МАТЕМАТИКА

УРАЛЬСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ
КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИКИ
МАТЕМАТИКА
Рабочая учебная программа дисциплины
Для очного отделения специальности 030501.65 «Юриспруденция»
Составитель:
И.Л. Хмельницкий,
к.ф.-м.н., доцент
Екатеринбург
2009
Раздел 1. ВВЕДЕНИЕ
Выписка из: Государственный образовательный стандарт высшего
профессионального
образования,
специальность
030501.65
–
«Юриспруденция».
ЕН. Общие математические и естественнонаучные дисциплины
ЕН.Ф.00 Федеральный компонент
ЕН.Ф.02 Информатика и математика
Аксиоматический метод, основные структуры, составные структуры,
вероятности…
Современная
наука
характеризуется
широким
внедрением
математических методов в самые разнообразные области знаний. В настоящее
время эти методы все глубже проникают не только в естественные, но и
в такие, на первый взгляд, далекие от математики науки, как социология,
история, лингвистика и т.д. Роль математики в естественных и гуманитарных
науках объясняется прежде всего тем, что она позволяет использовать весьма
общие и достаточно четкие модели для изучения наиболее существенных
сторон рассматриваемых явлений. Важное прикладное значение имеют теория
вероятностей и основанная на ней математическая статистика.
Цели и задачи изучения дисциплины:
1. знакомство студентов с аксиоматическим методом построения
математических теорий, с важнейшими математическими структурами;
2. знакомство с методами строгих математических доказательств, основанными
на законах математической логики, развитие навыков математического
мышления;
3. знакомство с основами теории пределов;
4. углубленное изучение теории дифференциального и интегрального
исчислений и ее применения для решения практических задач;
5. знакомство с основами матричного исчисления и методами решения систем
линейных уравнений;
6. знакомство с основами теории вероятностей и математической статистики,
их применением на практике;
Теоретическое и практическое значение курса:
1. Изучение сущности аксиоматического метода, метод строгих
математических рассуждений, основанных на законах математической логики,
играют важную роль в образовании студента-юриста, так как способствуют
повышению профессионального уровня будущего специалиста.
2. Знание основ математического анализа, линейной алгебры, теории
вероятностей и математической статистики является важным элементом общей
культуры специалиста, способствует успешному изучению смежных дисциплин
учебного плана.
1
В результате изучения курса «Математика» студент должен:
1. Знать этапы развития математики, понимать роль математики в
естественно-научных,
инженерно-технических
и
гуманитарных
исследованиях.
2. Знать сущность аксиоматического метода построения математических
теорий,
уметь
практически
использовать
дедуктивные
методы
доказательств.
3. Знать основы теории множеств и математической логики, теории пределов,
дифференциального и интегрального исчислений, основы матричного
исчисления и методы решения систем линейных уравнений, основы теории
вероятностей и математической статистики и уметь применять эти знания
для решения практических задач.
Раздел 2. Структура учебной дисциплины
№
1.
Формы
обучения
очное
Лекци
и
20
Практические КСР Самостоятель
занятия
ная работа
32
52 8
70
Всего
часов
130
Раздел 3. Тематический план учебной дисциплины
Наименование
разделов и тем
Введение
Раздел
1.
Основы
теории множеств и
математической логики
Тема 1.1. Множества.
Бинарные отношения.
Отображения.
Тема
1.2.
Логика
высказываний.
Тема
1.3.
Логика
предикатов
КСР
Контрольная работа по
разделу 1
ИТОГО по разделу 1
Раздел 2. Функции
одной и нескольких
переменных
Количество часов
Лекции
Практич.
занятия
КСР
1
Самостоя
тельная
работа
2
Всего
часов
по
теме
3
3
2
8
13
1
2
4
7
1
2
4
7
2
2
2
5
8
2
2
2
16
31
Тема 2.1. Функции
одной переменной и их
свойства
Тема 2.2. Числовые
последовательности
