Часть 1x - Московский государственный технический

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана В.В. СЮЗЕВ ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ: МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ 1 В пособии рассмотрены теоретические основы цифровой обработки сигналов, включая наиболее часто используемые на практике методы и алгоритмы представления и преобразования сигналов. Включен так же ряд оригинальных результатов в области разработки быстрых алгоритмов обработки на скользящих интервалах времени и спектральных методов аналитического синтеза частотных и полиномиальных цифровых фильтров. Теоретические материалы иллюстрируются и подтверждаются прикладными примерами. Пособие предназначено в первую очередь для студентов (бакалавров и магистров), обучающихся по направлению «Информатика и вычислительная техника» и может быть использовано при изучении дисциплин «Цифровая обработка сигналов», «Управляющие ЭВМ и системы», «Системы реального времени» и т.д., а также в курсовом и дипломном проектировании. Пособие представляет интерес и для аспирантов и научных работников, специализирующихся в области цифровой обработки сигналов. В связи с большим объемом материала все пособие разбито на три части: ЧАСТЬ I. Сигналы, их характеристики и модели; спектральное представление сигналов; ЧАСТЬ II. Преобразования Фурье в классических и обобщенных базисах, быстрые алгоритмы ЦОС на статических и скользящих интервалах времени; ЧАСТЬ III. Цифровая фильтрация сигналов. Методы расчета частотных и полиномиальных фильтров. 2 ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. ГЛАВА 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. ГЛАВА 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. ГЛАВА4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………. СИГНАЛЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ Определение и классификация сигналов …………………. Энергетические характеристики детерминированных сигналов …………………………………………………….. Функции спектральной плотности и корреляционные функции …………………………………………………...... Характеристики случайных сигналов …………………….. Дискретизация непрерывных сигналов …………………… Вопросы и задачи для самопроверки ……………………… МЕТОДЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ Математические модели сигналов ………………………… Динамическое представление сигналов …………………… Свертки ………………………………………………………. Интерполяция, аппроксимация и экстраполяция сигналов ……………………………………………………... Матричное представление дискретных сигналов и их преобразований …………………………………………….. Полиномиальное представление сигналов ……………….. Z-преобразования сигналов ………………………………… Геометрическая интерпретация сигналов …………………. Вопросы и задачи для самопроверки ……………………… СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ Функциональные пространства L2T и lN2 сигналов ………. Преобразования Фурье непрерывных сигналов на конечных интервалах времени …………………………… Системы базисных функций ……………………………….. Действительные и комплексные спектры сигналов ……… Спектры сигналов на бесконечном интервале времени … Обобщенная автокорреляционная функция сигнала и ее связь с энергетическим спектром ………………………. Дискретное преобразование Фурье ………………………... Свойства спектров мультипликативных базисов …………. Вопросы для самопроверки ………………………………. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В КЛАССИЧЕСИХ БАЗИСАХ ………………………………………… ….. Системы дельта-функций, единичных функций и функций Котельникова ………………………………. Косинусное и синусное преобразования сигналов Тригонометрические системы базисных функций Системы комплексно-экспоненциальных базисных 3 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. ГЛАВА5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. ГЛАВА6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. ГЛАВА7. 7.1. 7.2. 7.3. функций ……………………………………………….. Преобразования Хартли ……………………………… Полиномиальные базисные системы ….…………... Функции и преобразования Уолша ………………… Преобразования Хаара ……………………………… Вопросы и задачи для самопроверки ……………… ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ОБОБЩЁННЫХ БАЗИСАХ ……………………… Функции и преобразования Виленкина Крестенсона …………………………………………… Обобщенные функции Крестенсона ……………….. Обобщенные функции Хаара ……………… …….. Теоретико-числовые преобразования ……………… Система дискретных базисных функций на основе чисел Фибоначчи …………………………………... Обобщенные преобразования Фурье ……………… Вопросы и задачи для самопроверки …………….. БЫСТРЫЕ АЛГОРИТМЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ НА СТАТИЧЕСКИХ ИНТЕРВАЛАХ ВРЕМЕНИ ….…………………… Вычислительная сложность алгоритмов. Быстрые алгоритмы …………………………………………….. Быстрые алгоритмы вычисления дискретных сверток …………………………………………………. Быстрые алгоритмы вычисления частотного спектра ……………………………………………….... Быстрые преобразования Уолша ………………… ... Быстрые преобразования Виленкина -Крестенсона Быстрые преобразования в базисе обобщенных функций Крестенсона ……………………………… Быстрые преобразования Хаара…………………... Быстрые преобразования в числовых базисах и базисе Хартли ………………………………………. Матричные методы синтеза быстрых преобразований ……………………………………… Вопросы и задачи для самопроверки …………….. БЫСТРЫЕ АЛГОРИТМЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ НА СКОЛЬЗЯЩИХ ИНТЕРВАЛАХ ВРЕМЕНИ …………………………. Скользящая обработка сигналов …………………… Методы вычисления скользящих круговых и линейных сверток ………………………………….… Алгоритмы быстрых преобразований Фурье для скользящего анализа частотного спектра …… …. 4 7.4. Быстрые преобразования для анали за скользящего спектра Уолша .…………………………………….. 7.5. Быстрые преобразования для анализа скользящего спектра в базисах функций Виленкина Крестенсона и обобщенных функций Крестенсона 7.6. Скользящие быстрые преобразования Хаара …… 7.7. Скользящие теоретико-числовые преобразования Рейдера и преобразования Хартли ………………… Вопросы и задачи для самопроверки ……………… Литература ……………………………………… …….. ГЛАВА8. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ …………………………………. 8.1. Цифровые фильтры ………………………………... 8.2. Передаточные функции цифровых фильтров……… 8.3. Основные формы реализации передаточных функций цифровых фильтров ………………………. 8.4. Частотные характеристики фильтров ……………. 8.5. Импульсная характеристика фильтров…………….. 8.6. Устойчивость цифровых фильтров ……………. 8.7. Классификация фильтров по назначению ……….. Вопросы и задачи для самопроверки …………….. ГЛАВА9. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕРЕКУРСИВНЫХ И РЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ ……………………… 9.1. Классификация нерекурсивных цифровых фильтров по виду импульсной характеристики … 9.2. Частотные характеристики нерекурсивных фильтров с симметричной и антисимметричной импульсной характеристикой ……………………… 9.3. Основные этапы проектирования нерекурсивных фильтров ……………………………………………… 9.4. Требования к аппроксимируемой и аппроксимирующей функциям ……………………... 9.5. Неоптимизационные методы расчета частотных фильтров………………………………………………… 9.6. Оптимизационные методы расчета частотных фильтров ……………………………………………….. 9.7. Методы расчета рекурсивных цифровых фильтров Вопросы и задачи для самопроверки ………….. ГЛАВА МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО СИНТЕЗА 10. ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРО В 10.1. Синтез оптимальных полиномиальных фильтров при помехе с корреляционной функцией общего вида …………………………………………………..… 10.2. Синтез оптимальных цифровых 5 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. ГЛАВА 11. 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. дифференцирующе-сглаживающих фильтров …… Адаптивные полиномиальные фильтры ………. Выбор пороговых величин в адаптивных ЦДСФ … Квазиоптимальные полиномиальные фильтры … Синтез квазиоптимальных полиномиальных фильтров в классе кусочно-постоянных импульсных характеристик …………………………. Вопросы и задачи для самопроверки ……………… СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ………………………… Основы спектральной теории цифровых фильтров Синтез частотных нерекурсивных цифровых фильтров в спектральной области ………………… Решение задачи синтеза оптимальных полиномиальных фильтров в спектральной области при помехе с корреляционной функцией общего вида ………………………………………….. Спектральные алгоритмы оптимальных дифференцирующе-сглаживающих фильтров для случая некоррелированного шума ……………… Синтез оптимальных полиномиальных фильтров методом аппроксимации в спектральной области l N2 функционального пространства ………………… Аналитический синтез полиномиальных фильтров методом подбора базиса…………………………….. Вопросы и задачи для самопроверки …………..… ЛИТЕРАТУРА ……………………………………….. 6 ПРЕДИСЛОВИЕ Цифровая обработка сигналов (digital signals processing - ЦОС) является важной областью математики, информатики и вычислительной техники, находящей широкое применение в различных отраслях науки и техники, включая электронику, связь, телевидение, фотографию, управление, радио- и гидролокацию, спектрографию, измерительную технику, медицину, транспорт и т.д. Постоянное расширение областей применения ЦОС делает особенно актуальной задачу подготовки квалифицированных инженерных и научных кадров, владеющих теорией и практикой ЦОС, эффективное решение которой невозможно без наличия специальной методической литературы. Теории и практике применения ЦОС в настоящее время посвящено множество работ отечественных и зарубежных авторов. Однако преобладающее большинство из них носит многографический характер, а имеющиеся методические труды часто посвящены отдельным разделам ЦОС. Данная книга содержит основные фундаментальные теоретические сведения по методам и алгоритмам представления и преобразования различных сигналов и может служить как хорошим дополнением к этим работам, так и самостоятельным методическим изданием. Наряду с известными классическими результатами ЦОС она содержит целый ряд полезных оригинальных сведений из теории конкретных ортогональных базисных функций и их спектров, из теории быстрых преобразований на статических и скользящих интервалах времени и спектральной теории аналитического синтеза нерекурсивных цифровых фильтров различного типа. Учебное пособие подготовлено на основе многолетнего опыта чтения лекций по ЦОС в МГТУ им. Н.Э. Баумана. В нем использованы также результаты научных разработок автора и материалы современных публикаций по этой тематике в России и за рубежом. В силу ограниченности объема книги не все разделы ЦОС представлены в ней с одинаковой степенью детализации. Отдельные их них (например, рекурсивная фильтрация), по которым имеется самостоятельная обширная литература, приводятся в сжатой форме с ссылками на доступные литературные источники. Автор стремился к объективному изложению современных тенденций применения достаточно сложных математических аппаратов, на фундаменте которых строится теория ЦОС. Для облегчения процесса их освоения в пособии приведены необходимые сведения их теории чисел, матриц, 7 функциональных преобразований и пространств. Автор считает, что при заведомо математически сложном материале есть два пути его изложения: можно все проделать за читателя, а можно оставить читателю самостоятельное преодоление задач, кратко формулируемых, но требующих определенной работы мысли. В пособии используются оба из указанные подходов. Пособие состоит из 11 глав. В главе 1 даны определение и классификация сигналов, рассмотрены их энергетические характеристики и процедура дискретизации непрерывных сигналов. В главе 2 приведены различные способы аналитического представления сигналов, использующие разнообразные математические модели сигналов. Здесь же приведены необходимые для понимания материала сведения из теории матриц, чисел и функциональных пространств, а также основные свойства z-преобразований сигналов и функций. В главе 3 исследованы общие особенности и свойства спектрального представления непрерывных и дискретных сигналов на бесконечном и конечном интервалах времени для произвольных систем ортогональных базисных функций. Введены понятия обобщенного временного сдвига и обобщенной автокорреляционной функции, определена её связь с энергетическим спектром; выведены свойства спектров в мультипликативных базисах. В главах 4 и 5 рассмотрены свойства классических и обобщенных систем базисных функций и соответствующих им преобразований Фурье, включая теоретико-числовые преобразования и обобщенные преобразования Фурье в мультипликативных произвольных базисах. Приведены методики синтеза семейства полиномиальных базисных систем на основе процедуры ортогонализации Грама-Шмидта и синтеза системы дискретных экспоненциальных функций на основе числовой последовательности Фибоначчи. В главах 6 и 7 с использованием скалярного и матричного представлений преобразований сигналов получены известные и оригинальные методы и алгоритмы быстрой обработки сигналов на статических и скользящих интервалах времени. Описаны новые подходы к синтезу быстрых преобразований Фурье в базисах Уолша, Виленкина Крестенсона, Крестенсона-Понтрягина и Фибоначчи. Получены числовые оценки вычислительной сложности всех приведенных быстрых алгоритмов. Глава 8 содержит общие сведения из теории цифровых фильтров (ЦФ), включая их классификацию характеристики и способы описания. 8 В главах 9, 10 и 11 рассмотрены временные и спектральные методы расчета частотных и полиномиальных ЦФ. На основе решения задач оптимизационного и неоптимизационного синтеза, получены рабочие алгоритмы расчета избирательных ЦФ различной точности. Приведены оптимальные и квазиоптимальные алгоритмы функционирования полиномиальных фильтров для входных помех различного вида. Рассмотрена методика синтеза адаптивных полиномиальных ЦФ. Спектральный подход к аналитическому синтезу ЦФ рассмотрен в качестве альтернативного пути повышения вычислительной эффективности алгоритмов цифровой фильтрации сигналов. Теоретические результаты в всех главах проиллюстрированы наглядными примерами. Материалы примеров отделены от основного материала пособия короткой штрихпунктирной линией. В конце каждой главы приведены вопросы и задачи для самопроверки, предназначенные для закрепления приобретенных знаний. Решение задач для самопроверки в большинстве случаев можно найти в содержании параграфов и указанных литературных источниках, что, по мнению автора, будет стимулировать творческое отношение к учебному процессу. Пособие представляет собой единый методически взаимоувязанный курс, который будет полезен студентам - бакалаврам и магистрам, проходящим подготовку по направлениям "Информатика и вычислительная техника", "Информационные системы и технологии", "Компьютерная безопасность", "Информационная безопасность" и "Прикладная математика и информатика", а так же по другим направлениям, учебные планы которых содержат дисциплины, использующие ЦОС. Оно будет полезно также аспирантам, инженерам и научным работниками, специализирующимся в области цифровой обработки сигналов. Содержание пособия может дать определенный толчок для учебноисследовательской работы студентов, а так же служить средством для самостоятельного изучения цифровой обработки сигналов. Автор выражает глубокую благодарность доктору технических наук, профессору А.В. Горячеву и кандидату технических наук, доценту А.С. Романовскому за полезные предложения, способствовавшие повышению качества изложения материала, Е.В. Ходиной и Г.В. Якушиной - за активную помощь в подготовке рукописи и Генеральному директору ЗАО РТСОФТ, доктору технических наук О.В. Синенко - за помощь в издании этой книги. 9 ГЛАВА 1 СИГНАЛЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1.1. Определение и классификация сигналов Под сигналом в общем случае понимается физический процесс, являющийся средством переноса информации во времени и пространстве. Сигналы описываются математическими моделями, отражающими общие свойства различных по физической природе сигналов. Наиболее распространенной моделью сигналов является их представление в виде математических функций некоторых физических аргументов. В зависимости от числа аргументов сигналы делятся на многомерные (при числе аргументов не менее двух) и одномерные (с одним аргументом). В данной книге рассматриваются преимущественно одномерные сигналы. Обобщенно одномерный сигнал представляется в виде x(t), где x – обозначение функции изменения сигнала, а t – его аргумент. Кроме x и t для обозначения сигнала могут быть использованы и другие буквы латинского алфавита. Если t – время, то x (t) – обозначение временного сигнала. Время является естественным аргументом многих физических процессов, поэтому временные сигналы являются одними из распространенных на практике. Кроме аргумента t функция x(t) может зависеть еще и от некоторых параметров p1, p2, …, которые, не меняя размерности сигнала, влияют на характер его изменения. В этом случае может быть использована следующая общая запись сигнала: x(t, p1, p2,…). Такими параметрами являются, например, амплитуда сигнала, его частота и фаза. Параметры сигнала могут быть неизменными во времени или меняться с течением времени, могут быть детерминированными и случайными. Сигналы задаются на определенном интервале изменения аргумента. Для реальных сигналов этот интервал всегда конечен, т.е. t  t min , t max  , где tmin и tmax – соответственно нижняя и верхняя границы интервала, так как обработка сигналов на практике не может выполняться бесконечно долго. Сигнал, имеющий начало во времени, называется каузальным. Если вне конечного интервала сигнал принимается равным нулю, то он называется ещё и финитным. Реальные сигналы всегда являются каузальными и 10 финитными. Сигнал считается периодическим, если любые его значения повторяются через интервал, равный периоду. Наряду с ограниченными во времени сигналами в теории сигналов широко используются также сигналы с полубесконечными и бесконечными интервалами определения. Реальные сигналы x(t) на интервале определения принимают всегда действительные значения, поэтому каждый такой сигнал в отдельности рассматривается как действительный. Наряду с ними используется и более сложная математическая модель, в которой два действительных сигнала x(t) и y(t) объединяются в один: z (t )  x (t )  jy(t ), (1.1) который называется комплексным. При этом сигнал x(t) определяет действительную часть комплексного сигнала z(t), т.е. Re [z(t)]=x(t), сигнал y(t) – его мнимую часть: Im [z(t)]=y(t), а j есть мнимая единица, Комплексный сигнал может быть записан еще и так: z(t )  z(t ) e j ( t )  z(t ) где z ( t )  x 2 (t )  y 2 (t ) cos( (t ))  j z(t ) равная sin(  (t )), 1. (1.2) – огибающая сигнала, а  (t )  arctg ( y (t ) / x(t )) – фаза сигнала. Каждому комплексному сигналу соответствует комплексносопряженный к нему сигнал z  (t )  x (t )  jy(t ). Следует иметь в виду, что в реальной жизни комплексных сигналов не существует. Это только удобная форма представления двух действительных сигналов в виде единого математического объекта, над которым можно производить математические операции по известным правилам. Комплексные сигналы могут оказаться весьма полезными в многоканальных системах обработки. Простейшими комплексными сигналами являются комплексные экспоненциальные сигналы, для которых огибающая имеет постоянное значение, равное амплитуде А, а фаза – линейная функция:  (t )   t. Такие сигналы имеют вид z(t )  A e jt  x(t )  j y (t ), (1.3) где x(t )  A cos (  t ), y (t )  A sin (  t ). Величина  в (1.3) носит название круговой частоты и связана с 11 линейной частотой f известным соотношением f =  / 2 . Комплексный экспоненциальный сигнал является периодическим с периодом 2 /   1 / f . Как и любое комплексное число, комплексный сигнал в любой момент времени можно представить в виде вектора на плоскости [1,j]. При этом длина вектора (его модуль) совпадает с огибающей сигнала, а угол его наклона к действительной оси (оси абсцисс) равен фазе сигнала (рис.1.1). j  (t) y(t) t |z( )|  (t) 0 -  (t) x(t) 1 | z( t)| -y(t)  (t) Рис. 1.1. Геометрическая трактовка комплексных сигналов Проекции этого вектора на оси абсцисс и ординат определяют соответственно действительную и мнимую составляющие комплексного сигнала. При изменении времени вектор сигнала будет вращаться на плоскости против часовой стрелки с изменяющимися угловой скоростью и модулем. Комплексно-сопряженный сигнал также представляется вектором на этой плоскости и расположен симметрично относительно оси абсцисс. При изменении времени он будет вращаться по часовой стрелке. Комплексные экспоненциальные сигналы представляются векторами постоянной длины, равной амплитуде сигнала, и вращаются на плоскости с постоянной угловой скоростью, численно равной круговой частоте  (рис.1.2). Число оборотов вращения таких векторов в единицу времени (за секунду) совпадает с линейной частотой сигнала. Действительные и мнимые составляющие экспоненциального сигнала являются периодическими 12 функциями и число их периодов в единицу времени будет также однозначно связано с частотой сигнала. j  y(t) A  (t) 0 -  (t) x(t) 1 A -y(t)  Рис. 1.2. Геометрическая трактовка комплексных экспоненциальных сигналов Таким образом, для комплексных экспоненциальных сигналов возможны две эквивалентные трактовки частоты: 1) в виде скорости изменения фазы (числа оборотов за единицу времени) и 2) в виде числа периодов изменения его мнимой и действительной составляющих за ту же единицу времени. По характеру изменения сигналы делятся на детерминированные и случайные. По своему смысловому определению детерминированные сигналы должны означать полностью известные сигналы на всем интервале их определения. Однако такие сигналы не несут новой информации и находят применение только в контроле и диагностике ЭВМ и систем обработки. Реальные сигналы всегда являются в какой-то мере неопределенными. Поэтому в дальнейшем при обработке сигналов под детерминированными сигналами понимаются такие, для которых известны законы их изменения во времени, но параметры, являясь также детерминированными, заранее могут быть неизвестными. Определение этих параметров и составляет существо ряда задач обработки сигналов. 13 Под случайными сигналами в общем случае понимаются такие, для которых ни функции их изменения, ни параметры не известны, а известны только их статистические характеристики. Их математической моделью являются случайные функции. Примером этих сигналов могут служить различного рода помехи и шумы, возникающие в системах измерения и передачи сигналов. Наряду с такими сигналами в теории обработки используются и псевдослучайные сигналы, которые описываются детерминированными функциями времени со случайными параметрами. И детерминированные, и случайные сигналы в свою очередь могут быть непрерывными и дискретными. Непрерывным считается сигнал, определенный в любой точке интервала определения его аргумента. Такой сигнал задан на несчетном множестве временных точек (их нельзя пронумеровать). На рис. 1.3 приведены графики изменения непрерывных сигналов на двустороннем интервале [tmin, tmax], причем к непрерывному относится и кусочно-непрерывный сигнал рис. 1.3б, функция изменения которого имеет разрывы первого рода. В этом случае пользуются более полным и математически строгим понятием континуального сигнала. x(t) tmin x(t) 0 tmax t tmin 0 а) tmax t б) Рис. 1.3. Графики изменения непрерывных сигналов Непрерывный сигнал называют еще аналоговым, подчеркивая тем самым, что он аналогичен отображаемому процессу. Кроме того, физически такой сигнал воспроизводится обычно с помощью элементов аналоговой техники. Любой непрерывный сигнал x(t) можно представить в виде суммы четной (xч(t)) и нечетной (xн(t)) частей x(t) = xч(t) + xн(t), 14 (1.4) которые для сигналов с двусторонним интервалом определения находятся по формулам: xч(t) = [x(t)+ x(-t)]/2, xн(t) = [x(t) – x(-t)]/2. (1.5) Здесь x(-t) – сигнал, получаемый зеркальным отражением сигнала x(t) относительно оси ординат. Пример 1.1. Найти четную и нечетную части финитного линейного сигнала x(t) с двусторонним несимметричным интервалом определения [tmin, tmax], где t min  t max . Решение. Решение приведено на рис. 1.4., где зеркальный сигнал изображен пунктиром. x(-t) tmin x(t) tmax t 0 xч(t) tmin tmax t 0 xн(t) tmin tmax t 0 Рис. 1.4. Разложение сигнала с двусторонним интервалом определения на четную и нечетную составляющие ______________ . _______________ Для сигналов с односторонним положительным интервалом определения [0,T) формулы вычисления четной и нечетной составляющих принимают следующий вид: 15 xч(t) =[x(t)+ x(T-t)]/2, xн(t) =[x(t)– x(T-t)]/2. (1.6) Здесь x(T-t) – сигнал, зеркальный относительно оси, проходящей через середину интервала определения. Пример 1.2. Представить финитный линейный сигнал с интервалом [0,T) в виде совокупности четной и нечетной составляющих. Решение. Решение приведено на рис. 1.5. Четная составляющая имеет вид постоянного сигнала. x(Т -t) 0 ) x(t Т/2 Т t Т/2 Т t Т/2 Т t xч(t) 0 xн(t) 0 Рис. 1.5. Разложение сигнала с односторонним интервалом определения на четную и нечетную составляющие ______________ . _______________ Очевидным свойством четной части сигнала является её симметрия либо относительно оси ординат, либо относительно оси, проходящей через середину интервала определения: xч(t) = xч(-t), 16 xч(t) = xч(T-t), а нечетной – симметрия относительно начала координат или середины интервала определения: xн(t) = -xн(-t), xн(t) = -xн(T-t). Любой сигнал можно также представить в виде суммы постоянной и переменной составляющих, причем постоянная составляющая является средним значением сигнала на его интервале определения: x пост 1  T t max  x t  d t , (1.7) t min где T = tmax – tmin , а переменная составляющая равна: xпер (t) = x(t) - xпост , т.е. получается из сигнала x(t) путем смещения его по оси ординат на величину xпост. Процедура образования постоянной и переменной составляющих сигнала, по сути дела, уже проиллюстрирована в примере 1.2. Постоянная составляющая в этом случае совпала с четной его частью (см. рис. 1.5). Дискретным называется сигнал, заданный только для фиксированных значений аргумента, т.е. заданный на счетном множестве точек. Между этими значениями сигнал не определен. Такой сигнал можно рассматривать либо как функцию x(ti) временного момента t i  it , где t определяет расстояние между двумя соседними временными точками, либо как функцию x(i) номера временного момента i. Значения, которые принимает дискретный сигнал, называют еще отсчетами. Если отсчеты располагаются на равном расстоянии друг от друга, то t постоянно и дискретный сигнал называется решетчатым. Номер отсчета i принимает значение натурального ряда чисел, причем в пределах от –  до +  для сигналов с бесконечным дискретным интервалом определения, либо в пределах от N min до ( N max - 1) для финитных дискретных сигналов, где N min и N max определяют соответственно нижнюю и верхнюю границу конечного интервала определения. Обычно бывает полезным приведение финитных сигналов путём перенумерации отсчетов к интервалу [0, N), где N  Nmax  Nmin . На рис. 1.6. приведен решетчатый дискретный сигнал на одностороннем интервале [0, N). 17 x(i) . . . 0 1 2 . . . N-1 i Рис. 1.6. Дискретный решетчатый сигнал На практике дискретные сигналы получают преимущественно из непрерывных. Процедура извлечения отсчетов дискретного сигнала из непрерывного называется дискретизацией по времени. Величину t в этом случае называют интервалом (шагом) дискретизации. Если t постоянно, дискретизацию считают равномерной. Её результатом является решетчатый сигнал. Равномерная дискретизация наиболее просто реализуется практически. Полученные отсчёты дискретного сигнала x(i) для последующей обработки в ЭВМ квантуются по уровню, в результате чего получается цифровой сигнал. Поскольку квантование по уровню является нелинейной процедурой, то в общем случае результаты операций над дискретными сигналами не будут совпадать с результатами тех же операций над цифровыми сигналами. Расхождение результатов уменьшается с увеличением разрядности представления отсчетов цифрового сигнала. Каждому дискретному сигналу могут соответствовать сколь угодно много непрерывных, совпадающих с ним в отсчетах, что говорит о многозначности задачи восстановления непрерывных сигналов по дискретным отсчетам. Такие непрерывные сигналы называются огибающими для данного дискретного. Простейшей огибающей является ступенчатый сигнал (рис. 1.7). Дискретные сигналы так же могут быть представлены в виде сумм либо четной и нечетной частей, либо постоянной и переменной составляющих. 18 x(i) 2 1 3 0 1 2 3 4 i Рис. 1.7. Решетчатый сигнал и его огибающие (1,2,3) 1.2. Энергетические характеристики детерминированных сигналов Обычно цель обработки сигналов состоит в извлечении информации, а не энергии, тем не менее, энергия и мощность являются важнейшими характеристиками сигналов. Они позволяют, например, оценить степень взаимосвязанности различных сигналов и различных значений одного сигнала, проанализировать структуру сигнала, обусловленную внутренним распределением энергии или мощности, решить задачу выбора интервала дискретизации. Энергия и мощность могут служить мерой близости двух сигналов, поскольку энергия разностного сигнала есть квадрат среднеквадратической погрешности, который широко применяется в математике как критерий при аппроксимации функций по методу наименьших квадратов. Энергетический подход к сигналам широко распространен не только потому, что он может быть разумно интерпретирован физически, но и потому, что при этом подходе значительно упрощается сама теория обработки сигналов. Основными энергетическими характеристиками детерминированного сигнала, рассматриваемого в виде функции времени, являются мгновенная мощность p(t), энергия Е и средняя мощность P на интервале определения сигнала [tmin;tmax). Мгновенной мощностью действительного сигнала называют величину p(t)=x2(t). (1.8) 19 Она соответствует общепринятому определению мощности, используемому в физике. Действительно, если x(t) – напряжение или ток, то мгновенная мощность (1.8) – это мощность, выделяемая на сопротивление в 1 Ом. Мгновенная мощность не аддитивна, т.е. мгновенная мощность суммы сигналов никогда не равна сумме мгновенных мощностей этих сигналов, потому что x1 t   x 2 t 2 x1 t   x 2 t   2 2 . Энергией действительного сигнала на интервале [tmin;tmax) называют величину E t max t max  p t  d t   x t  d t, 2 t min (1.9) t min а средней мощностью на том же интервале – величину tmax 1 P T x 2  t  d t.  (1.10) tmin Здесь, как и ранее, T = tmax - tmin. Если сигнал задан на бесконечном интервале -   t   , то средняя мощность будет равна 1 T P  lim T  tmax  x 2  t  d t. (1.11) tmin Далее, если это не оговаривается особо, среднюю мощность будем называть для краткости просто мощностью. В отличие от мгновенной мощности, мощность и энергия суммы сигналов могут быть аддитивны. Это имеет место для ортогональных сигналов. Чтобы выяснить условия ортогональности сигналов рассмотрим энергию и мощность суммы двух сигналов: E tmax  x1  t   x2  t   d t  E1  E2  2E12 ,  2 tmin 1 P T tmax   x1  t   x2  t   d t  P1  P2  2 P12 . 2 tmin Здесь E1 и P1 – энергия и мощность первого сигнала, E2 и P2 – энергия и мощность второго сигнала, а E12  t max  x1 t  x 2 t  d t t min 20 (1.12) и P12  1 T t max  x1 t  x 2 t  d t (1.13) t min – соответственно взаимная энергия и взаимная мощность двух сигналов. Чтобы сигналы x1(t) и x2(t) были ортогональными, необходимо выполнение одного из условий: E12  tmax  x1  t  x2  t  d t  0, tmin (1.14) t 1 max P12   x1  t  x2  t  d t  0. T tmin Для ортогональных сигналов их энергии и мощности аддитивны: Е = Е1 + Е2 ; Р = Р1 + Р2 . На первый взгляд может показаться, что два условия (1.14) являются одним и тем же условием. Это действительно так, если сигналы рассматриваются на конечном интервале времени T   . Тогда сигналы, ортогональные по мощности, будут одновременно ортогональными и по энергии. Однако при T   множитель 1 в условии ортогональности по T мощности начинает играть принципиальную роль и его опускать нельзя. Проиллюстрируем сказанное на следующих сигналах. Рассмотрим сначала два неперекрывающихся прямоугольных импульса (рис. 1.8.). Они ортогональны на любом интервале времени, охватывающем оба импульса, так как на этом интервале в каждый момент времени либо один, либо другой сигнал равен нулю. При T   энергия каждого сигнала остается конечной величиной, отличной от нуля, а их средняя мощность будет стремиться к нулю. Вследствие этого при T   для таких сигналов можно пользоваться только понятием ортогональности по энергии. x1(t) x2(t) 0 t Рис. 1.8. Ортогональные сигналы 21 Теперь рассмотрим два непрерывных тригонометрических сигнала, например x1  t   cos ( t ) , а x2  t   sin ( t ) . Они ортогональны на интервале времени, равному периоду T  2  , т.к. T E12   cos ( t ) sin ( t ) d t  0 1 2 T  sin ( 2 t ) dt  0 . 0 Эта ортогональность сохранится и на любом другом интервале, равному целому числу полупериодов, T  k  , к = 1 ,2 ,3 …,в том числе и при к   . На одном периоде энергия сигналов равна T T 0 0 E   cos 2 (  t ) dt   sin 2 ( t ) dt  T . 2 При увеличении Т она также возрастает и при Т   стремится к  . Следовательно, при Т   теряет смысл ортогональность по энергии. В то же время мощность остается конечной величиной: P  lim T  1 T T  0 1 T  T cos 2 ( t ) dt  lim T  0 1 sin 2 ( t ) dt  . 2 Для таких сигналов можно пользоваться только понятием ортогональности по мощности. Эта ортогональность при Т   обеспечивается на любом интервале времени независимо от того, включает он в себя целое или дробное число полупериодов. Из ортогональности по энергии всегда следует ортогональность по мощности, но не наоборот. Следовательно, условие ортогональности Е12 = 0 охватывает некоторый класс сигналов, который является частью более широкого класса сигналов с ортогональностью в смысле Р12 = 0. В дальнейшем мы будем часто рассматривать сигналы с конечной мощностью P   и применять к ним понятие ортогональности по мощности. Взаимную энергию и взаимную мощность можно использовать для определения степени схожести двух сигналов. Если сигналы x1(t) и x2(t) полностью совпадают во всех точках рассматриваемого интервала, то Р1 = Р2 = Р12 и мощность суммарного сигнала равна 4Р1. Такие сигналы называются полностью когерентными. Другой крайний случай будет иметь место при ортогональных сигналах, когда Р12 = 0 и мощность суммарного сигнала будет равна Р=2Р1 (при равной мощности заданных сигналов). В этом случае по 22 форме одного сигнала не удается получить никаких сведений о форме другого сигнала. Во всех случаях, когда взаимная мощность не равна нулю, сигналы являются частично когерентными. В этих случаях, зная форму одного сигнала, мы можем почерпнуть из нее некоторые сведения о свойствах другого сигнала. Сказанное можно проиллюстрировать с помощью двух косинусоидальных сигналов с одинаковыми частотами и амплитудами, рассматриваемых на интервале, равном периоду T=2П/ω, x1(t)=Acos(ωt+φ1), x2(t)=Acos(ωt+φ2). Эти сигналы полностью когерентны, если φ1=φ2, и ортогональны, если φ2- φ1= Π/2. Во всех промежуточных случаях они частично когерентны. Следует всегда иметь ввиду, что ортогональность сигналов зависит от интервала их определения. Одни и те же сигналы ортогональны на одном интервале и неортогональны – на другом. Поэтому бессмысленно говорить об ортогональности, не указывая, на каком интервале она имеет место. Для комплексных финитных сигналов с интервалом определения [ t min ; t ) max x(t) = Re(t) + jIm(t) их энергетические характеристики записываются в следующем виде:   2 2 2 *  p(t )  Re (t )  Im ( t )  x( t ) x ( t )  x( t ) ,  t max t max t max  2 E    Re 2 (t )  Im 2 ( t )  dt   x(t ) x * (t )dt   x(t ) dt ,   t min t min t min  t t max t max  1 max 1 1 2  Re 2 (t )  Im 2 ( t )  dt   x(t ) x * (t )dt   x (t ) dt  P  T T T  t min t min t min (1.15) и по сути равны сумме соответствующих энергетических характеристик их действительных и мнимых частей. Для двух комплексных сигналов x1(t) и x2(t) взаимные энергия и мощность соответственно равны E12  1 2 t max  x1 (t ) x 2* (t )dt  t min 23 1 2 t max *  x1 (t ) x 2 (t )dt , t min (1.16) P12  1 2T t max  x1 (t ) x 2* (t )dt  t min 1 2T t max *  x1 (t ) x 2 (t )dt . t min При Е12=0 сигналы являются ортогональными по энергии, при Р12=0 – ортогональными по мощности. Если использовать экспоненциальную форму записи комплексных сигналов x1(t) и x2(t) вида (1.2), то, например, взаимную мощность можно записать еще и так 1 P12  2T t max  x1 (t ) x2 (t ) e j [1 ( t ) 2 ( t )] e j [1 ( t )  2 ( t )] t min dt  T1 t max  x1 (t ) x2 (t ) cos  1 (t )  2 (t ) dt. t min Тогда очевидно, что условие Р12=0 будет выполняться при разности фаз, равной Π/2. На плоскости [1,j] в любой момент времени t два комплексных ортогональных по мощности сигнала представляются в виде двух взаимно перпендикулярных векторов (рис. 1.9). Аналогичные результаты получаются и для ортогональности по энергии. j x1(t) Im1(t) x2(t) Im2(t) (t) |x 1 |  1(t) Re1(t) | (t) |x 2  2(t) 0 Re2(t) 1 Рис. 1.9. Два комплексных ортогональных сигнала Для комплексных сигналов с бесконечным интервалом определения при записи их энергии и мощности в формулах (1.15) и (1.16) должны быть использованы предельные переходы, как это делалось в действительных сигналах, со всеми вытекающими из этого проблемами. Для финитных действительных решетчатых сигналов энергетические характеристики совпадают с энергетическими характеристиками их ступенчатых огибающих. Действительно сумма отсчётов решетчатого 24 N 1  x (i ) сигнала является аналогом определённого интеграла в теории i 0 непрерывных функций. Так как интервал между соседними отсчётами  i=1, то эта сумма численно равна площади под ступенчатой огибающей решетчатой функции x(i). По этой же причине величины N 1 E   x 2 (i ) ; P i 0 1 N N 1 x 2 (1.17) (i ) i 0 численно равны энергии и мощности ступенчатой огибающей соответственно. Для суммы двух решетчатых сигналов x1(i) и x2(i) будем иметь N 1 N 1 N 1 N 1 i 0 i 0 i 0 E    x1 (i )  x2 (i )    x12 (i )  2 x1 (i ) x2 (i )   x22 (i )  E1  2 E12  E2 , 2 i 0 P 1 N N 1   x1 (i)  x2 (i) i 0 2  1 N N 1  x12 (i)  i 0 2 N N 1  x1 (i) x2 (i)  i 0 1 N N 1  x (i)  P  2P i 0 2 2 1 12  P2 . Величины N 1 E12   x1 (i ) x2 (i ), i 0 1 P12  N N 1  x (i ) x (i ) 1 i 0 (1.18) 2 определяют взаимную энергию и взаимную мощность двух решетчатых сигналов (их ступенчатых огибающих). Если они равны нулю, то такие сигналы являются ортогональными, причём ортогональность по энергии идентична ортогональности по мощности. Идеальная дискретизация по времени не может изменить мощность или энергию сигнала, поэтому дискретный сигнал, получаемый из непрерывного сигнала с конечной мощностью и энергией, также будет обладать конечной мощностью и энергией: N 1 x 2 ( i )  , i 0 1 N (1.19) N 1 x 2 (i )  . i 0 Функция, соответствующая сигналу x(i) и удовлетворяющая условию (1.19), в математике называется суммируемой с квадратом. 