«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ» ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
ПО КУРСУ
«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
Нижний Новгоро2003 г.
2
Печатается по решению редакционно-издательского совета НГПУ.
Лабораторный практикум по курсу «Численные методы». – Н. Новгород:
НГПУ, 2003. – 32 с.
По курсу «Численные методы» предусмотрено выполнение студентами
ряда лабораторных работ. Настоящее издание включает описание лабораторных работ по шести темам: приводится краткое содержание теоретического
материала, необходимого для выполнения работы, контрольные вопросы, 30
вариантов заданий и указания к выполнению заданий.
Лабораторный практикум предназначен для студентов очного отделения
математического факультета.
Составители: Р.А. Шафиев, доктор физ.-мат. наук, проф.
Е.В. Архаров, ст. преподаватель
В.Е. Уваров, аспирант
И.Ю. Ястребова, ст. преподаватель
Рецензент: М.И. Малкин, канд. физ.-мат. наук, доцент каф. мат.анализа НГПУ
Отв. за выпуск: С.Ю. Галкина, канд. физ.-мат. наук, зав. каф. мат.анализа.
3
ПРОГРАММА КУРСА
1. Понятие об учете погрешностей приближенных вычислений.
2. Приближенное решение уравнений с одной переменной: отделение корней,
метод половинного деления, методы хорд и касательных, комбинированный метод. Апостериорные оценки погрешностей методов.
3. Метод простой итерации: обоснование сходимости, оценка точности.
Принцип сжимающих отображений в метрических пространствах. Применение к системам линейных и нелинейных уравнений.
4. Интерполирование функций: постановка задачи и ее разрешимость. Вывод
интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона. Оценка погрешности
формул. Кусочно-полиномиальное интерполирование: кубические сплайны.
5. Численное дифференцирование: особенности задачи. Численное дифференцирование на основе интерполяционных формул. Оценка остаточного
члена.
6. Численное интегрирование. Квадратурная формула Ньютона-Котеса. Метод трапеций и метод Симпсона. Оценки погрешностей методов.
7. Среднеквадратическое приближение функций: постановка задачи точечной
аппроксимации. Многочлен наилучшего среднеквадратического приближения: способ построения, существование и единственность.
8. Способ наименьших квадратов составления эмпирических формул. Линейная, квадратичная, степенная и показательная зависимости.
9. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Применение принципа сжимающих отображений к решению задачи Коши.
Метод последовательных приближений. Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений типа Рунге-Кутта: метод ломаных Эйлера, метод Эйлера-Коши, метод четвертого порядка точности.
4
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1
Приближенное решение нелинейных уравнений
с одной переменной
Рассмотрим нелинейное уравнение общего вида:
f(x)=0,
(1)
где f(x) – действительная (достаточно гладкая) функция действительной переменной x.
Поставим задачу приближенного вычисления действительных простых
изолированных корней уравнения (1). Корень уравнения (1) называют также
нулем функции f(x).
Число  называется простым корнем уравнения (1), если f()=0,
но f ' ()0.
Число x называется приближенным значением корня  или просто
приближенным корнем уравнения (1) с заданной точностью , если | x -|<.
Отрезок [a; b] называется промежутком изоляции корня , если на нем,
кроме , нет корней уравнения (1).
Решение поставленной задачи разбивается на два этапа. I этап – отделение корней, то есть установление промежутков изоляции корней. На этом
этапе полезны следующие утверждения из анализа: если
1) f(x) непрерывна на [a; b],
2) f(a) f(b)<0,
то уравнение (1) имеет корень [a; b]; если дополнительно
3) f ' (x) сохраняет знак на [a; b],
то [a; b] – промежуток изоляции корня .
Пусть найден отрезок [a; b], где f(a) f(b)<0, который содержит только
один корень уравнения (1). Этот неизвестный корень обозначим буквой . На
II этапе по заданному числу  >0 требуется на отрезке [a; b] найти приближенный корень x с точностью . Корень x будем искать итерационными методами.
Метод половинного деления
состоит в повторении (итерировании) следующей процедуры:
ab
1) вычисление точки c 
, соответствующей середине отрезка
2
[a; b];
2) вычисление значения функции f(c);
a, c , если f (a) f (c)  0,
3) переход к отрезку a1, b1   
удовлетворяюc, b, если f (с) f (b)  0,
щему всем свойствам отрезка [a; b], но вдвое меньшей длины.
5
В результате получаем последовательность {cn} середин отрезков
[an; bn], длина которых неограниченно уменьшается.
"Правило останова": вычисления прекращаются, когда впервые либо
f(cn)=0, либо bn - an  2. Искомый приближенный корень
a b
x  cn  n n .
2
Метод хорд
состоит в построении последовательности {xn} по итерационной формуле
f ( xn )
xn+1=xn( x 0-xn), n=0,1,2,…,
f ( x0 )  f ( xn )
начиная из начального приближения
a, если f ( x) f (a)  0,
x0 = 
(2)
b, если f ( x) f (b)  0,
а x 0 – противоположный x0 конец отрезка [a; b].
Условие сохранения знака f '' (x) на отрезке [a; b] является достаточным
условием сходимости метода хорд. Если f ' (x) сохраняет знак на отрезке [a; b]
и выполняется условие
0 < m1  | f ' (x)|  M1, x[a; b],
то имеет место следующее
"правило останова": вычисления прекращаются, когда впервые удовлетворяется неравенство
m1
.
xn  xn1 
M1  m1
Искомый приближенный корень
x = xn .
Метод Ньютона (метод касательных)
состоит в построении последовательности xn (черта над xn ставится для
удобства изложения) по итерационной формуле
f ( xn )
, n=0,1,2,…,
xn1  xn 
f ( xn )
 
начиная из начального приближения x 0, определенного в методе хорд (2).
Условие сохранения знаков f ' (x) и f '' (x) на отрезке [a; b] является достаточным условием сходимости метода Ньютона. Если вторая производная f
'' (x) ограничена на отрезке [a; b] и выполняется условие
0 < m1  | f ' (x)|, x[a; b],
то имеет место следующее
"правило останова": вычисления прекращаются, когда впервые удовлетворяется неравенство| x n- x n-1|  .
6
Искомый приближенный корень
x=
x n.
Комбинированный метод
состоит в построении двух последовательностей {tn} и  t n  путем поочередного применения итерационных формул
f (tn )

(t n  tn ), n  0,1,2,...,
tn 1  tn 
f (t n )  f (tn )


t n 1  t n  f (t n ) , n  0,1,2,...,

f (t n )

начиная из начальных приближений
t 0 = x0 , t 0 = x 0 ,
где x0, x 0 - концы отрезка [a; b], определенные в (2).
Поясним комбинированный метод на рисунке.
"Правило останова": вычисления прекращаются, когда впервые удовлетворяется неравенство
| tn - t n|  2.
Искомый приближенный корень
t  tn
x n
.
2
7
Контрольные вопросы
1. В чем заключается этап отделения корней при применении численных методов решения уравнений?
2. Какие свойства функции используются при нахождении промежутков изоляции корня?
3. Какие общие соображения можно использовать для оценки приближенных
значений корня?
4. Какие цели преследуются при применении метода половинного деления?
5. Каковы достаточные условия сходимости метода хорд? Какой конец отрезка изоляции корня остается неподвижным в методе хорд?
6. Каковы достаточные условия сходимости метода Ньютона? Как выбирается
начальное приближение?
7. В чем смысл комбинированного метода?
8. Какие условия являются критериями достижения заданной точности при
решении уравнения методами хорд и Ньютона?
Задание №1. Отделить корни заданного уравнения.

