Системой линейных уравнений (СЛУ) с тремя неизвестными

Системой линейных уравнений (СЛУ) с тремя неизвестными называется выражение вида:
 a11 x  a12 y  a13 z  b1


a21 x  a22 y  a23 z  b2

 a31 x  a32 y  a33 z  b3

где
x , y , z - неизвестные переменные,
aij ,( i =1,2,3, j =1,2,3) - постоянные коэффициенты при неизвестных x , y , z
bi ,( i =1,2,3) - свободные члены уравнений,
i - индекс, указывающий номер уравнения,
j - индекс, указывающий номер неизвестной в уравнении.
Решением СЛУ c тремя неизвестными называется упорядоченная тройка чисел ( x0 , y 0 ,
z0 ), удовлетворяющая всем уравнениям системы.
Т.е., упорядоченный набор чисел ( x0 , y 0 , z0 ) называется решением СЛУ, если он
обращает в тождества все уравнения системы при подстановке в них x = x0 , y = y 0 , z =
z0 .
Пример 9. Решить систему уравнений тремя способами.
 x1  2 x2  x3  2

2 x1  3x2  2 x3  2
 3x  x  x  8
2
3
 1
1 способ: метод Гаусса.
Составляем расширенную матрицу системы, в которую входят коэффициенты при
переменных и свободные члены:
1 2 1 2


 2  3 2 2
3 1
1 8 

Чтобы исключить переменную x1 из второго и третьего уравнений, умножим первую
строку на (-2) и (-3) и полученные строки прибавим ко второй и третьей строке
соответственно:
 1 2  1 2  (2)( 3)  1 2  1 2 




 0  7 4  2
 2  3 2 2
3 1
0  5 4 2 
1 8 



Чтобы исключить переменную x3 из третьего уравнения, умножим вторую строку на (-1)
и полученную строку прибавим к третьей строке:
1 2 1 2 
1 2 1 2 




 0  7 4  2 (1)   0  7 4  2 
0  5 4 2 
0 2
0 4 



Получили систему уравнений, равносильную исходной системе, в которой первое
уравнение содержит три переменных, второе – две, а третье – одну переменную:
 x1  2 x2  x3  2

 7 x2  4 x3  2

2 x2  4

Отсюда последовательно находим:
x2  2;
 14  4 x3  2  x3  3;
Таким образом, решение системы:
x1  1; x2  2; x3  3 .
x1  4  3  2  x1  1
Второй способ: метод Крамера.
Составляем матрицу системы:
 1 2  1


2  3 2 
3 1
1 

Вычисляем определитель этой матрицы:
1 2 1
  2 3
3 1
2  3  12  2  9  2  4  8  0
1
Находим определители 1 ,  2 ,  3 , получающиеся из исходного определителя заменой
 2
 
соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:  2  .
8
 
2
2
1  2  3
8 1
1
1 2 1
2  6  32  2  24  4  4  8;  2  2 2
1
3 8
2  2  12  16  6  16  4  16;
1
1 2 2
 3  2  3 2  24  12  4  18  32  2  24
3 1 8
Теперь используя формулы Крамера x1 
системы:
x1 
8
 16
 24
 1; x 2 
 2; x3 
 3.
8
8
8
Третий способ: метод обратной матрицы.

1

; x2  2 ; x3  3 , находим решение



 1 2  1


системы A   2  3 2  и матрицу-столбец свободных членов
3 1
1 

Запишем матрицу
 2
 
B   2 .
8
 
Определитель матрицы А был найден ранее: A  8 .
Найдем матрицу, обратную к матрице А. Для этого составляем матрицу из алгебраических
дополнений элементов определителя матрицы А и транспонируем ее:
A11  (1) 2  M 11 
3 2
2 2
 5; A12  (1) 3  M 12  
 4;
1 1
3 1
2 3
2 1
 11; A21  (1) 3  M 21  
 3;
3 1
1 1
1 1
1 2

 4; A23  (1) 5  M 23  
 5;
3 1
3 1
A13  (1) 4  M 13 
A22  (1) 4  M 22
A31  (1) 4  M 31 
A33  (1) 6  M 33 
T
2 1
 1;
3 2
1
2
2 3
A32  (1) 5  M 32  
1 1
 4;
3 1
 7
  5 4 11 
 5  3 1 




5   4
4  4
 3 4
 1  4  7
 11 5  7 




Полученную матрицу делим на определитель исходной матрицы и записываем обратную
матрицу:
 5  3 1 

1 
1
A    4
4  4
8 

 11 5  7 
 x1 
 
Решением исходной системы уравнений будет матрица-столбец X   x 2  , найденная как
x 
 2
произведение обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов:
  5  3 1   2
  10  6  8 
  8  1
  

