1. Укажите номера верных утверждений. 1) В тупоугольном

1. Укажите номера верных утверждений.
1) В тупоугольном треугольнике все углы тупые. 2) В любом параллелограмме
диагонали точкой пересечения делятся пополам.
3) Точка, лежащая на серединном
перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.
2. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите
радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до
точки О равно 6.
3.Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Найдите
длину хорды АВ, если радиус окружности равен 8.
4. Лестницу длиной 2 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится
верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,2 м?
5.Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны
соответственно. Точка K
расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке,
отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному.
Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°
6. В параллелограмме KLMN точка A — середина стороны LM. Известно, что KA=NA.
Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
7. Точка О – центр окружности, ∠AOB=84°. Найдите величину угла ACB (в градусах).
8.В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны AB. Известно, что KC=KD.
Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
9. Боковая сторона трапеции равна 3, а один из прилегающих к ней углов равен 30°.
Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 6.
10.Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Вокруг любого треугольника можно описать окружность.
2) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот
параллелограмм —квадрат.
3) Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту
11. Точка О – центр окружности, ∠AOB=130° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB
(в градусах).
12. Боковая сторона трапеции равна 4, а один из прилегающих к ней углов равен 30°.
Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 5.
13. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то
прямые параллельны.
2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
3) Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон.
14. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
2) Диагонали прямоугольника равны.
3) У любой трапеции боковые стороны равны.
15. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны
и 2 соответственно. Точка K
расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке,
отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному.
Найдите косинус угла AKC, если
∠ KAC >90°
16. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 2 м, если длина его
тени равна 1 м, высота фонаря 9 м?
.17. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны
и 2 соответственно. Точка
K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в
точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен
исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°
18. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите,
что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD
19. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 6. Окружность радиуса 4,5 с
центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и
касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC
20. Точка О — центр окружности, ∠BOC=160° (см. рисунок). Найдите величину угла
BAC (в градусах).
21. Сторона ромба равна 36, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из
вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
22. Сторона ромба равна 30, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из
вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
23. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с
центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и
касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC
24. Сторона ромба равна 32, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из
вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
25. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а
длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец
короткого
поднимется на 0,5 м?
26. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O . Докажите,
что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOB
27. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая,
пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABC к
площади четырёхугольника KPCM
28. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите
радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до
точки О равно 8.
.
29. От столба высотой 12 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 4 м от
земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 15 м. Вычислите длину провода.
.
30. Лестницу длиной 3,7 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится
верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,2 м?
.31. Найдите тангенс угла В треугольника ABC, изображённого на рисунке.
32. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
.
33. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25°
и 30°. Найдите больший угол параллелограмма.
34. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен
75°. Найдите величину угла ODC.
35. Лестницу длиной 2,5 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится
верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 0,7 м?
36. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая,
пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника
KPCM к площади треугольника AMK
37. В треугольнике ABC угол C прямой, BC=6, sinA=0,6. Найдите AB.
38. Укажите номера верных утверждений.
1) Диагонали любого прямоугольника равны.
2) Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный.
3) Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
39. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и
50°. Найдите меньший угол параллелограмма.
40. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении,
находится на высоте 15 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места
крепления троса на земле равно 8 м. Найдите длину троса.
41. Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с
основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 40° соответственно.
42. Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей
сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной
окружности треугольника ABC.
43. Лестницу длиной 3 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится
верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,8 м?
44. В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на
рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.
45. В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен
70°. Найдите величину угла OCD.
46. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен
25°. Найдите величину угла OCD.
47. От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на
высоте 3 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до
столба равно 8 м.
48. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
49. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
50. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K —середины сторон АВ, ВС, СА
соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
51. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен
55°. Найдите величину угла ODC
52. Укажите номера верных утверждений.
1) Существует квадрат, который не является прямоугольником.
2) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
3) Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и
секущей, равны.
53. Укажите номера верных утверждений.
1) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого
треугольника, то треугольники подобны.
2) Сумма смежных углов равна
180°
3) Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой
54. В треугольнике ABC угол C прямой, AC=6, cosA=0,6. Найдите AB.
55. В треугольнике ABC угол C прямой, BC=8, cosB=0,8. Найдите AB.
56. Из вершины прямого угла C треугольника ABCпроведена высота CP. Радиус
окружности, вписанной в треугольник ACP, равен 4, тангенс угла BAC равен 0,75.
Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC
57. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
58. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
59. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина
стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади
треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM
60. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой
стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 1. Найдите площадь трапеции.
