ЗАДАНИЯ Муниципального этапа ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ по физике

ЗАДАНИЯ
Муниципального этапа
ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ
по физике
2009 – 2010 учебный год
8 КЛАСС
1. (10 баллов) В системе, изображенной на рисунке, масса
самого правого груза равна m4  1 кг, а массы всех блоков
одинаковы и равны m0  300 г. Система уравновешена и
неподвижна. Найдите массы грузов m1 , m2 и m3 . Массой
троса и трением в блоках пренебречь.
2. (10 баллов) Кусок льда, внутри которого вморожен шарик из свинца, плавает в
цилиндрическом сосуде с водой. Площадь дна сосуда S . Какова масса шарика,
если после полного таяния льда уровень воды в сосуде понизился на h .
Плотность свинца 1 , плотность воды 0 .
3. (10 баллов) Три одинаковых сообщающихся сосуда частично
заполнены водой. Когда в левый сосуд налили слой керосина
H1  20 см, а в правый высотой H 2  25 см, то уровень воды в
среднем сосуде повысился. На сколько повысился уровень воды
в соседнем сосуде? Плотность керосина 0,8 г/см3, плотность
воды 1 г/см3.
4. (10 баллов) Самолет летит по маршруту А-В-А. Скорость самолета в
безветренную погоду равна v . В каком случае самолету потребуется меньше
времени на преодоление маршрута – в безветренную погоду или когда дует ветер
вдоль линии AB ? Чему равна средняя скорость во втором случае? Скорость ветра
равна u .
9 КЛАСС
1. (10 баллов) Из точек А и В, находящихся на одной горизонтальной прямой,
одновременно бросили два камня с одинаковыми по
модулю скоростями v0  20 м/с. Один из них полетел по
навесной траектории, а другой по настильной и каждый
упал в точку старта другого камня. Известно, что угол
бросания камня из точки A составляет 75о. Определите скорость одного камня
относительно другого.
2. (10 баллов) Рычаг подвешен к системе блоков так,
что точки подвеса делят его в отношении a : b : c . Блоки,
рычаг и нити невесомы, трения нет. Каково отношение
масс грузов m1 и m2 , если система находится в
равновесии?
3. (10 баллов) В палатке, покрытой сверху шерстяными одеялами, пол застелен
теплонепроницаемым войлоком. Одинокий спящий индеец начинает мерзнуть в
палатке при уличной температуре воздуха t1  10o C . Два спящих индейца
начинают мерзнуть в этой палатке при уличной температуре воздуха t2  4o C .
При какой температуре воздуха t 0 индейцы начинают пользоваться палатками?
При какой температуре воздуха t3 в той же палатке станет холодно терм
индейцам? Считайте, что количество теплоты, теряемой палаткой в единицу
времени, пропорционально разности температур воздуха внутри и снаружи.
4. (10 баллов) К источнику постоянного тока с напряжением 4 В подключены
согласно схеме два одинаковых резистора по 10 Ом
каждый и реостат, сопротивление которого можно менять
от 0 до 5 Ом. При каком положении ползунка реостата
мощность, выделяемая на резисторе R1 максимальна?
Каково ее значение? Какая мощность выделяется в этом
случае на резисторе R2 ?
10 КЛАСС
2. (10 баллов) Материальная точка движется по дуге окружности
v
радиуса R  1 м. Скорость точки меняется по закону v  0 , где
cos
v0  1 м/с. Найдите ускорение (по модулю) точки М в тот момент,
когда угол   60o .
2. (10 баллов) Однородный цилиндр, установленный на
горизонтальной плоскости, толкают горизонтальной
палочкой так, что он медленно и поступательно скользит
по плоскости. Продолжая толкать цилиндр, палочку
плавно перемещают вверх. Движение цилиндра при этом
не изменяется. Когда расстояние от горизонтальной
плоскости до палочки становится равным удвоенному
диаметру цилиндра, он опрокидывается. Определить коэффициент трения
цилиндра о столешницу.
3. (10 баллов) Ученик, войдя в комнату объемом 170 м3, сделал выдох. Сколько
выдохнутых при этом молекул он однажды вдохнет после того, как воздух в
комнате перемешается? Объем вдоха (выдоха) 0,8 л, плотность воздуха 1,29 кг/м3,
а его молярная масса 29 г/моль.
4. (10 баллов) Нарисовать схему, состоящую из батарейки, двух переключателей и
трех лампочек и имеющую при различных
положениях переключателей следующие режимы
работы:
1) Горит первая лампа;
2) Горит вторая лампа;
3) Горит третья лампа;
4) Горят все три лампы.
В последнем случае каждая из ламп должна гореть также ярко, как и тогда, когда
