Элективный курс «Стереометрия. Как решить проще» рассчитан

АННОТАЦИЯ К ПРОГРАММЕ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА
«СТЕРЕОМЕТРИЯ. КАК РЕШИТЬ ПРОЩЕ»
В 11 КЛАССЕ МОУ ЛИЦЕЙ Г. ЧЕРЕМХОВО В 2014-2015 УЧЕБНОМ ГОДУ
Рабочая программа элективного курса в 11 классе составлена на основе:
1. Учебного плана МОУ Лицей г.Черемхово на 2014-2015 учебный год;
2. Положений об основной образовательной программе, о порядке составления и утверждения
рабочих программ учебных предметов и курсов муниципального общеобразовательного
учреждения «Лицей г. Черемхово», введённых в действие приказом директора лицея от
31.12.2013 г. № 408.
3. Программа создана на основе следующего УМК:
 Е.Л. Ситкин Стереометрия . Как решить проще. Математика :элективный курс. ИЛЕКСА ,
Москва, 2013 г.
 И. М. Гельфанд, Е. Г Глаголева, А. А. Кириллов « Метод координат», МЦНМО 2009 г.
 Н. Б. Мельникова, В. Н. Литвиненко, Г. К. Безрукова «Геометрия: векторы и координаты в
пространстве» - Просвещение 2007 г.
 Б. И. Вольфсон, Л. И. Резницкий «Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9: учимся решать задачи» - Легион
2011 г.
 А. Г. Малкова «Подготовка к ЕГЭ по математике» - Материалы сайта EGE – Study. ru.
 А. Л.Семенов, И. В. Ященко «ЕГЭ. Математика – 2013 г. Типовые экзаменационные
варианты»
 А.А.Прокофьев, А.Г. Корянов. Математика. Подготовка к ЕГЭ: задание С2, «Многогранники:
типы задач и методы их решения»- Легион 2013г.
Рабочая программа состоит из следующих разделов:
Данный элективный курс представлен в виде практикума, который позволит, расширить и
систематизировать знания учащихся в использовании решения стереометрических задач, а также
найти более рациональный (простой) способ решения задач.
Цели курса:
4.Расширение и углубление знаний учащихся о методах и приемах решения
стереометрических задач.
5.Развитие интереса к предмету и возможности овладения им с точки зрения дальнейшей
перспективы применения полученных знаний в своей будущей профессии.
6.Развитие умений самостоятельно приобретать знания, дать возможность ученикам
проявить себя и добиться успеха.
7.Подготовка к ЕГЭ - выполнение заданий уровня С2.
Задачи курса:
 Развивать пространственные представления и воображения учащихся;
 Систематизировать теоретические знания учащихся по стереометрии;
 Познакомить учащихся с координатным методом решения стереометрических задач и
развивать навыки использования его.
 Познакомить учеников с разными типами геометрических задач, с особенностями
методики и способами их решения.
 Подготовить выпускников к успешной сдаче ЕГЭ и конкурсных экзаменов в вузы.
Элективный курс «Стереометрия. Как решить проще» рассчитан на 34 часа для учащихся 11
класса.
В целях повышения профессионального мастерства педагогов МОУ Лицей г. Черемхово, на
основании Положения о порядке составления и утверждения рабочих программ учебных
предметов и курсов муниципального общеобразовательного учреждения «Лицей г. Черемхово»,
введённого в действие приказом директора лицея от 31.12.2013 г. № 408, в переходный период
опережающего введения Федерального государственного стандартов основного общего
образования при разработке и оформлении данной рабочей программы для классов, обучающихся
по Федеральному компоненту государственного образовательного стандарта, допускается
применение терминов и определений, используемых в тексте ФГОС СОО
Пояснительная записка
Геометрия – раздел математики, являющийся носителем собственного метода познания
мира, с помощью которого рассматриваются формы и взаимное расположение предметов,
развивающих
пространственные представления, образное мышление учащихся,
изобразительно - графические умения, приемы конструктивной деятельности, формируют
геометрическое мышление. Несмотря на цели и задачи, сформулированные в учебных
программах по математике и геометрии 5-9 классов, согласно которым у учеников на
протяжении пяти лет должны быть сформированы пространственное мышление и
воображение, умение выделять плоскостные объекты в составе пространственных
объектов, на практике дело обстоит иначе. Анализ современных учебников геометрии
показывает, что школьный курс стереометрии страдает в своей практической части
недостаточной преемственностью курса планиметрии, слабой взаимосвязью с другими
учебными предметами и не является в полной мере составной частью базы знаний,
необходимых учащимся для продолжения образования в высших учебных заведениях.
