Бюджетное образовательное учреждение Чувашской Республики среднего профессионального образования «Чебоксарский экономико-технологический колледж» Министерства образования и молодежной политики Чувашской Республики Рабочая тетрадь по геометрии (для студентов СПО 1 курса экономического и технологического отделений) Разработчик: Чернова Т.В., преподаватель математики. г. Чебоксары 2014 Рецензия Данное пособие полностью соответствует примерной учебной и рабочей программам. Способствует самостоятельную работу студентов над освоением учебной дисциплины и формирует практические умения. Пособие является необходимым дополнением учебнику Л.С.Атанасяна и др. "Геометрия. 1011 классы" (издательство "Просвещение"). Основное назначение тетради - обеспечение решения задач студентами на занятиях и дома после ознакомления с новым учебным материалом. Тетрадь окажется полезной и при самостоятельном изучении материала учебника, например, если студент пропустил занятия изза болезни. ОГЛАВЛЕНИЕ: Прямые и плоскости в пространстве. 1. Аксиомы стереометрии 2. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак параллельности двух прямых. 3. Признак скрещивающихся прямых. 4. Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности двух плоскостей. 5. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. 6. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах. 7. Угол между прямой и плоскостью. 8. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей. Геометрические тела и поверхности. 1.Тело и его поверхность. Многогранники. Призма. Параллелепипед и его свойства. 2. Пирамида. Усеченная пирамида. 3. Правильные многогранники. 4. Поверхность тел вращения. Цилиндр. 5. Конус. Усеченный конус. 6. Шар и сфера. Прямые и плоскости в пространстве. 1.Аксиомы стереометрии. А1. Через любые три точки, ________________________________________________________, проходит плоскость, и притом _________________________. А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то______________________________________ лежат в этой плоскости. А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют _____________________________, на которой лежат ________________________________________ этих плоскостей. А1 А3 А2 Вопрос. Три точки лежат в каждой из двух различных плоскостей. Можно ли утверждать, что эти точки лежат на одной прямой? Ответ. Да. Так как каждая точка принадлежит обеим плоскостям, то эти плоскости по аксиоме ______ имеют __________________________________. Tеорема 1. Через прямую и __________________________________ точку проходит плоскость, и притом ___________________________. Дано: прямая a, М ∉ 𝑎. Доказать: а) через прямую а и точку M проходит плоскость; б) такая плоскость единственная. Доказательство. а) Пусть 𝑃 ∈ 𝑎, 𝑂 ∈ 𝑎. Точки _________________ не лежат на одной прямой, поэтому через эти точки по________________________ проходит некоторая плоскость α. Так как 𝑃 ∈ 𝛼, 𝑂 ∈ 𝛼, то прямая а лежит в плоскости α_______. Итак, плоскость α проходит через точку ______ и _______. б) Допустим, что через прямую а и точку M проходит еще одна плоскость β. Тогда точки _________ будут лежать и__________________ . Следовательно, по ________________ плоскости α и β __________________ . Таким образом, через точку _______ и ______ проходит_________________ плоскость. Теорема доказана. Теорема 2. Через две ________________________ прямые проходит плоскость, и притом _____________________ . Дано: прямые a и b, 𝑀 ∈ 𝑎, 𝑀 ∈ 𝑏. Доказать: а) через прямые a и b проходит плоскость; б) такая плоскость единственная. Доказательство. а) Пусть 𝑁 ∈ 𝑏, причем H и M - ____________________ точки, тогда по ___________________ через прямую a и точку H проходит плоскость 𝛼. Так как две точки ____ и ____ прямой b лежат в плоскости α, то по _______________ прямая b ___________________. Итак, через прямые a и b проходит ______________________. б) Допустим, что через прямые a и b проходит еще одна ______________ β. Тогда точка ______ и _______________ лежат в этой плоскости, поэтому, согласно ___________________ , плоскости α и β _______________ . Таким образом, через пересекающиеся прямые ____ и ____ проходит ____________ плоскость. Теорема доказана. Задачи: №1. На рисунке изображен куб. Назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые NE, MN, TP, PM; б) точки пересечения прямой MN с плоскостью DCC1, прямой СЕ с плоскостью ABD, прямой РМ с плоскостью ВСС1; в) прямые, по которым пересекаются плоскости АBС и В1C1N, AlBlCl и CDE; г) точки пересечения прямых АР и ЕС1, DE и B1C1, AT и A1D1. Ответ. а) Прямая NE лежит в плоскости DСС1, прямая MN лежит в плоскости _______, прямая TP лежит в плоскости _______ прямая РМ лежит в плоскости ________. б) прямая MN пересекает плоскость DCC1 в точке ______, прямая СЕ пересекает плоскость ABD в точке ______, прямая РМ пересекает плоскость ВCC1 в точке _____. в) плоскости AВС и В1C1N1 пересекаются по прямой _____, плоскости А1В1C1 и CDE пересекаются по прямой _____. г) прямые АР и EC1 пересекаются в точке ______, прямые DE и В1С1 пересекаются в точке _____, прямые AT и A1D1 пересекаются в точке ______. №2. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости 𝛼. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости 𝛼? Ответ обоснуйте (задача 9 учебника). Решение. Пусть смежные вершины В и C и точка О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD лежат в плоскости 𝛼. Тогда по аксиоме ______ прямые ______ и ______ лежат в плоскости 𝛼, и так как 𝐴 ∈ 𝐶𝑂, 𝐷 ∈ 𝐵𝑂, то точки __________________________________________ . Ответ. ______ №3. Точки M, N, P и Q не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые MQ и NP пересекаться? Ответ. ______. Если бы прямые MQ и NP пересекались, то, согласно ____________, эти прямые лежали бы в _______ плоскости, а поэтому точки _______________ также лежали бы в этой плоскости, что противоречит _____________. 