СОДЕРЖАНИЕ Введение ……………………………………………………………………………………...

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
……………………………………………………………………………………... 3
Алгебра и начала анализа
Зачетный раздел № 1. Основы тригонометрии …………………………….. 4
Понятие угла. Радианная мера угла ……………………………………………
5
Поворот точки вокруг начала координат …………………………………….
7
Определение синуса, косинуса угла …………………………………………..
10
Знаки синуса, косинуса и тангенса ……………………………………………
13
Основные формулы для синуса и косинуса угла …………………………….
14
Арксинус, арккосинус …………………………………………………………... 16
Определение тангенса и котангенса угла …………………………………….
17
Основные формулы для тангенса и котангенса ………………………………
18
Контрольная работа № 1 ……………………………………………………...
19
Карточки к зачету № 1 ………………………………………………………..
19
Тест №1 ………………………………………………………………………….. 20
Справочный материал ………………………………………………………..
21
Литература ……………………………………………………………………..
24
Ответы ………………………………………………………………………….
25
2
ВВЕДЕНИЕ
Дорогой друг!
В руках у тебя не совсем обычное пособие по алгебре и началам анализа.
Его главное отличие - краткость и объем. Это пособие – конспект, пособие –
справочник, пособие – шпаргалка.
Во-первых, конспект, потому что в пособии сжато изложен основной
теоретический материал.
Во-вторых, пособие может служить справочником по изучению темы
«Показательные, логарифмические уравнения и неравенства».
В-третьих, пособие можно назвать в хорошем смысле слова
шпаргалкой. Задача такой шпаргалки – зафиксировать главное при изучении
темы, что и сделано в пособии.
Настоящее пособие предназначено для самостоятельной подготовки
обучающихся 10 классов вечерних (сменных) общеобразовательных школ,
которые испытывают трудности при изучении материала, а также для тех
учащихся, которые имеют большой перерыв в учебе.
Целью настоящего пособия является оказание помощи учащимся в
освоении учебного материала и успешной подготовке к поступлению в
техникумы и ВУЗы.
В пособии предложены материалы для подготовки к зачёту по
теме «Основы тригонометрии».
Как работать с пособием?
 Сначала познакомься с планом подготовки к зачету.
 Затем переходи к изучению теоретического материала.
 Внимательно рассмотри примеры решения заданий с комментариями и
обрати внимание на образец оформления задания.
 Прорешай упражнения самостоятельно, сверь с ответами, которые
приведены в конце пособия.
 После изучения всех тем реши контрольную работу и выполни тест.
 Если нет ошибок, то переходи к подготовке сдачи зачета по карточкам.
В конце пособия приведен справочный материал.
Удачи на зачете!
3
Зачетный раздел
ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
I. Основные требования к знаниям и умениям обучающихся
Знать:
 определение угла в один радиан;
 определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента.
Уметь:
 переходить от градусного измерения угловых величин к радианному и обратно;
 применять
основные
тригонометрические
тождества
к
преобразованию
тригонометрических выражений.
II. ПЛАН ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ № 1
§
учебника
Содержание учебного материала
Номера заданий из учебника
п.7.1
п.7.2
п.7.2
Понятие угла. Радианная мера угла
7.1; 7.2; 7.3; 7.4; 7.15; 7.16; 7.17.
Поворот точки вокруг начала координат
7.5; 7.6; 7.7; 7.9.
п.7.3
Определение синуса, косинуса угла
п.7.4
Основные формулы для синуса и косинуса
угла
Арксинус, арккосинус
7.24; 7.25; 7.26; 7.27; 7.28; 7.29; 7.30;
7.31; 7.35; 7.36; 7.43; 7.44
7.50; 7.51; 7.52; 7.53; 7.54; 7.55; 7.56;
7.57; 7.58; 7.59; 7.64; 7.65; 7.66; 7.67
7.77; 7.78; 7.79; 7.80; 7.80; 7.86; 7.87;
7.88; 7.89; 7.91.
8.1; 8.2; 8.4; 8.5; 8.6; 8.12; 8.13; 8.14;
8.15; 8.16.
.17; 8.18; 8.19; 8.20; 8.21; 8.22; 8.23;
8.24; 8.25; 8.26; 8.27.
п.7.5
п.7.6
п.8.1
п.8.2
Определение тангенса и котангенса угла
Основные формулы для тангенса и
котангенса.
Контрольная работа № 1
Зачет № 1
4
ПОНЯТИЕ УГЛА. РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА
Расположим числовую ось с началом в точке P вертикально (рис.1).
За единицу длины на числовой оси возьмем радиус окружности.
Вообразив эту прямую в виде нерастяжимой нити, закрепленной на
окружности в точке Р, будем мысленно наматывать ее на

