Почтенных Е.А., Ерофеева Л.В. - Бинарный урок

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ
ОРЕХОВСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ
БИНАРНЫЙ УРОК-КОНФЕРЕНЦИЯ
по теме:
«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
Дисциплины:
«Элементы высшей математики»
«Информационные технологии»
Методическое пособие для преподавателей
по организации и проведению бинарных уроков
Авторы: Ерофеева Л.В.
Почтенных Е.А.
г. Орехово-Зуево
2012 г.
АННОТАЦИЯ
При
подготовке
бинарного
урока-конференции
по
дисциплинам
«Элементы высшей математики» и «Информационные технологии» авторы
ставили пред собой такие задачи как:
- показать студентам межпредметные связи;
- заинтересовать студентов второго курса в их дальнейшем изучении
предмета «Информационные технологии» с помощью приемов решения систем и
линейных уравнений с n-неизвестными методом Крамера и матричным способом
в Microsoft Excel.
При проведении такого бинарного занятия достигается очень важная цель
– преемственность поколений
(занятия проводятся среди студентов II и III
курсов).
Выступления студентов с подготовленными презентациями помогает им
воспитать в себе раскованность и контактность в общении с аудиторией,
развивает навыки самостоятельной работы с учебной и научной литературой,
учит их выделять главное перерабатываемом материале.
По ходу занятия были рассмотрены, обсуждены и закреплены такие темы
линейной алгебры как «Определители и их свойства», «Матрицы. Действия над
матрицами. Обратная матрица», «Решение систем и линейных уравнений с nнеизвестными методом Крамера» «Решение систем и линейных уравнений с nнеизвестными матричным методом».
Авторы надеются, что их методика поможет в проведении бинарных
занятий по другим учебным дисциплинам.
Ерофеева Л.В.
Почтенных Е.А.
Тип урока: урок обобщающего повторения при подготовке к экзамену.
Цели урока:
- восстановить, обобщить и углубить теоретические и практические
знания по ранее изученной теме;
- прививать студентам навыки самостоятельной работы с учебной и
научной литературой, учить их выделять главное в перерабатываемом материале;
- воспитывать раскованность, коммуникабельность, контактность в
общении с аудиторией;
- показать предметные связи между дисциплинами «Элементы высшей
математики » и « Информационные технологии».
Оборудование: комплект мультимедиа, персональные компьютеры.
Подготовка к уроку:
- предварительно назначены студенты – докладчики; с ними
обговаривается используемая литература.
- всем студентам дается задание повторить основные вопросы по теме.
Ход урока:
Преподаватель математики:
Тема сегодняшнего нашего занятия «Матрицы. Определители. Решение
n – линейных уравнений с n неизвестными методами Крамера, Гаусса,
матричным методом».
Эта тема в высшей математике играет существенную роль и изучается не
только в техникуме, но и в высших учебных заведениях.
Перед ребятами – докладчиками стояла задача не только в подборе
материала по соответствующему вопросу, но и в представлении его в
электронном виде с использованием программы Microsoft Power Point, на что
было потрачено немало усилий.
Мы сегодня прослушаем доклады по темам:
- «Определители и их свойства».
- «Матрица. Действия над матрицами. Обратная матрица».
- «Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными методом
Крамера».
- «Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными методом
Гаусса».
- «Решение систем линейных уравнений с n неизвестными матричным
методом».
Хочу обратить ваше внимание, что цель нашего занятия – обобщить
имеющиеся у вас знания и углубить их.
Механизм вашей работы на занятии – не просто слушать сообщения
товарищей, но и кратко конспектировать их, выделяя главное.
В процессе прослушивания докладов у вас, разумеется, будут возникать