2.Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак параллельности двух прямых. Лемма. Если одна из двух __________________________ прямых пересекает данную плоскость, то и _______________________________________ эту плоскость. Дано: 𝑎 ∥ 𝑏, 𝑀 - точка пересечения прямой a и плоскости 𝛼. Доказать: прямая b __________________________ Доказательство: Пусть 𝛽 – плоскость, в которой лежат параллельные прямые a и b. Так как 𝑀 ∈ 𝛼, 𝑀 ∈ 𝛽, то __________________________ плоскости 𝛼 и 𝛽 пересекаются по некоторой прямой p, проходящей через ___________________. Таким образом, в плоскости 𝛽 прямая p пересекает прямую a в точке ______ , а потому она __________________ и параллельную ей ____________ в некоторой точке N, причем точка 𝑁 ∈ 𝛼, так как _________ . Итак, N – общая точка прямой ____ и плоскости ____. Других общих точек с плоскостью 𝛼 прямая b не имеет. Действительно, если предположить, что прямая b ______________________________________ еще одну _______________________, то, согласно _____________________, прямая b будет целиком лежать в __________________ _, а значит, будет общей прямой _________________________ и потому совпадает _____________. Но это невозможно, так как по условию 𝑎 ∥ 𝑏, а прямые a и p ____________________________. Лемма доказана. Теорема (о трех параллельных прямых). Если две прямые параллельны третьей, то они ____________________________. Дано: 𝑎 ∥ 𝑐, 𝑏 ∥ 𝑐. Доказать: _______ Доказательство. Нужно доказать, что прямые a и b: 1) Лежат в одной _____________________. 2) Не _______________________________. 1) Пусть K – какая-нибудь точка на прямой b. Плоскость, проходящую через прямую a и точку K, обозначим буквой 𝛼. Прямая b лежит в плоскости 𝛼, то, согласно лемме ________________________________________________ ___________________________________, прямая c также будет пересекать плоскость 𝛼. Но 𝑎 ∥ 𝑐, поэтому и прямая a будет _____________________________________________, что невозможно, так как прямая a лежит в _________________________. Итак, прямые a и b лежат в одной плоскости. 2) Прямые a и b не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы ___________________________________, параллельные _______________, что невозможно. Итак, 𝑎 ∥ 𝑏. Теорема доказана. Задачи: №4. Точка D не лежит в плоскости ABC, точки E, F, G, K – середины отрезков AD, DC, BC и AB. а) Докажите, что точки E, F, G, K лежат в одной плоскости. б) Найдите периметр четырехугольника EFGK, если AC = 18 см, BD = 24 см. Решение. а) EF – средняя линия треугольника __________, поэтому 𝐸𝐹 ∥ _____ и EF = ______; KG – средняя _________________________ и потому _______________. Следовательно, 𝐸𝐹 ∥ _____, т.е. точки E, F, G, K лежат на параллельных прямых, а значит, лежат в одной __________________. б) Четырехугольник EFGK – параллелограмм, так как ________________________, причем EF = ____________, EK = _______________, а потому 𝑃𝐸𝐹𝐺𝐾 =____________________________. Ответ. б) ____________ №5. Сторона AB треугольника ABC лежит в плоскости 𝛼, а вершина 𝐶 ∉ 𝛼, точки M и N – середины сторон AC и BC. Докажите, что прямая 𝑀𝑁 ∥ 𝛼. Доказательство. Так как MN – средняя линия ________________, то 𝑀𝑁 ∥ 𝐴𝐵, а потому, согласно _________________________________, 𝑀𝑁 ∥ 𝛼. №6. Сторона AC треугольника ABC параллельна плоскости 𝛼, а стороны AB и BC пересекаются с этой плоскостью в точках M и N. Докажите что треугольники ABC и MBN подобны (задача 26 учебника). Доказательство. На рисунке плоскость ABC проходит через прямую ________, параллельную плоскости 𝛼, и пересекает ее по ________________, следовательно, __________, а потому ___________. 3.Признак скрещивающихся прямых. Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая _____________________________, в точке, _________ ____________________________________, то эти прямые скрещивающиеся. Дано: прямая AB лежит в плоскости 𝛼, прямая CD пересекает плоскость 𝛼, 𝐶 ∈ 𝛼, 𝐶 ∉ 𝐴𝐵. Доказать: прямые AB и СВ - _______________________________ Доказательство. Допустим, что прямые AB и CD не ____________________. Тогда они будут лежать в некоторой ________________ β. Так как в этой плоскости будут лежать прямая AB и C, то плоскость β совпадает с ________________________, а значит, прямая CD _______________ __________________________________________, что противоречит _______________________ . Теорема доказана. Задачи: №7. На рисунке изображен куб. Докажите, что прямые: а) AA1 и B1C1; б) A1D1 и DC; в) AC и BD1 являются скрещивающимися. Доказательство. А) Прямая B1C1 лежит в плоскости B1C1D1, а прямая AA1 пересекает эту плоскость __________________ , причем 𝐴1 ∉ 𝐵1 𝐶1 , так как ________________________ , поэтому, согласно ____________________________________, прямые AA1 и 𝐵1 𝐶1 являются _________________________________. б) ________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ в) ________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ №8. Прямые MN и PQ скрещивающиеся. Докажите, что прямые MQ и NP также скрещивающиеся. Доказательство. Допустим, что прямые MQ и NP не ______ ______________________________. Тогда они лежат в некоторой плоскости β. Так как 𝑀 ∈ 𝛽, 𝑁 ∈ 𝛽 и 𝑃 ∈ 𝛽, 𝑄 ∈ 𝛽, то, согласно ____________________, прямые ___________ также будут ______________________ . Но это противоречит условию. Значит, прямые MQ и NP _____________________ . 4.Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности двух плоскостей. Теорема (признак параллельности двух плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости _____________________________________________ двум прямым другой плоскости, то эти плоскости __________________________. Дано: 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑀; 𝑎, 𝑏𝜖𝛼 𝑎1 , 𝑏1 ∈ 𝛽; 𝑎 ∥ 𝑎1 , 𝑏 ∥ 𝑏1. Доказать: 𝛼 ∥ 𝛽. Доказательство. Заметим, что 𝑎 ∥ 𝛽, 𝑏 ∥ 𝛽 по признаку _______ __________________________________________. Теперь допусти, что плоскости α и β не __________________________, а пересекаются по ___________________________________ c. Тогда плоскость α проходит через прямую a, параллельную плоскости _______ , и пересекает плоскость β по прямой c. Следовательно, 𝑎 ∥ 𝑐. Но плоскость α проходит и ____________ _________________________________________________________________________________ , следовательно, 𝑏 ∥ 𝑐. Таким образом, через точку M проходят две прямые ________ , параллельные прямой _____ . Но это невозможно, так как по ______________________________ _______________________________ через точку M ______________________________________ ____________________________ . Значит, наше допущение неверно и 𝛼 ∥ 𝛽. Теорема доказана. Задачи: №9. Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости α (задача 52 учебника). Доказательство. Пусть стороны AB и АС треугольника ABC параллельны плоскости α. Докажем, что и третья сторона ВС параллельна плоскости α. Так как АВ ║ α, то, в плоскости α существует некоторая прямая А1В1 ║АВ. Аналогично существует прямая А1С1 плоскости α, параллельная прямой AC. Итак, две пересекающиеся прямые АВ и АС плоскости ABC параллельны двум прямым А1В1 и А1С1 плоскости α, следовательно, _______________________________________ _______________________________________, эти плоскости ____________________________ , а потому прямая BC __________________________ плоскости α. №10. Точка F не лежит в плоскости треугольника MNP, точки E, K и T лежат на 𝐹𝐸 𝐹𝐾 𝐹𝑇 2 отрезках FM, FN и FP, причем 𝐹𝑀 = 𝐹𝑁 = 𝐹𝑃 = 3. а) Докажите, что плоскости EKT и MNP параллельны. б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника EKT равна 36 см2. Решение. а) ∆𝐸𝐹𝐾~_______, так как _______________________________________, поэтому EK║_______ и EK = ___________. Аналогично ∆𝐾𝐹𝑇~________, так как _______________________________________________, поэтому KT ║ _______ и KT = ____________ Итак, пересекающиеся прямые EK и KT плоскости EKT соответственно ____________________ ________________________________________________ плоскости MNP, следовательно, эти плоскости ________________________________________ б) ∆𝐸𝐾𝑇~___________, так как _______________________________________________________ _________________________________, и коэффициент подобия k равен _______. Поэтому 𝑆𝐸𝐾𝑇 : 𝑆𝑀𝑁𝑃 =_________ =_________, откуда 𝑆𝑀𝑁𝑃 =______________ = ________________ Ответ. б) ____________ №11. На рисунке параллельные плоскости α и β пересечены прямыми MN и MF, P1, P2 и Q1, Q2 – точки пересечения прямых с плоскостями α и β. Найдите P1P2, если MP1:MQ1=3:4 и Q1Q2 =72 см. Решение. 1) Пересекающиеся прямые MN и MF задают некоторую ________________ 𝛾. P1 и P2 – общие точки плоскостей α и 𝛾, поэтому прямая P1P2 - _______________________________, поэтому прямая Q1Q2 - __________________ Итак, параллельные плоскости α и β пересечены плоскостью 𝛾, поэтому, согласно _________ ________________________________________________, линии их пересечения ______________ ________________, т.е. P1P2║ ______________ 2) ∆𝑃1 𝑀𝑃2 ~__________, так как ______________, следовательно, 𝑀𝑃1 : 𝑀𝑄1 = 𝑃1 𝑃2 : _______, 𝑃1 𝑃2 =_____________ = ______________ Ответ. __________ 5.Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости): Если прямая перпендикулярна к двум _________________________ прямым, ________________________ __________________________________________, то она ________________________________ __________________________________ Дано: 𝑎 ⊥ 𝑝, 𝑎 ⊥ 𝑞, прямые p и q лежат в плоскости α и пересекаются в точке O (рис. а). Доказать: 𝑎 ⊥ 𝛼. Доказательство. Для доказательства перпендикулярности прямой a и плоскости α надо доказать, что 𝑎 ⊥ 𝑚, где m - __________________________________________________________ Рассмотрим два случая. 1)Пусть 𝑂 ∈ 𝑎, 𝑙 ∥ 𝑚 и 𝑂 ∈ 𝑙, прямая n пересекает прямые p, q и l в точках P, Q, L, OA = OB (рис.б). Так как прямые p и q – серединные __________________________________________ ____________________________, то AP = __________ и AQ = _________, и, следовательно, ∆𝐴𝑃𝑄 = ∆𝐵𝑃𝑄 по ____________________________________. Поэтому ∠𝐴𝑃𝑄 =____________. Далее ∆𝐴𝑃𝐿 = ∆𝐵𝑃𝐿 по ____________________________________________________________ ________________________________________________________________________, поэтому AL= ______, а это означает, что ∆𝐴𝑃𝐿 −___________________________________ и его медиана LO является __________________, т.е. 𝐿𝑂 ⊥ 𝐴𝐵 или 𝑙 ⊥____. Так как 𝑙 ∥ 𝑚 и 𝑙 ⊥ 𝑎 , то по лемме _________________________________________________________________________________ 𝑚 ⊥ ______. Таким образом, прямая a перпендикулярна к любой прямой плоскости α, а это означает, что ____________ 2)Пусть 𝑂 ∉ 𝑎 (рис.в). Проведем 𝑎1 ∥ 𝑎, 𝑂 ∈ 𝑎1. Тогда 𝑎1 ⊥ 𝑝 и 𝑎1 ⊥ 𝑞 по лемме _________ _________________________________________________________________________________ __________________________________________ и, следовательно, 𝑎1 ⊥ 𝛼 согласно _________ _________________________________. Итак, одна из параллельных прямых a и a1 перпендикулярна ____________________________, поэтому и вторая прямая _______________ _________________________________________________, т.е. 𝑎 ⊥ _______. Теорема доказана. №12. Через точку O пересечения диагоналей ромба ABCD проведена прямая OM, перпендикулярная к плоскости ромба, причем OM = 6 см, AC = 16 см, BD = 4√3 см. Найдите: а) расстояние от точки M до вершин ромба; б) расстояние от точки M до стороны DC. Решение. а) Четырехугольник ABCD – ромб, а отрезки AC и BD – его диагонали, пересекающиеся в точке O, поэтому OA = _____, OB = _____. Так как 𝑀𝑂 ⊥ 𝐴𝐵𝐶, то 𝑀𝑂 ⊥____ и 𝑀𝑂 ⊥_____. В треугольниках AMC и BMD медиана MO является и _______________, поэтому эти треугольники __________________________, т.