46. Решение матричной игры в чистых стратегиях

1. Предмет и задачи курса. Экономико-математическая модель задачи линейного
программирования. Пример.
Математическое программирование – дисциплина, занимающаяся изучением экстремальных
задач (max/min), разработкой методов их решения.
Математическое программирование делится на задачи линейного и нелинейного
программирования (целочисленное, выпуклое, динамическое, параметрическое). Многие
инженерно-экономические задачи можно с достаточной степенью точности описать с помощью
линейной целевой функции и системы линейных ограничений. Раздел, изучающий такие
задачи, называется линейным программированием.
Этапы линейного программирования:
1) постановка задачи (словесная формулировка), формулировка условий задачи, выбор
критериев оптимальность
2) сбор необходимых данных, составление исходной матрицы
3) построение экономико-математической модели
4) решение задачи одним из математических методов
5) анализ полученных результатов
Экономико-математическая модель.
Для производства 3 видов изделий (A,B,C) используется 3 вида различного сырья в количестве
180, 210, 244 единицы. Нормы затрат каждого вида сырья на производство единицы продукции
данного вида приведены в таблице:
I
4
2
1
II
3
1
3
III
1
2
5
Цена от реализации изделий:
A
B
C
10 14 12
Определить план выпуска продукции, при котором прибыль максимальна. Составить
математическую модель.
Решение: пусть предприятие производит x1 изделий вида А, x2 изделий вида B и x3 изделий
вида С. Так как производство ограничено имеющимся сырьем и количеством изготовляемых
изделий, то должны выписываться условия:
4х1+2х2+х3
3х1+х2+3х3
х1+2х2+5х3
все x0,
Z = 10x1+14x2+12x3 (max).
Методы решения:
1) графический (быстро и наглядно решает простейшие задачи)
2) симплекс-метод (универсальный метод)
3) метод потенциалов (им решаются транспортные задачи)
Необходим контроль, анализ решений, корректировка оптимального плана.
2. Общая постановка задачи линейного программирования. Каноническая форма задачи
линейного программирования.
Найти совокупность значений x1, x2, … , xn, удовлетворяющим условию и доставляющим
функции Z экстремальное значение.
n
∑aijxj (<=, =>,=)bi - ограничения (1,1)
i=1
xj=>0
- условия неотрицательности (1,2)
i=1,m
j=1,n
n
Z = ∑cjxj - целевая функция (1,3)
i=1
Совокупность значений переменных x1, x2, … , xn, удовлетворяющих условиям 1.1-1.3
называется допустимым планом. Оптимальным планом называется такое решение, при котором
целевая функции достигает экстремума.
Канонический вид задачи линейного програмирования:
а11х1+ а12х2+ …+а1jхj+..+a1nxn=b1
а21х1+ а22х2+…+ а2jхj+..+a2nxn=b2
аi1х1+ аi2х2+…+ аijхj+..+ainxn=bi
аm1х1+ аm2х2+…+ аmjхj+..+amnxn=bm
все xi =>0, i=1,n
j=1,m
Z=c1x1+c2x2+…+cnxn (max)
Приведение задачи к каноническому виду:
1) переход от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам (ограничение-неравенство
вида  сводится к ограничению-равенству добавлением к его левой части дополнительной
(балансовой) неотрицательной переменной, а вида  - вычитанием)
2) замена переменных, которые не подчинены условию неотрицательности
3) переход задачи min к max (Z = Z)
3. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Метод Гаусса. Пример.
Система м линейных уравнений с н переменными имеет вид:
а11х1+ а12х2+ …+а1jхj+..+a1nxn=b1
а21х1+ а22х2+…+ а2jхj+..+a2nxn=b2
аi1х1+ аi2х2+…+ аijхj+..+ainxn=bi
аm1х1+ аm2х2+…+ аmjхj+..+amnxn=bm
где аij, bi (i=1,n
j=1,m) - произвольные числа при переменных, называемые коэффициентами
при переменных и свободныи членами уравнений.
В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать:
n
∑aijxj =bi
j=1
Решение такой системы – это набор чисел, при подстановке которых в эту систему каждое
уравнение превращается в тождество. Совместной СЛАУ называется такая система, которая
имеет хотя бы одно решение. Если система решений не имеет, то она называется несовместной.
Метод Гаусса.
Метод последовательного исключения переменных заключается в том, что с помощью
элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе
ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных,
находятся все остальные переменные.
Ход решения
1) умножая 1-ое уравнение на подходящие числа и прбавляя полученные уравнения
соответственно ко второму, третьему ,… m-му уравнению системы, исключим переменную
х1 из всех последующих уравнений, начиная со второго.
Предположим что а22 <>0 умножая второе уравнение на подходящие числа и прибавляя
полученные уравнения соответственно к третьему, четвертому,…, m-му уравнению системы,
исключим переменную х2 из всех последующих уравнений, начиная с третьего.
4. Матрицы.
Матрицей размера м*н называется прямоугольная таблица чисел, содержащая м строк и н
столбцов. Числа составляющие матрицу называются ее элементами.
Матрица состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строк, а из одного
столбца – матрицей –столбцом
Матрица называется квадратной, если число ее строк = числу ее столбцов. Элементы матрицы,
у которых номера столбца = номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют
главную диагональ матрицы. Если все недиоганальные элементы квадратной матрицы =0, то
матрица назыв диагональной. Если у диагональной матрицы все диагональные элементы = 1, то
матрица назыв единичной матрицей. Матрица любого порядка назыв нулевой, если все ее эл-ты
=0
Операции над матрицами.
1) Умножение матрицы на число. Все эл-ты матрицы умножаем на это число. Произведением
матрицы А на число № назыв матрица В=№А.
2) Сложение матриц. Сумма 2х матриц одинакового размера назыв матрица С=А+В, эл-ты
которой cij=aij+bij
3) Вычитание. А-В=А+(-1)*В
4) Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов
1ой матрицы =числу строк второй. Тогда произведением матриц А*В назыв такая матрица
С, каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А
на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
5) Транспонирование. Переход от матрицы А к матрице А’, в которой строки и столбцы
поменялись местами с сохранением порядка.
6) Возведение в степень. Целой положительной степенью А в степени м (м>1)квадратной
матрицы А называется произведение м матриц, равных А.
В матрице А размера m x n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить
квадратные подматрицы k-го порядка, где k≤min(m;n). Определители таких подматриц
называются минорами k-го порядка матрицы А.
Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы.
5. Обратная матрица.
Матрица А(-1) называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при
умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица.
Теорема: Обратная матрица А(-1)существует (и единственна) тогда и только тогда, когда
исходная матрица невырожденная.
Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную А (-1), т.е. А*А (-1)= А(-1)А=Е. Тогда по
свойству определителя (определитель произведения двух квадратных матриц равен
произведению их определителей) │А*А(-1)│= │А│*│А(-1)│= │Е│=1, т.е. │А│=/0 и │A(-1) =/
0
Достаточность. Пусть │А│=/ 0.Рассмотрим квадратную матрицу n-ого порядка Ẫ, называемую
присоединенной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов
матрицы А’, транспонированной к А: ẫij= А’ij=Aji (i=1,n; j=1,n) тогда элементы произведения
матриц Ẫ*А=В определяются по правилу умножения матриц: bij = s=1∑n ẫisasj = s=1∑n Asi asj
=
|A|
i=j
0 при i=/j
Поэтому матрица В является диагональной, элементы ее главной диагонали = определителю
исходной матрицы. Аналогично доказывается, что произведение А на Ẫ равно той же матрице
В:А* Ẫ= Ẫ*А=В. Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу А(-1)=
1/ │А│* Ẫ (│А│<>0) (1)
То произведение А(-1) *А и А*А(-1) равны единичной матрице Е n-ого порядка: А(1)*А=А*А(-1)= 1/│А│*В=Е
Алгоритм вычисления:
1) находим определитель исходной матрицы. Если │А│=0, то матрица А – вырожденная и
обратной матрицы не существует. Если │А│<>0, то матрица А – невырожденная и обратная
матрица существует.