Задание №2. Для вычисления выбранного корня с точностью до
 10 применить метод половинного деления.

Задание №3. Для вычисления выбранного корня с точностью до
 10 применить метод хорд.

Задание №4. Для вычисления выбранного корня с точностью до
 10 применить метод Ньютона.

Задание №5. Для вычисления выбранного корня с точностью до
 10 применить комбинированный метод.
5
5
5
5
Варианты заданий 1-5 приводятся в таблице 1.
Указания к выполнению заданий
Задание №1. Следует установить число p корней заданного уравнения и область (, ) их расположения. Это можно осуществить графически,
записав уравнение в виде
f1 (x) = f2 (x)
с простыми функциями f1 и f2 и схематично построив их графики. Количество
точек пересечения графиков даст число p, а интервал, который содержит
8
Таблица 1
Варианты
1
2
3
4
5
6
7
8
2x4_2x-3=0
(0,2x)3=cos x
x3+3x2-1,3=0
x-10 sin x=0 , x<π
x3-1,3x2-9x+12=0
2x -2cos x-1=0 , x>-π
4x4_6,2=0,6x
lg (x+3)=cos x , x<π
9
0,3x-x(x-1)2=0,2
Варианты
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Уравнение
4 x  7  3 cos x
10
11
12
13
14
15
x2(2-x2)=0,3
x sin x-1=0 , 0< x<π
9,1x4=(3x-1)3+1,5
8cos x-x=6 ,x>-3
(3-0,5x2)(x+2,5)=2
Уравнение
sin x-0.2x=0
x4 -x-1=0
cos x -0.1 x2=0
x3-1,3x2+0,3x-0,4=0
lg (x+3)-1.02sin x=0 ,x>-2
x4 =x+1,5
25cos x+4x=0 ,x>- π/2
x3+3,1x2-1,3=0
sin 2x=3-4 x2
4x4_6=0,6x
4  x  3sin x
2x3+5x2-2,9=0
0,1x3-0,8x2-1,5=0
x2=0,6-0,4x3
x2 (x2+4)=3
абсциссы всех этих точек, – область (, ). Взять в (, ) систему точек {k}
так, чтобы таблица
x
…
1
2
n
знак f (x)
имела p перемен знака.
Задания №№3-5. Для вычисления итераций следует составить таблицу. Например, в случае метода хорд таблица имеет вид:
n
…
0
1
2
xn
1
f(xn)
2
f( x 0) - (2)
3
x 0 – (1) (2):(3)(4)
4
5
(1)-(5)
6
|xn+1-xn| = |(5)|
7
9
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2
Метод простой итерации
Пусть E = (E,) - полное метрическое пространство и (x) – отображение, определенное на E. Если это отображение удовлетворяет двум условиям:
1) (x)E при xE, ( – отображение E в себя);
2)  0  q < 1 такое, что  ((x), (z))  q (x, z) при x, zE, ( – сжимающее отображение),
то существует единственное E такое, что справедливо равенство
 =  ( ).
(1)
Точка  называется неподвижной точкой отображения . Для приближенного
вычисления неподвижной точки применяется
Метод простой итерации,
состоящий в построении последовательности {x(n)} по итерационной формуле
x(n+1) =  (x(n) ), n = 0,1,2,…,
(2)
(0)
начиная из любого начального приближения x E.
Условия 1) и 2) являются также и достаточными условиями сходимости метода простой итерации к неподвижной точке .
Приведенные общие результаты применим к двум частным случаям.
Приложение I. Рассмотрим метрическое пространство E = ([a; b], |  | )
и функцию (x), определенную на [a; b]. Неподвижную точку  функции  в
силу равенства (1) называют корнем уравнения
x =  (x).
(3)
Метод простой итерации (2) для приближенного вычисления корней
уравнения (3) запишем в виде:
xn+1 =  (xn ), n = 0,1,2,….
(4)
Условия 1) и 2) существования и единственности корня уравнения (3) и сходимости к нему метода простой итерации (4) удобно записать в виде:
a)  (x) [a; b]  x [a; b];
b)  0  q < 1, что | ' (x)|  q  x [a; b].
"Правило останова": вычисления прекращаются, когда впервые удовлетворяется неравенство
1 q
xn  xn1 
.
q
Искомый приближенный корень x = xn.
10
Приложение II. Рассмотрим метрическое пространство E = (E3 ,), где
E3 – трехмерное векторное пространство, а расстояние между векторами x = (x1 , x2 , x3), z = (z1 , z2 , z3) определим по формуле
 ( x, z)  max xi  zi .
i 1,2,3
Рассмотрим отображение , любому вектору x = (x1 , x2 , x3) ставящее в соответствие вектор y = (y1 , y2 , y3) по правилу
yi= i1 x1+ i2x2 +  i 3x3 + i,, i = 1,2,3.
Неподвижную точку  = (1 ,  2 ,  3) отображения  в этом случае называют
решением системы линейных уравнений нормального вида:
 x1  11 x1  12 x2  13 x3  1,

(5)
 x2   21 x1   22 x2   23 x3   2 ,

 x3  31 x1  32 x2  33 x3  3.
Метод простой итерации для приближенного вычисления решения системы
(5) принимает вид:
x1(n  1)  11 x1(n)  12 x2(n)  13 x3(n)  1,
x2(n  1)   21 x1(n)   22 x2(n)   23 x3(n)   2 ,
n=0,1,2,…,
(6)
x3(n  1)  31 x1(n)  32 x2(n)  33 x3(n)  3 ,
и называется итерационным методом Якоби.
Условия 1) и 2) выполняются, если
3
q  max  ij  1.
(7)
i 1, 2,3 j 1
"Правило останова": вычисления прекращаются, когда впервые удовлетворяется неравенство
1 q
 ( x(n) , x(n  1) )  max xi(n)  xi(n  1) 
.
q
i 1,2,3
Искомое приближенное решение

