Задачи на движение

Задачи на движение
Для успешного решения задач на движение нужно твердо знать ключевую формулу –
формулу движения, в которой связаны путь, скорость и время движения:
S=vt, где
S – это пройденный путь или расстояние;
v – это скорость движения, то есть расстояние, пройденное за единицу времени;
t – время движения.
Зная эту формулу, можно легко вывести из нее формулу для скорости или времени: v=S/t;
t=S/v.
Практические советы для успешного решения:
1. Вспоминаем ключевую формулу S=vt. Для наглядности можно ее записать.
2. Определяемся, какую величину обозначим за икс, расписываем через икс все
данные. Особое внимание обращаем на величины, входящие в формулу-ключ:
скорость, время, расстояние. Эти величины – основа решения задач на движение.
Зачастую бывает удобно всю информацию разместить в таблице.
3. До составления уравнения, приводим (если надо) все величины задачи к единым
единицам измерения.
4. Записываем уравнение.
5. Решаем уравнение. При получении двух корней, за ответ берем корень,
подходящий по условию задачи.
Типы задач на движение:
Задачи на движение по прямой.
Задачи на движение по окружности.
Задачи на движение по воде.
I.
II.
III.
I.Задачи на движение по прямой
Типы задач на движение по прямой:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Задачи на движение одного объекта.
Задачи на движение двух объектов.
Задачи на встречное движение и движение в противоположных направлениях.
Задачи на движение в одном направлении.
Задачи на среднюю скорость движения.
Задачи на движение протяженных объектов, например, поездов.
Задачи на движение одного объекта.
Используя формулы, найдите неизвестные величины в таблице:
Расстояние
Скорость
124 км
62 км/ч
595 км
28 км/ч
Время
7ч
Покажем теперь на примере, как составить уравнение задачи на движение.
3ч
Задача 1: «Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B,
расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в A
со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В
результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь
из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.»
Как составить таблицу по условию задачи? Вот один из приемов.
В первый столбец таблицы нужно записать ту величину, которая по условию задачи
известна. В нашем примере – это расстояние. Во второй столбец нужно записать ту
величину, которую нужно найти. Эту величину удобно брать за икс, тогда решив
уравнение, мы сразу ответим на вопрос задачи. В нашем примере неизвестная величина –
это скорость. В третий столбец запишем ту величину, которая осталась. В нашем примере
– это время.
Расстояние, км
70
Время, ч
70
х−3
=
70
Из В в А
70
х
+3
х
Теперь нужно найти в условии задачи предложение, которое свяжет время, затраченное на
путь из А в В, и время, затраченное на путь из В в А. Вот оно: «В результате велосипедист
затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B». Теперь можно
составить уравнение:
Из А в В
Скорость, км/ч
х–3
70
70
=
+3
х−3
х
Решаем уравнение и получаем ответ: 10 км/ч.
Рассмотрим еще один пример.
Задача 2: «Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 8
км. Пешеход прошёл путь из А в В за 2 часа 45 минут. Время его движения на спуске
составило 1 час 15 минут. С какой скоростью пешеход шёл на спуске, если скорость его
движения на подъёме меньше скорости движения на спуске на 2 км/ч? Ответ выразите в
км/ч».
Приведем величины задачи к единым единицам измерения:
3
2 ч 45 мин = 24 ч =
11
4
1
5
ч; 1 ч 15 мин = 14 ч = 4 ч.
Теперь составим таблицу.
Подъем
Время, ч
11 5 3
− =
4
4 2
Скорость, км/ч
х–2
Расстояние, км
3
2
(х – 2)
8 км
5
4
3
5
Уравнение: 2 (х – 2) + 4 х = 8.
Спуск
5
х
4
х
Ответ: 4 км/ч.
Тренировочные задачи.
1. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние
между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со
скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В
результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A
в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч. (7)
2. Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 8 км.