она горит одна.
5. (10 баллов) На раскаленной плите стоит сосуд с кипящей водой (температура
tк  100о С ), начальная масса которого равна m0 . Вода испаряется, а часть пара
конденсируется на куске льда, расположенном над сосудом и стекает обратно.
Начальная масса льда m , а его начальная температура t0  0о С . Когда весь лед
растаял, масса воды в сосуде оказалась равной m1 . Какая доля w от всего пара
конденсировалась на куске льда? Какое количество теплоты было передано от
плиты к сосуду? Доля конденсирующегося пара все время постоянна. Удельная
теплоемкость воды равна С , удельная теплота плавления льда равна  , удельная
теплота парообразования воды равна r . Контактным теплообменом воды и льда с
окружающей средой пренебречь.
11 КЛАСС
1. (10 баллов) В открытой прямоугольной коробке
сидит кузнечик, который умеет прыгать со скоростью
V0  3 м/с под любым углом к горизонту. На какой
минимальный угол нужно наклонить коробку, чтобы
кузнечик мог из нее выпрыгнуть? Считать, что каждая
грань коробки является квадратом со стороной h  52
см. Ускорение свободного падения g  10 м/с2.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
2. (10 баллов) Тележка с водой движется по горизонтальной
поверхности с постоянным ускорением. На тележку под
углом  к вертикали падает луч света, который после
отражения распространяется под углом  к вертикали
(направления ускорения тележки и лучей показаны на
рисунке). Найдите ускорение a тележки. Ускорение
свободного падения g .
3. (10 баллов) Цикл тепловой машины состоит из двух изобар и двух изотерм, при
этом работа при изобарическом расширении такая же, как и при изотермическом.
Найдите КПД такого цикла, если рабочим веществом является гелий, а
максимальная температура в процессе вдвое больше минимальной.
4. (10 баллов) Резисторы, сопротивлениями R1  10 Ом, R2  20 Ом, R3  40 и
R4  80 Ом припаяны к клеммам A, B, C, D и E так, как показано на рисунке.
Имеется источник тока с ЭДС E  12 В и внутренним сопротивлением r  5 Ом, а
также много соединительных проводов малого
сопротивления, которые можно подключать к
источнику и к любой из клемм. Как нужно
соединить источник и резисторы, чтобы общая
тепловая мощность, выделяющаяся на резисторах,
была максимальной? Чему равна эта мощность?
5. (10 баллов) Участок гибкого провода массой m
подвешен так, что его концы закреплены на
одинаковой высоте. Провод находится в однородном
горизонтальном магнитном поле с индукцией B , и
по нему течет ток I . Силы, действующие на провод
в точках подвеса, образуют угол  с горизонтом.
Найдите силу T натяжения провода в нижней его
точке. Размеры L и h известны.
Муниципальный этап
Всероссийской олимпиады школьников по физике
2009-2010 учебный год
8 КЛАСС
1. (10 баллов) В системе, изображенной на рисунке, масса
самого правого груза равна m4  1 кг, а массы всех блоков
одинаковы и равны m0  300 г. Система уравновешена и
неподвижна. Найдите массы грузов m1 , m2 и m3 . Массой
троса и трением в блоках пренебречь.
Решение:
Поскольку система находится в равновесии, то сумма всех сил, действующих на
каждый блок должна равняться нулю, откуда следует
T  m4 g
 m1  m0  g   m2  m0  g   m3  m0  g  2T .
Из первого уравнения находим:
T  10 Н.
Подставляя это значение во второе уравнение:
m1  m2  m3  2m4  m0  1,7 кг.
1. Нарисован рисунок с изображением всех сил – 3 балла.
2. Записаны условия равновесия – 2 балла.
3. Найдено значение силы натяжения нити Т – 2 балла.
4. Решена система уравнений и получен ответ – 3 балла.
2. (10 баллов) Кусок льда, внутри которого вморожен шарик из свинца, плавает в
цилиндрическом сосуде с водой. Площадь дна сосуда S . Какова масса шарика,
если после полного таяния льда уровень воды в сосуде понизился на h .
Плотность свинца 1 , плотность воды 0 .
Решение. Пусть начальный уровень воды в сосуде равен H . Тогда сила
давления воды на дно сосуда будет равной
F  0 HSg .
После таяния льда вес содержимого сосуда не изменится. Поэтому и сила
давления на дно сосуда не изменится. Однако при этом сила F равна сумме сил
давления столба воды высотой H  h :
F1  0  H  h  Sg ,
равнодействующей силы тяжести шарика
F2  mc g
и архимедовой силы
FA  0Vш g ,
где mc и Vш масса и объем шарика.
Таким образом:

m 
F  0  H  h  Sg   mc g  0 c   0 HSg .
с 

Отсюда
mc 
0 с Sh
0  с
1. Определена сила давления воды со льдом на дно сосуда – 1 балл.
2. Сформулировано условие того, что после таяния льда давление на дно
сосуда не изменится – 2 балла.
3. Определено суммарная сила давление на дно сосуда после таяния льда – 2
балла.
4. Записано условие равенства сила давления до и после таяния льда – 3
балла.
5. Получен конечный ответ – 2 балла.
3. (10 баллов) Три одинаковых сообщающихся сосуда частично
заполнены водой. Когда в левый сосуд налили слой керосина
H1  20 см, а в правый высотой H 2  25 см, то уровень воды в
среднем сосуде повысился. На сколько повысился уровень воды в
соседнем сосуде? Плотность керосина 0,8 г/см3, плотность воды 1
г/см3.
Решение. Предположим, что в левом сосуде уровень воды понизился на h1 ,
а в правом – на h2 . Тогда в среднем сосуде уровень воды повысился на h1  h2 и
будет выше, чем в правом на h1  2h2 и выше чем в левом на 2h1  h2 . Так как
жидкости находятся в равновесии, то давление столбов воды равно давлению
столбов керосина:
g в  h1  2h2   g к H 2 ,
g в  2h1  h2   g к H1 ,
или
к
H ,
в 2

2h1  h2  к H1 .
в
h1  2h2 
Подставив значения, получим h1  4 см, h2  8 см. Откуда h1  h2  12 см.
1. Определена разность уровней воды в крайних сосудах – 3 балла.
2. Записано условие равенства гидростатических давлений – 4 балла.
3. Получен конечный ответ – 3 балла.
4. (10 баллов) Самолет летит по маршруту А-В-А. Скорость самолета в
безветренную погоду равна v . В каком случае самолету потребуется меньше
времени на преодоление маршрута – в безветренную погоду или когда дует ветер
вдоль линии AB ? Чему равна средняя скорость во втором случае? Скорость ветра
равна u .
Решение. На пути AB скорость самолета равна v  u , на пути BA равна
l
l
, время перелета BA равно t2 
v  u . Время перелета AB равно t1 
vu
v u
( l - расстояние AB ). Полное время полета в ветреную погоду
l
l
 2v 
t1  t2 

 l 2
,
v  u v  u  v  u2 
2l
таким образом, с учетом того, что время полета в безветренную погоду t0  ,
v
получаем
t0
v2  u 2
u2

