Построение циркулем и линейкой

Построение циркулем и линейкой
Для изображения геометрических фигур пользуются различными
чертежными инструментами: линейкой (в том числе линейкой с делениями),
циркулем, угольником, транспортиром. Оказывается, что многие фигуры
можно построить с помощью только циркуля и линейки без делений.
Задачи, в которых требуется построить какую-то фигуру с помощью только
этихдвух инструментов, называются задачами на построение. При этом
предполагается, что с помощью линейки можно построить прямую,
проходящую через две данные точки, а с помощью циркуля – построить
окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.
Начнем с простейшей задачи на построение.
Задача
На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному отрезку.
Решение
На рисунке 153, а изображен данный луч OC и данный отрезок AB. С
помощью циркуля построим окружность радиуса AB с центром O. На
рисунке 153, б изображена дуга этой окружности, пересекающая данный луч
в точке D. Отрезок OD – искомый, так как OD = AB.
Построение треугольника по трем
сторонам
Задача
Построить треугольник по трем сторонам.
Эту задачу нужно понимать так: даны три отрезка P1Q1, P2Q2 и P3Q3 (рис. 154).
Требуется построить треугольник ABC, стороны которого соответственно равны
этим
трем
отрезкам
AB = P1Q1, BC = P2Q2 и CA = P3Q3.
Решение:
Проведем произвольную прямую, отметим на ней точку A и отложим отрезок AB,
равный P1Q1 (рис. 155, а). Затем построим две окружности: радиуса P3Q3 с центром
в точке A и радиуса P2Q2 с центром в точке B. Одну из точек пересечения этих
окружностей обозначим буквой C. Проведя отрезки AC и BC получим искомый
треугольник ABC (рис. 155, б), поскольку AB = P1Q1, BC = P2Q2 и CA = P3Q3.
Замечание. При решении этой задачи мы исходили из того, что искомый
треугольник существует. Если же это заранее неизвестно, то может оказаться, что
задача на построение не имеет решения. Например, если в задаче о построении
треугольника по трем сторонам заранее неизвестно, что искомый треугольник
существует, то данная задача не всегда имеет решение. Действительно, в
треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон. Поэтому если
какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, например
P1Q1 > P2Q2 + P3Q3, то нельзя построить треугольник, стороны которого равны
данным отрезкам. Если мы попытаемся это сделать, то обнаружим, что
окружности с центрами A и B не пересекутся (рис. 156). В связи с этим возникает
вопрос: всегда ли можно построить треугольник, стороны которого равны данным
отрезкам, в том случае, когда каждый из данных отрезком меньше суммы двух
других? К этому вопросу мы вернемся в конце 8 класса, а пока скажем лишь, что
ответ на него оказывается утвердительным.
Отметим, что задача о построении треугольника по трем сторонам является одной
из важнейших задач на построение. В частности, на ней основаны решения задач
в пунктах 36-39.
Построение угла, равного данному
Задача
Отложить от данного луча угол, равный данному.
Решение
Пусть даны неразвернутый угол A (для развернутого угла решение очевидно) и
луч OM (рис. 157, а). Требуется построить угол, равный углу A, одной из сторон
которого будет луч OM.
Проведем окружность произвольного радиуса с центром A и обозначим точки ее
пересечения со сторонами угла буквами B и C (рис. 157, б). Затем построим
окружность с центром O радиуса AB и обозначим точку ее пересечения с
лучом OM буквой P (рис.
157, в).
Наконец,
проведем
окружность
с
центром P радиуса BC и обозначим буквой Q одну из точек ее пересечения с
окружностью с центром O (рис. 157, г, д). Угол MOQ – искомый (рис.157, е).
В самом деле, треугольники ABC и OPQ равны по трем сторонам (AB = OP, AC =
OQ и BC = PQ), поэтому ∠MOQ = ∠A.
Замечание. Построение угла, равного данному , лежит в основе решения еще двух
задач на построение:


построить треугольник по двум сторонам и углу между ними;
построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Решите эти задачи самостоятельно.
Построение биссектрисы угла
Задача
Построить биссектрису данного неразвернутого угла.
Решение
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине A данного
угла и обозначим точки ее пересечения со сторонами угла буквами B и C (рис.
