Угловой метод решения задач (docx)

Министерство образования и науки, молодёжи и спорта Украины
Министерство образования и науки, молодёжи и спорта АРК
Малая академия наук школьников Крыма «Искатель»
Международный конкурс научно-технических работ школьников «Старт в науку»
УГЛОВОЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Работу выполнил:
Щербаков Олег Сергеевич
ДЧ МАН «Искатель»,
ученик 11-А класса гимназии № 9
Симферопольского
городского совета АРК
Научный руководитель:
Стонякин Фёдор Сергеевич,
ассистент кафедры алгебры
и функционального анализа
Таврического национального
университета им. В.И.Вернадского,
руководитель кружка
МАН «Искатель»
Симферополь − 2011
-2-
СОДЕРЖАНИЕ
Введение .............................................................................................................................. 3
Список используемых сокращений ..................................................................................... 5
1.
УТКПО и связанные с ней теоремы .................................................................... 6
1.1. УТКПО .................................................................................................................. 6
1.2. Теорема, обратная УТКПО ................................................................................. 8
1.3. Интересные свойства для случая совпадения точки пересечения КПО с
вершиной треугольника ...................................................................................... 9
1.4. УТКО ..................................................................................................................... 9
1.5. ТЦКО ..................................................................................................................... 9
2.
УСК .......................................................................................................................... 11
2.1. Определение угловых координат ..................................................................... 11
2.2. Перевод из ДСК в УСК ..................................................................................... 13
2.3. Перевод из УСК в ДСК ..................................................................................... 15
3.
Взвешенная задача Ферма – Торричелли − Штейнера ................................. 18
3.1. Классическая задача Ферма – Торричелли − Штейнера ............................... 18
3.2. Точка Торричелли и УМ .................................................................................. 19
3.3. Взвешенная задача Ферма – Торричелли – Штейнера и УМ ....................... 19
4.
Замечательные точки треугольника и УМ...................................................... 21
4.1. Инцентр ............................................................................................................... 21
4.2. Ортоцентр ........................................................................................................... 23
4.3. Точки Брокара .................................................................................................... 24
4.4. Центр описанной окружности .......................................................................... 25
4.4.1. Теорема о центре описанной окружности и КПО ........................... 25
4.4.2. Теорема о биссектрисах углов подобных треугольников .............. 26
4.4.3. Теорема трёх трилистников ............................................................... 26
4.4.4. Замечательные свойства теоремы трёх трилистников .................... 27
4.5. Точка Аполония ................................................................................................. 27
5.
Задачи ...................................................................................................................... 28
5.1. Задача «Нестандартная система уравнений» ................................................. 28
5.1.1. Решение задачи ................................................................................... 28
5.1.2. Численный метод решения задачи с помощью программы ........... 29
5.2. Обобщение задачи «Нестандартная система уравнений» ............................ 29
5.3. Задача «Квадраты» ............................................................................................ 30
5.4. Задача «Инцентр» ............................................................................................. 30
5.5. Задача «Окружности и ортоцентр» ................................................................. 31
Заключение ....................................................................................................................... 32
Список используемых источников ................................................................................... 33
A.
Описание программы треугольник .................................................................. 34
-3-
ВВЕДЕНИЕ
Геометрия треугольника − поистине неисчерпаемый клад замечательных конструкций и построений, поражающих своей простотой и изумительностью ! Этот
клад всегда можно дополнять и никогда он не станет абсолютно полон.
Чёткого определения понятия конкурентных линий нет, но принято называть
конкурентными три и более прямых, которые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны. В настоящей работе речь пойдёт об одной интересной теореме геометрии треугольника, которая утверждает пересечение трёх прямых и трёх окружностей в одной точке.
Актуальность темы. Хорошо известна теорема о пересечении в одной точке
окружностей, описанных около правильных треугольников △A'BC, △AB'C и △АВС',
построенных внешним образом на сторонах некоторого треугольника ABC и прямых АА', ВВ', СС' в этой же точке. Этот результат широко используется в теории
кратчайших сетей [8].
В этой связи интерес представляет обобщение данного утверждения на случай
произвольных подобных треугольников △A'BC, △AB'C и △АВС', которое доказывается в настоящей работе. Назовём его угловой теоремой о конкурентных прямых и
окружностях треугольника (УТКПО).
В доступной литературе имеются лишь частные случаи этой теоремы [1,2,6]: на
одной из Всесоюзных олимпиад школьников в случае остроугольного △ABC и остроугольных △A'BC, △AB'C и △АВС' эта теорема предлагалась в качестве задачи; в
статье [1] рассмотрен случай допустимых треугольников (т.е. точка пересечения
прямых и окружностей лежит внутри треугольника) и её связь со взвешенной задачей Штейнера для трёх точек на плоскости.
Также интересной является введённая базе УТКПО угловая система координат
(УСК) на плоскости и рассматриваются её приложения в различных задачах. Использование УТКПО и УСК мы называем угловым методом (УМ) решения задач.
Решение многих рассматриваемых задач связано с громоздкими геометрическими построениями и вычислениями. Следовательно, естественно возникает инте-
-4-
рес к написанию компьютерной программы, моделирующей решение рассматриваемых в работе задач. В частности, написана программа «Треугольник» для: для преобразования угловой системы координат в декартову систему и обратно, а так же
графических построений по исходным данным, построения и вычисления угловых,
декартовых и барицентрических координат замечательных точек треугольника.
Объектом настоящего исследования является треугольник и его элементы, а
предметом – УМ решения задач геометрии треугольника, который носит авторский характер.
Целью данной работы является доказательство угловой теоремы о конкурентных прямых и окружностях для случая произвольных треугольников, что не доказано было ранее, а теорема была лишь известна для случая пересечения внутри треугольника, а также решение на её основе новых задач геометрии треугольника.
Методы исследования. В работе используются методы геометрии треугольника, геометрии окружности, метод координат.
Научная новизна. Впервые рассматривается УТКПО для случая произвольного треугольника и произвольных подобных треугольников (когда точка пересечения
прямых и окружностей лежит вне треугольника ABC). Вводится угловая система
координат на плоскости. УМ используется для рассмотрения замечательных точек
треугольника. С помощью УМ решаются олимпиадные задачи. Указанных фактов
нет в доступной нам литературе.
Программа «Треугольник» может быть использована простыми пользователями. В программу включены возможности нахождения сторон и углов треугольника.
Практическая значимость работы и аудитория. Работа имеет, в основном,
теоретическое значение. Отдельные результаты имеют связь с приложениями
(например, алгоритм решения взвешенной задачи Штейнера для трёх точек на плоскости: УТКПО позволяет заменить нахождение точки пересечения двух окружностей на точку пересечения двух прямых). Материалы работы можно использовать
для внеклассной работы со школьниками и при подготовке к олимпиадам.
-5-
Список используемых сокращений
УМ – угловой метод, заключающийся в объединении УТКПО и УСК;
УТКПО – угловая теорема о конкурентных прямых и окружностях треугольника;
УТКО – угловая теорема о конкурентных окружностях треугольника;
ТЦКО – теорема о центрах конкурентных окружностей;
КП – конкурентные прямые;
КО – конкурентные окружности;
КПО − конкурентные прямые и окружности;
УСК – угловая система координат;
ДСК – декартова система координат;
* − авторские доказательства теорем, авторские теоремы, авторские задачи и решения известных задач способом, отличным от опубликованного или известного
ранее решения, что, по сути, является самостоятельной частью работы.
-6-
1.
УТКПО и связанные с ней теоремы
Перед доказательством этой теоре-
IIA
мы условимся, что прямые, содержащие
IIIC
стороны, всякого невырожденного треугольника разбивают плоскость на 7 ча-
I
C
стей и 3 зоны (одна часть относится к
зоне типа I, три – к типу II и три – к типу
IIIB
A
B
IIB
IIIA
III) как показано на рис.1. Точки пря-
IIC
Рис.1. (Автофигуры Microsoft Word)
мых, содержащие стороны треугольни-
ка, принадлежат к III зоне, если не являются вершинами треугольника.
УТКПО
1.1.