25 Для комплексных решетчатых сигналов энергетические характеристики численно равны суммарным значениям энергетических характеристик ступенчатых огибающих их действительной или мнимой частей: N 1 N 1 E   x(i ) x* (i )  x(i ) , i 0 2 i 0 N 1 1 1 N 1 2 * P   x(i ) x (i )   x(i) , N i 0 N i 0 N 1 1 1 N 1 E12   x1 (i ) x2* (i )   x1*1 (i ) x2 (i ), 2 i 0 2 i 0 P12  1 2N N 1  x1 (i) x2* (i)  i 0 1 2N N 1  x (i) x (i). i 0 * 1 2             (1.20) Условия ортогональности по энергии и мощности остаются прежними. Ортогональные комплексные дискретные сигналы геометрически соответствуют двум взаимно перпендикулярным векторам на плоскости [1,j]. 1.3. Функции спектральной плотности и корреляционные функции Энергия и мощность дают суммарную (интегральную) оценку действия сигнала, что часто полезно для практики обработки. Однако в целом ряде задач не менее полезным является знание более тонкой структуры сигнала, связанной с распределением энергии или мощности по внутренним составляющим сигнала. Если в качестве таких составляющих выбрать значения частоты, то распределение энергии задаётся характеристикой, называемой спектральной плотностью энергии или кратко энергетическим спектром: S E ( )  X ( ) X * ( )  X ( ) , 2 (1.21) где X ( )    x (t )e  jt (1.22) dt  – есть интегральное преобразование Фурье сигнала x(t), а X*(  ), является величиной, комплексно сопряжённой с X(  ). Распределение мощности по частотам отражается спектральной плотностью мощности S E ( ) . T  T S p (t )  lim (1.23) 26 Дифференциальный характер S E ( ) и S P ( ) подтверждается теоремой Рэйли, описываемой следующими выражениями:  1  E   x2 (t )dt   S E ( )d, 2   (1.24) t 1 max 2 1  P  lim x (t )dt  (1.25)   S p ( )d. 2  T  T t min Функции спектральной плотности означают, что энергия (мощность) любого сигнала есть результат суммирования вкладов от различных интервалов частотной оси. Каждый малый интервал  обеспечивает вклад, примерно равный E  P  1 S E ( / ) ,  1  S P ( / )  , где   – значение средней частоты внутри интервала  . Функции спектральной плотности являются четными функциями частоты. Распределение по частотам можно получить и для взаимной энергии или мощности. Тогда получим взаимный энергетический спектр и взаимный спектр мощности соответственно: S12 E ( )  X 1 ( ) X 2* ( )  X 1* ( ) X 2 ( ), (1.26) S12 E ( ) , T  T S12 P ( )  lim где X1(  ) и X2(  ) – преобразования Фурье сигналов x1(t) и x2(t). В этом случае E12  1 2  S 12 E ( )d  ,  (1.27) P12  1 2  S 12 P ( )d  .  При анализе двух сигналов с использованием E12 ( P12 ) и S12E ( )S12P ( ) следует иметь в виду, что взаимная энергия (мощность) позволяет судить о 27 степени взаимосвязи формы сигналов через энергию или мощность (для ортогональных сигналов форма не совпадает), а взаимные спектры – о степени взаимосвязи более тонкой структуры, связанной с гармоническим разложением сигналов по частотной оси. Наличие нулевых значений S12E ( ) и S12P ( ) не говорит о несовпадении самих сигналов, а говорит только о нулевой взаимосвязи частотного поведения в этой области частот. Характер взаимосвязи двух сигналов удобнее количественно отражать с помощью других характеристик сигналов, называемых взаимокорреляционными функциями и тесно связанных с взаимными спектрами энергии и мощности. Если рассматривать сигналы с позиции их энергии, то взаимокорреляционная функция по энергии определяется как взаимная энергия одного сигнала x1(t) и сдвинутой по оси времени копии x2(t+τ) другого сигнала x2(t) R12 E ( )    x (t ) x 1 2 (t  )dt , (1.28)  причём временной сдвиг сигнала понимается в смысле обычной операции алгебраического сложения. Аналогично при рассмотрении сигналов с позиции мощности вводится взаимокорреляционная функция по мощности R12E ( ) , T  T R12P ( )  lim (1.29) которая физически соответствует взаимной мощности сигналов x1(t) и x2(t+ τ). Очевидны следующие равенства: R12E (0)  E12 ; R12P (0)  P12 , (1.30) т.е. значения взаимокорреляционных функций при нулевом сдвиге совпадают со значением взаимной энергии или мощности сигналов x1(t) и x2(t). Взаимокорреляционные функции характеризует взаимосвязь во времени сигнала x1(t) и копии сигнала x2(t) при последовательном её сдвиге по оси времени на различные значения  . Целесообразность этих функций можно проиллюстрировать на следующем примере. Пусть сигналы x1(t) и x2(t) ортогональны, тогда либо Е12 , либо Р12 равны нулю (либо и Е12, и Р12). При прохождении сигналов через различные устройства возможна задержка одного сигнала относительно другого на некоторое время  . Ясно, что 28 взаимокорреляционные функции будут служить мерой «устойчивости» ортогональности сигналов при сдвигах. Сигналы, имеющие нулевые взаимокорреляционные функции во всех точках, называются некоррелированными. Для таких сигналов условие ортогональности сохраняется при любых сдвигах. При ограниченности энергии и мощности сигналов x1(t) и x2(t) их взаимокорреляционные функции так же ограниченны. Для частного, но очень важного случая, когда сигналы x1(t) и x2(t) представляют собой один и тот же сигнал, взаимокорреляционные функции переходят в автокорреляционные функции, которые в соответствии с выражениями (1.28) и (1.29) записываются следующим образом: R E ( )    x(t ) x(t   )dt , (1.31)  RE ( ) 1 t max  lim  x(t ) x(t   )dt . T  T  T T t min RP ( )  lim (1.32) Автокорреляционные функции являются четными функциями временного сдвига. Действительно, заменив, например в (1.31), t   на t  , получим R E ( )       x(t ) x(t   )dt   x(t    ) x(t )dt   R E (  ) (1.33) Аналогично и RP ( )  RP ( ) . Автокорреляционные функции имеют размерность энергии или мощности. При τ=0 они равны энергии или средней мощности сигнала. Любое значение автокорреляционной функции при τ≠0 не превосходит её начального значения при τ=0. Последнее легко показать. Рассмотрим очевидное неравенство x(t )  x(t   )2  0 . Возведём разность двух функций в квадрат и перегруппируем члены: x 2 (t )  x 2 (t   )  2 x (t ) x (t   )  0, x (t ) x (t   )    1 2 x (t )  x 2 (t   ) . 2 Проинтегрируем обе части неравенства и разделим их на Т: 1 T t max  t min x(t ) x(t   )dt  1 2T t max t 1 max 2 2 x ( t ) dt  x (t   )dt .  2T  t min t min 29 При T   получим слева автокорреляционную функцию, а каждое слагаемое справа будет равно половине средней мощности сигнала, поэтому RP ( )  RP (0)  P. (1.34) RE ( )  RE (0)  E . (1.35) Аналогично получим То обстоятельство, что автокорреляционные функции связаны с энергией или мощностью сигнала, объясняет широкое применение этих функций в тех случаях, когда производится обработка сигнала с использованием среднеквадратических критериев. Пример 1.3 Построить автокорреляционную функцию сигнала в виде прямоугольного импульса длительностью τи (рис. 1.10). Решение. Автокорреляционная функция геометрически совпадает с площадью перекрытия импульса и равномерно перемещающейся по оси его копии. Поэтому она имеет вид треугольника (рис. 1.10). Так как сигнал задан на конечном интервале, то корреляционные функции по энергии и по мощности по внешнему виду совпадают. x(t) x(t) τИ 0 t R(τ) -τИ τИ ТИ 0 t R(τ) 0 τИ τ -3 τИ -2 τИ - τИ 0 τИ 2 τИ 3τИ τ Рис. 1.10. Импульсные сигналы и их автокорреляционные функции _______________ . _______________ Пример 1.4 Построить автокорреляционную функцию сигнала в виде двух прямоугольных импульсов при ТИ = 2τИ (рис. 1.10). Решение. По аналогии с примером 1.3 прямоугольная функция этого сигнала имеет треугольную форму, но содержит не один, а три треугольных лепестка, один главный и два побочных (рис. 1.10), амплитуда которых в два раза меньше амплитуды главного лепестка. ______________ . _______________ 30 Автокорреляционные функции периодического сигнала сами являются периодическими функциям с тем же периодом. В самом деле, учитывая, что x(t)=x(t+kT), где T – период, а k  0, 1, 2…, получим R E ( )       x(t ) x(t   )dt   x(t ) x(t  kT   )dt  R E (  kT ) . (1.36) Аналогично RE ( ) R (  kT )  lim E  RP (  kT ) . T  T  T T RP ( )  lim (1.37) Поскольку автокорреляционная функция у всех сигналов, кроме периодических, по мере увеличения сдвига τ убывает, то для оценки её размытости удобно ввести понятие интервала корреляции  k . Эта величина равна ширине прямоугольного импульса, имеющего ту же площадь, что и автокорреляционная функция, при высоте, равной мощности (или энергии) сигнала: 1 E  k  R E  ( )d , (1.38)  1  k   R P ( )d . P  Автокорреляционные и взаимокорреляционные функции тесно связаны с соответствующими функциями спектральной плотности энергии и мощности. Математически эта связь выражается в виде интегральных преобразований Фурье, называемых уравнениями Винера-Хинчина:  1 2 R E ( )  S ( )e j d ,   R S E ( )  E E (1.39) ( )e  j d ,  R P ( )  1 2  S ( )e j d ,   S P ( )  P R P (1.40) ( )e  j d ,  R12 E ( )  S12 E ( )  1 2  S 12 E ( )e j d ,   R 12 E (1.41) ( )e  j d ,  31 R12 P ( )  S12 P ( )  1 2  S 12 P ( )e j d ,  (1.42)  R 12 P ( )e  j d .  Постоянный множитель 1 в выражениях (1.39) – (1.42)может быть 2 учтен и по-другому, например, в формулах для спектральных плотностей, а не для корреляционных функций, или множителями 1/π во всех формулах. В последнем случае приведённые зависимости становятся полностью симметричными. Аналитическая взаимосвязь между корреляционными функциями и функциями спектральной плотности имеет важное теоретическое и прикладное значение. Во-первых, оказывается возможным оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии или мощности по частотам. Например, чем шире полоса частот сигнала, тем уже основной лепесток автокорреляционных функций и меньше взаимосвязь отдельных значений сигнала между собой. Во-вторых, формулы взаимосвязи позволяют рассчитать одни характеристики при экспериментальном определении других. Пример 1.5. Найти автокорреляционную функцию сигнала с равномерным и неограниченным энергетическим спектром (рис. 1.11). Решение. В соответствии с первым уравнением системы (1.39) получим 1 RE ( )  2  Se 0  j d  S0  e  j d  0 S0   ( ) , (1.43) где S0 – интенсивность спектра, а  ( ) – дельта-функция. Так как дельтафункция при всех ненулевых значениях τ равна нулю (подробнее дельтафункция будет рассмотрена в §2.2.), то корреляционная функция (1.43) соответствует некоррелированному сигналу. Интервал корреляции для него равен нулю. С другой стороны, поскольку  (0)   , то некоррелированный сигнал является физически не реализуемым, так как он имеет бесконечную энергию (среднюю мощность) на интервале (-∞;∞). График RE ( ) (1.43) приведен на рис. 1.11. 32 RE(τ) SE(ω) S0 0 ω 0 τ Рис. 1.11. Функция спектральной плотности энергии и автокорреляционная функция некоррелированного сигнала _______________ . _______________ Пример 1.6 Записать автокорреляционную функцию сигнала с равномерным и ограниченным в полосе частот   в ,  в  энергетическим спектром:   S ,   в , S E ( )   0   0,   в , (1.44) где  в - верхняя (наибольшая) частота спектра. Решение. Аналогично примеру 1.5 получим RE ( )  Графики S E ( ) и S0  в j S0  в S  sin(в ) e d   cos( )d  0 в .   2   в  в 0 R E ( ) приведены (1.45) на рис. 1.12. Автокорреляционная функция имеет затухающий характер и явно выраженную лепестковую форму. Интервал корреляции равен τ k  π ωв , а энергия сигнала, соответствующего такой корреляционной функции, конечна и равна E  S0 в  . Величину  в называют ещё частотой среза. 33 SE(ω) S0 - ωв RE(τ) -3π ωв -2π ωв ωв ω 0 -π ωв E 0 π ωв 2π ωв 3π τ ωв Рис. 1.12. Функция спектральной плотности энергии и автокорреляционная функция сигнала с ограниченным спектром _______________ . _______________ Корреляционные функции и функции спектральной плотности энергии и мощности являются не только важными характеристиками сигналов, но и мощным математическим инструментом в обработке сигналов. Они широко используются при решении задач, связанных с обнаружением, выделением, распознаванием и фильтрацией сигналов. Именно они составляют основу таких важных разделов математики, как корреляционный и спектральный анализ функций. Представленные в этом разделе корреляционные функции и функции спектральной плотности энергии и мощности используют гармоническое разложение Фурье сигналов и традиционное понятие временного сдвига. Возможны другие способы внутреннего распределения энергии и мощности сигналов и сдвига во времени. Их применение даёт возможность построить новые характеристики, позволяющие в ряде случаев получать дополнительную информацию о структуре сигналов. Такие характеристики будут рассмотрены в §3.4 и §3.5. 34 1.4. Характеристики случайных сигналов Математической моделью случайных сигналов служат случайные процессы, представляющие собой функции времени, которые в любой момент могут принимать значения x(t), являющиеся случайными величинами. Совокупность всех значений x(t)в заданном диапазоне изменения t даёт реализацию случайного сигнала. В общем случае случайный сигнал есть бесконечная совокупность таких реализаций, образующая статистический ансамбль x1 t , x 2 t ,. Совсем не обязательно, чтобы реализации случайного процесса представлялись функциями со сложными, нерегулярными поведениями во времени. Часто приходится рассматривать случайные сигналы с известными законами изменения во времени, но случайными параметрами. В §1.1 такие сигналы получили название псевдослучайных. Их отличие от детерминированных сигналов с неизвестными параметрами состоит в том, что в последних значения параметров от опыта к опыту не меняются и их, например, усреднение приводит к тем же самым значениям. В псевдослучайных же сигналах усреднение позволяет получить среднестатистические значения параметров, которые могут существенно отличаться от их конкретных реализаций. Исчерпывающими характеристиками случайных сигналов (процессов) являются многомерные вероятностные законы распределения: плотности вероятности и функции распределения, которые характеризуют поведение сигнала при большом числе (в пределе бесконечном) значений t. Если анализ сигналов осуществляется с использованием многомерных законов распределения, говорят, что он рассматривается в рамках законов распределения. Получение многомерных законов распределения обычно сложно на практике. Да и использование этих законов при разработке алгоритмов обработки встречает серьёзные математические трудности. В то же время для решения целого ряда задач достаточно знать не сами многомерные законы, а только первые три момента, связанные с одномерным и двухмерным законами распределения: математическое ожидание, дисперсию и автокорреляционную функцию. 35 Математическое ожидание  m (t )   x(t ) f x(t )  dx(t ) (1.46) 1  характеризует статистическое среднее значение случайного сигнала в момент времени t, дисперсия  t   2   xt  mt  f xt dx t  2 (1.47) 1  определяет степень разброса мгновенных значений, принимаемых отдельными реализациями в фиксированном временном сечении t, относительно среднего значения, а автокорреляционная функция R t1 , t2            x  t1   m t1    x t2   m  t2   f 2 x t1  , x t2  dx t1  dx  t2  (1.48) задаёт степень статистической связи тех случайных величин, которые наблюдаются в моменты времени t1 и t2. В формулах(1.46) – (1.48) f1 xt  и f 2 xt1 , xt2  представляют собой соответственно одномерную и двумерную плотности вероятностей. Очевидно, что R (t1, t2) при t1 = t2 = t равна  2 t  . При использовании только этих трёх величин при анализе сигналов говорят, что сигналы рассматриваются в рамках корреляционной теории. Во многих практических случаях случайные сигналы удовлетворяют важному свойству стационарности. Сигнал является стационарным в узком смысле, если любая n-мерная плотность вероятности инвариантна относительно временного сдвига  59, 64: f п x t1 , x t 2 , ... , xt п   f п x t1   , x t 2  ,, xt п   Если же потребовать, чтобы математическое ожидание и дисперсия не зависели от времени, а его автокорреляционная функция зависела только от интервала времени  между моментами t1 и t2   t2  t1  , т.е. R t1 , t 2   R  , то такой случайный сигнал будет стационарным в широком смысле. Именно такие сигналы мы будем преимущественно рассматривать в дальнейшем, называя их для краткости просто стационарными. Автокорреляционная функция случайных сигналов обладает теми же свойствами, что и автокорреляционные функции детерминированных сигналов (четность, ограниченность и т.д.). При этом её значение в нулевой момент времени  совпадает с дисперсией сигнала : R(0)=  2 . Интервал 36 корреляции характеризует степень взаимосвязанности двух значений случайного сигнала, разделенных интервалом  , причем имеется в виду не взаимозависимость двух значений какой-либо конкретной реализации случайного сигнала (это уже детерминированный сигнал), а взаимозависимость двух случайных величин – отсчетов различных реализаций сигнала в моменты t и t   . Чем быстрее убывает R  , тем меньшей становится статистическая связь между мгновенными значениями случайного сигнала в два несовпадающие моменты времени. Если известна информация о поведении какой-либо реализации в «прошлом», то можно вероятностно прогнозировать его поведение на время порядка  к . Однако попытка прогнозировать на время  >>  к оказывается безрезультативной, т.к в этом случае мгновенные значения случайного сигнала практически некоррелированы. При оценке статистических характеристик случайных сигналов важное значение приобретает свойство эргодичности. Случайный сигнал называется эргодическим, если для него усреднение по ансамблю (совокупности испытаний) можно заменить на усреднение по времени. В этом случае для получения статистики отпадает необходимость в воспроизведении многочисленных реализаций случайного сигнала и может быть использована одна достаточно длинная во времени реализация. Для таких случайных сигналов 1 m  lim T  T  2  lim T  t max  x t  dt, 1 T 1 T  T R    lim (1.49) t min  x t  t max 0 2 dt , (1.50) t min tmax  x 0  t  x 0  t   dt. (1.51) tmin Сигнал x0 (t) = x (t) – m, используемый в формулах (1.50) и (1.51), называется центрированным. Достаточным условием эргодичности является условие Слуцкого [64] 1 lim T  T t max  R   d  0, t min 37 из которого следует, что случайный сигнал является эргодическим, если его автокорреляционная функция убывает по модулю с увеличением времени  . Этому условию удовлетворяют многие случайные сигналы. Выражения (1.50) и (1.51) показывают, что статистические характеристики эргодических случайных сигналов приобретают явный энергетический смысл. Сравнивая эти выражения с формулами (1.9) и (1.11), получаем, что дисперсия соответствует мощности центрированного случайного сигнала, а автокорреляционная функция характеризует взаимную мощность центрированного сигнала и его сдвинутой по времени копии. Для двух эргодических случайных сигналов x1 (t) и x2(t) может быть записана взаимная корреляционная функция 1 R12    lim T  T t max  x10 t  x 20 t   dt , t min которая имеет смысл взаимной мощности двух центрированных случайных сигналов x10 t   x1 t m1 и x 20 t   x 2 t   m 2 , где m1 и m2 – математические ожидания сигналов x1(t) и x2(t) соответственно. По известной R  можно получить разложение мощности (дисперсии) по частотам и наоборот, если использовать уравнения Винера-Хинчина (1.40). При этом следует иметь в виду, что если в детерминированных сигналах можно было использовать функции спектральной плотности энергии и мощности, то в случайных сигналах – только функцию спектральной плотности мощности S p   . Очевидно 1   2 2 Случайный сигнал с   S p   d . (1.52)  S p    S 0 является некоррелированным и называется математическим белым шумом по аналогии с белым цветом, содержащим все частотные составляющие одинаковой интенсивности. В отличие от него случайный сигнал с постоянным, но ограниченным по полосе частот в , в  спектром, называется физическим белым шумом. Математический белый шум не существует в природе, т.к. для него дисперсия бесконечна. Это удобная идеализация физического белого шума, широко применяемая в теории обработки сигналов. Его использование 38 значительно упрощает алгоритмы обработки, не внося существенных погрешностей в конечные результаты. В табл. 1.1 приведены в качестве примера четыре автокорреляционные функции и соответствующие им функции спектральной плотности мощности (величины R   и S p   ).  и , используемые Первые три в таблице, являются автокорреляционные параметрами функции табл. 1.1 экспоненциального и экспоненциально - тригонометрического вида обладают тем важным свойством, что их линейной комбинацией можно с заданной степенью точности аппроксимировать любую реальную R  64. Последняя автокорреляционная функция в табл. 1.1. соответствует физическому белому шуму. Таблица 1.1 R   σ2e σ2e σ2 e α τ α τ S p   2 2  /  2   2  α τ cos  βτ  2 2 cos  β τ    α / β  sin  β τ   σ2 sin ατ ατ 2  2   2   2   4  2 2  2   2    2   2  2 4  2   2   4  2 2  2   2   2   2  2  2  , при    ,    0, при     1.5. Дискретизация непрерывных сигналов При равномерной дискретизации осуществляется переход от непрерывного времени t к его дискретному аналогу i, причем математическая связь этих времен определяется выражением i  int t / t  , где функция int (a) выделяет целую часть числа а. Величина f д  1 является t частотой дискретизации, а число отсчетов финитного решетчатого сигнала x(i), результата дискретизации, равно 39 N T  Tf д , t (1.53) где T есть, как и ранее, длина интервала определения непрерывного сигнала. Интервал дискретизации t и связанная с ним частота дискретизации fд имеют важное значение для обработки сигналов. Неправильно выполненная дискретизация может привести к изменению внутренней энергетической структуры сигнала и, как следствие, к искажению его формы. Кроме того, от значений t и f д зависят объём вычислений и время, отводимое на решение задач обработки, а, следовательно, и технические характеристики используемой ЭВМ. Поэтому правильный выбор интервала дискретизации является важной теоретической и прикладной задачей. Наиболее просто она решается для сигналов с ограниченным частотным спектром на основании известной теоремы НайквистаКотельникова. В соответствии с ней непрерывный сигнал x(t), в частотном спектре которого не содержится составляющих выше  в  2 f в , полностью описывается выборочными значениями x(i), отсчитанными через интервал времени tк  1  .  2 fв в (1.54) Этот интервал назовем интервалом Котельникова. Для иллюстрации теоремы Найквиста-Котельникова рассмотрим преобразование автокорреляционной функции R p   и функции спектральной плотности мощности S p   сигнала при его дискретизации. Остановимся сначала на функции R p   . Выражение (1.32) для R p   справедливо для всех значений  и t, в том числе и для   k t и t  i t . Однако при этих значениях времени сигналы x i t  и x i  k  t  можно рассматривать как кусочнопостоянные огибающие дискретных сигналов x i  и x i  k  . Тогда интеграл в (1.32) переходит в сумму и в результате получается следующее выражение для автокорреляционной функции дискретного сигнала: R р кt   R p к   lim 1 N  N Здесь N min  t min t ; N max  N max 1  i  N min x i t  x i  к  t   lim 1 N  N N max  1  x i  x i  к . (1.55) i  N min t max . Из него следует, что дискретизация сигнала t ведет к дискретизации его автокорреляционной функции. При этом сам 40 процесс дискретизации в явном виде на R p   не отражается. Поэтому и использовать эту характеристику для проверки правильности дискретизации не удается. Рассмотрим теперь функцию спектральной плотности мощности S p   . Для её исследования воспользуемся записью R p   через S p   в виде первого уравнения Винера - Хинчина (1.40). Это уравнение выполняется для любых значений  . Выполняется оно и для   к t . Тогда R p  к t   R p  к   1 2   S p   e j  t к d  .  Разобьем бесконечный интервал интегрирования по  на отрезки длиной   2 , t симметрично расположенные относительно начала координат. В этом случае 1 Rp  к   2   l   2 l 1  / 2   2 l 1 S p   e j t к d  . (1.56) /2 Заменой переменной   l    в интегралах (1.56) приведем их все к одному интервалу интегрирования  / 2,  / 2 : 1 Rp  к   2   / 2 l   / 2    S p    l   e j  к t  l  к t  d   .  Отбрасывая штрих у   и учитывая, что e j 2кl  1 при любых к и l, получаем R p k   1 2  / 2    j  к t d .   S p   l  e    / 2  l     (1.57) Это уравнение подобно первому уравнению в системе (1.40) и является аналогом первого уравнения Винера – Хинчина для дискретных сигналов. Величина в квадратных скобках определяет функцию спектральной плотности дискретного сигнала:  S pД    S p   l  . (1.58) l   Она получается путем суммирования бесконечного числа спектральных плотностей непрерывного сигнала, сдвинутых по оси  на l   2 l / t . Уравнение обратного перехода от R p к  к S pД   имеет вид S pД    t   к   R p к e  j k t . 41 (1.59) Из (1.57) следует важное выражение для мощности (дисперсии) дискретного сигнала: 1 P    Rp  0   2 2  2  S pД   d . (1.60)  / 2 Формула (1.58) позволяет проиллюстрировать теорему НайквистаКотельникова. Допустим, что t  tк   /  в . В этом случае   2 / tк  2 в и S pД      l   S p   2 l в  , т.е. суммируются ограниченные по  плотности, сдвинутые на величину, кратную 2 в . При таком сдвиге плотности не перекрываются (они соприкасаются) и их суммирование не вызывает искажение S p   . В основном диапазоне частот   / 2,  / 2 спектральная плотность после дискретизации сохраняют свою форму. Очевидно, при t  tк сдвинутые S p   еще дальше будут отстоять друг от друга и их наложение при суммировании тем более исключается. Таким образом, теорема Найквиста-Котельникова дает нижнюю границу величины t для ограниченных по спектру сигналов. При t  tк сдвинутые плотности перекрываются и их суммирование приводит к искажению исходной функции спектральной плотности. На рис. 1.13., б-г приведены все три рассмотренные случаи дискретизации для идеализированной S p   «треугольной» формы (рис. 1.13, а). Искажение S pД   при t к  t осуществляется за счет потери высокочастотных составляющих, которые не могут пройти через дискретизатор, работающий с частотой f д  f в . При этом отброшенные составляющие с частотами выше  / 2 не просто теряются, а появляются в «зеркальном отражении» в полосе частот ниже  / 2 , искажая низкочастотные составляющие (рис. 1.13, г). Это явление называется маскированием спектра при дискретизации. Объяснить его можно еще и тем, что при идеальной дискретизации потери мощности не происходит, поэтому мощность, численно равная площади под кривой S pД   в полосе частот   / 2,  / 2, должна остаться неизменной и численно равной площади по кривой S p   в полосе   в ,  в  . 42 SР(ω) -3ω / 2 ω - ωв 0 а) ωв -ω / 2 0 ω / 2 0 б) ω / 2 3 ω / 2 ω SРД(ω) -ω / 2 -3ω / 2 - ω / 2 0 ω ω / 2 3ω / 2 ω S (ω) Д Р -ω / 2 -5ω / 2 -3ω / 2 -ω / 2 0 в) 0 ω ω / 2 ω / 2 3ω / 2 5ω / 2 ω 0 ω / 2 ω г) Рис. 1.13. Преобразования функции спектральной плотности -ω / 2 мощности при дискретизации сигнала Пример 1.7 Определить шаг дискретизации для сигнала типа физического белого шума с 43 6,   5 рад / с, S p     0,   5 рад / с. Решение. Так как в  5 рад / с, то t   / в  0,63 с. _______________ . _______________ Пример 1.8 Непрерывный сигнал с 5,    рад / с, S p     0,    рад / с дискретизируется с t  1,5c. Построить и объяснить график S pД   . Решение. Процесс построения S pД   иллюстрирует рис. 1.14. Искажение S pД   на половине основного диапазона 0,  / 2 за счет отражения S p   в низкочастотную область происходит в полосе от  / 3 до 2 3 рад/с. SP(ω) 5 -π ω π 0 5 - 9 π - 7 π - 5 π -π 3 3 3 - π 0π 3 3 SPД(ω) π 5π 3 7π 3 9π 3 11 π ω 3 5 - ω 2π - π 0 π 2π 3 3 3 3 Рис. 1.14. Процесс построения дискретной функции спектральной плотности для сигнала типа физического белого шума _______________ 44 . _______________ Решение задачи выбора t для сигналов с неограниченным спектром основывается на искусственном его ограничении с последующим применением теоремы Найквиста-Котельникова. Ограничение достигается либо использованием аналоговой низкочастотной фильтрации, при которой высокочастотные составляющие удаляются (отфильтровываются) из спектра сигнала, либо аппроксимацией неограниченной S p   ограниченной. Если в качестве количественной меры такой аппроксимации использовать относительную погрешность  s t  , то интервал t можно найти из следующего соотношения: δs  t    2 S p  ω  d ω  δдоп , π P π /t (1.61) где с помощью интеграла описывается доля мощности, приходящаяся на отбрасываемую полосу частот (относительная погрешность аппроксимации), а величиной  доп задается допуск на относительную погрешность. Для случайных сигналов в выражении (1.61) вместо мощности Р необходимо использовать дисперсию  . Аппроксимационный подход эффективен для сигналов, основная часть мощности (дисперсии) в которых сосредоточена в низкочастотной области. К таким сигналам относятся, например, сигналы с функциями спектральной плотности мощности (дисперсии), приведенными в табл. 1.1. При известной S p   задача выбора t в этом случае может быть решена аналитически [48]. Вопросы и задачи для самопроверки 1. Что такое сигнал? 2. Какой сигнал называется каузальным? 3. Какой сигнал называется финитным? 4. Почему реальные сигналы всегда являются каузальными и финитными? 5. Как образуется комплексный сигнал? 6. В чем заключаются особенности комплексного экспоненциального сигнала? 45 7. Докажите, что при z1 t   x1 t   j y1 t  и z2 t   x2 t   j y2 t  справедливы следующие равенства: z1 t   z2 t *  z1* t   z2* t  и z1 t  z2 t *  z1* t  z2* t . 8. Дайте определения детерминированного и случайного сигналов. 9. Какой сигнал считается псевдослучайным? 10. В чем состоят математические отличия между непрерывными и дискретным сигналами? 11. Какая дискретизация называется равномерной? 12. Как сигнал раскладывается на четную и нечетную части? 13. Как определяется постоянная и переменная составляющая сигнала? 14. Почему энергетический подход к сигналам широко распространен на практике? 15. Для каких сигналов средняя мощность и энергия являются аддитивными? 16. Какая ортогональность (по мощности или по энергии) описывает более широкий класс сигналов и почему? 17. Какие сигналы считаются полностью когерентными? 18. В чем геометрический смысл ортогональности двух комплексных сигналов? 19. Как определяется энергетические характеристики дискретных сигналов? 20. Какие сигналы являются суммируемыми с квадратом? 21. С помощью какой характеристики может быть отражена внутренняя энергетическая структура сигнала? 22. В чем состоит отличие функций спектральной плотности энергии и мощности? 23. Докажите, что функции спектральной плотности дают распределение энергии и мощности по частотам. 24. Какие корреляционные функции используются при анализе сигналов? Что они характеризуют? 25. Сформулируйте основные свойства автокорреляционной функции. 26. Почему сигнал с равномерным неограниченным спектром не может существовать на практике? 27. Что называется частотой среза? 46 28. В чем состоит отличие описания случайных сигналов в рамках законов распределения и в рамках корреляционной теории? 29. Какие сигналы называются стационарными? 30. Какой случайный сигнал является эргодическим? 31. Как можно проверить эргодичность сигнала? 32. Какой энергетический смысл имеют статистические характеристики эргодического случайного сигнала? 33. Какие сигналы называются математическим и физическим белым шумом? 34. Почему белый шум называется белым? 35. Что происходит с автокорреляционной функцией при дискретизации сигнала? 36. В чем смысл теоремы Найквиста – Котельникова? 37. Что происходит со спектром сигнала при его дискретизации с частотой, меньшей частоты Котельникова f к 1 / tк ? 38. Построить функцию спектральной плотности дискретного сигнала, получаемого путем дискретизации с интервалом t1  0,5c и t 2  1c непрерывного сигнала с функцией спектральной плотности So при   4 рад / с, S     0 в остальных точках. 39. Как выбирается частота неограниченным спектром? 47 дискретизации для сигналов с ГЛАВА 2 МЕТОДЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ 2.1. Математические модели сигналов При разработке алгоритмов обработки обычно требуется не просто обозначение сигнала, а его аналитическое описание. Форм аналитического представления сигналов, использующих различные математические модели сигналов, широкое множество. Выбор конкретной модели определяется особенностями решаемой задачи обработки. Основным требованием к модели является её адекватность самому сигналу и условиям решаемых задач. Если модель дает приближенное описание сигнала, то учитывается также точность такого описания. Совокупность форм аналитического описания сигналов, основанная на использовании различных функций времени, получила название представления сигналов во временной области. Некоторые из таких форм будут рассмотрены далее в этой главе. Наряду с ними широко применяются и модели, использующие другие области представления сигналов. На таких моделях мы остановимся в §2.7 и в главе 3. Математическими моделями взаимосвязанных сигналов являются функциональные преобразования (или просто преобразования) сигналов. Функциональное преобразование определяет характер функциональной связи двух или нескольких сигналов. В общей форме оно может быть выражено следующей формулой:   F [X], где функциональный оператор F обозначает закон, согласно которому любой совокупности сигналов X может быть поставлена в соответствии определенная совокупность сигналов Y. В частном случае совокупности сигналов X и Y могут содержать по одному сигналу. Оператор F можно рассматривать также в качестве описания алгоритма преобразования сигналов X в сигналы Y. Если оператор F удовлетворяет условиям линейности, то преобразование является линейным, в противном случае оно относится к классу нелинейных преобразований. Условий линейности два: 48 а) аддитивность F x1 t  x2 t   F x1 t  F x2 t  , б) однородность F  x t    F x t  , где  – произвольное число. В том случае, если  – целое число, второе условие по смыслу совпадает с первым, так как   x t    x t . i 1 Оба условия линейности можно объединить в одно равенством: F 1 x1 t  2 x2 t   1 F x1 t  2 F x2 t . Линейными операторами являются умножение на постоянное число, дифференцирование, суммирование и интегрирование: y t    xt  , y t   x1 t   x2 t , d 1 x1 t  2 x2 t  1 d x1 t   2 d x2 t  , dt dt dt   x t   x d t    x t d t    x t d t . 1 1 2 2 1 1 2 2 В тоже время, например, операции логарифмирования и возведения в степень не обладают свойством линейности, так как ln x1 t  x2 t   ln x1 t  ln x2 t , x1 t   x2 t 2  x12 t   x22 t . Нелинейной является, как уже отмечалось ранее, и операция квантования непрерывного сигнала по уровню. Линейные операторы находят широкое применение при решении различных задач, в том числе и задач обработки сигналов. Объясняется это по меньшей мере тремя причинами. Во-первых, многие фундаментальные законы физики являются линейными. Во-вторых, многие задачи могут в первом приближении рассматриваться как линейные. Наконец, последняя и, по-видимому, главная причина распространения линейных задач заключается в сравнительной простоте и доступности методов их решения. Число реально используемых линейных функциональных операторов ограничено. Поэтому не удивительно, что многие алгоритмы обработки сигналов содержат одни и те же операторы интегрирования и суммирования. Примерами линейных преобразований могут служить уже встречавшиеся 49 ранее аналитические зависимости для вычисления автокорреляционных и взаимокорреляционных функций непрерывных и дискретных сигналов. Линейные преобразования не следует путать с линейной зависимостью сигналов, которая образуется с помощью простейших линейных операций – умножения на постоянное число и суммирования: r x t   X 0 0 t   X 11 t     X r  r t    X k  k t . (2.1) k 0 Эта сумма носит название линейной комбинации. Таким образом, сигнал x(t) линейно зависит от сигналов 0 t , 1 t ,  ,  r t , если он может быть представлен в виде линейной комбинации этих сигналов. Величины X (k) являются здесь константами. В простейшем случае мы имеем линейную зависимость двух сигналов x(t) = X t . Здесь X – постоянное число. Перенеся x(t) в правую часть равенства (2.1) и изменив обозначения постоянных коэффициентов, получим новую линейную комбинацию, которая показывает равноправность всех сигналов, входящих в нее: Axt  A00 t   A11 t     Ar  r t   0 . (2.2) Следовательно, можно говорить, что любой из заданных сигналов связан с другими линейной зависимостью. Однако это будет справедливо лишь в том случае, если во всех точках заданного интервала изменения времени линейная комбинация (2.2) не является тривиальной, т.