Турист прошёл путь из А в В за 5 часов. Время его движения на спуске составило 1
час. С какой скоростью турист шёл на спуске, если скорость его движения на
подъёме меньше скорости движения на спуске на 3 км/ч? (4)
3. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние
между которыми равно 128 км. На следующий день он отправился обратно в А со
скоростью на 8 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 8 часов. В
результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько
на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в
км/ч. (16)
 Задачи на движение двух объектов
Задача 1: «Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый
проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со
скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью, на 16 км/ч большей скорости
первого, в результате чего прибыл в пункт B одновременно с первым автомобилем.
Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч».
Если расстояние явно не задано, можно ввести вспомогательную переменную, которая
после составления уравнения сократится.
Расстояние, км
Первый
S
автомобиль
Второй
S
автомобиль
Составляем уравнение:
Скорость, км/ч
x
24
x+16
Время, ч
𝑆
𝑥
𝑆
𝑆
+
2 ∗ 24 2(𝑥 + 16)
𝑆
𝑆
𝑆
+
=
2 ∗ 24 2(𝑥 + 16) 𝑥
Разделим обе части уравнения на S ≠ 0:
1
1
1
+
=
48 2(𝑥 + 16) 𝑥
=
Ответ: 32 км/ч.
Задача 2: «Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно
выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на
40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что
он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.»
Расстояние, км
Скорость, км/ч
75
х
75
х+40
Велосипедист
Автомобилист
Составляем уравнение:
Время, ч
75
х
75
х + 40
На 6 ч >
75
75
−
=6
х
х + 40
Ответ: 10 км/ч.
Тренировочные задачи:
1. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с
постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со
скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути – со
скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым
автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она
больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч. (52)
2. Два велосипедиста одновременно отправились в 240-километровый пробег.
Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к
финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к
финишу первым. Ответ дайте в км/ч. (16)
3. Два велосипедиста одновременно отправились в 88–километровый пробег. Первый
ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу
на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу
вторым. Ответ дайте в км/ч. (8)
4. Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и
на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость
товарного поезда. Ответ дайте в км/ч. (45)
5. Иван и Алексей договорились встретиться в N-ске. Иван звонит Алексею и узнаёт,
что тот находится в 275 км от N-ска и едет с постоянной скоростью 75 км/ч. Иван в
момент разговора находится в 255 км от N-ска и ещё должен по дороге сделать 50минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в N-ск
одновременно с Алексеем? (90)
 Задачи на встречное движение и движение в противоположных направлениях.
При решении задач на встречное движение полезно использовать понятие «скорость
сближения», которая находится сложением скоростей движущихся объектов. Как связаны
между собой расстояние, скорость и время при движении тел навстречу друг другу?
S = (v1 + v2) t, где
S – расстояние между объектами до начала движения;
v1 + v2 – скорость сближения объектов;
t – время до встречи.
Задача 1: «Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг
другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили
встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?»
1) 65 + 75 = 140 (км/ч) – скорость сближения
2) 560/140 = 4 (ч) – время, через которое встретятся автомобили
Ответ: 4 ч.
Задача 2: «Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист.
Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились
они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?»
Приведем величины задачи к единым единицам измерения:
4
48 мин = 5 ч.
Если расстояние явно не задано, можно принять его равным единице. Составим таблицу:
Расстояние
Время, ч
1
х
Вел.
Мот.
1
Составляем уравнение:
1
1
х–3
Скорость
Скорость
сближения
Время
до
встречи,
ч
1
х
1
х−3
1
1
+
х х−3
4
5
Расстояние
(х + х−3)∙ 5
1
1
4
=1
4
(х + х−3)∙ 5 = 1
Ответ: 4 ч.
Тренировочные задачи:
1. Из городов А и В, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу
одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии
180 км от города В. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города А. Ответ
дайте в км/ч. (50)
2. Расстояние между городами А и В равно 435 км. Из города А в город В со
скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу
ему из города В выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком
расстоянии от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах. (240)
3. Расстояние между городами А и В равно 470 км. Из города А в город В выехал
первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города В выехал со
скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если
автомобили встретились на расстоянии 350 км от города А. Ответ дайте в км/ч. (70)
4. Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса,
находящейся в 4,4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а
другой — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью
возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их
встреча? (4)
5. Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист.