1 2 ,
t1  t2
v2
v
то есть в безветренную погоду на перелет потребуется меньше времени.
Средняя скорость
l1  l2
2l
v2  u 2
.
vср 


t1  t2 l /  v  u   l /  v  u 
v
1. Найдены скорости полета в ветреную погоду – 1 балл.
2. Найдено полное время полета – 2 балла.
3. Сделан вывод об отношении времен полета – 3 балла.
4. Найдена средняя скорость – 4 балла.
9 КЛАСС
1. (10 баллов) Из точек А и В, находящихся на одной горизонтальной прямой,
одновременно бросили два камня с одинаковыми по
модулю скоростями v0  20 м/с. Один из них полетел
по навесной траектории, а другой по настильной и
каждый упал в точку старта другого камня. Известно,
что угол бросания камня из точки A составляет 75о.
Определите скорость одного камня относительно
другого.
Решение. Рассмотрим полет камня брошенного из точки А:
gt 2
2v sin 
,
 v0 sin   t   0  t  0
2
g
Расстояние между точками А и В равно:
v02 sin 2
L  tv0 cos  
 20 м.
g
Поскольку для камня, брошенного из точки В, можно аналогичным образом
записать
v02 sin 
L
,
g
мы получим, 2  2 , а поскольку    по условию задачи, то 2    2 , то
есть      / 2 .
Так как v1  v2 , и v1  v2  v0 , то вектор vотн есть диагональ квадрата, построенного
на векторах v1 и v2 . Поэтому vотн  2v0  28 м/с.
1. Получено условие 2  2 – 2 балл.
2. Показано, что      / 2 и v1  v2 – 3 балла.
3. Сделан вывод о том, что вектор относительной скорости – диагональ – 3
балла.
4. Получен ответ – 2 балла.
2. (10 баллов) Рычаг подвешен к системе блоков так, что
точки подвеса делят его в отношении a : b : c . Блоки, рычаг и нити
невесомы, трения нет. Каково отношение масс грузов m1 и m2 ,
если система находится в равновесии?
Решение. Пусть перекинутая через блоки нить натянута с
силой T . Тогда к рычагу приложены следующие силы: в точке А – направленная
вниз сила m1 g , в точке В – направленная вверх сила натяжения нити 2T , в точке
С – направленная вверх сила натяжения нити T , в точке D - направленная вниз
сила тяжести m2 g . Поскольку геометрическая сумма сил, действующих на рычаг,
должна быть равна нулю, получаем первое уравнение:
3T  m1 g  m2 g ,
из которого находим,
m g  m2 g
.
T 1
3
Запишем правило равновесия рычага относительно одной из точек,
например, относительно точки А:
2T  a  T   a  b   m2 g   a  b  c  .
Подставляя в это отношение значение T , находим
1
 m1  m2  ga   m1  m2  gb  m2 g   a  b  c  .
3
Отсюда
m1 2b  3c

.
m2 3a  b
1. Нарисован рисунок с изображением всех сил – 2 балла.
2. Записано условие равенства нулю суммы всех сил – 2 балла.
3. Записано условие равенства нулю моментов сил – 3 балла.
4. Решена система уравнений и получен ответ – 3 балла.
3. (10 баллов) В палатке, покрытой сверху шерстяными одеялами, пол застелен
теплонепроницаемым войлоком. Одинокий спящий индеец начинает мерзнуть в
палатке при уличной температуре воздуха t1  10o C . Два спящих индейца
начинают мерзнуть в этой палатке при уличной температуре воздуха t2  4o C .
При какой температуре воздуха t 0 индейцы начинают пользоваться палатками?
При какой температуре воздуха t3 в той же палатке станет холодно терм
индейцам? Считайте, что количество теплоты, теряемой палаткой в единицу
времени, пропорционально разности температур воздуха внутри и снаружи.
Решение: Индейцы начинают пользоваться палатками, когда начинают мерзнуть
на улице, то есть при температуре воздуха t 0 . Индейцам станет холодно в палатке,
когда температура в ней опуститься ниже t 0 .
Пусть N - тепловая «мощность» одного индейца, ti - температура уличного
воздуха, при которой в палатке станет холодно i индейцам, тогда уравнение
теплового баланса для палатки имеет вид
iN  k  t0  ti  ,
Где k - коэффициент, который зависит только от свойств палатки. Слева в
уравнении стоит суммарная тепловая мощность, а справа – мощность теплоотдачи
в окружающую среду. Запишем это уравнение конкретно для каждого случая:
N  k  t0  t1  ,
2N  k  t0  t2  ,
3N  k  t0  t3  .
Решая систему, находим,
t0  2t1  t2  16o C
t3  2t2  t1  2o C .
1. Записано уравнение теплового баланса в общем виде – 2 балла.
2. Записана система уравнений для каждого случая – 2 балла.
3. Найдена температура t 0 - 3 балла.
4. Найдена температура t3 - 3 балла.
4. (10 баллов) К источнику постоянного тока с
напряжением 4 В подключены согласно схеме два
одинаковых резистора по 10 Ом каждый и реостат,
сопротивление которого можно менять от 0 до 5 Ом. При
каком положении ползунка реостата мощность,
выделяемая на резисторе R1 максимальна? Каково ее
значение? Какая мощность выделяется в этом случае на резисторе R2 ?
Решение. Пусть r - сопротивление реостата. Общее сопротивление
параллельного участка
Rr
,
Rï àð 
Rr
напряжение на этом участке
URпар
U
U пар  I общ Rпар 

