Б3.В.9 Вводный курс математикиx

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся
по дисциплине (модулю):
Общие сведения
1.
Кафедра
М и ММЭ
2.
Направление подготовки
080500.62 Бизнес-информатика. Общий
профиль.
3.
4.
Дисциплина (модуль)
Тип заданий
Количество этапов формирования компетенций
(ДЕ, разделов, тем и т.д.)
5.
Вводный курс математики
Контрольная работа
5
Перечень компетенций
ПК-19: использовать основные методы естественнонаучных дисциплин в профессиональной
деятельности для теоретического и экспериментального исследования.
Критерии и показатели оценивания компетенций
Знания: основные понятия и утверждения математики, необходимые для изучения математических
дисциплин в дальнейшем, и их доказательства.
Умения: уметь решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал, творчески
подходить к решению профессиональных задач, ориентироваться в нестандартных условиях и
ситуациях, анализировать возникающие проблемы.
Навыки: уметь придавать задачам конкретной предметной области математическую форму,
исследовать получающуюся математическую модель задачи и применять к ее решению методы
конкретных математических дисциплин.
Опыт деятельности: в результате освоения дисциплины студент должен приобрести опыт,
позволяющий, опираясь на традиционные подходы, получать положительные результаты,
отвечающие современным требованиям.
Этапы формирования компетенций (Количество этапов формирования компетенций:
ДЕ, разделов, тем и т.д.)
1. Множества и операции над ними.
2. Соответствия, отношения и функции.
3. Основные комбинаторные схемы.
4. Высказывания и операции над ними.
5. Предикаты и операции над ними. Кванторы.
Шкала оценивания (за правильный ответ дается 1 балл)
«2» – 60% и менее
«3» – 61-80%
«4» – 81-90%
«5» – 91-100%
Типовое контрольное задание (контрольная работа, тест, кейс-задание и пр.)
1. Сколько различных «слов» можно составить из букв слова ДЕД, МАТЕМАТИКА.
2. В шахматном турнире участвует 7 человек; сколько партий будет сыграно, если
между любыми двумя участниками должна быть сыграна партия?
3. Является ли тавтологией или противоречием ФЛВ
?
4. Найти истинностное значение формулы
.
5. В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было
предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по
тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по
тригонометрии – 18 человек. По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и
тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько
учащихся решили все задачи? Сколько учащихся решили только две задачи? Сколько
учащихся решили только одну задачу?
6. Доказать,
что
для
всех
натуральных справедливо
равенство
7. Решить уравнение
.
8. Найти координаты точки M, изображающей комплексное число
9. Найти алгебраическую форму числа
.
10. Докажите следующее равенство: (Α ∩ Β )× (Κ ∩ Μ ) = (Α × Κ ) ∩ (Β × Μ ).
11. Пусть m - некоторое натуральное число. Проверить, является ли отношением
эквивалентности следующее бинарное отношение на множестве целых чисел:
ρ = {(x, y ) ∈ Ζ × Ζ : x − y делится на m}. Построить фактор-множество Ζ / ρ.
12. Доказать,
что
для
любого
натурального
n
справедливо
равенство:
3
3
3
3
2
2
1 +2 +3 +…+n =n (n+1) /4.
Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний
Образцы решения типовых заданий.
1. Сколько различных «слов» можно составить из букв слова ДЕД, МАТЕМАТИКА.
Решение: имеем перестановки с повторениями. а) ДЕД n=3, k=2, n1=2, n2=1;
P3(2, 1) = 3!/(2! • 1!) = 6 / 2 = 3; б) МАТЕМАТИКА n=10, k=6,
n1=2, n2=3, n3=2, n4=n5=n6=1; P10(2,3,2,1,1,1)=10!/(2! • 3! • 2!)=2•4•5•6•7•9•10 = 134 400.
2. В шахматном турнире участвует 7 человек; сколько партий будет сыграно, если
между любыми
двумя
участниками
должна
быть
сыграна
партия?
Решение: имеем сочетания без повторений из 7 элементов по 2; их
число:
3. Является
.