Тема 2.3. Предел и
непрерывность
функции
одной
переменной
Тема 2.4. Производная
и дифференциал
Тема 2.5. Интегральное
исчисление функций
одной переменной
Тема 2.6. Функции
нескольких
переменных
КСР
Контрольная работа по
разделу 2
ИТОГО по разделу 2
Раздел 3. Матрицы.
Определители.
Системы
линейных
уравнений
Тема 3.1. Матрицы
Тема 3.2.
Определители
Тема 3.3. Системы
линейных уравнений
КСР
Контрольная работа по
разделу 3
ИТОГО по разделу 3
Раздел
4.
Основы
теории вероятностей и
математической
статистики
Тема 4.1.
Элементарные понятия
теории вероятностей.
Классическое
определение
вероятности события
1
1
4
6
1
1
3
5
1
2
4
7
1
2
4
7
1
2
4
7
1
2
4
7
2
2
2
6
12
1
2
2
23
43
1
3
5
1
1
3
5
1
2
4
7
2
2
1
3
5
1
2
3
1
2
10
20
4
7
Тема 4.2. Теоремы
сложения и умножения
вероятностей
Тема 4.3. Дискретные
случайные величины.
Закон распределения,
числовые
характеристики
Тема 4.4. Непрерывные
случайные величины.
Функция
распределения,
плотность вероятности,
числовые
характеристики
Тема
4.5.
Основы
математической
статистики
КСР
Контрольная работа по
разделу 4
ИТОГО по разделу 4
ИТОГО
ПО
ДИСЦИПЛИНЕ
1
1
3
5
1
1
4
6
1
1
4
6
1
1
4
6
2
2
1
1
5
7
2
19
33
20
32
8
70
130
Раздел 4. Содержание дисциплины
Содержание лекционного курса
Введение. Этапы развития математики. Современный взгляд на
математику. Дедуктивный характер математики. Аксиоматический метод.
Математическое моделирование. Математизация естественных и гуманитарных
наук.
Литература: [1], [2], [10]
Раздел 1. Основы теории множеств и математической логики.
Тема 1.1.
Понятие множества. Способы задания множеств. Равенство множеств.
Включение множеств. Операции над множествами и их свойства.
Декартово произведение множеств. Бинарное отношение на множестве.
Рефлексивные, симметричные, транзитивные, антисимметричные бинарные
отношения. Отношение эквивалентности, разбиение множества на классы
эквивалентности. Отношение порядка.
Отображение множеств. Типы отображений. Эквивалентные множества.
Понятие мощности множества. Счетные множества. Несчетность множества
действительных чисел. Континуальные множества.
4
Литература: [2], [4], [10],[12], [17].
Тема 1.2.
Понятие высказывания. Операции над высказываниями. Формулы
логики высказываний. Равносильные, тождественно истинные и тождественно
ложные формулы. Законы логики высказываний.
Литература: [2], [10], [17].
Тема 1.3.
Понятие предиката. Область истинности предиката. Действия над
предикатами. Кванторы всеобщности и существования. Формулы логики
предикатов, равносильные формулы логики предикатов. Законы логики
предикатов.
Литература: [2], [10], [17].
Раздел 2. Функции одной и нескольких переменных.
Тема 2.1.
Определение функции одной переменной. Способы задания функции.
График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
Понятие сложной функции. Элементарные функции.
Литература: [1],[2], [4],[7],[10], [14].
Тема 2.2.
Определение числовой последовательности, определение предела
последовательности.
Свойства
сходящихся
последовательностей.
Ограниченные последовательности. Связь между ограниченными и
сходящимися последовательностями. Бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности, связь между ними. Монотонные последовательности.
Число е.
Литература: [1],[2], [4], [7],[10].
Тема 2.3.
Определение предела функции в точке, предела функции в
бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между
ними. Арифметические свойства пределов, предел элементарной функции.
Неопределенности в теории пределов. Первый и второй замечательные
пределы. Определение функции, непрерывной в точке. Односторонние пределы
и односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их классификация. Свойства
функций, непрерывных на отрезке.
Литература: [1], [2], [4], [7], [10], [14].
Тема 2.4.
Определение производной функции в точке, ее механическая,
геометрическая интерпретации. Основные правила дифференцирования.
5
