8 класс, задачи на вектора и массыx

12. Докажите, что точка I является точкой пересечения биссектрис (центром вписанной окружности) треугольника ABC со сторонами AB=c, BC=a, AC=b тогда и только то⃗⃗⃗⃗ + 𝑏 ∙ 𝐼𝐵
⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗.
⃗⃗⃗⃗ + 𝑐 ∙ 𝐼𝐶
гда, когда 𝑎 ∙ 𝐼𝐴
Задачи на вектора
БАЗОВЫЕ
1. Докажите, что если М – середина стороны BC треуголь1
⃗⃗⃗⃗⃗ +1 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ .
ника ABC, то ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = 𝐴𝐵
2
2
2. Докажите, что если K – середина AB, М – середина сто1
⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 ⃗⃗⃗⃗⃗
роны CD, то 𝐾𝑀
𝐴𝐷+2 𝐵𝐶
2
3. Докажите, что если М делит сторону BC треугольника ABC в отношении n:m, считая
𝑚
𝑚
⃗⃗⃗⃗⃗ .
от вершины B (то есть BM:MC= n:m), то ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = 𝑛+𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵+𝑛+𝑚 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ +
4. Докажите, что точка X лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑋 = 𝑡𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ для некоторого числа t и любой точки O. А что значит, что точка X лежит на
(1 − 𝑡)𝑂𝐵
отрезке AB?
5. Докажите, что если точка K делит отрезок AB в отношении n:m, считая от точки A, а
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
точка M делит отрезок CD в отношении n:m, считая от точки C, то 𝐾𝑀
𝑚
𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
𝐵𝐷.
𝑛+𝑚
𝑛+𝑚
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎, 𝐴𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗,. Найдите
6. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Известно, что 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
векторы⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷 , 𝐹𝐷
𝐵𝑀 ,где M — середина стороны EF.
7. а) Пусть М – точка пересечения медиан треугольника АВС. О – некоторая произ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑂+𝐵𝑂+𝐶𝑂 . б) Пусть М и М1 – точки певольная точка плоскости. Докажите, что 𝑀𝑂
3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 =
ресечения медиан треугольников АВС и А1В1С1 соответственно. Докажите, что 𝑀𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 +𝐶𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1
𝐴𝐴1 +𝐵𝐵
3
. в)
8. Докажите, что точка G является точкой пересечения медиан (центроидом, центром
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0.
тяжести) треугольника ABC тогда и только тогда, когда ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐵 + 𝐺𝐶
9. а) Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD, O —
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑂+𝐵𝑂+𝐶𝑂+𝐷𝑂. б) Даны два параллелопроизвольная точка. Докажите, что 𝑀𝑂
4
13. Доказать, что если сумма четырех единичных векторов равна нулевому вектору,
то их можно разбить на пары противоположных векторов.
14. В пространстве дано n векторов. Известно, что сумма любых (n-1) коллинеарна
оставшемуся. Докажите, что сумма всех векторов равна нулю.
15. а) Стороны одного треугольника параллельны медианам другого треугольника.
Докажите, что стороны второго треугольника параллельны медианам первого.
б) Из медиан AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC составлен треугольник KMN, а из медиан KK1, MM1 и NN1 треугольника KMN — треугольник PQR. Докажите, что третий
треугольник подобен первому и найдите коэффициент подобия.
16. На сторонах треугольника ABC вне его построены правильные треугольники ABC1,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 + 𝐵𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 = 0.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 + 𝐶𝐶
BCA1 и CAB1. Доказать, что 𝐴𝐴
ВПОЛНЕ СЕБЕ ЗАДАЧКИ (применение векторов)
17. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные треугольники A'BC, B'CA, C'AB . Докажите, что в
треугольниках ABC и A'B'C' точки пересечения медиан совпадают.
18. Точки M, K, N и L – середины сторон AB, BC, CD и DE пятиугольника ABCDE (не обязательно выпуклого), P и Q – середины
отрезков MN и KL. Докажите, что отрезок PQ в четыре раза
меньше стороны AE и параллелен ей.
19. В трапеции ABCD стороны AB и CD параллельны и CD = 2AB.
На сторонах AD и BC выбраны точки P и Q соответственно так,
что DP : PA = 3 : 4, BQ : QC = 1 : 2. Найдите отношение площадей
четырёхугольников ABQP и CDPQ.
грамма ABCD и A1B1C1D1, у которых O и O1 — точки пересечения диагоналей. Дока⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 +𝐶𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 +𝐷𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1
𝐴𝐴1 +𝐵𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
жите что 𝑂𝑂
.
20. В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными сторонами середины P, Q сторон AB, CD и середины S, T сторон BC, DE соединены отрезками PQ и ST. Пусть M и N – середины отрезков PQ и ST. Найдите длину отрезка MN.
10. Пусть О — центр правильного многоугольника A1A2A3...An, X – произвольная точка.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗3 + ⋯ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ ; б) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑛 =
Докажите, что а) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴3 + 𝑂𝐴
𝑂𝐴𝑛 = 0
𝑋𝐴1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑋𝐴3 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑋𝐴3 + ⋯ + 𝑋𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑛𝑋𝑂.