Данный элективный курс представлен в виде практикума, который позволит,
расширить и систематизировать знания учащихся в использовании решения
стереометрических задач, а также найти более рациональный (простой) способ решения
задач. Не секрет, что многие старшеклассники при решении таких задач сталкиваются с
трудностями, связанными с построением чертежа. При выполнении ЕГЭ по математике
многие выпускники либо не справляются с решением задания С2, либо вообще не
приступают к его решению, так как не умеют выделять в составе пространственных фигур
объекты на плоскости. Программа курса предусматривает изучение координатного
метода для решения задач различного уровня сложности. Он позволяет с помощью
формул и введения координатного пространства решать различные стереометрические
задачи. Этот метод упрощает работу, связанную с чертежом, тем самым облегчает
решение задачи. А также программа курса предусматривает изучение «Метода сечений»
для решения задач различного уровня сложности. Метод сечений, известен своей
универсальностью. Он применяется в некоторых разделах физики, в теоретической
механике, сопротивлении материалов, в некоторых разделах высшей математики, других
естественных науках и технических дисциплинах высшего образования. Этот метод
оказывает значительное влияние на развитие у учащихся пространственных
представлений и пространственного мышления.
Цели курса:
 Расширение и углубление знаний учащихся о методах и приемах решения
стереометрических задач.
 Развитие интереса к предмету и возможности овладения им с точки зрения
дальнейшей перспективы применения полученных знаний в своей будущей профессии.
 Развитие умений самостоятельно приобретать знания, дать возможность ученикам
проявить себя и добиться успеха.
 Подготовка к ЕГЭ - выполнение заданий уровня С2.
Задачи курса:
Развивать пространственные представления и воображения учащихся;
Систематизировать теоретические знания учащихся по стереометрии;
Познакомить учащихся с координатным методом решения стереометрических
задач и развивать навыки использования его.
 Познакомить учеников с разными типами геометрических задач, с особенностями
методики и способами их решения.
 Подготовить выпускников к успешной сдаче ЕГЭ и конкурсных экзаменов в вузы.



Программа данного элективного курса содержит лекционные занятия, уроки практикумы, дидактические материалы, темы творческих работ. На уроках-практикумах
старшеклассники решают большое количество различных задач, в том числе и из ЕГЭ,
развивая навыки работы по нахождению углов и расстояний в пространстве. При
организации изучения элективного курса по геометрии необходимо использовать личностноориентированные технологии, направленные на запланированный конечный результат. Работа
над проектами дает возможность ученикам совершать пусть небольшие, но свои открытия
и окрыляет их для следующих побед. Содержание материала, уровневая
индивидуализация учебной и дифференциация обучающей деятельности на фоне
благоприятного
психологического
климата
помогут
ученику
сформировать
учебные умения и навыки, повысить его образовательный уровень, что связано с
дальнейшим успешным самообразованием и профессиональным самоопределением.
Для получения эффективных результатов обучения имеет смысл использовать на
занятиях компьютер и интерактивную доску, которые помогут как в визуализации
результатов работы с данными, так и при решении задач. Это позволит учащимся на
практике использовать компьютер при оперировании пространственными объектами в 11
классе.
Тематическое планирование построено так, что ученики на элективном курсе
углубляют знания, полученные на уроках геометрии, и получают умения решать задачи
повышенной сложности.
Элективный курс «Стереометрия. Как решить проще» рассчитан на 34 часа для учащихся
11 класса.
Тематическое планирование курса
№
1.
2
Тема. Содержание.
Колво
часов
Декартовы координаты 1
в пространстве.
Нахождение координат
точек и длин векторов в
пространстве.
Составление уравнения
плоскости по
координатам точек в
пространстве.
Векторы нормали.
Нахождение их
координат.
4
Вычисление угла между 1
векторами в
пространстве.
6
7
8
9
Лекционнопрактическое
занятие
1
Решение задач на
2
нахождение угла между
прямыми в
многогранниках.
Решение задач на
нахождение угла между
прямыми
2
Формула нахождения
угла между прямой и
плоскостью в
пространстве.
1
Нахождение угла между 2
прямой и плоскостью в
пространстве.
Нахождение угла между 2
плоскостями в
пространстве.
Составление
алгоритма
действия.
Примерная
дата
08.09
Практическая
работа.
Лекционнопрактическое
занятие
Составление
алгоритма
действия.
Практическая
работа
.
15.09
22.09
Лекционнопрактическое
занятие
Практикум по
решению задач
Работа в парах,
четверках.
29.09
Практикум по
решению задач
06.10
Лекция
Составление
алгоритма
действия.
13.10
20.10
Урок - практикум
Презентация по
теме.
Практикум по
решению задач.
27.10
10.11
17.11
Лекция
Составление
алгоритма
действия.
Практическая
работа
Урок - практикум
Презентация по
теме.
Практикум по
решению задач.