вопросы к докладчику, которые также необходимо фиксировать в тетради, чтобы
задать их докладчику при последующем обсуждении. Для этого разделите
тетрадную страницу на 2 неравные графы: в левой (широкой) – тезисы доклада, в
правой – вопросы к докладчику.
После каждого выступления вам будут предложены задания и будут
заданы вопросы, так что слушайте внимательно!
Определители и их свойства. Определитель матрицы. Вычисление
определителей второго и третьего порядков
Пусть дана квадратная матрица второго порядка
Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим
данной матрице, называется число а11 а22-а12 а21
Определитель второго порядка записывается так
det A 
a11
a12
a21
a22
 a11a22  a12a21
Отметим, что определитель второго порядка равен разности попарных
произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Вычислим определитель второго порядка:
а)
2
5
3 4
; б)
а 2 ab
;
ab b 2
Решение :
а)
2
5
 2(4)  5(3)  8  15  7;
3 4
б)
а 2 ab
 a 2  b 2  ab  ab  a 2b 2  a 2b 2  0
2
ab b
Определители третьего порядка.
При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться
правилом треугольника (правилом Сарруса) это правило вы видите на схеме:
Три положительных члена определителя представляют собой
произведение элементов главной диагонали и элементов, находящихся в
вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны
главной диагонали. Три отрицательных его члена есть произведения элементов
побочной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных
треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали.
Свойства определителей:
1) При перестановке 2-х строк или столбцов определитель изменит
знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, например:
Приведем доказательство этого свойства на примере определителя второго
порядка:
2) Если определитель имеет две одинаковые строки или столбца,
то он равен нулю.
Например:
Действительно, если переставить здесь 2-ю и 3-ю строки, то по свойству 2
этот определитель должен изменить знак, но сам определитель в данном случае не
меняется, т.е. получаем |A| = –|A| или |A| = 0.
3) Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак
определителя.
Например:
Алгебраические дополнения и миноры
Пусть имеем определитель третьего порядка:
Минором, соответствующим данному элементу aij определителя третьего
порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного
вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент,
т.е. i-ой строки и j-го столбца. Миноры соответствующие данному элементу aij
будем обозначать Mij.
Например, минором M12, соответствующим элементу a12, будет
определитель, который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой
строки и 2-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется
его минор Mij, умноженный на (–1)i+j.
Алгебраическое
дополнение
элемента
aij
обозначается
Aij.
Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением
элемента и его минором выражается равенством Aij =(1)i+jMij.
Например:
Пример. Дан определитель
Найти: A13, A21, A32.
А13 
3 2
0 1
1 1
 (1)13  М 13   3  8  11. А21  
 2.
 2  1  1. А32  
4 1
3 2
1 2
Теорема
(о разложении определителя по заданной строке или столбцу)
Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки
(или столбца) на их алгебраические дополнения.
Всё вышесказанное справедливо и для определителей любого более
высокого порядка.
Примеры.
Вычислить определитель раскладывая его по элементам 2-го
Матрица. Действия над матрицами. Обратная матрица
Определение матрицы. Действия над матрицами.
Матрицы
Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную
таблицу, которая содержит «m» строк и «n» столбцов. Для записи матрицы
используется следующее обозначение:
 а11