Производные простейших элементарных функций. Дифференциал функции и
его применение для приближенных вычислений. Производные высших
порядков. Монотонность функции на интервале, признак монотонности.
Экстремум функции, признаки существования экстремума. Асимптоты графика
функции. Схема исследования функции и построения ее графика с помощью
производных. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Литература: [1], [2], [4], [7], [10], [14].
Тема 2.5.
Первообразная и неопределенный интеграл. Неопределенные интегралы
простейших элементарных функций. Замена переменной в неопределенном
интеграле. Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Приложения определенного интеграла. Понятие несобственного интеграла по
бесконечному промежутку.
Литература: [1], [2], [4], [7], [10].
Тема 2.6.
Понятие функции нескольких переменных. График функции двух
переменных. Предел и непрерывность функции двух переменных. Частные
производные и дифференциал. Приближенные вычисления с помощью
дифференциала. Экстремум функции двух переменных, признаки
существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции,
непрерывной на ограниченном замкнутом множестве.
Литература: [1], [2],[4], [7].
Раздел 3. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений.
Тема 3.1.
Понятие матрицы, числовые матрицы. Сложение матриц, умножение
матрицы на число, умножение матриц. Свойства операций над матрицами.
Единичная матрица, обратная матрица к данной матрице.
Литература: [1], [2], [4], [7], [10], [18].
Тема 3.2.
Определители второго и третьего порядков. Свойства определителей.
Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке
(столбцу). Определители n-ого порядка. Условие существования обратной
матрицы, формула для вычисления обратной матрицы.
Литература: [1], [2], [4], [7], [10], [18].
Тема 3.3.
Понятие системы линейных уравнений. Решение системы линейных
уравнений. Формулы Крамера для решения системы n линейных уравнений с n
неизвестными. Равносильные системы линейных уравнений. Элементарные
преобразования системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения системы
линейных уравнений.
6
Литература: [1], [2], [4], [7], [10], [18].
Раздел 4. Основы теории вероятностей и математической статистики.
Тема 4.1.
Элементы комбинаторики. Правила суммы и произведения.
Размещения, перестановки и сочетания, формулы для подсчета их числа.
Понятие случайного события. Достоверное и невозможное события,
противоположные события. Полная группа событий, элементарные исходы.
Классическое определение вероятности. Примеры решения задач.
Литература: [2],[3],[8], [15], [17].
Тема 4.2.
Сумма и произведение событий. Вероятность суммы несовместных
событий. Общая формула сложения вероятностей. Условная вероятность.
Вероятность произведения событий. Формула полной вероятности. Формула
Байеса. Формула Бернулли.
Литература: [2],[3],[8], [15].
Тема 4.3.
Определение случайной величины. Дискретные случайные величины.
Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения
дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия,
среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.
Биномиальное распределение, распределение Пуассона.
Литература: [2],[3],[8], [15].
Тема 4.4.
Определение
непрерывной
случайной
величины.
Функция
распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины, их
свойства. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое
отклонение непрерывной случайной величины. Равномерное распределение,
нормальное распределение и его параметры.
Литература: [2],[3],[8], [15].
Тема 4.5.
Предмет математической статистики. Задачи математической
статистики. Выборочный метод, генеральная совокупность, случайная выборка.
Репрезентативность выборки. Понятие точечной и интервальной оценок.
Доверительная вероятность, доверительные интервалы для математического
ожидания и дисперсии случайной величины.
Литература:[2],[3], [8], [16].
7
Планы практических занятий