( n)
( n)
( n)

x = x(n) = x1 , x 2 , x3 .
Иногда можно ускорить сходимость, если вместо (6) проводить вычисления по итерационным формулам
x1(n  1)  11 x1(n)  12 x2(n)  13 x3(n)  1,
x2(n  1)   21 x1(n  1)   22 x2(n)   23 x3(n)   2 ,
n=0,1,2,….
x3(n  1)  31 x1(n  1)  32 x2(n  1)  33 x3(n)  3 ,
Этот метод называется итерационным методом Зейделя.
11
Контрольные вопросы
1. Каковы достаточные условия сходимости метода простой итерации?
2. Какое условие является критерием достижения заданной точности при решении уравнения методом простой итерации?
3. Как обобщается метод простой итерации на решение уравнений в метрическом пространстве? Как формулируется принцип сжимающих отображений?
4. Как строится итерационная последовательность для нахождения решения
системы линейных уравнений в методах Якоби и Зейделя?
5. Как формулируются достаточные условия сходимости итерационного процесса в случае систем линейных уравнений?
Задание №1. Вычислить один корень заданного уравнения с точностью   10 5 , используя метод простой итерации.
Варианты задания 1 приводятся в таблице 1.
Задание №2. Методами Якоби и Зейделя решить с точностью   10 4
заданную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11 x1+ a12 x2+ a13 x3=b1 ,
a21 x1+ a22 x2+ a23 x3=b2 ,
a31 x1+ a32 x2+ a33 x3=b3 .
Найти точное решение системы и сравнить теоретическую и реальную абсолютную погрешности приближения.
Варианты задания 2 приводятся в таблице 2.
Таблица 2
Вари
анты
1
2
3
4
i
ai1
ai2
1 0,21 -0,45
2 0,30 0,25
3 0,60 -0,35
1
-3
0,5
2 0,5
-6
3 0,5
0,5
1 0,45 -0,94
2 -0,01 0,34
3 -0,35 0,05
1 0,63 0,05
2 0,15 0,10
3 0,03 0,34
ai3
bi
-0,20
0,43
-0,25
0,5
0,5
-3
-0,15
0,06
0,63
0,15
0,71
0,10
1,91
0,32
1,83
-56,5
-100
-210
-0,15
0,31
0,37
0,34
0,42
0,32
Варианты
5
6
7
8
i
ai1
ai2
ai3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
0,20
0,58
0,05
6,36
7,42
5,77
-9,11
7,61
-4,64
-9,11
7,61
-4,64
0,44
-0,29
0,34
11,75
19,03
7,48
1,02
6,25
1,13
-0,73
-2,32
-8,88
0,81
0,05
0,10
10
11,75
6,36
-0,73
-2,32
-8,88
1,02
6,25
1,13
bi
0,74
0,02
0,32
-41,40
-49,49
-27,67
-1,25
2,33
-3,75
-1,25
2,33
-3,75
12
Продолжение таблицы 2
Вари
анты
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
i
ai1
ai2
1 -0,20 1,60
2 -0,30 0,10
3 1,20 -0,20
1 1,02 -0,73
2 6,25 -2,32
3 1,13 -8,88
1 0,06 0,92
2 0,99 0,01
3 1,01 0,02
1 0,10 -0,07
2 0,04 -0,99
3 0,91 1,04
1 0,62 0,81
2 0,03 -1,11
3 0,97 0,02
1 0,63 -0,37
2 0,90 0,99
3 0,13 -0,95
1 0,98 0,88
2 0,16 -0,44
3 9,74 -10,0
1 0,21 -0,94
2 0,98 -0,19
3 0,87 0,87
1 3,43 4,07
2 74,4 1,84
3 3,34 94,3
1 0,66 0,44
2 1,54 0,74
3 1,42 1,42
1 0,30 1,20
2 -0,10 -0,20
3 0,05 0,34
ai3
bi
-0,10
-1,50
0,30
-9,11
7,61
-4,64
0,03
0,07
0,99
-0,96
-0,85
0,19
0,77
-1,08
-1,08
1,76
0,05
0,69
-0,24
-0,88
1,71
-0,94
0,93
-0,14
-106
-1,85
1,02
0,22
1,54
0,86
-0,20
1,60
0,10
0,30
0,40
-0,60
-1,25
2,33
-3,75
-0,82
0,66
-0,98
-2,04
-3,73
-1,67
-8,18
0,08
0,06
-9,29
0,12
0,69
1,36
-1,27
-5,31
-0,25
0,23
0,33
46,8
-26,5
92,3
-0,58
-0,32
0,83
-0,60
0,30
0,32
Варианты
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
i
ai1
ai2
ai3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
0,78
0,02
0,12
-0,20
0,43
-0,25
-0,94
0,34
0,05
-0,20
-0,30
1,20
-106
-1,85
1,02
3,31
74,5
3,44
0,83
0,90
0,25
1,20
0,95
0,16
0,13
0,95
0,65
-0,37
0,99
-0,95
-0,12
0,04
-0,72
-0,02
-0,86
0,44
-0,45
0,25
-0,35
0,45
-0,01
-0,35
-0,10
-1,50
0,30
4,07
1,84
94,3
94,3
1,81
4,10
0,87
-0,21
-0,91
0,02
0,01
0,93
-0,95
0,99
-0,41
1,76
0,05
0,69
0,78
0,02
0,12
-0,12
0,04
-0,72
0,21
0,30
0,60
-0,15
0,06
0,63
1,60
0,10
-0,20
3,43
74,4
3,34
1,02
-1,91
-107
-0,12
0,93
-0,95
0,97
0,17
0,13
0,73
0,08
1,80
0,63
0,90
0,13
-0,02
-0,86
0,44
bi
0,56
0,77
1,01
1,91
0,32
1,83
-0,15
0,31
0,37
0,30
0,40
-0,60
46,8
-26,5
92,3
92,4
-26,3
47,0
0,23
0,33
-0,25
-0,98
0,66
-0,86
0,70
0,12
-9,33
0,56
0,77
1,01
-9,29
0,12
0,69
13
Указания к выполнению заданий
…
Задание №1. Уравнение, заданное в общем виде f (x) = 0, необходимо
записать в виде x =  (x) с соблюдением следующих условий:
1) на промежутке изоляции [a; b] выбранного корня эти уравнения
равносильны;
2) на промежутке [a; b] выполняются условия a) и b) сходимости метода простой итерации.
Иногда это сведение удается выполнить искусственно. Но есть общий прием:
f ( x)
если f (a)<0, f (b)>0 и 0< m1  f ' (x)  M1, то  (x) = x , причем
M1
M  m1
; если f (a)>0, f (b)<0 и производная f ' (x) отрицательна, то, замеq 1
M1
нив уравнение f (x) = 0 на - f (x) = 0, придем к рассмотренному случаю.
Результаты вычислений итераций (4) записать в таблице
n
xn
(xn)
|(xn)- xn|
0
1
2
Контроль за "остановом" осуществляется по последнему столбцу таблицы.