.
Rпар  R 2  R / r
Мощность, выделяемая на резисторе R1 :
P1 
2
U пар
,
R1
чем больше U пар , тем больше P1 , следовательно, максимум P1 достигается при
r  5 Ом (крайнее левое положение).
U2
P1max 
 0,1 Вт.
2
 2  R / rmax  R
На втором резисторе при этом P2 :
2
P2  I общ
R  0,9 Вт,
где I общ 
U
Rrmax
, Rобщ  Rпар  R , Rпар 
.
R  rmax
Rобщ
Найдено сопротивление параллельного участка – 1 балл.
Найдено напряжение на параллельном участке – 1 балл.
Найдена мощность, выделяемая на первом сопротивлении – 2 балла.
Сделан вывод о том, что максимальное значение мощности достигается
при максимальном значении сопротивления реостата – 2 балла.
5. Найдено значение мощности, выделяемой на первом сопротивлении – 2
балла.
6. Найдено значение мощности, выделяемой на втором сопротивлении – 2
балла.
1.
2.
3.
4.
10 КЛАСС
1. (10 баллов) Материальная точка движется по дуге окружности
v
радиуса R  1 м. Скорость точки меняется по закону v  0 , где
cos
v0  1 м/с. Найдите ускорение (по модулю) точки М в тот момент,
когда угол   60o .
Решение. Введем систему координат так, как показано на рисунке.
Получим
 v 
vx   0  cos   v0  const .
 cos  
Следовательно, ax  0 , то есть a  a y . Проекция вектора
ускорения на радиус СМ численно равна центростремительному
ускорению:
v2
a cos   ,
R
откуда:
v02
a
 8 м/c2.
3
R cos 
1. Сделан выбор системы координат и показано, что vx  const - 3 балла.
2. Сделан вывод ax  0 , a  a y - 3 балла.
v2
3. Получено выражение a cos  
- 3 балла.
R
4. найдено значение ускорения – 1 балл.
2. (10 баллов) Однородный цилиндр, установленный на
горизонтальной плоскости, толкают горизонтальной
палочкой так, что он медленно и поступательно скользит по
плоскости. Продолжая толкать цилиндр, палочку плавно
перемещают вверх. Движение цилиндра при этом не
изменяется. Когда расстояние от горизонтальной плоскости
до палочки становится равным удвоенному диаметру
цилиндра, он опрокидывается. Определить коэффициент трения цилиндра о
столешницу.
Решение. В момент начала опрокидывания, когда основание цилиндра
касается плоскости только в точке О, силы действующие на цилиндр будут:
сила тяжести mg ,
сила со стороны палочки F ;
сила реакции со стороны плоскости N ;
сила трения Fтр .
В проекциях на оси координат
N  mg ,
F  Fтр   mg .
Для моментов сил относительно оси, проходящей через точку О (с учетом того,
что моменты сил N и Fтр равны нулю):
Fh  mg
Из этих уравнений получаем:

С учетом того, что h  2D , получим
D
.
2
D
.
2h
  0,25 .
1. Сделан рисунок с учетом действующих в систем сил – 3 балла.
2. Записано уравнения в проекциях на оси координат для суммы сил – 2
балла.
3. Записано уравнение для моментов – 3 балла.
4. Решена система уравнений и получен ответ – 2 балла.
3. (10 баллов) Ученик, войдя в комнату объемом 170 м3, сделал выдох. Сколько
выдохнутых при этом молекул он однажды вдохнет после того, как воздух в
комнате перемешается? Объем вдоха (выдоха) 0,8 л, плотность воздуха 1,29 кг/м3,
а его молярная масса 29 г/моль.
Решение. Количество молекул в выдохе
V N
Nвыдох  легк A ,
M
где  - плотность воздуха, N A - постоянная Авогадро, M - молярная масса
воздуха. Концентрация выдохнутых молекул в комнате:
N
V N
n  выдох  легк A .
Vкомн
MVкомн
Тогда искомое количество молекул равно
2
Vлегк
NA
N  nVлегк 
 1017 .
MVкомн
1. Определено количество молекул при выдохе – 4 балла.
2. Получено выражение для концентрации молекул – 3 балла.
3. Получен конечный ответ – 3 балла.
4. (10 баллов) Нарисовать схему, состоящую из
батарейки, двух переключателей и трех лампочек и
имеющую
при
различных
положениях
переключателей следующие режимы работы:
5) Горит первая лампа;
6) Горит вторая лампа;
7) Горит третья лампа;
8) Горят все три лампы.
В последнем случае каждая из ламп должна гореть также ярко, как и тогда, когда
она горит одна.
Решение. Возможная схема подключения представлена на рисунке.
1. Режим переключения между двумя лампами – 2 балла.
2. Режим переключения между тремя лампами – 4 балла.
3. Режим параллельного включения трех ламп – 4 балла.
5. (10 баллов) На раскаленной плите стоит сосуд с кипящей водой (температура
tк  100о С ), начальная масса которого равна m0 . Вода испаряется, а часть пара
конденсируется на куске льда, расположенном над сосудом и стекает обратно.
Начальная масса льда m , а его начальная температура t0  0о С . Когда весь лед
растаял, масса воды в сосуде оказалась равной m1 . Какая доля w от всего пара
конденсировалась на куске льда? Какое количество теплоты было передано от
плиты к сосуду? Доля конденсирующегося пара все время постоянна. Удельная
теплоемкость воды равна С , удельная теплота плавления льда равна  , удельная
теплота парообразования воды равна r . Контактным теплообменом воды и льда с
окружающей средой пренебречь.
Решение. Найдем долю сконденсировавшегося пара. Пусть m - масса
воды, испарившейся из сосуда. При этом масса пара wm сконденсировалась на
куске льда и стекла затем вниз вместе с талой водой, получившейся при таянии
льда. Следовательно,
m1  m0  m  m  wm
и
m  m  m1
.
m  0
1 w
При конденсации и охлаждении до температуры плавления льда пар отдает
количество теплоты
w
,
 r  Ctк  wm   r  Ctк   m0  m  m1 
1 w
а лед получает количество теплоты  m . Отсюда
w
 m ,
 r  Ctк   m0  m  m1 
1 w
m
w
.
 m   r  Ctк   m0  m  m1 
Переданное от плиты к сосуду количество теплоты Q пошло на превращение в
пар массы воды
1  w m  m0  m  m1 ,
которая не сконденсировалась, а также на плавление льда массой m и нагревание
талой воды от температуры плавления до температуры кипения. Поэтому
Q  r  m0  m  m1    m  Cmtк .
1. Получено выражение для массы испарившейся воды – 2 балла.
2. Определено количество теплоты при конденсации и охлаждении пара – 2
балла.
3. Записано уравнение теплового баланса – 3 балла.
4. Получено выражение для w - 1 балл.
5. Получено выражение для количества теплоты – 2 балла.
11 КЛАСС
1. (10 баллов) В открытой прямоугольной коробке сидит
кузнечик, который умеет прыгать со скоростью V0  3 м/с под
любым углом к горизонту. На какой минимальный угол нужно
наклонить коробку, чтобы кузнечик мог из нее выпрыгнуть?
Считать, что каждая грань коробки является квадратом со
стороной h  52 см. Ускорение свободного падения g  10
м/с2. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение: Выберем координатные оси X и Y, как показано на рисунке. Тогда
в момент tп преодоления кузнечиком края коробки
проекция его скорости на ось Y должна быть равна
нулю, а координата y  h , и можно записать
следующие соотношения:
V0 y  a ytп  0 ,
V0 ytп 
где a y   g cos и V0 y
a ytп2
h,
2
- проекция векторов ускорения и
начальной скорости кузнечика на ось Y. Отсюда h 
V02y
. При фиксированных
2 g cos
значениях угла  и начальной скорости V0 максимальная высота над дном
коробки достигается при V0 y  V0 , то есть кузнечику следует прыгать
перпендикулярно дну коробки. При этом
V02y
V02y
cos  
 0,87 ,   arccos
 30o .
2 gh
2 gh
Вдоль оси X за время tп
axtп2
сместиться на расстояние l 
, где ax  g sin  .
2
V02 sin 
 30 см. Таким образом, размеры дна коробки достаточно
Отсюда l 
2 g cos 2 
велики, чтобы кузнечик мог стартовать на нужном удалении от стенок.
1. Правильный выбор системы координат – 1 балл.
2. Найдена максимальная высота – 1 балл.
3. Сделан вывод о том, что скорость должна
перпендикулярно дну коробки – 2 балла.
4. Получено выражение для угла  – 2 балла
5. Определено значение угла – 2 балла.
6. Проведена оценка размеров коробки – 2 балла.
быть
направлена
2. (10 баллов) Тележка с водой движется по
горизонтальной поверхности с постоянным ускорением.
На тележку под углом  к вертикали падает луч света,
который после отражения распространяется под углом 
к вертикали (направления ускорения тележки и лучей
показаны на рисунке). Найдите ускорение a тележки.
Ускорение свободного падения g .
Решение. Из закона отражения света вытекает,
что нормаль к свободной поверхности воды направлена
 