24.11
01.12
2
3
5
Тип занятия
Виды деятельности
учащихся
Урок - практикум
Лекционнопрактическое
занятие
Работа с
демонстрационным
материалом.
Решение задач.
08.12
15.12
Нахождение расстояния
от точки до плоскости,
находящейся в
многогранниках.
2
Нахождение расстояния
между
скрещивающимися
прямыми в
многогранниках.
2
12
Нахождение расстояния
между плоскостями в
пространстве.
2
13
Методы решения задач 2
на построение сечений
многогранников. Метод
следов, метод
вспомогательных
сечений.
Комбинированный
метод.
10
11
14
15
Урок - практикум
Урок - практикум
Методы решения задач 1
на построение сечений
многогранников. Метод
внутреннего
проектирования. Метод
параллельных прямых
Методы решения задач 2
на построение сечений
многогранников. Метод
параллельного переноса
секущей плоскости.
Метод выносных
чертежей (Метод
разворота плоскостей).
16
18
22.12
29.12
Презентация по
теме.
Практикум по
решению задач.
12.01
19.01
Урок – практикум
Практикум по
Лекционнорешению задач.
практическое
Работа в группах.
занятие
Нахождение площади
сечений в
многогранниках
(пирамида)
2
Решение задач на
вычисление сечений с
2
26.01
02.02
09.02
16.02
Урок – практикум Работа в группах.
23.02
Урок –
практикум
КК
Выполнение
заданий
Составление
алгоритма
Урок - практикум действия.
Практикум по
решению задач
2
Нахождение площади
сечений в
многогранниках. (куб,
призма).
17
Лекционнопрактическое
занятие
Составление
алгоритма
действия.
Практикум по
решению задач.
Урок - практикум
Выполнение
заданий
Лекционнопрактическое
занятие
Выполнение
заданий
Урок - практикум
Работа с
демонстрационным
02.03
09.03
16.03
23.03
06.04
13.04
20.04
27.04
использованием свойств
подобных треугольников
19
материалом.
Решение задач.
Нахождение площади
2
сечений в
многогранниках с
применением теоремы о
площади ортогональной
проекции
многоугольника
Урок - практикум
Работа с
литературой,
изучение теоремы
о площади
ортогональной
проекции
многоугольника.
04.05
11.05
Решение задач по
теме.
20
Итоговое занятие
1
Работа в группах
Защита решения
задач.
18.05
18
Содержание программы
Декартовы координаты в пространстве. Нахождение координат точек и длин
векторов в пространстве
Проводится этот урок сначала в форме лекции – повторение основных ключевых
моментов: декартовы координаты в пространстве и понятия, связанные с ними
(координаты вектора, длина вектора, расстояние между точками, середина отрезка,
параллельный перенос). На этом уроке учитель знакомит учеников с планом, задачами и
целями работы. Даются задачи, решение которых будет рассмотрено на последнем
занятии, а также список литературы и электронных адресов информации по теме.
Уравнение плоскости и векторы нормали
Эта тема является основой для решения задач по стереометрии координатным
методом. Задачи, решаемые здесь, ставят вопросы, которые будут рассмотрены в
следующих темах.
Нахождение угла между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями
На этих занятиях ребята не только используют изученные формулы для нахождения
углов в многогранниках, но и готовятся к ЕГЭ, выполняя задания С2. Необходимо
использовать презентации, т. к. они помогут в выборе координатного пространства и
правильного нахождения координат точек.
Нахождение расстояния между точкой и плоскостью, между прямыми,
плоскостями в пространстве
Немаловажное значение на этих уроках отводится нахождению расстояний от
середины ребер, от вершин, от центра окружности, что значительно облегчит в
дальнейшем решение более сложных задач. Благодаря работе с интерактивной доской и
компьютером, ученики наглядно увидят расположение элементов фигур в пространстве.
Методы построения сечения многогранников
Простейшие задачи на построение сечений параллелепипеда и тетраэдра.
Аксиоматически метод (Метод следов. Метод внутреннего проектирования).
Комбинированный метод (Метод параллельных прямых. Метод параллельного переноса
секущей плоскости). Метод выносных чертежей (Метод разворота плоскостей).
Нахождение площади сечений в многогранниках
Площади многоугольников.
Признаки подобия треугольников.
Ортогональное проектирование и его свойства. Теорема о площади ортогональной
проекции многоугольника.