Занятие 1. Множества. Операции над множествами, их свойства.
Бинарные отношения на множестве, их свойства. Отношение эквивалентности
и разбиение множества. Отображение множеств. Виды отображений.
Эквивалентные множества.
Литература: 2, [13], [17].
Занятие 2. Высказывания. Операции над высказываниями. Формулы
логики высказываний. Законы логики высказываний.
Литература: [13], [17].
Занятие 3. Предикаты. Область истинности предиката. Действия над
предикатами. Кванторы всеобщности и существования.
Литература: [13], [17].
Занятие 4. Контрольная работа по разделу 1.
Занятие 5. Функции. Основные элементарные функции, их свойства и
графики. Числовые последовательности. Предел последовательности. Свойства
сходящихся последовательностей. Бесконечно малые и и бесконечно большие
последовательности. Раскрытие неопределенностей.
Литература: [2],[4],[5],[7],[9],[10], [11],[14].
Занятие 6.
Предел функции в точке и в бесконечности. Первый и второй
замечательные пределы. Раскрытие неопределенностей. Непрерывные
функции. Точки разрыва.
Литература: [1], [2],[4],[5],[7],[9],[10], [11],[14].
Занятие 7. Производная функции. Основные правила и формулы
дифференцирования. Интервалы монотонности
и точки экстремума.
Исследование функций с помощью производных.
Литература: [1], [2],[4],[5],[7],[9],[10], [11],[14].
Занятие 8. Первообразная и неопределенный интеграл. Формулы
интегрирования. Понятие определенного интеграла. Формула НьютонаЛейбница. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.
Литература: [1], [2],[4],[5],[7],[9],[10], [11].
Занятие 9. Функция нескольких переменных. Частные производные,
экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения
функции двух переменных.
Литература: [1], [2],[4],[5],[7],[9],[10], [11].
8
Занятие 10. Контрольная работа по разделу 2.
Занятие 11. Матрицы. Операции над матрицами и их свойства.
Определители второго и третьего порядков. Свойства определителей.
Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-ого порядка. Обратная
матрица, вычисление обратной матрицы.
Литература: [1], [2],[4],[5],[7],[9],[10], [11], [18].
Занятие 12. Системы линейных уравнений. Формулы Крамера для
решения системы n линейных уравнений с n неизвестными. Элементарные
преобразования системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
Литература: [1], [2],[4],[5],[7],[9],[10], [18].
Занятие 13. Правила суммы и произведения. Размещения, перестановки и
сочетания. Классическое определение вероятности, решение задач.
Литература: [2],[3],[6], [8],[15], [17].
Занятие 14. Сумма и произведение событий. Теоремы сложения и
умножения вероятностей.
Дискретные случайные величины. Закон распределения. Математическое
ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
Литература: [2],[3],[6],[8],[15].
Занятие 15. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и
плотность вероятности. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной
случайной величины.
Предмет математической статистики. Точечные и интервальные оценки
математического ожидания и дисперсии случайной величины по данной
выборке.
Литература: [2],[3],[6], [8],[15],[16].
Занятие 16. Контрольная работа по разделам 3 и 4.
Раздел 5. Формы контроля и отчетности
1. Внутрисеместровая аттестация проводится два раза в семестр. Первая
аттестация проводится после 6 недель работы в семестре. Студент
аттестуется положительно, если им набрано в сумме не менее 13 баллов
по всем видам учебной деятельности, указанным в технологической
карте.
Вторая аттестация проводится после 12 недель работы в семестре.
Студент аттестуется положительно, если им набрано в сумме не менее 26
баллов.
2. Итоговая контрольная работа проводится в сессионный период. На ее
выполнение отводится два часа. Итоговая контрольная работа содержит,
9
как правило, два теоретических вопроса и 4 задачи (по одной из каждого
раздела учебной программы) и оценивается в 20 баллов. Положительная