2) Находим матрицу А’, транспонированную к А
3) Находим алгебраическое дополнение элементов транспонированной матрицы А’ij=Aij
(i=1,n; j=1,n) и составляем из них присоединенную матрицу Ẫ: ẫij= А’ij= Аij
4) Вычисляем обратную матрицу по формуле (1,14)
5) Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А(-1), исходя из ее определения
А*А (-1)= =А(-1)А=Е
6. Неопределенная система ЛАУ. Базисные.
Неопределённая система линейных алгебраических уравнений имеет бесчисленное множество
решений. Придав свободным неизвестным нулевое значение получим решение системы,
которое называется базисом.
Если система приведена к единичному базису, то её базисное решение находится сразу. Для
этого необходимо положить свободные неизвестные равными нулю, тогда свободные члены
определят значения базисных неизвестных.
Чтобы найти все базисные решения системы не возвращаясь вновь к исходной системе,
используют преобразование однократного перемещения, основанном на методе Ж. Гаусса.
В любом единичном столбце выбирают отличное от нуля число и выполняют 1 итерацию этого
метода, при этом необходимо следить, чтобы преобразования не повторялись.
Число базисных решений не должно превышать число С
Сrn=n!/r!(n-r)!
N – количество неизвестных в системе.
R – ранг матрицы (кол-во уравнений в системе)
7. Множества. Выпуклые линейные комбинации.
Пусть
на плоскости х10х2 заданы две точки
А1(х’1х’2) и
А2(х’’1х’’2),
определяющие направленный отрезок А1А2. Выразим координаты произвольной внутренней
точки через координаты его концов, векторы А1А и А1А2 параллельны и одинаково
направленные: А1А = t(А1А2), 0<=t<=1
A1A2=(x1-x’1;x2-x’2), A1A2=(x’’1-x’1;x’’2-x’2), x1-x’1=t(x’’1-x’1), x2-x’2=t(x’’2-x’2)
x1=(1-t)x’1+tx’’1, 1-t=λ1, t= λ2
x1= λ1x’1+ λ2x’’1, x2= λ1x’2+ λ2x’’2
λ1≥0
λ2≥0, λ1+ λ2=1
учитывая, что координаты точки А являются суммами одноимённых координат точек А1 и А2,
умноженных соответственно на числа λ1 и λ 2, окончательно получаем:
А= λ1А1+ λ2А2, λ 1<=0, λ2≥0, λ1+λ2=1
Точка А, для которой выполняются эти условия называется выпуклой линейной комбинацией
точек А1 и А2.
При условии λ1=1 и λ2=0 точка А совпадает с началом отрезка А1, λ1=0 λ2=1 – с концом
Таким образом если t пробегает все значения от 0 до1 то точка А описывает отрезок А1А2.
Точки А1 и А2 называют угловыми или крайними точками отрезка А1А2. Из определения
линейной выпуклой комбинации точек очевидно что угловая точка не может быть представлена
как выпуклая линейная комбинация 2 других точек отрезка.
Множество называется выпуклым, если вместе с любыми 2 своими точками оно содержит и их
произвольную линейную выпуклую комбинацию.
Точка выпуклого множества называется угловой, если она не может быть представлена в виде
выпуклой линейной комбинации каких-нибудь 2 других различных точек данного множества.
8. Выпуклый n-мерный многогранник является выпуклой линейной комбинацией своих
угловых точек.
Доказательство. Возьмем для простоты n=2, а в качестве многоугольника – треугольник
X1X2X3. Через произвольную точку Х треугольника проведем отрезок Х1Х4. Поскольку точка
Х лежит на этом отрезке, то Х=α1Х1 + α4Х4, где α1≥0, α2≥0, α1+α4=1.
Точка Х4 лежит на отрезке Х2Х3, следовательно, Х4= α2Х2+ α3Х3, где α2≥0, α3≥0, α2+α3=1.
Подставив значение Х4 в выражение для Х, получим Х= α1Х1 + α4(α2Х2+ α3Х3)= α1Х1 + α2
α4Х2 + α3α4Х3.
Обозначив t1= α1, t2= α2α4, t3= α3α4, получим окончательно X=t1X1+t2X2+t3X3, где t1≥0, t2≥0,
t3≥0 и t1+t2+t3=1.
Таким образом, точка Х есть выпуклая линейная комбинация угловых точек треугольника
Х1Х2Х3.
9. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного
программирования является выпуклым.
Доказательство. Пусть Х1=(х1(1), х2(1),…,xn(1)) и X2=(x1(2), x2(2),…,xn(2) – два допустимых
решения задачи, заданной в матричной форме. Тогда АХ1=В и АХ2=В. Рассмотрим выпуклую
линейную комбинацию решений Х1 и Х2, т.е. Х=α1Х1 + α2Х2 при α1≥0, α2≥0 и α1 + α2 =1, и
покажем, что она также является решением системы. В самом деле, АХ = А(α1Х1 + α2Х2) =
α1АХ1 + (1- α1)АХ2 = α1В + (1- α1)В=В, т.е. решение Х удовлетворяет системе. Но так как
Х1≥0, Х1≥0, α1≥0, α2≥0, то и Х ≥0, т.е решение Х удовлетворяет и условию.
10. Теорема об экстремальном значении целевой функции.
Если задача ЛП имеет оптимальное решение, то линейная функция принимает максимальное
значение в одной из угловых точек многогранника решений. Если линейная функция
принимает максимальное значение более, чем в одной угловой точке, то она принимает его в
любой точке, являющейся выпуклой комбинацией этих точек.
Доказательство. Будем полагать, что многогранник решений является ограниченным.
Обозначим его угловые точки через Х1, Х2, …, Хр, а оптимальное решение – через Х*. Тогда
F(X*)≥F(X) для всех точек Х многогранника решений. Если Х* - угловая точка, то первая часть
теоремы доказана. Предположим, что Х* не является угловой точкой , тогда на основании
теоремы о выпуклом многоугольнике, являющемся выпуклой линейной комбинацией своих
угловых точек, Х* можно представить как выпуклую линейную комбинацию угловых точек
многогранника решений, т.е. Х*= α1Х1 + α2Х2 +…+ αрХр, αj≥0, j=1,p; j=1Σn αj=1.
Так как F(X) линейная функция, получаем F(X*)=F(α1Х1 + α2Х2 +…+ αрХр)= α1F(X1) +
α2F(X2) + … + αpF(Xp).
(1)
В этом разложении среди значений F(xj) (j=1,p) выберем максимальное. Пусть оно
соответствует угловой точке Xk (1≤k≤p); обозначим его черех М, т.е. F(Xk)=M. Заменим в
выражении (1) каждое значение этим максимальным значением М. Тогда, учитывая, что αj≥0,
j=1Σp αj=1, найдем F(X*)≤α1M + α2M + … + αpM= M j=1 Σp αj=M. По предположению Х* оптимальное решение, поэтому, с одной стороны, F(X*)≥F(Xk)=М, но, с другой стороны,
доказано, что F(X*)≤М, следовательно, F(X*)=М=F(Xk), где Xk – угловая точка. Итак,
существует угловая точка Xk, в которой линейная функция принимает максимальное значение.
Для доказательства второй части теоремы допустим, что F(X) принимает максимальное
значение более чем в одной угловой точке, например, в точках X1, X2, … Xq, где 1≤q≤p; тогда
F(X1)=F(X2)=…=F(Xq)=M.
Пусть Х – выпуклая комбинация этих угловых точек, т.е Х= α1Х1 + α2Х2 +…+ αqХq, aj≥0
(j=1,q), j=1Σq aj=1. В этом случае, учитывая, что функция F(X) – линейная, получим
F(X)=А(α1Х1 + α2Х2 +…+ αqХq)= α1F(X1) + α2F(X2) + … + αqF(Xq) = α1M + α2M +…+ αqM =
M j=1Σq aj=M, т.е. линейная функция F принимает максимальное значение в произвольной
точке Х, являющейся выпуклой линейной комбинацией угловых точек X1, X2,…., Xq.
13. Нахождение исходного опорного решения.
1) Фиксируют уравнение с максимальным по модулю отрицательным свободным членом.
2) Почленно вычитают фиксированное уравнение из остальных уравнений с отрицательными
свободными членами.
3) Обе части фиксированного уравнения умножают на «-1».