Теорема. Если на сторонах △ABC внешним образом построить подобные треугольники △A'BC∾△AB'C∾△ABC, причём ∠BA'C =∠B'AC =∠BAC' , ∠AB'C
=∠A'BC = ∠ABC' , ∠AC'B =∠A'CB =∠ACB' (назовем это условием подобия УТКПО),
то: Окружности ωA, ωB, ωC, описанные около подобных треугольников, и прямые
AA', BB', CC' пересекаются в одной точке P.
Доказательство*.
Построим
△ABC
и
△A'BC ∾ △AB'C ∾ △ABC'. Опишем окружности
ωA и ωB около △A'BC и △AB'C, соответственно, с
центрами OA и OB.
Для полного доказательства необходимо рассмотреть четыре случая.
1)
Точка пересечения ωA и ωB единственна и
совпадает с вершиной треугольника, то есть
окружности ωA и ωB касаются (рис.2).
Рассмотрим △A'BC ∾△AB'C. Пусть CHA и CHB –
высоты треугольников △ACB' и △BCA'. Тогда
Рис.2. ( программа «Треугольник»)
∠A'CHA= 90° − ∠BA'C, ∠B'CHB = 90° – ∠AB'C.
По теореме Брахмагупты[1]: ∠OACB =∠A'CHA= 90°−∠BA'C, ∠OBCB' = ∠ACHB =
-7-
= 90° − ∠B'AC = 90°−∠CA'B = ∠OACB. Так как точки OA, С, OB лежат на одной прямой, то B, B', C лежат на одной прямой. Аналогично доказывается, что A, C, A' лежат на одной прямой. Следовательно, прямые, AA' и BB' содержат стороны треугольника AC и BC, то есть КП пересекаются в точке С.
Поэтому, ∠B'CA = 180° −∠C ⇒ ∠AC'B = 180 − ∠C, то есть ωC проходит через С.
2)
Помимо вершины C существует
ещё одна точка P внутри треугольника общая для ωA и ωB (рис.3). Построим
отрезки AP, BP, CP, A'P, B'P, C'P. По
свойству вписанных в окружность углов: ∠APB' = ∠ACB' = ∠AC'B, ∠B'PC =
∠B'AC = ∠BA'C, ∠A'PC = ∠A'BC =
∠AB'C. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то
∠APA' = ∠APB' + ∠B'PC + ∠A'PC =
=∠AC'B + ∠BA'C + ∠AB'C = 180°,
Рис.3. ( программа «Треугольник»)
∠BPB' = ∠A'PC + ∠B'PC + ∠A'PB = ∠AB'C +∠BA'C + ∠AC'B = 180°.
Следовательно, точки A, P, A' (B, P, B') лежат на одной прямой.
Далее, ∠APB = 360° – ∠APA' – BPA' = 360° –180° – ∠BPA' = 180° – ∠BPA'
∠APB = 180° –∠AC'B ⇒∠APB +∠AC'B = 180°. Поэтому, окружность ωC проходит
через точку P (в четырёхугольнике APBC' сумма противолежащих углов 180°).
∠BPC' = ∠BAC' = ∠BA'C как углы, вписанные в окружность и опирающиеся на одну дугу ⇒ ∠CPC' = ∠BPC' + ∠BPA' + ∠CPA' = ∠BA'C + ∠AB'C + ∠AC'B = 180° ⇒ C,
P и C' лежат на одной прямой.
3)
Помимо вершины C существует ещё одна точка P вне треугольника, общая
для ωA и ωB и принадлежащая зоне типа II (точнее IIС; случаи IIA IIB рассматриваются аналогично) (рис.4).
∠BPA' = ∠BCA' = ∠BCA', ∠APC = ∠AB'C = ∠CBA', ∠CPB = ∠CA'B как вписанные углы в окружности, опирающиеся на одну дугу.
-8-
∠APA' = ∠BPA'+∠CPB+∠APC =
∠BCA'+∠CBA'+∠CA'B = 180°.
Значит, точки A, P, A' лежат на
одной прямой. Аналогично доказывается, что точки B, P, B' тоже лежат на одной прямой. Далее, ∠APB = 180° − ∠BPA' = 180°
− ∠BC'A, следовательно, около
четырёхугольника можно описать окружность AC'BP, то есть
ωC проходит через точку P ⇒
∠APС =∠AB'С =∠ABС' =∠APC',
т.е. точки P, C и C' лежат на од-
Рис.4. ( программа «Треугольник»)
ной прямой.
4)
Помимо вершины C существует ещё одна точка P вне
треугольника, общая для ωB и ωC и принадлежащая зоне типа III (точнее IIIA; случаи IIIB IIIC рассматриваются аналогично) (рис.5). Этого не может быть, так как
∠CPB = 180° −∠AC'B +180° −∠CB'A = 180° + CA'B>180°.
1.2.
Теорема, обратная УТКПО
Рис.5. ( программа
«Треугольник»)
Существует также теорема обратная УТКПО, которую легко проверить, опираясь на доказательство УТКПО.
Теорема. Пусть имеется △ABC и точка P, не в зонах типа III. Около треугольников ABP, BCP, CPA описаны окружности ωA, ωB и ωC соответственно. Прямые
AP, BP, CP пересекают окружности ωA, ωB и ωC соответственно в двух точках. Первая точка – P, общая для всех окружностей. Вторые общие точки (назовём их A', B',
C' соответственно) расположены вне △ABC. Тогда △A'BC ∾ △AB'C ∾ △ABC' , по
условию подобия УТКПО.
-9-
1.3.
Интересные свойства для случая
совпадения точки пересечения КПО с вершиной треугольника*
Легко проверить некоторые интересные факты для данного случая.
(см. случай 1 доказательства УТКПО и рис.2).
1.
Окружность ωC – описанная около △ABC.
2.
Две другие КО ωA и ωB внешне касаются в точке C, т.е. точки OA, C и OB лежат
на одной прямой.
3.
CC' касается ωA и ωB.
4.
Высоты CHA и CHB △A'BC и △AB'C лежат на одной прямой.
5.
A'B || B'A.
1.4.
УТКО
Теорема. Если на сторонах треугольника построить три окружности как на
хордах, сумма градусных мер которых во внешнюю сторону равна 180°, то эти
окружности обязательно пересекутся в одной точке.
Указание: легко доказывается, опираясь на доказательство УТКПО.
1.5.
ТЦКО
Теорема. Если на сторонах
△ABC
построить
△A'BC∾
△AB'C∾ △ABC', удовлетворяющих
условию
подобия
УТКПО, то треугольник, образованный центрами конкурентных окружностей, описанных
около подобных треугольников,
подобен им
△OAOBOC ∾ △A'BC ∾ △AB'C ∾
∾△ABC', причём
∠OBOAOC = ∠BA'C,
∠OAOBOC =∠AB'C,
∠OAOCOB = ∠AC'B (рис.6).
Рис.6. ( программа «Треугольник»)
- 10 -
Доказательство. Рассмотрим ωA, △A'BC и ∠OBOAOC.
∠BOAC= 2∠BA'C как центральный.
∠OCOAZ = ∠OCOAB, ∠OBOAZ = ∠OBOAC так как BOCOAZ и COBOAZ и – дельтоиды.
∠OCOAOB = ∠OCOAZ + ∠OBOAZ = ½∠BOAZ + ½∠ COAZ = ½∠BOAC = ∠BA'C.
Аналогично равенство доказывается для ∠OAOBOC и ∠OAOCOB.
- 11 -
2. УСК*
Известно множество способов аналитического
задания положения точки на плоскости, такие как
система декартовых координат, система полярных
координат. Но такие координаты не всегда удобны
для описания и решения задач, связанных с треугольником. В настоящие время, существуют и уже
очень хорошо изучены такие системы координат как
барицентрические [4, 12] и трилинейные [6]. Они
прекрасно подходят для описания и решения некото-
Рис.7. ( программа «Треугольник»)
рых задач, связанных с треугольником и его замечательными точками. Однако не
все задачи так хорошо описываются и решаются в этих координатах и поэтому на
основе УТКПО для удобства и простоты решения некоторых геометрических задач,
а так же, исследования некоторых замечательных точек треугольника можно ввести
новую угловую систему координат (УСК), которая привязывается к треугольнику.
2.1.
Определение угловых координат*
Пусть дан △ABC и точка P принадлежащая зоне I (рис.3). Угловыми координатами назовём значения углов α,β,γ, под которыми из точки P видно стороны △ABC:
α=∠BPC, β=∠BPA, γ=∠BPC.
