комментарии к задаче № 4

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный
инженерно-экономический университет»
Кафедра высшей математики
ЗАОЧНОЕ ОБУЧЕНИЕ
МАТЕМАТИКА
(ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА)
Методические указания к изучению дисциплины
и выполнению контрольной работы № 3
для студентов заочной формы обучения
Специальности:
080105 - Финансы и кредит
080109 - Бухгалтерский учет, анализ и аудит
080111 - Маркетинг
080502 - Экономика и управление на предприятии (по отраслям)
080504 - Государственное и муниципальное управление
080506 - Логистика
080507 - Менеджмент организации
220501 – Управление качеством
Санкт-Петербург
2006
Допущено
редакционно-издательским советом СПбГИЭУ
в качестве методического издания
Составители:
ст. преп. В. Г. Блинова
канд. техн. наук, доцент Я. В. Войтишек
ст. преп. Е. Н. Зверева
Рецензент
канд. хим. наук, доцент В.В. Фокин
Подготовлено на кафедре
высшей математики
Одобрено научно-методическим советом университета
Отпечатано в авторской редакции с оригинал-макета,
представленного составителями
© СПбГИЭУ, 2006
2
Содержание
1. Общие положения……………………………………………...4
2. Методические указания к изучению дисциплины.…………..4
3. Методические указания к выполнению заданий № 1- № 4
Комментарии к задаче № 1
§1. Случайные события. Основные понятия…………………….5
§2. Случайные события. Операции………………………………6
§3. Классическое определение вероятности……………………..6
§4. Примеры задач на классическую вероятностную схему……8
§5. О статистической и геометрической вероятностях…………9
§6. Простейшие свойства вероятностей………………………..10
§7. Условные вероятности. Независимость событий………….11
§8. Вероятность наступления хотя бы одного события……….12
§9. Формула полной вероятности………………………………14
§10. Формула Байеса……………………………………………..16
Комментарии к задаче № 2
§11. Повторные независимые испытания………………………17
§12. Другие формулы вычисления вероятностей для схемы
Бернулли…………………………………………………………..19
Комментарии к задаче № 3
§13. Случайные величины дискретного типа…………………..22
§14. Функция распределения…………………………………….23
§15. Математическое ожидание случайной величины
дискретного типа…………………………………………………24
§16. Дисперсия случайной величины…………………………..26
§17. Биномиальный и пуассоновский законы распределения…26
Комментарии к задаче № 4
§18. Случайные величины непрерывного типа…………………28
§19. Нормальный закон распределения и его
характеристики……………………………………………………30
§20. Другие законы распределения непрерывных случайных
величин……………………………………………………………31
4. Методические указания к выполнению задания № 5……….32
5. Контрольные задания № 1- № 4.……………………………...53
6. Контрольные задания № 5.……………………………………71
7. Выбор варианта. Требования к оформлению
контрольной работы.…………………………………………..79
3
8. Список литературы……………………………………….…...80
Приложение 1 Таблица случайных чисел…………….………...81
Приложение 2 Нормированная функция Лапласа.………….………83
Приложение 3 Значения чисел q в зависимости от объёма
выборки n и надёжности  для определения доверительного
интервала среднего квадратического отклонения  х .….……..85
Приложение 4 Критические точки распределения  2 ...………86
Приложение 5 Содержание дисциплины..……………………..87
Приложение 6 Образец оформления титульного листа
контрольной работы.…………………………………………….90
Приложение 7 Перечень контрольных вопросов для
проверки знаний по дисциплине.……………………………….91
1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Цель дисциплины «Математика (Теория вероятностей и
математическая
статистика)»
дать
необходимый
математический аппарат и привить навыки его использования
при решении инженерно-экономических задач. Для этого при
изучении курса студенты осваивают методы математического
моделирования экономических и иных возникающих на практике
ситуаций, вероятностные методы их исследования и решения,
методы обработки статистических данных (аналитически и при
помощи вычислительной техники), а также методы дальнейшего
анализа полученных результатов. Это способствует также
развитию логического и алгоритмического мышления.
Теория вероятностей опирается на предшествующие
разделы математики, как на курс средней школы, так и на
разделы, изучавшиеся на 1 курсе (множества, функции,
непрерывность, производные, интегралы, ряды).
Студенты 2 курса, имеющие зачтенные контрольные работы
№ 3 и № 4, допускаются к экзамену по математике.
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ
ДИСЦИПЛИНЫ
Изучение дисциплины следует начать с теоретической части
данных методических указаний. Поскольку методические
указания не являются учебником и теоретический материал здесь
4
изложен
кратко,
полезно
обратиться
к
учебникам,
перечисленным в списке литературы.
Для изучения дисциплины в общепринятом логическом
порядке полезно сверяться с Приложением 5 данного издания.
3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ
ЗАДАНИЙ № 1 - № 4
КОММЕНТАРИИ К ЗАДАЧЕ № 1
§1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Случайным
называется
событие,
которое
при
осуществлении совокупности некоторых условий S может либо
произойти, либо не произойти. Пример: событие А1 - выпадение
“шестерки” при одном броске игральной кости (кубика с
занумерованными гранями).
Достоверным называют событие, которое обязательно
произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S.
Пример: событие А2 - при одном броске игральной кости число
выпавших очков меньше 7. Обозначим достоверное событие
буквой 
Невозможным называют событие, которое заведомо не
произойдет при осуществлении совокупности событий S.
Пример: событие А3 - при одном броске игральной кости число
выпавших очков дробно. Невозможное событие обозначим
символом .
События и будем рассматривать как частные
(“крайние”) случаи случайных событий, хотя они не являются
таковыми.
Два или более событий назовем несовместными, если в
результате осуществления условий S (или, по-другому, в
результате
испытания)
невозможно
их
совместное
осуществление, т.е. появление одного из них исключает
появление другого в том же испытании. Пример: событие А4 при броске игральной кости выпало нечетное число очков несовместно с событием А1 (выпала “шестерка”).
5
§2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ОПЕРАЦИИ
Сумма событий А + В - событие, состоящее в том, что
произошло хотя бы одно из двух событий А и В, т.е. наступило
либо А, либо В, либо оба сразу. Пример: для событий А1 и А4 из
§1 А1 + А4 = {выпало 1,3,5 или 6 очков}.
Произведение событий А · В  это совместное
осуществление и А и В (иначе: их общие исходы). Пусть В =
{при броске игральной кости выпало число очков, кратное 3}.
Тогда В · А4 = {выпала грань с 3 очками}.
Для несовместных событий А и В их произведение А·В=
у них нет общих исходов. В частности, для последнего примера
§1 можно записать А1 ·А4 = .
Событие A называется противоположным к А (т.е. состоит
в том, что “ достоверное событие происходит, а событие А не
происходит”).
Для операций над событиями выполняются свойства:
А+В=В+А
А·В=В·А
(А + В) + С = А + (В + С)
(А · В) · С = А · (В · С)
(А + В) · С = А · С + В · С
Если события Н1, Н2, ..., Нn попарно несовместны
(Нi·Hj=при i j ), а их сумма  достоверное событие
(H1+H2+...+Hn = ), то говорят, что {H1, H2, ..., Hn}  полная
группа несовместных событий или разбиение . В частности,
{A, A }  полная группа несовместных событий для любого А.
§3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Вероятность события А  это число Р(А), которое вводится
для
количественного
описания
степени
объективной
возможности наступления А.
В этом параграфе рассмотрим испытания, в которых
множество

представляет
собой
конечное
число
равновозможных исходов. Например, если бросить игральную
6
кость один раз, то она может выпасть на любую из шести граней.
Достоверное событие здесь состоит в том, что выпала одна из
шести граней. Будем считать кубик симметричным; в этом случае
можно считать все шесть исходов равновозможными. В случае
двух бросков симметричной монеты  4 различных исхода:
“орел-орел” (О, О), “орел-решка”(О, Р), а также Р, О и Р, Р; их
также считают равновозможными. Все они вместе образуют
достоверное событие для данного испытания. В первом случае
вероятность каждого из элементарных исходов равна 1/6, а во
втором 1/4.
В общем случае, если число всех элементарных исходов
N() равно n, то вероятность каждого из них 1/n. Пусть число
благоприятствующих исходов для А или, иначе, число
элементарных исходов испытания, входящих в событие А ( N(A)
), равно m, тогда вероятность
N(A) m
P(A ) 

(1)
N () n
Это формула классической вероятности.
В примерах из §1 шесть элементарных исходов: выпала
цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Событие А1 включает в себя ровно 1
элементарный исход, А2 (достоверное)  все 6, А3 (невозможное)
 0, А4  3. Поэтому
1
6
P(A1 )  , P(A 2 )  P()   1 ,
6
6
0
3 1
P(A 3 )  P()   0 , P(A 4 )  
6
6 2
Еще примеры. При двух бросках симметричной монеты
событие С = {выпал хотя бы один “орел”} включает в себя три
3
элементарных исхода из четырех, поэтому P(C)  .
4
Событию D = {при трех бросках монеты выпало ровно два
”орла”} благоприятствуют 3 из 8 возможных элементарных
3
исходов, поэтому P(D)  .
8
7
§ 4. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ НА КЛАССИЧЕСКУЮ
ВЕРОЯТНОСТНУЮ СХЕМУ
1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того,
что на них выпали грани с одинаковым числом очков?
Каждому из шести исходов при броске первой кости
соответствует шесть исходов, получающихся при броске второй
кости, значит, всего получится 36 элементарных исходов (1-1, 12, ..., 1-6, 2 - 1, ... , 6 - 6). Искомому событию благоприятствуют
6 исходов из 36 (1-1, 2-2, ... , 6-6), поэтому вероятность данного
события А
6 1
P(А) 
 .
36 6
2. В урне 10 белых и 12 черных шаров, вынимают 3 из них.
Какова вероятность того, что среди них ровно 2 черных?
Общее число элементарных исходов  это число способов,
которым можно вынуть 3 шара из 22. Оно равно числу сочетаний
из 22 элементов по 3.
22! 22  21  20

 1540
n = N()  C322 
3!19!
1 2  3
(первый шар выбирается 22 способами, после того, как первый
выбран, второй  21 способом, а для третьего после выбора
первых двух остается 20 вариантов; однако каждый набор из трех
шаров мы включили в общее число несколько раз, а именно
3·2·1=6, поэтому разных наборов из 3 шаров в 6 раз меньше, чем
22·21·20).
Общая формула для числа сочетаний из L по k приведена
ниже.
Событие А, вероятность которого нужно подсчитать,
состоит в том, что вынуты 2 черных и 1 белый шар. 2 черных
шара из 12-ти можно извлечь
12!
12  11
2
C12


 66
2!  10! 1  2
способами ( 1-й  любой из 12-ти черных, 2-й  любой из 11-ти
оставшихся, но каждый набор из двух шаров учтен дважды,
поэтому 12·11 делим пополам). 1 белый шар из 10-ти можно
взять
8
10!
 10
1!  9!
способами. Таким образом, число благоприятствующих событию
А способов равно
2
m = N(A)  C12
 C110  66 10  660
(каждый из 66 наборов из 2 черных шаров и каждый из 10 белых
шаров дают устраивающий нас вариант).
Итак,
2
 C110 660 3
N(A) C12
P(A) 


 .
N ()
C322
1540 7
Примечание. Общая формула для числа сочетаний из L по k
C110 
C kL 
L!
L  L  1  ...  L  k  1
,

k!(L  k )!
1  2  ...  k
где L!  1  2  ... (L  1)  L , 0!  1 .
(подробнее о комбинаторных схемах см. [ 3-4 ]).
3. Полный набор домино (28 костей) раздается между
четырьмя игроками (по 7). Какова вероятность, что у третьего
игрока нет “шестерок”?
Всего игрок может получить n = N   C728 различных
наборов из 7 костей, составленных из всех 28 костей домино,
“шестерка” содержится на 7 “костяшках”, значит, без “шестерок”
– 21 кость домино. Из них можно составить m = NA   C721
всевозможных “семерок” – наборов из 7 костей. Окончательно,
NA  C 721 21!  7!  21! 323
PA  



 0,098
N  C 728 7!  14!  28! 3289
§5. О СТАТИСТИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
ВЕРОЯТНОСТЯХ
Относительная частота события А  это отношение числа
испытаний, в которых событие фактически появилось
9
(благоприятствующих А) к общему числу проведенных
m
испытаний: W A   .
n
Если классическая вероятность вычисляется до опыта, то
относительная частота  после опыта. Конечно, при увеличении
количества испытаний в серии на 1 W(A) меняется  хотя бы
потому, что на единицу изменяется знаменатель дроби. Тем не
менее, с увеличением n величина W(A) приближается к
некоторому
числу,
которое
называют
статистической
вероятностью события А.
Заметим, что когда в задаче говорится, что “вероятность
поражения стрелком мишени равна 0,7”, то речь идет о
вероятности, вычисленной статистически.
Бывают задачи, когда множества всех элементарных
исходов
и
благоприятствующих
исходов
невозможно
пересчитать. В этих задачах иногда удается выразить вероятность
события как отношение либо длин, либо площадей, либо
объемов. Например, если считать, что попадания в круглую
мишень происходят равномерно по площади всей мишени, а
диаметр центра мишени в 5 раз меньше диаметра самой мишени,
то вероятность попадания в центр (при условии попадания в
мишень) равна отношению площадей центра мишени и всей
мишени:
2
SA   r 2  r 
1
PA  





S  R 2  R  25
В этом случае количество вариантов, благоприятствующих
А, бесконечно, но и общее число вариантов исхода испытания
бесконечно, т.е. формулы классической или статистической
вероятности неприемлемы.
Вероятность, определяемую как отношение длин, площадей,
объемов, называют геометрической вероятностью.
§6. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Для классического, статистического и геометрического
определений вероятности выполняются следующие аксиомы:
I. Р(А)  0 для любого наблюдаемого события А ;
10
II. Р( ) = 1 ;
III. Если события А и
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
В
несовместны
(А · В = ),
то
Из аксиом можно вывести следующие свойства:
1. Р() = 0 , откуда следует, что если А и В несовместны
(А · В = ), то Р(А · В) = 0.
2. Р( А ) = 1  Р(А).
3. Р(А) 1.
4. Если А  В (А влечет за собой В, т.е. все исходы,
содержащиеся в А, содержатся и в В), то Р(А)  Р(В) .
5. Если А = B (т.е. А  В и В  А), то Р(А) = Р(В) .
6. Р(А + В) = Р(А) + Р(В)  Р(А · В), формула сложения
вероятностей. В частности, если А и В несовместны (А · В =
), то получим аксиому III.
§7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ
СОБЫТИЙ
Условная вероятность Р(В / А) = РA(В)  это вероятность
осуществления события В при условии, что событие А уже
произошло (причем последнее не является невозможным, т.е.
Р(А) > 0). Эту вероятность можно вычислить по формуле
PA  B
PB / A  
, PA   0
PA 
Для краткости эта величина называется “вероятностью
события В при условии А”. Заметим, что для величины Р(В / А)
выполняются аксиомы I, II, III, и , следовательно, простейшие
свойства (см. §6).
Обозначим через Х число очков, выпавших при одном
бросании игральной кости. Пусть А = {Х – простое число}, В =
{Х – четное число}. Тогда Р(А) = 3/6 = 1/2 (числа 2, 3, 5 
простые, 1, 4, 6  нет), Р(В) = 3/6 = 1/2, Р(А · В) = 1/6 (простое и
четное одновременно число только одно  это 2). Следовательно,
Р(В / А) = 1/3, т.е. вероятность того, что выпало четное число
очков при условии, что выпало простое число очков, равна 1/3
11
(среди 3 простых чисел четное одно); Р(А/В) = 1/3, т.е.
вероятность того, что выпало простое число очков при условии,
что выпало четное число очков, также равна 1/3 (среди 3 четных
чисел простое  одно) .
События А и В называют независимыми, если
Р(А · В) = Р(А) · Р(В).
Если одно из событий невозможное ( ), то в обеих частях стоят
нули. Если же Р(А) > 0 и Р(В) > 0, то Р(А / В) = Р(А),
Р(В / А) = Р(В).
Для последнего примера Р(А · В) Р(А) · Р(В) , значит, А и
В зависимые.
Во многих задачах независимость событий задается по
условию задачи (из общих соображений).
§8. ВЕРОЯТНОСТЬ НАСТУПЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО
СОБЫТИЯ
Сложные события выражаются через другие наблюдаемые
события с помощью алгебраических операций, описанных в §2.
Основные формулы для вычисления вероятностей таких
событий:
Р( А ) = 1  Р(А).
(2)
Р(А · В) = Р(А) · Р(В / А) = Р(В) · Р(А / В) , если Р(А) > 0,
Р(В) > 0 (формула умножения вероятностей);
(3)
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)  Р(А · В)
(формула сложения вероятностей).
(4)
Пример 1. Два стрелка независимо друг от друга ведут стрельбу
по мишени, причем вероятности попадания при одном выстреле в
мишень для них равны p1 = 0,8, p2 = 0,6. Каждый произвел по
одному выстрелу. Вычислить вероятность события А =
{произойдет ровно одно попадание}.
Рассмотрим события А1 = {первый стрелок попал в мишень}
и А2 = {второй стрелок попал в мишень}. Тогда A1 = {первый
12
стрелок промахнулся}, a A 2 = {второй стрелок промахнулся}. В
мишени окажется ровно одна пробоина в тех случаях, когда либо
первый попал, а второй промахнулся, либо первый промахнулся,
а второй попал. Поэтому А = А1 · A 2 + А2 · A1 . Последние два
события несовместны, поэтому сумма их вероятностей равна
вероятности их суммы А. События А1 и A 2 , а также А2 и A1
попарно независимы, т.е. вероятности произведений этих
событий равны соответствующим произведениям вероятностей
этих
событий.
Т.к.
Р(А1)=p1=0,8,
P(A2)=p2=0,6,
то
Р( A1 ) = 1  p1 = q1 = 0,2,
P( A 2 ) = 1  p2 = q2 = 0,4
и
Р(А) = p1q2 + p2q1 = 0,44.
Вероятность наступления “хотя бы одного события” (т.е.
суммы нескольких событий ) вычисляют по формуле
(5)
PA1  A 2  ...  A n   1  P A1  A 2  ...  A n
Если же эти события попарно независимы, то
P A1  A2  ... An  P A1  P A2  ... P An