оценка за итоговую контрольную работу выставляется, если студент
набрал за ее выполнение не менее 10 баллов.
3. Критерии итоговой оценки работы студента:
75 баллов и более – «отлично»
65-74 балла – «хорошо»
50-64 балла – «удовлетворительно»
менее 50 баллов - «неудовлетворительно».
Вопросы для подготовки к экзамену
1. Понятие множества. Равенство множеств. Включение множеств.
2. Операции над множествами и их свойства.
3. Декартово произведение множеств. Бинарное отношение на множестве.
Типы бинарных отношений.
4. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности, их свойства.
Разбиение множества на классы эквивалентности.
5. Отображение множеств. Типы отображений. Эквивалентные множества.
6. Счетные множества. Примеры счетных множеств. Несчетность множества
действительных чисел.
7. Понятия высказывания. Операции над высказываниями.
8. Формулы логики высказываний. Равносильные формулы. Законы логики
высказываний.
9. Понятие предиката. Область истинности предиката. Действия над
предикатами.
10.Кванторы всеобщности и существования. Законы логики предикатов.
11.Понятие функции одной переменной. Основные элементарные функции.
12.Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.
13.Ограниченные последовательности. Связь между сходящимися и
ограниченными последовательностями.
14.Бесконечно малые последовательности и их свойства. Бесконечно большие
последовательности. Связь между бесконечно малыми и бесконечно
большими последовательностями.
15.Монотонные
последовательности.
Монотонные
ограниченные
последовательности. Число е.
16.Предел функции в точке. Арифметические свойства пределов. Предел
элементарной функции.
17.Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними.
18.Первый и второй замечательные пределы.
19.Функция, непрерывная в точке. Односторонние пределы. Точки разрыва
функции и их классификация.
20.Производная функции в точке, ее механическая и геометрическая
интерпретации.
21.Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.
10
22.Основные формулы дифференцирования.
23.Монотонность функции на интервале. Признаки монотонности.
24.Экстремум функции. Необходимый и достаточный признаки существования
экстремума.
25. Понятие асимптоты графика функции, уравнения вертикальной и наклонной
асимптот.
26.Схема исследования функции и построения графика.
27.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
28.Дифференциал функции. Приближенные вычисления с помощью
дифференциала.
29.Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование простейших
элементарных функций. Замена переменной в неопределенном интеграле.
30. Понятие
определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Нахождение площади плоской функции с помощью определенного
интеграла.
31.Понятие функции нескольких переменных. График функции двух
переменных. Линии уровня. Частные производные. Дифференциал, его
применение для приближенных вычислений.
32. Экстремум функции двух переменных. Необходимый и достаточный
признаки существования экстремума.
33. Понятие матрицы. Операции над матрицами и их свойства.
34.Определители второго и третьего порядков. Свойства определителей.
35.Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя n-ого
порядка по строке (столбцу).
36.Единичная матрица. Матрица, обратная к матрице А. Формула для
вычисления обратной матрицы.
37.Система линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений.
Формулы Крамера.
38. Равносильные
системы
линейных
уравнений.
Элементарные
преобразования системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
39.Правила суммы и произведения в комбинаторике. Размещения,
перестановки, сочетания, формулы для вычисления их числа.
40. Понятие случайного события. Элементарные исходы. Классическое
определение вероятности события.
41. Сумма и произведение событий. Несовместные события. Вероятность
суммы несовместных событий.
