глава 4 - WordPress.com

ГЛАВА 4. УРОК КАК ОСНОВНАЯ ФОРМА ОРГАНИЗАЦИИ
ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
4.1. Урок как целостный педагогический процесс.
4.2. Проектирование изучения темы.
4.3. Урок изучения нового.
4.4. Проектирование уроков решения задач.
4.5. Уроки обобщения и систематизации знаний.
4.6. Типология уроков в соответствии со структурой учебной деятельности.
4.7. О лекционно-семинарской системе обучения математике.
Крупноблочная модель изучения учебного материала.
4.8. Рабочая тетрадь как средство обучения математике на современном уроке.
4.1. Урок как целостный педагогический процесс
Основной формой организации обучения математике является урок.
Урок, по образному выражению Н.М. Верзилина, - это солнце, вокруг которого, как планеты, вращаются все другие формы учебных занятий. Но что такое урок? Четкого и однозначного его определения на сегодняшний день не
существует. Дидакты выделяют два аспекта сущности урока: как целостный
педагогический процесс обучения и как форму его организации. Урок в этом
смысле - это динамичная и вариативная форма организации процесса целенаправленного взаимодействия (деятельности и общения) определенного состава учителей (преподавателей) и учащихся, включающая содержание, формы, методы и средства обучения и систематически применяемая (в одинаковые отрезки времени) для решения задач образования, развития и воспитания
в процессе обучения (М.И. Махмутов).
Таким образом, урок математики это целостная методическая система,
функционирующая на уровне реального процесса обучения. Она содержит
личностный (учащиеся конкретного класса), целевой, содержательный, процессуальный и результативный компоненты (п. 1.3). Каждый из них на теоретическом уровне раскрыт ранее. В данной главе конкретизируем общие теоретические положения для проектирования урока в целом и основных типов
уроков математики, опираясь на работы 39 и 102.
Постановка целей и отбор содержания урока
Все дидакты и методисты утверждают, что цель является основополагающим компонентом в целостной дидактической и методической системе
обучения. А между тем, процессу целеобразования, целеполагания урока, как
нам представляется, должного внимания не уделяется.
199
Категория цели исследуется философией, психологией, педагогикой.
Чаще всего в философской литературе цель определяется: 1) как идеально
субъективный образ желаемого результата деятельности, на достижение которого направлены действия; 2) как сам результат деятельности, отраженный в сознании, но не образ этого результата; 3) одновременно как практический результат деятельности и его идеальный образ. Не вступая в философский анализ, для нас важно положение о том, что в цели урока должен быть
отражен результат деятельности. Далее возникает существенный вопрос:
результаты чьей деятельности должны быть отражены в цели урока? Как известно, процесс обучения носит двусторонний характер. Он отражает деятельность учителя – преподавание и деятельность ученика – учение. Однако
и та другая развертываются ради ученика, чтобы он трансформировал накопленный опыт человечества во всей его структурной полноте в личный опыт.
Поэтому цели урока должны отражать результаты учебной деятельности
ученика. Результаты же деятельности учителя будут отражены в результатах
учебной деятельности учащихся. Цель учителя, во-первых, четко осознать и
сформулировать цели-результаты деятельности ученика. Во-вторых, создать
на уроке условия для их достижения учащимися.
Общеизвестно, что цель любого урока носит триединый характер. Триединая цель включает в себя познавательный аспект (дидактическая цель),
развивающий и воспитательный.
Дидактические цели урока предполагают усвоение знаний, формирование умений и навыков. Напомним, что в категорию знаний входит знание
формулировок определений математических понятий, аксиом, теорем, способов деятельности, а также методологических знаний. Дидактические цели
урока формулируются в терминах «знает», «понимает», «имеет представление», «умеет», «применяет в стандартных ситуациях» и т.д. Постановка дидактических целей урока в таких терминах отражает уровень овладения учеником определенным математическим содержанием. Достижение этих целей
можно надежно опознать с помощью специально созданных систем диагностических и проверочных заданий, они позволяют сформулировать результат
обучения через наблюдаемые действия учащихся. Дидактические цели достигаются в течение одного или нескольких уроков изучения темы.
Постановка развивающих целей урока – наиболее трудный и, как нам
представляется, наименее разработанный этап при подготовке учителя к уроку. Это объясняется тем, что развитие происходит гораздо медленнее, чем
обучение. Невозможно точно сформулировать развивающий аспект целей
для одного урока, а иногда и для системы уроков учебной темы. Развитие
ученика - результат правильного развивающего обучения. Цель и результат
развивающего обучения заключаются в изменении учеником самого себя в
процессе учебной деятельности, когда ученик является субъектом этой деятельности.