61. От столба высотой 12 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от
земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 12 м. Вычислите длину провода.
62. Укажите номера верных утверждений.
1) Центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника
совпадают.
2)Существует параллелограмм, который не является прямоугольником.
3) Сумма углов тупоугольного треугольника равна
180°
63. Точка О – центр окружности, ∠AOB =72° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB
(в градусах).
.
64. Точка О – центр окружности, ∠ACB =24° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB
(в градусах).
65. Точка О – центр окружности, ∠ACB =25° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB
(в градусах).
66. Точка О – центр окружности, ∠AOB =128° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB
(в градусах).
67. Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30°.
Найдите площадь трапеции, если её основания равны 3 и 9.
68. Человек, рост которого равен 1,6 м, стоит на расстоянии 17 м от уличного фонаря. При
этом длина тени человека равна 8 м. Определите высоту фонаря (в метрах).
69. Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 4 м от уличного фонаря. При
этом длина тени человека равна 1 м. Определите высоту фонаря (в метрах).
70. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
2) Диагонали прямоугольника равны.
3) У любой трапеции основания параллельны.
71. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны
. Точка K расположена вне
треугольника ABC, причём отрезок KCпересекает сторону AB в точке, отличной от B.
Известно, что треугольник с вершинами , A и C подобен исходному. Найдите косинус
угла AKC, если ∠KAC>90°
72. В параллелограмме ABCD точка E —середина стороны CD. Известно, что EA =EB.
Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник
73. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой
стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.
74. Точка О – центр окружности, ∠AOB =70° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB
(в градусах).
75. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой
окружности.
2) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы
равны, то эти прямые параллельны.
3) У равнобедренного треугольника есть центр симметрии.
76. Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 11 м от уличного фонаря. При
этом длина тени человека равна 9 м. Определите высоту фонаря (в метрах).
77. В параллелограмме KLMN точка B — середина стороны LM. Известно, что BK=BN.
Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
78. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой
стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.
79. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны
и 1 соответственно. Точка K
расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке,
отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному.
Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC >90°
80. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его
тени равна 9 м, высота фонаря 4 м?
81. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его
тени равна 9 м, высота фонаря 5 м?
82. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую,
перпендикулярную этой прямой.
2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 не существует.
3) Сумма квадратов диагоналей прямоугольника равна сумме квадратов всех его сторон.
83. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны
соответственно. Точка K
расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке,
отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному.
Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC >90°
84. Точка О – центр окружности, ∠ACB =62° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB
(в градусах).
85. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то
прямые параллельны.
2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.
86. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC =ED.
Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
87. Точка О – центр окружности, ∠ACB =32° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB
(в градусах)
88. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны
и 1 соответственно. Точка K
расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке,
отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному.
Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC >90°
89. Боковая сторона трапеции равна 4, а один из прилегающих к ней углов равен 30°.
Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 7.
90. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Вокруг любого треугольника можно описать окружность.
2) Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних односторонних
углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
3) Площадь треугольника не превышает произведения двух его сторон.
91. В параллелограмме KLMN точка E — середина стороны KN. Известно, что EL =EM.
Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
92. Точка О – центр окружности, ∠ACB =65° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB
(в градусах)
93. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны
и 1 соответственно. Точка K
расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке,
отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному.
Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC >90°
94. Точка О – центр окружности, ∠AOB =110° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB
(в градусах).
95. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 7, а один из углов между боковой
стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.
96.Точка О – центр окружности, ∠ACB =70° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB
(в градусах).
97.На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его
тени равна 1 м, высота фонаря 9 м?
98.Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны
и 1 соответственно. Точка
K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в
точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен
исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠ KAC >90°
99. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны CD. Известно, что MA=MB.
Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
100. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой
стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.
101. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Против большей стороны треугольника лежит меньший угол.
2) Любой квадрат можно вписать в окружность.
3) Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
102. В параллелограмме KLMN точка E — середина стороны LM. Известно, что EK=EN.
Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
103. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) У равнобедренного треугольника есть ось симметрии.
2) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм
— квадрат.
3) Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой
окружности.
104. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны
и 2 соответственно.
Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB
в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен
исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠ KAC >90°
105. Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 16 м от уличного фонаря.
При этом длина тени человека равна 9 м. Определите высоту фонаря (в метрах).
106. В параллелограмме KLMN точка A— середина стороны KN. Известно, что AL=AM.
Докажите, что данный параллелограмм —прямоугольник.
107. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны
и 1 соответственно. Точка
K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в
точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и Cподобен
исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠ KAC >90°
108. Человек, рост которого равен 2 м, стоит на расстоянии 3,5 м от уличного фонаря. При
этом длина тени человека равна 1 м. Определите высоту фонаря (в метрах)..
.
109. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны
,
и 1 соответственно.
Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB
в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен
исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠ KAC >90°
110. В параллелограмме ABCD точка M —середина стороны AB. Известно, что MC=MD.
Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
111. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 6, а один из углов между боковой
стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.
112. Боковая сторона трапеции равна 3, а один из прилегающих к ней углов равен 30°.
Найдите площадь трапеции, если её основания равны 3 и 9.
113. В параллелограмме KLMN точка B — середина стороны KN. Известно, что BL=BM.
Докажите, что данный параллелограмм —прямоугольник.
114. Человек, рост которого равен 1,6 м, стоит на расстоянии 3 м от уличного фонаря. При
этом длина тени человека равна 2 м. Определите высоту фонаря (в метрах).
115. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его
тени равна 8 м, высота фонаря 5 м?
116. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны CD. Известно, что KA=KB.
Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
117. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную
этой прямой.
2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
3) Если в ромбе один из углов равен
90°, то такой ромб — квадрат.
118. Боковая сторона трапеции равна 3, а один из прилегающих к ней углов равен 30°.
Найдите площадь трапеции, если её основания равны 1 и 7.
119. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его
тени равна 2 м, высота фонаря 4 м?
120. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой
стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.
121. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Против большей стороны треугольника лежит больший угол.
2) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
3) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
122. Сторона ромба равна 26, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из
вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
123. Точка О — центр окружности, ∠BOC=100° (см. рисунок). Найдите величину угла
BAC (в градусах).
124. Сторона ромба равна 60, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из
вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
125. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
3) У равностороннего треугольника есть центр симметрии.
126. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) На плоскости существует единственная точка, равноудалённая от концов отрезка.
2) В любой треугольник можно вписать окружность.
3) Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм
является ромбом.
127. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Через две различные точки на плоскости проходит единственная прямая.
2) Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения его
биссектрис.
3) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
равны гипотенузе и углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники
равны.
128. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а
длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец
короткого поднимется на 1,5 м?
129. Точка О — центр окружности, ∠BAC=40° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC
(в градусах).
130. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите,
что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BOC
131. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите,
что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKB
132. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 18. Окружность радиуса 12
с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и
касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной
треугольник ABC
133. Точка О — центр окружности, ∠BOC=70° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC
(в градусах)
134. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
2) Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник —
ромб.
3) Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра.
135. Сторона ромба равна 24, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из
вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
136. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) На плоскости существует единственная точка, равноудалённая от концов отрезка.
2) Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения его
биссектрис.
3) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
равны гипотенузе и углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники
равны.
137. Точка О — центр окружности, ∠BAC=60° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC
(в градусах).
138. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите,
что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника COD
139. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите,
что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника CMD
140. Сторона ромба равна 20, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из
вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
141. Точка О — центр окружности, ∠BAC=20° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC
(в градусах).
142. Точка О — центр окружности, ∠BAC=10° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC
(в градусах).
143. Точка О — центр окружности, ∠BAC=75° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC
(в градусах).
144. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 4 м, а
длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец
короткого поднимется на 1 м?
145. Точка О — центр окружности, ∠BAC=70° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC
(в градусах).
146. Точка О — центр окружности, ∠BOC=60°(см. рисунок). Найдите величину угла BAC
(в градусах).
147. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 4. Окружность радиуса 2,5
с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и
касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC
148. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 8 с
центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и
касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC
149. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а
длинное плечо —4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец
короткого поднимется на 0,5 м?
150. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите,
что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BMC
151. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
2) Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра.
3) Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник —
ромб.
152. Сторона ромба равна 38, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из
вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
153. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 3 м, а
длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец
короткого поднимется на 1,5 м?
154. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а
длинное плечо — 7 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец
короткого поднимется на 1 м?
155. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а
длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец
короткого поднимется на 1,5 м?
156. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
2) В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
3) Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения
серединных перпендикуляров к его сторонам.
157. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.
2) Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти
две прямые параллельны.
3) Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность.
158. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы
равны 90°, то эти две прямые параллельны.
2) В любой треугольник можно вписать окружность.
3) Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм
является ромбом.