42. Независимые и зависимые события. Теорема умножения вероятностей.
43.Формула полной вероятности. Формула Байеса.
44.Формула Бернулли.
45.Понятие дискретной случайной величины. Закон распределения.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
46.Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения и ее
свойства. Плотность вероятности, ее свойства.
47.Математической ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
48.Равномерное распределение, нормальное распределение.
11
49.Предмет математической статистики. Выборочный метод, генеральная
совокупность, случайная выборка.
50.Понятие точечной и интервальной оценок. Доверительные интервалы для
математического ожидания и дисперсии случайной величины.
Примеры задач, предлагаемых на контрольных работах и экзамене.
1. Доказать, что для множеств А, В, и С имеет место равенство
А\
(В  C )  А  В   ( А \ С )
2. Доказать, что для любых множеств А и В условие А  В  А выполнено
тогда и только тогда, когда А  В .
3. На множестве А= 1,2,3 задать бинарное отношение так, чтобы оно было
рефлексивно, симметрично, транзитивно и не антисимметрично.
4. На множестве целых чисел задано бинарное отношение  : х, y    тогда и
только тогда, когда x  y  2 . Является ли это отношение рефлексивным,
симметричным, транзитивным, антисимметричным?
5. Доказать что объединение и разность двух симметричных бинарных
отношений являются симметричными бинарными отношениями.
6. На множестве А всех действительных чисел, отличных от нуля, задано
бинарное отношение  : x, y    тогда и только тогда, когда xy  0.
Доказать, что  есть отношение эквивалентности и построить
соответствующее разбиение множества А на классы эквивалентности.
7. Является ли отображение f множества всех действительных чисел в
множество положительных действительных чисел, заданное правилом f x  =
x 2 +6 x +10, сюръективным, инъективным?
8. Построить отображение f отрезка  -1,1  в отрезок  0,1  так, чтобы оно
удовлетворяло условиям:
а) f инъективно, но не сюръективно;
б) f сюръективно, но не инъективно;
с) f не инъективно и не сюръективно;
д) f биективно
9. Комиссар полиции получил следующие донесения относительно
совершенного преступления:
1. Если преступник - сотрудник отдела, то преступление совершил Смит и
кража произошла в обеденный перерыв;
2. Если преступник не является сотрудником отдела, то кража произошла
не в обеденный перерыв и ящик с ключом от сейфа был открыт;
3. Если преступник не является сотрудником отдела и ящик с ключом от
сейфа был открыт, то преступление совершил Смит или кража произошла в
обеденный перерыв.
Проанализировав донесения, комиссар пришел к выводу о виновности Смита.
Докажите, что комиссар сделал правильный вывод.
12
10. Докажите, что формула логики высказываний ((А  В )  (В  С))  (А  С)
является тождественно истинной формулой.
11. Найти область истинности предиката Р ( x ), определенного на множестве
натуральных чисел, где Р ( x ): « x  3  x 2  x  20 ».
12. Найти истинностные значения высказываний
xyРx, y , xyРx, y  ,
yxРx, y  , yxРx, y  , где Р( x, y ): « x  y » - предикат, определенный на
множестве натуральных чисел.
13. Дана функция f ( x )= - x 2  2 x  3 . Построить график y=f( x ), y= f x  . При
каких значениях параметра a , уравнение f x  = a имеет четыре корня?
x3
. Построить ее график; решить неравенство f x   1 ;
x5
решить уравнение f x  1  2
14. Дана функция f x  
15. Построить график функции f x   1  log 2 x  1
16. Показать, используя определение предела последовательности, что
последовательность xn  , где xn =
n
1
, сходится к числу .
2n  1
2
17. Показать, используя определение предела последовательности, что
последовательность xn  , где xn  n  1 - n , cходится к числу 0.
3n 2  n  1
18. Найти предел последовательности xn  , где xn 
1  4n  7 n 2
19. Найти предел последовательности xn  , где xn  4n 2  n  1 -2 n .
n  3
20. Найти предел последовательности xn  , где xn  