4) Остальные уравнения системы с неотрицательными свободными членами переписывают без
изменений.
Мы придем к системе, в которой все уравнения, кроме фиксированного, разрешены.
Используем симплексные преобразования, причем разрешающий элемент выбираем из условия,
чтобы принадлежащий ему элемент фиксированного уравнения был положительным. При этом
возможны следующие случаи:
а) Все коэффициенты при неизвестных в фиксированном уравнении неположительны, т.е.
опорных решений нет.
б) Разрешающий элемент оказался в фиксированном уравнении и, следовательно, после одной
итерации симплексных преобразований, система будет приведена к единичному базису.
в) Разрешающий элемент не принадлежит фиксированному уравнению, тогда симплексные
преобразования проводят до тех пор, пока не придут у случаю 1 или 2. При этом необходимо
следить за тем, чтобы преобразования не повторялись.
14. Симплексный метод.
Симплексный метод позволяет путем ряда преобразований, состоящих в переходе от одного
опорного решения к другому (причем так, что значение целевой функции все время возрастает
(max) или убывает (min)), находить оптимальное решение за конечное число шагов, либо
показать неразрешимость исходной задачи.
Подготовка к решению задачи симплексным методом:
1) приведение задачи к каноническому виду
2) приведение системы уравнений к единичному базису
3) нахождение исходного опорного решения
Решение симлекс-методом:
1. Найти опорный план.
2. Составить симплекс-таблицу.
3. Исходный опорный план проверить на оптимальность, в результате чего может иметь место
один из 3 случаев:
а) если Δj≥0, то исходный опорный план является оптимальным.
б) если Δj<0 и все элементы соответствующего столбца ≤0, то целевая функция не огранична
сверху на множестве ее плана.
в) Δj<0 и для каждого такого j по крайней мере одно aij положительное, то можно перейти от
исходного опорного плана к новому опорному плану, при котором значение целевой функции
возрастает.
4. Найти разрешающий столбец и разрешающую строку. Разрешающий столбец определяется
наибольшей по абсолютной величине отрицательной оценкой Δj. Разрешающая строка
определяется минимальным отношением свободных членов к положительным элементам
разрешающего столбца.
5. Сделать соответствующие замены в столбцах Вб и Сб и проделать один шаг метода Ж. Гауса
с найденный разрешающим элементом. Пересчитать элементы в строке Δ.
6. Проверить найденный опорный план на оптимальность. Если план неоптимален и
необходимо пререйти к новому опорному плану, то возвращаемся к пункту 2, а в случае
получения оптимального плана или усановления неразрешимости задачи решение задачи
заканчивают.
16. Приращение целевой функции
Приращение – разность между последующей и предыдущей функциями
∆ = Z2 – Z1 >0
X1 Z(X1) =Z1
|
|
|
X2 Z(X2) =Z2
Z2=(z1aij-∆jbi) \ aij=Z1 - ∆jbi\aij
∆ = Z1 - ∆jbi/ aij – Z1 = -∆jbi/ aij > 0
∆j < 0
17, 18. Критерии оптимальности
Теорема 1: Опорный план Х*=(х1*, х2*, 0,…, 0) задачи (1) – (3) является оптимальным, если ∆j
≥0, j = 1, n.
Теорема 2: Если ∆k< 0 для некоторого j=k и среди чисел aik нет положительных (aik ≤ 0), то
целевая функция (1) задачи (1) – (3) не ограничена на множестве ее планов.
Теорема 3: Если ∆k < 0 и опорный план Х задачи (1) – (3) не вырожден, но среди чисел aik есть
положительные (не все aik ≤ 0), то существует опорный план Х’ такой что Z(X’) >Z(X)
Сформулированные теоремы позволяют проверить, является ли найденный опорный план
оптимальным, и выявить целесообразность перехода к новому опорному плану.
19. Метод невязок.
Часто при решении задачи линейного программирования используется искусственный базис.
Метод решения при помощи искусственного базиса называется методом невязок. Рассмотрим в
качестве примера задачу линейного программирования с пятью неизвестными:
Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 (max) (1)
a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 = a
b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 + b5x5 = b
(2)
c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 = c
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0
(3)
a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0
(4)
Если одно или несколько условий (4) не выполняются, например a < 0, то, умножив обе части
первого равенства на -1, получим уравнение, в котором свободный член больше. нуля.
Наряду с исходной задачей (1) – (4) рассмотрим другую задачу линейного программирования,
которая является вспомогательной:
Т = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + М (V1 + V2 + V3) (max)
при условиях
a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + V1 = a
b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 + b5x5 + V2 = b
c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + V3 = c
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, V1 ≥ 0, V2 ≥ 0, V3 ≥ 0
где М – некоторое число.
Эта задача называется М-задачей. Неизвестными в ней являются x1, x2, x3, x4, x5, V1, V2, V3.
При этом неизвестные V1, V2, V3 называются искусственными.
При решении задачи линейного программирования используется следующая теорема:
1.
Если в оптимальном решении М-задачи все искусственные переменные равны нулю, то
соответствующие значения остальных переменных дают оптимальное решение исходной
задачи.
2.
Если имеется оптимальное решение М-задачи, в котором одна из искусственных
переменных отлична от нуля, то система ограничений (исходная задача не имеет допустимого
решения).
3.
Если М-задача не имеет оптимального решения, то исходная задача не разрешима.
20. Двойственные задачи.
С каждой задачей ЛП тесным образом связана, строящаяся определенным образом задача,
называемая двойственной по отношению к исходной. Прямая и двойственная к ней задачи
удовлетворяют следующим условиям:
 число переменных двойственной задачи равно числу условий ограничений прямой задачи (не
считая условий неотрицательности переменных) и наоборот число условий ограничений
двойственной задачи равно числу переменных исходной задачи;
 коэффициентами целевой функции двойственной задачи служат свободные члены системы
ограничений прямой задачи, а свободными членами системы ограничений двойственной задачи
– коэффициенты целевой функции исходной задачи;
 матрицей коэффициентов при переменных двойственной задачи будет транспонированная
матрица из коэффициентов при переменных системы ограничений исходной задачи;
 если исходная задача решается на max и ее неравенства приведены к виду ≤ то двойственная к
ней задача решается на min и ее неравенства в системе ограничений должны быть вида ≥
(целевая установка);
 каждому i-ому ограничению-неравенству прямой задачи соответствует в двойственной задачи
условие неотрицательности i-ой переменной (yi ≥ 0), а ограничению-равенству соответствует
переменная без ограничений. И наоборот, неотрицательной переменной прямой задачи
соответствует в двойственной задачи k-ое ограничение-неравенство, а произвольной
переменной – ограничение-равенство.
Соотношение двойственности взаимное, т. е. задача двойственная по отношению к
двойственной совпадает с прямой, т. е. речь будет идти о паре двойственных задач.
Исходная и двойственная к ней задачи могут быть экономически интерпретированы
следующим образом:
Исх. задача: составить план выпуска продукции, обеспечить ее max выпуск в стоимостном
выражении.
Двойственная: какова должна быть цена единицы каждого из ресурсов для минимизации общей
стоимости затрат.
В паре двойственных задач каждая является самостоятельной задачей ЛП и может быть решена
независимо одна от другой, но тем не менее по решению одной из пары двойственных задач
находится и решение двойственной к ней.
Существующие зависимости между решениями прямой и двойственной задач характеризуются
сформулированными ниже леммами и теоремами двойственности.
Лемма 1. Если Х – некоторый план исходной задачи (43) – (45), a Y – произвольный план
двойственной задачи (46), (47), то значение целевой функции исходной задачи при плане Х
всегда не превосходит значения целевой функции двойственной задачи при плане Y, т. е.
F(x)≤F*(Y) или j=1Σn CjXj ≤ i=1Σm biyi.
Лемма 2. Если
для некоторых планов X* и Y* задач (43) – (45) и (46), (47), то X* –
оптимальный план исходной задачи, а Y* – оптимальный план двойственной задачи.
22-23. Симметричные и несимметричные двойственные задачи. Нахождение
оптимального решения. Пример.
Пары двойственных задач делятся на симметричные и несимметричные. Если в системе
ограничений нет ограничений вида равенства и в обеих задачах нет произвольных переменных,
то такая пара задач называется симметричной. В противном случае задачи несимметричны.