Задание №2. Заданную систему привести к нормальному виду так,
чтобы выполнялось условие (7) сходимости метода простой итерации. Если
диагональные коэффициенты по модулю больше, чем сумма модулей двух
других коэффициентов соответствующей строки, то такое сведение осуществляется непосредственно. Если диагональные коэффициенты не удовлетворяют
этому условию, то заданную систему следует предварительно преобразовать с
помощью элементарных преобразований.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3
Интерполирование функций
Задача интерполирования: пусть в n+1 точках x0, x1, x2,…, xn известны
значения функции y=f(x): f(x0)=y0, f(x1)=y1, f(x2)=y2,…, f(xn)=yn. Требуется подобрать достаточно простую функцию F(x), удовлетворяющую условиям: в
точках x0, x1, x2,…, xn значения функции F(x) должны совпадать со значениями
данной функции f(x), то есть F(xk)= f(xk), k=0, 1, 2, …, n.
14
При остальных значениях x из области определения будем считать, что выполняется приближенное равенство
f(x) F(x).
Функция F(x) называется интерполирующей, процесс ее построения –
интерполированием, а точки x0, x1, x2,…, xn – узлами интерполяции. Часто в
качестве функции F(x) берется многочлен Pn(x), который называется интерполяционным многочленом.
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Многочлен вида
n
( x  x0 )  ( x  x1 )  ( x  xk 1 )  ( x  xk 1 )  ( x  xn )
Ln ( x)   yk
( xk  x0 )  ( xk  x1 )  ( xk  xk 1 )  ( xk  xk 1 )  ( xk  xn )
k 0
называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Многочлен Лагранжа
можно построить для любой таблично заданной функции. Оценка погрешности:
M
f ( x)  Ln ( x)  n1 П n1 ( x) ,
(n  1)!
где
M n1  max f n1 ( x) , П n1 ( x)  ( x  x0 )  ( x  x1 )   ( x  xn ) .
x[ x0 , xn ]
На практике такая оценка погрешности, как правило, оказывается завышенной.
Интерполяционный многочлен Ньютона
Пусть функция y=f(x) задана таблицей с постоянным шагом h:
xi
yi
x0
y0
x1
y1
x2
y2
…
…
xn
yn
где xi=x0+ih, i=1,2,…,n. Такую таблицу называют таблицей с равноотстоящими узлами. Для таблицы с равноотстоящими узлами определяются конечные
разности. Конечными разностями первого порядка называются числа, равные
приращениям значений функции
y0=y1-y0, y1=y2-y1, …, yn-1=yn-yn-1.
Конечными разностями порядка k, k2 называются числа, определенные равенствами:
kym=k-1ym+1 -k-1ym.
x  xn1
x  x0
x  x1
x  x2
 t  2 , …,
 t  n  1.
 t  1,
Положим t 
, тогда
h
h
h
h
Многочлен вида
t (t  1) 2
t (t  1)  ... (t  n  1) n
Pn ( x0  th)  y0  ty0 
 y0  ... 
 y0
2!
n!
15
называется первым интерполяционным многочленом Ньютона. Его удобно
использовать для нахождения значения таблично заданной функции в промежуточной точке, расположенной ближе к началу таблицы, причем в качестве
точки x0 следует брать ближайший к ней слева узел интерполяции xi0 и положить t 
x  xi
0
h
. Первый многочлен Ньютона в этом случае примет вид
t (t  1)  ... (t  n  i0  1) ni0
t (t  1) 2
 yi  ... 
 yi .
0
0
0
0
0
2!
(n  i0 )!
Если требуется найти значение таблично заданной функции в точке,
расположенной ближе к концу таблицы, то используется второй интерполяционный многочлен Ньютона, который определяется формулой
x  xn
t (t  1) 2
t (t  1)  ... (t  n  1) n
Pn ( xn  th)  yn  tyn1 
 yn2  ... 
 y0 , где t 
,
2!
n!
h
причем в качестве xn следует брать ближайший к точке x справа узел интерполяции xin .
Pn ( xi  th)  yi  tyi 
Контрольные вопросы
1. Как ставится задача интерполирования функции?
2. Как обосновывается существование и единственность интерполяционного
многочлена? Как связана его степень с количеством узлов интерполяции?
3. Как строятся интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона? В чем
особенности этих двух способов интерполяции?
4. В чем различие в применении первой и второй интерполяционных формул
Ньютона?
5. Какова оценка погрешности интерполяционных формул, если интерполируемая функция задана аналитически? Как изменяется эта оценка, когда
функция задана таблично?
6. Как используется метод интерполирования для уплотнения таблиц функций?
Задание №1. По таблице значений функции
x
f(x)
x0
y0
x1
y1
x2
y2
x3
y3
составить интерполяционный многочлен Лагранжа. Построить его график и
отметить на нем точки Мi(xi;yi),i=0,1,2,3.
Варианты задания 1 приводятся в таблице 3.
16
Таблица 3
Вари
анты
1
2
3
4
5
6
7
8
x0
x1
x2
x3
y0
y1
-1
0
0
3
-3
-1
-2
0
0
2
2
7
-1
1
-1
2
3
3
3
9
3
2
2
4
5
5
6
13
4
4
5
5
-3
2
-1
-4
7
-5
4
3
5
4
-4
2
-1
-3
9
9
9
-4 -2 0
3
2
8
10
11
12
13
14
15
-3
2
-10
0
-10
-4
-1 1,5 3 1
4 7 10 -1
-9 -7 -4 0
1 4 6 7
-8 -5 0 5
-1 3 8 3
4
-6
3
-1
9
-5
Вари
анты
2 7
16
1 7
17
2 0
18
-2 3
19
4 3
20
-7 2
21
1 7
22
-3 6
23
5 6 24
-7 1
25
3 -2 26
-3 4
27
8 4
28
-2 4
29
-1 7
30
y2
y3
x0
x1
x2
