407-Scenarij

СЦЕНАРИИ
ПРОВЕДЕНИЯ
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Работы №№ 1.1 – 4.4
Лабораторный практикум
«Оптика»
Москва 2008
СОДЕРЖАНИЕ
ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН .................................................................. 3
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА РАБОТЫ
В ЛАБОРАТОРИИ КАФЕДРЫ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ .................................................... 8
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ..................................................................... 11
1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА. ПОЛЯРИЗАЦИЯ .................................................. 15
§ 1. Волновое уравнение .............................................................................. 15
§ 2. Плоская монохроматическая волна ...................................................... 16
§ 3. Сферическая монохроматическая волна .............................................. 18
§ 4. Цилиндрическая монохроматическая волна ........................................ 19
§ 5. Преломление и отражение электромагнитных волн
на границе двух диэлектриков .............................................................. 21
§ 6. Перенос энергии в электромагнитной волне ....................................... 22
§ 7. Геометрическая оптика ......................................................................... 24
§ 8. Поляризация плоской монохроматической волны .............................. 31
Работа 1.1.
Исследование электромагнитных волн ................................. 41
Работа 1.2.
Распространение электромагнитного импульса в кабеле .... 46
Работа 1.3.
Изучение зрительной трубы ................................................... 51
Работа 1.4.
Моделирование телеобъектива .............................................. 57
Работа 1.5.
Исследование дисперсии стеклянной призмы ...................... 62
Работа 1.6.
Изучение поляризованного света .......................................... 70
Работа 1.7.
Изучение естественного вращения плоскости
поляризации ............................................................................ 77
Работа 1.8а. Изучение магнитного вращения плоскости поляризации ... 84
Работа 1.8б. Изучение магнитного вращения плоскости поляризации ... 90
Работа 1.9.
Изучение явления фотоупругости ......................................... 93
2. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА.................................................................................... 99
§ 1. Интерференция световых волн ............................................................. 99
§ 2. Интерференция плоских монохроматических волн .......................... 101
§ 3. Схема опыта Юнга ............................................................................... 105
§ 4. Интерференция в случае квазимонохроматических волн.
Временная когерентность ................................................................... 107
§ 5. Пространственная когерентность ....................................................... 110
§ 6. Интерференционные опыты по методу деления амплитуды ........... 112
Работа 2.1.
Изучение интерференции
с помощью бипризмы Френеля............................................ 116
Работа 2.2.
Изучение интерференции методом колец Ньютона........... 123
Работа 2.3.
Изучение интерференции в схеме Юнга ............................. 133
Работа 2.4.
Интерферометр Майкельсона .............................................. 146
Работа 2.5.
Изучение интерферометра Маха ......................................... 157
3. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА ........................................................................................... 163
§ 1. Дифракция световых волн................................................................... 163
2
§ 2. Принцип Гюйгенса — Френеля ...........................................................165
§ 3. Зоны Френеля........................................................................................167
§ 4. Дифракция на простейших экранах ....................................................170
§ 5. Дифракция Френеля на круглом отверстии .......................................176
§ 6. Дифракция Френеля на крае полуплоскости и щели .........................176
§ 7. Дифракция Фраунгофера на щели и прямоугольном отверстии ......182
§ 8. Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии ...............................184
§ 9. Дифракция на периодических структурах..........................................185
§ 10. Дифракционная решетка ......................................................................188
Работа 3.1.
Изучение интерференции и дифракции
с помощью лазера ..................................................................193
Работа 3.2.
Исследование дифракции света на ультразвуке..................201
Работа 3.3.
Изучение отражательной дифракционной решетки ...........209
Работа 3.4.
Изучение фазовой дифракционной решетки .......................218
Работа 3.5.
Интерференция и дифракция в опыте Юнга .......................225
4. МОДУЛЬНЫЙ ПРАКТИКУМ ..............................................................................232
Работа 4.1.
Геометрическая оптика и фотометрия .................................236
Работа 4.2.
Интерференция ......................................................................245
Работа 4.3.
Закономерности дифракции..................................................256
Работа 4.4.
Дифракция Фраунгофера ......................................................268
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ........................................................................278
ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Следует помнить, что всякое измерение дает результат, лишь
приближенный к истинному значению определяемой величины.
Причина этого обусловлена неточностью измерительных приборов,
несовершенством измерительной процедуры и флуктуациями самой измеряемой величины. За истинное значение принимается
среднестатистическое значение измеряемой величины, которое в
идеале может быть получено в результате усреднения бесконечного числа измерений этой величины, при использовании абсолютно
точных приборов.
В реальных экспериментах для определения физической величины обычно проводят серию измерений, т.е. выполняется n измерений этой величины (n  3). В результате этого получается n значений: x1 , x 2 , …, x n . По этим данным находится среднее значение x и погрешность среднего х. Окончательный результат записывается так:
3
Название физической величины A   x  x  размерность;
E A  x ,
где E A — относительная погрешность среднего значения величины А, которая определяется по формуле:
x
100 % .
x
Среднее значение определяется по формуле:
x  x2  ...  xn
.
 x  1
n
Основной мерой случайных погрешностей служит среднеквадратичная погрешность среднего  n . Рассчитывается она по формуле
x 
n
 ( x i   x ) 2
 n  i 1
n(n  1)
.
Обычно в качестве погрешности x указывается стандартная погрешность, т.е. значение  n , для которой доверительная вероятность того, что истинное значение x лежит в пределах от <х> –  n
до <х> +  n , равна примерно  = 0,7. Это означает, что если проделать, например, 1000 однотипных измерений, то приблизительно
для 700 серий истинное значение x окажется в пределах указанного
доверительного интервала, а для остальных случаев — вне его.
Для увеличения достоверности результата при записи доверительного интервала используют коэффициенты Стьюдента t αn . В
этом случае результат записывается в виде:
A  x  t αn σ n .
В таблице для иллюстрации приведены некоторые значения доверительных интервалов и отвечающих им доверительных вероятностей:
4
Погрешность, x
0
0,5n
n
1,5n
2n
3n
Доверительная
0
0,4
0,7
0,9
0,95
0,997
вероятность, 
В конкретных расчетах коэффициенты Стьюдента выбираются
из таблицы коэффициентов в соответствии с  и n.
Приборная погрешность определяется как максимальная из
двух: погрешности показаний показ и погрешности отсчета отсч:
пр =max(показ, отсч).
Погрешность показаний определяется по предельной приборной
погрешности хm по формуле:
показ = xm/3.
Предельная приборная погрешность хm приводится в паспортных данных и связана с классом точности прибора :
x m   γ x m 100 ,
где x m — предел измерений прибора.
Погрешность отсчета определяется ценой деления шкалы lцд и
вычисляется по формуле:
1 l цд
.
 отсч 
3 2
У цифровых приборов погрешность отсчета отсутствует.
В окончательной записи результата в качестве погрешности x
берется максимальная из двух величин — случайная погрешность
t αn n (можно ограничиться стандартной погрешностью) или приборная погрешность пр:
x  max(t αn σ n , σ пр ) .
Заканчивая рассмотрение общих положений, отметим, что погрешность сама определена неточно (с некоторой погрешностью).
Поэтому погрешность записывают обычно с точностью до одной
значащей цифры, если первая значащая цифра не единица.
Пример неправильной записи:  0,084, 0,30. Здесь в обоих случаях записано по две значащие цифры: 84 и 30.
5
Пример правильной записи: 0,08; 0,3.
В случае если первая значащая цифра 1, то указывается две значащих цифры. Пример: 0,14 (а не 0,1).
Результат измерений округляется так, чтобы последняя цифра
результата соответствовала последней цифре погрешности.
Пример неправильной записи:
Длина стержня l = (10,83 0,4) мм.
Пример правильной записи:
Длина стержня l = (10,80,4) мм.
Заметим, что в промежуточных расчетах полезно сохранять
один лишний знак, который при окончательной записи устраняется.
Был рассмотрен расчет погрешности для результата прямых измерений, т.е. измерений, выполняемых непосредственно с помощью приборов. При так называемых косвенных измерениях искомая величина не измеряется, а вычисляется по результатам измерений других величин, связанных с искомой определенной математической зависимостью.
Пусть необходимо найти величину z, которая является функцией величин а, b, с и т.д., каждая из которых определена с соответствующей стандартной погрешностью:  a ,  b ,  c , …:
z = z (a, b, c, …).
Сначала вычислим значение:
z = z (<a>, <b>, <c >, …).
В качестве погрешности z возьмем стандартную погрешность
 z . Напомним, что доверительная вероятность того, что истинное
значение лежит в пределах доверительного интервала (  z   z ) –
– (  z    z ) равна  = 0,7. Стандартная погрешность  z определяется по формуле:
2
2
2
 z

 z

 z 
σ z   σ a    σ b    σ c   ... ,
 a 
 b 
 c 
6
z z z
,
,
— частные производные функции z по соответa b c
z
ствующим переменным а, b, с. При вычислении
производная z
a
по параметру a находится обычным способом, при условии, что все
параметры, кроме а, считаются постоянными. Аналогично и для
других переменных.
Часто в практических расчетах формула для стандартной погрешности  z допускает упрощение в двух предельных случаях.
Причиной служит то, что при определенных условиях можно сократить число слагаемых, входящих в сумму под знаком радикала.
Пусть, например, искомая величина z является функцией двух величин а и b: z = z(а, b). Допустим, что вычисления частных погрешностей дали следующий результат:
(z / a) a  1,0 и (z / b) b  0,3 .
где
По приведенной формуле имеем
 z  (1,0) 2  (0,3) 2  1,0  0,09  1,04 .
Поскольку в оценке  z нет смысла оставлять три значащие
цифры, окончательный результат для  z  1,0. Таким образом, в
рассматриваемом примере погрешность величины b не дает практически никакого вклада в погрешность z. Вообще, при вычислении  z можно отбрасывать частные погрешности величин, значения которых не превышают 1/3 от максимальной.
Другой предельный случай возникает тогда, когда частные погрешности всех величин а, b, с, ... сравнимы по величине:
(z / a) a  (z / b) b  … .
В этом случае оценку стандартной погрешности  z можно производить по упрощенной формуле:
 z  n (z / a ) a ,
где n — число слагаемых в сумме под знаком радикала.
7
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА РАБОТЫ
В ЛАБОРАТОРИИ КАФЕДРЫ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
I. На каждое лабораторное занятие студент должен приносить с
собой:
1) лабораторный журнал (толстая тетрадь большого формата);
2) физический практикум, в котором приведено описание выполняемой лабораторной работы;
3) счетный прибор (калькулятор), на котором можно вычислять
логарифмы и тригонометрические функции;
4) несколько листов миллиметровой бумаги, размер которых
должен быть не меньше 18х14 см (желательный размер — 19х28 см);
5) ручку (с синими, фиолетовыми или черными чернилами);
6) карандаш (ТМ и М) и резинку;
7) линейку.
II. Студент обязан являться в лабораторию подготовленным.
Подготовка к лабораторной работе производится в часы самостоятельных занятий и включает в себя следующее.
1. Тщательное изучение описания лабораторной работы по физическому практикуму и расширенное знакомство по учебнику с
теоретическим материалом, необходимым для сознательного выполнения работы. В результате студент должен понимать физическую сущность явлений, которые будут изучаться в предстоящем
эксперименте; ясно представлять, что и каким методом будет измеряться, как устроена и работает экспериментальная установка.
Необходимо иметь представление о порядках тех величин, которые
будут измеряться в процессе работы.
Подготовленность к работе можно считать удовлетворительной,
если студент может самостоятельно ответить на контрольные вопросы, которыми заканчивается описание каждой работы.
2. Оформление лабораторного журнала:
а) на новой правой странице журнала должны быть написаны
номер и название лабораторной работы;
б) на следующей правой странице необходимо выписать основные формулы теории, выделив те, по которым производится вычисление определяемых в лабораторной работе величин; подготовить формулы для вычисления погрешностей (см.: Светозаров В.В.
Основы обработки результатов измерений. М.: МИФИ, 1980).
Все записи в журнале аккуратно выполняются ручкой на правой
странице журнала (левая предназначается для выполнения расче8
тов). Следует писать достаточно свободно, оставляя место для возможных исправлений;
в) изобразить с помощью карандаша и линейки схему экспериментальной установки (основные блоки и узлы без лишних подробностей);
г) подготовить таблицы для записи экспериментальных данных.
Таблицы нужно чертить с помощью карандаша и линейки. Желательный размер клетки: 1,5х2,5 см.
Если в лабораторном практикуме изображен рекомендуемый
вид таблицы, то она чертится для полного числа измерений (в
практикуме обычно показана часть таблицы). Если в задании требуется выполнить измерения, но нет указаний на таблицу, то студент рисует таблицу самостоятельно. При этом следует обратить
внимание на количество измерений и число измеряемых величин.
Каждую таблицу желательно чертить на новой странице, оставляя
место над таблицей (около 5 см) и под таблицей (около 10 см). Над
таблицей — место для записи названий приборов и их характеристик: классов точности, полного числа делений шкалы и предела
измерений шкалы, на которых производятся измерения. Место под
таблицей необходимо на случай, если потребуется выполнить дополнительные измерения. Если необходимо составить несколько
таблиц или построить несколько графиков (рисунков), то их необходимо пронумеровать.
III. Порядок выполнения лабораторной работы.
1. Выполнение работы начинается с детального изучения установки. Необходимо записать заводские номера и технические характеристики всех приборов (класс точности, пределы измерений и
т.д.), определить цену деления прибора. При этом не разрешается
крутить ручки приборов, так как можно сбить настройку. Включать
установку и приступать к измерениям можно только с разрешения
преподавателя. Студент не допускается к выполнению работы, если:
а) не оформлена предыдущая работа;
б) имеется более одной несданной работы;
в) отсутствуют необходимые записи в лабораторном журнале;
г) студент не может удовлетворительно ответить на контрольные вопросы преподавателя.
2. Получив разрешение преподавателя, студент приступает к
выполнению работы, соблюдая правила техники безопасности.
3. Все записи необходимо делать только в лабораторном журнале и только ручкой. Использование дополнительных листков и ка9
рандаша для записи результатов измерений категорически запрещается.
4. Прежде чем приступить к серии измерений, обычно проводят
прикидочные измерения. При этом проверяется соответствие хода
экспериментальной зависимости теоретической (качественно),
определяются пределы измерений, выполняется оценочный расчет
искомых величин (на левой странице журнала). Если оценки совпадают с ожидаемыми, то выполняется основной эксперимент. Если нет совпадения, то следует проверить схему экспериментальной
установки.
5. Данные основной серии записываются в таблицы. Запрещаются всякие черновые записи исходных данных. Запись отчетов
производится в делениях шкалы измерительного прибора (без каких-либо пересчетов).
6. Если был записан ошибочный результат, то его следует аккуратно зачеркнуть.
7. Выполнив измерения, студент проводит расчет искомых величин и их погрешностей, строит указанные в заданиях графики.
8. Работа завершается написанием заключения, в котором указывается:
а) цель работы;
б) что и каким методом определялось;
в) окончательный результат измерений с указанием абсолютной
и относительной погрешностей (для доверительной вероятности
0,7). Пример записи: сопротивление проводника R = (50,20,4) Ом,
Е = 0,8 % (где 50,2 Ом — среднее значение сопротивления;
0,4 Ом — абсолютная погрешность, которая указывается с одной
значащей цифрой, а для случая, когда первая значащая цифра 1 —
с двумя; 0,8 % — относительная погрешность);
г) краткое обсуждение полученных результатов (в том числе
всех графиков) и анализ погрешностей. Полученные значения следует сравнить с известными табличными значениями измеряемых
величин. После заключения следует оставить около страницы свободного места на случай его возможной переделки.
9. Если студент не успевает получить зачет по работе в день ее
выполнения, то необходимо получить подпись преподавателя в
журнале, подтверждающую выполнение работы. В этом случае
оформление работы необходимо закончить во внеаудиторное время. Какие бы результаты не были получены, студент обязан написать заключение по работе к следующему занятию.
10
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
1. Качество оптических изображений, интерференционных и
дифракционных картин, наблюдение которых лежит в основе практически всех работ практикума, существенным образом зависит от
чистоты поверхности используемых оптических элементов — линз,
призм, дифракционных решеток, оптических щелей, диафрагм,
светофильтров. Поэтому следует уделять особое внимание мерам
предосторожности при обращении с перечисленными элементами:
не касаться их рабочих поверхностей пальцами, не класть стеклянные элементы на твердые поверхности столов, приборов. В случае
обнаружения сильных загрязнений не пытаться удалить их самостоятельно, а обращаться к дежурному сотруднику.
2. Настройка большинства работ требует определенных навыков. Особенно это относится к работам, в которых для получения
исследуемого оптического изображения между источником света и
экраном на оптическую скамью устанавливается большое число
промежуточных элементов — линз, зеркал, призм, диафрагм и т.д.
Убедившись в том, что установка нуждается в перенастройке, выполняйте ее в следующей последовательности:
снимите с оптической скамьи все элементы, кроме источника
света и экрана, на котором нужно получить изображение или интерференционную (дифракционную) картину (в некоторых работах, где используется окуляр-микрометр, таким «экраном» является
его входное отверстие);
расположате источник света и экран на оптической скамье так,
чтобы воображаемая линия, соединяющая их центры, была параллельной оптической скамье и проходила над ее продольной осью.
Эта воображаемая прямая будет оптической осью собираемой схемы;
установите на оптическую скамью поочередно оптические элементы, контролируя совпадение их оптических центров с оптической осью схемы.
При недостаточно тщательном размещении элементов на оптической оси линия, соединяющая центры элементов, будет иметь
вид не прямой, а ломаной, что неизбежно приведет к потере качества изображений и неудобствам в работе.
11
3. На многих установках для получения
количественных результатов используется
окуляр-микрометр (рис.1). Он представляет собой лупу Л, с помощью которой глаз
рассматривает изображение, спроецированное на предметную плоскость ПП —
прозрачную пластину с нанесенным на
нее визирным крестом (или штрихом),
приводимую в движение микрометрическим винтом МВ. При настройке окуляраРис.1
микрометра прежде всего необходимо
устранить параллакс, который проявляется в смещении рассматриваемого изображения относительно визирного креста при покачивании головы в процессе наблюдения в
окуляр. Для этого сначала, вращая оправу окуляра О, получите отчетливое резкое изображение визирного креста. Затем, перемещая
окуляр-микрометр как целое вдоль оптической оси, добейтесь совмещения плоскости, в которой находится изображение изучаемого
объекта, с предметной плоскостью окуляра. При этом будут одновременно хорошо видны четкие изображения объекта и визирного
креста без какого-либо смещения друг относительно друга при покачивании головы.
4. В большинстве установок для обеспечения тех или иных перемещений применяются микрометрические винты — на окулярахмикрометрах, входных и выходных щелях, интерферометрах Рэлея,
сахариметрах, гониометрах и др. Приступая к измерениям, внимательно ознакомьтесь со строением шкалы барабана данного винта,
чтобы избежать грубых промахов при снятии отсчетов.
При снятии отсчета, в частности, с помощью окуляра-микрометра следует использовать основную шкалу — ряд оцифрованных
делений, находящихся в предметной плоскости ПП (рис.2).
При этом число делений основной шкалы ОШ, определяемое
положением двойного штриха, отмечает целую часть отсчета (на
рис.2 это число равно 4), число делений по шкале барабана Б образует дробную часть отсчета (на рис.3 это число равно 26). В итоге
численное значение отсчета оказывается равным 4,26 мм.
Следует также иметь в виду, что все микровинты имеют некоторый люфт. Поэтому для уменьшения систематической погрешности при проведении серии измерений необходимо придерживаться
правила: при установке нужного значения на шкале барабана микровинта приближение к этому значению производится в данной
12
серии измерений всегда с одной и той же стороны: либо со стороны
меньших, либо со стороны больших значений.
Рис.2
Рис.3
5. Некоторые работы проводятся на гониометре — приборе для
точных измерений углов. Внешний вид гониометра показан на
рис.4. Здесь 1 — микрометрический винт, регулирующий ширину
входной щели коллиматора; 2 — фокусировочный винт коллиматора; 3 — его юстировочный винт; 4 — винты наклона столика;
5 — юстировочный винт зрительной трубы; 6 — ее фокусировочный винт; 7 — окуляр трубы; 8 — лупа, через которую производят
отсчеты по шкале лимба, находящегося внутри прибора; 9 — маховичок отсчетного микрометра; 10 — рукоятка для самостоятельного вращения лимба.
Рис.4
Зрительная труба укреплена на подвижном кронштейне, который
можно поворачивать вокруг вертикальной оси, проходящей через
центр предметного столика. Поворот трубы осуществляется вручную после освобождения стопорного винта 11. При закрепленном
винте 11 можно производить тонкое перемещение трубы винтом 12.
13
Рычажок 13 позволяет осуществлять совместное или раздельное
перемещение трубы и лимба. Для совместного перемещения этот
рычажок надо опустить.
Стопорный винт 14 служит для закрепления лимба на оси прибора. При этом винтом 15 можно осуществлять тонкое перемещение лимба. Стопорный винт 16 закрепляет столик с лимбом.
Таким образом, столик может вращаться самостоятельно, совместно с лимбом при неподвижной зрительной трубе и, наконец,
совместно с лимбом и трубой.
Рис.5
Лимб гониометра снабжен шкалой с делениями (двойными
штрихами). Цена деления 20. Оцифровка делений произведена через каждый градус. Отсчет производят через лупу 8. Для этого надо
повернуть маховичок 9 так, чтобы верхние и нижние штрихи лимба
в левом окне поля зрения лупы точно совместились, как показано
на рис.5 (если вы повернули маховичок 9 до упора, а штрихи лимба
не совместились, следует вращать его в противоположную сторону,
ни в коем случае не прилагая усилия). Тогда число градусов равно
видимой ближайшей, левой от вертикального индекса, цифре верхней шкалы (195). Число десятков минут — числу интервалов, заключенных между верхним двойным штрихом, соответствующим
отсчитанному числу градусов, и нижним оцифрованным штрихом,
отличающимся на 180, т.е. 4.
Число единиц отсчитывают по шкале в правом окне поля зрения
по левому ряду цифр (6). Число секунд — здесь же по правому ряду чисел (53) с помощью неподвижного горизонтального индекса.
Положение, показанное на рис.5, соответствует 1954653.
Приборная ошибка гониометра при измерении углов не превышает
 np  5 . Цена деления микрометрического винта входной щели — 0,01 мм.
14
1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА. ПОЛЯРИЗАЦИЯ
§ 1. Волновое уравнение
В самом широком смысле волной называется любое возмущение, распространяющееся в пространстве с течением времени и не
сопровождающееся, непосредственно, переносом вещества. Часто
под волной понимают распространение колебаний в пространстве с
течением времени. Поскольку настоящий практикум посвящен
изучению электромагнитных волн (ЭМВ), то дальше будет идти
речь о пространственно-временном изменении электромагнитных
полей как в веществе, так и в вакууме, который также является
средой для ЭМВ.
Электромагнитные волны, частота которых лежит в интервале
ω  ( 2,5  4,7)  1015 Гц (длина волны λ  (450  750 ) нм), называются
светом.
Как известно, изменение электромагнитных полей в пространстве с течением времени описывается уравнениями Максвелла:


B
rot E  
;
(1.1)
t

  D
rot H  j 
;
(1.2)
t

(1.3)
div E   ;

div B  0 ,
(1.4)


где E и H — напряженности электрического и магнитного полей;


D — вектор электрического смещения; B — магнитная индукция;

j и ρ — плотность тока и объемная плотность зарядов.
В дальнейшем нас будет интересовать задача распространения
ЭМВ, а не вопросы их генерации. Поэтому в уравнениях (1.1) —

(1.4) положим j и  равными нулю. Тогда после вычисления рото15
ра от уравнений (1.1) и (1.2), используя равенства (1.3), (1.4), получаем:


 2E
;
(1.5)
E 
v 2 t 2


 2H
,
(1.6)
H 
v 2 t 2
где  — оператор Лапласа; v  εε 0μμ 0 1 2  c / εμ — скорость
света в среде с диэлектрической и магнитной проницаемостями  и
, не зависящими от координат и времени, c  ε 0 μ 0 1 / 2 — скорость света в вакууме. При получении уравнений (1.5) и (1.6) пред
 

полагается стандартная связь между векторами D и E ; B и H ,
соответственно:




(1.7)
D  0 E; B   0 H .
Уравнения типа (1.5), (1.6) называются волновыми уравнениями,
а их решения — волнами; в данном конкретном случае — электромагнитными волнами.
Уравнения (1.5), (1.6) не позволяют однозначно найти поля в
ЭМВ, так как для этого необходимы не только соответствующие
уравнения, но и начальные или граничные условия. Дальше рассмотрим наиболее важные задачи о распространении ЭМВ в тех
или иных конкретных условиях.
§ 2. Плоская монохроматическая волна
Простейшее в математическом отношении решение волнового
уравнения возникает в случае так называемой бегущей плоской
монохроматической волны. Пусть источник электромагнитной
волны — плоскость, проходящая через начало координат и перпен
дикулярная некоторому вектору n . Допустим, что поля в плоскости изменяются со временем по гармоническому закону с частотой
:


E (t )  E0 cos(t  ) ,
(1.8)


H (t )  H 0 cos(t  ) ,
(1.9)
16


где E0 и H 0 — амплитуды электрического и магнитного полей;
ω — частота изменения полей; α и β — начальные фазы колебаний. Тогда решение уравнений (1.5), (1.6) с граничными условиями
(1.8), (1.9) дает:

 

(1.10)
E (r , t )  E0 cos(t  k r  ) ,

 

(1.11)
H (r , t )  H 0 cos(t  k r  ) ,

где r — радиус-вектор точки наблюдения.
Уравнения (1.10), (1.11) определяют плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся вдоль (знак минус) и против
 ω
(знак плюс) направления вектора k  n , называемого волновым
v


вектором. Амплитуды E0 и H 0 , а также начальные фазы α и β ,
не являются независимыми друг от друга величинами. Вследствие
уравнений Максвелла для них имеем:





 E0 H 0  k
,
εε 0 E 0  μμ 0 H 0 ; α  β . (1.12)
E0  H 0 , 
 ;
 E 0 H 0  k
Таким образом, уравнения плоской монохроматической ЭМВ,

распространяющейся (для определенности) вдоль вектора k , принимают вид

 

(1.13)
E (r , t )  E0 cos(t  k r  ) ,

 

(1.14)
H (r , t )  H 0 cos(t  k r  ) .
Аргумент функции косинус называется фазой волны, а геометрическое место точек (ГМТ), колеблющихся в одной фазе, — волновой поверхностью. Волновая поверхность, уравнение которой

ωt  k r  const ,

представляет собой плоскость, перпендикулярную вектору k . Отсюда название волны — плоская. Эта плоскость перемещается в

пространстве вдоль вектора k со скоростью v  ω / k , k — модуль
волнового вектора, называемый также волновым числом. Скорость
перемещения поверхности постоянной фазы называется фазовой
скоростью волны.
17
Из соотношений (1.12) — (1.14) следуют основные свойства
плоской монохроматической
волны:


1) векторы E и H колеблются в одной фазе;
2) векторы E и H ортогональны
друг другу и лежат в плоско

 
сти, перпендикулярной вектору k , так что векторы E , H и k образуют правую тройку.


Уравнения Максвелла фиксируют
вектора
и
в плоскости,
E
H

перпендикулярной вектору k , однако никак не ограничивают их
изменение
Иными словами, конец
 по величине и направлению.

вектора E (а очевидно, и вектора H , так как они изменяются в фазе и всегда ортогональны между собой) может описывать некоторую замкнутую кривую в указанной плоскости. Поскольку поля в
ЭМВ изменяются по закону косинуса, то это — кривая второго порядка, т.е. или эллипс (наиболее общий случай), или окружность,
или отрезок (вырожденный эллипс). В связи с этим говорят об эллиптической, круговой или линейной поляризации плоской монохроматической волны. При этом в случае эллиптической и круговой поляризации различают правую и левую поляризации. Если
при наблюдении с конца вектора k (навстречу волне) вращение
векторов напряженности электрического и магнитного поля происходит по часовой стрелке, то такая поляризация называется правой,
в противном случае — левой. Линейную поляризацию
еще иногда

называют плоской, имея в виду, что вектор E колеблется
 в фикси
рованной плоскости, определяемой векторами E и k . Эту плоскость называют плоскостью поляризации. Подробнее явление поляризации изложено в § 8 данного раздела.
§ 3. Сферическая монохроматическая волна
Рассмотрим точечный источник электромагнитных колебаний
расположенный в начале координат. Допустим, что поля в источнике меняются со временем по гармоническому закону:


rE (t )  E0 cos(ωt  α) ,
(1.15)


rH (t )  H 0 cos(ωt  β) ,
(1.16)

где r  r — расстояние от источника до точки наблюдения.
18
В силу сферической симметрии задачи решения уравнений (1.5),
(1.6) с граничными условиями (1.15), (1.16) могут зависеть только

от r . Это означает, что дифференцирование по угловым переменным в уравнениях (1.5), (1.6) может быть опущено. Тогда непосредственной проверкой легко убедиться, что решение уравнений
(1.5), (1.6) имеет вид

 
E0
E (r , t ) 
cos(ωt  k r  α) ,
(1.17)
r

 
H0
H (r , t ) 
cos(ωt  k r  β) , α  β .
(1.18)
r
Соотношения (1.17), (1.18) — уравнения расходящейся (знак
минус) и сходящейся (знак плюс) сферической волны. Волновая
поверхность такой волны — сфера с центром в начале координат.
Вектора напряженности электрического и магнитного полей лежат
в плоскости, касательной к волновой поверхности, и образуют, как


и в случае плоской волны, правую тройку с вектором k . Вектор k
направлен вдоль внешней (расходящаяся волна) или внутренней
(сходящаяся волна) нормали к волновой поверхности. Соотношение между амплитудами полей существенно более сложное, чем в
случае плоской волны, и зависит от радиуса волновой поверхности.
В точке r  0 волна не определена, но это не играет принципиальной, с физической точки зрения, роли (это увидим дальше).
§ 4. Цилиндрическая монохроматическая волна
Пусть источник электромагнитных колебаний — бесконечная
тонкая нить (совпадающая, для определенности, с осью OZ), такая,
при которой поля в источнике меняются по гармоническому закону:
ρ E (t )  E0 cos(ωt  α) ,
(1.19)


ρ H (t )  H 0 cos(ωt  β) ,
(1.20)


где    , а  — радиус-вектор в плоскости, перпендикулярной
оси OZ.
19
Вследствие аксиальной симметрии решение уравнений (1.5),

(1.6) с граничными условиями (1.19), (1.20) зависит только от ρ .
Это означает, что в формулах (1.5), (1.6) можно опустить дифференцирование по переменным z и  (полярный угол). Тогда непосредственной проверкой легко убедиться, что решение уравнений
(1.5), (1.6) имеет вид

 
E0
E (ρ, t ) 
cos(ωt  kρ  α) ,
(1.21)
ρ

 
H0
H (ρ, t ) 
cos(ωt  kρ  β) , α  β .
(1.22)
ρ
Соотношения (1.21), (1.22) — уравнения расходящейся (знак
минус) и сходящейся (знак плюс) цилиндрической волны. Волновая
поверхность, как и фронт такой волны, — цилиндр с осью OZ в качестве оси симметрии. Вектора напряженности электрического и
магнитного полей лежат в плоскости, касательной к волновой поверхности, и образуют, как и для плоской волны, правую тройку с


вектором k . Вектор k направлен вдоль внешней (расходящаяся
волна) или внутренней (сходящаяся волна) нормали к волновой
поверхности. Соотношение между амплитудами полей более сложное, чем в случае плоской волны и зависит от радиуса волновой
поверхности (радиуса соответствующего цилиндра). В точке ρ  0
волна не определена, но это не играет принципиальной роли с физической точки зрения, как и в случае сферической волны.
ЗАМЕЧАНИЕ. Необходимо отметить, что как для сферической, так и для цилиндрической волны изменение электромагнитного поля в волне с расстоянием до
источника в случае достаточно больших r , ρ  λ , где λ  2π / k — длина волны
(область таких расстояний называется волновой зоной) определяется вторыми
сомножителями в формулах (1.17), (1.18), (1.21), (1.22). Сказанное легко проверить непосредственным дифференцированием соответствующих выражений по
переменным r или . Это означает, что в случае r , ρ  λ первые сомножители в
формулах (1.17), (1.18), (1.21), (1.22) — приблизительно константы, а вся зависимость полей от координат определяется функциями синус и косинус, как и в плоской волне. Таким образом, в волновой зоне сферическую и цилиндрическую волну
можно приблизительно рассматривать как плоскую. Все вышесказанное понятно
интуитивно: сравнительно небольшая область сферической или цилиндрической
поверхности большого радиуса — часть плоскости.
20
§ 5. Преломление и отражение электромагнитных волн
на границе двух диэлектриков
Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в среде 1 и падающую под углом  к нормали плоской
границы раздела двух сред с диэлектрическими проницаемостями
ε1  n12 , ε 2  n 22 , где n1 и n 2 — показатели преломления сред 1 и
2 по отношению к вакууму (см. рис.1.1).
Рис.1.1
Непосредственно из
   
E , D, B, H находим:
граничных
n1 sin   n2 sin ψ,
условий
  .
для
векторов
(1.23)
Обозначим составляющие векторов электромагнитного поля,


колеблющиеся в плоскости рисунка, как A || , где A обозначает лю   
бой из векторов E , D, B, H . Составляющие, колеблющиеся пер
пендикулярно плоскости рисунка, — A . Тогда, используя гра   
ничные условия для векторов E , D, B, H , а также связь между век

торами E и H в плоской электромагнитной волне (1.12), для ам-
21
плитуд отраженной E r , ||  и преломленной E p,||  волн имеем следующие соотношения (формулы Френеля):
E r    E 0 
 
E p  E 0 
sin   ψ 
; E||r   E||0 
sin   ψ 
2 sin ψ cos 
sin   ψ 
 
; E|| p  E||0 
tg   ψ 
tg   ψ 
;
2 sin ψ cos 
sin   ψ  cos  ψ 
(1.24)
, (1.25)
где верхние индексы 0 , r ,  p  обозначают падающую, отраженную и преломленную волны соответственно.

Из формул (1.24) следует, что при   ψ  , когда направления
2
распространения отраженной и преломленной волн взаимно перпендикулярны, в отраженной волне отсутствует поляризация в
плоскости падения волны: E||r   0 . Очевидно, что это имеет место, когда
n 
tg  tg Бр   2  .
 n1 
(1.26)
Угол  Бр называется углом Брюстера. Физические следствия
указанного явления подробно будут рассмотрены в § 8 данного
раздела.
§ 6. Перенос энергии в электромагнитной волне
По определению, волна — возбуждение, не сопровождающееся
переносом вещества. С другой стороны, волна переносит энергию.
В случае ЭМВ перенос энергии характеризуется вектором Пойн
тинга S — энергией, переносимой в единицу времени через единичную поверхность, перпендикулярную направлению распро
странения волны (вектору k ). В ЭМВ вектор Пойнтинга
  
S  E, H
(1.27)

22

и удовлетворяет соотношению, являющемуся дифференциальной
формой закона сохранения энергии:
 w
(1.28)
div S 
0,
t
где w — объемная плотность энергии электромагнитного поля:


ED BH
w

.
(1.29)
2
2
В случае плоской монохроматической электромагнитной волны
из формул (1.12), (1.27) получаем


 0 2 k
.
(1.30)
S
E
 0
k
Интенсивностью I плоской ЭМВ называется среднее значение
модуля вектора Пойнтинга. При этом под средним понимается
среднее за достаточно большой (по сравнению со временем изменения поля в волне) промежуток времени τ . В частности, в случае
плоской монохроматической волны частоты ω , при условии
ωτ  1 , имеем:
 1  1 εε 0 2
I  S T  S 2π  O  
E0 ,
 ωτ  2 μμ 0
ω
(1.31)
где E0 — амплитуда электрического поля в волне.
Заметим, что в случаях сферической и цилиндрической волн,
как следует из формул (1.17), (1.18), (1.21), (1.22), интенсивность I
убывает с расстоянием от источника, соответственно, по законам:
I sph   r 2 ,
I cyl   ρ 1 .
(1.32)
Формальная расходимость в уравнениях сферической и цилиндрической волн в области малых расстояний непринципиальна, так
как наблюдаемая величина — энергия, переносимая сферической
или цилиндрической волной через соответствующую поверхность
(сфера или цилиндр сколь угодно малого радиуса), конечна для
любых r и ρ соответственно.
23
§ 7. Геометрическая оптика
Наиболее просто решение задачи о распространении света в неоднородных средах выглядит в случае достаточно малых длин
da
волн, когда выполнено неравенство λ
 a , означающее, что
dx
амплитуда слабо меняется на расстояниях порядка длины световой
волны. Часто такого рода предел количественно формулируется в
виде λ  0 и называется геометрической оптикой, поскольку в
этом случае основные законы оптики можно сформулировать на
языке геометрии.
В пределе геометрической оптики свет распространяется вдоль
линий, называемых лучами. Под лучом будем понимать линию, касательная к которой в каждой точке направлена так же, как и век
тор k . Отсюда, в частности, следует, что луч представляет собой
линию, ортогональную семейству волновых поверхностей. Совокупность лучей называется пучком. Для лучей имеют место следующие законы:
1) в однородной среде свет распространяется прямолинейно;
2) лучи при пересечении не возмущают друг друга;
3) свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время (принцип Ферма).
В дальнейшем нас будет интересовать практическая сторона
геометрической оптики: описание прохождения света через различного рода оптические системы.
Оптическая система представляет собой совокупность отражающих и преломляющих поверхностей, отделяющих друг от друга
оптически однородные среды. Обычно эти поверхности бывают
сферическими или плоскими.
Оптическая система, образованная сферическими (в частности,
плоскими) поверхностями, называется центрированной, если центры всех поверхностей лежат на одной прямой. Эту прямую называют оптической осью системы.
Всякая оптическая система осуществляет преобразование световых пучков.
Если лучи при своем продолжении пересекаются в одной точке,
пучок называется гомоцентрическим.
24
Частным случаем гомоцентрического пучка является пучок параллельных лучей; ему соответствует плоская световая волна.
Если система не нарушает гомоцентричности пучков, то лучи,
вышедшие из точки P, пересекутся в одной точке P  . Эта точка
представляет собой оптическое изображение точки P. Если любая
точка предмета изображается в виде точки, изображение называется точечным или стигматическим. Изображение называется действительным, если световые лучи действительно пересекаются в
точке P  , и мнимым, если в точке P  пересекаются их продолжения, проведенные в направлении, противоположном направлению
распространения света. Множество точек Р называется пространством предметов, а множество точек P  — пространством изображений.
Вследствие обратимости световых лучей точки P и P  могут
поменяться ролями: P  — источник, Р — изображение. По этой
причине точки Р и P  называют сопряженными.
Среди бесконечного множества сопряженных точек и сопряженных плоскостей имеются точки и плоскости, обладающие особыми свойствами. Такие точки и плоскости называются кардинальными. К их числу относятся фокальные, главные и узловые точки и
плоскости. Задание кардинальных точек или плоскостей полностью
определяет свойства идеальной центрированной оптической системы.
Фокальные плоскости и фокусы оптической системы. На
рис.1.2 показаны внешние преломляющие поверхности и оптическая ось некоторой идеальной центрированной оптической системы. Возьмем в пространстве предметов этой системы плоскость S,
перпендикулярную к оптической оси. Из соображений симметрии
следует, что сопряженная с S плоскость S  также перпендикулярна
к оптической оси. Перемещение плоскости S относительно системы
вызовет соответствующее перемещение плоскости S  . Когда плоскость S окажется очень далеко, дальнейшее увеличение ее расстояния от системы практически не вызывает изменения положения
плоскости S  . Это означает, что в результате удаления плоскости S
на бесконечность, плоскость S  оказывается в определенном положении F'. Плоскость F', совпадающая с предельным положением
25
плоскости S', называется задней фокальной плоскостью оптической
системы.
Рис.1.2
Точка пересечения задней фокальной плоскости с оптической
осью называется задним фокусом системы. Обозначают ее также
буквой F'. Эта точка сопряжена с удаленной на бесконечность точкой P , лежащей на оси системы. Лучи, выходящие из P , образуют параллельный оси пучок (см. рис.1.2). По выходе из системы
эти лучи образуют пучок, сходящийся в фокусе F'. Упавший на систему параллельный пучок может выйти из системы не в виде сходящегося (так на рис.1.2), а в виде расходящегося пучка. Тогда в
точке F' будут пересекаться не сами вышедшие лучи, а их продолжения в обратном направлении. Соответственно, задняя фокальная
плоскость окажется перед (по ходу лучей) системой или внутри
системы.
Лучи, вышедшие из бесконечно удаленной точки Q , не лежащей на оси системы, образуют параллельный пучок, направленный
под углом к оси системы. По выходе из системы эти лучи образуют
пучок, сходящийся в точке Q', принадлежащей задней фокальной
плоскости, но не совпадающей с фокусом F' (см. точку Q' на
рис.1.2). Из сказанного следует, что изображение бесконечно удаленного предмета будет лежать в фокальной плоскости.
Если удалить на бесконечность перпендикулярную к оси плоскость S', то сопряженная с ней плоскость S придет в предельное положение F, которое называется передней фокальной плоскостью си26
стемы. Точка пересечения передней фокальной плоскости с оптической осью называется передним фокусом системы. Обозначают этот
фокус также буквой F. Лучи, вышедшие из фокуса F, образуют после выхода из системы пучок параллельных оси лучей. Лучи, вышедшие из точки Q, принадлежащей фокальной плоскости, образуют после прохождения через систему параллельный пучок, направленный под углом к оси системы. Может случиться, что параллельный по выходе из системы пучок получается при падении на систему не расходящегося, а сходящегося пучка лучей. В этом случае передний фокус оказывается за системой или внутри системы.
Главные плоскости и точки. Рассмотрим две сопряженные
плоскости, перпендикулярные к оптической оси системы. Отрезок
прямой (рис.1.3) y, лежащий в одной из этих плоскостей, будет
иметь своим изображением отрезок прямой y', лежащий в другой
плоскости. Из осевой симметрии системы вытекает, что отрезки y и
y' должны лежать в одной, проходящей через оптическую ось,
плоскости (в плоскости рисунка). При этом изображение может
быть обращено либо в ту же сторону, что и предмет (см. рис.1.3, а),
либо в противоположную сторону (см. рис.1.3, б). В первом случае
изображение называют прямым, во втором — обратным. Отрезки,
откладываемые от оптической оси вверх, принято считать положительными, откладываемые вниз — отрицательными. На рисунках
указываются действительные длины отрезков, т.е. для отрицательных отрезков — положительные величины (–y) и (–y').
а)
б)
Рис.1.3
Отношение линейных размеров изображения и предмета называется линейным или поперечным увеличением. Обозначив его буквой  , можно написать
β
y
.
y
(1.33)
27
Линейное увеличение — алгебраическая величина. Оно положительно, если изображение прямое (знаки y и y' одинаковы), и
отрицательно, если изображение обратное (знак y' противоположен
знаку y).
Можно доказать, что существуют две такие сопряженные плоскости, которые отображают друг друга с линейным увеличением
β  1 . Эти плоскости называются главными. Плоскость, принадлежащая пространству предметов, именуется передней главной
плоскостью системы. Ее обозначают буквой H. Плоскость, принадлежащую пространству изображений, именуют задней главной
плоскостью. Ее обозначают символом H'. Точки пересечения главных плоскостей с оптической осью называют главными точками
системы (соответственно, передней и задней). Их обозначают теми
же символами: H и H'. В зависимости от устройства системы главные плоскости и точки могут находиться как вне, так и внутри системы. Может случиться, что одна из плоскостей проходит вне, а
другая — внутри системы. Возможно, наконец, что обе плоскости
будут лежать вне системы по одну и ту же сторону от нее.
Узловые плоскости и точки. Узловыми точками или узлами
называются лежащие на оптической оси сопряженные точки N и N,
обладающие тем свойством, что проходящие через них (в действительности или при воображаемом продолжении внутрь системы)
сопряженные лучи параллельны между собой (см. лучи 1 — 1 и
2 — 2 на рис.1.4). Перпендикулярные к оси плоскости, проходящие через узлы, называются узловыми плоскостями (передней и
задней).
Рис.1.4
Расстояние между узлами всегда равно расстоянию между главными точками. В случае, когда оптические свойства сред, находящихся по обе стороны системы, одинаковы (т.е. n = n'), узлы совпадают с главными точками.
28
Фокусные расстояния и оптическая сила системы. Расстояние от передней главной точки H до переднего фокуса F называется передним фокусным расстоянием f системы. Расстояние от H' до
F' именуется задним фокусным расстоянием f'. Фокусные расстояния f и f' — алгебраические величины. Они положительны, если
данный фокус лежит справа от соответствующей главной точки, и
отрицательны в противном случае.
Можно доказать, что между фокусными расстояниями f и f' центрированной оптической системы, образованной сферическими
преломляющими поверхностями, имеется соотношение
f
n
 ,
f
n
(1.34)
где n — показатель преломления среды, находящейся перед оптической системой; n' — показатель преломления среды, находящейся за системой.
Величина
n
n


(1.35)
f
f
называется оптической силой системы. Чем больше  , тем меньше фокусное расстояние f' и, следовательно, тем сильнее преломляются лучи оптической системой. Оптическая сила измеряется в
диоптриях (дптр). Чтобы получить  в диоптриях, фокусное расстояние в формуле (1.35) нужно взять в метрах. При положительной  заднее фокусное расстояние также положительно; следовательно, система дает действительное изображение бесконечно удаленной точки — параллельный пучок лучей превращается в сходящийся. В этом случае система называется собирающей. При отрицательной  изображение бесконечно удаленной точки будет
мнимым — параллельный пучок лучей превращается системой в
расходящийся. Такая система именуется рассеивающей.
Формула системы. Пусть (–x) и (x’) — расстояния от предмета
и его изображения до переднего и заднего фокусов соответственно,
а (–s) и (s’) — расстояния от предмета и изображения до передней
и задней главных точек, f и (f’) — переднее и заднее фокусные
расстояния (рис.1.5). Тогда имеет место:
f
f
(1.36)
x x   f f ;

 1.
s s
29
Рис.1.5
В случае, когда n = n', выражения упрощаются и принимают вид
x x'   f 2 ;
1 1 1
  .
s s f
(1.37)
Соотношения (1.36) называются формулами центрированной
оптической системы.
Тонкая линза. Лупа. Линза представляет собой прозрачное
(обычно стеклянное) тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями (в частности, одна из поверхностей может быть плоской). Точки пересечения поверхностей с оптической осью линзы
называются вершинами линзы. Расстояние между вершинами именуется толщиной линзы. Если толщина линзы мала по сравнению с
наименьшим из радиусов кривизны ограничивающих линзу поверхностей, то линза называется тонкой. Для тонкой линзы главные плоскости совпадают и проходят через центр линзы. Фокусные
расстояния тонкой линзы определяются выражением:
n0
R1R2
,
(1.38)
f f 
n  n0 R2  R1
где n и n 0 — показатели преломления линзы и окружающей среды;
R1 и R2 — радиусы кривизны поверхностей линзы. Радиус кривизны — величина алгебраическая. Он положителен, если лежит
30
справа от вершины поверхности и отрицателен в противоположном
случае.
Рис.1.6
Лупа — собирающая линза (необязательно тонкая), позволяющая получить прямое, мнимое увеличенное изображение предмета.
Предмет помещается между передним главным фокусом и передней главной плоскостью лупы (рис.1.6).
Многие наблюдатели ведут наблюдения с напряжением аккомодирующей мышцы, чтобы изображение получалось на привычном
для них расстоянии наилучшего зрения. Для этого лупа вплотную
придвигается к глазу, а рассматриваемый предмет помещается
вблизи главного фокуса.
Применительно к лупе, как правило, не пользуются понятием
линейного увеличения. Чаще говорят об угловом увеличении .
Увеличение  лупы определяется как отношение угла, под которым виден предмет через лупу   tg   y f , к углу, под которым
он был бы виден невооруженным глазом  0  tg  0  y L , если бы
он был помещен от глаза на расстояние наилучшего зрения L, приблизительно равное 20 – 30 см.


L
 .

f
(1.39)
Из формулы (1.39) следует, что большое увеличение лупы, как
правило, достигается малым фокусным расстоянием.
§ 8. Поляризация плоской монохроматической волны
Явление поляризации оптического излучения состоит в упоря   
доченном изменении его векторных характеристик E, H , D, B со
31
временем. Заметим, что в изотропных средах с диэлектрической
проницаемостью ε для описания поляризации бывает достаточно

рассмотреть поведение одного вектора E , поскольку уравнения


Максвелла определяют связь между векторами E и B :


kE  0 , kB  0 ,
 



[ k E ]   B c2 [ k B ] = – ε ω E .
Перечислим возможные способы этого упорядочения, т.е. виды
поляризации.

1. Эллиптическая, при которой конец вектора E описывает эллипс (с точки зрения условного «наблюдателя», смотрящего
навстречу лучу) — это наиболее общий случай поляризации.