окружность. Отметим на прямой некоторые точки  1,  ;   ; и
2
тд.
Получим,
что
каждой
точке
прямой
найдется
соответствующая точка на окружности.
Таким образом, каждому действительному числу найдется
место на окружности, причем каждой точке окружности будет
соответствовать бесконечное множество чисел.
За единицу измерения углов и дуг принимают соответственно угол
в 1 градус и дугу в 1 градус (обозначают 1 °).
Условились: если повернуть начальный радиус около точки О по
часовой стрелке, то угол поворота считать отрицательным; если
повернуть начальный радиус около точки О по часовой стрелке, то
угол поворота считать положительным
Рис.1
Угол в 1 ° - это угол, который опишет начальный радиус, совершив часть полного
оборота вокруг своей начальной точки против часовой стрелки.
Рассмотрим еще одну единицу измерения величины угла – 1 радиан.
Угол в 1 радиан есть центральный
угол, опирающийся на такую дугу
окружности, длина которой равна
радиусу этой окружности (Рис.2)
Рис.2
Если начальный радиус совершит полный оборот, то получится угол равный 360 ° или 2 
радианам.
Радианная мера 1° равна
2


=
т.е 1 ° =
рад.
360
180
180
Если угол содержит α градусов, то его радианная мера равна:
α°=

α рад.
180
Найдем градусную меру угла в 1 радиан. Так как дуга длиной πR (полуокружность)
стягивает центральный угол в 180°, то дуга длиной Rстягивает угол в π раз меньший, т.е
5
 180 
1 рад = 

  
0
Так как   3,14 , то 1 рад  57,3°.
Если угол содержит радиан α, то его градусная мера равна
Задача №1 Найти градусную меру угла, равного: π рад;
 180 
α рад = 

  
0

рад
2
Решение:
0
 180 
π рад = 
  = 180 °
  

 180  
рад = 
 = 90 °
2
  2
0
Задача №2 Найти радианную меру угла, равного: 45 °; 15 °
Решение:


45° =
рад;
45 рад =
180
4


15 ° =
рад.
15 рад =
180
12
Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают.
Радианная мера угла удобна для вычисления длины дуги окружности. Так как угол в 1
рад стягивает дугу, длина которой равна радиусу R, то угол в α рад стягивает дугу длиной l =
R 2
αR. Площадь кругового сектора радиуса R, образованного углом в α рад, равна
S=
,
2
где 0 < α < π.
Приведем таблицу наиболее часто встречающихся углов в градусной и радианной мере.
Градусы
0
Радианы
0
30

6
45

4
60

3
90

2
180

270
3
2
360
2
Упражнения для самостоятельного решения:
1°. Найти радианную меру угла, выраженную в градусах:
а) 40°;
б) 120°;
в) 150°;
г) 32° .
2° . Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:


3
а) ;
б) ;
в)
;
г) 3.
6
9
4
3°. Вычислить радиус окружности, если дуга длиной 0,36 м стягивает центральный угол в 0,9
рад.
3
4*. Дуга кругового сектора стягивает угол в
рад. Найти площадь сектора, если радиус
4
круга равен 1см.
6
5*. Заполнить таблицу:
Угол, °
Угол. рад
30
Радиус, см
Длина дуги, см
Площадь сектора,
см²
2

5
2
10
5
2
5
50
25
10
50
ПОВОРОТ ТОЧКИ ВОКРУГ НАЧАЛА КООРДИНАТ
Покажем, как можно установить соответствие между действительными числами и
точками окружности с помощью поворота точки окружности. Рассмотрим на координатной
плоскости окружность радиуса R = 1 с центром в начале координат. Её называют единичной
окружностью.
Введем понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на
угол α рад, где α – любое действительное число.
1. Пусть α > 0. Предположим, что точка Р (1;0), двигаясь по единичной окружности против
часовой стрелки, прошла путь длиной α (рис.3). Конечную точку пути обозначим М.
В этом случае говорят, что точка М получена поворотом из точки Р поворотом вокруг начала
координат на угол α рад.
Рис.3
Рис.4
2. Пусть α < 0. В этом случае говорят, что поворот на угол α совершался по часовой стрелке,
и точка прошла путь длиной  (рис.4).
Поворот на 0 рад, означает, что точка остается на месте.
Рис.5
Рис.6
7
Примеры:
1) При повороте точки Р (1;0) на угол