После рассмотрения полного курса учащиеся должны иметь следующие результаты
обучения:
 уметь составлять уравнение плоскости;
 уметь применять формулы для нахождения углов между прямыми, прямой и
плоскостью, плоскостями;
 уметь находить расстояния между прямыми, между прямой и плоскостью в
многогранниках;
 уметь решать задачи с использованием изученных формул;
 уметь строить сечения многогранников и находить их площади;
 изображать на рисунках и чертежах пространственные геометрические
фигуры и их комбинации, задаваемые условиями задач; выделять изученные
фигуры на моделях и чертежах;
 вычислять значения геометрических величин, используя изученные формулы,
а также аппарат алгебры, анализа и тригонометрии;
 применять основные методы геометрии (проектирования, преобразований) к
решению геометрических задач;
 уметь находить дополнительный материал по изучаемой теме во всех
допустимых средствах информации; уметь предоставлять результаты своих
находок по окончании курса.
Данный элективный курс рассчитан на выпускников, которые желают углубить свои
знания по математике, качественно подготовиться к сдаче ЕГЭ. Но он также и полезен
ребятам, которые будут в дальнейшем работать по специальности, связанной с
математикой.
Список литературы
1. Е.Л. Ситкин Стереометрия . Как решить проще. Математика :элективный курс. ИЛЕКСА
, Москва, 2013 г.
2. И. М. Гельфанд, Е. Г Глаголева, А. А. Кириллов « Метод координат», МЦНМО 2009 г.
3. Н. Б. Мельникова, В. Н. Литвиненко, Г. К. Безрукова «Геометрия: векторы и координаты
в пространстве» - Просвещение 2007 г.
4. Б. И. Вольфсон, Л. И. Резницкий «Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9: учимся решать задачи» Легион 2011 г.
5. А. Г. Малкова «Подготовка к ЕГЭ по математике» - Материалы сайта EGE – Study. ru.
6. А. Л.Семенов, И. В. Ященко «ЕГЭ. Математика – 2013 г. Типовые экзаменационные
варианты»
7. А.А.Прокофьев, А.Г. Корянов. Математика. Подготовка к ЕГЭ: задание С2,
«Многогранники: типы задач и методы их решения»- Легион 2013г.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Практическая часть учебного курса
Угол между прямыми а и b
Углом между прямыми в пространстве называется угол между любыми параллельными
им пересекающимися прямыми. Этот угол равен углу между направляющими векторами
данных прямых (или дополняет его до 1800).
1) Выбираем любые вектора AB и CD, имеющие направления прямых а и b
(параллельные им).
2) Определяем координаты векторов AB(x1;y1;z1) и CD(x2;y2;z2) по соответствующим
координатам их начал и концов (от координат конца вектора нужно отнять координаты
начала).
3) Подставляем найденные координаты в формулу:
COS(AB,CD)= COS(AB,CD)
=
𝑥₁ 𝑥₂+𝑦₁𝑦₂+𝑧₁𝑧₂
√𝑥12 +𝑦12 +𝑧12 ∗√𝑥22 +𝑦22 +𝑧22
Для нахождения самого угла, нужно найти арккосинус полученного результата.
Угол между прямыми в многограннике – это угол между векторами п1 и п2 , которые
параллельны данным прямым. Пусть на одной прямой заданы точки А ( а1 , b1, c1 ) ,
В ( а2 , b2, c2 ), а на другой – С ( а3 , b3, c3 ), D( а4 , b4, c4 ). Тогда векторы имеют координаты:
п1 ( х1 = а2 - а1, у1 = b2 - b1 ,z1 = c2- c1), п2( х2 = а4 - а3, у2 = b4 –b3, z2 = c4 - c3). Значение угла
вычисляется по формуле, известной как скалярное произведение векторов.
cos 𝑎 =
│(𝑛1 ∗ 𝑛2 )│
=
|𝑛1 | ∗ |𝑛2 |
│𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦₂ + 𝑧1 𝑧2 │
√𝑥 21 + 𝑦 21 + 𝑧 21 ∗ √𝑥 2 2 + 𝑦 2 2 + 𝑧 2 2
Задача. В кубе АВСDА1В1С1D1 М и N – середины ребер А1D1 и ВВ1. Найдите угол
между прямой МN и диагональю ВD1.
Решение:
Введем пространственную систему координат.
Находим координаты точек В, D1, М , N : B(1;1;0) , D1(0;0;1) , M(0,5;0;1) , N(1;1;0,5).
Координаты векторов BD1(-1;-1;1) , MN (0,5;1;-0,5).
Искомый угол находится по формуле cos a :
cos 𝑎 =
Ответ:
│(𝑛1 ∗ 𝑛2 )│ │ − 1 ∗ 0,5 − 1 ∗ 1 + 1 ∗ (−0,5)│ 2√2
=
=
|𝑛1 | ∗ |𝑛2 |
3
√1 + 1 + 1 ∗ √0,25 + 1 + 0,25
2√2
.