    

 
Пример 2. В продукции предприятия 10% бракованных изделий.
Какова вероятность, что среди 4 взятых независимо изделий хотя
бы одно бракованное?
Пусть А  интересующее нас событие, А = A1+ A2+ A3+ A4 ,
где A1 = {первое изделие бракованное}, A2 = {второе изделие
бракованное} и т.д. Так как A1, A2, A3, A4 независимы, то и
события A1 , A 2 , A 3 , A 4 также независимы. Событие А = {среди 4
изделий ни одного бракованного} = A1  A2  A3  A4 , где A1 =
{первое изделие не бракованное} и т. д. Так как Р(A1) = Р (A2) =
Р (A3) = Р(A4) = 0,1 (=10%) , то Р( А ) = (1  0,1)4 = 0,94 = 0,6561.
Значит, Р(А) = 1  Р( А ) = 0,3439.
Если изделий не 4 , а 2 , то вероятность того, что из этих
двух изделий хотя бы одно бракованное, можно вычислить с
помощью формулы (3), т.е. не переходя к противоположному
событию:
P (A1+A2) = P (A1) + P (A2)  P (A) P (A2) = 0,1 + 0,1  0,01 = 0,19.
13
§9. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Пусть H1, H2, ...,Hn  полная группа несовместных событий
(определение см. в §2) и пусть событие А может произойти
только с одним из событий Нk. Для такого события А
выполняется следующая “формула полной вероятности”
PA   PH1   PA / H1   PH 2   PA / H 2   ...  PH n   PA / H n  
n
  PH k   PA / H k 
k 1
События Hk принято называть гипотезами по отношению к
событию А. Вероятности Р(Hk) трактуются как доопытные
(априорные) вероятности гипотез.
Пример 1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле
равна 0,8. Стрелок сделал два выстрела, а затем бросил
симметричную монету столько раз, сколько попал в мишень.
Какова вероятность, что в результате выпал ровно один “орел”?
Здесь в качестве гипотез рассмотрим события Н1 =
{произошло два попадания}, H2 = {произошло одно попадание},
H3 = {произошло два промаха}. Их вероятности Р( Н1 ) = 0,82 =
0,64, Р( Н2 ) = 2 · (1  0,8) · 0,8 = 0,32 (множитель 2 здесь из-за
того, что гипотеза содержит два равновероятных события: “попал
- промахнулся” и “промахнулся - попал”  это формула Бернулли
при р = 0,8, q = 0,2 , n = 2 , k = 1  см. §11), Р(Н3) = (1  0,8)2 =
0,04 . Сумма вероятностей этих гипотез равна 1, как и должно
быть для полной группы. Далее рассмотрим событие А = {выпал
ровно один “орел”}. Если произошло событие Н1, то монета
бросается дважды. Вероятность того, что при этом выпадет ровно
1 “орел”, равна Р( А/ H1 ) = 0,5 ( либо “орел - решка” с
вероятностью 0,25 , либо “решка - орел” также с вероятностью
0,25 ). Если произошло событие Н2, то монета бросается один раз
и вероятность выпадения при этом одного “орла” равна Р( А/H2 )
= 0,5 . Если же происходит событие Н3, то монету не бросают и
Р(А/H3)= 0. Все данные для формулы полной вероятности
получены. Следовательно,
Р(А) = Р( Н1 )Р( А/H1 ) + P( H2 )P( A/H2 ) + P( H3 )P( A/H3 ) = 0,48.
14
Пример 2. В ящике лежат 10 теннисных мячей, в том числе 8
новых и 2 играных. Для игры наудачу выбираются два мяча и
после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры
наудачу извлекаются еще два мяча. Какова вероятность того, что
вторая игра будет проводиться новыми мячами?
Здесь удобно задать 3 гипотезы: H1 = {для первой игры
взяты 2 новых мяча}, H2 = {для первой игры взяты новый и
играный мячи}, Н3 = {для первой игры взяты 2 играных мяча}.
Их вероятности вычисляются по формуле классической
вероятности ( как и в примерах из §4 ) :
C82 28
C18  C12 16
C 22
1


PH1   2 

P
H


; PH 2  
;
3
2
2
C10 45
C10
45
C10
45
(Проверка: Р(H1) + Р(H2) + Р(H3) = 1).
Событие А = {для второй игры взяты два новых мяча}. В
результате осуществления гипотезы H1 в ящике останется 6
C 62 15 1
 . В
новых и 4 играных мяча, поэтому PA / H1   2 
C10 45 3
результате осуществления гипотезы H2 в ящике будет 7 новых
C 72 21 7

мячей из 10, поэтому PA / H 2   2 
. Аналогично,
C10 45 9
C82 28
PA / H 3   2 
. Таким образом,
C10 45
28 15 16 21 1 28 784
PA        
 0,387
45 45 45 45 45 45 2025
Заметим, что в одной и той же задаче могут быть выбраны
разные наборы гипотез, скажем, в примере 2 гипотезу H2 можно
представить в виде суммы двух: H2 = {первый взятый для первой
игры мяч новый, второй  играный}+{первый взятый для первой
игры мяч играный, второй  новый} и т. д. Желательно
формулировать гипотезы так, чтобы их вероятности, а также и
условные вероятности, вычислялись проще.
15
§10. ФОРМУЛА БАЙЕСА
В этом параграфе {H1, H2, H3, H4}  по-прежнему, полная
группа несовместных событий (гипотез). Если Р(А) > 0, Р(Hk) > 0,
то Р(А · Hk) = Р(А) · Р(Hk / А) = Р(Hk) · Р(А / Hk) (см. §§7,8),
откуда
PH k   PA / H k 
PH k / A  
PA 
это формула Байеса, в которой Р(А) вычисляют по формуле
полной вероятности. Р(Hk / А)  вероятность осуществления
гипотезы Hk при условии, что событие А осуществилось. Эту
вероятность называют послеопытной или апостериорной. Для ее
вычисления рассматривают только те испытания, которые
закончились “успехом”, т.е. осуществлением события А.
Вероятность Р(Hk / А) выражает “долю” гипотезы Hk для
вышеуказанных испытаний.
Пример 1. (см. пример 1 из §8).
Два стрелка независимо друг от друга ведут стрельбу по
мишени, причем вероятности попадания при одном выстреле в
мишень для них равны p1 = 0,8 и p2 = 0,6. Каждый сделал по
одному выстрелу, причем в результате в мишени оказалась одна
пробоина. Найти вероятность того, что промахнулся второй.
Зададим гипотезы: Н1 = {оба стрелка либо попали, либо
промахнулись}, H2 = {попал только первый}, H3 = {попал только
второй}. Подсчитаем их вероятности: P( H1 ) = p1p2 + q1q2 = 0,56 ,
P( H2 ) = p1q2 = 0,32 , P( H3 ) = q1p2 = 0,12 . Сумма их вероятностей
равна 1.
Событие А = {в мишени оказалась ровно 1 пробоина}
осуществилось, т.е. данная задача на формулу Байеса. Событие
{при одной пробоине промахнулся второй} это гипотеза H2 . По
формуле Байеса
PH 2   PA / H 2  0,32 8
PH 2 / A  

  0,73
PA 
0,44 11
т. к. Р(А/Н1) = 0 , Р(А/Н2) = Р(А/Н3) = 1 . Значение Р(А),
вычисленное по формуле полной вероятности, совпадает с
результатом, вычисленным ранее в §8 другим способом. Итак, в
16
среднем среди каждых 11 исходов, заканчивающихся одним
попаданием, 8 соответствуют варианту H2 = {первый попал,
второй промахнулся}, а остальные три  H3.
Пример 2. (см. пример 2 из §9)
В ящике лежат 10 теннисных мячей, в том числе 8 новых и 2
играных. Для игры наудачу выбираются 2 мяча и после игры
возвращаются обратно. Затем для второй игры наудачу
извлекаются еще 2 мяча, оказавшиеся новыми. Какова
вероятность, что первая игра также проводилась новыми мячами?
Событие А = {для второй игры взяты два новых мяча},
осуществилось. Поэтому задача решается по формуле Байеса.
Нас интересует вероятность Р(H1 / А) , где, напомним, гипотеза
H1 ={для первой игры взяты 2 новых мяча}. Подставим в
формулу Байеса вероятности, подсчитанные в §9.
28 15

PH1   PA / H1  45 45 15
PH1 / A  


28 28 28
PA 

45 45
Постановки задач, подобных изложенным в §9 и в §10,
встретятся при решении задачи №1 из контрольной работы.
КОММЕНТАРИИ К ЗАДАЧЕ № 2
§11. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
Пусть проводится n последовательных испытаний.
Предположим, что эти испытания независимые, т.е. вероятность
осуществления очередного исхода не зависит от реализации
исходов предыдущих испытаний. Рассмотрим простейший
случай, когда различных исходов всего два (“успех” и “неуспех”).
Более того, речь пойдет о случае, когда вероятность “успеха” в
каждом из испытаний неизменна и равна p, т.е. вероятность
“неуспеха” также неизменна и равна q = 1 p . Такие испытания
называются испытаниями Бернулли.
17
Простейшими
примерами
здесь
могут
служить:
последовательное бросание монеты (с вероятностью “успеха” 
выпадения “орла”  равной 0,5); последовательная стрельба по
мишени с постоянной вероятностью “успеха”  попадания  в
каждом выстреле; извлечение из урны, содержащей шары двух
цветов, по одному шару с возвращением (и перемешиванием); и
т. д.
Я. Бернулли вычислил вероятность того, что в n
последовательных “испытаниях Бернулли” произойдет ровно k
“успехов”
Pn k   Ckn  p k  q nk
(о вычислении числа C kn см. §4).
Пример 1. Вероятность того, что при 4 бросках игральной кости
выпадут ровно 2 “четверки”, равна
2
2
25
5
2 1
P4 2  C4       
 0,116
 6   6  216
Здесь p  вероятность выпадения “четверки” в одном броске 
равна 1/6, q = 5/6 , общее число испытаний n = 4 , число
“успехов” k = 2 .
Пример 2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле
p = 0,6 . Какова вероятность, что при пяти выстрелах будет 3
попадания?
Здесь n = 5 , k = 3 , q = 1 p = 0,4 ,
3
2
P5 3  C35  0,6  0,4  10  0,216  0,16  0,3456 .
Пример 3. В урне 4 белых и 2 черных шара. 6 раз извлекают по 1
шару, записывают цвет, а шар возвращают в урну и
перемешивают шары. Какова вероятность, что среди записанных
шаров более 4 белых?
Пусть “успех” состоит в том, что вынут белый шар. Тогда
p= 4/6 = 2/3 ( из 6 шаров 4 белых ), q = 1  p = 1/3 . По условию n=
6 , k = 5 или k = 6 , откуда искомая вероятность
18
5
6
 2 1
 2  256
P6 5  P6 (6)  C      C66    
 0,35 .
 3 3
 3  729
Пример 4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле
p = 0,6 . Какова вероятность, что третье попадание произойдет в
пятом выстреле?
Эта задача отличается от рассмотренной в примере 2 : там
третье попадание может произойти и раньше пятого выстрела.
Искомое событие является произведением двух следующих
(независимых): А = {в первых 4 выстрелах ровно 2 попадания} и
В={в пятом выстреле попадание}. P(A) вычисляется по формуле
Бернулли
2
2
PA   P4 2  C24  0,6  0,4  6  0,0576  0,3256 ,
a P(B) = p = 0,6 . Поэтому искомая вероятность равна
PA  B  PA   PB  0,3256  0,6  0,16536
В общем случае вероятность того, что к-й “успех”
произойдет ровно в n-м испытании Бернулли, равна
Ckn11  pk1  qnk  p  Ckn11  pk  qnk .
5
6
Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле
p = 0,6 . Какова вероятность, что в 5 выстрелах произойдет хотя
бы 2 попадания?
Мы знаем, что Р5(0) + Р5(1) + Р5(2) + Р5(3) + Р5(4) + Р5(5) = 1.
В данной задаче нас интересует сумма четырех последних
слагаемых:
P5 2  P5 3  P5 4  P5 5 
 C52  0,6 2  0,43  C55  0,63  0,4 2  C54  0,6 4  0,4  C55  0,65  0,91296
Заметим, что проще воспользоваться вероятностью
противоположного
события:1P5(0)P5(1)=10,455


§12. ДРУГИЕ ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ СХЕМЫ БЕРНУЛЛИ
Хотя формула Бернулли и является точной, она не всегда
удобна. Например, при 100 бросках монеты
19
50
50
100!
1 1
P100 50  C       
,
2
100
50!  2
 2  2
и вычисление точного ответа затруднительно. Формула Бернулли
приемлема для вычислений, если число испытаний не превышает
10-15. При больших n используют либо формулу Лапласа, либо
формулу Пуассона.
Формула Лапласа ( локальная теорема Лапласа )
x2

1
1
k  np
e 2 , x 
Pn k  
 x  , x  
2
npq
npq
тем точнее, чем больше n. Здесь n, k, p, q  те же величины, что и
в формуле Бернулли. Функция x) четная: x) = x) . Она
быстро убывает: считают, что при x > 4 x) = 0. Таблица,
позволяющая вычислять значения функции (x), имеется во всех
учебниках и задачниках по теории вероятностей. Впрочем,
можно не иметь таблицы, а иметь калькулятор, вычисляющий
экспоненту (функцию ех).
50
100
Пример 1. Вероятность выпадения ровно 50 “орлов” при 100
бросках монеты Р100(50) вычислим по формуле Лапласа. Здесь n =
100 ,k = 50 ,p=0,5, q = 0,5 , k  np = 0 , npq  5 и
1
1
P100 50   0  0,2 
 0,2  0,3989  0,07978 .
5
2
Пример 2. Найти вероятность выпадения от 47 до 57 “орлов” при
100 бросках монеты.
При решении подобных задач ( при n > 15 ) используют
интегральную теорему Лапласа: вероятность Рn(k1,k2) появления
события в n испытаниях от k1 до k2 раз
 k  np 
 k  np 
   1

Pn k1 , k 2    2
npq
npq




Здесь n, p, q те же, что и в примере 1 : n=100 , p = q =0,5 , k 1=47 ,
k2 = 57 .
 57  50 
 47  50 
P100 47,57  
  
  1,4   0,6
5
5




20
Функция 
приложение ).
вычисляется с помощью таблиц ( см.
 x  
x
1
e

2 0

t2
2
dt
Функция Ф(x) нечетная: Ф(х) =  Ф(х) . При х > 5 считают,
что Ф(х) = 0,5.
Итак, Р100(47,57) = Ф(1,4) + Ф(0,6). По таблице Ф(1,4) =
0,4192, Ф(0,6) = 0,2257 , поэтому Р100(47,57) = 0,6449.
При небольших значениях вероятности p ( меньших 0,1 ) и
больших значениях n более точный результат дает другая
приближенная формула  формула Пуассона
k 
Pn k    e , np
k!
 называется параметром распределения Пуассона, а сама
формула выражает “закон редких явлений” (т. к. p мало).
Пример 3. Первый черновой набор “Методических указаний” на
50 страницах содержит 100 опечаток. Какое из событий
вероятнее: на наудачу взятой странице нет опечаток, 1 опечатка,
2 опечатки, 3 опечатки?
Вероятность того, что данная опечатка попадет на наудачу
взятую страницу равна 1/50 = 0,02 , число испытаний ( опечаток )
n = 100 . Поскольку p мало, воспользуемся формулой Пуассона с
параметром = np = 2 . Вероятность того, что опечаток нет
2 0 2
P100 0   e  e 2 ( т.к. 0! = 1 )
0!
Другие вероятности
21 2
2 2 2
2
P100 1   e  2  e , P100 2   e  2  e 2
1!
2!
3
2
4
P100 3   e 2   e 2 .
3!
3
Как видим, наибольший коэффициент при е2 у Р100(1) и
Р100(2).
Ответ: наиболее вероятны 1 или 2 опечатки, их вероятность
2
2  e  0,27 .
21
КОММЕНТАРИИ К ЗАДАЧЕ № 3
§13. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ДИСКРЕТНОГО ТИПА.
Cлучайной величиной называют величину, которая в
результате испытания примет одно и только одно возможное
числовое значение из заранее известной совокупности значений.
Случайной величиной дискретного типа (дискретной случайной
величиной) называется величина, которая может принимать либо
конечное число возможных значений, либо такое бесконечное
число значений, которые могут быть расположены в числовую
последовательность Е1, Е2, ... . Для каждого из этих значений
указывают его вероятность. Сумма этих вероятностей должна
быть равна 1. Если случайная величина принимает только одно
значение, то соответствующая ему вероятность равна 1.
Пример 1. Пусть Х1 - число “орлов”, выпавших при двух бросках
симметричной монеты. Х может принимать значения 0, 1 или 2 с
вероятностями,
вычисленными
по
формуле
Бернулли:
0
0
2
1
1
1
2
2
0
C2  p  q , C2  p  q , C2  p  q . Т. к. p = q = 0,5 , то эти
вероятности равны 0,25; 0,5; 0,25 соответственно.
Дискретные случайные величины записывают в виде
таблицы. Для данного примера получим:
Х1 0
1
2
Р 0,25 0,5 0,25
Верхняя строчка  возможные значения Х1, Р  их вероятности,
сумма которых равна 1.
С помощью таблицы можно считать вероятности попадания
случайной величины дискретного типа в интервалы. Например,
для заданной выше случайной величины Х
P0,5  X1  2  PX1  1  PX1  2  0,5  0,25  0,75 .
Пример 2. В полном наборе игры в домино 28 костей. Пусть
Х2 – сумма очков на случайно выбранной кости. Поскольку
наименьшее значение такой суммы равно 0 («пусто-пусто»),
22
следующее – 1 и так до 12 («6-6»), Х является случайной
величиной дискретного типа. Зададим ее таблицей.
Х2
Р
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
1
2
2
3
3
4
3
3
2
2
1
1
28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28
Вероятности в этой таблице вычислены по формуле
классической вероятности, в числителях дробей количества
костей домино с данным числом очков, знаменатели равны
общему числу костей.
Случайные величины традиционно обозначаются заглавными
буквами X, Y, Z, ... , а их возможные значения - прописными: x1,
x2, y1, и т. д.
§14. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Если F(x) = P(X < x), то функция F(x) называется функцией
распределения
(интегральной
функцией
распределения)
случайной величины Х, т.е. функция распределения в точке “х” 
это вероятность того, что случайная величина Х примет значение,
меньшее заданного числа х.
Из определения сразу следуют несколько свойств F(x):
F( = 0, F(+ ) = 1;
F(x)  неубывающая функция (т.е. если x1 < x2 , то F(x1)  F(x2) ).
Функция распределения для случайной величины
дискретного типа имеет “ступенчатый” график. Для случайной
величины Х1 из §13 F(x) запишется так:
0, x  0
0,25, 0  x  1