Если точка принадлежит зоне IIA (рис.4), тогда угловые координаты определим
как: α=∠BPC, β=180° −∠BPA, γ=∠180° −∠BPC.
Случаи IIB и IIC рассматриваются аналогично.
Если точка принадлежит зоне IIIA (рис.5), тогда угловые координаты определим
как: α=∠BPC, β=∠BPA, γ=∠360° −∠BPC.
Случаи IIIB и IIIC рассматриваются аналогично.
Таким образом, для любой точки достаточно знать лишь две координаты, из которых легко можно вычислить третью: γ = 360° – α –β.
Итак, сумма угловых координат любой точки всегда равна 360°, за исключением вырожденного случая совпадения точки X с одной из вершин треугольника (этот
случай будет рассмотрен отдельно): α +β +γ =360°;
- 12 -
Если точка P лежит на прямой, содержащей сторону, треугольника (рис.7), то
угловую координату, относительно, той стороны, на которой она лежит, будем считать равной 180° (напр. α = 180°).
Лемма 1. ГМТ плоскости, для которых α – const (β – const или γ – const), есть
дуга окружности, проходящая через точки B и C, в случае, если α ≠ 180° и прямая
BC, если α = 180°.
Доказательство. Рассмотрим △ABC. Пусть α заданная угловая координата, а
BC – сторона на которую эта координата опирается.
Пусть ∠X = α, a P – нефиксированная точка. Так как значение ∠P = α постоянно, то вокруг △BCP можно описать окружность, где ∠P = α будет вписанным углом,
и опирающимся на дугу BC. Областью возможных принимаемых значений точки P
будет дуга, которой принадлежит ∠P = α. Если α = 180°, то △BCP – вырожденный,
точки B, C и P лежат на одной прямой, следовательно, угловая координата задаёт
прямую, проходящую через эти точки, значит, точка P лежит на прямой BC.
Лемма 2. Две угловые координаты однозначно задают точку плоскости.
Доказательство. Рассмотрим △ABC. Пусть α, β – заданные угловые координаты точки P, а BC, AC – стороны, которые соответствуют этим координатам, P – точка, заданная этими координатами P(α, β).
Из леммы 1 следует, что каждая угловая координата задаёт дугу, но дуги могут
иметь одну, две точки пересечения или не пересекаться вообще. Из определения дуг,
как частей окружностей описанных около трех точек, (в данном случае BCP и ACP)
следует, что дуги имеют обязательно одну точку пересечения, здесь это точка С.
Вторая точка пересечения это задаваемая точка P, но из точки C, так как она лежит
на прямых a и b стороны BC и AC видны под углом 180°, что отлично от α и β, за
исключением вырожденного случая, когда α = 180°, β = 180°, при этом точки X и C
совпадут. Следовательно, пара угловых координат однозначно задаёт точку плоскости.
Рассмотрим вырожденные случаи. Для каждого треугольника существует лишь
три точки, для которых несправедливо равенство: α +β +γ =360°. Эти точки – вершины данного треугольника, так как две угловые координаты вершины равны 180°,
- 13 -
а третья координата равна углу вершины данного треугольника. Справедливо и обратное: если две угловые координаты точки равны 180°, то заданная точка является
вершиной треугольника, это следует из того, что точка одновременно должна принадлежать двум прямым треугольника, а единственное их пересечение – вершина
треугольника.
В дальнейшем в большинстве случаев, основываясь на лемме 2, мы будем пользоваться для задания точки в угловых координатах лишь двумя координатами.
Отметим, что при помощи угловой системы координат хорошо описываются
точка Ферма-Торричелли-Штейнера, ортоцентр, инцентр, точки Брокара, точка описанной окружности, точка Апполония.
2.2.
Перевод из ДСК в УСК*
В лемме 2 была доказана однозначность задания точки на плоскости в угловых
координатах, а исходя из этого, можно каждой точке заданной в декартовых координатах однозначно сопоставить точку, заданную в угловых координатах.
Пусть имеется треугольник и точка, координаты вершин треугольника и координата точки заданы в декартовой системе: A(xA ; yA); B(xB ; yB); C(xC ; yC); P(xP ; yP).
Требуется найти угловые координаты точки P относительно △ABC.
Для начала, необходимо определить положение точки P относительно △ABC.
Определим положение точки C относительно вектора AB (справа или слева),
зная это, можно сказать, что точки A и B находятся в том же положении относительно векторов BC и CA соответственно. Если точка C слева от вектора AB, то точки A, B, C «идут» по часовой стрелке, а иначе против часовой стрелки. Каждый вектор имеет свой угол наклона относительно оси OX декартовой системы, лежащий в
промежутке от 0° до 360°. Тангенс угла наклона φ – не что иное, как коэффициент ±
k в уравнении прямой, содержащий этого вектора (если вектор направлен в верхнюю полуплоскость, то tgφ = k иначе − tgφ = −k). Уравнение всякой прямой имеет
вид у = kx+m за исключением вырожденного случая, когда угол наклона φ равен 90°
или 270°, тогда уравнение прямой имеет вид x=m.
Зная две точки прямой каждого вектора можно определить уравнения этих
прямых по формулам:
- 14 -
𝑘=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚=
Если x1 = x2 ,то уравнение приобретает вид:
𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1
𝑥1 − 𝑥2
𝑦 = 𝑥1
Но нам необходимо знать угол наклона вектора АВ, а k неоднозначно определяет угол наклона, так как значения тангенсов в I и III, II и IV координатных четвертях совпадают. 𝑦2 > 𝑦1 – I, II координатные четверти, 𝑦2 < 𝑦1 – III, VI координатные четверти. А зная четверть и коэффициент, мы можем определить угол наклона
вектора AB:
𝑦2 − 𝑦1
;
если
𝑦2 > 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
{
𝑦2 − 𝑦1
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑘) + 180° = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
+ 180°; если 𝑦2 < 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑘) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝜑 = 0°
𝑥2 > 𝑥1
𝑦2 = 𝑦1 ⇔ {
𝜑 = 180° 𝑥2 < 𝑥1
𝜑 = 90°
𝑦2 > 𝑦1
𝑥2 = 𝑥1 ⇔ {
𝜑 = 270° 𝑦2 < 𝑦1
Таким образом, по этим формулам получим некие значения φA , φB и φC углов
наклона векторов BC, CA и AB соответственно. Выполним преобразование векторов
AB, BC, CA в вектора A1B1, B1C1, C1 A1 так, чтобы вектор A1B1 совпал с осью OX,
при этом длины преобразованных векторов останутся прежними, углы между векторами сохранятся, а изменятся лишь углы наклона, для этого вычтем из каждого угла
наклона угол наклона вектора A1B1 , получим для векторов:
𝐴1 𝐵1
𝜑𝐶1 = 0° ,
𝐵1 𝐶
𝜑𝐴1 = 𝜑𝐴 − 𝜑𝐶 , 𝐶1 𝐴1
𝜑𝐵1 = 𝜑𝐵 − 𝜑𝐶 .
Если 𝜑𝐴1 < 𝜑𝐵1 , то C справа от AB, иначе – слева, в случае равенства углов
точки ABC лежат на одной прямой.
Вышеописанным способом определим положение точки P относительно каждого из векторов AB, BC и CA. Если точки Р и А лежат в одной полуплоскости относительно прямой BC, то точка может принадлежать зонам I, IIA, IIIB, IIIC, если нет,
то зонам IIIA, IIB, IIC. Аналогичным образам, рассматривая взаиморасположение точек B и P, C и P относительно прямых AC и AB соответственно, мы аналитически
определим, к какой зоне принадлежит точка P.
Теперь определим значение угловых координат.
- 15 -
Для этого найдем стороны △ABC и длины отрезков (s,t,u), соединяющих точку
P и вершины △ABC AP, BP, CP.