е. ____________________________________. Из прямоугольного треугольника AOM с катетами 6 см и 8 см имеем: MA = _______. Из прямоугольного треугольника BOM находим: MB = ________________________ см. Итак, MA = MC = ________, MB = MD = ________ б) В треугольнике DMC проведем 𝑀𝑃 ⊥ 𝐷𝐶 и рассмотрим плоскость MOP. Прямая DC перпендикулярна к двум пересекающимся прямым _______ и _______ этой плоскости, следовательно, по _________________________________________________________________ ________________ 𝐷𝐶 ⊥ _________, а потому перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности 𝐷𝐶 ⊥ 𝑂𝑃. ∆𝐶𝑂𝐷 прямоугольный, так как ______________________, OP – его высота, поэтому 𝑂𝑃 = 𝐶𝑂∙𝑂𝐷 𝐷𝐶 =_______________ = _______________ Ответ. а) _______________; б) ______________ №13. На рисунке 𝐴𝐹 ⊥ 𝐴𝐵𝐶, 𝐵𝑀 ⊥ 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что линия пересечения плоскостей AFC и BMC параллельна прямым AF и BM. Доказательство. Так как 𝐴𝐹 ⊥ 𝐴𝐵𝐶 и 𝐵𝑀 ⊥ 𝐴𝐵𝐶, то AF║________, и, следовательно, AF║BMC по _______________________________________ _________________ . Плоскость AFC проходит через прямую AF, параллельную плоскости ________, и пересекает эту плоскость. Следовательно, линия пересечения плоскостей _______________ параллельна прямой _______. А так как AF║BM, то по ___________________________________ ___________________________ прямая BM также параллельна _______________________________________________________ ____________________. №14. Четырехугольник ABCD – квадрат, O – точка пересечения его диагоналей, 𝑂𝑀 ⊥ 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что: а) 𝐵𝐷 ⊥ 𝑀𝐴 и 𝐵𝐷 ⊥ 𝑀𝐶; б) 𝐴𝐶 ⊥ 𝑀𝐵 и 𝐴𝐶 ⊥ 𝑀𝐷. Доказательство. Четырехугольник ABCD – квадрат, поэтому 𝐴𝐶 ⊥________. По условию 𝑀𝑂 ⊥ 𝐴𝐵𝐶, следовательно, 𝑀𝑂 ⊥________ и 𝑀𝑂 ⊥________ а) Рассмотрим плоскость AMC. Прямая BD перпендикулярна к двум пересекающимся прямым ________________ этой плоскости, следовательно по ____________________________ ________________________________________________ BD⊥_______, а потому прямая BD перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности BD⊥______ и BD⊥_____ б) Рассмотрим плоскость BMD. ___________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ №15. В тетраэдре MABC AB = AC, MB = MC. Докажите, что 𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝑀. Доказательство. По условию треугольники BAC и BMC - _______________________ с общим ___________________________, поэтому их медианы AH и MH, проведенные к _____________ __________________, являются ________________________, т.е. 𝐴𝐻 ⊥______ и _____________ Рассмотрим плоскость AMH. Так как 𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐻 и 𝐵𝐶 ⊥______, то по _________________________________________________ ______________ 𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝑀𝐻, а потому прямая BC перпендикулярна к любой _______________________________________________ _______, в частности 𝐵𝐶 ⊥ _______ №16. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что диагональ куба B1D перпендикулярна к диагонали AC его основания. Доказательство. Так как грани AA1B1B и BB1C1C – квадраты, то 𝐵1 𝐵 ⊥ 𝐵𝐴 и 𝐵1 𝐵 ⊥ 𝐵𝐶. Следовательно, 𝐵1 𝐵 ⊥ 𝐴𝐵𝐶 по ______________________________________________________. Рассмотрим плоскость 𝐵1 𝐵𝐷. Поскольку 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷, так как _______________________________, и 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵1 𝐵, так как _______________________, то 𝐴𝐶 ⊥ __________ по _____________________________________________________ __________________________, а потому 𝐴𝐶 ⊥_____________ 6.Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах. №17. Концы отрезка отстоят от плоскости α на расстояниях 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости α (задача 142 учебника). Решение. Рассмотрим два случая: 1) концы отрезка находятся по одну сторону от плоскости α; 2) концы отрезка находятся по разные стороны от плоскости α. 1) Пусть отрезок AB расположен по одну сторону от плоскости α (см.рис.a), 𝐴𝐴1 ⊥ 𝛼, 𝐴𝐴1 = 1 см, 𝐵𝐵1 ⊥ 𝛼, 𝐵𝐵1 = 4 см. Так как 𝐴𝐴1 ⊥ 𝛼 и 𝐵𝐵1 ⊥ 𝛼, то 𝐴𝐴1 ∥ ______, и поэтому четырехугольник A1ABB1 - ____________. Проведем в ней среднюю линию PP1, тогда PP1║_______, PP1║_______, и так как 𝐴𝐴1 ⊥ 𝛼, то и PP1 ⊥ _______. Следовательно, длина 1 отрезка PP1 и есть искомое расстояние от середины отрезка AB до плоскости α, 𝑃𝑃1 = 2 ____________________ = ____________________=________ см. 2) Пусть концы отрезка AB расположены по разные стороны от плоскости α (см.рис.б) и пусть AA1 и BB1 – перпендикулярны к плоскости α, 𝐴𝐴1 = 1 см, 𝐵𝐵1 = 4 см. Так как 𝐴𝐴1 ⊥ 𝛼 и 𝐵𝐵1 ⊥ 𝛼, то 𝐴𝐴1 ∥ ______, и прямые AA1, BB1, A1B1 лежат в одной ____________________. Проведем через точку P – середину отрезка AB – прямую, параллельную B1B. Тогда по _____ _____________________________________________ точки P1 и F пересечения этой прямой с прямыми A1B1 и A1B будут серединами отрезков ________ и _________, а отрезки P1F и PF – средними _______________________________________________________________________. P1P = P1F - ________ = ____________________=________ см. Ответ. _________ см или ________ см. №18. Расстояние от точки M до каждой вершин правильного треугольника ABC равно 4 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если AB = 6 см (задача 143 учебника). Решение. Пусть MO – перпендикуляр к плоскости ABC, тогда расстояние от точки M до плоскости α равно ______. Так как 𝑀𝑂 ⊥ 𝛼, то 𝑀𝑂 ⊥ 𝑂𝐴, 𝑀𝑂 ⊥ ______, 𝑀𝑂 ⊥_____. ∆𝐴𝑂𝑀 = =_______________=_______________ по _____________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ ___________________________________________________ ____ _________________________________, следовательно, OA = OB = OC, т.