Fx   
0,75, 1  x  2
1, x  2
23
Y
1
0,75
0,25
0
1
2
X
Обратите внимание, что левые концы «ступенек» 
выколотые, а правые  нет. Например, F(1) = P(X1 < 1) = P(X1 =0)
= 0,25;
F(1,1) = P(X1<1,1) = P(X1 = 0) + P(X1 = 1) = 0,75. «Высоты»
«ступенек» равны очередным вероятностям, взятым из таблицы :
сначала 0,25, затем еще +0,5, и наконец еще +0,25.
Аналогичный график и для другого примера – про домино –
только там будет не 2, а 12 «ступенек».
Справедлива формула: P(a X < b) = F(b)  F(a).
§15. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ ДИСКРЕТНОГО ТИПА
Математическое ожидание - важнейшая “характеристика
положения” случайной величины. Для дискретной величины она
вычисляется по формуле
М(Х) = x1 · p1 + x2 · p2 + ... + xk · pk (+...) =  x k  p k ,
k
где x1, x2, ... , xk, ...  возможные значения случайной величины
(верхняя строка таблицы), p1, p2, ..., pk, ...  их вероятности
(нижняя строка).
24
Математическое ожидание  это число, которое выражает
среднее значение случайной величины (иначе, среднее значение
по распределению). Для примера из §13
М(Х1) = 0 · 0,25 + 1 · 0,5 + 2 · 0,25 = 1 .
Здесь Х1  число “орлов”, выпавших при 2 бросках
симметричной монеты. М(Х1)  среднее число “орлов”,
выпадающих при 2 бросках симметричной монеты, это число
равно 1.
Для другого примера из §13 М(Х2) = 6.
Отметим два простейших свойства математического
ожидания:
1. М (С) = С
2. М (С · Х) = С · М(Х) ( С  постоянная ).
В дальнейшем нам придется вычислять математическое
ожидание случайной величины Х2. Если случайная величина Х
задается таблицей
X x1 x2 ... xk
P p1 p2 ... pk
то случайная величина Х2 получится после возведения в квадрат
возможных значений случайной величины Х, при этом Р(Х = хк)=
= Р(Х2 = хк2) = pk :
X2 x12 x22 ... xk2
P p1 p2 ... pk
Поэтому
М(Х2) = x12 · p1 + x22 · p2 + ... + xk2 · pk =
 х к2  р к .
к
В частности, для примера из §13
X2 02 12 22
P 0,25 0,5 0,25
и М(Х2) = 02 · 0,25 + 12 · 0,5 + 22 · 0,25 = 1,5
25
§16. ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Дисперсия  важнейшая «характеристика рассеивания»
случайной величины. Рассеивание оценивается относительно
среднего значения случайной величины Х  математического
ожидания М(Х). Из всех возможных значений случайной
величины Х вычитают число М(Х). Новая случайная величина Y
= XM(X) называется отклонением случайной величины Х,
причем ее среднее значение М(Y) = 0. Далее рассматривается
случайная величина Y2. Ее возможные значения неотрицательны.
Среднее значение квадрата отклонения М(Y2) также
неотрицательно. Оно и называется дисперсией. Итак,
D(X) = M(Y2)=M((X  M(X) )2).
Для вычисления дисперсии используют формулу
D(X) = M(X2)  (M(X))2.
Для дисперсии справедливы свойства:
D(C) = 0, D(C · X) = C2 · D(X).
Вновь вспомним пример из §13 . Для него М(Х1) и М(Х12)
уже подсчитаны выше: М(Х1) = 1, М(Х12) = 1,5. Поэтому D(X) =
1,512 = 0,5 .
Для второго примера из §13 М(Х2) = 6, М(Х22) = 45, D(X) =
45 62 = 9.
§17. БИНОМИАЛЬНЫЙ И ПУАССОНОВСКИЙ ЗАКОНЫ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Биномиальное распределение связано с повторными
независимыми испытаниями и формулой Бернулли. Оно задается
фиксированным числом испытаний n и вероятностью «успеха» в
одном испытании p. Отличительные черты биномиального
эксперимента:
1. все n испытаний абсолютно одинаковы;
2. результаты разных испытаний не зависят друг от друга;
3. для каждого испытания возможны только два исхода:
«успех» и «неудача»; «успех» - когда интересующее нас
событие появилось, и «неудача», - когда не появилось;
26
4. для каждого испытания вероятность появления «успеха»
постоянна и равна p.
Число «успехов» в n независимых испытаниях будет случайной
величиной X, распределенной по биномиальному закону.
Вероятность того, что случайная величина X, распределенная по
биномиальному закону примет значение k, вычисляется по
известной формуле Бернулли:
P X  k   Pn k   Cnk  p k  q n  k
Ряд распределения X принимает вид:
X
Pi
0
1
…
2
Cn0 p 0q n Cn1 p1q n 1 Cn2 p 2q n  2
…
n-1
n
Cnn 1 p n 1q1 Cnn p n q 0
Числовые
характеристики
биномиального
распределения.
1. математическое ожидание равно произведению числа
испытаний n на вероятность «успеха» в одном испытании p:
М(Х)= np;
2. дисперсия равна произведению числа испытаний n на
вероятность «успеха» в одном испытании p и на вероятность
«неудачи» q: D(X)= npq.
Распределение Пуассона.
Приведем примеры, приводящие к случайным величинам,
распределенным по закону Пуассона:
 Автоматическая телефонная станция получает в среднем за
минуту а вызовов. Какова вероятность того, что за данную
минуту она получит ровно m вызовов? Случайное число
вызовов за данную минуту распределено по закону Пуассона.
 Автодорожная инспекция регистрирует количество аврий за
неделю на определенном участке дороги. Какова вероятность
того, что в течение данной недели произойдет ровно m
дорожных аварий? Случайное число аварий за неделю
распределено по закону Пуассона.
Аналогичные примеры можно привести не только для
временных интервалов (минута, неделя), но и при учете дефектов
27
дорожного покрытия на километр пути или опечаток на
страницу текста.
Отличительные черты эксперимента, приводящего к
распределению Пуассона (на примере временных интервалов):
1. каждый малый интервал времени может рассматриваться
как испытание, результатом которого служит либо «успех» поступление телефонного вызова, либо «неудача».
Интервалы столь малы, что может быть только один
«успех» в одном интервале, вероятность которого мала и
неизменна.
2. Число «успехов» в одном большом интервале не зависит от
их числа в другом. То есть попадание «успехов» в
неперекрывающиеся интервалы – события независимые, и
«успехи» беспорядочно разбросаны по временным
промежуткам;
3. среднее число «успехов» в большом интервале для разных
интервалов постоянно на протяжении всего времени.
Число «успехов» на заданном интервале будет случайной
величиной, распределенной по закону Пуассона. Случайное
число аварий за неделю может принимать значения 0, 1, 2, 3, …
(верхнего предела нет). Вероятность того, что случайная
величина X, распределенная по закону Пуассона примет значение
m, вычисляется по известной формуле Пуассона:
am a
Pm 
 e , m = 0, 1, 2, …
m!
Числовые характеристики распределения Пуассона.
Математическое ожидание равно дисперсии и равно параметру
распределения а: М(Х)= а, D(X)= а.
КОММЕНТАРИИ К ЗАДАЧЕ № 4
§18. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ НЕПРЕРЫВНОГО ТИПА.
Если возможные значения случайной величины сплошь
заполняют некоторый промежуток <a,b> R (быть может, и всю
28
ось) , то табличный способ задания случайной величины
непригоден. Такая случайная величина называется случайной
величиной непрерывного типа. Ее функция распределения F(x)
будет непрерывна. Напомним, что F() = 0 , F(+ ) = 1 , F(x) 
монотонная неубывающая функция. Производная такой функции
F(x) будет функцией неотрицательной. Она называется
плотностью распределения вероятностей или дифференциальной
функцией распределения вероятностей. Ее обозначение
f x   Fx  .
Часто по условию задачи задают именно плотность
распределения, зная которую можно вычислить и (интегральную)
функцию распределения ( по формуле Ньютона - Лейбница ):
x
x


 Ft dt   f t dt
F(x) = F(x)  F( ) =
Заметим, что f(x)  не обязательно непрерывная функция, она
допускает в отдельных точках разрывы 1-го рода.
Итак, f(x)  неотрицательная кусочно-непрерывная
функция, причем, согласно одному из свойств F(x),

F(+ ) =  f t dt = 1

Последнее равенство, называемое условием нормировки
f(x), показывает, что f(x)  не любая неотрицательная функция:
площадь между графиком плотности распределения и осью
абсцисс должна быть равна 1.(Для дискретной случайной
величины условием нормировки являлось равенство  р к  1).
к
Для непрерывных случайных величин справедливы
равенства
F(b) F(a) = P(a X < b) = P(a < X < b) = P(a < X
b
b) = = P(a X b) =  f x dx .
a
М(Х) и D(X) определяются формулами

M(X) =  x  f x dx ,

D(X) =

2
 x  MX   f ( x )dx .

Вычислительная формула для D(X):
D(X) = M(X )  (M(X)) =
2
2

2
 x  f x dx  (M(X))2.

29
§19. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕГО
ХАРАКТЕРИСТИКИ
Нормальный (гауссовский) закон распределения задается
плотностью распределения по формуле
f x  
1
e
 2

x  a 2

2 2
,  x 
Числа а R и > 0 называются параметрами нормального
закона. Нормальный закон с такими параметрами обозначается
N(a,).
При а = 0 функция f(x) четная ( f(x) = f(x) ) , ее график
симметричен относительно оси OY, и поэтому среднее значение
М(Х) = 0. График f(x) для закона N(a,) получается из графика
f(x) для N(0,) сдвигом на а единиц вправо ( это известно из
курса средней школы ), поэтому в общем случае М(Х) = а для
нормального закона.
Дисперсия же вычисляется по формуле D(X) =2.
Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному
закону с плотностью вероятности
f x   Ae

x2
 2x 2
2
Найти А, М (Х), D(X), P(3<X<3).
 x  2 2
x  2 , то f x   A  e 2
x
 2x  2  
2
2
2
2


x  2
x  a
Показатель экспоненты 
приравняем к 
, откуда
2
2 2
1
1

а = 2 , = 1 . Числовой коэффициент
должен быть
 2
2
равен А, следовательно,
Т. к. 
2
2
30

A
1
, M (X) = a = 2, D(X) = 2 = 1.
2
P (3 < X < 3) = F(3)  F(3) =
3
=



2
x 2
3


1
1
2
e
dx  
e
2
2


 x  2 2
2
1 3 
dx 
e
2  3
 x  2 2
2
dx
Этот интеграл не вычисляется в элементарных функциях,
его численное значение можно найти по таблицам.
В большинстве учебников имеются таблицы для
вычисления функций
x
Ф(х) =

t2
2
1
e dt или Ф1(х) =

2 0
2
1 x  t2
1
e
dt
=
+ Ф(х)

2
2  
Ф(х)  нечетная функция, т.е. Ф(х) =  Ф(х). В общем случае
x a
x a
Р(x1 < X < x2) =  2
   1
,






где а и  - параметры нормального закона. Следовательно, для
данного примера
P(|X| < 3) = Ф1(1)  Ф1(5) = Ф(1)  Ф(5) = Ф(1) + Ф(5) =
= 0,3413 + 0,5 = 0,8413.
§20. ДРУГИЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Кроме нормального закона есть и другие случайные
величины, часто встречающиеся в приложениях. Приведем
некоторые из них.
Для равномерного закона плотность вероятности и функция
распределения задаются формулами
0, x  a

 1
x  a
, x  a , b
Fx   
,a  x  b,
f x    b  a
,
b

a
 0, x  a , b

1, x  b

31
b  a  .
ab
а числовые характеристики М(Х)=
, D(X)=
2
12
2
Для показательного закона плотность вероятности
функция распределения задаются формулами
 0, x  0
 0, x  0