Мотоциклист приехал в B на 4 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а
встретились они через 50 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B
в A велосипедист? (5)
При решении задач на движение в противоположных направлениях полезно использовать
понятие «скорость удаления», которая находится сложением скоростей движущихся
объектов. Как связаны между собой расстояние, скорость и время при движении тел в
противоположных направлениях? Такой же точно формулой, что и при движении
навстречу:
S = (v1 + v2) t, где
S – расстояние между объектами после их удаления друг от друга;
v1 + v2 – скорость удаления объектов;
t – время движения.
Задача: «Из деревни Простоквашино одновременно оправились на поиски пропавшей
коровы Мурки кот Матроскин и пес Шарик. Один из них побежал в южном направлении,
другой – в северном. Через полчаса расстояние между ними стало равным 16 км, причем
Шарик пробежал на 6 км больше, чем Матроскин. С какой скоростью бежал каждый из
них?»
1
1) 16 : 2 = 32 (км/ч) – скорость удаления;
2)
3)
4)
5)
16 – 6 = 10 (км) – удвоенное расстояние, которое пробежал Матроскин;
10 / 2 = 5 (км) – расстояние, которое пробежал Матроскин за 30 мин;
5*2 = 10 (км/ч) – скорость Матроскина;
32 – 10 = 22 (км/ч) – скорость Шарика.
Ответ: 10 км/ч; 22 км/ч.
Тренировочные задачи:
1. Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода.
Скорость одного из них 6 км/час, и он был в пути на 2 час больше, чем другой.
Скорость другого составляла 2/3 скорости первого. Сколько времени был в пути
каждый пешеход, если они удалились друг от друга на 28км?
2. Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за
борт папину шляпу. Только через 15 мин. Папа заметил пропажу, быстро развернул
лодку, и они поплыли по течению с той же собственной скоростью. За сколько
минут они догонят шляпу? (15)
 Задачи на движение в одном направлении.
В задачах на движение в одном направлении при одновременном начале движения
объектов полезно использовать понятия «скорость сближения» и «скорость удаления»,
которые находятся вычитанием меньшей скорости из большей. Расстояние, скорость и
время при движении тел с отставанием и движении тел вдогонку связаны одной и той же
формулой: S = (v1 – v2) t, где
v1 > v2;
S – расстояние между телами в конце движения при движении с отставанием и расстояние
между телами до начала движения при движении вдогонку;
(v1 – v2) – скорость удаления при движении тел с отставанием и скорость сближения при
движении тел вдогонку;
t – время движения при движении с отставанием и время до встречи при движении
вдогонку.
Задача 1: «Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и
того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости
второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?»
1) 300 м = 0,3 км;
2) Так как скорость первого пешехода на 1,5 км/ч больше скорости второго, то 1,5
км/ч – это и есть скорость удаления пешеходов.
1
3) 0,3 / 1,5 = 5 (ч) – время движения;
4)
1
5
ч = 12 мин.
Ответ: 12 мин.
Задача 2: «Расстояние между городами А и В равно 150 км. Из города А в город В выехал
автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист,
догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль
прибыл в В. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах»
Эта задача комбинированная: на движение вдогонку и на движение в противоположных
1
направлениях. 30 мин = 2 ч
Время,
ч
А.
М.
1
2
0
Скорость,
км/ч
х
90
Расст.,
км
Скор.
сближ.,
км/ч
х
2
0
90 – х
Время
движ. в
против.
напр., ч
х
х
2(90 − х) 2(90 − х)
Время
встречи,
ч
Скор.
удал.,
км/ч
Расстоян
ие между
А и В, км
90+х
х(90 + х)
2(90 − х)
150
км
Уравнение:
х(90 + х)
= 150
2(90 − х)
х = 60 (км/ч) – скорость автомобилиста.