е. точка O равноудалена от ______________________________ ___________________ и, значит, является центром этого треугольника. Поэтому AO = ________ = ____________________= ____________(см), и из прямоугольного треугольника AMO находим: MO = _______________ = _______________(см) = ______ см. Ответ. ______ см. №19. Через вершину A прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C проведена прямая AD, перпендикулярная к плоскости треугольника. Докажите, что треугольник CBD прямоугольный (задача 145 а учебника). Доказательство. Из точки D к плоскости ABC проведены перпендикуляр _____ и наклонная ______. Прямая BC лежит в плоскости ABC и перпендикулярна к проекции ______ наклонной ______ на эту плоскость, поэтому, согласно ______________________________________________________________, 𝐵𝐶 ⊥ 𝐷𝐶, т.е. треугольник CBD ____________________________________ №20. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 основанием которого является ромб ABCD, а боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания. Докажите, что диагональ B1D параллелепипеда перпендикулярна к диагонали AC его основания. Доказательство. 𝐵𝐵1 ⊥ 𝐴𝐵𝐶 _______________________, диагональ AC лежит в плоскости ABC, 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷, так как _________________________________________________ __________________________________. Следовательно, согласно теореме ___________________________, 𝐴𝐶 ⊥ _________ 7.Угол между прямой и плоскостью. №21. Из точки M к плоскости α проведены перпендикуляр MO и две наклонные MA и MB, которые образуют со своими проекциями на эту плоскость ∠𝑀𝐴𝑂 = 450 , ∠𝑀𝐵𝑂 = 300 , угол между наклонными равен 900. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если проекция наклонной MA равна √3 см. Решение. 𝑀𝑂 ⊥ 𝛼, поэтому 𝑀𝑂 ⊥_______ и 𝑀𝑂 ⊥ _______. ∆𝐴𝑀𝑂 прямоугольный и равнобедренный: ∠𝑂 =______, ∠𝐴 = ∠____=______, AO = ______, следовательно, MO = _____, AM = _______. ∆𝐵𝑀𝑂 прямоугольный: ∠𝑂 =_____, ∠𝐵 =____, MO = ____, поэтому MB=2___= ____ см. ∆𝐴𝑀𝐵 прямоугольный: ∠𝑀 =_______, AM = ________, BM = ________, поэтому AB = _________________ = ______________= ________ см. Ответ. ________ см. №22. Через точку A, удаленную от плоскости α на расстояние √3 см, проведена прямая, пересекающая плоскость α в точке B. Найдите угол между прямой AB и плоскостью α, если AB = 2 см. Решение. Пусть отрезок AO – перпендикуляр к плоскости α. Тогда AO = ____________, прямая OB – проекция ____________ ________________________, а угол между прямой AB и плоскостью α равен ∠________. Из прямоугольного треугольника AOB находим: 𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐵𝑂 = ________=________, следовательно, ∠𝐴𝐵𝑂 =________ Ответ. ________ №23. В прямоугольном треугольнике ABC ∠𝐶 = 900 , 𝐴𝐵 = 4√3 см. Точка P не лежит в плоскости ABC и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние 4√3 см. Найдите угол между прямой PC и плоскостью ABC. Решение. Пусть PO – перпендикуляр к плоскости ABC. Поскольку отрезки PA, PB, PC – равные наклонные, проведенные из _______________ к _________________________________, то их проекции тоже ____________, т.е. OA = _________=_________, а потому точка O – центр окружности, ______________________________________________________________________. Следовательно, точка O – середина ________________________. Так как AB = ____________, то 1 𝐶𝑂 = 2 ______=______ см. Искомый угол 𝜑 между прямой ______ и плоскостью ______ есть угол между ________________________________ ___________________________________, т.е. 𝜑 = ∠ ________. ∆𝑃𝑂𝐶 прямоугольный, так как _____________________, PC = ____________, CO = __________ см, поэтому 𝑐𝑜𝑠𝜑 =________ = __________ = _________. Отсюда получаем, что 𝜑 =______ Ответ. ______ 8.Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей. №24. К плоскости равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой 𝐴𝐵 = 12√3 см проведен перпендикуляр DC, равный 18 см. Найдите угол между плоскостями DAB и CAB. Решение. Треугольники ABC и ADB равнобедренные: ∆𝐴𝐵𝐶_______________________, а в ∆𝐴𝐷𝐵 DA = _______, так как эти стороны - ______________________________ _____________ __________________________. Поэтому медианы CF и DF этих треугольников, проведенные из вершин C и D к общему основанию ________, являются __________________, и, следовательно, ∠𝐷𝐹𝐶 - линейный угол _____________________________________________, а значит, угол между плоскостями DAB и CAB равен 1 ∠______. ∆𝐷𝐶𝐹 прямоугольный, DC=_____, 𝐶𝐹 = 2 ______=______ см и поэтому 𝑡𝑔∠𝐷𝐹𝐶 =______ = ______ = ______, откуда ∠𝐷𝐹𝐶 = ____ Ответ. ______ №25. Катет AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежит в плоскости α, а угол между плоскостями α и ABC равен 600. Найдите расстояние от точки B до плоскости α, если AC = 5 см, AB = 13 см (задача 172 учебника). Решение. Проведем перпендикуляр BO к плоскости α. Отрезок BC – наклонная к _________ ________________________, отрезок OC – проекция наклонной ______ на __________________, а прямая AC, лежащая в плоскости α, перпендикулярна к наклонной BC. Следовательно, согласно _____________ ________________________________________________ _____________, 𝐴𝐶 ⊥ 𝑂𝐶. Таким образом, ∠𝐵𝐶𝑂 линейный угол двугранного угла между плоскостями α и ABC, и, значит, ∠𝐵𝐶𝑂 =________ ∆𝐴𝐵𝐶 прямоугольный: ∠𝐶 =______, AC = ________, AB = _________, поэтому BC = _________ ∆𝐵𝐶𝑂 прямоугольный: ∠𝑂 =______, ∠𝐵𝐶𝑂 = ______, BC = _________, следовательно BO = _____________ см = ____________ см = ______ см. Ответ. ______ см. №26. Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BADM равен 600. Найдите сторону ромба, если ∠𝐵𝐴𝐷 = 450 и расстояние от точки B до плоскости ADM равно 4√3 (задача 176 учебника). Решение. Проведем перпендикуляр BP к плоскости ADM. Искомое расстояние от точки B до плоскости ADM равно BP. Проведем высоту ромба BE . Тогда получим, что из точки B к плоскости ADM проведены перпендикуляр ______ и наклонная ______ Следовательно, отрезок PE – проекция _________________ __________ на ________________ Прямая AD, лежащая в плоскости ADM, перпендикулярна к наклонной BE, а потому, согласно _____________________ _____________________________________________________, 𝐴𝐷 ⊥______, и ∠𝐵𝐸𝑃 - линейный угол ________________________________________________, т.е. ∠𝐵𝐸𝑃 =________ ∆𝐵𝑃𝐸 прямоугольный, так как _______________________________, причем ∠𝐵𝐸𝑃 =_____ , BP = _________, поэтому BE = _________________________ = _________________ = _________ ∆𝐵𝐴𝐸 прямоугольный: ∠𝐸 = _______, ∠𝐴 =______, BE = __________, следовательно, AB = ________________ = __________ Ответ. ____________ №27. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 если его диагональ ВD1 =24 см и составляет с плоскостью грани DAA 1 , угол в 450 , а с ребром DD1, — угол в 600 . Р е ш е н и е. Все грани прямоугольного параллелепипеда — ____________________, п оэтому BA ⊥ _______ , ВА ⊥ ______, и, следовательно, BA ⊥ DAA 1 . Прямая BD 1 пересекает плоскость DAA 1 в точке ________ , а прямая AD 1 — проекция____ на эту плоскость, поэтому ∠𝐴𝐷1 𝐵 =____. Из прямоугольного треугольника 𝐴𝐷1 𝐵, в котором ∠𝐴 =_________, D 1 B = __________ и ∠𝐷1 =______, находим: AB = AD 1 = _______=________ см. Из прямоугольного треугольника BD 1 D, в котором ∠𝐷 =_______, BD 1 = ____, ∠𝐵𝐷1 𝐷=___ по условию, 1 получаем 𝐷1 𝐷 = 2______= ______ см. Из треугольника AD 1 D, в котором ∠𝐷 =______, AD 1 =__________, DD 1 =______, находим: AD = ______ см. О т в е т . _______________ Геометрические тела и поверхности. 1.Тело и его поверхность. Многогранники. Призма. Параллелепипед и его свойства. №28. Сколько граней, ребер, вершин и диагоналей у каждого из изображенных на рисунке многогранников? Решение. а)Тетраэдр DABC составлен из ___________ граней. Он имеет ___________ ребер и _______ вершины. Диагональю многогранника называется ______________, соединяющий две _______ _______, не принадлежащие _____________________. У тетраэдра любые две вершины _______ _____________________ одной грани, следовательно, у него ______________ диагоналей. б) ________________________________ ABCDA1B1C1D1 составлен из ____________ граней. Он имеет __________ ребер, _______ вершин и _______ диагонали (AC1, _________________). в) __________________________ NABCDS имеет ___________________________________ _____________ и _____________ диагонали (AC, ________________ ). №29. Заполните пропуски в предположении: В выпуклом многограннике сумма всех __________________ углов при __________________ его вершине __________________ 3600. №30. Какой из данных многогранников является призмой? Решение. а) Грани ABCD и A1B1C1D1 многогранника ____________________________ равны и расположены в параллельных ______________________________. Остальные ________ грани – параллелограммы. Следовательно, __________________________ ABCDA1B1C1D1 __________ ____________ призмой. б) Грань KK1M1M многогранника ________________________ не является _______________ ________________________. Следовательно, этот многогранник _________________________ призмой. в) У многогранника ABCD нет граней, расположенных в ______________________________ плоскостях. Следовательно, этот многогранник _________________________________ призмой. г) Грани ABC и A1B1C1 ________________________ ABCA1B1C1 – равные ________________, расположенные в ________________________ плоскостях. Остальные ________ грани являются ________________________________________. Следовательно, многогранник ABCA1B1C1 _____ _______________________________ призмой. №31. Высота призмы равна 5 см. Чему равно расстояние между плоскостями оснований призмы? Решение. Основания призмы расположены в _____________________________ плоскостях, а расстоянием между параллельными плоскостями называется ____________________ от произвольной _____________________ одной из параллельных ___________________ до другой плоскости. Расстоянием от данной точки до плоскости называется длина ____________________, проведенного из этой ____________ к данной _________________ Поскольку высота призмы называется ______________________, проведенный из какойнибудь точки одного _______________________ к плоскости другого _________________, то длина высоты и есть искомое _________________________ между плоскостями оснований ________________ Ответ. ____ см. №32. Докажите, что все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Доказательство. 1) Прямой призмой называется ____________ , боковые ребра которой ______________ к основаниям. Но если прямая перпендикулярна к плоскости, то по определению она _____________ к любой прямой, лежащей в этой _________________. Следовательно, боковые ребра прямой призмы ________________________________ к сторонам основания. 2)Каждая боковая грань призмы является _________________________, а параллелограмм, смежные стороны которого взаимно перпендикулярны, является ____________________. Следовательно, все боковые грани прямой призмы — ____, что и требовалось доказать. №33. №34. Диагональ AC основания прямой призмы ABCDA1B1C1D1 равна 6 см, а высота призмы равна 6√3 см. Найдите угол наклона диагонали A1C к плоскости основания. Решение. 1) Из определения прямой призмы следует, что ее боковое ребро ______________ _______________________ к плоскости _______________________ и равно высоте __________, т.