f x   
F
x

,
,

 x
 x


e
,
x

0
1

e
,
x

0


а числовые характеристики М(Х)= 1/, D(X)= 1/2.
Эти формулы можно использовать при решении задач.
и
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ
ЗАДАНИЯ № 5
Математическая статиcтика изучает массовые явления и
процессы, ставя целью получение выводов по данным
наблюдений за ними. В результате появляются утверждения об
общих характеристиках таких явлений в предположении
постоянства начальных условий явления. Теоретической основой
математической статистики является теория вероятностей.
Поскольку число наблюдений конечно, их результаты
можно записать в таблицу аналогично дискретной случайной
величине, только в нижней строке не вероятности, а частоты тех
или иных значений, а чаще – диапазонов. При этом при анализе
такой таблицы нередко возникает предположение, что данная
величина распределена по одному из известных непрерывных
законов (см. комментарии к задаче № 4), чаще всего –
нормальному (гауссовскому).
Типовой пример
Получены статистические данные (N=500) зависимости
результатов измерения роста студентов (Х) от окружности груди
(Y). Измерения проводились с точностью до 1 см.
32
Таблица 1
Статистические данные типового примера
N
X
Y
1
172
88
2
172
91
3
163
89
4
187
99
5
172
90
6
161
85
7
176
88
8
164
84
9
166
82
10
168
82
11
162
82
12
163
89
496
170
86
497
167
93
498
168
94
499
161
89
500
161
88
…………..
N
X
Y
489
165
85
490
173
89
491
166
84
492
175
98
493
158
83
494
174
86
495
178
90
Требуется:
1 часть.
1) произвести выборку из 200 значений;
2) построить эмпирическую функцию распределения, полигон,
гистограмму для случайной величины Х;
3) построить точечные и интервальные оценки для мат.
ожидания и дисперсии генеральной совокупности Х;
4) сделать статистическую проверку гипотезы о законе
распределения случайной величины Х;
часть 2.
1) нанести на координатную плоскость данные выборки (x;y) и по
виду корреляционного облака подобрать вид функции регрессии;
2) составить корреляционную таблицу по сгруппированным
данным;
3) вычислить коэффициент корреляции;
4) получить уравнение регрессии;
Решение.
1) Произведём из генеральной совокупности N=500 выборку
n=200 значений. Для этого воспользуемся таблицей случайных
чисел (Приложение А). Выберите столбец, номер которого
соответствует месяцу Вашего рождения. В этом столбце
отсчитайте порядковый номер даты дня рождения. В полученном
случайном числе определите номера ещё трёх столбцов. Для
данного примера выбрана дата 31 декабря. В 12 столбце
определили 31 номер случайного числа. Это число 0436. Значит
выбранными будут столбцы №12;4;13;16. (№12 – месяц Вашего
33
рождения, №4 – первая или вторая цифра в случайном числе,
которая не использовалась, №13 – третья цифра в случайном
числе +10, №16 – четвёртая цифра в случайном числе +10). Если
цифры повторяются, то нужно взять со3седние номера.
Например, случайное число во втором столбце - 4422. Нужно
выбрать номера 2,4,12,13.
Для осуществления выборки берутся последние три цифры
в случайном числе, которые определяют порядковый номер
выборочного значения. Если в выборке встретился номер,
которого нет в генеральной совокупности, то необходимо
вычислить разность между этим числом и 500. Если полученный
номер уже выбрали, то необходимо выбрать следующий за ним
номер.
Для представленного примера получилась выборка:
Таблица 2
Выборочные данные X и Y
N
X
Y
106
162
100
493
166
84
66
172
82
201
169
91
274
176
86
158
167
90
223
167
92
336
168
88
362
167
89
162
169
88
96
167
89
20
69
83
N
X
Y
288
169
91
251
163
92
257
164
84
152
164
89
279
164
85
478
178
91
86
176
82
439
167
85
368
165
90
203
172
87
271
168
88
395
170
88
N
X
Y
396
187
86
94
165
87
305
171
94
341
171
91
12
169
79
128
163
80
492
161
88
407
175
95
172
172
89
87
163
91
441
180
98
29
172
90
N
X
Y
140
174
97
59
164
89
70
169
88
453
157
90
487
178
90
447
176
93
105
161
94
232
176
90
95
165
87
456
161
84
80
182
90
225
176
93
N
X
Y
147
168
93
101
164
91
373
160
83
51
178
89
343
170
90
355
168
81
195
173
89
463
176
95
260
170
81
183
163
93
326
165
84
282
165
88
N
X
Y
139
170
86
483
166
84
399
165
85
467
181
92
266
172
88
372
165
91
356
172
98
290
178
90
241
173
90
273
165
87
450
174
96
329
159
81
34
Окончание таблицы 2
N
X
Y
469
171
92
423
169
92
242
169
87
475
170
91
168
170
88
365
165
94
107
190
105
428
175
91
367
157
82
457
148
87
224
172
99
199
159
83
N
X
Y
404
162
92
363
167
85
192
167
88
109
160
87
429
175
90
60
163
91
13
164
89
291
180
85
400
164
84
337
169
87
100
169
91
187
170
93
N
X
Y
88
179
99
292
167
81
283
162
80
52
169
91
45
172
99
358
166
82
252
164
84
62
173
84
130
161
82
286
159
86
361
166
84
184
158
91
N
X
Y
79
163
88
371
165
87
378
170
91
419
172
94
307
161
84
56
171
97
374
166
87
169
164
97
43
183
90
298
173
90
239
166
89
145
167
85
N
X
Y
325
162
89
65
156
88
153
167
86
375
168
92
9
170
90
340
171
91
142
174
90
193
179
85
261
161
79
116
170
95
26
172
91
253
166
88
N
X
Y
61
173
89
202
172
96
440
179
85
21
155
86
200
175
89
221
173
96
332
170
96
275
171
83
287
171
90
108
167
91
468
165
91
103
173
90
N
X
Y
240
167
89
110
165
94
424
169
82
414
171
89
296
181
89
284
164
86
83
164
91
435
176
87
81
163
88
54
165
93
397
174
86
134
177
87
N
X
Y
303
180
90
430
170
91
34
168
82
144
175
85
277
171
89
451
170
90
179
168
87
472
160
85
342
169
91
293
164
87
327
171
91
448
164
83
N
X
Y
154
164
83
438
163
88
297
170
92
219
174
88
196
161
91
204 230
167 173
91 87
258
164
90
262
174
91
213
168
83
89
176
93
357
156
85
N
X
Y
426
162
90
480
168
93
156
176
88
127
184
98
295
165
94
115 36
176 163
92 89
7
167
88
473
169
89
376
186
92
157
172
91
254
175
90
N
X
Y
98
170
90
126
173
91
265
160
89
443
171
85
82
169
87
110
165
94
479
168
90
35
432
185
91
Составим ранжированный (по увеличению) ряд для случайной
величины Х.
Таблица 3
Ранжированный ряд случайной величины Х
X
Y
148
87
155
86
156
85
156
88
157
82
157
90
158
91
159
81
159
83
159
86
160
83
160
85
X
Y
160
87
161
79
161
82
161
84
161
84
161
88
161
91
162
80
162
89
162
90
162
92
162
94
X
Y
162
100
163
80
163
88
163
88
163
88
163
89
163
91
163
91
163
92
163
93
164
83
164
83
X
Y
164
84
164
84
164
84
164
85
164
86
164
87
164
89
164
89
164
89
164
90
164
90
164
91
X
Y
164
91
164
97
165
84
165
85
165
87
165
87
165
87
165
87
165
88
165
90
165
91
165
91
X
Y
165
93
165
94
165
94
165
94
165
94
166
82
166
84
166
84
166
84
166
87
166
88
166
89
X
Y
166
89
167
81
167
85
167
85
167
85
167
86
167
88
167
88
167
89
167
89
167
89
167
90
X
Y
167
91
167
91
167
92
168 168
81
82
168
83
168
87
168
88
168
88
168
90
168
92
168
93
X
Y
168
93
169
79
169
83
169
87
169
87
169
87
169
88
169
88
169
89
169
91
169
91
169
91
X
Y
169
91
169
91
169
92
169
92
170
81
170
86
170
88
170
88
170
90
170
90
170
90
170
90
X
Y
170
91
170
91
170
91
170
92
170
93
170
95
170
96
171
83
171
85
171
89
171
89
171
90
X
Y
171
91
171
91
171
91
171
92
171
94
171
97
172
82
172
87
172
88
172
89
172
90
172
91
X
Y
172
91
172
94
172
96
172
98
172
99
172
99
173
84
173
87
173
89
173
89
173
90
173
90
X
Y
173
90
173
91
173
96
174
86
174
88
174
90
174
91
174
96
174
97
175
85
175
89
175
90
36
Окончание таблицы 3
X
Y
175
90
175
91
175
95
176
82
176
86
176
87
176
88
176
90
176
92
176
93
176
93
176
93
X
Y
176
95
177
87
178
89
178
90
178
90
178
91
179
85
179
85
179
99
180
85
180
90
180
98
X
Y
181
89
181
92
182
90
183
90
184
98
185
91
186
92
187
86
190
105
Cоставим новую таблицу, в которой отразим частоты появления
случайных величин X i и относительные частоты p i .
Таблица 4
Дискретный вариационный ряд
i
1
148
2
155
3
156
4
157
5
158
6
159
7
160
8
161
9
162
10
163
11
164
12
165
1
1
2
2
1
3
3
6
6
9
15
15
pi
1
200
1
200
2
200
2
200
1
200
3
200
3
200
6
200
6
200
9
200
15
200
15
200
i
13
166
14
167
15
168
16
169
17
170
18
171
19
172
20
173
21
174
22
175
23
176
24
177
8
14
10
15
15
11
12
9
6
6
10
1
pi
8
200
14
200
10
200
15
200
15
200
11
200
12
200
9
200
6
200
6
200
10
200
1
200
i
25
178
26
179
27
180
28
181
29
182
30
183
31
184
32
185
33
186
34
187
35
190
4
3
3
2
1
1
1
1
1
1
1
4
200
3
200
3
200
2
200
1
200
1
200
1
200
1
200
1
200
1
200
1
200
Xi
ni
Xi
ni
Xi
ni
pi
В данном примере случайные величины сплошь заполняют
промежуток (148;190). Число возможных значений велико. Их
нельзя представить в виде случайных величин, принимающих
отдельные, изолированные значения, тем самым отделить одно
возможное значение от другого промежутком, не содержащим
возможных значений случайной величины. Поэтому для
построения
вариационного
ряда
будем
использовать
37
интервальный ряд распределения. Весь возможный интервал
варьирования
разобьём на конечное число интервалов и
подсчитаем частоту попадания значений величины в каждый
интервал. Минимальное и максимальное значения случайной
величины: x min  148, x max  190 Тогда интервал варьирования R
(«размах») будет равен R= x max  x min  42. Длину интервала
рассчитывают по формуле:
x
 x min
(6)
h  max
1  3,2 lg n
При этом значение признака, находящегося на границе
интервалов относят к правой границе интервала.
На практике считают, что правильно составленный ряд
распределения содержит от 6 до 15 частичных интервалов. Часто
интервальный вариационный ряд заменяют дискретным
вариационным рядом, выбирая средние значения интервала
(таблица №7).
190  148
 2,285 , округлим до 3,
Для данного примера h 
1  3,28 * ln 200
т.е. размер интервала h=3, а число интервалов будет равно 14.
Соответствующий интервальный вариационный ряд приведён в
таблице №5.
Таблица 5
Интервальный вариационный ряд
Индекс
интервала
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Число
покупателей
(интервалы)
Частота
148-151
151-154
154-157
157-160
160-163
163-166
166-169
169-172
172-175
175-178
1
0
5
7
21
38
39
38
21
15
ni
Относительная
частота
pi* 
xi  X  xi 1
38
ni
n
1/200
0
5/200
7/200
21/200
38/200
39/200
38/200
21/200
15/200
Окончание таблицы 5
Индекс
интервала
i
Число
покупателей
(интервалы)
Частота
178-181
181-184
184-187
187-190
8
3
3
1
Относительная
частота
ni
pi* 
xi  X  xi 1
11
12
13
14
ni
n
8/200
3/200
3/200
1/200
200
 200 =1
2) После составления
вариационного
ряда
необходимо
построить функцию распределения выборки или эмпирическую
n
функцию F*(x)= x , то есть функцию найденную опытным
n
путём. Здесь n x – относительная частота события Х< х, n - общее
число значений.
Эмпирическое распределение можно изобразить в виде
полигона, гистограммы или ступенчатой кривой.
Построим
выборочную
функцию
распределения.
Очевидно, что для x  (,148] функция F * ( x)  0, так как
n x  0 . На концах интервалов значения функции F * ( x)
рассчитаем в виде «нарастающей относительной частоты»
(Таблица 6).
Таблица 6
Расчёт эмпирической функции распределения
Индекс интервала
i
1
2
3
4
5
6
F * ( x)
1/200
1/200
1/200+5/200=6/200
6/200+7/200=13/200
13/200+21/200=34/200
34/200+38/200=72/200
39
Окончание таблицы 6
F * ( x)
Индекс интервала
i
7
8
9
10
11
12
13
14
72/200+39/200=111/200
111/200+38/200=149/200
149/200+21/200=170/200
170/200+15/200=185/200
185/200+8/200=193/200
193/200+3/200=196/200
196/200+3/200=199/200
199/200+1/200=200/200
Табличные значения не полностью определяют
выборочную
функцию
распределения
непрерывной
случайной
величины,
поэтому
при
графическом
изображении её доопределяют, соединив точ ки графика,
соответствующие концам интервала, отрезками прямой
(рис.1).
Полученные данные, представленные в виде вариационного
ряда, изобразим графически в виде ломаной линии (полигона),
связывающей на плоскости точки с координатами ( X i ; pi* ) , где
*
pi X i - среднее значение интервала xi  X  xi 1 , а
относительная частота.(таблица 7 и рис.2). На этом же рисунке
отобразим пунктирной линией выравнивающие (теоретические)
частоты.
Таблица 7
Дискретный вариационный ряд
Номер
интервал
а
i
Среднее значение
интервала
Относительная
частота
Xi
p i*
1
2
3
149,5
152,5
155,5
0,005
0
0,025
40
Выборочная
оценка плотности
вероятности
ni
hn
0,002
0
0,008
Окончание таблицы 7
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
158,5
161,5
164,5
167,5
170,5
173,5
176,5
179,5
182,5
185,5
188,5
0,035
0,105
0,19
0,195
0,19
0,105
0,075
0,04
0,015
0,015
0,005
0,012
0,035
0,063
0,065
0,063
0,035
0,025
0,013
0,005
0,005
0,002
F*(x)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
148
154
160
166
172
178
184
190
x
Рис.1
41
P*
0,2
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
149,5
155,5
161,5
167,5
173,5
179,5
185,5
X
Рис.2
На основании полученных выборочных данных необходимо
сделать предположение, что изучаемая величина распределена по
некоторому определённому закону. Для того чтобы проверить,
согласуется ли это предположение с данными наблюдений,
вычисляют частоты полученных в наблюдениях значений, т.е.
находят теоретически сколько раз величина Х должна была
принять каждое из наблюдавшихся значений, если она
распределена по предполагаемому закону. Для этого находят
выравнивающие (теоретические) частоты по формуле:
ni  npi ,
(7)
где n – число испытаний,
p i - вероятность наблюдаемого значения x i , вычисленная при
допущении, что Х имеет предполагаемое распределение.
Эмпирические (полученные из таблицы) и выравнивающие
частоты сравнивают, и при небольшом расхождении данных
делают заключение о выбранном законе распределения.
Предположим, что случайная величина Х распределена
нормально (см. комментарии к задаче № 4). В этом случае
выравнивающие частоты находят по формуле:
nh
ni 
(ui ),
(8)
B
42
где n-число испытаний,
h-длина частичного интервала,
 B -выборочное среднее квадратичное отклонение,
x  xB
ui  i
( x i - середина i – го частичного интервала)
B

u2
2
1
e
– функция Лапласа
(9)
2
Результаты вычислений отобразим в таблице №8.
Сравнение графиков (рис.2) наглядно показывает
близость выравнивающих частот к наблюдавшимся и
подтверждает правильность допущения о том, что
обследуемый признак распределён нормально.
(u ) 
Таблица 8
Расчёт выравнивающих частот
xi
xi  x B
149,5
152,5
155,5
158,5
161,5
164,5
167,5
170,5
173,5
176,5
179,5
182,5
185,5
188,5
-19,5
-16,5
-13,5
-10,5
-7,05
-4,05
-1,05
1,95
4,95
7,95
10,95
13,95
16,95
19,95
ui 
x i  x B  (u i )
nh
ni 
(ui ) n 
i
B
B
-3
-2,53
-2,06
-1,59
-1,11
-0,64
-0,17
0,31
0,78
1,25
1,73
2,2
2,67
3,15
0,004
0,02
0,048
0,11
0,22
0,33
0,396
0,38
0,3
0,18
0,09
0,04
0,011
0,003
0,42
1,55
4,54
10,68
20,37
31,0
37,48
36,0
28,0
17,34
8,44
3,37
1,06
0,26
 ni  200
1
2
5
11
20
31
37
36
28
17
8
3
1
0

pi *
0,05
0,01
0,025
0,055
0,1
0,155
0,185
0,18
0,14
0,085
0,04
0,015
0,005
0
Интервальный вариационный ряд графически изобразим в
виде гистограммы (рис.3). На оси Х отложим интервалы длиной
43
ni
,расчёт которых представлен в
hn
таблице №7. Площадь под гистограммой равна сумме всех
относительных частот, т.е. единице.
Графическое изображение вариационных рядов в виде
полигона и гистограммы позволяет получать первоначальное
представление о закономерностях, имеющих место в
совокупности наблюдений.
h=3, а на оси Y значения
n/hn 0,07
187-190
184-187
181-184
178-181
175-178
172-175
169-172
166-169
163-166
160-163
157-160
154-157
151-154
148-151
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
X
Рис.3
3) Найдём числовые характеристики вариационного ряда,
используя таблицу №4.
Выборочная средняя ( xB ):
x  x 2  ....  xk
xB  1
n
k n x
или x B   i i ,
(10)
i 1 n
где n1 , n2 , n3 - частоты,
а n1  n2  ...  nk  n -объём выборки. Выборочная средняя
является оценкой математического ожидания (среднего значения
теоретического закона распределения).
44
В некоторых случаях xB удобнее рассчитать с помощью
условных вариант. В нашем случае варианты xi - большие числа,
поэтому используем разность:
u i  xi  C ,
(11)
где С – произвольно выбранное число (ложный нуль). В этом
случае
k nu
(12)
xB  C   i i .
i 1 n
Для изменения значения варианты можно ввести также
условные варианты путём использования масштабного
множителя:
u i  C0 x i ,
(13)
где C 0  10 b (b выбирается положительным или отрицательным
числом).
1
(21* 1  18 * 0  ...  18 *1)  170,5  1,95  168,55 .
x B  170,5 
200
Здесь С – середина 8-го интервала.
Выборочная дисперсия ( d B ):
ni ( x i  x B ) 2
dB  
(14)
n
i 1
d B также может быть рассчитана с помощью условных вариант:
k
d B  d BU
k nu
ni u i2

 ( i i ) 2
i 1 n
i 1 n
k
1
(1*441+0*324+…+1*324)- 1,95²=40,21
200
Среднеквадратическое отклонение:
B = d B
(15)
dB=
(16)
 B = 40,21 =6,34
Найдем
несмещённую
оценку
дисперсии
и
среднеквадратического
отклонения
(«исправленную»
выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение) по
формулам:
n
n
S2 
dB и S 
(17)
B
n 1
n 1
45
200
200
 6,34=6,36
 40,21=40,41 и S=
199
199
Доверительный интервал для оценки математического ожидания
с надёжностью   0,95 определяют по формуле:


P( x B -t B  a  x B  t B )  2 Ф(t)= 
(18)
n
n
Из соотношения Ф(z)=  /2 вычисляют значение функции Лапласа:
Ф(z)=0,475. По таблице значений функции Лапласа ( Приложение
А) находят z=1,96. Таким образом,
6,34
6,34
168,55-1,96
,
 a  168,5  1,96
200
200
167,67<a<169,43.
Доверительный интервал для оценки среднего
квадратичного отклонения случайной величины находят
по формуле:
S
S
 x 
,
(19)
1 q
1 q
где S – несмещённое значение выборочного среднего
квадратичного отклонения;
q – параметр, который находится по таблице (Приложение
В) на основе известного объёма выборки n
и заданной
надёжности оценки  .
На основании данных значений  =0,95 и n=200 по
таблице (Приложение В) можно найти значение q=0,099.
Таким образом,
6,34
6,34
 x 
,
1  0,099
1  0,099
5,79<  x  7,06
B ( x) 100%
V=
(20)
xB
4) Проведём статистическую проверку гипотезы о нормальном
распределении. Нормальный закон распределения имеет два
параметра (r=2): математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение. По выборочным данным (таблицы 5
S 2=
46
и 7) полученные оценки параметров нормального распределения,
вычисленные выше:
n
d B  40,41, S=6,36.
x B  168,55, d B  40,21, S 2 
n 1
Для расчёта теоретических частот piт используют табличные
значения функции Лапласа Ф(z). Алгоритм вычисления piт
состоит в следующем:
- по нормированным значениям случайной величины Z находят
значения Ф(z), а затем FN ( xi ) :
X  xB
zi  i
, FN ( xi ) =0,5+Ф( z i ).
S
Например,
149,5  168,55
 3,0 ; Ф(-3,0)=-0,4987;
X 1  149,5 ; z1 
6,36
FN (149,5)  0,0013;
далее
вычисляют
вероятности
т
pi =P( z i  X  z i 1 )  FN ( x i 1 )  FN ( x i ) ;
- находят числа niт  piт n , и если некоторое n iт <5, то
соответствующие группы объединяются с соседними.
Результаты вычисления piт , n iт , и  2r приведены в таблице 9.
По формуле
ni2
2
r =  т  n
(21)
ni
можно сделать проверку расчетов.
62
72
15 2 15 2
2
r 

 ... 

