ТВ и МС 010400 - Высшая школа экономики

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики Национального
исследовательского университета "Высшая школа экономики"
Факультет Прикладной математики и кибернетики
Программа дисциплины
«Теория вероятностей и математическая статистика»
для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки
бакалавра
Автор программы: Гришунина Ю.Б., [email protected]
Одобрена на заседании кафедры Высшей математики МИЭМ «___»____________ 20 г
Зав. кафедрой Кузьмина Л.И.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель [Введите И.О. Фамилия]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и
отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010400.62
«Прикладная математика и
информатика» подготовки бакалавра, изучающих дисциплину «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Программа разработана в соответствии с
 ФГОС ВПО по направлению 010400.62
«Прикладная математика и
информатика» подготовки бакалавра;
 Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки
010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра,
утвержденным в 2012 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»
являются:
изучение основ теории вероятностей и математической статистики и
применение полученных знаний для решения конкретных практических задач.
Задачи дисциплины:
-- освоение основных постановок задач, определений и теорем теории вероятностей
и математической статистики;
--обучение методам аналитического решения задач теории вероятностей и
математической статистики;
-- приобретение навыков решения статистических задач с помощью ЭВМ;
-- получение опыта статистического
исследования различных явлений и
процессов.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен
знать:

основные постановки задач теории вероятностей и математической
статистики;

основные определения и теоремы теории вероятностей;

методы построения точечных и интервальных оценок
неизвестных
параметров распределений;

методику проверки статистических гипотез;
уметь:

вычислять вероятности случайных событий;

вычислять числовые характеристики случайных величин;

строить точечные и интервальные оценки неизвестных параметров
распределений;

проверять статистические гипотезы;
владеть:
2
основными методами аналитического решения вероятностных и статистических
задач и соответствующим математическим аппаратом.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
А) общекультурные (ОК):
способность владеть культурой мышления, умение аргументированно и ясно
строить устную и письменную речь (ОК-1);
способность осознать социальную значимость своей будущей профессии, обладать
высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОК-9);
способность работы с информацией из различных источников, включая сетевые
ресурсы сети Интернет, для решения профессиональных и социальных задач (ОК-15);
способность к интеллектуальному, культурному, нравственному, физическому и
профессиональному саморазвитию, стремление к повышению своей квалификации и
мастерства (ОК-16).
Б) профессиональные (ПК):
научная и научно-исследовательская деятельность:
способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук,
математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий,
связанных с прикладной математикой и информатикой (ПК-1);
способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя
современные образовательные и информационные технологии (ПК-2);
способность понимать и применять в исследовательской и прикладной
деятельности современный математический аппарат (ПК-3);
проектная и производственно-технологическая деятельность:
способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных
научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим
научным, профессиональным, социальным и этическим проблемам (ПК-7);
способность формировать суждения о значении и последствиях своей
профессиональной деятельности с учетом социальных, профессиональных и этических
позиций (ПК-8);
организационно-управленческая деятельность:
способность составлять и контролировать план выполняемой работы, планировать
необходимые для выполнения работы ресурсы, оценивать результаты собственной работы
(ПК-12).
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к базовой части
математического и
естественнонаучного цикла.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 «Математический анализ»
 «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
 «Функциональный анализ».
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при
изучении следующих дисциплин:
 «Статистический практикум»
 «Исследование операций»
 «Теория риска»
 «Имитационное моделирование стохастических систем»
 «Планирование эксперимента»
 «Случайные процессы и теория массового обслуживания»
 «Прикладной стохастический анализ»
3