𝑎 = 𝐵𝐶 = √(𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 )2 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐵 )2
𝑠 = 𝐴𝑃 = √(𝑥𝑃 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝑃 − 𝑦𝐴 )2
𝑏 = 𝐶𝐴 = √(𝑥𝐴 − 𝑥𝐶 )2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝐶 )2
𝑡 = 𝐵𝑃 = √(𝑥𝑃 − 𝑥𝐵 )2 + (𝑦𝑃 − 𝑦𝐵 )2
𝑐 = 𝐴𝐵 = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2
𝑢 = 𝐶𝑃 = √(𝑥𝑃 − 𝑥𝐶 )2 + (𝑦𝑃 − 𝑦𝐶 )2
Рассмотрим △APB △CPA △BPC, в каждом из них требуется найти угол, образованный отрезками s,t,u применим теорему косинусов и получим для разных зон:
Зона I: 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
Зона IIA: 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
𝑎2 −𝑡 2 −𝑢2
2𝑡𝑢
𝑎2 −𝑡 2 −𝑢2
2𝑡𝑢
, 𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
𝑏2 −𝑢2 −𝑠 2
2𝑢𝑠
, 𝛽 = 180° − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
Зона IIIA: 𝛼 = 180° − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
𝑎2 −𝑡 2 −𝑢2
2𝑡𝑢
, 𝛾 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
𝑏2 −𝑢2 −𝑠 2
2𝑢𝑠
, 𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
𝑎2 −𝑠 2 −𝑡 2
2𝑠𝑡
,𝛾 = 180° − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
𝑏2 −𝑢2 −𝑠 2
2𝑢𝑠
,𝛾 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
;
𝑎2 −𝑠 2 −𝑡 2
2𝑠𝑡
𝑎2 −𝑠 2 −𝑡 2
2𝑠𝑡
;
;
Зоны IIB , IIC , IIIB , IIIC определяются аналогично.
2.3.
Перевод УСК в ДСК*
Поскольку можно совершить переход из ДСК в угловую, то также можно совершить переход из угловой в декартову.
Пусть имеется треугольник с вершинами, заданными в декартовых координатах
и точка с известными угловыми координатами: A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC), P(α, β, γ)
Требуется найти декартовы координаты точки P.
Определим принадлежность точки зонам, которая следует из введения УСК.
Если одна угловая координата (α, β или γ) превосходит 180°, то точка принадлежит зоне III (IIIA, IIIB или IIIС).
Если одна угловая координата (α, β или γ) превосходит угол треугольника, который опирается на эту координату, то точка принадлежит зоне II (IIA, IIB или IIС).
Если две угловые координаты равны 180°, то точка совпадает с вершиной треугольника, причем третья координата будет равна углу вершины.
В остальных случаях точка принадлежит зоне I.
Рассмотрим перевод для случая, когда точка принадлежит зонам I и II. Указанный метод перевода предназначен также для получения декартовых координат вершин подобных треугольников, которые можно построить по обратной УТКПО тео-
16
реме, кроме того, он позволяет найти координаты точки, не переходя к уравнениям
второй степени, и является универсальным для двух зон.
По теореме, обратной УТКПО на сторонах треугольника можно построить три
подобных треугольника, так чтобы точка пересечения КП являлась точкой P, при
этом углы подобных треугольников из определения УСК равны: ∠A' = 180° – α;
∠B' = 180° – β; ∠C' = 180° – γ. Зная декартовы координаты вершин △ABC, легко
найти уравнения прямых треугольника. Например, уравнение прямой AB:
y A  yB
;
m = уA – kхA
x A  xB
Если xA = xB , то уравнение прямой приобретает вид x = const.
По уравнениям прямых треугольника найдем уравнения прямых подобных
k
треугольников (поворот на угол относительно точки):
𝑘 ′ = 𝑡𝑔(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑘) + 𝜑);
𝑚′ = −𝑘 ′ 𝑥 + 𝑦.
Зная уравнения прямых подобных треугольников, найдём декартовы координаты
его вершин, не являющиеся вершинами исходного (как точки пересечения прямых):
𝑚1 − 𝑚2
𝑥=
𝑦 = 𝑘1 𝑥 + 𝑚1
𝑘2 − 𝑘1
По известным координатам вершин подобных треугольников и исходного
найдем уравнения конкурентных прямых, а по этим уравнениям их точку пересечения (действия выполнены пошагово, так как конечная формула достаточно громоздка, но её легко можно вывести из описания перевода).
Рассмотрим перевод при принадлежности точке зоне III и не лежащей на сторонах треугольника. В этом случае нельзя воспользоваться теоремой, обратной
УТКПО. Для определённости, пусть α > 180° (случаи β > 180° и γ > 180° аналогичны). Вокруг точек ACP и ABP можно описать окружности ωB и ωC, которые из их
определения будут пересекаться в точках A и P. Пусть OB и OC центры таких окружностей, декартовы координаты которых неизвестны. Тогда из леммы 1 следует, что
известны угловые координаты дуг этих окружностей, а пересечение этих дуг – точка
P. Рассмотрим окружность ωB, ∠AOBC = 2β как центральный. Рассмотрим △AOBC,
он равнобедренный (AO = OC), и отметим точку BM – середину стороны AC. OBBM –
биссектриса, высота и медиана равнобедренного △AOBC. Откуда следует, что
17
∠AOBBM = ½∠AOBC = β. Значит O B BM 
AB M AC
. Легко найдем декартовы ко
tgβ 2tgβ
ординаты точки BM как середину отрезка AC: BM(½(xA+xC); ½(yA+yC)), и найдем
уравнение прямой OBBM, из уравнения прямой AC и его поворота относительно точки BM на 90°. Зная уравнение прямой OBBM, координаты точки BM и длину отрезка
OBBM найдём координаты точки:
OB(½(xA+xC)+OBBMcos(arctg(k)); ½(yA+yC)+OBBMsin(arctg(k))) – если точка B слева от вектора АС,
OB(½(xA+xC)–OBBMcos(arctg(k)); ½(yA+yC)–OBBMsin(arctg(k))) – если точка B справа от вектора АС.
Зная координаты точки OB, найдем квадрат радиуса (или сам радиус) окружности как длину отрезка OBA: R 2  ( x A  xO ) 2  ( y A  yO ) 2 . Зная радиус и координаты
B
B
центра, запишем уравнение окружности ωB: ( x  xO ) 2  ( y  yO ) 2  R 2 .
B
B
Аналогично найдём уравнение окружности ωC: ( x  xO ) 2  ( y  yO )2  R 2 и решим
C
C
систему из полученных уравнений. Получим два ответа, один из которых – декартовы координаты точки А, а второй – точки P.
Замечание. Именно на основе этих алгоритма написана и работает программа
«Треугольник», однако в ходе реализации возникала множество трудностей программирования. Эти трудности были устранены.
18
3.
ВЗВЕШЕННАЯ ЗАДАЧА ФЕРМА-ТОРРИЧЕЛЛИ-ШТЕЙНЕРА
Перед тем, как описать взвешенную задачу Ферма-Торричелли-Штейнера и
рассмотреть её связь с предложенным в работе УМ, приведём классическую задачу.
Самой задачи Ферма-Торричелли-Штейнера уже более трех с половиной столетий и
на сегодняшний день она является хорошо изучено [1,2]. Эта задача имеет множество приложений. В частности, она используется при строительстве сетей.
3.1.
Классическая задача Ферма-Торричелли-Штейнера
На плоскости даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Для какой
точки T плоскости сумма расстояний AT + BT + CT наименьшая?
Решение является широко известным и представлено в литературе [8].
Теорема Ферма-Торричелли-Штейнера. Если все углы треугольника меньше
120°, то точкой минимума суммы расстояний до его вершин является точка Торричелли (рис.8). Если же один из углов больше или равен 120°, то такой точкой является вершина этого угла.
Рис.8, 9. ( программа «Треугольник»)
19
3.2.
Точка Торричелли и УМ
Угловые координаты: T(120° ; 120° ; 120°)
(Этот факт является широко известным, поэтому его доказательство здесь не приводится)
Если на сторонах треугольника построить три равносторонних треугольника, то
КП и КО пересекутся в точке Торричелли. Точка Торричелли существует в треугольнике только в том случае, если ни один из углов треугольника не превосходит
120°, однако в этом случае КП и КО также пересекутся в одной точке, в этом случае
назовём её обобщённой точкой Торричелли (рис.9). Тогда из этой точки большая
сторона будет видна под углом 120°, а остальные – под углами в 60°.
3.3.
Взвешенная задача Ферма-Торричелли-Штейнера и УМ*
Найдите в плоскости △ABC такую точку X, чтобы величина m×ХА+n×ХВ+p×ХС,
где m, n, p — данные положительные числа, имела наименьшее значение.