3
Уравнение плоскости в пространстве
Точки, удовлетворяющие равенству
нормалью
образуют плоскость с
. Коэффициент
отвечает за величину отклонения
(параллельного сдвига) между двумя плоскостями с одной и той же заданной
нормалью
. Для того, чтобы написать уравнение плоскости нужно сначала
найти ее нормаль, используя матрицу и определители, а затем подставить
координаты найденной нормали в уравнение
Угол между прямой и плоскостью
Допустим, что нам заданы прямая и плоскость
координатами направляющего вектора AB(x1;y1;z1) и нормали n(x2;y2;z2).
Угол Ψ между прямой и плоскостью вычисляется по следующей формуле:
sinΨ =
COS(n,AB)
=
𝑥₁ 𝑥₂+𝑦₁𝑦₂+𝑧₁𝑧₂
√𝑥12 +𝑦12 +𝑧12 ∗√𝑥22 +𝑦22 +𝑧22
Чтобы составить уравнение плоскости, которой принадлежат данные точки,
необходимо воспользоваться определителями матрицы и следующей формулой:
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
𝑥3 − 𝑥1
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
𝑦3 − 𝑦1
𝑧 − 𝑧1
𝑧2 − 𝑧1
𝑧3 − 𝑧1
=𝑥 ∗
𝑦2 − 𝑦1
𝑦3 − 𝑦1
𝑧2 − 𝑧1
𝑧3 − 𝑧1
𝑥2 − 𝑥1
- 𝑦 ∗ 𝑥 −𝑥
3
1
𝑧2 − 𝑧1
𝑦2 − 𝑦1
𝑧3 − 𝑧1 + 𝑧 ∗ 𝑦3 − 𝑦1
𝑧2 − 𝑧1
𝑧3 − 𝑧1
Задача. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 8√3 и SC
=17 . Найдите tg угла , образованного плоскостью основания и прямой АО , где О – точка
пересечения медиан грани ABC.
Решение:
Введем пространственную систему координат.
Находим координаты точек В,А,C,O : B(8√3;0;0) А(0;0;0) ,C(4√3;12;0), О(4√3;4;15).
Координаты вектора n = АО (4√3;4;15)
Составляем уравнение плоскости основания :
𝑥−0
8√3 − 0
4√3 − 0
𝑦−0
0−0
12 − 0
𝑧−0
0 − 0 = 𝑥 ∗ 0 - 𝑦 ∗ 0 + 𝑧 ∗ 96√3 = 96√3 𝑧
0−0
Искомый угол находится по формуле sin a :
sin 𝑎 =
│(𝑛1 ∗ 𝑛2 )│
│0 ∗ 4√3 − 0 ∗ 4 + 96√3 ∗ 15│
96√3 ∗ 15 15
=
=
=
|𝑛1 | ∗ |𝑛2 |
96√3 ∗ 17 17
√48 + 16 + 225 ∗ √0 + 0 + 96√3 ∗ 96√3
cos 𝑎 =
Ответ:
8
;
17
15
8
.
tg 𝑎 =
15
8
;
Угол между плоскостями
Пусть n1(x1;y1;z1) и n2(x2;y2;z2) — две любые нормали к данным плоскостям.
Если в задаче необходимо найти угол между плоскостями , то координаты векторов
нормали составляются по матрицам , в которых берутся координаты соответствующих
точек. После того как составлены уравнения плоскостей , значение угла можно найти по
формуле cos 𝑎 .
Тогда косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между
нормалями:
COS a
=
COS(n1 , n2)
=
𝑥₁ 𝑥₂+𝑦₁𝑦₂+𝑧₁𝑧₂
√𝑥12 +𝑦12 +𝑧12 ∗√𝑥22 +𝑦22 +𝑧22
Задача. В кубе АВСDА1В1С1D1 найдите угол между плоскостью А1ВD и плоскостью,
проходящей через середины его ребер АВ, ВВ1 , В1С1, С1D1, D1D, DА.
Решение:
Введем пространственную систему координат.
Находим координаты точек необходимых для составления матриц и нахождения
уравнения плоскостей: B(1;1;0) , А1(1;0;1) , D(0;0;0) ,К(0;0;0,5) , М(0,5;0;0),N(1;0,5;0)
Составляем уравнение плоскости А1ВD
𝑥
1
1
𝑦
0
1
𝑧
1
0
= x(-1) – y(-1) + z(1) = - x + y + z.
Составляем уравнение плоскости KMN
𝑥
𝑦 𝑧 − 0,5
1 0,5 −0,5
0,5 0
−0,5
= x(-0,25) - y(-0,25) + z(-0,25) = -0,25x + 0,25y - 0,25z.
Тогда n1 (-1; 1; 1) , n2(-0,25; 0,25;-0,25).
Следовательно ,
COS a
=
0,25 + 0,25 – 0,25.
=
3
16
√3∗
1
8
2 √2
9
9
3
sin 𝑎 =√1 − =√ =
Ответ: 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2√2 .