2. Линейная (плоская) поляризация — в этом случае вектор E
не выходит из одной плоскости (колебания происходят вдоль одной прямой).

3. Круговая поляризация, при которой конец вектора E описывает окружность. Линейная и круговая поляризации являются предельными случаями эллиптической.
Покажем, как возникает эллиптическая поляризация световой
волны.
Рассмотрим простейший случай плоской монохроматической
волны частоты ω , распространяющейся вдоль оси ОZ. В общем

случае E x - и E y -компоненты вектора E в волне описываются
формулами
E x = Ax cos(ωt  kz) ;
E y = A y cos (ωt  kz   xy ) ,
(1.40)
где  xy — разность фаз ортогональных компонент, Ax и A y —
соответствующие амплитуды. Исключая параметр t из уравнений
(1.40), получим уравнение кривой второго порядка
E x2 / Ax2  E y2 / Ay2  2( E x E y / Ax Ay ) cos  xy  sin 2  xy .
(1.41)
Из уравнений (1.40) и (1.41) непосредственно следует, что изме
нение положения вектора E имеет периодический характер, т.е. за
32
время T  2 π/ω конец светового вектора опишет в плоскости, параллельной XY , замкнутую кривую (она называется годограф).
Замкнутая кривая второго порядка — эллипс (рис.1.7). Как известно, уравнение эллипса в собственных осях представляется в виде
( x  / a ) 2  ( y  / b) 2  1 .
а)
б)
Рис.1.7
Уравнение эллипса с центром в начале координат, большая ось
которого составляет угол θ с осью абсцисс, таково:
(a 2 sin 2 θ  b 2 cos 2 θ) x 2  (a 2 cos 2 θ  b 2 sin 2 θ) y 2 
 2 sin θ cos θ(a 2  b 2 ) xy  a 2 b 2 .
(1.42)
Приведем выражения для полуосей поляризационного эллипса,
полученные из сопоставления уравнений (1.41) и (1.42):
a, b 
2 Ax2 A y2 sin 2  xy
Ax2

A y2

( Ax2

A y2 ) 2
 (2 Ax A y sin  xy )
2
.
(1.43)
Здесь знак минус соответствует большой полуоси.
В случае  xy  π / 2 эллиптическая поляризация превращается в
круговую (при равенстве амплитуд Ax и A y ), при  xy   π — в
линейную. Если для наблюдателя, смотрящего навстречу лучу,

вектор E вращается по часовой стрелке, поляризация называется
правой, в противном случае — левой.
33

Движение конца вектора E при правой круговой поляризации
показано на рис.1.8 (это правая винтовая линия).
Рис.1.8
Получение поляризованного света. Прибор, позволяющий
выделить линейно поляризованное излучение из естественного
(неполяризованного), называется поляризатором. Тот же прибор,
используемый для анализа поляризации излучения, называется
анализатором. Обычно это специальным образом вырезанная кристаллическая пластинка. (Некоторые свойства кристаллов, используемые в поляризационной оптике, будут рассмотрены дальше.)
Проходящий через анализатор плоскополяризованный свет подчиняется закону Малюса
I  I 0 cos 2  ,
(1.44)
здесь  — угол между плоскостью поляризации волны и плоскостью пропускания поляризатора; I и I 0 — интенсивность прошедшего и падающего излучения соответственно. Учитывая, что
I  E 2 , смысл этого закона понять очень просто. Анализатор задерживает компоненту вектора E , которая перпендикулярна его
34
плоскости пропускания, полностью пропуская параллельную этой
плоскости компоненту.
Если свет поляризован не полностью, его можно представить
как смесь естественного и плоскополяризованного. Степень поляризации определяется формулой
α  ( I max  I min ) / ( I max  I min ) .
(1.45)
При падении на поляризатор естественного света интенсивность
прошедшего через поляризатор (и полностью линейно поляризованного) света составит 1/2 от интенсивности падающего (среднее
значение cos 2  равно1/2). Точно такой же результат будет и при
падении на поляризатор света, поляризованного по кругу. Поляризатор, таким образом, не позволяет отличить поляризованный по
кругу свет от естественного, а также эллиптически поляризованный
свет от смеси естественного и линейно поляризованного света. Выявить эти виды поляризации позволяют другие приборы, называемые фазовыми пластинками. Наиболее часто встречающиеся из
них — так называемые «пластинка в четверть волны», позволяющая превратить круговую поляризацию в линейную, и «пластинка
в полволны», позволяющая повернуть плоскость поляризации на
некоторый угол. Эти пластинки также являются кристаллами, вырезанными специальным образом. Здесь нам необходимо остановиться на свойствах оптически активных кристаллов. Такие кристаллы обладают оптической анизотропией.
Оптическая анизотропия. Анизотропия кристаллов проявляется, в частности, в зависимости скорости и направления распространения волны в среде от поляризации падающей волны. Зависимость объясняется тем, что под действием электромагнитного поля
волны заряды среды смещаются в одних направлениях легче, чем в
других.
В изотропной среде лучи параллельны волновой нормали (или,
что то же самое, перпендикулярны волновой поверхности). Эта си

туация отображена на рис.1.9, а, на котором вектора S и k парал

лельны (здесь S — вектор Пойнтинга, k — волновой вектор). В
анизотропной среде в общем случае это не так. Возможное взаимное расположение векторов представлено на рис.1.9, б.
35
а)
б)
Рис.1.9
При падении волны на границу анизотропной среды в общем
случае возникают две волны, распространяющиеся в разных
направлениях с разными скоростями, причем возможно наблюдение удивительной картины: когда при нормальном падении луча на
грань кристалла внутри него возникают два луча, один из которых
является продолжением падающего, а второй направлен под некоторым углом и, вообще говоря, не лежит в плоскости падения.
Первый из этих лучей называется обыкновенным, а второй — необыкновенным. При вращении кристалла вокруг направления падения луча обыкновенный луч останется на месте, а необыкновенный
опишет конус, причем за один поворот кристалла конус будет описан дважды. Эти лучи отличаются не только направлением, но также скоростью распространения и поляризацией. Зависимость скорости волны от направления ее распространения может быть проиллюстрирована диаграммой, на которой во всех направлениях отложены отрезки, пропорциональные фазовой скорости луча в данном направлении. Для обыкновенного луча геометрическое место
концов этих отрезков образует окружность (в сечении), для необыкновенного — эллипс (рис.1.10). В пространстве это будут соответствующие тела вращения — эллипсоид и шар. Направление, в
котором скорости двух лучей совпадают, называется оптической
осью кристалла (заметим, что это именно направление, а не линия).
Кристаллы, имеющие одно такое направление, называются одноосными. Существуют кристаллы, у которых таких направлений два.
36
Они называются двухосными, и диаграмма скоростей для них выглядит существенно сложнее (поверхность, являющаяся для двухосного кристалла геометрическим местом концов вектора фазовой
скорости, не является поверхностью вращения, а представляет собой сложную самопересекающуюся поверхность). Ограничимся
рассмотрением свойств одноосных кристаллов.
а)
б)
Рис.1.10
Кристалл, соответствующий рис.1.10, а, называется положительным одноосным кристаллом, а соответствующий рис.1.10, б —
отрицательным одноосным кристаллом. Буквами o (для обыкновенного луча) и e (для необыкновенного) обозначены геометрические места точек концов вектора фазовой скорости в соответствующих направлениях.
В направлении оптической оси обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются с одинаковыми скоростями. При падении под произвольным углом к оптической оси лучи разделяются
пространственно и распространяются с разными скоростями.
Интересен случай, когда луч падает нормально на плоскость,
содержащую оптическую ось, т.е. луч перпендикулярен оптической
оси (заметим, что оптическая ось не всегда параллельна естественной грани кристалла, и такая пластинка вырезается специально). В
этом случае лучи также не разделяются пространственно, но распространяются по одному пути с разными скоростями. Приняв во
внимание, что физическим признаком, по которому различаются

эти лучи, является поляризация (у обыкновенной волны вектор E
перпендикулярен плоскости, образованной оптической осью и вол37


новым вектором k , у необыкновенной — E лежит в этой плоскости), а также различие их скоростей, укажем способ, позволяющий
изменять состояние поляризации излучения в зависимости от толщины пластинки и ее ориентации в плоскости, параллельной ее
входной грани.
Выберем направление OZ вдоль оптической оси. Заметим, что
согласно формулам (1.40), в которых теперь вместо единого волно

вого вектора k следует ввести k o для волны со световым вектором



E y и k e для волны со световым вектором E x (индексы o и e
принято использовать для обозначения величин, относящихся к
обыкновенной ( o ) и необыкновенной ( e ) волнам). Различие модулей волновых векторов (и фазовых скоростей) приводит к тому, что
разность фаз  xy (  oe ) становится функцией пути, пройденного
этими двумя волнами в кристалле. Таким образом, состояние поляризации на выходе определяется толщиной пластинки.
В общем случае поляризация будет эллиптической, и ориентация эллипса будет зависеть от разности фаз между обыкновенной и
необыкновенной волнами, приобретенной ими на пути в анизотропном веществе. (Это похоже на знакомую нам фигуру Лиссажу,
когда ω x  ω y , а разность фаз медленно меняется.)
За время прохождения через пластинку между лучами возникает
разность хода
  ( no  n e ) d
(1.46)
и соответствующая ей разность фаз
(n  ne )d
δ o
2π ,
λ0
(1.47)
где d — толщина пластинки; n o и n e — показатели преломления
обыкновенной и необыкновенной волн соответственно; λ 0 — длина волны света в вакууме. Круговую поляризацию можно получить
из линейной при равенстве амплитуд Ao и Ae , если толщина пластинки удовлетворяет условию
(no  ne )d  mλ 0 + λ 0 / 4 ,
(1.48)
38
где m — любое целое число. Приобретаемая на этом пути разность
фаз равна π / 2  2πm .
Такая пластинка называется пластинкой в четверть волны. Равенство амплитуд обыкновенной и необыкновенной волн достигается ориентацией плоскости поляризации под углом 45 к оптической оси. Пластинка, для которой приобретаемая разность фаз равна π  2πm , называется пластинкой в полволны и удовлетворяет
условию
(no  ne )d  mλ 0  λ 0 / 2 .
(1.49)
Она позволяет получить из линейно поляризованной волны другую линейно поляризованную с плоскостью поляризации, повернутой на угол 2 α , где α — угол между плоскостью поляризации падающей волны и оптической осью пластинки.
Для анализа поляризованного света также используется компенсатор — пара одинаковых клиньев с малым углом при вершине,
образующих вместе плоскопараллельную пластину, с оптической
осью, перпендикулярной ребру при вершине. При относительном
сдвиге клиньев вдоль оптической оси изменяется их суммарная
толщина, а значит, и вносимая компенсатором разность хода обыкновенного и необыкновенного лучей.
Получение линейно поляризованного света при отражении
света от границы двух диэлектриков. Частично поляризованный
свет получается при падении света на границу раздела двух диэлектриков. Формулы Френеля, приведенные в разд. 1 § 5, дают
зависимость коэффициентов отражения R  , R || от угла падения φ :
R 
sin 2 φ  ψ 
sin 2 φ  ψ 
; R|| 
tg 2 φ  ψ 
tg 2 φ  ψ 
.
(1.50)
2
Здесь R  E (r ) / E (0) — коэффициент отражения для волны,
поляризованной
перпендикулярно
плоскости
падения,
а
R ||  E||(r ) E||(0)
2
— для волны, поляризованной в плоскости па39
дения. Как видно из формул (1.24), при φ = φ Бр , удовлетворяющему условию tg φ Бр  n2 n1 , интенсивность отраженной волны, поляризованной в плоскости падения, равна нулю. Таким образом,
отраженный свет полностью поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости падения.
Рис.1.11
Графики зависимостей R || и R  от угла падения φ для показателя преломления n = 1,52 приведены на рис.1.11. По горизонталь．
ной оси здесь отложен угол падения  (в радианах) от 0 до
 / 2 = 1,571. Коэффициент отражения R  монотонно возрастает с
увеличением угла. Коэффициент же отражения R || имеет минимум, соответствующий углу Брюстера.
40
Р а б о т а 1.1
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Цель: исследование закономерностей распространения электромагнитных волн в пространстве.
ВВЕДЕНИЕ
Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитное поле в
пространстве может существовать в виде волн (см. разд.1). В данной работе изучается наиболее простой, но очень важный частный
случай монохроматической электромагнитной волны — волны с
определенной частотой  :

 
E  E m cos(ωt  k r  α) ;

 
H  H m cos(ωt  k r  α) .
В такой волне векторы напряженностей электрического и маг

нитного полей E и H изменяются в пространстве и во времени по

гармоническому закону: вектор E всегда перпендикулярен к век
тору H , и каждый из них перпендикулярен к направлению распро

 
странения волны k k (векторы E , H и k образуют правую тройку).
Для волн УКВ-диапазона (ультракоротких радиоволн, длина
волны которых λ  2πc ω30 см), изучаемых в работе, характерна

линейная (плоская) поляризация: колебания вектора E происходят
вдоль одного направления (см. § 8 разд.1).
Интенсивность I монохроматической электромагнитной волны
пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электриче2
ского поля: I  1 2  cε 0 E m
, так что, измеряя квадрат амплитуды
напряженности электрического поля, можно с точностью до коэффициента определить интенсивность такой волны.
В настоящей работе в качестве приемника электромагнитной
волны используется диодный (кристаллический) высокочастотный
детектор, имеющий приблизительно квадратичную зависимость
тока от напряжения на начальном участке вольт62
41
амперной характеристики i (U ) . Поэтому ток, проходящий через
диод, пропорционален интенсивности электромагнитной волны
2
 I ).
( i  U 2 , а U  E m , т.е. i  E m
Кроме того, такой приемник обладает избирательностью к
направлению колебаний электрического поля, что позволяет определить поляризацию электромагнитных волн. Поэтому, например,
интенсивность волны, измеренная детектором в плоскости, состав
ляющей угол  с направлением колебаний вектора E ,
I  I 0 cos 2 α ,
(1)
где I — интенсивность падающей на детектор волны. Соотношение (1) называется законом Малюса (см. § 8 разд.1) и он легко объясним, если учесть, что детектор реагирует только на проекцию

вектора E на ось самого детектора. Пусть E0 — амплитуда
напряженности электрического поля падающей волны, тогда детектор будет воспринимать только составляющую с амплитудой
(рис.1): E m  E 0 cos α . Отсюда и следует закон (1).
Рис.1
В зависимости от типа источника волны могут быть плоскими,
сферическими, цилиндрическими и т.д. Электромагнитная волна от
точечного излучателя является сферической, причем ее интенсивность в не поглощающей среде изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от источника. Вдали от излучателя
фронт электромагнитной волны можно приближенно считать плоским.
42
Если на пути бегущей электромагнитной волны поставить отражающую поверхность, то волна отразится от нее. В результате возникают две волны с одинаковой частотой, бегущие в противоположных направлениях. Результат интерференции таких волн — так
называемая стоячая волна. Основное свойство стоячей волны —
фиксированное в пространстве расположение пучностей и узлов
полей с интервалом λ 2 (например, между соседними пучностями). Измеряя расстояние между узлами (или пучностями) напряженности электрического поля в стоячей электромагнитной волне,
можно определить ее длину.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Установка (рис.2) состоит из генератора электромагнитных колебаний 1 с рупорным излучателем, металлического отражателя 6,
приемной антенны, милливольтметра и источника питания.
Рис.2
Приемная антенна содержит диодный высокочастотный детектор 2. Напряжение U измеряется милливольтметром. Детектор 2
укреплен на конце отражателя 3, сделанного из пенопласта (диэлектрическая проницаемость пенопласта близка диэлектрической
проницаемости воздуха, поэтому зонд из пенопласта практически
не искажает картину поля). Держатель 3 помещен во втулку 5
кронштейна 7 так, что может вращаться вокруг своей горизонтальной оси с помощью ручки 8, вместе с кронштейном 7 — вокруг
43
вертикальной оси, проходящей через детектор 2. Шкала 12 служит
для отсчета углов поворота детектора 2 вокруг вертикальной оси.
Для отсчета углов вокруг горизонтальной оси на втулке 5 имеется
лимб 4. Кронштейн с детектором и отсчетными устройствами можно поступательно перемещать вращением ручки 9 вдоль направляющей 10. Перемещение измеряют по линейке на направляющей.
Поступательные горизонтальные перемещения излучателя осуществляются ручкой 11.
ЗАДАНИЕ 1
Определение длины электромагнитной волны
1. Установите металлический отражатель 6 (см. рис.2) напротив
излучателя 1. Вращая кронштейн 7 вокруг вертикальной оси, расположите держатель 3 под углом 90 к направляющей 10 на расстоянии l  70 см от излучателя. Включите питание генератора и
милливольтметра. Вращая детектор вокруг горизонтальной оси,
найдите положение приемного детектора, при котором показание
милливольтметра максимально (положение детектора не должно
совпадать с узлом электромагнитной волны). Добейтесь перпендикулярности расположения отражателя к направлению распространения волны: показание милливольтметра в узле должно быть
близким к нулю, а в пучности — наибольшим.
2. Снимите зависимость напряжения U приемника от его координаты x, изменяя ее вращением ручки 9. Проведите не менее десяти измерений через 2 – 3 мм, особенно тщательно фиксируя положения пучностей и узлов. Результаты измерений занесите в самостоятельно составленную таблицу. Постройте график U (x) и по
нему определите λ .
ЗАДАНИЕ 2
Проверка закона Малюса
1. Уберите отражатель. Установите детектор против излучателя
(как на рис.2) на расстоянии l  70 см от последнего. Вращая детектор вокруг горизонтальной оси, снимите зависимость напряжения U приемника от его угла поворота α (по лимбу 4).
2. Снимите 10 – 15 показаний через 20  , фиксируя угловые положения максимумов и минимумов интенсивности волны. Резуль44
таты измерений занесите в самостоятельно составленную таблицу.
Постройте график U () и сравните с теоретической зависимостью
I () , нормируя последнюю по максимуму экспериментальной
кривой.
Задание 3
Исследование зависимости интенсивности волны
от расстояния
1. Кронштейн с приемным детектором установите перпендикулярно к направлению излучения волны. Перемещая излучатель 1
(см. рис.2), снимите зависимость напряжения U приемника от расстояния x между излучателем и детектором. Измерения проведите в
интервале значений x от 40 до 85 см через каждые 5 см. Результаты
измерений занесите в табл.1.
Таблица 1
x, см
...
U, мВ
...
lg x
...
lg U
...
2. Постройте график зависимости lg U от lg x . Вычислите угловой коэффициент наклона графика (для сферической волны
U  x2 , угловой коэффициент должен быть равным двум). Сделайте вывод о характере излучаемой волны.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Напишите уравнение плоской и сферической электромагнитной волны. Как зависит интенсивность сферической волны от расстояния до источника?
2. Что представляет собой бегущая линейно (плоско) поляризованная волна?
3. Чем отличается стоячая электромагнитная волна от бегущей?
4. Как по зависимости U (x) , полученной в задании 1, определить длину электромагнитной волны?
5. Каким образом в данной работе проводится проверка закона
Малюса?
45
Р а б о т а 1.2
РАСПРОСТРАНЕНИЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИМПУЛЬСА В КАБЕЛЕ
Цель: измерение скорости распространения электромагнитного импульса и изучение условия его отражения от конца кабеля.
ВВЕДЕНИЕ
Кабель — двухпроводная линия, которая характеризуется рядом
параметров, распределенных по длине линии: R — активное сопротивление проводников, С — емкость между проводниками, L —
индуктивность проводников. Важное значение для расчета линии
имеет волновое сопротивление Z — отношение напряжения к току
в любой точке линии, по которой распространяется электромагнитная волна. Волновое сопротивление постоянно вдоль линии и не
зависит от ее длины. В диапазоне радиочастот
Z  L1 C1 ,
(1)
где L1 и C1 — индуктивность и емкость единицы длины линии.
Если линия подключена к устройству с входным сопротивлением
Rн , то в общем случае не вся энергия электромагнитной волны
поступает в нагрузку, часть ее отражается от конца линии и возвращается на вход. Можно показать, что отношение амплитуд отраженного и падающего сигналов:
Ao Rн  Z
.

Aп Rн  Z
(2)
Из формулы (2) следует, что в случае Rн  Z линия «согласована» с приемным устройством: отражения не происходит, и вся
энергия поступает в нагрузку. Возможен другой режим, когда вся
поступающая в линию энергия возвращается на вход. Этот режим
осуществляется в короткозамкнутой линии. Если линия замкнута,
т.е. Rн  0 , падающая волна отражается с изменением фазы на , и
46
отраженный импульс оказывается «опрокинутым». В случае разомкнутой линии при Rн   , отражение происходит без изменения
фазы.
В линиях передачи часто применяются коаксиальные кабели,
выполненные в виде внутреннего проводника, окруженного слоем
диэлектрика и внешнего проводника в форме оплетки. Индуктивность и емкость единицы длины такой кабельной линии
μ
L1  0 ln
2π
2πεε 0
r2
,
, C1 
r1
ln( r2 r1 )
(3)
где r1 и r2 — радиусы внутреннего и внешнего проводников.
Скорость распространения волны в кабеле зависит от диэлектрической проницаемости  изолирующего материала и равна (см. § 1
разд.1):
c
(  1),
(4)
v
ε
где c — скорость света в вакууме.
Распространение волны в реальной линии сопровождается потерей энергии — волна затухает по экспоненциальному закону. Коэффициент затухания определяется как
β
20
lg( A0 A) ,
x
(5)
где A0 и A — величины импульсов на входе в линию и на расстоянии x от него соответственно; размерность β — децибелл на
метр (дБ/м).
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Работа проводится на установке, принципиальная схема которой
показана на рис.1. Генератор Г вырабатывает прямоугольные импульсы длительностью до десятых долей микросекунды. Импульсы
подаются на вход осциллографа О и (при замыкании ключа K1 ) на
вход участка I коаксиального кабеля. В качестве нагрузки используется набор сопротивлений, причем в положении 1 переключателя
47
П линия разомкнута ( Rн   ), а в положении 11 — замкнута накоротко ( Rн  0 ). При замыкании ключа K 2 подключается последовательно участок кабеля II.
Рис.1
Исходный и отраженный импульсы наблюдаются на экране осциллографа, а время запаздывания может быть измерено непосредственно в делениях шкалы.
ЗАДАНИЕ 1
Определение скорости распространения
электромагнитного импульса в кабеле
1. Включите прибор в сеть. После прогрева (3 – 5 мин) установите напряжение генератора импульсов (5 – 10 В). На экране осциллографа должен наблюдаться одиночный импульс, амплитуду и
длительность которого можно регулировать. Рекомендуется длительность импульса 10 7 с.
2. Замкните ключ K1 (ключ K 2 должен быть разомкнутым),
импульс будет подан на вход кабеля I. На экране осциллографа
должен появиться отраженный импульс меньшей амплитуды (из-за
затухания). Измерьте по шкале осциллографа расстояние между
входным и отраженным импульсом в делениях шкалы и определите положение переключателя «дел./мкс» на панели осциллографа.
Рассчитайте время запаздывания  .
48
3. Замкните ключ K 2 , т.е. подключите участок кабеля II (переключатель П должен быть в положении 1). Так же как в предыдущем пункте, найдите время запаздывания сигнала, отраженного от
конца кабеля.
4. Зная время запаздывания сигнала (время прохождения сигнала по кабелю «туда и обратно»), вычислите скорость распространения электромагнитного импульса для одного и двух участков кабеля по формуле:
v
2l
,
τ
(6)
где l  l1 — для участка кабеля I и l  l1  l 2 — участка кабеля II.
5. Зная класс точности осциллографа оценить погрешность v
скорости импульса в кабеле.
6. Вычислите диэлектрическую проницаемость изолирующего
материала, используя формулу (4). Сравните результат с табличным значением для полиэтилена (Т = 2,3).
ЗАДАНИЕ 2
Определение волнового сопротивления кабеля
1. Отключите участок кабеля II, разомкнув ключ K 2 . Установите переключатель П в положение 1 ( Rн   ). Убедитесь в том, что
отраженный импульс ориентирован так же, как и исходный — оба
вверх или оба вниз, т.е. отражение происходит без изменения фазы.
2. Измерьте амплитуду A отраженного сигнала при различных
положениях переключателя П. Результаты измерений занесите в
табл.1, указывая сопротивление нагрузки, соответствующее этим
положениям.
Таблица 1
R, Ом
…
А, дел.
…
ln R
…
49
3. Постройте график зависимости амплитуды А отраженного
импульса от логарифма сопротивления нагрузки — ln Rн . При построении графика погрешность измерения амплитуды А принять
равной 0,1 дел. Точка пересечения графика с осью сопротивлений
определит волновое сопротивление кабеля.
4. Зная параметры кабеля ( r1 , r2 , ε ), вычислите емкость и индуктивность единицы длины кабеля и его волновое сопротивление по
формулам (3) и (1). Сравните со значением волнового сопротивления, полученного из графика.
ЗАДАНИЕ 3
Определение коэффициента затухания импульса в кабеле
1. Установите переключатель П в положение 1 и измерьте амплитуды исходного и отраженного импульсов.
2. Вычислите коэффициент затухания  по формуле (5), полагая
x  2l1 . Оцените погрешность  по формуле вычисления погрешности косвенных измерений, приняв A = 0,1 дел.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое волновое сопротивление кабеля?
2. Как изменится волновое сопротивление, если кабель укоротить вдвое?
3. При каком сопротивлении нагрузки амплитуда отраженного
импульса максимальна (минимальна)?
4. Почему в устройствах, принимающих электромагнитные сигналы, стремятся сделать входное сопротивление равным волновому
сопротивлению кабеля?
5. Как изменится расстояние между импульсами на экране осциллографа, если длительность развертки увеличить вдвое?
50
Р а б о т а 1.3
ИЗУЧЕНИЕ ЗРИТЕЛЬНОЙ ТРУБЫ
Цель: определение увеличения зрительной трубы и исследование
ее разрешающей способности.
ВВЕДЕНИЕ
Зрительная труба — оптическая система, служащая для наблюдения удаленных предметов, т. е. для наблюдения в параллельных
лучах. Она состоит из длиннофокусного объектива и короткофокусного окуляра, которые расположены так, что задний фокус объектива совпадает с передним фокусом окуляра. Благодаря этому
падающий пучок параллельных лучей выходит из этой системы в
виде параллельных лучей.
В зрительной трубе кеплеровского типа (рис.1) объектив 1 образует действительное обратное изображение А' наблюдаемого удаленного объекта, которое рассматривают в окуляр 2.
Рис.1
Основными характеристиками зрительной трубы являются ее
увеличение и разрешающая способность (см. § 7 разд.1).
Увеличением  зрительной трубы называют отношение тангенса угла , под которым объект виден в трубу (см. рис.1), к тангенсу угла , под которым он виден невооруженным глазом:

tgψ
.
tgψ
(1)
51
Из рис.1 видно, что это отношение равно f1 f 2 , где f1 и f 2 —
фокусные расстояния объектива и окуляра трубы. С другой стороны, из рис.2 следует, что f1 f 2  D1 D2 , где D1 и D 2 — диаметры сечений входящего и выходящего пучков. Поэтому
f
D
 1  1 ,
f 2 D2
(2)
т.е. увеличение зрительной трубы равно отношению диаметров сечений входящего и выходящего пучков.
Рис.2
Для зрительной трубы диаметр D1 входящего пучка равен диаметру оправы объектива, а диаметр D 2 выходящего пучка (см.
рис.2) совпадает с диаметром изображения оправы объектива в
окуляре трубы (на этом основан способ измерения D 2 ).
Разрешающей способностью A зрительной трубы называют величину, обратную предельному углу δψ — угловому расстоянию
между двумя еще различимыми в трубу точками или штрихами
рассматриваемого объекта:
A
1
.
δψ
(3)
Разрешающая способность трубы зависит от ряда факторов: совершенства оптической системы, диаметра объектива, яркости объекта, а также от свойств глаза наблюдателя. Последний фактор
определяется главным образом тем, что глазу в той или иной степени присущ так называемый астигматизм — особый вид искажения изображения. Астигматизм проявляется, например, в том,
52
что четкость видения равноотстоящих штрихов зависит от их
наклона.
Рис.3
Для определения разрешающей способности трубы используют
специальную штрихованную таблицу — миру (рис.3). В каждом
квадрате миры штрихи расположены по четырем различным
направлениям, имеют одинаковую толщину и одинаковое расстояние между собой. Расстояния между штрихами для каждого номера
квадрата можно найти по таблице, прилагаемой к установке.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Работа проводится на оптической скамье — массивной направляющей, на которую устанавливают необходимые оптические элементы. Оптическая схема установки показана на рис.4. Здесь 1 —
осветитель (источник света с конденсорной линзой); 2 — коллиматор, в передней фокальной плоскости которого расположен наблюдаемый объект (предметная шкала или мира); 3 — исследуемая
зрительная труба кеплеровского типа — перед ее объективом
укреплен поворотный диск с набором круглых отверстий различного диаметра. Диаметры этих отверстий в миллиметрах указаны на
самом диске.
Коллиматор служит для наблюдения объекта в параллельных
лучах, что эквивалентно удалению объекта на бесконечность.
Осветитель подключается к сети через трансформатор, снабженный ручкой — регулятором напряжения.
53
Рис.4
К установке прилагаются: трубка с предметной шкалой, вспомогательная таблица миры. Цена деления как предметной шкалы, так
и шкалы измерительной лупы равна 0,1 мм.
При подготовке к лабораторной работе ознакомьтесь с пп.1 – 4
«Методических рекомендаций».
ЗАДАНИЕ 1
Определение увеличения зрительной трубы
Это задание следует выполнить двумя способами.
Первый способ: определение увеличения как отношения тангенсов углов, под которыми виден предмет через исследуемую зрительную трубу и без нее.
1. Прежде всего, настройте вспомогательную зрительную трубу
на бесконечность — для этого достаточно навести ее на какой-либо
удаленный предмет (например, через окно лаборатории). Затем поместите эту трубу на оптическую скамью вместо исследуемой трубы, а в отверстие коллиматора (со стороны осветителя) вставьте
трубку с предметной шкалой.
2. Включив осветитель, установите накал лампы наиболее удобный для наблюдения. Перемещением трубки с предметной шкалой
добейтесь отчетливого видения этой шкалы через вспомогательную
трубу без параллакса относительно шкалы трубы. Тем самым
предметная шкала окажется совмещенной с передней фокальной
плоскостью коллиматора. Измерьте по шкале вспомогательной
трубы расстояние, например, между двумя большими делениями
изображения предметной шкалы ( l 0 ).
3. После этого поместите исследуемую зрительную трубу между
коллиматором и вспомогательной трубой, установив перед ее объективом максимальное отверстие поворотного диска. Настройте
исследуемую трубу так, чтобы в поле зрения вспомогательной трубы появилось четкое изображение предметной шкалы (тоже без
параллакса). Опять измерьте по шкале вспомогательной трубы рас54
стояние между теми же двумя большими делениями изображения
предметной шкалы ( l ).
Измеренные расстояния l и l 0 пропорциональны тангенсам углов, под которыми виден предмет через исследуемую трубу и без
нее (убедитесь, что это так). Поэтому в соответствии с формулой
(1) увеличение исследуемой трубы   l l 0 .
Второй способ: определение увеличения как отношения диаметра сечения входящего пучка D1 к диаметру сечения выходящего пучка D 2 .
Диаметр D1 известен — он равен диаметру соответствующего
отверстия поворотного диска. Остается измерить D 2 . Для этого следует заменить вспомогательную трубу измерительной лупой. Придвинув ее к окуляру исследуемой трубы, найдите такое положение,
при котором получится четкое и полное изображение входного отверстия трубы, т.е. отверстия поворотного диска. Убедитесь, что это
есть изображение именно входного отверстия (для этого достаточно
немного повернуть диск). Устранив параллакс, измерьте по шкале
лупы диаметр изображения D 2 и по формуле (2) вычислите увеличение трубы. Для каждого отверстия поворотного диска измерьте
диаметр D 2 . Результаты измерений занесите в табл.1.
Таблица 1
D1, мм
…
D2, мм
…
Г
…
Найдите среднее значение увеличения <Г> трубы, оцените погрешность разброса . Сравните результаты, полученные обоими
способами.
ЗАДАНИЕ 2
Исследование разрешающей способности трубы
1. Уберите измерительную лупу, а предметную шкалу замените
трубкой с мирой. Перемещением этой трубки добейтесь отчетливо55
го видения миры — через окуляр исследуемой трубы. При этом
отверстие перед объективом трубы должно быть максимальным, и
накал лампы — наиболее удобным для наблюдения. Затем отодвиньте трубу на конец скамьи и проведите дополнительную фокусировку изображения миры.
2. Внимательно рассматривая изображение, найдите ту группу
квадратов, штрихи которой еще различимы по всем четырем
направлениям. По цифрам, соответствующим этой группе квадратов, определите с помощью таблицы, прилагаемой к установке,
расстояние s между штрихами.
Не меняя накала лампы (опыт проводится при неизменной яркости наблюдаемого объекта), проделайте аналогичные измерения s
для всех отверстий поворотного диска, в порядке уменьшения их
диаметра. Перед каждым измерением глазу необходимо дать отдохнуть. Результаты измерений занесите в табл.2.
Таблица 2
N
D, мм
N
миры
s,
мкм
,
угл. мин
A,
1/ угл. мин
...
...
...
...
...
...
3. Зная предельное разрешаемое расстояние s между штрихами
и фокусное расстояние f коллиматора, вычислите для каждого
отверстия предельный угол δψ  s f (в угл. мин или угл. с) и соответствующее значение разрешающей способности A .
4. По полученным результатам постройте на одном чертеже
графики зависимости δψ и A от диаметра отверстия. Таблица миры дает дискретные значения , поэтому погрешность следует
оценивать, как половину разности , соответствующих соседним
номерам миры.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. От чего зависит увеличение зрительной трубы и ее разрешающая способность?
56
2. Зависят ли результаты измерений в этой работе от расстояния
между зрительной трубой и коллиматором?
3. Какова роль вспомогательной трубы в данной работе?
4. Оба ли способа определения увеличения, описанные в этой
работе, пригодны для галилеевой зрительной трубы, окуляр которой является рассеивающим?
5. Почему в каждом квадрате миры штрихи расположены по
разным направлениям?
Р а б о т а 1.4
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЛЕОБЪЕКТИВА
Цель: определение оптимальных параметров телеобъектива.
ВВЕДЕНИЕ
Любая центрированная оптическая система (см. § 7 разд.1) обладает рядом так называемых кардинальных точек, лежащих на ее
главной оптической оси. Знание положения и свойств этих точек
резко упрощает анализ оптических систем и позволяет легко находить изображение предмета, совершенно не рассматривая действительного хода лучей внутри самой системы. Что это за точки, и каковы их свойства?
1. Передний и задний главные фокусы F и F  (рис.1). Любой
луч, падающий на систему и проходящий через точку F — передний главный фокус, после прохождения системы идет параллельно
главной оптической оси 00 (луч 1 – 1'). Любой луч, падающий на
систему параллельно главной оптической оси, после выхода из системы проходит через точку F  — задний главный фокус (луч 2 –
2'). Плоскости, проходящие через точки F и F  перпендикулярно
к главной оптической оси, называют соответственно передней и
задней фокальными плоскостями.
57
Рис.1
2. Передняя и задняя главные точки Н и Н' и соответствующие
им главные плоскости (они проходят через точки Н и Н' перпендикулярно к главной оптической оси). Главные плоскости изображают друг друга с линейным увеличением +1. Это значит, что если
поместить отрезок у, например, в переднюю главную плоскость, то
его изображение у' окажется в задней плоскости, причем будет
прямым и равным по величине отрезку у, т. е. у' = у. Иначе говоря,
точки, лежащие в главных плоскостях напротив друг друга, являются сопряженными. Расстояния FH и H F  называют соответственно передним и задним фокусными расстояниями f и f  .
3. Передняя и задняя узловые точки К и К'. Любой луч, проходящий через переднюю узловую точку К, после выхода из системы
пересекает точку К', причем будет идти в направлении, параллельном падающему лучу. Если показатели преломления сред с обеих
сторон оптической системы одинаковы, то узловые точки совпадают с главными, а фокусные расстояния f и f  одинаковы (этот
случай иллюстрирует рис.1, см. ход луча 3  3 ).
Следует иметь в виду, что для различных оптических систем относительное расположение кардинальных точек может сильно различаться. В частности, обе главные плоскости могут быть расположены внутри системы, вне ее, по одну сторону от системы и,
наконец, в обратном порядке (Н' перед H).
Определение положения главных точек. У оптической системы,
находящейся в воздухе, главные точки совпадают с узловыми. По58
этому для нахождения главных точек достаточно установить положение узловых точек. Если направить на оптическую систему пучок параллельных лучей, они соберутся в точке, лежащей на задней
фокальной плоскости. Поскольку только в узловой точке поперечное и продольное линейные увеличения равны, то при повороте
вокруг узловой точки К' положение точки-изображения остается
неизменным в пространстве. Таким образом, задача сводится к
нахождению такой точки, поворот системы вокруг которой на небольшие углы не приводит к смещению изображения.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
В данной работе исследуемой сложной оптической системой
служит модель телеобъектива — комбинация положительной и отрицательной тонких линз (рис.2). Главные плоскости телеобъектива вынесены вперед, благодаря чему эта система является длиннофокусной и вместе с тем достаточно компактной — качества, весьма существенные при создании таких приборов, как бинокль, фотоаппарат и др.
Рис.2
Изучение модели телеобъектива проводится на оптической скамье — массивной направляющей, на которой установлены рейтеры
с необходимыми оптическими элементами. Оптическая схема
установки показана на рис.3. Здесь О — осветитель с конденсором,
К — коллиматор, в передней фокальной плоскости которого расположена крестообразная предметная шкала, Т — модель телеобъек59
тива, Л — измерительная лупа, в передней фокальной плоскости
которой находится отсчетная шкала (она показана пунктиром).
Коллиматор позволяет наблюдать предметную шкалу в параллельных лучах, что эквивалентно удалению ее на бесконечность.
Рис.3
Линзы телеобъектива можно перемещать по горизонтальным
направляющим рейтера. На одной направляющей нанесена миллиметровая шкала, нуль которой совпадает с осью рейтера.
Отсчет положения линз относительно оси рейтера производится
по меткам на оправах этих линз. На положительной линзе нанесен
знак «+», на отрицательной — знак «–».
Положение оси рейтера отсчитывается с помощью метки на его
основании по линейке на оптической скамье. Нуль этой линейки
совпадает с положением отсчетной шкалы измерительной лупы.
При подготовке к лабораторной работе ознакомьтесь с пп.1 – 4
«Методических рекомендаций».
ЗАДАНИЕ
Нахождение оптимальных параметров телеобъектива
Одно из главных требований, предъявляемых к телеобъективу,
заключается в том, чтобы он давал как можно большее линейное
увеличение и вместе с тем был достаточно компактен. Линейное
увеличение пропорционально заднему фокусному расстоянию f 
телеобъектива, а компактность характеризуется расстоянием L
между положительной линзой и задним главным фокусом всей системы. Обоим требованиям можно удовлетворить одновременно,
если добиться, чтобы отношение f  L было максимальным. Решение этой задачи в нашей работе рекомендуется проделать следующим образом.
60
1. Прежде всего необходимо отцентрировать систему, т.е. установить, возможно точнее, на одном уровне — на уровне телеобъектива — все ее оптические элементы (зачерненные стороны оправ
обеих линз телеобъектива должны быть обращены к коллиматору).
После этого установите положительную линзу на расстояние
l   40 мм от оси рейтера, а отрицательную — на конец направляющих рейтера. Затем, перемещая рейтер с линзами и отрицательную линзу относительно рейтера, найдите такое положение,
для которого изображение предметной шкалы в поле зрения лупы
было бы максимально четким, без параллакса относительно отсчетной шкалы и минимально смещалось бы при небольших поворотах телеобъектива вокруг оси рейтера. Последнее означает, что
ось рейтера практически совпала с задней узловой точкой К', а следовательно, и с Н'. Отсчет по металлической линейке будет соответствовать заднему фокусному расстоянию f  телеобъектива. Результаты измерений занесите в табл.1. Запишите также расстояния
от оси рейтера до положительной и отрицательной линз ( l  и l  ).
Эти измерения проделайте не менее трех раз.
Таблица 1
N
l+, мм
l-, мм
f’, мм
d, мм
L, мм
<f’>/L
...
...
...
...
...
.

...
2. Такую операцию проделайте для пяти разных положений положительной линзы, устанавливая ее на следующих расстояниях l 
от оси рейтера: 40, 60, 70, 75 и 80 мм.
3. Для каждого значения l  вычислите средние значения  l   и
 f’, а также расстояния d = l    l   и L =  f’  l  .
4. По полученным результатам постройте на одном чертеже
графики зависимостей  f   , L и отношения  f   L от расстояния d между линзами телеобъектива.
61
5. Изобразите в масштабе схему телеобъектива, соответствующую максимуму отношения  f   L , и укажете на ней положения
H  обеих линз и главного фокуса F  системы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие пары кардинальных точек являются сопряженными?
2. В чем заключаются преимущества телеобъектива?
3. Постройте изображение в телеобъективе, если предмет находится между передним главным фокусом и передней главной плоскостью.
4. В чем заключается способ определения задней узловой точки
оптической системы?
5. Что такое параллакс? Почему его надо устранять при измерениях?
Р а б о т а 1.5
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСПЕРСИИ СТЕКЛЯННОЙ ПРИЗМЫ
Цель: определение зависимости показателя преломления стекла призмы от длины волны света.
ВВЕДЕНИЕ
Фазовая скорость монохроматической волны в веществе определяется выражением v  c / n , где c — скорость света в вакууме,
n  ε — показатель преломления вещества. Диэлектрическая
проницаемость ε  ε(ω) является функцией частоты распространяющегося излучения. Таким образом, фазовая скорость волны и показатель преломления также являются функциями ее частоты. Зависимость этих величин от частоты (или длины волны) называется
дисперсией. Среды, обладающие дисперсией, называются диспергирующими.
Дисперсия света возникает в результате вынужденных колебаний заряженных частиц (электронов и ионов), входящих в состав
вещества, под действием переменного поля электромагнитной вол62
ны. Теория дисперсии света в рамках классической теории была
дана Г. Лоренцем.
Принято различать случаи нормальной и аномальной дисперсии.
Для всех прозрачных бесцветных веществ показатель преломления
возрастает с увеличением частоты. Такой характер зависимости
n(ω) называют нормальной дисперсией. Если вещество поглощает
свет, то в спектральном интервале, в котором наблюдается поглощение света, и вблизи него ход дисперсии обнаруживает аномалию: рост частоты сопровождается уменьшением показателя преломления. Явление аномальной дисперсии было экспериментально
открыто Леру в 1860 г.
Переходя от частоты ω к длине волны (в вакууме) λ  2 πc /  ,
приведем удобную для сравнения с опытными данными формулу
n(λ)  1  A λ 2  B λ 4 .
(1)
Эта формула была установлена Френелем и Коши еще до создания классической теории дисперсии, а A и B в ней — эмпирические постоянные. Во многих случаях выражение (1) дает удовлетворительное описание эмпирических данных; график зависимости
n() представлен на рис.1.
Рис.1
Типичной диспергирующей системой является стеклянная
призма. Свет разных длин волн, проходя через призму, отклоняется
на разные углы. Для определения зависимости n() в данной работе
используется метод, основанный на измерении угла наименьшего
отклонения. Суть этого метода в следующем. Пусть луч света с
длиной волны  падает на грань призмы с преломляющим углом 
63
под некоторым углом  (рис.2). В результате двух преломлений
вышедший из призмы луч отклоняется на угол  по отношению к
падающему лучу. Угол  зависит от угла падения , преломляющего угла θ призмы, а также сорта стекла и длины волны света .
Можно показать, что при симметричном прохождении света через призму (как на рис.2) угол отклонения минимален ( = мин). В
этом случае показатель преломления определяется формулой
n
sin
1
(θ  α min )
2
,
θ
sin  
 2
(2)
где угол α min зависит от λ .
Рис.2
В данной работе используется призма с θ = 60, и формула (2)
упрощается:
n = 2sin(30 + мин /2).
(3)
Таким образом, определение показателя преломления для каждой длины волны сводится к измерению соответствующего угла
наименьшего отклонения.
Призма как спектральный прибор обладает способностью пространственно разделять пучки лучей различных длин волн. Соответствующей характеристикой прибора является угловая дисперсия,
определяемая как отношение /, где  — разность углов отклонения световых пучков с длинами волн, отличающимися на .
Для призмы с преломляющим углом θ = 60 угловая дисперсия
вблизи угла наименьшего отклонения определяется формулой
64
δα
1
dn
,