158, а). Затем построим две окружности радиуса BC с центрами B и C (рис. 158, б,
в). Они пересекутся в двух точках (см. задачу 109). Ту из точек пересечения
окружностей, которая лежит с точкой A по разные стороны от прямой BC,
обозначим буквой D (см. рис. 158, в). Наконец, проведем луч AD (рис. 158, г). Это
и есть искомая биссектриса данного угла A.
В самом деле, треугольники ABD и ACD равны по трем сторонам (AB = AC, BD =
CD, AD – общая сторона). Поэтому ∠BAD = ∠CAD, т. е. луч AD – биссектриса
данного угла A.
Замечание. Проведя биссектрису данного угла A, мы разделили его на два равных
угла. Если каждую половину разделить пополам, то угол A окажется разделенным
на четыре равных угла. А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить
данный угол на три равных угла? Эта задача называется задачей о трисекции угла.
В течение веков ее пытались решить многие математики. И лишь в 1837 году
французский математик Пьер Лоран Ванцель (1814-1848) доказал, что с помощью
циркуля и линейки разделить произвольный угол на три равных угла
невозможно. Правда, для некоторых углов эта задача имеет решение, например
для прямого угла (объясните, почему).
Построение серединного
перпендикуляра
Задача
Построить серединный перпендикуляр к данному отрезку.
Решение
Пусть AB – данный отрезок (рис. 159, а). Построим две окружности радиуса AB с
центрами A и B (рис. 159, б, в). Они пересекутся в двух точках – P и Q (см. задачу
109). Проведем прямую PQ (рис. 159, г). Она и является искомым серединным
перпендикуляром к отрезку AB.
39. Построение прямой,
перпендикулярной к данной
Задача
Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к
данной прямой.
Решение:
Данная точка M может лежать на данной прямой a, а может и не лежать на ней. И
в том и в другом случае решение задачи сводится к построению серединного
перпендикуляра к отрезку.
В самом деле, построим какую-нибудь окружность с центром M, пересекающую
прямую a в двух точках – A и B (рис. 160, а). Точка M равноудалена от
точек A и B и, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Осталось построить этот серединный перпендикуляр (как его построить, мы
знаем)
–
он
и
будет
искомой
прямой,
проходящей
через
точку M перпендикулярно к прямой a (рис. 160,б).
В самом деле, по построению точки P и Q равноудалены от концов отрезка AB,
поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Таким
образом, серединный перпендикуляр к отрезку AB проходит через точки P и Q, т.
е. совпадает с прямой PQ.
Замечание. Построив серединный перпендикуляр к данному отрезку AB, мы
попутно решили еще одну задачу: построить середину отрезка AB.
Действительно, точка M, в которой серединный перпендикуляр пересекается с
отрезком AB (см. рис. 159, г), и есть середина этого отрезка.
Построение прямоугольного
треугольника по гипотенузе и
катету
Опираясь на результаты пп. 34-39,
треугольник по следующим элементам:



нетрудно
построить
прямоугольный
по двум катетам;
по гипотенузе и острому углу;
по катету и любому из острых углов.
(Объясните, как выполнить эти построения.) Решим еще одну из важнейших
задач на построение.
Задача
Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.
Решение
Пусть MN и PQ – данные отрезки, причем MN > PQ (рис. 161, а). Требуется
построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна MN, а один из
катетов равен PQ.
Проведем произвольную прямую, отметим на ней точку A и отложим отрезок AB,
равный PQ.
Через
точку A проведем
прямую a,
перпендикулярную
к
прямой AB (рис. 161, б); как это сделать, мы знаем. Затем построим окружность
радиуса MN с центром B(рис. 161, в). Поскольку BA = PQ < MN, то расстояние от
точки B до прямой a меньше радиуса этой окружности, поэтому прямая a и
построенная окружность пересекаются в двух точках. Обозначим одну из них
буквой C. Треугольник ABC – искомый.
Из нашего построения следует, что если один из отрезков меньше другого, то
существует прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна большему, а
катет – меньшему из этих отрезков.
Замечание. Эту задачу можно решить другим способом, основанным на том, что
вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой (см. следствие 2, п.
33). Действительно, построим середину O отрезка MN и проведем окружность с
центром O
радиуса OM (рис.