21. Середины противолежащих сторон шестиугольника соединены отрезками. Оказалось, что точки попарного пересечения этих отрезков образуют равносторонний
треугольник. Докажите, что проведенные отрезки равны.
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑆𝐴𝑂𝐶 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ +
11. Внутри треугольника ABC взята точка O. Докажите, что 𝑆𝐵𝑂𝐶 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
𝑆𝐵𝑂𝐴 𝑂𝐶 = 0.
22. Дан четырёхугольник ABCD. A', B', C' и D' – середины сторон BC, CD, DA и AB соответственно. Известно, что AA' = CC' и BB' = DD'. Верно ли, что ABCD – параллелограмм?
4
8 класс- геометрия масс
1. (поупражняемся) Пусть M – середина стороны BС треугольника ABC. На медиане
AM взяли точку F так, что AF:FM=4:3. В каком отношении прямая BF делит сторону AC?
2. (Гирьки можно складывать одну на другую) В треугольнике ABC точка F делит основание BC в отношении
3:1, считая от вершины B. Точки M и P отсекают от боковых сторон AB и AC по одной шестой, считая соответственно от вершины A и от вершины C. В каком отношении делится каждый из отрезков MP и AF точкой их пересечения?
3. В произвольном четырехугольнике ( в том числе невыпуклом) отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в
точке О. Докажите, что О лежит на отрезке, соединяющем середины диагоналей четырехугольника и делит его пополам.
4. В произвольном четырехугольнике каждая вершина соединена с точкой пересечения медиан треугольника, образованного остальными тремя вершинами. Докажите,
что все такие отрезки проходят через одну точку.
5. (стерео) В тетраэдре каждая вершина соединена отрезком с точкой пересечения
медиан противоположной стороны. Середина каждого ребра соединена с серединой
противоположного ребра. Докажите, что все отрезки имеют общую точку.
6. (Неохота считать, но надо) На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты такие
точки M и P, что AM:MC = 3:1 и BP:PC = 1:2. Отрезки AP и BM пересекаются в точке Q.
Известно, что площадь треугольника BPQ равна 1. Найдите S ABC.
7. (Теоретическая) Докажите, что для каждой точки G как вне, так и внутри треугольника можно найти такие массы, что при их размещении в вершины данного треугольника ABC точка G станет центром масс.
8. (Любимая теорема Чевы) На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки
C1, A1 и B1 соответственно. Докажите, что прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной
точке тогда и только тогда, когда
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
𝐶𝐴 𝐵𝐶
∙ 𝐴 𝐵1 ∙ 𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵
1 𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1
1
= 1.
9. Пусть A1, B1, C1, D1, E1, F1 – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного
шестиугольника ABCDEF. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников
A1C1E1 и B1D1F1 совпадают
10. В треугольнике ABC длины сторон AB = c, BC = a, CA = b. В точки A, B и C поставлены
массы a, b и c соответственно. Куда попадет центр масс?
11. (попроще) На сторонах BC и CD ромба ABCD взяли точки P и Q соответственно так,
что BP=CQ. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника APQ лежит на диагонали BD ромба.
12. (Точка Жергонна) Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с
точками касания противоположных сторон с вписанной окружностью пересекаются в
одной точке.
13. (Точка Нагеля) Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с
точками касания противоположных сторон с вневписанными окружностями пересекаются в одной точке.
14. Около окружности описан четырехугольник ABCD, касающийся окружности в точках M, N, P, Q. Длины отрезков касательных, проведенных из точек A, B, C, D к окружности, равны соответственно a, b, c, d. В каком отношении каждый из отрезков MP и
NQ делится точкой их пересечения?
15. (Любимая теорема Менелая). а) На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты
точки C1 и A1, а на продолжении стороны AC – точка B1. Докажите, что точки A1, B1, C1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶
1
1
1
1
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда 𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐶1 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴1 = −1.
𝐴 𝐵 𝐶
16. (Опять считать) В треугольнике единичной площади ABC точки A1 и A2 делят
сторону ВС на три равные части, а B1C:AB1=1:2. Найдите площадь четырехугольника,
ограниченного прямыми AA1, AA2, BB1, BC.
17 (как поставить гирьки одну на другую) На сторонах BC и CD параллелограмма
ABCD взяты точки K и L так, что
𝐵𝐾
𝐾𝐶
=
𝐶𝐿
𝐿𝐷
. Докажите, что точка пересечения медиан тре-
угольника AKL лежит на диагонали BD.
18. (С какого-то тургора) Через точку Р, расположенную внутри параллелограмма
ABCD, проведены прямые, параллельные сторонам параллелограмма. Они пересекают стороны AB, BC, CD, AD в точках K,L,M,N. Q – точка пересечения средних линий
четырехугольника KLMN, а S – центр параллелограмма. Докажите, что Q – середина
отрезка PS.
19. Даны треугольник XYZ и выпуклый шестиугольник ABCDEF. Стороны AB, CD и EF
параллельны и равны соответственно сторонам XY, YZ и ZX. Докажите, что площадь
треугольника с вершинами в серединах сторон BC, DE и FA не меньше площади треугольника XYZ.
20. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Через середину каждой стороны
проведена прямая, перпендикулярная противоположной стороне. Докажите, что эти
прямые пересекаются в одной точке.