 а21
 ...

а
 m1
а12
a22
...
am 2
... a1n 

... a2 n 
... ... 

... amn 
Для любого элемента первый индекс i означает номер строки, а второй
индекс j –номер столбца.
Виды матриц
Если число строк матрицы не равно числу столбцов (m ≠ n), то матрица
называется прямоугольной. Таковы, например, матрицы:
 а11 а12 a13 a14 


 а11 а12 a13 a14 a15 


 а21 a22 a23 a24 

,
B

а
a
a
a
a
 21
22
23
24 25 
a31 a32 a33 a34 
a


a32 a33 a34 a35 
31

а

 41 a42 a43 a44 
Если число строк равно числу столбцов (m= n), то матрица называется
квадратной. Например, квадратными являются матрицы:
 а11 а12 a13 a14 


 а21 a22 a23 a24 
 a11 a12 
 , B  
  
,
a
a
a
a
a
a
34
33
 21 22 
 31 32

а

a
a
a
44 
43
 41 42
Число строк или столбцов квадратной матрицы называется её порядком.
Так, в последнем примере порядок матрицы А равен 2, а порядок матрицы В
равен 4.
Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:
 а11 а12 ... a1n 


а
a
a
...

22
2n 
   21
... ... ... ... 


а

...
a
a
 n1
n2
nn 
Диагональ содержащую элементы a11, a22,…,ann будем называть главной,
а диагональ, содержащую элементы a1n , a2,n1, ..., an1 - побочной (или
вспомогательной).
Среди квадратных матриц выделим матрицы, у которых отличны от нуля
только элементы, находящиеся на главной диагонали:
... 0 
 а11 0


  0
a22 ... 0 
0
... ann 
0

Такие элементы называются диагональными; например, матрицы
1
0 0
0 
0 0 0

 1


2 0 
 , B   0 2 0 0 
  
0 0  3 0 
 0  1


являются диагональными матрицами второго и четвертого порядка.
Если матрице все числа главной диагонали равны единице, то матрица
называется единичной и обозначается и обозначается буквой Е:
1 0 0 


  0 1 0
0 0 1 


Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой
матрицей и обозначается так:
0

0

...

0
... 0 

... 0 
... ... ...

0 ... 0 
0
0
В прямоугольной матрице типа m n возможен случай, когда m=1. При
этом получается матрица-строка:
  a11 a12 ... a1n 
В случае, когда n=1, получаем матрицу-столбец:
 a11 
 
a 
   21 
...
 
a 
 m1 
Такие матрицы называются векторами.
Равенство матриц
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое число
строк m и столбцов n и их соответствующие элементы равны: aij  bij .
Так, матрицы:
 b11 b12 b13 
a13 

   
b
b
b
a23 
 21 22 23 
a  b13 , a21  b21, a22  b22 , a23  b23.
равны, если a11  b11, a12  b12 , 13
Равные матрицы обязательно имеют одно и тоже строение: либо обе они
прямоугольные типа m × n, либо квадратные одного и того же порядка n.
a
a
   11 12
 a21 a22
Если в матрице типа m × n, имеющий
 а11

вид    а21
 ...

а
 m1
а12
a22
...
am 2
... a1n 

... a2 n 
... ... 

... amn 
переставить строки со столбцами, получим матрицу типа n × m, которую будем
называть транспонированной матрицей:
 а11 а21

a22
а
   12
... ...

а
 1n a2 n
... am1 

... am 2 
... ... 

... amn 
В том случае, когда матрица состоит из одной строки (матрица-строка)
транспонированная матрица является матрицей-столбцом.
Линейные операции над матрицами
Суммой матриц A и B условимся называть такую матрицу, элементы
которой равны сумме соответствующих элементов матриц A и B. Складывать
можно только матрицы, имеющие одинаковое строение или квадратные порядка
n. Пусть
 а11

а
   21
...

а
 m1
а12
a22
...
am 2
... a1n 

... a2 n 
... ... 

... amn 
 b11

b
   21
...

b
 m1
b12
b22
...
bm 2
... b1n 

... b2 n 
... ... 

... bmn 
Тогда сумма матриц С=А+В, имеет вид:
 с11

с
С   21
...

с
 m1
где
с12
с22
...
сm 2
... с1n 

... с2 n 
... ... 

... сmn 
с12  a12  b12 ; сij  aij  bij , сmn  amn  bmn ,
Сложить матрицы A и B, если:
с11  a11  b11,
 1 3 

  
 4 
1
 2 4

  
 1 3 
Решение:
 2 1
4  3  1 7 
C=A+B=   1  1 3  4    0  1

 

Нельзя складывать матрицу типа 2 × 3 с матрицей типа 3 × 2 так как можно
складывать только прямоугольные матрицы и матрицы одного типа.
Мы видим, что сложение матриц сводится непосредственно к сложению их
элементов, являющихся числами, поэтому на сложение матриц распространяются
важнейшие свойства чисел.
Для любой матрицы А существует матрица - А, такая, что А=(-А)=0,
т.е. матрица, противоположная А.
Произведением матрицы А на число К называется такая матрица КА,
,
каждый элемент которой равен aijт.е.
 а11 а12 ... a1n 
 а11 а12 ... a1n 




 а21 a22 ... a2 n 
 а21 a22 ... a2 n 
Если А= 

, то
А= 


...
...

а
 m1 am 2
... ...

... amn 

... ...
...
...


 а

...

a

a
m2
mn 
 m1
Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех
элементов матрицы.
 2 1 4 


Умножить матрицу A   0 5  3  на число k=3.
 2 1 0 


 3 12 

15  9 
 6 3 0 



Решение.

