11x

УДК 622.-522 - 62.525:621.22
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ВИХРЕВЫХ УСИЛИТЕЛЯХ С
ДИФФУЗОРНЫМ ВЫХОДОМ
Д.А. Сёмин, к.т.н., доц.; Я.И. Мальцев, асп.;
В.А. Павлюченко, к.т.н., доц.
(Восточноукраинский национальный университет им. Владимира Даля, г. Луганск)
Одними из направлений дальнейшего развития средств и систем управления потоками сплошных сред
являются совершенствование их характеристик и разработка новых конструкций, обладающих высокими
показателями надежности и долговечности. Особенно остро вопрос надежности и долговечности стоит в
отраслях с экстремальными условиями эксплуатации указанных систем – угольной, химической,
транспорте, сельском хозяйстве и др., где классические устройства с механическими рабочими органами
быстро выходят из строя. Эта проблема во многих случаях может быть решена при помощи средств
струйной техники с большими проходными сечениями - макротехники. Основное их преимущество –
отсутствие подвижных частей и, как следствие, высокая надежность и долговечность. Наиболее
подходящими для целей управления потоками сплошных сред по своим свойствам из числа известных
струйных элементов являются вихревые усилители. Сложность течения в них может служить объяснением
того факта, что значительное число проведенных исследований вихревых усилителей носит
экспериментальный характер [1-4]. Теоретические модели, основанные на идеальной жидкости, не
отражают в полной мере физической сущности происходящих в устройстве процессов и могут быть
использованы только в грубом приближении. Интегральные полуэмпирические модели ограничены и
требуют большого числа экспериментальных данных. Математические модели [2,5], основанные на
интегральных уравнениях Кармана для пограничного слоя, позволяют рассчитывать течения в вихревой
камере, являющиеся практически безотрывными. Присоединение диффузора к вихревой камере делает
модель ограниченной условиями безотрывного течения в нем. Использование этого подхода для расчета
течения в вихревом усилителе возможно только для открытого состояния или при слабой закрутке потока.
Такая модель не позволяет рассчитать особенности течения во всем диапазоне характеристики вихревого
усилителя.
В настоящее время мощность персональных компьютеров достигла параметров, при которых становится
возможным численное решение осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса [6].
В задачах управления потоками жидкостей и газов с помощью струйной макротехники рабочие давления
и скорости таковы, что с достаточной для практики точностью течения в них можно считать несжимаемыми.
Осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости, полученные с
использованием обобщенной гипотезы Буссинеска, связывающей напряжения Рейнольдса с осредненными
параметрами потока, приведены ниже:
 2 u 2 u 2 u 
u
u
u
u
1 p
u
v
w
 Fx 
    т  2 
 2 ,
2
 x
t
x
y
z
 x

y
z 

 2 v 2 v 2 v 
v
v
v
v
1 p
u
v
w
 Fy 
    т  2  2  2  ,
 x
t
x
y
z
 y
y
z 

 2 w 2 w 2 w 
w
w
w
w
1 p
.
u
v
w
 Fz 
    т  2 

 x
t
x
y
z
 z
y 2
z2 

Для замыкания математической модели необходимо добавить к базовым уравнениям уравнение
неразрывности
u v w


 0.
x y
z
Успех моделирования течения в вихревом усилителе во многом зависит от правильности выбора модели
турбулентности. В настоящее время не существует модели турбулентности, адекватно описывающей
сложное течение во всей области. Хорошо себя зарекомендовали модели переноса осредненных
характеристик турбулентности. Для расчета течения в вихревом усилителе принимаем наиболее развитую
двухпараметрическую « k   » модель турбулентности [7], основанную на уравновешивании генерации
осредненных потоков энергии турбулентности диссипацией в каждой точке пространства. Турбулентная
вязкость в ней определяется соотношением Колмогорова-Прандтля
 t  C
k2

.
Изменения в пространстве кинетической энергии k и скорости ее диссипации 
уравнениями переноса:
 

k
1 
  Vk      t

t
 
k
описываются
  G
k     ,

  
 

 

1 
 G
  V      t    C1  C2   ,

t
 
 
k

 
G  t
Vi
x j
 Vi
Vj


 x j
x i


,


 V '
1
k  Vi' Vi' ;    t  i
 x i
2

2

 .


Значения параметров модели:  k  1,0 ,    1,3 , C  0,09 , C1  1,44 , C2  1,92 .
Принятая нами модель турбулентности не описывает процессы, протекающие в области, близкой к
стенке, т.е. пограничном слое.
Для устранения этого недостатка расчетная область разделена на две зоны: пристеночную и
центральную. В центральной области нами использована « k   » модель, а в пристеночной – специальные
пристеночные функции для кинетической энергии турбулентности и скорости ее диссипации [7].
Также в пристеночной области принято распределение скорости по степенному закону.
V i y   V i  y h 
1n
,
n  f Re .
Принятая математическая модель может использоваться для расчета как турбулентного, так и
ламинарного режима течения. Для этого необходимо всего лишь приравнять нулю турбулентную вязкость.
На всех границах расчетной области приняты «жесткие» граничные условия. На твердой стенке условие
прилипания жидкости V
г
 0 . Во входных сечениях каналов питания и управления задаются значения
давления торможения p г  pг , а выходном канале - равенство нулю статического давления p г  0 .
Для задания граничных условий на выходе из осевого диффузора возникает сложность, поскольку в
закрученном потоке давление распределяется по радиусу струи. Для ее решения нами была увеличена
расчетная область и заданы граничные условия выхода на новой границе, где действительно статическое
давление равно нулю и не меняется по радиусу.
Для решения полученной системы дифференциальных уравнений в частных производных использован
метод контрольного объема [8]. Достоинство этого метода перед остальными заключается в том, что
дискретный аналог уравнения выражает закон сохранения расчетной переменной для конечного
контрольного объема точно так же, как дифференциальное уравнение выражает закон сохранения для
бесконечно малого контрольного объема. Одним из важных свойств метода контрольного объема является
то, что в нем заложено точное интегральное сохранение таких величин, как масса, энергия и количество
движения на любой группе контрольных объемов и, следовательно, на всей расчетной области. Это свойство
проявляется при любом числе узловых точек, а не только в предельном случае очень большого их
количества. Таким образом, даже решение на грубой сетке удовлетворяет точным интегральным
соотношениям.
Для лучшего разрешения малых деталей геометрии расчетной области и высоких градиентов
рассчитываемых переменных использована прямоугольная адаптивная локально измельченная сетка. Во
всей расчетной области принята прямоугольная сетка. В областях, где необходимо провести расчет на более
мелкой сетке в связи с особенностью течения или геометрии, каждая ячейка разделена на четыре равные
ячейки в двумерном случае и на восемь - в трехмерном. Если для точности необходимо более мелкая сетка,
то процедура повторялась еще раз и т.д.
Для получения разностного аналога выделим один контрольный объем (рис. 1) и запишем для него
уравнения математической модели в дискретной форме. Дискретизацию уравнений математической модели
производим полностью неявной схемой, поскольку она является абсолютно устойчивой и удовлетворяет
требованиям простоты и физически правдоподобного поведения [8]. Дискретный аналог производной от
давления получен из предположения, что давление между узловыми точками меняется по линейному
закону. Аналогичным
образом проинтегрируем по контрольному объему уравнение неразрывности.
Для аппроксимации расчетной переменной использована схема реконструкции, имеющая повышенный
порядок точности [9,10].
Рисунок 1 - Контрольный объем
Значение переменной на левой и правой гранях контрольного объема:
fп 
1
fi 1  fi   1 fi 1  2fi  2fi 1  ,
2
6
fл 
1
fi 1  fi   1 fi 1  2fi  2fi 1  ,
2
6
где f i - значение переменной в расчетном узле;
fi 1, fi 1 - значение переменной в соседних узлах сетки.
Умножим разностный аналог уравнения неразрывности на расчетную переменную и вычтем его из
разностного аналога уравнения движения. Проведя ряд простых алгебраических преобразований, получим
конечно-разностный аналог уравнений турбулентного движения вязкой несжимаемой жидкости в проекции
на оси координат.
Конечно-разностный аналог уравнения Навье-Стокса, осредненного по Рейнольдсу в проекции на ось х,
имеет вид
b
b

 0
 1 2
 1
 2
 1 2
uG 
uG 
uB 
u AuB 
u AuG 
uA 
uB 
uG 
t
t
x 12
x 6
x 3
x 12
x x b
x x b
a
a
1 

 1
 1
 1
 7

uG 
uA 
u Gu B 
u Gu A 
uDvD 
u D vG 
u Gv D 
u Gv G 
x x a
x x a
3 x
x
y 12
y 3
y 3
y 12
d
d
c
c
 1
 1



u Cv G 
u D vC 
u Gv D 
u Gv C 
uD 
uG 
uG 
uC 
y 3
y 3
y
y
y y d
y y d
y y c
y y c
 1
 1
 1
 7
 1
 1



u F wF 
u F wG 
u GwF 
u G wG 
u E wG 
u F wE 
u Gw F 
u Gw E 
z 12
z 3
z 3
z 12
z 3
z 3
z
z
f
f
e
e
1
1

uF 
uG 
uG 
uE 
pA 
pB  0 .
zzf
zzf
zze
zze
2x
2x
Аналогичным образом дискретизированы уравнения переноса характеристик турбулентности.
Полученная система алгебраических уравнений является конечно-разностным аналогом математической
модели нестационарного трехмерного турбулентного течения несжимаемой жидкости в вихревом
усилителе. Поскольку математическая модель записана
для нестационарного течения, то
расчет можно вести либо до определенного интервала времени, либо до установившегося режима течения.
Для проверки адекватности математической модели был проведен сравнительный качественный и
количественный анализ расчетной картины течения с визуализацией течения в вихревом
усилителе. Визуализация течения проводилась в характерных
точках рабочей характеристики
вихревого усилителя, приведенной на рис. 2.
Рисунок 2 - Рабочая характеристика вихревого усилителя со щелевым диффузором на выходе
Для визуализации течения в вихревом усилителе в каналы питания или управления вводилась порция
алюминиевой пудры. В застойных и рециркуляционных зонах, а также в зонах с резким изменением
направления линий тока, где частицы металла не успевали изменить свою траекторию, пудра оседала на
твердых стенках. Для идентификации математической модели приняты точки с особенностями течения
(т. А – безотрывное незакрученное течение, т. С - закрученное течение с отрывом в диффузоре).
Экспериментальные картины течения, рассчитанные по математической модели, приведены на рис. 3 и 4.
Сравнивая картину течения, рассчитанную на математической модели, с результатами визуализации,
можно с уверенностью отметить их качественное сходство. При полностью открытом усилителе (рис. 3)
расчетные линии тока в диффузоре представляют собой отрезки прямых, выходящих из центра, что в
точности соответствует снимку крышки диффузора, где алюминиевая пудра равномерно осела по
поверхности, но очень слабо ввиду большой величины скорости. Визуализация
отрывного течения в
диффузоре (рис. 4) также подтверждает правильность расчета на математической модели величиной и
расположением зоны отрыва.
Рисунок 3 - Экспериментальная (слева) и расчетная (справа) картины безотрывного течения в щелевом диффузоре
открытого вихревого усилителя
Рисунок 4 - Экспериментальная (слева) и расчетная (справа) картины отрывного течения в щелевом диффузоре вихревого усилителя
(соответствует т.D
характеристики рис. 2)
Однако качественного сравнения недостаточно для подтверждения адекватности математической
модели. Для количественной оценки было произведено сопоставление расчетного распределения давления
по верхней стенке щелевого диффузора и верхней стенке вихревой камеры с экспериментальными данными
(рис. 5).
Рисунок 5 - Распределение статического давления по верхней стенке диффузора
Приведенные выше графики показывают хорошее совпадение расчетных распределений давления с
экспериментальными данными.
Картины качественной и количественной оценок подтверждают адекватность математической модели.
На основании изложенного можно сделать следующие выводы:
1 Математическая модель трехмерного турбулентного течения несжимаемой жидкости в вихревом
усилителе с диффузорным выходом адекватна и может быть использована в расчетах параметров
вихревых усилителей с диффузорами любого типа с соответствующими граничными условиями.
2 Модель может использоваться для расчета как турбулентного, так и ламинарного режима течения.
3
Расчет одного режима на персональном компьютере средней мощности (CPU 1000 MHz, RAM 256
Mb) занимает значительный промежуток времени (около 60 часов), который соизмерим со временем,
затраченным на подготовку и проведение физического эксперимента в лабораторных условиях.
SUMMARY
The results of mathematical simulations of three-dimensional turbulent flow of incompressible fluid on a basis of k   model in the vortex
amplifier with a slotted diffuser on an outlet are presented). The data of mathematical simulations are compared with experimentally obtained
qualitative patterns detachable and attachable flows in a slot-hole diffuser and pressure profile along its radius. The conclusion about adequacy
of adopted model is made. Fig. 5. Source 10.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Сёмин Д.А., Павлюченко В.А., Мальцев Я.И. Исследование вихревых усилителей с диффузорами различных типов // Вестник
НТУУ «КПИ». Машиностроение.- Вып. 42. В 2 т.- К., 2002.- Т.2.- С. 54-56.
2. Сёмин Д.А. Разработка и совершенствование характеристик крупномасштабных вихревых клапанов. Дисс... канд. техн. наук.Луганск, 1992.- 203 с.
3. King C.F. Vortex amplifier internal geometry and its effect on performance // Int. j. head and fluid flow. - 1985. - V.6. - №3. - P. 160-170.
4. King C.F. The design of radial vortex amplifiers for high performance power fluidics //Trans. of the ASME. Journal of dynamic systems,
measurement and control. - 1987. - V.109. - P. 44-48.
5. Вормли Д.Н. Аналитическая модель несжимаемого потока в коротких вихревых камерах // Труды ASME, серия Д.- 1969.- №2. - С.
145-149.
6. Механика жидкости и газа. Лойцянский Л.Г. /Изд. 5-е, переработанное. Главная редакция физико-математической литературы
издательства «Наука».- М., 1978.- 736с.
7. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2 т. -Пер. с англ. – М.: Мир, 1990.- Т.1.384 с., ил.
8. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости/ Пер. с англ. – М.: Энергоатомиздат, 1984.- 152
с., ил.
9. Aksenov A.A., Dyadkin A.A., Gudzovsky A.V. Numerical Simulation of Car Tire Aquaplaning. Computational Fluid Dynamics ’96.
10. J.-A. Desideri, C. Hirsсh, P. Le Tallec, M. Pandolfi, J. Periaux edts, Jhon Wiley&Sons, 1996.- Р. 815-820.
1.
Поступила в редколлегию 28 января 2002г.