Решение двойственных задач:
Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn (max)
x1x1 + … + anxn  b1
…
anx1 + … + amnxn  bm
xj  0; j=1,n
an … am
b1
an … am1 c1
…
…
A
am1…amn
bm
AT
am … amn cn
c1 … cn
Zmax
b1 … bm Zmax
T + biyi + … + amiyn (min)
anyi + … amj  c1
…
ainyi + … + amnyn  cn
yi  0; i=1,m
Далее смотрят какую из пары задач выгоднее решать. Выгоднее решать ту задачу, в которой
переменных больше чем уравнений системы ограничений.
Далее решают задачу симплекс-методом.
Далее находят решение двойственной задачи по решению исходной.
Если задачи симметричны, то решение двойственной находят по строке  последней симплекстаблице решенной задачи.
исходные балансовые
x1 x2 x3 x4 x5 x6
y4 y5 y6 y1 y2 y3
1 2 3 4 5 5
Если задачи несимметричны, то решение находят по формуле Yопт = Сб  Вб-1 где Сб – матрицастрока (вектор) коэффициентов при базовых переменных целевой функции в оптимальном
решении исходной задачи, Вб-1 – обратная матрица матрицы коэффициентов базовых
переменных уравнений системы ограничений исходной задачи в оптимальном решении.
24. Теоремы двойственности. Основное неравенство двойственности.
Основное неравенство двойственности.
Пусть имеется пара двойственных задач. Скажем, что для любых допустимых решений
X(x1,…,xn) и Y(y1,…,yn) исходной и двойственной задач справедливо неравенство: Z(x)  T(y)
или
n
m
cjxj  biyi
j=1
i=1
Доказательство:
Умножим обе части неравенств системы ограничений исходной задачи соответственно на
переменные и сложив левые и правые части получим неравенство
m
n
m
yi  aijxj biyi
i=1 j=1
i=1
Аналогично преобразовав систему ограничений двойственной задачи путем умножения обеих
частей неравенства на (x1,…,xn) и последующего сложения, получим неравенство
n
m
n
xj  aijyi  cjxj
j=1 i=1
j=1
Так как левые части этих неравенств представляют собой одно и то же выражение D, то
получаем:
n
m
cijxi  D  bijyi
j=1
i=1
Отсюда из свойства транзитивности имеем неравенство
n
m
cjxj  biyi
j=1
i=1
что и требовалось доказать.
Теоремы двойственности.
1) Если одна из задач двойственной пары имеет оптимальный план, то и другая имеет
оптимальный план и значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны
между собой, т. е.
Если же целевая функция одной задачи из двойственной пары
неограничена сверху или снизу, то другая задача вообще не имеет планов.
2) План
исходной задачи и план
двойственной задачи
являются оптимальными планами этих задач тогда и только тогда, когда для любого
выполняется равенство
Пары двойственных задач делятся на симметричные и несимметричные. Если в системе
ограничений нет ограничений вида равенства и в обеих задачах нет произвольных переменных,
то такая пара называется симметричной. В противном случае – несимметричной.
25. ТЗ. В общем случае имеется m пунктов производства и n пунктов потребления. Пункты
производства пронумеруем числами от 1 до m. Номер пункта производства будем обозначать
буквой i (таким образом, 1 i m). Пункты потребления пронумеруем числами от 1 до n. Номер
пункта потребления будем обозначать буквой j (таким образом, 1 j n). Рассмотрим некоторый
период времени. Пусть ai - объем производства за период времени в i-м пункте производства, bi
- количество продукции, требуемое за период времени в j-м пункте потребления. Пусть cij стоимость перевозки единицы груза из i-го пункта производства в j-й пункт потребления.
Требуется определить план перевозок, удовлетворяющий условиям по пунктам производства и
потребления и соответствующий наименьшим затратам на перевозки.
Для построения математической модели следует ввести переменные. Для каждой пары
поставщик-потребитель, то есть для каждой пары (i,j) введем переменную хij - объем перевозки
от пункта производства i к пункту потребления j.
Математическая модель транспортной задачи записывается следующим образом:
Целевая функция модели представляет собой общую стоимость всех перевозок. В модели
указано, что целевую функцию следует минимизировать. Таким образом, модель предписывает
искать план перевозок наименьшей общей стоимости.
В системе ограничений представлены три группы неравенств. В первой группе m неравенств,
соответствующих пунктам производства. Каждое неравенство утверждает, что из
соответствующего пункта не может быть вывезено больше, чем в нем имеется. Во второй
группе n неравенств, соответствующих пунктам потребления. Каждое из них требует, чтобы в
соответствующий пункт было привезено не меньше, чем требуется. В третьей группе m ´ n
неравенств, обеспечивающих неотрицательность объема перевозок.
Представленная модель транспортной задачи с ограничениями-неравенствами называется
открытой моделью. Задача разрешима в том и только в том случае, когда общий объем груза у
поставщиков не меньше суммарной потребности потребителей, то есть когда выполнено
неравенство:
. Если общий объем груза у поставщиков в точности равен общей
потребности потребителей, то есть если имеет место равенство:
, то указанная
выше открытая модель эквивалентна более простой закрытой модели, в которой основные
неравенства заменены равенствами. Закрытая модель имеет следующий вид:
26-27. Теорема о разрешимости транспортной задачи. Доказательство ограниченности
функции на множестве планов транспортной задачи.
Теорема
Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы грузов в
пунктах отправления были бы равны потребностям в грузах в пунктах потребления
m
n
── ──
∑ ai = ∑ bi, i=1,m, j=1,n (1)
i=1
j=1
Для доказательства теоремы необходимо показать, что при заданных условиях существует хотя
бы один план задачи и линейная функция на множестве планов ограничена.
Пусть выполняется условие
m
n
── ──
∑ ai = ∑ bi = M>0, i=1,m, j=1,n
i=1
j=1,
тогда величины
aibi
── ──
xij= ── (i=1,m, j=1,n)
M
являются планом, так как они удовлетворяют системе ограничений
n
∑ xij=ai, (2)
j=1
m
── ──
∑ xij=bi, (3), i=1,m, j=1,n
i=1
Действительно, подставляя значения xij в 2 и 3, находим
n
n aibi ai n
ai
∑ xij=∑ ── = ─ ∑bj = ─ M = ai,
j=1 j=1 M
M j=1
M
m
m aibi bi
m bi
∑ xij=∑ ── = ─
∑ai = ─ M = bi
i=1 i=1 M M i=1 M
Выберем из значений Cij наибольшее C*=maxCij и заменим в линейной функции
m n
Z=∑ ∑ Cij xij все коэффициенты на на С*. Тогда, учитывая 2, получим
i=1 j=1
m n
m n
m
∑ ∑ = Cij xij <=C*, ∑ ∑ xij=C*, ∑ ai=C*M
i=1j=1
i=1j=1
i=1
Выберем из значений Сij наименьшее С**=minСij, и заменим в линейной функции все
коэффициенты на С**, тогда, учитывая 2, имеем
m n
m n
m
∑ ∑ = Cij xij <=C**, ∑ ∑ xij=C**, ∑ ai=C**M
i=1j=1
i=1j=1
i=1
Объединяя два последних неравенства в одно двойное, окончательно получаем
С**<=Z<=С*М,
т.е. линейная функция ограничена на множестве планов транспортной задачи.
28. Теорема о ранге матрицы коэффициентов ТЗ
Теорема
Ранг r системы уравнений ТЗ при условии
m
n
── ──
∑ ai = ∑ bi, i=1,m, j=1,n (1)
i=1
j=1
равен p+q-1.
Доказательство.
Действительно, сравним ∑ первых p уравнений. Согласно условию 1, правые части совпадают.
Тогда совпадают и левые части, а сами уравнения линейно зависимы, а значит, r<= p+q-1.
Докажем, что r≥ p+q-1.
Из линейной алгебры известно, что если некоторые k переменных произвольной системы
линейных уравнений можно выразить через остальные переменные системы, то ранг этой
системы не меньше, чем k. Выразим переменные xik, входящие в первый столбец и первую
строку таблицы.
p
xij=b1- ∑xij (8)
i=2
q
xik=a1-∑xij (9)
i=2
Подставим вместо xik его выражение из уравнения 8. Т.о., p+q-1 переменных можно выразить
через остальные переменные pq-p-q+1.
r= p+q-1.
