 

Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса
9
х2
2
1. Решите уравнение: х  2х  4  2
 х  4х  3  2
х 9
х 9
2
2. Найдите значение выражения: cos 260 sin 260 sin 130 cos 160 .
3.
4.
5.
6.
(5 баллов)
(6 баллов)
В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны 2см, 3см и 4см,
вписана окружность радиуса 1,2см. Найдите площадь четырехугольника.
(6 баллов)
2
Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения a  2x  2ax  a  3  0
положительны. В ответе записать количество целых значений параметра, удовлетворяющих
условию a  10 .
(7 баллов)
Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только
двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов. Какую максимальную
сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?
(7 баллов)
В строку выписали 2007 цифр по правилу: первая цифра 3, а каждые две подряд идущие
цифры образуют двузначное число, которое делится на 17 или на 23. Определите, какая
цифра может стоять на последнем месте? Ответ обосновать!
(9 баллов)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса
9
х2
1. Решите уравнение: х 2  2х  4  2
 х 2  4х  3  2
х 9
х 9
2. Найдите значение выражения: cos 260 sin 260 sin 130 cos 160 .
(5 баллов)
(6 баллов)
3. В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны 2см, 3см и 4см,
вписана окружность радиуса 1,2см. Найдите площадь четырехугольника.
(6 баллов)
2
4. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения a  2x  2ax  a  3  0
положительны. В ответе записать количество целых значений параметра, удовлетворяющих
условию a  10 .
(7 баллов)
5. Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только
двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов. Какую максимальную
сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?
(7 баллов)
6. В строку выписали 2007 цифр по правилу: первая цифра 3, а каждые две подряд идущие
цифры образуют двузначное число, которое делится на 17 или на 23. Определите, какая
цифра может стоять на последнем месте? Ответ обосновать!
(9 баллов)
Решения и ответы
Задание 1. (5 баллов) Решите уравнение:
9
õ2
õ2  2 õ  4  2
 õ2  4 õ  3  2
õ 9
õ 9
Решение. ОДЗ: все значения переменной, кроме 3 и -3.
Преобразуем данное уравнение к виду
õ 2  2 õ  4  õ 2  4 õ  4,
õ2  2 õ  4  õ  2 ,
2
 õ 2  2 õ  4  õ 2  4 õ  4,
 2
2
 õ  2 õ  4   õ  4 õ  4;
 õ  4,
 õ  0,

 õ  3.
Ответ: 0; 4.
Задание 2.(6 баллов) Найдите значение выражения соs260ºsin130ºcos160º.
Решение.
соs260ºsin130ºcos160º=cos(270º-10º)sin(180º-50º)cos(180º-20º)=sin10ºsin50ºcos20º= =0,5(cos40ºcos60º)cos20º = 0,5·(cos40º- 0,5)cos20º = 0,25·(2cos40º -1)cos20º= =0,25·(2cos40ºcos20ºcos20º)=0,25·(cos20º+cos60º-cos20º)=0,25cos60º=0,25·0,5=0,125.
Ответ: 0,125.
Задание 3.(6 баллов) В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны 2см, 3см
и 4см, вписана окружность радиуса 1,2см. Найдите площадь четырехугольника.
Решение:
Площадь четырехугольника найдем по формуле S = p ∙ r, где p – полупериметр четырехугольника,
r – радиус вписанной окружности. Так как в четырехугольник вписана окружность, то сумма
противоположных сторон равна, т.е. 2 + 4 = 3 + х, где х – четвертая сторона. Отсюда х = 3см.
Тогда p = ½ (2 + 3 + 3 + 4) = 6см. По условию r = 1,2 см. Таким образом, S = 6 ∙ 1,2 = 7,2 см².
Ответ: 7,2 см2.
Задание 4. (7 баллов) Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения
(а – 2)х2 – 2ах + а + 3 = 0 положительны. В ответе записать количество целых значений
параметра, удовлетворяющих условию |а| ≤ 10.
Решение:
Заметим, что заданное уравнение не для всех значений а является квадратным. При а = 2 это
уравнение первой степени -4х + 5 = 0, которое имеет положительный корень х = 1,25.
Следовательно, значение а = 2 удовлетворяет условию задачи.
При а ≠ 2 данное уравнение является квадратным.
Чтобы корни рассматриваемого уравнения были положительны, необходимо выполнение
2à

 õ1  õ2  à  2  0,
условий 
à   ;3  2; .
à3
 õ1  õ2 
 0;
à2

Кроме того, нужно чтобы дискриминант исходного уравнения D = (2а)2 – 4(а – 2)(а + 3) = 4(6 –
а) был неотрицательным. Получим а  (-∞;6].
Общая часть полученных интервалов а ∈ (-∞;-3) ∪ (2;6]. Учитывая значение а = 2, полученное
при рассмотрении линейного уравнения, находим окончательно а (-∞;-3) ∪ [2;6].
Условию |а| ≤ 10 соответствует а  [-10;10]. Выпишем целые значения параметра а,
удовлетворяющие полученному решению и указанному условию: {-10; -9; -8; -7; -6; -5; -4; 2; 3;4;
5; 6} – таких значений оказалось двенадцать.
Ответ: 12.
Задание 5. (7 баллов) Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать
операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов.
Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?
Решение: Поскольку 300 и 198 делятся на 6, Петя сможет снять лишь сумму, кратную 6 долларам.
Максимальное число, кратное 6 и не превосходящее 500, - это 498.
Докажем, что снять 498 долларов возможно. Произведем следующие операции: 500-300=200,
200+198=398, 398-300=98, 98+198=296, 296+198=494. Сумма, лежащая в банке, уменьшилась на 6
долларов.
Проделав аналогичную процедуру 16 раз, Петя снимет 96 долларов. Затем он может снять 300,
положить 198 и снова снять 300. В результате у него будет 498 долларов.
Задание 6. (9 баллов) В строку выписали 2007 цифр по правилу: первая цифра 3, а каждые две
подряд идущие цифры образуют двузначное число, которое делится на 17 или на 23. Определите,
какая цифра может стоять на последнем месте? Ответ обосновать!
Решение:
Двузначные числа, делящиеся на 17 - это 17, 34, 51, 68, 85.
Двузначные числа, делящиеся на 23 - это 23, 46, 69, 92.
По условию задачи выписываем после цифры 3 такую цифру, чтобы образовавшееся двузначное
число делилось на 23 или на 17. Это может быть только цифра 4 (т.к. 34 делится на 17, других
двузначных чисел, где цифра десятков 3, делящихся на 17 или 23, нет). После цифры 4 может
быть только 6, а после 6 может быть 9 или 8.
Рассмотрим первый случай, когда после цифры 6 запишем цифру 9. Тогда получим
последовательность 34692│34692│34692…. Замечаем, что цифры с периодом Т = 5, повторяются.
Всего цифр по условию задачи 2007, значит 2007 : 5 = 401 (остаток 2). Поэтому в этом случае на
последнем месте будет стоять вторая цифра из периода – это цифра 4.
Рассмотрим второй случай, когда после цифры 6 запишем цифру 8, тогда получим 3468517, а
дальше ряд обрывается, т.к. нет двузначного числа, делящегося на 17 или 23, где цифра десятков
равна
7.
Но
эта
цепочка
цифр
может
заканчивать
последовательность
346992│34692│…..34685│17 и тогда на последнем месте будет цифра 7.
Ответ: 4 или 7.