Задания С1. Системы тригонометрических уравнений

.Задания С1. Системы тригонометрических уравнений.
Выступление на школьном МО, практическое занятие с учителями математики.
Учитель математики Т.Л. Дубина.
При решении тригонометрических систем часто бывает непросто сделать первый шаг, найти
"ключ" к решению задачи. Какие-то общие рекомендации дать нельзя. Можно лишь посоветовать
стараться применять такие преобразования уравнений системы, которые приводят к появлению
тригонометрических функций одного аргумента или хотя бы не увеличивают число функций с
разными аргументами.
При решении систем тригонометрических уравнений мы используем те же методы, что и в
алгебре ( замены, подстановки, исключения и т.д. ), а также известные методы и формулы
тригонометрии. Рассмотрим некоторые примеры.
Рассмотрим некоторые типы систем тригонометрических уравнений и укажем наиболее
употребительные методы решения систем, основываясь на общей теории систем уравнений.
Замечание. Обратим внимание на типичную ошибку, которую допускают учащиеся и абитуриенты
при записи решений систем тригонометрических уравнений. Дело в том, что параметры и
появляются при решении разных уравнений системы и независимы друг от друга. Поэтому эти
параметры должны обозначаться разными буквами. Обозначение их одним символом ведет к
потере решений.
В некоторых случаях системы тригонометрических уравнений можно свести к алгебраическим
системам.
Приступая к решению системы тригонометрических уравнений, целесообразно вначале проверить,
нельзя ли непосредственно из какого-либо уравнения системы выразить одно из неизвестных
через другие.
П р и м е р 1 . Решить систему уравнений:
П р и м е р 2 . Решить систему уравнений:
1
Р е ш е н и е . Складывая и вычитая эти два уравнения, получим:
Рассмотрим отдельно каждую из ветвей второго уравнения:
П р и м е р 3 . Решить систему уравнений:
{
sin x cos y = 1/2
cos x sin y = - 1/2
Решение.
Складывая и вычитая уравнения системы, получаем:
равносильную данной. Эту систему можно записать в виде
Oткуда находим:
где
, откуда следует, что
Ответ:
П р и м е р 4. Решить систему уравнений:
2
Решение
Полагая
, получаем систему уравнений
откуда
.
Исходная система равносильна каждой из следующих систем:
откуда следует, что
.
Ответ:
П р и м е р 5. Решить систему уравнений
Решение
Полагая
, получаем алгебраическую систему
равносильную системе
откуда находим
Таким образом,
.
, откуда
,
,
.
3
Ответ:
,
,
П р и м е р 6. Решить систему уравнений:
sin y  x  6
cos y  x  7
Решение:
Мы знаем основное тригонометрическое тождество: sin²y +cos²y = 1.
Возводим оба уравнения в квадрат и получаем:
(x – 6)² + (x – 7)² = 1
Решаем это уравнение и получаем два корня : x = 6 и x = 7.
Поставляем в исходную систему x = 6:
sin y = 0,
cos y = – 1, отсюда y = π + 2πn, n  Z.
Поставляем в исходную систему x = 7:
sin y = 1,
cos y = 0, отсюда
у

2
 2n, n  Z
Ответ: х =6; y = π + 2πn, n  Z.
х=7;
у

2
 2n, n  Z
П р и м е р 7. Решить систему уравнений:
cosY√(sinX)=0
2sin2x=2cos2y+1
ОДЗ: sinx ≥ 0, т.е. xc I, II четверти
1) sinx =0
2*0 = 2cos2 y +1 --> cos2 y = –0,5 - решений нет.
2) cosy = 0 --> y = п/2 + 2пk, kc Z или y= – п/2 + 2пk не удовл. ОДЗ.
2sin2 x = 1, sinx = 1/√2 (т.к. sinx>0)
x = (-1)k п/4 +пk, kc Z.
Ответ: x = (-1)k п/4 +пk, kc Z, y = п/2 + 2пk, kc Z .
П р и м е р 8. ). Решите систему уравнений:
{
tg x + tg y = 1 - tg x tg y
sin 2y -
(1)
(2)
Решение. Исходная система имеет смысл лишь в случае, когда определены функции tg x и tg y,
т.е. выполняются условия
cos x ≠ 0, cos y ≠ 0. (3)
4
Рассмотрим первое уравнение. Естественно было бы разделить обе его части на 1 - tg x tg y и
воспользоваться формулой тангенса суммы. Тогда уравнение (1) можно было бы переписать в
виде:
tg (x+y) = 1 (4)
но при этом мы можем потерять те решения системы (1), (2), для которых
1 - tg x tg y = 0
(5)
Однако легко убедиться в том, что система (1), (2), (5) не имеет решений. В самом деле, если бы
существовали решения этой системы, то из уравнений (1) следовало бы, что tg x + tg y = 0. Но
тогда уравнение (5) приняло бы вид 1+tg2y=0, и следовательно, оно бы решений не имело.
Таким образом, исходная система пир условии (3) равносильна системе (2), (4).
Из уравнений (4) находим x + y = П/4 + Пn, т.е.
y = П/4 + Пn - x, n
Z (6)
Теперь найденное для y выражение подставим в уравнение (2) исходной системы:
sin (П/2 - 2x + 2Пn) Полученное уравнение приводится к виду sin x (2 sin x +
2) = 0, откуда
а) sin x = 0, x = Пm,
б) sin x = - 2/2
x = (-1)k+1П/4 + Пk,
Z.
По формуле (6) определяем соответствующие значение y. Для серии а)
y = П/4 + П(n - m), n,
Z (7)
для серии б)
y = П/4 - (-1)k+1П/4 + П(n - k), n,k
Z (8)
Значения (x, y) из формулы (7) удовлетворяют условию (3). Для серии (8) требуется
дополнительное исследование. Если sin x = - 2/2, то cos x ≠ 0, так что первое неравенство
условия (3) заведомо выполнено. Второе неравенство cos y ≠ 0 выполняется не всегда.
Если k - четное число, т.е. k = 2p, где
Z, то по формуле (8) находим y = П/2 + П(n - 2p). Для
этих значений y условие (3) не выполняется. Если же k - нечетное число, т.е. k = 2p-1, где
Z,
то y = П(n - 2p + 1) и условие (3) выполнено. Соответствующие зжначения x находим по формуле
б): x = - 3П/4 + 2Пp.
Ответ: (Пm; П/4+П(n - m)), (- 3П/4 + 2Пp; П(n - 2p_1)), m,n,p
Z.
П р и м е р 9. Решите систему уравнений:
{
cos x - sin x = 1 + cos y - sin y
3sin 2x - 2sin 2y = 3/4
(10)
Решение. Воспользуемся тождеством
5
(sin x - cos x)2 = 1 - sin 2x
и обозначим
cos x - sin x = u, cos y - sin y =v (11)
тогда
sin 2x = 1 - u2, sin 2y = 1 - v2
и система (10) сводится к алгебраической системе
{
u=1+v
3u2 - 2v2 = 1/4
(12)
Система (12) имеет два решения:
u1 = - 9/2, v1 = - 11/2 и u2 = 1/2, v2 = - 1/2
Рассмотрим вначале значения u1, v1. Возвращаясь к исходным переменным, по формулам (11)
получаем:
{
cos x - sin x = - 9/2
cos y - sin y = -11/2
(13)
Но уже первое уравнение системы (13) решений не имеет, так как
П/4) ≥ -
cos x -
- 9/2.
Следовательно система (13) решений не имеет.
Рассмотрим теперь значение u2 и v2. Вновь по формулам (11) получим
{
cos x - sin x = 1/2
cos y - sin y = -1/2
(13)
Для первого уравнения находим
co x 1/ 2 - sin x 1/2 = 1/2 2, cos (x + П/4) = 1/2 2, x + П/4 = ± arccos(1/2 2) + 2Пn, x = - П/4 ±
arccos(1/2 2) + 2Пn.
Точно так же получаем
y = - П/4 ± arccos(1/2 2) + 2Пm.
Таким образом, найдем следующие решения исходной системы:
Ответ: (- П/4 ± arccos(1/2 2) + 2Пn; - П/4 ± arccos(- 1/2 2) + 2Пm) (знаки выбираются
независимо друг от друга).
При таких способах решения необходимо внимательно следить за тем, чтобы не потерять
решений и не приобрести посторонних решений.
П р и м е р 10. Решите систему уравнений:
6
4 sin x - 2 sin y = 3
2 cos x - cos y = 0
{
(15)
Решение. Систему (15) можно привести к виду (14). Сделав это, получим равносильную систему:
{
sin x = 3/4 + 1/2 sin y
cos x = 1/2 cos y
(16)
Возводя почленно уравнения системы (16) в квадрат и складывая, получаем уравнение,
являющееся следствием системы (16):
1 = 9/16 + 3/4 sin y + 1/4 sin2 y + 1/4 cos2 y, или
sin y = 1/4
(17), откуда
y = (-1)n arcsin1/4 + Пn. (18)
Из первого уравнения системы (16) с учетом (17) находим sin x = 7/8,
x = (-1)m arcsin7/8 + Пm (19)
Поскольку при решении системы (15) могли появиться посторонние решения (использовалась
операция возведения в квадрат), необходимо произвести отбор, подставив найденные значения
(18), (19) во второе уравнение этой системы.
Легко видеть, что пир четных m и n в формулах (18), (19) соответствующие значения cos x и cos
y положительны, а при нечетных m и n эти значения отрицательны. Таким образом, |cos x| = (1 sin2 x) = 15/8, |cos y| = 15/4, так что для выполнения второго уравнения системы (16) требуется
только, чтобы знаки cos x и cos y совпадали. Отсюда получаем:
{
x = arcsin7/8 + 2Пk
y = arcsin1/4 +2Пl
{
x = - arcsin7/8 + (2k + 1)П
y = - arcsin1/4 + (2l +1)П
(20)
Обе полученные серии (20) можно объединить и ответ записать в следующем виде.
Ответ: ((-1)p arcsin7/8 + Пp; (-1)p arcsin1/4 + П(p + 2r)).
П р и м е р 11. Решить систему уравнений
Решение
Будем решать данную систему методом исключения одного из неизвестных, например .
Для этого запишем второе уравнение системы в виде
7
а затем возведем в квадрат обе части уравнений
результаты сложим.
и
Получим
или
Это уравнение, равносильное уравнению
, имеет корни
Подставляя найденные значения
откуда
Найденные значения
и
.
в уравнение
, получаем
,
и , образуют решения исходной системы.
Ответ
П р и м е р 12. Решить систему уравнений
Решение. Возведя обе части второго уравнения системы в квадрат, получаем
.
Система
формулу
является следствием исходной системы. Используя
, запишем уравнение
Сложим почленно уравнение
с уравнением
умноженным на 7:
откуда
в виде
или
,
,
.
8
1) Если
, то либо
либо
Из уравнения
и
следует что
, откуда
. Аналогично, из
находим
и
, откуда получаем
.
2) Если
, то из
исходная система не имеет решений.
следует, что
. В этом случае система
Ответ.
.
9