Следствие:
Число r основных (базисных) переменных закрытой модели ТЗ равно p+q-1, где p – число
поставщиков, q – потребителей.
29. Нахождение исходного опорного решения транспортной задачи
Опорным решением транспортной задачи называется любое допустимое решение, для которого
вектор-условия, соответствующие положительным координатам, линейно независимы.
Ввиду того, что r= p+q-1, опорное решение не может иметь отличных от нуля координат более
p+q-1. Число отличных от нуля координат невырожденного опорного решения равно p+q-1, а
для вырожденного опорного решения меньше.
1.
Метод северо-западного угла
2.
Метод минимальной стоимости
3.
Метод двойного предпочтения
1.
Начинают с того, что приписывают переменной x11, стоящей в северо-западном углу
таблицы, минимальное из значений a1 и b1.
x11=min a1b1
Двигаются в соседнюю клетку по строке вправо, если a1>b1, или по столбцу вниз если a1<b1,
полагая x12=a1-b1b2(min), x21=b1-a1a2(min). Это продолжают до тех пор, пока не исчерпаются
ресурсы и потребности. Последняя заполненная клетка окажется pq. Решение, получаемое по
методу сз угла – опорное решение.
Недостаток этого метода – он не учитывает значений коэффициентов затрат, но он допускает
модификацию и очень удобен для работы на машине (первой берут не клетку северо-западного
угла, а клетку с минимальным значением. При этом распределение поставок будет ближе к
оптимальному).
2.
Из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую и в клетку, которая ей
соответствует, помещают меньшее из чисел ai и bi. Затем из рассмотрения исключают или
строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо
столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены,
либо строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности
потребителя. Из оставшейся таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и
процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а
потребности удовлетворены.
3.
В каждом столбце отмечают знаком √ клетку с наименьшей стоимостью. Затем то же
проделывают в каждой строке. В результате некоторые клетки имеют отметку √√. В оставшейся
части таблицы перевозки распределяют по наименьшей стоимости.
Цикл – набор клеток вида (i1k2,i2k1), в котором только две соседние клетки расположены в
одном столбце или одной строке распределительной таблицы, причем последняя клетка
находится в том же столбце или в той же строке, что и первая.
Графически циклу соответствует замкнутая ломаная линия. Допустимое решение транспортной
задачи является опорным в том случае, если из занятых этим решение клеток нельзя образовать
ни одного цикла. Если в распределительной таблице содержится опорное решение, то для
каждой свободной клетки можно образовать только 1 цикл.
30. Переход к новому опорному решению ТЗ
В ТЗ переход от одного опорного решения к другому осуществляется с помощью цикла. Для
некоторой свободной клетки таблицы строится цикл, содержащий часть клеток, занятых
опорным решением. По этому циклу перераспределяются объемы перевозок. Для определения
количества единиц груза, подлежащих распределению, отмечаем знаком + клетку, которую
надо загрузить. Это означает, что клетка присоединяется к занятым клеткам. В таблице занятых
клеток стало p+q, поэтому появляется цикл, все вершины которого, за исключением клетки,
отмеченной знаком +, находятся в занятых клетках, причем этот цикл единственный.
Отыскиваем цикл и, начиная движения от клетки, отмеченной знаком +, поочередно
проставляем знаки + и -. Затем находим ‫=ג‬minxij, где xij – перевозки, стоящие в вершинах
цикла, отмеченных знаком -. Величина ‫ג‬
определяет, сколько единиц груза можно
перераспределить по найденному циклу. Значение ‫ ג‬записываем в незанятую клетку,
отмеченную знаком +, двигаясь по циклу, вычитаем ‫ ג‬из объемов перевозок, находящихся в
клетках, отмеченных знаком +. Если ‫ ג‬соответствуют несколько минимальных перевозок, то
при вычитании оставляем в соответствующих клетках нулевые перевозки в таком количестве,
чтобы во вновь полученном опорном плане занятых клеток было p+q-1.
Проверяем полученный план на оптимальность. Ищем потенциалы последней матрицы. Так как
отрицательных оценок нет, построенный план является оптимальным. Если полученный план
окажется неоптимальным, то следует выполнить перечисленные вычисления еще раз. Процесс
выполняют до тех пор, пока все незанятые клетки не будут удовлетворять условию
оптимальности.
Циклы
Циклом называется набор клеток, вида: (L1;K1);( L1;K2);( L2;K2)…( Ls;K1) или (L1;K1);(
L2;K1);( L2;K2)…( L1;Kl), в которых две и только две соседние клетки расположены в
распределительной таблице, причем последняя клетка находится в том же столбце или той же
строке, что и первая. Графически циклу соответствует замкнутая ломанная линия с прямыми
углами. Допустимые решения ТЗ являются опорными, лишь в том случае, если из занятых этим
решением клеток нельзя образовать ни одного цикла. Если в распределительной таблице
содержится опорное решение, то для каждой свободной клетки можно образовать один цикл,
содержащий данную свободную и некоторую часть занятых клеток.
Все вершины цикла кроме одной находятся в занятых клетках; углы прямые, число вершин
четное. никакие 3 соседние клетки не могут быть в одной строке или в одном столбце. Около
свободной клетки цикла ставится знак (+), затем поочередно проставляются знаки(-)и (+). У
вершин со знаком (-) выбирают минимальный груз, его прибавляют к грузам, стоящих у вершин
со знаком (+), и отнимают от грузов у вершин со знаком (-).В результате перераспределения
груза получается новое опорное решение
32. Метод потенциалов.
1. Строят исходное опорное решение (план).
2. Выписывают матрицу затрат С и находят потенциалы Ui и Vk по формуле Cik+Ui+Vk=0 для
все занятых клеток. Один из потенциалов полагают равным произвольнному числу (обычно
полагают Ui=0 потенциал в троке или в столбце с наибольшим количеством занятых клеток).
3. Переходят к оценочной матрице С’, элементы которой находят по формуле C’={Cik},
Cik’=Cik+Ui+Vk.
4. Если все оценки Δst≥0 для свободных клеток, то полученное решение оптимально и найдено.
5. Если хотя бы одна оценка Δst<=0, то для клетки с максимальной по абсолютной величине
отрицательной оценкой строят цикл и переходят к новому опорному решению. Процесс
продолжается до тех пор, пока не будет получено решение, для которого все оценки свободных
клеток будут ≥0.
33. Теорема об эквивалентных преобразованиях матрицы затрат.
Добавление ко всем элементам любой строки или столбца матрицы затрат одного и того же
числа, не меняет оценок свободных клеток.
Эти числа Ui, где i=1,p Vk, где k=1,q добавляют ко всем элементам соответствующей строки
или столбца. Выбирают их или находят из условия (1) Ci k + Ui+ Vk=0 для всех занятых
клеток. Т.к в этой системе p+q неизвестных, а занятых клеток p+q-1, то для определения чисел
Ui; Vk одной из переменных можно придать произвольное значение, тогда остальные
неизвестные определяться однозначно, тогда от матрицы затрат легко перейти к матрице,
элементы которой находятся по формуле: ∆ st=Cst'= Cst+ Us+Vt Для того, чтобы некоторое
опорное решение X={Xik} i=1,p k=1,q было оптимальным, необходимым и достаточно,
чтобы существовала система p +q чисел Ui и Vk , которые удовлетворяли бы условиям (1) Ci
k + Ui+ Vk=0 где i=1,p k=1,q для всех занятых клеток и (2) Ci k + Ui+ Vk ≥0 где i=1,p k=1,q
для всех свободных клеток. Эти два условия и есть критерии оптимальности опорного решения
ТЗ. Эти условия (1) и(2) называются условиями потенциальности, сами числа Ui и Vk
называются потенциалами, а сам метод называется методом потенциалов.
Приращение целевой функции ТЗ
Рассмотрим какое изменение целевой функции Z вызывает перемещение по циклу, начинающее
со свободной клетки(S;T) числа λ.