ли
тавтологией
или
противоречием
ФЛВ
?
Решение:
A
B
C
И
И
И
И
И
Л
И
Л
И
Л
И
Л
2
И
Л
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
И
Л
И
Л
И
Л
И
Л
И
Л
И
И
И
И
И
И
И
Не является.
4. Найти
истинностное значение формулы
.
Решение:
A
B
И
И
И
Л
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
И
Л
И
И
И
Л
И
Л
И
И
Л
И
И
Л
Л
Л
И
И
И
И
И
5. В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было
предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по
тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по
тригонометрии – 18 человек. По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и
тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько
учащихся решили все задачи? Сколько учащихся решили только две задачи? Сколько
учащихся
решили
только
одну
задачу?
Решение: запишем коротко условие и покажем решение:







m (Е) = 40
m (А) = 20
m (В) = 18
m (С) = 18
m (А∩В) = 7
m (А∩С) = 8
m (В∩С) = 9
m (А В С) = 3 => m (А В С) = 40 – 3 = 37
Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С.
3
К1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;
К2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии;
К3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;
К4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии;
К5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;
К6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии;
К7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии;
К8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.
Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления:










m (К5) = m (А∩В∩С)= m (А В С) - m (А) - m (В) - m (С) + m (А∩В) + m (А∩С) + m
(В∩С)
m (К5) = 37-20-18-18+7+8+9=5
m (К2) = m (А∩В) - m (К5) = 7-5=2
m (К4) = m (А∩С) - m (К5) = 8-5=3
m (К6) = m (В∩С) - m (К5) = 9-5=4
m (К1) = m (А) - m (К2) - m (К4) - m (К5) = 20-2-3-5=10
m (К3) = m (В) - m (К2) - m (К6) - m (К5) = 18-2-4-5=7
m (К7) = m (С) - m (К4) - m (К6) - m (К5) = 18-3-4-5 =6
m (К2) + m (К4) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только две задачи;
m (К1) + m (К3) + m (К7) = 10+7+6=23 – число учеников решивших только одну задачу.
Т.е. 5 учеников решили три задачи; 9 учеников решили только по две задачи;23 ученика
решили только по одной задаче.
6. Доказать,
что
для
всех
натуральных
справедливо
Решение: Обозначим через
левую часть равенства, а через
1)
Докажем
сначала,
равенство
— его правую часть.
что
.
4
2)
Дано:
.
Нужно
доказать:
.
Тем самым, утверждение доказано для любого , поскольку из его истинности
для
следует, что оно истинно для
, из его истинности при
следует
его истинность для
и т.д.
7. Решить
Решение: Преобразуем уравнение к виду
уравнение
.
. Тогда
.
Отсюда
8. Найти координаты точки M, изображающей комплексное число
Решение: Выделим действительную и мнимую часть этого числа:
.
5
9. Найти
алгебраическую
Решение:
Для
вычисления
частного
форму
числа
воспользуемся
следующим
приемом: домножим и числитель и знаменатель дроби на число
Получим
.
Аналогично:
Ответ.
.
10. Докажите следующее равенство: (Α ∩ Β )× (Κ ∩ Μ ) = (Α × Κ ) ∩ (Β × Μ ).
Решение: Равенство двух множеств мы докажем с помощью двух включений,
объединив их одной записью. Заметим, что элементами множеств в данном случае
являются упорядоченные пары точек. Итак, пусть (x, y )∈ (Α ∩ Β )× (Κ ∩ Μ ) ⇔ x ∈
(Α ∩ Β ), y ∈ (Κ ∩ Μ ) ⇔ x ∈ Α, x ∈ Β , y ∈ Κ , y ∈ Μ ⇔ x ∈ Α, y ∈ Κ , x ∈ Β , y ∈ Μ
⇔ (x, y ) ∈ Α × Κ , (x, y ) ∈ Β × Μ ⇔ (x, y ) ∈ (Α × Κ ) ∩ (Β × Μ ) .