Иногда вопрос задачи неудобно брать за икс. Часто в задачах на движение бывает удобно
брать за икс скорость.Тогда в задаче появляются дополнительные действия, которые надо
потом не забыть сделать:
60∗90
2(90−60)
= 90 (км) – расстояние от А до С.
Ответ: 90 км.
Можно решить эту задачу другим способом, составив систему уравнений.
Пусть v км/ч – скорость движения автомобиля, t ч – время движения мотоциклиста из А в
1
1
С. Тогда (t + 2) v = 90t и (2t + 2) v = 150. Решим систему полученных уравнений:
1
(t + ) v = 90t ;
t = 1;
2
⇔{
{
1
v = 60.
(2t + ) v = 150;
2
90*1 = 90 (км) – расстояние от А до С.
Ответ: 90 км.
Тренировочные задачи:
1. Расстояние между городами A и B равно 198 км. Из города A в город B выехал
автомобиль, а через 3 часа следом за ним со скоростью 80 км/ч выехал
мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он
вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в
километрах.
2. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того
же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 0,5 км/ч больше
скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет
равным 25 метрам? (3)
3. Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час
после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал
второй велосипедист, а еще через час после этого – третий. Найдите скорость
третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут
после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч. (25)
 Задачи на среднюю скорость движения.
𝑆
Напомним, что средняя скорость вычисляется по формуле: v = 𝑡 , где
𝑆 - путь, пройденный телом;
𝑡 - время, за которое этот путь пройден.
Если путь состоит из нескольких участков, то следует вычислить всю длину пути и все
время движения. Например, если путь состоял из двух участков протяженностью s1 и s2,
скорости на которых были равны соответственно v1 и v2, то
S = s1 + s2, t = t1 + t2,
s1
s2
где t1 = v1 , t2 = v2 .
Задача 1: «Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час – со
скоростью 100 км/ч, а затем два часа – со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость
автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.»
1) 50*2 + 100 + 2*75 = 350 (км) – путь, пройденный автомобилем;
2) 2 + 1 + 2 = 5 (ч) – время, за которое этот путь пройден;
3) 350 : 5 = 70 (км/ч) – средняя скорость автомобиля.
Ответ: 70 км/ч.
Задача 2: «Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74
км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость
автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.»
Пусть t ч – время, затраченное на дорогу. Тогда:
74*t / 2 + 66*t / 2 = 70t (км) – путь, пройденный автомобилем;
70t / t = 70 (км/ч) – средняя скорость движения.
Ответ: 70 км/ч.
Тренировочные задачи:
1. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 67 км/ч,
а вторую половину времени — со скоростью 79 км/ч. Найдите среднюю скорость
автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. (73)
2. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть – со
скоростью 120 км/ч, а последнюю – со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю
скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. (88)
3. Первые три часа автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующий час — со
скоростью 65 км/ч, а затем один час — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю
скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. (64)
4. Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со
скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю
скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. (72)
 Задачи на движение протяженных объектов
В задачах на движение протяженных тел часто требуется определить длину одного из них.
Наиболее типичные ситуации: определение длины поезда, проезжающего мимо столба
или протяженной платформы; параллельное движение двух объектов.
В случае определения длины поезда, проезжающего мимо столба, поезд проходит мимо
столба расстояние, равное его длине. В том случае, когда поезд проезжает мимо
платформы, он проходит расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.
При параллельном движении поездов в одном направлении, удобно принимать скорость
одного из поездов, равной нулю. Тогда скорость второго поезда становится равной
разности скоростей двух поездов (это относительная скорость). Если в задаче сказано, что
поезда двигаются навстречу друг другу, то приняв за ноль скорость одного из них,
скорость другого (относительную скорость) найдем сложением скоростей. Тогда решение
задачи сводится к решению задачи на нахождение длины поезда, проезжающего мимо
платформы. Только в качестве платформы выступает стоящий поезд.
Задача 1: «Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо
придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах»
1) 80 км/ч = 80000 м/ч; 36 с = 0,01ч;
2) 80000*0,01 = 800 (м) – длина поезда.