2
δλ
d
λ
1  (n / 2)
(4)
где dn/d — так называемая дисперсия вещества (из которого сделана призма). Формула (4) получается из (3) дифференцированием
по  (это легко понять, заметив, что
30 + α min /2 = arcsin(n/2);
cos (arcsin p ) = 1  p 2 ).
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Работа выполняется на гониометре — приборе для точных измерений углов. Оптическая схема установки показана на рис.3.
Здесь 1 — коллиматор, в передней фокальной плоскости которого
расположена узкая раздвижная щель; 2 — исследуемая призма;
3 — зрительная труба (в фокальной плоскости ее объектива образуется изображение входной щели коллиматора).
Рис.3
65
Рис.4
Если свет содержит несколько длин волн, то образуется ряд
изображений щели, соответствующих этим длинам волн (линейчатый спектр). Наблюдают этот спектр через окуляр трубы. Внешний
вид гониометра показан на рис.4.
Описание гониометра и правила работы с ним содержатся в п.5
«Методических рекомендаций».
ВНИМАНИЕ! При недостатке хода винта 15 (когда маховик
9 дошел до упора) силу ни в коем случае применять нельзя!
Надо ослабить стопорный винт 14, поставить винт 15 от руки в
среднее положение, застопорить винт 14 и заново навести трубу на
данную линию. Также надо поступить, если при повороте маховика
9 Вы выходите за край правой (секундной) шкалы.
ЗАДАНИЕ 1
Подготовка установки к измерениям
1. В данной работе зрительная труба и столик должны самостоятельно вращаться вокруг оси прибора, а лимб должен быть закреплен с осью. Для этого следует освободить винты 11 и 16 (см. рис.4),
рычажок 13 отпустить (вверх) и винт 14 закрепить.
66
Вращением накатанного кольца окуляра трубы добейтесь четкого изображения визирного креста в поле зрения окуляра.
2. Включив подсветку лимба ВКЛ, установите зрительную трубу навстречу коллиматору и проследите, чтобы в этом положении
отсчет по шкале лимба не выходил за пределы интервала углов от
90 до 270.
В противном случае нажмите на рукоятку 10 и, вращая ее, введите требуемый участок лимба (это нужно только для того, чтобы
при измерениях не переходить через нуль лимба, что вызвало бы
усложнение при определении разности отсчетов).
3. Включите ртутную лампу. Откройте входную щель коллиматора и, поворачивая фокусировочный винт 2, установите по шкале
коллиматора (она находится с противоположной стороны этого
винта) нуль напротив  . Этим самым мы устанавливаем щель коллиматора в фокальной плоскости объектива.
4. Проследите, чтобы входная щель была достаточно хорошо
освещена. Затем поворотом трубы введите изображение щели коллиматора в середину поля зрения. Закрепив трубу винтом 11, тщательно сфокусируйте изображение винтом 6. Оно должно быть достаточно узким и ярким. Произведите винтом 12 более тщательное
совмещение вертикального штриха визирного креста с серединой
изображения. После этого сделайте отсчет по шкале лимба ( N 0 ).
5. Повторите описанным выше способом, используя винты 11 и
12, отсчеты ( N 0 ) не менее трех раз. В качестве окончательного результата следует принять < N 0 >. Сравните разбросы результатов
однотипных измерений с приборной погрешностью гониометра
 пр и сделайте вывод о характере погрешности прямых измерений
углов.
6. Установите на столик гониометра исследуемую призму так,
чтобы одна из ее преломляющих граней расположилась перпендикулярно к оси одного из винтов наклона столика. Имейте в виду,
67
что световой пучок, падающий на призму, преломляется в сторону
её основания (см. рис.3). Поворачивая от руки столик с призмой,
глазом отыщите цветной спектр и в это направление введите зрительную трубу. Просмотрите в трубу весь спектр — от желтого
дублета до яркой фиолетовой линии.
7. Уменьшите длину входной щели коллиматора так, чтобы
длины линий стали равными около половины высоты поля зрения — это достигается перемещением пластинки с V -образным
вырезом, которая находится перед щелью. Проследите, чтобы середины линий расположились по горизонтали, горизонтальный
штрих визирного креста при повороте трубы должен пересекать их
по центрам. Если это не так (спектр перекошен), отрегулируйте
наклон столика винтами 4. После этого длину щели максимально
увеличьте и приступайте к измерениям.
ЗАДАНИЕ 2
Определение зависимости n(λ )
1. Наблюдая в неподвижную трубу, например, за крайней фиолетовой линией спектра, поворачивайте от руки в одном направлении столик с призмой. При этом линия будет перемещаться по полю зрения и в некоторый момент начнет двигаться в обратном
направлении, несмотря на то, что вращение столика продолжается
в прежнем направлении. Момент изменения направления движения
линии как раз и соответствует углу наименьшего отклонения α min
для этой линии.
2. В данном положении столика совместите вертикальный
штрих визирного креста с серединой линии. Закрепите трубу винтом 11, тщательно сфокусируйте линию винтом 6 и произведите
более точное совмещение вертикального штриха с серединой линии — винтом 12. После этого сделайте отсчет N по шкале лимба.
Это измерение повторите не менее трех раз. Результаты измерений
занесите в табл.1.
68
Таблица 1
Цвет
, нм
N
<N>
min = <N> – <N0>
n
…
…
…
…
…
…
3. Аналогичную операцию проделайте для всех спектральных
линий, указанных в таблице на установке.
4. Вычислите среднее значение отсчетов <N> и погрешность
разброса N. Из разности отсчетов <N> и <N0> найдите α min для
каждой линии спектра. Оцените погрешность min: min =
= max(N,N0). По формуле (3) рассчитайте соответствующие показатели преломления n с погрешностями. По полученным результатам постройте график зависимости n( λ ) . Сравните качественный вид графика n() с эмпирической формулой (1) (см. рис.1).
5. Вычислите непосредственно угловую дисперсию призмы для
желтого дублета как отношение δα/δλ (в угл. мин / нм). Оцените
погрешность угловой дисперсии Dэ =  δα/δλ , приняв в качестве
()погрешность разброса разности соответствующих отсчетов
Nж1 и Nж2. Полученный результат сравните с вычисленным по
формуле (4). Необходимую для последнего расчета величину
dn / dλ найдите из графика n(λ ) следующим образом. Проведите
касательную к графику n(λ ) в точке, соответствующей желтому
дублету. Вычислите угловой коэффициент наклона касательной —
dn / dλ .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что характеризует угловая дисперсия спектрального прибора?
69
2. От чего зависит угловая дисперсия призмы?
3. Как установить призму на минимум отклонения для данной
длины волны?
4. Что надо сделать, чтобы столик гониометра вращался самостоятельно при неподвижном лимбе, вместе с лимбом при неподвижной зрительной трубе?
5. Как производятся отсчеты по лимбу гониометра?
6. В чем состоит качественное различие зависимости показателя
преломления вещества от длины волны n() в области нормальной
и аномальной дисперсии?
7. Спектральные линии каких длин волн  преломляются под
большими углами  при падении на призму?
70
Р а б о т а 1.6
ИЗУЧЕНИЕ ПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА
Цель: знакомство с основными свойствами поляризованного
света.
ВВЕДЕНИЕ
Характер поляризации световой волны может быть изменен и
проанализирован различными способами. Подробно этот вопрос
рассмотрен в § 8 разд.1. Напомним кратко способы получения и
основные свойства поляризованного света.
А. Поляризованный свет может быть получен непосредственно
от источника, в котором процессы испускания волн отдельными
элементарными излучателями согласованы между собой, например
от лазера. В данной работе используется гелий-неоновый лазер,
излучение которого плоскополяризовано.
Б. Плоскополяризованный свет можно получить из естественного, пропуская
его через поляризатор — прибор, выделяющий световые волны, в которых век
тор E колеблется параллельно определенной плоскости, которую называют
плоскостью поляризации (§ 2 разд.1).
Колебания, перпендикулярные этой
плоскости, полностью задерживаются.
Если падающая на поляризатор волна
плоскополяризована под углом  к
плоскости поляризатора П (рис.1; свет
распространяется перпендикулярно риРис.1
сунку), то через поляризатор проходит
волна с амплитудой E||  E0 cos φ . Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, интенсивность после поляризатора I  I 0 cos 2  (закон Малюса, см. § 8 разд.1 формула (1.44)).
В. Преобразование естественного света в поляризованный происходит также при отражении его от поверхности диэлектрика.
71
Пучок естественного света, падающий на поверхность диэлектрика, удобно представлять как два пространственно совмещенных
пучка, имеющих взаимно ортогональные плоскости поляризации,
одна из которых совпадает с плоскостью падения ( E||(0) ), а вторая — перпендикулярна ей ( E||(0) ) (рис.2). Колебания в этих пучках
некогерентны. Из формул Френеля (1.24), (1.25) для отражения и
преломления света на поверхности диэлектрика следует, что при
отражении пучка естественного света от поверхности диэлектрика
в отраженной волне преобладают колебания, перпендикулярные
(1)
плоскости падения — E  и, таким образом, свет частично поляризован. В частности, при падении света на пластину под углом
Брюстера, который определяется из условия tgθ Бр  n , в отражен-
ном свете практически отсутствует волна, поляризованная в плоскости падения (см. рис.2).
Рис.2
Г. Характер поляризации света можно изменить, пропуская пучок через кристаллическую пластинку.
При падении на прозрачный кристалл узкого пучка света происходит его расщепление внутри кристалла на два пучка (двойное
лучепреломление), один из которых подчиняется обычному закону
преломления с показателем преломления n0 (обыкновенный луч), а
72
другой преломляется по сложному закону с показателем ne, зависящим от угла падения и ориентации кристаллических осей (необыкновенный луч). Лучи полностью плоскополяризованы во взаимно ортогональных направлениях, причем в необыкновенном лу
че вектор E колеблется в плоскости, содержащей луч и оптическую ось кристалла, имеющееся в каждом кристалле направление,
для которого ne = n0 (см. § 8 разд.1).
Особый практический интерес представляет случай, когда волна распространяется в направлении, перпендикулярном оси
кристалла, и не происходит пространственного разделения обыкновенного и необыкновенного лучей. Изготовим пластинку из
кристалла толщиной d так, чтобы ее грани
были параллельны оптической оси ОО1
(рис.3), и направим на нее плоскополяризованный свет, плоскость колебаний в котоРис.3
ром составляет угол  = 45 с осью ОО1.
Как известно (см. § 8 разд.1), такая пластина создает разность
хода для двух взаимно перпендикулярных поляризаций
  d (no  ne ) . В области за пластинкой будут складываться два
ортогональных колебания одинаковой амплитуды, сдвинутые по
фазе на   (2π/λ 0 )d (no  ne ) (см. формулу (1.47)).
Если   π / 2  2πm — пластинка в четверть волны, которая
преобразует плоскополяризованный свет в свет с круговой поляризацией.
Если   π  2πm — пластинка в полволны, которая поворачивает плоскость поляризации падающей волны на угол 2  90.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Лабораторная установка (рис.4) собрана на прямолинейной оптической скамье и включает в себя следующие элементы: ЛЗ —
лазер (источник плоскополяризованного света); Д — держатель
оптических элементов; С — поворотный столик с отсчетным лимбом для установки отражающих и преломляющих элементов;
73
ФП — фотоприемник, на входном столике которого установлен
поляризатор П, плоскость которого отмечена риской; сигнал с фотоприемника регистрируется вольтметром переменного тока (не
показан); М — модулятор светового потока, модуляция потока по
амплитуде позволяет исключить влияние засветки фотоприемника
посторонним светом; Л — расширительная линза, обеспечивающая
равномерное освещение фотоприемника (может отсутствовать);
СФ — держатель со светофильтрами (бывают нужны для ослабления сигнала, чтобы не вывести из строя фотоприемник); Н — круговая направляющая (на рисунке показана в разрезе) для углового
перемещения установки вокруг оси OO . При подготовке к лабораторной работе ознакомьтесь с пп.1 – 3 «Методических рекомендаций».
Рис.4
ЗАДАНИЕ 1
Проверка закона Малюса
1. Включите вольтметр, дайте ему прогреться 2 – 3 мин. Включите лазер и блок питания модулятора М. Установите фотоприемник ФП в прямой лазерный пучок так, чтобы входное окно было
равномерно освещено. Проверить это можно с помощью зеркала,
укрепленного на задней стенке установки. Выберите предел измерения вольтметра.
74
2. Вращая поляризатор П, убедитесь, что уровень сигнала зависит от положения плоскости поляризатора. Максимальному сигналу, очевидно, соответствует параллельное расположение плоскости
колебаний в лазерном пучке и плоскости поляризатора, а минимальному — перпендикулярное.
3. Проведите измерение зависимости интенсивности прошедшего света от угла поворота поляризатора П. При измерениях следите
за тем, чтобы световой поток не насыщал фотоприемник — уровень сигнала с ФП не должен превышать 5 mV . Для ограничения
светового потока используйте сменные светофильтры, устанавливаемые в держателе СФ. Результаты измерений занесите в табл.1.
Таблица 1
, град
0
5
10
...
U, мВ
cos2
U()/U(0)
4. По результатам измерений постройте график зависимости
I (φ) /I(0) = U()/U(0). Целесообразно по оси абсцисс откладывать
величину cos 2 φ , чтобы график имел вид прямой.
ЗАДАНИЕ 2
Знакомство с пластинками в полволны и четверть волны
В комплект принадлежностей установки входят три пластины,
вырезанные из двупреломляющего кристалла параллельно оптической оси. На всех пластинах указано направление оптической оси
(см. рис.3). Одна из данных Вам пластинок обозначена как λ / 4 ,
две другие обозначены номерами 1 и 2. Известно, что одна из
них — четвертьволновая, другая — полуволновая. Вам предлагается установить «что есть что».
Как изменится характер поляризации эллиптически поляризованного света после прохождения пластинки λ / 4 ? Как из эллиптической поляризации получить плоскую? Проверьте свои выводы
экспериментально.
75
ЗАДАНИЕ 3
Исследование отражения от поверхности диэлектрика.
Определение показателя преломления
1. Расположите элементы установки в соответствии со схемой
на рис.5. Отъюстируйте положение поворотного столика и фотоприемника так, чтобы:
а) лазерный луч был параллелен оптической скамье (если это не
так, не следует юстировать лазер самостоятельно, нужно позвать
дежурного сотрудника);
б) точка падения луча на поверхность призмы находилась на оси
вращения столика;
в) при повороте столика с призмой на любые углы отраженный
луч оставался горизонтальным и попадал в центр окошка ФП, при
соответствующем перемещении ФП по круговой направляющей до
совмещения с лучом.
Рис.5
2. Проведите измерения напряжения U на фотоприемнике ФП в
диапазоне углов падения  от 0 до 90. В процессе измерений погрешности установки углов, совмещения окна ФП с отраженным
пучком могут приводить к довольно заметному разбросу экспериментальных данных. Поэтому для достижения необходимой точности нужны повторные измерения (не менее 3 – 5 раз). Результаты
измерений занесите в табл.2.
76
Таблица 2
, град
90
85
80
...
...
...
...
...
U, мВ
...
<U()>
R=<U()>/<U(0)>
3. Приняв за 100 % интенсивность в прямом пучке, рассчитайте
на основании полученных данных коэффициент отражения R в
указанном диапазоне углов. Поскольку плоскость колебаний в лазерном пучке ориентирована вертикально, полученные значения R
отвечают случаю, когда плоскость колебаний перпендикулярна
плоскости падения — R (θ) .
4. Проведите аналогичные измерения для случая параллельной
ориентации колебаний и плоскости падения — R|| (θ) . Для этого
установите в промежуток между лазером и призмой пластину λ / 2
и добейтесь с ее помощью поворота плоскости поляризации лазерного излучения на 90.
5. Постройте на одном рисунке графики R (θ) и R|| (θ) . Выясните их общие черты и отличия. По графику R|| (θ) определите угол
Брюстера и вычислите показатель преломления призмы. Оцените
погрешность результатов.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Как рассчитать интенсивность прошедшей через поляризатор
плоскополяризованной световой волны?
2. Что такое пластинка в четверть волны и полволны?
3. Какая величина равна λ / 4 у четвертьволновой пластинки?
4. Как из плоскополяризованного света получить свет, поляризованный по кругу?
5. Каким образом можно повернуть плоскость поляризации на
угол α ?
6. Можно ли из неполяризованного света получить плоскополяризованный при помощи диэлектрической пластинки?
7. Как отличить неполяризованный свет от света, поляризованного по кругу?
77
Р а б о т а 1.7
ИЗУЧЕНИЕ ЕСТЕСТВЕННОГО ВРАЩЕНИЯ
ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Цель: изучение явления естественного вращения плоскости поляризации света, построение градуировочной кривой поляриметра
и определение концентрации раствора.
ВВЕДЕНИЕ
В некоторых кристаллах (например, кварце) распространение
света вдоль оптической оси сопровождается поворотом плоскости
поляризации (см. § 8 разд.1). Это явление свойственно и некоторым
органическим жидкостям (например, раствору сахара). Такие вещества называются оптически активными, а само явление — естественным вращением плоскости поляризации.
Для оптически активных растворов угол поворота плоскости
поляризации определяется формулой
 = [] c l,
(1)
где c — концентрация раствора (масса активного вещества в единице объема раствора); l — толщина слоя раствора; [] — коэффициент, называемый удельным вращением плоскости поляризации и
численно равный углу поворота (в град.) при c = 1 г/см 3 и l = 1 дм.
Этот коэффициент зависит от природы вещества, температуры и
длины волны света.
Естественное вращение плоскости поляризации можно наблюдать, поместив оптически активное вещество между поляризаторами Р и Р. Если их плоскости (плоскости разрешенных колебаний)
взаимно перпендикулярны, то плоскополяризованный свет, прошедший поляризатор Р, в отсутствие оптически активного вещества будет целиком задержан поляризатором Р, и поле зрения будет темным. Введение оптически активного вещества приводит к
повороту плоскости поляризации, благодаря чему поле зрения про78
светлеет (в соответствии с законом Малюса, см. формулу (1.44)
разд.1). Повернув поляризатор Р вокруг светового пучка так, чтобы
поле зрения стало опять темным, можно тем самым найти и угол
поворота плоскости поляризации в исследуемом веществе.
Однако определение угла поворота плоскости поляризации таким способом сопряжено со значительными погрешностями, поскольку трудно найти достаточно точно положение поляризатора
Р, соответствующее именно максимальному затемнению поля зрения. Поэтому при измерениях обычно применяют полутеневой
метод, в котором установка производится не на темноту поля зрения, а на равную яркость полей сравнения.
Идея этого метода в следующем. Пусть поляризатор Р (рис.1)
состоит из двух частей (1 и 2), плоскости которых образуют между
собой угол . Тогда естественный свет, прошедший через такой
поляризатор, расчленится на два одинаковых по интенсивности
плоскополяризованных пучка, плоскости поляризации которых повернуты относительно друг друга на тот же угол .
Рис.1
Рис.2
При прохождении через поляризатор Р интенсивности обоих
пучков будут зависеть от положения его плоскости относительно
направлений колебания светового вектора в обоих пучках. Это по

ясняет рис.2, где A1 и A2 — световые векторы обоих пучков; Р —
плоскость поляризатора Р. Амплитуды колебаний света в пучках,

прошедших через поляризатор Р, равны проекциям векторов A1 и
79

A2 на направление Р. В общем случае эти проекции различны,
поэтому и интенсивности обоих пучков будут отличаться друг от
друга. Для уравнивания интенсивностей пучков, а следовательно, и
яркостей полей сравнения поляризатор Р достаточно повернуть в
положение, при котором его плоскость совпадает с биссектрисой
угла α.
При введении между поляризаторами Р и Р оптически активного вещества плоскости поляризации обоих пучков повернутся на
некоторый угол φ и яркости полей сравнения изменятся. Угол φ
легко определить: он равен углу, на который следует повернуть
поляризатор Р, чтобы опять уравнять яркости обоих полей.
Рис.3
Чувствительность полутеневого метода. Из рис.3, на котором
показаны плоскости колебаний светового вектора обоих пучков (А1
и A2), видно, что уравнивание интенсивностей пучков (яркости полей) можно осуществить при двух взаимно перпендикулярных положениях плоскости поляризатора Р ( PI и PII ). Причем, если угол
α достаточно мал, то чувствительность установки обоих полей на
одинаковую яркость в положении PI (светлое поле) будет значительно меньше, чем в положении PII (полутемное поле).
Действительно, поворот анализатора из положений PI и PII на
одинаковый малый угол δφ в случае полутемного поля приводит к
значительно большему относительному изменению амплитуд колебаний обоих пучков, чем в случае светлого поля.
80
Именно поэтому угол α делают небольшим (порядка нескольких градусов), и измерения проводят в полутемном поле (отсюда и
название полутеневой).
Описание установки
Используемый в работе прибор называется монохроматический
круговой поляриметр. Его схема показана на рис.4. Монохроматический свет от натриевой лампы 1 проходит через поляризатор 2.
Одна часть светового пучка проходит затем через кварцевую пластинку 3, которая поворачивает плоскость поляризации на небольшой угол порядка нескольких градусов. Далее свет проходит через
трубку 4 с исследуемым веществом, поляризатор 5 и зрительную
трубу. Через окуляр 6 наблюдают световое поле, разделенное на
два участка, угол между плоскостями поляризации которых (до
поляризатора 5) равен .
Рис.4
Поворотом муфты 7 зрительную трубку фокусируют на отчетливое видение границ двойного поля. Поворот поляризатора 5
осуществляется вращением маховичка 11. При этом яркости обоих
81
участков поля будут изменяться: при уменьшении яркости левого
участка яркость правого увеличивается, и наоборот.
Угол поворота поляризатора 5 отсчитывается по шкале лимба 10
через лупы 9. Шкала снабжена двумя нониусами. Цена деления
шкалы 0,5, цена деления нониуса — 0,02. Цифры на нониусе
означают: «10» — 0,10; «20» — 0,20 и т.д. Предел шкалы нониуса
0,50, он равен цене деления основной шкалы. Таким образом, отсчет нониуса прибавляется к целому или полуцелому числу градусов по основной шкале. Нуль шкалы соответствует одинаковой яркости обеих частей светового поля в отсутствие оптически активного вещества.
Исследуемый раствор наливают в стеклянные трубки. Трубка с
раствором вставляется в вырез в трубе прибора и закрывается откидной крышкой во избежание проникновения постороннего света
при измерениях.
ЗАДАНИЕ 1
Определение точности измерений
1. Выньте из прибора трубку для раствора, закройте крышкой
вырез трубы и включите лампу осветителя. Измерения рекомендуется начинать через 10 мин после включения этой лампы.
2. Сфокусируйте зрительную трубку на отчетливое видение границ двойного поля. Убедитесь, что установку полей на одинаковую
яркость можно осуществить при двух взаимно перпендикулярных
положениях поляризатора 5.
3. После этого установите поляризатор 5 на равную яркость полей сравнения в светлом поле. Если яркость полей окажется чрезмерной для глаза, то необходимо ввести дополнительный светофильтр, установив его перед поляризатором 5.
4. Потренировавшись на установку одинаковой яркости полей
сравнения, произведите затем эту операцию не менее семи раз и
запишите соответствующие отсчеты Ni по одному из нониусов. Если нулевой штрих нониуса смещен относительно нуля шкалы лим82
ба по часовой стрелке, то отсчет следует брать со знаком «+», если
против часовой стрелки — со знаком «–».
5. Затем поверните поляризатор 5 на 90 (в полутеневое положение). В этом положении также не менее семи раз произведите
установку поляризатора на равенство яркостей полей и запишите
соответствующие отсчеты по тому же нониусу.
6. Вычислите для обоих случаев среднеквадратичный разброс
отсчетов около среднего значения:

1
(N i ) 2 .

n
(2)
где n — число измерений, ΔNi = Ni – <N>.
В полутеневом методе при правильной настройке прибора разброс должен быть значительно меньше.
ЗАДАНИЕ 2
Определение угла поворота плоскости поляризации
1. Прежде всего необходимо определить нулевой отсчет при
наличии трубки с растворителем. Для этого налейте в трубку растворитель (дистиллированную воду) — до появления выпуклого
мениска. Затем на конец трубки надвиньте стеклянное оконце,
наложите резиновую прокладку и завинтите муфту (не очень туго!). Удалите загрязнения и следы жидкости с наружных частей
оконцев. (Эта часть работы, возможно, уже выполнена сотрудниками лаборатории.)
2. Установите трубку в приборе и сфокусируйте окуляр на четкое видение границ раздела двойного поля.
3. Поворотом поляризатора 5 (см. рис.4) — маховичком 11 —
тщательно уравняйте яркость полей и запишите соответствующий
отсчет по нониусу. Это измерение проделайте не менее пяти раз.
Среднее значение этих отсчетов определяет нулевой отсчет N0.
83
4. Аналогичную операцию проделайте для всех растворов сахара с известными концентрациями и для одного раствора с неизвестной концентрацией. Результаты измерений занесите в табл.1.
Таблица 1
c, г/cм3
n
N0
N
N
N
N
1
…
5
<N0>

5. Вычислите для каждого раствора угол поворота плоскости
поляризации φ, постройте график зависимости φ от концентрации c
(градуировочный график).
6. Найдите по этому графику неизвестную концентрацию раствора.
7. Вычислите по формуле (1) для каждого раствора удельное
вращение [] и его среднее значение (длина трубки указана на самой трубке).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Белый свет проходит через поляризатор, оптически активное
вещество и отражается от зеркала в обратном направлении. Будет
ли поляризатор задерживать отраженный свет?
2. Каковы преимущества полутеневого метода?
3. Можно ли кварцевую пластинку в данном поляриметре поместить перед поляризатором 2 (см. рис.4)?
4. На какую часть прибора фокусируется зрительная трубка?
5. Почему при работе с поляриметрами необходимо применять
светофильтр?
84
Р а б о т а 1.8 а
ИЗУЧЕНИЕ МАГНИТНОГО ВРАЩЕНИЯ
ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Цель: исследование явления магнитного вращения плоскости
поляризации света и определение постоянной Верде воды.
ВВЕДЕНИЕ
В 1846 г. Фарадей обнаружил, что оптически неактивное вещество, будучи помещенным в магнитное поле, поворачивает плоскость поляризации проходящей световой волны. Это явление
наблюдается в любых прозрачных веществах — твердых, жидких,
газообразных. Таким образом, присутствие магнитного поля способствует превращению среды в оптически анизотропную.
Качественное объяснение эффекта Фарадея заключалось в следующем. Взаимодействие магнитного поля с токами атомных электронов приводит к перераспределению электронного заряда в атомах и молекулах. Вследствие этого способность электронов совершать колебания под действием внешнего периодического электри
ческого поля E становится разной для различных направлений
движения частиц. Как известно, отклик электронов на внешнее
воздействие определяет скорость распространения электромагнитной волны в среде. Поскольку в простейшем случае направление

движения заряженной частицы коллинеарно вектору E , скорость
волны будет зависеть от направления напряженности электрического поля. Линейно поляризованный свет можно представить как
суперпозицию двух поперечных компонент, световые векторы которых вращаются во взаимно перпендикулярных направлениях.
Ввиду различия скоростей распространения этих компонент в магнитном поле плоскость поляризации света после прохождения через вещество повернется на некоторый угол φ. Величина поворота
определяется соотношением
φ
f cos θ
lH ,
2cn0
(1)
85
где ω — частота света; n 0 — показатель преломления среды в отсутствие магнитного поля H; c — скорость света в вакууме; l —
длина пути света в веществе; θ — угол между вектором магнитного
поля и направлением распространения волны; f — постоянная, зависящая от природы вещества. Постоянная f может быть как отри
цательной, так и положительной. Если f > 0 и векторы H (внешнего магнитного поля) и k параллельны друг другу (cos θ = 1), то
направление вращения плоскости поляризации совпадает с направлением вектора k . При этом, если смотреть вдоль вектора k ,
плоскость поляризации поворачивается по часовой стрелке вправо.
Такие вещества называются правовращающими. В случае левовращающих веществ f < 0, и плоскость поляризации поворачивается
против часовой стрелки влево.
Из выражения (1) вытекает, что абсолютная величина угла поворота максимальна, когда волновой вектор k коллинеарен векто
ру магнитного поля H . Коэффициент ρ  fω 2cn 0 называют постоянной Верде. Следовательно, при cos θ = 1 формулу (1) можно
записать в виде:
φ  ρlH .
(2)
Подчеркнем, что при заданном направлении магнитного поля
направление вращения плоскости поляризации (по отношению к
волновому вектору k ) в случае изменения знака k меняется на
обратное: правое вращение переходит в левое, и наоборот. Поэтому, если луч проходит один путь дважды (например, после отражения от зеркала), то суммарный угол поворота φ будет вдвое больше, чем после одного прохождения.
В лаборатории работа выполнена в двух вариантах.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Работа проводится на приборе, называемом сахариметром. Оптическая схема сахариметра показана на рис.1. Свет от лампы 1
проходит через поляризатор 2, исследуемое вещество 3, компенсатор 4 и поляризатор 5.
86
Рис.1
Компенсатор состоит из двух кварцевых клиньев: неподвижного
правовращающего и подвижного — левовращающего. Перемещая
подвижный клин перпендикулярно к оптической оси прибора,
можно скомпенсировать любой поворот плоскости поляризации в
исследуемом веществе.
Рис.2
Поляризатор 5 состоит из двух частей, плоскости которых Р1 и
Р2 (рис.2) образуют между собой небольшой угол α. При прохождении плоскополяризованного света через такой поляризатор в поле зрения окуляра прибора образуются два световых поля сравнения.
В общем случае амплитуды A1 и A2 колебаний, пропущенных
каждой частью поляризатора 5, будут различны (это видно из
рис.2, где A — световой вектор падающего плоскополяризованного света). Следовательно, различными будут и яркости обоих полей
сравнения. Яркости полей станут равными, если плоскость колебаний светового вектора A установить симметрично относительно
направлений Р1 и Р2. Это осуществляется перемещением клина
компенсатора.
Внешний вид сахариметра показан на рис.3. Здесь 1 — осветительная головка, в которой находятся лампочка, линза, светофильтр и поляризатор; 2 — соленоид, в который вставляют трубку
87
с исследуемой жидкостью; 3 — измерительный узел (в нем находятся компенсатор, поляризатор и круговая шкала с нониусом);
4 — отсчетная лупа; 5 — окуляр; 6 — рукоятка для перемещения
подвижного клина компенсатора и связанной с ним отсчетной
шкалы. Сто делений отсчетной шкалы соответствуют углу 34,62.
Рис.3
Соленоид питается от сети через выпрямитель, на передней панели которого расположены: регулятор напряжения (справа), вольтметр, амперметр и кнопка (слева) — для подключения соленоида.
ЗАДАНИЕ
Исследование вращения плоскости поляризации
1. Установите в прибор соленоид с трубкой, наполненной
дистиллированной водой. Сфокусируйте окуляр, тщательно
уравняйте яркости полей сравнения и снимите отсчет. При всех
измерениях следует использовать правило знаков: отсчеты вправо
от нуля основной шкалы лимба брать со знаком «+», отсчеты
влево — со знаком «–». Отсчеты показаний при помощи нониуса
поясняет рис.4. Здесь положение основной шкалы и нониуса
соответствует отсчету «–3,25» (нуль нониуса расположен левее
нуля основной шкалы на три полных деления, и в левой части
нониуса с одним из делений шкалы совмещается деление «25»).
Снятие показаний в отсутствие тока через соленоид произвести не
менее трех раз, в каждом из которых необходимо добиваться
88
одинаковой яркости полей сравнения. Среднее значение этих
отсчетов обозначим через ψ0. Полученные данные занести в табл.1.
Рис.4
2. Включите выпрямитель, проделайте аналогичные измерения
для нескольких значений силы тока I от 2 до 10 А с интервалами
2 А. Измерения производить при включении кнопки на выпрямителе. Во избежание перегрева обмотки соленоида промежуток между
двумя последовательными измерениями должен быть не меньше
2 – 3 мин. Результаты занесите в таблицу, обозначив посредством
ψi среднее значение отсчетов для каждого значения силы тока.
Таблица 1
I, A
N1, дел.
N2,
дел.
N3, дел.
ψi = <N>

φi,
угл. мин
...
...
...
...
...
...
...
3. Поменяв местами клеммы обмотки соленоида на выпрямителе, измените направление тока и магнитного поля. После этого повторите измерения для тех же значений силы тока.
4. Рассчитав средние значения ψi для каждого значения силы тока в соленоиде, найдите углы поворота плоскости поляризации по
формуле φi = ψi – ψ0.
5. Переведите φi в угловые минуты, полагая, что 100 делений
основной шкалы лимба соответствуют значению φ, равному 34,62.
Результаты вычислений занесите в таблицу.
89
По полученным данным постройте график зависимости φ(I ).
График должен иметь вид прямой. Из наклона прямой, т.е. отношения k  φ I вычислите постоянную Верде: ρ  φ IN , где
ρ — в угл.мин/А; N — полное число витков соленоида (указано на
приборе). Последнее соотношение следует из (2), где H  nI ,
n  N l — число витков на единицу длины соленоида.
6. Исходя из разброса значений ψi, оцените погрешность определения углового коэффициента наклона графика зависимости φ(I).
Рассчитайте погрешность измерения постоянной Верде с учетом
приближенных значений числа N и величины k. Сравните найденное в работе значение ρ с табличным.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое полутеневой метод и в чем его преимущества?
2. От чего зависит угол поворота плоскости поляризации при
прохождении линейно поляризованного света через образец, помещенный в магнитное поле?
3. Почему в сахариметре необходимо использовать светофильтр?
4. Объясните принцип работы компенсатора.
5. Пусть поля сравнения сахариметра в отсутствие магнитного
поля установлены на одинаковую яркость. Какая картина будет
наблюдаться, если через соленоид пропускать переменный ток достаточно малой частоты?
90
Р а б о т а 1.8 б
ИЗУЧЕНИЕ МАГНИТНОГО ВРАЩЕНИЯ
ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Цель: изучение вращения плоскости поляризации и определение
числа витков соленоида.
ВВЕДЕНИЕ
В 1846 г. Фарадей обнаружил, что оптически неактивное вещество, будучи помещенным в магнитное поле, поворачивает плоскость поляризации проходящей световой волны. Это явление
наблюдается в любых прозрачных веществах — твердых, жидких,
газообразных. Таким образом, присутствие магнитного поля способствует превращению среды в оптически анизотропную.
Объясняется это тем, что намагниченное вещество нельзя охарактеризовать одним показателем преломления n. Для право- и левополяризованных составляющих линейно поляризованного излучения показатели преломления n+ и n– различные при прохождении
света вдоль магнитного поля. Вследствие этого право- и левополяризованные составляющие распространяются с разной фазовой
скоростью, приобретая при этом разность хода, линейно зависящую от оптической длины пути. В результате плоскость поляризации света с длиной волны λ поворачивается на угол
φ = πl(n+ – n–)/λ,
где l — длина пути света в среде.
В случае небольших магнитных полей, разность показателей
преломления линейно зависит от напряженности магнитного поля
и в общем случае имеет вид:
φ = ρlH,
(1)
где ρ — постоянная Верде, которая зависит от свойств вещества,
длинны волны света и температуры.
91
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Работа проводится на приборе, называемом сахариметром. Его
оптическая схема разобрана в работе 1.8а (рис.1). Принципиальная
схема отличий не имеет, кроме трубки с исследуемым веществом,
на которой вместо одного соленоида намотано три.
ЗАДАНИЕ
Определение числа витков соленоида
1. Установите в прибор соленоиды с трубкой, наполненной дистиллированной водой. Установите переключатель П в положение
1. Сфокусируйте окуляр, тщательно уравняйте яркости полей сравнения и снимите отсчет. При всех измерениях следует использовать правило знаков: отсчеты вправо от нуля основной шкалы лимба брать со знаком «+», отсчеты влево — со знаком «». Отсчеты
показаний при помощи нониуса рассмотрены в описании работы
1.8а. Снятие показаний в отсутствие тока через соленоид произвести не менее трех раз, в каждом из которых необходимо добиваться
одинаковой яркости полей сравнения. Среднее значение этих отсчетов обозначим через 0. Полученные данные занесите в таблицу, самостоятельно составленную по образцу табл.1 (см. работу
1.8а).
2. Включите выпрямитель, проделайте аналогичные измерения
для нескольких значений силы тока I от 1 до 5 А с интервалами
1 А. Измерения проводить при включении кнопки К1 на выпрямителе (во избежание перегрева обмотки соленоида). Результаты занесите в таблицу, обозначив посредством i среднее значение отсчетов для каждого значения силы тока.
3. Проведите аналогичные измерения для всех положений переключателя П.
4. Рассчитав средние значения i для каждого значения силы
тока в соленоидах, найдите углы поворота плоскости поляризации
по формуле
i = i – 0.
92
5. Переведите i в угловые минуты, полагая, что 100 делений
основной шкалы лимба соответствуют значению , равному 34,62.
Результаты вычислений занесите в таблицу и по полученным данным постройте графики зависимости (I). Следует учитывать, что
положению 1, 2, 3 переключателя П соответствуют соленоиды номер 1, 2, 3 соответственно, а положениям переключателя П 4, 5, 6
те же соленоиды 1, 2, 3 соответственно, но с обратным направлением тока. Графики должны иметь вид прямых. Из наклона этих прямых, т.е. отношения k = ∆/∆I, вычислите количество витков:
N = ∆/∆Iρ, где ρ — постоянная Верде.
6. Исходя из разброса значений i оцените погрешность определения тангенса угла наклона зависимости (I). Рассчитайте погрешность измерения количества витков с учетом приближенного
значения k.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Почему необходимо использовать светофильтр при проведении работы?
2. Белый свет проходит через поляризатор, соленоид и отражается от зеркала в обратном направлении. Будет ли поляризатор задерживать отраженный свет?
3. Что такое полутеневой метод и в чем его преимущества?
4. Объясните принцип работы компенсатора.
5. Пусть поля сравнения сахариметра в отсутствие магнитного
поля установлены на одинаковую яркость. Какая картина будет
наблюдаться, если через соленоид пропускать переменный ток достаточно малой частоты?
93
Р а б о т а 1.9
ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ ФОТОУПРУГОСТИ
Цель: исследование явления фотоупругости, определение коэффициента фотоупругости плексигласа.
ВВЕДЕНИЕ
Прозрачное изотропное вещество, подвергнутое одностороннему сжатию или растяжению, становится в оптическом отношении
эквивалентным одноосному кристаллу, оптическая ось которого
совпадает с направлением действия внешних сил. При этом наблюдается явление двойного лучепреломления. Свет в деформированной среде разлагается на обыкновенный и необыкновенный лучи,
которые линейно поляризованы во взаимно перпендикулярных
направлениях и распространяются с различными скоростями. Подробнее о двойном лучепреломлении см. § 8 разд.1.
Возникновение двойного лучепреломления при сжатии называют фотоупругостью. Обычно это явление наблюдают с помощью схемы, приведенной на рис.1, а. Исследуемый образец помещают между поляризаторами P и P  . Если они скрещены между
собой, т.е. их плоскости составляют между собой угол 90, то при
отсутствии деформации в образце свет, прошедший через поляризатор P , полностью задержится поляризатором P  . Если теперь
образец подвергнуть сжатию вдоль оси OO , составляющей некоторый угол  (  0 , α  90) с направлением плоскости P , то линейно поляризованный свет испытает в образце двойное лучепреломление, в результате чего произойдет просветление поля в поляризаторе P  . Это просветление объясняет векторная диаграмма,
приведенная на рис.1, б. Здесь A — амплитуда колебаний линейно
поляризованного
света,
прошедшего через поляризатор P ;
 



A  Aо + Ae . Aо и Ae — амплитуды колебаний обыкновенной и
необыкновенной волны в образце. Поляризатор P  сводит оба колебания к одному направлению, причем всегда Ao  Ae .
Оба колебания
возникают из одного линейно поляризованного

колебания A , поэтому они когерентны и при сведении к одному
направлению могут интерферировать.
94
Рис.1
Так как в образце обе волны распространяются с различными
скоростями, то для них различны и показатели преломления n o и
n e . Поэтому после прохождения образца между волнами возникает
разность фаз δ  2d (no  ne ) / λ , пропорциональная их оптической
разности хода d ( no  ne ) , где d — толщина образца.
Амплитуда результирующего колебания, возникающего вслед

ствие интерференции колебаний с амплитудами Ao и Ae , а следовательно, и интенсивность света будут зависеть от разности фаз
 между обыкновенной и необыкновенной волной.
δ
(1)
A  A sin 2α sin 2 .
2
В области упругих деформаций разность показателей преломления
nо  ne  kσ ,
(2)
где σ — напряжение, испытываемое образцом; k — коэффициент
фотоупругости, характеризующий оптические свойства деформируемого вещества и зависящий от длины волны света. Этот коэффициент обычно измеряют в Брюстерах (1 Брюстер =
= 10 12 м 2 / Н).
Определение коэффициента фотоупругости, как видно из формулы (2), в основном сводится к измерению оптической разности
95
хода. Для этой цели используют кварцевый клин, оптическая ось
которого направлена перпендикулярно к его острому углу и лежит
в плоскости самого клина (преломляющий угол клина — всего несколько минут, фактически он используется как плоскопараллельная пластинка переменной толщины).
Если клин поместить между скрещенными поляризаторами, то
можно наблюдать систему интерференционных полос, параллельных его ребру. Полосы образуются потому, что разность хода
d ( no  ne ) , возникающая в клине, изменяется вдоль него вместе с
толщиной d, давая последовательно интерференционные максимумы и минимумы. Переход от данного максимума к соседнему соответствует изменению оптической разности хода на целую длину
волны λ . Таким образом, ширине полосы, т.е. расстоянию между
центрами соседних максимумов (или минимумов), соответствует
разность хода, равная λ .
Рис.2
Если кварцевый клин 3 поместить между образцом 2 и поляризатором 4 в схеме рис.2 и образец подвергнуть сжатию, то обнаруживается смещение всех полос, обусловленное возникновением
дополнительной разности хода в самом образце. Смещение полос
на долю η от ширины полосы соответствует изменению разности
хода на величину ηλ . Таким образом, измерив величину относительного смещения полос η и зная длину волны λ , можно определить разность хода в образце и по формуле (2) коэффициент фотоупругости
(3)
k  ηλ / σd .
Интерференция поляризованных волн лежит в основе метода
фотоупругости: из прозрачных изотропных материалов (напри96
мер, плексигласа) изготавливают модели различных непрозрачных
деталей и исследуют их описанным способом. Это позволяет решать ряд важных вопросов, связанных с наличием и распределением деформаций и напряжений в моделируемых деталях.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Используемая в данной работе установка состоит из двух основных частей — оптической и нагрузочной.
Оптическая схема установки показана на рис.2. Здесь 1 — лазер,
2 — исследуемый образец, 3 — кварцевый клин (при необходимости его можно выводить из хода лучей), 4 — поляризатор, 5 — зрительная труба с окуляром-микрометром.
Пучок, выходящий из лазера, немного расширен (с помощью
вспомогательного объектива) и плоскополяризован, поэтому поляризатор Р перед образцом не нужен.
Нагрузочное устройство (пресс) представляет собой обычный
рычаг с отношением плеч 1:10. Нагрузку прикладывают к концу
рычага, снабженному подвесом для гирь.
При подготовке к лабораторной работе ознакомьтесь с пп.1 – 4
«Методических рекомендаций».
ЗАДАНИЕ
Определение коэффициента фотоупругости
1. Включите лазер (с помощью лаборанта), выведите кварцевый
клин из хода лучей. Вращая оправу поляризатора 4 (см. рис.2), добейтесь полного затемнения поля зрения.
2. Установите образец под ненагруженный пресс так, чтобы его
полированные поверхности были перпендикулярны к падающему
свету. Введите в ход лучей кварцевый клин — в поле зрения окуляра должно появиться не менее двух темных полос.
3. Сфокусируйте окуляр на четкое видение визирного креста.
Затем окуляр поверните так, чтобы визирный крест перемещался
поперек темной полосы интерференционной картины.
4. Измерьте ширину полосы. Для этого совместите штрих креста
последовательно с серединами соседних темных полос (не менее
97
трех раз) и сделайте отсчеты по шкале и барабану окулярамикрометра. Разность этих отсчетов равна ширине полосы h (в
единицах деления шкалы барабана). Найдите среднее значение ширины полосы <h>.
5. Постепенно нагружая рычаг пресса, найдите смещения hi
одной из темных полос при различных нагрузках Р i . Для этого
совместите штрих креста с серединой этой темной полосы и сделайте отсчеты y i по шкале и барабану окуляра-микрометра. Эту
операцию повторите не менее трех раз. Результаты измерений занесите в табл.1. По разности отсчетов найдите смещения hi 
 y i    y1  (в единицах деления шкалы барабана).
Таблица 1

yi, дел.
i
P, кг
1
0
1
2
3
<yi>
hi , мм
i

6. Вычислите относительные смещения ηi  hi /  h  для соответствующих нагрузок Р i .
7. Постройте график зависимости η( P) . Этот график должен
быть линейным, выходящим из начала координат. Графически или
методом парных точек найдите среднее значение отношения
< η /Р>, оцените погрешность и вычислите затем коэффициент фотоупругости (в Брюстерах) по формуле
1
λb η / P ,
10
где λ — длина волны света; b — ширина образца (в направлении,
перпендикулярном к ходу лучей).
k
98
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чем заключается явление двойного лучепреломления? Как
ориентирована плоскость поляризации в обыкновенном и необыкновенном лучах?
2. Почему угол , между направлением сжатия образца и плоскостью пропускания поляризатора P, не может быть равным 0 или
90?
3. Какая картина будет наблюдаться через окуляр, если сжатие
образца производить в отсутствие кварцевого клина? В чем преимущества использования кварцевого клина?
4. Будет ли наблюдаться интерференционная картина, если
плоскость поляризатора 4 (см. рис.2) ориентировать параллельно
плоскости поляризации света, выходящего из лазера?
5. Какую роль играет поляризатор P  в схеме рис.1, а?
6. От чего зависит ширина наблюдаемой в окуляр интерференционной полосы?
99
2. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
§ 1. Интерференция световых волн
Под интерференцией волн понимается широкий круг явлений,
который возникает при наложении двух или более волн, и в результате интенсивность поля в точке наблюдения оказывается не равной сумме интенсивностей складываемых волн.
Так, в случае световых волн в одних местах области наложения
волн результирующая интенсивность оказывается большей, в других — меньшей. На экране, помещенном в эту область, возникают
чередующиеся светлые и темные участки, дающие устойчивую интерференционную картину.
Свет от обычных (не лазерных) источников — ламп накаливания, газосветных ламп и т.д., состоящих из макроскопически большого числа независимых элементарных излучателей, представляет
собой хаотическую смесь волн различных частот, поляризаций и
фаз. Поэтому два независимых источника света никогда не дают
интерференционной картины. Для ее наблюдения необходимо использовать свет от одного источника. Излучение от источника тем
или иным способом разделяют на два световых пучка, а затем
вновь сводят их, накладывая друг на друга. При определенных
условиях на качество света в такой схеме удается получить интерференционную картину.
Существуют два экспериментальных метода получения от одного источника двух световых пучков.
Метод деления волнового фронта. Примерами могут служить
классический опыт Юнга (более подробно эта схема обсуждается
дальше), бипризма Френеля, зеркала Френеля и т.д. Как правило,
такой метод накладывает жесткие ограничения на линейные размеры источника и даёт небольшую интерференционную картину.
Метод деления амплитуды. В этом методе световая волна от
источника посылается на одну или несколько частично пропускающих поверхностей. В зависимости от числа интерферирующих
после деления и последующего наложения пучков различают двухлучевую интерференцию (интерферометр Майкельсона), многолучевую интерференцию (интерферометр Фабри -Перро). Достоинством этого метода служит то, что в нем не существует ограничений на размеры источника.
100
Допустим, что в некоторую точку наблюдения приходят волны,


напряженности поля в которых E1 и E 2 . По принципу суперпозиции полей, напряженность результирующего поля равна векторной
 

сумме: E  E1  E2 . Из-за очень большой частоты оптических колебаний (характерное время изменения поля в волне T  10 15 с)

невозможно непосредственное измерение поля E . Все приёмники
излучения, регистрирующие энергетические характеристики света
(оптические приборы, глаз), обладают определенной инерционностью срабатывания и реагируют на интенсивность волны, усредненную за промежуток времени  (время разрешения прибора),
значительно больший T:


 
I ~ E 2  ( E1  E2 ) 2  E12  E2 2  2 ( E1E2 ) ;
τ
τ
τ
 
I ~ I1  I 2  2 ( E1 E 2 )
τ
τ
.
τ
(2.1)
Выражение (2.1) помимо суммы интенсивностей I1 и I2 каждой
из волн содержит еще одно слагаемое, пропорциональное
 
2 ( E1E2 ) , называемое интерференционным членом.
τ
 
Скалярное произведение ( E1 E 2 ) равно нулю в случае линейно
поляризованных в ортогональных направлениях волн. Этот случай
обращения в нуль интерференционного члена неинтересен и в


дальнейшем будем считать, что вектора E1 и E2 совершают колебания вдоль одной прямой. Однако это условие — необходимое, но
не достаточное, поскольку в случае двух независимых источников
света с одинаковой поляризацией волн интерференционный член
при определенных условиях может обращаться в нуль. При этом,
как следует из (2.1), I = I1 + I2, т.е. результирующая интенсивность
всюду равна сумме интенсивностей складываемых волн. Принято
говорить, что пучки не коррелированны или не когерентны между
собой. Однако в качественно ином случае, когда интерференционный член не обращается в нуль, I  I1 + I2. При этом говорят, что
источники света и соответствующие им световые пучки коррелированны или когерентны между собой и дают интерференционную
картину.
101
§ 2. Интерференция плоских монохроматических волн
На простом примере плоских монохроматических волн обсудим
вопрос об условиях когерентности волн. Строго говоря, монохроматические волны — идеализация и реальные источники (даже
очень хорошие лазеры, работающие в так называемом одномодовом режиме) не дают монохроматического света. Однако во многих
практических задачах условие монохроматичности света выполняется достаточно хорошо и, в частности, пригодно для определения
положения максимумов и минимумов интерференционной картины.
Итак, запишем уравнения волн в следующем виде:

 


E1 (r , t )  E01 cos(ω1t  k1r  α1 )  E01 cos φ1 ;
 
 


(2.2)
E 2 (r , t )  E02 cos(ω 2 t  k 2 r  α 2 )  E02 cos φ 2 ,


где 1 и 2 — частоты; k1 и k 2 — волновые вектора волн; 1и
2 — фазы соответствующих волн в момент t в точке наблюдения,

заданной радиусом-вектором r ; 1и 2 — произвольные постоянные части фаз волн.


Считая, что направления колебаний векторов E1 и E2 совпадают, запишем интерференционный член в форме:
 
2 ( E1 E 2 )  2E 01 E 02 cos φ1 cos φ 2 τ 
τ
(2.3)
 E01E02 cos(φ1  φ 2 ) τ  E01E02 cos(φ1  φ 2 ) τ
(при получении (2.3) использовалась известная тригонометрическая формула для произведения косинусов).
Как будет показано ниже, основной вклад в результирующую
интенсивность I дает первое слагаемое в (2.3). Найдем среднее значение:
1
cos(φ1  φ 2 ) τ 
τ

102
τ2
 cos(ωt  δ)dt 
τ 2
1 
ωτ
ωτ
2
ωτ

sin(
 δ)  sin(
 δ) 
sin(
) cos δ .

ωτ 
2
2
2
 ωτ
(2.4)
В (2.4) введены обозначения:
  2  1 —частотная рас 
стройка волн; δ  (k 2  k1 )r  (α 2  α1 ) .

Как следует из (2.4), при изменении радиуса-вектора r точки
наблюдения изменяется функция cos , а величина, стоящая перед
ней, остается при этом неизменной. Модуль этой величины, представляющий амплитуду колебаний,
 ωτ 
sin 

 2 
γ
.
ωτ
2
(2.5)
Параметр может принимать значения от нуля до единицы и
называется степенью когерентности волн. Зависимость  от безωτ
размерного аргумента
представлена на рис.2.1.
2
Рис.2.1
Из рисунка видно, что своего максимального значения, равного
ωτ
единице, параметр  достигает при
= 0 и за счет увеличения
2
знаменателя в (2.5) достаточно быстро убывает с ростом аргумента.
По этой причине практический интерес представляет область в интервале
0
ωτ
 π.
2
(2.6)
103
Аналогичным образом находится среднее по времени значение
для косинуса суммы фаз складываемых волн (второе слагаемое в
(2.3)). В результате возникает выражение, имеющее тот же вид, что
и (2.4), с заменой частотной расстройки  на сумму частот
ω1  ω 2 .
Оценим по порядку величины амплитуду при осциллирующем
cos , положив для видимого света ω1  ω 2  1015 c–1 и приняв в
качестве характерного времени срабатывания фотоэлектрического
прибора τ  10 10 c . Выбранные типичные параметры дают оценку
2
1
 ω  ω2 
sin  1
τ 
 10 5 ,
(ω1  ω 2 )
2
(
ω

ω
)τ


1
2
которая существенно меньше .
Таким образом, пренебрегая в (2.3) вторым слагаемым, получим
окончательное выражение для результирующей интенсивности в
области перекрытия волн:
I = I1 + I2 + 2 I1 I 2 cos .
(2.7)
Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим простейший случай двух монохроматических волн с совпадающими
частотами ( ω1  ω 2 ) и постоянными частями фаз ( α1  α 2 ). Из
(2.7) получим

I = I1 + I2 + 2 I1 I 2 cos(Kr ) ,
(2.8)

где посредством K обозначена разность волновых векторов:

 
K  k 2  k1 .
Как следует из (2.8), интенсивность зависит от положения точки
наблюдения, а поверхность равных интенсивностей дается уравне
нием Kr  const . Эти поверхности представляют собой плоскости,

перпендикулярные вектору K (рис.2.2).
Интенсивность максимальна там, где cos  принимает значение
+1, и равна
Imax =
104

I1  I 2
2 .
(2.9)
Рис.2.2
Соответственно, в тех точках, где cos   , интенсивность минимальна и
Imin =

I1  I 2
2 .
(2.10)
Расстояние x между соседними плоскостями максимальной
(или минимальной) интенсивности определяется условием
(2.11)
Kx  2 π .
Результаты (2.9) и (2.10) физически понятны, так как в первом
случае складываемые поля в точках наблюдения оказываются в
фазе, а во втором — в противофазе.