∆Z=∑λCik-∑λCik=λ( ∑Cik-∑Cik )
Неч четн
неч четн
Величина в скобках не зависит от λ, а только от структуры цикла и величины Сik т к с любой
свободной клеткой связан только один цикл. Эта величина однозначно определяется для
выбранной свободной клетки. Т.е. называют оценкой свободной клетки и обозначается:
∆st=∑Cik-∑Cik => ∆Z=λ∆st т.к λ>0, то для уменьшения Z необходимо чтобы ∆st была меньше
0 (∆st<0)
35. Оценка свободной клетки.
Потенциал Ui u Vj находят из равенства Ui+Vj=Cij, справедливого для занятых клеток. Одному
из потенциалов дается произвольное значение, например U1=0, тогда остальные потенциалы
определяются однозначно. Так, если известен потенциал Ui, то Vj = Cij -Ui ; если известен
потенциал Vj, то Ui = Cij –Vj. Обозначим ∆ij= Ui+Vj-Cij. Эту оценку называют оценкой
свободных клеток. Если ∆≤0, то опорное решение является оптимальным. Если хотя бы одна из
оценок ∆>0, то опорное решение не является оптимальным и его можно улучшить, перейдя от
одного опорного решения к другому.
Обоснование перехода к новому опорному решению.
Переход к новому опорному решению. Пусть выбрана свободная клетка(S;T) это значит, что
Хst вводится в базис и для клетки (S;T) строится цикл. Клетки цикла мысленно нумеруют
начиная с клетки (S;T). Заносится в свободную клетку неизвестное число λ. (λ>0). При этом
значение переменных в нечетных клетках увеличиваются на величину λ, в четныхуменьшаются, такие преобразования называются перемещение по циклу числа λ. Выберем λ
=min{Xik} стоящих в четных клетках цикла. Если при перемещении λ освободится сразу
несколько клеток, оставляем свободную только одну, которой соответствует наибольшее
значение Сik , а остальные клетки заполняем нулями. Рассмотрим какое изменение целевой
функции Z вызывается перемещением по циклу начинающимся в свободной клетки (S;T) числа
λ
∆Z=∑λCik-∑λCik=λ( ∑Cik-∑Cik )
Неч четн
неч четн
Величина в скобках не зависит от λ, а только от структуры цикла и величины Сik т к с любой
свободной клеткой связан только один цикл. Эта величина однозначно определяется для
выбранной свободной клетки. Т.е. называют оценкой свободной клетки и обозначается:
∆st=∑Cik-∑Cik => ∆Z=λ∆st т.к λ>0, то для уменьшения Z необходимо чтобы ∆st была меньше
0 (∆st<0).
36. Критерий оптимальности. Переход к оценочной матрице.
От матрицы затрат переходят к оценочной матрице C’, элементы которой- дельта st= C’st
находят по формуле - st= C’st= Cst+Us+Vt.
Для того, чтобы некоторые опорные решения X= {Xik}, i=1,p, k=1,q транспортной задачи было
оптимальным, необходимо и достаточно чтобы существовала система p+q чисел Ui и Vk,
которые удовлетворяли бы критериям оптимальности:
Cik+Ui+Vk=0 - для всех занятых клеток.
Cik+Ui+Vk>0 - для всех свободных клеток.
37.Открытая модель транспортной задачи.
Транспортная задача, в которой суммарные запасы и потребности совпадают, т.е. выполняется
условие i=1m ai=j=1n bj
Называется закрытой моделью;
в противном случае- открытой.
Для открытой модели может быть два случая:
а) суммарные запасы превышают суммарные потребности i=1m ai > j=1n bi ;
b) суммарные потребности превышают суммарные запасы;
Линейная функция одинакова в обоих случаях, изменяется только вид системы ограничений.
Найти минимальное значение линейной функции z = i=1m j=1n Cij Xij при ограничениях
j=1n xij < ai, i=1,2,…,m,
i=1m xij=bj, j= 1,2,…,n; (случай а)
j=1n xij= ai, i= 1,2,…, m,
i=1m xij< bj, j= 1,2,…, n, (случай б)
Открытая модель решается привидением к закрытой модели .В случае (а), когда суммарные
запасы превышают суммарные потребности, вводится фиктивный потребитель Вn+1,
потребности которого bn+1 = i=1m ai – j=1n bi. В случае (b), когда суммарные потребности
превышают суммарные запасы, вводится фиктивный поставщик Аm+1, запасы которого
am+1 = j=1n bj – i=1mai. Стоимость перевозки единицы груза как до фиктивного
потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика полагают
равными нулю, т.к. груз в обоих случаях не перевозится.
После преобразований задача принимает вид закрытой модели и решается обычным способом.
При равных стоимостях перевозки единицы груза от поставщиков к фиктивному потребителю,
затраты на перевозку груза реальным потребителям минимальны, а фиктивному потребителю
будет направлен груз от наименее выгодны поставщиков. То же самое получаем и в отношении
фиктивного поставщика.
38. Распределительный метод
1. Строим исходное опорное решение, при этом должны оказаться занятыми p+q-1 клеток.
2. Производим оценку свободных клеток, начиная с клетки с наименьшими затратами путем
построения цикла и вычитания по этому циклу величины Δst. Если Δst<0, то переходят к
следующему пункту алгоритма.
3. Перемещают по циклу число А=min{xik}, возвращаются к п.2.
4. Если Δst≥0, то оценивают следующую свободную клетку и т.д.
Если оценки всех свободных клеток окажутся неотрицательными, то оптимальное решение
найдено.
При решении ТЗ распределительным методом метод подсчета оценок свободных клеток
оказывается довольно трудоемким. Этого недостатка лишен метод потенциалов.
39. Постановка задачи ЦП.
Значительная часть экономических задач, относящихся к задачам ЛП требует целочисленного
решения. Это задачи, где переменные величины обозначают количество единиц неделимой
продукции. Задача целочисленного программирования формулируется так же, как и задача ЛП,
но включает дополнительное требование- значения переменных в оптимальном решении
должны быть целыми неотрицательными числами.
Найти min или max значение линейной функции z= j=1n Cjxj при ограничениях j=1n aijxj=
bi, i=1,2,…,m,
xj-целые. xj>0, j=1,2,…,n.
40.Метод Гомори.
Метод решения задачи, предложенный Гомори, основан на симплексном методе и состоит в
следующем. Симплексным методом находится оптимальный план задачи без учета условия
целочисленности. Если оптимальный план целочисленный, то вычисления заканчивают; если
же оптимальный план содержит хотя бы одну дробную компоненту Xi, накладывают
дополнительное ограничение, учитывающее целочисленность компонент плана, и вычисления
симплексным методом продолжают до получения нового оптимального плана . Если и он
является нецелочисленным, то составляют следующее ограничение, учитывающее
целочисленность. Процесс присоединения дополнительных ограничений повторяют до тех пор,
пока либо будет найден целочисленный оптимальный план, либо доказано, что задача не имеет
целочисленных планов. Это наблюдается в случае, если для дробного Xi все Xij в этой строке
окажутся целыми.
Недостатком метода Гомори является требование целочисленности для всех переменных: как
основных, выражающих единицы продукции, так и для дополнительных, выражающих
величину неиспользованных ресурсов, которые могут быть и дробными.
41. Понятие об игровых моделях
Если имеется несколько конфликтующих сторон, каждая из которых принимает некоторое
решение, определяемое заданным набором правил, и каждой из этих сторон известно возможно
конечное состояние конфликтной ситуации с заранее определенными для каждой из сторон
платежами, то говорят, что имеет место игра. Ситуация называется конфликтной, если в ней
участвуют стороны, интересы которых частично или полностью противоположны. Игра – это
конфликт, в котором имеется по крайней мере два участника или игрока, каждый из которых
стремится к достижению своих целей.
Задача теории игр состоит в выборе такой линии поведения игрока, отклонения от которой
могут лишь уменьшить его выигрыш. При этом предполагается, что все игроки ведут себя
рационально.
Допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторых целей,
называются правилами игры. Количественная оценка результатов игры называется платежом.
Ход – это выбор игроком одного из действий, предусмотренных правилами игры. Ходы бывают
личными и случайными. Однозначные описания выбора игрока в каждой из возможных
ситуаций, при которой он должен сделать личный ход, называется стратегий игрока.
Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она
обеспечивает игроку максимальный возможный средний выигрыш.
Классификация игр.
1. Возможность образований коалиций.
Если правила игры разрешают объединение группы участников для получения ими лучших
результатов по сравнению с теми, которых они бы добились, действуя самостоятельно, то такая
игра называется кооперативной. В противной случае игра называется бескоалиционной или
некооперативной.
2. По количеству стратегий.
Если у каждого игрока имеется в распоряжении конечное чило стратегий, то игра называется
конченой, в противном случае - бесконечной.
3. По числу игроков.
В зависимости от числа участников они делятся на игры с двумя, тремя и более игроками. Игра
с двумя игроками называется парной.
4. По свойствам выигрыша.
Игра называется игрой с нулевой суммой, если в любой партии сумма выигрышей всех игроков
равна нулю, т.е. каждый игрок может выиграть лишь за счет проигрыша других игроков. Если
это условие не выполнено, то такая игра называется игрой с ненулевой суммой. В парной игре с
нулевой суммой выигрыш одного игрока всегда равен проигрышу другого. Такая игра
называется антагонистической.
5. По количеству имеющейся априорной информации.
Различают игры с полной информацией о состоянии игры, о стратегиях действий сторон и о
платежной матрице; игры с неполной (вероятностной) информацией о функциях выигрыша, о
стратегиях сторон, об осведомленности сторон (каналах наблюдения); игры в условиях полной
неопределенности.
42. Приведение экономических задач к теоретико-игровой форме.
Пусть имеется два игрока, один из которых может выбрать i-стратегию из m возможных
(i=1,m), а второй, не зная выбор первого – j стратегию из n возможных (j=1,n). В результате
игрок 1 выигрывает величину aij, а второй игрок проигрывает эту же величину. Ясно, что игрок
1 стремится максимизировать эту величину, а игрок 2 – минимизировать.
Составим матрицу А.
( a11 a12 … a1n
)
A=(aij)=
a21 a22 … a2n
…
am1 am2 … amn
Строки этой матрицы соответствуют стратегиям 1 игрока. Столбцы соответствуют стратегиям
второго игрока. Эти стратегии называются чистыми, а матрица А платежной матрицей или
матрицей игры. Игру, определяемую матрицей А, имеющей m строк и n столбцов, называют
конечной игрой размерности m x n. Если такая матрица составлена, то говорят, что игра
приведена к матричной форме. К этой форме можно привести любую конечную парную игру.
Поэтому такие игры называют матричными.
43. Парная конечная игра. Платежная матрица. Maxmin/minmax стратегии.
Пусть имеется два игрока, один из которых может выбрать i-стратегию из m возможных
(i=1,m), а второй, не зная выбор первого – j стратегию из n возможных (j=1,n). В результате 1
игрок выигрывает величину aij, а второй игрок проигрывает эту же величину.
Составим матрицу А.
( a11 a12 … a1n
)
A=(aij)=
a21 a22 … a2n
…
am1 am2 … amn
Строки этой матрицы соответствуют стратегиям 1 игрока. Столбцы соответствуют стратегиям
второго игрока. Эти стратегии называются чистыми, а матрица А платежной матрицей или
матрицей игры. Игру, определяемую матрицей А, имеющей m строк и n столбцов, называют
конечной игрой размерности m x n.
– нижняя цена игры или максимин, а соответствующая ему стратегия
α=max(min aij)
(строка) называется максиминной. Принцип максимина: нужно выбрать
i
j
такую стратегию, чтобы при наихудшем поведении противника получить
максимальный выигрыш.
- верхняя цена игры или минимакс, а соответствующая ему стратегия
β=min(max aij)
(столбец) называется минимаксной.
j
i
Теорема 1. Нижняя цена игры всегда не превосходит верхней цены игры, т.е α≤β
Доказательство: Для любых индексов i и j справедливы соотношения:
αi=min aij ≤ aij ≤ max aij = βj
j=1,n
i=1.m
α=max aij≤βj
Значит, для всех j выполнено неравенство.
i=1.m
Тогда ,
α≤max βj≤β
j=1,n
т.е. α≤β, что и требовалось доказать.
44. Цена игры. Седловые точки.
Если α=β=V, то V называется ценой игры. Игра, в которой α= β, называется игрой с седловой
точкой. Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе максиминной и
минимаксной стратегий, которые являются оптимальными. Каждому из игроков невыгодно
отклоняться от своей оптимальной стратегии, так как это может привести лишь к ухудшению
его положения. Пара оптимальных стратегий игроков образуют решение игры, которое
называется равновесием.
Если игра, заданная матрицей, не имеет седловой точки, то для нахождения ее решения
используются смешанные стратегии. Вектор, каждая из компонент которого показывает
относительную частоту использования игроком соответствующей чистой стратегии, называется
смешанной стратегией данного игрока => сумма компонент данного вектор =1, а сами эти
коэффициенты не отрицательны. Обычно смешанную стратегию I игрока обозначают через
U=(U1, …, Un). Ui≥0, i=1,m.
i=1Σm Ui=1
Стратегии 2 игрока:
Z=(Z1, …, Zn).
Zj≥0, j=1,n.
j=1Σn Zj=1
Всякая матричная игра с нулевой суммой имеет решение в смешанных стратегиях. Если U* оптимальная стратегия I игрока, а Z* - оптимальная стратегия 2 игрока, то число V= j=1Σn
i=1Σm aij Ui* Zj* является ценой игры, а совокупность {U*, Z*, V*} –решением игры. Для того,
чтобы число V было ценой игры, а U* и Z* - оптимальными стратегиями, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства:
i=1Σm aij Ui* ≥ V
j=1Σn aij Zj*≤V
j=1,n
i=1,m
Если один из игроков применяет оптимальную смешанную стратегию, то его выигрыш равен
цене игры V вне зависимости от того, с какими частотами будет применять 2 игрок стратегии,
вошедшие в оптимальные ( в т.ч и чистые стратегии).
45. Графическо представление игры при n=2
Предположим, что игрок 1 имеет m чистых стратегий, а игрок 2 - две чистых стратегии.
Тогда платежная матрица игры выглядит так:
a11
a12
A=
a21
a22
…
…
am1 am2
Множество смешанных стратегий игроков имеет следующий вид:
- для игрока 1 – U={u=(u1,….,um), u1 + … + um=1; xi>=0, i=1,m};
- для игрока 2 – Z={z=(1-t, t), 0=<t=<1}
Обозначим R1(t), i=1,m – проигрыш игрока 2 в ситуации, когда он выбрал смешанную
стратегию y=(1-t, t), а игрок 1 – свою чистую стратегию. Тогда ясно, что R1(t)=ai1(1-t)+ai2t.
Обозначим R(t)=max Ri(t), 1=<i=<m. Для игрока 2 оптимальной будет стратегия у*=(1-t*, t*),
которой соответствует значение t*, дающее минимум функции R(t) на отрезке [0;1]. Функция
R(t) будет выпуклой кусочно-линейной функцией на отрезке [0;1]. Она является верхней
огибающей семейства прямых {Ri(t), i=1,m}, а ее минимум равен цене игры.
Тогда согласно Теореме 1 все стратегии игрока 1, для которых R1(t*)=v*, могут быть
отброшены. Как правило, активными будут лишь две стратегии этого игрока, что также
позволяет свести решение игры m x 2 к случаю 2 х 2.
Теорема 1. Если выигрыш игрока 1 в ситуации, образованной его чистой стратегией и
оптимальной стратегией другого игрока, меньше цены игры, то такая чистая стратегия не
может быть активной, и в любой оптимальной чистой стратегии вероятность ее использования
равна нулю.
Проиллюстрируем использование графического метода в этом случае на примере.
Нужно найти решение игры, задаваемое матрицей.
-2
3
A=
2
-1
-1
1
(
(
)
)
Проверим, есть ли у этой игры решение в чистых стратегиях. Для этого найдем max(i)min(j)
aij = max {-2, -1, 1}=-1 и min(j)max(i) aij = min {2, 3}=2. Так как они не равны друг другу, то
решения в чистых стратегиях нет.