рад (рис.5 ) получается точка М (0;1).
2

рад (рис.5 ) получается точка N(0; - 1).
2
3
3) Повернув точку Р (1;0) на угол
рад (рис.6) получается точка K (0; - 1).
2
4) Повернув точку Р(1;0) на угол   рад (рис.6) получается точка L ( - 1; 0).
2) Повернув точку Р(1;0) на угол -
В курсе геометрии рассматривались углы от 0° до 180°. Используя поворот точки
единичной окружности вокруг начала координат, можно рассматривать углы, большие
180°, а также отрицательные углы. Угол поворота можно задавать как в градусах, так и
3
в радианах. Например, поворот точки Р(1;0) на угол
означает тоже самое, что и поворот
2

точки на 270°; поворот на - - это поворот на -90°.
2
Рассмотрим примеры поворотов точки на угол, больший 2π, и на угол, меньший - 2π.
Рис.7
Рис.8
9

Так при повороте на угол
= 2٠2π +
точка совершает два полных оборота (2٠2π)
2
2

против часовой стрелки и еще проходит путь
(рис.7).
2
9

При повороте на угол = - 2٠2π точка совершает два полных оборота по
2
2

часовой стрелке и еще проходит путь
в том же направлении (рис.8).
2
9
Заметим, что при повороте точки Р (1;0) на угол
получается та же самая точка, что и при
2

9
повороте на угол
. При повороте точки Р (1;0) на угол получается та же самая точка,
2
2

что и при повороте на угол  .
2
Если α =  0  2k, где k – целое число, то при повороте на угол α получается та же
самая точка, что и при повороте на угол  0 .
Задача №1 Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р (1;0) на угол:
8
1) 7π;
2) 
7
.
2
Решение:
1) Так как 7π = 3٠2π + π , то при повороте на 7π получается та же самая точка, что и
при повороте на π, т.е. получается точка с координатами ( - 1; 0). (рис.9 )
7
3
7
2) Так как 
= -2π , то при повороте на 
получается та же самая точка,
2
2
2
3
что и при повороте на , т.е. получается точка с координатами (0; 1) (рис.10)
2
Рис.9
Рис.10
Задача № 2
Записать все углы, на которые нужно повернуть точку (1;0), чтобы получить точку
 3 1
N 
;  .
2
2

Решение:

Из прямоугольного треугольника АON (рис.11) следует, что угол AON равен , т.е.
6

один из возможных углов поворота равен . Следовательно, все углы, на которые
6
 3 1

нужно повернуть точку (1;0), чтобы получить точку 
+
;  , выражаются так:
6
 2 2
2πk, где k – любое целое число.
Рис.11
Упражнения для самостоятельного решения:
1°. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки (1;0) на
заданный угол:

5

3
а) 4π;
б) - 225°;
в) - ;
г) ;
д)  2 ;
е) 
 8 .
3
4
4
4
9
2°. Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р(1;0) на угол:
15
а) 3π;
б) ;
в) 540°;
2
3

г) 810°;
д) 
е)    .
 2k , k – целое число;
2
2
3°. Определить четверть, в которой расположена точка, полученная поворотом точки Р(1;0)
на угол:
а) 1;
б) 2,75;
в) 3,16;
г) 4,95.
4*. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки Р(1;0) на угол:


а)  2 ;
б)   2 ;
в) 4,5π;
г) - 7π.
4
3
5*. Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р (1;0) на угол (k – целое число):
5
9
7
3
а)
б) 
в) 
г)
 2k ;
 2k ;
 2k ;
 2k .
2
2
2
2
6*. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку Р (1;0), чтобы получить точку с
координатами:
 2

3 1
2
;
а)  
б) 
;
;  ;

2
2
2
2





 1
2
2
3
;
  ;
.
в)  
г)
;

 2

2
2
2




ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА УГЛА
Рис.12
Синусом угла α называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг
начала координат на угол α (обозначается sin α).(рис.12)
Косинусом угла α называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0 ) вокруг
начала координат на угол α (рис.12) (обозначается cos α).
В этих определениях угол α может выражаться как в градусах, так и в радианах. Например,

при повороте точки (1;0) на угол , т.е. угол 90°, получается точка (0;1). Ордината точки
2