Этой задаче можно придать следующую формулировку. Пусть A, B, C — три
пункта, в которые должна поставляться продукция проектируемого завода; при этом
доли продукции, доставляемые в пункты A, B и C, пусть будут m, n и p. Где надо
построить завод для того, чтобы свести к минимуму предстоящие транспортные
расходы (здесь мы пренебрегаем расходами на строительство дорог АХ, ВХ, СХ, соединяющих пункты А, В к С с заводом X, и считаем транспортные расходы прямо
пропорциональными произведению количества доставленного груза на длину пути)?
Решения и доказательства данной задачи хорошо известно и представлено в литературе [9], приведём одно из них. Опишем построение такой точки, кода можно составить невырожденный треугольник со сторонами относящимися как n:m:p.
Построим такой △NMP так, чтобы в исходный △ABC был вписанным в него, причём стороны m, n, p проходили через точки A, B, C соответственно. Тогда искомой
точкой X будет являться точка, образованная пересечением трех перпендикуляров
сторонам m, n, p из точек A, B, C (рис.10). Покажем, как данную точку можно построить при помощи УМ.
Рассмотрим четырёхугольники AXBP: ∠PAX=∠PBX = 90°(так как PN и PM – перпендикуляры к отрезкам AX и BX), ∠PAX+∠PBX = 180°, значит можно описать
окружность ωС (так как сумма противолежащих углов четырёхугольника 180°).
20
∠AXB =360° −∠PAX−∠PBX−∠APB, ∠AXB =180° − ∠APB
Значит угловая координата точки X, γ =180° − ∠P.
Аналогично найдём две другие угловые координаты: β =180° − ∠N, α=180° − ∠M.
Значит, искомая точка, удовлетворяющая условию: m×XA+n×XB+p×XC → min,
где для «весов» m, n, p выполняется неравенство треугольника, имеет угловые координаты: X(180° − ∠M, 180° − ∠N,180° − ∠P)
Зная стороны m, n, p легко найти углы ∠P,∠N,∠M по теореме косинусов, окончательно выразим угловые координаты через «весы»:
𝑛2 + 𝑝 2 − 𝑚 2
𝑚 2 + 𝑝 2 − 𝑛2
𝑋 (180° − arccos (
) ; 180° − arccos (
) ; 180°
2𝑛𝑝
2𝑚𝑝
𝑛2 + 𝑚 2 − 𝑝 2
− arccos (
))
2𝑛𝑚
Рис.10. ( программа «Geogebra»)
21
4.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА И УМ
В данном разделе рассмотрим некоторые замечательные точки, которые прекрасно описываются при помощи УМ, а именно с помощью УТКПО и УСК.
4.1.
Инцентр*
Угловые координаты: I (90°+ ½∠A; 90°+ ½∠B; 90°+ ½∠C).
Теорема. Если на сторонах △ABC построить △A'BC∾△AB'C∾△ABC', удовлетворяющих условию подобия УТКПО так, чтобы КПО пересекались в инцентре, то
есть были бы биссектрисами углов △ABC, то подобные треугольники образуют новый треугольник △A'B'C' с углами: ∠A′ = 90° −
∠A
∠B
2
2
, ∠B′ = 90° −
,∠C ′ = 90° −
∠C
2
,
так что вершины △ABC лежат на его сторонах, то для △A'B'C' △ABC будет являться ортоцентрическим, то есть КП – высоты для △A'B'C' и стороны подобных треугольников, не лежащие на сторонах
△ABC, будут внешними биссектрисами
△ABC и, следовательно, точки A', B' и C'
будут центрами вневписанных окружностей. Кроме того, КП проходят через центры КО, а центры КО – точки Эйлера для
△A'B'C' (рис.11).
Рис.11. ( программа «Треугольник»)
Доказательство.*
1.
Построим △ABC и △A'BC∾△AB'C∾△ABC', удовлетворяющие условию по-
добия УТКПО, так чтоб КП пересекались в инцентре и опишем окружности ω A, ωB и
ωC около подобных треугольников с центрами OA , OB и ОС соответственно, по
УТКПО они также пересекутся в инцентре.
2.
1
1
2
2
Рассмотрим △IBC: ∠ICB = ∠C ∠IBC = ∠B
Так как КП – биссектрисы, поскольку пересекаются в инцентре.
3.
∠BIC = 180° – ∠ICB – ∠IBC = 180° – ½(∠C + ∠B) = 180° – ½(180° – ∠A) =
=90° + ½∠A.
22
4.
∠A' = 180° – ∠BIC
∠A' = 180° – 90° –
∠A
2
= 90° –
(как противолежащие углы четырёхугольника в окружности),
∠A
2
.
∠B
и ∠C ′ = 90° −
∠C
5.
Аналогичным образом доказывается, что ∠B′ = 90° −
6.
Докажем, что AC' это биссектриса внешнего угла треугольника. ∠BAC' = ∠A'
= 90° –
∠A
2
2
2
.
= ½(180° – ∠A), а следовательно AC' является биссектрисой внешнего уг-
ла треугольника.
7.
Аналогичным образом доказывается, что стороны подобных треугольников,
не лежащих на сторонах исходного, являются биссектрисами внешних углов △ABC.
8.
Рассмотрим △IB'A:
∠IAB' = ∠CAB' + ∠IAC = ∠CA'B + ½∠A = 90°−
9.
∠A
2
+
∠A
2
= 90°.
Аналогично докажем, что: ∠IAC′ = ∠IBC′ = ∠IBA′ = ∠ICB ′ = ∠ICA′ = 90°.
Следовательно, ∠A'CB' = ∠B'AC' = ∠C'BA' = 180°.
9.1. Заметим, что для того чтоб B'AC' являлась прямой и ∠B'AA' = C'AA' = 90°,
то есть AA'⊥ B'C', необязательно точка I должна быть инцентром, достаточно того, чтобы ∠BIC = 90° + ½∠A.
10.
Следовательно, подобные треугольники образуют новый треугольник△A'B'C',
так что исходный △ABC лежит на его сторонах, а КП образуют прямые углы с его
основаниями и выходят из его вершин, то есть являются высотами и пересекаются в
точке I, значит исходный для нового – ортоцентрический.
11.
A'I
Рассмотрим A'I как хорду в окружности ωA, угол A'BI – опирающийся на дугу
равный 90°, следовательно, A'I – диаметр окружности ωA, а точка OA лежит на се-
редине отрезка A'I, то есть OA∊AA' и A'OA = IOA.
12.
Аналогично доказывается, что OB ∊ BB' , OC ∊CC' и B'OB = IOB , C'OC = IOC.
Следовательно, что точки OA , OB , OС являются точками Эйлера для △A'B'C'.
Обратная теорема. Если на сторонах △ABC построены три подобных треугольника, удовлетворяющих условию подобия УТКПО и они образуют новый △A'B'C' своими сторонами, так, что вершины △ABC лежат на его сторонах, то точка пересечения КП – инцентр △ABC, и ортоцентр △A'B'C'.
23
4.2.
Ортоцентр*
Угловые координаты: H (180°–∠A; 180°–∠B; 180°–∠C).
Теорема. Если на сторонах △ABC построить три треугольника удовлетворяющих
условию подобия УТКПО, так чтоб
точка пересечения КПО совпали с
ортоцентром, то есть КП были высотами, то подобные треугольники
будут равны △ABC. Треугольник
OAOBOC, образованный
центрами
КО, также будет равен △ABC, его
стороны будут параллельны сторонам △ABC, а ортоцентр △ABC будет центром описанной окружности
(рис.12).
Рис.12. ( программа «Треугольник»)
Доказательство.*
1.
Построим △ABC и △A'BC∾△AB'C∾△ABC', удовлетворяющие условию подобия УТКПО, так чтобы КП пересекались в ортоцентре.
2.
Пусть BB и CC – основания высот BBB и СCC соответственно.
3.
∠СA'B = 180° – ∠CHB, ∠CHB = ∠BBHCC как вертикальные углы.
4.
В четырёхугольнике ABBHCC:
∠BBHCC = 360° – 90° –90° – ∠CAB = 180° – ∠CAB.
5.
∠СA'B = 180° – ∠CAB = 180° – (180° – ∠CAB) = ∠CAB.