Модули волновых векторов k1 и k 2 одинаковы и равны
k  2π λ , так что K  2k sin( α 2) , где  — угол между направлениями распространения интерферирующих волн (см. рис.2.2). Откуда для величины x , называемой шириной интерференционной
полосы, получим
x 
2π
λ
λ

 .
K
2 sin( α 2) α
(2.12)
Последнее приближенное выражение в (2.12) справедливо, когда волны распространяются под малым углом друг к другу
(  1). Если на пути волн поставить плоский экран, перпендикулярно биссектрисе угла (ось Ох на рис.2.2 след плоскости), на
экране будут наблюдаться чередующиеся светлые и темные интерференционные полосы с расстоянием x между ними.
105
В частном и наиболее распространенном случае, когда интенсивности волн одинаковы (I1 = I2 = I ) формула (2.8) принимает вид

x 

 x 
I ( x)  2 I (1  cos δ)  2 I 1  cos 2π   4 I cos 2  π .

x


 x 

(2.13)
В соответствии с (2.13) освещенность экрана изменяется от максимального значения, равного учетверенному значению освещенности, создаваемой одной волной, до минимального значения, равного нулю.
§ 3. Схема опыта Юнга
Пусть плоская монохроматическая световая волна падает по
нормали на непрозрачный экран c двумя близко расположенными
отверстиями (или щелями), расстояние между которыми d. За экраном с отверстиями параллельно ему расположен на расстоянии l
экран наблюдения Э (рис.2.3).
Рис.2.3
Отверстия S1 и S2 в непрозрачном экране представляют собой
источники двух когерентных синфазных волн, распространяющихся в направлении экрана Э. Форма отверстий определяет вид вторичных волн: так в случае точечных отверстий это будут сферические, а в случае узких щелей — цилиндрические волны. Если расстояние между экраном много больше d (l >> d), амплитуды обеих
волн в точке наблюдения практически одинаковы, а, кроме того, в
окрестности наблюдения малые участки волновых поверхностей
106
волн могут считаться плоскими. Поэтому развитая в применении к
плоским волнам теория в этом приближении полностью применима. Для понимания последующих вычислений сформулируем условия на четыре параметра задачи размерности длины: , l, d, x. Будем считать, что:
а) l >> d и l >> x (отсюда следует, что интерференционная картина наблюдается при малых углах θ  1 , т.е. вблизи начала координат);
б) l >>  (неравенство означает, что картина изучается в волновой зоне источников, в результате этого складываемые волны считаем плоскими и с одинаковой амплитудой).

Из условия θ  1 следует, что K практически параллелен оси х
и зависимость интенсивности от координаты х точки наблюдения
дается формулой (см. (2.8)):
(2.14)
I ( x)  2I (1  cos(Kx)).
Если  — угол, под которым из точки наблюдения видны источники S1 и S2, то в силу условия а):
K  kα  k
d
.
l
Отсюда

 dx 
 dx 
I ( x)  2 I 1  cos k   4 I cos 2  π .
 l 
 l 

(2.15)
Максимум интенсивности, равный Imax = 4I (напомним, что
здесь I — интенсивность световой волны от одного отверстия),
возникает для координат х точек экрана Э, для которых
 d

cos π x max   1,
 l

xmax  m
l
,
d
(2.16)
где m — любое целое число (m = 0, 1, 2, …), называемое порядком
интерференции.
Между максимумом интенсивности располагаются минимумы, в
которых Imin = 0.
107
Ширина интерференционной полосы отвечает изменению m на
единицу: m  1 и равна
l
.
(2.17)
d
Выражение (2.16) имеет понятную физическую интерпретацию
x
в терминах длины волны . Как следует из рис.2.3,
θ и
l
θ   d , где  — разность хода волн от источников до точки
наблюдения. Отсюда

(2.18)
x  lθ  l .
d
Подставляя (2.18) в (2.16), получим

x =
l
l
(2.19)
 max   m , или  max   m .
d
d
Как следует из (2.19), максимумы интенсивности интерференционной картины наблюдаются в тех точках экрана Э, до которых
разность хода волн равна целому числу длин волн .
Из (2.15) в (2.16) нетрудно получить зависимость интенсивности
картины от  :
 k 
I ()  2 I 1  cosk   4 I cos 2 
.
 2 
(2.20)
§ 4. Интерференция в случае квазимонохроматических волн.
Временная когерентность
Обратимся к анализу явления, возникающего при наложении
двух квазимонохроматических волн. Имея в виду опыт Юнга, будем считать, что волны получены от одного источника и обладают
одинаковым спектром. Полная интенсивность каждой из волн дается формулой

I   I (ω)dω ,
0
108
(2.21)
где I (ω)  dI ω dω — спектральная плотность интенсивности
волны. Из определения следует, что элементарная интенсивность
монохроматических компонент, частоты которых лежат в интервале от  до ω  dω , равна dI ω  I (ω)dω . При наложении этих компонент в опыте Юнга на экране возникнет распределение интенсивности, описываемое формулой (2.15) с заменой I на элементарную интенсивность dI ω :

 dω 
dI ( x)  2 I (ω) 1  cos
x  dω
 lc 

(2.22)
(в (2.22) использовано определение k  ω c ).
Отдельные монохроматические компоненты с различными частотами не когерентны между собой. Поэтому полная интенсивность результирующей картины получается суммированием (2.22)
по всему спектру:



 dω 
 dω 
I ( x)  2  I (ω) 1  cos
x  dω  2 I  2  I (ω) cos
x dω . (2.23)
 lc 
 lc 

0
0
Для вычисления интеграла необходимо задание функции I (ω) в
явном виде. Выберем ее в простейшей модельной форме:
I ω, ω 0  ω 2  ω  ω 0  ω 2;
I (ω)  
 0, ω  ω  ω 2, ω  ω  ω 2.

0
0
(2.24)
Значение ω определяет ширину частотного интервала волны.
Подставляя (2.24) в (2.23), получим
ω  ω / 2


1 0
 dω   .
(2.25)
I ( x)  2 I 1 
cos
x
d
ω



 ω
lc  

ω0  ω / 2


Интеграл, входящий в (2.25), аналогичен интегралу в выражении (2.4). Поэтому, не останавливаясь на деталях вычислений, приведем ответ:
I ( x)  2 I 1  γ cosk 0   ,
(2.26)
109
где k 0  ω 0 c — волновое число, отвечающее центру частотного
интервала;  — разность хода волн в опыте Юнга.
Параметр  в (2.26) дается формулой
 ω 
sin 

2c 

γ
ω

2c
(2.27)
и имеет смысл степени когерентности двух квазимонохроматических волн. При разности хода волн  = 0 (центр интерференционной картины) степень когерентности максимальна и равна единице.
С увеличением разности хода степень когерентности волн убывает.
Вместе с ней уменьшается интерференционный член в (2.26), а интенсивность стремится к 2I. Таким образом, по мере удаления от
центра контрастность интерференционной картины монотонно
уменьшается вплоть до ее полного исчезновения при разности хода
ω
π.
2c
Введение разности хода между пучками света эквивалентно
временной задержке одного из них. Поэтому способность световой
волны к интерференции после её разделения на два пучка и последующего их наложения с некоторой разностью хода называется
временной когерентностью. Минимальная разность хода, при которой степень когерентности (2.27) обращается в нуль, называется
длиной когерентности lког. Ее представляют обычно в следующем
виде:
2πc λ 2
.
(2.28)

ω λ
При получении окончательного результата использовалось со2πc
отношение между частотой и длиной волны света ω 
. Отсюда
λ
для квазимонохроматической волны ( ω  ω ) следует ω 
2 πc

λ .
λ2
lког =
110
Из (2.28) и (2.19) нетрудно получить оценку для максимально
возможного порядка интерференции, при котором исчезает интерференционная картина
mmax  λ λ .
(2.29)
Временную задержку между волнами, отвечающую длине когерентности,

ког = lког/c
(2.30)
называют временем когерентности исходной световой волны.
§ 5. Пространственная когерентность
Пространственная когерентность связана с тем, что естественный источник света является протяженным и имеет конечный угловой размер  . С протяженностью источника света связан разброс

направлений волнового вектора k . Это, в свою очередь, приводит
к тому, что волновая поверхность в случае точечного источника,
становится «псевдоволновой» для протяженного источника. Фаза
колебаний при переходе от одной точки псевдоволновой поверхности к другой изменяется хаотическим образом. Для оценки степени
пространственной когерентности вводится расстояние ког, при
смещение на которое вдоль псевдоволновой поверхности случайное изменение фазы достигает значение . Колебания в двух точках
псевдоволновой поверхности, отстоящих друг от друга на расстояние, меньшее ког, будут приблизительно когерентными. Расстояние ког называется радиусом когерентности.

ког 
λ
,
φ
(2.31)
где  — длина монохроматической волны;  — угловой размер источника света видимый из точки наблюдения интерференционной
картины.
Таким образом, пространственная когерентность накладывает
ограничение на расстояние d между двумя источниками света. Для
111
того, чтобы две волны, возбуждаемые источниками находящимися
на расстоянии d друг от друга, были когерентными, необходимо,
чтобы:
λ
d < ког, d < .
(2.32)
φ
Вновь обратимся к схеме опыта Юнга. Опыт Юнга, проведенный в начале XIX в., впервые показал возможность наблюдения
интерференции света от двух источников и таким образом экспериментально подтвердил волновую природу света. В опыте Юнга
яркий пучок солнечных лучей освещал экран Э с малым отверстием S. Прошедший через отверстие свет вследствие дифракции образует расходящийся пучок, который падает на второй экран Э1 с
двумя малыми отверстиями S1 и S2, расположенными близко друг к
другу на равных расстояниях от S. Эти отверстия действуют как
вторичные точечные синфазные источники, и исходящие от них
волны, перекрываясь, создают интерференционную картину,
наблюдаемую на экране Э2 (рис.2.4). Введение дополнительного
экрана Э с отверстием S объясняется малой пространственной когерентностью естественных источников света. Допустим, что свет
направляется к щелям S1 и S2 непосредственно от Солнца. Угловой
размер Солнца φ  30  0,0087 рад, длину волны примем равной
λ  550 нм. Тогда радиус когерентности ког  0,06 мм, а расстояние между щелями должно быть d < ког = 0,06 мм. Такое условие
во времена Юнга выполнить было невозможно.
Рис.2.4
112
Введение дополнительного отверстия S, необходимого для когерентного возбуждения источников S1 и S2, резко уменьшает световой поток, что затрудняет осуществление опыта.
Интенсивность наблюдаемой в опыте Юнга интерференционной
картины можно заметно увеличить, если вместо точечных отверстий S, S1 и S2 в экранах применить длинные узкие параллельные
щели. Вид полос вблизи центра интерференционной картины будет
при этом таким же, как и при использовании точечных отверстий.
Поясним это. Если точечное отверстие S перемещать перпендикулярно плоскости чертежа на рис.2.4, то интерференционные полосы на экране Э2, полученные от точечных отверстий S1 и S2, будут
просто смещаться вдоль своих направлений, т.е. перпендикулярно
плоскости чертежа. Поэтому замена отверстия S длинной щелью,
т.е. непрерывной цепочкой точечных некогерентных источников,
не приведет к ухудшению четкости интерференционных полос.
Аналогично, не ухудшит четкости и замена отверстий S1 и S2 на
узкие длинные щели, перпендикулярные плоскости чертежа.
В современной модификации опыта Юнга в качестве источника
используется лазер, излучение которого обладает высокой пространственной когерентностью. При этом для когерентного возбуждения вторичных источников S1 и S2 нет необходимости во
вспомогательном отверстии S, так как в лазерном излучении световые колебания когерентны по всему поперечному сечению пучка.
§ 6. Интерференционные опыты по методу деления амплитуды
(опыт Поля)
Этот метод может применяться с протяженными источниками.
Интерференцию света по методу деления амплитуды наблюдать
проще, чем в опытах с делением волнового фронта. В опыте Поля
свет от источника S отражается двумя поверхностями тонкой прозрачной плоскопараллельной пластины. В точку наблюдения P,
находящуюся с той же стороны от пластины, что и источник, приходят две волны, которые образуют интерференционную картину.
При малом коэффициенте отражения  (например, для стекла
при нормальном падении  = 0,04можно повторные отражения от
113
внутренних поверхностей пластины не принимать во внимание
ввиду ничтожной энергии пучков, испытавших два и более отражения. Интерферирующие лучи имеют приблизительно одинаковые интенсивности, так как коэффициенты отражения от поверхностей равны, а поглощение света внутри пластины мало, поэтому на
экране Э образуется четкая интерференционная картина. Для определения вида полос можно представить, что лучи выходят из мнимых изображений S1 и S2 источника S, создаваемых поверхностями
пластинки. Расстояние между мнимыми источниками равно h. На
удаленном экране, расположенном параллельно пластинке, интерференционные полосы имеют вид концентрических колец с центрами на перпендикуляре к пластине, проходящем через источник
S.
На рис.2.5 расстояние от источника до пластины a показано
равным расстоянию от пластины до экрана l. Для определенности
будем считать, что пластина находится в воздухе, показатель преломления которого n0 положим равным единице.
Оптическая разность хода волн между параллельными лучами в
точке P такая же, как на линии DC (рис.2.6):

 = n (AB + BC  AD,
(2.33)
где n — показатель преломления пластинки; AB = BC = d/cos;
AD = 2d tg sin; ,  — углы падения и преломления. По закону
преломления света sin = n sin.
Подстановка значений AB, BC и AD в выражение (2.33) с учетом
закона преломления дает, что
 = nd cos  .
Следует учесть, что при отражении от верхней поверхности
пластины ее фаза меняется на , т.е.:

 = nd cos .2+,
где  — длина волны в вакууме.
Темные полосы будут наблюдаться
 = 2m + 1), тогда из (2.34) получим:

114
nd cos  = m.
(2.34)
при
условии,
что
(2.35)
Рис.2.6
Особенно важен случай, когда точка наблюдения P находится на бесконечности, т.е.
наблюдение ведется на экране,
расположенном в фокальной
плоскости собирающей линзы
(рис.2.6). В этом случае оба луча, идущие от S к P, порождены
одним падающим лучом и после отражения от передней и
Рис.2.5
задней поверхностей пластинки
параллельны
друг
другу
(рис.2.6).
Используя закон преломления, запишем это выражение через
угол падения .
1 2
Так как cos  = 1  sin 2   
n  sin 2 θ  то
n
2d n 2  sin 2 θ = m m = 1, 2, … .
(2.36)
115
В соответствии с формулой (2.34) светлые полосы расположены
в местах, для которых 2m и 2nd cos   = (m + 1/2). Полоса,
соответствующая данному порядку интерференции, обусловлена
светом, падающим под вполне определенном углом . Поэтому такие полосы называют интерференционными полосами равного
наклона.
Точно такие же полосы можно наблюдать в опыте Поля, поместив источник и экран на большом удалении от пластины (d << l), и
при малых углах падения  ( << 1). Тогда приходящие в точку P
(см. рис.2.5) лучи можно считать почти параллельными, так как
  hsinS1P = d/l и   .
При малых углах падения sin θ  θ и θ   θ n , используя формулу приближенных вычислений: cos θ   1  θ  2 2 , из (2.35) получим
θ 2 / 2  1 
mλ 0
.
2nd
Так как радиус темного кольца rm = 2 l (см. рис.2.5), то
rm2
8n 2 l 2
 1
mλ 0
.
2nd
(2.37)
Отметим, что центру интерференционной картины соответствует максимальный порядок интерференции в отличие от опыта Юнга. Формально полагая rm  0 , найдем максимальный порядок
mmax  2nd λ 0 . Интерференционная картина на экране будет
наблюдаться, если m max меньше, чем максимально возможный
порядок интерференции, определяемый по формуле (2.29).
116
Р а б о т а 2.1
ИЗУЧЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ
С ПОМОЩЬЮ БИПРИЗМЫ ФРЕНЕЛЯ
Цель: изучение явления интерференции света, определение длины волны света и угловой ширины зоны интерференции.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей работе интерференционная картина получается методом деления волнового фронта (см. § 1 разд.2) с помощью так
называемой бипризмы Френеля. Бипризма Френеля — оптическое
устройство, представляющее собой двойную призму с очень малыми преломляющими углами . При малых преломляющих углах
угол отклонения луча после прохождения через бипризму зависит
от показателя преломления материала бипризмы n и преломляющего угла бипризмы , и при малых углах падения не зависит от угла
падения.
(1)
φ  n  1θ .
Пусть на призму с малым преломляющим углом падает свет от
точечного источника S (рис.1).
Рис.1
После прохождении света через
такую призму, в результате преломления, световая волна распространяется, как бы исходя из точечного
источника S — мнимого изображения S. При малых преломляющих
углах изображение S получается
практически в одной плоскости с S
и расположенным близко от него.
Если склеить две такие призмы,
то получится бипризма Френеля, с
помощью которой можно получить
два мнимых источника S1 и S2
(рис.2).
117
Рис.2
В результате возникают две когерентные волны, которые частично перекрываются, образуя зону интерференции, угловая ширина которой
(2)
2φ  2n  1 θ .
Для определения длины волны монохроматического света 
можно использовать формулу (2.17) (см. § 3 разд.2), из которой
следует:
x  d
.
(3)
λ
l
Входящие в (3) величины x и l могут быть измерены непосредственно. Так как источники интерферирующих волн S1 и S2
мнимые — расстояние d недоступно непосредственному измерению, поэтому поступают следующим образом. Между бипризмой и
окуляром-микрометром (схема установки приведена ниже) помещают вспомогательный объектив. Пусть при одном положении 1
объектива расстояние между изображениями источников, возникающих в предметной плоскости окуляр-микрометра равно d1, а
при другом 2 — это расстояние равно d2 (рис.3).
Из формулы тонкой линзы (1.37) (см. § 7 разд.1) нетрудно показать:
b d1 d 2
,
(3)
d
f d1  d 2
118
где b — расстояние между обоими положениями объектива; f —
его фокусное расстояние (фокусное расстояние указано на объективе).
Рис.3
Для увеличения интенсивности интерференционной картины в
качестве источника S используется узкая щель (см. § 5 разд.2).
Немонохроматичность света и конечная ширина щели приводит
к уменьшению контрастности интерференционной картины и её
постепенному размытию по мере удаленния от центрального максимума (см. § 4 разд.2). В том случае, когда основную роль играет
немонохроматичность света появляется возможность экспериментально оценить степень квазимонохроматичности света и найти
ширину пропускания, используемых в работе фильтров.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Основу экспериментальной установки составляет оптическая
скамья, на которой установлены рейтеры с необходимыми оптическими элементами (рис.4). Здесь 1 — осветитель (лампа с конденсорной линзой), 2 — сменный светофильтр, 3 — раздвижная щель,
4 — бипризма, 5 — вспомогательный объектив, 6 — окулярмикрометр.
119
Рис.4
Бипризма находится в специальном держателе, который обеспечивает ее поворот вокруг продольной оси установки (вращением
накатанного кольца-оправы) и небольшие перемещения перпендикулярно к этой оси (после раскрепления накатанной головки винта
над оправой бипризмы).
В данной работе окуляр-микрометр служит для измерения интерференционной картины, наблюдаемой в его предметной плоскости ПП (она показана пунктиром). Цена деления барабана окулярамикрометра — 0,01 мм. Методика измерений с помощью окулярамикрометра изложена в «Методических рекомендациях».
Фокусное расстояние вспомогательного объектива указано на
его оправе.
Лампа осветителя питается от сети через трансформатор, на котором имеется ручка для регулировки ее накала.
К установке прилагаются два светофильтра — зеленый и красный.
При подготовке к лабораторной работе ознакомьтесь с пп.1-4
«Методических рекомендаций».
ЗАДАНИЕ
Определение длины волны света
1. Произведите наладку установки. С этой целью установите на
оптической скамье бипризму и окуляр-микрометр, если они не были установлены заранее. Включите осветитель и расширьте щель.
Перемещая лампу осветителя, добейтесь максимально яркого и
равномерного освещения щели (по крайней мере ее середины).
Придвинув бипризму и окуляр-микрометр непосредственно к
щели, отцентрируйте их по высоте. Затем окуляр-микрометр отодвиньте на конец скамьи, а бипризму на 30-40 см от щели.
120
Перемещая бипризму перпендикулярно к продольной оси установки добейтесь того, чтобы белый экран окуляра-микрометра пересекся по диаметру светлой полосой.
После этого, уменьшая ширину щели и слегка поворачивая
оправу бипризмы, получите в поле зрения окуляра-микрометра
максимально отчетливую интерференционную картину — систему
окрашенных полос с центральной белой полосой.
В случае, если установка отъюстирована и готова к измерениям, этот пункт задания не следует выполнять.
2. Введите один из светофильтров и дополнительной юстировкой положения бипризмы и ширины щели добейтесь того, чтобы
число полос стало как можно больше. Накал лампы при этом должен быть наиболее удобным для наблюдения, т.е. таким, чтобы
можно было четко различить 7-11 интерференционных полос.
3. Сфокусировав окуляр-микрометр на четкое видение визирного креста, снимите отсчеты x1 и x2 максимумов, отстоящими друг
от друга на возможно большее число полос m. Чтобы избежать систематических ошибок, следует вращать винт в одну сторону (см.
п.4 «Методических рекомендациях»). Результаты измерений запишите в табл.1.
Таблица 1
Светофильтр
Число полос m
x1, мм

x2, мм

x = |x1 – x2| / m

<x>, мм
4. Повторите еще дважды описанные в п.3 измерения, работая с
выбранными максимумами интерференционной картины.
5. Замените светофильтр и повторите все измерения пп.3 и 4 с
другими светофильтрами.
6. Для каждого светофильтра определите максимальный порядок интерференции, т.е. порядок того максимума (kmax), который
еще можно достаточно уверенно различать.
121
7. Измерьте также расстояние l между щелью и плоскостью
наблюдения (см. рис.3), а также расстояние a между щелью и
бипризмой (по указателям на рейтерах). Затем, не меняя положения
щели и бипризмы, установите между бипризмой и окуляроммикрометром вспомогательный объектив. Придвинув объектив
непосредственно к бипризме, и отметив по указателю рейтера его
положение –z1, найдите такое положение окуляра-микрометра, при
котором в его поле зрения получится резкое двойное изображение
щели (без паралакса относительно визирного креста). Запишите
положение объектива –z1. Снимите с помощью окулярамикрометра отсчеты x1 и x2 середин этих изображений. Результаты
измерений запишите в табл.2. Измерения отсчетов x1 и x2 проделайте не менее трех раз.
8. После этого отодвиньте окуляр-микрометр на конец скамьи и,
перемещая объектив, опять получите резкое изображение двойной
щели. Запишите положение объектива –z2. Снимите отсчеты x1 и x2
середин изображений щели. Результаты измерений запишите в
табл.2. Измерение проделайте не менее трех раз.
Таблица 2
Положение
объектива z, см
x1, мм
z1 =
z2 =

x2, мм

d1,2 = |x1 – x2|

<d >, мм
9. По результатам измерений табл.1 вычислите среднее значение
ширины полосы <x > для каждого светофильтра. Оцените погрешность разброса (x) и сравните ее с приборной погрешностью.
10. По результатам измерений пп.7 и 8 вычислите средние расстояния  d1  и  d 2  между изображениями щели. Оцените погрешности разброса d 1 и d 2 , сравните их с приборной погрешностью.
122
Вычислите расстояние d между мнимыми изображениями щели
по формуле (3), взяв в качестве d1 и d2 их средние значения. Расстояние b между обоими положениями объектива: b = z1 – z2.
11. Рассчитайте:
1) длину волны света и область пропускания для каждого светофильтра по формулам:
 x  d
;
(4)
l

;
(5)
λ 
k max
2) угловую ширину зоны интерференции (в угловых минутах)
d
по формуле 2φ  , где d — расстояние между мнимыми источниa
ками, a — расстояние между щелью и бипризмой, а также преломляющий угол  бипризмы по формуле (2), положив показатель преломления стекла равным n = 1,52.
Сравните (для каждого светофильтра) полное число видимых
полос интерференции kmax с максимально возможными для данной
ширины зоны интерференции:
λ
(l  a)2φ
,
 x 
где 2 — угловая ширина зоны интерференции;  x  — ширина
полосы.
Объясните причину возможных расхождений.
N max 
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Почему бипризму делают с очень малым преломляющим углом?
2. Будет ли наблюдаться интерференционная картина, если одну
половину бипризмы закрыть красным светофильтром, а другую —
зеленым?
3. Что произойдет с интерференционной картиной, если одну
половину бипризмы перекрыть тонкой прозрачной пластинкой
(толщиной порядка нескольких длин волн)?
4. Что может определять максимальное число полос наблюдаемой интерференционной картины?
123
Р а б о т а 2.2
ИЗУЧЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ
МЕТОДОМ КОЛЕЦ НЬЮТОНА
Цель: изучение явления интерференции света; измерение радиуса кривизны линзы и определение длины волны света.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей работе интерференционная картина, полученная
методом деления амплитуды (см. § 1 и 6 разд.2), возникает при отражении падающего света от верхней и нижней границ воздушной
прослойки, образованной между поверхностью плоской полированной пластинки и соприкасающейся с ней выпуклой сферической поверхностью линзы (рис.1).
Рис.1
Если разность хода волн, отраженных от границ воздушной
прослойки меньше длины когерентности падающей волны, то, отраженные от обеих поверхностей прослойки световые волны являются когерентными, и поэтому будут интерферировать. Из-за малой длины когерентности света от используемого в работе источника интерференционная картина — кольца Ньютона — будет
наблюдаться в небольшой области вблизи соприкосновения обеих
поверхностей. Ограничение на количество наблюдаемых колец
накладывает немонохроматичность световых волн, связанная с полосой пропускания используемых светофильтров.
124
Темные кольца в отраженном свете (при нормальном падении
монохроматического света на систему) возникают в тех местах, где
оптическая разность хода лучей, отраженных от верхней и нижней
поверхностей воздушной прослойки, составляет нечетное число

полуволн
. Для k -го темного кольца эта оптическая разность
2
хода равна (принимая показатель преломления воздуха за единицу)
λ
2hk  , где hk — толщина прослойки в месте расположения дан2
ного кольца (см. рис.1), а /2 — дополнительная разность хода,
возникающая в связи с тем, что одна из интерферирующих волн
отражается от оптически более плотной среды, чем та, в которой
она распространяется, испытывая при этом скачок фазы на  («потеря полуволны»).
Таким образом, условие образования k -го темного кольца:
λ
1
(1)
 (k  )λ ,
2
2
где k — порядок интерференции ( k = 0, 1, 2, ...).
Толщину воздушной прослойки hk можно выразить через радиус
k -го темного кольца rk и радиус кривизны поверхности линзы R
(см. рис.1) по формуле:
2hk 
hk 
rk2
2R
.
(2)
Комбинируя (1) и (2), получим
rk2  kR .
(3)
Отсюда, измерив rk и зная k и R, можно определить длину волны λ .
Однако практически трудно добиться идеального контакта сферической поверхности линзы и пластинки (вследствие упругой деформации стекла и попадания в место соприкосновения пылинок).
Поэтому непосредственно использовать формулу (3) для вычислений нельзя: k-му темному кольцу в действительности может соответствовать не k-й порядок интерференции, а k + p, где p — неизвестное целое число, одинаковое для всех колец.
125
Для исключения возможной ошибки вычисление λ производят
по разности квадратов радиусов колец. В этом случае неизвестное
p исключается, и расчетная формула принимает вид:
λ
(rm2  rn2 )
,
R ( m  n)
(4)
где m и n — номера колец.
Работа выполняется в двух вариантах.
ВАРИАНТ А
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
В работе используются два прибора: сферометр (для определения радиуса кривизны поверхности линзы) и микроскоп (для измерения радиусов колец Ньютона).
Сферометр (рис.2, а). В верхней части его корпуса имеется измерительное кольцо 2 с тремя опорными шариками, на которые
помещают измеряемую линзу 3. Внутри корпуса расположен измерительный стержень, который благодаря специальному устройству
поднимается вверх до соприкосновения с линзой. Если линза —
легкая, то применяется упор 4, которым линзу прижимают к измерительному кольцу. Для отвода измерительного стержня вниз служит рычаг-арретир 1.
а)
б)
Рис.2
126
Измерительный стержень соединен с миллиметровой шкалой,
отсчет по которой делают через окуляр 5. В поле зрения окуляра
(рис.2, б) одновременно видны два-три штриха миллиметровой
шкалы, обозначенные крупными цифрами (11, 12, 13), неподвижная вертикальная шкала (0, 1, 2, ..., 10) с ценой деления 0,1 мм, круговая шкала вверху с ценой деления 0,001 мм и двойные витки
спирали.
Чтобы произвести отсчет, надо маховичком 6 подвести двойной
виток спирали так, чтобы миллиметровый штрих, находящийся в
зоне витков, оказался точно посередине между двойными линиями
витка. Отсчет (см. рис.2, б): число миллиметров — 12, десятых долей миллиметра — 2 (по числу целых делений неподвижной вертикальной шкалы над штрихом 12), тысячных долей миллиметра —
73 (по делениям верхней круговой шкалы над указателем стрелки).
В результате отсчет равен 12,273 мм.
Микроскоп. Его оптическая схема показана на рис.3. Исследуемую линзу 3 и пластинку 4 помещают на подвижном столике 2.
Перемещение столика производится в двух взаимно перпендикулярных направлениях с помощью микрометрических винтов 1 с
отсчетными барабанами. Цена деления барабана 0,01 мм. В поле
зрения окуляра 10 имеется визирный крест. Между окуляром и
объективом микроскопа расположено устройство для освещения
объекта при работе в отраженном свете. Внутри него находится
ирисовая диафрагма 7, светофильтр 8 и полупрозрачная пластинка
9, благодаря которой свет от лампочки 6 частично отражается, проходит через объектив 5 и попадает на исследуемый объект.
Рис.3
127
При подготовке к лабораторной работе ознакомьтесь с пп.1 – 4
«Методических рекомендаций».
ЗАДАНИЕ 1
Измерение радиуса кривизны линзы
1. Опустив рычагом 1 (см. рис.2, а) измерительный стержень
сферометра, осторожно положите на кольцо 2 плоскую стеклянную
пластинку, прилагаемую к прибору. Отпустите рычаг 1, после чего
измерительный стержень, плавно поднимаясь, придет в соприкосновение с пластинкой. Через окуляр 5 снимите соответствующий
отсчет. Измерение повторите не менее трех раз, перемещая пластинку по кольцу.
2. Аналогичные измерения проделайте для линзы.
3. Из разности отсчетов для пластинки и линзы найдите стрелу
прогиба h. Вычислите радиус кривизны R поверхности линзы по
формуле:
r2 h
(5)
 ρ,
2h 2
где r и ρ — радиусы соответственно измерительного кольца и
опорных шариков (они указаны в приложении к прибору).
R
ЗАДАНИЕ 2
Определение длины волны света
1. Проверьте настройку микроскопа, для чего, положив на столик микроскопа лист белой бумаги, включите осветитель и убедитесь, что светлое пятно имеет круглую форму и равномерную
освещенность.
2. Убрав затем лист бумаги, поднимите тубус вверх и положите
на столик микроскопа исследуемую линзу. Вращением микрометрических винтов, перемещающих столик, установите отсчет на середину соответствующих шкал. Положите пластинку на линзу и
прижмите ее с помощью прижимных пружин. В месте контакта
должна появиться видимая на глаз темная точка (интерференционая картина). Темную точку проще всего обнаружить, покачивая
128
верхнюю пластинку относительно линзы. При этом темная точка
будет перемещаться. Если не удается наблюдать темную точку,
следует позвать дежурного сотрудника или преподавателя.
3. Опустите тубус микроскопа почти до соприкосновения с поверхностью пластинки. Вращая микрометрические винты 1, найдите такое положение линзы, при котором центр интерференционной
картины оказался бы в середине светового пучка. (Для того чтобы
увидеть темную точку в месте контакта линзы с пластиной, надо
последнюю слегка покачивать, при этом точка будет перемещаться.)
4. Сфокусируйте окуляр микроскопа на четкое видение визирного креста. Затем, медленно поднимая тубус, получите в поле зрения окуляра отчетливую систему колец. Дополнительной регулировкой отверстия ирисовой диафрагмы и накала лампы сделайте
картину максимально контрастной. И, наконец, перемещая линзу
по столику с помощью микрометрических винтов, введите центр
системы колец в середину поля зрения. В держателе установите
один из прилагаемых к работе светофильтров.
5. Переместите столик микроскопа одним из микрометрических
винтов вправо и совместите край наиболее удаленного, но еще отчетливо видимого темного кольца, с крестом нитей. Произвести
отсчет x N max по шкале и барабану микрометра. Это измерение
повторите несколько раз и найдите среднее значение. Рассчитайте
погрешность разброса xразб и сравните ее с погрешностью отсчета
микроскопа xпр = 0,003 мм. В качестве погрешности измерений x
принять наибольшую из этих двух. Для устранения ошибок из-за
люфта в винте темное кольцо следует подводить к кресту нитей с
одной стороны.
6. Перемещая затем столик микроскопа влево, последовательно
совместите края всех остальных темных колец с крестом нитей и
произведите такие же отсчеты (номер кольца n и соответствующие
показания отсчетого барабана — x1). Пройдя центральное пятно,
продолжайте измерения, записывая возрастающие номера колец и
соответствующие показания микрометра x2 в табл.1.
7. Аналогичные измерения проделайте в перпендикулярном
направлении с помощью второго микрометрического винта (y1 и
y2).
129
Таблица 1
n
x1, мм


x2, мм
y1, мм
y2, мм
dn, мм
dn2
d)2
...
...
...
...
...
...


...
...
8. По разности показаний микрометра вычислите среднее значение диаметра каждого n-го темного кольца dn = |x2 – x1|/2 +
+ |y2 – y1|/2. Принять в качестве погрешности dn = d  x.
9. Чтобы определить длину волны света, удобно воспользоваться графическим методом. Для этого следует построить график, отложив на оси ординат квадраты диаметров колец, а по оси абсцисс — их номера. На графике укажите погрешность d)2 = 2dd.
Зависимость dn2 должна иметь вид прямой. Угловой коэффициент,
например, может быть найден методом парных точек:
d 2  d n2
,
(6)
ki  m
mn
где m и n — номера колец, диаметры которых d m и d n . Вычислите
среднее значение k и погрешность  k.
Длину волны света определите по формуле:
k
,
(7)
4R
где R — радиус кривизны линзы. Вычислите погрешность .
При построении прямой следует иметь ввиду, что для точек, соответствующих малым номерам колец, особенно заметно искажение, связанное c деформацией линзы и пластинки в месте их соприкосновения.
λ
130
ВАРИАНТ Б
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
В варианте Б используется линза намного большего радиуса
кривизны, чем в варианте А этой работы, который невозможно измерить сферометром. Поэтому в варианте Б предлагается, измерив
диаметры колец Ньютона, определить радиус кривизны линзы по
известной длине волны света.
Для измерения диаметров колец Ньютона в работе используется
микроскоп (рис.4).
Рис.4
Правая окулярная трубка микроскопа заменена специальной
насадкой, в которую помещаются осветитель с конденсатором и
один из светофильтров. Регулировка освещенности производится
изменением напряжения питания лампы и, в случае необходимости, осторожным перемещением лампы по отношению к конденсатору. Держатель колец Ньютона 1 на предметном стекле устанавливается в круглое окно столика 2 микроскопа. В держателе смонтированы плоская стеклянная пластина и длиннофокусная линза.
Изображение предмета, полученное при помощи нижнего объектива 3, фокусируется верхним объективом, размещенным в бинокулярной насадке 4, в фокальную плоскость окуляра 5. Кроме
131
объектива в насадке 4 установлены призмы Шмидта, которые
обеспечивают прямое изображение предмета. В поле зрения окуляра 5 имеется шкала с ценой маленького деления 0,1 мм. На окулярной трубке имеется механизм диоптрийной наводки, осуществляемой вращением кольца 6. Смена увеличений нижнего объектива 3
достигается поочередным включением в ход световых лучей систем Галилея, находящихся в корпусе с барабаном 7. Установка
нужного увеличения H (7,4,2,1 и 0,6 крат) осуществляется вращением рукояток 8 в одном направлении до совмещения соответствующей цифры на рукоятке с индексом на кольце. Диаметр m-го
темного кольца Ньютона определяется по формуле
d m  pm / H
(мм),
(1)
где p m — диаметр указанного кольца в делениях шкалы окуляра.
Фокусировка микроскопа на объект производится вращением в
одном направлении рукояток 9, а регулировка их хода от легкого
до тугого осуществляется вращением рукоятки 10.
ПРАВИЛА БЕЗОПАСНОСТИ
1. Категорически воспрещается трогать любые зажимные (фиксирующие) винты, а также рукоятки, не упомянутые в разделе
«Описание установки» и не обозначенные на рис.4.
2. Во избежание перегрева прибора после 10 – 15 мин непрерывной работы осветитель необходимо отключить на 2 – 3 мин.
3. Соблюдайте особую осторожность при работе с интерференционными светофильтрами. Строго запрещается смахивать с них
пыль и протирать. Светофильтры разрешается брать только за
оправу.
ЗАДАНИЕ
Определение длины волны света
1. Поместите в насадку светофильтр и осветитель с конденсатором. Установите на столике предметное стекло и держатель колец
Ньютона 1. Включите осветитель и поставьте ручку микроскопа на
увеличение «×7». Сфокусируйте микроскоп на четкое видение ин132
терференционной картины. Перемещением держателя по предметному стеклу введите центр системы колец в середину поля зрения.
Установите ручку микроскопа на увеличение «×2». Отрегулируйте
освещенность и резкость изображения колец.
2. По шкале окуляра измерьте координаты левых и правых краёв
внутренних двенадцати темных колец. Результаты измерений запишите в подготовленную самостоятельно таблицу, указывая также их номера m. Для каждого кольца измерение повторить несколько раз.
3. Аналогичные измерения проделайте с другими светофильтрами.
4. Вычислите среднее значение диаметра каждого m-го темного
кольца в делениях шкалы окуляра (pm). Рассчитайте по формуле (1)
диаметры диаметры колец dm.
5. Зная длину волны λ для трех светофильтров, графическим методом, изложенным в п.9 задания 2 (вариант А), определите радиус
кривизны линзы R и его погрешность.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Почему расчет длины волны в данной работе нельзя проводить по формуле (3)?
2. Какова причина постепенного исчезновения колец по мере
удаления от центрального пятна?
3. Почему количество видимых колец без светофильтра меньше,
чем при использовании светофильтра?
4. Как изменится наблюдаемая картина, если воздушную прослойку заполнить водой с показателем преломления n = 1,33?
5. Почему при расчете колец Ньютона принимается во внимание
интерференция волн, отраженных от поверхностей воздушной прослойки и не рассматривается волна, отраженная от верхней поверхности линзы?
133
Р а б о т а 2.3
ИЗУЧЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ В СХЕМЕ ЮНГА
Цель: изучение явления интерференции света; определение длины волны света, измерение радиуса когерентности.
ВВЕДЕНИЕ
В § 3 разд.2 подробно рассматривалась схема опыта Юнга. Интерференционная картина наблюдалась на экране Э (см. рис.2.3
разд.2). Этот способ наблюдения обладает рядом недостатков: картина имеет маленькие размеры и яркость.
Френель предложил другой метод наблюдения интерференционных (дифракционных) полос, называемый субъективным. Идея,
на которой основан субъективный метод, заключается в следующем. Допустим, что интерференционные полосы получены на
экране Э (см. рис.2.3 разд.2), сделанном из матового стекла. Интенсивность света в какой-либо точке Р плоскости Э определяется
разностью фаз интерферирующих волн, приходящих в эту точку.
Отобразим теперь с помощью линзы, расположенной справа от
плоскости Э, эту плоскость Э на сопряженную Э. Волны, вышедшие из точки P, соберутся в точке P . Так как оптические длины
всех лучей между сопряженными точками одинаковы, то интерферирующие волны придут в точку P  с той же разностью фаз, какой
они обладали в точке P. Поэтому в плоскости Э получится изображение не только плоскости Э, но и интерференционной картины
на ней. Линза как бы переносит картину с плоскости Э на плоскость Э. Так же действует и оптическая система глаза, с помощью
которой интерфренционные полосы получаются на сетчатке. Если
теперь убрать матовый экран Э, то интерфренционные полосы на
экране Э останутся. В фокальной плоскости линзы будет наблюдаться интерференционная картина, получающаяся на бесконечности (интерференция света в параллельных лучах).
На рис.1 показана принципиальная схема наблюдения интерференции света в параллельных лучах. Источником света S служит
одиночная щель на экране 2, помещенная в фокальной плоскости
134
оптической системы K. Интерференционная картина наблюдается в
фокальной плоскости 4 второй оптической системы O.
При использовании света с длиной волны  результирующая
интенсивность света сложным образом зависит от параметров
установки: ширины щелей b и S, расстояния между щелями D, фокусных расстояний L0 и L оптических систем.
Рис.1
При этом главную роль играют следующие явления: 1) дифракция света на каждой из щелей экрана 3; 2) интерференция волн от
двух щелей экрана 3; 3) сложение интенсивностей волн, излученных разными участками щели S (источник некогерентных волн).
Если в фокальной плоскости оптической системы К помещен
точечный источник света, то на экран 3 падает плоская световая
волна. Интенсивность интерференционной картины в фокальной
плоскости оптической системы O определяется формулой (2.13):
(1)
I (δ)  2 I1 (δ)1  cosδ  ,
где I1 (δ) — интенсивность дифракционной картины от одной ще2
ли (более подробно см. § 9 разд.3); δ 
 — разность фаз. Разλ
ность хода волн  = D sin  D при малых углах  (sin  ).
Вследствие конечных размеров источника S световой пучок,
прошедший систему К, имеет угловую расходимость . Этот пучок можно представить как независимый набор плоских волн с
135

различными направлениями волнового вектора k . Поэтому полная
интенсивность результирующей картины получается суммированием интенсивностей интерференционных картин от каждой из этих
волн.
Строгий расчет с учетом конечных угловых размеров источника
приводит к следующему выражению для интенсивности:
2
 sin x 
I φ   

 x 
  sin y 

 cos z  ,
1  
  y 

(2)
2πb
πD
2πD
;  — угловой размер ис, y  α
, z φ
λ
λ
λ
точника S (см. рис.1); b — ширина каждой из щелей экрана.
Сомножитель sin x / x 2 в выражении (2) описывает дифракцию
Фраунгофера на одиночной щели (см. § 7 разд.3). Выражение в
квадратных скобках обусловлено интерференцией волн от двух
щелей экрана, причем угловое расстояние между интерференционными максимумами равно /D. Величина y определяется конечными угловыми размерами источника и характеризует видность
(I
 I min )
(контраст) интерференционной картины V  max
, кото( I max  I min )
где x  φ
рая оказывается равной sin y y . Если расстояние между щелями
λ
Δα
(см. § 5 разд.2), то интерферирующие волны когерентны и видность достигает максимума ( V = 1). С увеличением расстояния
между щелями видность уменьшается, а когда D  ρ ког , интерференционная картина исчезает. При дальнейшем увеличении D интерференционная картина появляется вновь, причем положение
минимумов и максимумов меняется местами, когда изменяется
знак функции sin y , а видность уменьшается как 1/y. Видность интерференционной картины будет обращаться в нуль при
D  nρ ког (n  1, 2, 3) . Вследствие конечных размеров входной
много меньше радиуса когерентности световой волны ρ ког 
136
щели радиус когерентности связан с угловым размером α 
S
L0
λ
.
Δα
Характерная зависимость интенсивности от угла дифракции 
изображена на рис.2, пунктиром показана интенсивность дифракционной картины от одной щели.
соотношением ρког 
Рис.2
В данной работе соотношение (2) используется для определения
длины волны света; для измерения расстояния между щелями D,
ширины отдельной щели b; для изучения зависимости радиуса когерентности световой волны от размера источника света (линейный
размер источника связан с угловым размером соотношением
S  L0 ).
Если в образовании интерференционной картины участвует N
щелей, то при малых размерах источника ( y  1 ) суммарная интенсивность определяется выражением (см. § 9 разд.3):
137
2
Nz
2 ,
2z
sin 2
 sin x  sin
I φ   

x


2
(3)
из которого следует, что положение главных максимумов интерференционной картины определяется условием:
z  2πn , или Dφ  nλ, n  0,  1,  2, ...
(4)
Между соседними главными максимумами расположены N – 2
побочных максимумов.
В лаборатории работа выполнена в двух вариантах.
ВАРИАНТ А
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Основу экспериментальной установки составляет оптическая
скамья, на которой установлены рейтеры с необходимыми оптическими элементами (рис.3).
Рис.3
Здесь 1 — натриевая лампа; 2 — коллиматор, в передней фокальной плоскости которого расположена раздвижная щель (цена
деления микрометрического винта 3, регулирующего ширину щели
S — 0,01 мм); 4 — держатель кассеты с набором щелей; 5 — кассета с набором щелей; 6 — зрительная труба; 7 — окуляр-микрометр;
8 и 9 — фокусировочные винты коллиматора и зрительной трубы.
138
В держатель 4 устанавливаются отдельные одиночные, двойные и
многократные щели (дифракционные решетки). О правильной
установке щелей свидетельствует соответствие их номера указателю на держателе. Отсчет углов φ ведется с помощью окулярамикрометра 7. Один оборот винта окуляра-микрометра
(100 делений) соответствует углу 10–3 рад.
ЗАДАНИЕ 1
Подготовка установки к измерениям
Включите натриевую лампу. Установите держатель 4 перпендикулярно к оптической оси установки и в дальнейшем это положение не меняйте. Фокусировочный винт 8 поверните так, чтобы на
шкале коллиматора нуль был установлен против  , сфокусируйте
изображение винтом 9. При этом раздвижная щель и интерференционная картина помещаются в фокальных плоскостях коллиматора и зрительной трубы, соответственно.
ЗАДАНИЕ 2
Определение длины волны света
1. Вставьте в держатель кассету с набором щелей. Установите в
рабочее положение двойную щель с известным расстоянием D
между щелями. Добейтесь изменением ширины входной щели
наблюдения наибольшего числа (порядка 5 – 7) четких интерференционных полос в пределах центрального дифракционного максимума.
2. Снимите отсчеты, соответствующие угловым координатам
крайних левого и правого минимумов л и пр, используя окулярмикрометр 7. Результаты занесите в табл.1. Также занесите в табл.1
количество максимумов n между выбранными минимумами. Измерения повторите не менее трех раз.
139
Таблица 1
N
щели
л,
дел.