(0;1) равна 1, поэтому sin
= sin 90° = 1; абсцисса этой точки, равна 0, поэтому cos = cos
2
2
90° = 0
10
Задача №1
Найти sin (- π) и cos (- π).
Решение:
Точка (1;0) при повороте на угол – π перейдет в точку (-1; 0) (рис.13), следовательно,
sin (- π) = 0, cos (- π) = - 1.
Рис.13
Задача №2
Решить уравнение sin x = 0.
Решение:
Решить уравнение sin x = 0 – это значит найти все углы, синус которых равен нулю.
Ординату, равную нулю, имеют две точки единичной окружности (1;0)и (- 1; 0). Эти
точки получаются из точки (1;0) поворотом на углы 0, π, 2π, 3π и т.д., а также на углы
- π, - 2π, - 3π и т.д.. следовательно, sin x = 0 при х = πk.,где k – любое целое число т.е.
решение можно оформить так:
sin x = 0;
х = πk., k  Z .
Ответ: х = πk., k  Z
(Z – обозначение множества целых чисел, читается «k принадлежит Z»).
Рассуждая аналогично можно получить следующие решения тригонометрических
уравнений:
0
sin x
cos x
х = πk., k  Z
х=

+2πk., k  Z
2
1

х = + 2πk, k  Z
2
-1

х = - +2πk., k  Z
2
х = 2πk., k  Z
х = π + 2 πk., k  Z
Приведем таблицу часто встречающихся значений синуса, косинуса, тангенса и
котангенса.
11
Задача №1
Вычислить: 4sin

+
6
3 cos


- tg .
6
4
Решение:
Используя таблицу, получаем



1
4 sin + 3 cos - tg = 4 ٠ +
6
6
4
2
3٠
3
-1 = 2 + 1,5 = 2,5.
2
Упражнения для самостоятельного решения:
1°. Вычислить:


а) sin + sin ;
2
6
б) sin  - cos π;
в) sin 0 - cos 2π;
г) sin3  - cos
3
.
2
2°. Найти значение выражения:







а) 3 sin + 2 cos - tg ;
б)  2tg  tg  : cos ;
6
3
6
6
6
3




в) sin  cos  tg ;
г) cos 0 – sin 3π.
3
6
4
3°. Решить уравнение:
1
а) 2 sin x = 0;
б) cos x = 0;
2
4*. Найти значение выражения:

а) 2 sin α + 2 cos α при α = ;
4

в) sin 3 α – cos 2 α при α = ;
6
в) cos x - 1 = 0;
б) 0,5 cos α г) cos
г) 1 – sin x = 0.
3 sin α при α = 60°;



+ sin
при α = .
2
2
3
5*. Решить уравнение:
а) sin x = - 1;
б) cos
1
x = 0;
2
х

в) sin   6   1 ;
2

г) sin3 x = 0.
Знаки синуса, косинуса и тангенса
Пусть точка движется по единичной окружности против часовой стрелки, тогда синус
положителен в первой и второй координатных четвертях (рис.14); косинус положителен в
первой и четвертой координатных четвертях (рис.15); тангенс и котангенс положителен в
первой и третьей координатных четвертях (рис.16).
Рис.14
Рис15
Рис.16
12
Задача №1
Выяснить знаки синуса, косинуса и тангенса угла:
3
5
1)
; 2) 745°; 3) 
.
4
7
Решение:
3
1) Углу
соответствует точка единичной окружности, расположенная во второй
4
3
3
3
четверти. Поэтому sin
> 0, cos
< 0, tg
< 0.
4
4
4
2) Так как 745° = 2 ٠360° + 25° , то повороту точки (1;0) на угол 745° соответствует
точка, расположенная в первой четверти.
Поэтому sin 745 ° > 0, cos 745° > 0, tg 745° > 0.
5

3) Точка движется по часовой стрелке, поэтому – π < 
<  , то при повороте
7
2
5
 5 
точки (1;0) на угол 
получается точка третьей четверти. Поэтому sin    < 0,
7
 7 
 5 
 5 
cos    < 0, tg    > 0.
 7 
 7 
Упражнения для самостоятельного решения:
1°. В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки Р(1;0) на угол α, если:

3
7
а) α = ;
б) α = ;
в) α =
;
6
4
6
г) α = 4,8;
д) α = - 1,31;
е) α = - 2,7.
2°. Определить знак числа sin α, если:
5
33
а) α =
; б) α = 
; в) α = 5,1;
4
7
г) α = - 470°.
3°. Определить знак числа cos α, если:
7
2
1) α =
; 2) α = 
;
3) α = - 5,3;
6
5
4) α = - 150°.
4°. Определить знак числа tg α, если:
5
5
1) α =
;
2) α = 
;
3) α = 3,7;
6
4
*5. Каковы знаки чисел sin α, cos α, tg α, если:
10
5
11
а) 3π < α <
;
б)
<α <
.
3
2
4
6*. Определить знак числа:
2
3
2