Развивающий аспект целей урока может ставиться лишь неявно, косвенно, через специфику учебной деятельности ученика на любом ее этапе,
через степень участия ученика в поисковой деятельности. Развивающие цели
200
отражают глаголы: «найти», «открыть», «выявить», «определить», «обосновать», «спрогнозировать», «установить», «исследовать» и т.д. Эти глаголы
определяют поисковый характер деятельности ученика на уроке, что способствует развитию познавательного интереса, умения сравнивать, анализировать, синтезировать, выдвигать гипотезы (на основе аналогии, интуиции, неполной индукции), обобщать, доказывать и т.д.
Развивающая функция обучения математике будет реализована при
соблюдении следующих основных условий:
- включение учащихся в поиск субъективно новых для них знаний в
соответствии со спецификой творческой математической деятельности;
- овладевание методами и способами поисковой математической
деятельности;
- выявление учащимися проблемы, учебной проблемной задачи, на
решение которой и направлен поиск;
- совместное (учителя и учащихся) решение проблемы, оценка
найденного способа действия (в нашем случае – определения понятия, теоремы, правила, идеи, метода, которые трансформируются в новые способы математической деятельности);
- рефлексия учеником полученных результатов и собственной деятельности.
Для выявления, постановки и решения учебной проблемной задачи у
школьников должны быть сформулированы внутренние потребности и мотивы. Деятельности без мотивов не бывает. Их формирование возможно только
в результате систематической, последовательной, целенаправленной работы
на каждом уроке и непосредственно связано с воспитывающей функцией
обучения математике.
Воспитывающая функция проявляется в обеспечении:
- осознания учеником своей учебной деятельности как социально значимой;
- формирования его нравственно-ценностных ориентиров в процессе
овладевания знаниями, умениями и навыками;
- формирования положительных мотивов учения;
- формирования опыта общения между учащимися и сотрудничества
с учителями в учебном процессе;
- воспитательного воздействия личности учителя как примера для
подражания.
Обучение, развитие и воспитание эмоционально-ценностного отношения к действительности, к деятельности, ее объектам и субъектам – это единый процесс, предполагающий усвоение учащимися знаний, умений, опыта
творческой деятельности и эмоциональной воспитанности. Все это, взятое
вместе, и обеспечивает духовное развитие личности в целом.
Участие ученика в получении нового знания, овладение им новыми
способами математической деятельности, его эмоциональное напряжение,
связанное с получением субъективно нового для него знания в единстве от201
ражает дидактические, развивающие и воспитательные цели урока. Поэтому
триединая цель урока может формулироваться в терминах основной учебной задачи урока и опознаваемых результатах ее решения.
Например, цели урока «Нахождение процента от числа, числа по его
процентам и процентного отношения» (метод укрупнения дидактических
единиц) могут быть сформулированы следующим образом:
Выявить (посредством переформулировок соответствующих задач на
нахождение части от числа, числа по его части, отношения величин) задачи
трех указанных видов на проценты и найти способы их решения на основе
аналогии решения переформулированных задач.
В результате ученик:
– знает о существовании трех основных типов задач на проценты;
– осознает связь между ними, как взаимно обратными;
– осознает их связь с задачами на нахождение части от числа, числа по
части, отношения величин;
– знает два способа решения каждой задачи (непосредственно по
определению процента и по найденному общему правилу);
– формулирует (составляет) задачи, обратные данной;
– умеет переформулировывать задачи на нахождение части от числа,
числа по его части, отношения величин в соответствующих задачах, где
часть выражена в процентах и обратно.
Сформулированная в такой форме триединая цель урока содержит в
единстве образовательные, чисто математические, развивающие и воспитательные цели. Заметим, что математическое содержание здесь предъявлено
значительно шире, чем при традиционной формулировке формировать умение решать задачи указанных трех видов: акцент делается и на осознание
связей шести типов задач, на умении переформулировать задачи, составлять
задачи указанных типов, на овладение методом аналогии и т.д.
Представление учебных целей в форме учебной задачи (через выделенные выше глаголы) и формулировка диагностично поставленных дидактических целей (через надежно опознаваемые результаты деятельности ученика)
и определяет урок как целостное системное явление.
Во-первых, в поставленных целях отражено в целом гуманитарноориентированное содержание, которое должен усвоить учащийся, а не только
его информационный компонент. Во-вторых, учебная задача урока, сформулированная в терминах «найти», «выявить», «исследовать», «обосновать» и
т.д. указывает на поисковый, развивающий характер деятельности ученика на
уроке, на сотрудничество «учитель – учащиеся», «ученик – ученик». Наконец, четко, диагностично поставленные дидактические цели урока способствуют осознанному, целенаправленному проектированию каждого его этапа.
Они ориентируют учителя на то, чтобы вся система работы на уроке (содержание упражнений, заданий, логика вопросов и т.д.) обеспечивала достижение целей урока.