11. Пусть m - некоторое натуральное число. Проверить, является ли отношением
эквивалентности следующее бинарное отношение на множестве целых чисел:
ρ = {(x, y ) ∈ Ζ × Ζ : x − y делится на m}. Построить фактор-множество Ζ / ρ.
Решение: Проверим три основных свойства для отношения эквивалентности.
1. Рефлексивность. Для произвольного x ∈ Ζ разность x − x = 0 = 0 ⋅ m ⇒ (x, x ) ∈ ρ
2. Симметричность. Пусть (x , y ) ∈ ρ ⇒ ∃k ∈ Ζ x − y = k ⋅ m ⇒ ∃k ∈ Ζ y − x = − k ⋅ m
⇒
(
y
,
x
)
∈
ρ
.
3. Транзитивность. Пусть (x , y ) ∈ ρ , ( y , z ) ∈ ρ ⇒ ∃ k , n ∈ Ζ x − y = k ⋅ m ,
y − z = n ⋅ m ⇒ ∃k , n ∈ Ζ x − z = (k + n )⋅ m ⇒ ∃r = (k + m )∈ Ζ x − z = r ⋅ m ⇒
(x , z )∈ ρ. Итак, исследуемое бинарное отношение является отношением
эквивалентности. Построение классов эквивалентности начнем с класса
эквивалентности, порожденного 0 ∈ Ζ: [0] = {y ∈ Ζ : 0 ≈ y} = {y ∈ Ζ : 0 − y делится
на m} ={y ∈ Ζ : ∃k ∈ Ζ 0 − y = k ⋅ m} = {y ∈ Ζ : ∃k ∈ Ζ y = − k ⋅ m} =
= {0, m,− m,2m,−2m,3m,−3m,..., km,−km,...}.
12. Доказать, что для любого натурального n справедливо равенство:
1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.
Решение: 1) Пусть n=1. Тогда Х 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1. Мы видим, что при n=1
утверждение
верно.
2)
Предположим,
что
равенство
верно
при
n=k
X k =k 2 (k+1) 2 /4.
3) Докажем истинность этого ут-верждения для n=k+1, т.е. Х k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4.
X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3 )/4=(k+1) 2
(k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4. Из приведённого доказательства видно, что
утверждение верно при n=k+1, следовательно, равенство верно при любом
натуральном n.
6
Вопросы к зачету/экзамену
1. Высказывания. Операции над высказываниями: отрицания, дизъюнкция,
конъюнкция
2. Высказывания. Операции над высказываниями: импликация и эквиваленция.
3. Формулы алгебры логики высказываний. Равносильность высказываний.
4. Законы алгебры логики высказываний.
5. Логическое следствие, схемы доказательств. Косвенное доказательство.
6. Предикаты. Операции над предикатами.
7. Логическое следствие. Равносильность предикатов.
8. Кванторы общности и существования.
9. Построение отрицаний высказываний, содержащих кванторы.
10. Законы алгебры логики предикатов.
11. Понятие множества, элемента множества. Пустое множество. Операции над
множествами: объединение, пересечение, разность, симметрическая разность.
12. Интуитивные признаки объемности и абстракции. Понятие формы от х.
13. Подмножество. Основные свойства.
14. Свойства операций над множествами. Универсальное множество. Дополнение
множества.
15. Кортежи. Прямое произведение множеств. Свойства прямого произведения.
16. Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений: рефлексивность,
антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
17. Отношение эквивалентности, классы эквивалентности.
18. Разбиение множества. Теорема о том, что фактор- множество является разбиением.
19. Композиция отношений, обратное отношение.
20. Изображение бинарных отношений графами.
21. Отношение порядка.
22. Функции. Виды функций: инъекция, сюръекция, биекция.
23. Обратная функция. Композиция функций и ее свойства.
24. Правила суммы и произведения.
25. Размещения с повторениями и без повторений.
26. Сочетания с повторениями и без повторений.
27. Перестановки с повторениями и без повторений.
28. Теоремы математической индукции: принцип полной математической индукции;
обобщённый принцип полной математической индукции.
7