пр,
дел.
n
|л – пр|,
дел.
,
нм
...
...
...
...
<>,
нм

...
...
3. Для каждой серии измерений по известному расстоянию между щелями D определите длину волны света из соотношения
(5)
λ  Dδ ,
где δφ 
φ л  φ пр
— угловая ширина отдельного максимума в
n
радианах. Рассчитайте среднее значение длины волны <> и погрешность разброса . По формуле
σ λ пр 
2D
σ
n
(6)
вычислите приборную погрешность пр, приняв в качестве  погрешность отсчета окуляра-микрометра  = 10–5 рад. Сделайте
вывод о характере погрешностей. Сравните полученную длину
волны  с длиной волны оранжевой линии натрия   589 нм.
ЗАДАНИЕ 3
Определение расстояния между щелями
1. Установите двойную щель с неизвестным D в рабочее положение.
2. Снимите отсчеты, соответствующие угловым координатам
крайних левого и правого минимумов л и пр, используя окулярмикрометр 7 (как в п.2 предыдущего задания). Результаты занесите
в самостоятельно составленную таблицу. Измерения повторите не
менее трех раз. При проведении серии измерений необходимо придерживаться правила: при установке нужного значения на шкале
140
барабана микровинта приближение к этому значению производится
в данной серии измерений всегда с одной и той же стороны: либо
со стороны меньших, либо со стороны больших значений.
3. Для каждой серии измерений определите ширину отдельного
интерференционного максимума δφ (как в п.3 предыдущего задания) и по известной длине волны   589 нм вычислите расстояние

между щелями по формуле D 
. Рассчитайте среднее значение
δφ
<D> и погрешность разброса D. По формуле
σ Dпp 
2D
φ л  φ пр
σ
(7)
вычислите приборную погрешность Dпр, приняв в качестве  погрешность отсчета окуляра-микрометра. Сделайте вывод о характере погрешностей.
ЗАДАНИЕ 4
Оценка радиуса когерентности световой волны
1. Установите в рабочее положение двойную щель с известным
D . Если увеличивать ширину входной щели, то радиус когерентности ρ ког световой волны, падающей на экран 3, будет уменьшаться.
2. По показаниям микрометрического винта входной щели
определите ширину входной щели S, при которой видность V интерференционной картины обращается в нуль. Для этого снимите
показания микрометрического винта 3, отвечающие положению
открытия щели x1, а затем — отсчет x2, при котором видность V
интерференционной картины обращается в нуль. При этом центральный дифракционный максимум становится равномерно освещенным. Тогда S = |x1 – x2|. При измерении x1 имейте в виду, что
нулевой отсчет винта 3 не обязательно соответствует полностью
закрытой входной щели. Измерения значений x1 и x2 повторите не
менее трех раз.
141
3. По формуле
L0
S
оцените величину ρ ког , считая, что L0 = 400 мм.
ρ ког 
(8)
ЗАДАНИЕ 5
Исследование многолучевой интерференции
1. Установите в рабочее положение дифракционную решетку из
N щелей.
2. Снимите отсчет n, соответствующий угловой координате какого-либо отчетливо наблюдаемого максимума. Затем, отступив на
несколько порядков (k = 3), снимите аналогичный отсчет  n k .
Результаты занесите в табл.2. Измерения повторите не менее трех
раз, работая с выбранными максимумами.
Таблица 2
n,
дел.

|n – п – k|,
дел.
n – k,
дел.
D,
нм
<D>,
нм

3. Для каждой серии измерений определите период дифракционной решетки D из соотношения:
D
2kλ
.
φn  φnk
(9)
4. Рассчитайте среднее значение <D> и погрешность разброса
D. По формуле
2D
(10)
σ Dпp 
σ
φn  φn k
142
вычислите приборную погрешность Dпр, приняв в качестве  погрешность отсчета окуляра-микрометра. Сделайте вывод о характере погрешностей. Сравните полученные значения с расстоянием
между щелями.
Подсчитайте число побочных максимумов между соседними
главными максимумами. Убедитесь, что их число равно N  2 .
ВАРИАНТ Б
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Оптическая схема установки такая же, как в варианте А, однако
в варианте Б коллиматор и зрительная труба являются составными
частями прибора — гониометра. Кроме того, в качестве осветителя
используется лампа накаливания, а в держателе помимо двойной
щели помещается светофильтр.
ЗАДАНИЕ 1
Подготовка установки к измерениям
Включите осветитель, откройте входную щель. Установите
держатель на столике гониометра перпендикулярно к оптической
оси коллиматора. Фокусировочный винт 8 поверните так, чтобы на
шкале коллиматора нуль был установлен против  . Совместите
ось зрительной трубы с осью коллиматора, при этом в центре поля
зрения должно наблюдаться изображение входной щели, которое
необходимо сфокусировать винтом 9. Установите на столике экран
с двумя параллельными щелями. Меняя ширину входной щели,
пронаблюдайте изменение картины через зрительную трубу. Замените экран на другой с двойными щелями и отметьте изменение
интерференционной картины. Указанные наблюдения проделайте
для всех светофильтров.
143
ЗАДАНИЕ 2
Определение расстояния между щелями
Измерьте микроскопом координаты краев всех двойных щелей
x1, x2, x3, x4 (рис.4) и вычислите расстояние между щелями по формуле
x3  x 4  x1  x 2
D
.
(11)
2
Измерение координат щелей проводите для середины щели и ее
краев не менее трех раз.
Рис.4
ЗАДАНИЕ 3
Определение длины волны света
1. Вставьте в держатель одну из двойных щелей и светофильтр.
Добейтесь изменением ширины входной щели наблюдения
наибольшего числа интерференционных полос в пределах центрального дифракционного максимума.
2. Снимите отсчеты, соответствующие угловым координатам
двух четко различимых левого и правого минимумов л и пр, расположенных в пределах центрального дифракционного максимума,
используя окуляр-микрометр 7. Результаты занесите в табл.3. Также занесите в табл.3 число максимумов n между выбранными минимумами. Измерения повторите не менее трех раз.
144
Таблица 3
Светофильтр
цвет
л,
дел.

пр,
дел.
n
|л – пр|,
дел.
,
нм
<>,
нм

3.
Вычислите
угловую
ширину
отдельного
максимума
φ л  φ пр
. По измеренному расстоянию между щелями D
n
определите длину волны света из соотношения (5). Рассчитайте
среднее значение длины волны <> и погрешность разброса 
(см. п.3 задания 2 варианта А).
4. Повторите указанные измерения для всех выданных светофильтров и вычислите для каждого из них длину волны λ пропускаемого света.
δφ 
ЗАДАНИЕ 4
Определение расстояния между щелями
1. Замените в держателе двойную щель.
2. Для каждого выданного светофильтра проведите измерения
л и пр, как в п.2 предыдущего задания. Результаты измерений
занесите в самостоятельно составленную таблицу.
3. Постройте график зависимости ширины одного интерференционного максимума  от длины волны пропускаемого света λ .
По графику определите расстояние между щелями и сравните его с
измеренным микроскопом.
ЗАДАНИЕ 5
Оценка радиуса когерентности световой волны
1. Установите на столик одну из двойных щелей и светофильтр.
Измерьте ширину входной щели S, при которой радиус когерент145
ности световой волны сравнивается с расстоянием между щелями.
Для этого с помощью микрометрического винта входной щели 3
снимите отсчет x1, отвечающий положению открытия щели, а также отсчет x2, при котором видность V интерференционной картины
обращается в нуль. При этом центральный дифракционный максимум становится равномерно освещенным.
2. Оцените радиус когерентности по формуле (8). Учесть, что
L0  400 мм и S = |x1 – x2|.
3. Повторите указанные измерения и вычисления для других
светофильтров. Сравните полученные значения с расстоянием
между щелями D.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Почему в данной работе при расчете оптической разности хода дифрагированных волн не принимается во внимание объектив
зрительной трубы?
2. Как изменится формула (2), если входная щель будет очень
λL
узкой: S  0 ?
D
3. Как изменится формула (2), если двойные щели будут иметь
бесконечно малую ширину?
4. Как влияет на интерференционную картину немонохромотичность источника?
5. Как зависит радиус когерентности волны от угловых размеров
источника?
6. Каково назначение коллиматора в работе?
146
Р а б о т а 2.4
ИНТЕРФЕРОМЕТР МАЙКЕЛЬСОНА
Цель: ознакомление с оптической схемой и работой интерферометра; определение длины волны света, измерение малых деформаций.
ВВЕДЕНИЕ
При сложении двух когерентных световых волн интенсивность
света в некоторой произвольной точке М будет зависеть от разности фаз колебаний, пришедших в эту точку.
Пусть в точке О происходит разделение волны на две когерентные волны, которые накладываются друг на друга в точке М. Разность фаз в этой точке когерентных волн зависит от времени распространения волн из точки О в точку М. Для первой волны это
l
l
время равно t1  1 , для второй t 2  2 , где l1 , v1 — путь и скоv1
v2
рость распространения первой волны из точки О в точку М; l 2 ,
v 2 — для второй волны. Как известно,
c
c
, v2 
,
(1)
n1
n2
где с — скорость света в вакууме; n1 и n2 — показатели преломления первой и второй среды соответственно.
Тогда разность фаз двух волн в точке М можно представить в
виде
ω
ω
(2)
  l1n1  l 2 n2    ,
с
с
где  — оптическая разность хода двух волн; l1 n1 и l 2 n 2 — оптические длины первой и второй волн.
Из формулы (2) видно, что если разность хода равна целому
числу длин волн в вакууме
  kλ , k = 0, 1, 2,
(3)
v1 
147
то разность фаз оказывается кратной 2 π и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить с одинаковой
фазой. Таким образом (3) есть условие интерференционного максимума.
Оптические измерительные приборы, основанные на интерференции света, называются интерферометрами. В настоящей работе используется интерферометр Майкельсона, принципиальная
схема которого показана на рис.1.
Рис.1
Его основными элементами являются: источник света И, делительный кубик К и два зеркала — подвижное З1 и неподвижное З2.
Пучек света от источника И падает на кубик К, склеенный из двух
половинок по большой диагональной плоскости. Последняя играет
роль полупрозрачного слоя, разделяющего исходный пучок на
два — 1 и 2. После отражения от зеркала и совмещения лучи 1 и 2
попадают на экран Э, где наблюдается интерференционная картина. Вид интерференционной картины определяется конфигурацией
волновых поверхностей интерферирующих волн. Если волновые
поверхности плоские (от источника идет коллимированный пучок),
то на экране появится система параллельных чередующихся свет148
лых и темных полос (см. § 2 разд.2), причем расстояние между
темными и светлыми полосами определяется соотношением
x 
λ
,
φ
(4)
где λ — длина волны света; φ — угол между волновыми вектора

ми k1 и k 2 интерферирующих волн.
Величину угла φ и, следовательно, ширину полос, удобную для
наблюдения, можно устанавливать путем изменения наклона зеркал З1 и З2 и кубика К.
В том случае, когда складываемые волны — сферические (см.
§ 6 разд.2), интерференционная картина имеет вид колец с расстояниями между полосами тем большими, чем меньше отличаются
радиусы кривизны волновых поверхностей.
Расстояния от делительного кубика до зеркал принято называть
плечами интерферометра, которые в общем случае не равны друг
другу. Удвоенная разность длин плеч — это оптическая разность
хода интерферирующих волн  . Изменение длины любого плеча
λ
на величину
приводит к изменению оптической разности хода
2
на λ и, соответственно, к смещению интерференционной картины
на экране на одну полосу. Таким образом, интерферометр может
служить чувствительным прибором для измерения очень малых
перемещений.
Изменить оптическую разность хода двух лучей можно различными способами. Можно перемещать одно из зеркал, при этом оптическая разность хода изменится на удвоенную величину перемещения зеркала. Можно изменить оптическую длину пути одного из
лучей, изменив на некотором участке показатель преломления среды, при этом изменение разности хода интерферирующих лучей
будет равно удвоенному значению оптической длины пути света в
этой среде. В работе использованы методы, позволяющие измерять
разные физические величины.
Стеклянная пластинка. Пусть на пути одного из лучей стоит
стеклянная пластинка толщиной d с показателем преломления n.
При повороте пластинки на угол α от положения, перпендикуляр149
ного падающему пучку света, возникает дополнительная разность
хода:
(5)
  2d 1  cos α  n 2  sin 2 α  n  .


Если при повороте происходит смещение интерференционной
картины на m полос, то   mλ и можно найти показатель преломления. Для небольших углов (α  30) приближенно из (5)




m
λ

n  1 

2 α
 4d sin

2

1
.
(6)
Обратно, зная n, можно найти λ :
n 1
α
(7)
4d sin 2 .
mn
2
Кювета с воздухом. Если в одно из плеч интерферометра ввести кювету с воздухом, давление которого может изменяться, то
при увеличения давления воздуха (по сравнению с исходным р0) на
p возникает перемещение интерференционной картины на m полос, и показатель преломления изменится на
λ
mλ
,
(8)
2l
где l — длина кюветы. Тогда можно определить показатель преломления воздуха
p
(9)
n0  1  p0 n  0  mλ .
p p 2l
n 
Изгиб пластины. Установим пластину на упорах, разнесенных
на расстояние l , и приложим к пластине силу F. Середина пластины сместится (прогнется) на расстояние
h
Fl 3
,
(10)
4Eab3
где Е — модуль Юнга; а — ширина; b — толщина пластины.
150
Если с пластиной связано подвижное зеркало интерферометра,
то это приводит к смещению интерференционной картины на
2h
полос. Метод позволяет определить модуль Юнга:
m
λ
Fl 3
.
(11)
E
2mλab3
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Работа выполняется на лабораторном оптическом комплексе
ЛОК-3. Его схема приведена на рис.2. На опорной плите 1 установлены стационарно лазер 2 и оптическая плита 3 с вертикальным
рельсом 11 и горизонтальным рельсом 17. Классическая схема интерферометра Майкельсона образована светоделительным кубиком
12 (полупрозрачное зеркало расположено в плоскости склейки двух
призм), верхним зеркалом 5 и правым зеркалом 18. Под кубиком
расположена расширительная линза 13 и проекционный экран 14. В
качестве проекционного экрана может использоваться поверхность
стола. Верхнее зеркало установлено на рейтере 7 с возможностью
перемещения по вертикальному рельсу. На том же рейтере установлена кювета 6 для нагнетания воздуха и упор для создания давления на исследуемый образец 8. Образец лежит на двух выступах
опоры 10, установленной на отдельном рейтере на вертикальном
рельсе. Расстояние l между выступами указано на опоре. Вместо
образца может быть установлен распорный брусок 9. Над рейтером
верхнего зеркала расположен пневмопровод 4. На горизонтальном
рельсе 17, между делительным кубиком и правым зеркалом, расположен поворотный столик 15 с кассетой для экранов. Столик имеет
круговую шкалу с ценой деления 1. В кассету вставляется экран
16 с исследуемым оптическим элементом (в данной установке со
стеклянной пластиной, толщина которой указана на экране). На
оптической плите установлен пневмоблок 20, являющийся опорой
манометра 19 и корпусом шести зажимных кранов К1 – К6. Нужное давление воздуха в системе создается насосом 21. Насос 21 подает в систему воздух через кран К6. Давление измеряется манометром 19. Через кран К2 воздух поступает в кювету 6, а через кран
К1 выпускается из нее в атмосферу. Через кран К4 воздух подается
151
в пневмопровод 4, а через кран К3 выпускается из него в атмосферу. Кран К5 обслуживает модули расширения и в данном варианте
установки не используется.
Рис.2
Пневмопровод состоит из корпуса, гибкой мембраны, пластины
и нажимного упора. При создании внутри пневмопровода давления
р пластина через нажимной упор давит на внешние объекты (в
нашей установке — на рейтер верхнего зеркала) с силой F = pS.
Эффективная площадь пластины S указана на корпусе пневмопровода.
Световой пучок излучения лазера расщепляется зеркалом делительного кубика на два пучка, поступающих в горизонтальное и
вертикальное плечо интерферометра. После отражения от зеркал 5
и 18 пучки сводятся вместе полупрозрачным зеркалом 12, расширяются линзой 13 и дают интерференционную картину на экране
14.
152
НАСТРОЙКА И ИЗМЕРЕНИЯ
Предварительная настройка интерферометра (юстировка лазера
и кубика) осуществляется сотрудниками лаборатории. Если после
включения лазера на экране видна четкая интерференционная картина (1 – 2 полосы на весь экран), то интерферометр в настройке не
нуждается. Если интерференционная картина не видна, нужно постараться ее получить с помощью малого поворота зеркала (поворот осуществляется юстировочными винтами, находящимися на
оправе этого зеркала). Полосы должны быть перпендикулярны к
горизонтальному лучу интерферометра. Если и это не помогает, то
необходимо проверить, сведены ли пучки 1 и 2 на экране. Для этого необходимо, перекрывая поочередно пучки 1 и 2, проверить,
совпадают ли они на экране. Если не совпадают, то сведение осуществляется теми же юстировочными винтами на оправе правого
зеркала. Затем интерференционная картина появляется после небольшого поворота юстировочных винтов.
Давление воздуха в пневмосистеме определяется манометром.
Цена деления манометра определяется по приведенному на установке диапазону давлений, соответствующему полной шкале манометра. Начальное положение стрелки манометра установлено
произвольным. В расчетах используются разности давлений, определяемые по смещению стрелки от начального положения.
Усилие на образце. Пневмопривод воздействует на образец посредством упора подвижного рейтера с силой F = pS, где p — давление в пневмосистеме, S — эффективная площадь пластины
пневмопривода, указанная на корпусе пневмопривода.
Угол поворота пластины. Ориентация пластины определяется
по шкале поворотного столика. Началом отсчета угла поворота
пластины служит положение, соответствующее нормальному падению пучка света на поверхность пластины. Оно определяется по
совпадению падающего и отраженного пучков.
153
ЗАДАНИЕ 1
Изучение интерферометра Майкельсона
и измерение длины волны света
1. Включите лазер. Настройте интерферометр.
2. Для измерения длины волны света установите в качестве образца эталонную пластину, на которой указана ее жесткость k при
изгибных деформациях (в Н/мкм). Кран К2 зажат.
3. Создайте усилие на рейтере с помощью пневмопривода. Для
этого подключите пневмопривод к пневмосистеме и отключите его
от атмосферы (К3 закрыт, К4 открыт). Откройте К6. Медленно подавая в систему воздух насосом 21, наблюдайте смещение интерференционных полос вследствие смещения рейтера с зеркалом под
воздействием пневмопривода. Прекратив накачивание, наблюдайте
движение полос вследствие утечки воздуха из системы. При этом
зеркало интерферометра сместилось на расстояние
h = N λ /2.
(12)
Прогиб h можно найти по известной жесткости k пластины и величине приложенного к ней усилия со стороны пневмопривода.
Очевидно,
hk = (p1 – p2)S.
(13)
Теперь длина волны света
2( p1  p 2 )S
.
(14)
λ
kN
4. Накачайте в систему воздух на 0,2 – 0,5 атм, а затем закройте
К6. Научитесь открывать кран К3, выпускающий воздух в атмосферу, настолько плавно, чтобы можно было проследить за возникающим движением полос и пересчитать полосы, прошедшие через
определенную точку экрана.
5. Пересчитайте количество N полос, проходящих по экрану при
уменьшении давления в пневмопроводе от зафиксированного Вами
давления p1 до конечного давления p2. Результаты измерений занесите в табл.1.
154
Таблица 1
№
P2, дел.
Р1, дел.
Р = Р1 – Р2, 105 Па
N
Р/N
, нм
1
2
...
6. Повторите вышеописанным способом измерения несколько
раз (более трех).
7. Рассчитайте  по формуле (14). Найдите среднюю длину волны <> и погрешность разброса .
ЗАДАНИЕ 2
Измерение малых деформаций и определение модуля Юнга
1. Кювета отключена от пневмосистемы (кран К1 отпущен, К2
зажат), а пневмопривод подключен (К3 зажат, К4 отпущен). Приподняв рейтер 7, установите исследуемый образец 8 на выступы
опоры 10. Откройте кран К6, накачайте в систему воздух на 0,2 –
0,5 атм и закройте кран К6. Осторожно приоткрыв кран К3, получите достаточно медленное движение интерференционной картины, при котором возможно пересчитать интерференционные полосы, прошедшие через выбранную точку экрана. При этом смещение
зеркала h = N λ /2, а изменение усилия на образце
F  ( p1  p 2 ) S .
(15)
Модуль Юнга можно найти по формуле:
( p1  p 2 ) Sl 3
.
(16)
2 Nλab3
2. Определите количество N полос при изменении давления в
системе от значения р1 до значения р2. Результаты измерений занесите в табл.2.
3. Повторите вышеописанным способом измерения несколько
раз.
E
155
Таблица 2
№
1
2
...
P2, дел.
Р1, дел.
Р = Р1 – Р2, 105 Па
Е
N
4. Рассчитайте Е по формуле (16) (приняв  = 0,628 мкм). В качестве модуля Юнга возьмите среднее значение <Е> и найдите погрешность разброса ..
ЗАДАНИЕ 3
Измерение показателя преломления пластины
1. Поворачивая пластину, найдите ее положение, перпендикулярное пучку света (при этом отраженный от пластины пучок возвращается в лазер). Снимите отсчет угла 0 по шкале столика 15.
Повторите измерения не менее трех раз. В качестве окончательного
результата принять среднее значение <0>. Сравните разбросы однотипных измерений с приборной погрешностью 1о и сделайте
вывод о характере погрешностей прямых измерений углов.
2. Медленно поворачивая пластину, сместите интерференционную картину на N = 5, 10, 15, ... полос и сделайте соответствующий
отсчет угла N поворота. Результат запишите в табл.3.
Таблица 3
N
5
10
…
N
  N – <0>
n
3. По известной длине волны света  = 0,628 мкм и толщине
пластины d рассчитайте показатель преломления пластины n по
формуле (6) для каждого измерения. В качестве окончательного
результата принять среднее значение <n>. Найдите погрешность
разброса n.
ЗАДАНИЕ 4
Измерение показателя преломления воздуха
1. Определите по барометру величину атмосферного давления
p0, запишите длину кюветы l, указанную на ее корпусе.
156
2. Накачав в кювету воздух до избыточного давления  р в пределах 0,1 – 0,5 атм, медленно выпускайте воздух и посчитайте количество m, проходящих по экрану, интерференционных полос от
начала до окончания выпуска воздуха. Результаты измерений запишите в табл.4.
Таблица 4
№
p, дел.
m
n
3. Повторите опыт для нескольких значений  р, рассчитайте
 n по формуле (8).
4. Постройте график зависимости  n от  р. Убедитесь в линейности графика, определите его угловой коэффициент  n/  р
(например, методом парных точек). Полагая, что линейную зависимость можно экстраполировать вплоть до давления р = 0, при
котором n = 1 (вакуум), найдите
n
n  1  p0
.
(17)
p
Из графика определите погрешность углового коэффициента
наклона и рассчитайте погрешность показателя преломления воздуха.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какой вид будет иметь интерференционная картина при
наложении:
а) плоских волн;
б) плоской и сферической волн;
в) двух сферических волн?
2. От чего зависит расстояние между интерференционными полосами в каждом из трех случаев п.1?
3. Что происходит с интерференционной картиной при поступательном перемещении одного из зеркал?
4. Какой вид имеют интерференционные полосы в случае, когда
зеркала строго взаимно перпендикулярны?
5. Какое минимальное перемещение одного из зеркал можно
«обнаружить» с помощью этого интерферометра?
157
Р а б о т а 2.5
ИЗУЧЕНИЕ ИНТЕРФЕРОМЕТРА МАХА
Цель: ознакомление с оптической схемой и работой интерферометра Маха, измерение очень малых смещений и деформации.
ВВЕДЕНИЕ
В данной работе источником света служит лазер, излучение которого имеет высокую степень монохроматичности и обладает
большой пространственной когерентностью (см. § 4, 5 разд.2).
Длина когерентности зависит от настройки лазера, но в любом случае превосходит длину когерентности обычных источников.
Используемый в работе интерферометр Маха состоит из двух
пар зеркал, 31 , 31 , 3 2 , 32 (рис.1); в каждой паре одно из зеркал
полупрозрачно ( 31 и 32 ).
Рис.1
Входящий световой пучок расщепляется полупрозрачным зеркалом на два пучка равной интенсивности, которые после отражения сводятся вместе вторым полупрозрачным зеркалом. Таким образом, на выходе имеем два когерентных параллельных пучка (две
плоские световые волны), распространяющихся в одном направлении.
Однако обычно выходящие пучки не абсолютно параллельны, и
мы наблюдаем интерференцию двух плоских волн (см. § 2 разд.2).
Известно, что интерференционная картина в этом случае представляет собой ряд параллельных полос. Не надо, однако, забывать, что
158
диаметр пучков чрезвычайно мал (менее 1 мм), так что наблюдать
интерференционную картину невооруженным глазом невозможно.
Для увеличения размеров интерференционной картины на пути
двух пучков помещают линзу (рассеивающую или собирающую —
безразлично) с малым фокусным расстоянием. Тогда на экране
увидим интерференционную картину вполне приемлемых размеров
(размер пятна на экране относится к диаметру пучка так же, как
расстояние до экрана относится к фокусному расстоянию линзы).
Поставив рассеивающую линзу, превратим плоские волны в сферические, т.е. линза создает два мнимых точечных источника, которые не совпадают друг с другом, так как исходные плоские волны (пучки) слегка не параллельны друг другу. Световые волны от
этих точечных источников, складываясь, дают наблюдаемую интерференционную картину.
Основная идея измерений с помощью интерферерометра состоит в том, что создается дополнительная разность хода между нижним и верхним пучком, что приводит к смещению интерференционных полос.
Пусть на пути одного пучка перпендикулярно к нему стоит
стеклянная пластинка. При повороте ее на угол  возникает дополнительная разность хода
  b1  cos α  n 2  sin 2 α  n  ,
(1)


где b — толщина пластинки; n — ее показатель преломления. Таким образом, если повернем пластинку на такой угол , при котором интерференционная картина сместится на т полос, то разность
хода
  mλ ,
(2)
где  — длина волны света в воздухе.
В данной работе предлагается определить показатель преломления n. При условии m  b и для не слишком больших углов поворота  из предыдущих двух формул, используя формулу приближённых вычислений для корня, можно получить
159
n
1

.
mλ
1 

2

2b sin α 2 

(3)
В этой работе используется еще одна возможность изменения
разности хода: при прогибе плиты, на которой укреплены зеркала,
происходит поворот зеркал (рис.2). Оптический путь верхнего пучка становится меньше, и мы наблюдаем смещение полос. Расчет
показывает, что если в центре плиты приложить нагрузку F, то
плита прогнется так, что ее концы (а следовательно, и зеркала) повернутся относительно друг друга на угол
3 Fl 2
,
(4)
4 Eah 2
где a — ширина плиты; h — ее толщина; l — расстояние между
опорами; E — модуль Юнга материала плиты.
β
Рис.2
При этом возникает дополнительная разность хода
  2βd ,
(5)
где d — расстояние между верхним и нижним пучками.
Если мы подберем нагрузку так, чтобы интерференционная картина сместилась на m полос, то разность хода  = m, и из формул
(4) и (5) получим
E
160
3dl 2 F
.
2λah3 m
(6)
Отсюда видно, что нагрузка прямо пропорциональна числу полос, на которое смещается интерференционная картина. Построив
график зависимости F от m, можно определить отношение F/m и
затем рассчитать модуль Юнга материала плиты.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Работа проводится на установке, схема которой показана на
рис.3, где Л — лазер, 1 — система зеркал (см. рис.1), 2 — плита,
модуль Юнга которой измеряется, 3 — держатель с тонкой стеклянной пластинкой и шкалой для отсчета углов поворота, 4 — ручка для поворота этой пластинки, 5 — чашка для нагрузки плиты,
6 — рассеивающая линза, 7 — поворотная призма, 8 — дополнительная рассеивающая линза.
Рис.3
Призма 7 поворачивает интерферирующие пучки так, что они
идут вниз. Наблюдать интерференционные полосы можно прямо на
столе (положив лист белой бумаги). Если убрать эту призму, то интерференционная картина будет видна на стене. Рассеивающие
линзы 6 и 8 применяются для того, чтобы увеличить размер интерференционной картины.
ВНИМАНИЕ! Совершенно недопустимо смотреть в прямой
или отраженный луч лазера - опасно для зрения!
Числовые значения необходимых параметров (, b, a, h, l, d)
приведены в таблице на установке.
ЗАДАНИЕ 1
161
Определение показателя преломления
тонкой стеклянной пластинки
1. Положите на стол под призмой 7 (см. рис.3) лист белой бумаги и включите лазер. Если интерференционной картины нет, то
произведите юстировку установки по высоте (с помощью регулировочных винтов, на которые опирается интерферометр).
2. Установите стеклянную пластинку перпендикулярно к пучку
и по шкале 3 снимите отсчет угла 0. Отметьте на листе положение
минимума какой-нибудь полосы. Рукояткой 4 осторожно поверните пластинку так, чтобы интерференционная картина сместилась на
m = 10 полос (возможно и другое число, так чтобы угол поворота
не превышал 20 – 30). При повороте рукоятки не давите на плиту — давление приводит к ее прогибу и смещению интерференционных полос. По шкале 3 снимите отсчет угла m. Результаты запишите в табл.1.
Таблица 1
№
Число полос
m
0
m
Угол поворота
 = |m – 0|
n
1
2
3
3. Повторите измерения не менее трех раз.
4. Измерьте микрометром толщину пластинки b. По формуле (3)
вычислите показатель преломления пластинки. В качестве окончательного результата примите среднее значение показателя преломления n. Оцените погрешность разброса.
ЗАДАНИЕ 2
Определение модуля Юнга
1. Отметив на листе положение какой-нибудь полосы, осторожно нагрузите разновесками чашку 5 (см. рис.3), чтобы интерференционная картина сместилась на две полосы. Результаты измерений
запишите в табл.2. Разгрузите чашку.
162
2. Повторите измерения, нагрузив разновесками чашку 5 (см.
п.1) так, чтобы интерференционная картина сместилась на m = 4, 6,
8 и 10 полос.
3. Построите график зависимости нагрузки F от числа полос т,
на которое сместилась интерференционная картина. По графику
определите отношение F/т и по формуле (6) — модуль Юнга. Оцените погрешность.
Таблица 2
№
1
2
...
Число полос m
Масса перегрузок, г
Нагрузка F, Н
4. Рассчитайте по формуле (4) угол изгиба  (в угловых секундах), соответствующий смещению на одну полосу. Оцените для
сравнения, на каком расстоянии должен находиться человек среднего роста, чтобы он был виден под этим углом.
ЗАДАНИЕ 3
Оценка неоднородности стеклянной пластинки
1. Взяв пластинку обычного оконного стекла, введите ее сразу в
оба пучка. Перемещая пластинку параллельно самой себе (перпендикулярно к пучку), наблюдайте за смещением полос. Оцените на
глаз, на сколько сантиметров надо переместить пластинку, чтобы
ее толщина изменилась примерно на одну длину волны.
2. Проделайте то же самое с пластинкой оптического стекла и
убедитесь в необычайной точности, с какой выдержана ее толщина.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Объясните причину появления интерференционной картины
на экране в данной установке.
2. Какой разности хода соответствует смещение интерференционной картины на одну полосу?
3. При введении толстого стекла в один из пучков интерференционная картина не пропадает. Как это характеризует лазерное излучение?
4. Что будет с интерференционной картиной, если пары зеркал
начать отводить друг от друга, сохраняя параллельность?
163
5. Если наша пара зеркал на рисунке отъюстирована и выходящие пучки абсолютно параллельны, то может случиться, что эти
две волны находятся в противофазе — тогда результирующая интенсивность будет равна нулю! Куда девается в этом случае энергия?
6. Увеличивается или уменьшается оптическая длина при повороте стеклянной пластинки?
3. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
§ 1. Дифракция световых волн
Дифракцией света называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики.
Например, при прохождении света через непрозрачный экран
Э1 с отверстием на экране Э2, согласно законам геометрической
оптики, должна находиться освещенная область, резко ограниченная тенью (указана штриховкой на рис.3.1). Вследствие дифракции,
на экране Э2 получается сложное распределение интенсивности I,
называемое дифракционной картиной.
Рис.3.1
При этом экран Э2 оказывается освещенным в области геометрической тени. Таким образом, в результате прохождения плоской
164
волны через диафрагму, возникает расходящийся пучок. Дифракционный угол расходимости пучка, иногда его называют углом дифракции, Д определяется соотношением между длиной волны  и
характерным размером поперечного сечения пучка d (в направлении, где оно минимально):

Д   d.
(3.1)
Такое дифракционное уширение пучка обусловлено волновой
природой света и принципиально не может быть устранено при заданной ширине пучка. Поэтому не существует строго параллельных пучков лучей. Это — идеализация, предполагающая, что длина
волны света бесконечно мала или поперечное сечение пучка бесконечно велико. Всякое пространственное ограничение пучка вызывает его расхождение в соответствии с (3.1).
Если пучок проходит путь L, то на этом пути он претерпевает
дифракционное уширение:
hДLД  Ld.
(3.2)
Уширением hД можно пренебречь только тогда, когда оно мало
по сравнению с шириной самого пучка d, т.е. когда Ld << d
или:
Ld2/.
Расстояние LД, на котором дифракционное уширение становится
сравнимым с начальным размером пучка, называется длиной дифракции. Из условия LД  d найдем
LДd2/.
(3.3)
На расстояниях
L  LДd2/
имеем общий и наиболее сложный для анализа вид дифракции,
называемый дифракцией Френеля. На больших расстояниях от
диафрагмы L >> LД размер пятна hДd. В этом случае распределение интенсивности на экране Э2 и расчет дифракционной картины существенно упрощаются. Лучи, идущие от открытых участков
экрана Э1 в произвольную точку P экрана Э2, можно считать параллельными, а приходящую в точку P волну — плоской. Такой
165
вид дифракции называют дифракцией Фраунгофера или дифракцией в параллельных лучах.
Область за экраном Э1 можно разбить на три участка:
1) L << LД; d2/L >> 1 — область геометрической оптики;
2) L  LД; d2/L  1 — область дифракции Френеля или ближняя зона дифракции;
3) L >> LД; d2/L << 1 — область дифракции Фраунгофера или
дальняя зона дифракции.
§ 2. Принцип Гюйгенса — Френеля
Всякая дифракционная задача, если ее рассматривать строго,
сводится к нахождению решения уравнений Максвелла, удовлетворяющего соответствующим граничным условиям. Однако в такой
строгой постановке задачи, ввиду их сложности, допускают аналитические решения лишь в простейших случаях. В оптике, ввиду
малости длин волн, большое значение имеют приближенные методы решения дифракционных задач, основанные на принципе Гюйгенса в обобщенной формулировке Френеля и Кирхгофа.
Согласно принципу Гюйгенса каждую точку волнового фронта
можно считать центром вторичного возмущения, которое вызывает
элементарные сферические волны, а волновой фронт в любой более
поздний момент времени — огибающей этих волн. Этот принцип
дает качественное объяснение поведению света в ряде волновых
оптических явлений и, в частности, явлению проникновения света
в область геометрической тени. Френель смог объяснить явление
дифракции, дополнив принцип Гюйгенса утверждением, что вторичные волны интерферируют между собой. Такое сочетание теории Гюйгенса и принципа суперпозиции называется принципом
Гюйгенса — Френеля.
Рассмотрим распространение света в однородной изотропной
среде. Будем характеризовать световое поле, например, напряжен
ностью электрического поля E . Каждая из его проекций Ei удовлетворяет волновому уравнению (см. § 2 разд.1):
1 2E
Ei  2  2 i ,
v
t
166
(3.4)
где v — скорость распространения света в среде;  — оператор
Лапласа.
Для монохроматической расходящейся сферической волны решение (3.4) имеет вид (см. § 3 разд.1):
a

(3.5)
E  0 cos(t  kr) ,
r
где  — частота света; k = /v = 2 — волновое число. В дальнейшем будем использовать уравнение (3.5) в комплексной форме:
a
a
a
E  0 cos(t  kr)  0 Re eit ikr  Re 0 eikr eit ,
r
r
r
или
E = Re A ei t,
(3.6)
a
где A  0 eikr — комплексная амплитуда колебаний поля в данr
ной точке. Для плоских и цилиндрических волн колебания напряженности E будут также определяться (3.6) с амплитудами

A  A0 e ik r и A  a0 e ik /  соответственно (см. § 2 и 4 разд.1).
Интенсивность волны определяется квадратом модуля амплитуды
колебаний (см. § 6 разд.1):
2
I  E 2  A .
(3.7)
Пусть  (рис.3.2) — мгновенное положение сферического волнового фронта с радиусом r0, распространяющегося от точечного
источника P0. Определим амплитуду колебаний поля AP в точке P.
167
Рис.3.2
Амплитуду колебаний в точке Q волнового сферического фронта представим в виде a0exp(ikr0)/r0. В соответствии с принципом
Гюйгенса — Френеля каждый элемент волнового фронта рассматривается как центр вторичных когерентных сферических волн;
вклад в амплитуду dAP, вносимый элементом поверхности d, на
котором располагается точка Q, запишем в виде

a
e iks
dAP  K () 0 e ikr0
d ,
r0
s
(3.8)
где s = QP, K() — коэффициент наклона, описывающий изменение амплитуды вторичных волн в зависимости от направления, а
 — угол между нормалью в точке Q и направлением QP (угол дифракции).
Коэффициент наклона K() был введен Френелем как феноменологический коэффициент, имеющий следующие свойства. Модуль K() максимален при  =  и монотонно убывает с увеличением угла .
Из теории Кирхгофа, основанной на том, что напряженность поля световой волны удовлетворяет волновому уравнению (3.4), следует для сферической волны
K() = ik(1 + cos)/4.
(3.9)
168
При малых углах дифракции    можно положить cos   и
K()  K(0) =  ik/2.
§ 3. Зоны Френеля
Разобьем поверхность  на такие области, чтобы расстояние от
краев каждой области до точки P отличалось на половину длины
волны  — такие участки волновой поверхности называются зонами Френеля. Построим вокруг точки P сферы с радиусами
b, b   b   b  3 ..., b  m ... и т.д.,
где b = CP, а С — точка пересечения P0P с волновым фронтом ,
m — номер зоны Френеля (см. рис.3.2).
Расстояния b и r0 велики по сравнению с длиной волны света ,
тогда коэффициент наклона в пределах одной зоны Френеля можно
считать постоянным. Разобьем поверхности зон на узкие кольца,
расстояние от границ которых до точки P отличается на величину
ds. Используя теорему косинусов: s2 = (b + r0)2 + r02  2(b +
+ r0) r0cos, получим sds = (b + r0) r0sind. Площадь узкого кольца
sds
.
d  2  r02  sin d  2r0
r0  b
Подставив d в (3.8), найдем вклад в амплитуду dAP, от узкого
кольца:
2πK m a0 ikr0 iks
(3.10)
dAP 
 e e ds ,
r 0 b
где Km — среднее значение коэффициента наклона в пределах m-й
зоной Френеля.
Амплитуду колебаний APm, созданную одной m-й зоной Френеля в точке P, найдем, проинтегрировав (3.10) по расстоянию s от
внутренней границы зоны, расположенной на расстоянии
s1 = b  m  1), до внешней границы зоны, расположенной на
расстоянии s2 = b  m
2π  K m  a0 ikr0 2 iks
e ik (r0 b)
 e  e ds  (1) m  4πK m  a0 
.
r0  b
ik r0  b 
s
APm 
(3.11)
s1
169
Коэффициент наклона K() медленно убывает с ростом номера
зоны и для последней N-й зоны Френеля, когда , согласно
(3.9), KN  0.
Амплитуда AP от всех зон Френеля равна амплитуде колебаний
А, созданной точечным источником на расстоянии b + r0:
A
N
e ik ( r0 b)
 APm  a0  r  b 
0
m 1
.
При малых углах дифракции   , как следует из формулы
(3.9), коэффициент Km можно положить равным значению коэффициента наклона при  = 0:
K m  K (0)  ik / 2 .
Подставив Km в (3.11), получим, что амплитуда
APm  (1) m1 2 A ,
(3.12)
т.е. приблизительно в два раза больше по модулю амплитуды колебаний А от всего волнового фронта. Множитель ( 1) m 1 в (3.12)
показывает, что четные и нечетные зоны создают в точке P противоположные по фазе колебания.
Для решения дифракционных задач часто применяют графические методы сложения амплитуд. Построим векторную диаграмму
колебаний, создаваемых волновым фронтом . Разобьем поверхность  на такие узкие кольцевые зоны, аналогичные зонам Френеля, но гораздо меньшие по ширине, чтобы разность фаз d вторичных волн, пришедших от любых соседних колец, была одинакова.
Так как d = kds, то одинаковым d соответствуют одинаковые ds, и
согласно (3.10) кольца создают почти равные амплитуды колебаний.
Колебание, создаваемое в точке P каждой из зон, изобразим в
виде вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а угол,
образуемый вектором с направлением, выбранным за направление
отсчета, дает начальную фазу колебаний. Амплитуду колебания,
создаваемого центральным кружком, изобразим вектором 0  1
(рис.3.3, а). Кольцо, окружающее центральный участок, даст вектор   2 повернутый относительно отрезка 0  1 на угол d и
170
имеющий ту же длину; следующее кольцо даст 2   и т.д. Каждое
следующее колебание отстает от предыдущего по фазе на одну и ту
же величину d. Если учесть обусловленное коэффициентом K слабое убывание амплитуды с увеличением расстояния s, то векторы
образуют ломаную спиралевидную линию. В пределе d  0 ломаная линия принимает вид спирали, медленно закручивающейся к
точке С (рис.3.3, б).
Рис.3.3
Участок 0  1 на рис.3.3, б, в соответствует первой зоне Френеля, так как фазы колебаний в точках 0 и 1 отличаются на  =  (бесконечно малые векторы, образующие спираль, направлены в этих
точках в противоположные стороны). Аналогично, участок 1  2
соответствует второй зоне, 2  3 — третьей зоне и т.д. Вектор, проведенный из точки 0 в точку 1 (см. рис.3.3, в), изображает колебание с амплитудой A1, возбуждаемой в точке P этой зоной. Аналогично, вектор, проведенный из точки 1 в точку 2 (см. рис.3.3, в),
изображает колебание с амплитудой A2, возбуждаемой второй зоной Френеля. Участок OB (см. рис.3.3, в) соответствует внутренней
половине первой зоны Френеля. Колебание, возбуждаемое в точке
P всей волновой поверхностью, изображается вектором ОС (см.
рис.3.3, б).
§ 4. Дифракция на простейших экранах
171
Принципа Гюйгенса — Френеля еще не достаточно для решения
дифракционных задач, так как необходимо знать амплитуду A во
всех точках замкнутой поверхности .
Поэтому для решения дифракционных задач используются следующие приближения:
1) экран с отверстием (или отверстиями) будем считать плоским
и непрозрачным, тогда в качестве поверхности  выберем поверхность, покрывающую заднюю неосвещенную сторону экрана;
2) примем, что на всех участках этой поверхности, которые прикрыты экраном — A = 0, а на отверстиях амплитуда A = A(0) определяется законами геометрической оптики, т.е. такая, какая получилась бы в отсутствии экрана. Таким образом, амплитуда в точке
P
AP 
K ()  A (0) iks
 e d ,

s

(3.13)

где интегрирование проводится по площади отверстия .
Данное приближение справедливо, когда размеры отверстий и
непрозрачных промежутков между ними велики по сравнению с
длиной волны света d   и при углах дифракции   . Тогда
заметная интенсивность наблюдается при малых углах дифракции.
Различие в истинном и вычисленном направлениях колебания век
тора E несущественно. Влияние края экрана на поле в отверстии
простирается лишь на расстояние порядка длины волны, и при
больших размерах отверстия замена истинных значений A в
подынтегральном выражении формулы (3.13) на амплитуду A(0)
падающей волны не приводит к заметным ошибкам, так как на
большей части поверхности  эти значения совпадают. В этом
случае амплитуда колебаний электрического поля AP не зависит ни
от поляризации падающей волны, ни от материала, из которого изготовлен экран. При малых углах дифракции коэффициент наклона
K() практически не зависит от  и его можно заменить значением
при  = 0 и K()  K(0) =  ik/2.
Отметим одно из следствий формулы (3.13) — так называемый
принцип Бабине (или теорема Бабине). Рассмотрим распределение
света, дифрагированного на дополнительных экранах, т.е. на экранах, у которых отверстия одного точно совпадают с непрозрачны172
ми частями другого, и наоборот. Пусть A1P и A2P — комплексные
амплитуды, когда только один из экранов помещен на пути между
источником и точкой наблюдения P. Тогда, поскольку A1P и A2P
можно представить в виде интегралов (3.13) по отверстиям, а отверстия в дополнительном экране располагаются так, что полностью «открывают» весь волновой фронт
A1P  A2 P  A0 P ,
(3.14)
где A0P — амплитуда колебаний, созданных источником в точке P,
если бы никаких экранов не было бы.
Из принципа Бабине можно вывести два заключения. Если
A1P = 0, то A2P = A0P, т.е. в точках, где интенсивность при наличии
первого экрана равна нулю, в присутствии лишь другого экрана
она будет такой же, как и в отсутствии экранов. Далее, если A0P = 0,
то A2P = A1P, т.е. в точках, где A0P = 0, фазы A1P и A2P различаются на , а интенсивности одинаковы. Так, например, если точечный
источник света изображается объективом, амплитуда световых колебаний в плоскости изображений повсюду равна нулю, за исключением мест, находящихся в непосредственной близости от изображения P источника. Распределения интенсивности от дополнительных экранов одинаковы (I1 = I2) всюду, за исключением мест
вблизи P.
Рассмотрим дифракцию сферической волны на экране с отверстием произвольной формы. Амплитуда в отверстии дается формуa
лой: A(0)= A(0)  0  e ikr . Возьмем за начало декартовой системы
r
координат точку O отверстия, а оси Ox и Oy выберем в плоскости
отверстия (рис.3.4). Точка P0 — центр кривизны сферической волновой поверхности волны находится на оси z. Положение произ
вольной точки Q(x, y) будем характеризовать вектором ρ . Тогда
расстояния от точек P0 и P до Q равны:
r  2  r02   2 ;
QP0:

s 2  R 2  ρ 2  2  Rρ .
QP:
173
Рис.3.4
Линейные размеры отверстия малы по сравнению с R и r0 и по-
этому разложим s и r, стоящие в показателях экспонент e ikr и
e iks , в степенные ряды по /r0 и /s.
r   r0   2 /( 2r0 ) ,

s  R   2 /( 2 R)  ( R) / R .
В знаменателе подынтегрального выражения (3.13) можно положить s  R и r   r0 . Введем следующие обозначения:
(r  R)
A0  a 0 e ik
/( r0  R) ,
0
1/L = 1/r0 + 1/R или L = r0 R/(r0 + R).
(3.15)
Величины r0 и R, входящие в эти формулы, следует считать алгебраическими и по модулю равными соответствующим расстояниям
(см. рис.3.4). Для показанных на рис.3.4 положений источника P0 и
точки наблюдения P величины r0 > 0 и R > 0.
При малых углах  амплитуда A0 по модулю совпадает с амплитудой колебаний в точке P в отсутствии экрана. Для плоской падающей волны (r0  , но a0/r0 = const) L — расстояние от точки P
до экрана.
Тогда интеграл (3.13) можно записать в виде:
174
AP   A0
 
kρ 2
i
  exp  ik ρ  i
L  
2L


dxdy ,


(3.16)


где k  kR / R — волновой вектор дифрагированной волны.
Таким образом, задача о дифракции света на непрозрачном
экране сводится к вычислению интеграла (3.16). Вычисления
упрощаются, если в (3.16) пренебречь квадратичным слагаемым. В
этом случае имеем дело с дифракцией Фраунгофера; если же квадратичным слагаемым пренебречь нельзя, то с дифракцией Френеля.
Более простой случай дифракции Фраунгофера представляется в
оптике значительно более важным.
Строго говоря, члены второго и более высоких порядков исчезают в предельном случае r0   и R  , т.е. когда и источник, и
точка наблюдения P находятся в бесконечности. Однако ими можно пренебречь, если
k 2max /( 2 L)  2 
Учитывая, что max  d, это условие удовлетворяется, если
r0  d 2 / 
и R  d 2 /  ,
(3.17)
или
1/r0 + 1/R = 0.
(3.18)
Условия (3.17) позволяют оценить расстояния, при которых
применимо приближение Фраунгофера (сравните с (3.3)). Условие
(3.18) означает, что дифракция Фраунгофера имеет место и тогда,
когда точка наблюдения P находится в плоскости, параллельной
плоскости отверстия, при условии, что точка наблюдения близка к
оси z. Здесь следует различать два случая. Если r0 отрицательно
(точка P0 находится не слева от экрана, как на рис.3.4, а справа), то
точка P0 является центром схождения, а не расхождения падающей
волны. Этот случай очень важен для практики, так как осуществляется в плоскости изображений центрированной оптической системы, изображающей точечный источник, расположенный недалеко
от оси. Дифракционная картина Фраунгофера образуется в плоскости изображений (дифракция в сходящейся волне изучается в работах 4.3 и 4.4). Если r0 положительно, то дифракционная картина
оказывается мнимой (R < 0) и кажется образованной в плоскости,
175
проходящей через источник P0. Этот случай имеет место, например, тогда, когда отверстие в экране находится непосредственно
перед глазом, или когда установка объектива зрительной трубы
соответствует рассматриванию удаленного источника света.
Чтобы составить ясное физическое представление о том, где и
как наблюдается дифракционная картина Фраунгофера, рассмотрим нормальное падение плоской волны на экран с отверстием Э1
и сравним две ситуации, показанные на рис.3.5. Можно считать,

что дифракция, наблюдаемая в направлении k в очень удаленной
точке P (рис.3.5, a), возникла в результате суперпозиции плоских
волн, исходящих из каждой точки отверстия в этом направлении.
Такие волны будем называть дифрагировавшими.
Если теперь поместить объектив O позади экрана (рис.3.5, б), то

весь свет, дифрагировавший в направлении k , соберется в фокусе
P в фокальной плоскости объектива. Так как длины оптических
путей всех лучей, приходящих в P от волновой поверхности дифрагировавших волн, равны, то интерференционные эффекты
остаются такими же, как и в первом случае при условии, что объектив так велик, что не вносит дополнительной дифракции. Таким
образом, дифракционную картину Фраунгофера можно наблюдать
на экране, расположив его либо на большом расстоянии L >> LД,
либо в фокальной плоскости объектива.
Рис.3.5
Запишем интеграл (3.16) для дифракции Фраунгофера в виде:
176
AP  C  e
i ( k x x  k y y )
dxdy,
(3.19)

где C — величина, стоящая перед интегралом (3.16). Значение C
определяется через величины, связанные с положением источника
и точки наблюдения; однако на практике часто удобнее выражать
ее через другие величины, например, интенсивности I0 падающей
волны или в центре дифракционной картины.
Из (3.19) следуют некоторые общие свойства дифракционных
картин Фраунгофера. При замене в (3.19) kx на kx и ky на ky амплитуда AP заменится на комплексно-сопряженную A P* . Модуль
амплитуды и, соответственно, интенсивность не изменятся. Это
означает, что в осесимметричных точках P и Pинтенсивности
одинаковы: на экране Э2 наблюдается центрально симметричная
относительно точки P0 дифракционная картина от отверстия произвольной формы.
При произвольном поступательном перемещении экрана Э1 координаты точек отверстия меняются: x  x + x0, y  y + y0 (x0(t),
y0(t) — координаты точки О), что приводит к появлению фазового
множителя в выражении (3.19). Поэтому дифракционная картина
при перемещении экрана Э1 не меняется. Это позволяет наблюдать
дифракцию на движущихся объектах, например на бегущих звуковых волнах (примером служит лабораторная работа 3.2).
§ 5. Дифракция Френеля на круглом отверстии
Вследствие осевой симметрии отверстия дифракционная картина имеет вид концентрических темных и светлых колец с центром
на оси отверстия. Вычисление распределения интенсивности при
дифракции Френеля на круглом отверстии по формуле (3.16) является весьма громоздким и требует применения ЭВМ. И только в
центре дифракционной картины интеграл (3.16) принимает простой
вид. Переходя к полярным координатам, получим:
ik
AP   A0
L
2
m ik
e 2L

  d  A0 (e i  1) 
(3.20)
0
177
где m — радиус круглого отверстия;    2m / L — разность фаз
вторичных волн, пришедших из центра отверстия и его краев.
Таким образом, интенсивность I в центре дифракционной картины определяется числом открытых отверстием зон Френеля:
m   2m / L ,
(3.21)
I = 4I0 sin2/2  I0 sin2m/2,
(3.22)
где I0 — интенсивность света в точке P в отсутствии экрана.
Нечетное число открытых зон дает в центре дифракционной
картины максимум интенсивности (IP = I0), четное — минимум
(IP = 0). Угловой размер центрального темного или светлого пятна
порядка угла дифракции Д  m.
§ 6. Дифракция Френеля на крае полуплоскости и щели
Полуплоскость. Принцип Гюйгенса — Френеля можно применить для нахождения распределения интенсивности вблизи границы тени, отбрасываемой краем большого экрана.
Ограничимся случаем плоской волновой поверхности падающей
нормально на экран волны, что соответствует бесконечно удаленному точечному источнику (или точечному источнику, находящегося в фокусе линзы). Введем в плоскости экрана Э1 (рис.3.6) координатные оси x и y c началом в точке О, лежащей на луче падающей волны, проходящем через точку наблюдения P, ось Oy параллельна краю экрана. Ось z проходит через точку P на экране Э2,
расположенным на расстоянии L от экрана Э1. В плоскости экрана
Э2 введем координатную ось O2x2, перпендикулярную границе
геометрической тени.
178
Рис.3.6
Используя интеграл (3.16), найдем вклад участка волновой поверхности в виде параллельной оси y полосы, простирающейся от
x = 0 до x = x1 > 0:
i
AP   A0
L
2
2
x1 i x
  i y
e 2 Lλ dy e 2 Lλ dx .