Следующий, не менее важный вопрос, на который следует ответить как должна ставиться цель непосредственно на уроке. Практически во всех
202
имеющихся учебных пособиях по методике обучения математике сказано,
что первый этап, с которого начинается урок, - это постановка цели урока. Но
когда описывается ход урока, этот этап или отсутствует совсем, или подменяется сообщением темы урока. Так, в работе [59] описан ход урока «Умножение положительных и отрицательных чисел». Этап постановки цели урока
сводится к следующему: «Отмечается, что изучение положительных и отрицательных чисел и действий над ними продолжается. Уточняется, что учащиеся могут пока лишь складывать и вычитать положительные и отрицательные числа. Сегодня же будем рассматривать вопрос о том, как умножать положительные и отрицательные числа. Записывается тема урока: «Умножение
положительных и отрицательных чисел» [59, с.98].
Неопределенные глаголы «отмечается», «уточняется», «записывается»
наводят на мысль, что все это делает учитель за 1-2 минуты и переходит далее к проверке домашнего задания и актуализации знаний (термин автором
не употребляется). Таким образом, тема урока как бы навязывается ученикам, не понятно принята ли ими цель урока. Не ясно, что, значит, рассмотреть вопрос об умножении положительных и отрицательных чисел, кто и как
должен его рассматривать и т.д. Поставленная таким образом цель на уроке
не мотивирует должным образом деятельность ученика, не нацеливает его на
участие в поиске соответствующего правила. Развивающее же обучение
предполагает субъективную позицию ученика на каждом этапе урока, в том
числе, и на этапе целеполагания. Говорить о внутренней активности ученика
на уроке можно лишь тогда, когда он сам осознает потребность в постановке
целей и осуществлении необходимых для ее достижения действий. Цель
должна «рождаться» на уроке в совместной деятельности учителя и учащихся. Только при этом условии школьники смогут осознать смысл предстоящей
деятельности. В свою очередь, осознание смысла и принятие цели на уроке
как цели своей собственной деятельности позволяет ученику осмысленно и
целенаправленно включиться в учебный процесс по ее достижению. Учитывая вышесказанное, в структуре любого урока должен присутствовать такой
элемент, как целеполагание. В ходе урока постановка цели не должна носить
формального характера. Как этого достичь, будет показано далее.
Подведем итоги. Под целями урока будем понимать желаемые результаты деятельности ученика на уроке и способы их достижения. Цели деятельности учителя – осознать и сформулировать эти результаты и создать условия для их достижения учениками. Дидактические цели урока
должны быть диагностируемыми и отражать уровень усвоения учеником
учебного материала. Триединая цель урока представляет собой органичный
синтез дидактических, развивающих и воспитательных аспектов.
Развивающие и воспитательные цели урока определяются и достигаются степенью участия ученика в поисковой математической деятельности.
Форма представления целей урока должна отражать содержательную,
процессуальную и результатирующую функции процесса обучения. Она может быть представлена в виде системы учебных задач (в терминах: «найти»,
203
«открыть», «выявить», «исследовать», «спрогнозировать» и т.д.) и результата
их решения (в терминах: «в результате ученик «знает», «осознает», «понимает», «имеет представление», «умеет применять в знакомой ситуации» и т.д.»).
Процесс целеполагания (учителем) состоит в конкретизации стратегических целей математического образования посредством анализа учебного
материала с позиций структуры общего гуманитарно-ориентированного содержания и соотношения его с обученностью и обучаемостью учащихся конкретного класса.
Цель урока в форме учебной задачи должна быть понята и принята
учащимися. Она должна «рождаться» на уроке в сотворчестве учителя и
учащихся и служить для них побудительным мотивом дальнейшей совместной деятельности.
Технология обучения
Под технологией обучения на уроке будем понимать систему методов,
форм и средств обучения, способствующую усвоению отобранного содержания и достижению поставленных целей. Теоретические основы методов,
форм и средств обучения исследуются дидактикой. Мы напомним лишь основные положения.
Чаще всего сущность метода обучения трактуется как взаимосвязанная
деятельность учителя и учащихся, направленная на достижение поставленных целей. Применительно к уроку можно сказать, что метод обучения – это
взаимосвязанная деятельность учителя и учащихся, направленная на постановку и решение учебных задач урока.
В отечественной дидактике существует несколько классификаций методов обучения:
1. По источникам знаний: словесные, наглядные и практические.
2. По степени взаимодействия учителя и учащихся: изложение, беседа,
самостоятельная работа.
3. В зависимости от конкретных дидактических задач: подготовка к
восприятию, объяснение, решение учебной задачи, закрепление и т.д.
4. По характеру познавательной деятельности учащихся и участия
учителя в учебном процессе (по степени самостоятельности учащихся): объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, проблемный, частичнопоисковый, исследовательский (И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин).
5. Логические методы: индуктивный, дедуктивный.
В наибольшей степени развивающая функция обучения обеспечивается
методами проблемного обучения, поэтому уместно напомнить их суть.
Проблемное изложение (рассказ, описание) как метод обучения дает
образец мысленно проводимого исследования. В нем имеют место анализ,
выявление противоречий и обобщение данных анализа, постановка и формулирование гипотез, последовательная их проверка (анализ и синтез), формулирование решения (синтез и рефлексия). Все выводы принимаются на основе доказательств. Этот образец рассуждения реализует учитель.