На оси Ot плоскости tOR отложим единичный отрезок [0, 1]. Каждой его точке t
соответствует смешанная стратегия y=(1-t, t) игрока 2. Затем через точки 0 и 1 проведем линии,
перпендикулярные оси Ot. На первом перпендикуляре, совпадающим с осью OR, отложим
значения элементов первого столбца матрицы А – проигрыши игрока 2 при выборе им чистой
стратегии В1. На втором перпендикуляре отложим значения элементов второго столбца –
проигрыши игрока 2 при выборе им чистой стратегии В2. Затем соединим отрезками прямых
точки на перпендикулярах, соответствующие чистым стратегиям игрока 1 – строкам матрицы
А. Эти отрезки прямых являются графиками функций R1(t), задаваемых следующими
уравнениями:
R1|(t) = -2(1-t) + 3t = -2+5t
R2|(t) = 2(1-t) - t = 2-3t
R3|(t) = -(1-t) + t = -1+2t
Затем построим из верхнюю огибающую – график функции R(t). На рисунке (1) она
представлена ломаной АВС. Ее точка В, имеющая минимальную ординату, является
графическим решением игры.
Из рисунка (1) видно, что точка В лежит на пересечении отрезков прямых R1 и R2. Значит,
активными стратегиями игрока 1 являются стратегии А1 и А2. Стратегия А3 в его оптимальной
стратегии не используется, т.е. х3*=0. Поэтому третью строку матрицы А можно вычеркнуть и
рассмотреть игру с платежной матрицей
-2 3
x1
А’=
2 -1
x2
y1 y2
(
)
Для определения цены этой игры и оптимальной смешанной стратегии игрока 1 следует
решить систему уравнений:
-2х1+2х2=v
3x1-x2=v
x1+x2=1.
x1*=3/8, x2*=5/8, v*=1/2.
Для нахождения коэффициентов активных стратегий игрока 2 нужно решить систему
уравнений:
-2y1+3y2=1/2
y1+y2=1
Ее решение y1*=1/2, y2*=1/2. Итак, исходная игра имеет решение: х*=(3/8; 5/8; 0), y*=(1/2;
½), v*=1/2.
Графический метод для игры 2 x n.
ГМ применяется к играм, в которых хотя бы один игрок имеет 2 стратегии. Рассмотрим игру 2 x
n. Пусть игра не имеет седловой точки. Обозначим: х1 –вероятность применения первым
игроком 1 стратегии, х2 – 2 стратегии. х2=1-х1; у1 – вероятность применения 2 игроком первой
стратегии, yn – n-ой стратегии. Ожидаемый выигрыш первого игрока при применении вторым
игроком 1 стратегии составляет: a11x1 + a21x2 = a11x1 + a21(1-x2) = a11x1 + a21 – a21x1 = (a11a21)x1+a21. Ожидаемый выигрыш перового при применении вторым n стратегии (a1na2n)x1+a2n. Ожидаемый выигрыш первого зависит от х1. На оси Х1 строим выражения
ожидаемых выигрышей первого. Оптимальная стратегия первого – точка пересечения прямых,
максимизирующих его min ожидаемый выигрыш Оптимальная стратегия второго – точка
пересечения прямых, минимизирующих его max ожидаемый проигрыш.
46. Решение матричной игры в чистых стратегиях
Если имеются седловые точки (α=β), то игра решается в чистых стратегиях. Для игры с
седловой точкой нахождение решения состоит в выборе максиминной и минимаксной
стратегий, которые являются оптимальными. Они определяются соответственно по формулам:
α=max(min aij) и β=min(max aij).
Пример:
Игрок 1: стратегии А1, А2, А3. Игрок 2: стратегии В1, В2, В3.
В1=1
В2=2
В3=3
А1=1
0
-1
-2
А2=2
1
0
-1
А3=3
2
1
0
Составим плетжную матрицу:
0 -1 -2
1 0 -1
2 0 0
α=max(-2, -1, 0)=0
β =min(2, 1, 0)=0
α=β=V=0 – седловая точка. Оптимальная стратегия 1 А3, 2 – В3. Отклонение 1 от оптимальной
стратегии уменьшит его выигрыш, отклонение 3 от В3 увеличит его проигрыш.
А=
(
)
47. Решения игр в смешанных стратегиях
Смешанная стратегия игрока — это полный набор его чистых стратегий при многократном
повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Для применения
смешанных стратегий требуются следующие условия:
 в игре отсутствует седловая точка;
 игроками используется случайная смесь чистых стратегий с соответствующими
вероятностями;
 игра многократно повторяется в одних и тех же условиях;
 при каждом из ходов один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;
 допускается усреднение результатов игр.
Любая парная конечная игра с нулевой суммой имеет по крайней мере одно решение в
смешанных стратегиях. Оптимальное решение игры в смешанных стратегиях обладает
следующим свойством: каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной
смешанной стратегии, если его противник применяет оптимальную смешанную стратегию, так
как это ему невыгодно. Стратегии игроков в их оптимальных смешанных стратегиях
называются активными.
Теорема. Применение оптимальной смешанной стратегии обеспечивает игроку
максимальный средний выигрыш (или минимальный средний проигрыш), равный цене игры
γ, независимо от того, какие действия предпринимает другой игрок, если только он не
выходит за пределы своих активных стратегий.
Пусть вектор U=(U1,… Un) – стратегия игрока 1. Ui≥0, i=1,m. i=1Σm Ui=1, а вектор
Z=(Z1,… Zn) – стратегия игрока 1. Zj≥0, j=1,m. j=1Σn Zj=1.Смешанные стратегии игроков 1 и 2
обозначим через S1 = (p1p2,…, pm) и S2 =(q1, q2,…,qn), где pi≥0, qi≥0. i=1Σm=1, j-1Σn=1. p1, p2,
pm - вероятности использования первым игроком стратегий U=(U1,… Un), q1, q2,…,qn вероятности использования вторым игроком стратегий Z=(Z1,… Zn)
Зная платежную матрицу А, можно определить средний выигрыш (математическое
ожидание) M(A,p’, q’) = i=1Σm j=1Σn aij pi qj, где р и q —векторы, с компонентами p1p2,…, pm
и q1, q2,…,qn соответственно.
Игрок I, применяя свои смешанные стратегии, стремится увеличить свой средний выигрыш,
достигая α=maxmin M(A,p’, q’). Игрок II добивается: β =minmax M(A,p’, q’).
48. Приведение матричной игры к задаче ЛП.
Рассмотрим игру m x n с матрицей А. Для оптимальной стратегии I игрока U*(U1, Un) и цене V
Должно выполняться неравенств: i=1Σm aij Ui*≤V. Предположим, что цена игрыV>0
(добавлением ко всем элементам А числа С оптимальная стратегия не изменяется, цена
увеличивается на С). Разделим обе части неравенства на V. : i=1Σm aij U1*/V≥1, U1*/V=yi* 
Σ ai yi*≥1, yi*≥0, тогда ΣUi*=1, через Σyi=1/V. Т.к. I стремится получить максимальный
выигрыш, то он должен обеспечить минимальную величину 1/V  определение оптимальной
стратегии сводится к нахождению значения функции: F*=Σyi (min) при условиях:
Σaijyi≥1, j=1,n, yi≥0, i=1,m. Аналогично i=1Σm aijZj*≤V, j=1,n
Σaij Zj*/V≤1, Zj*/V=Xi*; ΣaijXi*≤1, Xj*≥0, j=1,n
Σaijxj ≤1, xj≥0, j=1,n
Чтобы найти решение игры, надо составить пару двойственных задач и решить их.
49. Динамическое программирование - раздел математического программирования, в
котором процесс принятия решения и управления может быть разбит на отдельные шаги. ДП
позволяет свести одну сложную задачу со многими переменными ко многим задачам с малым
числом переменных. ДП позволяет осуществить оптимальное планирование многошаговых
управляемых процессов и процессов, зависящих от времени. Экономический процесс
называется управляемым, если можно повлиять на ход его развития. Управлением называется
совокупность решений, принимаемых на каждом этапе с целью влияния на ход процесса.
Началом этапа управляемого процесса считается момент принятия решения. Планируя
многоэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. при принятии
решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель.