Условие 1 Задание 26 № 78. Через середину K медианы BM

№
Условие
1
Задание 26 № 78. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
Решение.
Проведём отрезок MT, параллельный AP. Тогда MT — средняя линия треугольника APC и CT = TP, а KP — средняя линия треугольника BMT и TP = BP. Обозначим
площадь треугольника BKP через . Тогда площадь треугольника KPС, имеющего ту
же высоту и вдвое больше основание, равна . Значит площадь треугольника CKB равна
и равна площади треугольника СMK (треугольники имеют одну высоту, проведённую из вершины С, и равные равные основания), которая в свою очередь равна площади треугольника AMK.
Площадь
треугольникаАВК равна
площади
треугольника АМК.
Итак,
Значит,
О т в е т : 0,6.
№
Условие
2
Задание 26 № 339886. Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из точек B и C, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках B1 и C1. Оказалось, что отрезок B1C1 проходит через центр
описанной окружности. Найдите угол BAC.
Решение. Введём обозначения как показано на рисунке. Отрезок
проходит
через
центр
описанной
окружности,
следовательно,
—
диаметр.
Углы
и
— вписанные и опираются на одну и ту же дугу, значит,
они равны. Из прямоугольного треугольника
Из
прямоугольного
треугольника
Рассмотрим прямоугольный
треугольник
№
3
углы
и
равны, значит
О т в е т : 45°.
Условие
Задание 26 № 340325. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так,
что BK:KM = 4:1.Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
Решение.
Проведём построения как показано на рисунке.
Пусть площадь треугольника
равна Медиана делит треугольник
на
два
равновеликих
треугольника,
значит,
У треугольников
ту
тогда
и
можно провести общую высо-
Откуда
Аналогично треугольники
и
имеют одну высоту, откуда
Выразим площадь треугольника
Проведём
прямую
параллельную
Прямая
—
параллельна
следовательно,
— средняя линия, значит,
Рассмотрим треугольники
и
угол
—
общий, углы
и
равны как соответственные углы при параллельных прямых, откуда:
Значит,
ям
Аналогично
рассмотренным
Следовательно,
ка
можно выразить иначе:
требуемое отношение:
Заметим,
следовательно,
Ответ:
выше
что
площадь
случатреугольниНайдём
Условие
Задание
26 № 340855. В
трапеции ABCD боковая
сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через
точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от
точки E до прямой CD, если AD = 14, BC= 12.
Решение.
Пусть T — точка пересечения прямых AB и CD, P — проекция
точки E на прямую CD, Q— проекция точки C на прямую AD (см.
рис.). Обозначим ∠CDA = a, CD = x.
Поскольку QD = AD − AQ = AD − BC = 2, получаем,
4
что
Из подобия треугольников TBC и TAD находим, что TC = 6x.
Поэтому
Следовательно,
Ответ:
№
5
Условие
Задание 26 № 341345. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так,
что BK : KM = 7 :3 . ПрямаяAK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади четырёхугольникаKPCM.
Решение.
Медиана KM разбивает треугольник AKC на два равновеликих
треугольника — пусть их площади равны по 3S. Поскольку
получаем, что
Пусть
да
и
Тогда
Далее,
а
тогда
есть
отсю-
то
и
Получаем, что
О т в е т : 49 : 81.
№
Условие
Задание
26 № 341397. Из
вершины
прямого
угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус
окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 96,
6
тангенс угла BAC равен
Найдите радиус окружности,
вписанной в треугольник ABC.
Решение.
Заметим, что ∠CAB = 90° − ∠CBA = ∠PCB, так что
треугольник ABC подобен треугольнику CBP.
Пусть
тогда
Значит,
радиус
окружности,
вписанной
Поскольку тангенс угла BAC равен
откуда r = 204.
в
треугольник ABC,
получаем, что,
равен r,
№
Условие
Задание 26 № 341512. На стороне AB треугольника ABC взята точка D так,
что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC.
Найдите AD, если AC = 40, BC = 34 и CD = 20. Решение. Из теоремы об
угле между касательной и хордой следует, что ∠BCD = ∠CAD = ∠CAB,
значит, треугольник ABC подобен треугольнику CBD по двум углам,
7
причём коэффициент подобия равен
Следовательно,
(см. рисунок). Тогда
О т в е т : 51.
№
Условие
8
Задание 26 № 311703. Длина катета
прямоугольного треугольника
равна 8 см. Окружность с диаметром
пересекает гипотенузу
в точке . Найдите площадь треугольника
,
если известно, что
.
Решение. Пусть
см,
см и
см. Поэтому гипотенуза
см. По теореме Пифагора:
.
По теореме о секущей и касательной
.
Следовательно,
, откуда
Тогда
.
.
Следовательно, площадь треугольника равна
Ответ:
.
№
Условие
9
Задание 26 № 314829. На рисунке изображён колодец с «журавлём».
Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько
метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Здесь AC — положение «журавля» до опускания, BD — положение после опускания, AH —
высота, на которую поднялся конец короткого плеча, CK — высота, на
которую опустился конец длинного.
В равнобедренных треугольниках AOB и COD углы AOB и COD,
противолежащие основаниям, равны как вертикальные, поэтому
равны и углы при их основаниях. Тем самым, эти треугольники
подобны по двум углам, и
Накрест лежащие углы 1 и 2, образованные при пересечении
секущей BD прямых AB и CD,
равны,
поэтому
прямыеAB и CD параллельны. Тогда стороны углов 3 и 4 попарно параллельны, а значит, эти углы равны.
Следовательно, прямоугольные треугольники AHB и CDK подобны, поскольку имеют равные острые углы. Имеем:
О т в е т : 1,5.
10
Задание 26 № 314866. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K,
длина стороныAC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника ABK к
площади четырёхугольникаKPCM.
Решение.
Пусть площадь треугольника
равна Медиана делит
треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому
Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:
Откуда
Рассмотрим треугольник
— биссектриса, следовательно:
Откуда
Выразим площадь треугольника
Найдём отношение площади треугольника
к площади четырёхугольника
Ответ:
Условие
11
рассмотрим треугольник
Поскольку кроме этого
Задание 26 № 315126. Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BCв её середине. Найдите длину стороны AC, если радиус описанной окружности треугольника ABC равен 7.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник
— он равнобедренный,
следовательно,
. Аналогично в треугольнике
имеем:
Теперь
: сумма его углов равна 180°, поэтому
имеем:
Рассмотрим
треугольники
и
они
прямоугольные,
имеют
общий
катет
и
равно
следовательно, эти треугольники равны, а значит,
.
Точка отстоит на равное расстояние от всех трёх вершин треугольника,
, следовательно, точка — центр окружности, описанной около треугольника
. Найдём сторону
О т в е т : 28.
№
Условие
12
Задание 26 № 314944. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 16. Окружность
радиуса 12 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и
касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение. Введём обозначения, приведённые на рисунке.
Лучи
и
—
соответственно
биссектрисы
углов
и
, поскольку эти лучи проходят через центры
вписанных окружностей. — середина основания
сле-
угольные и имеют равные углы
довательно
Углы
и
равны
друг другу, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники
и
— они прямои
, следовательно эти треугольники подобны:
Отсюда следует, что радиус вписаной окружности:
Ответ:
№
Условие
Задание 26 № 316361. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь
равна 18.
Решение.
Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника
проведём медиану
и высоту
Тогда
13
В прямоугольном треугольнике
катет
равен половине гипотенузы
Следовательно,
поэтому
О т в е т : 15°, 75° .
№
Условие
14
Задание 26 № 333323. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и
имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника ABC .
Решение.
Пусть — точка пересечения отрезков
и
(см. рис.). Треугольник
— равнобедренный, так как его биссектриса
является
высотой. Поэтому
;
.
По свойству биссектрисы треугольника
Проведём через вершину
мой с продолжением медианы
Из
му
подобия
и
прямую, параллельную
. Тогда
треугольников
Следовательно
и
следует,
;
;
Ответ:
;
;
. Пусть
— точка пересечения этой пря-
что
Поэто-
№
Условие
15
Задание 26 № 339413. Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM = 17
и MB = 19. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.
Решение.
Угол
равен половине дуги на которую он опирается, поскольку
это угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведённой через точку касания. Угол
— вписанный, поэтому он
также
равен
половине
дуги,
на
которую
опирается.
Углы
и
опираются на одну и ту же дугу, следовательно,
они равны. Рассмотрим треугольники
и
угол
—
общий, углы
и
равны, следовательно, треугольники подобны, откуда
Биссектриса угла делит сторону тре-
угольника на отрезки, пропорциональные прилежащимсторонам:
Получаем:
Найдём
Ответ:
№
Условие
Задание 26 № 339451. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 38°, 78° и 64°.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Отрезки касательных,
проведённые
из
одной
точки
равны,
поэтому
Следовательно,
треугольники
— равнобедренные, поэтому в каждом треугольнике углы при основании равны. Угол
— вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Угол
образован хордой и касательной, следовательно, он равен половине величины
дуги,
которую
заключает.
Значит,
Сумма углов треугольника
равна 180°. Найдём угол
16
Аналогично, из треугольников
ем,
О т в е т : 24°; 104°; 52°.
и
получа-
№
Условие
17
Задание 26 № 339514. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K,
длина стороныAC относится к длине стороны AB как 9:7. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
Решение.
Пусть площадь треугольника
равна Медиана
делит треугольник на два равновеликих треугольника,
поэтому
Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим
сторонам, то есть:
Откуда
Рассмотрим треугольник
но:
Откуда
— биссектриса, следователь-
Выразим площадь треугольника
Найдём отношение площади треугольника
к площади четырёхугольника
Ответ:
№
Условие
Задание 26 № 340133. В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 84, AC = 98, точка O — центр окружности, описанной
около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO,
пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
Решение.