 n 1 
x 2  10 x  9
21. Найти lim 2
x  1 2 x  3 x  1
x 2  36
22. Найти
2n 5
lim
x  19  5
x
sin 2
2
23. Найти lim
xtg
3
x
x0
sin x
24. Найти lim
x  x  
 2 x  1 если x  2
25. Пусть f x   
2
  x  ax  3, если x  2
x6
Найти значение числа a , для которого функция f ( x ) будет непрерывной в
точке x =2.
26. Используя определение производной, найти производную функций
f( x )=
1
,
x2
g( x )= 2 x
27. Найти производную функции f( x )=
x
3

 tg 5 x  1
cos x ln x
13
28. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f( x )= x3  3x на отрезке
 2,0
x2
и построить ее график.
x 1
ex
30. Исследовать функцию f( x )=
и построить ее график.
x 1
1
31. Найти    3 sin x  1dx
x

29. Исследовать функцию f( x )=
32. Используя замену переменной, найти:
12
а)  2 x  1 dx
б)  sin 4 x cos xdx
с)
dx
 x ln
2
x

33. Вычислить:
1
2

sin x cos xdx ;
0

0
x
dx
1 x 2
34. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=- x 2 и y= - x  2
35. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y= x 2 и y=2- x 2
36. Найти
область
определения
функции
двух
переменных
f  x, y   x 2  y  x  y  2 .
37. Найти линии уровня функции f x, y   x2  y 2 +2 x .
38. Найти частные производные функций:
а) f x, y  
x
 x 2  cos y .
y
б) f x, y   e x  y .
39. Найти точки экстремума функции f x, y   x 2  4 y 2  2 xy  12 y .
40. Найти точки экстремума функции f x, y   8 y 3  x3  6 xy  1 .
1
 1 1 2 
 2 0




41. Найти матрицу AB+3E, где A=  3 0  1 , B=   3  1 2  ,
 3  2 1 
 1  2  1




E – единичная матрица порядка 3.
1
42. Найти число x, для которого
1  2 0
1  4 1 1
=0
1
2 2 1
2 1 1 x
1
1 0


43. Найти обратную матрицу для матрицы A=  3  1  1
1 1
0 

14
0 1 1  1 2 2

 

44. Решить матричное уравнение X  1 1 2  =  2 2 3 
1 0 0  2 1 2

 

45. Решить
систему
линейных
уравнений
по
формулам
Крамера
 x  2 y  3z  3

2 x  y  4 z  0
 2 x  3 y  5z  8

46. Найти
общее
решение
системы
линейных
уравнений
по
методу
системы
линейных
уравнений
по
методу
x  2 y  z  3
Гаусса 2 x  5 y  3z  4
9 x  22 y  13z  19

47. Найти
общее
решение
x  2 y  z  t  1
Гаусса  2 x  3 y  z  t  2
3x  7 y  6 z  4t  3

48. Найти общее решение системы линейных уравнений по методу Гаусса
x  2 y  z  3
 2 x  3 y  3 z  2


5 x  9 y  6 z  7
4 x  7 y  5z  4
49. В урне имеется 12 белых шаров и 6 черных шаров. Из урны извлекается
два шара. Пусть событие А состоит в том, что оба извлеченных шара
белые, а событие В – в том, что извлеченные шары имеют разный цвет.
Какое из этих событий имеет большую вероятность?
50. В лотерее 2000 билетов. Из них выигрышные: 1-1000 руб., 4 по 500 руб.,
10 по 200 руб., 20 по 100 руб.,100 по 50 руб., 400 по 10руб. Какова
вероятность выиграть по одному билету не менее 100 руб.?
51. На экзамене из 30 студентов некоторой группы 6 получили «отлично», 10 –
«хорошо», 9-«удовлетворительно», остальные –«неуд». Какова
вероятность того, что все трое студентов этой группы, встреченные
деканом в буфете, получили на экзамене «неуд»?
52. Из колоды, содержащей 52 карты, вынимают 4 карты. Какова вероятность
того, что все эти карты разных мастей?
53. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4
черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность
того, что оба шара белые?
54. В ящике 10 белых и 5 черных шаров. Из ящика последовательно
извлекают два шара (не возвращая первый вынутый шар). Какова
вероятность того, что оба шара белые?
55. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель при одном
выстреле для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, для третьего
– 0,9. Определить вероятность того, что
15
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
а) хотя бы один из стрелков не попадет в цель ;
б) в цель попадет один из трех стрелков.
В группе 25 человек. Какова вероятность того, что хотя бы двое из них
празднуют свой день рождения в один и тот же день?
Двое по очереди бросают монету. Выигрывает тот, у кого первого выпадет
орел. Число бросков не ограничивается. а) Какова вероятность
выигрыша бросавшего первым? Вторым? б) Какими станут вероятности
выигрыша, если бросающий вторым делает по два броска?
В контрольной работе 3 задачи, для каждой указано 5 вариантов ответов,
один из которых правильный. Для положительной оценки достаточно
решить 2 задачи. Какова вероятность положительной оценки, если
отвечать наугад?
Что вероятнее выиграть у равносильного шахматиста (ничейный исход
партии исключен): больше 1 партии из 4, или больше 2 партий из 5?
Из колоды, содержащей 52 карты, извлекается две карты. Какова
вероятность того, что среди этих карт будет в точности одна дама?
Игральная кость бросается два раза. Найти закон распределения случайной
величины Х, где Х – максимальное число очков, выпавших при двух
бросаниях. Найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х).
Из урны, содержащей 8 белых и 4 черных шара, извлекается два шара.
Найти закон распределения случайной величины Х, где Х разность
между числом белых и черных шаров среди извлеченных. Найти М(Х) и
D(Х).
Дана функция плотности вероятности некоторой случайной величины:
0 при x  0