159.Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 8. Окружность радиуса 5 с
центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и
касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC
160. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 6 с
центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и
касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC
161. Основание AC равнобедренного треугольника ABCравно 12. Окружность радиуса 7,5
с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и
касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC
162. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите,
что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BKC
163. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 3 м, а
длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец
короткого поднимется на 1,5 м?
164. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1)Через две различные точки на плоскости проходит единственная прямая.
2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
3) У равностороннего треугольника три оси симметрии.
165. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите,
что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOD
166. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите,
что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника CKD
167. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 9 с
центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и
касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC
168. Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из
вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
169. Сторона ромба равна 28, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из
вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
170. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите,
что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AMB
171. Сторона ромба равна 40, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из
вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
.
172. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы
равны 90°, то эти две прямые параллельны.
2) В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения
серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
173. Точка О — центр окружности, ∠BOC=50° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC
(в градусах).
174. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а
длинное плечо — 5 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец
короткого поднимется на 1 м?
175. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите,
что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AMD
176. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса
7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника
и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC
177. Сторона ромба равна 22, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из
вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
178. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 9 с
центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и
касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC
179. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 1 м, а
длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец
короткого поднимется на 0,5 м?
180. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 1 м, а
длинное плечо — 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец
короткого поднимется на 0,5 м?
181. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Любой параллелограмм можно вписать в окружность.
2) Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти
две прямые параллельны.
3) Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.
182. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
183. Укажите номера верных утверждений.
1) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого
треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
2) Смежные углы равны.
3) Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, является его
высотой.
184. Найдите тангенс угла В треугольника ABC, изображённого на рисунке.
185. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен
30°. Найдите величину угла OAB
186. Укажите номера верных утверждений.
1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины,
противолежащей основанию, делит основание на две равные части.
2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
187. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая,
пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP
к площади треугольника AMK
188. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
189. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен
75°. Найдите величину угла OAB
190. Центральный угол AOB опирается на хорду АВ длиной 5. При этом угол ОАВ равен
60°. Найдите радиус окружности.
191. От столба к дому натянут провод длиной 13 м, который закреплён на стене дома на
высоте 4 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до
столба равно 12 м.
192. В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, СН — высота, проведённая к
большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции
равна 16, а меньшее основание BC равно 6.
193. Центральный угол AOB, равный 60°, опирается на хорду АВ длиной 4. Найдите
радиус окружности.
194. В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол
между высотой ВН и биссектрисой BD.
195. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ=ВС) точки M, N, K —
середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK —
равнобедренный.
196. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше
боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 4. Найдите площадь
трапеции.
197. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см.
рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.
198. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен
30°. Найдите величину угла ODC
199. Медиана BM треугольника ABC равна 3 и является диаметром окружности,
пересекающей сторону BC в её середине. Найдите диаметр описанной окружности
треугольника ABC
200. Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.
201. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует
с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 30 и 45° соответственно.
202. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен
30°. Найдите величину угла ODC
203. Медиана BM треугольника ABCравна 3 и является диаметром окружности,
пересекающей сторону BC в её середине. Найдите диаметр описанной окружности
треугольника ABC
5. Найдите тангенс угла С треугольника ABC, изображённого на рисунке.
204. Укажите номера верных утверждений.
1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины,
противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.
2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
3) Из двух хорд окружности больше та, середина которой находится дальше от центра
окружности.
205. Какова длина (в метрах) лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний её
конец находится на высоте 1,6 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2 м?
206. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит её пополам.
Найдите сторону АВ, если сторона АС равна 10.
207. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
208. Укажите номера верных утверждений.
1) Медиана равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей
основанию, перпендикулярна основанию.
2) Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника.
3) Для точки, лежащей внутри круга, расстояние до центра круга меньше его радиуса.
209. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении,
находится на высоте 12 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места
крепления троса на земле равно 9 м. Найдите длину троса.
210. В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, СН — высота, проведённая к
большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции
равна 10, а меньшее основание BC равно 4
211. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE
равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что
треугольник АВС —
равнобедренный.
212. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
213. Найдите тангенс угла А треугольника ABC, изображённого на рисунке.
214. В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 50° соответственно. Найдите угол
между высотой ВН и биссектрисой BD.
215. В треугольнике ABC угол C прямой, BC=3, cos B=0,6. Найдите AB.
216. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
217. Найдите тангенс угла С треугольника ABC, изображённого на рисунке.
218. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина
стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника
AKM к площади четырёхугольника KPCM