под углом  
к вертикали.
2
Следовательно, свободная поверхность воды наклонена
под этим углом к вертикали. Рассмотрим слой воды массой m на свободной
поверхности. Запишем для него второй закон Ньютона в проекции на плоскость,
касательную к этой поверхности:
mg sin   ma cos .
отсюда
 
.
a  g tg   g tg
2
1. Выполнен рисунок – 3 балла.
2. Применен закон отражения и получено выражение для угла между
нормалью и вертикалью – 2 балла.
3. Записан второй закон Ньютона – 3 балла.
4. Получено выражение для ускорения – 2 балла.
3. (10 баллов) Цикл тепловой машины состоит из двух изобар и двух изотерм, при
этом работа при изобарическом расширении такая же, как и при изотермическом.
Найдите КПД такого цикла, если рабочим веществом является гелий, а
максимальная температура в процессе вдвое больше минимальной.
Решение. Цикл представлен на pV-диаграмме: 1-2 и
3-4 – изобары, 2-3 и 4-1 – изотермы. КПД цикла равен
отношению совершенной в цикле работы к полученному
на участке 1-2-3 количеству теплоты.
Рассчитаем работу на различных участках цикла.
Обозначим работу на участке 1-2 через A12  A ; тогда для
работы на участке имеем A23  A . Для расчета работы на
участке 3-4 учтем, что в силу условия задачи T2  T3  Tmax , T1  T4  Tmin , T3  2T4 ,
T
T
p1  p2 , p3  p4 . Поэтому V3  3 V4  2V4 , V2  2 V1  2V1 , p1V1  p4V4 ; отсюда
T4
T1
A34   p4 V3  V4    p4V4   p1V1   p1 V2  V1    A .
Для расчета работы на участке 4-1 заметим, что кривая 1-4 получается из
кривой 2-3 сжатием в два раза вдоль оси V , поэтому площади под кривыми 1-4 и
A
2-3 отличаются в два раза: A41   . Суммарная работа в цикле, таким образом,
2
равна
A A
A  A12  A23  A34  A41  A  A  A   .
2 2
Рассчитаем полученные газом количества теплоты на участках 1-2 и 2-3.
Сообщаемое газу количество теплоты идет на изменение его внутренней энергии,
3
которая для одноатомного гелия равна
pV , и на совершение работы:
2
3
5
Q12  p1 V2  V1   p1 V2  V1   A , Q23  A . Суммарное количество теплоты,
2
2
5
7
полученное на участке 1-2-3, равно Q123  Q12  Q23  A  A  A .
2
2
A 1
Следовательно, КПД цикла равен  
  14% .
Q123 7
1. Представлена pV-диаграмма цикла – 1 балл.
2. Получены выражения V3  2V4 , V2  2V1 , p1V1  p4V4 - 2 балла.
3. Определена работа на участке 3-4 – 2 балла.
4. Определено значение работы на участке 1-4 – 2 балла.
5. Определено количество теплоты в процессе – 2 балла.
6. Найдено КПД цикла – 1 балл.
4. (10 баллов) Резисторы, сопротивлениями R1  10
Ом, R2  20 Ом, R3  40 и R4  80 Ом припаяны к
клеммам A, B, C, D и E так, как показано на
рисунке. Имеется источник тока с ЭДС E  12 В и
внутренним сопротивлением r  5 Ом, а также
много соединительных проводов малого сопротивления, которые можно
подключать к источнику и к любой из клемм. Как нужно соединить источник и
резисторы, чтобы общая тепловая мощность, выделяющаяся на резисторах, была
максимальной? Чему равна эта мощность?
Решение. Искомая тепловая мощность N max
максимальна, когда сопротивление нагрузки равно
внутреннему сопротивлению источника r  5 Ом.
Это достигается с наибольшей точностью при
параллельном соединении всех резисторов, так что
16
их общее сопротивление R 
Ом  5,33 Ом, а
3
E2R
N max 
 7,19 Вт.
2
R