162, а).
Затем
построим
окружность
с
центром M радиуса PQ. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим
буквой L (рис. 162, б). Поскольку вписанный угол L опирается на диаметр MN, то
этот
угол
–
прямой,
поэтому MN –
гипотенуза
прямоугольного
треугольника LMN,
а ML –
катет,
равный PQ.
Таким
образом,
треугольник LMN искомый.
Построение касательной
Задача
Через данную точку A провести касательную к данной окружности с центром O.
Решение
Если точка A лежит на данной окружности, то проведем прямую OA, а затем
построим
прямую a,
проходящую
через
точку A перпендикулярно
к
прямой OA (рис. 163). По признаку касательной прямая a является искомой
касательной.
Если точка A лежит внутри круга, ограниченного данной окружностью, то задача
решения не имеет, поскольку любая пряма, проходящая, через точку A, является
секущей (докажите это).
Наконец, если точка A лежит вне круга, ограниченного данной окружностью, то
будем рассуждать так. Допустим, что задача решена и AB – искомая касательная
(рис. 164, а). Поскольку прямая AB перпендикулярна к радиусу OB, то решение
задачи
сводится
к
построению
прямоугольного
треугольника AOB с
гипотенузой OA и катетом OB, равным радиусу данной окружности. Эту задачу,
как вы знаете, можно решить разными способами. В данном случае удобно
воспользоваться идеей, высказанной в замечании п. 40. Проведем отрезок OA и
построим
его
середину M.
Затем
проведем
окружность
с
центром M радиуса MA (рис. 164, б). Одну из точек пересечения этой окружности
с данной окружностью обозначим буквой B. Поскольку AB ⊥ OB, то прямая AB –
искомая касательная (рис. 164, в).
Вопросы и задания к "Задачи на
построение"
107. а) Даны равносторонний треугольник ABC и точка B₁ на стороне AC. На
сторонах BC и AB постройте точки A₁ и C₁ так, чтобы треугольник A₁B₁C₁ был
равносторонним.
б) Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.
в) Даны острые углы ABC и DEF. Отложите от луча BA во внешнюю область угла
ABC угол, равный углу DEF.
г) Дан треугольник ABC. Постройте треугольник DEF, в котором ∠D = ∠A, DE =
2AB и DF = 3AC.
д) Дан треугольник ABC. Постройте треугольник DEF, в котором ∠D = ∠A, ∠E = ∠B
и DE = 2AB.
е) От данного луча отложите угол, равный половине данного угла.
ж) Дан треугольник ABC. На стороне BC этого треугольника постройте точку,
равноудаленную от прямых AB и AC.
з) Постройте угол, равный 60°; 30°.
и) Начертите равнобедренный треугольник ABC и постройте точку пересечения
его медианы AM и биссектрисы BD.
к) Даны точки A, B и C. Постройте точку, равноудаленную от точек A и B и
удаленную от точки C на расстояние, равное AB. Сколько решений может иметь
эта задача?
л) Даны прямая a и точки A и B, лежащие по одну сторону от нее. На прямой A
постройте точку, равноудаленную от точек A и B. Всегда ли эта задача имеет
решение?
м) Постройте угол, равный 45°.
н ) Постройте равнобедренный треугольник по высоте, проведенной к основанию,
и углу при основании.
о) Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане, проведенной к
другому катету.
п) Постройте остроугольный треугольник ABC по стороне AB, высоте AH и углу A.
р) Постройте остроугольный треугольник по углу и двум высотам, одна из
которых проведена из вершины этого угла.
108. а) Постройте равнобедренный треугольник, основание которого равно
данному отрезку, а боковая сторона вдвое больше основания.
б) Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и точка D на стороне
AB. Постройте на стороне AC точку E так, чтобы угол AED был равен углу C.
в) Даны острый угол ABC и тупой угол DEF. Отложите от луча EF во внутреннюю
область угла DEF угол, равный углу ABC.
г) Даны неразвернутый угол и отрезок. Постройте треугольник, в котором одна
сторона в четыре раза меньше другой и равна данному отрезку, а угол,
заключенный между этими сторонами, равен данному углу.
