оценке
Хассе-Вейля числа точек на кривой над конечным полем (2 часа).
5
Модуль 4. Когомологические методы.
Напоминание о производных функторах. Когомологии когеррентных пучков и теорем об
обращении в ноль (2 часа). Плоские морфизмы и Tor-формула (2 часа). Многочлен
Гильберта проективного многообразия и Эйлерова характеристика (2 часа).
Двойственность Серра (4 часа).
Раздел 3.
3.1.
Обеспечение учебных занятий
Методическое обеспечение
3.1.1 Методические указания по освоению дисциплины
Посещение лекций
3.1.2 Методическое обеспечение самостоятельной работы
Литература из списка основной и дополнительной литературы
3.1.3 Методика проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации и критерии оценивания
Методика проведения экзамена
Экзамен проводятся в устной форме. Билет состоит из двух вопросов. Время подготовки
ответа на вопросы билета составляет 60 минут.
Использование конспектов и учебников, а также электронных устройств хранения,
обработки или передачи информации при подготовке и ответе на вопросы экзамена
категорически запрещено. В случае обнаружения факта использования недозволенных
материалов (устройств) составляется акт и студент удаляется с экзамена. После ответа на
вопросы билета преподаватель задает несколько дополнительных вопросов, на основании
оценки ответов на которые итоговая оценка по предмету может быть повышена или
понижена.
Критерии выставления оценок:
Оценка «отлично» ставится за полностью раскрытый теоретический материал и
правильные ответы на дополнительные вопросы преподавателя. В болонской шкале
оценка может быть скорректирована в ту или иную сторону с учетом малозначительных
погрешностей изложения или, напротив, углубленного изложения материала.
Оценка «хорошо» ставится за изложенный теоретический материал билета (возможно с
помощью наводящих подсказок преподавателя).
Оценка «удовлетворительно» ставится за знание основных вопросов по каждой теме.
Оценка «неудовлетворительно» выставляется, если не выполняются условия для
получения оценок «отлично», «хорошо» и «удовлетворительно».
6
3.1.4 Методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации (контрольно-измерительные материалы, оценочные средства)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Морфизмы в проективное пространтство.
Теорема о размерности слоев.
Собственные морфизмы.
Валюативный критерий собственности.
Основная теорема Зарисского.
Дивизоры Вейля.
Дивизоры Картье.
Обратимые пучки.
Линейные расслоения
Группа классов и группа Пикара.
Линейная эквивалетность циклов, вычисление групп Чжоу проективных
пространств.
Прямой образ цикла.
Детерминантальные многообразия.
Многообразия Грассмана и циклы на нем.
Дифференциальные формы на схеме.
Канонический класс.
Дифференциалы и ветвление.
Дифференцилы первого и второго рода на кривой и их вычеты.
Формулы Плюккера для рода плоской кривой.
Теорема Кэли-Баккара.
Теория Бриля-Нётера.
Прямые на кубической поверхности.
Арифметический род поверхности.
Компактифицированное пространство модулей пяти точек на проективной прямой.
Точные последовательности пучков дифференциалов.
Адельная резольвента пучка регулярных функций на кривой.
Применения теоремы Римана-Роха к классификации кривых и поверхностей.
Теорема Гильберта-Серра.
3.1.5 Методические материалы для оценки обучающимися содержания и качества
учебного процесса
3.2.
Кадровое обеспечение
3.2.1 Образование и (или) квалификация преподавателей и иных лиц, допущенных
к проведению учебных занятий
К чтению лекций должны привлекаться преподаватели, имеющие ученую степень доктора
или кандидата наук (в том числе степень PhD, прошедшую установленную процедуру
признания и установления эквивалентности) и/или ученое звание профессора или доцента.
3.2.2 Обеспечение учебно-вспомогательным и (или) иным персоналом
Не требуется
7
3.3.
Материально-техническое обеспечение
3.3.1 Характеристики аудиторий (помещений, мест) для проведения занятий
Стандартно оборудованные лекционные аудитории с возможностью
электронной
презентации курса, должна вмещать поток в соответствии со списком студентов
3.3.2 Характеристики аудиторного оборудования, в том числе неспециализированного
компьютерного оборудования и программного обеспечения общего пользования
доска для письма мелом или фломастером, мультимедийный проектор
3.3.3 Характеристики специализированного оборудования
Не требуется
3.3.4 Характеристики специализированного программного обеспечения
Не требуется
3.3.5 Перечень и объёмы требуемых расходных материалов
Мел — не менее 1 куска на час лекционных занятий, фломастеры для доски, губка
3.4.
Информационное обеспечение
3.4.1 Список обязательной литературы
1. Д. Мамфорд. Лекции о кривых на алгебраической поверхности. М.: Мир, 1968. 3 экз.
2. David Eisenbud. The Geometry of Syzygies . A Second Course in Commutative Algebra and
Algebraic Geometry.- Springer New York, 2005. Электронный ресурс по подписке СПбГУ:
http://link.springer.com/book/10.1007%2Fb137572
3.
D. Perrin. Algebraic Geometry. Springer, 2008. Электронный ресурс по подписке СПбГУ:
http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-1-84800-056-8
3.4.2 Список дополнительной литературы
1. Д. Мамфорд. Красная книга о многообразиях и схемах. Кривые и их якобианы.- М.:
МЦНМО, 2007-2014. 2 экз.
2. Q. Liu. Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford University Press, 2006.
Электронный ресурс по подписке СПбГУ:
http://site.ebrary.com/lib/stpeterst/detail.action?docID=10229915
3. И. Б. Жуков. Коммутативная алгебра. СПб, изд-во СПбГУ, 2009.
4. И. Р. Шафаревич. Основы алгебраической геометрии. В 2-х тт. М., Наука, 1988.
5. Ж.-П. Серр. Алгебрические группы и поля классов. М.: Мир, 1968.
6. D. Eisenbud, J. Harris. 3264 and all that, intersection theory in Algebraic geometry. CUP,
8
2015. Открытый электронный ресурс:
http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic720403.files/book.pdf
3.4.3 Перечень иных информационных источников
http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic720403.files/book.pdf
Ravi Vakil, Algebraic geometry lectue notes:
http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGjun1113public.pdf
Раздел 4. Разработчики программы
Пименов Константин Игоревич, к. ф.-м.н., e-mail: [email protected]