 200  15,61
11,38 15,4
14
8
По таблице (приложения Г) можно найти число  2кр по схеме:
для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы l=k-r1=9-2-1=6   2кр =12,6. Следовательно, критическая область (12,6;  ). Величина  2r =15,61 входит в критическую область,
поэтому гипотеза о том, что случайная величина Х подчинена
нормальному закону распределения, отвергается.
47
При α=0,1  2кр =10,6. Критическая область - (10,6;  ). Величина
 2r =15,61 также входит в критическую область и гипотеза о
нормальном законе распределения величины Х отвергается.
При α=0,01  2кр =16,8, (16,8;  ). В этом случае нет оснований
отвергать гипотезу о нормальном законе распределения.
Таблица 9
2
Определение  r
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
xi  xi 1 ni

149,5
149,5 
152,5
152,5 
155,5
155,5 
158,5
158,5 
161,5
161,5 
164,5
164,5 
167,5
167,5 
170,5
170,5 
173,5
173,5 
176,5
176,5 
179,5
179,5 
182,5
182,5 
185,5
185,5 
188,5
188,5 

Ф( z i )
FN ( xi ) FN ( xi 1 ) p iт 
niт  (ni  niт ) 2
FN ( xi 1 )  piт n
niт
FN ( xi )
0
-0,500
0,000
0,0013
0,0013
0,26
-
1
-0,449
0,0013
0,0059
0,0046
0,92
-
0
-0,494
0,0059
0,02
0,014
2,8
-
5
-0,48
0,02
0,057
0,037
7,4
2,54
7
-0,44
0,057
0,134
0,077
15,4
4,58
21
-0,37
0,134
0,26
0,126
25,2
0,7
38
-0,24
0,26
0,433
0,1725
34,5
0,36
39
-0,07
0,433
0,62
0,188
37,6
0,06
38
0,12
0,62
0,78
0,16
32
1,125
21
0,28
0,78
0,89
0,11
22
0,045
15
0,39
0,89
0,96
0,07
14
0,071
8
0,46
0,96
0,99
0,03
6
6,125
3
0,49
0,99
0,996
0,006
1,2
-
3
0,496
0,996
0,999
0,003
0,6
-
1
0,5
0,999
1,0
0,001
0,2
-
  200
  1 ,0000
48
  15,61
2 часть
1) Данные таблицы 3 сгруппируем в корреляционную
таблицу 10.
2) Строим в системе координат множество, состоящее из 200
экспериментальных точек (рисунок 4).
По расположению точек делаем заключение о том, что
экономико-математическую модель можно искать в виде
y  kx  b .
3) Найдём выборочные уравнения линейной регрессии.
Для упрощения расчётов разобьём случайные
величины на интервалы и выберем средние значения. Для
величины Х указанные действия были выполнены в 1
части задания.
Таблица 10
Корреляционная таблица
Y/X
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
105
n xi
1
1
148
1
1
155
1
1
2
156
1
1
2
157
1
1
158
1
1
1
3
160
1
1
1
3
1
1
2
1
1
6
161
162
1
3
1
2
1
1
9
1
1
1
1
1
1
6
163
164
2
3
1
1
1
3
2
2
1
15
3
166
8
1
165
1
1
2
1
1
4
1
2
1
4
15
169
1
1
168
1
3
2
1
5
2
15
1
1
1
1
2
1
1
2
10
167
3
1
2
3
1
2
1
14
1
1
2
4
3
1
1
1
1
15
49
159
170
Окончание таблицы 10
1
1
2
1
3
1
1
1
11
171
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
12
172
1
1
2
3
1
1
9
173
1
1
1
1
1
1
6
174
1
1
2
1
1
6
175
1
1
1
1
1
1
3
1
10
176
1
1
177
4
1
2
1
178
1
1
1
3
2
1
3
179
180
1
1
2
181
1
1
1
1
182
183
1
1
184
1
1
185
1
1
1
186
1
1
1
190
2
2
4
6
7
1
10
72
1
17
18
29
24
18
81
7
3
4
3
3
3
1
1
n yi
2
0
0
187
Y
110
105
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
148 157 160 163 166 169 172 175 178 181 184 187
X
Рис.4
50
Для случайной величины Y, используя (1), получим h=2, число
интервалов равно 13. Результаты внесём в таблицу со
сгруппированными данными №11.
Находим средние значения y , x 2 , y 2 , x y , по формулам:
1
 xi ,
n
1
y   yi ,
n
1
x 2   x 2i ,
n
1
x y   xi y i .
n
x
(22)
(23)
(24)
(25)
1
(80 * 8  82 * 13  ...  100 * 1  104 * 1)  88.53
200
1
x2 
(149.5 2 *1  ...  185.5 2 * 3  188.5 2 *1)  28449.31
200
1
y2 
(80 2 * 8  82 2 * 13  ...  104 2 * 1)  7856.02
200
y
14 13
  nij xi y j  149,5*86+155,5(82+…+90)+…+188,5*104=2986101
i 1 j 1
Используя формулы:
 xB 
x 2  (x ) 2 ,
(26)
 yB 
y 2  ( y) 2 ,
(27)
получим
 xB = 28449,31  168,552  6,34 ,  yB = 7856,02  88,532  4,297
51
Таблица 11
n xi
1
1
6
4
3
1
3
3
3
5
10
9
6
3
9
7
7
6
1
4
1
1
2
1
1
6
14
3
3
3
3
10
11
12
13
14
188,5
167,51
70,517
170,5
3,5
3
1
2
9
185,5
164,5
1
2
1
2
1
1
1
1
1
8
182,5
7
179,5
6
176,5
5
173,5
4
161,5
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
104
3
158,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
155,5
XY
1
152,5
№
149,5
Сгруппированные данные выборки
ny j
8
13
22
24
37
52
19
10
7
6
1
1
2
1
4
9
1
3
3
3
2
4
4
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
5
7
21
38
39
38
21
15
8
3
3
1
1
1
200
4) Вычисляем выборочный коэффициент корреляции rB по
формуле:
k1 k 2
  nij xi y j  x ny
rB 
i 1 j 1
n xB  yB
.
(28)
2986101 200  168,5  88,53
 0,32
200  6,34  4,3
Принято считать, что если 0,1< rB <0,3 – связь слабая, если
0,3< rB <0,5 – связь умеренная, если 0,5< rB <0,7 – связь заметная,
если 0,7< rB <0,9 – связь высокая, если 0,9< rB <0,99 – связь весьма
высокая.
Для данного примера связь между X и Y умеренная.
Затем получают выборочное уравнение линейной регрессии
Y на X в виде:
rB =
52
yx  y 
 yB
(29)
rB ( x  x )
 xB
и выборочное уравнение линейной регрессии X на Y :

(30)
x y  x  xB rB ( y  y ) .
 yB
6,34  0,32
x y  168,55 
( y  88,53) и
4,3
x y  0,47 y  126,78
4,3  0,32
y x  88,53 
( x  168,55) или
6,34
y x  0,22 x  51,95
Вычисления сумм рекомендуем проводить с помощью пакетов
прикладных математических программ (сегодня их существует
много).
5. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ № 1-№ 4
Вариант 1.
1. Фирма имеет три источника поставки комплектующих –
фирмы А, В и С. На долю фирмы А приходится 50% общего
объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что
10% поставляемых фирмой А деталей бракованные, фирмой В –
5% и фирмой С – 6%.
1) Какова вероятность, что взятая наугад деталь была получена
от фирмы А?
2) Какова вероятность, что взятая наугад и оказавшаяся
бракованной деталь получена от фирмы А?
2. Накануне выборов 40% населения поддерживают «Партию
квадратов», 40% - «Партию Кругов» и 20% еще не
определились во мнении. Какова вероятность того, что, по
крайней мере, половина из шести наудачу выбранных
избирателей оказывают доверие «Партии квадратов»?
53
3. Имеется 8 изделий, из которых 3 дефектных. Для контроля
взято наудачу 3 изделия. Случайная величина Х – число
дефектных изделий в выборке.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
4. Фирма «Клубок ниток» производит вязальные спицы.
Наиболее популярны размеры
Номер 10
Номер 11
Номер 12
Диаметр
(мм)
3.25
3.00
2.75
Точность
(мм)
± 0.125
± 0.125
± 0.125
«Клубок» производит нарезку игл из проволоки и их дальнейшую
обработку. В результате чего средний диаметр заготовок
становится 3.10 мм, а его среднее квадратическое отклонение
0.10 мм. Допустим, значение диаметра подчиняется закону
нормального распределения. Требуется определить долю
заготовок, пригодных для производства спиц №11, учитывая, что
дальнейшая обработка не изменяет диаметр заготовок.
Вариант 2.
1. В центральную бухгалтерию корпорации поступили
пачки накладных для проверки и обработки. 90% пачек были
признаны удовлетворительными: они содержали только 1%
неправильно оформленных накладных. Остальные 10% пачек
накладных были признаны неудовлетворительными, так как
содержали 5% неправильно оформленных накладных. Взятая
наугад из пачки накладная оказалась оформленной неправильно.
Учитывая это, какова вероятность того, что вся пачка накладных
будет признана не соответствующей стандартам?
2. На курсах повышения квалификации бухгалтеров учат
определять правильность накладной. В качестве проверки
преподаватель предлагает слушателям проверить 10 накладных, 4
54
из которых содержат ошибки. Он берет наудачу из этих десяти
три накладные и просит проверить. Какова вероятность того, что
одна из них окажется ошибочной, а две других – нет? Что все
три окажутся правильными?
3. Вероятность досрочно сдать экзамен на «5» для каждого
из четырех сдающих студентов равна 0,6. Случайная величина Х
– число студентов ( из этих четырех ), сдавших этот экзамен на
«5».
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная
величина, которая задается функцией плотности распределения
f x   A  e 2x , найти А, М(Х), D(X), P( X  0.5 ).
2
Вариант 3.
1. Нефтяная компания, изучив данные геологоразведки,
оценивает вероятность обнаружения нефти в некотором районе
как 0,3. Из предыдущего опыта подобных работ известно, что
если нефть действительно должна быть обнаружена, первые
пробные бурения дают положительные образцы с вероятностью
0,4. Если оказалось, что первые бурения дали отрицательный
результат, какова вероятность того, что нефть, тем не менее,
будет обнаружена в данном районе?
2. Число дефектов в изделии может быть любым – 1, 2, 3, 4
и т.д. По оценке компании вероятность отсутствия дефекта
составляет 0,9, а вероятность наличия одного дефекта – 0,05.
Какова вероятность, что в изделии не больше, чем один дефект?
3. В программе экзамена 45 вопросов, из которых студент
знает 30. В билете 3 вопроса. Случайная величина Х – число
вопросов билета, которые знает студент.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
55
4.
Ошибка
измерения
высоты
полета
гидрометеорологического спутника относительно наземной
станции подчинена нормальному закону с математическим
ожиданием, равным нулю и средним квадратическим
отклонением, равным 1 км. Ошибка принимает отрицательное
значение, если измеряемая высота слишком мала и
положительное значение, если измеряемая высота слишком
велика. Найти вероятность того, что а) ошибка будет больше чем
+0.75 км; б) значение ошибки будет заключено в пределах между
+ 0.10 км и + 0.60 км; в) ошибка будет меньше чем – 1.25 км.
Число дефектов в изделии может быть любым – 1, 2, 3, 4 и т.д. По
оценке компании вероятность отсутствия дефекта составляет 0,9,
а вероятность наличия одного дефекта – 0,05. Какова
вероятность, что в изделии не больше, чем один дефект?
Вариант 4.
1. Среди студентов некоторой группы 2/5 юноши и 3/5
девушки. Половина студентов – юношей данной группы моложе
21 года, среди студенток – девушек моложе 21 года – 2/3. Чему
равна вероятность того, что 1) случайно выбранный учащийся
старше 21 года и 2) случайно выбранный учащийся, возраст
которого меньше 21 года, - это девушка.
2. Экзамен на водительские права по правилам дорожного
движения содержит 20 вопросов с тремя вариантами ответов в
каждом. Для сдачи экзамена необходимо ответить правильно как
минимум на 19 вопросов. Если будущий водитель выбирает
ответы, полагаясь исключительно на удачу, то какова для него
вероятность сдать экзамен?
3. Бросают две игральные кости. Случайная величина Х –
модуль разности числа выпавших очков.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
56
4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная
величина, которая задается функцией плотности распределения
f x   A  e

 x 12
2
, найти А, М(Х), D(X), P( X  1  1.5 ).
Вариант 5.
1. Отдел закупок женского платья большого столичного
торгового комплекса приобретает 20% своего товара у фабрики
А, 30% у фабрики Б и оставшиеся 50% у разных мелких
поставщиков. К концу сезона распродается 80% продукции
фабрики А, 75% продукции фабрики Б и 90% продукции мелких
поставщиков. Какова вероятность, что платье, оставшееся
непроданным в конце сезона, было произведено на фабрике А?
2. Известно что 85% деревьев, высаживаемых фирмой
«Флора-дизайн» приживается. Фирма получила заказ на
озеленение внутреннего двора нового дома, в котором должна
посадить 10 молодых берез. Какова вероятность того, что в
течение гарантийного срока фирме придется заменить
а) три засохших саженца?
б) не более двух?
в) ни одного?
3. Зеленщик покупает персики большими партиями.
Учитывая скоропортящийся характер товара, он допускает, что
15% фруктов будут подпорчены. Для проверки качества
зеленщик выбирает 5 персиков. Случайная величина Х – число
подпорченных фруктов среди выбранных.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию
D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность того, что зеленщик купит данную
партию персиков, если для этого среди выбранных 5 персиков
должно быть не более двух подпорченных.
4. Средний срок службы аккумуляторной батареи
мобильного телефона нового поколения - 1000 часов, его среднее
квадратическое отклонение 100 часов. Действует нормальный
закон
распределения.
Найти
вероятность
того,
что
57
аккумуляторная батарея случайно выбранного мобильного
телефона выйдет из строя а) через 1050 часов работы; б) через
750 часов; в) не ранее, чем через 850 часов, но не позднее, чем
через 1150 часов.
Вариант 6.
1. Розничная сеть имеет три магазина. На долю главного
магазина приходится 50% продаж, тогда как на долю двух
пригородных магазинов – 30% и 20%. Процент магазинных краж
для этих магазинов составляет 1%, 0,8% и 0,75% соответственно.
Какова вероятность, что украденная вещь находилась в продаже в
главном магазине сети?
2. Лист экзаменационного тестирования содержит 10
вопросов. На каждый вопрос предлагается 5 ответов, среди
которых только один верный. Если студент выбирает ответы
случайным образом, какова вероятность того, что правильными
будут а) ровно половина ответов? б) не менее восьми ответов? в)
не более одного?
3. Производятся независимые испытания трех приборов.
Вероятности отказа для них 0,2, 0,3, 0,1 соответственно.
Случайная величина Х – число отказавших приборов.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная
величина, которая задается функцией плотности распределения
f x   A  e

 x  2 2
18
, найти А, М(Х), D(X), P(0<X<5).
Вариант 7.
1. На курсах повышения квалификации бухгалтеров учат
определять правильность накладной. В качестве проверки
преподаватель предлагает слушателям проверить 10 накладных, 4
из которых содержат ошибки. Он берет наугад накладную и
просит проверить. При условии того, что обучающийся
58
идентифицирует неправильную накладную с вероятностью 0.8, а
правильную накладную признает ошибочной с вероятностью
0,05, чему равна вероятность того, что выбранная накладная –
ошибочная.
2. Исследование ископаемых частиц пыльцы растений,
найденных в разных слоях донных осадков большого озера,
обычно дает информацию о типичной растительности,
окружавшей озеро в то время, когда формировался данный слой.
Доля частиц пыльцы хвойных деревьев в донных осадках
составляет 0.6. Если на анализ поступили 10 частиц пыльцы,
какова вероятность того, что а) ровно пять, б) не более двух из
них окажутся принадлежащими хвойным деревьям?
3. Обрыв произошел равновероятно на одном из 5 звеньев
телефонной линии. Монтер обследует их последовательно до
обнаружения обрыва. Случайная величина Х – число
обследованных звеньев.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
4. Пилорама «Стружкин и компания» производит и
продает сухие доски. Наиболее популярные размеры дюймовой
осиновой шлифованной доски
Номер 4
Номер 5
Номер 6
Длина (м)
3.25
3.00
2.75
Точность (м)
± 0.125
± 0.125
± 0.125
На пилораме сушат сырые доски, после чего шлифуют их.
Средний размер поступающих сырых досок (заготовок) 3м 10см,
его среднее квадратическое отклонение 10см. Допустим, длина
заготовок
подчиняется закону нормального распределения.
Требуется определить долю заготовок, пригодных для
производства досок №5, учитывая, что сушка и шлифовка не
изменяют длины заготовок, и дальнейшая обработка не включает
распил досок по длине.
59
Вариант 8.
1. В школе обучается одинаковое количество мальчиков и
девочек. У восьмидесяти процентов девочек и у тридцати
процентов мальчиков длинные волосы. Какова вероятность того,
что случайно выбранный ученик с длинными волосами мальчик?
2. Вероятность того, что пенициллин вылечит
бактериальную инфекцию определенного типа, равна 75%. В
течение небольшой эпидемии терапевт назначил антибиотик 8
больным. Какова вероятность того, что по крайней мере 6 из них
вылечатся?
3. Банк предполагает разместить свободные средства.
Менеджер отдела инвестиций должен выбрать один из трех
инвестиционных проектов: А, В или С.
Финансовоаналитический отдел подготовил экспертную информацию по
этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры
доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по
проекту А случайной величиной Х, по проекту В случайной
величиной У и по проекту С Z, выбрать один из трех проектов,
обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и
рискованности инвестиции. Для выбранного проекта
1) Построить график функции распределения y = F(x)
соответствующей случайной величины.
2) Найти вероятность того, что инвестиция окажется
убыточной или не принесет никакого дохода.
Х
р
-500
0.1
-200
0.25
100
0.3
400
0.25
700
0.1
У
р
-100
0.1
0
0.25
100
0.3
200
0.25
300
0.1
Z
р
-500 -200
0.01 0.025
100
0.93
400
0.025
700
0.01
60
4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная
величина, которая задается функцией плотности распределения
f x   A  e

x2
5
, найти А, М(Х), D(X), P( X  M ( X )
 2 ).
Вариант 9.
1. Предприниматель производит одинаковые детали на двух
производственных линиях. Две пятых продукции сходит со
старой линии, при этом 10% выпуска признается браком.
Остальные три пятых продукции производятся на новейшей
линии, для которой процент брака равен лишь 4%. Какова
вероятность того, что оказавшаяся бракованной деталь была
выпущена на старой производственной линии?
2. Известно, что 60% щенков собак определенной породы
имеют черные глаза. Цвет глаз одного щенка не зависит от цвета
глаз другого. Какова вероятность того, что в помете из девяти
щенков по крайней мере одна треть будет иметь черные глаза?
3. Студенты Артемов и Белов стоят в очереди в раздевалку.
Всего в очереди 6 человек. Случайная величина Х – число
студентов, стоящих между ними.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная
величина, которая задается функцией плотности распределения
f x   A  e