е. AA1 = 6√3 см. 2)Поскольку прямая AA1 ____________________________ к плоскости ABC, то прямая AC является ____________________ прямой A1C на плоскость ABC, и, следовательно, угол наклона ________________ A1C к плоскости ABC равен углу ___________ 3)Поскольку прямая AA1 ________________________ к плоскости ABC, то AA1________ AC (по определению прямой, ___________________________ к плоскости). Из прямоугольного треугольника A1AC получаем: 𝑡𝑔∠𝐴1 𝐶𝐴 = 𝐴𝐴1 : _________=_________:________=_______. Следовательно, ∠𝐴1 𝐶𝐴 =__________ Ответ. __________ 2.Пирамида. Усеченная пирамида. №35. Основание пирамиды – прямоугольник ABCD, AB = 18 м, BC = 10 м, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Решение. 1) Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле 𝑆полн =__________+__________. Так как основание пирамиды - _________________________ со сторонами 10 м и __________, то 𝑆осн =_____*_____=_________ (м2 ). 2)Чтобы найти площадь боковой ____________________ пирамиды, вычислим площади ее _______________ граней. В прямоугольнике ABCD AC ____BD, диагонали ___________________ в точке O, поэтому AO = BO =_____=_____. Отрезок MO – высота пирамиды, значит, MO ____________________ к плоскости основания, и отрезки AO, BO, _____, DO – проекция наклонных AM, _____, _____, _____ и _____ на плоскость основания. Следовательно, AM = BM = _____ = _____ и ∆𝐴𝐵𝑀 = ∆_____, а ∆𝐵𝐶𝑀 =_______ (по трем ____________________ ), поэтому 𝑆𝐴𝐵𝑀 _____SCDM и 𝑆𝐵𝐶𝑀 _____SADM. 3)Пусть 𝑀𝐾 ⊥ 𝐴𝐵, тогда OK_____AB (обратная теорема о __________ перпендикулярах) и OK = _____ BC = 0,5*_____=_____ (м). Аналогично если 𝑀𝑁 ⊥ 𝐵𝐶, то ON = _____AB = 0,5*_____ = _____ (м). Поскольку 𝑀𝑂 ⊥ 𝐴𝐵𝐶, то MO_____OK, а значит, 𝑀𝐾 = √𝑀𝑂2 + _____ = √_____ + 52 = √_____ = _____ (м). Аналогично 𝑀𝑁 = √_____ + ON2 = √122 + _____ = √_____ = _____(м). Итак, 𝑆𝐴𝐵𝑀 = 0,5𝐴𝐵 ∗ _____ = _____ ∗ 18 ∗ _____ = _____ (м2 ), 𝑆𝐵𝐶𝑀 =_______________________ _________________. Отсюда получаем: 𝑆бок = 2(𝑆𝐴𝐵𝑀 + _________) = _____ ∗ (_________ + _________) =__________ (м2 ), 𝑆полн = __________ + __________ = __________ (м2 ). Ответ. _________________________ №36. Основание пирамиды – параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см, высота пирамиды равна 12 см, а все боковые ребра равны между собой. Найдите длину бокового ребра. Решение. 1) Пусть отрезок MO – высота _______________. Так как MA=MB=_____=_____, то OA =_____=_____=_____, поэтому точка O – центр _______________, _______________ около параллелограмма является ______________________________, диагонали которого пересекаются в точке _____ и равны друг другу. 2)По теореме Пифагора 𝐴𝐶 = √𝐴𝐵 2 + _____ = √62 + _____ = √_____ = _____(см), следовательно, OA = _____ см. 3)𝑀𝑂 ⊥ 𝐴𝐵𝐶, поэтому MO _____OA. В треугольнике AMO 𝑀𝐴 = √𝑂𝐴2 + _____ = √52 + _____ = √_____ = _____(см). Ответ. _________ №37. Плоскость параллельная основанию треугольной пирамиды, делит ее высоту в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Докажите, что эта плоскость делит боковые ребра в том же отношении. Доказательство. Так как плоскости A1B1C1 и __________ параллельны, то A1B1_____AB (____________________ параллельных плоскостей). Аналогично B1C1_____BC, A1C1_____AC и A1O1 _____AO. Поэтому 𝑀𝐴1 _____ ; 𝑀𝐶1 𝐶1 𝐶 Итак, 𝑀𝐴1 𝐴1 𝐴 = 𝑀𝑂1 ____ 1 𝑀𝐵1 = 2; 𝐵 1𝐵 = 𝑀𝐴 = ______1 . 𝑀𝐴1 𝐴1 𝐴 = 𝑀𝐵1 _____ = _______ _____ = 𝑀𝑂1 _____ 1 = 2, что и требовалось доказать. 3.Правильные многогранники. №38. Заполните пропуски. Точки M и M1 называются симметричными относительно: точки A _________________ a __________________ a №39. Заполните пропуски: а) Точка называется ____________________ симметрии фигуры, если _______________ точка фигуры _________________________ относительно нее некоторой точке той же _____________ б) Прямая называется осью ____________________ фигуры, если каждая точка фигуры симметрична _________________________ нее некоторой _______________ той же фигуры. в) Плоскость называется ____________________ симметрии фигуры, если _______________ _________________________________________________________________ относительно нее _____________________________________________ фигуры. №40. Заполните пропуски в определении правильного многогранника: Выпуклый ________________________ называется правильным, если __________ его грани _________________________ многоугольники, и в ___________________ его _____________ сходится одно и то же число _______________ №41. Докажите, что куб является правильным многогранником. Доказательство. Проверим, обладает ли куб всеми признаками правильного ____________________, указанными в определении. 1)Куб ____________________ выпуклым многогранником. 2) Каждая грань куба - _______________, т.е. _____________ _________ многоугольник, и все грани _______________ между собой. 3) В ____________________ вершине куба сходится ________________________ число ребер, а именно _____ ребра. Итак, у куба ______________ все признаки, указанные в определении ______________ многогранника. Следовательно, куб ____________________ правильным __________________, что и требовалось доказать. №42. Вершины A, C, B1 и D1 куба соединены попарно отрезками. Докажите, что многогранник ACB1D1 является правильным. Доказательство. 1) Получившийся многогранник ACB1D1 – тетраэдр, а известно, что тетраэдр ______________________ выпуклым многогранником. 