(3.23)
0
Вычислив интеграл по y и сделав замену переменной интегрирования x на безразмерную переменную u = x 2 λL , получим:


 u1  x1 2  .

λL 

u
1
2
A
AP   0 e i  4  e iu 2 du
2
0
Опуская несущественный фазовый множитель  e i / 4 , окончательно получим:
AP 
A0
u1
u1
2
iu 2 / 2
du   e iu / 2 du .
e
2 0
(3.24)
0
Вычисление AP по формуле (3.24) удобно проиллюстрировать с
помощью векторной диаграммы. Разобьем волновую поверхность
на элементарные полоски равной ширины dx. Колебание в точке P,
179
вызываемое вторичной волной от элементарной полоски, расположенной вдоль оси y (при x = 0), изобразим вектором dA1 (рис.3.7).
Колебание от следующей полоски изобразится таким же по модулю вектором dA2, повернутым относительно dA1 на некоторый
угол, так как эта вторичная волна проходит до P большее расстояние и отстает по фазе. В дальнейшем угол между соседними векторами элементарных колебаний dAi и dAi + 1 становится все больше,
так как запаздывание по фазе вторичной волны от элементарной
полоски, расположенной на расстоянии x от y, пропорционально
квадрату этого расстояния x2 (см. (3.24)). Этим рассматриваемая
векторная диаграмма отличается от диаграммы на рис.3.3.
Рис.3.7
Колебание в P от широкой полосы волновой поверхности изобразится суммой векторов dAi от всех укладывающихся на ней элементарных полосок dx (вектор AP на рис.3.7, а). В пределе, когда
ширина dx каждой элементарной полоски стремится к нулю, цепочка векторов dA1, dA2, ... превращается в плавную кривую, называемую спиралью Корню (см. рис.3.7, б). Она состоит из двух симметричных ветвей, закручивающихся вокруг фокусов F и F. Ее
левая половина описывает действие вторичных волн от участков
180
волновой поверхности, лежащих слева от оси y (при x < 0 на
рис.3.6). Колебание в P от части волновой поверхности, лежащей
справа от оси y на рис.3.6 (т.е. при 0 < x < ), изображается вектором, проведенным из O в правый фокус F спирали Корню. Колебание в P от всей волновой поверхности ( < x < ) изображается
вектором, соединяющим фокусы F и F. Для нахождения колебания в P от какой-либо полосы волновой поверхности, лежащей
между x = x и x = x, нужно построить вектор, который замыкает
соответствующий этой полосе участок спирали.
Выражение (3.24) представляет собой параметрическое уравнение спирали Корню в комплексной форме. Если в плоскости векторной диаграммы ввести прямоугольные координаты  и  так,
как показано на рис.3.7, б, то уравнение спирали Корню примет вид
u1
u1
0
0
(u1 )   cos(πu 2 2)du  (u1 )   sin( πu 2 2) du .
Функции (u1) и (u1) называются интегралами Френеля. Их
значения при u1   дают координаты фокусов спирали Корню:
F = F = 1/2;  F    F   1 / 2  Параметр u1  x1 2 / L определяет длину дуги спирали Корню, отсчитываемую от точки O.
Угловой коэффициент касательной к спирали Корню
tg   d / d  tg   u12 / 2 , откуда     u12 / 2 . При u1 = 0 угол
 = 0, т.е. в точке O спираль касается оси . При u1 =  угол  = /2,
т.е. касательная вертикальна и т.д. Соотношение  =  u12/2 позволяет по заданному значению x1 найти соответствующую точку на
спирали Корню.
При любом расположении точки наблюдения P относительно
края экрана правая часть волновой поверхности полностью открыта (см. рис.3.6). Поэтому на векторной диаграмме колебанию в P
сопоставляется вектор QF, конец которого всегда находится в
верхнем фокусе F (рис.3.7, б). Положение начала этого вектора
(точка Q) на спирали Корню зависит от положения точки наблюдения P: точке Q соответствует значение параметра u 2  x 2 2 / L .
Когда P находится на границе геометрической тени (x2 = 0), точка
Q совпадает с O и колебание изображается вектором OF, равным


181
A0/2. Поэтому интенсивность при x2 = 0 в четыре раза меньше интенсивности I0 в отсутствии экрана. При перемещении точки
наблюдения P в освещенную область, т.е. вправо на рис.3.6, точка
Q на векторной диаграмме (см. рис.3.7, б) будет перемещаться по
нижней ветви спирали Корню. При этом интенсивность будет последовательно проходить через максимумы и минимумы (см.
рис.3.6, x2  0).
Максимумам и минимумам интенсивности соответствуют точки
нижней ветви спирали Корню, расстояние до которых от верхнего
фокуса F соответственно максимально или минимально (см.
рис.3.7, б). Приближенно можно считать, что эти точки находятся
на пересечении спирали с продолжением прямой FF, так как в
этих точках прямая FF почти перпендикулярна спирали Корню. В
этих точках тангенс угла наклона касательной tg   В первом
максимуме 1   в n-м — n    n  . В первом минимуме 1   в n-м — n    n  . Таким образом,
максимумы интенсивности находятся на расстояниях
x max n  1 / 2 (8n  5)λL , n = 1, 2, ...
(3.25)
от края геометрической тени, а минимумы на расстояниях
x min n  1 / 2 (8n  1)λL , n = 1, 2, ... .
(3.26)
В первом, наибольшем из максимумов, интенсивность I1 = 1,37I0
наблюдается на расстоянии x max 1  0,86 λL от края геометрической тени, минимальная I2 = 0,78I0 при x min 1  1,33 λL . Следующие максимум и минимум при xmax 2  1,66 λL и xmin 2  1,92 λL .
С увеличением расстояния x2 от края геометрической тени размах
колебаний интенсивности уменьшается и она приближается к значению I0, а места максимумов и минимумов постепенно сближаются друг с другом.
При перемещении точки наблюдения P в область геометрической тени экрана точка Q на векторной диаграмме (см. рис.3.7, б)
будет перемещаться по верхней ветви спирали Корню. Длина вектора QF, а следовательно, и интенсивность монотонно уменьшаются с увеличением расстояния x2, асимптотически приближаясь к
нулю.
182
В заключение отметим, что между светом и тенью от края
большого экрана ( d 2 / L  1 ) нет резкой границы: в области геометрической тени интенсивность спадает монотонно, а вблизи края
освещенной области наблюдаются дифракционные полосы переменной толщины.
Следует отметить, что при падении на экран сходящейся или
расходящейся волны формулы (3.23)  (3.26) остаются прежними,
если расстояние L определяется по формуле (3.15).
Щель. Бесконечно длинную щель можно образовать, расположив рядом две обращенные в разные стороны полуплоскости. Следовательно, задача о дифракции от щели может быть решена с помощью спирали Корню.
Амплитуде AP соответствует вектор Q Q  (см. рис.3.7, б). Причем для центра картины Q  и Q  располагаются симметрично на
разных ветвях спирали. Если ширина щели a отвечает условию
a2/L >> 1 (предел широкой щели), Q Q  почти совпадает с FF  и
интенсивность в центре  I0. При удалении от центра точка Q 
движется по спирали Корню вблизи фокуса, поэтому интенсивность практически не меняется. И только вблизи краев щели
наблюдаются колебания интенсивности.
Если уменьшить размер щели a или увеличить расстояние L так,
чтобы a2/L  1, то даже в центре картины интенсивность будет
заметно отличаться от I0. В этом случае в центре дифракционной
картины может наблюдаться как максимум, так и минимум интенсивности.
При дальнейшем уменьшении размеров щели a2/L << 1 дифракция Френеля переходит в дифракцию Фраунгофера.
§ 7. Дифракция Фраунгофера на щели
и прямоугольном отверстии
Проинтегрировав (3.19) по y, получим:
a/2
A(k x )  C

a / 2
e ik x x dx  Ca
sin k x a / 2 .
kxa / 2
(3.27)
В пределе kx  0 дробь обращается в единицу (sin x  x при малых x), следовательно, произведение Ca — амплитуда в центре дифракционной картины. Учитывая, что I  |A|2, выразим интенсив183
ность в произвольной точке через интенсивность I0 в центре картины:
2
 sin k x a / 2 
 .
I  I 0 
 kxa / 2 
(3.28)
Рис.3.8
График зависимости приведен на рис.3.8. По обе стороны центрального максимума расположены минимумы и побочные максимумы малой интенсивности. Минимум интенсивности (I = 0)
наблюдается при условии: kxa/2 = m и, учитывая, что kx = ksin =
= 2sin, запишем условие минимума в виде
a sin = m, m = 1, 2, ... .
(3.29)
Условие (3.29) можно получить из простых соображений. Если
разность хода  от краев щели равна m, открытую часть волновой
поверхности можно разбить на 2m равных по ширине зон, причем
разность хода от краев каждой зоны будет равна  (рис.3.9). Колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга так, что результирующая амплитуда равна 0. Если для точки
наблюдения P разность хода  = (m + 1/2), число зон будет нечетным, действие одной из них окажется нескомпенсированным и
наблюдается максимум интенсивности.
Ширина  центрального максимума на половине высоты примерно равна расстоянию от центра максимума до ближайшего минимума (см. рис.3.8):
184

k x  2 / a ;  = a,
(3.30)
где k x — ширина в единицах kx;  — угловая ширина.
Пусть в непрозрачном экране Э1 имеется прямоугольное отверстие размерами a и b. Выбрав системы координат так, как показано
на рис.3.8, и вычислив интеграл (3.19) по поверхности отверстия,
получим:
a2
b2

sin k x a 2 sin k y b 2
ik y
ik x x
A(k  )  C  e
dx  e y dy  A0
, (3.31)
kx a 2
ky b 2
a 2
b 2
где A0 — амплитуда в центре картины.
Дифракционная картина имеет вид креста, состоящего из дифракционных максимумов (рис.3.10). Большей стороне отверстия
соответствует меньшая ширина максимума.
Рис.3.9
Рис.3.10
В отличие от дифракции Френеля при дифракции Фраунгофера
в центре дифракционной картины всегда наблюдается максимум
интенсивности.
§ 8. Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии
С такой дифракцией встречаются часто, поскольку оправы линз
и диафрагмы в оптических приборах, как правило, круглые (работа 4.4). При нормальном падении волны на экран Э1 с отверстием
радиуса R дифракционная картина симметрична относительно оси
отверстия. Переходя к полярной системе координат, запишем интеграл (3.19) в виде:
185
R
2π
R
0
0
0
A(k  )  C  ρdρ  e ik ρ cos φ dφ  2πC  J 0 (k  ρ)ρdρ ,
где k = k sin = k  = 2 — проекция волнового вектора на
нормаль к плоскости отверстия.
Интеграл выражается через специальную функцию, называемую
функцией Бесселя J1 первого порядка:
A(k) = 2A0 J1(kR)/ kR,
(3.32)
где A0 — амплитуда в центре картины. Распределение интенсивности представлено на рис.3.11. Дифракционная картина имеет вид
концентрических темных и светлых колец. Радиусы темных колец
определяются нулями функции Бесселя J1. Радиус первого темного
кольца может быть найден из условия:  = 0,61R..
Рис.3.11
§ 9. Дифракция на периодических структурах
Поставим на пути распространения плоской монохроматической
световой волны экран Э1, содержащий N одинаковых отверстий,
расположенных на равных расстояниях d друг от друга (рис.3.12).
Рассмотрим случай нормального падения света на экран. Введем
систему прямоугольных координат xyz, ось z перпендикулярна
186
плоскости экрана Э1. Отверстия располагаются на оси x с периодом d и занимают отрезок длиной l = Nd.
Рис.3.12
Если амплитуда колебаний дифрагировавших на первом отвер
стии волн в направлении k равна A1, то согласно (3.19) амплитуда
дифрагировавших на втором отверстии волн в том же направлении
определяется интегралом:
A2  C  e
i ( k x x  k y y )
2
dxdy  C  e
i ( k x x k x d  k y y)
dx dy  
2
 e ik x d C  e
i ( k x x k y y)
dx dy  ,
2
учитывая, что A1  C  e
i ( k x x k y y)
dx dy  , получим
1
A2  A1e ik xd .
Соответственно, для n-го отверстия: An  A1e i (n1)k xd .
Таким образом, соседние отверстия создают волны, отличающиеся по фазе на постоянную величину

 =  = kxd,
(3.33)
где  = d sin — разность хода волн от соседних отверстий.
Амплитуды An образуют геометрическую прогрессию. Вся система отверстий создает колебание с амплитудой:
187
N
A   An  A1
e iNδ  1
n 1
e
iδ
sin( N δ 2)
.
 A1  e i ( N 1)δ 2
sin( δ 2)
1
(3.34)
При получении (3.34) использовалась известная формула для суммы конечного числа членов геометрической прогрессии:
N
 e i(n1)δ 
e iNδ  1
.
e iδ  1
Интенсивность излучения
n1
I  I1
sin 2 ( N δ 2)
sin 2 (δ 2)
.
(3.35)
Это выражение определяет диаграмму направленности излучения всей цепочки через диаграмму направленности одного элемен
та, описываемую зависимостью I1( k ). Дробь в (3.35) периодична
по  с периодом . Точки, в которые от всех отверстий приходят
синфазные колебания, называют главными максимумами интенсивности. Условие главного максимума порядка m:

 = kxd = m; d sin = m, m = 0 1, 2, ... .
(3.36)
Целое число m называют порядком главного максимума или порядком спектра.
Формула (3.36) имеет простое физическое объяснение. При дифракции Фраунгофера каждый участок волновой поверхности является источником плоских волн. Периодично расположенные
участки в соответствующих отверстиях можно рассматривать как
систему синфазных источников. При интерференции волн максимум интенсивности будет наблюдаться при условии:  = d
sin = m.
Амплитуда и интенсивность в главном максимуме:
A = NA1; I = N 2 I1.
(3.37)
Между соседними главными максимумами имеется (N – ) минимумов интенсивности, положение которых определяется нулями
дроби в (3.35). Так, положения минимумов между спектрами m-го
и m + 1-го порядков определяется условием
 = kxd = m + p/N); d sin = m + p/N) , p =  2  N – 1. (3.38)
188
Между этими минимумами интенсивности расположены побочные максимумы интенсивности. Таким образом, между соседними
главными максимумами находятся (N – 2) побочных максимумов
малой интенсивности. На рис.3.13 приведены графики интенсивности при дифракции на N щелях шириной a и периодом d = 4,5a. Зависимость I1 определяется выражением (3.37). При N = 2 имеем
картину интерференции волн от двух источников: I = 4I1cos22;
при N = 3 между главными максимумами имеется один побочный
(см. рис.3.12, а).
Рис.3.13
При N   энергия распространяется в основном в направлениях главных максимумов. Распределение интенсивности вблизи
каждого главного максимума такое же, как при дифракции на щели
шириной l  Nd (см. рис.3.12, б). Угловую ширину главного максимума определим как разность углов, соответствующих максимуму
189
m-го порядка и ближайшего к нему минимума. Из формул (3.36) и
(3.38) получим:
d sin( +  – d sin =  N.
Используя формулу приближенных вычислений: sin =
= cos, найдем угловую ширину:

 
λ
.
Nd cos θ
(3.39)
Зависимость N 2 I1 дает огибающую вершин главных максимумов.
§ 10. Дифракционная решетка
Дифракционная решетка — важнейший спектральный прибор,
предназначенный для разложения света в спектр и измерения длин
волн. Как правило, она представляет собой плоскую стеклянную
или металлическую поверхность, на которой делительной машиной
нарезано очень много (до сотен тысяч) прямых равноотстоящих
штрихов. На стеклянных решетках наблюдения можно производить
как в проходящем, так и в отраженном свете, на металлических —
только в отраженном. Дифракционная картина наблюдается по
методу Фраунгофера, т.е. либо на бесконечно удаленном экране,
либо в фокальной плоскости линзы, поставленной на пути дифрагированного света.
Простейшим идеализированным примером дифракционной решетки может служить непрозрачный экран, в котором вырезаны
равноотстоящие параллельные щели. Расстояние d между щелями
называется периодом решетки. Таким образом, дифракционная
решетка является периодической структурой и поэтому интенсивность прошедшей волны I определяется формулой (3.35), где I1 —
интенсивность света от одной щели (3.28). В направлениях, определяемых условием (3.36), получаются главные максимумы, интенсивность которых в N 2 раз превосходит интенсивность волны от
одной щели в том же направлении.
190
Рис.3.14
Если волна падает на решетку наклонно под углом , то разность хода между соседними пучками становится равной  = AD –
– CB = d (sin – sin (рис.3.14). Характер дифракционной картины в основном сохраняется, интенсивность определяется формулой
(3.35). Положение главных максимумов определяется условием
d (sin – sin = m, m = 0 1, 2, ... .
а дифракционных минимумов — условием
(3.40)
d (sin – sin = m + p/N) , p = 1, 2  N – 1.
(3.41)
Под дифракционной решеткой в широком смысле слова понимается всякая структура, обладающая пространственной периодичностью. Если свойства структуры периодически меняются только в
одном направлении, то решетка называется одномерной или линейной. Если же периодичность имеет место в двух или трех направлениях, то решетка называется двумерной или трехмерной (пространственной) соответственно. В лабораторном практикуме рассматриваются только линейные решетки.
Переднюю часть решетки, на которую падает световая волна,
называют входом, а заднюю — выходом. Эта терминология применима и для отражательной решетки (работа 3.3). Для нее входом и
выходом служит одна и та же (передняя) поверхность.
Не обязательно, чтобы при прохождении через решетку менялась амплитуда волны. Существенно только, чтобы на выходе решетки периодически менялось волновое поле в целом. Поэтому дифракционной решеткой можно считать любое устройство, обеспечивающее периодическую пространственную модуляцию падающей световой волны по амплитуде и фазе. Различают два крайних
идеализированных случая.
1. Решетка вносит периодические изменения в амплитуду волны, не влияя на ее фазу. Такая решетка называется амплитудной.
191
2. Решетка вносит периодические изменения в фазу волны, не
влияя на ее амплитуду. Такая решетка называется фазовой.
Всякая реальная решетка не является чисто амплитудной или
чисто фазовой. Она периодически меняет на выходе как амплитуду,
так и фазу поля. Практическим примером амплитудной решеткой
является рассмотренная выше совокупность равноотстоящих щелей в непрозрачном экране. Приближением фазовой решетки может служить стеклянная пластинка с нанесенным на нее слоем фотоэмульсии переменной толщины (работа 3.4).
Форма штрихов, нанесенных на решетку, материал из которого
она изготовлена, и т.п. сказываются лишь на амплитуде волны A1
от отдельного штриха. Положение же главных максимумов определяется исключительно периодом решетки, а дифракционных минимумов, кроме того, — еще числом штрихов N. При выводе формул (3.36), (3.40) и (3.41) из принципа Гюйгенса — Френеля нет
необходимости применять приближенные методы. В решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света. Поэтому существенна только периодичность светового поля на выходе решетки, обусловленная в свою
очередь периодичностью структуры последней. Ничего другого о
поле на выходе решетки знать не надо. Поэтому перечисленные
формулы точны и при d ~ .
Положение главных максимумов в дифракционной картине зависит от длины волны. Исключение составляют только главные
максимумы нулевого порядка (m = 0), положение которых от длины волны не зависит. Белый и всякий сложный свет можно представить как суперпозицию монохроматических компонент с различными длинами волн. Эти волны при дифракции на решетке ведут себя независимо. Поэтому решетка в каждом порядке m  0
разложит падающий свет в спектр, в котором отдельные монохроматические компоненты окажутся пространственно разделенными.
Главные дифракционные максимумы, соответствующие m = ±1,
образуют спектр первого порядка. За ним идет спектр второго
(m = ±2), третьего (m = ±3) и высших порядков. Если падающий
свет — белый, то спектр каждого порядка имеет вид цветной полосы, в которой встречаются все цвета радуги. В такой полосе наиболее удаленными от центра картины будут красные лучи, наименее — фиолетовые.
192
Положение спектральных линий в спектрах дифракционной решетки определяется простыми соотношениями (3.36) и (3.40). В
этом отношении дифракционные спектры выгодно отличаются,
например, от спектров призматических, получаемых разложением
света дисперсионными призмами. В призматических спектрах положение спектральной линии определяется сложной зависимостью
показателя преломления материала призмы от длины волны.
Важными характеристиками дифракционной решетки, как спектрального прибора, являются угловая дисперсия и разрешающая
способность.
Угловая дисперсия решетки D = dd характеризует изменение
положения главных максимумов при изменении длины волны. Чем
больше угловая дисперсия, тем больше расстояние в спектре между
двумя спектральными линиями с фиксированными длинами волн.
Дифференцируя формулу (3.40) при постоянном , получим:
D = dd = m /(d cos = (sin – sin cos.
(3.42)
При нормальном падении ( = 0) D = dd = tg. Таким образом, угловая дисперсия не зависит от параметров решетки, а
определяется, помимо длины волны, только углами  и . Зависимость D от порядка спектра m определяется зависимостью углов
дифракции от m (3.40). Таким образом, одно и то же значение D
можно получить при использовании различных по параметрам решеток. Однако порядки спектров, в которых будет получена заданная дисперсия, будут различными.
Разрешающая способность. Большая дисперсия еще не означает, что две спектральные линии с близкими длинами волн  и
 =  +  разрешаются спектральным прибором, т.е. при их
наблюдении воспринимаются как раздельные спектральные линии.
Каждая спектральная линия, как бы узка она ни была, изображается
спектральным прибором не в виде линии, а в виде более или менее
размытой дифракционной картины с максимумами и минимумами
интенсивности. Дисперсия определяет расстояние, на которое
спектральный прибор «разводит» центры дифракционных картин,
возникающих от двух спектральных линий с различными длинами
волн. Однако чем больше мы их разводим, увеличивая , тем
больше становится их ширина  (3.39).
193
Наименьшая разность длин волн двух спектральных линий ,
при которой спектральный прибор разрешает эти линии, называется спектральным разрешаемым расстоянием, а величина
R =  — разрешающей способностью прибора.
Для дифракционной решетки Рэлей предложил следующий критерий спектрального разрешения. Спектральные линии с близкими
длинами волн  и  считаются разрешенными, если главный максимум в дифракционной картине для одной длины волны совпадает
по своему положению с первым дифракционным минимумом в том
же порядке для другой длины волны. Две монохроматические линии одинаковой интенсивности на таком расстоянии друг от друга
дают суммарный контур с двумя максимумами, провал между которыми составляет около 20 % от интенсивности в максимумах
(рис.3.15). Благодаря провалу такой контур воспринимается как
двойная спектральная линия.
Рис.3.15
Если такой критерий выполняется, то на основании формулы
(3.41) можно написать
d (sin – sin = m + 1/N) ,
d (sin – sin = m .
Отсюда m + 1/N)  = m , и следовательно,  =  –  = /(Nm),
R =  = Nm.
(3.43)
Разрешающая способность решетки в спектре данного порядка
m определяется только полным числом штрихов N в отличие от
дисперсии, которая зависит от периода d.
Р а б о т а 3.1
ИЗУЧЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ
И ДИФРАКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ЛАЗЕРА
194
Цель: изучение явлений интерференции и дифракции света;
определение показателя преломления стекла и толщины нити.
ВВЕДЕНИЕ
В этой работе источником света служит лазер. Его излучение
отличается рядом замечательных свойств: помимо большой мощности и малой угловой расходимости, оно обладает высокой степенью монохроматичности, большой длиной когерентности. Длина
когерентности — наибольшее расстояние вдоль направления распространения волны, на котором колебания можно считать еще
когерентными между собой (см. § 4 разд.2). Большая длина когерентности излучения лазера позволяет наблюдать интерференцию
световых волн при очень большой разности хода.
Интерференция света при отражении от плоскопараллельной пластины. Пусть на плоскопараллельную стеклянную пластину (рис.1) падает расходящийся световой пучок. Отраженные от
передней и задней поверхностей пластины световые волны интерферируют между собой и дают на экране Э систему концентрических светлых и темных колец (см. § 6 разд.2). Поскольку лазерный
луч обладает малой расходимостью, то для получения эффективной интерференционной картины требуется расширитель — короткофокусная линза — объектив О (задний фокус этого объектива
совпадает с плоскостью экрана Э).
Обозначим: r — радиус темного кольца на экране, d — толщину
пластины и l — расстояние между экраном и пластиной. В условиях нашего опыта r и d<< l Как показано в разд.2 (см. (2.37)), радиус
rk кольца, соответствующего k-му порядку интерференции, определяется формулой
rk 2
l2
 8n 2 
4nλ 0
k,
d
(1)
где n — показатель преломления стеклянной пластины; λ 0 — длина волны света в вакууме (показатель преломления воздуха принимается равным единице).

195

Рис.1

Из этой формулы видно, что rk2 линейно растет с уменьшением
порядка интерференции k. Максимальный порядок k max 
 [2dn /  0 ] отвечающий максимальной оптической разности хода
световых волн  max  2dn формально соответствует темному
кольцу радиуса r = 0. Если пронумеровать кольца в порядка возрастания их радиусов rN , начиная с некоторого, например с кольца
наименьшего радиуса, т.е. N  1 соответствует k  k max , то порядок интерференции N-го кольца k  k max  N  1 . А это, в свою
очередь, означает, что rk2 линейно зависит от номеров колец N.
Поэтому, если построить график зависимости rN2 / l 2 от N, то угловой коэффициент наклона этого графика дает возможность определить коэффициент пропорциональности в формуле (1):
4nλ 0
1 rN2

(2)


d
l2 N
На этом основан графический метод определения показателя
преломления n стеклянной пластины.
Дифракция на щели и на нити. Если на пути лазерного пучка
поставить щель шириною b, то на экране, расположенном на расстоянии l за щелью: l  b 2 /  0 (см. § 7 разд.3)будет наблюдать-

196
ся дифракционная картина Фраунгофера в виде центрального
(наиболее яркого) максимума и системы симметричных относительно него максимумов различных порядков (рис.2).


Рис.2
В нашей установке наблюдаемые углы дифракции  << 1 (см.
рис.2), и минимумы возникают в тех направлениях, для которых
угол  удовлетворяет условию
b k   k , k = 1, 2, 3, … ,
(3)
где b — ширина щели;  k — угол, соответствующий минимуму
k-го порядка. В воздухе λ  λ 0 . В данном случае  k  x k / l , x k —
расстояние от центра дифракционной картины до минимума k-го
порядка; l — расстояние между щелью и экраном. Поэтому формулу (3) можно преобразовать к виду x k  kl / b . Далее при переходе
от k-го минимума к (k + 1)-му x меняется на  x и легко заметить,
что
x  lλ b ,
(4)
где  x называют шириной дифракционной полосы.
Теперь рассмотрим дифракцию от нити. Воспользуемся теоремой Бабине (см. § 4 разд.3): дифракционные картины от препятствия и от равного ему отверстия (дополнительного экрана) долж197
ны быть совершенно одинаковы вне области свободного (прямого)
пучка. Убедимся, что это действительно так.
Пусть амплитуда волны, дифрагированной от некоторого препятствия в данном направлении, равна А1, а для соответствующего
ему дополнительного экрана в этом же направлении А2. В отсутствие обоих экранов амплитуды волн для всех направлений, кроме
направления первоначального пучка, равны 0. Следовательно, по
принципу Гюйгенса — Френеля А1 + А2 = 0, отсюда А1 = А2, а значит, равны и интенсивности света.
Таким образом, дифракционная картина от нити (вне области
прямого пучка) будет такой же, как и от щели, ширина которой
равна толщине нити.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Работа проводится на установке, схема которой показана на
рис.3. Здесь 1 — рейтер с объективом и круглым экраном Э, 2 —
рейтер с дифракционным объектом (раздвижной щелью или нитью), 3 — рейтер со стеклянной пластиной, 4 — прямоугольный
экран Э2.

Рис.3

Каждый рейтер снабжен стопорным винтом СВ, фиксирующим
положение рейтера на оптической скамье, и винтом В1, удерживающим стойку с оптическим элементом. Рейтер 1 устроен так, что
198
укрепленную на нем стойку с объективом О и круглым экраном Э
можно вводить в лазерный пучок поворотом вокруг вертикальной
оси, предварительно раскрепив винт В1. Кроме того, винт В1 позволяет производить юстировку оптического элемента по высоте.
Для этого следует одной рукой придерживать стойку, другой —
раскрепить винт В1. Изменив положение оптического элемента,
закрепите винт В1. Вращением винта В можно изменять вертикальный наклон стеклянной пластины 3.
Все рейтеры укреплены на оптической скамье. Оптическая скамья снабжена линейкой. Положения оптических элементов определяются с помощью рисок, нанесенных на соответствующие рейтеры.
Обращаем внимание на то, что попадание в глаза прямого лазерного пучка ОПАСНО ДЛЯ ЗРЕНИЯ! При работе с лазером его
свет можно наблюдать только после отражения от рассеивающих
поверхностей.
ЗАДАНИЕ 1

Изучение интерференции света при отражении
от стеклянной пластины
1. Ознакомившись с элементами и работой всех узлов установки, включите лазер (с помощью лаборанта). Убедитесь, что лазерный луч идет параллельно оптической скамье. Для этого выведите
из хода луча круглый экран 1, повернув его вокруг вертикальной
оси (см. рис.3), а также снимите рейтеры 2 и 3 с оптической скамьи. Лазерный луч должен попадать в центр экрана Э2 (яркая точка
должна совпадать с «нулевым» отсчетом шкалы Э2). Ослабив стопорный винт СВ рейтера 4, передвиньте рейтер вдоль оптической
скамьи, при этом положение яркой точки на экране Э2 не должно
меняться. В противном случае отъюстируйте луч лазера с помощью
лаборанта или дежурного сотрудника. Убедившись, что луч лазера
отъюстирован, установите рейтер 4 в крайнем положении и затяните стопорный винт.
2. Установите на оптической скамье рейтер 3 со стеклянной
пластинкой на максимальном удалении от лазера. Сориентируйте
пластину перпендикулярно к направлению пучка так, чтобы отра199
женный от нее пучок падал в центр выходного отверстия лазера.
Затем введите в ход пучка объектив с круглым экраном Э. На
экране Э2 появится светлое пятно. Тщательно отцентрируйте объектив О, таким образом, чтобы центр круглого светлого пятна приходился на «нулевой» отсчет шкалы Э2. Стопорные винты всех
рейтеров должны быть зажаты.
На экране Э должна появиться система концентрических светлых и темных колец (должны быть четко видны 5 – 6 колец). Центр
этих колец должен совпадать с центром круглого экрана. При
необходимости проведите дополнительную юстировку объектива и
стеклянной пластины.
3. Прежде всего, следует пронумеровать (в лабораторном журнале) темные кольца, радиусы которых подлежат измерению. Номера N = 1, 2, 3 и т.д. приписывают темным кольцам в порядке
возрастания их радиусов (номер N = 1приписывают, например,
первому темному кольцу вблизи отверстия экрана).
4. После этого измерьте радиусы первых пяти темных колец с
помощью двух перпендикулярных шкал на поверхности экрана, по
горизонтальной — x1 и x2 и по вертикальной — y1 и y2, результаты
измерений занесите в табл.1.
Таблица 1
N
1
2
3

x1, мм




x2, мм







y1, мм
y2, мм
rN
rN2

Измерьте расстояние  z между рисками рейтеров 1 и 3. При
установке пластины, как на рис.3, расстояние между экраном и
пластиной l =  z.
5. Найдите среднее значение радиуса каждого темного кольца rN
и его квадрат. Постройте график зависимости rN2 от номера N
200
кольца. График должен быть линейным. Масштабы следует выбирать так, чтобы прямая составляла с осями угол, близкий к 45 (как
это обычно делается). Размер графика должен быть не менее
15х15 см.
6. Из наклона прямой вычислите отношение rN2 / N и по
формуле (2) найдите показатель преломления n. Длина волны излучения лазера λ 0 = 632,8 нм, толщина стеклянной пластины d =
= 20,0 мм. Оцените погрешность n.
Используя найденное значение n, вычислите максимальный порядок интерференции, который, как следует из формулы (1), определяется выражением k max  [2dn /  0 ] Обратите внимание на полученный результат. Оцените нижнюю границу длины когерентности лазерного излучения lког, исходя из того, что интерференция
волн
наблюдается,
если
оптическая
разность
хода
  k max  0  l ког .
ЗАДАНИЕ 2

Изучение дифракции от щели и нити
1. Снимите с оптической скамьи круглый экран и стеклянную
пластину. Установите на оптической скамье держатель с раздвижной щелью — рейтер 2 (см. рис.3), обратив щель к прямоугольному
экрану 4, так чтобы лазерный пучок попадал на щель. На экране
должна появиться дифракционная картина.
2. Меняя ширину щели и расстояние между рейтером 2 и экраном, пронаблюдайте, как изменяется эта картина. После этого
установите ширину щели такой, чтобы ширина полос  x составляла 3  4 мм. Для большей точности измерьте интервал, содержащий
N = 3 – 4 полос, а затем вычислите ширину  x одной полосы.
3. Измерьте расстояние между щелью и экраном l. По формуле
(4) рассчитайте ширину щели b. Найдите погрешность ширины
щели b как погрешность косвенных измерений.
201
4. Снимите отсчет a1 по микрометрическому винту рейтера 2,
соответствующий открытой щели. Затем отсчет a2, соответствующий моменту закрытия щели. Вычислите ширину щели
b  a1  a 2 и сравните результат с полученным в предыдущем задании.
5. Заменив щель вкладышем с нитью, измерьте подобным же
образом ширину полосы x в дифракционной картине от нити.
Чтобы прямой пучок не мешал измерениям, введите зачерченный
«язычок» поворотом рукоятки на экране 4 (см. рис.3). Вычислите
по той же формуле (4) толщину нити b.
Контрольные вопросы
1. С какой целью в установке используется объектив О?
2. Что такое длина когерентности? При какой длине когерентности возможно наблюдение интерференции света при отражении от
плоскопараллельной пластины?
3. Как изменяется порядок интерференции с ростом радиуса колец при отражении света от стеклянной пластины?
4. Что утверждает теорема Бабине?
5. Как изменяется дифракционная картина при увеличении ширины щели, толщины нити?
6. Оцените величину параметра дифракции и на основании
оценки сделайте заключение о типе дифракции в задании 2.
202
Р а б о т а 3.2
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ СВЕТА НА УЛЬТРАЗВУКЕ
Цель: изучение явления дифракции света и определение скорости ультразвука в воде.
ВВЕДЕНИЕ
При прохождении ультразвуковой волны через жидкость в ней
возникают периодические оптические неоднородности, обусловленные разницей показателя преломления n в области сжатия и
разрежения. Эти периодические неоднородности играют роль своеобразной дифракционной решетки.
Пусть плоская световая волна проходит через кювету с жидкостью, в которой распространяются ультразвуковые волны в
направлении, перпендикулярном к падающему свету (рис.1). При
этом различные участки фронта световой волны, сохраняя неизменной амплитуду колебаний, будут перемещаться с различной
скоростью. Так как скорость V упругих волн ультразвуковой волны
всегда значительно меньше скорости света, можно в первом приближении принять, что слоистая структура вещества, вызванная
ультразвуковой волной, неподвижна. В результате из жидкости
выйдет световая волна, волновая поверхность которой уже не
плоская, а имеет синусоидальный профиль. Другими словами, при
прохождении света через такую среду происходит пространственное модулирование фазы световой волны, и сама среда играет роль
фазовой решетки (см. § 10 разд.3).
Рис.1
203
В зависимости от различных условий в жидкости могут устанавливаться или бегущие, или стоячие волны, или те и другие одновременно. Однако в любом случае фазовая решетка будет иметь
один и тот же период, равный длине ультразвуковой волны d   .
Если на пути света, прошедшего эту жидкость, поставить объектив, то в фокальной плоскости его можно наблюдать дифракционную картину, состоящую из ряда максимумов (см. рис.1).
Дифракционные максимумы возникают в тех направлениях ,
для которых оптическая разность хода волн, исходящих из соответствующих точек соседних участков волновой поверхности
(рис.2), равна целому числу световых длин волн  (см. § 10 разд.3):
 sin φ k   kλ ,
(1)
где  — период «решетки» (длина ультразвуковой волны); k — порядок дифракционного максимума (k = 0, 1, 2, …).
Рис.2
Дифракция света на ультразвуке используется в данной работе
для определения скорости распространения ультразвука в воде.
Наблюдение ультразвуковых волн достигается с помощью вспомогательной собирающей линзы Л, если ее расположить за фокальной плоскостью F объектива О зрительной трубы (рис.3).
В этом случае оптическое изображение дифракционного объекта (ультразвуковых волн, например, точек a и b) является результатом интерференции световых колебаний, исходящих из различных
дифракционных максимумов в фокальной плоскости F. Если ультразвук создает неглубокую фазовую модуляцию света, то в дифракционной картине наибольшую интенсивность будет иметь
максимум нулевого порядка. Этот максимум создает в плоскости
204
изображения Р однородный светлый фон, на котором слабое изображение (точки a и b) данной структуры оказывается почти невидимым. Однако контрастность изображения можно резко увеличить, если исключить светлый фон, например, закрыв в плоскости
F центральный дифракционный максимум.
Рис.3
Именно этот способ наблюдения, называемый методом темного
поля, и используется в данной работе.
В заключение отметим два важных обстоятельства:
1) при непрерывном освещении и визуальном наблюдении ультразвуковая решетка будет не видна, если она реализована бегущей
волной. В этом случае, вследствие большой скорости этих волн и
инерции зрительного восприятия, глаз будет видеть слившийся
равномерно освещенный фон;
2) иначе обстоит дело в случае стоячих волн. Их узловые точки
расположены на расстоянии /2 друг от друга и неподвижны в
пространстве (рис.4). На рис.4 показан график зависимости смещения  от координаты x (ось Ox перпендикулярна направлению распространения света). Между узлами смещений расположены элементы среды, периодически (с большой частотой) образующие
пучности смещений. Поэтому при визуальном наблюдении возможна регистрация лишь усредненной во времени пространственной картины стоячих волн. Пространственный период этой картины, как показано на рис.4, равен не , а /2.
205
Рис.4
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Работа проводится на установке, оптическая схема которой показана на рис.5. Здесь 1 — источник света с конденсорной линзой;
2 — съемный светофильтр; 3 — зеркало; 4 — коллиматор, в передней фокальной плоскости которого расположена узкая щель; 5 —
кювета с исследуемой жидкостью; 6 — зрительная труба; 7 —
насадка с зачерненной полоской; 8 — вспомогательная собирающая линза; 9 — окуляр-микрометр; 10 — выдвижная штанга.
Рис.5
Для формирования слаборасходящегося светового пучка используется конденсорная линза, в фокусе которой находится источник света. Светофильтр пропускает световые волны в узком
диапазоне длин волн ( λ  λ  λ, λ  λ ) — создает квазимонохроматический свет. Коллиматор предназначен для формирования
световой волны, обладающей высокой пространственной когерентностью, необходимой для наблюдения дифракционной картины.
206
Дифракционная картина наблюдается в фокальной плоскости объектива зрительной трубы.
Источником ультразвуковых колебаний служит пластинка, вырезанная определенным образом из кристалла кварца. Эта пластинка вместе с верхним электродом служит дном плоскопараллельной
стеклянной кюветы.
Кювету ставят на специальную подставку, являющуюся нижним
электродом кварцевой пластинки. К электродам подводят напряжение от высокочастотного генератора. При этом кварц будет испытывать механические деформации, частота которых равна частоте генератора (на рисунке не изображен). Колебания кварцевой
пластинки будут иметь заметную амплитуду лишь при резонансе,
когда частота генератора совпадает с одной из собственных частот
самой пластинки v n  (2n  1)v0 , т.е. резонанс наблюдается при нечетных гармониках. Причем наибольшая амплитуда колебаний достигается при частоте , соответствующей основному тону, с увеличением n амплитуда уменьшается.
Частоту генератора можно плавно изменять в широком мегагерцевом диапазоне вращением рукоятки. Рукоятка снабжена круговой шкалой, градуировочная кривая которой дана на установке.
К установке прилагаются: прозрачная дифракционная решетка с
известным периодом и насадка с зачерненной полоской.
Перед выполнением работы ознакомьтесь с пп.1 – 5 «Методических рекомендаций».
ЗАДАНИЕ 1
Определение скорости ультразвука
Скорость ультразвука определяется формулой
V = ,
(2)
где  — его длина волны;  — частота. Если частота известна, то
задача сводится к определению длины волны .
С этой целью в данной работе используется вспомогательная
прозрачная дифракционная решетка, период которой d известен.
При нормальном падении света на такую решетку в фокальной
плоскости объектива трубы образуется дифракционный спектр,
состоящий из ряда максимумов. Из теории решетки (см. § 10
разд.3) следует, что направления на эти максимумы должны удовлетворять условию
207
d  sin φ k   kλ ,
(3)
где φ k — угол, под которым образуется максимум k-го порядка.
В нашем случае углы дифракции малы, поэтому sin φ k  φ k . Из
сравнения формул (1) и (3) следует, что
 / d  φ k / φ k  x  / x ,
(4)
где x и x — расстояния между соседними максимумами в фокальной плоскости объектива трубы, соответственно, для обычной
и ультразвуковой решеток.
Определив x, x и зная d, можно найти и  .
1. Включите осветитель. Сфокусируйте окуляр-микрометр на
четкое видение визирного креста нитей (вращением накатанного
кольца). Приблизьте окуляр-микрометр к трубе так, чтобы в его
поле зрения возникло изображение коллиматорной щели (без параллакса относительно визирного креста).
2. Установите в держатель рядом с кюветой вспомогательную
решетку. В поле зрения окуляра-микрометра вместо изображения
коллиматорной щели должна появиться система дифракционных
максимумов (нулевой максимум наиболее яркий). Измерьте окуляром-микрометром отсчет их положения xk (не менее трех раз), отмечая одновременно порядок k каждого максимума. Результаты
запишите в табл.1.
Таблица 1
Порядок максимума k
xk, дел.
x-k, дел.
…
….
…
После этого уберите дифракционную решетку.
3. Включите генератор ультразвуковых колебаний и дайте ему
несколько минут на прогрев. Затем, медленно поворачивая ручку
регулятора частоты и ручку плавной регулировки частоты, в заданном диапазоне (см. указатель на лабораторном столе) отыщите несколько резонансов, при которых в поле зрения окуляра появляется
дифракционная картина.
4. Выбрав из них тот резонанс, при котором дифракционная
картина наиболее яркая и содержит наибольшее число максиму208
мов, запишите показания генератора (частоту генератора определите по градуировочному графику) и измерьте с помощью окулярамикрометра положение всех дифракционных максимумов. После
этого генератор выключите. Результаты измерений занесите в заранее заготовленную таблицу, аналогичную табл.1.
5. По разности полученных отсчетов вычислите расстояния
между симметрично расположенными максимумами одного порядка, отношение этих расстояний к порядку спектра и их среднее
значение. Последнее равно двойному среднему расстоянию между
соседними максимумами (x — для обычной решетки, x — для
ультразвуковой решетки).
Затем по формулам (4) и (2) найдите длину волны  и скорость
V ультразвука.
ЗАДАНИЕ 2
Непосредственное наблюдение ультразвуковой решетки
1. Уберите окуляр-микрометр и на его место установите вспомогательную линзу. Перемещением этой линзы получите в поле
зрения трубы четкое изображение коллиматорной щели.
2. Установите в фокальной плоскости объектива зрительной
трубы насадку с зачерненной полоской. Наблюдая через вспомогательную линзу, расположите полоску так, чтобы она полностью
закрыла изображение коллиматорной щели (это возможно лишь в
отсутствие параллакса). Юстировка полоски по высоте осуществляется поворотом накатанного кольца К (см. рис.5).
3. Включите генератор. В поле зрения вспомогательной линзы
должна возникнуть дифракционная картина (без центрального максимума).
Выдвинув штангу 10 до упора, придвиньте вспомогательную
линзу к трубе, установите за этой линзой на расстоянии, несколько
превышающем ее фокусное расстояние, окуляр-микрометр, перемещая который, отыщите изображение ультразвуковой решетки.
4. Варьируя частоту генератора, убедитесь в том, что в поле зрения наблюдается изображение именно ультразвуковой решетки:
при удалении от резонансной частоты оно должно исчезать.
5. Измерьте несколько раз расстояние, например, между десятью максимумами. Для этого снимите отсчеты xk и xk + 10. Помня,
что расстояние между соседними максимумами (или минимумами)
равно половине длины волны ультразвука (  /2), вычислите  в
209
делениях шкалы барабана микрометра. После этого генератор выключите.
Следует отметить, что резонанс на данной установки наблюдается при низких гармониках. Поэтому амплитуда колебаний достаточно велика, чтобы наблюдать ультразвуковую решетку, не используя метод темного поля. В этом случае порядок выполнения
задания такой же, за исключением пункта, касающегося установки
насадки с зачерненной полоской. Светофильтр применять в этом
случае также не нужно.
6. Определите цену деления барабана микрометра (чтобы найти
истинную длину волны ультразвука). Уберите светофильтр и
насадку с зачерненной полоской. Установите между коллиматором
и зрительной трубой вспомогательную дифракционную решетку в
положение, при котором в поле зрения окуляра-микрометра будет
наблюдаться ее четкое изображение.
7. Так же, как и в п.5, определите расстояние между штрихами
изображения решетки d. Зная период решетки, вычислите цену
деления барабана микрометра d / d  и затем — длину волны ультразвука  .
8. Вычислите скорость ультразвука по формуле (2). Сравните
результат с полученным в предыдущем задании.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чем отличие фазовой и амплитудной дифракционных решеток?
2. Покажите, что период ультразвуковой решетки одинаков как
для бегущей, так и для стоячей волны и равен ее длине волны. Отличаются ли дифракционные картины от стоячей и бегущей ультразвуковых волн?
3. Как изменится расстояние между соседними дифракционными максимумами, если красный светофильтр заменить на синий?
Почему в работе используется именно красный светофильтр?
4. В чем заключается метод темного поля? Что будет наблюдаться в окуляре-микрометре, если насадку с зачерненной полоской установить не в фокальной плоскости?
5. Почему в данной установке невозможно наблюдать бегущую
звуковую волну? Можно ли наблюдать бегущие волны при стробоскопическом освещении?
210
Р а б о т а 3.3
ИЗУЧЕНИЕ ОТРАЖАТЕЛЬНОЙ
ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ
Цель: изучение основных спектральных свойств дифракционной
решетки; определение длин волн спектральных линий.
ВВЕДЕНИЕ
Отражательная дифракционная решетка — это металлическая
зеркальная пластинка, на которую через одинаковые интервалы
нанесено большое число штрихов (рис.1). При падении световой
волны на решетку каждый элемент ее поверхности становится источником вторичных когерентных волн.
Рис.1
Если на пути дифрагированных волн поставить собирающую
линзу, то в ее фокальной плоскости будет наблюдаться дифракционная картина, состоящая из ряда отдельных максимумов. Эти
максимумы возникают в тех направлениях, для которых оптическая разность хода световых волн, отраженных от соответствующих элементов — соседних штрихов решетки, равна целому числу
длин волн.
211
Из рис.1 видно, что оптическая разность хода соответствующих
лучей 1 и 2  = CB – AD = d(sin – sinгде d — период решетки,  — угол падения волны,  — угол дифракции. Таким образом, угол дифракции  k , в направлении которого наблюдается
максимум k-го порядка, определяется условием (см. (3.40) § 10
разд.3):

d(sin – sink =  k
(1)
В этой формуле необходимо учесть правило знаков для углов  и
k: оба угла имеют одинаковые знаки, если лежат по разные стороны от нормали n (как на рис.1), и разные знаки — по одну и ту же
сторону от нормали. При этом угол  можно считать всегда положительным.
Из формулы (1) следует, что если падающий свет состоит из
набора различных длин волн, то решетка разложит его в спектр. В
направлении зеркального отражения k =  возникает максимум
нулевого порядка k = 0 для всех длин волн. Слева и справа от него
возникнут линейчатые спектры различных порядков. В каждом из
этих спектров максимумы более коротких длин волн располагаются ближе к нулевому максимуму.
На этом основано использование дифракционной решетки как
спектрального прибора. Качество этого спектра зависит от угловой
дисперсии и разрешающей способности прибора.
Угловая дисперсия характеризует способность прибора пространственно разделить в заданном порядке k световые пучки различных длин волн (см. § 10 разд.3). Ее мерой является отношение
, где  — угловое расстояние между двумя спектральными
линиями, отличающимися по длинам волн на  Для дифракционной решетки
D =  = k/dcos,
(2)
где k — порядок спектра (порядок дифракции). Поскольку в работе
наблюдаются спектры только по одну сторону от центрального
максимума (k < ), то в правой части (1) следует выбрать знак
«+». Тогда угловая дисперсия D для спектра k-го порядка:
k