Проведём построения как показано на рисунке. Угол
— вписанный и опирается на диаметр, значит, угол
— прямой. Рассмотрим
треугольники
и
они
прямоугольные,
угол
— общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда:
18
Угол
— вписанный и опирается на диаметр, следовательно, он прямой. Рассмотрим треугольники
и
они прямоугольные, угол
— общий, следовательно, эти треугольники
подобны. Откуда
Подставляя выше найденное равенство:
О т в е т : 26.
№
19
Условие
Задание
26 № 311252. Стороны
Точка расположена вне треугольника
от
Известно, что треугольник с
угла
если
треугольника
равны
причем отрезок
пересекает отрезок
вершинами
и подобен исходному.
Решение.
Рассмотрим подобные треугольники
и
ствие между их углами.
—наибольшая сторона треугольника
больший
угол
треугольника
Так
соответственно.
в точке, отличной
Найдите косинус
и установим соответа значит,
как
в
— наитреугольни-
ке
есть тупой угол, то в треугольнике
это угол
Следовательно, угол
треугольника
не равен углу
треугольника
Он также не равен
углу
т. к. больше его (луч
проходит между лучами
и
). Следовательно,
. По
теореме косинусов в треугольнике
имеем:
Ответ:
№
Условие
Задание 26 № 340065. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 40:1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 30.
Решение.
Проведем построения и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим тре-
20
угольник
— биссектриса, по свойству биссектрисы:
Рассмотрим треугольник
— биссектриса, по свойству биссектрисы:
Складывая два получившихся равенства, получаем:
Таким образом, периметр треугольника
равен 1230.
О т в е т : 1230.
№
Условие
22
Задание 26 № 311708. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, проведена биссектриса угла A. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведённый к стороне BC в
точке K. Найдите угол BCK, если известно, что угол ACB равен 40°.
Решение.
Так как биссектриса острого угла прямоугольного треугольника
не
может быть перпендикулярна
, то биссектриса угла и серединный перпендикуляр к
имеют ровно одну общую точку.
Пусть — середина
. Рассмотрим окружность, описанную
около
. Пусть серединный перпендикуляр к
пересекает меньшую
дугу
в точке (см. рисунок), тогда точка является серединой этой
дуги, ⌣
=⌣
. Но тогда
как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, а отсюда
— биссектриса
. Но это означает,
что точка совпадает с точкой , то есть с точкой пересечения серединного перпендикуляра к
и
биссектрисой
. Заметим, что
как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги.
Пусть
. Четырехугольник
— вписанный, поэтому
, то есть
, откуда
Так как точки и совпадают,
Ответ: 25°.
№
Условие
23
Задание 26 № 314867. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 1. Найдите площадь трапеции.
Решение.
Пусть точка — середина стороны
Поскольку
то треугольник
— равнобдеренный. Угол
при вершине этого треугольника равен 60°, следовательно углы
при основании равны
значит, треугольник
— равносторонний.
Угол
равен
Аналогично получаем, что треугольник
— равносторонний.
Yfql`v угол
Аналогично двум предыдущим треугольникам
получаем, что треугольник
— равносторонний. Получили, что площадь трапеции равна сумме
площадей трёх равных равносторонних треугольников:
Ответ:
№
Условие
Задание 26 № 333159. Окружности радиусов 60 и 90 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие
касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Решение.
Линия центров касающихся окружностей проходит через
их точку касания, поэтому расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, т. е. 150. Опустим перпендикуляр OP из центра меньшей окружности на радиус
второй окружности. Тогда
24
Из прямоугольного треугольника
Опустим перпендикуляр
находим, что
из точки
бен прямоугольному треугольнику
на прямую
. Прямоугольный треугольник
по двум углам, поэтому
подо-
. Следовательно.
О т в е т : 144.
№
Условие
25
Задание 26 № 340237. На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC = 12, BC = 18 и CD = 8.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как показано на
рисунке. Угол, образованный касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, поэтому угол
равен
половине дуги
Вписанный угол равен половине дуги, на
которую он опирается, поэтому угол
равен половине
дуги
Следовательно, углы
и
равны. Рассмотрим
треугольники
и
углы
и
равны,
угол — общий, значит, треугольники подобны. Откуда
Значит,
О т в е т : 15.
№
и
Таким образом
Условие
26
Задание 26 № 339402. На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB ≠ AC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 27, MD = 18, H — точка
пересечения высот треугольникаABC. Найдите AH.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как указано на
рисунке. Угол
— вписанный, опирающийся на диаметр,
поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых
и
— точка пересечения высот
Продолжим
высоту
до пересечения с окружностью в точке Получаем, что
По теореме о секущих получаем,
что
Треугольники
и
— прямоугольные, угол
—
общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:
О т в е т : 15.
21
Задание 26 № 311581. Окружность проходит через вершины
и
треугольника
и пересекает его стороны
и
в точках
и
соответственно. Отрезки
и
перпендикулярны. Найдите
, если
= 20°.
Решение.
Из
имеет
= 90° − 20° = 70°, тогда
= 180° − 70° = 110°.
Далее
, так как они опираются на одну дугу окружности:
следовательно,
.
В
четырёхугольнике
имеем
= 360° − 90° − 2 · 110° = 50°.
Ответ: 50°.