а) sin
sin
;
б) cos
cos ;
3
4
3
6
в) tg
13
4) α = 283°.
5

+ sin .
4
4
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СИНУСА И КОСИНУСА УГЛА
Уравнение окружности имеет вид: (х - х 0 )² + (y - y 0 )² = R², где ( х 0 ; y 0 ) – координаты
центра окружности, R – радиус окружности. Если окружность проходит через начало
координат т.е. точку с координатами (0;0) c радиусом равным 1, то уравнение принимает вид
х² + y² = 1
(1).
Рис.17
Рассмотрим единичную окружность и точка М (х; y) получена поворотом точки (1;0) на угол
α (рис.17).
По определению синуса и косинуса имеем y = sin α, x = cos α и точка М имеет координаты
(cos α; sin α). Подставляя в уравнение (1) получим
sin ²α + cos ²α = 1
(2)
Это равенство выполняется при любых значениях α и называется
тригонометрическим тождеством.
Выразим sin² α и cos² α из формулы (2), получаем
sin ²α = 1 – cos ²α (3)
cos²α = 1 – sin ²α
(4)
основным
Выразим из (3) sin α;
sin α =  1  cos 2  (5) , а из (4) сos α =  1  sin 2  (6)
Для любого угла α справедливы равенства:
сos(- α) = сosα
sin(- α) = - sinα
Задача № 1
Вычислить sin α, если cos α = 
3
3
и 
.
5
2
Решение:
3
- это угол третьей четверти, а sin α в
2
этой четверти отрицательный, поэтому перед знаком корня следует поставить
3
знак «-», то sin α = - 1  cos 2  .Зная, что cos α =  , получим
5
Воспользуемся формулой (5). Угол    
2
sin α = -
9
25 9
16
4
 3



 .
1    = - 1
25
25 25
25
5
 5
Образец оформления задачи:
Дано:
3
cos α = 
5
Решение:
sin α = - 1  cos 2 
14
3
(III четв )

2
Найти: sin α
4
Ответ: sin α = 
5
2
9
 3
sinα = - 1     = - 1 

25
 5
25 9
16
4


 .
25 25
25
5
Задача № 2
Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если
1

sin α = ,     0 .
2
2
Решение:

Воспользуемся формулой (6). Угол     0 - это угол четвертой четверти, а cos α в
2
этой четверти положительный, поэтому перед знаком корня следует поставить
знак «+».
2
1
1
cos   1  sin 2   1     1  
9
3
tg α=
9 1
 
9 9
8 2 2

.
9
3
1 3
1
1 2
2
sin 
1 2 2




.
= :
cos 
3
3
4
3 2 2 2 2 2 2 2
сtg α=
2 2 1 2 2 3
cos 
: 
 2 2.
=
3 3
3 1
sin 
Упражнения для самостоятельного решения:
1°. Могут ли одновременно выполняться равенства:
2
3
4
3
а) sin α =
и cos α =
; б) sin α = 
и cos α =  .
3
3
5
5
2°. Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если:

5
3
а) sin α = 0,8 и     ;
б) cos α =
и
   2 ;
2
13
2
15
3
3
в) tg α=
и 
;
г) сtg α= -3 и
   2 .
18
2
2
*3. Какие значения может принимать:
2 3
1
а) cos α, если sin α =
;
б) sin α, если cos α =
5
5
АРКСИНУС, АРККОСИНУС
1. Арксинусом числа а  [- 1; 1] называется такое число α  [равен а.
arcsin a = α
15
 
; ], синус которого
2 2
sinα = a, при а  [- 1; 1]; α  [-
 
; ]
2 2
arcsin(- a) = - arcsin a
2. Арккосинусом числа а   [- 1; 1] называется такое число α  [0; π], косинус
которого равен а.
arcos α = a
cos α = a, при а  [- 1; 1]; α  [-0; π].
arcos (- α ) = π - arcos α
sin (arcsin a ) = a;
cos (arcos a) = a.
Задача 1
Найдите все углы α, для каждого из которых sin α = 1.
Решение:

α = arcsin 1 + 2πn, n  Z;
α = + 2πn, n  Z.
2

Ответ: α = + 2πn, n  Z.
2
Задача 2

Вычислить arcsin (sin ).
6
Решение:

1

arcsin (sin ) = arcsin = .
6
2
6

Ответ: .
6
Задача 3
1
Вычислить: cos (arcos ).
2
Решение:
cos (arcos
Ответ:
1
1
)= .
2
2
1
.
2
Упражнения для самостоятельного решения:
1°. Вычислить:
1
а) sin (arcsin );
2
2*. Вычислить:
б) cos (arcos
1
);
2
3
в) sin (arcsin(  ));
5
16
г) cos (arcos 0,3).
1
1
1
а) sin(arccos (- ) – arcsin (- ) + cos (- 3аrcsin )
2
2
2
Определение тангенса и котангенса угла
Тангенсом угла α
называется отношение синуса
угла α к его косинусу
(обозначается tg α).
sin 
tg α=
cos 
Задача1
Вычислить tg (Решение:
tg (-
Котангенсом угла α
называется отношение
косинуса угла α к его
синусу (обозначается сtg α).
cos 
ctg α =
sin 

).
4


) = - tg = - 1
4
4
Ответ: -1.
Основные формулы для тангенса, котангенса
tg (- α) = - tg α;
сtg (- α) = - сtg α;
tg (α + πn) = - tg α.
сtg (α + πn) = - сtg α.
Воспользуемся формулой sin ²α + cos ²α = 1 (2)
1. Разделим обе части равенства (2) на cos α  0, получим
2. Разделим обе части равенства (2) на sin α  0, получим
1
cos 2 
1
1 + ctg 2  
sin 2 
1 + tg 2  
sin 
cos 
, а сtg α=
, то перемножая их получаем tg α٠ctg α =1. (5)
cos 
sin 
1
Выразим из равенства (3) tg α получаем tg 
(6),
ctg
1
Выразим из равенства (4) ctg α, получаем сtg 
(7)
tg

Равенства 5-7 справедливы при α  k, k  Z.
2
Если tg α=
17
(3)
(4)
Задача 1
Доказать тождество:
1  tg 2
= cos 4  - sin 4 
2
1  tg
Выпишем левую часть равенства и преобразуем ее
sin 2 
1
2
2
1  tg 
cos 2   sin 2 
cos

=
=
= соs²  - sin²  ;
sin 2 
1  tg 2
cos 2  sin 2 
1
cos 2 
Выпишем правую часть равенства и преобразуем ее
cos 4  - sin 4  = (соs²  - sin²  )( соs²  + sin²  ) = соs²  - sin²  .
Сравним обе части
соs²  - sin²  = соs²  - sin²  - верно
Тождество доказано.
Упражнения для самостоятельного решения:
1°. Упростить выражение:
cos 2 
.
1  sin 
2°. Упростить выражение и найти его значение:
sin 2   1

1

а)
при α = ;
б)
 1 при α = ;
2
2
4
3
cos 
1  cos 
3°. Могут ли одновременно выполняться равенства:
7
1
1
3
а) sin α = и tg  
;
б) сtg α=
и cos α = .
3
5
4
24
а) cosα tg α - 2 sinα;
4 *. Упростить выражение:
1
а) 1  tg 2  
;
sin 2 
б)
б) 1 - sin ²α (1 + сtg ²α).
5*. Доказать тождество:
а) tg ²α - sin ²α = tg ²α sin ²α;
б)
1
1

 1.
2
1  tg  1  ctg 2 
III. ПРИМЕРНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
«Основы тригонометрии»
Вариант 1
1. Вычислить:




а) 2sin + tg ;
б) 2sin + 2 cos ;
в) cos 810°.
6
4
4
4
2. Упростить: (1 + tg ²α) cos ²α – 1.
1
1

 1.
3. Доказать тождество:
2
1  tg  1  ctg 2 
18
4. Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если:
5
3
sin α =  ;
   2 .
13
2
Вариант 2
1. Вычислить:

3


а) cos - sin
; б) 0,5 cos - 3 sin ; в) sin 540°.
2
2
3
3
2. Упростить: 1 – sin ²α (1 + ctg ²α).
3. Доказать тождество: (1 – sin ²α)(1 + tg ²α) = 1.
4. Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если:
1
cos α =  ; 90° <α <180°.
2
IV. КАРТОЧКИ К ЗАЧЕТУ № 1
«Основы тригонометрии»
Карточка № 1
1. Дать определение угла в один радиан. Записать формулу перехода от радианной к
градусной мере угла. Выразить в радианной мере величины углов: 60°,120°.
2. Упростить выражение: 2  sin 2   cos 2  .
3. Докажите тождество: 1  tg 2  1  cos 2   tg 2.



Карточка № 2
1. Дать определение угла в один градус. Записать формулу перехода от градусной к
3 2
радианной мере угла. Выразить в градусной мере величины углов:
; .
4
3
2. Упростить выражение: sin 4   cos 2   sin 2   cos 2  .
3. Докажите тождество: 1  сtg 2  1  sin 2   сtg 2.