е. хотя бы два коэффициента из ряда A, A(0), A(1), … , A(r) не равны нулю. В противном случае, когда равенство (2.2) удовлетворяется только при A=A(0)=A(1)= … =A(r)=0 , сигналы x(t),  0 t ,1 t ,  , r t  являются линейно независимыми. Примером линейно зависимых сигналов могут служить: xt   4sin  t ,  0 t   2sin  t  cos  t , 1 t   cos  t . Из этих сигналов можно составить нетривиальную линейную комбинацию: xt  2 0 t  21 t  0. Отсюда может быть найдена линейная зависимость сигнала x(t) от  0 t  и 1 t  : 50 xt   2 0 t  21 t . Простейшими примерами линейно независимых сигналов могут служить сигналы t и t 2 , sin  t и cos t . Действительно, в каждой паре один сигнал не может быть получен из другого умножением на постоянное вещественное число или, что то же самое, равенства A 1t  A 2t 2  0 , A 1sin  t  A 2cos  t  0 могут выполняться только при A(1) = A(2) = 0 . Покажем, что всякие ортогональные сигналы x1 (t) и x2 (t) всегда являются линейно независимыми. Для этого сначала допустим, что это не так и существует линейная зависимость x2(t)=Ax1(t) . Посмотрим, при каком условии эти сигналы могут быть ортогональными. Умножим обе части равенства на x1 (t) и проинтегрируем их в пределах интервала tmin  t  tmax , на котором заданы эти два сигнала, t max t max  x t  x t d t  A  1 2 t min x12 t  d t . t min При ортогональности сигналов левая часть этого выражения должна равняться нулю. Так как интеграл от положительной функции x12 t  может быть равен нулю только, если функция равна нулю, то получим условие ортогональности x1 t   0 . Таким образом, наше предположение неверно и ортогональные сигналы x1 t  и x2 t  должны быть линейно независимыми. Может показаться, что если какой-нибудь сигнал y (t) получен из другого сигнала x(t) в результате линейного преобразования, то эти сигналы находятся в линейной зависимости. Но это не так: линейное преобразование не обязательно устанавливает линейную зависимость между образом и прообразом. В качестве примера рассмотрим линейное преобразование, заключающееся в том, что сигнал задерживается на время  : y t   x t  . Пусть такому преобразованию подвергается импульсный сигнал длительностью  и   (рис. 2.1). 51 x(t) 0 y(t) τи t τ Рис. 2.1. Задержка сигнала по времени Сигналы y (t) и x (t) в этом случае не перекрываются во времени, следовательно, они ортогональны и линейно независимы. Рассмотрим задержку другого сигнала x (t) = cos  t , где   2 / T , на время   T / 4 :  T y t   cos   t    sin  t .  4 Здесь линейное преобразование в виде задержки также создало ортогональный, а стало быть, и линейно независимый сигнал по отношению к сигналу x (t). Изменим время задержки и пусть оно будет равно   T / 2. Тогда  T y t   cos   t     cos  t .  2 Теперь x(t) и y(t) – линейно зависимы (и даже когерентны). Следовательно, линейную зависимость сигналов не следует связывать с линейными преобразованиями. Линейная независимость сигналов широко используется при аналитическом описании сигналов. В частности, она лежит в основе интерполирующих и аппроксимирующих многочленов, применяющихся при представлении непрерывных и дискретных сигналов (см. §2.4). 2.2 Динамическое представление сигналов Наиболее простой и известной формой аналитического описания сигналов во временной области является их представление с помощью одной какой-нибудь функции на интервале определения, например, sin, cos, exp и т.п. Однако такой способ не всегда возможен на практике. 52 Более сложным является описание сигнала в виде суммы некоторых элементарных функций, «включаемых» в нужные моменты времени. Такое описание получило название динамического представления и возможно на основе двух видов элементарных разрывных функций: функций единичного скачка и дельта-функций [59]. Рассмотрим эти функции. Функция единичного скачка  t  является разрывной функцией, в точке t = 0 скачком меняющей значение от 0 до +1. В нулевой точке для определенности функцию считают либо непрерывной справа, либо принимают равной полусумме её значений слева и справа от точки разрыва, т.е. принимают равной ½ . Мы будем использовать чаще всего первый вариант, поэтому 0 , t  0 , 1 , t  0 .  t   (2.3) Эту функцию называют еще функцией включения. Такое название объясняется тем, что умножение  t  на какой-либо сигнал равносильно включению этого сигнала в момент времени t = 0. Функцию единичного скачка можно сдвигать по оси времени:  t   . Умножение сигнала на сдвинутую функцию  t   эквивалентно его включению в момент времени t  . С помощью функций единичного скачка достаточно просто описываются импульсные сигналы. Так, например, сигнал, имеющий вид прямоугольного импульса  x , t  t  t2 x t   0 1 0 при остальных t , где x0 – амплитуда импульса, можно записать следующим образом: x t  x0  t  t1    t  t2 . (2.4) Процесс образования сигнала x(t) из двух сдвинутых функций единичного скачка изображен на рис. 2.2. Дельта-функция  t  представляет собой импульс бесконечно малой длительности, имеющий в точке t=0 бесконечно большую амплитуду и площадь, равную единице: 0, t  0 и t  0 ,  , t  0 .  t   53 (2.5) В теории обработки сигналов определение  t  обычно дополняют еще двумя условиями, которые не противоречат её классическому определению, используемому в математике. Этими условиями являются: а) четность:  t     t  , б) единичная средняя мощность на бесконечном интервале времени: 1 T  T lim T /2   t d t  1. 2 T / 2 x(t) x0 0 t1 t2 t x0 σ (t-t1) x0 0 t1 t t2 -x0 - x0 σ (t-t2) Рис. 2.2. Образование импульсного сигнала из двух функций единичного скачка Дельта-функция – это производная от функции единичного скачка, т.е.  t   d t  . Поэтому, если считать функцию  t  выражением некоторого dt сигнала, то дельта-функция  t  является характеристикой скорости изменения этого сигнала. Из-за такого различия в природе  t  и  t  они имеют и различные безразмерной, то  t  размерности: будет иметь если, например, размерность 1/с.  t  является Однако при представлении сигналов широко используют и безразмерную дельта- 54 функцию, хотя, строго говоря, это будет уже другая разрывная функция, по форме совпадающая с дельта-функцией. Дельта-функцию также можно сдвигать по оси времени на произвольный интервал  :  t  . В этом случае особенности функции будут проявляться не в нулевой момент времени, а в момент времени t  . На бесконечном интервале времени мощность дельта-функции считается конечной величиной. В то же время на этом интервале, как и на любом другом, она имеет бесконечную энергию. Две дельта-функции, сдвинутые на разные интервалы времени, всегда ортогональны: 1 T  T lim 0 , 1   2 ,    t   t  d t  1 ,  T /2 1 2 T / 2 1 (2.6)   2. Дельта-функция является каузальным сигналом, так как для нее  t  0 при t < 0. Остановимся теперь на динамическом представлении сигналов. Рассмотрим произвольный сигнал x(t), определенный на полубесконечном интервале [ 0,  ). Заменим этот сигнал его ступенчатой огибающей x i t  с шагом t . Её в свою очередь можно рассматривать как совокупность бесконечного числа соприкасающихся прямоугольных импульсов одинаковой длительности t и с амплитудами x i t  , i = 0, 1, 2, … . Каждый такой импульс в соответствии с (2.4) можно выразить через сдвинутые функции единичного скачка i -й x i t  t  i t    t  i 1t  . Тогда сигнал x(t) можно приближенно записать в виде бесконечной суммы:  xt    x i t  t  i t    t  i 1 t  . (2.7) i 0 Произведем перестановку слагаемых в выражении (2.7) и преобразуем его к следующему виду  x t   x0  t    x i t   xi 1 t  t  i t , i 1 а теперь каждое слагаемое бесконечной суммы в последнем выражении умножим и поделим на величину i t . После этого устремим шаг t к 0. При этом i t будет стремится к x i t  x i 1t  / i t – к производной 55 дифференциалу d , отношение d x  / d , а бесконечная сумма – к интегралу. В результате будет получено такое описание непрерывного сигнала  x t   x 0 t    0 d x   t  d . d (2.8) Это и есть динамическое представление сигнала на основе функций единичного скачка. Для его использования необходимо знание производной сигнала. Вновь вернемся к бесконечной сумме (2.7). Не меняя порядка следования слагаемых в сумме, сразу умножим и разделим каждое из них на величину i t . Затем опять устремим t к 0. В результате предельного перехода получим  xt   x  0 d  t   d . d Учитывая, что производная от функции единичного скачка есть дельтафункция, приходим к динамическому представлению сигнала на основе дельта-функций:  x t   x    t  d  . (2.9) 0 Аналогичную запись можно получить и для сигнала с двухсторонним бесконечным интервалом определения, а также для сигналов с конечными интервалами определения tmin , tmax . Динамическое представление на основе дельта-функций является интегральным представлением непрерывного сигнала через сам сигнал, через его отдельные мгновенные значения. Действительно, для   t из (2.9) получаем   0 0 x t   x t    t  t  d t  x t    0 d t  x t . Следует иметь в виду, что  0 здесь не обозначает значение  t  при t = 0, а обозначает перемещающуюся по оси времени («скользящую») дельтафункцию, у которой разрыв происходит в текущий момент времени t. Левее и правее этого момента  0 везде равна нулю. Поэтому интеграл    0d t , 0 соответствующий площади дельта-функции, равен единице и значения 56 сигналов совпадают. В этом проявляется избирательное свойство дельтафункции. Динамическое представление можно применить и к дискретным сигналам. Для этого необходимо определить дискретную элементарную функцию, которая служила бы аналогом дельта-функции. Такой функцией является единичная дискретная функция 1 при i  0, 0 при i  0.  i    (2.10) При её использовании решетчатый сигнал x(i) на полубесконечном дискретном интервале [0,  ) представляется следующим образом:  x i    x k  i  k . (2.11) k 0 Единичная дискретная функция также обладает избирательным свойством. Для финитных дискретным сигналов верхний предел суммирования в (2.11) будет конечным. Можно получить еще одну форму динамического представления сигнала, использующую обе разрывные функции. Для этого разобьем заданный сигнал x (t), определенный на интервале [0,  ) , на две части: x1 (t) с интервалом [0, t) и x2 (t) с интервалом [t,  ). Очевидно, что x t  x1 t   x2 t . Представим обе части в динамическом виде на основе дельта-функций: t x1 t    x   t   d  , 0  x2 t    x   t   d  . t В сигнале x2 (t) интегрирование можно распространить на всю полуось [0,  ), если подинтегральное выражение умножить на функцию  t   . Тогда, благодаря избирательному свойству дельта-функции, получим x2 t  x t  t  t  x t  0. Здесь  0 также означает скользящую функцию единичного скачка с разрывом в текущий момент времени t, левее которого  0 везде равна нулю, а правее – единице. В результате суммирования сигналов x1(t) и x2(t) приходим к следующему выражению для сигнала x(t): 57 t x t  x t  0   x   t   d  . (2.12) 0 Интегральное представление вида (2.12) носит название интеграла Дюамеля. 2.3 Свертки Динамическое представление на основе дельта-функции является частным случаем более общего описания сигналов с помощью сверток. Свертка представляет собой способ аналитического выражения одного сигнала y (t) через другой сигнал x (t) и для непрерывных финитных сигналов имеет следующий интегральный вид: y t   t max  x   F t  d  , (2.13) t min где F t   может являться либо некоторой математической функцией, либо сигналом. В последнем случае с помощью свертки один сигнал выражается через два других сигнала. Свертка в виде (2.13) удовлетворяет всем аксиомам линейности и поэтому является не только способом аналитического описания сигналов, но и линейным преобразованием сигналов. Свойства такого преобразования полностью определяются его ядром F t   . Смысл преобразования типа интегральной свертки можно пояснить следующим образом. Она описывает математическую операцию, которая состоит в том, что сигнал x (t) «развертывается» во времени с помощью функции (другого сигнала) F t   . Другими словами, в каждый момент времени t функция x (t) просматривается через неоднородное «окно», которое движется с постоянной скоростью вдоль оси  . Неоднородность окна определяется законом изменения ядра F   . Если F (  )=    , то таким окном будет бесконечно узкая щель. Рассматривая через нее сигнал x   мы будем в каждый момент   t видеть только значение сигнала x (t), поэтому в этом случае y (t) = x (t). В этом проявляется избирательное свойство дельтафункции. В тех случаях, когда ядро F   будет иметь ненулевые значения и в других точках, преобразование дает другой результат, так как значение сигнала y (t) будет определяться не только значением сигнала x (t) в момент 58   t , а и его предыдущими значениями. Это уже преобразование с памятью – оно учитывает не только настоящее сигнала, но и его прошлое. Если ядро свертки является сигналом, то свертка становится подобной взаимокорреляционной функции по энергии. Различие состоит только в направлении временного сдвига. При F   x   свертка подобна автокорреляционной функции. С математической точки зрения функции x   и F   в (2.13) равноправны, поэтому справедлива и такая запись интегральной свертки: y t   t max  F   x t  d  . (2.14) t min Для комплексных сигналов свертка определяется следующим образом: y t   t max  x t  F t  d  ,  (2.15) t min где F  t   есть комплексная функция, комплексно сопряженная с функцией F t   . Операция интегральной свертки при бесконечном интервале интегрирования    ,   обладает свойствами, которые во многом сходны с свойствами операции умножения в обычной алгебре, поэтому её для краткости можно обозначать символом, напоминающим символ умножения: y t   x t  F t . (2.16) Она удовлетворяет свойствам - распределительности: x1 t x2 t   x3 t   x1 t  x2 t   x1 t  x3 t , - ассоциативности: x1 t   x2 t   x3 t   x1 t  x2 t  x3 t  , - коммутативности: x1 t   x2 t   x2 t   x1 t  . Здесь x1 (t), x2 (t), x3 (t) – произвольные сигналы с одним интервалом определения (   ,  ). В случае конечного интервала интегрирования свойства ассоциативности и коммутативности для свертки в общем случае не выполняются. 59 Свертка двух сигналов обладает определенной симметрией. Если из двух сигналов оба являются четными или нечетными, то их свертка всегда есть четная функция времени: x1 t  x2 t  x1  t  x2  t . Если же один из сигналов – четный, а другой – нечетный, то их свертка всегда есть нечетная функция времени: x1 t  x2 t  x1  t  x2  t   x1  t  x2  t . Для сигналов x1 (t) и x2 (t), представленных в виде суммы четной и нечетной частей: x1 t   x1ч t   x1н t , x2 t   x2ч t   x2 н t , их свертка равна x1  t   x2  t    x1ч  t   x2ч  t     x1ч  t   x2 н  t     x1н  t   x2ч  t     x1н  t   x2 н  t  . Из этого соотношения следует, что свертка сигнала со своим зеркальным отображением на любом интервале времени равна x  t   x  t    xч  t   xч  t     xн  t   xн  t   . Такая свертка – четная функция времени, так как она образуется путем суммирования четных функций. Для дискретных сигналов с бесконечным интервалом определения свертка имеет вид следующего линейного оператора: y i     x k  F i  k   k     F k  x i  k . (2.17) k   Для финитных дискретных сигналов различают два типа дискретных сверток: круговую и линейную. Круговая свертка решетчатых сигналов с интервалом определения [0, N) равна N 1 N 1 k 0 k 0 y i    x  k  F i  k    F  k  x i  k  , i  0, 1, , N 1 (2.18) и содержит конечное число значений. При её вычислении сигнал x (i) и ядро F(i) вне интервала определения искусственно периодически продолжаются. Поэтому свертка определяет свертку сигналов, как бы заданных в N равноотстоящих точках на окружности. Отсюда следует и название такой свертки. В силу периодического доопределения финитных сигналов её еще называют и периодической (циклической). Если сигнал x(i) и функция ядра 60 F(i) изначально являются периодическими с периодом N, то специальное доопределение сигналов не требуется. Круговой (циклический) сдвиг отсчетов F(i-k) или x(i-k) в (2.18) можно математически отразить заменой операции обычного вычитания индексов i и k операцией их вычитания по модулю N, т.е. (i-k) (mod N), которая выполняется по правилу i  k при i  k   0 ,  N  i  k при i  k   0 . i  k mod N   Тогда круговую свертку финитных сигналов можно вычислить по формуле N 1 N 1 k 0 k 0 y i    x k  F i  k  mod N    F k  x i  k  mod N  . Смысл дискретной круговой свертки можно пояснить также, как смысл свертки непрерывных сигналов. В каждый момент дискретного времени i сигнал x(i) просматривается через решетчатое «окно», которое скользит вдоль оси i. Для периодических сигналов ось i – дискретная прямая, а для непериодических финитных – окружность. Форма решетчатого окна определяется функцией ядра F (i). Пример 2.1. Вычислить круговую свертку финитного сигнала x(i) = {x(0), x(1)} с ядром F(i) = {F(0), F(1)}. Решение. В соответствии с уравнением (2.18) получаем y(0) = x(0) F(0) + x(1) F(-1) = x(0) F(0) + x(1) F(1); y(1) = x(0) F(1) + x(1)F(0). При вычислении y(0) учтено, что F(-1) = F(1) из-за периодического продолжения функции ядра. _______________ . _______________ Линейной (апериодической) сверткой финитного сигнала x(i) с интервалом определения [0, N1) и решетчатой функции ядра F(i), определенной на интервале [0, N2) называется сигнал y(i), вычисляемый по формулам: i i k 0 k 0 y i    x (k ) F i  k    F k  x i  k , i  0, 1,  , N1  N 2  2 . (2.19) Сигнал y(i) также является финитным сигналом и определен на интервале из N1 + N2 –1 точек. При расчетах по формулам (2.19) значения сигнала x(i) и ядра F(i) вне их интервалов определения принимаются равными нулю. 61 Пример 2.2. Для сигнала x(i) = {x(0), x(1), x(2)} и функции F(i) = {F(0), F(1)} найти линейную свертку y(i), i=0, 1, 2, 3. Решение. Выполняя вычисления по формуле (2.19), получим: y(0) = x(0) F(0); y(1) = x(0) F(1) + x(1)F(0); y(2) = x(0) F(2) + x(1) F(1) + x(2) F(0) = x(1) F(1) + x(2) F(0); y(3) = x(0) F(3) + x(1) F(2) + x(2) F(1) + x(3) F(0) = x(2) F(1). При расчетах учтено, что в силу финитности x(i) и F(i) их значения x(3), F(2) и F(3) равны нулю. _______________ . _______________ Линейную свертку можно выразить через круговую. Поступим следующим образом. Доопределим сигнал x(i) и функцию ядра F(i) нулевыми значениями до интервала [0, N1+N2-1), т.е. получим сигнал x1(i) и функцию F1(i):  x i  при i  0,1,, N1 1, x1 i    при i  N1 , N1  1,, N1  N 2  2 , 0 (2.20) F i  при i  0, 1,  , N 2  1, F1 i    при i  N 2 , N 2  1,  N1  N 2  2. 0 (2.21) Теперь запишем для них круговую свертку y i   N1  N 2  2  x k  F i  k , i  0, 1,  , N k 0 1 1 1  N 2  2. (2.22) Эта свертка и будет равна линейной свертке сигнала x(i) и функции F(i). Пример 2.3. Для условия примера 2.2 вычислить линейную свертку через круговую. Решение. Для этого примера x1(i) = {x(0), x(1), x(2), 0} , F1(i) = {F(0), F(1), 0, 0}. Их круговая свертка будет равна: y(0) = x1(0)F1(0) + x1(1)F1(3) + x1(2)F1(2) + x1(3)F1(1) = x(0)F(0); y(1) = x1(0)F1(1) + x1(1)F1(0) + x1(2)F1(3) + x1(3)F1(2) = x(0)F(1) + x(1)F(0); y(2) = x1(0)F1(2) + x1(1)F1(1) + x1(2)F1(0) + x1(3)F1(3) = x(1)F(1) + x(2)F(0); y(3) = x1(0)F1(3) + x1(1)F1(2) + x1(1)F1(2) + x1(2)F1(1) + x1(3)F1(0) = x(2)F(1). Результаты этого примера совпадают с результатами примера 2.2. _______________ . _______________ На первый взгляд представление линейной свертки через круговую является неэкономичным в вычислительном плане, т.к. увеличивает число тривиальных умножений на ноль. Однако для вычисления круговых сверток известен целый ряд так называемых «быстрых» алгоритмов, сокращающих 62 объем вычислений по сравнению с прямым методом расчета по формулам (2.18). Сведение линейной свертки к круговой дает возможность использовать эти алгоритмы и получать в итоге общую экономию вычислительных операций. Быстрые алгоритмы вычисления сверток будут рассмотрены в главе 6. В ряде прикладных задач (например, при фильтрации сигналов) свертываемый сигнал имеет число отсчетов, значительно превосходящее число отсчетов функции ядра. Если в этом случае вычисление свертки начинать только после поступления всех отсчетов обрабатываемого сигнала, то в обработке возникает большое запаздывание, связанное с накоплением этих отсчетов. Это запаздывание можно существенно сократить, если представить длинную свертку в виде совокупности более коротких, что позволит начинать процесс вычисления свертки, не дожидаясь всех значений сигнала. Существует два метода представления длинных сверток в виде совокупности коротких, основанных на разбиении сигнала с большим числом отсчетов на секции с малым числом отсчетов. Они получили название методов перекрытия с суммированием и перекрытия с накоплением. Метод перекрытия с суммированием. Пусть сигнал x(i) определен на интервале из N1 точек, а функция ядра F(i) – на интервале из N2 точек, причем N1 >> N2. Разобьем сигнал x(i) на смежные соприкасающиеся секции xm(i) длиной по N3 отсчетов (для простоты будем считать, что N1 нацело делится на N3, в противном случае последнюю секцию нужно дополнить нулями):  x i  при mN3  i  m  1 N3  1, xm i    0 при остальных i . Так как xm(i) не перекрываются, то исходный сигнал x(i) может быть представлен их суммой n x  i    xm  i  , m 1 n  N1 / N 3 и линейная свертка x(i) c F(i) будет равна: i i k 0 k 0 y i    xk  F i  k    n n  xm k  F i  k    m 1 i m 1 k  0 63 n  xm k  F i  k    ym i . m 1 В этом выражении ym(i) представляет собой линейную свертку m-й секции сигнала x(i) с ядром F(i). Назовем такую свертку частной сверткой. Так как длина частных сверток для каждой секции равна N2+N3-1 отсчетов, то две соседние частные свертки на участке в N2+N3-1-N3 = N2-1 отсчетов перекрываются. В соответствии с формулой (2.23) их следует просуммировать. Отсюда и вытекает используемое название метода. Пример 2.4. Вычислить линейную свертку сигнала x(i) = {1, 2, 1, 2, 1, 1} c N1=6 и функции ядра F(i) = {2, 1} c N2=2 методом перекрытия с суммированием. Решение. Сначала найдем свертку прямым методом по формуле (2.19): y(0) = x(0)F(0) = 1·2=2; y(1) = x(0)F(1) + x(1)F(0) = 1·1+2·2 = 5; y(2) = x(0)F(2) + x(1)F(1) + x(2)F(0) = 1·0+2·1+1·2 = 4; y(3)=x(0)F(3)+x(1)F(2)+x(2)F(1)+x(3)F(0)=1·0+2·0+1·1+2·2=5; y(4) = x(0)F(4) + x(1)F(3)+ x(2)F(2) + x(3)F(1) + x(4)F(0) =1·0+2·0+1·0+ 2·1+1·2 = 4; y(5) = x(0)F(5) + x(1)F(4) + x(2)F(3) + x(3)F(2) + x(4)F(1) + x(5)F(0) = 1·0+2·0+1·0+2·0+1·1+1·2 = 3; y(6) = x(0)F(6) + x(1)F(5) + x(2)F(4) + x(3)F(3) + x(4)F(2) + x(5)F(1) + x(6)F(0) = 1·0+2·0+1·0+2·0+1·0+1·1+0·2= =1. Таким образом y(i) = {2, 5, 4, 5, 4, 3, 1}. Теперь вычислим свертку методом перекрытия с суммированием. Выберем N3=3. Тогда x1(i) = {1, 2, 1}, x2(i) = {2, 1, 1}. Найдем частные свертки: y1(0) = x1(0)F(0) = 1·2=2; y1(1) = x1(0)F(1) + x1(1)F(0) = 1·1+2·2= = 5; y1(2) = x1(0)F(2) + x1(1)F(1) + x1(2)F(0) = 1·0+2·1+1·2 = 4; y1(3) = x1(0)F(3) + x1(1)F(1) + x1(2)F(1) + x1(3)F(0) = 1·0+2·0+1·1+0·2 = 1; y2(0) = x2(0)F(0) = 2·2 = 4; y2(1) = x2(0)F(1) + x2(1)F(0) = 2·1+1·2 = 4; y2(2) = x2(0)F(2) + x2(1)F(1) + x2(2)F(0) = 2·0+1·1+1·2 = 3; y2(3) = x2(0)F(3) + x2(1)F(2) + x2(2)F(1) + x2(3)F(0) = 2·0 + 1·0 + 1·1 + 0·2 = 1. Итак, y1(i) = {2, 5, 4, 1}, a y2(i) = {4, 4, 3, 1}. Участок перекрытия составляет N2 –1 = 2-1 = 1 отсчет. Поэтому y(i) = {2, 5, 4, (1+4), 4, 3, 1} = {2, 5, 4, 5, 4, 3, 1}. Этот результат совпадает с результатом прямого расчета свертки. _______________ . _______________ Метод перекрытия с накоплением. В этом случае сигнал x(i) разбивается на перекрывающиеся секции xm(i) длиной из N3 отсчетов, причем участок перекрытия соседних секций составляет (N2 -1) отсчетов. Функцию ядра F(i), определенную в N2 точках, дополняют нулями до длины в N3 64 отсчета и вычисляют все частные круговые свертки. В силу циклического характера круговых сверток только последние N3 – N2 +1 значений каждой частной свертки будут являться верными значениями искомой линейной свертки, тогда как первые их N2 –1 значений неверны и должны быть отброшены, поскольку соответствуют перекрывающимся участкам. Последовательным присоединением (накоплением) правильных отсчетов получается вся результирующая свертка. Ненайденные N2 –1 первые её значения вычисляются прямым методом. Если при секционировании x(i) для последней секции не хватает отсчетов сигнала, то она дополняется нулями. Пример 2.5. Для условия примера 2.4 вычислить линейную свертку методом перекрытия с накоплением. Решение. Выберем N3 =3 и из сигнала x(i) получим следующие три секции: x1(i) = {1, 2, 1}, x2(i) = {1, 2, 1}, x3(i) = {1, 1, 0}, пересекающиеся на участке в N2 –1 = 2-1 = 1 отсчет, причем последняя секция дополнена одним нулем. Функцию F(i) также дополним нулем: F(i) = {2, 1, 0}. Найдем частные круговые свертки: y1(0) = y2(0) = x1(0)F(0) + x1(1)F(2) + x1(2)F(1) = 1·2 + 2·0 + 1·1 = 3; y1(1) = y2(1) = x1(0)F(1) + x1(1)F(0) + x1(2)F(2) = 1·1 + 2·2 + 1·0 = 5; y1(2) = y2(2) = x1(0)F(2) + x1(1)F(1) + x1(2)F(0) = 1·0 + 2·1 + 1·2 = 4; y3(0) = x3(0)F(0) + x3(1)F(2) + x3(2)F(1) = 1·2 + 1·0 + 0·1 = 2; y3(1) = x3(0)F(1) + x3(1)F(0) + x3(2)F(2) = 1·1 + 1·2 + 0·0 = 3; y3(2) = x3(0)F(2) + x3(1)F(1) + x3(2)F(0) = 1·0 + 1·1 + 0·2 = 1. Отбрасывая в них первые значения, из остальных можно сформировать шесть последних значений искомой линейной свертки: y(i) = {?, 5, 4, 5, 4, 3, 1}. Ненайденное нулевое значение y(0) можно вычислить по общей формуле линейной свертки: y(0) = x(0)F(0) = 2. В итоге будет получена полная свертка y(i) = {2, 5, 4, 5, 4, 3, 1,}. Она совпадает с результатом предыдущего примера. _______________ . _______________ Рассмотренные методы секционирования сверток находят применение также при разработке быстрых алгоритмов вычисления многоточечных сверток, т.е. сверток сигналов с большим числом отсчетов. 65 2.4. Интерполяция, аппроксимация и экстраполяция сигналов Возможна еще одна форма аналитического описания сигналов, использующая линейную комбинацию типовых функций. В этом случае сигнал представляется многочленом времени  x t    X k  k t  , (2.24) k 0 где X(k) – постоянные коэффициенты, а  k t  – некоторые известные функции, составляющие упорядоченную систему {  k t  }. Упорядоченность функций подразумевает наличие у них какого-то признака (номера, показателя степени и т.п.), по которому можно отличить предыдущую функцию в системе от последующей. Представление сигнала в виде (2.24) называют его разложением по системе функций {  k t  }. Ограничение числа членов многочлена (2.24) до r+1 приводит к приближенному разложению сигнала r x t   xr t    X k  k t . (2.25) k 0 В зависимости от того, как производится приближенное представление вида (2.25), оно называется интерполяцией или аппроксимацией. Различие между ними заключается в следующем. . . ..... tmin t0 t1 t2 x(t) xr(t) tr tmax t Рис. 2.3. Интерполяция сигнала При интерполяции (рис. 2.3) требуется найти функцию xr(t), т.е. совокупность её коэффициентов {X(k)}, так чтобы она совпадала со значениями сигнала x(t) в заданных r+1 точках: t0, t1, … , tr , называемых узлами интерполяции. При аппроксимации (рис. 2.4) такие точки не задаются и требуется найти функцию xr(t), которая на заданном интервале [tmin , tmax) 66 наименее отклоняется от x(t). По этой причине аппроксимацию сигнала называют еще его приближением. н На практике задачи интерполяции и аппроксимации возникают, если сигнал x(t) получен экспериментально и задан в виде таблицы или графика, а также в том случае, когда сигнал задан в виде сложного аналитического выражения и для упрощения решения задачи целесообразно представить его в виде линейной комбинации (2.25). Кроме того, интерполяция сигналов широко используется при восстановлении непрерывных сигналов по их дискретным значениям. Для определения коэффициентов X(k) многочлена (2.25) интерполяции необходимо составить систему из r +1 уравнений: при r x t0   xr t0    X k  k t0  , k 0 r x t1   xr t1    X k  k t1  , k 0 ........ ........ (2.26) ........ r x tr   xr tr    X k  k tr  . k 0 Системы функций {  k t  } могут быть самыми различными, однако задача интерполяции значительно упрощается, если система {  k t  } состоит из линейно независимых функций. На практике широкое распространение получили системы степенных функций (полиномиальная интерполяция) и тригонометрических функций (гармоническая интерполяция). В первом случае используется многочлен вида r xr t    X k t k . (2.27) k 0 Этот многочлен, удовлетворяющий системе уравнений (2.26), носит название интерполяционного полинома Лагранжа. Если узлы интерполяции находятся на равном расстоянии друг от друга, то полином Лагранжа превращается в более простой интерполяционный полином Ньютона. Наконец, при неограниченном увеличении числа узлов интерполяции ( r   ) полином Ньютона в пределе превращается в сходящийся степенной ряд Тейлора, сумма которого xr(t) будет совпадать с x(t) во всех точках заданного интервала времени [tmin , tmax). Следует, однако, отметить, что такое разложение сигнала возможно только в том случае, если на заданном 67 промежутке времени сигнал x(t) является аналитическим, т.е. если его можно не ограниченно дифференцировать. При гармонической интерполяции соответствующий многочлен имеет вид r xr t    a k cos  k t  k . (2.28) k 0 С его помощью можно произвести интерполяцию сигнала x(t) на 2r+1 узлах интерполяции. Действительно, выражение (2.28) можно представить в виде r xr t   a 0     Ak  cos  k t  Bk sin  k t , (2.29) k 1 где Ak   ak cos k ; Bk   a(k ) sin  k . В этом многочлене 2r + 1 неизвестных коэффициентов и для их определения необходимо составить уравнения для того же количества узлов интерполяции. При равноотстоящих узлах интерполяции и неограниченном возрастании их числа ( r   ) этот многочлен переходит в тригонометрический ряд Фурье. В заданном интервале времени [tmin , tmax) ряд Фурье дает точное описание сигнала на участках его непрерывности. В этом случае говорят, что ряд xr(t) сходится на интервале [tmin , tmax) к сигналу x(t). Такое представление можно получить не всегда, а лишь в том случае, когда сигнал удовлетворяет так называемым условиям Дирихле или другим более легким условиям. Подробнее эти условия будут рассмотрены в § 3.2. xr(t) x(t) tmin tmax t Рис. 2.4. Аппроксимация сигнала При аппроксимации сигналов коэффициенты многочлена находятся из условия минимизации критерия приближения. Критерии приближения могут быть разными, так как в выражение «наименьшее отклонение» или «наилучшее приближение» можно вкладывать самый различный смысл. Важнейшей характеристикой аппроксимации является её точность. Поэтому, 68 если в качестве количественной меры аппроксимации использовать абсолютную погрешность t   xt  xr t  или её дисперсию t max t max min min 1 1  2    2 (t ) dt   Tt Tt  x(t )  X (k )    2 r k 0 k  (t ) dt ,  (2.30) то на их основе можно сформировать по меньшей мере три критерия аппроксимации. При первом из них требуют, чтобы абсолютная погрешность аппроксимации равнялась нулю на всем интервале [tmin , tmax), кроме отдельных его точек. Такая аппроксимация получила название приближения почти всюду и возможна далеко не всегда. При втором критерии выдвигается требование, чтобы максимальная величина абсолютной погрешности аппроксимации была минимальной в заданном интервале времени [tmin , tmax) по сравнению с такого же рода величиной при любом другом выборе коэффициентов многочлена xr(t): max t   min . tmin  t  tmax (2.31) Этот вид аппроксимации носит название равномерного приближения или приближения по минимаксному критерию. Теория равномерного приближения была создана Чебышевым. Им доказано, что при равномерном приближении многочленом r-го порядка (2.25) погрешность t  будет отклоняться на интервале [tmin , tmax) от нуля попеременно то в одну, то в другую сторону r +2 раз, причем все максимальные отклонения этой погрешности будут одинаковы (рис. 2.5) и принадлежать r +2 последовательно расположенным временным точкам (точкам альтернанса) интервала определения. 69 x(t) (t)max xr(t) (t)max tmin tmax t Рис. 2.5. Равномерная аппроксимация сигнала Как правило, аналитически многочлен равномерного приближения определить невозможно. Наиболее эффективным методом численного решения задачи чебышевской аппроксимации является алгоритм Ремеза [18, 19, 45]. Суть этого алгоритма сводится к последовательной модификации коэффициентов аппроксимирующего многочлена до тех пор, пока с заданной степенью точности не оказываются выполненными условия Чебышева. Более подробно алгоритм Ремеза будет рассмотрен в главе 8 применительно к задаче синтеза избирательных фильтров. Смысл третьего вида аппроксимации состоит в минимизации дисперсии (или среднеквадратической погрешности), которая соответствует мощности погрешности аппроксимации:  2  min . (2.32) Такая аппроксимация носит название приближения в среднеквадратическом. Иногда её называют приближением в среднем. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае приближение в среднем соответствует минимизации другого критерия, а именно, средней погрешности аппроксимации: 1 T t max  t  dt  min . t min Для сигналов с бесконечным интервалом определения вместо приближения в среднеквадратическом может быть использовано приближение по энергии погрешности с критерием 70 t max lim T    t dt  min . 2 t min При конечном интервале определения сигнала приближение по энергии погрешности не отличается от среднеквадратического приближения. Поэтому их оба часто называют приближением в среднеквадратическом. Приближение в среднеквадратическом широко распространено на практике. Объясняется это тем, что критерии мощности или энергии погрешности учитывают интегральный эффект – погрешность, накопленную на интервале определения сигнала, а накопление погрешности свойственно многим техническим системам. В ряде приложений критерий мощности или энергии лучше соответствует физическому смыслу изучаемых явлений. Наконец, и это может быть самое главное, теория, основанная на критериях мощности или энергии погрешности, хорошо развита и имеет наиболее простой вид. Эта теория включает ряд методов, позволяющих определять коэффициенты аппроксимирующего многочлена. Наиболее известным из них является метод наименьших квадратов, в котором выполнение условия (2.32) достигается нахождением коэффициентов X(k) путем решения следующей эквивалентной системы алгебраических уравнений: r  X k  k 0 1 T tmax   m t  k t dt  tmin t 1 max  xt  m t dt , m  0,1,, r . T tmin (2.33) Уравнения этой системы получаются в результате дифференцирования выражения для дисперсии (2.30) по каждому искомому коэффициенту X(m), m = 0, 1, … , r и приравнивания полученного результата нулю. При известных функциях {  k t  } задача аппроксимации в соответствии с (2.33) становится чисто вычислительной задачей. Её решение упрощается, если для приближения используются многочлены, основанные на системе линейно-независимых функций, например, степенные и тригонометрические многочлены. Важно отметить, что при повышении порядка аппроксимирующего многочлена приближение не всегда улучшается, однако, если функции  k t  удовлетворяют дополнительному условию ортогональности 71 t 0 , k  m , 1 max  k t  m t  dt    T t min  Pk , k  m , (2.34) где Pk есть мощность k-ой функции: t 1 max Pk    k2 t  dt , T t min (2.35) то с увеличением r погрешность аппроксимации всегда уменьшается. При этом многочлен xr(t) приближается к аппроксимируемому сигналу и при r   совпадает с ним в смысле принятого критерия сходимости. Наряду с рассмотренными критериями в математике известны и другие критерии и виды аппроксимации [6, 59]. Задачу аппроксимации можно поставить и решить и для дискретных сигналов. В этом случае функции многочлена также должны быть дискретными {  k i  } и их моменты отсчетов должны совпадать с моментами отсчетов самого сигнала. При этом аппроксимирующий многочлен также становится дискретным r xr i    X k  k i , (2.36) k 0 а два последних критерия аппроксимации принимают следующий вид: max xi   xr i   min , 0i  N 1 N 1  xi  x i  2 r i 0  min . (2.37) (2.38) Процедура решения задач дискретной аппроксимации фактически не изменяется по сравнению с процедурой решения задач аппроксимации непрерывных сигналов, только операция интегрирования заменяется на операцию суммирования. Так при использовании метода наименьших квадратов решение задачи дискретной среднеквадратической аппроксимации получается из решения следующей системы алгебраических уравнений: r N 1 N 1 k 0 i 0 i 0  X k  m i  k i    xi  m i , m  0,1,, r , (2.39) являющейся дискретным аналогом системы (2.33). В рассмотренной постановке аппроксимация обеспечивала одинаковую точность приближения на всем интервале определения сигнала. Если же точность приближения на различных участках интервала определения 72 должна быть разной, то это достигается введением специальной неотрицательной весовой функции qt  (для непрерывных сигналов) или qi  (для дискретных сигналов) и следующей записью критериев аппроксимации: при непрерывной аппроксимации: max qt  xt   xr t   min , tmin  t  tmax 1 T t max  q t xt   x t  r 2 dt  min , (2.40) (2.41) t min при дискретной аппроксимации: max q i  xi   xr i   min , 0  i  N 1 N 1  qi xi   x i  2 r i 0  min . (2.42) (2.43) Общий принцип задания значений весовой функции состоит в следующем: чем точнее должна выполняться аппроксимация на конкретном участке интервала определения, тем большее значение должна принимать весовая функция на этом участке. При чебышевской аппроксимации для отдельных j-х участков интервала времени задаются значения абсолютных погрешностей j такие, чтобы на этих участках выполнялось неравенство xt  xr t   j для непрерывной аппроксимации, либо неравенство xi  xr i   j для дискретной аппроксимации. Тогда для каждого j-го участка весовая функция принимается равной R / j , где R – произвольная константа (нормирующий множитель), общая для всех участков интервала определения. Пример 2.6. Определить весовую функцию непрерывной аппроксимации при 1 = 0,1;  2 = 0,01;  3 = 0,001. Решение. Примем R = 0,1, тогда при tmin  t  t1 , 1  q  t   10 при t1  t  t2 , 100 при t  t  t . 