Lekciya12

Лекция 12
Общие свойства стационарных состояний одномерного движения в случае непрерывного
спектра. Прохождение потенциальных барьеров
Рассмотрим теперь решения уравнения Шредингера, отвечающие непрерывному спектру
собственных значений. Эти решения не затухают при x   и, следовательно, не могут быть
нормированы на единицу. Поэтому постулат квантовой механики относительно вероятностной
интерпретации волновой функции таких состояний должен быть модифицирован. Действительно, чтобы величина | ( x, t ) |2 dx имела смысл вероятности обнаружить частицу в интервале
x  x  dx интеграл
 |  ( x, t ) |
2
dx по всему пространству должен равняться единице в любой
момент времени. Таким образом, величина | ( x, t ) |2 dx не имеет смысла вероятности, если волновая функция  является собственной функцией некоторого эрмитового оператора (в частности, оператора Гамильтона Ĥ ), относящейся к непрерывному спектру собственных значений.
Квадраты коэффициентов разложения волновых функций непрерывного спектра по собственным функциям любого оператора также не имеют смысла вероятностей, поскольку их сумма не
равна единице. Несправедлива в этом случае и формула для среднего значения, поскольку ее
вывод явно использует вероятностную интерпретацию волновой функции.
Очевидно, что в случае инфинитного движения вероятностное описание частицы в духе
постулата 1 в принципе невозможно. Действительно, если частица с конечной вероятностью
может находиться в любой точке бесконечно большого объема, то вероятность обнаружить ее в
любом конечном объеме должна быть равна нулю, то есть dw( x, t ) / dx  0 , даже если волновая
функция в этом объеме не равна нулю. Поэтому предположим, что в случае непрерывного спектра волновая функция  описывает не одну, а N   одинаковых частиц (или, как говорят,
поток частиц), каждая из которых дает вклад, равный единице, в расходящийся нормировочный
интеграл  |  |2 dx . Тогда, | ( x, t ) |2  Ndw( x, t ) / dx (причем правая часть этой формулы конечна,
так как N   , а dw( x, t ) / dx  0 ). Из этой формулы следует, что несмотря на то, что квадрат
волновой функции не имеет смысла вероятности, отношение квадратов значений волновой
функции в двух точках определяет отношение вероятностей обнаружить частицу в интервале
dx вблизи этих точек: | ( x1 , t ) |2 / | ( x2 , t ) |2 = dw( x1 , t ) / dw( x2 , t ) . Аналогично, коэффициенты
разложения волновой функции непрерывного спектра по собственным функциям оператора некоторой величины не определяют вероятности соответствующих собственных значений, но их
1
отношение имеет смысл отношения вероятностей обнаружить эти значения в результате измерений.
Из этого рассуждения очевидно также, что определенная с помощью волновой функции
непрерывного спектра  ( x, t ) величина
J ( x, t )  ( / 2mi)  ( x, t )  * ( x, t )  ( x, t ) * ( x, t ) 
(1)
имеет смысл не потока вероятности, а с точностью до знака определяет число частиц, прошедших в рассматриваемом состоянии за единицу времени через точку с координатой x в момент
времени t . Знак величины J (1) определяет направление движения частиц в потоке: знак «+» –
в положительном направлении оси x , знак «-» - в отрицательном. В трехмерном случае величина J определяет плотность потока частиц в каждой точке в любой момент времени.
В качестве примера рассмотрим несколько состояний свободных частиц:
1 ( x, t )  ei ( kx  t )
 2 ( x, t )  ei (  kx  t )
 3 ( x, t )  cos kx e  i t
1
1

 4 ( x, t )   eikx  e  ikx  e i t
3
2

Вычислим плотность потока в этих состояниях ( k  2m /  0 ,    / ) и обсудим физический смысл данных волновых функций?
Перечисленные волновые функции описывают стационарные состояния свободной частицы, поскольку все они являются собственными функция оператора Гамильтона свободной
частицы, отвечающие тому собственному значению  , которое входит во временную экспоненту. Поэтому в этих состояниях никакие наблюдаемые величины (и, в частности, отношение вероятностей обнаружить частицу в той или иной точке пространства) не зависят от времени. Таким образом, все данные волновые функции описывают стационарный поток свободных частиц
с определенной энергией.
Первая и вторая волновые функции являются также собственными функциями оператора
импульса, отвечающими собственным значениям p1  k  2m и p2   k   p1 , то есть описывают состояния с определенным импульсом p1 и p2 соответственно. Это значит, что при измерениях импульса частицы в первом состоянии будет получено единственное значение p1 , во
втором - p2 . Поэтому первая волновая функция описывает стационарный поток свободных ча2
стиц с определенной энергией, движущихся в положительном направлении оси x , вторая - в отрицательном, то есть описывают физические ситуации, когда источники частиц с определенной
энергией находятся на  и  соответственно. Вычисляя поток для первой и второй функции,
найдем, что
J1,2 ( x, t ) 
 