д) Постройте треугольник, сторона которого равна утроенной стороне AB данного
треугольника ABC, а прилежащие к ней углы равны углам A и B этого
треугольника.
е) Дан угол AOB. Постройте луч OM так, чтобы углы MOA и MOB были равными
тупыми углами.
ж) Дан треугольник ABC с прямым углом A. На катете AB постройте точку M,
находящуюся на расстоянии AM от прямой BC.
з) Постройте угол, равный 15°; 120°.
и) Начертите треугольник ABC с тупым углом B и постройте точку пересечения
биссектрисы внешнего угла с вершиной A и продолжением медианы CM.
к) Дан неравнобедренный треугольник ABC. На сторонах этого треугольника
постройте точки, равноудаленные от вершин A и B.
л) Постройте центр данной окружности.
м) Постройте угол, равный 150°; 135°;
н) Высоты AD и BE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
Постройте треугольник ABC по отрезкам AE, HE и AD.
о) Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте,
проведенной к основанию.
п) Постройте остроугольный треугольник
проведенным к другим сторонам.
по
стороне
и
двум
высотам,
Дополнительные задачи к главе
"Окружность"
109. Докажите, что окружности радиуса AB с центрами A и B пересекаются в двух
точках.
110. Расстояние от точки до центра данной окружности равно диаметру этой
окружности. Найдите угол между отрезками касательных, проведенными из
указанной точки к данной окружности.
111. На рисунке 165 прямые AB и AC – касательные к окружности, B и C – точки
касания. Докажите, что ∠BAC = 180° – ◡BDC.
112. Докажите, что если точки A, B и C не лежат на одной прямой, то точка
пересечения окружностей с диаметрами AB и BC, отличная от B, лежит на прямой
AC.
113. Две окружности имеют общую точку M и общую касательную в этой точке.
Прямая AB касается одной окружности в точке A, а другой – в точке B. Найдите
угол AMB.
114. На рисунке 166 прямая AB – касательная к окружности, B – точка касания.
Докажите, что
115. Вершины остроугольного треугольника ABC лежат на окружности с центром
O, отрезок AH – высота этого треугольника. Докажите, что ∠OAC = ∠BAH.
116. Вершины треугольника ABC лежат на окружности. Хорды AA₁, BB₁ и CC₁
содержат его биссектрисы. Выразите углы треугольника ABC через углы
треугольника A₁B₁C₁.
117. Отрезки AA₁ и BB₁ – высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что
∠AA₁B₁ = ∠ABB₁.
118. Высоты AA₁ и BB₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
Докажите, что ∠CHB₁ = ∠CA₁B₁.
119. Из точки M катета AC прямоугольного треугольника ABC проведен
перпендикуляр MH к гипотенузе AB. Докажите, что ∠MHC = ∠MBC.
120. Исходя из рисунка 167, докажите, что AP = AQ.
121. Точки A, B, C и D лежат на одной окружности, луч BD содержит биссектрису
BM треугольника ABC. Докажите, что ∠AMD = ∠BAD.
122. Хорды AB и CD – взаимно перпендикулярны, луч AB – биссектриса угла DAE.
Докажите, что AE ⊥ BC. Рассмотрите все возможные случаи.
123. На сторонах угла с вершиной O отложены равные отрезки OA и OB, а во
внутренней области этого угла отмечена точка C. Постройте точку M так, чтобы
угол MAO был равен углу MBO, а отрезок MC был равен отрезку AB. Сколько
решений может иметь эта задача?
124. Постройте равнобедренный треугольник:
а) по боковой стороне и углу при основании;
б) по основанию и медиане, проведенной к основанию;
в) по основанию и углу между боковыми сторонами.
125. Постройте прямоугольный треугольник:
а) по острому углу и высоте, проведенной к гипотенузе;
б) по острому углу и биссектрисе, проведенной из вершины этого угла.
126. Постройте треугольник:
а) по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон;
б) по двум сторонам и высоте, проведенной к третьей стороне;
в) по углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла;
г) по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. Сколько решений
может иметь эта задача?
127. Постройте угол, равный 160°, 75°, 105°.
128. Постройте остроугольный треугольник ABC по сумме углов A и B, высоте BD и
стороне AC.
129. Постройте остроугольный треугольник ABC по разности углов A и B, высоте
CD и стороне BC.