x3
y0
y1
y2
y3
-7 -5 -4 0 4 -4 5 -2
-1 1 4 9 5 -2 9 3
7
8 10 13 6 -2 7 2
-5 -4 0 2 7 4 8 -2
-3 -1 1 4 11 -1 6 1
-2 0 3 8 8 1 5 -4
-3 0 5 8 0 -4 2 -9
-5 -3 1 3 2 -4 1 -7
-3 -1,5 1 2 -1 7 -4 4
-5 -2 0 4 -1 2 -8 -4
7
8 10 11 6 -2 7 0
0
1 2 4 4 7 8 -1
-6 -3 -1 3 8 4 9 1
-4 2 6 10 5 -4 3 -3
-5 -3 3 5 9 2 5 -1
Задание №2. По заданной таблице значений функции вычислить значение этой функции в одном промежуточном значении x с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. Найти значение функции в точке x из ее
аналитического выражения и вычислить абсолютную погрешность интерполяции.
Задание №3. Уплотнить часть [a; b] таблицы заданной функции с шагом H , пользуясь интерполяционными формулами Ньютона.
Для отыскания вариантов к заданиям 2 и 3 используется таблица 4.
Таблица 4
Вари
анты
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Задание 2
таблица
x
4.1
3,8
4.2
9,5
4.3
0,5
4.4
4,8
4.1
9,1
4.2
3,9
4.3
3,3
4.4
4,0
4.1
2,9
таблица
4.5
4.6
4.7
4.8
4.5
4.6
4.7
4.8
4.5
Задание 3
a
b
0,6
0,75
0,15
0,3
1,0
1,15
0,9
1,05
0,7
0,85
0,05
0,25
1,0
1,2
0,9
1,1
H
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,0125
0,0125
0,0125
0,6
0,0125
0,8
17
Вари
анты
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Задание 2
таблица
x
4.2
5,3
4.3
9,1
4.4
7,6
4.1
4,4
4.2
2,5
4.3
5,2
4.4
10,8
4.1
10,0
4.2
5,6
4.3
3,0
4.4
3,5
4.1
5,8
4.2
7,9
4.3
2,3
4.4
7,0
4.1
8,6
4.2
7,0
4.3
8,2
4.4
8,5
4.1
4,1
4.2
3,5
Таблица 4.1
x
1
lgx+x2
x
1,3
1,7777
2,1
4,5634
3,7 13,8436
4,5 20,3952
6,1 37,3387
7,7 59,4051
8,5 72,3593
8,8 77,5473
9,3 86,5941
10,4 108,2578
11,0 121,0947
Продолжение таблицы 4
Задание 3
a
b
H
0,05
0,2
0,01
1,1
1,25
0,01
1,35
1,5
0,01
1,05
1,2
0,01
0,25
0,4
0,01
1,1
1,3
0,0125
1,1
1,25
0,01
1,0
1,2
0,0125
0,5
0,65
0,01
1,35
1,5
0,01
1,25
1,4
0,01
0,95
1,1
0,01
0,3
0,55
0,01
1,3
1,45
0,01
1,0
1,2
0,0125
0,9
1,05
0,01
0,3
0,45
0,01
1,2
1,4
0,0125
1,2
1,35
0,01
0,9
1,1
0,0125
0,1
0,25
0,01
таблица
4.6
4.7
4.8
4.5
4.6
4.7
4.8
4.5
4.6
4.7
4.8
4.5
4.6
4.7
4.8
4.5
4.6
4.7
4.8
4.5
4.6
Таблица 4.2
x
1,2
1,9
3,3
4,7
5,4
6,8
7,5
8,2
8,9
9,4
9,8
ln2,3x-
0,8
x
0,3486
1,0537
1,7844
2,2103
2,3712
2,6322
2,7411
2,8395
2,9291
2,9885
3,0337
Таблица 4.3
x
2,1sin0,37x
x
-3,2
-0,8
0,4
2,8
4,0
6,4
7,6
8,1
8,7
9,5
10,2
-1,9449
-0,6126
0,3097
1,8068
2,0913
1,4673
0,6797
0,3026
-0,1624
-0,7661
-1,2413
2,6
3,3
4,7
6,1
7,5
8,2
9,6
10,1
10,9
11,3
12,1
Таблица 4.4
1,7 3 x -cos(0,4-0,7x)
2,1874
2,8637
3,8161
3,8524
3,1905
2,8409
2,6137
2,7486
3,1850
3,4776
4,1172
18
Таблица 4.5
x
sinx
0,6
0,5646
0,7
0,6442
0,8
0,7174
0,9
0,7833
1,0
0,8415
1,1
0,8912
1,2
0,9320
Таблица 4.6
x
cos x
0,05
0,9988
0,15
0,9888
0,25
0,9689
0,35
0,9394
0,45
0,9004
0,55
0,8525
0,65
0,7961
Таблица 4.7
x
sin x
1,0
0,8415
1,1
0,8912
1,2
0,9320
1,3
0,9636
1,4
0,9854
1,5
0,9975
1,6
0,9996
Таблица 4.8
x
cos x
0,9
0,6216
1,0
0,5403
1,1
0,4536
1,2
0,3624
1,3
0,2675
1,4
0,1700
1,5
0,0707
Указания к выполнению заданий
Задание №2. Для вычисления значения таблично заданной функции в
промежуточной точке явный вид многочлена Лагранжа можно не находить.
Вычисления проводить по таблице
i
0
1
2
…
n
0
x-x0
x1-x0
x2-x0
1
x0-x1
x-x1
x2-x1
2
x0-x2
x1-x2
x-x2
xn-x0
xn-x1
xn-x2
…
n
x0-xn
x1-xn
x2-xn
pi=(0)(1)…(n)
yi
yi /pi
x-xn
n
n
yi
. Тогда Ln (x) = Пn+1 (x)S.
i  0 pi
Далее следует вычислить Пn1( x)   ( x  xi ) и S  
i 0
Задание №3. Составить таблицу конечных разностей
i
0
1
…
n
xi
 yi
yi
 2 yi
 n yi
В каждом столбце, начиная с четвертого, будет на одно число меньше, чем в
предыдущем.
Результаты вычислений значений функции в промежуточных точках
расположить в таблице
x
t
Pn (x)
19
Интерполяционные формулы Ньютона дают хороший результат в случае, когда t[0; 1]. Если внутри отрезка [a; b], на котором требуется уплотнить таблицу, находится узловая точка xi, то на каждом из отрезков [a; xi] и
[xi; b] вычисления выполняются отдельно.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4
Численное дифференцирование и
интегрирование
Численное дифференцирование
Пусть функция f(x) задана таблицей с равноотстоящими узлами
xi
yi
x0
y0
x1
y1
x2
y2
…
…
xn
yn
где xi=x0+ih, i=1,2,…,n. Для нахождения значения производной функции в
промежуточной точке, расположенной ближе к началу таблицы, функцию f(x)
заменяют приближенно первым интерполяционным многочленом Ньютона:
t2 t 2
t 3  3t 2  2t 3
t 4  6t 3  11t 2  6t 4
f ( x0  th)  y0  ty0 
 y0 
 y0 
 y0  ... ,
2
6
24
x  x0
где t 
(заметим, что в качестве x0 выбирается ближайший к точке x слеh
ва узел интерполяции). Продифференцировав приближенное равенство по переменной t, получим приближенную формулу для вычисления производной
таблично заданной функции в промежуточной точке:

1 
2t  1 2
3t 2  6t  2 3
2t 3  9t 2  11t  3 4
f ( x)   y 
 y 
 y 
 y  ... .
0
0
0

h  0
2
6
12

Для вычисления производной в точке, расположенной ближе к концу
таблицы, следует использовать второй интерполяционный многочлен Ньютона. Применяя тот же прием, получим:

1 
2t  1 2
3t 2  6t  2 3
2t 3  9t 2  11t  3 4
f ( x)   y

 y

y

 y
 ... .
n2
n3
n4

h  n  1
2
6
12

Численное интегрирование
b
Пусть требуется вычислить интеграл  f ( x)dx . Отрезок интегрирования
a
[a; b] разобьем на n равных частей длиной h точками: x0=a, x1, x2, …, xn=b.
Обозначим y0=f(x0), y1=f(x1), y2=f(x2), …, yn=f(xn).
20
Формула трапеций
На каждой части заменим подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Ньютона первой степени. Геометрически это означает, что
на каждой из частей кривая y=f(x) заменяется отрезком прямой. Выполнив
вычисления, получим следующую приближенную формулу:
b
y y

0
n
,
 y  y  y
 f ( x)dx  h 
1
2
n 1
a
2


которая называется общей формулой трапеций.
Если остаточный член общей формулы трапеций обозначить R, то
справедлива следующая оценка погрешности:
b  a  h 2  M 2
, где M 2  max f ( x) .
R
12
x[ a , b ]
Формула Симпсона
Пусть n – число четное. Объединив частичные отрезки разбиения по
два, на каждом таком объединении подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом Ньютона второй степени. Геометрически это
означает, что на каждом объединении кривая y=f(x) заменяется параболой.
Приближенная формула для вычисления интеграла примет вид
b
h
 f ( x)dx   y 0  y n  4  ( y1  y 3    y n  1 )  2  ( y 2  y 4    y n  2 ) .
a
3
Эта формула называется общей формулой Симпсона или формулой парабол.
Для остаточного члена общей формулы Симпсона справедлива следующая
оценка погрешности:
b  a  h 4  M 4
, где M 4  max f (4) ( x) .
R
180
x[ a, b]
В вычислительной практике используется другой способ оценки погрешности: вычисления проводятся дважды с шагом h и шагом 2h. Если результаты вычислений обозначить Sh и S2h, то практически верными считают
все совпавшие цифры у значений Sh и S2h.


Контрольные вопросы
1. В чем особенность задачи численного дифференцирования?
2. Как влияет на точность численного интегрирования величина шага h? Каким способом можно прогнозировать примерную величину шага для достижения заданной точности интегрирования?
3. Можно ли добиться неограниченного уменьшения погрешности интегрирования путем последовательного уменьшения шага?
21
Задание №1. Вычислить значение производной в точке x функции,
заданной таблично, используя интерполяционные формулы Ньютона. Найти
значение производной функции в точке x из ее аналитического выражения и
вычислить абсолютную погрешность.
Для отыскания варианта к заданию 1 используется таблица 5.
Вари
анты
1
2
3
4
5
6
7
8
Задание 1
таблица
x
4.7
1,33
4.8
1,24
4.5
0,62
4.6
0,07
4.7
1,02
4.8
0,92
4.5
0,63
4.6
0,08
9
4.7
1,05
10
4.8
0,95
Варианты
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Задание 1
таблица
x
4.5
0,65
4.6
0,1
4.7
1,07
4.8
0,97
4.5
0,67
4.6
0,12
4.7
1,12
4.8
1,05
4.5
0,72
4.6
0,17
Таблица 5
Вари
Задание 1
анты таблица
x
21
4.7
1,15
22
4.8
1,07
23
4.5
0,75
24
4.6
0,2
25
4.7
1,18
26
4.8
1,09
27
4.5
0,82
28
4.6
0,3
29
4.7
1,25
30
4.8
1,15
Задание №2. Вычислить интеграл от заданной функции f(x) на отрезке [a,b] по формулам трапеций и Симпсона при делении отрезка на 12 равных
частей. Повторить вычисления при делении отрезка на 6 равных частей. Записать ответ каждого метода, сохранив только верные цифры.
Варианты задания 2 приводятся в таблице 6.
Указания к выполнению заданий
Задание №1. Составить таблицу конечных разностей (см. указание к
выполнению задания 3 лабораторной работы №3).
Задание №2.
Составить таблицу значений функции на отрезке [a; b]
ba
с постоянным шагом h =
12
x
f(x)
a
a+h
a+2h
…
a +12 h = b
22
Таблица 6
Вари
анты
f(x)
a
b
Вари
анты
f(x)
a
b
1
0,37еsin x
0
1,2
16
3 x е cos x
0,2
1,4
2
0,5x+xlgx
1
2,2
17
x2 tg
x
2
1,5
2,7
1
2,2
18
cos x
x
1,6
2,8
(x2+1) tg
1,5
2,7
3
(x+1,9)sin
x
3
4
1
ln (x+2)
x
2
3,2
19
5
3cos x
2x+1,7
0
1,2
20
cos 2x
0,5x+1,5
0
1,2
1
2,2
21
1  x3
1
2,2
x
2
x
2
6
(2x+0,6)cos
7
2,6x2 ln x
1,2
2,4
22
1
ln(x+1)
x2
2
3,2
8
(x2+1) sin(x-0,5)
0,5
1,7
23
3x2+xln x
1
2,2
2
3,2
24
1 x2  x4
0,2
1,4
9
x
4
x2cos
10
sin(0,2x-3)
x2+1
3
4,2
25
(x2+x+1) e-x
-1
0,2
11
3x+ ln x
1
2,2
26
sin x
x
1,6
2,8
12
4x e x
-1
0,2
27
1 x2
1
2,2
13
3x2 +tg x
-0,5
0,7
28
x2 2  x
0,5
1,7
14
3x2 +sin x
x2
2
3,2
29
ln x
x
1
2,2
0,8
2
30
sin2x2-tg3x
-0,3
0,9
15
2
4  x  cos(x 2  3)
3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5
Среднеквадратическое приближение функций
и построение эмпирических формул
Пусть при изучении функциональной зависимости y  f (x) получен
ряд значений величин х и y:
х
х0
x1
…
xn
y
y0
y1
…
yn
23
Если аналитическое выражение функции f (x) неизвестно или весьма сложно,
то находят эмпирическую формулу
~
~
(1)
y  f ( x, b0 , b1,, bm ),
где неизвестные параметры b0 , b1,, bm согласно методу наименьших квадратов выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений значений
y i от ~y i , вычисленных по формуле (1), была наименьшей, то есть
n
(2)
S  ( y ~
y )2  min .