6.
Аналогично докажем, что ∠AB'C = ∠CBA и ∠BC'A = ∠BCA откуда следует
△ABC ∾ △A'BC ∾△AB'C ∾△ABC', а так как они имеют общую сторону, против равных углов, то они все равны исходному, и, следовательно, между собой
△ABC = △A'BC =△AB'C =△ABC'.
7.
Из равенства треугольников следует равенство описанных окружностей, около
этих треугольников ωA(△A'BC), ωB(△AB'C), ωC(△ABC').
24
8.
Рассмотрим △OAOBOC, по ТЦКО он подобен трём равным треугольникам и
△ABC. HOA = HOB = HOC как радиусы равных ωA = ωB = ωC, следовательно, H –
центр описанной окружности около △OAOBOC, радиусы которой
HOA,HOB,
HOC, равные радиусам равных треугольников, значит радиус окружности, описанной около△OAOBOC равен радиусу описанной окружности около △ABC, а
так как треугольники подобны, следует их равенство△OAOBOC =△ABC.
9.
BBB⊥ OAOC (как радикальная ось окружностей ωA, ωC) и BBB⊥AC, а значит
OAOC||AC. Аналогично доказывается, что OAOB||AB и OBOC||ВС.
Обратная теорема. Если на сторонах треугольника построить три треуголь-
ника, удовлетворяющих условию подобия УТКПО, и равных исходному, то точка
пересечения КПО – ортоцентр, а КП высоты исходного треугольника.
4.3.
Точки Брокара*
Угловые координаты: P(180°–∠B; 180°–∠C; 180°–∠A);
Q(180°–∠C; 180°–∠A; 180°–∠B).
Если на сторонах треугольника построить три треугольника удовлетворяющих
условию УТКПО, так чтоб точка пересечения КПО совпали с первой или второй
точкой Брокара [6], то есть углы между КП и сторонами треугольника (справа или
слева) равны, то △A'BC∾△AB'C ∾△ABC' ∾ △ABC (рис.13).
Рис.13. ( программа «Треугольник»)
25
Доказательство.
1.
Построим △ABC и △A'BC∾△AB'C∾△ABC' удовлетворяющие условию подобия УТКПО, так чтоб КП пересекались в первой точке Брокара, тогда ∠CAP =
∠ABP = ∠BCP.
2.
∠CBP = ∠CBA – ∠ PBA.
3.
∠CPB = 180° – ∠BCP – ∠CBP = 180° – ∠BCP – ∠CBA + ∠PBA = 180° – ∠CBA.
4.
∠CA'B = 180° – ∠CPB = 180° – 180° + ∠CBA = ∠CBA.
5.
Аналогично докажем, что ∠BC'A = ∠BAC и ∠AB'C = ∠ACB. Откуда и следует
подобие подобных треугольников исходному треугольнику.
6.
Аналогичным образом доказывается подобие для второй точки Брокара.
Обратная теорема (известный факт, используемый для доказательства существования точек Брокара). Если на сторонах треугольника построить три подобных треугольника, так чтоб они были подобны исходному, так чтобы равные углы трёх подобных треугольников исходили из вершин треугольников, то КП пересекутся в
точках Брокара (первой или второй разумеется).
4.4.
Центр описанной окружности*
Угловые координаты: O (2∠A; 2∠B; 2∠C).
4.4.1. Теорема о центре описанной окружности и КПО*
Если на сторонах △ABC построить
три
треугольника
∾ΔABC', для
△A'BC∾ΔAB'C∾
которых
выполняется
условие подобия УТКПО, и точка пересечения КП будет являться центром
описанной окружности, то КП – биссектрисы углов подобных треугольников,
то есть ∠BA'O = ∠CA'O,
∠AB'O=∠CB'O, ∠AC'O =∠BC'O (рис.14).
Отметим, что данная теорема верна лишь для остроугольного треуголь-
Рис.14. ( программа «Треугольник»)
26
ника, так как лишь в нём центр описанной окружности принадлежит зоне I, а в тупоугольном треугольнике – зоне III.
Доказательство.*
2. Построим ΔABC и ΔA'BC ∾ ΔAB'C ∾ ΔABC'. Опишем окружности ωA, ωB , ωC
около ΔA'BC, ΔAB'C, ΔABC'. По УТКПО CC'∩AA'∩B B'∩ ωA∩ ωB∩ ωC = О.
3. OA = OB = OC, так как О центр описанной окружности.
4. Рассмотрим окружность ωA и △A'BC ∠BA'O = ∠CA'O, так как OB = OC.
5. Аналогично доказывается что ∠AB'O= ∠CB'O и ∠AC'O= ∠BC'O.
4.4.2. Теорема о биссектрисах углов подобных треугольников и КПО*
(теорема, обратная теореме о центре описанной окружности и КПО)
Если на сторонах △ABC внешним образом построить подобные треугольники
△A'BC∾ ΔAB'C∾ ΔABC', удовлетворяющие условию подобия УТКПО, и две конкурентные прямые являются биссектрисами углов подобных треугольников, то третья конкурентная прямая является так же биссектрисой угла подобного треугольника и точка пересечения конкурентных прямых является центром описанной окружности около △ABC (рис.14).
Доказательство.*
1. Выполним указание 1 предыдущего доказательства.
2. BP = CP, AP = CP, как хорды, на которые опираются равные углы∠BA'P =
=∠CA'P и ∠AB'P = ∠CB'P в ωA и ωB.
3. AP = BP = CP, значит, точка P равноудалена от вершин ΔABC и является центром описанной окружности, то есть P = O.
4. Так как P = O, то ∠AC'P = ∠BC'P следует из предыдущей теоремы.
4.4.3. Теорема трёх трилистников*
Если выполняется условие теоремы о центре описанной окружности и УТКПО,
то инцентры подобных треугольников принадлежат описанной окружности около
исходного треугольника (рис.14).
Доказательство.*
1. Продолжим доказательство предыдущих двух теорем.
2. ω(△ABC), пересекает АА', BB', CC' в точках IA , IB , IC соответственно.
- 27 -
3. Рассмотрим △A'BC и ωA, BP = CP = IAP по теореме трилистника, следовательно,
IA – инцентр △A'BC.
4. Аналогичным образом докажем что IB , IC – инцентры △AB'C, △ABC'.
5. Значит справедливо утверждение IA , IB , IC ∊ ω(ABC).
4.4.4. Замечательные свойства теоремы трёх трилистников*
1. ∠BAIB = ∠СAIС = ∠ABIA = ∠CBIC = ∠ACIA = ∠BCIB = 90°
2. ∠AOCIA = ∠AOBIA = ∠BOCIB = ∠BOAIB =∠COAIC =∠COBIC = 90°
1 и 2 – как углы, опирающиеся на диаметры окружности.
3. △IA IB IC = △ABC;
IAIC||AC, IAIB ||AB, IBIC||BC.
Доказательство.. IAIC = AC и IAIC||AC, т.к. AICIBC – прямоугольник, что следует из свойства 2. Аналогично доказываются равенства IAIB = AB и IBIC = BC.
4.5.
Точка Апполония
Угловые координаты: AP(60°+∠A; 60°+∠B; 60°+∠C).
Теорема. Если на сторонах треугольника построить три треугольника удовлетворяющих условию УТКПО, так чтоб точка пересечения КПО совпала с точкой
Апполония [7], то углы подобных треугольников равны 120°−∠A; 120°−∠B; 60°−∠C
в случае, если каждый из углов △ABC не превосходит 120° (рис.15).
Рис.15. ( программа «Треугольник»)
- 28 5. ЗАДАЧИ
Задача «Нестандартная система уравнений»
5.1.
(Всесоюзная Математическая Олимпиада 1984)
Найти значение: xy+2yz+3xz,зная, что:
2
𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦3 = 25
{ 𝑦2 + 𝑧2 = 9
𝑧 2 + 𝑥𝑧 + 𝑥 2 = 16
5.1.1. Решение задачи
Нетрудно заметить что:
25 = 52, 9 = 32, 16 = 42 числа 3, 4, 5 – пифагорова тройка, то есть являются сторонами прямоугольного треугольника.