204
Частично-поисковый, или эвристический, метод (эвристическая беседа,
дискуссия, диспут, мысленный эксперимент, моделирование) опирается на
вышеописанную модель проблемного изложения, которая реализуется учителем и учащимися в совместной деятельности. Вопросы задают и учитель, и
учащиеся. Направление поиска, ход беседы, дискуссии, диспута в значительной степени зависят от ответов учащихся. Эвристический метод позволяет им
открыть новые смыслы в учебной информации, ибо анализ, синтез и рефлексия как основа суждений, рассуждений, доказательств и умозаключений, а затем и теоретических обобщений в полной мере способствуют развитию и эвристического и логического мышления. Управление познавательной деятельностью учащихся осуществляет учитель путем специальной системы вопросов, заданий.
Исследовательский метод опирается на полную самостоятельность
учащихся в их учебно-познавательной деятельности. Постановку целей деятельности, выявление противоречий, формулирование гипотез, их решение и
проверку делают сами учащиеся.
Вместе с тем непосредственное воплощение этих методов на уроках
математики невозможно без учета специфики исследовательской математической деятельности. Модель такой деятельности представлена нами ранее.
Проектирование технологии обучения описано в п.3.1. настоящего пособия. В следующих параграфах будет показано, как она работает при конструировании уроков математики основных типов.
Элементы и структура урока. типы уроков.
Структура современного урока математики должна обеспечивать достижение триединой цели урока. Она достигается ходом всего урока путем
решения системы дидактических (учебных) задач – подцелей общей цели
урока, которые и определяют основные структурные части урока. Так, М.И.
Махмутов считает, что внешнюю структуру урока определяют три основные
дидактические задачи; актуализация прежних (опорных) знаний; формирование новых понятий и способов действия; формирование умений и навыков
умственных и практических действий [61]. Однако сам же автор признавал,
что эта структура урока не отражает процесс познавательной деятельности
учащихся. Наряду с ней, говорит М.И. Махмутов, следует определить внутреннюю логико-психологическую структуру урока. Последнюю он отождествляет с этапами проблемного обучения. В последних работах по методике обучения математике [59, 90] выделяются три части дидактической структуры урока по М.И. Махмутову, в методическую же структуру включены
практически лишь элементы традиционного урока. Мы исходим из положения о том, что структурные части урока определяются системой учебных задач, которые ведут к достижению триединой цели урока. А поскольку эти
цели формулируются через результаты учебной деятельности ученика как ее
субъекта, то ученику должен быть понятен смысл и цель предстоящей деятельности, у него должна появиться потребность в этой деятельности. По205
этому первая подзадача урока заключается не просто в актуализации знаний,
а в формировании у школьника смысла и потребности в предстоящей деятельности. Поэтому мы называем первую часть урока мотивационноориентировочной.
Следующая часть урока направлена на организацию деятельности учащихся, непосредственно связанной с решением учебной задачи. Она направлена на открытие и формирование новых знаний и способов деятельности. В
соответствии со структурой учебной деятельности назовем ее операционнопознавательной.
Наконец, третья важная подзадача заключается в осмыслении учеником
собственной деятельности, ее процесса и результата. Поэтому мы назовем ее
рефлексивно-оценочной.
Итак, инвариантная структура любого современного урока математики включает в себя три основные части:
Мотивационно
ОперационноРефлексивноориентировочная →
познавательная часть
→ оценочная
часть
(открытие и формирование новых
часть
знаний и способов действий)
В свою очередь, решение учебной задачи каждой части состоит в решении частных подзадач (микрозадач), которые определяют ее структурные
элементы (звенья). Можно выделить следующие элементы структуры современного урока математики в целом:
1. Проверка домашнего задания.
2. Актуализация.
3. Мотивация.
4. Проблемная ситуация.
5. Формулировка проблемы, постановка учебной задачи (цели урока).
6. Планирование решения учебной задачи.
7. Открытие новых знаний и способов действий.
8. Осмысление методов, приемов, теоретических положений, с помощью которых получены эти результаты;
9. Осознание ценностей полученных знаний (включая и методологические);
10.Воспроизведение изученного и его применение в стандартных ситуациях.
11.Перенос знаний и их применение в новых видоизмененных ситуациях.
12.Самостоятельное выполнение заданий под контролем учителя.
13.Обобщение и систематизация новых знаний, способов действий,
способов рассуждений.
14.Контроль знаний и умений (проверка по пройденному материалу).
15.Рефлексия учеником своих действий и самооценка (своих действий,
интереса к изучаемому, отношения к виду учебной деятельности).
16.Текущая диагностика.
206
17.Подведение итогов.
18.Постановка домашнего задания.
