ltrepalin2

Вписанные четырехугольники.
1.1.Из произвольной точки M катета BC прямоугольного треугольника ABC на гипотенузу AB опущен
перпендекуляр MN. Докажите, что ‫ﮮ‬MAN=‫ﮮ‬MCN.
1.2.Из произвольной точки M, лежащей внутри данного угла с вершиной A, опущены перепендекуляры MP
и MQ на стороны угла. Из точки A опущен перпендекуляр AK на отрезок PQ. Докажите, что
‫ﮮ‬PAK=‫ﮮ‬MAQ.
1.3.В треугольнике ABC проведены медианы AM и BL. Докажите, что если ‫ﮮ‬CAM=‫ﮮ‬CBL, то AC=BC.
1.4.Продолжения сторон AB и CD вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а
продолжения сторон BC и AD -- в точке Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB и BPC
со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба.
1.5.Четырехугольник ABCD вписанный; P и Q – ортоцентры треугольников ABD и ABC. Докажите, что
CDPQ – параллелограмм.
1.6.Внутри четырехугольника ABCD взята точка M так, что ABMD – параллелограмм. Докажите, что если
‫ﮮ‬CBM=‫ﮮ‬CDM, то ‫ﮮ‬ACD=‫ﮮ‬BCM.
1.7.Вокруг правильного треугольника APQ описан прямоугольник ABCD, причем точки P и Q лежат на
сторонах BC и CD соответственно; K и L - середины сторон AP и AQ. Докажите, что треугольники BLC и
CKD правильные.
1.8.Докажите, что если для вписанного четырехугольника ABCD выполнено равенство CD=AD+BC, то
точка пересечения биссектрис углов A и B лежит на стороне CD.
1.9.Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на его стороны
являются вершинами описанного четырехугольника, если только они не попадают на продолжения сторон.
1.10.Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендекулярны, то проекции точки пересечения
диагоналей на стороны являются вершинами вписанного четырехугольника.
1.11.Продолжения сторон четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром O, пересекаются в
точках P и Q,а диагонали в точке S. Докажите, что высоты треугольника PQS пересекаются в точке O.
2.1. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O . Описанные окружности
треугольников AOB и COD пересекаются на стороне AD . Докажите, что AO > AB .
2.2. В треугольнике ABC на сторонах AB , BC и AC выбраны точки K , L и M соответственно так, что ‫ ﮮ‬BLK
= ‫ ﮮ‬CLM = ‫ ﮮ‬BAC . Отрезки BM и CK пересекаются в точке P . Докажите, что четырехугольник AKPM –
вписанный.
2.3. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF диагонали AD , BE и CF равны. Пусть P – точка пересечения
диагоналей AD и CF , R – точка пересечения диагоналей BE и CF, Q – точка пересечения диагоналей AD и
BE . Известно, что AP = PF , BR = CR и DQ = EQ . Докажите, что точки A , B , C , D , E и F лежат на одной
окружности.
2.4. Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC вписанного четырехугольника ABCD пересекают
сторону AD в точках X и Y соответственно. Докажите, что середина стороны BC равноудалена от прямых BX
и CY .
2.5. AD – диаметр окружности, описанной около четырехугольника ABCD . Точка E симметрична точке A
относительно середины BC . Докажите, что DE ┴ BC .
2.6. В треугольнике ABC с углом B , равным 60 o , проведена биссектриса CL . Пусть I – центр вписанной
окружности треугольника ABC . Описанная окружность треугольника ALI пересекает сторону AC в точке D .
Докажите, что точки B , L , D и C лежат на одной окружности.
2.7. Дан выпуклый четырехугольник ABCD такой, что ‫ ﮮ‬ABC = 90 o , AC = CD и ‫ﮮ‬BCA = ‫ﮮ‬ACD . Точка F –
середина отрезка AD . Отрезки BF и AC пересекаются в точке L . Докажите, что BC = CL .
2.8. Дан вписанный четырехугольник ABCD такой, что ‫ ﮮ‬ABC + ‫ ﮮ‬ABD = 90o . На диагонали BD отмечена
точка E такая, что BE = AD. Из нее на сторону AB опущен перпендикуляр EF . Докажите, что CD + EF < AC.
2.9. Дан остроугольный треугольник ABC . B1 , C1 – основания высот из вершин B , C соответственно. Точка
D – основание перпендикуляра из B1 на AB , E – точка пересечения перпендикуляра, опущенного из из точки
D на сторону BC , с отрезком BB1 . Докажите, что прямая EC1 параллельна AC .