f x  =  sin x при 0  x   ,

0 при x  

определить a и функцию распределения F x  .
64. Функция F x  распределения случайной величины X задана следующим
образом:
0, если x  0

F x    x 2 , если 0  x  1
1, если x  1

Найти плотность вероятности f x , математическое ожидание М(Х), дисперсию
1
3
D(Х), а также Р   x   .
2
2
65. Плотность вероятности f x  случайной величины Х задана следующим
1
  x  1, если x  1,3
образом: f( x )=  2
0 , если x  1,3
Найти функцию распределения F( x ),
дисперсию D(Х) и Р(2  х  4 ).
16
математическое ожидание М(Х),
66. Случайная величина, принимающая значения на отрезке 0,4, имеет
равномерное распределение. Найти плотность вероятности f x  и
функцию распределения F x  этой случайной величины? Нарисуйте
графики f x и F x . Рассчитайте математической ожидание и дисперсию
этой случайной величины.
67. Случайная величина распределена нормально с математическим
ожиданием и дисперсией, соответственно равными 10 и 25. Найти
вероятность того, что при испытании эта случайная величина примет
значение:
а) из промежутка (20, 30): б) большее 15?
68. В таблице приведены данные о росте и весе 15-ти случайно отобранных
мужчин. Построить точечные оценки математического ожидания и дисперсии
этих случайных величин, а также доверительные интервалы для них с уровнем
надежности 95%.
Номер
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Рост, см
170
177
192
178
188
191
166
162
186
192
161
171
168
181
159
Вес,кг
63
69
86
71
85
103
70
66
93
84
60
67
70
85
54
Основная литература
1. Шипачев В.С. Курс высшей математики. М.: Проспект, 2005.
2. Шолохович Ф.А., Васин В.В. Основы высшей математики. Екатеринбург,
Уральское издательство, 2003.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:
Высшая школа, 1997.
4. Письменный Д.Г. Конспект лекций по высшей математике. Часть 1. Айрис
Пресс. Москва, 2005.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., Данко С.П. Высшая математика
в упражнениях и задачах. Часть 1. М.: Оникс, 2007.
6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. М.: Высшая школа, 1999.
7. Высшая математика для экономистов /Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ,
2002.
17
8. Письменный Д.Г. Конспект лекций по теории вероятностей, математической
статистике и случайным процессам. Айрис Пресс. Москва, 2007.
9. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач
по высшей математике. Айрис Пресс. Москва, 2004.
Дополнительная литература
10. Турецкий В.Я. Математика и информатика. Екатеринбург, УрГУ, 1998.
11. Шипачев В.С. Задачи по высшей математике. М.: Высшая школа, 1996.
12. Элементы теории множеств: Метод. пособие. Екатеринбург, УрАГС, 1999.
13. Пруткин И.Л. Математика: Практикум. Часть 1. Екатеринбург, УрАГС,
1999.
14. Функция одной переменной. Пределы. Непрерывность. Производные.
Экстремумы: Метод. пособие, контрольные и домашние задания. Екатеринбург,
УрАГС, 1998.
15. Математика: Метод. указания и контрольные домашние задания по теории
вероятностей. Екатеринбург, УрАГС, 1997.
16. Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения:
Метод. пособие. Екатеринбург, УрАГС, 2000.
17. Ильиных А.П. Вводный курс математики. УрГПУ, 2006//www.uspu.ru
18. Ершова Т.И., Смирнова Н.И. Матрицы и определители. УрГПУ, 2006//
www.uspu.ru
18