2)Все ребра многогранника ACB1D1 являются __________________ граней куба, следовательно, они ________________ между собой, а потому все грани многогранника ACB1D1 являются правильными ________________________________ 3)В каждой вершине ____________________ ACB1D1 сходится ____________________ количество ________________, а именно ____ ребра. Итак, у тетраэдра ACB1D1 _______________ все признаки правильного многогранника, следовательно, этот тетраэдр - ____________________ многогранник. №43. Запишите в таблицу значения параметров: n – число сторон грани правильного многогранника; k – число ребер, сходящихся в одной вершине; B – число вершин многогранника; P – число ребер; Г – число граней. Напишите названия многогранников. Вычислите для каждого из них величину В +Г – Р. 4.Поверхность тел вращения. Цилиндр. №44. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 600. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь боковой поверхности цилиндра. Решение. Осевое сечение цилиндра представляет собой _ , стороны ВС и AD которого являются _ цилиндра, а две другие стороны – оснований цилиндра. По условию задачи BD = _ см. ∠ DBC= _ а) Высота цилиндра равна его , а BС = BD *соs = 1 = *2 = (см), т.е. высота равна см. 1 б) Радиус цилиндра — это 1 1 основания цилиндра: 𝑂𝐶 = 2 𝐷𝐶 = 2 𝐵𝐷 ∗ √3 ______________ = 2 ∗ ________ ∗ − = (см). в) Площадь боковой _ цилиндра равна произведению _ окружности цилиндра на цилиндра, т.е. 𝑆бок = 2𝜋______ ∗ ℎ = ______ ∗ 2√3 ∗ =√3𝜋 (см2 ). Ответ. а) см; б) см; в) см2. №45. Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра. (Задача 538 учебника.) Решение. Пусть h – высота цилиндра, r – его радиус. По условию задачи 𝑆бок = _____, т.е. 2πr____ = S. (1) Осевым сечением цилиндра является _________________________ со сторонами 2r и _____. 𝑆 Поэтому площадь осевого сечения равна _____ * h. Учитывая равенство (1), получаем 2𝑟ℎ = __. Ответ. __________ №46. Найдите площадь поверхности (внешней и внутренней) шляпы, размеры которой (в см) указаны на рисунке. Решение. Если дно шляпы опустить на плоскость ее полей, то получим круг радиуса r = ____ см. Площадь 𝑆бок боковой поверхности цилиндрической части вычисляем по формуле 𝑆бок =___ ______r1h, где r1 = ____________ см, _________ = 10 см. Следовательно, 𝑆бок =_______10*10 = ________ (см2). Итак, 𝑆шляпы = 2(𝑆кр + ________) =____________см2. Ответ. ____________ см2. №47. Цилиндр получен вращением прямоугольника со сторонами a и 2a вокруг большей стороны. Найдите площадь: а) осевого сечения цилиндра; б) боковой поверхности цилиндра. Решение. Пусть r – радиус цилиндра, h – его высота. По условию r = ____, h = ____ а) 𝑆сеч = 2𝑎 ∗ ________ = 4________ б) 𝑆бок = 2𝜋____ℎ = ________ ∗ a ∗ ________ = ________π___________ Ответ. а) ________; б) __________ 5.Конус. Усеченный конус. №48. Радиус основания конуса равен 2 м, а осевое сечение - прямоугольный треугольник. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен 300. Решение. По условию задачи треугольник АРВ____________________, а так как PA = ____, то ∠𝑃𝐴𝑂 = 450 . В 𝐴𝑂 прямоугольном треугольнике PAO катет 𝑃𝐴 = 𝑐𝑜𝑠_______ = ____√2 м. Пусть ∠𝐴𝑃𝐶 = 300 , тогда сечение, проведенное через образующие PA и ____, является ____ _______________________________ треугольником, в котором PC 1 = ______ = 2 ______ м. Поэтому 𝑆𝐴𝑃𝐶 = 2 𝑃𝐴2 ∗ ____________ = 1 2 1 (____________)2 ∗ 2 = ________ (м2). Ответ. ________ №49. Осевое сечение конуса — треугольник со стороной 8 см и прилежащим углом 120°. Найдите площадь полной поверхности конуса. Решение. Осевым сечением конуса является ____________________ треугольник. По условию задачи один из углов этого треугольника равен __________, следовательно, это угол, противолежащий _______________ стороне треугольника, а потому боковые стороны треугольника равны _____ см, т. е. образующая l конуса равна ______ см. Из прямоугольного треугольника РОА находим радиус основания конуса: 𝑟 = 𝑙 ∗ __________ = _____ √3 2 = __________ (см). Таким образом, 𝑆бок = 𝜋_________ = _____ ∗ 4 ∗ √3 ∗ _____ = ____________________ (см2 ), 𝑆кон = 𝑆бок + _______________ = _______________ + (__________)2 π = 16(_______________) π (см2). Ответ. ____________________ №50. В трапеции ABCD ∠A = 90°, ∠𝐷=450. ВС = 4 см, CD = 3√2 см. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса, образованного вращением данной трапеции вокруг стороны АВ. (Задача 571 учебника.) Решение. При вращении данной трапеции получается _____________________ конус. 1)Проведем 𝐶𝐻 ⊥___________. Тогда 𝐻𝐷 = ___________ ∗ cos450 = 3√2 ∗ ___________ = ______см, AD = AH +______ = ______ + HD = ______ см. 2)𝑆бок = 𝜋(𝐵𝐶 + ___________) ∗ ____________ = ______(______ + 7) ∗ 3√2 = ____________π√______ (см2). 3)𝑆полн = 𝑆бок + 𝜋𝐵𝐶 2 + ____________ = ____________ + ____________ + 49π = (__________ + 65)π (см2). Ответ. ____________ см2 и __________________ 6. Шар и сфера. №51. Точки A и B лежат на сфере с центром 𝑂 ∉ 𝐴𝐵, а точка M лежит на отрезке AB. Докажите, что: А) если M – середина отрезка AB, то 𝑂𝑀 ⊥ 𝐴𝐵; Б) если 𝑂𝑀 ⊥ 𝐴𝐵, то M – середина отрезка AB. (задача 573 учебника) Доказательство. а) Пусть точка M – середина отрезка AB, R – радиус сферы. △ 𝐴𝑂𝐵 равнобедренный, так как ________________ = R, поэтому медиана OM является также ________ ________________, т.е. ________________AB. Б) Пусть 𝑂𝑀 ⊥ 𝐴𝐵. Треугольник AOB равнобедренный, и OM – его высота по ___________, следовательно, OM – его ____________________, т.е. M - _________________________ №52. Шар радиуса 17 см пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 8 см от центра. Найдите площадь сечения. Решение. Пусть точка O – центр шара радиуса R = 17 см, α – секущая плоскость и 𝑂𝑂1 ⊥ 𝛼. По условию задачи расстояние OO1 от центра шара до секущей плоскости меньше радиуса шара, поэтому сечением шара плоскостью α является ____________, площадь которого 𝑆 = ____r 2 , где ____ - радиус сечения. Возьмем точку M на линии пересечения сферы и плоскости α, тогда треугольник OO1M ________________ (∠𝑂1 = ______________, OM = R = ____________, OO1 = ____ см), откуда находим: O1M = r =________, 𝑆сеч =____________ Ответ. ____________ см2.