2 max  73 Здесь моменты времени t1 и t2 являются граничными для трех участков интервала определения: [tmin , t1) ; [ t1, t2) ; [t2 , tmax). _______________ . _______________ Сигнал с конечным интервалом определения может быть задан только в пределах этого интервала. Для определения значений сигнала вне интервала его необходимо экстраполировать. К экстраполяции относят также прогнозирование сигнала, т.е. определение будущих значений сигнала по его текущему и предыдущим значениям. Точное решение задачи экстраполяции невозможно, поскольку вне конечного интервала определения сигнал не известен. Для её приближенного решения используются гипотезы (предположения) о законе изменения сигнала во времени вне заданного временного интервала. Естественной гипотезой является предположение о том, что вне интервала определения сигнал сохраняет тот же закон изменения, что и внутри интервала. В этом случае при известном законе изменения экстраполяция сигнала не вызывает трудностей. Если же закон изменения сигнала заранее не известен либо сложен, то задача экстраполяции совмещается с задачей аппроксимации. При этом с помощью аппроксимации определяется закон изменения сигнала в виде аппроксимирующего многочлена, а затем осуществляется его экстраполяция на любой момент времени  вне интервала определения: r x    X k  k   . (2.44) k 0 Рассматривая интерполяцию, аппроксимацию и экстраполяцию, мы говорили преимущественно о сигналах. Однако эти операции можно применять и к математическим функциям, не являющимися сигналами, в том числе и к характеристикам сигналов. Интерполяционный, аппроксимирующий и экстраполирующий многочлены удовлетворяют всем аксиомам линейности, поэтому их тоже можно отнести к классу линейных преобразований. 2.5. Матричное представление дискретных сигналов и их преобразований Каждый отсчет дискретного сигнала является вещественным либо комплексным числом. Финитный дискретный сигнал содержит конечный 74 набор таких чисел. В математике существует ряд способов компактного описания совокупности однородных элементов. Одним из них, находящим широкое применение в цифровой обработке, является матричное представление. Приведем основные сведения из теории матриц и проиллюстрируем возможности этой теории при описании дискретных сигналов и их линейных преобразований [6, 9, 16]. Прямоугольной матрицей А размера m  n или m  n матрицей называется таблица чисел, над которыми выполнимы и однозначны операции сложения, вычитания, умножения и деления на ненулевое число: a11 a12  a1n  a a  a  2n  . A   21 22       am1 am 2  amn  Числа таблицы, составляющие матрицу, называются её элементами. Каждый элемент может быть представлен в двухиндексном обозначении aij, где первый индекс i всегда указывает номер строки таблицы, а второй индекс j – номер её столбца, на пересечении которых расположен данный элемент. Поэтому возможно и более простое обозначение матрицы A= [aij] , i  1, 2,, m ; j  1, 2,, n. При m=n матрица называется квадратной, а при n=1 или m=1 она вырождается соответственно в матрицу-столбец или матрицу-строку и отображает одномерный массив (вектор) чисел. Каждой квадратной матрице An порядка n соответствует определитель A , образованный из её элементов a11 a12  a1n A a21 a22  a2 n    . an1 an 2  ann Математически определитель представляет собой число, образованное из элементов матрицы по следующим правилам: Определитель n-го порядка равен алгебраической сумме n! членов; Каждый член представляет собой произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца таблицы определителя; Член берется со знаком плюс, если перестановки, образованные первыми и вторыми индексами элементов aij, входящих в произведение, 75 одинаковой четности (либо обе четные, либо обе нечетные) и со знаком минус в противоположном случае. Определители обладают рядом примечательных свойств, основными из которых являются следующие. 1. Если поменять местами строки и столбцы определителя, то определитель не меняется. Поэтому, если известно какое-либо свойство определителя, относящееся к его строкам, то оно будет справедливо и по отношению к его столбцам. По этой причине нижеприведенные свойства определителя сформулированы только относительно его строк. 2. При перестановке двух строк определитель меняет знак. 3. Если все элементы какой-либо строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю. 4. Общий множитель всех элементов строки определителя можно вынести за знак определителя. 5. Если все элементы некоторой строки определителя пропорциональны соответствующим элементам другой строки, то определитель равен нулю. 6. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, такие же, как и в данном определителе, а i-я строка в первом определителе состоит из первых слагаемых, а во втором – из вторых слагаемых; это свойство распространяется и на случай, когда каждый элемент i-й строки определителя есть сумма k слагаемых (k  2). 7. Если к строке определителя прибавить линейную комбинацию нескольких других его строк (сумму произведений на произвольные числа), то определитель не меняется. 8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других его строк, то определитель равен нулю. Обратно, если определитель n-го порядка (n  2) равен нулю, то одна из его строк есть линейная комбинация других строк. 9. Определитель A  aij равен сумме произведений всех элементов какой-либо его строки на их алгебраические дополнения Aij n A   aij Aij , i  1, 2,, n . j 1 76 При этом алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется число Aij   1 i j M ij , где Mij является минором элемента aij , который представляет собой определитель (n-1) – го порядка, полученный из определителя A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент aij. 10. Сумма произведений всех элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю: n a ij j 1 Aij  0 , j  i . Равенства, отражающие свойства 9 и 10 определителей, можно объединить, если использовать символ Кронекера 1, если i  j 0 , если i  j .  ij   Тогда n a j 1 ij Aij   ij A . 11. Произведение определителей |A| и |В| одного и того же порядка n равно определителю |C| того же порядка: |C|=|A|·|B|. Квадратную матрицу порядка n, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю a11 0  0  0 a  0  22  An         0 0  a nn  называют диагональной. Диагональная матрица, у которой все ненулевые элементы aii = 1, называется единичной. Единичная матрица в теории матриц играет ту же роль, что и единица в теории чисел. Эта матрица часто используется в матричном исчислении, поэтому введем для нее специальное обозначение: 77 1 0 I    0 0  0 1  0  .    0  1 Если у матрицы A строки и столбцы поменять местами, то полученную матрицу AT называют транспонированной. Очевидно, что aijТ  a ji . Матрицы с комплексными элементами, в которых при транспонировании элементы еще заменяются на комплексно-сопряженные, называются сопряженными Ac. Для таких матриц aijc  aji . Здесь, как и ранее, символ  означает комплексно-сопряженную величину. Если матрица А имеет размер m n , то матрицы АT и Ac имеют размер n  m . Для квадратных матриц значения их определителей при транспонировании не меняются. Если квадратная матрица An совпадает со своей транспонированной (An = ATn), то такая матрица называется симметрической. Если же квадратная матрица An совпадает со своей сопряженной матрицей Acn (An = Acn ), то она называется эрмитовой. Квадратная матрица An называется верхней треугольной (нижней треугольной), если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю (над главной диагональю): a11 a12  a1n  0 a  a  22 2n  , An          0  ann  0 a11 0  0  a  a 22  0 21  . An =         a nn   a1n a 2 n Диагональная матрица является частным случаем как верхней, так и нижней треугольной матрицы. Треугольные матрицы обладают тем свойством, что их определители равны произведению их диагональных элементов. Над матрицами можно выполнять операции, подобные вычислительным операциям обычной алгебры. Суммой двух прямоугольных матриц А и В одинаковых размеров 78 m n с элементами aij и bij соответственно называется матрица С тех же размеров с элементами cij , равными сумме соответствующих элементов данных матриц: C = A+B, если cij  aij  bij i  1, 2,, m , j  1, 2,, n . Операция нахождения суммы матриц называется сложением матриц. Операция сложения матриц обладает переместительным A+B = B+A и сочетательным (A+B) + C = A + (B+C) свойствами и выполняется для любого числа слагаемых равных размеров. Пример 2.7. Найти сумму двух матриц А и В с m=2 и n=3. Решение a11  b11 a12  b12 a13  b13  . a21  b21 a22  b22 a23  b23  С  _______________ . _______________ Произведением матрицы А с элементами aij на число b, принадлежащее тому же множеству, что и элементы матрицы, называется матрица С с элементами cij , получаемыми из соответствующих элементов матрицы A умножением их на число b: С = b A, если cij  b aij , i  1, 2,  , m; j  1, 2,  , n . Операция нахождения произведения умножением матрицы на число. Пример 2.8. Умножить матрицу A матрицы на a, b, c d , p, q на число f . Решение f a f , b f , c f  . d f , p f , q f  A  _______________ . _______________ 79 число называется Умножение матрицы на число удовлетворяет следующим свойствам: 1. b (A+C) = bA + bC, 2. (b + d) A = bA + dA, 3. ( b  d ) A = b (dA) . Здесь A и C – прямоугольные матрицы одинакового размера, b и d – числа заданного множества. Разность A  B двух прямоугольных матриц одинакового размера определяется равенством A – B = A + (-1) B. Если A – квадратная матрица порядка n , а b известное число, то b A  bn A . Произведением двух прямоугольных матриц A и B размерами mxp и pxn с элементами aij и bij называется матрица C размером mxn, у которой каждый элемент cij, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца, равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца второй матрицы B: p cij   aik bkj , i  1, 2,  , m; j  1, 2,  , n . k 1 Операция нахождения произведения данных матриц называется умножением матриц. Пример 2.9. Найти произведение двух матриц c1 d1 e1 f1  a1 a2 a3    b b b  c2 d 2 e2 f 2  .  1 2 3  c d e f   3 3 3 3 Решение. В соответствии с приведенным выше правилом матрицапроизведение будет иметь следующий вид: a1c1  a2c2  a3c3 a1d1  a2d 2  a3d3 a1e1  a2e2  a3e3 a1 f1  a2 f 2  a3 f3  b c  b c  b c b d  b d  b d . b e  b e  b e b f  b f  b f 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3   _______________ . _______________ Операция умножения для прямоугольных матриц выполнима лишь в том случае, когда число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором. Для квадратных матриц одного и того же порядка умножение выполнимо всегда. 80 Умножение матриц удовлетворяет свойствам сочетательности и распределительности относительно сложения: (AB) C = A (BC), (A + B) C = AB + BC, A (B + C) = AB + AC, однако не обладает в общем случае переместительным свойством, т.е. AB  BA. В тех же случаях, когда AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными или коммутирующими между собой. Умножение матрицы A на единичную матрицу I не меняет исходную матрицу AI = A. Умножение матрицы можно распространить на любое число сомножителей: n B  П Ak . k 1 В случае, если все матрицы Ak равны друг другу, то их перемножение приводит к матрице B, равной n -ой степени исходной матрицы A B = An, т.е. определяет операцию возведения в степень матрицы A. Квадратную матрицу А называют вырожденной, если её определитель A равен нулю. В противном случае квадратная матрица называется невырожденной. Для невырожденных матриц существуют матрицы A-1 , такие, обратные что AA-1=A-1A=I . Элементы обратной матрицы вычисляются по следующей формуле aij 1  Aji A , i, j  1, 2, , n, где A ji – алгебраическое дополнение элемента a ji в определителе A . Кроме того, | A1 | 1/ | A | . Пример 2.10. Найти обратную матрицу для матрицы a1 a2 a3  A  b1 b2 b3  . c1 c2 c3  Решение. В соответствии с приведенной формулой для вычисления элементов обратной матрицы сама обратная матрица примет следующий вид: 81 b2c3  b3c2 1  А  b3c1  b1c3 A b1c2  b2c1 -1 a3c2  a2c3 a1c3  a3c1 a2c1  a1c2 a2b3  a3b2  a3b1  a1b3  . a1b2  a2b1  _______________ . _______________ Для произведения двух невырожденных матриц соотношение Обратные матрицы Например, уравнение вида (AB)-1 = B-1 A-1. позволяют решать справедливо матричные уравнения. AX = B и XA = B, где X и B – прямоугольные матрицы равных размеров, а A - квадратная матрица соответствующего порядка, имеют одно и только одно решение X=A-1B или X=BA-1. Действительная матрица A со строками, имеющими равную энергию E , и обладающая свойством AAT=EI, называется ортогональной. Аналогом этому условию для матриц с комплексными элементами является соотношение AAC=EI. Матрицы, обладающие таким свойством, называются унитарными. Они играют при рассмотрении комплексных матриц ту же роль, что и ортогональные в теории действительных матриц. Нетрудно показать, что ортогональные и унитарные матрицы обладают следующими свойствами: 1) их строки являются ортогональными векторами; 2) ортогональные (унитарные) матрицы всегда невырожденные; так как для ортогональных матриц | AAT || A |  | AT | , а | AT || A | и | I | 1 , то | A |  E , аналогично для унитарных матриц | AAC || A |  | AC || A |2 и | A |  E ; 3) обратные к ним матрицы сами являются ортогональными (унитарными); 82 4) обратные к ним матрицы с точностью до постоянного множителя совпадают с их транспонированными (сопряженными) матрицами: A-1=(1/E)AT; A-1=(1/E)AC; 5) произведение ортогональных (унитарных) матриц есть также ортогональная (унитарная) матрица. Если действительная квадратная ортогональная матрица А является симметрической, то обратная ей матрица А-1 равна прямой матрице, умноженной на величину, равную 1/E: A-1=(1/E)A. Если же комплексная квадратная унитарная матрица А является симметрической, то обратная для нее матрица А-1 с точностью до постоянного множителя 1/E совпадает с прямой матрицей с комплексно-сопряженными элементами: A-1=(1/E)A*, где A   [aij ] ; Любую прямоугольную матрицу размером m n горизонтальными и вертикальными прямыми можно разбить на клетки A ks , где k  1, 2,  , p и s  1, 2,  , q являются индексами, обозначающими двухзначный номер матрицы-клетки размерностью mk  ns . Матрицу A тогда можно записать так  A11 A12  A1q   21 22  A A  A2 q   A         A p1 A p 2  A pq  или более сокращенно A   Aks  p ,q . Матрица A , записанная в таком виде, называется клеточной или блочной. Очевидно, что матрицу A можно разбить на клетки различными способами. В частном случае, когда p  q и Aks  0 при k  s , клеточная матрица называется квазидиагональной (или клеточно-диагональной). В этом случае матрица A имеет вид  A11 О    A  , О A pp   где О – матрица с нулевыми элементами (нулевая матрица). 83 Клеточные матрицы удобны тем, что сокращают запись матриц больших размерностей, при этом действия над ними производятся формально по тем же правилам, что и над обычными матрицами. В теории матриц существует еще одна операция – прямое или кронекеровское произведение матриц. Это произведение обозначается знаком и для двух квадратных матриц A =  aij  соответственно вычисляется по формуле  и B = bкр  с порядками n и m С nm  An  Bm  [ An bkp ]  [bkp An ] . (2.45) Из этой формулы следует, что при образовании кронекеровского произведения каждый элемент bкр матрицы Bm умножается на матрицу An. Формула (2.45) определяет так называемое левое кронекеровское произведение. Наряду с ним в литературе встречается и правое кронекеровское произведение, при котором каждый элемент матрицы An умножается на матрицу Bm : С nm  An  Bm  [aij Bm ] . Пользуясь различными источниками, следует иметь в виду, что An  Bm (левое) = Bm  An (правое). В дальнейшем будет использоваться кронекеровское произведение матриц. преимущественно левое Вычисление элементов матрицы С nm можно упростить, если, вопервых, изменить нумерацию строк и столбцов всех матриц, начиная её не с единицы, а с нуля, и, во-вторых, представить номера строк и столбцов матрицы С nm в системе счисления с переменным основанием: q  i  nk, f  j  n p. где i, j  0, 1,  , n  1 ; k , p  0, 1,  , m  1 ; q, f  0, 1,  , n m  1 . (2.46) Тогда, следуя Гуду [60, 69] , элементы искомой матрицы можно определить из соотношения cqf  aijbкр . (2.47) Пример 2.11. Найти кронекеровское произведение двух квадратных матриц  a00 a01    a10 a11  А2  и 84 b00 b01 b02  В 3  b10 b11 b12  b20 b21 b22  прямым и упрощенным методом. Решение. В соответствии с формулой (2.45) получим b00 A2 b01 A2 b02 A2  C6  b10 A2 b11 A2 b12 A2   b20 A2 b21 A2 b22 A2  b00a00 b a  00 10 b10a00  b10a10 b a  20 00 b20a10 b00a01 b01a00 b01a01 b02a00 b02a01  b00a11 b01a10 b01a11 b02a10 b02a11  b10a01 b11a00 b11a01 b12a00 b12a01  . b10a11 b11a10 b11a11 b12a10 b12a11  b20a01 b21a00 b21a01 b22a00 b22a01   b20a11 b21a10 b21a11 b22a10 b22a11  Теперь свяжем между собой номера строк и столбцов в используемых матрицах по формуле (2.46) q  i  2k , f  j  2 p, причем i, j  0,1; k , p  0, 1, 2; q, f  0, 1, 2, 3, 4, 5. Тогда элементы матрицы C 6 можно вычислить через элементы матриц A2 и B3 с помощью соотношения (2.47). Действительно, например, элемент c 34 будет равен произведению a10b12 , так как 3  1  2 1 , 4  0  2  2 и индексы в формуле (2.47) принимают значения i  1, j  0 , k  1, p  2 . Для элемента c51 имеем 5  1  2  2 ; 1  1  2  0 и i  1, j  1 , k  2 , p  0 . Поэтому c51  a11b20 . Эти результаты совпадают со значениями элементов, полученных прямым методом. _______________ . _______________ Кронекеровское произведение нескольких матриц аналогичным образом. Так для m квадратных матриц An a k i  k  j  k  (здесь и далее в этом параграфе этот символ k вычисляется с элементами k  означает, что k является индексом, а не степенью) оно равно C n1 n2  nm  An1  An2    Anm (2.48) и его элементы cqf можно определить по формуле m cqf  П aikk  j  k  , k 1 85 (2.49) где значения индексов i k  и j k  находятся их соотношений q  i 1  n1 i 2   n1 n2 i 3     n1 n2  nm 1 i m  , f  j 1  n1 j 2   n1 n2 j 3     n1 n2  nm 1 j m  . (2.50) Формулы (2.45), (2.46) и (2.47) являются частным случаем общих выражений (2.48) - (2.50). В случае, если матрицы An равны друг другу, то соотношение (2.48) k определяет кронекеровскую степень матрицы An (для её обозначения показатель степени заключают в квадратные скобки): Anm   An  An  An .  (2.51) m раз Матрицы, являющиеся кронекеровской степенью нескольких квадратных матриц, можно представить в виде обычного произведения нескольких матриц, т.е. разложить на множители. При этом матрицысомножители при таком разложении имеют большое число нулевых элементов, т.е. являются слабозаполненными матрицами. Процедура представления матрицы в виде произведения слабозаполненных матриц называется факторизацией матрицы. Умножение факторизованной матрицы на матрицу-столбец требует значительно меньшего числа умножений по сравнению с прямым перемножением нефакторизованной матрицы и матрицы-столбца. Известны различные способы факторизации матриц. Гуд показал [69], что m -я кронекеровская степень матрицы An размером n  n равна обычной m -й степени матрицы Bn размером n m  n m : m Anm   An  An  An  Bnmm ,  (2.52) m раз причем элементы матрицы B определяются соотношением  bк , р  ak1 p m  k 2 , p1  k3 , p2   k m , p m1 , где числа k1, k2 ,  , km представляют собой значения разрядов записи номера строки k в n -ичной системе счисления ki  0, 1,  , n  1; i  1, 2,  , m, числа p1 , p2 ,  , pm есть разряды n -ичного представления номера столбца p {pi = 0, 1, … , n-1; i = 1, 2, … , m), а величины  k , p являются символами Кронекера. i j Замечательной особенностью матрицы B является то, что она имеет не больше n m 1 отличных от нуля элементов. Поэтому при вычислении 86 произведения матрицы B m на вектор-столбец, содержащий n m элементов, потребуется перемножить m n m 1 пар чисел. В то же время для того, чтобы вычислить произведение матрицы Anm  на тот же вектор, необходимо перемножить n 2 m пар чисел. Следовательно, вычисление произведения матрицы на вектор при её факторизированном представлении гораздо экономичнее, чем при нефакторизированном представлении, причем экономия быстро возрастает с увеличением размеров матрицы. Факторизация матрицы m -й кронекеровской степени может быть проведена и иначе. Тот же Гуд доказал, что Anm   An  An  An  Cn1m Cn2m  Cnmm  ,  (2.53) m раз где C n1m  An  I n    I n , C n2m  I n  An    I n ,    C nmm   I n  I n    An . Каждая матрица Cnim , i  1, 2,  , m , содержит столько же ненулевых элементов, сколько их в матрице В n , поэтому умножение произведения этих m матриц на вектор-столбец столь же экономично, что и получение того же результата с помощью матрицы В m . Возможны и другие способы факторизации матриц. Описание некоторых их них можно найти в [9, 13, 43]. В дальнейшем в главе 6 будет показана возможность использования факторизации матриц для разработки высокоэффективных, так называемых «быстрых», алгоритмов выполнения дискретного преобразования Фурье. Остановимся теперь на использовании матричных представлений при описании сигналов и их линейных преобразований. Любые дискретные финитные сигналы xi  и yi  , i  0, 1,  , N  1 можно рассматривать как матрицы-столбцы (или векторы - столбцы):  x  0     x 1  x  ,    x  N  1   y  0     y 1  y  .    y  N  1  87 (2.54) Тогда обобщенное линейное преобразование сигнала xi  в сигнал yi  N 1 y i    aik xk , k 0 где aik – известные числа либо значения дискретных функций, в матричной форме записывается в виде произведения матрицы A  aik  на матрицустолбец x : y = Ax (2.55) Конкретный вид линейного преобразования при этом будет зависеть только от элементов матрицы A . Например, для преобразования типа круговая свертка матрица A будет состоять из значений функции ядра F i  k  (см. (2.18)), т.е. A  F i  k , а для преобразования типа линейная свертка матрица A образуется из значений функции ядра F(i-k) с дополнением её нулями до размерности N  N1  N 2  1: A  F1 i  k  (см. выражение (2.22)). Вектор x при этом так же должен содержать в конце N2  1 нулей. Пример 2.12. Записать матрицу A круговой свертки для условия примера 2.1. Решение. В соответствии с результатами, полученными при решении примера 2.1, имеем:  F 0 F  1  F 0 F 1 A    .  F 1 F 0   F 1 F 0 _______________ . _______________ Пример 2.13. Записать матрицу-столбец x и матрицу A линейной свертки для условия примера 2.2. Решение. Так как в этом случае (см. пример 2.2.) N1  3 , N2  2 , а N  N1  N2  1  4 , то  F1 0 F1 3  x0  F 1 F 0  x1  1   x ; A 1  F1 2 F1 1  x2     0   F1 3 F1 2 F1 2 F1 1  F 0   F 1 F1 3 F1 2    0 F1 0 F1 3   F1 1 F1 0  0 0 F 1  F 0 0 0  . F 1 F 0 0   0 F 1 F 0 0 _______________ . _______________ Как следует из примеров 2.12 и 2.13 строки матрицы A при свертках образуются путем циклического сдвига элементов предыдущих строк. Если в преобразовании (2.55) матрица А представляется в виде 88 А=Т -1ВТ, (2.56) где Т – невырожденная матрица, то матрицы А и В называются подобными, а само матричное уравнение их связи (2.56) – преобразованием подобия. Важным свойством подобных матриц является равенство их определителей. Действительно |A|=|T -1BT|. Но определитель произведения матриц равен произведению их определителей, т.е. |A|=|T -1|·|B|·|T|, а |T -1|=1/|T|, поэтому отсюда следует, что |A|=|B|. Для симметрических ортогональных или унитарных матриц Т запись преобразования подобия упрощается: А= А= 1 ТВТ, E 1 Т*ВТ. E В последнем выражении матрица Т* образована из комплексносопряженных элементов матрицы Т. В теории матриц доказывается, что всегда найдется такая ортогональная (унитарная) матрица Т, для которой матрица А преобразования подобия будет диагональной [16]. В общем случае реализация матричного линейного преобразования (2.55) требует выполнения N 2 перемножений пар чисел. Факторизация матрицы A , если таковая возможна, позволяет существенно сократить эти затраты. 2.6. Полиномиальное представление сигналов Отсчеты дискретного сигнала можно рассматривать в качестве коэффициентов степенного полинома некоторой переменной z. Тогда сам финитный сигнал xi  , i  0,1, , N 1 может быть представлен в виде этого полинома: N 1 X  z    x i  z i , (2.57) i 0 порядок которого однозначно связан с числом N отсчетов сигнала. Переменная z в полиноме (2.57) носит формальный характер, может 89 принимать значения, принадлежащие любому множеству чисел, и обозначаться любой другой буквой . Полиномиальное представление может оказаться полезным при записи линейных преобразований сигналов типа сверток, заменяя их на хорошо известные операции алгебры полиномов. Действительно, если сигнал xi , i  0, 1,  , N1  1 и функцию ядра свертки F i , i  0, 1,  , N2  1 представить в полиномиальном виде X z   N1 1  xi z i , i 0 F z   N 2 1  F i z i , i 0 то произведение этих полиномов Y z   X z  F z  (2.58) дает полином Y z   N1  N 2  2  yi  z i (2.59) , i 0 коэффициенты которого yi  совпадают со значениями линейной свертки (2.19) сигнала xi  с функцией F i . Пример 2.14. Используя полиномиальное представление, вычислить линейную свертку для условия примера 2.2. Решение. Полиномы X z  и X z   x0  x1z  x2z 2 ; F z   F 0  F 1z . F z  в Их этом случае таковы: произведение равно x0F 0  x1F 0z  x2F 0z 2  x0F 1z  x1F 1z 2  x2F 1z 3 и после приведения подобных членов образует полином Y z   x0F 0  x1F 0  x0F 1 z 2  y3z 3 коэффициенты которого yi  совпадают со значениями свертки, полученными в примере 2.2. _______________ . _______________ Полиномиальное представление можно использовать и для описания круговых сверток. Однако в этом случае применяются модулярные операции над числами и полиномами, поэтому приведем основные сведения из теории модулярной алгебры. Рассмотрим сначала целые числа. Пусть a и b являются целыми числами, причем b >0 . Делимость a на b определяется из соотношения a  bq  r , 90 где q – частное, а r – остаток, причем 0  r < b . Если r=0 , то b и q – делители числа a и тогда говорят, что b делит a . Обозначается это, как b a . Если a не имеет делителей отличных от 1 и a , то a – простое. В противном случае оно – составное. Каждое составное число может быть представлено в виде степеней простых чисел pi a  П pici , ci >0. i В теории чисел доказывается, что такое представление составных чисел единственное. Наибольшим общим делителем (НОД) целых чисел a и b называется наибольшее целое число d , делящее эти числа. Обозначается НОД как d  a, b . Если d  a, b  1 , то числа a и b являются взаимно простыми, т.е. числами, не имеющими общих делителей, кроме единицы. НОД находится по алгоритму Евклида, суть которого состоит в следующем. Пусть a > b . Выполняя деление a на b , получим a  bq0  r0 , где r0 < b . По определению d  a, b  a и  b . Если r0  0 , то b a и a, b  b . Если r0  0 , то, продолжая деление с остатком, получим: b  r0 q1  r1 , r1  r0 ; r0  r1q2  r2 , r2  r1 ;  , rn3  rn2 qn1  rn1 , rn1  rn2 ; rn2  rn1 qn Последний остаток равен нулю. Так как r1  r2  r3   , то из последнего равенства следует, что rn 1 rn  2 . Подставляя rn  2 в предпоследние уравнение, получим rn3  rn1 qn qn1  rn1  rn1 qn qn1  1, из чего следует, что rn1 rn3 . Продолжая описанную процедуру далее, окончательно получаем, что rn 1 b и rn 1 a , поэтому d  a, b  rn 1. Пример 2.15. Найти НОД чисел a =525 и b =231. Решение. В соответствии с алгоритмом Евклида имеем: 525=2312+63; 231=633+42; 63=421+21; 42=212. Следовательно (525, 231) = 21. _______________ . _______________ НОД является линейной комбинацией чисел a и b . Чтобы это показать, перепишем равенства алгоритма Евклида относительно остатков: 91 r0  a  b q0 ; r1  b  r0 q1;  ; rn 1  rn 3  rn  2 qn 1 . Первое число r0 является линейной комбинацией a и b , второе – b и r0 и, следовательно, линейной комбинацией a и b и т.д. Поэтому можно записать, что a, b  ma  nb, где m и n – целые числа. В случае, когда a и b взаимно простые числа, т.е. a, b  1 , из этого равенства следует соотношение Безу: 1  ma  nb . Линейная зависимость НОД от самих чисел a, b дает ключ к решению линейных целочисленных уравнений с коэффициентами a и b ax  by  c , c – целое число. Это уравнение (его называют еще диофантовым уравнением) имеет решение только в том случае, если НОД a и b делит c , т.е. d  a, b c . Для доказательства этого утверждения учтем, что, если d c , то c можно представить в виде c  c1d , где c1 – целое число. Кроме того, существуют такие m и n , при которых d  ma  nb . Поэтому c  c1d  c1ma  c1nb и решением диофантова уравнения будут значения x  c1m и y  c1n . Это решение не является единственным. Пусть x0 и y0 есть частное решение, удовлетворяющее диофантову уравнению: c  ax0  by0 . Тогда, если x и y – любое другое решение, то c  ax  by . Вычитая одно решение из 0  ax  x0   b y  y0  или ax  x0   b y0  y  . Поделим обе другого, получим части этого равенства на d a x  x0   b  y0  y . d d Но, т.к.  ,   1 , a b d d  b не делит d a , поэтому оно должно делить d x  x0  и, b следовательно, x  x0    s . Отсюда общее решение для x представляется в d  следующем виде x  x0  b s. d y  y0  a s. d Аналогично и для y 92 Величина s в общем решении диофантова уравнения принимает значения s  0, 1, 2,  , из чего следует, что диофантово уравнение может иметь бесчисленное множество решений. Пример 2.16. Решить диофантово уравнение 15 x  9 y  21 . Решение. Найдем НОД чисел 15 и 9, используя алгоритм Евклида: 15=91+6; 9=61+3; 6=32. Следовательно d  15,9  3 . Так как 3 21 , то заданное уравнение разрешимо. Для определения его частного решения представим 3 в виде линейной комбинации чисел 15 и 9: 3= 15m  9n . Числа m и n можно найти либо подбором, либо используя уравнения алгоритма Евклида в переписанном виде: 6=15-91; 3=9-61=9-(15-91)1=-15+29 и m  1, а n  2. Поделив x0  c1m  7, c на d, получим c1  7 и частное y0  c1n  14. Общее решение с учетом того, что решение a b 5, а 3, d d будет равно: x  7  3s, y  14  5s . Проверка. При s  1 получаем x  7  3  4 и y  14  5  9 . Для этих значений x и y выражение 15 x  9 y  15(4)  9  9  60  81  21 . При s  2 решение равно x  7  3  2  1, 15 x  9 y  15  (1)  9  4  15  36  21 и диофантово уравнение y  14  5  2  4 так же справедливо. Оно будет справедливым и при любых других целочисленных положительных значениях s . _______________ . _______________ Все целые числа ai , имеющие при делении на одно и тоже число m один и тот же остаток r , образуют класс вычетов по модулю m . Говорят, что эти числа сравнимы по модулю m : ai  a j (mod m) , где ai  qi m  r , a j  q j m  r . Очевидно, что m ai , a j  . Остаток r от деления a на m называется вычетом числа a по модулю m . Вычет всегда сравним с самим числом по модулю m : r  a mod m . Вычет обозначают еще и следующим образом: r   a m . Вычеты суммы и произведения двух целых соответственно сумме и произведению вычетов этих чисел: 93 чисел равны  a1  a2  m  a1  m   a2  m  m ,  a1  a2  m  a1  m   a2  m  m . Эти уравнения соответствуют следующим сравнениям: <a1 + a2>m ≡ <a1>m + <a2>m (mod m) <a1·a2>m ≡ <a1>m·<a2>m (mod m) Операция деления относительно сравнений не определена. Если известно число x и модуль m , то его вычет находится элементарно. Однако, если известен вычет и модуль, то однозначно восстановить число уже не удается. В этом случае восстановление эквивалентно решению следующего сравнения: mod m. xr Рассмотрим решение более общего сравнения ax  c mod m. Это сравнение можно свести к диофантову уравнению ax  my  c, в котором все члены определены по модулю m . Действительно, с учетом свойств суммы и произведения вычетов имеем  a x  m   m y  m  c  m ,  a x  m   m  m  y  m  c  m и так как  m m  0 , то ax  c mod m. Из решения диофантова уравнения следует, что сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда d c , где d  a,m. В этом случае решение равно m x  x0    s d mod m , где x0 есть частное решение сравнения, а s пробегает целые значения от 0 до m  s имеет только d различных по модулю m d m  1 . Но, так как число  значений, то имеется только d различных решений этого сравнения. Важным следствием из этого является то, что при d  a, m  1 решение всегда одно. Таким образом, если a, m c , то сравнение ax  c mod m решается с помощью алгоритма Евклида. Если c в этом сравнении равно 1, то решение x сравнения ax 1 mod m 94 называется обратным числу a : x  a 1 . Операция отыскания обратных чисел (обратных элементов) заменяет операцию деления единицы на целое число по модулю m . Пример 2.17. Найти число, обратное по модулю 8 числу 693. Решение. Сравнение, соответствующее условию примера, имеет вид: 693x 1 mod 8 . Так как  693 8  5 , то оно эквивалентно более простому сравнению 5x 1 mod 8, которое в свою очередь эквивалентно диофантову уравнению 5 x  8 y  1 . Числа 5 и 8 взаимно простые, поэтому d  5,8  1 и d c . Для получения частного решения этого уравнения используем алгоритм Евклида: 8  5  1  3; 5  3  1  2; 3  2  1  1; 2  1  2; d  1, c1  c  1; 3  8  5  1; d 2  5  3 1  5  18  5  2  5  8; 1  3  2 1  8  5  2  5  8 2  8  3  5  3  5  2  8 m  3, а и m n=2. Поэтому x0  mc1  3, а решение равно x  x0    s  3  8 s . d Обратное число x  3 8  5. Проверка. Произведение 55=25, его вычет по модулю 8 равен  25 8  1 . _______________ . _______________ Рассмотрим теперь систему линейных сравнений с различными модулями. Требуется найти целое число x , удовлетворяющее одновременно k сравнениям: x  ri mod mi , i  1, 2,  , k. (2.60) Решение этой системы дает теорема, известная еще в Древнем Китае и поэтому называемая китайской теоремой об остатках (КТО). Суть теоремы в следующем. Пусть mi  - n положительных попарно взаимно простых целых, больших единицы. Тогда система линейных сравнений (2.60) имеет единственное по модулю n M  П mi (2.61) i 1 решение n M  x     ri Ti i 1  mi  где величины Ti являются обратными к числам 95 mod M , (2.62) M и удовлетворяют условию mi M    Ti  1  mi  mod mi . (2.63) Они могут быть найдены по алгоритму Евклида. Для доказательства КТО найдем вычет числа x по модулю m j . Он будет равен n  x mj   i 1 Все числа M  m j   Ti  m j   ri  m j . mi M M , кроме , содержат число m j в качестве делителя, поэтому их mi mj вычет по модулю m j равен нулю. В соответствии с этим в последнем выражении останется только одно ненулевое слагаемое  x  m j  M / m j   T j  m j   r j  m j . Но здесь в соответствии со свойством (2.63) обратного элемента первый сомножитель в правой части равенства равен единице, а второй есть вычет r j числа x по модулю m j . Теорема доказана. Пример 2.18. Найти число x удовлетворяющее трем сравнениям: x  2 mod 3; x 1 mod 4; x  3 mod 5. Решение. В этом случае M  3  4  5  60. Сравнения для обратных элементов равны 20 T1 1 mod 3, 15T2  1 mod 4, 12T3  1 mod 5 и имеют решения T1  2; T2  3; T3  3. Поэтому величина x будет равна x  20  2  2  15 1 3  12  3  3  53 mod 60. Проверка. Число 53 имеет по модулю 3 вычет, равный 2 , по модулю 4 вычет, равный 1 , по модулю 5 вычет, равный 3 , что соответствует заданным условиям примера. _______________ . _______________ Китайская теорема об остатках может быть использована для преобразования N -точечного одномерного массива данных xi  в n мерный массив y i1, i2 ,  in . Такая процедура будет часто использоваться нами в дальнейшем, поэтому остановимся подробнее на способах её реализации. Вообще-то преобразование одномерного массива в многомерный 96 путем перестановки элементов может быть выполнено многими способами. Нас в первую очередь будут интересовать те способы, которые используют аналитическую (формульную) связь номеров элементов одномерного и многомерных массивов. Можно выделить по меньшей мере четыре способа, удовлетворяющие этому требованию. Все они возможны только в том случае, если число элементов N одномерного массива является составным, т.е. раскладывается на n сомножителей n N  П Nj . (2.64) j 1 Способ 1. Использует разложение индекса i элементов одномерного массива в позиционной системе счисления с переменным основанием: i  i1  N1i2  N1 N 2i3  N1 N 2  N n 1 in . Здесь индексы i j , j  1, 2,  , n (2.65) определяют n -мерный номер элемента многомерного массива и по сути являются значениями соответствующих разрядов позиционного разложения (2.65). Они принимают следующие значения: i j  0, 1,  , N j  1 . Пример 2.19. Преобразовать одномерный массив xi  из шести элементов в двумерный массив yi1, i2  . Решение. Для этого случая n  2, а N  6  2  3 . Поэтому N1  2 , N2  3 и i  i1  N1i2  i1  2i2 ; i1  0, 1; i2  0, 1, 2. Сами значения элементов двумерного массива, соответствующие этому правилу представить в виде следующей матрицы преобразования, можно  x0 x2 x4 y .  x1 x3 x5 _______________ . _______________ Способ 2. Является модификацией первого способа и использует следующее представление одномерного индекса (2.66) i = N2N3…Nni1 + N3N4…Nni2 + Nn-1Nn in-2 + Nnin-1 + in . Многомерные индексы i j принимают здесь те же значения, что и в способе 1. Пример 2.20. Решить задачу примера 2.19 способом 2. Решение. В этом случае i  N2i1  i2  3i1 i 2 , а матрица значений двумерного массива имеет вид: 97  x0 x1 x2  y .  