Построим такой треугольник △ABC, AB
= 5, BC = 4, AC = 3. Выполним преобразование системы:
Рис.16. ( программа «Треугольник»)
𝑦 −√3 𝑦 2
𝑦
𝑦2
2
𝑥 + 𝑥𝑦 + = 𝑥 − 2𝑥
+
= 𝑥 − 2𝑥
cos 150° +
= 52
2
3
3
√3
√3
−1
𝑧 2 + 𝑥𝑧 + 𝑥 2 = 𝑧 2 − 2𝑥𝑧
+ 𝑥 2 = 𝑧 2 − 2𝑥𝑧 cos 120° + 𝑥 2 = 42
2
2
𝑦
𝑦
+ 𝑧2 = 𝑦2 − 2
𝑧 cos 90° + 𝑧 2 = 32
3
√3
𝑦2
3
2
2
150° + 120° + 90° = 360° так как сумма углов оказалась равна 360°, то относительно треугольника со сторонами 3, 4, 5 можно задать некую точку с угловыми координатами P(120°;90°;150°), а x, y, z – расстояния от этой точки до вершин треугольника (рис.16).
AP =
𝑦
√3
, BP = x, CP = z, S△ABC = S△ABP + S△ACP + S△BCP, S△ABC = ½×3×4 = 6
1
𝑦 1
2
√3 2
𝑆△𝐴𝐵𝑃 = 𝑥
𝑥𝑦
4 √3
Ответ: 24√3.
=
+
𝑥𝑦
4√3
𝑦𝑧
2 √3
, 𝑆△𝐴𝐶𝑃 =
+
1 𝑦
2 √3
𝑧=
𝑦𝑧
2√3
, 𝑆△𝐵𝐶𝑃 =
1
2
𝑥𝑧
√3
2
=
𝑥𝑧√3
= 6 ⇔ 𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 + 3𝑥𝑧 = 24√3
4
𝑥𝑧√3
4
- 29 -
5.1.2. Численный метод решения задачи с помощью программы*
Решение программой не только позволит найти искомую величину, но и позволит приближённо вычислить значения x, y, z.
Так как AP =
𝑦
√3
, BP = x, CP = z используем программу «Треугольник» для рас-
чета приближённых значений:
1.
Введём стороны 4, 3, 5 и по ним легко, при помощи программы, определим декартовы координаты треугольника: A(0; 3), B(4; 0), C(0; 0).
2.
Введём угловые координаты искомой точки α=120° , β = 90°, γ = 150°.
3.
Нажмём кнопку «Угловые координаты» получим искомые значения и рисунок
по нажатию кнопки «All» на панели построения рисунков к данной задаче:
𝑦
√3
≈ 2,396106217868
y ≈ 4,15017770967908
𝑥 ≈ 2,77925649218447
𝑧 ≈ 1,80518004439843
xy+2yz+3xz ≈ 41,5692193816532
24×√3 ≈ 41,5692193816531
Как видим расхождение полученных значений всего лишь на 1×10 -13 , а это
означает, что программа даёт весьма точный результат и может быть использована
для нахождения приближённых значений!
5.1.3. Обобщение задачи «Нестандартная система уравнений»*
Вышеизложенная задача является лишь частным случаем её обобщения.
Обобщим данную задачу на произвольные числа, благодаря этому методу можно будет решать произвольную систему уравнений второго порядка, решение кото𝑥 2 − 2𝑥𝑦 cos 𝛼 + 𝑦 2 = 𝑎2
𝑦 2 − 2𝑦𝑧 cos 𝛽 + 𝑧 2 = 𝑏 2
рой стандартными методами довольно сложно, вида:
𝑧 2 − 2𝑧𝑥 cos 𝛾 + 𝑥 2 = 𝑐 2
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 360°
{
Для которой так же должны выполняться неравенство треугольника для чисел a,b,c.
Тогда, нахождение неизвестных можно осуществить при помощи нахождения в
декартовых координатах вершин треугольника, зная стороны, и по угловым координатам точки её декартовы координаты, остаётся лишь посчитать расстояние между
точками в декартовых координатах.
- 30 -
Данное обобщение также позволяет легко найти стороны треугольника, если
известны расстояния от определённой точки до вершины и её угловые координаты.
Отмечу, что для полного обобщения в программу «Треугольник» встроен модуль, предназначенный для решения именно этой обобщённой задачи.
5.2.
Задача «Квадраты»
Дан △АВС на двух сторонах
АВ и BC построены внешним образом квадраты ABLK и CBMN. Доказать, что прямые АМ, СL и KN
пересекаются
в
одной
точке
(рис.17).
Доказательство.*
△ LAB и △MBC – равнобед-
Рис.17. ( программа «Треугольник»)
ренные и прямоугольные. Опишем окружности вокруг квадратов ABLK и CBMN ωK
и ωN , эти окружности являются описанными около △ LAB и △MBC. На треугольнике АВС построены на сторонах АВ и ВС треугольники △ALB ∾ △CMB . По
УТКПО окружности ω
K
и ωN, пересекаются в точке пересечения прямых CL и AM
то есть в точке О. Следовательно, требуется доказать, что KNO – прямая, т.е. ∠ KON
= = 1800. Рассмотрим △LAB и △MCB: ∠ALB= ∠LAB = ∠BMC =45° т. к. MC и AL –
диагонали квадратов; ∠LBA = ∠MBC = 90° как углы квадрата; ∠LOA = ∠LBA = 90°
как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.
Аналогично получается, что∠MOC = ∠MBC = 90°, ∠MON = ∠MCN = 45°,
∠NOC = ∠CMN = 45°, ∠BOM = ∠BCM = 45°, ∠AOK = ∠ALK = 45°,
∠KOL = ∠KAL = 45°, ∠LOB = ∠LAB = 45°,
∠KON = ∠KOL + ∠LOB + ∠BON + ∠MON + ∠KON= 45° + 45° + 45° + 45° = 180°.
(Также ∠АОС = ∠LOM = 90°).
Следовательно, искомые прямые пересекутся в одной точке ч.т.д.
#
5.3.
Задача «Инцентр» (Корея)
(Международная Математическая Олимпиада 2006 Словения)
- 31 -
Точка I – центр вписанной окружности треугольника △ABC. В середине этого
треугольника выбрана точка С, такая, что ∠PBA +∠PCA = ∠PBC + ∠PCB. Докажите,
что AP ≥ AI, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда точка P совпадает с I (рис.18).
Доказательство.*
Построим △ABC, точку P, удовлетворяющую условию задачи, и I
– инцентр данного треугольника.
Пусть
φ = ∠PBA +∠PCA = ∠PBC + ∠PCB.
На сторонах △ABC по теореме,
обратной УТКПО, построим три
подобных треугольника, удовлетворяющие условию подобия УТКПО,
Рис.18. ( программа «Треугольник»)
где AA', BB' и CC' – конкурентные
прямые: △A'BC∾△AB'C∾△ABC'
В △ABC ∠A = 180° – 2φ, φ = 90° −
∠A
2
. В △PBC ∠BPC = 180° – φ = 90 +
∠A
2
.
Из п.9.1 доказательства теоремы раздела 4.1 «Инцентр», следует, что B'AC' –
прямая, а AA'⊥B'C'. Для инцентра по пункту 3 доказательства «Инцентр и УТКПО»
справедливо, что ∠BIC = 90° + ½∠A, значит, точка P лежит на одной окружности с
точкой I, пусть центр этой окружности OA , тогда AOA пересекает окружность в точке I, по пункту 11 доказательства «Инцентр и УТКПО», следовательно, AP ≥ AI.
5.4.
Задача «Окружности и ортоцентр»
(Всеукраинская олимпиада по математике IV.2010, 8 класс)
Попробуйте сами доказать утверждение!
Дан △ABC, Внутри выбрана точка P, описаны окружности ωA , ωB , ωC вокруг
△PBC, △PAC, △PAB соответственно, c центрами OA OB OC . ωO – окружность, описанная около △OAOBOC , а OO её центр. Доказать что OO совпадает с точкой P, тогда
и только тогда, когда то они совпадают с точкой пересечения высот △ABC.
(несложно доказывается, опираясь на п. 4.2. «Ортоцентр»)
- 32 -
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В своей работе я рассмотрел новый метод решения задач, доказал УТКПО для
случая внешней точки, ввёл УСК, описал при помощи УМ ряд замечательных точек
треугольника, что отсутствует в известной литературе, а так же в приложении разобрал несколько олимпиадных задач, решив авторским способом.
