Районная олимпиада по геометрии 2013-2014

Районная олимпиада по геометрии 2013-2014. 7 класс
1. Точки А, В, С лежат на одной прямой. АВ=12, ВС=15. Найти АС.
2. Отрезок АВ длиной 18 разделили точкой С на две неравные части. Найти
расстояние между серединами отрезков АС и ВС.
3. Один из смежных углов в 5 раз меньше другого. Найти величины углов.
4. Периметр треугольника АВС равен 15. Сторона ВС больше АВ на 2, а сторона АВ
меньше АС на 1. Найти стороны треугольника.
5. Найти углы треугольника, если они относятся как 2:3:4.
1. Отрезок длиной 36 разделён на 4 неравные части. Расстояние между серединами
крайних частей равно 30. Найти расстояние между серединами средних частей.
2. Найти смежные углы, если их разность 36°.
3. Основание равнобедренного треугольника равно 8. Медиана, проведённая к
боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр
одного на 2 больше периметра другого. Найти боковую сторону.
4. Найти углы равнобедренного треугольника, если один из них 40°.
5. В треугольнике АВС угол А равен 55°, угол В равен 67°. Высоты АК и ВТ
пересекаются в точке М. Найти угол АМВ.
Районная олимпиада по геометрии 2013-2014. 8 класс
1. Стороны параллелограмма 11 и 4. Биссектрисы двух углов параллелограмма,
прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на 3 отрезка.
Найти их.
2. В параллелограмме угол 150°, а высоты, проведённые из вершины этого угла, 2 и 3.
Найти площадь.
3. В равнобедренной трапеции диагональ равна 10, высота равна 6. Найти площадь.
4. Найти площадь четырехугольника АВСК, в котором АВ=5, ВС=13, СК=9, АК=15,
АС=12.
5. Вычислить площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно
перпендикулярны, а основания 16 и 30.
1. Найти углы выпуклого четырехугольника, если они относятся как 1:2:4:5.
2. У ромба сторона равна 6, а угол равен 150°. Вычислить площадь.
3. Биссектриса угла параллелограмма делит его сторону на отрезки 7 и 14. Найти
периметр параллелограмма.
4. Тупой угол равнобедренной трапеции 135°, а высота, проведённая из вершины
этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 и 3,4. Вычислить площадь.
5. Основания прямоугольной трапеции 4 и 7, угол 60°. Найти большую боковую
сторону.
1.
2.
3.
4.
5.
Районная олимпиада по геометрии 2013-2014. 9 класс
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС высота АН=8. Медиана
НМ в треугольнике АНС тоже 8. Найти площадь треугольника АВС.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит его на
два треугольника с периметрами 16 и 18. Найти радиус описанной окружности.
Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длина каждой равна
13, а расстояние между точками касания равно 24. Найти радиус окружности.
Найти расстояние от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника
до гипотенузы, равной 25, если один катет равен 20.
Ромб АВСК. Окружность, описанная около треугольника АВК, пересекает
большую диагональ АС в точке Е. Вычислить СЕ, если АВ=8√5, ВК=16.
1. Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана
окружность. АС=18, угол В=30°. Найти радиус окружности.
2. В треугольник МРК вписан ромб МАВС так, что вершины А, В, С лежат на
сторонах МР, РК, и МК соответственно. Найти РВ и ВК, если МР=7, РК=6,
МК=5.
3. В прямоугольный треугольник вписана окружность, которая делит гипотенузу
на отрезки 5 и 12. Найти периметр треугольника.
4. Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках А и В. АВ=16. Найти
расстояние между центрами окружностей.
5. Найти диаметр окружности, вписанной в ромб с диагоналями 6 и 8.
1.
2.
3.
4.
5.
Районная олимпиада по геометрии 3013-2014. 10 класс
В треугольнике АВС медиана АМ. АС=3√2, ВС=10, угол МАС равен 45°.
Найти площадь треугольника АВС.
В треугольнике АОМ точка Н взята на стороне АО так, что АН=4, ОН=12,
угол А равен 30° и угол АМН равен углу АОМ. Найти площадь треугольника
АНМ.
В трапецию с основаниями а и в можно вписать окружность и около трапеции
можно описать окружность. Вычислить радиус вписанной окружности.
Определить площадь треугольника, если две его стороны 1 и √13, а медиана
третьей стороны равна 2.
Около треугольника АВС описана окружность с центром О, угол АОС равен
60°. В треугольник АВС вписана окружность с центром М. Найти угол АМС.
1. АК - биссектриса треугольника АВС. Найти ВК и КС, если АВ=14, ВС=20,
АС=21.
2. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность,
касающаяся АВ в точке М. АМ = 6, ВМ = 24. Найти радиус окружности.
3. Основания трапеции 10 и 31, боковые стороны 20 и 13. Найти высоту
трапеции.
4. Основание Н высоты СН в треугольнике АВС лежит на стороне АВ, причём
АН = ВС. АВ=3, СН=√3. Найти АС.
5. В треугольнике АВС угол А равен 𝛼, угол В равен 𝛽, высота, проведённая из
вершины В, равна a. Вычислить площадь треугольника АВС.