Умножая каждый элемент матрицы А на 3, получим: 3   0
6
Найти матрицу, противоположную матрице А, если:
 2  1 5

Α  
 0 4 3
Решение. Для нахождения противоположной матрицы умножаем матрицу
А на k = -1:
 5
 2 1

   
 4  3 
0
Умножение матриц
Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка.
Пусть
b b 
a a 
   11 12  .
   11 12  ,
 b21 b22 
 a21 a22 
Произведением этих матриц называется матрица:
a b a b 
a b  a b
C     11 11 12 21 11 12 12 22  ,
 a21b11  a22b22 a21b12  a22b22 
c11  a11b11  a12b21
Чтобы найти элемент c11 первой строки и второго столбца матрицы С,
нужно каждый элемент первой строки матрицы А (т.е. a11 и a12) умножить на
соответствующий элемент первого столбца матрицы В (т.е. b11 и b12) и
полученные произведения сложить.
Чтобы найти элемент первой строки и второго столбца матрицы С, нужно
умножить все элементы первой строки (a11 и a12) на соответствующие элементы
второго столбца (b11 и b12) и полученные произведения сложить:
c12  a11b12  a12b22
Аналогично находятся элементы
c21и c22
Свойства умножения матриц
 2  1
3 1 
 ,   
Найдем
  
.
произведения АВ и ВА
1
3
1

1




 2  1  3 1   2  3   1 1 2 1   1  1  5 3 
 
  
  

  


1
3
1

1
1

3

3

1
1

1

3


1
6

2


 
 

3   1  1 3   7 0 
 3 1   2  1  3  2  11
 
  
  

  






1

1
1
3
1

2


1

1
1


1


1

3
1

4


 
 

Мы видим, что АВ≠ВА. Этот пример показывает, что произведение двух
матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону.
Можно проверить, что для умножения матриц выполняется сочетательный
закон:
А(ВС)=(АВ)С, а так же распределительный закон:
(А+В)С=АС+ВС
Отметим следующий любопытный факт. Известно, что произведение двух
отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц это не всегда справедливо,
т.е. возможен случай, когда произведение двух ненулевых матриц может
оказаться равный нулевой матрице. Например, если:
то
1
  
1
1
1  1
 ,   
 ,
1

1
1


11  1  1 1  1  11  0 0 
  

  




1

1

1


1
1


1

1

1
0
0

 

Обратная матрица
Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель
равен нулю, и невыраженной, если ее определитель не равен нулю.
Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется
матрица, которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), дает
единичную матрицу.
1
 1   1  .
Обозначив обратную матрицу через  , запишем
Если обратная матрица
существует, то матрица A называется
1
обратимой.

Операция вычисления обратной матрицы при условии, что она существует,
называется обращением матрицы. Нахождение обратной матрицы имеет
большое значение при решении систем линейных уравнений и в вычислительных
методах линейного программирования.
Теорема
Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и
достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т. е. чтобы ее
определитель был отличен от нуля.
Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков
Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:
1. Находят определитель матрицы А.
2. Находят алгебраические дополнения всех элементов a матрицы А и
записывают новую матрицу.
3. Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспортируют
матрицу).
4. Умножают полученную матрицу на 1/D.
Найдите матрицу, обратной матрице
 2  1

А  
4 3 
Решение
Находим определитель матрицы А:
D
2 1
 2  3   1 4  6  4  10
4 3
Так как D≠0, то данная матрица является невырожденной и, следовательно,
существует обратная матрица.
Найдем алгебраические дополнения каждого элемента:
11   1  3  3,
12   1  4  4,
 21   1   1  1,
Тогда получим матрицу
22   1
11
2 1
1 2
2 2
 2  2.
3  4


1
2


1
3

  4 2
Транспонируем эту матрицу: 
Умножим полученную матрицу на 1/D, т.е. на 1/10:
1   3 / 10 1 / 10 
1 3


 1  
10   4 2    2 / 5 1 / 5 
1
,
Проверим полученный ответ. Выполнив умножение  находим
1   2  3   1    2 
1
1
3

 2    1  


 2  1  10 10   10
 5
10
5  1 0 








4
3
2
1
1
1
0
1
3
2



 