i 0
i
i
Система уравнений для нахождения неизвестных параметров формулы
(1) имеет вид:
~
n
f ( xi , b0 , b1,, bm )
~
(3)
 0,
k  0, m .
 ( yi  f ( xi , b0 , b1,, bm ) 
bk
i 0
Решив систему (3) (в случае ее разрешимости), найдем так называемые
наилучшие, или оптимальные, параметры b0*, b1*,..., bm* . Тогда искомая эмпирическая формула примет вид:
~
y  f ( x, b0*, b1*,..., bm* ).
В случае, когда функция (1) имеет вид многочлена
~
~
y  Pm ( x)  b0 xm  b1xm1  ...  bm
степени m  n, то система (3) имеет единственное решение и, значит, составление эмпирической формулы
~
~
(4)
y  P* ( x)  b*xm  b*xm1  ...  b*
m
0
1
m
возможно. Погрешность эмпирической формулы (4) оценивается с помощью
среднеквадратической ошибки:
n
2
~
*   yi  Pm* ( xi ) .
i 0


Многочлен (4) называется наилучшим среднеквадратическим приближением
функции f (x) в классе многочленов степени m.
Виды функциональной зависимости
1. Линейная зависимость. Эмпирическая формула для этой зависимости имеет вид ~
y  b0 x  b1 , а система (3) нахождения наилучших ее параметров
принимает вид:

M x 2 b0  M xb1  M xy ,
(5)

M
b

b

M
,

x 0
y
1

где M x p y q 
1 n p q
xi yi .
n  1 i
0
24
2. Квадратичная зависимость. Эмпирическая формула в этом случае
y  b0 x 2  b1x  b2 , а система (3) переходит в систему
имеет вид ~
M 4 b  M 3 b  M 2 b  M 2 ,
x 1
x 2
x y
 x 0
 M x 3 b0  M x 2 b1  M xb2  M xy ,

M x 2 b0  M xb1  b2  M y .

3. Степенная зависимость. Эмпирическая формула имеет вид
b0
~
y  a x . Логарифмируя эту формулу и вводя новые переменные
Y  ln ~
y , X  ln x,
видим, что исходная степенная зависимость сводится к линейной зависимости
между Y и X:
Y  b0 X  b1, где b1  ln a.
Наилучшие параметры для этой линейной зависимости b0*, b1* найдем из системы (5) с коэффициентами
1 n
M p q 
(ln xi ) p (ln yi )q .

n  1 i 0
X Y
Тогда параметры b0* и a*  e
*
b1
будут наилучшими в эмпирической формуле
b*
для степенной зависимости: y  a* x 0 .
Контрольные вопросы
1. Как ставится задача точечной аппроксимации функции?
2. Как определяется многочлен наилучшего среднеквадратического приближения функции? Как связана его степень с количеством заданных узловых
точек? Когда он совпадает с интерполяционным многочленом?
3. Как обосновывается существование и единственность многочлена наилучшего приближения?
4. Какая задача требует составления эмпирической формулы?
5. Как определяются наилучшие параметры выбранной эмпирической формулы? Как называется этот метод?
6. Как оценивается погрешность составленной эмпирической формулы?
Задание №1. По заданной таблице приближенных значений функции
y=f(x) найти эмпирическую формулу в виде:
b
~
y  b0 x  b1 ; ~y  b0 x 2  b1x  b2 ; ~
y  ax 0 .
Варианты задания 1 приводятся в таблице 7.
Задание №2. Приведите графики исходной и полученных в задании 1
зависимостей на одном рисунке.
25
Задание №3. Выберите из полученных в задании 1 формул наилучшую
по критерию наименьшей среднеквадратической ошибки.
Таблица 7
26
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6
Приближенное решение обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка
Рассмотрим задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения y'=f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0.
Теорема (условие существования и единственности решения). Пусть
выполнены условия:
1) функция двух переменных f(x,y) определена в области G, непрерывна в прямоугольнике R={(x,y)| |x-x0| a, |y-y0| b}G и
(x,y)R |f(x,y)| M;
2) функция двух переменных f(x,y) имеет частную производную по
переменной y в каждой точке прямоугольника R, причем
 N>0 (x,y)R |f 'y(x,y)| N.
Тогда существует единственное решение y=(x) дифференциального уравнения y'=f(x,y), определенное и непрерывное на отрезке [x0-d, x0+d], где
d=min{a,
b
}, такое, что
M
(x0)=y0.
Метод последовательных приближений
Если выполнены все условия теоремы, то для решения задачи Коши
можно использовать метод последовательных приближений:
y0(x)=y0,
x
yn(x)=y0+  f (t , yn  1(t ))dt , n=1,2,….
x0
Для оценки погрешности используется формула
MN n d n1
|yn(x)-(x)| 
.
(n  1)!
Метод последовательных приближений решения задачи Коши является
приближенно аналитическим. Существуют и другие приближенные методы
решения дифференциальных уравнений, среди которых особо выделяют численные методы. Пусть на отрезке [x0, xn] существует единственное решение
задачи Коши. Рассмотрим класс численных методов Рунге-Кутта. Разобьем
отрезок [x0, xn] точками x0, x1, x2, …, xn на n равных отрезков длины h. Реализация численных методов сводится к последовательному нахождению приближенных значений y1, y2, …, yn в точках x1, x2, …, xn, для чего на каждом шаге
вычисляется поправка yi,и тогда
yi+1=yi+yi, i=0,1,2,…,n -1.
27
Численные методы Рунге-Кутта отличаются друг от друга способом вычисления поправки на шаге.
При вычислении последовательных значений y1, y2, …, yn происходит
накопление погрешности. Для приближенной оценки погрешности применяh
ют обычно двойной пересчет с шагом h и с шагом , обозначая при этом
2
приближенное значение решения в точке xi, полученное с шагом h, за yi, а
h
улучшенное значение, полученное с шагом , за yi* .
2
Метод Эйлера-Коши
yi= h (f(xi, yi)+f(xi+1, ~yi1 )), где ~yi1 = yi+h f(xi, yi).
2
Абсолютную погрешность метода определяют из приближенного равенства
1
| yi* -y(xi)|  | yi* - yi|, i=1,2,…,n.
3
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности
1
yi=  k1(i )  2k 2(i )  2k3(i )  k 4(i )  , где
6