,
0,25
0,75
=
1
3
tg 𝑎 = 2√2;
Расстояние от точки до плоскости
Для вычисления расстояния
уравнением
от точки
до плоскости
, заданной
можно использовать следующую формулу:
В знаменателе стоит длина нормали, а числителе — значение выражения из левой
части уравнения плоскости в точке
Задача. В правильной шестиугольной пирамиде SABCEF , все ребра которой равны 1,
найдите расстояние от точки Е до плоскости SDА.
Решение:
Введем пространственную систему координат.
1 √3
Находим координаты точек S,D,E,A: А(0;0;0) , S (2; 2 ; √3) , Е(0; √3;0) D(1; √3;0).
Составим уравнение плоскости SDA
𝑥−0
𝑦 − 0;
1
−0
2
√3
2
−0
1 − 0 √3 − 0;
𝑧−0
√3 − 0
= - 𝑥 ∗ 3 - 𝑦 ∗ (−√3 ) + 𝑧 ∗ 0 = −3 x + √3𝑦
0−0
После упрощения уравнение принимает вид: −3 x + √3𝑦 = 0
3
√3
Ответ: 𝜌=
= .
2
√12
Расстояние от точки до прямой
Для вычисления расстояния от точки К (x1;y1;z1) до прямой а необходимо на ней найти
координаты вектора n (А; В; С), которые составлены из координат двух точек прямой .
Одна из этих точек, например N (x2;y2;z2) , используется в формуле, по которой находится
искомое расстояние.
√ |𝑥2 −𝑥1
А
d=
𝑦2− 𝑦1 2 𝑥2 −𝑥1
| +|
В
А
𝑧2−𝑧1 2
𝑦2− 𝑦1
| + |
С
В
𝑧2−𝑧1 2
|
С
√А2 +В2+ С2
Задача. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A 1B 1C 1D1 E 1F 1 , все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой А1F 1.
Решение:
Введем пространственную систему координат. Находим координаты точек А1 ,F1,В :
1 √3
А 1(0;0;1) ,F1 (− ; ; 1) , В(1; 0;0).
2 2
Подставляя координаты в формулу можно вычислить расстояние от точки В до прямой
А1F 1.
0 2
1
√ | 1 √3| + | 1
−
−
2
1
d =
2
2
0 −1 2
−1 2
0 | + |√3 0 |
2
1 3
4 4
=
√ +
√7
2
Ответ:
√7
.
2
Расстояние между прямыми
Для вычисления расстояния между двумя прямыми а и в необходимо иметь
координаты векторов а и в , которые лежат на этих прямых. Пусть точка А (x1;y1;z1)
принадлежит прямой а , точка В (x2;y2;z2) принадлежит прямой в. Вектор а(𝑙1 ; 𝑚1 ; 𝑛1 ) ,
вектор в(𝑙2 ; 𝑚2 ; 𝑛2 ) .И тогда расстояние между прямыми находятся по формуле :
d=
𝑥2 −𝑥1
𝑙1
𝑚𝑜𝑑
𝑙2
√|𝑙1
𝑙2
𝑚1 2 𝑙1
| +|
𝑚2
𝑙2
𝑦2− 𝑦1
𝑚1
𝑚2
𝑧2−𝑧1
𝑛1
𝑛2
𝑚1
𝑛1 2
| + |𝑚
𝑛2
2
𝑛1 2
𝑛2 |
Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1,
найдите расстояние между прямыми ВD и АS.
Решение:
Введем пространственную систему координат. Находим координаты точек А ,D,В,
1 1
1 1 1
1 1 1
Н, S: А (0;0;0), В(1; 0; 0) , Н ( ; ; 0 ), S ( ; ; ) , D (0;1;0). ВD( -1; 1; 0), АS( ; ; )
2 2
2 2 √2
2 2 √2
Подставляя координаты в формулу можно вычислить искомое расстояние.
1
1
2
1
√2
−1 1
0
1 2
√2| +
1
1 2
2| + |2
√|
−1 1
0
1
2
𝑚𝑜𝑑
d=
0
1
2
1
0
1
2
|
−1
1
√2|
=
2
√2
2
√2
1
=
2
Ответ:
1
.
2
0
Дидактические материалы
1. В правильном тетраэдре SABC точки M и N – середины ребер AB и SC
соответственно. Найдите угол между прямыми AS и MN.
Ответ: 45˚
2. В кубе ABCDA1B1C1D1 – M и N середины ребер D1C1 и AA1 соответственно.
Найдите угол между прямой MN и плоскостью ABCD.