Карточка № 3
1. Сформулировать определение синуса, косинуса и тангенса числового аргумента.
2. С помощью единичного круга выясните, что больше: sin 380° или cos 130°?
tg 2  sin 2 
3. Докажите тождество:
 sin 2 .
tg 2
Карточка № 4
1. Запишите основные тригонометрические тождества. Укажите допустимые значения
аргумента в этих тождествах.
5
2. Найти координаты точки, полученной поворотом точки P (1; 0) на угол 3π,  .
2
3. Определите знак значения выражения: а) cos 150° sin 250°; б) tg 115° ctg 230°.
Карточка № 5
1. Расскажите об изменении знаков значений тригонометрических функций при
изменении аргумента от 0 до 2π.
19
2. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки Р (1;0) на
5
угол 
.
4
sin 
1  cos 
2
3. Докажите тождество:


.
1  cos 
sin 
sin 
Карточка № 6
1. Что такое тождество? Способы доказательства тождеств.
4

2. Найти значение выражения: 6  2 sin   3 cos
 2 sin cos 4. .
3
2
1
3
3. Вычислить значение cos α, tgα, если sin α= , где     .
3
2
ТЕСТ № 1
«ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ»
Вариант I
Вариант I I
1. Запишите с помощью наименьшего положительного числа:
сos
а) sin

4
5
;
4
б) sin

;
4
5
4
sin
в) cos

;
4
г) - cos
а) – sin

;
4
б) cos
5
4



; в) – cos ; г) sin
4
4
7
2. Сравните с нулем выражения, выберите правильную серию ответов:
11
;
9
а) - - +;
sin
tg 1,6π
cos 5;
б) + + -;
в) - + -;
sin 4;
г) - + +.
а) - + -;
3. Упростите выражение: sin(180° - β)
а) cos β;
б) - cos β;
г) – sinβ.
в)sinβ;
б) - 2 sin² 15°;
5. Упростите выражение:
а) cos2β;
б) sin2β;
в) 0;
г) - + +.
а) cos β;
б) - cos β;
г) – sinβ.
в)sinβ;
4. Вычислите: cos²75° + sin² 75°
г) 1
sin 4 
cos 2 
в) 2cosβ;
б) + - -;
9
7
в) + - +;
ctg
3. Упростите выражение: sin(270° - β)
4. Вычислите: cos²15° + sin² 15°
а) 2 cos²15°;
cos1.8π;
а) 2 cos²75°;
б) - 2 sin² 75°;
5. Упростите выражение:
г) 2sin2β.
6. Найдите sin (α – β), если: cos α = - 0,6;
sinβ= - 0,6;
90° < α < 180°; 270° < β < 360°
а) 0;
б) 0,28;
в) – 0,96;
г) 1.
а)2 tg2α; б) - 2ctg2α;
в) 0;
г) 1
sin 2   cos 2 
sin  cos 
в) 2ctg 2α;
г) -2tg2α
6. Найдите sin (α + β), если: cos α = - 0,6;
sinβ= - 0,6;
90° < α < 180°; 270° < β < 360°
а) 0;
б) 0,28;
в) – 0,96;
г) 1.
20
7. Найти sin2α, если cos α = - 0,8 и
а) 0,48;
б) 0,96;
в) – 0,48;

< α < π.
2
7. Найти cos 2α, если sin α = 0,8 и
г) – 0,96
а) 0,28;
б) 0,96;
в) – 0,28;

< α < π.
2
г) – 0,96
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Действия с обыкновенными дробями
Сложение и вычитание
дробей с общим знаменателем
a c ac
 
b b
b
a c ac
 
b b
b
Сложение и вычитание
дробей с разными знаменателями
a c ad  cd
 
b d
bd
a c ad  cd
 
b d
bd
a c a c
 
b d bd
a c a d a d
:   
b d b c bc
Умножение
Деление
Действия с положительными и отрицательными числами
Положительн
ые числа
Сложить
(+)
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
Отрицательные
числа
Сложить
(-)
Заменяем на сложение: a-b = a + (-b)
Перемножить
Перемножить
(+)
(+)
Поделить
Поделить
(+)
(+)
Числа с разными знаками
Вычесть из большего модуля
меньший и поставить знак
большего модуля
Перемножить
(-)
Поделить
(-)
Формулы сокращенного умножения
Квадрат суммы
Квадрат разности
Разность квадратов
Куб суммы
Куб разности
Сумма кубов
Разность кубов
a  b 2  a 2  2ab  b 2
a  b 2  a 2  2ab  b 2
a 2  b 2  a  b a  b 
a  b 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
a  b 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
a 3  b 3  a  b a 2  ab  b 2 
a 3  b 3  a  b a 2  ab  b 2 
21
Свойства степени
a m  a n  a mn
a :a  a
m
n
a 
m n
a  b m
a0  1
1
a n  n
a
mn
m
am
a
   m
b
b
1
 a mn
a
 