4   3

  4   3    

10
5 
 5 5   10
 5
Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными методом Крамера
Теорема
Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой
отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное.
Свойства
a) Если ∆ не равен 0,то эта система имеет только одно решение.
б) Если ∆= ∆x= ∆y= ∆z , то система имеет бесконечное множество решений
в) Если ∆=0,а ∆ x ≠0, ∆ y ≠0, ∆ z ≠0,то система не имеет решения
Формулы Крамера выглядят в общем виде:
x
X=

z
Z=

y
Y=

Метод Крамера – общая формула рассмотрена на примере
(главный определитель)=
∆x=
∆y=
∆z=
Пример
5 x  8 y  z  2

3x  2 y  6 z  7
2 x  y  z  5

5 8
  3 2
2
1
6  107
2 8
x   7  2
1
1
6  321
1
6  214
2  5 1
1
1
5
5 2
y  3  7
5 8
2
z  3  2  7  107
1
2
1
5
Вычисляем по формулам Крамера X,Y,Z
x
 321
 3
107
y
214
2
107
z
107
1
107
Ответ:
(3;2;1; )
Задание
Решить систему неравенств

2 3
 1  12  2
4 5
x 
7 3
 35  6  29
2 5
у 
2 7
 4  28  24
4 2
2 x  3 y  7

4 x  5 y  2
x
 29
 14,5
2
y
 24
 12
2
Ответ: {(14,5;12)}
Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными методом Гаусса
Введение
Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному
уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными.
Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений
1ой степени с n неизвестными:
a11x1 + … + a1n xn = b1;
a21x1 + … + a2n xn = b2;
…………………………..
am1x1+… + amnxn = bm
Здесь x1, … , xn – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что
индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение
систем 1ой степени определяется не только тем, что они простейшие. На
практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами,
старшими
степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами
сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение
систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном
решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г.Лейбниц (1693) обратил
внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее
существенной является таблица, состоящая из коэффициентов, и показал, как из
этих коэффициентов (в случае m = n) строить так называемые определители, при
помощи которых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии
такие матрицы стали предметом самостоятельного изучения, так как
обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем
линейных уравнений.
Решения систем n линейных уравнений с n неизвестными по методу Гаусса
При решении систем линейных уравнений используют также метод Гаусса
(метод последовательного исключения неизвестных). Он состоит в следующем:
систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей
(системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают).
Эти действия называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы
переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).
При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:
1) умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и
то же число;
2) сложение и вычитание уравнений;
3) перестановку уравнений системы;
4) исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при
неизвестных и свободные члены равны нулю.
Пример 1. Используя метод Гаусса, решить систему уравнений
3x  2y - z  4,

2x - y  3z  9,
x - 2y  2z  3.

Решение. Переставим третье уравнение на место первого:
Запишем расширенную матрицу:
1  2 2

 3 2 1
 2 1 3

3

4
9 
x - 2y  2z  3,

3x  2y - z  4,
2x - y  3z  9.

Чтобы в первом столбце получить a21= a31=0, умножим первую строку
сначала на 3, а затем на 2 и вычтем результаты из второй и третьей строк:
3  *3*2
1  2 2


 5
0 8  7
0 3 1
3 

Разделим вторую строку на 8, полученные результаты умножим на 3 и
вычтем из третьей строки:


1  2 2
3 


5 3
0 1  7

*

8
8 8

13
39 
0 0

8
8 

Запишем новую эквивалентную систему, которой соответствует
расширенная матрица:

x - 2y  2z  3,

7
5

y- z   ,

8
8

13
39

z

8
8
Выполняя обратный ход, с помощью последовательных подстановок
находим неизвестные:
13
39
z ;
8
8
z  3.
7
5
*3   ;
8
8
5 21
y 
 2;
8 8
y
x - 2 * 2  2 * 3  3;
x  3 4-6 1
Ответ: (1; 2; 3).
Пример 2. Найти общее решение системы уравнений :
Решение. Составим матрицу В и преобразуем её:
В=
Из коэффициентов полученной матрицы составим систему, равносильную
исходной:
Из второго уравнения выразим x2 через x3: х2 = –20 – 7x3. Поставив в первое
уравнение системы значение x2, получим x1 = 70 + 23x2. Итак, имеем общее
решение исходной системы:
Система имеет бесконечное множество решений.
Пример 3. Решить систему уравнений
Решение. Составим матрицу В и преобразуем ее:
В=
Составим систему уравнений, равносильную исходной:
Система уравнений решений не имеет, так как мы получили уравнение
0x1+0x2+0x3=5, которое не имеет решений.
Пример для группы
x-4y-2z=0
3x-5y-6z=-21
3x+y+z=-4
1  4  2 0 


 3  5  6  21  3
3 1 1  4 


1  4  2 0 


 0 7 0  21  3
3 1 1  4 


7z=35 7y=-21 x-4*(-3)-2*5=0
z=5
y=-3
x+12-10=0
x=-2
Ответ:-2; -3; 5
1  4  2 0 

 13
 0 7 0  21 
 0 13 7  4  7


1  4  2 0 


 0 7 0  21
 0 0 7 35 


Решение систем линейных уравнений с n неизвестными матричным методом
Решение матричных уравнений
Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно
n неизвестных х1, х2, …, хn:
a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  B1
a x  a x  ...  a x  B
 21 1 22 2
2n n
2

. . . . . . . .
an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  Bn
В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная систем
линейных уравнений может быть записана в матричном виде АX= B,
a11
a
A   21
...

an1
a12 ... a1n 
a22 ... a2 n 
,
... ... ...

an 2 ... ann 
 x1 
x 
X   2,
... 
 
 xn 
b1 
b 
B 1
... 
 
bn 
Если матрица А - невырожденная, то есть det A не равен 0, то система, или
эквивалентное ей, матричное уравнение, имеет единственное решение.
В самом деле, при условии det A не равно 0 существует обратная матрица
-1
А . Умножая обе части уравнения на матрицу А-1 получим:
X  A1 B.
A1 AX  A1B,
Для того чтобы решить матричное уравнение, нужно:
1. Найти обратную матрицу A-1
2. Найти произведение обратной матрицы
A-1 на матрицу-столбец
свободных членов
3. Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.
Рассмотрим матричное уравнение
1 2 
7 


X   
3 4
17 
Решение
1. Будем искать обратную матрицу A-1 . Найдём определитель матрицы
1 2
D
 1 4  2  3  4  6  2  0
3 4
Вычислим алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы A:
A11  (11)11  4  4
A12  (1)1 2  3  3,
A 21  (1)12  2  2
A 22  (1) 2 2 1  1,
Запишем матрицу  4  3  и транспонируем её:
 2 1
 4  2


3 1 
Учитывая, что 1/D =-1/2, запишем обратную матрицу:
 2 1 
 4  2 

   3
A  1  1 / 2
1
 
3 2 
2
2
2. Умножим матрицу A-1 на матрицу B:
 2 1 
 (2)  7  1 17 

 7  
 3 
XA B3
1       3
1
   2 
17


7

(

)

17

   
  
2
2
2
2

1
 x1   3 
3. Так как     , то по определению равных матриц получим
 x2   2
x2  2
x1  3
Пример. Записать и решить в матричной форме систему уравнений
3x1  x2  x3  2

 x1  x2  x3  2
x  2x  2x  7
2
3
 1
Введём обозначение:
 x1 
 3 1  1
 2
 


 
A  1  1 1 , X   x1 , B   2 
x 
1 2 2 
7


 
 1
 3 1  1  x1   2 

    
Тогда данная система в матричной форме примет вид
1

1
1

   x1    2 
1 2 2   x   7 

  1  
Чтобы решить систему по формуле X  A 1 B. , нужно найти матрицу,
обратную матрице A.
3 1 1
Её определитель
A  1  1 1  6  1  2  1  6  2  16  0
1 2 2
Следовательно, матрица A- неособенная и для неё существует обратная.
Для этого вычисляем алгебраические дополнения
А11 
1 2
 4
1 2
А21  
А31 
1 1
 4
2 2
1 1
1 1
0
A12  
А22 
А32  
1 1
 1
1 2
А13 
1 1
1 2
3 1
7
1 2
А23  
3 1
 4
1 1
А33 
3
3 1
 5
1 2
3 1
 4
1 1
Из полученных алгебраических дополнений получим матрицу
  4  4 0
Транспонируем ее   1 7  4 
3  5  4 