Ответ:
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
1
√5
3. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания
равны 3 , а боковые ребра равны 4. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что AE :
EA1 = 1 : 3 . Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
Ответ:
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
√10
3
4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD
проведено сечение через середины ребер AB и BC и вершину S . Найдите
расстояние от плоскости этого сечения до середины высоты пирамиды, если все
ребра пирамиды равны 8.
Ответ:
2
2√3
5. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой C1F.
Ответ:
√6
√5
6. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра которой равны 1,
найдите расстояние между прямыми AB и A1C.
Ответ:
3
7
√
Дидактический материал для проведения занятий по элективному курсу
Методы построения сечения многогранников
Метод следов
1. На ребрах ВВ1, СС1 и ДД1 призмы АВСДА1В1С1Д1 заданы соответственно точки
Р, Q и R построить основной след секущей плоскости PQR
2. На ребре МС пирамиды МАВСД задана точка Р, в грани МАВ- точка Q, а внутри
пирамиды , в плоскости МВД- точка R. Построить основной след секущей плоскости
РRQ.
3. На грани СС1Д1Д призмы АВСД А1В1С1Д1 задана точка Р, а на ее ребрах АА1 и
В1С1 соответственно точки Q и R Построить сечение призмы плоскостью РRQ.
4. На ребре МС пирамиды МАВСД задана точка Р , в гранях МАД и МАВ заданы
соответственно точки Q и R. Построить сечение плоскостью Р R Q.
Геометрический метод
1. Высота правильной призмы АВСД А1В1С1Д1 в два раза меньше диагонали
основания. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку В,
перпендикулярно прямой В1О, где О- точка пересечения диагоналей основания.
2. Высота правильной призмы АВСД А1В1С1Д1 в два раза меньше диагонали
основания. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку Е,
середину ребра АВ, перпендикулярно прямой В1О.
Метод вспомогательных сечений.
1. На грани СС1Д1Д призмы АВСД А1В1С1Д1 задана точка Р, а на ее ребрах АА1 и
В1С1 соответственно точки Q и R Построить сечение призмы плоскостью РRQ
методом вспомогательных сечений.
2. На ребре МС пирамиды МАВСД задана точка Р, в гранях МАД и МАВ заданы
соответственно точки Q и R. Построить сечение плоскостью Р R Q методом
вспомогательных сечений.
Комбинированный метод
1.
На ребрах АА1, СС1, ДД1 параллелепипеда АВСД А!В1С1Д1 заданы
соответственно точки Р, Q, R , а на ребре ВВ1 задана точка К. Построить сечение
параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости
РRQ.
2.
На ребрах ВС, СД, СС1 параллелепипеда АВСД А!В1С1Д1 заданы
соответственно точки Р, Q, R , а на ребре АА1 задана точка К. Построить сечение
параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости
РRQ.
3.
На ребре СС1 призмы АВСД А!В1С1Д1 задана точка Р. Построить прямую ,
проходящую через точку А параллельно прямой ДР.
4.
На ребрах СС1, ВС1 призмы АВСД А!В1С1Д1 заданы соответственно точки Р,
Q Построить сечение призмы плоскостью РRQ, проходящей через точку ВА
параллельно прямым ДР и СQ.
5. На ребре СС1 призмы АВСД А!В1С1Д1 задана точка Р. Построить сечение
призмы плоскостью. Проходящей через точку А, параллельно прямым ДР и
В1Д1.
Нахождение площади сечений в многогранниках.
1. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью,
проходящей через вершину D и точки E и F на ребрах A1D1 и C1D1 соответственно,
если A1E = k•D1E и C1F = k•D1F.
2. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью,
проходящей через вершины C1 и D и точку E на ребре A1D1, если A1E = k•D1E.
3.Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью,
проходящей через вершину D и точки E и F на ребрах A1D1 и D1C1
соответственно,если
D1E
=
k•A1E
и
C1F
=
k•D1F..
4.Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью,
проходящей через вершины A1 и C1 и точку F на ребре AD, если AF = k•DF.
5. Найти площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды ABCDM с
ребрами а (половинка октаэдра) плоскостью, проходящей через сторону основания
AD и точку E на боковом ребре MC, если CE = k•ME.
1. Найти площадь сечения правильного тетраэдра ABCM с ребром а
плоскостью, проходящей через точки D, E и F на ребрах MA, MB и BC
соответственно, если MD : AD = ME : BE = BF : CF = k.
2. Найти площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1
плоскостью, проходящей через сторону основания A1B1 и точку D на стороне BC
другого основания, если CD = k•BD, сторона основания призмы равна а и высота H =
na.
3. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью,
проходящей через вершину C1 и середины ребер A1D1 и CD.
4. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью,
проходящей через вершины B1 и D и середину ребра CC1.
5. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью,
проходящей через вершины B1 и D и точку M на ребре CC1, если C1M = 2•CM.
6. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью,
проходящей через вершину B1 и середины ребер AD и CD.
7. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 со стороной основания а и
высотой H=na найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через
вершину C и середины ребер AA1 и A1B1.
8. Найти площадь сечения куба АВСДА1В1С1Д1 с ребром а плоскостью,
проходящей через середину ребер АД и СД и точку В2 на ребре ВВ1 при условии
ВВ2=k*В1В2.
9. Найти
площадь
сечения
правильной
четырехугольной
призмы
АВСДА1В1С1Д1 со стороной основания а и высотой Н=па плоскостью , проходящей
через вершину В1 и середины ребер АД и СД.
10. Найти площадь сечения правильной шестиугольной призмы АВСДЕF
А1В1С1Д1F1 со стороной основания а и высотой Н=кА плоскостью, проходящей
через середины ребер В1С1, ДЕ и ЕF.
11. Найти
площадь
сечения
правильной
четырехугольной
призмы
АВСДА1В1С1Д1 со стороной основания а и высотой Н=па плоскостью , проходящей
через вершину В1 и середины ребра СД и точку F ребра АД при условии ДF=2*АF
Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в
многогранниках
1. В кубе с ребром а найти расстояние и угол между любым ребром и
диагональю не пересекающей его рани.
2. В кубе с ребром а найти расстояние и угол между непересекающимися
диагоналями двух смежных граней.
3. В кубе АВСДА1В1С1Д1 с ребром а найти расстояние и угол между
прямыми АС и В1 F при условии, что F принадлежит ДД1 и Д F=к*Д1 F.
4. В правильной четырехугольной пирамиде АВСДМ со стороной основания а
и боковым ребром L=ka найти расстояние и угол между:
1) боковым ребром и не пересекающейся с ним диагональю основания;
2) апофемой и не пересекающейся с ней стороной основания.
5. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде со сторонами
оснований а и в и высотой Н найти расстояние и угол между главной диагональю и
не пересекающейся с ней диагональю большего основания.
6. В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания а и
боковым ребром L =кА найти расстояние и угол между апофемой и диагональю
основания.
7. В правильной шестиугольной пирамиде со стороной основания а и боковым
ребром L = кА найти расстояние и угол между:
1) боковым ребром и не пересекающейся с ним стороной основания;
2) боковым ребром и непересекающейся с ним диагональю основания.
8. В правильной треугольной призме высотой Н=кА найти расстояние и угол
между диагональю боковой грани и непересекающейся с ней стороной основания а.
Определение угла между плоскостями
1. В кубе АВСД А1В1С1Д1 определить угол между плоскостями сечений
АВ1С1Д и СВ1А1Д.
2. В прямоугольном параллелепипеде с размерами а, в Н определить угол
между секущими плоскостями, проходящими через главную диагональ и
соответственно через стороны основания а и в.
Контрольная работа
1
2
3
Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью,
проходящей через вершину D и точки E и F на ребрах A1D1 и C1D1 соответственно,
если A1E = 6•D1E и C1F =6k•D1F.
4
В правильной шестиугольной пирамиде со стороной основания а и боковым
ребром L = 2a найти расстояние и угол между:
1) боковым ребром и не пересекающейся с ним стороной основания;
2) боковым ребром и непересекающейся с ним диагональю основания.
ВАРИАНТ 2
1
2
3
Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью,
проходящей через вершину D и точки E и F на ребрах A1D1 и C1D1 соответственно,
если A1E = 3•D1E и C1F = 3•D1F.
4
В правильной шестиугольной пирамиде со стороной основания а и боковым
ребром L = 5a найти расстояние и угол между:
1) боковым ребром и не пересекающейся с ним стороной основания;
2) боковым ребром и непересекающейся с ним диагональю основания.
Задачи для решения в группе.
Группа 1
Найдите площадь сечения куба АВСД А1В1С1Д1 с ребром а плоскостью,
проходящей через точки ЕFМ соответственно на ребрах А1В1,АД и СД при
условииА1Е:В1Е=АF:ДF=СМ:ДМ=к
Группа 2
Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы
АВСДЕFА1В1С1Д1Е1F1 со стороной основания а и высотой Н=кА плоскостью,
проходящей через середины ребер В1С1, ДЕ и ЕF
Группа 3
В правильной треугольной призме высотой Н=ка найти расстояние и угол между
диагональю боковой грани и не пересекающейся с ней стороной основания а.
Группа 4
В правильной усеченной четырех угольной пирамиде со сторонами оснований а и в
и высотой Н найти расстояние и угол между главной диагональю и не пересекающейся с
ней диагональю большего основания.
Группа 5
Найти площадь сечения куба АВСД А1В1С1Д1 с ребром а плоскостью,
проходящей через вершину В1 и середину ребер АД и СД.