b
an  n a
 a m  bm
m
b
 
a
m
m
a n  n am
ДДД
Свойства квадратного (арифметического) корня
a  b  ab
a
b

a
b
ab 
a  b
a

b
a
b
Единичная окружность
Тригонометрические тождества
22
 a
m
 am
am 
 a
m
Формулы понижения
степени
Переход от произведения
к сумме
Переход от суммы к
произведению
23
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский, С. М. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов
общеобразовательных учреждений. 7 изд., с испр. / для общеобразовательных учреждений /
Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. - М. : Просвещение,
2008.-430 с.
2. Крамор, В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. –
М. : Просвещение, 1990.
3. Лукин Р. Д., Лукина Т. К., Якунина М. С. Устные упражнения по алгебре и началам
анализа. – М. : Просвещение, 1989.
4. Береснева, Т. А. Зачетные формы организации контроля знаний старшеклассников /
Математика в школе. – 1988. - № 6. – С. 21-24.
5. Деребалюк, Л. В. Виды зачетов в старших классах / Математика в школе. – 1989. - № 1. –
С. 37-39.
6. Лисичкин, В. Т. О самостоятельности учащихся / Математика. – 1993. - № 31 – 32. – С. 1,
5.
7. Манвелов, С. Г. Развитие самостоятельности учащихся через формирование навыков
самоконтроля / Самостоятельная работа учащихся в процессе обучения математике / Сост.
Кабалевский Ю. Д. – М. : Просвещение, 1988. – С. 12-15.
8. Алексеев А. С., Белоновская Л. Н., Вяльцева И. Г., Глейзер Г. Д. Дидактические материалы
по математике для вечерней (сменной) общеобразовательной школы. – М. : Просвещение,
1988.
9. Саакян С. М., Глейзер Г. Д. Дидактические материалы к зачетам по математике для
вечерней (сменной) общеобразовательной школы. – М. : Просвещение, 1977.
10. Саакян С. М. и др. Лекционно-семинарская система преподавания математики /
Математика в школе – 1987. - № 3 – С. 8-17.
11. Потапов М. К., Шевкин.А. В. Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 10
классов : базовый и профильный уровни /-3 изд., . - М. : Просвещение, 2008. - 159 с. : ил.
12. Потапов М. К., Шевкин А. В. Алгебра и начала анализа: 10 класс : базовый и профильный
уровни : книга для учителя / - М. : Просвещение, 2008.- 191 с.: ил.
24
Ответы к упражнениям для самостоятельной работы
Косинус суммы и разности двух углов. Синус суммы и разности двух углов.
1. а) cos 150º =
; б) cos 240º = - , sin 240º = -
, sin 150º = , tg 150º =
, tg 240º =
;
в) cos 270º = 0, sin 270º = - 1. 2. а) 0; б) 1; в) 0.5; г) 0. 3. а) sin cos ; б) - sin sin ;
в) cos sin ; г) tg 5х. 4. , . 5. а) πn, n Z; б) - + πn, n Z.
Формулы для дополнительных углов
1. а) - , 3. а) -
, б) -
,
; б) -
; в) – sin 40º, cos 40º, - tg 40º.
,- ;
2. а) 1; б) – ctg – ; в)
.
.
Сумма и разность синусов и косинусов
1. а)
sin ; б)
sin .
2. а) - -
, б) - -
.
3. а) - 4 sin
sin
.
Формулы для двойных и половинных углов
1.а)
в)
; б)
.
; в)
.
2. а) 0,894; б) – 0,447; в) – 2.
4. а) tg ; б) tg .
Ответы к контрольной работе № 1
I вариант:
1. а) 0,5; б) 0,5.
2. а) 2sin
cos ; б) -
.
4.
+ 2πn, n
Z.
II вариант:
1. а)
; б)
;
2. а) 2sin
cos ; б)
;
4.
+ πn, n
Ответы к тесту № 1
1. 2;
2. 0.
3. 3.
4. 3.
5. 1.
6. – 0,96.
7.
25
Z.
3. а) 0,27; б) 5,1;