  4 1 3 


 4 7  5
 0  4  4


И по формуле находим матрицу А-1 , обратную матрице А
0,25
0
  4  4 0   0,25




1
A 1 
  1 7  4    0,0625  0,4375 0,25 
 16 
 

 3  5  4    0,1875 0,3125 0,25 
Используя формулу X  A 1 B. получим
0,25 0   2   0,25  2  0,25  2  0  7
 0,25
 1 

  
  
X   0,0625 0,4375 0,25    2    0,0625  2  0,4375  2  0,25  7   1 
 0,1875 0,3125 0, 25   7   0,1875  2  0,3125  2  0,25  7   2 

  
  
Итак x1  1, x 2  1, x3  2или
1;
1; 2-решение данной системы.
Задание. Решить матричное уравнение
 3  1
 21

  X   
 2 1 
15 
Преподаватель информационных технологий:
Эти 5 докладов подготовили ребята группы В-21 и продемонстрировали
их при помощи компьютерной презентации. А студенты группы В-31 покажут
нам, как можно быстрее решить систему n – линейных уравнений с n –
переменными методом Крамера и решения систем n линейных уравнений с n
неизвестными матричным методом с помощью электронных таблиц в Microsoft
Excel.
Решение системы уравнения матричным способом в Microsoft Excel
Дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными
2 х1  3х2  х3  1,

 х1  2 х2  6 х3  10,
5 х  х  х  3;
 1 2 3
Преобразуем систему уравнений в матричную форму
Для этого коэффициенты при неизвестных и свободные члены переносим в
таблицу EXCEL. Получим прямую матрицу А и матрицу b
2
-3
1
-1
Прямая
Матрица b= -10
1
2
-6
матрица А=
5
1
1
3
Для решения системы необходимо найти обратную матрицу
Обратная
матрица А-1=
Результаты х=
Для получения обратной матрицы используем функцию МОБР
Для получения результатов матрицы используем функцию МУМНОЖ
{=МОБР(B17:D19)}
{=МУМНОЖ(B22:D24;G17:G19)}
Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными методом
Крамера в Microsoft Excel (Рудов Константин)
Исходная система
7 x1  x2  3x3  4 x4  11  0,
3x  5 x  6 x  6  0,
 2
3
4

 x1  9 x2  5 x3  1  0,
5 x2  3x3  10 x4  10  0;
Преобразуем исходную систему к стандартному виду
7 x1  x2  3x3  4 x4

3x2  5 x3  6 x4


 x1  9 x2  5 x3

5 x2  3x3  10 x4
 11,
 6,
 1,
 10;
Преобразуем систему уравнений в матричную форму
Для этого коэффициенты при неизвестных и свободные члены переносим в
таблицу Excel:
Главный определитель А Столбец В
7
1
3
4
11
0
3
5
-6
-6
1
9
5
0
1
0
5
-3
10
10
По формулам вспомогательных определителей заменяем столбцы
коэффициентов при соответствующих неизвестных столбцом свободных членов
и находим определители
Вспомогательный определитель А1
Вспомогательный определитель А2
7
11
3
4
11
1
3
4
0
-6
5
-6
-6
3
5
-6
1
1
5
0
1
9
5
0
0
10
-3
10
10
5
-3
10
Вспомогательный определитель А3
Вспомогательный определитель А4
7
1
11
4
7
1
3
11
0
3
-6
-6
0
3
5
-6
1
9
1
0
1
9
5
1
0
5
10
10
0
5
-3
10
Результаты находим по формуле Крамера. Для этого делим каждый
вспомогательный определитель на главный определитель системы А
Результаты
Х1
= R[-32]C[6]/R[-42]C[6]
Х2
= R[-25]C[6]/R[-43]C[6]
Х3
= R[-18]C[6]/R[-44]C[6]
Х4
= R[-12]C[6]/R[-45]C[6]
Подведения итогов:
Обсуждение оценок за доклады.