r


1. Определено условие максимума мощности – 1 балл.
2. Показано, что проводники должны быть соединены параллельно – 2
балла.
3. Представлено соединение проводников – 4 балла.
4. Найдена максимальная мощность – 3 балла.
5. (10 баллов) Участок гибкого провода массой m
подвешен так, что его концы закреплены на
одинаковой высоте. Провод находится в однородном
горизонтальном магнитном поле с индукцией B , и по
нему течет ток I . Силы, действующие на провод в
точках подвеса, образуют угол  с горизонтом.
Найдите силу T натяжения провода в нижней его
точке. Размеры L и h известны.
Решение. Обозначим нижнюю точку провода
через A , верхние точки – через B и C . Введем в
плоскости провода систему координат, направив ось
X вправо, ось Y – вверх; обозначим координаты точек
A и C как  x A ; y A  и  xС ; yС  .
Рассмотрим участок провода AC . На него
mg
, направленная влево сила T
2
натяжения нити в нижней точке A , направленная под углом  к горизонту сила
натяжения нити F и сила Ампера F магн . Запишем условия равновесия системы в
проекциях на оси X и Y :
Fxмагн  F cos  T  0
mg
Fyмагн  F sin  
 0.
2
Выражая из второго соотношения неизвестную величину F и
подставляя ее в первое уравнение, находим искомую силу натяжения нити:
 mg

T  Fxмагн  
 Fyмагн  ctg  .
 2

Для получения ответа остается найти компоненты силы Ампера F магн .
Рассмотрим маленький отрезок провода длиной l , составляющий угол  с
горизонтом и расположенный между точками с координатами  x; y  и
 x  x; y  y  , где x  l cos  , н  l sin  . На этот участок действует сила
действуют: направленная вниз сила тяжести
Ампера F магн , равная по модулю IBl и направленная под углом  к вертикали.
Эта сила имеет компоненты:
Fxмагн  F магн sin   IBl sin   IBy ,
Fyмагн  F магн cos    IBl cos    IBx .
Складывая силы Ампера, действующие на все малые отрезки участка АС провода,
находим:
Fxмагн  IB  yC  y A   IBh ,
L
Fyмагн   IB  xC  xA    IB .
2
Подставляя результат в формулу для силы натяжения провода, приходим к
ответу:
mg  IBL
T  IBh 
ctg  .
2
1.
2.
3.
4.
Определены силы, действующие на элемент провода – 2 балла.
Записано условие равновесия – 1 балл.
Найдены составляющие сила Ампера – 4 балла.
Получено выражение для силы натяжения – 3 балла.