Маломерная топология

МАЛОМЕРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
доц. Л.А. Алания, доц. И.А. Дынников
1. Теория узлов.
Узел, зацепление. Изотония. Ручные и дикие узлы. Гладкий и кусочно-линейный подходы. Ориентированные узлы и зацепления.
Диаграмма узла. Теорема Райдемайстера. Понятие инварианта. Примеры: число раскрасок, коэффициент зацепления. Зацепления Хопфа и Уайтхеда, кольца Борромео.
Многочлен Джонса. Скобка Кауффмана.
Скейн-соотношения. Многочлен Александера-Конвея. Многочлены НОМFLY и Кауффмана. Узлы-мутанты.
Фундаментальная группа зацепления. Задание Виртингера. Первая группа гомологии
дополнения к зацеплению. Многочлен Александера от многих переменных.
Поверхности Зейферта. Род узла. Вычисление многочлена Александера через матрицу
Зейферта.
Связная сумма узлов. Единственность разложения на простые.
Группа кос. Задание образующими и соотношениями. Представление в виде фундаментальной группы пространства многочленов без кратных корней. Действие на свободной группе. Проблема тождества в группе кос.
Замкнутые косы. Теоремы Александера и Маркова. Фундаментальная группа замкнутой косы.
Линейные представления группы кос. Представление Бюрау. Уравнение Янга-Бакстера. Связь с многочленом Джонса.
Оснащенные R  матрицы и “квантовогрупповые” инварианты. Категория плетений
(связок). Оснащенные R  матрицы для многочленов Джонса и Кауффмана.
Инварианты конечного порядка (инварианты Васильева). Примеры: многочлены
HOMFLY, Кауффмана, Александера (от многих переменных), коэффициент зацепления.
Системы весов.
Алгебра Хопфа хордовых диаграмм. Теорема Лерэ. Примитивные элементы алгебры
хордовых диаграмм.
Интеграл Концевича. Построение инвариантов конечного порядка по представлениям
полупростых алгебр Ли.
2. Алгоритмические аспекты.
2.1. Алгоритмы для кос.
Алгоритм Артина решения проблемы тождества в группе кос.
Алгоритмы Гарсайда для решения проблемы тождества и проблемы сопряженности в
группе кос. Фундаментальная коса. Центр группы кос.
Конечные автоматы. Автоматные группы. Лево-, право- и двусторонне инвариантные
жадные формы косы. Квадратичный алгоритм приведения к жадной форме.
Алгритм Дюорнуа “обращения слов”.
Левоинвариантное упорядочение Дюорнуа в группе кос. Алгоритм Дюорнуа сокращения ручек.
Действие группы кос на ламинациях. Квадратичный алгоритм для определения порядка.
2.2. Алгоритмы для узлов и трехмерных многообразий.
Прямоугольные диаграммы зацеплений и дуговые представления. Трюки Бенекена.
Метод Бирман-Менэско. Алгоритм Дынникова монотонного упрощения прямоугольных
диаграмм тривиального узла.
Триангуляции и разбиения на ручки трехмерных многообразий.
Нормальные поверхности. Фундаментальные поверхности. Метод Хакена.
Алгоритм Хакена вычисления рода узла и определения разводимости зацепления.
Алгоритм Шуберта для разложения зацепления на простые.
Алгоритм Рубинштейн-Томпсон распознавания трехмерной сферы.
3. Теория трехмерных и четырехмерных многообразий.
Топологические, кусочно-линейные и гладкие многообразия. Соотношения между ними в размерностях 3 и 4.
Диаграммы Хегора. Стабильная эквивалентность диаграмм Хегора. Параллелизуемость ориентируемых трехмерных многообразий.
Линзовые пространства. Примеры гомотопически эквивалентных, но не гомеоморфных линз. Кручение Райдемайстера.
Группа классов отображений (гомеотопий) поверхности. Скручивания Дэна на поверхности.
Скручивания Дэна в трехмерных многообразиях. Представления трехмерных многообразий с помощью оснащенных зацеплений в S 3 .
Исчисление Кирби. Трехмерные многообразия как границы четырехмерных.
Разветвленные накрытия.
Лемма Дэна. Теорема о сфере. Теорема Папакирьякопулоса. Дополнения к неразводимым зацеплениям – пространства Эйленберга-Маклейна.
Формулировка теоремы Вальдхаузена. Однозначность определения зацепления по
фундаментальной группе с оснащением.
Многообразия Зейферта. Гомологические сферы. Сфера Пуанкаре.
Конструкция Уайтхеда пространства, гомотопически эквивалентного, но не гомеоморфного 3 . Гипотеза Пуанкаре.
Инстантоны. Когомологии Флоэра. Инвариант Кассона.
Сигнатура четырехмерных многообразий. Теорема Уайтхеда.
Литература
1. Беннекен Д. Зацепления и уравнения Пфаффа.\\ Успехи Мат. Наук. 44 (1989), 3, 3-53.
2. Дынников И.А. Полином Александера многих переменных выражается через инварианты Васильева.\\ УМН. 52 (1997), 1, 227-228.