  
1 
1
1
1
X  A  B    4
4  4    2     8  8  32      16    2  .
8 
8
8
  

  
 11 5  7   8 
 22  10  56 
  24   3 
Таким образом:
x1  1; x2  2; x3  3.
Вариант 1
1
7 
 4


3   2 3  4 


1.Выполнить действия:  5  6 8 
  10 54 22 

1
 0  6 18 
2

 8 4 2 
 xz  4
2.Решить систему уравнений тремя способами: 3x  4 y  2

 2y  z  2

Вариант 2
1.Выполнить действия:
2
0 
  21  9  3
 1



1
 27 12   4   3 4  2 
 6
3
 0 1 5 
0 
  15 18


2 x  3 y  3z  10
2.Решить систему уравнений тремя способами:  x  3 y  3z  13


xz 0
Вариант 3
а   а 1 а 
 

1
1    а 1  а
 а а  а  а 1 а 

 

 x yz 3
2.Решить систему уравнений тремя способами: 2 x  y  z  11

 x  y  2z  8

 а
1.Выполнить действия:  1
а
Вариант 4
 b
b
 b

1
b
1.Выполнить действия:  1

 b  b 1  b
 

1    b 1 b 
b   b 1  b 
2.Решить систему уравнений тремя способами:
Вариант 5
0

1.Выполнить действия:  1
1

1
0
1
1

1
0 
3
 x  2y  z  8

 2 x  3 y  3z  5
 3x  4 y  5 z  10

2.Решить систему тремя способами:
2 x  y  z  0

 3 y  4 z  6
 x z 1

Вариант 6
1.Выполнить
 1 1  1
действия:  3  1 2 


 2 1 0 


3
 2 x  3 y  z  6
2.Решить систему уравнений тремя способами: 3x  4 y  3z  5

 x  y  z  2

Вариант 7
 2 0


3 4 2
1 3
1.Вычислить матрицу D = (AB) – C , где А  
, В   1 3 , С  

0
4
1 0 5 


 0 5


T
2
  2 x  y  6
2.Решить систему уравнений тремя способами:  x  2 y  z  5
3x  4 y  2 z  13

Вариант 8
 3 1


2
1
0


1 2
, В   4 0 , С  

1.Вычислить матрицу D = (AB)T – C2, где А  
 0 3 5
 0 3
 2 5


 x  2 y  3z  6
2.Решить систему уравнений тремя способами: 2 x  3 y  z  4
3x  y  4 z  0

Вариант 9
1.Вычислить
матрицу
D
=
ABC
−
3E,
где
 1 2  3
1


 
А   1 0 2 , В   2  , С  2 0 5
4 5 3 
1


 
2.Решить систему уравнений тремя способами:
Вариант 10
 x  2 y  3z  4

 4 x  y  2 z  13
2 x  5 y  z  7

Е
-
единичная
матрица
1.Вычислить
матрицу
D
=
ABC
−
3E,
где
Е
-
единичная
 3 1  1
1


 
А   4  1 3 , В   3 , С  1 2 0
2 6 0 
 2


 
2.Решить систему уравнений тремя способами:
 x  y  5 z  6

 2 x  3 y  3z  3
2 x  y  4 z  1

Вариант 11
  1 0 3
 0 3 0

.

,
A    2 1 8 B   0 4 1
 1 3 0
 2 0 3




4 х  у  2 z  10,
тремя способами: 
 x  3 y  z  1,
3x  y  5z  1

1.Найти матрицу В*A+3B, если
2.Решить систему уравнений
Вариант 12
 0
3 0
 2

4 3 
1.Найти матрицу C=2A-АB, если A    2 1 1  ,


3х  2 у  z  14,

2 x  y  4 z  12,
 x  3 y  2 z  11

2 х  у  2 z  3,

2.Решить систему уравнений тремя способами:  x  2 y  z  4,

3x  y  3z  3
Вариант 13
 2
3 0
 1

0 3 
  1 0 3


1 1 .
 1 0 0


1.Найти матрицу C=3A+АB, если A    2 1 1  , B   2
2.Решить систему уравнений тремя способами:
Вариант 14
 2
1 0
 2

4 3 
  1 0 3

0 1 .
 1 3 0


1.Найти матрицу C=4AВ-B, если A    2 1 0  , B   1


  1 0 3


B   2 0 1 .
 1 1 0


матрица
2 х  у  7 z  9  0,
2.Решить систему уравнений тремя способами: 3x  4 y  2 z  26  0,

 x  2 y  5 z  12  0

Вариант 15
 0
3 0
 2

4 3 
  1 0 3

1 1 .
 1 1 0


1.Найти матрицу C=ВA+2B, если A    1 1 0  , B   0
4 х  3 у  2 z  1  0,
2.Решить систему уравнений тремя способами: 2 x  5 y  3z  16  0,
3x  2 y  4 z  4  0