Ответ: 800 м.
Задача 2: «Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо
лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в
метрах»
1) 60 км/ч = 60000 м/ч = 1000 м/мин;
2) 1000*1 = 1000 (м) – сумма длин поезда и лесополосы;
3) 1000 – 400 = 600 (м) – длина поезда.
Ответ: 600 м.
Задача 3: «По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении
следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90
км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского
поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ
дайте в метрах».
1) 90 км/ч = 90000 м/ч = 1500 м/мин;
2) 30 км/ч = 30000 м/ч = 500 м/мин;
3) 1500 – 500 = 1000 (м/мин) – скорость пассажирского поезда, если товарный поезд
стоит на месте (относительная скорость);
4) 1000*1 = 1000 (м) – сумма длин товарного и пассажирского поездов;
5) 1000 – 600 = 400 (м) – длина пассажирского поезда.
Ответ: 400 м.
Задача 4: «По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу
следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч
и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда,
если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ
дайте в метрах».
1) 65 км/ч = 65000 м/ч =
2) 35 км/ч = 35000 м/ч =
3)
650
36
+
350
36
=
1000
36
650
36
350
36
м/с;
м/с;
(м/с) – скорость скорого поезда, если пассажирский стоит на месте
(относительная скорость);
4)
1000
36
∗ 36 = 1000 (м) – сумма длин скорого и пассажирского поездов;
5) 1000 − 700 = 300 (м) – длина скорого поезда.
Ответ: 300 м.
Тренировочные задачи:
1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного
столба за 9 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (150)
2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 70 км/ч, проезжает мимо лесополосы,
длина которой равна 1000 метров, за 1 минуту 48 секунд. Найдите длину поезда в
метрах.
3. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют
пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 50 км/ч
и 40 км/ч. Длина товарного поезда равна 800 метрам. Найдите длину
пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда,
равно 6 минутам. Ответ дайте в метрах. (200)
4. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют
скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и
50 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 800 метрам. Найдите длину скорого
поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 45
секундам. Ответ дайте в метрах. (700)
II.Задачи на движение по окружности.
Решение задач на движение по окружности в одном направлении точно такое же, как
решение задач на движение в одном направлении по прямой. Если два объекта
одновременно начинают движение по окружности из одной точки в одну сторону со
скоростями v1 и v2 соответственно (v1 > v2), то первый объект приближается ко второму со
скоростью v1 - v2 и в момент, когда первый объект в первый раз догоняет второй, он
проходит расстояние на один круг больше. И мы имеем дело с формулой, которая ничем
не отличается от формулы, полученной для задач на движение вдогонку:
S = (v1 – v2) t, где
S – длина окружности;
(v1 – v2) –скорость сближения;
t – время, через которое первый объект в первый раз догоняет второй объект.
Задача 1: «Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в
одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80
км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг.
Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч».
Так как первый автомобиль через 40 минут после старта опережал второй на один круг, то
это значит, что через 40 минут первый автомобиль догнал второй в первый раз. Значит:
2
1) 40 мин = 3 ч;
2
2) 14 : 3 = 21 (км/ч) – скорость сближения автомобилей;
3) 80 – 21 = 59 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
Ответ: 59 км/ч.
Задача 2: «Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух
диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км.
Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из
них на 21 км/ч больше скорости другого?»
В этом случае мотоциклисты начинают движение из разных точек окружности. Так как
это диаметрально противоположные точки, то первоначальное расстояние между
мотоциклистами рано 7 км. Так как скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости
другого, то скорость сближения равна 21 км/ч. Значит:
1
1) 7 : 21 = 3 (ч) – время, через которое мотоциклисты поравняются в первый раз;
2)
1
3
ч = 20 мин.
Ответ: 20 мин.
Задача 3: «Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут
минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?»
Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час, а часовой – 1 деление/час (под
делением подразумевается расстояние между двумя соседними цифрами на циферблате
часов). Так как часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут, то первоначальное
расстояние между стрелками составляет 8 делений. После того, как минутная стрелка
поравняется с часовой в первый раз, она должна будет догнать часовую стрелку еще три
раза, то есть обогнать ее на три круга.
1) 12 -1 = 11 (делений/час) – скорость сближения стрелок;
8
2) 8 : 11 = 11 (ч) – время, через которое минутная стрелка догонит часовую в первый
раз;
3) 12 * 3 = 36 (делений) – длина трех кругов;
4) 36 : 11 =
36
11
(ч) – время, через которое минутная стрелка поравняется с часовой в
третий раз после первого;
5)
8
11
+
36
11
= 4 (ч) – время, через которое минутная стрелка в четвертый раз
поравняется с часовой;
6) 4 ч = 240 мин.
Ответ: 240 мин.
Тренировочные задачи:
1. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух
диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 30
км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость
одного из них на 18 км/ч больше скорости другого? (50)
2. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 10 км, одновременно в
одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля
равна 78 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на
один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. (63)
3. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним
отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал
велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй
раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в
км/ч. (80)
4. Часы со стрелками показывают 3 часа ровно. Через сколько минут минутная
стрелка в девятый раз поравняется с часовой? (540)
5. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой
трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш
первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость
второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго
на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч. (108)
III.Задачи на движение по воде.
Особенностью задач на движение по воде является тот факт, что на собственную скорость
плывущего тела влияет скорость течения воды. Сама скорость течения считается
неизменной. Собственная скорость плывущего тела – это его скорость в стоячей воде
(озеро, пруд и т.д.). При движении по течению к собственной скорости плывущего тела
прибавляется скорость течения, а при движении против течения – от собственной
скорости тела отнимается скорость течения. Скорость плота считается равной скорости
течения.
Задача 1: «Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт
отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения,
если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.»
Пусть х км/ч – скорость течения реки.
Расстояние, км
Скорость, км/ч
Время, ч
Против течения
112
11 – х
По течению
112
11 + х
Уравнение:
112
112
11 − х
112
11 + х
На 6 ч меньше
112
− 11+х = 6
11−х
Ответ: 3 км/ч.
Задача 2: «Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт
отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в
неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч».
Пусть х км/ч – собственная скорость лодки.
Против течения
Расстояние, км
225
Скорость, км/ч
х–1
225
х+1
По течению
Уравнение:
225
Время, ч
225
х−1
225
х+1
На 2 ч меньше
225
− х+1 = 2
х−1
Ответ: 16 км/ч.
Задача 3: «Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по
течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3
км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов
после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?»
Пусть х км – расстояние, которое прошел теплоход.
По течению
Против течения
Скорость, км/ч
25 + 3=28
Расстояние, км
х/2
25 – 3=22
х/2
Уравнение:
х
х
+ 44 = 25
56
Время, ч
х
56
х
44
30 – 5=25
Ответ: 616 км.
Тренировочные задачи:
1. Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от
А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в
пункт А в 18:00. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно,
что скорость течения реки 1 км/ч. (11)
2. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки
возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость
3.
4.
5.
6.
7.
теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт
отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ
дайте в км/ч. (5)
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки
возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной
воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт
отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ
дайте в км/ч. (16)
От пристани A к пристани B отправился с постоянной скоростью первый теплоход,
а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/ч большей
отправился второй. Расстояние между пристанями равно 420 км. Найдите скорость
первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно. Ответ
дайте в км/ч. (20)
Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв
в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00.
Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная
скорость баржи равна 7 км/ч. (2)
Пристани А и В расположены на озере, расстояние между ними 390 км. Баржа
отправилась с постоян­ной скоростью из А в В. На следующий день после
прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав
по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько
же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость баржи на пути из А в В.
Ответ дайте в км/ч. (10)
Расстояние между пристанями А и В равно 120 км. Из А в В по течению реки
отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в
пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот
прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения
реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч. (22)
Самостоятельная работа
Вариант 1
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми
равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 8 км/ч больше
прежней. По дороге он сделал остановку на 8 часов. В результате велосипедист затратил на
обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на
пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.
Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 19 км. Турист прошёл
путь из А в В за 13 часов. Время его движения на спуске составило 6 часов. С какой скоростью турист шёл на спуске, если скорость его движения на подъёме меньше скорости движения на спуске
на 1 км/ч?
Задачи на работу
Задачи на работу схожи с задачами на движение. Для их решения используется такая же
математическая модель, что и при решении задач на движение. Речь идет о ключевой
формуле:
V = p*t, где
V – объем работы;
p – производительность труда, скорость работы (объем работы, выполненной за единицу
времени);
t – время работы.
Если в задаче объем в явном виде не задан, то его можно принять равным единице.
Задачи на совместную работу решаются с помощью такой же математической модели, что
и задачи на движение навстречу: роль скорости сближения здесь играет общая
производительность.
Ключевая задача: «Первый мастер может выполнить некоторую работу за х часов, а
второй может выполнить эту же работу за у часов. За какое время они выполнят эту
работу, работая вместе?»
Так как объем работы не задан, то можно принять его равным единице. Тогда:
1
х
- производительность первого мастера, то есть такую часть работы он выполняет за 1
час;
1
у
- производительность второго мастера;
1
х
+
1
у
- общая производительность мастеров, то есть такую часть работы они выполняют
за 1 час, работая вместе;
1
1 1
+
х у
- время, за которое они выполнят эту работу, работая вместе.
Также в задачах на работу выделяют группу задач на трубы и бассейны, решение которых
не имеет никаких отличий от решения других задач на работу.
Задача 1: «Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За
сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?»
Объем работы принимаем равным единице.
1
12
1
6
- производительность первого мастера;
- производительность второго мастера;
1
12
1
+6=
1
4
- общая производительность;
1
1: 4 = 4 (ч) – время, за которое мастера выполнят работу, работая вместе.
Ответ: 4 ч.
Задача 2: «Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за
1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?»
Объем работы принимаем равным единице. 1 ч = 60 мин.
1
20
1
30
1
60
1
- производительность первого насоса;
- производительность второго насоса;
– производительность третьего насоса;
1
20
1:
1
1
+ 30 + 60 = 10 - общая производительность;
1
10
= 10 (мин) – время, за которое насосы наполнят бак, работая одновременно.
Ответ: 10 мин.
Задача 3: «Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за
12 часов, а Володя и Игорь – за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор,
работая втроем?»
Объем работы – единица.
1
9
- производительность Игоря и Паши при одновременной работе;
1
12
1
18
1
9
- производительность Паши и Володи при одновременной работе;
- производительность Володи и Игоря при одновременной работе;
1
1
1
+ 12 + 18 = 4 - удвоенная производительность Игоря, паши и Володи при одновременной
работе;
1
4
1
: 2 = 8 - производительность Игоря, паши и Володи при одновременной работе;
1
1 : 8 = 8 (ч) – время, за которое мальчики покрасят забор, работая втроем.
Ответ: 8 ч.
Задача 4: «Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй.
Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на
1 деталь больше?»
Объем работы,
колич.дет.
Производительность,
дет. в час
Время, ч
Первый
рабочий
Второй
рабочий
Уравнение:
110
х
110
х+1
110
х
110
х+1
110
х
На 1 ч меньше
110
− х+1 = 1
Ответ: 10 дет.
Задача 5: «Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько
дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня
выполняет такую же часть работы, какую второй – за три дня?»
Объем работы – единица.
Общая
производительность
Первый
Второй
Производительность
1
12
1
х
1
−х
12
Время,
дн.
2
3
Объем работы
2х
3( − х)
1
=
12
Уравнение: 2х = 3(12 − х).
1
х = 20 - производительность первого рабочего;
20 дней – время работы первого рабочего в одиночку.
Ответ: 20 дней.
Задача 6: «Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут.
За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?»
Объем работы – единица.
1
12
1
20
1
12
- общая производительность;
- производительность Маши;
1
1
− 20 = 30 - производительность Даши;
30 мин – время, которое потребуется Даше на прополку.
Ответ: 30 мин.
Тренировочные задачи:
1. Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй.
Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает
на 1 деталь больше? (13)
2. На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем
второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый
рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час
делает первый рабочий? (25)
3. На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй
рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за
час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй
рабочий? (10)
4. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько
литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110
литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба? (10)
5. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько
литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом
110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба? (11)
6. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько
литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом
110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет
резервуар объемом 99 литров? (10)
7. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько
литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375
литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар
объемом 500 литров? (25)
8. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15
часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к
нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца
уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа? (9)
9. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет
бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба? (9)
10. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы
наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот
резервуар одна вторая труба? (6)
11. В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты,
подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты.
Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25
литров воды? (6)
12. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов
текста, а Ваня – на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя
закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест? (24)
13. Плиточник должен уложить 175 м2 плитки. Если он будет укладывать на 10 м2 в
день больше, чем должен, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько
квадратных метров плитки в день должен укладывать плиточник? (25)
14. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий — за 15
минут, а первый и третий — за 24 минуты. За сколько минут три эти насоса
заполнят бассейн, работая вместе? (9,6)
15. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 12
минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят
бассейн, работая вместе? (8)
16. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий — за 15
минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят
бассейн, работая вместе? (9)
Самостоятельная работа
1.
2.
3.
4.
Вариант 1
1. Один мастер может выполнить заказ за 6 часов, а другой — за 3 часа. За
сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
2. Первый насос наполняет бак за 19 минут, второй — за 57 минут, а третий — за
1 час 16 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая
одновременно?
3. Игорь и Паша красят забор за 24 часа. Паша и Володя красят этот же забор за
28 часов, а Володя и Игорь — за 56 часов. За сколько часов мальчики покрасят
забор, работая втроем?
4. Аня и Таня пропалывают грядку за 5 минут, а одна Таня — за 30 минут. За
сколько минут пропалывает грядку одна Аня?
5. Первая труба наполняет резервуар на 27 минут дольше, чем вторая. Обе трубы
наполняют этот же резервуар за 18 минут. За сколько минут наполняет этот
резервуар одна вторая труба?
6. В помощь садовому насосу, перекачивающему 9 литров воды за 1 минуту,
подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 2 минуты.
Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 54
литра воды?
7. Илья и Слава выполняют одинаковый тест. Илья отвечает за час на 16 вопросов
текста, а Слава — на 20. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста,
и Илья закончил свой тест позже Славы на 33 минуты. Сколько вопросов
содержит тест?
8. Заказ на 272 детали первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй.
Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час
делает на 1 деталь больше?
Вариант 2*
Заказ на 132 детали первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй.
Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает
на 1 деталь больше?
На изготовление 588 деталей первый рабочий затрачивает на 7 часов меньше, чем
второй рабочий на изготовление 672 деталей. Известно, что первый рабочий за час
делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько
литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 108 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба?
Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 8
часов. Через 4 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к
нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца
уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?
5. В помощь садовому насосу, перекачивающему 9 литров воды за 1 минуту, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 2 минуты. Сколько
минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 54 литра
воды?
6. Плиточник должен уложить 175 м2 плитки. Если он будет укладывать на 10 м2 в
день больше, чем должен, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день должен укладывать плиточник?
7. Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых дома. В первой бригаде было 3 рабочих, а во второй — 9 рабочих. Через 4 дня после начала работы в первую бригаду перешли 7 рабочих из второй бригады, в результате чего оба дома были построены одновременно. Сколько дней потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе?
8. На изготовление 33 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй
рабочий на изготовление 77 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час
делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Ответы:
Вариант 1: 2; 12; 21; 6; 27; 4; 44; 16.
Вариант 2: 12; 28; 9; 6; 4; 25; 3; 7.