3. Дынников И.А. Об одном отображении Янга-Бакстера и упорядочении Дюорнуа.\\
Успехи Мат. Наук. 57 (2002), 3, 151-152.
4. Зейферт Т., Трельфалль В. Топология. ГОНТИ 1938.
5. Р.Кроуэлл, Р.Фоке. Введение в теорию узлов. М., Мир, 1967.
6. Масси У., Столлингс Дж. Введение в алгебраическую топологию. М., Мир, 1977.
7. Матвеев С.В. Алгоритм для распознавания трехмерной сферы (по А. Томпсон).\\ Мат.
сб. 186 (1995), 5, 69-84.
8. Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной
топологии. М., изд-во МГУ, 1991.
9. Милнор Дж. Кручение Уайтхеда.\\ Математика (сб. переводов). 11 (1967), 1, 3-42.
10. Прасолов В.В., Сосинский А.Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. М.,
МЦНМО, 1997.
11. Тураев В.Г. Кручение Райдемайстера в теории узлов.\\ УМН. 41(1986), 1, стр. 97-147.
12. Рохлин В.А. Трехмерное многообразие – граница четырехмерного.\\ ДАН СССР. 81
(1951), 3, 355-357.
13. Фрид Д., Уленбек К. Инстантоны и четырехмерные многообразия. М., Мир, 1988.
14. Шуберт X. Алгоритм для разложения зацеплений на простые слагаемые.\\ Математика (сб. переводов). 10 (1966), 4, 45-78.
15. Artin E. Theory of braids.\\ Ann. of Math. (2) 48 (1947), 101-126.
16. Bar-Natan D. On the Vassiliev knot invariant.\\ Topology, 34 (1995), 423-475.
17. Birman J.S. Braids, links and mapping class groups.\\ Annals of Math Studies., vol. 82,
Princeton University Press, 1974.
18. Birman J.S., Menasco W.W. Studying links via closed braids IV: closed braid representatives
of split and composite links.\\ Invent. Math. 102 (1990), 1, 115-139.
19. Birman J.S., Menasco W.W. Studying links via closed braids V: closed braid representatives
of the unlink.\\ Trans. AMS 329 (1992), 2, 282-606.
20. Burde G., Zieschang H. Knots. W. de Gruyter, Berlin, 1985.
21. Casson A. Three lectures on new infinite constructions in 4-dimensional manifolds.\\ Progress in Math. 62 (1986), 201-244, Birkhauser.
22. Chen K.T. Iterated path integrals.\\ Bull. Amer. Math. Soc.,83 (1977), 831-879.
23. Conway J.H. An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties.\\ In
Computational Problems in Abstract Algebra, 329-358. Pergamon Press, New York, 1970.
24. Dehornoy P. A fast method for comparing braids.\\ Adv. in Math. 125 (1997), 200-235.
25. Dehornoy P. Groups with a complemented presentation.\\ J. Pure Algebra 116 (1997),
115-137.
26. Dynnikov I.A. Arc-presentations of links. Monotonic simplification. http://xxx.
itep.ru/abs/math.GT/0208153
27. Epstein D., Cannon J.W., Holt D.F., Levy S.V.F., Paterson M.S., Thurston W.P. Word Processing in Groups. Jones and Bartlett Publ., 1992.
28. Floer A. An instanton-invariant of 3-manifolds.\\ Comm. Math. Phys. 118 (1988), 215-240.
29. Freyd P., Yetter D., Hoste J., Lickorish W.B.R., Millet K.C., Ocneanu A. A new polynomial
invariant of knos and links.\\ Bull. Amer. Math. Soc., 12 (1985), 239-246.
30. Garside F.A. The braid group and other groups.\\ Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 20 (1969),
235-254.
31. Haken W. Theorie der Normalflachen.\\ Acta Math. 105, 245-375.
32. Hartley R. The Conway potential function for links.\\ Comment Math. Helv., 58(1983), pp.
365-378.
33. Hatcher A., Thurston W. A presentation for the mapping class group of a closed orientable
surface.\\ Topology 19 (1980), no. 3, 221-237.
34. Jones V.F.R. A polynomial invariant for links fia von Neumann algebras.\\ Bull. Amer. Math.
Soc. 12 (1985), 103-111.
35. Likorish W.B.R., Millett K.C. A polynomial invariant of oriented links.\\ Topology 26 (1987),
107-141.
36. Morton H.R. Threading knots diagrams.\\ Math., Proc., Camb. Soc. 99(1986), 247-260.
37. Rubinstein J.H. An algorithm to recognize the 3-sphere.\\ Proc. of the International Congress
of Mathematicians 1,2 (Zürich, 1994), 601-611, Birkhäuser, Basel, 1995.
38. Thompson A. Thing porition and the recognition problem for S 3 .\\ Math. Res. Lett. 1 (1994),
5, 613-630.
39. Torres G. On the Alexander polynomial.\\ Ann.Math., 57 (1953), № 1, с. 57-85.
40. Turaev V.G. The Yang-Baxter equation and invariants of links.\\ Inventiones Math. (1992),
527-553, Fasc. 3.
41. Whitehead J.H.C. On simply connected 4-dimensional polyhedra.\\ Comment. Math. Helv. 22
(1949), 48-92.