130. На стороне AC треугольника ABC отмечены точка M. Постройте треугольник
ABC по отрезкам AB, BM и углам AMB, BCM.
131. На стороне AC треугольника ABC отмечены точка M. Постройте треугольник
ABC по отрезкам BC, AM и углам ABM, AMB.
132. Разделите данный угол в 54° на три равные части.
133. Разделите данный угол в 35° на семь равных частей.
Задачи повышенной трудности к
"Окружность"
176. К двум окружностям с центрами O и O₁ проведены две общие касательные, не
пересекающие отрезка OO₁, и одна общая касательная, пересекающая их в точках
A, B и касающаяся окружностей в точках A₁, B₁. Докажите, что AA₁ = BB₁.
177. Внутри угла ABC равностороннего треугольника ABC взята точка M так, что
∠AMB = 30° и ∠MBC = 23°. Найдите углы BAM и BCM.
178. Гипотенузы BC и B₁C₁ прямоугольных треугольников ABC и A₁B₁C₁ равны, AB
< A₁B₁. Докажите, что AC > A₁C₁.
179. Докажите, что основания высот остроугольного треугольника являются
вершинами треугольника, в котором эти высоты являются биссектрисами.
180. Вершины P и E равностороннего треугольника APE лежат на сторонах BC и
CD прямоугольника ABCD, точки K и M – середины сторон AE и AP. Докажите, что
треугольники BKC и CMD – равносторонние.
181. Вершины A и B треугольника ABC с прямым углом C скользят по сторонам
прямого угла с вершиной P. Докажите, что точка C перемещается при этом по
отрезку.
182. Через данную точку M проведены всевозможное прямые, на которых данная
окружность с центром O отсекает отрезки, являющиеся ее хордами. Что
представляет собой множество середин таких хорд, если точка M:
а) лежит вне окружности;
б) лежит внутри окружности и не совпадает с центром;
в) лежит на окружности?
183. Отрезок AB является диаметром окружности с центром O. На каждом радиусе
OM окружности отложен отрезок OX, равный перпендикуляру, проведенному из
точки M к прямой AB. Что представляет собой множество точек X?
184. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей
стороне.
185. Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку.
Постройте точку, равноудаленную от этих прямых. Сколько решений имеет
задача?
186. На данной окружности постройте точку, равноудаленную от двух данных
пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?
187. Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудаленную от
концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?
188. Точки A и B лежат по одну сторону от прямой a. Постройте точку M прямой a
так, чтобы сумма AM + MB была меньше суммы AX + XB, где X – любая точка
прямой a, отличная от M.
189. Даны окружность с центром O и точка A вне нее. Проведите через точку A
прямую, пересекающую окружность в точках B и C, так, что AB = BC. При каком
соотношении между отрезком OA и радиусом R окружности задача имеет
решение?
190. Постройте треугольник по периметру и двум углам
191. Постройте треугольник по стороне, разности углов при этой стороне и сумму
двух других сторон.
192. Даны отрезок AB и прямая a, пересекающая этот отрезок. Постройте на
прямой a точку C так, чтобы эта прямая содержала биссектрису треугольника ABC.
Всегда ли задача имеет решение?
193. Постройте общую касательную к двум данным окружностям. Сколько
решений может иметь эта задача?
Задачи с практическим
содержанием к главе 3
"Окружность"
1. Градусная мера дуги обода велосипедного колеса, расположенной между двумя
соседними спицами, равна 20°. Сколько спиц в колесе?
2. Сколько оборотов должна сделать секундная стрелка часов, чтобы часовая
стрелка повернулась на 1°?
3. На листе бумаги нарисована дуга окружности. Как (с помощью циркуля и
линейки) построить все окружность?
4. В парке расположена клумба радиуса 3 м. В семи метрах от центра клумбы
проходит дорожка (OA = 7 м на рис. 178). Строители начали рыть траншею под
углом 60° к дорожке (см. рисунок). Не заденет ли эта траншея клумбу?
5. В плоскости расположено 5 зубчатых колес так, что первое колесо сцеплено
своими зубьями со вторым, второе – с третьим, третье – с четвертым, четвертое – с
пятым, а пятое – с первым. Могут ли вращаться колеса такой системы?