 x  5 2
18
, найти А, М(Х), D(X), P(-10<X<3).
Вариант 10.
1. Фирма собирается выпускать новый товар на рынок.
Подсчитано, что вероятность хорошего сбыта продукции равна
0.6; плохого - 0.4. Компания собирается провести маркетинговое
исследование, вероятность правильности которого 0.8. Как
изменятся первоначальные вероятности уровня реализации, если
это исследование предскажет плохой сбыт?
61
2. Испорченный консервный аппарат неправильно
запечатывает банку крышкой в одном случае из шести. Если
инспектор выберет случайным образом 2 банки вышедшие из
этого испорченного аппарата для проверки, какова вероятность,
что поломка останется незамеченной? Если выбраны для
проверки 4 банки, какова вероятность того, что по крайней мере 2
из них будут иметь плохие крышки?
3. Частный предприниматель сдает в наем 4 автомобиля.
Средний спрос в будний день составляет 2 автомобиля. В году
312 будних дней. Определить вид распределения случайной
величины Х – числа автомобилей, востребованных в течение
буднего дня. Найти математическое ожидание и дисперсию Х.
Построить график функции распределения y=F(x) для значений
х≤5. Найти число будних дней, в течение которых спрос
превысит предложение (дробное число округлить в большую
сторону).
4. На автозаправочной станции показания автомата
округляются до ближайшего целого числа литров бензина.
Считая ошибку округления распределенной равномерно, найти
математическое ожидание и дисперсию ошибки показания
автомата. Найти вероятность того, что очередной клиент
недополучит от 0,1 л до 0,3 л бензина.
Вариант 11.
1. Согласно оценке эксперта участок земли близ
населенного пункта N окажется нефтеносным с вероятностью 0.2
и пустым с вероятностью 0.8. Потенциальный инвестор решил
заказать дополнительное исследование. Нефтедобывающая
компания, организующая это специфическое исследование,
оценивает в 90% надежность подтверждения нефти в том случае,
когда нефть есть, и в 70% надежность отрицания наличия нефти
если нефти нет. Найти вероятности нефтеносности участка
1) в случае подтверждающего нефть результата исследования;
2) в случае отрицающего нефть результата исследования.
2. Совет директоров компании состоит из трех
бухгалтеров, трех менеджеров и двух инженеров. Планируется
62
создать подкомитет из его членов. Какова вероятность того, что
все трое в этом подкомитете будут бухгалтеры?
3. Известно что 20 % собранных шампиньонов контроль
отправляет на переработку в консервное производство. На
конвейер поступили пять грибов. Случайная величина Х –
количество шампиньонов (из этих пяти штук), отправленных в
переработку. Определить тип распределения случайной
величины.
а) Составить таблицу распределения Х.
б) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
в) Построить график функции распределения y = F(x)
г) Найти вероятность P(X>3).
4. Известно, что до реорганизации телефонной сети
большого города средний срок оплаты квитанций за
междугородние, международные разговоры составлял 45 дней со
средним квадратическим отклонением 10 дней. Найти
вероятность того, что квитанция, оформленная 1 апреля, будет
оплачена а) между 13 мая и 18 мая; б) не позднее 25 мая.
Вариант 12.
1. Большая корпорация проводит набор стажеров
менеджеров, 30% которых имеют университетское образование.
45% набранных стажеров в конце концов получают позицию
менеджера в корпорации. Однако процент работников,
достигших уровня менеджера, среди стажеров с университетским
образованием равен 70%. Какова вероятность того, что менеджер,
получивший свою позицию через корпоративную стажировку,
имеет университетское образование?
2. В отделе внешних связей фирмы имеется восемь заказов
на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт.
Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа
окажутся предназначенными для потребления внутри страны?
3.
Экспериментальная
лаборатория
института
растениеводства получила семена редкого вида пшеницы.
Всхожесть семян составляет 80 %. Случайная величина Х – число
взошедших семян среди пяти посаженных. Определить тип
распределения случайной величины.
63
а) Составить таблицу распределения Х.
б) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
в) Построить график функции распределения y = F(x)
г) Найти вероятность P(X<3).
4. Упаковочный аппарат расфасовывает стиральный
порошок в пакеты, средний вес которых 930 гр., а
среднеквадратическое отклонение – 20 гр. Какая доля пакетов
будет иметь вес до 900 гр.? Если требуется, чтобы не более чем
2.5% пакетов содержали меньше, чем 900 гр., то как должна быть
переналажена
машина,
чтобы
соответствовать
этому
требованию?
Вариант 13.
1. Вероятность того, что после прохождения собеседования
претендент на должность в некоторой фирме все еще хочет
поступить на работу, равна 0.8, тогда как вероятность того, что
фирма желает нанять претендента, равна 0.4. Среди
претендентов, которых фирма желает нанять на работу, 90% лиц
сохраняет
намерение
работать
после
прохождения
собеседования. Какова вероятность того, что претендент,
который все еще хочет поступить на работу, будет нанят
фирмой?
2. Небольшая британская компания выпускает гайки и
болты, размеры которых задаются в стандартной британской и в
метрической системах мер. Однажды коробка с пятнадцатью 20мм болтами опрокинулась в ящик с тридцатью дюймовыми
болтами, а коробка с пятнадцатью 20-мм гайками – в ящик с
тридцатью дюймовыми гайками. Какова вероятность, что взятые
наудачу болт и гайка подойдут друг к другу?
3. Система выборочного контроля качества подвергает
усиленной проверке 20 % автомобилей, сошедших с заводского
конвейера. С конвейера сошли пять автомобилей. Случайная
величина Х – число автомобилей, прошедших усиленный
контроль. Определить тип распределения случайной величины.
а) Составить таблицу распределения Х.
б) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию
D(Х).
64
в) Построить график функции распределения y = F(x)
г) Найти вероятность P(X<2).
4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная
величина, которая задается функцией плотности распределения
f x   A  e

 x 12
2
, найти А, М(Х), D(X), P(-3<X<0).
Вариант 14.
1. Предприниматель покупает некоторую комплектующую
деталь у двух поставщиков: А и В. За определенный период
времени фирма использует 20000 таких деталей, причем 6000 из
них приходит от поставщика А. Процент брака для продукции
поставщика А равен 3%, В 1.5%. Найти вероятность того, что
данная бракованная деталь была куплена у поставщика А.
2. Банковский менеджер знает по собственному опыту, что
в среднем 10% клиентов, оформивших в банке заем, задерживают
выплаты по графику возврата денег. Вчера менеджер подписал
документы на 7 займов. Какова вероятность того, что
а) ни один из 7 заемщиков не будет задерживать свои выплаты?
б) один из них будет задерживать выплаты?
в) как минимум двое из них будут нарушать график выплат?
3. Случайная величина Х – сумма цифр выбранного
наудачу двузначного числа ( от 10 до 49 ).
а) Составить таблицу распределения Х.
б) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
в) Построить график функции распределения y = F(x)
г) Найти вероятность P(4,5<X<10).
4. Срок работы электрических компонент подчиняется
нормальному распределению со средней продолжительностью
работы 80 ч. и среднеквадратическим отклонением – 30 ч. а)
Допустим, производитель решил заменить все компоненты,
которые вышли из строя до гарантийного срока работы,
составляющего 45 ч. Какую долю общего выпуска составит эта
часть продукции?
б) Допустим, производитель решил заменить только 10% общего
выпуска, т.е. компоненты с самым коротким сроком работы.
65
Какой гарантийный срок работы он должен назначить, чтобы
выполнить это условие?
Вариант 15.
1. Среди мужского населения небольшого города
Наукограда в возрасте от 30 до35 лет, 25% жителей имеют
университетский диплом, зарплата у 15% жителей-мужчин
указанной возрастной категории выше средней, и 65% не имеют
университетского диплома и их зарплата ниже средней. Какова
вероятность того, что мужчина, случайно выбранный из этой
возрастной группы, имеет зарплату выше средней, если а) у него
университетское образование; б) нет университетского
образования?
2. На прямом участке оживленного городского проспекта
установлены четыре светофора, работающих независимо друг от
друга. Вероятность проехать светофор без остановки в часы пик
равна для каждого из них 0,3. С какой вероятностью курьер
доставки товаров проследует три светофора без остановок.
3. Имеется 5 заготовок для одной и той же детали.
Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки
равна 0,8. Случайная величина Х – число заготовок, оставшихся
после изготовления первой годной детали.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная
величина, которая задается функцией плотности распределения
f x  A  e x  2 , найти А, М(Х), D(X), P(1.5<X<3).
2
Вариант 16.
1. За последний период времени 500 автомобилей было
возвращено на автомобильный завод из-за наличия дефектов,
причем 100 из них были выпущены в понедельник, 100 во
вторник, 100 в среду, 100 в четверг и 100 в пятницу. Оказалось,
что 40 автомобилей нуждаются в устранении серьезных
66
неполадок, возникших в течение гарантийного периода. Среди
автомобилей, выпущенных в пятницу, 15 имеют серьезные
неполадки. Являются ли события А=«автомобиль был выпущен в
пятницу» и В=«автомобиль имеет серьезные неполадки»
независимыми? Сравнить вероятности Р(В) и Р(В/А).
2. Известно, что 40% пациентов, у которых выявлено
некоторое заболевание «альфа», должны сделать операцию. В
палате находятся четверо больных, которым недавно поставлен
диагноз «альфа». Какова вероятность того, что операцию сделает
только один из них (все равно кто именно)?
3. Банк предполагает разместить свободные средства.
Менеджер отдела инвестиций должен выбрать один из трех
инвестиционных проектов: А, В или С.
Финансовоаналитический отдел подготовил экспертную информацию по
этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры
доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по
проекту А случайной величиной Х, по проекту В случайной
величиной У и по проекту С Z, выбрать один из трех проектов,
обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и
рискованности инвестиции. Для выбранного проекта
1) Построить график функции распределения y = F(x)
соответствующей случайной величины.
2)Найти вероятность того, что инвестиция окажется
убыточной или не принесет никакого дохода.
Х
р
-500
0.1
-200
0.2
200
0.4
600
0.2
900
0.1
У
р
-100
0.1
100
0.2
200
0.4
300
0.2
500
0.1
Z
р
-500 -200
0.015 0.035
200
0.9
600
900
0.035 0.015
4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная
величина, которая задается функцией плотности распределения
f x   A  e