5
«Финансовая математика»
«Управляемые случайные процессы»
«Математическая теория надежности».
Тематический план учебной дисциплины
№
Всего
часов
Название раздела
Вероятностное пространство. Определение
и свойства вероятности.
2. Условная вероятность. Независимость
событий. Схема Бернулли.
3. Случайные величины. Функция
распределения.
4. Многомерные случайные величины.
5. Числовые характеристики случайных
величин.
6. Предельные теоремы теории вероятностей.
7. Основные понятия математической
статистики.
8. Непараметрические задачи.
9. Точечные оценки неизвестных параметров.
10. Интервальное оценивание.
11. Проверка статистических гипотез.
1.
6
Форма
4
контроля
семестр
Контрольная
2
работа
Домашнее
2
задание
ИтогоКурсовая
вый
работа
Промежу Зачет
точный
ИтогоЗачет/
Экзамен
вый
Экзамен
3
5
6
20
5
5
10
31
8
8
15
30
29
8
6
6
8
16
15
20
12
6
4
4
2
2
10
4
23
35
20
18
6
12
8
6
4
6
3
3
5
5
3
3
8
12
6
6
5
семестр
1
Параметры
письменные работы 80
минут
2
*
Зачет
Диф. зачет
по курсовой
работе
Критерии оценки знаний, навыков
1. Контрольные работы и домашнее задание.
4
Самостоятельная
работа
14
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
6.1
Аудиторные часы
ЛекСемиЛаб.
ции
нары
раб.
Устный экзамен
При оценке контрольных работ и домашних заданий применяется
дифференцированный подход по десятибалльной системе в соответствии со знаниями и
навыками, проявленными студентом во время их выполнения.
2. Курсовая работа.
При оценке курсовой работы применяется дифференцированный подход по
десятибалльной системе в соответствии со знаниями и навыками, проявленными
студентом при выполнении заданий курсовой работы.
3. Экзамен.
Сдача студентом экзамена оценивается по десятибалльной системе в соответствии
со знаниями и навыками, проявленными студентом на экзамене.
7
Содержание дисциплины
№
п/п
1.
Наименование раздела
дисциплины
Вероятностное
пространство.
Определение и
свойства вероятности.
2.
Условная вероятность.
Независимость
событий. Схема
Бернулли.
Случайные величины.
Функция
распределения.
3.
Многомерные
случайные величины.
4.
5.
6.
Числовые
характеристики
случайных величин.
Предельные теоремы
теории вероятностей.
Содержание раздела
События, операции над событиями. Пространство
элементарных исходов. Определение вероятности:
классическое,
геометрическое,
статистическое,
аксиоматическое. Свойства вероятности. Формула
сложения вероятностей.
Определение условной вероятности. Формула умножения
вероятностей. Независимость событий. Формула полной
вероятности. Формула Байеса. Схема независимых
испытаний Бернулли.
Понятие случайной величины. Функция распределения.
Дискретные случайные величины. Закон распределения.
Распределения: биномиальное, геометрическое, Пуассона.
Непрерывные
случайные
величины.
Плотность
распределения.
Распределения:
равномерное,
экспоненциальное, нормальное. Свойство отсутствия
последействия
экспоненциального
распределения.
Функции от случайных величин.
Совместная функция распределения. Дискретные и
непрерывные двумерные случайные величины. Условные
распределения. Независимые случайные величины.
Распределение суммы двух случайных величин.
Распределение
Эрланга.
Связь
распределений:
экспоненциального, Эрланга, равномерного, Пуассона.
Многомерное нормальное распределение. Устойчивость
нормального распределения.
Математическое
ожидание
случайной
величины.
Свойства
математического
ожидания.
Дисперсия
случайной величины. Свойства дисперсии. Моменты
высших порядков. Асимметрия, эксцесс, мода, медиана,
квантиль. Ковариация. Коэффициент корреляции.
Коррелированность и зависимость.
Теорема Пуассона. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Неравенство
Маркова. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.
Центральная предельная теорема.
5
7.
8.
9.
Основные понятия
математической
статистики.
Непараметрические
задачи.
Точечные оценки
неизвестных
параметров.
Интервальное
оценивание.
10.
Проверка
статистических
гипотез.
11.
8
Задачи
математической
статистики.
Генеральная
совокупность. Выборка. Вариационный ряд. Понятие
оценки.
Свойства
оценок:
несмещенность,