В ходе работы мною была написана программа на языке «Delphi» для наглядной демонстрации УСК, построения треугольников, а так же преобразования
декартовых координат в угловые и обратно. При помощи данной программы были
получены рисунки этой работы. В программе предусмотрены так же простые операции: расчет сторон треугольника, его углов, вычисление уравнений его прямых и
углов наклона, для вычислений в программу встроен уникальный калькулятор.
Распечатка программного кода не приводится в работе из-за его большого объёма.
Программа имеет дружелюбный интерфейс по отношению к простому пользователю и может быть использована всеми интересующимися математикой. Последнюю версию программы можно скачать с сайта www.shcherbakow.ru .
В заключение скажу, что благодаря данной работе я углубил и систематизировал собственные знания в области математики и программирования.
Выражаю огромную благодарность научному руководителю, Стонякину Ф.С.,
за руководство, помощь и поддержку при написании данной работы. Так же хочу
поблагодарить Яновскую О.Б., Чайку К.В., Алексюк М.И. за поддержку при создании данного проекта.
- 33 -
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.
Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. – М.: «Наука»,
1986. – 190 с.
2.
Иванов О.И. Плоские взвешенные минимальные деревья. // Фундаментальная и
прикладная математика – 1996г.
3.
Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. − Одесса «Типография бланкоиздания М. Шпенцера, Ямская д.64» 1902г. – 350с.
4.
Мякишев A.Г. Элементы геометрии треугольника. − М. МЦНМО 2002г. – 33с.
5.
Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. − М. МЦНМО «Московские учебники»
2006г. – 636с.
6.
Прасолов В.В. Точки Брокара и изогональное сопряжение. − М. МЦНМО
2000г. – 24с.
7.
Куланин Е., Мякишев А.О некоторых кониках, связанных с треугольником.
М.2007г. – 26с.
8.
Протасов В.Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. − М. МЦНМО 2005г. –
56с.
9.
Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Геометрические неравенства и задачи на максисмум и минимум. − М. «Наука» 1970 г. – 335с.
10. Кушнир И.А., Финкельштейн Л.П. Геометрия. Школа боевого искусства. − К.
«Факт» 1999г.
11. Лейфура В.М., Мительман. И.М., Радченко В.М., Ясинский В.А. Математические олимпиады школьников Украины 2001-2006. – Львов «Каменяр»
2007г. – 350с.
12. Стонякин Ф.С. Метод барицентрических координат на плоскости. Точка Нагеля. Вторая прямая Эйлера. – Симферополь – 50с.
http://abitu.ru/en2003/closed/viewwork.html?c=293&s=0&section=648
ИНТЕРНЕТ РЕСУРСЫ
http://www.shcherbakow.ru
- 34 -
ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ “ТРЕУГОЛЬНИК”
A.
Данная программа предназначена для:
1. перевода одних координат точки, в другие угловые – декартовы – барицентрические, относительно заданного треугольника в декартовых координатах;
2. Графического построения заданного треугольника и точки;
3. Решения нестандартной системы уравнений, представленной в разделе 5;
4. Решения взвешенной задачи Ферма − Торричелли – Штейнера, при выполнении условия неравенства треугольника для «весов»;
5. Решения ряда произвольных задач.
Основное окно:
38
29
32
37
33
34
35
36
39
28
31
27
40
20
30
7
25
4
1
6
23
17
2
18
24
8
5
16
19
00
21
22
3
1.
6
7
8
9
9
ДК.
10
00
11
00
26
15
12
13
14
00
41
вершин треугольника (вводятся).
2.
ДК вершин подобных треугольников, не являющиеся вершинами исходного
3.
ДК точек пересечения и КП и сторон треугольника.
- 35 -
4.
ДК центров КО.
5.
ДК точки пересечения КПО.
6.
Цвета соответствующих точек на рисунке (по щелку выводится диалоговое окно ввода и выбора цвета точки).
7.
Радиус (в пикселях) соответствующих точек на рисунке (вводится).
8.
Подпись соответствующих точек на рисунке (вводится).
9.
Длина соответствующих сторон.
10.
Наклон соответствующих прямых относительно оси ox ДК.
11.
Уравнения соответствующих прямых.
12.
Угловые координаты точки пересечения КПО (вводятся).
13.
Барицентрические координаты точки пересечения КПО (в сумме равны 1).
14.
Расстояние от вершин треугольника до точки пересечения КПО.
15. Периметры соответствующих треугольников.
16. Площади соответствующих треугольников.
17.
Радиусы описанных окружностей около соответствующих треугольников.
18. Радиусы вписанных окружностей в соответствующие треугольники.
19. ДК треугольника, образованного пересечением КП и сторонами исходного треугольника сделать координатами исходного.
20. ДК центра окружности (вводятся).
21. Время работы программы.
22. Время компьютера.
23. ДК вершин подобных треугольников, не являющиеся вершинами исходного,
сделать координатами исходного треугольника.
24. ДК точки пересечения КПО сделать центром окружности.
25. По трём сторонам исходного треугольника и наклону прямой AC(необходимо
ввести) найти декартовы координаты.
26.
ДК центров КО сделать координатами исходного треугольника.
27.
Радиусы соответствующих окружностей (радиус не КО вводится).
28.
Точке, напротив которой стоит отметка, по щелчку по рисунку, задаются ДК,
по расположению курсора.
- 36 -
29.
Автоматическое заполнение подписей и значение радиусов соответственных
точек.
30.
Панель замечательных точек треугольника (по щелчку делает для них расчёты,
так, чтоб они являлись пересечением КПО):
М – центроид;
G – точка Жергона;
I – инцентр ;
N – точка Нагеля;
H – ортоцентр ;
E – центр окружности Эйлера;
O – центр описанной окружности;
P – первая точка Брокара;
T – точка Торричелли;
Q – вторая точка Брокара;
A – точка Аполония;
S – точка Шпикера.
31.
Панель построения на рисунке. Построить:
a)
Отрезок AB;
b) ΔABC;
c)
ΔABC и ΔA'BC ∾ ΔAB'C ∾ ΔABC';
d) ΔAA BB CC;
e)
(c)+КП от вершин подобных треугольников до точки пересечения;
f)
(a)+КП от вершин исходного треугольника до точки пересечения;
g) Окружность и её центр O;
h) КО и их центры OA OB OC;
i)
32.
(e)+(f)+(h).
Включить и выключить:
a)
Автоматическую очистку рисунка (может быть использована для построения только одного рисунка, заданного текущими параметрами);
b) Подпись точек на рисунке содержимым элементами «Метка» (эл.8).
33.
Очистить рисунок.
34.
Пауза (остановить время работы программы).
35.
Правка рисунка:
36.
a)
Отменить построение (шаг назад);
b)
Отменить отмену построения (шаг вперёд).
Вызвать окна:
- 37 -
a)
Настройки рисунка;
b)
Рисунок;
c)
Встроенное окно для решения специальной системы уравнений .
37.
Быстрое сохранение (зелёный) и быстрая загрузка (синий) значений всего окна.
38.
Очистить все вводимые и выводимые значения окна.
39.
Стандартная панель программы:
Открыть файл, расширения *trg, файл данной программы, содержащий
a)
вводимые и выводимые значения окна, сохранённые ранее
40.
b)
Открыть рисунок для рисования на нём формата *bmp;
c)
Сохранить данные значения окна, расширение сохраняемого файла *trg ;
d)
Сохранить полученный рисунок в формате *bmp;
e)
Вывод рисунка на печать.
Панель кнопок, по нажатию которых производятся расчёты, щелкните на те
координаты, которые вы ввели и в зависимости от них и декартовых координат
треугольника, будут вычислены все остальные параметры .
41.
Закрыть программу.
Настройки рисунка
1
2
3
5
4
Все настройки могут изменяться пользователем
1. Длина стороны рисунка (в пикселях), устанавливается при построении рисунка.
2.
Масштаб рисунка, значение количества пикселей в единице длинны.
3.
Толщина линий рисунка (в пикселях): отрезки и окружности.
4.
Шрифт подписей точек рисунка (по щелчку выводится диалоговое окно
настройки шрифтов).
5.
Цвета соответствующих элементов (по щелчку выводится диалоговое окно ввода и выбора цвета).