7 класс - Омские олимпиады

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
05.02.11  7 класс. г. Омск
Математическая олимпиада ИМИТ ОмГУ носит имя профессора
Г.П. Кукина, создателя системы городских математических олимпиад.
1. Зяка решил купить крумблик. В магазине продавали ещё и крямблики. Зяка купил
крямблик и получил купоны стоимостью ровно 50% от стоимости купленных
крямбликов. Этими купонами он смог оплатить ровно 20% от стоимости крумблика.
Доплатив недостающую сумму, он купил ещё и крумблик. На сколько процентов
расходы Зяки на покупку крямблика и крумблика превысили первоначально
запланированные расходы на покупку крумблика?
2. На дощечке написано два числа: с левой стороны написано число 2011, а с правой –
число 1000. За один ход можно прибавить к числу, написанному с левой стороны,
некоторое натуральное число, а число, написанное с правой стороны, умножить на то
же самое число. Можно ли уравнять числа на разных сторонах дощечки, сделав не
более 1000 ходов?
3. Сколько различных слагаемых останется, если раскрыть скобки и привести
подобные в следующем выражении (1+х2+х4+…+х30)2+(1+х3+х6+…+х30)2?
4. Дана клетчатая фигура 3х3 клетки, длина каждого маленького отрезка равна длине
спички. Какое наибольшее число спичек можно выложить на стороны клеток так,
чтобы не образовалось ни одного квадратика 1х1, выложенного из спичек?
5. Петя нарисовал 3 красных и 3 синих прямых, и отметил те точки пересечения, через
которые проходят прямые разных цветов. Могло ли оказаться, что отмечена ровно
половина всех точек пересечения?
6. Два путешественника попали в плен к людоедам. У людоедов есть много колпаков
синего и красного цвета. Ночь путешественники проводят в одной хижине, а наутро
людоеды надевают на каждого из путешественников какой-то колпак одного или
разных цветов. Каждый путешественник видит колпак на своём товарище, но не видит
колпак на своей голове. После этого их разводят в разные стороны и заставляют
записать на листочке один из двух цветов. Если хотя бы один путешественник запишет
цвет колпака на своей голове, то их отпускают. Если оба ошибаются — их съедают.
Как должны договориться отвечать путешественники, пока находятся в хижине,
чтобы им удалось остаться в живых?
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
05.02.11  7 класс. г. Омск
Математическая олимпиада ИМИТ ОмГУ носит имя профессора
Г.П. Кукина, создателя системы городских математических олимпиад.
1. Зяка решил купить крумблик. В магазине продавали ещё и крямблики. Зяка купил
крямблик и получил купоны стоимостью ровно 50% от стоимости купленных
крямбликов. Этими купонами он смог оплатить ровно 20% от стоимости крумблика.
Доплатив недостающую сумму, он купил ещё и крумблик. На сколько процентов
расходы Зяки на покупку крямблика и крумблика превысили первоначально
запланированные расходы на покупку крумблика?
2. На дощечке написано два числа: с левой стороны написано число 2011, а с правой –
число 1000. За один ход можно прибавить к числу, написанному с левой стороны,
некоторое натуральное число, а число, написанное с правой стороны, умножить на то
же самое число. Можно ли уравнять числа на разных сторонах дощечки, сделав не
более 1000 ходов?
3. Сколько различных слагаемых останется, если раскрыть скобки и привести
подобные в следующем выражении (1+х2+х4+…+х30)2+(1+х3+х6+…+х30)2?
4. Дана клетчатая фигура 3х3 клетки, длина каждого маленького отрезка равна длине
спички. Какое наибольшее число спичек можно выложить на стороны клеток так,
чтобы не образовалось ни одного квадратика 1х1, выложенного из спичек?
5. Петя нарисовал 3 красных и 3 синих прямых, и отметил те точки пересечения, через
которые проходят прямые разных цветов. Могло ли оказаться, что отмечена ровно
половина всех точек пересечения?
6. Два путешественника попали в плен к людоедам. У людоедов есть много колпаков
синего и красного цвета. Ночь путешественники проводят в одной хижине, а наутро
людоеды надевают на каждого из путешественников какой-то колпак одного или
разных цветов. Каждый путешественник видит колпак на своём товарище, но не видит
колпак на своей голове. После этого их разводят в разные стороны и заставляют
записать на листочке один из двух цветов. Если хотя бы один путешественник запишет
цвет колпака на своей голове, то их отпускают. Если оба ошибаются — их съедают.
Как должны договориться отвечать путешественники, пока находятся в хижине,
чтобы им удалось остаться в живых?
Решения задач
1. Ответ: на 20%. Решение. Из условия задачи следует, что 50% от
стоимости крямблика равны 20% от стоимости крумблика. Это
означает, что стоимость крямблика составляет 40% от стоимости
крумблика. Но Зяка заплатил за крямблик и за 80% от стоимости
крумблика. Всего, таким образом, он заплатил 120% от стоимости
крумблика.
Критерии проверки. Показано, что крумблик в 2,5 раза дороже
крямблика, но последующий перевод в проценты проделан неверно – 4
балла.
2. Решение. Да, можно. Например, будем поступать следующим
образом. Будем прибавлять к числу 2011 по 1 пока не получим число
3·999=2997. На это понадобится 2997–2011=986 ходов. Число 1000 всё
это время будет умножаться на 1, т.е. не будет меняться. После этого
останется прибавить к 2997 тройку и, соответственно, умножить на 3
число 1000. За 987 ходов получим с двух сторон одно и то же число
3000.
Критерии проверки. Приведён верный алгоритм, но число ходов не
посчитано – 5 баллов.
3. Ответ: 41. Решение. Ясно, что после раскрытия первой скобки
останутся слагаемые 1, х2, х4,…,х60 с некоторыми коэффициентами.
Всего 31 слагаемое (а не 30). Аналогично, после раскрытия второй
скобки останутся слагаемые 1, х3, х6,…,х60. Всего 21 слагаемое (а не 30).
При это слагаемые вида 1, х6, х12,…,х60 будут повторяться, и мы их
посчитаем два раза. Таких слагаемых 11. Значит общее число не
подобных друг другу слагаемых равно 21+31–11=41.
Критерии проверки. При выписывании слагаемых пропущена цифра 1
– снимается 2 балла. Слагаемые с показателями, кратными 6,
посчитаны дважды – не более 3 баллов.
4. Ответ: 19. Решение. Рассмотрим обратный процесс – убирание
спичек из 24-х возможных, тогда легко увидеть, что меньше 5 спичек
убрать не достаточно, так как каждая спичка является стороной одного
или двух соседних квадратиков, и убирание одной спички уменьшает
количество квадратиков максимум на 2 штуки. Для 19 спичек годится
такой пример.
Критерии проверки. Только ответ – 0 баллов. Верный ответ с
примером – 2 балла. Оценка без примера – 4 балла.
5.Ответ. Да, можно. Имеется очень много примеров.
6. Решение. Годится, например, такая стратегия. Они договариваются,
что один путешественник напишет тот цвет, который видит на голове
своего товарища, а второй – цвет, противоположный тому, который
видит на голове своего товарища. Если на их головы одеты колпаки
одного цвета, то цвет своего колпака напишет первый. В противном
случае – второй.