x3 x4 x5 _______________ . _______________ Способ 3. Основывается на КТО для индексов n N i     T j i j i 1  N i  mod N  , (2.67) где все обратные элементы T j находятся из решения системы сравнений  N   T  1 N  j  j К сомножителям Nj mod N , j  1, 2,, n. j (2.68) в этом способе предъявляется дополнительное требование взаимной простоты. Пример 2.21. Решить задачу с условиями примера 2.19 третьим пособом. Решение. Для n  2, N1  2 , а N2  3 индекс i имеет следующее Обратные mod 6. элементы находятся из сравнений 3T1  1 mod 2 и 2T2  1 mod 3 и равны T1  1, а T2  2 . Поэтому окончательно i  3i1  4i2 mod 6. Соответствующая разложение по КТО : i  N2T1i1  N1T2i2   3T1i1  2T2i2  этому закону взаимосвязи индексов матрица двумерного массива имеет вид  x0 x4 x2 y .  x3 x1 x5  _______________ . _______________ Способ 4. Использует упрощенную запись КТО для индексов с учетом свойств перестановки элементов. В общем случае выражение j  ai  mod N  , где i  0, 1,  , N  1 и a, N   1 задает тот же диапазон изменения индекса j ,  N  что и i , но в другом порядке. Величины   T j можно рассматривать как Nj   перестановки множеств из N j точек. Тогда КТО (2.68) для индексов можно записать в более простом виде (без обратных элементов) n  N  i   i   j j 1  N j  98 mod N  . (2.69) Пример 2.22. Решить задачу с условиями примера 2.19 четвертым способом. Решение. По формуле (2.69) для N  6 получим, что i  3i1  2i2 mod 6 . Матрица двумерного массива примет вид  x0 x2 x4 y .  x3 x5 x1 _______________ . _______________ Выражения (2.67) и (2.69) в литературе называют соответственно «китайским» и «руританским» соответствиями. иногда  m , равная числу В теории чисел вводится функция Эйлера неотрицательных вычетов по модулю m , меньших m и взаимно простых с m . Если m  p является простым числом, то все положительные числа, меньшие p , являются взаимно простыми с p . Тогда   p  p  1 . Если m  p c , то имеется p c 1 чисел кратных с p . Остальные же числа будут взаимно простыми с m . Поэтому  1   p c   p c  p c 1  p c 1  p  1  p c 1   . p  В общем случае, если m  p1c p2c  pnc , то 1 n 2 n  i 1   m  m П 1  1 . pi  Функция Эйлера обладает тем свойством, что сумма её значений для всех делителей числа m есть само это число, т.е.  d   m . dm Функция Эйлера дает новый весьма полезный инструмент для решения сравнений, отыскания обратных элементов и введения понятия показателя (порядка, степени) целого числа по данному модулю. Связано все это с двумя основополагающими в теории чисел теоремами Эйлера и Ферма, которые приводим здесь без доказательства. Теорема Эйлера: если a, m  1 , то a m  1 mod m . (2.70) При m  p из теоремы Эйлера следует теорема Ферма: a p 1  1 99 mod p  . (2.71) Эти теоремы можно использовать для решения сравнений mod m при a, m  1 . Это решение единственное и имеет вид x  c a m 1 mod m . ax c (2.72) При m  p оно упрощается x  c a p2 mod p  . (2.73) Для доказательства соотношений (2.72) и (2.73) подставим решение x в левую часть исходного сравнения a  ca m 1  ca m  . найдем вычет из этого произведения:  ca  m   m   c  m   a  m   m . Но в соответствии с теоремой Эйлера последний вычет равен 1. Поэтому  ca  m   m   c  m и сравнение решено. Удобным оказывается применение теоремы Эйлера для отыскания чисел Ti , обратных M mi M    Ti  1  mi  N   , Ti   1 , то по теореме Эйлера можно принять  mi  M Ti    mi mod mi  и в китайской теореме об остатках. Так как   mi 1    и тогда число x можно восстановить по его остаткам ri по формуле M x    i 1  mi n   mi     ri mod M  . (2.74) Пример 2.23. Найти число x по остаткам и модулям, заданным в примере 2.18. Решение. В этом случае m1  3, m2  4, m3  5 и M  60 . Поэтому mod 60 . Так как 3  2;  4  2;  5  4 , то x  202  2  152  124  3  800  225  62208  63233  53 mod 60 . x  20 3  2  15 4   1  12 5  3 _______________ . _______________ Рассмотрим последовательность xi , задаваемую соотношением xi  a i mod m  , (2.75) где a – целое число. Если i принимает значения 0,1, 2,  , то xi принимает значения x0 , x1 , x2 ,  . Так как имеется всего m различных наименьших неотрицательных вычетов, то обязательно найдутся два совпадающих вычета 100 x j и xr при j  r . Пусть r выбрано наименьшим для всех таких возможных значений. Тогда xr  x j Но x j 1  x j a , ir xi  xi  r становится и xr 1  xr a mod m , jr. x j 1  xr 1 mod m . Поэтому для всех mod m . Из этого следует, что при периодической с периодом i  j последовательность длины r j. При j0 последовательность является периодической с самого начала a0  1 и цикл содержит все значения xi , соответствующие значениям a и m . Условие, при которых это происходит, задается теоремой Эйлера. При наименьшем r , таком, что a r  1 mod m , последовательность является периодической с периодом r и будет также периодической с самого начала, т.к. x0  a 0  1 . Наименьшие r называют порядком (показателем, степенью) числа a . Очевидно, что порядок r зависит от чисел a и m . При фиксированном m он будет зависеть только от a . Теоретически порядок может лежать в пределе от rmin  r до rmax   m при a, m  1 mod m , т.е. r   m. Та величина a , которая порождает циклическую последовательность максимального периода  m , называется первообразным корнем для m (примитивным, простым корнем). Элементы a, порождающие последовательности, меньшей длины, т.е. с r   m, называются корнями из единицы степени r по модулю m (или просто корнем). Теория корней и особенно первообразных корней достаточно сложна. Подробнее с ней можно ознакомится в специальной литературе по теории чисел, в частности в[12, 35, 36]. Для цифровой обработки сигналов важны, в общем-то, два вопроса: 1) существует ли для данного m первообразный корень g и 2) сколько корней данной степени может быть и как их найти. Доказывается, что первообразные по модулю m корни существуют лишь при m  p c и m  2 pc , где p - нечетное простое число. Если же p  2 , то первообразные корни существуют лишь для m  2 и m  4 . Если m  p , где p нечетное простое число, то имеется в точности  r  попарно несравнимых корней степени r по модулю p . Это следует из теоремы Гаусса [12, 40]. Существуют специальные таблицы первообразных корней [12, 35]. 101 Корни используются при теоретико-числовом представлении сигналов и составляют математическую основу теоретико-числовых преобразований, которые подобнее будут рассматриваться в главе 5. Их также можно использовать для организации еще одной перестановки индексов. Если, например, индекс i принимает значения 0, 1, 2,  ,  m  1 , то индекс j  gi (mod m) (2.76) дает другую последовательность, той же длины, но начиная с 1. Пример 2.24. Выполнить перестановку (2.76) для m  5 . Решение. Так как для m  5 величина r   5  4 , а примитивный корень g=3 (поскольку 34  1 mod 5 ), то j  3i mod 5  1, 3, 4, 2 . _______________ . _______________ Теперь вновь вернемся к полиномам. Если для полиномов Az , Bz  и M z  справедливо равенство Az   M z  Bz  , то говорят, что M z  является делителем Az  . В противном случае от деления остается остаток Rz  , который называется полиномиальным вычетом по модулю M z  : Az   Bz M z   Rz  . Степень полинома остатка всегда меньше степени полинома модуля M z  . Все полиномы, дающие при делении на полином M z  один и тот же остаток Rz  , называются сравнимыми по модулю M z  . Вычислить полиномиальный вычет можно двумя способами. Вопервых, его можно найти непосредственным делением Az  на M z  по правилам деления полиномов. Во-вторых, если M z  имеет степень N и N 1 представляется в виде M z   z N   mk z k ( mk – коэффициенты полинома), то k 0 вычисление N 1 z N   mk z k вычета обеспечивается подстановкой в Az  значения и последующим приведением подобных членов. Указанная k 0 подстановка M z   0 вытекает из следующего mod M z  и как следствие, N 1 очевидного z N    mk z k k 0 102 сравнения mod M z . В частном случае, когда полином M z  является полиномом первой степени, например, M z   z  a, имеем Rz   Aa  , т.е. остаток получается путем подстановки в Az  вместо z значения a . Пример 2.25. Найти остаток от деления полинома Az   z 3  2 z 2  3z  1 на полином M z   z 2  3z  2 . Решение. В этом случае z 2  3z  2. Тогда Rz   3z  2z  23z  2 +  3z  1  3z 2  2 z  6 z  4  3z  1  33z  2  5z  5  9 z  6   5z  5  4z  1 . Проверка. Проверку проведем, поделив Az  на M z  : z2 – 2z2 + 3z + 1 z 2 – 3z + 2 z3 – 3z2 + 2z z+1 z2 + z + 1 z2 – 3z + 2 4z – 1 _______________ . _______________ Полином Az  называется неприводимым, если он не имеет нетривиальных делителей (т.е. делителей, степень которых равна либо 0 , либо степени самого полинома). Неприводимый полином не раскладывается на сомножители. Следует иметь в виду, что приводимость полинома зависит от вида множества чисел, которому принадлежат его коэффициенты. Так полином может быть неприводимым на множестве одних чисел и приводимым на множестве других. Например, полином Az   z 2  z  1 в поле двоичных коэффициентов с операцией суммирования по модулю два неприводим, т.к. A0  A1  1 и, следовательно, полином не имеет на этом множестве корней. С другой стороны, на множестве комплексных чисел он приводимый, т.к. уравнение z 2  z  1  0 имеет два комплексных корня. Имея вычеты одного и того же полинома X z  по различным модулям M i z , его можно восстановить по китайской теореме об остатках для полиномов, аналитическая запись которой аналогична аналитической записи КТО для чисел: n X  z    M  z  / M i  z  Ti  z  Ri  z  mod M z  . (2.77) i 1 Здесь Ri z  является вычетами полинома X z  по модулям M i z  , а Ti z  обратны полиномам M z  / M i z  по модулю следующей системе сравнений: 103 M i z  и удовлетворяют M z  / M i z  Ti z   1 mod M i z , i  1, 2,  , n . (2.78) Частные модули M i z  являются множителями общего модуля M z  , т.е. M z   П M i z  . n (2.79) i 1 При использовании КТО для полиномов разложение общего модуля M z  на множители M i z  приобретает особенно важное значение, поскольку от числа сомножителей зависит размерность задачи, а значения коэффициентов полиномов – сомножителей влияют на вычислительную сложность алгоритма восстановления (2.77). Так как, как уже отмечалось, один и тот же полином на различных множествах может содержать различное число сомножителей с различными коэффициентами, то при разложении M z  возникает проблема выбора множества чисел для коэффициентов полиномов. Универсальных рекомендаций по её решению нет, но из литературы известно, что при небольших порядках полиномов полиномы – сомножители в поле рациональных чисел более просты (имеют коэффициенты 0 и  1 ). Теперь обратимся к полиномиальному представлению круговой свертки. При её вычислении (см. формулу (2.18)) любые отрицательные значения разности индексов i  k заменяются на положительные N  i  k , в соответствии с чем F i  k   F N  i  k  . При i  k  0 получим F 0  F N  . В полиномиальном представлении F z  это означает, что z N  z 0  1 . Поэтому круговая свертка может быть определена как произведение двух полиномов N 1 N 1 i 0 i 0 X  z    xi  z i и F  z    F i  z i по модулю полинома z N  1 : Y z   X z  F z  mod z N  1 . (2.80) Приведение Y z  по модулю z N  1 не составляет труда и сводится к подстановке в Y z  единицы вместо z N . Пример 2.26. Вычислить круговую свертку для условий примера 2.1, используя полиномиальное представление сигналов. Решение. В этом случае X z   x0  x1z; F z   F 0  F 1z , а вычет Y z  произведения X z F z  по модулю z 2  1 будет равен: 104 Y  z   x  0 F  0  x  0 F 1 z  x(1) F (0) z  x(1) F (1) z 2  [ x(0) F (0)  x(1) F (1)]  [ x(0) F (1)  x(1) F (0)]z . Значения свертки совпадают со значениями соответствующих коэффициентов полинома Y z  : y0  x0F 0  x1F 1; y1  x0F 1  x1F 0 . Они равны значениям, полученным в примере 2.1. прямыми вычислениями по формуле (2.18). _______________ . _______________ Полиномиальное представление сверток создает математическую основу для разработки «быстрых» алгоритмов вычисления коротких (малоточечных) сверток, которые будут рассмотрены в главе 6. 2.7. Z- преобразование сигналов и функций Полиномиальная запись сигнала давала возможность N-точечную выборку дискретного сигнала представлять в виде единого математического объекта, над которым возможно выполнение различных математических операций по известным правилам. Наряду с ней в математике существует еще одна форма представления функций в виде степенного ряда комплексной переменной z как с положительными, так и отрицательными степенями. Такое представление получило название z-преобразования (его еще называют дискретным преобразованием Лапласа) и может быть использовано для описания и исследования сигналов и его характеристик. Оно относится к классу линейных преобразований, поскольку удовлетворяет всем требованиям линейности. Для действительного сигнала x(i), заданного на бесконечном интервале определения  ,   , z-преобразование определяется следующим образом: X  z   Z xi     xi z i . (2.81) i   Аналогично записывается z-преобразование и для комплексных сигналов. Функцию X(z) называют z-образом сигнала х(i). Преобразование (2.81) имеет смысл для тех значений z , при которых степенной ряд сходится. Детальное обсуждение вопросов сходимости (2.81) можно найти в [45]. Здесь приведем только ряд общих результатов. Для физических нереализуемых сигналов х(i) , определенных на левом полубесконечном интервале ( т.е.    i  0 ), ряд X(z) сходится во всех точках, 105 лежащих в круге радиуса R , величина которого зависит от положения особых точек X(z) , называемых полюсами ( полюса - это значения z, при которых знаменатель X (z) обращается в нуль). Для физически реализуемых дискретных сигналов х(i), определенных на правом полубесконечном интервале  0,   , X(z) сходится везде вне круга радиуса R. Для таких сигналов  X  z    xi z  i . (2.82) i 0 Соотношение (2.82) называют иногда односторонним z- преобразованием. Для финитных сигналов х (i) с N1  i  N2 N1  N2  , где N1 и N 2 конечны, X(z) сходится в z - плоскости везде, за исключением, может быть, точек z = 0 и z =  . Путем изменения нумерации отсчетов сигнал xi  с N1  i  N 2 всегда можно свести к финитному сигналу х(i) с 0  i  N , где N  N2  N1 . Такой сигнал можно рассматривать как частный случай сигнала с полубесконечным интервалом (при нулевых значениях отсчетов для i  N ). Поэтому и z - преобразование финитных сигналов можно получить из (2.82), полагая нулевыми члены ряда с i  N . Ряд (2.82) в этом случае будет принципиально конечным. Пример 2.27. Пусть сигнал xi   3;1; 2; 2, 5. Записать его z -образ. Решение. В соответствии с (2.82) получаем X z   3  z 1  2 z 2  2.5z 3 . _______________ . _______________ В табл. 2.1 приведен ряд дискретных сигналов и соответствующие им z -образы [19]. Таблица 2.1 1 X z  1/ 1  z 1  1/ 1  z 1  i z 1 / 1  z 1 xi   1 i z i2 ia i 1 a cos i  i 1   2  z 2 / 1  z 1   / 1  az   3 1/ 1  az 1 ai a i sin i   az z 1 1 1  az 106  cos / 1  2az 1 2 sin  / 1  2az 1 cos  a 2 z 2 1 1 cos  a z  2 2  Обратный переход от z -образа к исходному дискретному сигналу осуществляется с помощью обратного z -преобразования: xi   Z 1X z   1 2 j C X z z i 1d z, (2.83) где C – любой замкнутый контур интегрирования в области сходимости, охватывающий начало координат. Например, таким контуром может быть окружность радиуса | z |  R . Обратное Z -преобразование можно найти несколькими способами. Один из них основывается на прямом вычислении интеграла (2.83):   1 d mk 1 z  zkmk  xi    lim ( mk ) z  zk dz mk 1 k 1 m k 1! p mk ,  Фz  (2.84) где Фz   X z z i 1; z1m  , z2m  ,  , z p m  - все не равные друг другу полюсы 1 2 p функции Фz ; mk -кратность полюса zk( m ) . Этот способ позволяет получить k аналитические зависимости xi  от i при известном X z  . Пример 2.28. Для X z   z 2 / 1  0,5z 1 1  0,25z 2  найти xi  . Решение. Учитывая, что при i  0 полюсы Фz  имеют значения z1  0; z2  0,5; z3  0,25 , а при i  1  z1  0,5, z2  0,25 , из (2.83) получаем 0, i  0 x i    i 2 i 1 0.25  2  1 , i  1. _______________ . _______________ Второй способ вычисления (2.83) использует формулу xi      1 i d X z 1 / dz i i!  z 0 (2.85) Он позволяет рассчитать xi  , не вычисляя полюсов функции X z z i 1 . Пример 2.29. Для X z   1/ 2  0,5z 1  0,2 z 2  0,1z 3  0,1z 4  найти первые три значения xi  . Решение. Используя (2.85), получаем: x0  2, x1  0,125, x2  0,0656. _______________ . _______________ Прямое (2.81) и обратное (2.83) z -преобразования устанавливают взаимооднозначное соответствие между сигналом и его z -образом. Само z преобразование уже не является представлением сигнала во временной области. Это специфическое представление сигналов и функций в z -области комплексной переменной. 107 Приведем без доказательств основные свойства z -преобразования, используемые в теории сигналов. 1. Линейность. Если X1 z  и X 2 z  являются z -преобразованиями сигналов x1 i  и x2 i  , то при любых действительных a и b z -преобразование сигнала ax1i   bx2 i  равно aX 1 z   bX 2 z  . 2. Сдвиг (задержка) сигналов. Если сигнал xi  имеет z -преобразование X z  , то z -преобразование сигнала xi  i0  (сдвинутого по оси i на величину i0 ) равно z i0  X z  . Это свойство особенно удобно для описания сигналов, сдвинутых во времени, и используется при переходе от описания сигнала в виде разностного уравнения к его z -преобразованию и наоборот. Это свойство еще называют теоремой о сдвиге. Пример 2.30. Найти z -преобразование сигнала yi   xi   b1 yi  1   b2 yi  2 , если X z  известно. Решение. В соответствии со свойством о сдвиге получаем, что z преобразование сигнала yi  будет равно Y z   X z   b1z 1Y z   b2 z 2Y z  или   Y z   X z  / 1  b1 z 1  b2 z 2 . В этом примере свойство о сдвиге z- преобразования позволило выразить z -преобразования сигналов yi  1 и yi  2 через z -преобразование сигнала yi  и найти последнее в явном виде. _______________ . _______________ 3. Перемножение сигналов. Если сигналы x1 i  и x2 i  имеют z -образы X1 z  и X 2 z  , то сигнал x3 i   x1 i  x2 i  имеет z -преобразование X 3 z   1 2 j C X1  X 2 z /   1d  , (2.86) где С- замкнутый контур в комплексной  -плоскости, охватывающий все особые точки функции X1  X 2 z /  1 , лежащие в окружности с центром в точке 0 и с радиусом, равным z . 4. Свертка сигналов. Если дискретные сигналы xi  и yi  имеют z образцы X z  и Y z  и связаны соотношением типа свертки y i     xi  m F m   m     xmF i  m, (2.87) m   где F i  – функция ядра свертки с z -преобразованием F z  , то Y z   X z F z  . 108 (2.88) Это свойство z -преобразований называют еще теоремой о свертке. z -преобразования Все рассмотренные свойства присущи и одностороннему z -преобразованию. Некоторое отличие имеется в записи теоремы о сдвиге, которая для одностороннего z -преобразования представляется следующим образом: Y z   z i0 X z   x i0   x i0  1z 1    x 1z  i0 1 , где x i0 ,  , x 1 - значения сигнала xi  для i  0 (начальные условия). Если сигнал xi  физически реализуемый (т.е. все xi  для i  0 равны 0), то запись теоремы о сдвиге для одностороннего z -преобразования совпадает с ее записью для общего z -преобразования. Для физически реализуемых сигналов суммирование в (2.87) начинается с m  0 . Хочется еще раз отметить, что, не смотря на кажущуюся внешнюю схожесть записи полиномиального представления финитного сигнала и его z -преобразования, они являются двумя принципиально различными способами аналитического описания сигналов. Z -преобразование применимо не только к сигналам, но и к любым решетчатым последовательностям, в частности к характеристикам сигналов, представляемым в виде дискретных функций. Оно дает удобный математический аппарат для описания различных форм структурной организации алгоритмов цифровой обработки сигналов, широко применяется при исследовании их динамических свойств, опираясь при этом на фундаментальные понятия теории дискретных линейных систем. Напомним их. Дискретная система по сути есть алгоритм преобразования входного дискретного сигнала xi  в выходной yi  , функционально выражаемый соотношением yi   Фxi , где Ф  – оператор преобразования, вид которого зависит от свойств конкретной системы. Если входному сигналу xi   ax1 i   bx2 i  , где x1 i  и x2 i  – два дискретных сигнала, a, b -произвольные константы, соответствует на выходе системы сигнал yi   ay1 i   by2 i  , то дискретная система называется линейной. Для системы с постоянными параметрами характерно то, что сигналу xi  i0  при любых i0 соответствует на выходе сигнал yi  i0  , 109 т.е. задержка сигнала на входе приводит к такой же задержке выходного сигнала. Важной характеристикой линейной системы с постоянными параметрами (ЛПП-системы) является импульсная характеристика (ИХ) системы hi  , физически соответствующая реакции системы на дискретный единичный сигнал (поэтому ее называют еще откликом на единичный отсчет). Импульсная характеристика является решетчатой функцией и, если она равна нулю при i  0 , то ЛПП- система называется физически реализуемой. Для физически реализуемой ЛПП- системы выходной сигнал зависит только от текущего и предыдущего отсчетов входного сигнала и не зависит от его будущих отсчетов. Если hi  отлична от нуля для всех 0  i   , то ЛПП-система является системой с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-системой). Если же hi  задана на конечном интервале изменения i [без потери общности можно считать таким интервалом интервал 0, N  ], то система имеет конечную импульсную характеристику (КИХ- система). Если при любом ограниченном входном сигнале выходной сигнал также является ограниченным, ЛПП-система называется устойчивой. Необходимым и достаточным условием устойчивости является следующее требование к импульсной характеристике системы:   hi    . (2.89) i 0 ЛПП-система обладает тем важным свойством, что ее выходной сигнал связан с входным сигналом линейным разностным уравнением вида i i k 0 k 0 y  i    x  k  h  i  k    x  i  k  h  k  , i   0,   , (2.90) определяющим по сути линейное преобразование типа линейной дискретной свертки. Действительно, поскольку любой физический реализуемый сигнал xi , 0  i   , может быть представлен в виде (2.11) через единичный дискретный сигнал  i  k  , а отклик ЛПП- системы на  i  k  есть h i  k  , то в силу линейности системы автоматически следует справедливость уравнения (2.90). Для физически реализуемых КИХ - систем верхний предел изменения i в (2.90) конечен. 110 -преобразование импульсной передаточной функцией ЛПП- системы: характеристики Z называется H z   Z h i  . (2.91) Применяя к (2.90) теорему о свертке z -преобразований, получим Y z   X z   H z  (2.92) H z   Y z  / X z  , (2.93) или т.е. передаточная функция есть отношение z -образов выходного и входного сигналов. Использование (2.93) с обратным z -преобразованием в ряде случаев значительно упрощает расчет выходного сигнала по сравнению с его прямым вычислением по разностному уравнению (2.90). Важным классом ЛПП-систем являются системы, для которых входной и выходной сигналы связаны линейным разностным уравнением M -го порядка с постоянными коэффициентами: y i   M 1 M k 0 m 1  bk x i  k    am y i  m, i  0 . (2.94) Решение этого уравнения может быть выполнено методом прямой подстановки либо с использованием одностороннего z -преобразования. В первом случае, имея набор начальных условий (например, xk  и yk  для k  1,  2, ,  M ) и входной сигнал xi  , по (2.94) непосредственно вычисляется выходной сигнал yi  для i  0 . Пример 2.31. Решить разностное уравнение yi   2xi   4 yi  1 с начальным условием y 1  0 и xi   i . Решение. Подстановкой в (2.94) получаем y0  2x 0  4 y  1  0; y1  2x 1  4 y 0  2; y2  2x 2  4 y 1  4; y3  2x 3  4 y2  22 и т.д. _______________ . _______________ Второй метод использует теоремы о сдвиге и свертке одностороннего z -преобразования. Применяя их к (3.94) получаем Y z   M 1 b i 0 i M i 1   z i X z    ai  z i Y z    y  i  k z k  . i 1 k 0   (2.95) По этому уравнению, зная X z  и начальные условия для yi  , можно вычислить Y z  , а применив обратное z -преобразование, найти выходной сигнал yi  . 111 Пример 2.32. Условия примера 2.31. Найти решение методом z преобразований. Решение. В соответствии с (2.95) Y z   2 X z   4 z 1Y z   4 y 1 , откуда Y z   2 X z   4 y 1/ 1  4 z 1  . Поскольку (см. табл. 2.1) X z   z 1 / 1  z 1  2 и y 1  0, то  Y z   2 z 1 / 1  z 1  1  4z  . 2 1 Вычисляя обратное z- преобразование, как это было сделано в примере 2.28, получаем результаты примера 2.31. _______________ . _______________ Метод z -преобразований позволяет, зная аналитические зависимости X z  и обратного z -преобразования Y z  , найти аналитическое описание выходного сигнала, что является важным при исследовании ЛПП – систем. 2.8. Геометрическая интерпретация сигналов При математическом описании сигналы удобно рассматривать как точки или векторы в некотором функциональном вектором пространстве – пространстве сигналов; преобразования сигналов – как отображения в этом пространстве, а свойства сигналов – как свойства пространства. Понятие «пространство» целесообразно использовать, чтобы придать множеству сигналов наглядную геометрическую трактовку. Она дает возможность мыслить геометрическими схемами и позволяет многие положения теории сигналов формулировать в терминах хорошо разработанных теорий функционального анализа и аналитической геометрии. Наиболее простой и в то же время физически достаточно содержательной является трактовка сигналов как элементов линейного векторного нормированного метрического пространства. Приведем основные сведения из теории таких пространств. Пусть имеется некоторое множество сигналов х0 , x1 , x2 ,  . Каждый из них может рассматриваться как некоторая точка или элемент пространства сигналов. Если сигналы принимают только действительные значения, то пространство будет действительным. Если же используются комплексные сигналы, то пространство тоже будет комплексным. Пространство считается линейным, если множество сигналов, его образующих, обладает следующими свойствами: 112 1. Для любых двух сигналов x1 и x2 пространства их сумма также принадлежит этому пространству, причем подчиняется правилам коммутативности операция суммирования x1  x2  x2  x1 и ассоциативности x1  x2   x3  x1  x2  x3  . 2. Существует такой элемент Ø пространства (нулевой элемент), что для всех элементов x пространства x + Ø = x. 3. Каждому элементу x пространства можно поставить в соответствие противоположный ему элемент - x , причем x + ( - x) = Ø. 4. Для любого числа C и любого элемента пространства x определен принадлежащий этому пространству элемент C x , причем так, что C1  C2 x    C1C2  x; 1 x  x; C1  C2  x  C1x  C2 x ; C  x1  x2   Cx1  Cx2 . Линейное пространство можно задать с помощью системы координат. Роль осей координат будет играть специальное подмножество элементарных сигналов  0, 1,  , удовлетворяющих требованию линейной независимости (2.2). Система этих элементарных сигналов образует в линейном пространстве координатный базис. Тогда любой сигнал, соответствующий определенной точке пространства, может быть представлен с помощью её проекций (координат) X k  на оси этой системы координат. Математически разложение сигнала на проекции осуществляется с помощью линейной комбинации (2.25), где величина r для данного случая связана с числом осей системы координат и определяет размерность пространства. Размерность пространства должна быть равна размерности сигнала, т.е. числу значений, необходимых для полного его представления на интервале определения. Для точного задания финитного непрерывного сигнала xt , t  tmin , tmax  необходимо бесконечное число значений, поэтому размерность функционального пространства непрерывных сигналов равна бесконечности r   . Такое пространство является бесконечномерным. Для задания финитного дискретного сигнала xi , i  0, 1,  , N  1 требуется N значений, поэтому размерность функционального пространства дискретных 113 сигналов равна числу отсчетов N и такое пространство является конечномерным (или N -мерным). Если размерность пространства совпадает с размерностью сигналов, то система координат является полной и в ней любой сигнал пространства с помощью зависимости (2.1) точно представляется по его проекциям X k . Между осями системы координат могут быть любые углы (косоугольная система координат). Однако, если базисные сигналы  k  удовлетворяют еще условию ортогональности, то система координат будет декартовой. Для ортогонального базиса проще правило вычисления проекции X k  сигнала, которое в этом случае зависит только от метрических свойств пространства. В полном ортогональном базисе к системе координат нельзя добавить ни одной новой оси координат, которая была бы перпендикулярна ко всем другим осям. В линейном пространстве возможна еще одна геометрическая интерпретация сигнала в виде радиуса-вектора, проведенного из начала координат в точку пространства, соответствующую сигналу. В этом случае система координат  k  может рассматриваться как система элементарных базисных векторов  k (t ) , а выражение (2.24) будет представлять собой разложение вектора-сигнала по его проекциям. В ортогональном базисе все базисные векторы являются взаимоперпендикулярными. Для построения вектора в заданном ортогональном базисе существенное значение имеют масштабы базисных векторов. Поэтому для упрощения удобно базисные векторы нормировать к единице, т.е. принимать их длину равной единице. Такие базисные векторы называют единичными или ортами, а базисная система, построенная на них, называется ортонормированной. Любую базисную систему векторов всегда можно пронормировать. Линейное векторное пространство называется метрическим, если в нем определено расстояние между элементами пространства. Это расстояние называется метрикой и для пары элементов x1 и x2 является неотрицательным числом d x1, x2  . Правило, задающее это число, должно удовлетворять следующим условиям: 114 d x1 , x2   0 только при x1  x2 ; d x1 , x2   d x2 , x1 ; d x1 , x3   d x1 , x2   d x2 , x3 . Первые два условия означают соответственно равенство нулю метрики в случае совпадения элементов и её независимость от точки отсчета. Третье условие означает, что если две точки близки к третьей, то они должны быть близки и между собой. Понятие «расстояние» в теории сигналов часто используется для оценки отличия одного сигнала от другого или для трактовки погрешности представления одного сигнала другим. Поэтому для характеристики метрических свойств пространства сигналов должна выбираться метрика, наиболее полно описывающая это отличие одним числом. Аналитическая запись правила вычисления метрики зависит от типа пространства и вида сигналов (непрерывные или дискретные). В табл. 2.2 приведены наиболее часто используемые типы пространств с их обозначениями и соответствующие им метрики. В таблице использованы следующие обозначения: x1 t  x1 i  и x2 t  x2 i  – два непрерывных (или дискретных) сигнала одного пространства, T и N – длительности интервалов определения непрерывных и дискретных сигналов соответственно, sup  y  – наибольшее значение величины y с учетом её граничных значений. Таблица 2.2 Вид сигналов Тип пространства (его обозначение) Метрика L1T 1 max  x1 t   x2 t  d t T t min L2T 1 max x1 t   x2 t 2 d t  T t min t t непрерывные sup x1 t   x2 t  MT tmin  t  tmax l1N 1 N l дискретные 2 N mN 115 N 1  x i   x i  i 0 1 2 1 N 1 x1 i   x2 i 2  N i 0 sup x1 i   x2 i  0  i  N 1 Из сравнения метрик табл. 2.2 с записями погрешностей при аппроксимации сигналов (см. §2.4) следует, что метрика в пространстве   L1T l 1N совпадает со средней погрешностью при приближении в среднем, метрика в пространстве L2T l N2  - со среднеквадратической погрешностью при среднеквадратическом приближении, а метрика в пространстве M T mN  – с абсолютной погрешностью при равномерном приближении. В соответствии с этим аппроксимация приближением в среднем, аппроксимация равномерным приближением и среднеквадратическая аппроксимация могут быть интерпретированы как представления сигналов соответственно в пространствах L1T l1N , M T mN  и L2T lN2 . Если расстояние между двумя элементами x1 и x2 в метрическом пространстве стремится к нулю d x1, x2   0 , то говорят, что x1 сходится к x2 . Однако это вовсе не означает, что элемент x1 , становится тождественно равным x2 - они просто неразличимы в данном пространстве. В другом пространстве x1 и x2 будут отличаться друг от друга, потому что расстояние в различных пространствах определяется по-разному. В векторной интерпретации сигналов метрика оценивает степень близости двух векторов и равна длине разностного вектора: d x1, x2   x 1  x2 . Два вектора совпадают, если расстояние x1  x2  0 . Это понятие близости или расстояния в векторном пространстве будет использовано в дальнейшем. Метрика в пространствах L2T и lN2 имеет ясный физический смысл, т.к. равна корню квадратному из мощности разностного сигнала x  x1  x2 . Она адекватна задачам, где отличие между сигналами вызывается суммарным действием помех либо погрешностей измерения. По этой причине эти пространства широко применяются в теории обработки сигналов в условиях воздействия различного рода искажений. Линейное пространство называется нормированным, если в нем определена норма, равная расстоянию от начала системы координат до заданной точки пространства. В векторных представлениях норма геометрически эквивалентна длине вектора сигнала. Норма сигнала (вектора) x обозначается, как x и удовлетворяет следующим условиям: 116 x  0; x  0, если x  Ø; x1  x2  x1  x2 ; c x  c  x , где с  действительное число. Поскольку норма одновременно удовлетворяет условиям для метрики, то её можно использовать в качестве последней: d x1 , x2   x1  x2 . В этом случае x  d ( x, Ø), т.е., если метрика пространства порождена ее нормой, то норма показывает, насколько вектор отличается (или отстоит) от нулевого вектора. Таким образом, линейное векторное пространство можно сделать нормированным метрическим. Практический смысл имеют пространства только с векторами конечной длины, поэтому x  . Из этого неравенства при известном способе записи нормы можно получить условие принадлежности сигналов заданному функциональному пространству. Аналитически норма, как и метрика, в линейном пространстве может вводиться любым образом, лишь бы она удовлетворяла приведенным условиям. В пространствах L2T и lN2 она связывается с мощностью сигнала t 1 max 2 x   x t d t , T t min x  Условия принадлежности следующий вид: (2.96) 1 N 1 2  x i . N i 0 сигналов этим (2.97) пространствам имеют t 1 max 2  x t dt  , T t min 1 N N 1  x i    . 2 i 0 117 (2.98) (2.99) Таким образом, пространства L2T и lN2 являются множествами сигналов конечной мощности. Им принадлежит интегрируемых (суммируемых) с квадратом. совокупность сигналов, Метрику и норму в пространствах L2T и lN2 можно аналогичным образом связать и с энергией сигналов. В этом случае будут определены уже пространства по энергии, а не по мощности. При конечных T и N пространства по мощности и энергии отличаются друг от друга только масштабом и включают в себя одно и тоже множество сигналов. При T   картина будет иная и пространство по мощности будет включать в себя более обширное множество сигналов, чем пространство по энергии. В качестве иллюстрации к сказанному можно напомнить, что на интервале T   сигналы в виде функции единичного скачка, дельта – функции и любой периодической функции в пространство по энергии не входят, но входят в пространство по мощности, так как они при бесконечной энергии имеют конечную мощность. Над векторами функционального пространства можно выполнять различные математические операции: сложения, вычитания, умножения. Особенно важное значение имеет скалярные произведение векторов – единственная операция, результатом которой является скаляр, а не вектор. Под скалярным произведением x1, x2  двух векторов x1 и x2 понимается число, способ вычисления которого обладает следующими свойствами: x1, x2   x2 , x1 ; c1x1  c2 x2 , x3   c1 x1, x3   c2 x2 , x3 ; x, x  0; x, x  0 только при x  Ø. В этих выражениях c1 и c2 являются скалярными величинами. Аналитическая запись скалярного произведения однозначно определяется метрическими свойствами линейного пространства. Для пространств L2T и lN2 по мощности скалярное произведение принимается равным взаимной мощности сигналов x1 и x2 и вычисляется по формулам: t max x1 , x2   1  x1 t  x 2 t  d t , T t min x1 , x2   1 N (2.100) N 1  x i  x i . i 0 118 1 2 (2.101) Для пространств L2T и lN2 по энергии скалярное произведение определяется через взаимную энергию двух сигналов. Зная скалярное произведение и норму двух векторов, можно определить угол  между этими векторами: cos  x1, x2  . (2.102) x1  x2 Скалярное произведение двух ортогональных сигналов равно нулю. Векторы, соответствующие таким сигналам, перпендикулярны друг другу, что непосредственно следует из формулы (2.102). Такие векторы также называются ортогональными. Если все попарные скалярные произведения некоторой совокупности векторов равны нулю, то они линейно независимы и могут быть использованы как базисы линейных пространств (т.е. на их основе можно построить систему координат пространства, причем каждая ось этой системы будет перпендикулярна остальным осям). Конечно-мерное линейное пространство l N2 со скалярным произведением в виде (2.101) называется евклидовым, а бесконечномерное пространство L2T со скалярным произведением в виде (2.100) – гильбертовым. Все приведенные зависимости для вычисления метрики, нормы и скалярного произведения в пространствах L2T и lN2 касались только действительных сигналов. Для комплексных пространств эти зависимости корректируются с учетом записи мощности и энергии комплексных сигналов (см. §2.2). Так, например, для комплексных пространств по мощности они представляются в следующем виде: t   1 max   x1  x2   x1 t   x2 t  x1 t   x2 t  d t , T t min (2.103) t 1 max x  xt  x t  dt ,  T t min (2.104) t max x1 , x2   1  x1 t  x2 t dt , T (2.105) t min x1  x2    1 N 1 x1 i   x2 i  x1 i   x2 i  ,  N i 0 119 (2.108) x  1 N 1 xi  x i  ,  N i 0  x1 , x2   1 N N 1  x i  x i  . i 0 1  2 (2.107) (2.108) Скалярные произведения в комплексных пространствах в общем случае являются комплексными величинами. Их свойства будут несколько отличаться от свойств скалярного произведения действительных сигналов, а именно: x1 , x 2   x 2 , x1  , c x1 , x 2   cx1 , x 2 , x1 , c x 2   c  x1 , x 2 . Норма и метрика в комплексном пространстве являются положительными действительными величинами. Векторы в комплексном пространстве нельзя интерпретировать геометрически, так как не существует в общем случае понятия угла  между ними. Это вытекает из того факта, что выражение x1 , x2  x1  x2 теперь является, вообще говоря, комплексной величиной и не может быть истолковано как косинус какого-либо угла. Вопросы и задачи для самопроверки: 1. Дайте определение функциональных преобразований сигналов. 