состоятельность, эффективность.
Эмпирическая функция распределения. Гистограмма и
полигон частот. Критерий Колмогорова.
Точечные оценки. Методы получения точечных оценок:
метод моментов, метод максимального правдоподобия.
Неравенство Рао-Крамера. Примеры. Другие методы
получения точечных оценок. Свойства выборочного
среднего. Исправленная выборочная дисперсия.
Доверительные интервалы. Точность и надежность
доверительных интервалов. Распределение Стьюдента и
хи-квадрат. Доверительный интервал для неизвестного
математического ожидания при известной и неизвестной
дисперсии (нормальное распределение). Доверительный
интервал для неизвестной дисперсии при известном и
неизвестном математическом ожидании (нормальное
распределение).
Статистические гипотезы. Критерии. Ошибки первого и
второго рода. Уровень значимости. Мощность критерия.
Схема и основной принцип проверки статистических
гипотез. Критерии согласия. Критерий согласия Пирсона
(2) для проверки гипотезы о виде теоретического
распределения.
Образовательные технологии
Рекомендуемые образовательные технологии:
– чтение лекций;
– проведение практических занятий;
- проведение лабораторных работ;
- выполнение курсовой работы;
– выполнение студентами контрольных работ и домашних заданий;
– проведение экзамена.
Аудиторные занятия проводятся в форме лекций, практических занятий,
лабораторных работ. Во время проведения практических занятий используются активные
и интерактивные формы (обсуждение отдельных разделов дисциплины и методов решения
задач, предложенных преподавателем).
Для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации по дисциплине
могут использоваться: устный опрос; письменные работы (ПР) в виде контрольных работ
(КР) и домашнего задания (ДЗ). Оценка на экзамене может быть выставлена с учетом
всех перечисленных форм контроля и промежуточной аттестации.
Самостоятельной работой студентов является выполнение домашних заданий,
проработка материалов лекций, подготовка к контрольной работе, выполнение курсовой
работы, подготовка к зачету и экзамену. Для успешного освоения дисциплины
рекомендуется перед каждым практическим или семинарским занятием повторить
6
теоретический материал соответствующей лекции, а после активной работы на занятии выполнить полученные задания и изучить соответствующий раздел указанной в
программе курса литературы.
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1. Тематика заданий текущего контроля
Для текущей и промежуточной аттестации студентов в 4 семестре выполняется 2
письменные контрольные работы; в 5 семестре – 1 контрольная работа.
Тематика и примерные варианты контрольных работ.
Контрольная работа №1 (4 семестр). Классическое определение вероятности. Формула
сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Схема Бернулли.
1. Из 15 билетов выигрышными являются 3. Определить вероятность того, что среди
наудачу взятых 5 билетов 2 выигрышных.
2. Игральная кость бросается 2 раза. Найти вероятность того, что сумма очков не
менее 10.
3. По каналу связи передаются независимо два сообщения. Вероятность передачи без
искажений первого сообщения равна 0,95, второго – 0,92. Найти вероятность того,
что хотя бы одно из сообщений будет искажено.
4. В спортивной секции 80% студентов младших курсов и 20% старшекурсников.
Среди спортсменов младших курсов разрядники составляют 20%, а среди
старшекурсников – 90%. Найти вероятность того, что наудачу выбранный
спортсмен окажется разрядником.
5. Чему равна вероятность выигрыша у равносильного соперника не менее 4 партий
из 8?
Контрольная работа №2 (4 семестр). Дискретные случайные величины. Непрерывные
случайные величины.
1 Дискретная случайная величина Х задана законом распределения, представленным
в таблице:
xi
-2
-1
1
2
4
2
pi
5/16
c
3/8
c/16
c/16
1) Найти константу с. Ответ обосновать.
2) Найти математическое ожидание случайной величины Х.
3) Найти дисперсию случайной величины Х.
4) Построить график функции распределения случайной величины Х.
5) Найти вероятность Р{-1  X  4}.
Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:
 cx, x   3;1

f ( x)  cx, x  1;2
0,  ;3   1;1  2;

1) Найти константу с.
2) Найти математическое ожидание случайной величины Х.
3) Найти дисперсию случайной величины Х.
4) Построить графики плотности распределения и функции распределения
случайной величины Х.
5) Найти P{X>0}, P{-2<X<1,5}.
2
7
Контрольная работа №3 (5 семестр). Задачи математической статистики.
1. По данному распределению выборки построить эмпирическую функцию
распределения, гистограмму и полигон:
xi
1
2
3
4
5
6
ni
15
25
10
20
10
20
2. Найти точечную оценку параметра p биномиального распределения (схема
Бернулли) по выборке (0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0), где Х i принимает значения: 1 с
вероятностью р и 0 с вероятностью 1-р: а) методом моментов и б) методом
максимального правдоподобия.
3. Найти доверительный интервал надежности 1-α=0,95 для неизвестного
математического ожидания при неизвестной дисперсии по выборке
Х 1 =0,464,
Х 2 =0,137, Х 3 =2,455, Х 4 =-0,323. Распределение нормальное. Какова точность
этого интервала? Как изменится точность, если дисперсия известна и равна 1,5?
4. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется
ли гипотеза об экспоненциальном распределении генеральной совокупности с
результатами наблюдений, представленными в таблице:
0интервалы 0,2
22
ni
0,20,4
12
0,40,6
10
0,60,8
11
0,81,0
12
1,01,6
10
1,62,0
10
2,02,8
5
2,83,0
3
3,04,6
5
Тематика домашних заданий (4 семестр).
Операции над событиями. Двумерные случайные величины. Распределение
суммы двух случайных величин. Предельные теоремы теории вероятностей.
Задачи для домашнего задания (на 4 семестр).
Операции над событиями.
1. Из таблицы случайных чисел наудачу взято число. Событие А – взятое число
четное, событие В – число оканчивается нулем. Что означают события: АВ, В А ,
АВ , А+В?
2. Рабочий изготовил 5 деталей. Пусть событие Аi, i=1,…,5, заключается в том, что
i–ая изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, состоящее в том,
что все детали хорошие.
Многомерные случайные величины.
3. Найти функцию распределения случайной величины Z=2X+Y, где X-дискретная
случайная величина, принимающая два значения: 1 с вероятностью 0,7 и -1 c
вероятностью 0,3, а Y имеет нормальное распределение с математическим
ожиданием 0 и дисперсией 1; X и Y- независимы. Вычислить вероятность Р(Z<0).
Указание: воспользоваться формулой полной вероятности.
4. Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена
внутри прямоугольного треугольника с вершинами (-2;-1), (4;-1), (-2;1). Найти
двумерную плотность совместного распределения и плотности распределения
случайных величин X и Y. Вычислить коэффициент корреляции.
Предельные теоремы теории вероятностей.
5. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник
сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж
содержит ровно 5 бракованных книг.
6. Всхожесть семян данного растения равна 0,9.Найти вероятность того, что из 900
посаженных семян число проросших заключено между 790 и 830.
8
7. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа
каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева
оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом
отказавших элементов и средним числом отказов за время Т не меньше двух.
Тематика домашних заданий (5 семестр).
Эмпирическая функция распределения. Гистограмма и полигон частот. Точечные
оценки неизвестных параметров. Доверительные интервалы.
9.2. Тематика курсовой работы (5 семестр).
Тематика курсовой работы: задачи математической статистики и их решение с
использованием приложения Microsoft Excel.
Задание на курсовую работу:
1. Смоделировать выборку объема n=30 из генеральной совокупности с заданной
теоретической функцией распределения (распределение Вейбулла или
логнормальное распределение с заданными параметрами).
2. Построить график эмпирической функции распределения; построить гистограмму
и полигон частот. Сравнить построенные графики с соответствующими графиками
теоретической функции распределения и плотности распределения.
3. Построить точечную оценку неизвестного параметра заданного распределения:
а) методом моментов;
б) методом максимального правдоподобия.
Сравнить полученные оценки с истинным значением параметра.
4. Построить доверительный интервал
надежности 1   для неизвестного
математического ожидания:
а) считая дисперсию известной;
б) считая дисперсию неизвестной.
Сравнить точность полученных интервалов.
5. Используя критерий Пирсона, на заданном уровне значимости  проверить,
согласуется ли гипотеза о виде теоретического распределения с представленной
выборкой.
9.3. Вопросы для оценки качества освоения дисциплины.
Примерный список вопросов для подготовки к экзамену и зачету.
Теория вероятностей (4 семестр).
Предмет теории вероятностей.
События, операции над событиями.
Пространство элементарных исходов.
Основные формулы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания.
Определение вероятности: классическое, геометрическое, статистическое,
аксиоматическое. Свойства вероятности.
6. Формула сложения вероятностей.
7. Определение условной вероятности.
8. Формула умножения вероятностей.
9. Независимость событий. Попарная независимость и независимость в совокупности.
10. Формула полной вероятности.
11. Формула Байеса.
12. Схема независимых испытаний Бернулли.
13. Понятие случайной величины. Примеры.
14. Функция распределения. Свойства функции распределения.
1.
2.
3.
4.
5.
9
15. Дискретные случайные величины. Закон распределения. Биномиальное,
геометрическое, гипергеометрическое распределение, распределение Пуассона.
16. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения. Равномерное,
экспоненциальное, нормальное распределение.
17. Функции от случайных величин.
18. Многомерные случайные величины. Совместная функция распределения.
19. Дискретные и непрерывные двумерные случайные величины. Условные
распределения. Независимые случайные величины.
20. Распределение суммы двух случайных величин. Формула свертки.
21. Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического
ожидания. Математическое ожидание случайной величины, имеющей
распределение:
биномиальное,
геометрическое,
Пуассона,
равномерное,
экспоненциальное, нормальное.
22. Дисперсия случайной величины. Свойства дисперсии. Дисперсия случайной
величины, имеющей распределение: биномиальное, геометрическое, Пуассона,
равномерное, экспоненциальное, нормальное.
23. Моменты высших порядков.
24. Ковариация. Коэффициент корреляции. Коррелированность и зависимость.
25. Теорема Пуассона.
26. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
27. Неравенство Маркова.
28. Неравенство Чебышева.
29. Закон больших чисел.
30. Центральная предельная теорема.
Математическая статистика (5 семестр).
31. Задачи математической статистики. Генеральная совокупность. Выборка.
Вариационный ряд.
32. Понятие
оценки.
Свойства
оценок
(несмещенность,
состоятельность,
эффективность).
33. Показать, что если оценка является несмещенной и ее дисперсия стремится к нулю,
то такая оценка состоятельна.
34. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма и полигон частот.
35. Показать, что эмпирическая функция распределения является несмещенной
оценкой функции распределения.
36. Показать, что эмпирическая функция распределения является состоятельной
оценкой функции распределения.
37. Точечные оценки. Метод моментов.
38. Найти с помощью метода моментов точечные оценки для: неизвестного параметра
экспоненциального распределения; неизвестного параметра пуассоновского
распределения; неизвестных параметров a и b равномерного распределения R[a;b];
неизвестных параметров a и  нормального распределения N(a,).
39. Метод максимального правдоподобия.
40. Неравенство Рао-Крамера.
41. Найти с помощью метода максимального правдоподобия точечные оценки для:
неизвестного параметра экспоненциального распределения; неизвестного
параметра пуассоновского распределения; неизвестных параметров a и b
равномерного распределения R[a;b]; неизвестных параметров a и  нормального
распределения N(a,).
10
42. Выборочное среднее. Свойства выборочного среднего (несмещенность,
состоятельность, эффективность в классе линейных оценок).
43. Выборочная дисперсия.
44. Исправленная выборочная дисперсия.
45. Доверительные интервалы. Точность и надежность доверительных интервалов.
Распределение Стьюдента, распределение 2
46. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при
известной дисперсии (нормальное распределение).
47. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при
неизвестной дисперсии (нормальное распределение).
48. Доверительный интервал для неизвестной дисперсии при известном
математическом ожидании (нормальное распределение).
49. Доверительный интервал для неизвестной дисперсии при неизвестном
математическом ожидании (нормальное распределение).
50. Статистические гипотезы. Критерии. Ошибки первого и второго рода. Уровень
значимости. Схема и основной принцип проверки статистических гипотез.
51. Критерий согласия Пирсона (2). Проверка гипотезы о распределении выборки.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая
школа, 2000 — 479 с.
10.2. Основная литература
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике. — М.: Высшая школа, 2000 — 400 с.
10.3. Дополнительная литература
1. Белько И.В., Свирид Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика.
Примеры и задачи. – Минск: Новое знание, 2002 – 250 с.
2. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. —
М.: Гардарика,1998. —327 с.
3. Гусак А.А., Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению
задач. – Минск: ТетраСистемс, 1999 - 287 стр.
4. Золотаревская Д.И. Теория вероятностей. Задачи с решениями. — М: Едиториал
УРСС, 2003 — 165 с.
5. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и
математическая статистика. — М.: Bысшая школа, 1991 — 400 с.
6. Ширяев А.Н. Вероятность. – М.: Наука, 1989 – 640 с.
Источник в Интернете:
Википедия
http://ru.wikipedia.org/
10.4.Справочники, словари, энциклопедии
Математический энциклопедический словарь. Под ред. Ю.В.Прохорова. – М.: Советская
энциклопедия, 1988
11
10.5.Программные средства
При выполнении домашних заданий и контрольных работ студент использует следующие
программные средства:
 Microsoft Excel.
10.6.Дистанционная поддержка дисциплины
Для обеспечения интерактивного и непрерывного учебного процесса в качестве
образовательных технологий широко используются коммуникационные средства,
предоставляемые сетью «Интернет», в частности, осуществляется информационный
обмен посредством электронной почты.
11 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Специализированный компьютерный класс для проведения лабораторных работ.
12