(3)
D
2
d 1  (sin φ 0  k λ d )
212
Разрешающая способность характеризует способность прибора
разделять (разрешать) спектральные линии, мало отличающиеся по
длинам волн. За ее меру принимают отношение , где  — длина волны, около которой производят измерение;  — наименьшая
разница в длинах волн двух еще разрешаемых спектральных линий.
Согласно критерию Рэлея (см. § 10 разд.3) разрешающая способность решетки определяется по формуле:

 = kN,
(4)
где k — порядок спектра; N — число действующих штрихов решетки. Число действующих штрихов решетки N определяется радиусом когерентности ког световой волны и углом падения :
N
 ког
.
d cos φ 0
(5)
Радиус когерентности волны оценивается по формуле ког  ,
где  — угловой размер источника, равный в данной работе величине a/F (a — размер входной щели коллиматора; F = 400 мм —
фокусное расстояние коллиматора).
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Работа проводится на гониометре — приборе для точных измерений углов. Оптическая схема установки показана на рис.2, где
1 — ртутная лампа; 2 — коллиматор, в передней фокальной плоскости которого расположена узкая раздвижная щель; 3 — отражательная дифракционная решетка; 4 — зрительная труба, в фокальной плоскости объектива которой наблюдают линейчатый спектр.
Окуляр зрительной трубы снабжен автоколлимационным
устройством, позволяющим устанавливать ось трубы строго перпендикулярно к интересующей нас плоскости, например к плоскости решетки. Принцип действия этого устройства состоит в следующем. Лампочка 5 освещает прозрачный крест на пластине 6.
Прошедшие через нее лучи отражаются от полупрозрачной диагональной грани стеклянного кубика 7, проходя через объектив трубы, и, отразившись от некоторой плоской поверхности, возвращаются в трубу, образуя в фокальной плоскости 8 ее объектива изображение светлого автоколлимационного креста. Если плоская по213
верхность перпендикулярна к оси трубы, то изображение этого
креста совместится с визирным крестом, расположенным в плоскости 8.
Рис.2
Внешний вид гониометра показан на рис.3. Описание гониометра и правила работы с ним содержатся в п.5 «Методических рекомендаций».
Рис.3
214
Источник света — ртутная лампа. Ее наиболее характерные
спектральные линии указаны на установке. К установке прилагается толстая стеклянная пластинка.
ВНИМАНИЕ! Используемая в этой работе дифракционная решетка представляет собой очень тонкий высококачественный оптический прибор, изготовление которого требует поистине ювелирной работы. Поэтому во избежание повреждения решетки совершенно недопустимо прикасаться к ее поверхности! При вращении частей гониометра, особенно маховика 9, нельзя применять
силу!
ЗАДАНИЕ 1
Подготовка установки к измерениям
При подготовке установки к измерениям любое изменение
положения решетки осуществляется только с разрешения преподавателя или дежурного сотрудника; п.3 выполняется дежурным сотрудником или лаборантом, если не наблюдается
автоколлимационный крест.
1. Проследите, чтобы плоскость решетки была перпендикулярна
к оси одного из винтов наклона столика (назовем его винтом А, а
другой — винтом В). Рычажок 13 должен быть поднят.
Убедитесь, что плоскость решетки находится под углом 10 – 20
к оптической оси коллиматора. В противном случае, раскрепив
винт 16 (см. рис.3), поверните столик так, чтобы плоскость решетки оказалась под углом около 10 – 20 к оптической оси коллиматора. Вращением оправы окуляра трубы добейтесь четкого изображения визирного креста. Поворачивая винт 2, установите по шкале
коллиматора (с противоположной стороны этого винта) нуль
напротив  . При этом щель коллиматор окажется в передней фокальной плоскости его объектива.
2. Включите ртутную лампу. Проверьте, чтобы входная щель
коллиматора была хорошо освещена. Затем расширьте щель и, отведя зрительную трубу в сторону, просмотрите спектр — должно
быть видно не менее четырех порядков (в частности, желтый дублет должен повторяться, по крайней мере четыре раза). В против215
ном случае (раскрепив винт 16) небольшим поворотом столика измените положение решетки (угол падения света).
3. Включите внутреннюю подсветку тумблером «Вкл». Раскрепив винт 11, установите зрительную трубу по нормали к решетке и
приложите к объективу трубы толстую стеклянную пластинку.
Вращая винт 6 трубы, получите изображение светлого автоколлимационного креста. В этом положении трубу закрепите винтом 11
(студентами не выполняется).
4. Включите внутреннюю подсветку тумблером «Вкл». Отыщите изображение светлого автоколлимационного креста при отражении от поверхности решетки. Это достигается с помощью небольших поворотов как столика, так и его винта наклона А. Найденное
изображение светлого креста должно располагаться в середине поля зрения. В этом положении столик скрепить с лимбом винтом 16.
5. Проследите, чтобы соответствующий отсчет по шкале лимба
не выходил за пределы интервала углов от 90 до 270. В противном
случае нажать на рукоятку 10 и, вращая ее, ввести требуемый участок лимба (это нужно для того, чтобы при дальнейших измерениях не переходить через нуль шкалы лимба, что вызвало бы некоторое усложнение при определении разности отсчетов). В этом положении лимба закрепите столик на оси прибора винтом 14.
6. Устраните возможный перекос спектра. Для этого уменьшите
длину входной щели коллиматора (перемещением пластинки с Vобразным вырезом, находящимся перед щелью) так, чтобы длина
каждой линии стала равной около половины высоты поля зрения.
Центры линий-отрезков должны быть на одном уровне — горизонтальный штрих визирного креста при повороте трубы должен пересекать их по середине. Если это не так, отрегулируйте наклон столика — главным образом винтом наклона В (см. п.1).
Юстировку прибора можно считать законченной, если при повороте зрительной трубы центр светлого автоколлимационного
креста и центры всех линий спектра будут расположены на одном
уровне, совпадающем с горизонтальным штрихом визирного креста. После этого длину входной щели коллиматора максимально
увеличьте и приступайте к измерениям.
ЗАДАНИЕ 2
216
Определение длин волн спектральных линий
Как следует из формулы (1), для определения длины волны
каждой спектральной линии необходимо измерить угол падения0
и угол дифракции k. Согласно рис.2, эти углы можно найти по
формуле
(6)
k   n   k ,
где  n — отсчет по лимбу, соответствующий нормали к решетке;
 k — отсчет положения линии в k-м порядке, k = 0, 1, 2, … .
1. Установите зрительную трубу перпендикулярно к плоскости
решетки так, чтобы в середине ее поля зрения появилось изображение светлого автоколлимационного креста. Закрепив трубу винтом 11 (см. рис.3), тщательно сфокусируйте светлый крест винтом
6 и произведите точное совмещение вертикальных штрихов и визирного креста — винтом 12. Сделайте отсчет по шкале лимба  n .
2. Поверните трубу (раскрепив винт 11) в сторону нулевого максимума — в середине ее поля зрения должна появиться белая линия. Тщательно сфокусируйте эту линию винтом 6 и уменьшите
ширину входной щели коллиматора — линия должна оказаться достаточно узкой и удобной для измерений. Опять закрепите трубу
винтом 11 и винтом тонкой наводки 12 совместите вертикальный
штрих визирного креста с серединой линии. Сделайте соответствующий отсчет по шкале лимба  0 .
3. Повторите описанным выше способом, используя винты 11 и
12, отсчеты углов  n и  0 не менее трех раз. В качестве окончательных результатов для этих углов принять средние значения:
  0  и   n  . Сравните разбросы результатов однотипных из-
мерений с приборной погрешностью гониометра  пр и сделайте
вывод о характере погрешности прямых измерений углов.
4. Аналогичную операцию проделайте для наиболее ярких линий (синей, зеленой и двух желтых) во всех четырех порядках, отмечая одновременно для каждой линии ее цвет и порядок спектра
k. Соответствующие отсчеты по шкале лимба (  k ) запишите в
217
табл.1. В виду большого объёма измерений можно не выполнять
повторных измерений углов  k .
Таблица 1
k
k=0
Цвет
белый
k=1
синий
зеленый
желтый I
желтый II
...
...
k
k

...
...
...
5. С помощью микрометрического винта 1 найдите ширину a
входной щели. Для этого снимите показание микрометрического
винта 1, отвечающее его положению при проведении измерений
(x1), а затем — отсчет x2, соответствующий моменту закрытия щели, при котором исчезают спектральные линии. Тогда a = |x1 – x2|.
6. Вычислите угол падения пучка света по формуле 0 =
= |<n>  <0> и углы дифракции k с учетом правила знаков по
формуле (6):
 k   n   k , если   n     0 
и
 k   k    n  , если   n     0  .
7. Рассчитайте по формуле (1) с учетом правила знаков длину
волны каждой линии во всех порядках спектра. Из полученных результатов для каждой линии найдите среднее значение длины волны и оцените погрешность разброса λ . Сравните погрешность
разброса λ с погрешностью косвенных измерений. Для оценки
погрешности косвенных измерений можно использовать формулу:
λ  cos φ1  φ ,
218
взяв φ  max( α 0 , α n ) . Сравните средние значения длин волн
линий с табличными значениями (см. атлас линий на лабораторном
столе).
8. Вычислите разность длин волн  двух желтых линий и угловое расстояние k   k I   k II между ними во всех порядках
спектра, результаты занесите в табл.2. Постройте график зависимости угловой дисперсии D =  от порядка спектра k, указав на
нем значения периодов решетки и угла падения 0. Рассчитайте
DТ(k) по формуле (3) и также нанесите на график. Сравните полученные значения с учетом их погрешностей.
Таблица 2
Порядок
k
k = |kI  kII|,
угл. мин
,
нм
D,
угл. мин
нм
DT,
угл. мин
нм
k=1
k=2
k=3
В заключение оцените по формулам (4) и (5) разрешающую способность решетки в четвертом порядке спектра.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Почему в данной работе при расчете оптической разности хода дифрагированных волн не принимается во внимание объектив
зрительной трубы?
2. От чего зависят угловая дисперсия и разрешающая способность решетки?
3. Чем определяется число действующих штрихов N дифракционной решетки?
4. Какова роль автоколлимационного устройства в этой работе?
5. Как производится отсчет по шкале лимба гониометра?
219
6. Почему необходимо проводить фокусировку каждой линии?
220
Р а б о т а 3.4
ИЗУЧЕНИЕ ФАЗОВОЙ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ
Цель: изучение основных спектральных свойств дифракционной
решетки, определение периода решетки.
ВВЕДЕНИЕ
Фазовая решетка — пластинка с периодически меняющейся
оптической толщиной. При прохождении света через такую пластинку происходит пространственное модулирование фазы световой волны (см. § 10 разд.3).
В работе применяется фазовая решетка, представляющая собой
стеклянную пластинку с нанесенным на нее слоем фотоэмульсии
переменной толщины. Толщина слоя меняется по закону
H(x) = h0 – hcos(2x/d),
(1)
где h0 — средняя толщина слоя; d — период решетки. Рассмотрим
падение плоской световой волны на решетку (рис.1). При этом различные участки фронта световой волны, сохраняя неизменной амплитуду колебаний, будут проходить через решетку за разные времена. В результате фаза световой волны на выходе решетки
(x) = (n – 1)H(x)/ является периодически меняющейся функцией
(n — показатель преломления слоя,  — длина волны в вакууме).
Таким образом, из решетки выйдет световая волна, волновая поверхность которой уже не плоская, а имеет синусоидальный профиль.
Рис.1
221
При нормальном падении света на решетку (0 = 0) положение
максимума k-го порядка определяется условием
dsink = k0.
(2)
Важными характеристиками дифракционной решетки, как спектрального прибора, являются угловая дисперсия и разрешающая
способность (см. § 10 разд.3).
Угловая дисперсия определяется по формуле:
D =  = k/dcos = tg,
(3)
а разрешающая способность:
 = kN,
(4)
где k — порядок спектра; N — число действующих штрихов решетки. Число действующих штрихов определяется по формуле (5),
приведенной во введении лабораторной работы 3.3, при cos0 = 1:
λ
,
(5)
dψ
где  — угловой размер источника, равный в данной работе величине a/F (a — размер входной щели коллиматора; F = 400 мм —
фокусное расстояние коллиматора).
N
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Оптическая схема установки показана на рис.2, где 1 — ртутная
лампа; 2 — коллиматор, в передней фокальной плоскости которого
расположена узкая раздвижная щель; 3 — фазовая дифракционная
решетка, расположенная перпендикулярно оптической оси коллиматора 2; 4 — зрительная труба, в фокальной плоскости объектива
которой наблюдают линейчатый спектр.
Окуляр зрительной трубы снабжен автоколлимационным
устройством, позволяющим устанавливать ось трубы строго перпендикулярно к интересующей нас плоскости, например к плоскости решетки. Принцип действия этого устройства состоит в следующем. Лампочка 5 освещает прозрачный крест на пластине 6.
Прошедшие через нее лучи отражаются от полупрозрачной диагональной грани стеклянного кубика 7, проходя через объектив трубы, и, отразившись от некоторой плоской поверхности, возвращаются в трубу, образуя в фокальной плоскости 8 ее объектива изображение светлого автоколлимационного креста. Если плоская поверхность перпендикулярна к оси трубы, то изображение этого
222
креста совместится с визирным крестом, расположенным в плоскости 8.
Рис.2
Рис.3
Работа проводится на гониометре (рис.3). Описание гониометра
и правила работы с ним содержаться в п.5 «Методических рекомендаций».
ЗАДАНИЕ 1
Подготовка установки к измерениям
При выполнении данного задания любое изменение положения решетки осуществляется только с разрешения преподавателя или дежурного сотрудника; п.3 выполняется дежурным
223
сотрудником или лаборантом, если не наблюдается автоколлимационный крест.
1. Проследите, чтобы плоскость решетки была перпендикулярна
к оси одного из винтов наклона столика (назовем его винтом А, а
другой — винтом В) и к оптической оси коллиматора 2. Вращением оправы окуляра трубы добейтесь четкого изображения визирного креста. Поворачивая винт 2, установите по шкале коллиматора
(с противоположной стороны этого винта) нуль напротив  . При
этом щель коллиматор окажется в передней фокальной плоскости
его объектива. Рычажок 13 должен быть поднят.
2. Включите ртутную лампу. Проверьте, чтобы входная щель
коллиматора была хорошо освещена.
3. Включите внутреннюю подсветку тумблером «Вкл». Раскрепив винт 11, установите зрительную трубу по нормали к решетке и
приложите к объективу трубы толстую стеклянную пластинку.
Вращая винт 6 трубы, получите изображение светлого автоколлимационного креста. В этом положении трубу закрепите винтом 11
(студентами не выполняется).
4. Включите внутреннюю подсветку тумблером «Вкл». Отыщите изображение светлого автоколлимационного креста при отражении от поверхности решетки, тщательно сфокусируйте светлый
крест винтом 6. Откройте щель и убедитесь, что автоколлимационный крест совпадает с центром белой линии. Если они не совпадают, предварительно раскрепив винт 16, следует повернуть столик
до совмещения креста с белой линией. В этом положении столик
скрепить с лимбом винтом 16.
5. Проследите, чтобы соответствующий отсчет по шкале лимба
не выходил за пределы интервала углов от 90 до 270. В противном
случае нажать на рукоятку 10 и, вращая ее, ввести требуемый участок лимба (это нужно для того, чтобы при дальнейших измерениях не переходить через нуль шкалы лимба, что вызвало бы некоторое усложнение при определении разности отсчетов). В этом положении лимба закрепите столик на оси прибора винтом 14.
6. Устраните возможный перекос спектра. Центры линийотрезков должны быть на одном уровне — горизонтальный штрих
визирного креста при повороте трубы должен пересекать их по середине. Если это не так, отрегулируйте наклон столика — главным
образом винтом наклона В (см. п.1).
Юстировку прибора можно считать законченной, если при повороте зрительной трубы центр светлого автоколлимационного
креста совпадает с центром белой линии и центры всех линий
спектра будут расположены на одном уровне, совпадающем с гори224
зонтальным штрихом визирного креста. После этого длину входной щели коллиматора максимально увеличьте и приступайте к
измерениям.
ЗАДАНИЕ 2
Определение периода решетки
Определение периода решетки производится на основе формулы (2) путем измерения углов дифракции k.
1. Установите зрительную трубу перпендикулярно к плоскости
решетки так, чтобы в середине ее поля зрения появилось изображение светлого автоколлимационного креста, центр которого совпадает с центром белой линии. Закрепив трубу винтом 11 (см.
рис.3), тщательно сфокусируйте эту линию винтом 6 и уменьшите
ширину входной щели коллиматора — линия должна оказаться достаточно узкой. Винтом тонкой наводки 12 совместите вертикальный штрих визирного креста с серединой линии. Сделайте соответствующий отсчет по шкале лимба 0.
2. После этого поверните трубу (раскрепив винт 11) в сторону
первого максимума — в середине ее поля зрения должна появиться
яркая зеленая линия ( = 546,07 нм). Опять закрепите трубу, и винтом тонкой наводки 12 совместите вертикальный штрих визирного
креста с серединой линии. Сделайте соответствующий отсчет по
шкале лимба 1.
3. Аналогичную операцию проделайте для яркой зеленой линии
во всех видимых порядках, расположенных слева и справа от белой
линии, данные k занести в табл.1.
Таблица 1
Порядок k
k
k
d = k/sink, мкм
k=0
k=1
k=2
225
4. Отсчеты положения белой линии 0 должны быть сделаны не
менее трех раз (например, в начале, середине и конце процесса измерений). Найдите среднее значение <0>. Сравните разбросы результатов однотипных измерений с приборной погрешностью гониометра  пр и сделайте вывод о характере погрешности прямых
измерений углов.
Угол дифракции k вычисляется по формуле:

(6)
k   k    0  ,
По формуле (2) рассчитайте период решетки d. Определите
среднее значение d, оцените погрешность.
ЗАДАНИЕ 3
Определение угловой дисперсии решетки
1. Аналогично заданию 1 снимите отсчеты положений желтых
линий  k1 и  k 2 во всех видимых порядках спектра (данные измерений занести в табл.2). Длины волн желтого дублета:  =
= 577,0 нм и  = 579,1 нм. В этом задании можно проводить измерения положений максимумов только с одной стороны от белой
линии.
Таблица 2
Порядок k
k1,
град.
k2,
град.
k = |k1  k2|,
угл. мин
к
D,
угл. мин
нм
DТ,
угл. мин
нм
k=1
k=2
k=3
2. Пользуясь определением D = , найдите D во всех порядках. Постройте график D(), взяв в качестве угла k угол дифракции любой желтой линии (  k1 или  k 2 ).
226
Нанесите на график теоретическую зависимость DТ = tg, в
качестве  можно взять  или  (в единицах угл. мин/нм
tgφ
DТ = 1,08  10 4
).
πλ
ЗАДАНИЕ 4
Определение разрешающей способности решетки
1. Определите число действующих штрихов N по формуле (5),
используя d, полученное в задании 1. Размер входной щели коллиматора определяется так: снимите показание микрометрического
винта 1, отвечающее его положению при проведении измерений
(x1), а затем — отсчет, соответствующий моменту закрытия щели
(x2). Тогда a = |x1 – x2|. По этим данным оцените для желтой линии
радиус когерентности волны ког   и разрешающую способность решетки  по (4) для максимального порядка k.
2. Используя критерий Рэлея, определите ширину щели. Найдите желтый дублет в спектре первого порядка. Увеличивайте размер
щели до тех пор, пока две желтые полосы не сольются в одну.
Снимите соответствующий отсчет x винта 1. Из (4) определите
число действующих штрихов N ( =  –  — разность длин волн
желтых линий,   . Из (5) определите радиус когерентности
ког. Оцените размер щели a  F ког. Сравните полученное значение с результатом прямых измерений a = |x  x2|.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Почему в данной работе при расчете оптической разности хода дифрагированных волн не принимается во внимание объектив
зрительной трубы?
2. От чего зависят угловая дисперсия и разрешающая способность решетки?
3. Если фазовая решетка располагается не перпендикулярно оптической оси коллиматора, то как найти угол дифракции k, соответствующий максимуму k-го порядка?
4. Какова роль автоколлимационного устройства в этой работе?
5. Как производится отсчет по шкале лимба гониометра?
227
228
Р а б о т а 3.5
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ В ОПЫТЕ ЮНГА
Цель: изучение явлений интерференции и дифракции света;
определение длины волны света когерентного источника, расстояний между щелями, ширины отдельной щели.
ВВЕДЕНИЕ
Опыт Юнга, проведенный в начале XIX в., впервые показал
возможность наблюдения интерференции света от двух источников, и таким образом экспериментально подтвердил волновую природу света. Юнг пропустил солнечный свет в темную комнату через отверстие, сделанное булавкой и выполнявшее роль первичного
источника. Свет от этого источника попадал на непрозрачный
экран, который содержал два булавочных отверстия, расположенных близко друг к другу и симметрично относительно источника.
Свет дифрагировал на этих отверстиях, которые служили вторичными источниками. На стене за экраном Юнг наблюдал интерференционные полосы. Необходимость первого экрана с отверстием
была обусловлена тем, что солнечный свет обладает недостаточной
пространственной когерентностью. Измерение ширины интерференционных полос позволило Юнгу вычислить длины волн  красной границы видимой части спектра 0,7 мкм и фиолетовой границы
0,4 мкм.
В данной работе изучается интерференция излучаемого лазером
света, который обладает высокой степенью временной и пространственной когерентности, поэтому дополнительный экран не используется. Кроме того, вместо круглых отверстий применяются
параллельные щели, что обеспечивает более эффективное использование падающего светового потока. Результирующая интенсивности I волны на экране Э зависит от длины волны , ширины щелей b, расстояния между щелями d, а также расстояния от щелей до
экрана l (рис.1).
В работе используются узкие щели с шириной b2 << l. Указанное неравенство обеспечивает в опыте наблюдение дифракции
Фраунгофера (см. § 4 разд.3).
229
Рис.1
Согласно формуле (3.27), приведенной в разд.3, амплитуда колебаний электрического поля в волне, дифрагировавшей на одной
щели в направлении, составляющем угол  с нормалью к плоскости экрана (рис.2):
sin 
A  A0
,

где A0 — амплитуда в центре дифракционной картины;
 = b sin  bx/(l), так как    и sin    x/l; x — координата точки на экране, на котором наблюдается и регистрируется
интерференционная картина.
Распределение интенсивности света на экране определяется зависимостью:
2
 sin  
sin 2 ( π bx (λl ))
  I 0
I1  I 0 
,
( π bx (λl )) 2
  
(1)
где I 0 — интенсивность света в центре дифракционной картины.
Щели являются когерентными источниками монохроматических
волн, в результате сложения которых на экране возникает интерференционная картина. Для одинаковых щелей интенсивности дифрагировавших волн равны, тогда согласно формуле (2.13) (см. § 2
разд.2) интенсивность света от двух щелей, излучаемого в направлении , имеет вид:
2
 sin  
 cos 2  / 2 ,
I 2  2 I1 (1  cos )  4 I1 cos 2  / 2  4 I 0 



230
(2)
где  =  — разность фаз колебаний полей двух волн в определенной точке экрана. Значение  определяется оптической разностью хода волн , которая вычисляется по формуле:
 = d sin  dx/l при d << l.
Характерное распределение интенсивности света от двух щелей
I2(x) изображено в правой части рис.2. Пунктирной линией проведена огибающая, равная 4  I1 ( x ) , где I1 ( x ) — интенсивность света
от одной щели.
Рис.2
Из формул (1) и (2) следует, что интерференционный множитель
cos2 достигает максимума, когда d/ = k или x = kl/d, где
k = 0  2, ... , а дифракционный сомножитель sin ζ ζ обращается в нуль при x = ml/b, где m =  2, ... , что соответствует положению дифракционных минимумов. Основная энергия дифрагированных волн излучается внутри центрального дифракционного
максимума с шириной
x = 2 l b.
(3)
Поскольку d > b, внутри центрального дифракционного максимума
помещается несколько интерференционных максимумов с шириной

x = l d.
(4)
Интерференционные максимумы могут накладываться на дифракционные минимумы, при этом на экране соответствующие интер231
ференционные максимумы исчезают. На рис.2 изображена ситуация с исчезновением интерференционных максимумов с k = 3.
Если в центральном дифракционном максимуме ширины x укладывается p интерференционных максимумов, то из формул (3) и (4)
следует, что
b = 2 d/p.
(5)
В работе формулы (1) – (5) используются для определения длины волны света , ширины щели b и расстояния между щелями d.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Рис.3
Основу экспериментальной установки (рис.3) составляет оптическая скамья, на которой установлены рейтеры. К рейтерам крепятся гелий-неоновый лазер 1, держатель для сменных экранов с
одной или двумя щелями 2, экран для наблюдения интерференционной картины с линейкой и перемещаемым вдоль нее фотодатчиком 3. Отдельно установлены цифровой вольтметр 4, измеряющий
интенсивность светового сигнала в произвольных единицах, источник питания фотодатчика 5 и источник питания лазера 6. Лазер 1
установлен на рейтере, позволяющем изменять направление распространения светового луча. Сменные экраны с щелями имеют
номера и помещаются в держатель 2, который дает возможность
регулировать поперечные координаты вставленного в него экрана.
Это используется для ввода в световой поток одиночных и двойных щелей. Цена деления линейки равна 1,00 мм, а фотодатчик перемещается вдоль нее с помощью барабана.
232
ЗАДАНИЕ 1
Подготовка установки к измерениям
1. Включите источник питания 6 лазера 1. Нажмите кнопку
«Пуск» на нем. Включите источник питания 5, нажмите на нем
кнопку «10 – 20 В» и установите напряжение 15 В. Включите вольтметр 4. Убедитесь, что луч лазера попадает на линейку, а при помещении в поле излучения фотодатчика резко увеличивается
напряжение, измеряемое вольтметром.
2. Поместите в держатель на рейтере экран номер 32 с двумя параллельными щелями. Расстояние между выходным отверстием
лазера и экраном с щелями должно составлять несколько сантиметров. Рейтер с фотодатчиком следует расположить на возможно
большем расстоянии l от щелей. Измерьте расстояние l между указателями рейтеров с щелями и с фотодатчиком. В дальнейшем это
расстояние не меняйте. Юстировкой установки добейтесь
наибольшей интенсивности интерференционной картины.
ЗАДАНИЕ 2
Определение длины волны  и ширины щелей b
1. Для двойных щелей экрана номер 32 измерьте на экране 3 по
линейке координаты первичных минимумов, ограничивающих
центральный дифракционный максимум, и вычислите его ширину
x.
2. Определите количество p интерференционных максимумов в
пределах центрального дифракционного максимума. Зная l и
d = 140 мкм, определите из формул (3) – (5) длину волны  и ширину щели b. Вычислите число открытых зон Френеля m = b2/(l).
ЗАДАНИЕ 3
Определение параметров щелей b и d
1. Замените экран номер 32 на экран номер 35. Введите в поле
излучения одиночную щель. Добейтесь максимальной четкости
картины.
233
2. Измерьте интенсивность дифрагированной волны I1(x) через
1 мм в центральном и двух побочных максимумах. При измерении
интенсивности рекомендуется периодически (приблизительно каждые 5 мин) перекрывать световой пучок лазера и при этом выставлять нулевое показание вольтметра. Рекомендуется также перекрывать пучок лазера при перемещении фотодатчика, что приводит к
уменьшению нагрузки на глаза.
3. Поверните экран номер 35 вокруг вертикальной оси на 180о,
введите в поле излучения две щели и измерьте I2(x) в тех же пределах. Для этого следует выполнение измерений разделить на два
этапа.
4. Сначала по миллиметровой шкале определите координаты
дифракционных минимумов второго порядка справа (x2) и слева
(x2) от центра и посчитайте число интерференционных максимумов N, заключенных между этими минимумами.
5. Определите ширину интерференционной полосы x по формуле:
x  ( x 2  x 2 ) / N .
6. Рассчитайте координаты минимумов и максимумов интенсивности по формуле:
xi  x 2  xn / 2 , где n = 0, 1, 2, … , 2N.
7. Запишите в табл.1 координаты максимумов под нечетными
номерами, а координаты минимумов — под четными номерами.
Таблица 1
n
xi, мм
I, дел. вольтметра
0
1
2
…
8. Потом, начиная со второго дифракционного минимума, перемещайте фотодатчик (до второго дифракционного минимума с дру234
гой стороны) и, глядя только на вольтметр, записывайте его показания в минимумах и максимумах. В процессе выполнения задания
не делайте перерывов.
9. Постройте на отдельных листах миллиметровой бумаги графики: I1(x) и I2(x). Определите по ним параметры щелей b1, b2 и d2.
Проверьте применимость формул для дифракции Фраунгофера в
данном опыте. На тех же графиках постройте теоретические зависимости I1(x) и I2(x), подобрав в каждом случае I0 так, чтобы максимумы интенсивностей экспериментальной и теоретической кривых совпадали.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. При каком условии в данном эксперименте можно говорить о
дифракции Фраунгофера?
2. Чему равняется ширина x центрального дифракционного
максимума?
3. Чему равняется ширина x центрального дифракционного
максимума?
4. Каково отношение максимумов интенсивности волн, дифрагировавших на двух и на одной щелях, если их ширины одинаковы?
5. Почему в данной работе не используется дополнительный
экран с малым отверстием между лазером и экраном с двумя щелями?
235
4. МОДУЛЬНЫЙ ПРАКТИКУМ
Модульный практикум включает в себя лабораторный оптический комплекс — ЛОК-1. Комплекс имеет блочно-модульную
структуру с полуавтоматической настройкой модулей, что позволяет оперативно (в течение 1 – 3 мин) ставить учебные эксперименты по различным разделам курса оптики или переходить с одного эксперимента на другой. В отличие от обычного лабораторного практикума, построенного по принципу «Одна установка —
один эксперимент» на базе «жестких», т.е. неизменяемых в процессе работы установках, настоящий практикум является для студента
гибким инструментом экспериментального исследования законов
оптики, позволяющим самостоятельно выбирать и тут же реализовывать различные методы исследований или измерений. Описание
комплекса ЛОК-1 выделено отдельно. Поэтому при проведении
работ 4.1 – 4.4 надо предварительно ознакомиться с описанием
установки, нумерацией элементов, тогда будет несложно найти необходимые для данного опыта элементы и установить их в нужное
место. Схему каждого опыта надо нарисовать в лабораторном журнале. Таким образом, модульный оптический практикум ориентирован не на изучение конкретных оптических приборов, а на экспериментальное изучение основных законов оптики, наблюдение и
исследование оптических явлений, изучение принципов построения оптических приборов и их моделирование.
ЛАБОРАТОРНЫЙ ОПТИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС — ЛОК-1
В работе используется лабораторный оптический комплекс —
ЛОК-1 (рис.4.1). Его основой является опорная плита 3, на которой
смонтированы: оптическая скамья 4 с линейкой, лазер 5, полка 6
для функциональных модулей и два зеркала 1, 2 на держателях.
Луч лазера отражается от зеркал и направляется вдоль оптической
оси установки, где на оптической скамье будут располагаться
функциональные модули. Функциональные модули размещаются в
двухкоординатных Д4, Д5, Д6, Д7 или двухосевых Д3, Д8 держателях. Держатели укреплены на рейтерах, посредством которых
устанавливаются на оптической скамье 4 и перемещаются вдоль
236
нее. На держателях нанесены номера. На рейтерах установлены
накладки, на которых нанесены риски напротив характерных точек
оптических элементов, закрепленных в держателях.
Двухкоординатный держатель состоит из корпуса обоймы и
двух винтов, смещающих обойму по горизонтали или по вертикали, соответственно. Оптические элементы ввертываются в обойму
посредством оправок или вставляются в кассету, соединенную с
обоймой.
Двухосевой держатель содержит корпус, обойму и три винта на
задней стенке корпуса. Вращение нижнего левого винта вызывает
поворот обоймы вокруг вертикальной оси, верхнего винта — вокруг горизонтальной. Вращение всех трех винтов в одну сторону
смещает обойму вдоль оси держателя.
На передвижной столик крепятся блок регистрации Р3, держатель Д4 с кассетой. В держатель Д4 вставлена линза Л2. В кассету
вставляются экраны с исследуемыми объектами, при этом объекты
располагаются в плоскости Э2 и в увеличенном масштабе изображаются линзой Л2 на экране Э3 фоторегистратора Р3. В плоскости
Э2 также формируются исследуемые распределения интенсивности
(например, дифракционные и интерференционные картины), которые затем в увеличенном масштабе наблюдаются на экране Э3. На
накладках столика нанесены риски напротив плоскостей Э2 и Э3.
Увеличение линзы Л2 определяется экспериментально.
Рис.4.1
237
Фоторегистратор Р3 предназначен для визуального определения
координат характерных точек изображения, дифракционной или
интерференционной картины, а также для измерения распределения интенсивности. Координаты определяют по горизонтальной и
вертикальной шкалам с ценой деления 1 мм. Распределения интенсивности измеряют фотодатчиком. Входное окно датчика перемещается в прорези лицевой панели фоторегистратора барабаном.
Один оборот барабана смещает датчик на 1 мм, цена деления барабана — 0,1 мм, ширина окна фотодатчика 0,3 – 0,4 мм.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДУЛИ
В держателе Д6 уставлены короткофокусная линза Л1, экран Э,
размещенный в фокальной плоскости линзы Л1. На экране нанесены две взаимно перпендикулярные миллиметровые шкалы. Риска
на рейтере находится в плоскости экрана Э.
Объектив О с фокусным расстоянием 100 – 150 мм уставлен в
держателе Д7. Риска на рейтере указывает положение линзы объектива.
Зеркало Ллойда уставлено в двухосевом держателе Д8 так, что
зеркало можно перемещать в небольших пределах вблизи оптической оси установки и поворачивать вокруг вертикальной оси.
Кассета для экранов с объектами установлена в держателе Д5,
риска на рейтере — в плоскости размещения объектов. Вместе с
кассетой помещенный в нее экран может поворачиваться вокруг
оптической оси системы. На экранах нанесены номера:
1 — сетка калибровочная 1x1 мм;
5 — пластина стеклянная плоскопараллельная d = 8 мм;
6 — пластина пластмассовая h = 4 мм;
7 — клин  = 2;
11 — бипризма;
238
12 — линза f = +(300 – 500) мм;
13 — линза f = +(40 – 60) мм;
14 — линза f = – (150 – 300) мм;
15 — диск 2,0 мм;
16 — сложная фигура;
18 — круглое отверстие 1,0 мм;
19 — круглое отверстие 2,0 мм;
20 — квадратное отверстие 2x2 мм;
21 — прямоугольное отверстие 1x2 мм;
22 — треугольное отверстие;
23 — щель 0,5 мм;
24 — щель 1 мм;
25 — щель раздвижная;
27 — две щели d = 1,0 мм;
28 — две щели d = 2,0 мм;
29 — три щели d = 1,0 мм;
30 — четыре щели d = 1,0 мм;
31 — решетка линейная 0,3 мм;
32 — решетка линейная 0,6 мм;
33 — решетка квадратная;
34 — решетка прямоугольная;
35 — решетка косоугольная;
36 — решетка хаотическая;
45 — свободный экран.
Оптическая схема установки собирается на скамье 4 из функциональных модулей в различных сочетаниях и положениях. Ориентируясь на приведенные ниже схемы опытов, Вы сами будете решать вопрос о том из каких модулей собирать установку.
239
Р а б о т а 4.1
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА И ФОТОМЕТРИЯ
Цель: определение параметров оптических элементов, фотометрирование светящихся объектов.
ВВЕДЕНИЕ
В работе исследуются основные закономерности геометрической оптики и изучаются простейшие оптические устройства —
линзы.
Линза — прозрачное тело, ограниченное, как правило, сферическими поверхностями. Прямая, проходящая через центры кривизны
поверхностей, называется главной оптической осью. Рассмотрим
распространение света от точечного источника, расположенного в
точке P (рис.4.2, а). Лучи, вышедшие из точки P, пройдя через линзу, пересекаются в точке P  . Если же все лучи, вышедшие из P,
пересекаются в одной точке P  , то P  называется стигматическим
(или резким) изображением источника Р. Изображение называется
действительным, если световые лучи пересекаются в точке P  и
мнимым, если в точке P  пересекаются их продолжения проведенные в направлении, противоположном направлению распространения света. Линза дает стигматическое изображение только для лучей, идущих вблизи оптической оси с малым углом раствора. В
этом случае изображением небольшого предмета, расположенного
в плоскости, перпендикулярной к оптической оси (предметная
плоскость), будет плоская фигура, геометрически подобная исходной и перпендикулярная к той же оси (см. § 7 разд.1). Отношение
линейных поперечных размеров изображения H и предмета h называется линейным поперечным увеличением  = H/h (рис.4.2, б).
В дальнейшем источником P (или S) будем называть не только
светящийся точечный объект, но и центр кривизны волновой поверхности, падающей на линзу световой волны. Причем если на
линзу падает сходящаяся волна, то точка Р лежит на продолжении
лучей и называется мнимым источником.
240
Рис.4.2
Если толщина линзы мала по сравнению с радиусами кривизны
поверхностей, то линза называется тонкой. Формула тонкой линзы
(см. § 7 разд.1 (1.36)):
1 1 1
(4.1)
  ,
a b f
где a — расстояние от источника до линзы; b — расстояние от линзы до изображения P  ; f — фокусное расстояние. Для собирающей
линзы f > 0, для рассеивающей f < 0. Величина a считается отрицательной для сходящегося пучка; а b — отрицательно для мнимого
изображения.
Линейное поперечное увеличение  тонкой линзы:
H b
(4.2)
 .
h a
Последнее равенство возникает из подобия двух прямоугольных
треугольников с общей вершиной в центре линзы.
Линза Л2 вставленная в держатель Д4 и передвижной столик
образуют проекционную систему. Назначение проекционной системы — давать увеличенное действительное изображение светящегося или освещенного предмета. Простейшая схема проекционной системы приведена на рис.4.2, б.
Клин — это призма с малым углом  << 1 (рис.4.3). На рис.4.3
0 — падающий луч; 1, 2 — отраженные от граней клина лучи; 3 —

241
преломленный луч. При малых углах падения преломленный луч
отклоняется на угол:
 3  (n  1) ,

(4.3)
а угол между отраженными от граней клина лучами

2n,
где n — показатель преломления клина.
(4.4)
Рис.4.3
Фотометрия — раздел оптики, связанный с измерением световых потоков. Напомним, что потоком энергии э через малую
поверхность S называется величина энергии, переносимая волной
через S за единицу времени:
  э  IS cos  ,
где I — интенсивность волны;  — угол между направлением распространения волны и нормалью к поверхности S.
Величину потока энергии, приходящегося на единицу телесного
угла, называют энергетической силой света: J = dэ/d.
Действие света на глаз (световое ощущение) в сильной степени
зависит от длины волны . Поэтому для характеристики интенсивности света с учетом его способности вызывать зрительное ощущение вводится величина , называемая световым потоком. Тогда
величину светового потока, приходящегося на единицу телесного
угла, называют силой света: J = dd. Единицы измерения: светового потока  — люмен (лм), силы света J — кандела (кд).
Для монохроматического источника сила света рассчитывается
по формуле:
V ( )
,
(4.5)
J  Jэ
A
242
где V() — функция видности (относительная спектральная чувствительность глаза), A = 0,016 Вт/лм — энергетический эквивалент света.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Работа выполняется на лабораторном оптическом комплексе —
ЛОК-1. Необходимые элементы приведены в соответствующих заданиях.
ЗАДАНИЕ 1
Настройка установки
Настройка заключается в фиксации лазерного луча и центров
оптических элементов строго на оптической оси установки.
1. Поставьте на оптическую скамью столик с держателем Д4 и
фоторегистратором. Установите регулировочными винтами держателя Д4 обойму с линзой в центральное положение. Включите лазер.
2. Отодвиньте столик на максимальное расстояние от зеркала 2.
Смещая луч по горизонтали и вертикали винтами зеркала 2, установите центр светлого пятна в точке пересечения шкал на экране
фоторегистратора.
3. Придвиньте столик как можно ближе к зеркалу 2 и снова
установите центр пятна в точке пересечения шкал, но теперь уже
винтами зеркала 1. Повторяйте процедуру до тех пор, пока при перемещении столика вдоль скамьи смещение пятна на экране составит не более 0,1 – 0,3 диаметра пятна. Луч лазера отъюстирован.
При установке на рельс оптической скамьи каждого нового оптического элемента, прежде всего с помощью винтов держателя
этого элемента, добивайтесь возвращения центра светлого пятна в
точку пересечения шкал на экране фоторегистратора Э3. Это означает, что центр оптического элемента находится на оптической оси
установки, и можно приступать к эксперименту или размещать на
рельсе следующие нужные для эксперимента элементы. В процессе
эксперимента можно, смещая лупу Л2 винтами держателя Д4, перемещать картину на экране Э3 в положение, удобное для наблюдений и измерений, например со шкалы фоторегистратора на щель
фотодатчика и обратно.
243
ЗАДАНИЕ 2
Определение увеличения проекционной системы
1. На рельс оптической скамьи установите держатель Д6 с линзой Л1 так, чтобы вблизи лупы Л2 получить освещенную площадку
размером 1 – 2 см, поместите в кассету калибровочную сетку с шагом h = 1 мм (экран с объектом N1). На экране фоторегистратора
Э3 получится ее изображение.
2. Несколько раз измерьте его шаг H (по вертикальной и горизонтальной шкалам). Определите линейное поперечное увеличение
 по формуле (4.2).
3. Измерьте по линейке оптической скамьи расстояние l между
предметом и изображением (плоскостями Э2 и Э3 на рис.4.1, положение которых определяется соответствующими рисками):
l = a + b. Найти фокусное расстояние по формуле:
f 
l
(1  ) 2
.
ЗАДАНИЕ 3
Определение фокусного расстояния линзы
В данном задании определяется фокусное расстояние тонкой
линзы, укрепленной в держателе Д7 (объектив О на рис.4.4). Параллельный пучок лазерного излучения с помощью короткофокусной линзы Л1 (держатель Д6) будет сфокусирован в точечный источник света S.
1. Разместите объектив О (тонкая линза в держателе Д7) между
столиком и держателем Д6. Положение источника S задается
риской держателя Д6, а его изображения в объектной плоскости
Э2 — риской держателя Д4, положение объектива О — риской
держателя Д7. Перемещая объектив О по скамье, добейтесь отчетливого изображения точечного источника на экране Э3 фоторегистратора, таких положений должно быть два.
244
Рис.4.4
2. Найдите расстояния a  z 7  z 6 и b  z 4  z 7 ( z 7 , z 6 , z 4 —
отсчеты по шкале оптической скамьи положений рисок держателей
Д7, Д6, Д4). Вычислите фокусное расстояние f объектива по формуле тонкой линзы (4.1). Перемещая столик c фоторегистратором
по оптической скамье, проведите измерения несколько раз, результаты запишите в табл.1. Найдите среднее значение f и погрешность.
Таблица 1
№ п/п
z7, см
z4, см
a = z7 – z6, см
b = z4 – z7, cм
f, см
f, см
...
...
...
...
...
...
...
Проверьте полученный Вами результат. Для этого расположите
объектив О на расстоянии f от источника S (риски держателя Д6). С
помощью листа бумаги проверьте, выходит ли из линзы объектива
параллельный пучок лучей.
ЗАДАНИЕ 4
Определение угла и показателя преломления клина
1. Установите на оптическую скамью линзу Л1 (держатель Д6),
тогда параллельный пучок лазерного излучения с помощью короткофокусной линзы Л1 будет сфокусирован в точечный источник
света S. Установите клин (экран N7) в кассете в держателе Д5 и
245
расположите держатель Д5 на расстоянии l  30  40 см от источника S.
2. Регулировочными винтами держателей Д6 и Д5 добейтесь того, чтобы на экране Э держателя Д6 получилось два равномерно
освещенных изображения круглой оправы клина. Согласно (4.4)
центры этих изображений разнесены на расстояние
h = 2nl.
(4.6)
3. Измерьте h по шкале экрана Э и l по шкале оптической скамьи. Это позволяет определить n.
4. Снимите клин и установите объектив О (держатель Д7) между
Д6 и Д5. Перемещая объектив О по скамье, сфокусируйте изображение точечного источника S на экране Э3 (так же, как в задании 3). Регулировочными винтами держателей Д7 и Д4 сместите
изображение точечного источника в точку пересечения шкал на
экране фоторегистратора. Если в держатель Д5 снова поставить
клин, то преломленный луч сместится на экране Э3 на расстояние
H:
H   (n  1)l  ,
(4.7)
где l  — расстояние от клина до объектной плоскости лупы Э2
(расстояние между рисками держателей Д5 и Д4);  — поперечное
увеличение лупы Л2.
5. Подберите l  таким, чтобы смещение изображения, возникающее при установке клина, не выходило за пределы шкалы фоторегистратора. Измерьте H  и l  . Из (4.6) и (4.7) найдите n и .
Оцените погрешности n,  по формуле для погрешностей косвенных измерений, считая, что приборная погрешность измерения:
l = 1 мм.
ЗАДАНИЕ 5
Определение силы света лазера
1. Оставьте на оптической скамье только столик с держателем
Д4 и блоком фоторегистрации. Проведите юстировку луча лазера.
Установите столик с блоком фоторегистрации в крайнее положение.
246
2. По шкалам экрана Э3 определите координаты границ наиболее яркой области (по горизонтальной x1 и x2 и по вертикальной y1
и y2). Результаты занесите в табл.2. Определите диаметр D 
светового пятна на Э3 при нескольких положениях z = z4 столика с
блоком регистрации на оптической скамье.
Таблица 2
№ п/п
z, см
x1, мм
x2, мм
y1, мм
y2, мм
D = (x1 + x2 + y1 + y2)/4
...
...
...
...
...
...
...
3. Постройте график зависимости радиуса пучка  = D/2 от
координаты z. Определите линейный угол расходимости пучка лазерного излучения  = /z и телесный угол расходимости :
α
  2π  sin θdθ  2π(1  cos α)  πα 2  << 1).
0
По формулам
P
V
; J  Jэ ,
Ω
A
найдите энергетическую Jэ (Вт/стер) и фотометрическую J (кд) силу света лазера, учитывая, что функция видности для  =
= 0,63 мкм (длина волны лазерного излучения) имеет значение
V = 0,25, энергетический эквивалент света A = 0,016 Вт/лм, мощность излучения P = 2 мВт.
Jэ 
ЗАДАНИЕ 6
Определение интенсивности в сферической волне
1. Установите держатель Д7 на входе луча в установку. Перемещая блок регистрации, найдите положение столика, при котором
на экране Э3 наблюдается яркая точка. Тогда риска Д4 укажет положение точки фокусировки лазерного пучка z F . Убедитесь, что
при смещении столика в обе стороны от точки фокусировки яркая
точка превращается в светлое пятно.
247
2. Передвиньте столик с блоком фоторегистрации в крайнее положение. Винтами держателя Д4 сместите пятно на экране Э3 так,
чтобы его центр приходился на щель фотодатчика. Интенсивность
падающего на щель излучения I измеряется вольтметром фотодатчика. Измерьте интенсивность I0 в центре пятна для нескольких
расстояний r от точки фокусировки до экрана Э2, положение которого z4 определяется риской держателя Д4. Результаты занесите в
табл.3.
Таблица 3
№ п/п
z4, cм
r = z4 – zF, см
I0, дел. вольтметра
...
...
...
...
3. Постройте график зависимости интенсивности волны I0 от
расстояния r: I0(r). Для проверки теоретической зависимости
I 0 ~ r 2 постройте график I 0 (r 2 ) .
Вниманию студентов и преподавателей! Может так случиться
(для данного студента), что предложенный объем работы окажется
слишком большим. Тогда, по согласованию, объем измерений может быть изменен или уменьшен (это касается в основном двух последних заданий).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Как определить размер предмета, если его изображение получается за пределами оптической скамьи?
2. Между неподвижными источником и экраном двигают линзу.
Полученные размеры изображения H1 и H2 (увеличенное и уменьшенное). Каков размер источника?
3. Чему равен фотометрический световой поток лазерного излучения в данной работе?
4. Как зависит сила света лазерного пучка, прошедшего через
линзу, от ее фокусного расстояния?
5. Как проверить в задании 3 правильность расчета фокального
расстояния объектива?
248
Р а б о т а 4.2
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
Цель: изучение явления интерференции, исследование распределения интенсивности в интерференционной картине и определение
длины волны излучения лазера.
ВВЕДЕНИЕ
При сложении двух или большего числа монохроматических
волн наблюдается явление интерференции, заключающееся в том,
что интенсивность I результирующей волны не равна сумме интенсивностей I1 и I2 складываемых волн (см. § 1 разд.2).
Существуют два общих метода получения интерферирующих
волн от одного источника. В одном из них волна делится, проходя
сквозь близко расположенные друг к другу отверстия. Такой метод — метод деления волнового фронта — пригоден только при
малых размерах источников. В другом способе волна делится на
одной или нескольких частично отражающих поверхностях. Этот
метод — метод деления амплитуды — может применяться с протяженными источниками. В любом случае удобно рассматривать
отдельно явления, возникающие при суперпозиции двух пучков
(двухлучевая интерференция), и явления, возникающие при суперпозиции большего их числа (многолучевая интерференция). Последние в работах не рассматриваются.
Рассмотрим некоторые схемы наблюдения двухлучевой интерференции.
Схема Юнга. Когерентные световые волны возникают при
освещении двух щелей S1 и S2 светом лазера (рис.4.5), а наблюдение ведется на экране Э2. Ширина интерференционной полосы на
экране (см. § 3 разд.2):
l
(4.8)
x   ,
h
где h — расстояние между щелями.
249
Рис.4.5
Бипризма Френеля образуется двумя одинаковыми призмами с
малым преломляющим углом. Пучок лучей от точечного источника
S делится в результате преломления на два перекрывающихся пучка. Таким образом, бипризма образует два мнимых изображения S1
и S2 (рис.4.6). Поместив после бипризмы экран, будем наблюдать
на нем интерференционную картину в виде чередующихся темных
и светлых полос.
Рис.4.6

Ширина полосы (см. рис.4.6)
x  (l1  l 2 ) / h ,
где h — расстояние между мнимыми источниками:
h  l1 3 .
250
(4.9)
(4.10)
Ширина зоны интерференции
H  l 2  3  hl 2 / l1 .
Количество полос в зоне интерференции
N  H / x  h 2 l 2 /(l1 (l 2  l1 )) .
(4.11)
(4.12)
Зеркало Ллойда (ЗЛ). На экране Э2 (рис.4.7) складываются
волна от точечного источника S и волна, отраженная от ЗЛ, выходящая из мнимого источника S1, являющегося изображением источника S в зеркале. Ширина интерференционной полосы на экране
определяется по формуле (4.8), где h — расстояние между источниками S1 и S.
Рис.4.7
Отражение от пластины. Пусть на плоскопараллельную стеклянную пластину (рис.4.8) падает расходящийся световой пучок,
который получен с помощью линзы Л1 (задний фокус которой совпадает с плоскостью экрана Э). Отраженные от передней и задней
поверхностей пластины световые волны интерферируют между
собой и дают на экране Э систему концентрических светлых и темных колец с центром на оси пучка (см. § 6 разд.2). Эту интерференционную картину можно рассматривать как результат сложения
волн, испущенных мнимыми источниками S1 и S2, являющимися
изображениями источника S в передней и задней поверхностях
пластины.
Обозначим: r — радиус темного кольца на экране, d — толщину
пластины и l — расстояние между экраном и пластиной. В условиях нашего опыта r и d << l, из формулы (2.37) (см. § 6 разд.2) полу251
чим, что радиус rk кольца, соответствующего k-му порядку интерференции, определяется формулой
rk2 / l 2  8n 2  (4n 0 / d )k ,

(4.13)
где n — показатель преломления стеклянной пластины; 0 — длина
волны света в вакууме (показатель преломления воздуха принимается равным единице).
Рис.4.8
Из этой формулы видно, что rk2 линейно растет с уменьшением
порядка интерференции k. Максимальный порядок k max 
 [2dn /  0 ] , отвечающий максимальной оптической разности хода
световых волн  max  2dn , формально соответствует темному
кольцу радиуса r = 0. Если пронумеровать кольца в порядка возрастания их радиусов rN, начиная с некоторого, например с кольца
наименьшего радиуса, т.е. N = 1 соответствует k  k max , то порядок интерференции N-го кольца k  k max  N  1 . А это, в свою
очередь, означает, что rk2 линейно зависит от номеров колец N.
Поэтому если построить график зависимости rN2 / l 2 от N, то угловой коэффициент наклона этого графика дает возможность определить коэффициент в формуле (4.13):
4nλ 0
1 rN2
.


d
l 2 N
252
(4.14)
На этом основан графический метод определения показателя n
стеклянной пластины.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Работа выполняется на лабораторном оптическом комплексе —
ЛОК-1. Описание необходимых элементов приведено в соответствующих заданиях.
МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ
Продольные размеры определяются по шкале оптической скамьи. Непосредственно измеряют координату z указателя (риски),
соответствующего характерным плоскостям оптических элементов.
Поперечные размеры дифракционной и интерференционной
картин во всех заданиях, кроме последнего, определяют по шкалам
на экране Э3. Непосредственно измеряют координаты x и y характерных точек — максимумов и минимумов интенсивности. Если
h3 — размер картины на экране Э3, то на экране Э2 ему соответствует размер h2  h3 /  , где  — поперечное увеличение, найденное в работе 4.1.
Распределение интенсивности на экране Э3 определяется только вдоль горизонтальной оси x. Входное окно фотодатчика устанавливают в положение, соответствующее началу исследуемого
участка дифракционной или интерференционной картины, затем
снимают отсчеты интенсивности по вольтметру, перемещая фотодатчик с шагом 0,5 – 1 мм. Вследствие инерционности фотоприемника при каждом изменении его положения необходимо подождать
до тех пор, пока показания вольтметра перестанут изменяться. Параметры, регистрируемые при каждом измерении: координата окна
фотодатчика x; показания вольтметра.
ЗАДАНИЕ 1
Изучение интерференции в опыте Юнга
1. После настройки установки (см. работу 4.1) поставьте на оптическую скамью 4 держатели Д6 с линзой Л1 и Д7 с объективом О
253
(рис.4.9). Найдите такое положение Д7, при котором на экране фоторегистратора Э3 появится светящаяся точка. Таким образом луч
лазера будет сфокусирован в объектной плоскости Э2 лупы Л2.
Между держателями Д7 и Д4 установите держатель Д5. Если в его
кассету поместить щель (экран N24), то на экране Э3 вместо яркой
точки появится дифракционная картина от одной щели (см. § 7
разд.3). Она состоит из центрального дифракционного максимума и
ряда побочных максимумов по обе стороны от центрального, расположенных симметрично в направлении, перпендикулярном щели. Размер центрального максимума определяется соотношением
дифракции: если излучение с длиной волны  проходит через отверстие размером d, то возникает дифракционная расходимость,
определяемая углом дифракции Д, порядок величины которого
Д  d.
(4.15)
2. Проверьте соотношение (4.15), измерив размер центрального
максимума H3 на экране Э3 и расстояние l между экранами Э1 и Э2
(соответствующими рисками держателей Д5 и Д4). Тогда
H3
Д =
,
2  l
где  — поперечное увеличение, найденное в работе 4.1.
Рис.4.9
3. Установите в кассете держателя Д5 экран с двумя щелями
(N27). Аккуратно закрывая и открывая одну из щелей, постарайтесь
пронаблюдать, чем отличаются распределения интенсивности от
одной и от двух щелей.
254
Первая и вторая щели, открытые раздельно, дают одинаковые
распределения интенсивности с угловой шириной максимума,
определяемой (4.15). Если же открыты две щели, то картина на
экране оказывается «изрезанной» интерференционными полосами.
Иными словами, интенсивности излучения от двух щелей не складываются: I  I1 + I2. Это и есть явление интерференции.
4. Измерение длины волны. Держатель Д5 придвиньте поближе к
объективу О (Д7) для того, чтобы расстояние l от объекта до плоскости лупы Э2 было большим. Для двух экранов (N27, N28) найдите ширину интерференционной полосы x. Для этого определите
на экране фоторегистратора Э3 разность координат xM между минимумами, разнесенных на несколько полос (M = 3 – 5). Тогда ширина интерференционной полосы x = xM /M. Измерения повторите несколько раз. Результаты измерений занесите в заранее самостоятельно подготовленную таблицу. Найдите среднее значение
<x> для каждого экрана. Измерьте расстояние l и рассчитайте  по
формуле (4.8), оцените погрешность.
5. Распределение интенсивности. Установите в кассете держателя Д5 экран с двумя щелями (N27). На экране Э3 получится интерференционная картина, винтами держателя Д4 сместите ее на
окно фотодатчика и измерьте распределение интенсивности от
двух щелей с шагом 0,5 мм в пределах центрального дифракционного максимума. Результаты измерений занесите в заранее самостоятельно подготовленную таблицу. Проделайте аналогичные измерения для одной щели (экран N23). Постройте графики I(x).
ЗАДАНИЕ 2
Изучение интерференции с помощью бипризмы Френеля
Схема опыта приведена на рис.4.10. Входная линза Л1 формирует расходящийся световой пучок, бипризма БП (экран N11) дает
интерференционную картину в объектной плоскости Э2 лупы Л2.
Картина наблюдается в увеличенном виде на экране Э3 фоторегистратора.
1. Для измерения расстояния h между точечными мнимыми источниками S1 и S2 расположите держатель Д7 с объективом О так,
чтобы на экране фоторегистратора Э3 получилось изображение
255
двух точечных источников в виде двух ярких точек. Измерьте расстояние H1 между источниками.
Рис.4.10
2. Перемещая держатель Д7, найдите другое его положение, при
котором на экране Э3 наблюдается четкое изображение двух источников. Снова измерьте расстояние H2 между ними. В процессе
можно смещать изображения на экране регулировочными винтами
держателей оптических элементов. Следует отметить, что не при
любом положении бипризмы БП можно наблюдать четкое изображение. Поэтому следует найти такое положение БП, чтобы H1 и H2
можно было измерить достаточно точно. Тогда расстояние между
мнимыми источниками S1 и S2, находящимися в плоскости Э:
h  H1H 2 β ,
(4.16)
где  — поперечное увеличение, найденное в работе 4.1.
3. Уберите держатель Д7 и найдите такое положение столика 4,
при котором на интерференционной картине на экране Э3 четко
видны темные полосы — минимумы интенсивности. Измерьте на
экране фоторегистратора Э3 разность координат xM между минимумами, разнесенных на несколько полос (M = 5 – 6), а также расстояния l1 и l2. Тогда ширина интерференционной полосы x =
= xM /M. Ввиду большого объема измерений ограничьтесь в этом
пункте задания одной серией измерений.
4. Определите длину волны света  по формуле (4.9). Оцените N
по формуле (4.12).
256
ЗАДАНИЕ 3
Изучение интерференции в опыте с зеркалом Ллойда
1. Вместо держателя Д5 установите Д8. Схема опыта аналогична
схеме с бипризмой Френеля (см. рис.4.10).
2. Настройка. Для наблюдения интерференции нужно, поворачивая и перемещая зеркало винтами держателя Д8, ввести область
перекрытия прямого и отраженного пучков в центр области наблюдения на экране Э2. При этом следует отличать интерференционную (большое число равноотстоящих полос близкой интенсивности) от дифракционной картины, даваемой краем зеркала (несколько широких полос, ограниченных с одной стороны областью тени,
в которых колебания интенсивности быстро спадают в сторону
освещенной области). Изображение мнимого источника, получающегося при отражении волны от зеркала, наблюдается размазанным вследствие дифракции на «окне», вырезаемом из волны зеркалом. В качестве координаты изображения следует брать его середину.
3. Порядок работы такой же, как и в предыдущем задании.
Установите держатель Д7 с объективом О так, чтобы на экране фоторегистратора Э3 получилось изображение двух точечных источников в виде яркой точки и полоски. Измерьте расстояние H1 между источниками.
4. Перемещая держатель Д7, найдите другое его положение, при
котором на экране Э3 наблюдается четкое изображение двух источников. Снова измерьте расстояние H2 между ними. Если H2 или
H1 превосходят размеры шкалы, винтами держателя Д8 уменьшите
это расстояние. Убедитесь после этого, что интерференционная
картина не исчезла. В противном случае повторите настройку.
5. По формуле (4.16) определите расстояние между источником
S и его отражением S1 в зеркале. Найдите ширину интерференционной полосы x, так же как в предыдущем задании. Измерьте расстояние l между держателями Д6 и Д4. Определите длину волны
света  из формулы (4.8).
257
ЗАДАНИЕ 4
Изучение интерференции при отражении от пластины
1. Разместите держатели Д6 и Д5 на оптической скамье. Вставьте стеклянную пластинку (экран N5) в кассете в держателе Д5.
Установите винтами держателя Д5 светлое пятно отраженного лазерного излучения в центре экрана Э. Перемещая пластину вдоль
оптической скамьи, убедитесь в том, что при этом изменяются радиусы интерференционных колец на экране. Подберите положение,
наиболее удобное для измерений (должны быть четко видны 5 – 6
колец). Измерьте расстояние l между держателями Д6 и Д5.
2. Прежде всего следует пронумеровать (в лабораторном журнале) темные кольца, радиусы которых подлежат измерению. Номера
N = 1, 2, 3 и т.д. приписывают темным кольцам в порядке возрастания их радиусов (номер N = 1 приписывают, например, первому
темному кольцу вблизи отверстия экрана).
3. После этого измерьте радиусы первых пяти темных колец с
помощью двух перпендикулярных шкал на поверхности экрана, по
горизонтальной — x1 и x2 и по вертикальной — y1 и y2, результаты
измерений занесите в табл.1.
Таблица 1
N
1
2
3
...
x1, мм
x2, мм
y1, мм
y2, мм
rN
rN2
4. Найдите среднее значение радиуса каждого темного кольца rN
и его квадрат. Постройте график зависимости rN2 от номера N
кольца. График должен быть линейным. Масштабы следует выбирать так, чтобы прямая составляла с осями угол, близкий к 45 (как
258
это обычно делается). Размер графика должен быть не менее
15х15 см.
5. Из наклона прямой вычислите отношение rN2/N и по формуле (4.14) найдите показатель преломления n и его погрешность
n. Длина волны излучения лазера  = 632,8 нм, толщина стеклянной пластины d предполагается известной.
6. Используя найденное значение n, вычислите максимальный
порядок интерференции, который, как следует из формулы (4.13),
определяется выражением k max  [2dn /  0 ] . Обратите внимание на
полученный результат. Оцените нижнюю границу длины когерентности лазерного излучения lког, исходя из того, что интерференция
волн наблюдается, если оптическая разность хода   k max  0 
 l ког .
Замечание. Как и в предыдущей работе, общий объем заданий
может оказаться велик для студента. По согласованию с преподавателем, можно некоторые однотипные задания не выполнять.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что произойдет с интерференционной картиной, если половину бипризмы прикрыть тонкой прозрачной пластиной толщиной
1 мкм?
2. Почему преломляющий угол бипризмы мал?
3. Каким образом можно определить расстояние между источниками в опытах с бипризмой Френеля и с зеркалом Ллойда?
4. В чем отличие дифракционной системы полос от интерференционной картины?
5. Как изменяется порядок интерференции при отражении от
стеклянной пластинки с ростом радиуса колец?
259
Р а б о т а 4.3
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ДИФРАКЦИИ
Цель: знакомство с основными принципами дифракции, наблюдение различных видов дифракции, изучение дифракции Френеля на
препятствиях разной формы, определение длины волны излучения
лазера, толщины нити и исследование распределения интенсивности в дифракционной картине.
ВВЕДЕНИЕ
Дифракцией света называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики (см. разд.3).
Поставим на пути плоской монохроматической волны (световой
пучок лазерного излучения) узкую щель ширины d и будем наблюдать за изменением картины на экране Э2 по мере увеличения расстояния l от щели.
При значении l  d 2 /  согласно законам геометрической оптики на экране Э2 наблюдается четкое изображение щели.
При увеличении расстояния l до значений порядка длины дифракции LД:
(4.17)
Lд  d 2 / 
на экране Э2 появляются параллельные краям темные и светлые
полосы — дифракционная картина Френеля. Причем в центре картины может находится как минимум, так и максимум интенсивности (темная или светлая полоса).
При дальнейшем увеличении l (l >> LД) на экране Э2 возникнет
дифракционная картина Фраунгофера в виде центрального (наиболее яркого) максимума шириной x и системы симметричных относительно него максимумов различных порядков (рис.4.11).
В общем случае, когда на экран с отверстием, имеющим характерный размер d, падает сферическая волна, характер распределения интенсивности в дифракционной картине зависит от безразмерного параметра дифракции
m  l д / L  d 2 /( L) ,
где величина L определяется по формуле (3.15) (§ 2 разд.3).
260
(4.18)
Рис.4.11
Для расходящейся волны (рис.4.12):
1 1 1
  ,
L l l1
(4.19)
l — расстояние от отверстия до экрана Э2; l1 — расстояние от отверстия до точечного источника.
Для сходящейся волны:
1 1 1
  .
L l l1
(4.20)
При этом если l = l1 (центр схождения волны находится в плоскости Э2) L   и m = 0, наблюдается дифракция Фраунгофера.
261
Рис.4.12
Таким образом, область за экраном с отверстием можно разбить
на три участка:
1) L << LД; m >> 1 — область геометрической оптики;
2) L  LД; m  1 — область дифракции Френеля или ближняя
зона дифракции;
3) L >> LД;
m << 1 — область дифракции Фраунгофера или
дальняя зона дифракции.
Дифракция Фраунгофера на щели и на нити. Дифракционная
картина состоит из дифракционных полос разной интенсивности.
Центральная полоса — яркая и примерно вдвое шире остальных
светлых полос (см. рис.4.11). При малых углах дифракции  sin 
   x/l, из условия (3.29) найдем координаты xk минимума интенсивности: xk = k l /d. Расстояние между соседними k-м и (k  -м
минимумами

x =  l /d
(4.21)
и называется шириной дифракционной полосы.
Если в качестве характерного размера картины взять ширину
дифракционной полосы x, то характерный угол дифракции
Д  x/l  d совпадает с (3.1).
262
Согласно теореме Бабине дифракционная картина вне области
прямого пучка от препятствия в виде стержня, нити или волоса будет такой же, как и от щели, ширина которой равна толщине нити.
Поэтому для наблюдения дифракционной картины необходимо
убрать прямой луч, например, «пустив» его в отверстие.
Дифракционная картина Френеля от щели является более
сложной, при этом в центре картины может быть как максимум, так
и минимум интенсивности.
Дифракция Френеля на краю экрана. Отклонения от геометрической оптики наблюдаются вблизи края геометрической тени в виде
колебаний интенсивности в «области света» (видны параллельные
краю темные и светлые полосы) и плавного спадания интенсивности в «области тени». График распределения интенсивности приведен в разд.3 (см. рис.3.6). Положения максимумов и минимумов
интенсивности определяются по формулам (3.25) и (3.26).
Наибольшая интенсивность I1 = 1,37I0 наблюдается на расстоянии x max 1  0,86 L от края геометрической тени, минимальная
I2 = 0,78I0 при x min 1  1,33 L . Следующие максимум и минимум
при x max 2  1,66 L и x min 2  1,92 L .
Дифракция Френеля на круглом отверстии. Поставим между
точечным источником S и экраном Э2 непрозрачный экран с круглым отверстием радиуса  так, чтобы источник S находился на оси
симметрии отверстия SC (C —центр отверстия) (см. рис.4.12). В
следствие осевой симметрии отверстия дифракционная картина
имеет вид концентрических темных и светлых колец с центром в
точке P, расположенной на оси отверстия. Согласно Френелю действие такого препятствия сводится к тому, что экран устраняет ту
часть волнового фронта, которую прикрывает. Открытую часть
волнового фронта разобьем на m зон Френеля (m — произвольное
число, необязательное целое).
Число m зон Френеля определим из условия: m = r – DP. Из
точек S и P как из центров опишем сферы радиусами r0 и r, соответственно, проходящие через край отверстия. E и D — точки пересечения этих сфер с осью SP. Тогда r  DP = ED = m По известной геометрической теореме для прямоугольного треугольника:
263
 = CD.(2 r0 – CD),
 = CF.(2 r – CF).
Пренебрегая квадратами CD и CF, получим
ED = CD + CF = 2 r0) + 2 r).
Поскольку радиус отверстия  мал по сравнению с r0 и r, то r0  l1,
r  l, где l1, l — расстояния от центра отверстия C до точек S и P.
Число m зон Френеля
1 1 
(4.22)
   .
 l l1 
Если на отверстие падает сходящаяся волна, т.е. фокус волны S
расположен справа (мнимый источник), то ED = |CD – CF| и число
зон Френеля
m
ρ2
λ
m
ρ2 1 1
 .
λ l l1
Сравнивая с (4.19) и (4.20), заключаем, что число зон Френеля
2
(4.23)
L
совпадает с безразмерным параметром дифракции (4.18), если принять за характерный размер круглого отверстия его радиус.
Колебания волн, приходящих в точку P от участков волновой
поверхности, граничащих с экраном, запаздывают по фазе относительно колебания волны, приходящей от точки D, на величину
 = k(r – CD) = k m = m. Амплитуда колебаний в точке P определяется на диаграмме на рис.3.3, б вектором, проведенным из точки О в точку D, соответствующую m-й зоне. Из треугольника OCD,
получим:
AP = 2A sin/2.
(4.24)
m
Интенсивность из условия (3.7) с учетом, что  = m:
IP = 4I0 sin2/2 = 4I0 sin2m/2,
(4.25)
где I0 — интенсивность света в точке P в отсутствии экрана.
Нечетное число открытых зон дает в центре дифракционной
картины максимум интенсивности (IP = 4I0), четное — минимум
264
(IP = 0). Распределение интенсивности на экране Э2 для m = 1 и
m = 2 представлено на рис.4.13 (пунктирной линией показана граница геометрической тени).
Дифракционная картина Фраунгофера имеет вид центрального
яркого светлого пятна, окруженного темными и светлыми кольцами. Светлые кольца наблюдаются значительно менее яркими
по сравнению с центральным пятном (см. рис.3.11 § 8 разд.3).
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Работа выполняется на лабораторном оптическом комплексе —
ЛОК-1.
Описание комплекса приведено в разд.4. Конкретные схемы
приведены в соответствующих
заданиях.
Рис.4.13
МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ
Продольные размеры определяются по шкале оптической скамьи. Непосредственно измеряют координату z указателя (риски),
соответствующую характерной плоскости оптического элемента.
При определении поперечных размеров дифракционной картины
с помощью линзы Л2 непосредственно измеряют координаты x и y
характерных точек — максимумов и минимумов интенсивности.
При этом следует помнить, что если h3 — размер картины на
экране Э3, то на экране Э2 ему соответствует размер h2 = h3/, где
 — поперечное увеличение, найденное в работе 4.1.
Распределение интенсивности на экране Э3 определяется
только вдоль горизонтальной оси x. Входное окно фотодатчика
устанавливают в положение, соответствующее началу исследуемого участка дифракционной картины, затем снимают отсчеты
интенсивности по вольтметру, перемещая фотодатчик с шагом
265
0,5 – 1 мм. Вследствие инерционности фотоприемника при каждом
изменении его положения необходимо подождать до тех пор, пока
показания вольтметра перестанут изменяться. Параметры, регистрируемые при каждом измерении: координата окна фотодатчика x;
показания вольтметра.
Определение размеров объектов с помощью линзы Л2. Соберите
схему согласно рис.4.14. Расстояние между держателями Д7 и Д6
должно быть равно фокусному расстоянию f объектива О; f было
измерено в работе 4.1. Линза Л1 и объектив О образуют расширитель лазерного пучка (коллиматор), на выходе которого получается
плоская волна достаточно большого сечения. Если поместить объект в кассету держателя Д4 (плоскость Э2), то на экране фоторегистратора Э3 получится увеличенное в  раз его изображение.
Рис.4.14
Данная схема применяется, если измеряемые размеры объекта
больше диаметра лазерного пучка (т.е. d  1 мм). Если размер объекта существенно меньше диаметра пучка, то расширитель пучка
не нужен.
ЗАДАНИЕ 1
Наблюдение дифракции света на щели
1. Отъюстируйте установку (см. работу 4.1). Снимите столик с
фоторегистратором со скамьи. Рядом с зеркалом 2 (см. рис.4.1) на
оптическую скамью установите держатель Д5 с кассетой для экранов, на противоположном конце оптической скамьи — держатель
Д6 с круглым экраном Э.
266
2. Установите в кассете Д5 раздвижную щель (экран N25). Регулировочными винтами держателя Д5 расположите щель в середине
пучка излучения. Изменяя ширину щели винтом, пронаблюдайте
соответствующие изменения дифракционной картины на экране Э.
Подобрав удобный для измерений размер щели, так чтобы наблюдалось не менее 6 минимумов интенсивности, измерьте по шкале
экрана Э координаты k-х минимумов xk и xk, расположенных по
разные стороны от центрального максимума, результаты измерений занесите в табл.1. Вычислите среднее расстояние между соседними минимумами x.
Таблица 1
Порядок
минимума k
xk, мм
|xk|, мм
x 
xk  x k
, мм
2k
k=1
k=2
k=3
...
...
...
...
3. Установите на оптической скамье столик с фоторегистратором, а держатель Д6 снимите. Переставьте раздвижную щель в кассету держателя Д4. При перестановках щели из одной кассеты в
другую будьте осторожны — не поворачивайте винт, изменяющий
ширину щели. На экране Э3 появится увеличенное в  раз изображение щели. Найдите ширину щели и по результатам измерений
определите длину волны света.
4. Оценка области применимости законов геометрической оптики. Установите на оптической скамье держатели Д6 и Д7. Д6
придвиньте к зеркалу 2, а держатель Д7 расположите на фокусном
расстоянии f от Д6 (рис.4.15); f было измерено в работе 4.1. Таким
образом сформируете параллельный пучок (плоскую волну). В кассету держателя Д4 вставьте раздвижную щель и установите ширину щели 0,6 – 1 мм.
267
Рис.4.15
5. Расположите держатель Д5 рядом со столиком, переставьте
щель в кассету Д5. На экране Э3 будет наблюдаться увеличенное
четкое изображение щели. Медленно отодвигайте щель от столика,
наблюдая за изменением картины на экране фоторегистратора Э3.
Определите расстояние l  LД, при котором картина станет существенно отличаться от геометрического изображения щели (например, когда в середине изображения появится темная полоса). Расстояние l определяется как разность координат z рисок держателей
Д4 и Д5. Проверьте справедливость (4.17).
ЗАДАНИЕ 2
Измерение толщины волоса
1. Снимите столик с фоторегистратором и держатель Д7 со скамьи. Рядом с зеркалом 2 (см. рис.4.1) на оптическую скамью установите держатель Д5 с кассетой для экранов, на противоположном
конце оптической скамьи — держатель Д6 с круглым экраном Э.
Регулировочными винтами держателя Д6 сместите экран Э так,
чтобы лазерный луч попадал в отверстие.
2. Объект — волос или кусок тонкой проволоки (толщиной не
более 0,4 мм) — закрепите в свободном экране (N45) с помощью
пластилина. Экран N45 вставьте в кассету держателя Д5 и введите
объект в пучок излучения. На экране Э возникнет дифракционная
картина, состоящая из ряда максимумов, расположенных симметрично по обе стороны от отверстия в направлении, перпендикулярном волосу (тонкой проволоке).
3. Так же, как и задании 1, найдите x. Считая длину волны известной ( = 0,6328 мкм), определите с помощью (4.21) толщину
волоса (тонкой проволоки). Проверьте результат с помощью линзы
Л2 (так же, как и в задании 1).
268
ЗАДАНИЕ 3
Изучение дифракции на крае экрана
1. Отъюстируйте установку. На оптическую скамью установите
держатель Д5 с кассетой для экранов. Вставьте в кассету Д5 раздвижную щель (экран N25). Винтом экрана N25 увеличьте размер
щели до 5 мм. Регулировочными винтами держателя Д5 перекройте
одним из краев щели половину пучка лазера. На экране Э3 будет
наблюдаться яркое полукруглое размазанное пятно c параллельными краю темными и светлыми полосами. Подберите положение
держателя Д5 так, чтобы полосы на экране Э3 вблизи края геометрической тени имели ширину 3 – 4 мм.
2. Винтами держателя Д4 сместите пятно на окно фотодатчика и
измерьте распределение интенсивности I(x) на экране Э3 вдоль горизонтальной оси x с шагом 0,5 мм (3 – 5 точек в области тени,
остальные — в освещенной области до 2 – 3 минимума). Результаты измерений занесите в заранее самостоятельно подготовленную
таблицу. Определите расстояние L между экранами Э1 и Э2 (между
рисками держателей Д5 и Д4).
3. Постройте график I(x). Из графика определите положения
первых двух максимумов и минимумов. Найдите разность
x max 1  x max 2 и x min 1  x min 2 , сравните с теоретическими (не забудьте, что изображение на экране Э3 увеличено в  раз).
ЗАДАНИЕ 4
Изучение дифракции плоской волны на круглом отверстии
1. Схема опыта показана на рис.4.15. Линза Л1 в держателе Д6 и
объектив О (Д7) создают параллельный пучок — плоскую волну.
2. Разместите в кассете Д5 экран с отверстием диаметром 1 мм
(экран N18). Поскольку отверстие находится в плоскости Э1, в
плоскости Э2 возникает дифракционная картина, которая в увеличенном масштабе наблюдается на Э3. Установите Д5 на максимальном удалении от линзы Л2. Передвигая Д5, определите положение z, при котором в центре дифракционной картины появляется
темное пятно — m = 2, далее наиболее светлое пятно — m = 3, следующее темное пятно — m = 4, и т.д.
Измерьте координату z4 риски Д4 (положение плоскости Э2).
Определите значения l = |z – z4|, при которых открыты m = 2, 3, 4 и
т.д. зоны Френеля. Результаты измерений занесите в табл.2.
269
Таблица 2
Количество открытых зон Френеля m
z, см
l = |z – z4|, см
...
...
m=2
m=3
m=4
...
3. Постройте график зависимости m от 1/l. Измерьте с помощью
линзы Л2 диаметр отверстия. На этом же чертеже постройте график теоретической зависимости (4.23), учитывая, что в данном
случае L = l и длина волны излучения лазера  = 0,6328 мкм. Сравните полученные результаты с учетом их погрешности.
ЗАДАНИЕ 5
Изучение дифракции в сходящейся волне
Наблюдать дифракцию в сходящейся волне иногда удобнее, чем
в плоской, поскольку для этого требуется установка меньшего размера, а условия проведения опыта легко варьируются.
1. Схема опыта показана на рис.4.16. Линза Л1 в держателе Д6 и
объектив О (Д7), расположенный от Д6 на расстоянии большем
фокусного f, создают сходящуюся в точке P’ волну.
2. Столик фоторегистратора сдвиньте на правый конец скамьи.
Подберите положение объектива О (Д7) так, чтобы волна сфокусировалась в плоскости Э2 (на экране Э3 получите яркую точку). Тогда l = l1, согласно (4.20) L   и m = 0, что соответствует дифракции Фраунгофера в плоскости Э2.
Рис.4.16
270
3. Помещая в кассету держателя Д5 (плоскость Э1) любые объекты, на экране Э3 будем наблюдать от них дифракционные картины Фраунгофера. Перепробуйте все объекты, прилагаемые к установке (экраны NN15, 16, 17 и т.д.).
4. Поместите в кассету держателя Д5 экран с круглым отверстием (экран N18 или N19). Определите расстояние от отверстия до
плоскости Э2 l1 = |z – z4|. Измерьте диаметр отверстия с помощью
линзы Л2.
5. Оставляя неизменным расстояние l1 от отверстия до фокуса
волны и передвигая столик фоторегистратора (тем самым изменяя
l), будем наблюдать переход от дифракции Фраунгофера к дифракции Френеля. Так же, как и в задании 4, определите значения l, при
которых открыты m = 2, 3, 4 и т.д. зоны Френеля. Результаты измерений занесите в заранее самостоятельно подготовленную таблицу.
6. Найдите из (4.20) соответствующие значения L. Постройте
график зависимости m от 1/L. Сравните с теоретической зависимостью (4.23), так же как в п.3 задания 4.
Замечание. Объем заданий может быть уменьшен по согласованию с преподавателем.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чем состоит условие применимости законов геометрической оптики; условия наблюдений дифракций Фраунгофера и Френеля?
2. В чем проявляется достоинство метода наблюдения дифракции в сходящейся волне, используемого в этой работе?
3. Можно ли на данной установке наблюдать дифракцию Фраунгофера на щели шириной 5 мм?
4. Как зависит интенсивность в центре дифракционной картины
при дифракции Френеля плоской волны на круглом отверстии от
числа открытых зон Френеля?
5. Что происходит с дифракционной картиной при увеличении
толщины волоса?
6. Можно ли наблюдать дифракцию Фраунгофера, если в схеме
на рис.4.16 экран с отверстием поставить не за объективом, а перед?
271
Р а б о т а 4.4
ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА
Цель: наблюдение дифракции Фраунгофера в сходящейся волне,
определение длины волны излучения лазера.
ВВЕДЕНИЕ
Дифракция Фраунгофера в сходящейся волне (см. § 4 разд.3)
наблюдается в плоскости изображений центрированной оптической системы, изображающей точечный источник, расположенный
недалеко от оси. Наблюдать дифракцию Фраунгофера в сходящейся волне удобнее, чем в плоской, поскольку для этого требуется
установка меньшего размера, а условия проведения опыта легко
варьируются.
Пусть на экран Э1 (рис.4.17) падает волна, сходящаяся в точке
P0. В плоскости, проходящей через точку P0 параллельно Э1, расположим экран Э2. Расстояние между плоскостями Э1 и Э2 равно l.
В этом случае выполнено условие (3.18) и на экране Э2 наблюдается дифракционная картина Фраунгофера.
Рис.4.17
272
Разность хода лучей от точек экрана Э1 до точки наблюдения P
определяется направлением излучения, которое мы зададим углом
. Положение точек на экранах будем задавать координатами x1, y1
и x2, y2. Каждой точке экрана Э2 соответствует определенное

направление излучения k и значение .
Комплексная амплитуда колебаний в точке P вычисляется по
формуле (3.19) (см. § 4 разд.3).
AP  C  e
i ( k x x1  k y y1 )
dx1dy1 .
(4.26)
При малых углах дифракции:
2
2
2 x2
,
sin  x 
x 


 l
2
2
2 y 2
.
(4.27)
ky 
sin  y 
y 


 l
Из (4.26) следуют некоторые общие свойства дифракционных картин Фраунгофера.
Дифракционная картина от отверстия произвольной формы обладает центральной симметрией. Действительно, из (4.26) следует,
что
A(x2, y2) = A*(x2, y2),
kx 
но так как интенсивность I  |A|2, то I(x2, y2) = I(x2, y2).
При произвольном поперечном перемещении (т.е. перпендикулярно OP0) экрана Э1 в выражении (4.26) появляется фазовый
множитель, который не влияет на интенсивность. Поэтому дифракционная картина при перемещении Э1 не меняется.
Деформируем экран Э1, растянув его вдоль оси x1 в  раз, при
этом элементы экрана переместятся в точки с большими значениями координаты x1. Чтобы значение интеграла (4.26) не изменилось,
необходимо, чтобы kx уменьшилось в  раз. Из (4.27) следует, что
дифракционная картина сожмется в  раз. Таким образом, при увеличении отверстия дифракционная картина уменьшается, а при
уменьшении отверстия — увеличивается.
Дифракция на прямоугольном отверстии и на щели. Пусть в
непрозрачном экране Э1 имеется прямоугольное отверстие размерами a вдоль оси x1 и b вдоль оси y1 (см. рис.3.8) (см. § 4 разд.3).
273
Выбрав системы координат так, как показано на рис.3.8, и вычислив интеграл (4.26) по поверхности отверстия, получим (см. формулу (3.31)):
sin k x a 2 sin k y b 2
A(k  )  Cab

.
kx a 2
ky b 2
В пределе kx  0 и ky  0 каждая из дробей обращается в единицу
(sinx  x при малых x), следовательно, произведение Cab = A0 —
амплитуда в центре картины. Учитывая, что I  |A|2, выразим интенсивность в произвольной точке через интенсивность I0 в центре
картины:
2
2
 sin k x a 2   sin k y b 2 
 
I  I 0 
.
 k x a 2   k y b 2 
(4.28)
График распределения интенсивности по оси x2 (y2 = 0) приведен
на рис.3.8. Минимумы интенсивности (I = 0) наблюдаются при
условии:
kxa/2 = m, x2 = lm/a (m = 1, 2, ...),
(4.29)
kya/2 = n, y2 = ln/a (n = 1, 2, ...).
Дифракционная картина имеет вид креста, состоящего из дифракционных максимумов (см. рис.3.10). Большей стороне отверстия соответствует меньшая ширина максимума.
При дифракции на щели (a << b) картина будет растянута в
направлении оси x2, а в направлении оси y2 ее размер будет малым.
Распределение интенсивности по оси x2 определяется выражением
(3.28).
Дифракция на круглом отверстии. Расчет интенсивности с
помощью интеграла (4.26) дает
I(k) = 4I0 (J1(kR)/ kR)2,
(4.30)
где R — радиус отверстия; J1 — функция Бесселя первого порядка;
k = k sin = k  = 2 — проекция волнового вектора на нормаль
к плоскости отверстия.
274
Распределение интенсивности представлено на рис.3.11. Дифракционная картина имеет вид концентрических темных и светлых колец. Радиусы темных колец определяются нулями функции
Бесселя J1. Радиусы первого и двух последующих темных колец на
экране Э2:
r = 0,610lR, r = 1,116lR, r = 1,619lR.
(4.31)
Одномерная периодическая структура. Если дифракция происходит на цепочке из N одинаковых отверстий, расположенных на
равных расстояниях d друг от друга (см. рис.3.12), то интенсивность I определяется формулой (3.35):
I() = I1() sin2( Nd sin /)/ sin2( d sin /),
(4.32)
где I1() — распределение интенсивности от одного отверстия.
Расстояние d называется периодом структуры.
Точки, в которые от всех источников приходят синфазные колебания, называют главными максимумами интенсивности. Условие
главного максимума порядка m:
d sin = m, m = 0 1, 2, ... .
На экране Э2 главные максимумы наблюдаются в точках с координатами:
x2 = m l/d.
(4.33)
Между соседними главными максимумами имеется (N – 1) минимумов (нулей) интенсивности, а между последними — (N – 2)
побочных максимума малой интенсивности. График распределения
интенсивности приведен на рис.3.13.
Двумерная периодическая структура. Рассмотрим дифракцию
на экране Э1, отверстия в котором образуют периодическую структуру по двум ортогональным направлениям x1 и y1 c периодами a и
b соответственно (рис.4.18, a). Каждую цепочку, вытянутую вдоль
оси y1, будем рассматривать как элемент периодической структуры
по оси x1. Тогда интенсивность излучения всей системы определяется выражением (3.35), где I1 — интенсивность излучения одной
цепочки, которая, в свою очередь, определяется аналогичным выражением для интенсивности излучения одного элемента цепочки.
275
Рис.4.18
Излучение всей системы будет максимальным в направлениях,
удовлетворяющих двум условиям главных максимумов:
синфазность колебаний, приходящих от всех отверстий каждой
цепочки:
ky b = 2m; y2 = ml/b, m = 0 1, 2, ...
(4.34)
и синфазность колебаний, приходящих от всех цепочек:
kx a = 2n; x2 = nl/b, n = 0 1, 2,... .
(4.35)
Условие (4.35) дает набор линий, перпендикулярных оси x2,
расположенных с интервалом x2 = l/a, а условие (4.34) — набор
линий, перпендикулярных оси y2, расположенных с интервалом
y2 = l/b. Максимумы имеют вид точек, расположенных на пересечениях этих линий (рис.4.18, б).
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Работа выполняется на лабораторном оптическом комплексе —
ЛОК-1. Схема опыта приведена на рис.4.19. Отъюстируйте установку (см. работу 4.1). С помощью линзы Л1 (держатель Д6) и объектива О (держатель Д7) сфокусируйте лазерный луч на экране Э2
перед линзой Л2 (см. рис.4.19). При этом на экране Э3 фоторегистратора должна появиться маленькая яркая светящаяся точка. Расстояние от экрана Э2 до объектива О должно быть максимально
276
возможным. Установите на оптической скамье держатель Д5
(плоскость Э1). Установка подготовлена к измерениям.
Рис.4.19
МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ
Методика измерений такая же, как и в работе 4.3.
ЗАДАНИЕ 1
Исследование закономерностей дифракции Фраунгофера
1. Симметрия дифракционных картин. Получите дифракционные картины от следующих отверстий: круг, квадрат, прямоугольник, треугольник, сложная фигура (экраны NN18-22 и 16). Зарисуйте эти картины.
2. Зависимость от размеров объекта. Установите в кассете
держателя Д5 экран N25. Качественно сравните размеры (например, расстояние между ближайшими минимумами) дифракционной
картины от щелей различной ширины.
3. Зависимость от расстояния l. Для круглого отверстия исследуйте зависимость характерных размеров дифракционной картины
от положения экрана Э1 (держателя Д5). Поместите в кассету держателя Д5 экран с круглым отверстием (экран N18 или N19) и пронаблюдайте как меняются размеры яркого пятна при увеличении
или уменьшении расстояния l между держателями Д5 и Д4.
277
ЗАДАНИЕ 2
Изучение дифракции
на квадратном и прямоугольном отверстиях
1. Установите в кассете держателя Д5 экран с квадратным отверстием N20. На экране Э3 должен наблюдаться дифракционный
«крест» в виде четырех взаимно перпендикулярных «лучей», состоящих из дифракционных максимумов.
2. Расположите дифракционный «крест» вдоль координатных
осей экрана Э3 с центром в начале координат. Измерьте координаты x3 и y3 с учетом знаков нескольких (по 4 – 5 в каждом «луче»
креста) минимумов. Результаты измерений занесите в таблицу.
Таблица 1
Порядок минимума m
x3m, мм
y3m, мм
x2m, мм
y2m, мм
3. Определите расстояние l между Э1 и Э2.
4. Постройте графики зависимости x2 = x3/ и y2 = y3/ от порядка минимума m. Найдите из графиков (например, методом парных
точек) угловые коэффициенты наклона k = l/a (k = l/b) и их погрешности. Полагая длину волны излучения известной, определите
размеры отверстия.
5. Для экрана с прямоугольным отверстием N21 повторите измерения. Также постройте графики и определите размеры отверстия.
ЗАДАНИЕ 3
Измерение диаметра стержня
1. Отрезок проволоки (гвоздь, булавку и т.п.) диаметром 0,5 –
2 мм укрепите в свободном экране (N45). Установите его в кассете
держателя Д5.
278
2. Измерьте расстояние x между минимумами, ближайшими к
центральному максимуму, и расстояние l между Э1 и Э2. Определите диаметр проволоки
d = 2l/x.
3. Проверьте результат с помощью микрометра. Какое измерение дает меньшую погрешность? Выполнив задание, очистите
экран.
ЗАДАНИЕ 4
Изучение дифракции на круглом отверстии
1. Помещая в кассету держателя Д5 экраны с круглыми отверстиями (экраны N18 и N19), сравните дифракционные картины, получаемые от отверстий разных диаметров.
2. Для одного из отверстий по шкалам экрана Э3 определите ко(1)
( 2)
ординаты темных колец (по горизонтальной x 3 и x 3 и по вер-
( 2)
(1)
тикальной y 3 и y 3 ). Результаты занесите в табл.2. Определите
расстояние от отверстия до плоскости Э2 l. Найдите радиусы темных колец дифракционной картины r1, r2, r3. Оцените погрешность
r.
Таблица 2
№
п/п
x3(1),
мм
x3(2),
мм
y3(1),
мм
y3(2),
мм
r = (x3(1) + x3(2) + y3(1) + y3(2))/2
...
...
...
...
...
...
r
3. Измерьте диаметр отверстия с помощью линзы Л2. Используя
(4.31), определите длину волны излучения.
4. Для одного из отверстий измерьте распределение интенсивности I(x) через 0,5 мм вдоль оси симметрии дифракционной картины. Результаты измерений занесите в заранее самостоятельно
подготовленную таблицу. Измерьте расстояние l между держателями Д5 и Д4. Постройте график зависимости I(), где  = x/(l) —
279
угол дифракции. Определите положение первого минимума 1,
сравните с теоретическим значением  = 0,61r1.
ЗАДАНИЕ 5
Изучение дифракции на одномерной периодической структуре
1. Пронаблюдайте дифракционную картину от различных периодических структур: расческа и т.п. Для измерений используйте
дифракционную решетку (экран N31 или N32).
2. Получите дифракционную картину от одной из этих решеток.
Измерьте координаты нескольких максимумов x3 по шкале на
экране Э3. Результаты измерений занесите в заранее самостоятельно подготовленную таблицу. Определите расстояние l между Э1 и
Э2.
3. Измерьте с помощью линзы Л2 период d и ширину щелей b
решетки.
4. Рассчитайте среднее значение расстояния между главными
максимумами x2. Определите длину волны по формуле (4.33).
ЗАДАНИЕ 6
Изучение дифракции на двумерной периодической структуре
1. В качестве объекта используйте двумерную дифракционную
решетку (экран N33 или N34). С помощью линзы Л2 определите
периоды решетки a и b.
2. Измерьте координаты максимумов x3 и y3 с учетом знаков по
шкалам на экране Э3. Результаты измерений занесите в таблицу,
аналогичную табл.1.
3. Определите расстояние l между Э1 и Э2. Постройте графики
зависимости x2 = x3/ и y2 = y3/ от порядка максимума m. Полагая
длину волны излучения известной, используя (4.34) и (4.35), определите периоды решетки a и b. Сравните с результатами измерения
a и b c помощью линзы Л2.
Замечание. Объем заданий может быть уменьшен по согласованию с преподавателем.
280
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что происходит с дифракционной картиной при дифракции
Фраунгофера при увеличении характерного размера препятствия?
2. Как выглядит дифракционная картина Фраунгофера от эллиптического отверстия?
3. Как изменится дифракционная картина при смещении отверстия в плоскости, перпендикулярной оптической оси, при дифракции в параллельных лучах?
4. Как изменится дифракционная картина при смещении отверстия в плоскости, перпендикулярной оптической оси, при дифракции в сходящейся волне?
5. Как изменяется дифракционная картина от цепочки с увеличением числа отверстий в ней при неизменном периоде?
6. При каких условиях наблюдается дифракция Фраунгофера?
281
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Бутиков Е. И. Оптика. М.: Высшая школа, 1986.
2. Крауфорд Ф. Волны. М.: Наука, 1974.
3. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука, 1976.
4. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2. М.: Наука, 1988.
5. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.4. Оптика. М.: Наука,
1980.
6. Фейнмановские лекции по физике. Вып.3. Гл. 26  36. М.:
Мир, 1976.
7. Борн М., Вольф З. Основы оптики. М.: Наука, 1970.
282