2. Какие функциональные преобразования являются линейными? Приведите примеры. 3. Докажите, что тригонометрическое преобразования вида y  sin x является нелинейным. 4. Сформулируйте условия линейной независимости сигналов. 5. Приведите примеры линейнозависимых и линейнонезависимых сигналов. 6. В чем состоит суть динамического представления сигналов? 7. Чем различаются динамические представления сигналов на основе функций единичного скачка и дельта-функций? 120 8. Какие дополнительные условия накладываются в теории сигналов на математическую дельта-функцию? 9. Запишите интеграл Дюамеля для представления сигнала xt  . 10. Дайте определения интегральной свертки непрерывных сигналов. 11. В чем состоит физический смысл преобразования типа интегральной свертки? 12. Сформулируйте основные свойства интегральной свертки. 13. Запишите уравнение дискретной свертки для сигнала с бесконечным интервалом определения. 14. Какие способы доопределения финитных дискретных сигналов существуют и какие в соответствии с этим дискретные свертки финитных сигналов используются? 15. В чем состоит отличие круговой и линейной свертки дискретных сигналов? 16. Вычислить круговую свертку сигнала xi    1;  2; 0; 1; 2 с ядром F i   1; 1; 0;  1;  1. 17. Вычислить xi   2; 1; 0; 1; 2 линейную свертку двух сигналов и ui    1; 0; 1. 18. Вычислить линейную свертку тех же сигналов, что и в задаче 17, но через круговую свертку. 19. Для чего используются методы перекрытия при вычислении дискретных сверток? 20. Вычислить линейную свертку сигналов xi    3;  1;  2; 0; 1; 2; 3 и ui    1; 0; 1 методом перекрытия с суммированием. 21. Вычислить линейную свертку сигналов задачи 20 методом перекрытия с накоплением. 22. В чем состоит различие между интерполяцией и аппроксимацией сигналов? 23. Назовите основные виды сходимости (приближения) аппроксимирующих многочленов и запишите соответствующие им критерии. 24. Почему для сигналов с конечным интервалом определения среднеквадратическое приближение совпадает с приближением по энергии? 121 25. В чем состоит принципиальное отличие аппроксимации ортогональными многочленами от аппроксимации неортогональными многочленами? 26. Почему среднеквадратическая аппроксимация находит наиболее широкое применение на практике? 27. В каких случаях при аппроксимации полезно использовать весовую функцию? 28. Сформулируйте требования к весовой функции при аппроксимации. 29. В каких случаях экстраполяция сигнала совмещается с его аппроксимацией? 30. Найти определитель матрицы  1 3  2 5   прямым методом. 31. Вычислить определитель матрицы  1 3 7   1 4  2    3  1 2  путем его разложения по элементам первой строки и по элементам второго столбца. 32. Какие матрицы называются симметрическими и эрмитовыми? 33. Найти произведение двух матриц 1 2 5 3 1 2   4 1 3 и 1 2 2 3 1 1  .   2 2 1 34. Найти матрицу, являющуюся обратной матрице 1 2 1 2  4 3 1 5  .   2 3 5 3 35. Найти кронекеровское произведение двух квадратных матриц  2 1 A , 3 5 прямым и упрощенным способом. 122 1 3 7  B  4 1 5 1 1 3  36. Что такое факторизация матриц? 37. Записать линейное преобразование сигналов 2 y i    aik xk , i  0,1 k 0 в матричном виде. 38. Вычислить круговую свертку для условий задачи 16 использованием матричных представлений сигналов. 39. Вычислить линейную свертку для условий задачи 17 использованием матричных представлений сигналов. с с 40. Представить сигнал xi   1; 3; 5; 2 в полиномиальном виде. 41. Вычислить линейную свертку для условий задачи 17 с использованием полиномиальных представлений сигналов. 42. Найти НОД чисел 315 и 51. 43. Записать НОД чисел 315 и 51 в виде линейной комбинации этих чисел. 44. Решить диофантово уравнение 21x  6 y  9 . 45. Решить сравнение 21x  9 mod 5 . 46. Найти решение системы сравнений x3 mod 2; x2 mod 3; x  1 mod 5 . 47. Преобразовать одномерный массив из пятнадцати элементов в двумерный всеми рассмотренными четырьмя способами. 48. Вычислить круговую свертку для условий задачи 16 с использованием полиномиальных представлений сигналов. 49. Запишите z -преобразование для сигнала xi    1; 2;  3; 5. 50. Найти z -преобразование сигнала xi   i 2 . 51. Вычислить обратное z -преобразование для X z   52. Найти полюса функции X z   z 1 1  z  1 2 . z 2 . 1  0,5 z 1 1  0,25 z  2    53. Дайте определения дискретной линейной системы с постоянными параметрами. 54. Поясните физический смысл импульсной характеристики линейной системы. 123 55. Сформулируйте условия линейности функционального пространства сигналов. 56. Какие функциональные пространства сигналов считаются нормированными и метрическими? 57. Как записывается норма и метрика в пространствах L1T , M T , L2T , l 1N , m N , l N2 ? 58. Каким условиям должно удовлетворять скалярное произведение векторов и как оно записывается в пространствах L2T и lN2 ? 59. Почему векторы в интерпретировать геометрически? комплексном 124 пространстве нельзя ГЛАВА 3 СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ 3.1. Функциональные пространства L2T и lN2 сигналов Рассмотрим подробнее среднеквадратическую аппроксимацию действительных непрерывных сигналов с помощью многочленов (2.25), в которых система выбранных функций k t  удовлетворяет условию ортогональности (2.34). Такой многочлен будет также называться ортогональным. Именно этот случай соответствует представлению сигналов в гильбертовом действительном функциональном пространстве L2T с ортогональным базисом, в качестве которого выступает система функций k t  многочлена. Пусть интервал определения сигналов tmin , tmax  является конечным, т.е. T  . Тогда приближение по мощности погрешности будет равносильно приближению по энергии погрешности. Поэтому в дальнейшем мы будем использовать преимущественно среднеквадратический критерий. Минимум среднеквадратического достигается при критерия нахождении для произвольных коэффициентов функций k t  аппроксимирующего многочлена X k  из решения системы уравнений (2.33). Для ортогонального многочлена условие ортогональности (2.34) базисных функций позволяет решение системы (2.33) получить в следующей более простой форме записи: X k   1 T  Pk t max  xt   t dt , (3.1) k t min поскольку 1 T t max   t   t dt  0, k m k  m. t min Если подставить значения коэффициентов X k  , записанные с помощью формулы (3.1), в выражение для дисперсии (мощности) погрешности аппроксимации (2.30), то получим, что r  2  P   X 2 k  Pk , k 0 125 (3.2) где P и Pk есть мощности сигнала и k -й базисной функции соответственно. Отсюда следует неравенство Бесселя r P   X 2 k  Pk , (3.3) k 0 которое свидетельствует о том, что приближенная копия сигнала xr t  , получаемая в результате аппроксимации, будет всегда иметь меньшую мощность, чем оригинал. Отметим два важных свойства аппроксимации многочленами, составленными из ортогональных функций. Формула (3.1) обеспечивает наилучший выбор коэффициентов X k  в том смысле, что при любом другом выборе среднеквадратическая погрешность будет больше. Пусть например, производится аппроксимация того же сигнала с помощью другого многочлена r x1r  t    X 1  k   k  t  . k 0 Мощность погрешности определяется выражением (2.30), которое при замене X k  на X1 k  и последующем преобразовании запишется в следующем виде: t r r 1 max   P  2 X 1 k   xt k t  dt   X 12 k  Pk . T tmin k 0 k 0 2 Учитывая, что t 1 max  xt k t dt  X k  Pk , T t min получим r r k 0 k 0  2  P  2 X 1 k  X k Pk   X 12 k  Pk . Последнее выражение можно записать в виде r r k 0 k 0  2  P   X 2 k Pk   X 1 k   X k 2 Pk . Отсюда видно, что погрешность будет минимальной, если X1k   X k  , и её минимальное значение определяется (3.2). Из (3.1) следует, что величина коэффициентов не зависит от порядка многочлена r , поэтому если прибавить к аппроксимирующему многочлену 126 новые слагаемые, то величины всех ранее вычисленных коэффициентов не изменятся, а дисперсия погрешности  2 в соответствии с (3.2) уменьшится. Очевидно, что среднеквадратическая аппроксимация имеет смысл тогда, когда существует выражение (3.2) для мощности погрешности, т.е. если мощность сигнала xt  и функций  k t  на интервале аппроксимации имеет конечную величину ( P   , Pk   ). Все результаты, вытекающие из алгебраического рассмотрения, полностью согласуются с результатами геометрической трактовки сигналов в гильбертовом пространстве L2T . В этом случае система ортогональных функций k t  может рассматриваться в качестве базиса пространства и образовывать его декартову систему координат. Само условие ортогональности базисных функций можно записать в виде скалярного произведения двух базисных векторов  k и m : k ,m   1 T t max   t  t dt  P  k m k (3.4) k ,m t min Представление сигнала – вектора xt  с помощью его проекций X k  в этой системе координат можно записать также в форме многочлена (2.24), который в этом случае определяет разложение сигнала по полной ортогональной системе k t  . функций Сами проекции сигнала (коэффициенты многочлена) X k  должны быть найдены по формуле (3.1), поскольку только в этом случае будет выполнено условие сходимости в пространстве L2T : x  xr  0 . При ограничении числа базисных функций выбор X k  по формуле (3.1) обеспечивает выполнение условия x  xr  min . Использование геометрической интерпретации сигналов позволяет их энергетические характеристики записывать с помощью скалярных произведений, а последние выражать не только через значения сигналов, но и значения коэффициентов их разложений в заданном базисе. Для доказательства этого рассмотрим два сигнала x1 t  и x2 t  , представляемые в пространстве L2T с коэффициентами X1 k  и X 2 k  соответственно:  x1 t    X 1 k  k t  , k 0  x2 t    X 2 m  m t  . m0 127 Взаимная мощность этих сигналов на интервале их определения tmax ,tmin  будет равна t t    1 max 1 max   P12   x1 t  x2 t dt    X 1 k  k t    X 2 m  m t  dt. T t min T t min  k  0  m  0  Это выражение можно представить в виде t   1 max P12   X 1 k  X 2 k    k2 t  dt   T t min k 0 k 0  t 1 max     X k X m  1 2 T  k t m t dt. m0 t min Учитывая, что базисная система ортогональна по мощности и что скалярное произведение в пространстве L2T определяется выражением (2.100), получим P12   x1 , x2   t  1 max     x t x t dt  X 1 k  X 2 k  Pk .   1 2 T t min k 0 (3.5) Таким образом доказано, что взаимная мощность сигналов из пространства L2T действительно является их скалярным произведением. Кроме того, из выражения (3.5) следует, что в пространстве L2T допустима еще одна запись скалярного произведения – запись, использующая коэффициенты разложения этих сигналов в заданном ортогональном базисе. Формальное отличие этих видов записи состоит только в том, что в первом случае скалярное произведение понимается в смысле интегрирования, а во втором – в смысле суммирования. Это связано с характером представления функций xt  и X k  . Первая из них является непрерывной функцией, а вторая – дискретной. Из выражения (3.5) нетрудно получить аналогичные зависимости для мощности сигнала t  1 max 2 P   x, x    x t  dt   X 2 k Pk . T t min k 0 (3.6) Это выражение называется равенством Парсеваля. Из него следует, что мощность сигнала равна сумме мощностей всех его проекций. По сути дела это выражение является записью обобщенной теоремы Пифагора для бесконечномерного векторного пространства. Поскольку метрические характеристики пространства L2T можно связать со скалярным произведением (см. таблицу 2.2 и (2.100)), то норму и 128 метрику сигналов также разложения: можно выразить через коэффициенты их t  1 max x  d ( x,  )   x 2 t  dt   X 2 k Pk , T t min k 0 2 x1  x2 2 2  (3.7)  d 2  x1 , x2    X 1 k   X 2 k  Pk . 2 (3.8) k 0 Если производить ортогональную аппроксимацию сигнала, то в соответствии с (3.8) её дисперсия будет равна  2  x  xr 2    X k P , 2 (3.9) k k  r 1 из чего следует, что она определяется суммарной мощностью отброшенных коэффициентов, возникающих при усечении многочлена (2.24). Как уже отмечалось, в пространстве сигналов L2T сходимость понимается в смысле   0 . В соответствии с (3.9) эту сходимость иногда еще называют сходимостью по норме. Таким образом, среднеквадратическая ортогональная аппроксимация сигнала действительно может быть истолкована как разложение сигнала в пространстве L2T по неполному ортогональному базису. Для комплексных сигналов с ограниченным интервалом определения применимо комплексное пространство L2T . В этом пространстве любой сигнал конечной мощности может быть разложен по полной системе ортогональных комплексных базисных функций. При этом общий вид формулы разложения сигнала остается таким же, как и в пространстве L2T действительных сигналов, а условие ортогональности базисных функций и зависимость для вычисления проекций (коэффициентов разложения) принимают следующий вид: t max  ,   T1   t  t dt  P  k  m  m k k k, m , (3.10) t min X k   1 1  T Pk t max  xt  t dt.  k (3.11) t min Здесь Pk по-прежнему обозначает мощность k -й базисной функции   t 1 max Pk   k ,     k t  k t  dt. T t min  k 129 (3.12) Равенство Парсеваля в комплексном пространстве имеет следующий вид: t  1 max      x t x t dt  X k X  k  Pk   T t min k 0 (3.13) и также, как и в пространстве действительных сигналов, отражает факт распределения мощности сигнала по коэффициентам его разложения в ортогональном базисе. Общая мощность равна сумме мощностей всех этих коэффициентов. Возможность такого суммирования это прямое следствие ортогональности базисных функций. Действительный сигнал является частным случаем комплексного сигнала (это сигнал с нулевой мнимой частью), поэтому действительные сигналы так же могут представляться в комплексном пространстве. Базисные функции и коэффициенты разложения X k  при этом будут комплексными величинами. Дискретные сигналы xi  , определенные на конечном множестве из N точек, представляются в евклидовом lN2 функциональном пространстве с ортогональным базисом k i . В таком пространстве скалярное произведение понимается в смысле конечного суммирования, поэтому теория этого пространства может быть построена на основе теории гильбертова пространства с заменой в соответствующих формулах интегралов на конечные суммы. Многочлен разложения дискретного сигнала конечной энергии или мощности по полной системе ортогональных дискретных базисных функций k i  имеет вид конечного ряда N 1 xi    X k  k i  . (3.14) k 0 Уменьшение числа членов в (3.14) до величины r  N приводит к многочлену r xr i    X k  k i  , (3.15) k 0 который аппроксимирует погрешностью исходный  сигнал со N 1  X k P 2 k  r 1 для действительного сигнала и 130 k , среднеквадратической N 1  X k  X k P   k k  r 1 для комплексного сигнала, которая будет минимальной, если его коэффициенты вычисляются по следующим формулам: - для действительного пространства X k   1 1  N Pk N 1  xi  i  , (3.16) k i 0 - для комплексного пространства X k   1 1  N Pk N 1  xi  i  .  k i 0 (3.17) В этих формулах величины Pk являются мощностью действительной 1 N Pk  N 1  i  2 k (3.18)  i  i  (3.19) i 0 или комплексной Pk  1 N N 1 i 0  k k k -й базисной функции  k i  . Условия ортогональности для этих функций имеют следующий вид: k ,m   1 N N 1  i  i   P  i 0 k m k  ,   N1  i  i   P  N 1  m k i 0  m k k k ,m , (3.20) k ,m , (3.21) а равенства Парсеваля записываются следующим образом: 1 N 1 N N 1 N 1  x i    X k P , 2 i 0 2 k k 0 N 1 N 1 i 0 k 0  xi x i    X k X  k Pk . (3.22) (3.23) В евклидовом пространстве норма и метрика также могут быть выражены через коэффициенты разложения сигнала, причем соответствующие формулы для действительного пространства легко получаются из выражений (3.7) и (3.8) заменой в них бесконечного предела суммирования на конечную величину N  1 . Для комплексного пространства аналогичные формулы могут быть получены на основе общих выражений (2.106) и (2.107) подстановкой в них вместо сигнала xi  его разложения (3.14) и учетом условия ортогональности (3.21). 131 При увеличении числа членов дискретного аппроксимирующего многочлена (3.15) дисперсия погрешности аппроксимации уменьшается и при r  N погрешность становится равной нулю. Поэтому в формулах для многочлена разложения (3.14) и его коэффициентов (3.16) и (3.17) xi  означает один и тот же сигнал. В этом состоит одно из принципиальных отличий конечномерного пространства от бесконечномерного пространства. В бесконечномерном функциональном пространстве равенства в формулах для многочлена (2.25) и его коэффициентов (3.1) и (3.11) носят различный характер. В формулах коэффициентов (3.1) и (3.11) равенство является тождественным по определению: необходимо так определить коэффициенты X k  , чтобы разложение сигнала было возможным. В формуле многочлена разложения (2.25) равенство означает, что сумма членов ортогонального многочлена сходится к сигналу с любой сколь угодно малой среднеквадратической погрешностью. Сумма членов многочлена (2.25), строго говоря, при устремлении предела суммирования к бесконечности дает не сам сигнал xt  , а лишь его «копию», которая остается таковой, как бы мало она не отличалась от оригинала. Таким образом, сигналы xt  , фигурирующие в формулах (2.25) и (3.1), (3.11), – это, по существу, различные сигналы. В заключение рассмотрим некоторые полезные свойства сигналов, входящих в пространства L2T и lN2 . Формулировку этих свойств дадим применительно к действительным пространствам по мощности. Все они в равной мере будут относиться и к действительным пространствам по энергии, а также к комплексным пространствам и по мощности, и по энергии. 1. Произведение двух интегрируемых (суммируемых) с квадратом сигналов есть абсолютно интегрируемая (суммируемая) функция. Это непосредственно следует из неравенств: x1  t   x2  t   0, 2 x1  t  x2  t   x12  t   x22  t  . Следовательно, t max  x t  x t  dt   . 1 2 t min Аналогично и для дискретных сигналов 132 N 1  x i   x i    . 1 i 0 2 2. Сумма двух сигналов, принадлежащих пространствам L2T или lN2 , также принадлежит этим пространствам. Действительно, x1 t   x2 t 2  x12 t   2 x1 t x2 t   x22 t , x1 i   x2 i 2  x12 i   2 x1 i x2 i   x22 i . Поэтому, в силу свойства 1: t max  x t   x t  dt  , 2 1 2 t min N 1  x i   x i  i 0 2 1 2  . 3. Сигнал из L2T l N2  , умноженный на произвольное действительное число, принадлежит к L2T l N2  . 3.2. Преобразования Фурье непрерывных сигналов на конечных интервалах времени Многочлен разложения (2.25), удовлетворяющий условиям ортогональности, в литературе называется рядом Фурье в произвольном ортогональном базисе. В его основе лежит полная система ортогональных базисных функций, упорядоченных с помощью индекса k . Эти базисные функции являются функциями двух переменных: дискретной переменной k и непрерывной переменной t . Поэтому удобно обозначить их в виде  (k , t ) . Соответственно коэффициенты X k  ряда Фурье будут функциями дискретной переменной k . Учитывая это и сохранив общий двусторонний интервал определения сигналов, получим следующие выражения для ряда Фурье и коэффициентов разложения:      t 1 max    xt  k ,t  dt ,  T tmin   t max 1    xt  k ,t  dt .  T tmin  xt    X k  k ,t , k 0 X k   1 Pk X k   1 Pk 133 (3.24) Наличие двух формул для вычисления коэффициентов ряда Фурье в (3.24) связана с возможностью применения этих выражений для разложения как действительных, так и комплексных сигналов. Ряд Фурье и формулы вычисления его коэффициентов (3.24) удовлетворяют всем условиям линейных преобразований, поэтому их называют еще преобразованиями Фурье непрерывных сигналов. При этом сам ряд Фурье называют обратным преобразованием Фурье, а формулы вычисления его коэффициентов X k  - прямым преобразованием Фурье. Преобразования Фурье устанавливают взаимнооднозначное соответствие между сигналом и коэффициентами его Фурье-разложения. Поэтому эти коэффициенты могут быть использованы для аналитического описания сигналов. Их совокупность называется спектром сигнала. Спектр непрерывных сигналов с ограниченными интервалами определения всегда будет дискретной функцией переменной k , т.е. носит линейчатый характер. Произведение X k   k , t  называется спектральной составляющей. Ряд Фурье представляет сигнал в виде суммы спектральных составляющих или, что то же самое, в виде элементарных сигналов  k, t , взятых с весом X k  . Взаимооднозначное соответствие между сигналом и его спектром, обеспечиваемое преобразованиями Фурье, говорит о математическом равноправии функций xt  и X k  как различных форм аналитического выражения сигнала. Это подтверждается и симметрией выражений прямого и обратного преобразований Фурье. То, что в одном из них производится суммирование, а в других – интегрирование, не имеет принципиального значения, так как это аналогичные операции для функции дискретной переменной X k  и функции непрерывной переменной xt  . Физическая эквивалентность спектрального и временного представлений сигнала подтверждается равенствами Парсеваля (3.6) и (3.13), поскольку в левой части этих равенств записана мощность сигнала при его представлении с помощью математической функции времени, а в правой части – та же мощность при представлении сигнала с помощью спектров. Из равенства Парсеваля, кроме того, следует, что так как мы рассматриваем сигналы с конечной мощностью P   , то бесконечные суммы в правой части равенств должны быть сходящимися. Все слагаемые этих сумм положительны, поэтому их сходимость может быть обеспечена только 134 в том случае, если коэффициенты Фурье с повышением номера (порядка) базисной функции стремятся к нулю: lim X k   0 . k  (3.25) Представление сигналов в виде их спектров будем в дальнейшем называть представлением в спектральной области. Разделение описаний сигналов на временную и спектральную области может оказаться полезным в тех случаях, когда требуется различать эти две родственные формы аналитического описания сигналов. Они действительно являются родственными, поскольку, как будет показано далее в §4.1, представление сигнала с помощью функций времени может рассматриваться как частный случай спектрального представления по системе специальных базисных функций. Переход в спектральную область не меняет типа функционального пространства и не влияет на его свойства. Однако, если такой переход все же выполнен, то метрические характеристики пространства можно вычислить через спектральные составляющие, а не через значения самого сигнала, т.е. не восстанавливая сам сигнал (см. предыдущий параграф). Геометрическая трактовка сигналов позволяет привести более общие формулы записи преобразований Фурье с использованием операций скалярных произведений: xt    X k ,  k , t k ,   X k    xt ,  k , t t / Pk ,   X k   xt ,   k , t  t / Pk .   (3.26) Индекс k в первом из выражений (3.26) означает, что в нем используется скалярное произведение в смысле суммирования по переменной k , а индекс t в двух следующих выражениях говорит о том, что в них скалярное произведение понимается в смысле интегрирования по переменной t . Развернутые выражения (3.24) и более сжатые выражения (3.26) составляют математическую основу скалярного способа описания преобразований Фурье. Ряд Фурье часто используется и при других видах аппроксимации, отличных от среднеквадратической аппроксимации. В этом случае следует определить условия его сходимости к аппроксимируемым сигналам и 135 функциям, подобные условию среднеквадратической сходимости. Эти условия при различных критериях приближения не совпадают. Они вообще имеют смысл только в том случае, когда оговариваются критерии приближения. 1. Наиболее жесткие требования к сигналам предъявляются, когда необходимо обеспечить приближение почти всюду или равномерное приближение. Чаще всего они определяются так называемыми условиями Дирихле: а) сигнал должен быть определен в каждой точке конечного интервала времени tmin ,tmax  , т.е. не должен на этом интервале обращаться в бесконечность (другими словами сигнал на интервале определения не должен иметь точек разрыва 2-го рода); б) интервал tmin ,tmax  должен допускать разбиение на конечное число участков, в каждом из которых сигнал является непрерывным и монотонным; в) в каждой точке разрыва сигнала должны существовать его значения при подходе к точке разрыва справа xt  и слева xt  , т.е. разрывы должны быть только 1-го рода. Иногда условия Дирихле условиями, например: заменяются другими, равносильными а) xt  – ограниченная функция; б) разрывы – 1-го рода; в) в любой точке интервала tmin ,tmax  сигнал имеет конечную производную или хотя бы правую и левую производные (условие Дини). Равносильными условиям Дирихле являются также условия: а) xt  – абсолютно интегрируемая функция; б) выполняется условие Дини. Иногда в условия Дирихле добавляется требование, чтобы сигнал имел ограниченную вариацию, означающее, что сигнал на любом конечном интервале должен иметь конечное число максимумов и минимумов. При выполнении всех этих условий оказывается, что ряд Фурье сходится к xt  во всех точках непрерывности за исключением малых окрестностей у точек разрыва, в которых он может существенно отличаться от xt  . При этом величина различия 136 (абсолютная погрешность аппроксимации) практически не уменьшается с увеличением числа членов ряда Фурье. Эта особенность поведения ряда Фурье вблизи точек разрыва 1го рода сигнала в литературе получила название явления Гиббса. Явление Гиббса существует при любых системах базисных функций, если только они являются аналитическими функциями (т.е. являются неограниченно дифференцируемыми функциями). В самих точках разрыва сигнала ряд Фурье сходится к значению xt   xt / 2 . 2. Менее жесткие требования предъявляются к сигналам, когда требуется, чтобы ряд Фурье сходился по мощности или энергии погрешности, т.е. по норме пространства L2T . Для этого достаточно, чтобы на конечном интервале определения сигнал был функцией, интегрируемой с квадратом. 3. Еще менее жесткие требования предъявляются к сигналам, когда ряд Фурье должен обеспечивать приближение в среднем, т.е. по метрике пространства L1T . Для этого необходимо, чтобы сигнал был абсолютно интегрируемой функцией t max  xt  dt   . t min Естественно, что каждое ослабление требований к сигналам связано с расширением класса сигналов, которые можно разлагать в ряд Фурье. Последние две группы требований в приведенном перечне охватывают все сигналы, используемые на практике. Важно отметить, что перечисленные требования являются только достаточными. 3.3. Системы базисных функций Один и тот же сигнал может быть разложен в ряд Фурье по различным системам базисных функций, или, что одно и то же, рассмотрен в различных системах координат. При этом внутренние закономерности сигнала не могут нарушаться при изменении системы координат, поскольку свойства вектора не могут зависить от его проекций. Свойства функционального пространства L2T инварианты относительно системы базисных функций и одинаково описываются в любом базисе. Однако свойства спектра сигнала могут 137 зависеть от базисной системы, так как свойства проекций вектора связаны с используемой системой координат. Система базисных функций, составляющая основу спектрального анализа, должна удовлетворять ряду специальных требований. Ранее мы уже указывали на некоторые из них. Теперь приведем их все, объединив в общий перечень. 1. Это должна быть система линейно независимых функций, так как если какие-либо функции будут связаны линейной зависимостью, как например,  k , t   c m, t  , то соответствующие члены ряда Фурье могут быть объединены X k  k , t   X m m, t   X k   c  X m m, t  . 2. Система  k, t  должна быть упорядоченной, т. е. в системе всегда должен присутствовать признак (показатель степени, номер и т.п.), по которому можно отличить предыдущую функцию от последующей. 3. Каждая базисная функция должна описываться переменной с размерностью времени и иметь интервал определения, совпадающий с интервалом определения сигнала. Если изначально это не выполняется , то необходимо осуществить согласование осей и интервалов изменения базисных функций и сигналов. Наличие этого требования связано с тем фактом, что абсолютное большинство известных базисных функций получено при решении математических задач, не связанных с обработкой сигналов, описывается безразмерными переменными и имеет различные интервалы определения. Согласование осей и интервалов изменения легко достигается простым линейным преобразованием переменных базисной функции и сигнала. Если, например, базисная функция зависит от переменной , т.е.  k ,  , и определена на интервале  min , max  , то приведение её к функции  k, t  с интервалом tmin ,tmax  можно осуществить подстановкой:   max   min tmax  tmin t  min tmax   max tmin tmax  tmin . (3.27) В силу линейности подстановки (3.27) справедливость её достаточно проверить на граничных значениях t . При t  tmin переменная    min , а при t  tmax выполняется равенство    max . 138 4. Базисные функции  k, t  на интервале определения должны иметь конечную мощность Pk   . Это связано с тем, что каждая из них является одним из возможных сигналов, принадлежащих пространству L2T , а именно сигналом, вектор которого совпадает с координатной осью. Поэтому они должны удовлетворять свойствам того пространства сигналов, в котором используются. Если же используется пространство по энергии, то базисные функции должны будут иметь конечную энергию. 5. Базисные функции, используемые в комплексном функциональном пространстве L2T , также должны быть комплексными:  k , t   Re k , t   j Im k , t . 6. Система базисных функций должна быть ортогональной на интервале определения сигналов. Условие ортогональности заключается в равенстве нулю взаимной мощности или взаимной энергии двух различных базисных функций. Для пространства по мощности эти условия для действительных и комплексных сигналов имеют вид выражений (3.4) и (3.10) соответственно. Любую систему линейно независимых функций можно ортогонализировать, т.е. преобразовать в ортогональную систему с помощью известной процедуры Грама-Шмидта [59]. Интервал определения ортогональных базисных функций называют также интервалом ортогональности. 7. Базисные функции, используемые в преобразованиях Фурье, могут быть нормированными по мощности или энергии. Это означает, что мощность или энергия каждой базисной функции системы равна единице. Нормированные ортогональные базисные функции называют еще ортонормированными. Именно такие функции создают в функциональном пространстве декартову систему координат в виде орт, т.е. векторов единичной длины. Любую систему ортогональных функций можно сделать ортонормированной. Для этого достаточно каждую базисную функцию поделить на корень квадратный из её мощности или энергии. Пусть имеем, например, мощностями систему Pk . ненормированных базисных функций k, t  с Разделим и умножим каждое слагаемое обратного преобразования Фурье по этой системе на Pk : 139  xt    X k  Pk   k , t  k 0 Pk    Y k  k , t . k 0 Тогда новая система функций  k, t  будет уже нормированной, так как мощность каждой её функции t t 1 max 2 1 1 max 2 Qk    k , t  dt     k , t  dt  1 , T t min Pk T t min а коэффициенты Y k  будут коэффициентами разложения сигнала по этой системе. Таким образом,  k , t   1  k , t , Y k   X k  Pk . Pk Аналогичные формулы будут справедливы и при нормировке по энергии. Требование нормированности базисных функций не является обязательными. 8. Для того чтобы по выбранной базисной системе функций можно было разложить любой сигнал из заданного множества, необходимо, чтобы она была полной. Число линейно независимых функций в полной системе должно быть равно размерности рассматриваемого множества сигналов, т.е. количеству чисел, с помощью которых можно выбрать любой сигнал из этого множества. К такой полной системе ортогональных функций нельзя добавить ни одной новой функции, которая была бы ортогональна одновременно ко всем другим функциям данной системы. Когда рассматривается множество непрерывных сигналов произвольной формы, то их размерность бесконечно велика, и в этом случае базисная система функций, используемая для разложения сигналов, должна содержать также бесконечно большое число линейно независимых функций. Установить непосредственно полноту базисной системы, сопоставив её размерность с размерностью рассматриваемого множества сигналов, невозможно, потому что и та, и другая бесконечно велики. Поэтому при спектральном анализе установление факта полноты ортогональной базисной системы производится путем проверки её на выполнение равенства Парсеваля. 140 Если ортогональная система окажется неполной, то по ней уже нельзя разложить любой сигнал (например, сигнал, совпадающий с ортогональной функцией, отсутствующей в системе). По неполной системе функций можно разложить только сигналы, на которые накладываются определенные ограничения, выделяющие их из множества сигналов в особое подмножество (например, подмножество четных или нечетных сигналов). Можно доказать, что всякая неполная система является частью некоторой полной системы и что ее всегда можно дополнить, включив в нее новые функции. 9. При разложении непрерывных сигналов (т.е. сигналов, заданных во всех точках временной оси на интервале их определения) базисная система должна также состоять из непрерывных функций. При разложении дискретных сигналов, заданных в фиксированных точках временной оси, базисные функции должны быть тоже дискретными и заданными в тех же точках. 10. Базисные функции могут обладать свойством мультипликативности. Это свойство проявляется в том, что вместе с двумя функциями  m, t  и  n, t  мультипликативная система  k, t  содержит и их произведение  , t    m, t    n, t  , причем переменные  , m и n связаны между собой в общем случае обобщенной операцией мультипликативности: сложения, являющейся базовой операцией   m(  ) n и реализуемой в различных системах по-разному (например, в системах, составленных из комплексных экспоненциальных функций, - это обычное арифметическое сложение, в системах, составленных из функций Уолша, это поразрядное сложение по модулю два, а в системах функций ВиленкинаКрестенсона – поразрядное сложение по произвольному модулю). Любая упорядоченная система  k, t  является системой функций двух переменных – дискретной k и непрерывной t , поэтому особенно интересен случай, когда мультипликативность базисной системы проявляется сразу по обеим переменным. Примерами таких дважды мультипликативных систем могут служить системы, образованные из уже упоминавшихся комплексных экспоненциальных функций и функций Уолша (см. главу 4). 141 Общим свойством любой ортонормированной мультипликативной системы  k, t  является то, что модули всех функций из таких систем одинаковы и равны единице и если система является комплексной, то 1/  k , t     k , t  . Кроме того, для комплексных систем  (k , t )  (m, t )   (k ()m, t ), (3.28) где (-) является обозначением обобщенной операции вычитания (обратной по отношению к операции сложения (+)). Мультипликативность не является обязательным свойством базисных систем, однако играет важную роль в спектральном анализе. Для дискретных систем мультипликативность является достаточным условием существования в них быстрых алгоритмов вычисления преобразований Фурье. Полных и ортогональных систем базисных функций может существовать бесконечно большое количество, поскольку различных декартовых систем координат, повернутых друг относительно друга в многомерном пространстве, может быть построено сколь угодно много. Однако если принять определенные правила внутренней организации базисных функций в системе, то число структурно различных базисных систем может стать конечным. Поясним сказанное. Известно, что любой сигнал может быть представлен в виде совокупности четных и нечетных составляющих. Базисная функция  k, t , определенная на симметричном интервале [-T/2, T/2), является элементарным сигналом и тоже разделяется на четную и нечетную части. Выполнив такую операцию разделения над всеми функциями системы, можно затем объединить в единое целое отдельно четные составляющие Ч k , t  и нечетные составляющие H k , t  этих функций. При этом будут получены две базисные системы, которые, следуя Трахтману А.М., назовем простыми [59]. Простые системы будут полными и ортогональными на одностороннем интервале 0,T / 2 и пригодны для разложения сигналов с тем же интервалом определения. Спектры таких сигналов по этим системам также назовем простыми. 142 Рассмотрим некоторые общие условия ортогональности простых систем функций. Простейшим условием является равенство нулю в каждой точке на интервале ортогональности всех базисных функций, кроме одной. Это значит, в частности, что ортогональными будут любые базисные функции в виде импульсов, не перекрывающихся по времени. Однако условие ортогональности может выполняться и в случае перекрывающихся по времени функций, если только они будут знакопеременными. Рассмотрим этот вопрос подробнее, расположив функции в простых системах по возрастанию числа знакоперемен. Начнем с рассмотрения систем четных функций {Ч k, t  } на одностороннем интервале 0,T / 2. У этих функций в силу их четности при t  0 знак функции меняться не может. Пусть Ч 0, t  на интервале 0,T / 2 везде положительна, т.е. не имеет знакоперемен, а Ч 1, T  – функция, изменяющая на этом интервале знак всего один раз в точке t11 . Разобьем интервал 0,T / 2 на два участка: 0, t11  и t11,T / 2. На этих участках произведение Ч 0, t  Ч 1, t  будет иметь разный знак и может оказаться, что будет выполнено условие ортогональности: 2 P01  T T /2  0 t 2 11 2 Ч 0, t Ч 1, t  dt   Ч 0, t Ч 1, t  dt  T 0 T T /2 Ч 0, t Ч 1, t dt  0 . t11 Положение точки перемены знака t11 однозначно определяется из этого условия. Точно также можно представить себе функцию Ч 2, t  с двумя знакопеременами в точках t21 и t22 , расположенных таким образом, чтобы выполнить условия ортогональности как с Ч 0, t  , так и с Ч 1, t  . При известной точке t11 эти два условия однозначно определяют положение точек t21 и t22 перемены знака функции Ч 2, t  . Рассуждая таким же образом и дальше, получим, что функция Ч 3, t  должна иметь на интервале ортогональности три знакоперемены, Ч 4, t  – четыре знакоперемены и т.д. Функция Ч k , t  будет иметь k знакоперемен. Таким образом, оказывается очень удобным выбрать число k в качестве признака, по которому производится упорядочение базисной системы. Тогда число k будет определять место данной функции Ч k , t  в базисной системе и его принято называть порядком функции Ч k , t  . При этом не следует путать 143 это понятие с порядком многочлена или дифференциального уравнения. Базисная функция k -го порядка может иметь вид многочлена, но не обязательно тоже k -го порядка. Она может порождаться дифференциальным уравнением, но никакой связи между ее порядком и порядком уравнения нет. Перейдем теперь к системе нечетных функций { H  k , t  }. Для ее упорядочения можно применить ту же процедуру, которая была использована для четной системы, но для этого прежде всего нужно определить характер изменения функции нулевого порядка. Как и в предыдущем случае, будем считать, что эта функция на интервале ортогональности не меняет своего знака. Единственно возможной функцией, которая, оставаясь нечетной, в то же время не имеет знакоперемен, является функция, тождественно равная нулю, т.е. H 0, t   0 . Функция H 1, t  на одностороннем интервале 0,T / 2 будет иметь одну знакоперемену в точке t11  0 , функция H 2, t  – две знакоперемены в точках t21  0 и t22 , функция H k , t  – k знакоперемен и т.д. Именно в этом случае данное выше определение порядка функции будет справедливым и для системы { H k , t  }. Он также будет определяться числом знакоперемен на интервале 0,T / 2 . Таким образом, в упорядоченных по числу знакоперемен простых системах индекс k меняется по-разному. В четной системе k  0, 1,  ,  , а в нечетной k  1, 2,  ,  . Упорядочение по числу знакоперемен широко используется при построении базисных систем, причем порядок k может иметь в них различный физический смысл. Однако возможны и другие способы упорядочения, с которыми мы познакомимся в главах 4 и 5. При использовании простых базисных систем необходимо решить вопрос их нормировки. Проще всего положить Pk  1 , т.е. сделать базисную систему ортонормированной, но это не всегда удобно. Чаще применяется следующая нормировка по мощности: 2PП , k  0 Pk   PП , k  0, где PП  2 T T /2   k , t dt. 2 0 144 (3.29) При такой нормировке мощность четной функции нулевого порядка Ч 0, t  удваивается по сравнению с мощностью всех функций Ч k , t  и коэффициент Фурье нулевой составляющей спектра уменьшается вдвое по сравнению со случаем, когда все базисные функции системы имеют равную мощность. В нечетной системе { H k , t  } все функции будут иметь одинаковую мощность, равную PП . На основе простых базисных функций, упорядоченных по числу знакоперемен, можно организовать три типа базисных систем, пригодных для разложения сигналов на симметричном интервале времени  T / 2, T / 2. Это – составная базисная система, в которой чередуются четные и нечетные функции одного порядка   m, t   Ч  k , t  , H  k , t   Ч (0, t ), Н (1, t ),Ч (1, t ), Н (2, t ),Ч (2, t ),..., форм альная базисная система, в которой каждая базисная функция k -го порядка равна полусумме четной и нечетной функций того же порядка  k , t   Ч k , t   H k , t    2 и комплексная система, в которой действительная часть базисной функции R e  k , t  образуется из четной простой функции Ч k , t , а мнимая Im  k, t  - из нечетной функции H k , t   k , t   Ч k , t    2 j H k , t   . 2  Поскольку все три системы используют одни и те же простые функции, то они называются родственными системами. Рассмотрим эти системы более подробно. В составной системе номер базисной функции  m, t  связан с номерами четных и нечетных простых функций следующим соотношением: 2k для функций Ч k , t , m 2k  1 для функций H k , t . Мощность нулевой функции Ч 0, t  равна 2PП , а мощность остальных функций одинакова и равна PП . В формальной системе мощность каждой базисной функции равна PП / 2 , что следует из условия нормировки (3.28) для функций простых систем. При одном и том же максимальном порядке n 145 формальная система содержит ровно столько же функций, сколько и составная, а именно: 2n  1. В комплексной системе мощность каждой базисной функции также равна PП / 2 . Любой базисной функции  k, t  этой системы соответствует комплексно-сопряженная функция   k , t   Ч k , t  H k , t  . j 2 2 Поскольку комплексную функцию всегда можно представить показательной форме, то  k , t    k , t  e j k , t  , в (3.30) где  k , t   1 Ч 2 k , t   H 2 k , t , 2 H k , t   k , t   arctg . Ч k , t   k, t  Здесь модуль  k, t  и фаза обладают свойствами четности относительно порядка k и времени t . Из формулы (3.30) следует, что Ч k , t   2  k , t  cos  k , t , H k , t   2  k , t  sin  k , t . Последние выражения хотя и имеют «тригонометрическую» форму, не означают, что Ч k , t  и H k , t  должны быть обязательно тригонометрическими функциями. Они будут ими только в одном частном случае, когда   k , t   e j kt ,   2 / T . Тогда Ч  k , t   2 cos k   t ; H  k , t   2sin k t ,   k , t   1;   k , t   k t. В общем случае комплексная функция  k, t  может быть изображена на плоскости в виде вектора, длина и положение которого меняется во времени. В частном случае комплексной экспоненциальной функции   k , t   e j kt этот вектор имеет длину, равную единице, и равномерно вращается против часовой стрелки с угловой скоростью k  рад/с. 146 В рассмотренных системах использованы только положительные порядки базисных функций k  0 . Однако формально возможна нумерация базисных функций и с помощью отрицательных и положительных чисел k   ,  3,  2,  1, 0, 1, 2, 3,  . Как уже отмечалось, данные системы базисных функций могут быть использованы для разложения в ортогональный ряд Фурье любых сигналов ограниченной мощности, определенных на двустороннем симметричном интервале. Однако их можно использовать и для разложения сигналов с односторонним интервалом определения длительности T , если четность и нечетность простых функций понимать относительно середины интервала определения. Все условия нормировки в этом случае остаются прежними, хотя пределы интегрирования, естественно, изменяются. 3.4. Действительные и комплексные спектры сигналов Теперь рассмотрим спектры сигналов по родственным базисным сиcтемам. Остановимся только на сигналах с симметричным интервалом определения  T / 2, T / 2. Переход к сигналам с односторонним интервалом 0, T  не вызывает принципиальных затруднений и по сути сводится к изменению пределов интегрирования в соответствующих формулах. При этом простые базисные функции Ч k , t  и H k , t  должны быть четными и нечетными относительно середины этого интервала. Произвольный сигнал xt  можно линейно скомбинировать с помощью выражений (1.4) из четной и нечетной частей xч t  и xн t  или из двух односторонних сигналов x1 t  и x2 t  , получаемых путем усечения до положительного полуинтервала xч t  и xн t  соотвественно. Пусть эти элементарные сигналы имеют спектры X1 t  и X 2 t  по простым базисным системам { Ч k , t } и { H k , t  }: X 1 k   1 1  T Pk 1 1 X 2 k    T Pk T /2 2 1  T Pk T /2 2 1 xt  H k , t  dt    T Pk T / 2 T /2  xt Ч k , t  dt  T / 2 T /2 147  x t Ч k , t  dt , 1 0  x t  H k , t  dt. 2 0 (3.31) Покажем, что спектры сложных сигналов по родственным базисным системам могут быть также получены путем линейного комбинирования простых спектров X1 k  и X 2 k  . Начнем с составной базисной системы. Для нее ряд Фурье примет вид:  xt    X m  m, k , m0 где 1 2 X m   Pk T T /2  xt  m, k dt. 0 Так как в этой системе чередуются четные и нечетные базисные функции, то и составной спектр X m будет состоять из чередующихся простых X1k , X 2 k . спектров Такой спектр достаточно широко используется при разложении по составным системам, образованным из тригонометрических функций и функций Уолша. Формальный спектр X k  и простые спектры X1 k  и X 2 k  также тесно связаны между собой. Для выявления характера этой связи запишем ряд Фурье по формальной системе функций с отрицательными и положительными порядками. Он будет иметь следующий вид: xt     X k  k , t , (3.32) k   где спектр X k  определяется по формуле: X k   T /2 1 1  xt  k , t dt. P T T/ 2 (3.33) Здесь P  PП / 2 и является мощностью формальных базисных функций. Представим сигнал в виде суммы четной и нечетной частей: xt   xч t   xн t  . Тогда получим X k   T /2 T /2 1 1 1 1  xч t  k , t dt   xн t  k , t dt.  P T T / 2 P T T/ 2 Если обозначить X ч k   T /2 1 1  xч t  k , t  dt , P T T/ 2 T /2 1 1 X н k    xн t  k , t  dt , P T T/ 2 148 (3.34) то X k   X ч k   X н k . (3.35) Таким образом, X ч k  – это формальный спектр четной части сигнала, а X н k  – формальный спектр нечетной части. Можно показать, что X ч k  и X н k  имеют те же свойства четности и нечетности, что и простые функции Ч k , t  и H k , t  , т.е.: X ч k   X ч  k , X н k    X н  k . Перепишем ряд Фурье (3.32), предварительно представив X k  и  k, t  в виде суммы четной и нечетной частей относительно k и t соответственно. В результате получим xt     k   X ч k     Ч k , t  H k , t  Ч k , t  H k , t    X ч k    X н k    X н k  . 2 2 2 2 k   k   k   Вторая и третья сумма здесь равна нулю, так как суммируемые выражения являются нечетными относительно k . Следовательно, ряд Фурье приобретает вид: xt   Ч k , t  H k , t   X k  2   X k  2 .  k    ч (3.36) н k   Следует иметь в виду, что формальные спектры X ч k  и X н k  не являются результатом разложения четного и нечетного сигналов по системам Ч k ,t    H k ,t   функции   и   . Дело в том, что эти системы при    k   не  2   2  являются ортогональными и даже линейно независимыми и поэтому не пригодны для разложения каких-либо сигналов. Они являются ортогональными только при k  0 . Покажем это на примере функций Ч k ,t  / 2 и Ч  k ,t  / 2 . Их взаимная мощность равна: Pk , k  T /2 Ч  k , t  Ч  k , t  1 1  dt   T T / 2 2 2 4T T /2  T / 2 Ч 2  k , t  dt  PП  0. 4 При суммировании функций Ч k ,t  / 2 и Ч  k ,t  / 2 или H k ,t  / 2 и H  k ,t  / 2 их мощности не удваиваются, как это бывает при ортогональности, а учетверяются: 1 1 Ч k , t   Ч  k , t  dt  Ч 2 k , t  dt  PП .     T T / 2  2 T  T / 2 2 T /2 T /2 Следовательно, эти пары функций полностью когерентны. 149 От формальных спектров X ч k  и X н k  нетрудно перейти к составному спектру { X1 k  , X 2 k  }, получающемуся при разложении сигнала по составной системе функций { Ч k , t , H k , t  } при k  0 . Для этого сравним выражения (3.34) и (3.31), учитывая значения мощностей P и Pk . В результате получим  X ч k  , k 0 2  X ч k , k  0;  X 1 k    (3.37) X 2 k   X н k . Такой результат является прямым следствием правила нормировки (3.28) Представляют интерес энергетические соотношения для составного и формального спектра. Запишем равенства Парсеваля для этих систем. Для составной системы имеем    P  X 12 02 PП   X 12 k   X 22 k  PП , (3.38) k 1 а для формальной системы из (3.38) с учетом (3.37) получим P  X ч2 0     PП   X ч2 k   X н2 k  PП . 2 k 1 Так как при формальном спектре рассматриваются порядки функций в диапазоне    k   и здесь суммируются четные выражения относительно k , то приходим к следующему выражению для мощности сигнала: P P  X k   X k  2 .  k   2 ч 2 н П В этом выражении к слагаемым под знаком суммы можно добавить нечетную функцию относительно k : 2 X ч k  X н k  PП , 2 так как суммирование ее по всем    k   дает ноль. Поэтому в результате приходим к следующей записи равенства Парсеваля для формального спектра P   X k  P . 2 (3.39) k   Справедливость этого равенства является доказательством полноты формальной базисной системы. 150 Все те сведения, которые содержатся в простых спектрах X1 k  и X 2 k  , содержатся и в формальных спектрах X ч k  и X н k  (их левые части не вносят ничего нового в силу свойств четности). Эти же сведения заключены и в едином формальном спектре X k  , у которого содержательными являются и левая, и правая части. Перейдем теперь к комплексным спектрам действительного сигнала. Ряд Фурье для комплексной базисной системы  k , t    Ч k , t   j Н k , t  1 2 1 2  будет иметь вид выражения (3.32) со следующей формулой определения комплексного спектра X k  : 1 1 X k    P T T /2  xt  k , t dt.  (3.40) T / 2 Подставив в (3.40) значения P и   k, t  , получим X k   2 1 Ч k , t   jН k , t   xt  dt.  PП T T / 2 2 T /2 Учитывая выражения (3.34), будем иметь X k   X ч k   jX н k   X k  e j k  , (3.41) где X 2 k   X 2  k  , 2 X k  X k   X  k   k   arctg н  arctg , X ч k  X k   X  k  X k   X ч2 k   X н2 k   а X k  – формальный спектр сигнала. Отсюда следует, что спектр сигнала, заданного на симметричном интервале времени, можно определить еще с помощью функций X k  и  k  . Первая из них носит название огибающей спектра или амплитудного спектра, а вторая – фазового спектра. Из (3.41) следует: X ч k   X k  cos k , X н k   X k  sin  k ;   X k   2  X k  cos  k   . 4  151 Ряд Фурье по системе комплексных функций также можно записать в показательной либо тригонометрической форме. Для этого подставим в (3.32) значения X k  и  k, t  из (3.41) и (3.30): xt      X k  e  j k    k , t  e j k ,t   k    X k    k , t  e  j   k , t   k  . (3.42) k   Это ряд Фурье для комплексного базиса в показательной форме записи. В нем амплитуда X k    k , t  является четной функцией переменных k и t , а фаза  k , t   k - нечетной функцией тех же переменных. Применяя к (3.42) формулу Эйлера для комплексной экспоненты и учитывая свойства четности, получим ряд Фурье при комплексном базисе в тригонометрической форме:   X k    k ,t  cos  k ,t   k   X 0   0 ,t   xt   k   (3.43)   2 X k    k ,t  cos  k ,t    k . k 1 Равенство Парсеваля для комплексной системы базисных функций имеет следующий вид:  1 P  k   T  X k   k , t  e T /2 j   k , t   k    X k  k, t  e dt   j k , t  k  T / 2   1  k   T T /2  X k   k , t  2 2 (3.44) dt. T / 2 Подставив в (3.44) значения X k  и  k, t  из (3.41) и (3.30), а также учитывая свойства их четности, получим    Ч 1  1 P   X ч2 k   X н2 k  4 k   T T /2 T / 2 2 k , t   H 2 k , t dt  1 X ч k   X н k 2 PП   X 2 k  P .  2 k    k   Таким образом, равенство Парсеваля для комплексной системы выполняется, если оно выполняется для формальной системы. Отсюда следует вывод, что комплексная система будет полной, если будет полной исходная составная система. При использовании комплексной системы необходимо обратить внимание на следующее. При разложении по комплексному базису действительный сигнал задается с помощью одной функции времени во временной области и с помощью двух функций переменной k в спектральной области. Следовательно, понятия сигнала xt  и комплексного 152 спектра X k  в этом смысле не являются адекватными. Это объясняется тем, что комплексному спектру соответствует более общее понятие комплексного сигнала. Для комплексного сигнала xt  , представляемого через два действительных сигнала Ret  и Imt  (см.§1.1) xt   Re t   j Im t , преобразования Фурье внешне имеют тот же вид, что и для действительного сигнала и выражаются зависимостями (3.32) и (3.40). В них обращает на себя внимание некоторая ассиметрия выражений по сравнению с преобразованиями Фурье в формальной базисной системе. В то время как для формального спектра в формулах прямого и обратного преобразования Фурье фигурирует одна и та же базисная функция, для комплексного сигнала в одном преобразовании присутствует функция  k, t , а в другом – комплексно-сопряженная функция   k, t  . Такая ассиметрия появилась в связи с тем, что мощность любого сигнала, как действительного, так и комплексного, определена как величина действительная. Указанная особенность выражений прямого и обратного комплексного преобразования Фурье сказывается и на всех других выводах спектральной теории для комплексных сигналов. Введением мнимой единицы j у мнимой части сигнала обеспечивается ее линейная независимость от действительной части. В свою очередь, действительная и мнимая части комплексного сигнала могут быть представлены как сумма четной и нечетной составляющих, которые также являются линейно независимыми (и более того, даже ортогональными): Re t   Re ч t   Re н t , Imt   Imч t   Im н t . Таким образом, комплексный сигнал xt  является, по существу, линейной комбинацией четырех элементов: xt   Re ч t   Re н t   j Imч t   Imн t . Так как рассматриваются только линейные преобразования, то разложения в ряд Фурье комплексного сигнала есть суперпозиция разложений в ряд Фурье по той же базисной системе указанных четырех элементов сигнала. 153 Пусть действительная часть Ret  комплексного сигнала имеет спектр XRk   XRч k   j XRн k , а мнимая часть Imt  - спектр XI k   XIч k   j XI н k . Тогда комплексный сигнал xt  будет иметь спектр X k   XRч k   j XRн k   jXIч k   j XI н k   Ak   j Bk , где Ak   XRч k   XI н k , Bk   XRн k   XIч k . При действительном сигнале (например, Ret  ) действительная и мнимая части комплексного спектра XRч k  и XRн k  были бы одновременно четной и нечетной частями формального спектра. X k   XRч k   XRн k . В случае комплексного сигнала будет наблюдаться иная картина. Здесь вообще не может быть формального спектра, так как сумма Ak  и Bk  никакого смысла не имеет и её нельзя снова разделить из-за того, что на Ak  и Bk  никакие ограничения не накладываются. В то же время комплексную комбинацию Ak   j Bk  всегда можно разделить на части, соответствующие указанным ранее частям комплексного сигнала. Таким образом, комплексный сигнал может иметь только комплексный спектр. Комплексный спектр комплексного сигнала можно представить и в показательной форме: X k   X k  e  j  k  , где X k   A2 k   B2 k  – огибающая спектра,  k   arctg Bk  – фаза спектра. Ak  Переход от действительной и мнимой частей спектра к огибающей и фазе (амплитудному и фазовому спектру) осуществляется с помощью нелинейных операций, поэтому ряд выводов линейной теории, справедливых для составных и формальных спектров, могут потерять свою силу для огибающей и фазы спектра. Таким образом, взаимопреобразования 154 комплексного сигнала и спектра, выражаемые простыми соотношениями прямого и обратного преобразования Фурье, на самом деле описывают весьма сложную картину совместного преобразования двух независимых действительных сигналов, являющихся действительной и мнимой частями одного комплексного сигнала. Отсюда становится ясной основная цель введения понятия комплексного сигнала, на которую уже указывалось в главе 1: это придание компактной формы математическим выкладкам и выражениям, а также лаконичное описание сложных линейных систем обработки. Следует иметь в виду, что из того факта, что xt  и X k  связаны преобразованиями Фурье, не следует делать неправильного вывода, что такого же рода связь существует между огибающими сигнала и спектра xt  и X t  , между их фазами t  и  k  , между действительными Ret  и Ak  или мнимыми Imt  и Bk  частями. Преобразования Фурье связывают между собой две комплексные функции xt  и X k  целиком, а не их отдельные компоненты. Действительная и мнимая части спектра Ak  и Bk  всегда независимы, если независимы соответствующие части комплексного сигнала Ret  и Imt  . В общем случае спектр комплексного сигнала несимметричен, в то время как спектр действительного сигнала всегда является симметричным (т.е. его действительная часть – четная функция, а мнимая – нечетная). Вследствии этого любое нарушение симметрии комплексного спектра (путем его усечения, сдвига по оси k и т.п.) неизбежно приведет к тому, что сигнал из действительного станет комплексным. Возможен случай, когда спектр комплексного сигнала является действительной функцией (точнее, комплексной функцией с нулевой мнимой частью). Это будет иметь место, если Ret  – четная функция времени, а Imt  – нечетная. Тогда XRн k   XIч k  и Bk   0 ,  k   0 . Эта ситуация обратна той, которая наблюдалась при рассмотрении комплексного спектра действительного сигнала. Тогда, именно из-за того, что сигнал действительный, комплексный спектр был симметричным. Все это говорит о том, что понятию комплексного сигнала адекватно понятие комплексного спектра. Действительный сигнал можно 155 рассматривать как комплексный с нулевой мнимой частью и поэтому он также может иметь комплексный спектр. В этом случае равенство нулю мнимой части приведет лишь к тому, что спектр окажется симметричным. 3.5. Спектры сигналов на бесконечном интервале времени Реальные сигналы всегда имеют конечный интервал определения. Однако в теоретических разработках широко используются и сигналы, определенные на полубесконечном или бесконечном интервалах. При спектральном разложении таких сигналов могут быть использованы как базисные функции с бесконечным, так и с конечным интервалом ортогональности. Наиболее просто осуществляется разложение сигналов с бесконечным интервалом определения и конечной энергией, входящих в пространство L2 по энергии, по системе базисных функций с конечной энергией на бесконечном интервале ортогональности: xt     X k  k , t , k   X k   1 E   xt  k , t dt,   E    2 k , t  dt .  При комплексном характере базисных функций второе и третье выражения приобретают следующий вид: 1 X k   E   xt  k , t dt ,    E    k , t   k , t  dt.  Ясно, что базисные функции в этом случае должны достаточно быстро убывать со временем и их ортогональность понимается в смысле ортогональности по энергии. Спектр сигнала при этом носит такой же дискретный характер, какой он имел при разложении сигнала с конечным интервалом определения. Использование базисных функций с конечным интервалом ортогональности для разложения сигналов с бесконечным интервалом 156 времени возможно при выполнении определенных условий. Определим эти условия. Любая базисная система функций  k, t  является дискретной, так как является функцией порядка k , принимающего значения натурального ряда чисел. Оперировать порядком k удобно, если сигнал определяется на конечном интервале времени. Однако понятие порядка становится неудобным и даже теряет свой смысл, если интервал определения сигнала становится бесконечным, а базисная система функций имеет конечный интервал ортогональности. Поэтому при разложении сигнала xt  , заданного на полубесконечном 0,  или бесконечном  ,  интервале времени, приходится вводить вместо порядка обобщенную частоту f k более удобную величину – , а вместо коэффициента разложения X k  – спектральную плотность X  f  . Понятие спектральной плотности можно ввести формально и при разложении сигнала на конечном интервале времени, хотя в этом случае вполне возможно обходиться и без него. Тем не менее введение спектральной плотности полезно при больших интервалах определения сигнала. Без этого понятия нельзя вообще обойтись при рассмотрении предельного перехода к бесконечному интервалу времени. Смысл понятий спектральной плотности и частоты поясним на примере полубесконечного одностороннего интервала времени 0,  . Не составляет никакого труда таким же образом рассмотреть любой другой интервал определения сигнала. Допустим, что имеется финитный сигнал xt  , заданный в интервале 0, tmax  , причем tmax  T / 2 , и требуется произвести его разложение в ряд Фурье на интервале 0,T / 2 . Это означает, что к сигналу добавляется справа нулевой участок на интервале tmax , T / 2 . Условие финитности сигнала нам нужно временно, чтобы упростить рассуждения. Поскольку в дальнейшем мы перейдем к случаю T   , то это условие позднее можно будет отбросить как ненужное. Пусть в нашем распоряжении имеется базисная система  k ,  некоторой формальной переменной  с интервалом ортогональности 0, L / 2 . Чтобы разложить сигнал xt  по такой системе, необходимо согласовать оси и интервалы сигнала и базисных функций. Это равносильно равномерному 157 «растяжению» функции  k ,  , произведенному таким образом, чтобы интервалы определения сигнала и ортогональности базисных функций совместились. Последнее достигается заменой переменной  новой переменной t : T t . L (3.45) Формула (3.45) легко получается из общей формулы преобразования переменных (3.27). При растяжении функции  k ,  её мощность остается неизменной, а энергия изменяется. Рассмотрим аппроксимацию сигнала xt  рядом Фурье с n  1 членами n xn t    X k  k , t . (3.46) k 0 Сумма членов такого усеченного ряда xn t  при n   будет сходиться к сигналу xt  в среднеквадратическом смысле. Если такая аппроксимация приемлема при каком-либо T / 2 , то после увеличения этого интервала она уже не будет нас устраивать. Дело в том, что после растяжения функций  k, t  число знакоперемен, приходящееся на интервал 0, tmax  , в котором сосредоточен сигнал, уменьшится, а значит функция высшего удерживаемого порядка  n, t  уже не будет в состоянии воспроизвести те быстрые изменения сигнала, которые она воспроизводила до растяжения. Поэтому, чтобы обеспечить аппроксимацию сигнала с одной и той же точностью при различных длительностях интервала 0,T / 2 , необходимо одновременно с растяжением базисных функций увеличивать число этих функций в усеченном ряде Фурье. По-видимому, желаемый результат будет достигнут, если поддерживать отношение n / T более или менее постоянным, что обеспечивает приблизительное постоянство числа знакоперемен функций высшего удерживаемого порядка  n, t  на интервале определения сигнала. Слова более или менее и приблизительно применены здесь потому, что n меняется дискретно, в то время как интервал T / 2 мы можем изменить и плавно. Однако при больших T / 2 это теряет свое значение. Необходимость привлечения для аппроксимации сигнала с неизменной точностью все новых и новых функций из базисной системы можно 158 объяснить еще и тем, что мы осуществляем аппроксимацию не только самого сигнала, но и добавленного к нему нулевого сигнала на участке tmax  t  T / 2 , который по мере увеличения T / 2 удлиняется. Итак, чем больше длина интервала T / 2 , тем более необходимое число спектральных коэффициентов. По мере возрастания T / 2 одновременно уменьшаются коэффициенты разложения. Последнее суждение понятно и из энергетических соображений. Так как на участке 0, tmax  финитный сигнал остается неизменным то при увеличении интервала 0,T / 2 средняя мощность сигнала падает. Одновременно приходится увеличивать число составляющих спектра, поэтому для того чтобы не нарушалось равенство Парсеваля, необходимо уменьшать интенсивность составляющих спектра, т.е. их величину. В пределе при T / 2   и n   мы получим бесконечно протяженный спектр с бесконечно малыми интервалами между составляющими и с бесконечно малыми величинами коэффициентов разложения. При представлении сигналов в функциональном пространстве L2 такой подход соответствует переходу от конечномерного (евклидова) пространства к бесконечномерному (гильбертову) пространству с одновременным уменьшением до нуля всех проекций вектора сигнала. Как видим, при разложении сигнала на бесконечном интервале времени при старых понятиях встречаются большие трудности. Для того, чтобы избавиться от таких неприятных понятий, как базисная функция бесконечного порядка и нулевой коэффициент разложения (нулевой не по номеру, а по величине), необходимо сжать спектр по оси абсцисс и растянуть его по оси ординат. Это можно сделать, введя новые понятия: обобщенную частоту f и спектральную плотность X  f  . Начнем с обобщенной частоты, которую определяют так: f  k . T Теперь при T / 2   и n   максимальная частота оставаться конечной величиной, если при этом f max  n / T отношение может n /T поддерживается постоянным. В отличии от порядка k  fT , принимающего только целочисленные значения, частота f может в зависимости от T 159 принимать любые значения, однако они всегда составляют упорядоченную последовательность: 1 2 3 f  0, , , ,  T T T Каждое такое число при T / 2   однозначно определяет некоторую функцию k -го порядка из базисной системы  k ,     fT , L t .   T  Обобщенная частота имеет ясный смысл. Это – половина среднего числа знакоперемен базисной функции в 1 секунду на интервале ортогональности. Если базисные функции периодические, то f - это среднее число периодов, приходящийся на интервал в 1 секунду. Знакоперемены базисных функций не обязательно расположены равномерно, тем не менее частота этих функций всегда имеет определенное значение. Поскольку все частоты кратны величине 1/ T , назовем её основной частотой и обозначим F 1 . T (3.48) Тогда частоты различных функций системы   f , t  будут равны f  0, F , 2 F , Это значит, что частотный интервал между соседними составляющими спектра равен F . Таким образом, введение понятия частоты позволило сохранить постоянной ширину спектра сигнала при его аппроксимации с постоянной точностью, несмотря на изменение длительности интервала определения T / 2 . Рассмотрим теперь коэффициенты разложения. Они будут равны X k   1 2  Pk T T /2  xt  k , t dt 0 или X f f  1 2  Pf T T /2  xt   f , t dt. 0 Эти коэффициенты уменьшаются при увеличении T за счет множителя 2 / T . Действие этого множителя можно нейтрализовать переходом к спектральной плотности: 160 X  f   X f  f  T  T /2  xt   f , t dt. 2 Pf (3.49) 0 Если учесть (3.48), то можно записать, что Xf  Xf f  F , откуда следует, что спектральная плотность – это коэффициент разложения, отнесенный к частотному интервалу между составляющими спектра. При увеличении интервала T / 2 исходный линейчатый спектр сигнала сгущается, так как основная частота F падает и в пределе при T   он превращается в непрерывный спектр. При этом огибающая спектра не меняет свою форму. Ширина спектра по частоте определяется величиной f max  nF  n / T , которая при заданной точности аппроксимации не зависит ни от T ни от n (конечно, если n достаточно велико). Таким образом, использование частоты и спектральной плотности позволяет для сигналов с бесконечным интервалом времени получать спектральные характеристики не равные нулю и конечной ширины. Описанная процедура изменения спектра соответствует изменению масштаба гильбертова пространства, в котором рассматривается сигнал. Определим теперь условия, при которых базисная система  k ,  с конечным интервалом ортогональности, длительностью L   , может быть использована для разложения сигналов на бесконечном интервале определения. Частота f при T   определяется следующим образом: k . k ,T   T f  lim (3.50) Малое изменение частоты при изменении порядка функции на единицу будет равно d f  lim T  1  lim F . T T  Эта величина определяет частотное расстояние между составляющими спектра, поэтому при T   дискретный спектр превращается в непрерывный. При T   все базисные функции неограниченно растягиваются по времени и одновременно для аппроксимации привлекаются функции более 161 высоких порядков k   . Поэтому для существования предельного разложения сигнала должны существовать функции: k T   f , t   lim  k ,   lim   T , k ,T   k ,T   L  L   t   lim   f T , t  . T  T   T  Если данный предел существует, то при T   система базисных функций из счетного множества  k, t  превращается в несчетное множество   f , t . При этом множество   f , t  оказывается более мощным, чем множество  k, t . Иначе говоря, хотя обе системы и содержат бесконечное число функций, тем не менее в системе   f , t  их будет больше, чем в системе  k, t , так как множество любых функций, определенных на конечном интервале, является подмножеством тех же функций, определенных на бесконечном интервале. Именно поэтому, увеличивая интервал T при неизменной точности аппроксимации, мы одновременно увеличиваем и число используемых базисных функций. В системе   f , t  любым сколь угодно близким частотам f1 , и f 2 будут соответствовать две различные ортогональные функции   f1, t  и   f2 , t  с взаимной мощностью 2 P12  lim T  T Pf , f1  f 2 , T /2    f1, t   f2 , t dt   0 , f1  f 2 . 0 (3.51) Здесь Pf – средняя мощность базисной функции на бесконечном интервале времени T /2 2 P , f  0, 2 Pf   П PП  lim  2  f , t dt. T  T  P , f  0 ,  П 0 (3.52) Такая же нормировка использовалась ранее при рассмотрении сигналов на конечных интервалах времени. При T   спектральная плотность дискретного спектра (3.49) принимает следующий вид: 2 X  f   lim k ,T   P k T /2  0 2 xt  k , t dt  Pf   xt   f , t dt. (3.53) 0 Спектральная плотность определяет спектр сигнала, разлагаемого на интервале 0,  , причем рассматриваются только положительные частоты. Зависимость спектральной плотности от частоты будет уже изображаться не 162 дискретной функцией, как это было у спектра X k  сигналов на конечном интервале времени, а непрерывной кривой. Рассмотрим предельную форму ряда Фурье при T   : xt   lim T     X k  k , t   lim  X k T  k , t  T . T  k 0 1 k 0 Величины, стоящие под знаком суммы, стремятся к следующим пределам: lim X k T  X  f , k ,T   lim  k , t     f , t , k ,T   1 d f, T  T lim а сама сумма переходит в интеграл. В результате получаем:  xt    X  f   f , t  d f , 0 2 Xf  Pf 0   xt   f , t d t. (3.54) 0 Зависимости (3.54) определяют пару интегральных преобразований Фурье на полубесконечном интервале времени, причем вторая из них называется прямым интегральным преобразованием Фурье, а первая – обратным интегральным преобразованием Фурье. Интегральные преобразования Фурье удовлетворяют всем аксиомам линейности и, как и обычные преобразования Фурье, могут рассматриваться как линейные операторы. С их помощью каждой функции времени xt  ставится во взаимное и однозначное соответствие функция частоты X  f  , и наоборот. Так же, как и в случае ряда Фурье, равенства в выражениях (3.54) имеет разный смысл. В прямом преобразовании оно является тождественным, а в обратном преобразовании – условным, означающим, что интеграл Фурье сходится к сигналу xt  со сколь угодно малой среднеквадратической погрешностью. Отсюда следует, что и сигналы xt  в двух выражениях (3.54), по существу, различны, так как в одном из них – это оригинал (прообраз), а в другом – приближенная копия (образ), результат линейного преобразования. Запишем равенство Парсеваля для интегральных преобразований Фурье. Для не интегральных преобразований оно имеет вид: 163  P   X 2 k  Pk . k 0 Умножим и разделим выражение под знаком суммы на T 2 и затем перейдем к пределу при T   :  1  1 1 2  X k T  Pk  lim  X 2  f  Pf d f .  T  T T T  T 0 k 0 P  lim В развернутом виде это равенство выглядит так: 2 T  T P  lim T /2   x 2 t dt  lim 1 X 2  f  Pf d f . T  T  0 0 (3.55) После деления на 2 / T получаем равенство Парсеваля для энергии сигнала:  E   x 2  f dt  0  1 X 2  f  Pf d f .  20 (3.56) Обозначим в (3.55) величину lim T  Pf T X 2  f   S p  f . (3.57) Это – мощность сигнала, приходящаяся на единичную полосу частот, поэтому её называют обобщенной спектральной плотностью мощности или более кратно обобщенным спектром мощности. Эта величина характеризует распределение мощности сигнала по обобщенным частотам. Аналогично, обозначим в (3.56) величину 1 Pf X 2  f   S E  f . 2 (3.58) Её называют обобщенной спектральной плотностью энергии или проще обобщенным энергетическим спектром. Применив введенные обозначения, выражения (3.55) и (3.56) можно переписать в виде 2 P  lim T  T  T /2  x t dt   S  f df , 2 p 0 0   0 0 (3.59) E   x 2 t  dt   S E  f  df . Таким образом, равенство Парсеваля и здесь позволяет мощность или энергию сигнала представить в виде мощности или энергии спектра. Равенства (3.59) подтверждают также дифференциальный характер S p  f  и SE  f . 164 Для разложения сигналов на двустороннем бесконечном интервале времени  ,  могут быть использованы все три типа базисных систем: составная, формальная и комплексная, построенные на основе одних и тех же функций – четных Ч  f , t  и нечетных H  f , t  с интервалом ортогональности 0,  . Каждая из этих функций имеет одинаковые свойства четности как по t , так и по f . Правило нормировки сохраняется таким же, как для функций с конечным интервалом: P  Pf 2 , f  0, где 2 T  T Pf  lim T /2  Ч 2  f , t dt  lim 2 T  T 0 T /2  H  f , t dt. 2 0 Непрерывные спектры сигналов, определенных на бесконечном интервале, могут быть выражены через свои четные и нечетные составляющие или через соответствующие односторонние спектры таким же образом, как и в случае конечного интервала времени и дискретного спектра. При суммировании односторонних дискретных спектров их правильная стыковка обеспечивалась выбранной нормировкой, а именно тем, что функция Ч 0, t  имела мощность вдвое большую, чем любая другая четная или нечетная функция. Для непрерывного спектра это условие нормировки, строго говоря, является излишним. Какая бы ни была мощность у функции Ч 0, t  , это не вызовет среднеквадратической погрешности при стыковке спектров, так как любая, отдельно взятая спектральная составляющая в непрерывном спектре имеет нулевую мощность (в противном случае общая мощность непрерывного спектра на бесконечном интервале была бы бесконечной, а не конечной величиной). Интегральные преобразования Фурье для сигналов с бесконечным интервалом времени имеют вид, подобный интегральным преобразованиям Фурье для сигналов на полубесконечном интервале. Например, для формальной базисной системы   f , t   Ч  f , t   H  f , t / 2 пара интегральных преобразований Фурье записывается так: 165 xt     X  f   f , t d f ,  1 Xf  P   xt   f , t dt. (3.60)  Из них следует, что xt  и X  f  является равноправными формами аналитического выражения сигнала. Любая из этих функций может быть взята в качестве прообраза, тогда другая будет являться образом – результатом линейного отображения прообраза. Другими словами, всегда можно считать сигнал результатом разложения спектра X  f  в интеграл Фурье по той же системе базисных функций   f , t  . Паре интегральных преобразований Фурье (3.60) можно придать полностью симметричный вид, если несколько иначе определить спектральную плотность. Пусть X f  f   X  f  Pf . Тогда (3.60) можно переписать в виде 1 x t   P   X  f   f , t  d f , f  1 Xf f  P (3.61)   x  t    f , t  dt.  Точно таким же образом можно придать симметричный вид выражениям (3.54) для интегральных преобразований Фурье на одностороннем интервале времени. Однако, определение спектральной плотности, обеспечивающее полную симметрию преобразований Фурье, не получило распространения в литературе и поэтому приходится мириться с ассиметрией множителей в выражениях (3.54) и (3.60). При разложении сигналов по комплексной системе базисных функций ассиметрия интегральных преобразований Фурье будет вызываться еще и тем, что в формуле обратного преобразования употребляются функции   f , t  , а в формуле прямого – комплексно-сопряженные функции    f ,t  : xt     X  f   f , t d f ,  1 Xf  P   xt   f , t dt.   Здесь комплексная спектральная плотность равна 166 (3.62) X  f   lim X  k  T . k ,T  Равенства Парсеваля для формального и комплексного непрерывных спектров имеют следующий вид:    x t dt  P  X  f d f , 2 2    (3.63)  x 2 t  d f  P    X  f X   f  d f  P    Xf  2 d f. (3.64)  В литературе их еще иногда называют обобщенной теоремой Рейли. Спектры мощности и энергетические спектры для формальной и комплексной систем записываются следующим образом: P 2 X  f , T  T S E  f   P X 2  f , S p  f   lim (3.65) P P 2 X  f X   f   lim  X  f  , T  T T  T S p  f   lim S E  f   E X  f   X   f   E X  f  2 (3.66) . Из этих выражений видно, что спектральная плотность мощности или энергии всегда является действительной функцией. В формальном базисе она не зависит от знака спектральной плотности. В комплексном базисе она определяется исключительно амплитудным спектром сигнала и не зависит от фазового спектра. Поэтому по спектру мощности или энергии невозможно восстановить форму сигнала. Как мы уже отмечали, понятие спектральной плотности может использоваться и для финитного сигнала. В этом случае она также тесно связана со спектром сигнала. Действительно, найдем спектральную плотность сигнала xt  с  T / 2  t  T / 2 : Xf  1 P   xt   f , t dt   1 P T /2  xt   f , t dt. T / 2 Подставим в это выражение значения f  kF. Тогда 1 X kF   P T /2  xt  kF, t dt, T / 2 где T /2 P    kF, t dt. 2 T / 2 167 Учитывая, что  kF, t    k , t  и P  Pk , получим X kF   T /2  xt  k , t dt  TX k  1 Pk T / 2 и X k   1 X kF . T (3.67) Таким образом, спектр финитного сигнала может быть получен путем дискретизации непрерывной спектральной плотности с шагом по частоте, равном F . Отсюда следует, что если сигнал задан на конечном интервале времени, то его интегральное преобразование Фурье точно определяется рядом Фурье на множестве точек, равномерно расположенных по оси f на расстоянии 1/ T Гц одна от другой. В полученном результате нет ничего принципиально нового, поскольку при введении спектральной плотности мы использовали обратный дискретизации процесс, состоящий в предельном переходе от X k  к X  f  при устремлении F к нулю. Аналогичную связь для финитных сигналов можно выявить и между энергетическим спектром сигнала и его спектром. Можно показать, что в этом случае S E kF   1 2 X k  T (3.68) 1 1 2 X k X  k   X k  T T (3.69) для действительного базиса и S E kF   для комплексного базиса. Понятия спектральной плотности мощности и энергии для случая   f , t   e j 2 f t были уже использованы нами в главе 1 при рассмотрении энергетических характеристик сигналов. Введенное в этом параграфе понятие частоты как половины среднего числа знакоперемен базисной функции оказалось полезным для перехода от спектра к спектральной плотности, от рядов Фурье к интегральным преобразованиям Фурье. Однако оно может не совпадать с другой принятой трактовкой частоты как скорости изменения фазы сигнала. Для иллюстрации этого рассмотрим комплексную базисную систему, образованную из четных Ч(k, t) и нечетных Н(k, t) простых функций. Каждую 168 базисную функцию этой системы можно рассматривать как комплексный сигнал и представлять в показательной форме записи (3.30) с фазой  (k , t )  arctg  H (k , t ) / Ч (k , t ) . К ней можно применить модель вращающегося на плоскости вектора и ввести понятие обобщенной частоты, связанное с характером его вращения. Чем быстрее вращается вектор, тем быстрее нарастает угол между вектором и осью абсцисс (фаза), тем большее число оборотов делает вектор в единицу времени и тем больше частота функции. При расположении функций в базисной системе по степени нарастания скорости вращения вектора порядок функции (ее номер) в системе будет соотвтствовать ее частоте изменения (frequency). Число же знакоперемен действительной и мнимой частей функции, представляющих собой проекции вектора на оси координат, может совпадать с истинной частотой изменения, а может и отличаться от нее. В последнем случае число знакоперемен будет характеризовать только частоту следования функции – секвенту (sequency). Для простых базисных функций в виде тригонометрических функций Ч (k , t )  cos(k t )  cos(2 ft ); H (k , t )  sin(k t )  sin(2 ft ) фаза θ(k,t) = k∆ωt = 2 ft линейна и обе трактовки частоты совпадают. Расположение базисных функций в системе по степени возрастания числа знакоперемен в этом случае будет соответствовать их расположению по нарастанию частоты. Спектральный коэффициент X(k) будет являться частотной составляющей сигнала и его номер k будет с точностью до постоянного множителя   2 /T совпадать с соответствующей частотой спектра сигнала. Для других простых базисных функций приходиться различать частоту и секвенту. Такие примеры будут приведены в главах 4 и 5 при рассмотрении конкретных систем базисных функций. 3.6. Обобщенная автокорреляционная функция сигнала и её связь с энергетическим спектром Введенные в предыдущем параграфе понятия спектра мощности для сигналов из пространства L2 по мощности и энергетического спектра для сигналов из пространства L2 по энергии тесно связаны с автокорреляционными функциями сигналов, поскольку и те и другие характеризуют сигналы с энергетической точки зрения (см. §1.3). При использовании в качестве базиса комплексных экспоненциальных функций 169 автокорреляционная функция и энергетический спектр (спектр мощности) в соответствии с известной теоремой Винера-Хинчина связаны между собой интегральными преобразованиями Фурье (1.39) и (1.40). В случае использования другого базиса эта связь будет, вообще говоря, более сложной. Однако в мультипликативных базисах можно ввести понятие обобщенной автокорреляционной функции причем так, что она по-прежнему будет связана с энергетическим спектром или спектром мощности обобщенными интегральными преобразованиями Фурье. Тем самым достигается обобщение теоремы Винера-Хинчина. В частном случае комплексного экспоненциального базиса эти обобщенные представления должны приводить к обычной автокорреляционной функции и обычной формулировке теоремы Винера-Хинчина. Определим сначала обобщенную свертку действительных сигналов x1 t  и x2 t  как такую операцию над ними xt   x1 t   x2 t , (3.70) при которой их спектры X1  f  и X 2  f  в мультипликативном базисе   f , t  перемножается, т.е. X  f   P X1  f X 2  f . (3.71) Это свойство спектров свертки в литературе называют еще теоремой о свертке (см. подробнее в §3.8). Естественно, что если базисная система является комплексной, то тот же спектр свертки должен записываться в следующем виде X  f   P X1  f X 2  f  . (3.72) Для того, чтобы разобраться, в чем заключается операция свертки (3.70), обозначенная символами   , применим к спектру (3.71) обратное преобразование Фурье. Для определенности предположим, что базисная система является формальной. Тогда получим xt     X  f   f , t d f  P  Заменим под знаком   X  f X  f   f , t d f . 1 2  интеграла спектр X1  f  обратным преобразованием Фурье от x1 t  , причем используем в этом преобразовании переменную времени  : 170 xt                 x   f ,  d  X f  f , t d f  x  d  X 2  f   f , t   f ,  d f .  2 1    1       При комплексной базисной системе в этом выражении под знаком второго интеграла будет стоять произведение комплексно-сопряженных функций   f , t    f ,  . Учитывая свойство мультипликативности базисных функций   f , t   f ,     f , t ()  или   f , t    f ,     f , t ()  , данное выражение преобразуется к виду:  xt   x1 t    x2 t    x   x t   d , 1 2 (3.73)  где знак  является общим обозначением обобщенных операций сложения (+) и вычитания (-). Это и есть расшифровка записи операции обобщенной свертки, обозначенной в виде   . Обобщенную свертку этого вида также, как и обычную свертку, можно интерпретировать как результат непрерывного просматривания сигнала x1 t  через неоднородное окно, форма которого задается сигналом x2 t  , только характер перемещения окна в этом случае не будет равномерным и определяется базовой операцией мультипликативности (+). В соответствии с (3.73) логично и обобщенную автокорреляционную функцию определить следующим образом (см. §1.3): RE      x  t  x  t ()  dt ,  T /2 (3.74) 1 R p    lim x  t  x  t ()  d t. T  T  T / 2 Можно показать, что обобщенная автокорреляционная функция обладает теми же основными свойствами, что и обычная функция: её начальное значение при   0 всегда равно энергии или мощности сигнала, она всегда является четной функцией обобщенного сдвига, периодические сигналы имеют также периодическую обобщенную автокорреляционную функцию с тем же периодом и т.д. Однако, не смотря на это, обобщенная автокорреляционная функция по форме отличается от обычной функции. 171 Если в качестве сигнала использовать базисную функцию, то её обобщенная корреляционная функция по форме совпадает с этой базисной функцией с точностью до постоянного множителя. Действительно, T /2 T /2 1 1 R p    lim   f , t    f , t ()  dt    f ,  lim   2  f , t  dt  P   f ,  . T  T  T  T T / 2 T / 2 Получим теперь уравнения Винера-Хинчина в обобщенном виде. Для этого запишем сигналы xt  и x  t ()  через свой непрерывный спектр X  f   xt    X  f   f , t d f , 1 1 1  x  t ()     X  f    f , t ()  d f 2 2 2  и подставим их в выражение для RE   . Тогда получим RE         X f  f , t d f    1   1  1  X  f 2   f 2 , t ()  d f 2  dt     X f X f   1   2     f1 , t   f 2 , t  dt    f 2 ,  d f1 d f 2 . x  t  x  t ()  dt        В силу ортогональности базисных функций  E , f1  f 2 , 0, f1  f 2 ,    f1, t   f2 , t dt    поэтому тройной интеграл преобразований получаем RE    превращается  в одинарный и после   X  f E   f , d f   S  f   f , d f . 2 E  (3.75)  Формула обратной связи RE   с S E  f  имеет следующий вид: SE  f   1 E   R    f , d  . E (3.76)  Уравнения (3.75) и (3.76) дают описание обобщенной теоремы ВинераХинчина для сигналов из пространства L2 по энергии для случая формального базиса. Для сигналов из пространства L2 по мощности пара обобщенных уравнений Винера-Хинчина выглядит следующим образом: R p      S  f   f , d f , p  1 S p  f   lim T   TP  T /2  R    f , d . p T / 2 172 (3.77) При использовании комплексных мультипликативных базисных функций в одном из уравнений Винера-Хинчина должна присутствовать комплексно-сопряженная базисная функция    f ,  . В случае же применения составной базисной системы S E  f  в (3.76) и S p  f  в (3.77) нужно заменить соответственно на S EЧ  f   S ЕН  f  и SРЧ  f   SРН  f  . Таким образом, мы показали, что обобщенная автокорреляционная функция и энергетический спектр (спектр мощности) в любом мультипликативном базисе связаны интегральными преобразованиями Фурье. Поскольку здесь результаты преобразования Фурье являются всегда четными функциями, то в преобразованиях, по существу, участвуют только четные части базисных функций. Учитывая это, теорему Винера-Хинчина, например для энергетического спектра, можно записать еще и в таком виде: R E      SE  f   1 SE  f   E Ч  f ,  d f   S E  f Ч  f ,  d f , 2 0  Ч  f ,  1 RE   2 d  E    R  Ч  f ,  d . (3.78) E 0 Аналогичные выражения могут быть написаны и для спектра мощности. Зная энергетический спектр (спектр мощности) или обобщенную автокорреляционную функцию, невозможно найти форму сигнала, так как в этих характеристиках содержится недостаточная информация и они определяют некоторое множество сигналов, а не какой-то конкретный сигнал из этого множества. Все полученные результаты в случае необходимости можно распространить и на комплексные сигналы, если ввести понятие автокорреляционной функции комплексных сигналов на основе определения свертки комплексных сигналов в виде (2.15). 3.7. Дискретные преобразования Фурье Дискретные преобразования Фурье устанавливают взаимооднозначное соответсвие между дискретными сигналами и их спектрами. При этом следует сразу подчеркнуть, что дискретный спектральный анализ не является дискретной формой непрерывного анализа (такой анализ, приспособленный к обработке непрерывных сигналов на цифровых ЭВМ, также существует), а 173 является во многих отношениях своеобразной областью теории сигналов со своими особенностями и закономерностями. В то же время непрерывный анализ может рассматриваться, при некоторых условиях, как предельный случай дискретного анализа. Финитные действительные дискретные сигналы xi , i  0, 1,  , N  1 , конечной энергии или мощности можно геометрически интерпретировать в виде векторов в евклидовом функциональном пространстве lN2 размерности N , причем пространства по энергии и мощности в этом случае совпадают, так как мощность и энергия таких сигналов различаются в конечное число раз. Проекции (спектр) X k  сигнала в системе координат, образованной из действительных функций  k, i  , могут быть определены по формуле X k   N 1  xi  k , i , 1 1  Pk N (3.79) i 0 а сам сигнал восстановлен по этим проекциям в соответствии с выражением N 1 xi    X k  k , i  . (3.80) k 0 Зависимости (3.79) и (3.80) определяют прямое и обратное дискретные преобразования Фурье. Для комплексного базиса пара дискретных преобразований Фурье приобретает вид: X k   1 1  Pk N N 1  xi  k , i ,  i 0 (3.81) N 1 xi    X k  k , i . i 0 Используемые в дискретных преобразованиях Фурье базисные функции так же являются дискретными и удовлетворяют следующим условиям ортогональности: 1 N N 1  k , i  m, i   P  k i 0 (3.82) k ,m или 1 N N 1  k , i  m, i   P   k i 0 k ,m , (3.83) а моменты времени их отсчётов должны совпадать с моментами отсчётов анализируемого сигнала. Мощность базисных функций Pk , используемая в выражениях (3.79) - (3.83), равна: 174 - для действительного базиса Pk  N 1 1 N  k , i , 1 N  k , i  k , i . 2 (3.84) i 0 - для комплексного базиса Pk  N 1  (3.85) i 0 Равенства Парсеваля имеют вид выражений (3.22) и (3.23) и отражают энергетическое равноправие представлений дискретных сигналов во временной и спектральной областях. Их выполнение свидетельствует также о полноте базисных систем  k, i . Следует иметь в виду, что в дискретных преобразованиях Фурье и в прямом и в обратном преобразовании присутствует один и тот же сигнал xi  , что принципиально отличает дискретные преобразования от непрерывных. В последних, как уже не раз отмечалось, в обратном преобразовании используется сам сигнал, а в прямом – его копия, приближающаяся к сигналу в среднеквадратическом смысле. Объясняется это различие различной размерностью используемых функциональных пространств: для дискретных финитых сигналов пространство конечномерное с размерностью, равной N , а для непрерывных сигналов пространство бесконечномерное с размерностью, равной  . Дискретные преобразования Фурье как для действительных, так и для комплексных базисных функций можно записать и в обобщенной форме через скалярные произведения xi    X k ,  k , i k ,   X k   xi ,  k , i i / Pk ,   X k   xi ,   k , i  i / Pk .   (3.86) Здесь все скалярные произведения понимаются в смысле суммирования. Кроме того эти преобразования допускают еще один способ их компактной записи с помощью матриц. Если x и X являются матрицамистолбцами соответственно дискретного сигнала xi  и его спектра X k   x0    x1  , x       x N  1  X 0   X 1  , X        X N  1 а  есть квадратная матрица значений базисных функций 175   0,1    0, 0    1, 0   1, 1 φ       N  1, 0    N  1,1   0, N  1    ,    N  1, N  1   1, N  1 то обратное и прямые преобразования Фурье принимают следующий вид (см. §2.5):   x   X,   1 X  x,  NPk  1   X  x. NPk  (3.87) Матричное представление дискретных преобразований Фурье может оказаться удобным при выводе спектральных алгоритмов обработки дискретных сигналов. Если дискретный сигнал xi  получается путем дискретизации непрерывного сигнала xt  , то между спектрами этих сигналов должна существовать определенная связь. Для её выявления образуем из 0,  непрерывного сигнала, определенного на полубесконечном интервале и имеющего спектральную плотность X  f  в базисе   f , t   e j 2ft , импульсный сигнал xи t  в виде совокупности бесконечно узких равноотстоящих импульсов, следующих друг за другом с частотой  f  1 /  t , где  t - шаг дискретизации по времени. Такой сигнал по сути является континуальным представлением дискретного нефинитного сигнала xi  , получаемого из непрерывного сигнала xt  в результате его равномерной дискретизации. Запишем импульсный сигнал с помощью дельта-функций в виде xи t     xt  t    t . (3.88)    Последовательность дельта-функций раскладывается в следующий ряд Фурье    t    t       e jm 2  f t m   Поэтому из выражения (3.88) можно получить, что 176 ,  xи t   xt   e jm 2  f t . (3.89) m   Тогда спектральная плотность импульсного сигнала будет равна  X и  f    xи t e j 2 f t dt  0     j 2  f  m f t dt   xt e m   0   X  f  m f . (3.90) m   Это значит, что спектральная плотность импульсного сигнала представляет собой периодическую функцию непрерывной переменной f , образованную путем суммирования спектров исходного сигнала, сдвинутых по оси частот на величины, кратные  f . Аналогичный результат получаем и для финитных сигналов xt  и xi  , определенных соотвественно на интервале 0,T  и 0, N  . В этом случае величины N и T связаны между собой соотношениям T  N  t , а спектр импульсного сигнала xи t  , определенного в точках 0, t, 2 t,, N  1t , в базисе e j 2 fkt  будет равен T  1 X и k    xи t e j 2k  ft dt   X k  mN . T0 m   (3.91) Таким образом, спектр импульсного финитного сигнала представляет собой дискретную периодическую функцию, образованную в результате суммирования спектров исходного сигнала, сдвинутых один относительно другого по оси безразмерной частоты на величины, кратные периоду N . Очевидно, что в общем случае, располагая спектром X и k  и выделив из него один период, невозможно точно восстановить весь спектр X k  . Возникшую при этом погрешность можно уменьшить, если увеличить число отсчетов N на интервале длительности T . Во временной области этот же факт означает, что восстановить xt  точно по его равноотстоящим отсчетам xi  t  путем интерполяции нельзя. Для уменьшения возникающей погрешности необходимо уменьшить шаг дискретизации t  T / N за счет увеличения числа отсчетов N . В том случае, когда выполняется теорема Найквиста-Котельникова, т.е. исходный сигнал xt  имеет спектр, ограниченный в полосе  fв , fв  и импульсы выделяются через интервалы t  1/ 2 fв , сдвинутые спектры не перекрываются и центральный (основной) период спектра дискретного сигнала совпадает со спектром исходного непрерывного сигнала. Это 177 означает, что теоретически возможно точно восстановить исходный непрырывный сигнал с помощью идеального фильтра низкой частоты, выделяющего центральный период дискретного спектра. Однако практически точное восстановление дискретного сигнала невозможно и в этом случае, так как для этого требуется создать идеальный фильтр и затратить бесконечное время на интерполяцию, поскольку интерполирующий ряд в этом случае будет содержать бесконечное число членов (см. §4.1). Приведенные результаты совпадают с теми результатами, которые были получены нами ранее в §1.5 для спектра мощности дискретных сигналов. При разложении дискретных сигналов могут быть использованы только дискретные базисные функции, упорядоченные в конечную базисную систему. Существует два подхода к синтезу дискретных базисных функций. Первый подход состоит в непосредственном формировании дискретных функций, удовлетворяющих условиям упорядоченности, линейной независимости и ортогональности на системе из N точек. Общей методики реализации такого подхода не существует. Известные способы носят частный характер и используют различные разделы целочисленной математики. В §5.5 в качестве примера рассмотрена процедура синтеза дискретной базисной системы с использованием чисел Фибоначчи. Второй подход к синтезу дискретных базисных функций основывается на дискретизации непрерывных базисных функций с сохранением свойств ортогональности и полноты. Для этого подхода характерен ряд общих положений, сформулированных Трахтманом А.М. [59]. Приведем их. Рассмотрим сначала базисную систему, образованную из нечетных непрерывных функций  k , t   H k , t . Поскольку дискретный сигнал задан с помощью N отсчетов, то и базисная система H k , i  должна также содержать N функций H 0, i , H 1, i ,, H N  1, i . Сумма нечетных функций может образовать только такой сигнал, который имеет нулевой отсчет в точке i  0 , поэтому нечетный сигнал, по существу, имеет на интервале 0, N  1 всего N  1 координат. Так как H 0, i   0 , то и базисная система H k , i  для интервала 0, N  включает в себя, по существу, N  1 функций. 178 Они могут быть получены путем дискретизации непрерывных функций H 1, t , H 2, t ,, H N 1, t . Для этого добавим к этим функциям еще одну функцию с порядком на единицу больше, чем максимальный удерживаемый порядок N  1 , т.е. функцию H N , t  и отметим у нее точки перехода через нуль ti . Тогда дискретная временная ось i , состаящая из N точек, определится нулями функции H N , t . Возьмем в этих точках отсчеты у всех функций младших порядков и примем их за значения дискретных функций H k , i  . Полученная после такой дискретизации система удовлетворять условию ортогональности 1 N дискретных функций будет N 1  H k , i H m, i   P  k i 0 k ,m , где Pk  1 N N 1  H k , i . 2 i 0 Очевидно, она будет полной системой для множества сигналов, у которых начальный отсчет в точке i  0 равен нулю. Аналогичная процедура может быть применена и к базисной системе, образованной из четных функций Ч k , t . Соответствующая её полная система ортогональных дискретных четных функций будет состоять из функций Ч 0, i , Ч 1, i ,  , Ч N  1, i  и получается из значений функций Ч k , t  , взятых в моменты времени ti , являющиеся корнями уравнения Ч N , t   0 . Эти точки не совпадают с точками, определяющими дискретную временную ось в случае нечетных функций, поэтому временная ось для систем Н k , i  и Ч k , i  определяется по-разному. Полученные таким образом дискретные системы на основе нечетных и четных непрерывных базисных функций пригодны для разложения дискретных сигналов с односторонним полуинтервалом. Для представления дискретных сигналов, определенных на двустороннем или одностороннем полном интервале можно использовать родственные системы, образованные из четных и нечетных функций. При этом любая из родственных дискретных систем (составная, формальная, комплексная) может быть получена с 179 помощью описанной процедуры дискретизации соответствующей непрерывной системы. Для этого из системы непрерывных функций выбираются первые N функций  0, t ,  1, t ,  , N  1, t  . Затем берется функция следующего старшего порядка  N, t  и её нули используются для задания моментов ti дискретного времени, в которые определяются отсчеты у всех остальных функций. Для составных и комплексных систем такой функцией будет нечетная функция N  H  ,t  , 2  а для формальных систем – функция 1 N   N  Ч  , t   H  , t  . Следовательно, дискретные временные оси в этих  2  2   2  базисных системах будут определены по-разному. Однако, после того, как базисные функции получены, для последующей обработки сигналов это принципиального значения не имеет, так как в дискретных преобразованиях Фурье эти функции используются в виде функций целочисленного аргумента i, принимающего симметричного значения двустороннего либо  N / 2,  N / 2  1, интервала), либо , 0, 1, , N / 2 1 0, 1,  , N  1 (для (для одностороннего полного интервала). Формулы прямого и обратного дискретных преобразований Фурье, мощности базисных функций, условия их ортогональности и равенства Парсеваля для дискретных сигналов и базисных функций с симметричным двусторонним интервалом определения  N / 2, N / 2 аналогичны приведенным ранее соответствующим формулам для сигналов и функций с односторонним интервалом и отличаются только пределами суммирования. Из рассмотренной методики следует, что при дискретизации непрерывных базисных систем могут быть получены как решетчатые, так и нерешетчатые дискретные базисные системы. Все зависит от расположения нулей функции  N, t  на её интервале ортогональности. Решетчатые системы находят наибольшее применение при спектральной обработке сигналов, поскольку равномерная дискретизация, результатом которой являются решетчатые сигналы, наиболее просто реализуется на практике. Далее в двух последующих главах описанная процедура дискретизации будет использована для получения решетчатых базисных систем на основе некоторых известных непрерывных базисных функций. 180 3.8. Свойства спектров мультипликативных базисов Двойная мультипликативность базисных функций позволяет записать для их спектров ряд важных свойств, которые в литературе обычно формулируют в виде специальных теорем. Приведем основные из них. При этом, не ограничивая общности, рассмотрим только спектры комплексных базисных функций, определенных на конечных интервалах времени длительностью Т. Конечность интервала накладывает дополнительное ограничение на базовую операцию мультипликативности: она должна быть замкнутой, в соответствии с чем ее результат над любыми моментами времени, принадлежащими Т, также должен принадлежать этому же интервалу. Такому условию удовлетворяют, например, операции модулярного сложения и вычитания, характерные для систем комплексных экспоненциальных функций, функций Уолша и более общих функций Виленкина-Крестенсона. Чтобы объединить доказательство свойств спектров непрерывных и дискретных базисных функций, воспользуемся общей записью преобразований Фурье в виде скалярных произведений (3.26), где под переменной t будем понимать теперь как непрерывное, так и дискретное время. В последнем случае фактически t=i, Т=N и скалярное произведение понимается в смысле конечного суммирования, в результате чего реализуется дискретное преобразование Фурье. Следует иметь в виду, что в скалярных произведениях в (3.26) имеется определенная математическая ассиметрия: внутри двух последних используется нормирующий множитель 1/T, в то время как в первом произведении такой множитель отсутствует. При выводе свойств спектров удобно этот множитель вынести за знак скалярного произведения. В этом случае пару преобразований Фурье в комплексном базисе можно записать в следующей компактной форме: x(t )  ( X (k ),  (k , t )) k , (3.92) X (k )  1 ( x(t ),   (k , t ))t , Т  Pk где, как и ранее, скалярные произведения в зависимости от характера изменения t, понимаются как в смысле бесконечного суммирования и 181 интегрирования, так и в смысле конечного суммирования. С помощью таких скалярных произведений можно более компактно записать также и обобщенную свертку, и обобщенную автокорреляционную функцию, что следует из выражений (3.70) и (3.74): x1 (t ) x2 (t )  ( x1 ( ), x2 (t () )) , (3.93) R p ( )  1 ( x(t ), x(t ( ) ))t . T Перейдем теперь непосредственно к свойствам спектров, оформив их в виде соответствующих теорем. 1. Теорема об обобщенном сдвиге. Спектр сигнала, сдвинутого по оси времени с помощью операции обобщенного сдвига на величину τ, равен спектру исходного сигнала, умноженному на значения базисных функций в момент времени τ. Доказательство. Пусть сигнал x(t) имеет в базисе { (k , t )} спектр {X(k)}, а сигнал y(t) получается из сигнала x(t) путем прямого обобщенного сдвига последнего по оси времени на время τ, т.е. y(t)=x(t(+)τ). Тогда спектр сигнала y(t) можно записать следующим образом: Y (k )  Умножим 1 1 ( y (t ),   (k , t ))t  ( x(t ( ) ),   ( k , t )) t . T  Pk T  Pk правую часть этого выражения на произведение   (k , )   (k , ), численно равное 1, а затем внесем функцию   (k , ) под знак скалярного произведения, что возможно, поскольку   (k , ) не зависит от времени t. Тогда, с учетом свойства мультипликативности базиса получим Y (k )   1 ( x(t ( ) ),   (k , t )  ( k , )) t   ( k , )  T  Pk 1 ( x(t () ),   (k , t ( ) ))t   ( k , )  X ( k ) ( k , ). T  Pk В случае обратного обобщенного сдвига (-) сигнала x(t) сигнал y(t)=x(t(-)τ) и его спектр может быть приведен к аналогичному виду: Y (k )  1 ( x(t () ),   (k , t () ))t   (k , )  X ( k )  ( k , ). T  Pk 182 При выводе этого выражения под знак скалярного произведения вносится уже функция  (k , ) и используется свойство мультипликативности базиса в форме записи (3.28). Теорема доказана. Из нее следует, что обобщенный сдвиг сигнала по оси времени приводит к модуляции его спектра базисными функциями: при прямом сдвиге – комплексными функциями, а при обратном – комплексносопряженными. 2. Теорема об умножнии сигнала на базисную функцию (теорема о модуляции). Умножение сигнала на базисную функцию приводит к обобщенному сдвигу его спектра. Доказательство. Если сигнал y (t )  x(t ) (m, t ), то его спектр Y (k )   1 ( x(t ),   (k ()m, t ))t  X (k ( )m). T  Pk Если Y (k )  1 1 ( x(t ) (m, t ),   (k , t ))t  ( x(t ),   (k , t )   (m, t )) t  T  Pk T  Pk сигнал y(t )  x(t )  (m, t ), то для него 1 ( x(t )  (m, t ),   (k , t ))t  T  Pk  1 1 ( x(t ),   (m, t )  (k , t ))t  ( x(t ),   ( k ( ) m, t )) t  X ( k ( ) m). T  Pk T  Pk Теорема доказана. Из нее следует, что при модуляции сигнала базисной функцией сам спектр сигнала не изменяется, но меняется порядок следования его составлющих по закону обобщенной базовой операции мультипликативности. 3. Теорема о свертке. Спектр сигнала, являющегося результатом обобщенной свертки двух других сигналов, равен с точностью до постоянного множителя произведению спектров этих сигналов. Доказательство. Пусть сигнал y(t) есть обобщенная свертка вида (3.70) двух сигналов x(t) и u(t) со спектрами X(k) и U(k) соответственно. Ее можно записать в виде скалярного произведения y(t )  ( x( ), u(t () )) . Тогда спектр сигнала y(t) Y (k )  1 1 ( y (t ),   (k , t ))t  (( x( ), u (t ( ) )) ,   ( k , t )) t . T  Pk T  Pk 183 Умножим внутреннее скалярное произведение правой части этого выражения на величину T  Pk  (k , ) (k , ) /(T  Pk ), равную единице. Тогда можно записать, что Y (k )  1 1 ( x( ),   (k , ))  (u (t ( ) ),   ( k , t )  ( k , ) t  T  Pk  T  Pk T  Pk  1 1 ( x( ),   (k , ))  (u (t () ),   ( k , t ( ) )) t  T  Pk . T  Pk T  Pk Но здесь первое скалярное произведение является спектром сигнала x(t), а второе – спектром сигнала u(t). Поэтому Y(k)=T.X(k).U(k).Pk. (3.94) Теорема доказана. Это свойство может быть эффективно использовано для вычисления сверток. Для ортонормированных базисов все Pk=1 и запись (3.94) этого свойства упрощается. 4. Теорема о корреляции. Спектр обобщенной автокорреляционной функции сигнала с точностью до постоянного множителя равен произведению комплексно-сопряженных спектров этого сигнала. Доказательство. В этом случае сигнал y ( )  1 ( x(t ), x(t ( ) ))t T и его спектр Y (k )  Умножив этот 1 (( x(t ), x(t () ))t ,   (k , )) . TPk спектр на величину Pk  (k , t ) (k , t ) / Pk  1, после необходимых преобразований получим Y (k )  1 1 ( x(t ),  (k , t ))t  ( x(t ( ) ),   ( k , t ( ) ))  Pk  T  Pk T  Pk (3.95)  Pk X  (k ) X (k )  Pk X (k ) 2 . Теорема доказана. 5. Теорема об умножении сигналов. Спектр сигнала – произведения двух других сигналов равен обобщенной свертке спектров этих сигналов. Доказательство. Пусть сигнал y(t) является произведением двух сигналов x1(t) и x2(t) со спектрами X1(k) и X2(k) соответственно. Тогда его спектр можно найти следующим образом: 184 Y (k )  1 1 ( x1 (t )  x2 (t ),   (k , t ))t  (( X 1 ( m),  ( m, t )) m  x2 (t ),   ( k , t )) t  T  Pk T  Pk  ( X 1 (m), 1 ( x2 (t ),   (k , t ) (m, t ))t ) m  T  Pk  ( X 1 (m), 1 ( x2 (t ),   (k ()m, t ))t ) m  T  Pk  ( X1 (m), X 2 (k ()m))m . (3.96) Последнее выражение и есть обобщенная свертка спектров X1(k) и X2(k) с операцией в виде обратной операции мультипликативности. Теорема доказана. Ее можно обобщить на случай произвольного числа сомножителей. Однако в этом случае придется ввести понятие многомерной свертки. 5. Теорема об энергетическом спектре сигнала. Энергетический спектр сигнала в обобщенном мультипликативном базисе не изменяется при обобщенном сдвиге сигнала. Доказательство. Обозначим энергетические спектры несдвинутого x(t) и сдвинутого y(t)=x(t(-)τ) сигналов в виде Sx(k) и Sy(k) соответственно. Тогда в соответствии с (3.69) имеем S y (k )  1 Y (k )  Y  (k ). T Но по теореме об обобщенном сдвиге сигнала Y (k )  X (k )  (k , ), Y  (k )  X  (k ) (k , ). Здесь X(k) и Y(k) есть соответственно спектры сигналов x(t) и y(t). Учитывая это, получим S y (k )  1 1 X (k ) X  (k )  (k , ) (k , )  X (k ) X  (k )  S x (k ). T T (3.97) Теорема доказана. Она свидетельствует об инвариантности энергетического спектра сигнала к его обобщенному сдвигу по оси времени. При доказательстве теорем 2, 5 и 6 использовалась мультипликативность базисных функций только относительно их номера. Поэтому соответствующие свойства будут справедливы и для базисных систем с одинарной мультипликативностью. 185 Приведенные свойства легко скорректировать для спектров действительных мультипликативных базисов. Для этого достаточно учесть, что в этом случае   (k , t )   (k , t ) и X  (k )  X (k ). Вопросы для самопроверки 1. Какой аппроксимирующий многочлен называется ортогональным? 2. Каким важным свойством обладают ортогональные аппроксимирующие многочлены? 3. В чем состоит физический смысл неравенства Бесселя? 4. Как метрические характеристики функциональных пространств сигналов записываются с помощью спектров? 5. Докажите, что в случае принадлежности сигналов функциональному пространству L2 их линейная комбинация так же принадлежит этому пространству. 6. Что является математическим подтверждением энергетической эквивалентности представления сигналов во временной и спектральной областях? 7. Почему спектр сигнала с ростом порядка базисных функций стремится к нулю? 8. Сформулируйте условия Дирихле среднеквадратической сходимости ряда Фурье. 9. Какие требования к базисным функциям являются обязательными, а какие желательными и почему? 10.Докажите справедливость формулы (3.27) преобразования переменных при согласовании интервала ортогональности базисных функций с интервалом определения сигнала. 11.Чему равно количество базисных функций в полной базисной системе? 12. К чему приведет нарушение условия полноты базисной системы? 13. Что подразумевается под размерностью сигнала? 14. Дайте определение свойства мультипликативности базисных функций. 15. Какие родственные системы базисных функций существуют и как они образуются? 186 16. Запишите равенства Парсеваля для родственных спектров. 17. Дайте определение амплитудного и фазового спектра сигналов. 18. Запишите ряд Фурье для комплексного базиса в тригонометрической форме. 19. Определите физический смысл обобщенной частоты. 20. Запишите интегральные преобразования Фурье для произвольного базиса применительно к сигналам с односторонним бесконечным интервалом определения. 21. Запишите равенство Парсеваля для интегральных преобразований Фурье. Что оно отражает? 22. Как определяются обобщенные спектральные плотности мощности и энергии? 23. Как записывается обобщенная автокорреляционная функция сигнала? 24. Сформулируйте обобщенную теорему Винера-Хинчина. 25. Почему по обощенной автокорреляционной функции нельзя опеределить форму сигнала? 26. Какие существуют способы получения дискретных базисных функций? 27. Каким образом образуется дискретная ось при дискретизации непрерывных базисных функций? 28. Сформулируйте условия, при которых получаются решетчатые (или нерешетчатые) дискретные базисные функции. 29. Сформулируйте свойства спектров в мультипликативных базисах. 30. Покажите, как, пользуясь теоремой о свертке, можно применить преобразования Фурье для вычисления свертки. 187

Часть 1x - Московский государственный технический

Study collections

Products

Support

Часть 1x - Московский государственный технический

Study collections

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib