Автор: ОУ: Аннотация к уроку:

Автор: Брагина Елена Леонтьевна
ОУ: МОУ лицей №7 города Томска
Аннотация к уроку:
Предлагаемый урок первый в разделе «Тригонометрия». На нем строиться
математическая модель периодических процессов - числовая окружность. С
помощью видеоряда периодических явлений природы и техники создается
проблемная ситуация и мотивируется необходимость появления новой
модели. Возможности ИКТ позволяют наглядно представить этапы
построения модели.
Предмет: алгебра и начала анализа.
Класс: 10
Тема урока: Числовая окружность как математическая модель
периодических процессов.
Цель урока: обоснование необходимости существования новой
математической модели и построение ее.
Задачи урока:
1. Формировать представление о роли математического моделирования в
деятельность математика.
2. Построение и изучение модели числовой окружности.
Учебно-методическое обеспечение:
А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 класс: в двух частях. Учебник
для образовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина,
2005.
Время реализации урока: 45 минут.
Авторский медиапродукт:
1. Среда, редактор: Microsoft PowerPoint 2007
2. Вид медиапродукта: наглядная презентация учебного материала.
Необходимое оборудование для урока: компьютер, проектор, экран.
План проведения урока.
№
п\п
1.
2.
3.
4.
5.
Этапы урока
Временная реализация
Понятие модели или что все-таки изучает
математика?
Создание проблемной ситуации.
Построение модели числовой окружности.
Работа с моделью.
Рефлексия. Нарисуйте время.
7 минут
5 минут
20 минут
8 минут
5 минут
Карта урока:
Название этапа
Время
(мин)
Развитие личностных качеств и
психологических процессов
Репродуктивные Продуктивные
формы
формы
деятельности
деятельности
1. Понятие модели или что все-таки изучает математика?
1.1
Озвучивание 1
проблемной ситуации. Что
все-таки
изучает
математика?
1.2 Выдвижение рабочих 2
гипотез


Внимание
Культура
поведения

Активное
слушание


Внимание
Культура
эмоций
Культура
поведения


Культура диалога
Умение
сформулировать и
отстоять точку
зрения
Умение слушать и
слышать
Интеграция
знаний
Аргументированно
сть выбора
решения




1.3 Понятие модели
2


Внимание
память
• Системность
• аналитичность
1.4 Ответ на проблемный
вопрос
2

Культура
эмоций

Аргументированно
сть выбора
решения
2. Создание проблемной
ситуации с помощью
видеоряда и
постановка цели
урока.
5




Внимание
Память
Культура
эмоций
Культура
поведения
Системность
Аналитичность
Рефлексивность
Самостоятельное
целеполагание
3. Построение модели числовой окружности.
3.1 Анализ примера «Бег
по стадиону»
3



3.2
Каким
соответствуют
окружности?
числам 5
точки
Внимание
Культура
эмоций
Культура
поведения
Память
Внимание
3.3 Что будет на втором
витке?
3
Память
Внимание
Культура
поведения
Самостоятельность
3.4 Движение в
отрицательном
направлении
3
Память
Внимание
Культура
поведения
Самостоятельность
3.5 Как отметить числа
1,2,3 и т.д.?
3
Память
Внимание
Культура
поведения
Культура эмоций
Самостоятельность
Аргументированность
Системность
Аналитичность
Системность
Аналитичность
Активное слушание
Способность
самостоятельного
планирования
Целеустремленность
Настойчивость
Восприимчивость к
новому
Альтернативность
мышления
Аналитичность
Аргументированность
Точность, уместность
и выразительность
речи
Активное слушание
Альтернативность
мышления
Альтернативность
мышления
Точность, уместность
и выразительность
речи
Активное слушание
Способность выделять
риски, преимущества,
3.6 Новый вид
определения.
3
Память
Внимание
Альтернативность
мышления
Активное слушание
4.Работа с моделью
5
Память
Внимание
Культура
поведения
Самостоятельность
Культура
поведения
Культура эмоций
Самостоятельность
Настойчивость
Ответственность
Внутренняя
дисциплина
5.Рефлексия.
время.
Нарисуйте 5
Рефлексия
Способность
самостоятельного
планирования
Ход урока.
1. Понятие модели или что все-таки изучает математика?
Миллионы старшеклассников ежегодно стоят на пороге выбора своей
будущей профессии. Многих из них увлечены математикой, интересуются
ею, достигают успехов в учебе и планируют сделать ее основой своей
будущей профессии. Так чем же занимаются математики, в чем суть их
работы? Какие специальные приемы и методы нужно освоить, чтобы
заниматься математикой?
Участие математических наук в жизни людей имеет свои особенности.
Известно, что ни один материальный предмет или система предметов, а так
же реально существующие связи и взаимодействия между ними не являются
объектами математического исследования.
Так чем же занимаются математики?
Выслушиваются варианты обучающихся. В ходе обсуждения возникает
понятие «модель». Учитель акцентирует на нем внимание. Просит
провести примеры моделей.
 Реальное здание – макет;
 Система кровообращения – схема на плакате;
 Серийный самолет - единичный самолет в аэродинамической
трубе
 Природное явление – фотография и т.п.
Во всех этих примерах имеет место замена одного объекта другим, при этом
какое-то свойство при замещении сохраняется.
Модель – это такой материальный или мысленно представляемый объект,
который в процессе изучения заменяет объект – оригинал, сохраняя
некоторые важные для данного исследования типичные его черты.
Хорошо построенная модель, как правило, более доступна для исследования,
чем реальный объект. Более того, некоторые объекты вообще не могут быть
изучены непосредственным образом (эксперименты с экономикой страны, с
прошлым, с планетами Солнечной системы).
Математическая модель – система соотношений, описывающих изучаемый
процесс с помощью математических средств: уравнений, таблиц, графиков,
схем, графов, геометрических построений, логических высказываний.
Итак, математики в своей профессиональной деятельности
 Исходя из реально существующих обстоятельств и
поставленных задач, строят математические модели.
 Изучают свойства математических моделей.
 Соотносят модели с реальной картиной мира.
2. Создание проблемной ситуации и постановка цели урока.
Демонстрируется слайд-презентация «Периодические процессы».
Задание учащимся: записать процессы и явления, демонстрируемые на
экране.
 Морские волны, прилив
 Вращение планет вокруг Солнца.
 Движение земли вокруг солнца.
 Смена времен года
 Смена дня и ночи.
 Вращение колеса, рулетка
 Вращение различных механизмов
 Маятник
 Биение сердца
 Колебания струны.
Проблемный вопрос: Что объединяет эти процессы и явления?
Это явления, повторяющиеся через определенные промежутки времени.
Это периодические процессы.
В чем задача математика при изучении периодических процессов.
Создать модель. Именно в этом состоит цель нашего урока.
3. Построение модели.
Координатная прямая (или две координатных прямых –координатная
плоскость) помогают описать многие процессы, развивающиеся
поступательно. Какая модель, по-вашему, подойдет для описания
вращательного движения? Скорее всего, окружность.
Бег по стадиону.
Бег по стадиону – пример повторяющегося движения. Попробуем описать с
помощью этого примера движение.
На стадионе есть место старта (начало отсчета). Его можно выбрать в любом
месте, но обычно его отмечают один раз, по договоренности.
Длина стадиона обычно 400 метров. Где нужно отметить место финиша при
забеге на 200 м, 500м, 1000м?
Нельзя отличить место финиша на 200 и 1000м. Одна и та же точка может
соответствовать разным числам.
А где нужно провести финишную черту марафонской дистанции 42км 195
метров? 105 кругов – это 42 км.
В каком направлении обычно бегают по стадиону? Против часовой стрелки.
Работа с презентацией 2 «Числовая окружность».
Для удобства выберем окружность единичного радиуса (слайд 2)
Отметим на ней начало отсчета (щелчок). Принято за начало отсчета
выбирать правый конец горизонтального диаметра (щелчок). Обозначим его
точкой 0 (щелчок).
Если мы хотим попасть на другой конец горизонтального диаметра, то мы
должны «пробежать» половину окружности (щелчок).
Чему равна длина этого пути? Длина всей единичной окружности 2𝜋, а
половина имеет длину π (щелчок).
Поставим в соответствие левому концу горизонтального диаметра число 𝜋
(расстояние пройденное точкой против часовой стрелки от начала отсчета)
Намечаем план дальнейшей работы.
Поделим окружность на четверти (слайд 4) и найдем числа
соответствующие точкам.
Разделим четверти еще раз пополам (слайд 6) и найдем числа
соответствующие точкам.
Разделим четверти на три части (слайды 7,8) и найдем числа
соответствующие точкам.
На числовой окружности числа 0 и 2𝜋 совпадают. Значит ли это. Что они
равны? На самом деле, окружность имеет много витков (слайд 9).
А можно дальше продолжить эту спираль? (слайд 10).
Какие точки будут на втором витке? (щелчок).
Точка бежит по окружности и останавливается на втором витке напротив
𝜋
числа .
4
𝝅
Какое число соответствует данной точке? (щелчок). + 𝟐𝝅
𝟒
(щелчок)
𝟗𝝅
𝟒
.
𝜋
3𝜋
2
4
Аналогичная работа проводиться с числами + 2𝜋;
+ 2𝜋; 3𝜋;
7𝜋
6
+ 2𝜋;
7𝜋
2
( через щелчок).
Обобщение. Одной точке на числовой окружности соответствует бесконечно
много чисел. Отличающихся друг от друга на 2𝜋 (слайд 11).
Почему мы движемся против часовой стрелки? ( обычно этот вопрос
возникает у учащихся)
Направление движения против часовой стрелки принято считать
положительным, а направление движения по часовой стрелки –
отрицательным. (Слайды 12,13,14,15,16)
Можно ли отметить числа 1.2.3 и т. д.?
Работа с определением числовой окружности.
(работа с текстом учебника) (слайд 17).
4. Работа с числовой окружностью.
Отметить на числовой окружности точки
97𝜋
𝑁(
6
),𝑀(
148𝜋
3
),𝐾( −
59𝜋
4
) , 𝐹 (−
63𝜋
4
).
5. Рефлексия.
Приглашаю к доске ученика и прошу нарисовать время.
Обычно рисуют циферблат часов либо окружность.
В этом состоит ошибка большинства людей. Они считают, что время
циклично. На самом деле оно линейно. Люди считают, что время будет
постоянно, а оно движется. Подумайте, стоит ли осуществлять чужие
желания, вместо того, чтобы двигаться к достижению собственных
целей.
Те, кто поставил цель стать математиком, ответьте на вопрос: чем же они
занимаются. Какую математическую деятельность мы осуществляли?
Достигли ли поставленной цели?
Список литературы.
1. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. -
М.:Знание, 1991
2. Мордкович А.Г. , Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс: в двух
частях. Учебник для образовательных учреждений (профильный уровень).
– М.: Мнемозина, 2007.
3. Ноздрачева Л.. Час свободы. Русский репортер №30-31.2010