 x  3 2
8
, найти А, М(Х), D(X), P(-2<X<3).
67
Вариант 17.
1. Подброшены две игральные кости. Событие А сумма
выпавших очков равна 9, событие В разность выпавших очков
равна 1. Зависимы ли события А и В? Объяснить почему
(подтвердить вычислениями).
2. Магазин получает товар партиями по 100 штук. Если
пять взятых наудачу образцов соответствует стандартам, партия
товара поступает на реализацию. В очередной партии восемь
единиц товара с дефектом. Какова вероятность того, что товар
поступит на реализацию?
3. Вероятность, что покупателю потребуется обувь 42
размера, равна 0,3. В магазине 3 покупателя. Случайная величина
Х – число покупателей, находящихся в магазине, которым
требуется обувь 42 размера.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
4. Автоматический токарный станок настроен на выпуск
деталей со средним диаметром 2.00 см и со средним
квадратическим отклонением 0.005 см. Действует нормальный
закон
распределения.
Компания
технического
сервиса
рекомендует остановить станок для технического обслуживания
и корректировки в случае, если образцы деталей, которые он
производит, имеют средний диаметр более 2.01 см, либо менее
1.99 см.
1) Найти вероятность остановки станка, если он настроен по
инструкции на 2.00 см.
2) Если станок начнет производить детали, которые в среднем
имеют слишком большой диаметр, а именно, 2.02 см, какова
вероятность того, что станок будет продолжать работать?
Вариант 18.
1. Из трех бухгалтеров, восьми менеджеров и шести
аналитиков необходимо с помощью случайного выбора
сформировать комитет, состоящий из десяти человек. Какова
68
вероятность того, что в комитете окажутся: один бухгалтер, пять
менеджеров и четверо аналитиков?
2. В среднем 25% взрослого населения некоторого
большого города смотрит популярное телевизионное шоу. Какова
вероятность того, что среди восьми случайно выбранных
взрослых людей шоу смотрит трое или больше?
3. Курс междуреченского доллара меняется еженедельно.
Сегодня он равен 87 рублям. Через неделю он может увеличиться
на 2 рубля с вероятностью 0,2, уменьшиться на 2 рубля с
вероятностью 0,3 либо остаться неизменным. Случайная
величина Х – курс междоллара через две недели.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(84,5<X<88).
4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная
величина, которая задается функцией плотности распределения
f x   A  e3x , найти А, М(Х), D(X), P( X  0.5 ).
2
Вариант 19.
1. Три мяча выбирают случайным образом из коробки,
содержащей 5 белых, 6 красных и 4 желтых мяча. Найти
вероятность того, что
а) все три мяча красные;
б) все три мяча разные по цвету;
в) все три мяча одинаковые по цвету.
2. Двух- или четырехмоторный аэроплан может оставаться
в воздухе до тех пор, пока функционирует половина его
двигателей. Чему равна вероятность падения каждого из типов
аэропланов, если вероятность любой
поломки двигателя
составляет 0,001?
3. Банк предполагает разместить свободные средства.
Менеджер отдела инвестиций должен выбрать один из трех
инвестиционных проектов: А, В или С.
Финансовоаналитический отдел подготовил экспертную информацию по
этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры
69
доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по
проекту А случайной величиной Х, по проекту В случайной
величиной У и по проекту С Z, выбрать один из трех проектов,
обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и
рискованности инвестиции. Для выбранного проекта
1) Построить график функции распределения y = F(x)
соответствующей случайной величины.
2) Найти вероятность того, что инвестиция окажется
убыточной или не принесет никакого дохода.
Х
р
-800
0.1
-300
0.25
100
0.3
500
0.25
1000
0.1
У
р
-300
0.1
0
0.25
100
0.3
200
0.25
500
0.1
Z
р
-800 -300
0.01 0.025
100
0.93
500 1000
0.025 0.01
4. Рыночный торговец так настроил свои электронные
весы, что показания стоимости покупки округляются до
ближайшего целого числа рублей. Считая ошибку округления
распределенной равномерно, найти математическое ожидание и
дисперсию ошибки показания весов. Найти вероятность того, что
торговец в результате округления недополучит от 20 до 35 копеек
от очередного клиента.
Вариант 20.
1. В подразделение отряда космонавтов входят 12 человек, из
них 7 уже были в космосе, а 5 еще нет. Для участия в проекте
отбирают 4 кандидатов. Какова вероятность того, что по крайней
мере у двоих из отобранных кандидатов уже есть космический
опыт?
2. Консервный цех складирует продукцию в штабели по 500
штук. В некотором штабеле оказалось 150 нестандартных банок.
Инспектор выбирает наудачу последовательно две банки. Какова
70
вероятность того, что а) обе банки нестандартные; б) обе банки
качественные?
3. На дне глубокого сосуда лежат спокойно 6 шаров – 2 белых
и 4 черных. Случайная величина Х – число извлеченных без
возвращения шаров до первого белого.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная
величина, которая задается функцией плотности распределения
f x  A  e2 x  4  , найти А, М(Х), D(X), P( X  4  0.5 ).
2
6. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ № 5
Студенты, имеющие варианты с 1 по 10, выполняют
задание № 1, имеющие варианты с 11 по 20 – задание № 2.
Задание №1
Отдел маркетинга крупной швейной фабрики провёл
анкетирование 500 человек (женщин) по вопросу роста
(Х) см и веса (Y) кг. В результате была выявлена
следующая зависимость (таблица 12).
Таблица 12
Зависимость роста и веса
N
X
Y
1
168
73
2
169
68
3
156
56
4
171
75
5
175
66
6
159
60
7
167
60
8
169
68
9
170
68
10
156
54
11
168
62
12
169
56
N
X
Y
13
164
66
14
171
66
15
174
64
16
176
81
17
170
61
18
173
69
19
171
62
20
196
60
21
155
61
22
174
66
23
176
75
24
176
60
25
172
70
N
X
Y
26
172
67
27
163
59
28
187
84
29
172
70
30
161
60
31
176
70
32
164
60
33
166
63
34
168
55
35
162
55
36
163
65
37
172
65
38
175
64
71
Продолжение таблицы 12
N
X
Y
39
156
54
40
164
70
41
167
63
42
177
67
43
183
73
44
163
63
45
172
69
46
172
60
47
172
63
48
173
67
49
163
66
50
166
57
51
178
69
N
X
Y
52
169
75
53
171
60
54
165
63
55
175
80
56
171
67
57
186
71
58
165
64
59
164
60
60
163
67
61
173
69
62
173
66
63
177
72
64
173
75
N
X
Y
65
156
53
66
172
59
67
160
62
68
176
71
69
171
66
70
169
75
71
163
63
72
163
72
73
172
74
74
178
73
75
166
57
76
164
59
77
171
69
N
X
Y
78
163
63
79
163
58
80
182
76
81
163
58
82
169
67
83
164
70
84
164
62
85
170
67
86
176
65
87
163
57
88
179
80
89
176
67
90
182
66
N
X
Y
91
169
73
92
159
68
93
169
62
94
165
61
95
165
62
96
167
64
97
173
69
98
170
61
99
170
61
100
169
68
101
164
59
102
177
68
103
173
64
N
X
Y
104
166
63
105
161
66
106
162
66
107
190
80
108
167
59
109
160
62
110
165
76
111
156
59
112
157
60
113
174
69
114
168
58
115
176
72
116
170
65
N
X
Y
117
173
69
118
168
61
119
164
57
120
164
56
121
172
63
122
173
64
123
173
78
124
165
60
125
167
59
126
173
72
127
184
68
128
163
58
129
179
69
N
X
Y
130
161
66
131
162
55
132
158
57
133
171
57
134
177
60
135
164
53
136
166
62
137
171
62
138
174
73
139
170
61
140
174
73
141
169
62
142
174
70
N
X
Y
143
169
71
144
175
67
145
167
63
146
172
64
147
168
63
148
163
65
149
168
67
150
161
56
151
173
66
152
164
62
153
167
68
154
164
63
155
173
70
N
X
Y
156
176
65
157
172
67
158
167
70
159
173
77
160
161
51
161
171
76
162
169
62
163
161
52
164
170
61
165
174
68
166
168
63
167
164
64
168
170
66
N
X
Y
169
164
60
170
162
60
171
166
62
172
172
67
173
169
64
174
169
57
175
163
65
176
178
80
177
166
55
178
168
59
179
168
64
180
180
69
181
163
60
72
Продолжение таблицы 12
N
X
Y
182
165
62
183
163
64
184
158
61
185
171
69
186
175
74
187
170
69
188
165
69
189
184
72
190
169
67
191
167
61
192
167
65
193
179
69
194
165
59
N
X
Y
195
173
69
196
161
60
197
166
67
198
164
59
199
159
55
200
175
67
201
169
68
202
172
73
203
172
64
204
167
64
205
160
59
206
156
52
207
161
61
N
X
Y
208
174
79
209
167
61
210
174
66
211
167
56
212
168
50
213
168
58
214
167
59
215
167
68
216
171
72
217
168
66
218
162
64
219
174
67
220
173
68
N
X
Y
221
173
71
222
165
68
223
167
62
224
172
66
225
176
72
226
174
74
227
171
70
228
169
62
229
161
56
230
173
69
231
170
74
232
176
70
233
171
65
N
X
Y
234
166
51
235
167
66
236
156
58
237
167
55
238
166
62
239
167
60
240
173
63
241
169
74
242
176
62
243
168
65
244
163
68
245
169
55
246
164
61
N
X
Y
247
164
60
248
170
63
249
172
72
250
166
57
251
163
65
252
164
56
253
166
62
254
175
64
255
162
60
256
164
61
257
164
65
258
164
66
259
167
64
N
X
Y
260
170
58
261
161
57
262
174
74
263
165
69
264
171
60
265
166
67
266
172
64
267
170
61
268
180
73
269
164
61
270
184
84
271
168
68
272
172
68
N
X
Y
273
165
63
274
176
70
275
171
67
276
169
70
277
171
63
278
170
60
279
164
57
280
167
65
281
164
62
282
165
60
283
162
53
284
164
61
285
178
80
N
X
Y
286
159
55
287
171
65
288
169
63
289
169
70
290
178
75
291
180
65
292
167
57
293
164
60
294
170
61
295
165
60
296
181
68
297
170
75
298
173
66
N
X
Y
299
182
75
300
166
67
301
163
58
302
165
57
303
180
75
304
162
54
305
171
73
306
171
72
307
161
59
308
167
59
309
167
61
310
169
64
311
178
72
73
Продолжение таблицы 12
N
X
Y
312
164
65
313
171
70
314
168
54
315
177
78
316
161
55
317
172
73
318
154
52
319
170
65
320
167
55
321
162
52
322
168
64
323
168
62
324
173
63
N
X
Y
325
162
65
326
165
57
327
171
64
328
161
62
329
159
54
330
163
63
331
163
61
332
170
76
333
173
65
334
173
69
335
170
66
336
168
67
337
169
64
N
X
Y
338
175
59
339
161
52
340
171
64
341
171
66
342
169
66
343
170
70
344
171
63
345
166
78
346
171
67
347
169
69
348
177
70
349
158
56
350
167
71
N
X
Y
351
166
63
352
176
65
353
163
63
354
161
51
355
168
60
356
172
78
357
156
54
358
166
61
359
165
72
360
165
56
361
166
55
362
167
63
363
167
63
N
X
Y
364
171
60
365
165
61
366
160
50
367
157
53
368
165
66
369
166
60
370
157
56
371
165
59
372
165
63
373
160
61
374
166
62
375
168
70
376
186
72
N
X
Y
377
171
65
378
170
73
379
170
65
380
167
65
381
169
61
382
168
64
383
162
56
384
178
66
385
176
78
386
161
56
387
171
70
388
159
57
389
168
70
N
X
Y
390
167
67
391
178
62
392
169
62
393
163
68
394
169
66
395
170
68
396
187
63
397
174
66
398
162
57
399
165
63
400
164
60
401
173
77
402
162
58
N
X
Y
403
179
63
404
162
65
405
166
63
406
176
70
407
175
77
408
155
51
409
161
64
410
188
75
411
165
61
412
165
67
413
164
59
414
171
64
415
169
59
N
X
Y
416
171
62
417
163
64
418
171
65
419
172
67
420
165
60
421
170
63
422
173
66
423
169
67
424
169
58
425
167
64
426
162
58
427
170
63
428
175
75
N
X
Y
429
175
69
430
170
65
431
168
55
432
185
82
433
166
58
434
161
63
435
176
67
436
179
71
437
167
63
438
163
54
439
167
57
440
179
78
441
180
76
74
Окончание таблицы 12
N
X
Y
442
166
57
443
171
59
444
163
60
445
180
84
446
179
77
447
176
77
448
164
60
449
168
63
450
174
75
451
170
65
452
162
61
453
157
60
454
157
59
N
X
Y
455
177
72
456
161
55
457
148
48
458
168
66
459
176
70
460
166
71
461
169
62
462
168
67
463
176
70
464
167
75
465
159
48
466
164
53
467
181
77
N
X
Y
468
165
61
469
171
66
470
159
61
471
174
70
472
160
57
473
169
65
474
167
63
475
170
65
476
161
58
477
174
74
478
178
71
479
168
71
480
168
67
N
X
Y
481
165
55
482
173
65
483
166
55
484
175
78
485
158
57
486
174
65
487
178
60
488
170
62
489
167
61
490
168
70
491
161
66
492
161
60
493
166
64
N
X
Y
494
169
66
495
164
68
496
181
69
497
165
68
498
171
65
499
169
61
500
168
65
Выполните задание 1-й и 2-й частей для приведённого примера и
дайте интерпретацию полученных результатов.
Задание № 2.
Получены статистические данные зависимости результатов
измерения роста студентов (Х) от окружности груди (Y).
Измерения проводились с точностью до 1 см. В результате была
выявлена следующая зависимость (таблица 13).
Таблица 13
Зависимость роста и окружности груди
N
X
Y
1
168
90
2
169
91
3
156
81
4
171
89
5
175
96
6
159
90
7
167
88
8
169
97
9
170
90
10
156
84
11
168
85
12
169
79
N
X
Y
13
164
89
14
171
86
15
174
89
16
176
94
17
170
85
18
173
95
19
171
89
20
169
83
21
155
86
22
174
90
23
176
89
24
160
88
75
Продолжение таблицы 13
N
X
Y
25
172
88
26
172
91
27
163
89
28
187
99
29
172
90
30
161
85
31
176
88
32
164
84
33
166
82
34
168
82
35
162
82
36
163
89
N
X
Y
37
172
90
38
175
88
39
156
82
40
164
92
41
167
89
42
177
93
43
183
90
44
163
91
45
172
99
46
172
85
47
172
89
48
173
96
N
X
Y
49
163
86
50
166
86
51
178
89
52
169
91
53
171
80
54
165
93
55
175
95
56
171
97
57
186
92
58
165
93
59
164
89
60
163
91
N
X
Y
61
173
89
62
173
84
63
177
92
64
173
90
65
156
88
66
172
82
67
160
87
68
176
87
69
171
83
70
169
88
71
163
88
72
163
94
N
X
Y
73
172
99
74
178
103
75
166
85
76
164
87
77
171
90
78
163
93
79
163
88
80
182
90
81
163
88
82
169
87
83
164
91
84
164
85
N
X
Y
85
170
96
86
176
82
87
163
91
88
179
99
89
176
93
90
182
95
91
169
96
92
159
91
93
169
92
94
166
87
95
165
87
96
167
89
N
X
Y
97
173
96
98
170
90
99
170
88
100
169
91
101
164
91
102
177
95
103
173
90
104
166
99
105
161
94
106
162
100
107
190
105
108
167
91
N
X
Y
109
160
87
110
165
94
111
156
89
112
157
91
113
174
91
114
168
86
115
176
92
116
170
95
117
173
93
118
168
93
119
164
92
120
164
88
N
X
Y
121
172
91
122
173
86
123
173
101
124
165
93
125
167
82
126
173
91
127
184
98
128
163
80
129
179
92
130
161
82
131
162
82
132
158
85
N
X
Y
133
171
87
134
177
87
135
164
84
136
166
84
137
171
86
138
174
93
139
170
86
140
174
97
141
169
83
142
174
90
143
169
85
144
175
85
N
X
Y
145
167
85
146
172
94
147
168
93
148
163
96
149
168
92
150
161
81
151
173
91
152
164
89
153
167
86
154
164
83
155
173
97
156
176
88
76
Продолжение таблицы 13
N
X
Y
157
172
91
158
167
90
159
173
93
160
161
78
161
171
95
162
169
88
163
161
87
164
170
89
165
174
91
166
168
83
167
164
90
168
170
88
N
X
Y
169
164
97
170
162
84
171
166
89
172
172
89
173
169
88
174
169
84
175
163
88
176
178
98
177
166
90
178
168
90
179
168
87
180
180
90
N
X
Y
181
163
86
182
165
87
183
163
93
184
158
91
185
171
94
186
175
97
187
170
93
188
165
89
189
184
93
190
169
89
191
167
84
192
167
88
N
X
Y
193
179
85
194
165
84
195
173
89
196
161
91
197
166
91
198
164
87
199
159
83
200
175
89
201
169
91
202
172
96
203
172
87
204
167
91
N
X
Y
205
160
81
206
156
85
207
161
92
208
174
92
209
167
85
210
174
86
211
167
86
212
168
85
213
168
83
214
167
84
215
167
90
216
171
100
N
X
Y
217
168
92
218
162
91
219
174
88
220
173
92
221
173
96
222
165
93
223
167
92
224
172
99
225
176
93
226
174
98
227
171
92
228
169
91
N
X
Y
229
161
82
230
173
87
231
170
98
232
176
90
233
171
87
234
166
78
235
171
88
236
167
78
237
156
85
238
167
88
239
166
89
240
167
89
N
X
Y
241
173
90
242
169
87
243
176
88
244
168
91
245
163
82
246
169
87
247
164
88
248
170
85
249
172
90
250
166
87
251
163
92
252
164
84
N
X
Y
253
166
88
254
175
90
255
162
85
256
164
84
257
164
84
258
164
90
259
167
83
260
170
81
261
161
79
262
174
91
263
165
88
264
171
82
N
X
Y
265
166
89
266
172
88
267
170
90
268
180
90
269
164
88
270
184
101
271
168
88
272
172
91
273
165
87
274
176
86
275
171
83
276
169
96
N
X
Y
277
171
89
278
170
87
279
164
85
280
167
86
281
164
87
282
165
88
283
162
80
284
164
86
285
178
92
286
159
86
287
171
90
288
169
90
77
Продолжение таблицы 13
N
X
Y
289
169
87
290
178
90
291
180
85
292
167
81
293
164
87
294
170
86
295
165
94
296
181
89
297
170
92
298
173
90
299
182
88
300
166
90
N
X
Y
301
163
87
302
165
87
303
180
90
304
162
81
305
171
94
306
171
92
307
161
84
308
167
83
309
167
85
310
169
92
311
178
92
312
164
92
N
X
Y
313
171
94
314
168
81
315
177
99
316
161
80
317
172
94
318
154
84
319
170
92
320
167
83
321
162
87
322
168
90
323
168
92
324
173
90
N
Х
Y
325
162
89
326
165
84
327
171
91
328
161
85
329
159
81
330
163
88
331
163
93
332
170
96
333
173
95
334
173
90
335
170
92
336
168
88
N
X
Y
337
169
87
338
175
88
339
161
81
340
171
91
341
171
91
342
169
91
343
170
90
344
171
88
345
166
94
346
171
90
347
169
89
348
177
94
N
X
Y
349
158
85
350
167
95
351
166
96
352
176
87
353
163
84
354
161
83
355
168
81
356
172
98
357
156
85
358
166
82
359
165
93
360
165
91
N
X
Y
361
166
84
362
167
89
363
167
85
364
171
84
365
165
94
366
160
85
367
157
82
368
165
90
369
166
88
370
157
88
371
165
87
372
165
91
N
X
Y
373
160
83
374
166
87
375
168
92
376
186
92
377
171
85
378
170
91
379
170
90
380
167
90
381
169
90
382
168
84
383
162
85
384
178
87
N
X
Y
385
176
96
386
161
87
387
171
90
388
159
80
389
168
97
390
167
91
391
178
91
392
169
90
393
163
86
394
169
90
395
170
88
396
187
86
N
X
Y
397
174
86
398
162
85
399
165
85
400
164
84
401
173
95
402
162
82
403
179
88
404
162
92
405
166
88
406
176
95
407
175
95
408
155
85
N
X
Y
409
161
83
410
168
98
411
165
86
412
165
94
413
164
94
414
171
89
415
169
82
416
171
90
417
163
88
418
171
90
419
172
94
420
165
89
78
Окончание таблицы 13
N
X
Y
421
170
93
422
173
85
423
169
92
424
169
82
425
167
85
426
162
90
427
170
84
428
175
91
429
175
90
430
170
91
431
168
90
432
185
91
N
X
Y
433
166
85
434
161
90
435
176
87
436
179
84
437
167
87
438
163
88
439
167
85
440
179
85
441
180
98
442
166
86
443
171
85
444
163
89
N
X
Y
445
180
92
446
179
92
447
176
93
448
164
83
449
168
89
450
174
96
451
170
90
452
162
86
453
157
90
454
157
82
455
177
93
456
161
84
N
X
Y
457
148
87
458
168
86
459
176
91
460
166
94
461
169
87
462
168
91
463
176
95
464
167
104
465
159
84
466
164
82
467
181
92
468
165
91
N
X
Y
469
171
92
470
159
91
471
174
88
472
160
85
473
169
89
474
167
83
475
170
91
476
161
85
477
174
87
478
178
91
479
168
90
480
168
93
N
X
Y
481
165
85
482
173
89
483
166
84
484
175
98
485
158
83
486
174
86
487
178
90
488
170
86
489
167
93
490
168
94
491
161
89
492
161
88
N
X
Y
493
166
84
494
169
85
495
164
89
496
181
90
497
165
90
498
171
90
499
169
81
500
168
80
Выполните задание 1-й и 2-й частей для приведённого
примера и дайте интерпретацию полученных результатов.
7. ВЫБОР ВАРИАНТА. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Студент должен выполнить задания № 1- № 4 контрольной
работы по варианту, номер которого равен остатку от деления
номера зачётной книжки на 20. Так, например, если номер
зачётной книжки 1477, то остаток от деления этого числа на 20
равен 17 и, значит, следует решать 17-й вариант; если номер
зачётной книжки 1846, то остаток равен 6, и следует решать 6-й
79
вариант. Если остаток равен нулю, то нужно решать 20-й
вариант. Выбирать данные для задачи № 5 нужно так, как это
указано в методических указаниях к этой задаче, т. е.
основываясь на дате своего рождения и таблице случайных
чисел.
Перед решением должно быть выписано условие.
Выполнение
каждого
пункта
должно
сопровождаться
необходимыми пояснениями.
Контрольную работу желательно набрать на компьютере.
Пример оформления титульного листа контрольной работы
приведен в Приложении 6.
При обработке данных в задаче № 5 допускается
использование либо программируемого калькулятора, либо
стандартных пакетов компьютерных программ, позволяющих
обрабатывать статистические данные.
8. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая
статистика. Высшая школа,1998.
2. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая
статистика. ИНФРА-М,1997.
3. Ивашев-Мусатов
О.С.
Теория
вероятностей
и
математическая статистика. Наука, 1979.
4. Раковщик Л.С., Худобина Э.А. Элементы дискретного
анализа. ЛИЭИ, 1988.
5. Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая
статистика в примерах и задачах с применением
Excel.Ростов-на-Дону : Феникс, 2002.
80
Приложение 1
Таблица случайных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1534
6128
6047
0806
9915
2882
9213
8410
9974
3402
8188
3825
0801
5603
0714
4617
6789
6705
3840
7662
7639
3237
3917
9138
8358
1030
6606
4533
4258
5224
6872
8638
9958
0265
8987
5552
9383
9903
6530
8679
5765
7198
2385
0732
1642
4514
8744
3156
7887
2550
5080
3371
5323
8832
1796
2105
7649
6316
5991
4554
9885
9860
2354
5238
6380
3645
4899
8001
0807
1175
6958
6005
6163
5277
1189
1740
4765
8098
9573
7016
8255
1112
3410
2966
7596
5113
3328
0047
3077
0220
9274
8039
4307
5872
2836
4102
8644
5705
4525
4341
4388
3899
2103
8226
1492
1124
6338
6352
0378
7627
7306
8621
0774
2965
4391
4246
1721
6005
6286
1745
1564
4922
0992
8949
7962
7198
5822
2996
7878
9627
7394
0332
7589
8310
1639
6716
2678
8660
3795
7212
8038
7873
2551
9343
7355
5695
3463
9760
3683
4326
0782
2139
7483
5899
6467
8266
0372
1856
1790
9241
3273
2950
7329
5469
6423
9242
2975
6668
9365
0106
7928
1867
0956
4224
0699
9404
9362
9592
9109
6928
2060
3512
0291
1399
5836
2600
0687
9087
5574
0330
9297
1448
5752
1178
6691
1253
3825
3364
8823
9155
3309
0231
8864
8151
7028
4433
9297
0551
7122
7936
1914
7977
5040
2018
7822
1361
1542
7267
7437
0950
7601
3584
0487
6298
9903
0182
6014
6277
9843
5585
2371
9065
4532
7632
7222
3912
9255
0864
6249
2918
8374
0120
5654
2473
8070
9938
5564
2435
8034
9842
5336
1993
7285
8682
3652
9660
4168
4635
8519
3275
6353
5204
7273
0005
0841
7219
6576
6345
3956
6837
2417
8114
1351
9545
0110
0460
8004
0150
4301
7859
8224
2792
7590
6427
3500
7514
7172
1173
8214
6988
6187
4500
0613
3209
0968
2569
6687
1994
7161
0854
1739
8477
9727
4146
0387
7103
2941
6547
6564
1633
0392
1476
3516
5144
4985
1665
3805
0024
8939
9163
9307
7979
3786
5330
1212
0029
0376
0846
0028
5574
7067
8754
9205
6988
0670
8813
9978
2721
5598
7161
5959
0539
9446
1221
4402
7526
9127
7734
1877
0080
0866
2756
4267
3913
0207
1659
6764
4057
2009
9129
3914
4856
0446
9172
9520
9972
9008
5107
6741
2384
0504
9569
8042
4384
7055
4511
1202
9325
2913
0402
0227
0820
0611
8026
1489
9421
0241
2364
4205
4174
0678
2124
6913
3445
0119
5327
7467
4916
6073
9316
3028
5587
5369
0747
0092
1742
4153
5596
4461
9107
7887
9154
1257
2542
1354
6033
4919
6346
8650
0159
9203
4106
3191
7712
2454
1258
2427
4264
5067
3131
6751
4216
3816
3834
2555
8257
9219
3714
0016
6393
1111
2436
8629
7947
8648
8984
7206
1563
0300
1659
3881
5203
3860
8084
6104
6147
6437
5197
0643
0994
4461
9257
3588
5611
3679
5841
0345
5387
9157
9846
81
3729
8858
3522
0522
6043
0221
5397
8410
6197
6790
2783
6051
2157
1290
3470
8958
4112
5643
6509
8873
5702
5204
7585
0103
4779
7185
8726
5641
4726
5282
Продолжение приложения 1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
5489
3522
7555
5759
6303
7351
7068
3613
5143
9815
5780
1187
4184
2916
5524
0146
4920
7978
7453
1473
8162
5645
2042
5470
4045
5880
9083
1762
2023
7965
7690
9292
0867
0505
6295
6323
8672
1422
2653
0438
2851
7962
3837
8542
0139
6687
6242
6859
5583
0935
7579
3584
6895
5634
7803
1428
4534
5144
1277
0951
2179
2972
1341
5291
2826
1947
0653
6938
8797
4219
1192
7702
1730
1257
4260
8713
2589
3855
0436
0480
1656
2127
9795
2615
8536
5507
1472
4376
2157
2753
4098
4126
0765
1943
5582
9606
7106
8993
8566
5201
8274
7158
1223
9836
2362
8162
6596
7020
8788
1251
3757
5652
6279
4978
1086
3939
2868
7203
6271
9395
5896
5094
6305
8841
2012
5128
7492
8407
7172
3086
5441
3529
6640
4059
5070
8953
4987
2447
0605
8732
6094
1956
5580
6225
0835
5665
2487
9074
3196
2623
5119
8447
0368
8638
1013
5245
9083
0285
6565
5694
5402
3425
7497
5348
4707
3301
8851
9080
1704
4439
4998
1090
0424
0703
9629
4903
4220
5276
5761
3365
5773
0670
5735
8649
7085
8718
1217
2251
9484
0579
3197
4993
1988
7020
9477
7001
7231
7803
6350
0503
7890
6137
2867
5700
2254
0144
6981
0377
7937
7267
5969
1641
1880
4279
6432
5925
0345
7276
4298
8989
8924
1678
4819
5916
2533
2233
2575
1117
5412
3013
1469
8327
1129
7418
4732
0607
2577
8171
4919
0345
7545
2358
6751
9562
9630
5786
6861
1683
9079
7871
6878
4919
0807
3556
1374
3668
9043
6298
4239
1645
7325
0065
8653
1873
8509
7340
7142
6692
4760
0116
1526
7753
7559
9702
2939
6021
7699
6721
1832
1773
5286
1106
7968
4603
9740
2106
0424
3414
0938
7379
2349
3224
7380
2191
5026
3254
4240
5345
3930
7352
2965
8122
0171
6460
4332
1130
4191
0852
8446
4305
5757
0127
4738
6912
3965
3213
1969
7543
7241
8368
8227
4118
3336
3176
0930
3886
9331
4549
6821
3125
1637
8730
1976
8641
5991
1289
7460
7124
1012
6368
0438
0464
3684
7336
8652
4865
3203
0891
5154
3213
2284
9585
2327
7722
2976
5296
1883
9937
6656
9233
4862
0731
4028
1935
1636
0308
5128
3270
1004
8199
9322
2434
4697
3268
5303
7955
8373
3706
1097
7690
0623
7034
4058
8825
0869
7878
8250
9102
7547
0696
5657
9536
9435
2456
5696
6249
1209
7666
2707
3415
6875
0164
0361
4538
9768
3120
1660
2452
2556
9033
8936
9321
7237
9732
3853
6641
5138
6380
7403
5240
6919
9469
9914
5275
2572
8822
1040
6235
1418
3595
9769
6941
4420
5544
2633
2672
2644
9529
0304
1944
1422
5708
1769
6568
7069
0230
3008
2358
5230
8573
9334
4456
0881
5547
5389
7341
8333
5294
5148
4820
1227
1289
1921
0033
2537
6340
8345
5455
4569
2584
6394
2890
8962
1494
7372
3477
6685
3875
1918
7685
82
6590
3482
1932
0478
3147
5601
3623
6738
1973
7323
9796
8283
1795
4767
8465
0106
2110
2372
8045
9862
Приложение 2
t2
1 z 2
Нормированная функция Лапласа Ф( z ) 
 e dt
2 0
z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
00000
00399
00789
01197
01595
01994
02392
02790
03188
03586
0,1
03983
04380
04776
05172
05567
05962
06356
06749
07142
07535
0,2
07926
08317
08706
09095
09483
09871
10257
10642
11026
11409
0,3
11791
12172
12552
12930
13307
13683
14058
14431
14803
15173
0,4
15542
15910
16276
16640
17003
17364
17724
18082
18439
18793
0,5
19146
19497
19847
20194
20540
20884
21226
21566
21904
22240
0,6
22575
22907
23237
23565
23891
24215
24537
24857
25175
25490
0,7
25804
26115
26424
26730
27035
27337
27637
27935
28230
28524
0,8
28814
29103
29389
29673
29955
30234
30511
30785
31057
31327
0,9
31594
31859
32121
32381
32639
32894
33147
33398
33646
33891
1,0
34134
34375
34614
34850
35083
35314
35543
35769
35993
36214
1,1
36433
36650
36864
37076
37286
37493
37698
38000
38100
38298
1,2
38493
38686
38877
39065
39251
39435
39617
39796
39973
40147
1,3
40320
40490
40658
40824
40988
41149
41308
41466
41621
41774
1,4
41924
42073
42220
42364
42507
42647
42786
42922
43056
43189
1,5
43319
43448
43574
43699
43822
43943
44062
44179
44295
44408
1,6
44520
44630
44738
44845
44950
45053
45154
45254
45352
45449
1,7
45543
45637
45728
45818
45907
45994
46080
46164
46246
46327
1,8
46407
46485
46562
46638
46712
46784
46856
46926
46995
47062
1,9
47128
47193
47257
47320
47381
47441
47500
47558
47615
47670
2,0
47725
47778
47831
47882
47932
47982
48030
48077
48124
48169
2,1
48214
48257
48300
48341
48382
48422
48461
48500
48537
48574
2,2
48610
48645
48679
48713
48745
48778
48806
48840
48870
48899
2,3
48928
48956
48983
49010
49036
49061
49086
49111
49134
49158
2,4
49180
49202
49224
49245
49266
49286
49305
49324
49343
49361
2,5
49379
49396
49413
49430
49446
49461
49477
49492
49506
49520
83
2,6 49534
49547
49560
49573
49585
49598
49609
49621
49632
49643
Продолжение приложения 2
z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2,7 49653
49664
49674
49683
49693
49702
49711
49720
49728
49736
2,8 49744
49752
49760
49767
49774
49781
49788
49795
49801
49807
2,9 49813
49819
49825
49831
49836
49841
49846
49851
49856
49861
3,0 49865
49869
49874
49878
49882
49886
49889
49893
49896
49900
3,1 49903
49906
49910
49913
49916
49918
49921
49924
49926
49929
3,2 49931
49934
49936
49938
49940
49942
49944
49946
49948
49950
3,3 49952
49953
49955
49957
49958
49960
49961
49962
49964
49965
3,4 49966
49968
49969
49970
49971
49972
49973
49974
49975
49976
3,5 49977
49978
49978
49979
49980
49981
49981
49982
49983
49983
3,6 49984
49985
49985
49986
49986
49987
49987
49988
49988
49989
3,7 49989
49990
49990
49990
49991
49991
49992
49992
49992
49992
3,8 49993
49993
49993
49994
49994
49994
49994
49995
49995
49995
3,9 49995
49995
49996
49996
49996
49996
49996
49996
49997
49997
4,0 49997
5,0 49999
84
Приложение 3
Значения чисел q в зависимости от объёма выборки n и
надёжности  для определения доверительного интервала
среднего квадратического отклонения  х


n
0.95
0.99
0.999
n
0.95
0.99
0.999
7
0.92
-
-
25
0.32
0.49
0.73
8
0.80
-
-
30
0.28
0.43
0.63
9
0.71
-
-
35
0.26
0.38
0.56
10
0.65
-
-
40
0.24
0.35
0.50
11
0.59
0.98
-
45
0.22
0.32
0.46
12
0.55
0.90
-
50
0.21
0.30
0.43
13
0.52
0.83
-
60
0.188
0.269
0.38
14
0.48
0.78
-
70
0.174
0.245
0.34
15
0.46
0.73
-
80
0.161
0.226
0.31
16
0.44
0.70
-
90
0.151
0.211
0.29
17
0.42
0.66
-
100
0.143
0.198
0.27
18
0.40
0.63
0.96
150
0.115
0.160
0.211
19
0.39
0.60
0.92
200
0.099
0.136
0.185
20
0.37
0.58
0.88
250
0.089
0.120
0.162
85
Число
Степеней
Приложение 4
Критические точки распределения  2
Уровень значимости 
0,01
0,05
0,1
0,90
0,95
0,99
1
6,6
3,8
2,71
0,02
0,004
0,0002
2
9,2
6,0
4,61
0,21
0,1
0,02
3
11,3
7,8
6,25
0,58
0,35
0,12
4
13,3
9,5
7,78
1,06
0,71
0,30
5
15,1
11,1
9,24
1,61
1,15
0,55
6
16,8
12,6
10,6
2,20
1,64
0,87
7
18,5
14,1
12,0
2,83
2,17
1,24
8
20,1
15,5
13,4
3,49
2,73
1,65
9
21,7
16,9
14,7
4,17
3,33
2,09
10
23,2
18,3
16,0
4,87
3,94
2,56
11
24,7
19,7
17,3
5,58
4,57
3,05
12
26,2
21,0
18,5
6,30
5,23
3,57
13
27,7
22,4
19,8
7,04
5,89
4,11
14
29,1
23,7
21,1
7,79
6,57
4,66
15
30,6
25,0
22,3
8,55
7,26
5,23
16
32,0
26,3
23,5
9,31
7,96
5,81
17
33,4
27,6
24,8
10,1
8,67
6,41
18
34,8
28,9
26,0
10,9
9,39
7,01
19
36,2
30,1
27,2
11,7
10,1
7,63
20
37,6
31,4
28,4
12,4
10,9
8,26
21
38,9
32,7
29,6
13,2
11,6
8,90
22
40,3
33,9
30,8
14,0
12,3
9,54
23
41,6
35,2
32,0
14,8
13,1
10,2
24
43,0
36,4
33,2
15,7
13,8
10,9
25
44,3
37,7
34,4
16,5
14,6
11,5
26
45,6
38,9
35,6
17,3
15,4
12,2
27
47,0
40,1
36,7
18,1
16,2
12,9
28
48,3
41,3
37,9
18,9
16,9
13,6
29
49,6
42,6
39,1
19,8
17,7
14,3
30
50,9
43,8
40,3
20,6
18,5
15,0
Свободы
86
Приложение 5
Содержание дисциплины
(Извлечение из рабочей программы дисциплины)
РАЗДЕЛ 3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА
Тема 3.1.Случайные события, вероятность и основные
теоремы
Сущность и условия применимости теории вероятностей:
выработка строгих аналитических средств для описания
массовых случайных явлений и процессов в природе и обществе;
определения и формулы для основных видов соединений
комбинаторики. Основные понятия теории вероятностей:
события, их классификация, свойства случайных событий,
действия над событиями; геометрическая трактовка событий и
действий над ними. Вероятностное пространство: пространство
элементарных событий, благоприятные исходы, наблюдаемость
событий, пример; аксиоматическое определение вероятности и
следствия из этих аксиом; классическое, геометрическое и
статистическое определения вероятности события; теорема
сложения вероятностей для совместных и несовместных
событий; условная вероятность, формула и ее геометрическая
трактовка; теорема умножения вероятностей для зависимых и
независимых событий; формула полной вероятности, ее
геометрическая трактовка; формулы Байеса, их вероятностный
смысл; схема повторных независимых испытаний как
последовательность успехов и неудач: формулы Бернулли,
локальная теорема Лапласа; свойства дифференциальной
функции; интегральная теорема Лапласа, свойства интегральной
функции; формулы Пуассона.
Тема 3.2. Случайная величина, классификация и основные
теоремы
Случайные величины и способы их описания: дискретные и
непрерывные случайные величины; функция распределения
вероятностей и ее свойства; способы задания дискретной
87
случайной величины, ее функция распределения, формула и
график; непрерывная случайная величина, ее плотность
распределения, свойства; основные числовые характеристики
случайной величины: математическое ожидание, вероятностный
смысл и геометрическая трактовка; основные свойства;
определение
дисперсии,
ее
вероятностный
смысл,
вычислительные формулы, свойства дисперсии; определение
средне-квадратического отклонения и его трактовка; моменты;
коэффициент
линейной
корреляции;
независимость
и
некоррелируемость.
Модели
законов
распределения
вероятностей,
наиболее
употребляемые
в
социальноэкономических приложениях: биномиальный закон, закон
Пуассона, равномерный закон, показательный закон, нормальный
закон. Вероятностный смысл параметров этих распределений.
Закон распределения вероятностей для функций от известных
случайных величин.
Тема 3.3.Основные предельные теоремы
Неравенство Чебышева: сходимость по вероятности и
сходимость по распределению последовательности случайных
величин к случайной величине; центрирование и нормирование
случайной величины; неравенство Чебышева и его частный
случай; следствие неравенства Чебышева- правило 3-х сигм;
теорема Чебышева и ее вероятностный смысл. Закон больших
чисел и его следствия, их трактовка в теории измерений.
Центральная предельная теорема Ляпунова особая роль
нормального распределения при описании совокупности
разнохарактерных случайных величин.
Тема 3.4. Системы случайных величин
Задание системы двух случайных величин; закон (таблица)
распределения двух дискретных случайных величин и
построение таблиц распределения ее отдельных компонент;
построение уравнения линейной регрессии. Цепи Маркова и их
использование в моделировании социально-экономических
88
процессов: терема о финальных вероятностях вектора состояний
системы и ее применения в экономической практике. Элементы
теории массового обслуживания, приложения.
Тема 3.5. Статистическое оценивание и проверка гипотез
Статистические оценки (аналоги) числовых характеристик
случайных величин; требование к качеству оценок; эмпирическая
функция
распределения
и
плотность
распределения
(гистограмма); вариационная последовательность, варианты,
частоты, относительные частоты. Статистические методы
обработки
экспериментальных
данных:
вычисление
статистических оценок числовых характеристик в терминах
условных эмпирических начальных моментов. Эмпирическая
асимметрия и эксцесс, мода, медиана, вариация. Доверительная
вероятность, доверительный интервал. Статистическая проверка
гипотез о распределении признака с помощью критериев
согласия.
89
Приложение 6
Образец оформления титульного листа
контрольной работы
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный
инженерно-экономический университет»
Кафедра высшей математики
Контрольная работа № 3 по дисциплине
МАТЕМАТИКА
Выполнил: __________ (Фамилия И.О.)________________
студент ____ курса (срок обучения) спец. _____________
группа ______ № зачет. книжки ________________________
Подпись: ___________________________________________
Преподаватель: __________ (Фамилия И,О.) _____________
Должность: ___________(уч. степень, уч. звание) __________
Оценка: ______________
Дата: ________________________
Подпись: _____________________________________________
Санкт-Петербург
200_
90
Приложение 7
Перечень контрольных вопросов для проверки
знаний по дисциплине
1. Что такое случайное событие?
2. Какие действия возможны над событиями?
3. Как выглядят формулы классической, геометрической,
статистической вероятностей?
4. Каковы общие свойства (аксиомы) вероятностей?
5. Как находят вероятность суммы событий?
6. Что такое условная вероятность? Как вычислить
вероятность произведения событий?
7. Формула полной вероятности и условия ее применения.
8. Формула Байеса и условия ее применения.
9. Схема испытаний Бернулли и формулы вычисления
вероятностей для различных случаев.
10. Как задается дискретная случайная величина?
11. Что такое функция распределения? Как выглядит ее
график для дискретной случайной величины?
12. Что такое непрерывная случайная величина? Что
можно сказать о ее функции распределения?
13. Как вычислить вероятность попадания случайной
величины в промежуток?
14. Что характеризует математическое ожидание? Как его
вычисляют?
15. Для чего и как вычисляют дисперсию?
16. Нормальный (гауссовский) закон распределения.
17. Что такое эмпирическая функция распределения?
Каковы особенности ее графика?
18. Какие существуют свойства статистических оценок?
19. Как выдвигаются гипотезы?
20. Для чего нужны кривые регрессии?
21. Что описывает коэффициент корреляции?
91