k ( i )
 1

k ( i )
 2

 (i )
k 3

k ( i )
 4
 h  f ( xi , yi ),
k1(i )
h
 h  f ( xi  , yi 
),
2
2
k 2(i )
h
 h  f ( xi  , yi 
),
2
2
 h  f ( xi  h, yi  k3(i ) ).
Абсолютная погрешность находится с помощью равенства
1
| yi* -y(xi)|  | yi* - yi|, i=1,2,…,n.
15
Контрольные вопросы
1. Каковы условия существования и единственности решения задачи Коши?
2. К какой группе методов относится метод последовательных приближений
решения задачи Коши?
3. Как формулируется задача численного интегрирования дифференциального
уравнения?
4. Какой способ оценки точности используется при численном интегрировании дифференциальных уравнений методами Рунге-Кутта?
28
Задание № 1. Найти три итерации по методу последовательных приближений решения задачи Коши
 y   f ( x, y),

 y( x 0 )  y 0 .
Оценить погрешность y3(x) в множестве  | x  x0 |  a, | y  y0 |  b
.
Варианты задания 1 приводятся в таблице 8.
Вари
анты
f(x,y)
x0
y0
a
b
Вари
анты
1
2
3
4
5
6
7
8
xy2-x2
4x-3y2
4,1x-y2+0,1
x+2,3y2+2
x2 y
x2 y2
0,1 x2 y+0,9
x2+0,5y2
4
3
1
1
0
1
0
0,3
0,7
0,8
3,4
0,9
1,1
1
2
0,7
4,5
3,5
1,5
1,5
0,9
1,9
0,5
1
1,5
2
4
1,5
1,9
1,7
3
1,2
9
3,2x2+y2
3
2
3,5
2,5
10
11
12
13
14
15
0,5xy+2
x3y +2x
2xy+ x3
x3y2 +0,5 x2
0,5x3y2 +3x
4,4x4+0,2xy
0,1
0
0,5
1
0
-1
2
1
0,5
0,3
0
-2
0,5
0,5
1
1,5
1
0,4
2,6
1,5
1
0,5
1
1,6
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Таблица 8
f(x)
x2y+1
x2y2 +0,2
0,1x2y+2,9
0,5xy+2,5
2xy2 -x2
4,4x-3y2
5,2x-y2 +0,1
0,1x3y +2x
3x2y
2x+2,3y2
x2+0,8y2
x3y +3x
3xy+ x3
2x3y2+x2
2,1y-(x+1)3
Задание № 2. Методом Эйлера-Коши и методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности проинтегрировать задачу Коши на отрезке [x0, x10] с
h
шагом h и шагом . Оценить погрешность.
2
Варианты задания 2 приводятся в таблице 9.
Указания к выполнению заданий
Задание № 1. Сначала проверить выполнимость условий теоремы о
существовании и единственности решения задачи Коши, найти значения констант M, N и d, которые используются для оценки погрешности.
29
Таблица 9
Варианты
f(x,y)
x0
y0
h
Вари
анты
1
xy3 -x2
4
0,7
0,01
16
2,6
1,8
0,02
17
x 2  0,5 y 2 +1
4 x 2  1 -3y2
2
f(x,y)
x+cos
y
2
x0
y0
h
-2
3
0,01
0
2,9 0,02
3
cos (1,5x-y2)-1,3
-1
0,2
0,02
18
sin (x+y)+1,5
1,5
0,5 0,01
4
x2+xy +y2
2
1,2
0,01
19
x2+0,5y2 +3
1
2,1 0,01
0
0,3
0,05
20
1,8-sin(x+y)2
2,1
2,5 0,01
5
e
 y 2 1


+2x
6
cos (1,5y+x)2 +1,4
1
0,9
0,01
21
0,5y(1-0,5x)
0
7
4,1x -y2 +0,6
0,6
3,4
0,02
22
2 xy 2
-0,4
x4
3
1,7 0,02
8
1
+2y
1 x3 y
1,5
2,1
0,05
23
0,1y2(2-x2 )
0,2
1,3 0,01
y
11
2,1
2,
5
0,01
24
e  y +3x2
0,5
0,3 0,05
x  1,5 y 2 +1
0,1
2,5 0,02
x+cos
9
2
1
0,01
10
2xy
-0,4
xy
3
1,7
0,02
25
11
2,5x+cos(y+0,6)
1
1,5
0,02
26
sin(x2+1,1y)+2
1,7
0,6 0,01
12
x +2,5y2 +2
1
0,9
0,01
27
1
+2y
0,9  x 2 y
1,5
2,1 0,05
13
2-sin(x+y)2
2
2,3
0,01
28
cos (2x-y2)-1,5
1,2
0,4 0,02
14
2y
+x+1
x2
0,1
1,2
0,05
29
4 x 3  0,5 -2y2
2,5
1,5 0,02
15
2 y3  3 x2  4,1
-2
0,5
0,02
30
-1
1,6 0,01
ex
2 y3
 6,3xy
Задание № 2. Вычисления записать в таблице. Например, для метода
четвертого порядка точности таблица имеет вид:
i
xi
yi
k1( i) k2( i) k3( i) k4( i)
 yi
yi *
k1( i)* k2( i)* k3( i)* k4( i)*  yi*
причем в первой половине таблицы записываются вычисления с шагом h, а во
h
второй – с шагом .
2
30
ЛИТЕРАТУРА
1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.: Высш. шк., 2002.
– 840 с.
2. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы.
– М.: Просвещение, 1991.
3. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. –
М.: Наука, 1970. – 664 с.
4. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука, 1989. –
432 с.
5. Пулькин С.П., Никольская Л.Н., Дьячков А.С. Вычислительная математика: Учебное пособие для студентов-заочников V курса физикоматематических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение,
1980. – 176 с.
6. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 248 с.
7. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях. Учеб. пособие. – М.: Высш. школа, 2000. – 400 с.
8. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 598 с.
9. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. – М.: Наука, 1967.
31
СОДЕРЖАНИЕ
Программа курса ....................................................................................................... 3
лабораторная работа 1 ............................................................................................. 4
лабораторная работа 2 ............................................................................................. 9
лабораторная работа 3 ........................................................................................... 13
лабораторная работа 4 ........................................................................................... 19
лабораторная работа 5 ........................................................................................... 22
лабораторная работа 6 ........................................................................................... 26
литература ................................................................................................................ 30
32
Лабораторный практикум
по курсу
«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
Составители Р.А. Шафиев, Е.В. Архаров, В.Е. Уваров, И.Ю. Ястребова
Редактор Т.Н.Томилова
Подписано в печать
Объем 2 п.л. Тираж
экз.
Печать трафаретная
Заказ
Полиграфический участок АНО « МУК НГПУ »
603950, Н. Новгород, ул. Ульянова, 1