2mi

 1,2  
1,2  1,2
*
1,2
*
k
m
то есть через каждую точку в единицу времени в этих состояниях проходят k / m частиц (в положительном направлении оси x в первом состоянии, и в отрицательном - во втором).
Третья и четвертая волновые функции не являются собственными функциями оператора
импульса, а представляют собой суперпозицию состояний с импульсами p1  k  2m и
p2   k   p1 , то есть описывают стационарные потоки свободных частиц с определенной
энергией, создаваемые сразу двумя источниками, находящимися на  и  . Поскольку для
волновой функции  3 указанная суперпозиция имеет вид
cos kx 
1 ikx  ikx
e  e 
2
то в этом состоянии потоки источников, находящихся на  и  , соответственно равны
k / 4m и  k / 4m . Для состояния  4 потоки этих источников равны k / 9m и  k / 4m .
Эти утверждения подтверждаются и непосредственным вычислением потока для функций  3 и  4 : J 3  0 и J 4  5 k / 36m .
Знание плотности потока частиц в том или ином состоянии позволяет находить такие величины, как коэффициенты отражения и прохождения частиц через потенциальные барьеры.
Рассмотрим такой барьер, что:
U ( x)  
Гамильтониан частицы и стационарное уравнение Шредингера имеют вид:
d 2  2m
 2 ( E  U ( x)) = 0.
dx 2
pˆ 2
Hˆ =
 U ( x)
2m
(2)
Из асимптотики уравнения (2) при x  
  k 2  = 0
( k = 2mE /
2
) находим асимптотику решений
при x   :
 = Ceikx  De ikx
3
(3)
это решение представляет собой суперпозицию волн, распространяющихся в положительном и
отрицательном направлении оси x соответственно. Если рассматривать падение частиц на барьер из  , то при x   частиц, распространяющихся в отрицательном направлении оси x ,
не будет. Поэтому при такой постановке (частицы падают на барьер слева) второе слагаемое (3)
нужно отбросить. Поэтому берем D  0 .
при x   :
( x) = Aeikx  Beikx
(4)
первое слагаемое в этом решении - это падающая на барьер волна, бегущая направо; второе слагаемое - это отраженная волна, бегущая налево.
Все три коэффициента A , B , C однозначно связаны, поэтому существует некоторый произвол в выборе одного из них (так как всего произвольных постоянных в решении уравнения
второго порядка должно быть две, а одна постоянная уже фиксирована условием D  0 ); два
других выражают через него. Часто коэффициент A принимают равным 1, а B и C выражают
через него.
Плотность потока частиц в рассматриваемом состоянии:
i  *
 
J  Jx =
 *


2m 
x
x 
(5)
k
> 0  частицы движутся направо
m
k
J пад. =| A |2
>0
m
 k
=| B |2     частицы движутся налево
 m
J прош  j () =| C |2
J отраж.
Введём некоторые величины, которые характеризуют процесс прохождения барьеров и которые называются коэффициентами прохождения и отражения частицы от барьера.
Коэффициент прохождения D :
D=
J прош.
J пад.
В нашем случае:
| C |2
D=
| A |2
Коэффициент отражения R :
4
R=
J отр.
J пад.
В нашем случае:
R=
| B |2
| A |2
Эти величины однозначно определяются волновой функцией (3), (4), даже при том, что
сама волновая функция определена с точностью до произвольного множителя A (он сокращается в этих формулах).
Нетрудно показать, что из уравнения Шредингера следует, что
R  D =1
(6)
Для доказательства рассмотрим произвольное стационарное состояние непрерывного
спектра  :
 = e
i
Et
Для этого состояния выполнено уравнение непрерывности:
 |  |2
 divJ = 0
t
член с производной по времени уходит ввиду независимости полной вероятности от времени,
поэтому:
J x
= 0  J = const 
x
J ( x  )  J ( x  )
подставляя выражение для плотностей потоков вероятности, получим:
| C |2
k
k
 k
=| A |2
 | B |2   
m
m
 m
получаем:
| C |2 =| A |2  | B |2
откуда и следует утверждение (6).
Из проведенного рассмотрения ясно, как находить коэффициенты отражения и прохождения. Для этого надо решить уравнение Шредингера с граничными условием (3), (4). Из этого
решения найти коэффициенты A, B, C, из них – коэффициенты отражения от барьера и прохождения через барьер.
5
В качестве примера давайте найдем для ряда решений уравнения Шредингера коэффициенты отражения и прохождения. Итак, пусть имеются решения уравнения Шредингера со следующими асимптотиками:
(1/ 2) exp(ikx)  (1/ 3) exp( ikx),
а) 1 ( x)  
 5 / 36 exp(ikx),
x  
(1/ 4) exp(ikx),
б)  2 ( x)  
 (1/ 2) exp(ikx)  exp(ikx),
x  
x
x
x  
(1/ 2) exp(ikx),
в) 3 ( x)  
 (3/ 4) exp(ikx)  (1/ 4) exp( ikx), x  
Каков физический смысл этих решений? Используя приведенные асимптотические выражения
для решений найти коэффициенты прохождения и отражения частиц от потенциала.
Функция 1 описывает падение частиц на потенциал слева. Используя определения коэффициентов отражения и прохождения, находим
R
4
9
D
5
9
Отметим, что R  D  1 .
Функция  2 не может являться асимптотическим представлением никакого решения
уравнения Шредингера, поскольку поток при x   ( J  k /16m ) не равен потоку при x  
( J  3 k / 4m ), а поток не должен зависеть от координат.
Для состояния c волновой функцией  3 коэффициенты прохождения и отражения могут
быть найдены из следующих соображений. Поскольку в области x   отсутствует волна,
распространяющаяся в направлении  , то поток частиц, падающих на потенциал слева и отраженных от него, и поток частиц, падающих на потенциал справа и прошедших его, должны
равняться друг другу (только в этом случае их интерференция может привести к исчезновению
потока). Но поток частиц, падающих на потенциал слева есть J  k / 4m . Поэтому от потенциала отразятся R k / 4m частиц. Аналогично область действия потенциала пройдут D k /16m частиц из потока, падающего на потенциал справа. Поэтому коэффициенты отражения и прохождения удовлетворяют системе уравнений
R  D  1

 R D
 4  16
Решая эту систему, найдем R  1/ 5 , T  4 / 5 .
6