В свою очередь, методическая структура каждого этапа урока зависит
от типа урока. Анализируя работы дидактов по проблеме типологии уроков,
следует отметить, что и здесь нет единой точки зрения.
В соответствии с основной дидактической целью выделяют следующие
типы уроков:
1. Комбинированный урок.
2. Урок изучения нового учебного материала. Иногда этот урок называют уроком усвоения новых знаний.
3. Уроки совершенствования знаний, умений и навыков. В математике
это чаще всего уроки решения задач, уроки-практикумы.
4. Уроки обобщения и систематизации знаний.
5. Уроки контрольные (уроки проверки и оценки знаний).
В последние годы в практике работы учителей проводятся нестандартные уроки. Наиболее распространенные типы уроков, существующих в практике работы учителя, исследованы С.Г. Манвеловым. Он их группирует в
следующие блоки:
В первый блок он включает выделенные выше типы уроков по их основной дидактической цели.
Во втором блоке описываются урок-лекция, урок-семинар, урокпрактикум, урок консультация, урок-зачет. Как увидим далее, это уроки лекционно-семинарской системы занятий, которую рекомендуется использовать
в старших классах.
В третий блок входят урок с дидактической игрой, урок –ролевая игра,
урок-экскурсия, урок-дискуссия.
Четвертый блок составляют урок-соревнование, урок – деловая игра,
интегрированный урок, театрализованный урок.
В системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова выделяют уроки, соответствующие структуре учебной деятельности: урок постановки учебной задачи,
урок планирования ее решения, урок преобразования условия задачи, урок
моделирования, урок преобразования модели, урок отработки, урок самоконтроля и самооценки. Некоторые из них будут описаны далее.
В последующих пунктах будем описывать методическую структуру классических (академических) уроков математики, которые обеспечивают фундаментальность математического образования и которым пока нет альтернативы. Это уроки изучения нового, решения задач, обобщения и систематизации знаний.
Условия проектирования современного урока математики
Все вышесказанное определяет основные условия (в традиционной
терминологии требования) проектирования урока математики.
1. Целостность урока, которая обеспечивает его новое качество как
системного явления. Это условие предполагает рассматривать урок как це207
лостную методическую систему, как органичный синтез основных ее компонентов: особенностей учащихся данного класса, целей, содержания, технологии обучения. Целостность, гармоничность урока не возможна без логики.
Она проявляется, прежде всего, в его математическом содержании. Если это
урок изучения нового, то подобранные упражнения для этапа актуализации,
мотивации, проблемной ситуации, целеполагания в основном должны быть
связаны с новыми для учеников знаниями. Если это уроки решения задач, то
важно, чтобы задачи были связаны единой идеей, определяемой целью урока,
но не подобраны по принципу «Какие есть в учебнике». Логика содержания
определяет и логику этапов урока. Важно, чтобы каждый предшествующий
этап урока был логически связан с последующим. При этом учителю следует
делать логические переходы от одного этапа к другому (подводить по ходу
урока промежуточные результаты, мотивировать переход к следующему этапу и т.д.). В таком случае смысл деятельности будет понятен каждому ученику, а мотивация будет осуществляться не только в начале, но и на протяжении всего урока.
Логика урока состоит и в системе вопросов и заданий учителя.
2. Методологической основой проектирования каждого компонента
урока в отдельности и урока в целом является интеграция основных психолого-педагогических концепций обучения, направленных на развитие и саморазвитие личности ученика: личностно ориентированное обучение, принципы гуманитаризации и дифференциации, деятельностный и технологический
подходы к обучению.
3. Триединая цель урока математики:

это желаемые результаты деятельности ученика на уроке и способы их достижения;

задается в диагностичной форме и отражает содержательную,
процессуальную и результатирующую функции обучения;

«рождается» на уроке в атмосфере сотворчества учителя и учащихся и служит ориентиром учебной деятельности последних.
4. Содержание, усваиваемое учащимися, должно быть гуманитарно
ориентированным и адекватным триединой цели урока. Оно представляется
как явно (информационный компонент), так и не явно, через технологию
обучения.
5. Технология обучения проектируется в соответствии с выделенными
выше концепциями и должна гарантировать достижение диагностично поставленных целей урока.
6. Структура урока математики должна содержать три инвариантные части: мотивационно-ориентировочную, операционно-познавательную,
рефлексивно-оценочную, на каждой из которых ученик – активный соучастник.
7. Создание ситуации успеха на уроке для каждого ученика. Принцип
посильных трудностей. Ученик может быть активным участником на уроке
лишь в том случае, если у него есть желание «хочу» и уверенность в своих
силах «могу». Основная идея личностно-ориентированной дидактики заклю208
чается в том, чтобы «хочу» и «могу» выступали совместно, поддерживая
друг друга. При этом важно создавать «ситуацию успеха». Конечно, эта ситуация будет разной для каждого ученика. Поэтому в арсенале учителя
должны быть вопросы и задачи разного уровня сложности.
8. Сотворчество учителя и учащихся. Современная дидактика трактует обучение как целенаправленное, заранее запрограммированное общение, в ходе которого осуществляется образование: школьниками усваиваются
отдельные стороны опыта человечества, опыта деятельности и познания и
осуществляется развитие, саморазвитие и воспитание ученика. Это общение
на уроке переходит в сотворчество учителя и ученика, которое строится на
взаимопонимании, совместном «проживании» и переживании. Приоритетное
значение имеет личность самого учителя: насколько ему самому интересно
то, что он излагает, может ли он вызвать положительные эмоции, создать
психологический комфорт каждому, сформировать познавательные интересы
(«хочу» и «могу»). Общение на уроке проходит в форме диалога. Последний
предполагает и стимулирует свободное высказывание учащимися гипотез,
проблем, идей их решения, даже если они и ошибочны. Важно создать обстановку, когда любой ученик не боится высказывать свое мнение, предложить
гипотезу, идею решения. Целью атмосферы сотрудничества и сотворчества
учителя и ученика на уроке является поиск истин в обстановке доброжелательности, комфортности, эмоциональной напряженности всех участников
процесса обучения.
9. Эстетическая направленность урока математики. Мы отмечаем
два направления, обеспечивающие эстетику урока математики. Во-первых,
это красота математического содержания и связь математики с миром красоты в окружающей действительности. Эти особенности математики выделены
И.Г. Зенкевич. Признаки красоты в математике выделил Г. И. Саранцев. Они
существуют в математике объективно.
Проблема состоит в том, чтобы ученик осознал и воспринял эту красоту. Поэтому второе необходимое условие эстетической направленности урока состоит в степени участия ученика в учебной математической деятельности. Философы утверждают, эстетика проявляется в процессе любой деятельности человека при условии, что она носит творческий характер. Творчество по своей природе эстетично, так как оно предполагает активизацию и
концентрацию человеческих чувств. Все выделенные выше условия проектирования современного урока математики обеспечивают, в том числе и его эстетическую направленность.
Урок математики украшает «красота мысли». Общеизвестно, что истинное удовольствие от урока математики получают не только учитель и
ученики, но и другие присутствующие на нем от того, как ученики рассуждают: участвуют в поиске, высказывают свои гипотезы, понимают, когда высказанное суждение только правдоподобно, а когда оно достоверно (логически обоснованно). Четкое, логически грамотное доказательство теоремы,
обоснование решения, проведенное учениками, доставляет удовлетворение и
ему самому и тем, кто его слушает. Поскольку мысль на уроке выражается в
209
речи, то урок математики украшает математически грамотная речь учащихся.
Это возможно при определенных условиях. Прежде всего, сам учитель должен давать образец такой речи. Во-вторых, необходимо целенаправленно и
настойчиво развивать речь учащихся. Этой проблеме посвящены многие методические работы, поэтому мы здесь не будем в нее углубляться.
Эстетическую направленность урока обеспечивает не только логическое, дедуктивное мышление, но и чувственно эмоциональное. Эмоциональная деятельность является одним из ведущих компонентов познавательной
деятельности в целом. Она во многом определяет как успешность учебной
деятельности ребенка, так и формирование всех его личностных структур.
В заключение приведем, как с описанных выше позиций следует анализировать урок математики.
Примерная схема анализа урока математики:
1. Общие сведения: число, месяц, год, класс, школа, учитель.
2. Общая характеристика математического содержания урока:
а) тема урока, её связь с предшествующим и последующим материалом,
роль в изучении курса в целом;
б) анализ особенностей математического содержания: понятия и логическая структура их определений; теоремы, приёмы и методы их доказательств, их новизна для учащихся; типы, приёмы и методы решения задач и
т.д.;
в) предпосылки для организации развивающего обучения, определяемые математическим содержанием.
3. Постановка триединой цели (учебной задачи) урока как синтеза
развивающих, образовательных и воспитательных целей: на каком этапе и
кем сформулированы цели урока.
4. Выбор типа урока, методов, приёмов, средств, форм обучения и их
соответствие поставленным целям.
5. Анализ структуры урока, его отдельных этапов:
а) проверка домашнего задания: цели задания и проверки; приёмы проверки; глубина проверки знаний, умений и навыков учащихся, их мотивированная оценка; реакция учителя на ошибки учащихся; ликвидация причин
появления ошибок; обучающая и воспитывающая роль контроля, его эффективность;
б) подготовка учащихся к активному, сознательному усвоению: актуализация знаний и её приёмы; пути создания мотивации учения или проблемных ситуаций; постановка целей урока, участие в ней школьников;
в) научность, полнота и последовательность изложения материала; приёмы активизации деятельности школьников при изучении нового, степень их
самостоятельности, приёмы управления познавательной деятельностью
школьников, осуществление обратной связи; степень отражения в содержании урока и технологиях основных компонентов гуманитарно ориентированного содержания математического образования (информационной и методо210
логической компоненты, опыта коммуникативной, умственной деятельности
учащихся, опыта поисковой, творческой деятельности, условий для создания
эмоционально–ценностного отношения), программных требований; соответствие содержания учебного материала триединой цели урока;
г) система упражнений и заданий на этапе осознания, осмысления, её
соответствие поставленным целям;
д) система упражнений и задач на уроках–практикумах; методика постановки задач; формы организации деятельности учащихся и степень их самостоятельности в решении задач; нестандартные задачи и оригинальные
решения; возбуждение интереса учащихся к математике через решение задач;
е) формы и приёмы контроля за усвоением знаний: установление достижения целей урока;
ж) логика урока, взаимосвязь его этапов, логика в переходе от одного
этапа урока к другому;
з) оформление записей на доске и в тетрадях на различных этапах урока;
и) приёмы подведения итогов урока;
к) приемы выдачи домашнего задания;
л) распределение времени на различные этапы урока.
6. Общий анализ реализации развивающих и воспитательных целей:
а) развитие общеучебных умений школьников: работа с учебником и
справочной литературой, с таблицами; планирование своей деятельности и ее
оценка и т. д.;
б) развитие интеллектуальных умений: эвристических, логических, речевых;
в) формирование научного мировоззрения: связь математики с практикой, внутрипредметные и межпредметные связи; обучение методам научного
познания в математике;
г) развитие самостоятельности, умения учиться;
д)осуществление дифференцированного подхода, учет индивидуальных
особенностей учащихся;
е) развитие мотивации учения;
ж) развитие положительных качеств мышления: глубины, гибкости,
критичности, активности и самостоятельности, осознанности и т. д.;
з) точность и выразительность, эмоциональность речи учителя;
и) уровень требовательности учителя, объективность в оценке знаний и
умений учащихся; реакция учащихся на оценки;
к) культура общения учителя с учащимися, создание «комфортности»
учения на уроке, умение снять напряжение в конфликтной ситуации;
л) атмосфера сотрудничества на уроке: «учитель – учащиеся», «ученик
– ученик» и т.д.;
м) эмоциональный настрой учащихся на работу;
н) реализация других аспектов воспитания и развития.
7. Организация урока: точность начала и окончания; подготовленность
классного помещения и оборудования к уроку; длительность организацион211
ного момента; быстрота включения класса в деловой ритм; эмоциональный
настрой, заинтересованность, собранность учителя; темп урока.
8. Общие выводы по уроку: выполнение плана урока и достижение поставленных целей; что произвело на уроке особенно сильное впечатление;
какие коррективы целесообразно внести при повторном проведении урока на
эту же тему; общая оценка урока.
Примечание:
1. Основной принцип анализа урока – принцип целеполагания: анализ
урока с позиции поставленных учителем целей, методов и средств их достижения.
2. Отдельные отраженные в схеме аспекты анализа урока могут не присутствовать на одном уроке. Для объективной оценки деятельности учителя
по всем параметрам следует посетить систему уроков по учебной теме или по
различным темам.
4.2. Проектирование изучения темы
Подготовка учителя к уроку может быть успешной лишь в том случае,
если каждый урок не будет разрабатываться изолированно от остальных уроков учебной темы, а будет логически связан с предшествующими и нацелен
на решение учебных задач темы. Поэтому надо сначала создать проект изучения темы в целом. Для этого необходимо проанализировать учебный материал темы, представленный в программах и учебнике.
Впервые деятельность учителя при подготовке к системе уроков по
учебной теме была описана в работе [52]. Она включала в себя цели изучения
темы, логико-математический и дидактический анализы теоретического и задачного материалов, подготовку учебных задач и выделение адекватных им
действий, определение средств и приемов обучения, форм контроля и оценки
знаний. На основании всего этого составлялось методическое планирование
темы. В работах [39, 103] уточняются действия учителя по логикодидактическому анализу теоретического материала в связи с новым подходом к содержанию математического образования, которое определено нами в
первой части данного пособия. Напомним, что оно содержит информационный компонент, представленный основными дидактическими единицами (аксиомы, понятия и их определения, теоремы и их доказательства, правила,
ключевые задачи) и методологические знания, объективно связанные с ними.
Последние содержатся в учебном материале, но не всегда явно и четко сформулированы в программах и учебниках. Вместе с тем они выполняют важные
образовательные, развивающие и воспитательные функции.
Логико-дидактический анализ темы – сложная методическая проблема.
Трудность проведения анализа связана, прежде всего, с выделением методологических знаний, которые заложены в содержании, но явно в нем не представлены. Его следовало бы проводить в методических рекомендациях для
212
учителя, которые издаются к каждому учебнику. Однако пока это приходится
выполнять самому учителю.
Выделим основные этапы планирования системы уроков изучения
учебной темы: анализы теоретического и задачного материалов, постановка
целей изучения темы, проектирование системы уроков.
Первый этап подготовки учителя к системе уроков состоит в математическом и дидактическом анализах теоретического и задачного материалов.
Примерные действия учителя, направленные на анализ
теоретического материала темы
1. Изучение программы по математике и осознание:
а) требований к математической подготовке учащихся;
б) места и роли темы в той содержательной линии курса, в которую
она входит;
в) цели изучения и основное содержание по конкретному учебнику.
2. Изучение дополнительной математической и методической литературы по рассматриваемой теме.
3. Выделение и общий анализ дидактических единиц темы по конкретному учебнику (аксиомы; понятия и их определения; теоремы - их формулировки и доказательства; правила), отвечая на следующие вопросы:
а) Каким понятиям в теме даются формально-логические определения, а какие вводятся описательно?
б) Какие понятия темы являются ведущими?
в) Как они связаны с предшествующим содержанием? Какие методологические знания характеризуют ведущие понятия темы (новизна видов
их определений, логических структур, наличие кванторов и др.)? Каковы
возможны способы получения учащимися определений новым понятиям?
г) Какие теоремы дополняют содержание понятий, данное в определениях (свойства, признаки, существование)?
д) Каковы общелогические и специфические методы и приемы доказательств теорем? Какова их новизна для учащихся?
е) Какие методологические знания можно формировать у школьников на этапах «открытия» формулировок теорем и поиска доказательств теорем?
ж) Выделены ли в тексте нужные правила, определяющие способы
деятельности? Следует ли им давать алгоритмическое предписание? И т. д.
4. Установление логической организации учебного материала (индуктивное или дедуктивное изложение), уровня строгости доказательств, готовности школьников к дедуктивному восприятию.
5. Выявление связей между дидактическими единицами темы, составление систематизирующей таблицы, выделение «ядра» изучаемой темы.
6. Определение необходимости и целесообразности переструктурирования содержания темы.
213
7. Установление возможностей привлечения дополнительного материала с целью знакомства с историей развития понятия, его приложениями, с
новыми для учеников методами открытия новых знаний и доказательств.
8. Наметить пути мотивации для введения ведущих понятий темы, их
признаков и свойств.
9. Постановка учебных задач изучения теоретического материала.
10. Первая «прикидка» построения системы уроков изучения нового.
Примечание. К любому анализу не следует подходить формально. Выделенные действия не задают жесткую иерархию и являются примерными. В
зависимости от специфики темы отдельные действия могут опускаться или
дополняться новыми. Опытный учитель «держит их в голове».
В качестве примера рассмотрим тему «Параллельные прямые» по учебнику: Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. ср. шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.
Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2007.
Проведем анализ теоретического материала с методологических позиций.
1. Выделим основные дидактические единицы:
• определение параллельных прямых;
• новые общелогические понятия: аксиома, условие и заключение теоремы; теорема, обратная данной; следствие; метод доказательства от противного;
• аксиома параллельных прямых;
• теоремы: три признака и три свойства параллельных прямых, два
следствия из аксиомы параллельных прямых;
• правила построения параллельных прямых.
2. Существование параллельных прямых доказано в пункте 12 учебника
(две прямые плоскости, перпендикулярные третьей, не пересекаются). Следовательно, прежде чем ввести определение параллельных прямых, надо повторить известное ученикам утверждение. Определение параллельных прямых дано через род и видовые отличия, одно из них впервые формулируется
через отрицание. Данное понятие представлено в четырех формах: натуральной, графической, вербальной и символической. Имеются большие возможности для формирования логических умений выводить следствия и подводить под определение понятия, причем примеры и контрпримеры к понятию
должны быть представлены в различных формах; целесообразно использовать каркасные модели различных пирамид и призм. Система
упражнений в рефлексивно-оценочной части работы с определением (см.
пункт 3.2) должна формировать у школьников его критериальную сущность.
В более сильном классе после изучения признаков и свойств параллельных
прямых появляется возможность провести разговор о неоднозначности определения одного и того же понятия.
3. В этой теме впервые явно идет речь об аксиомах. Учащимся необходимо напомнить уже изученные аксиомы (например, через любые две точки
можно провести прямую, и притом только одну), рассказать об их проис214
хождении, о роли аксиом вообще и аксиомы параллельности в частности, о
Евклиде, его геометрии и возможных других геометриях.
4. Впервые вводится понятие теоремы, обратной данной. Уместно выделить правило формулирования предложения, обратного данной простой
теореме, т. е. теореме, в условии и заключении которой по одному элементу:
1) сформулируй данную теорему в условной форме (если..., то...), если
она задана в категоричной форме;
2) выдели в теореме условие и заключение;
3) поменяй местами условие и заключение;
4) сформулируй обратное утверждение.
Учитель должен обратить внимание на следующий момент: не всегда
предложения, обратные теоремам, являются истинными, для их опровержения достаточно привести один контрпример. Для формирования понятия
теоремы, обратной данной, следует привлекать материал из других тем. Таким образом, ученики будут понимать, что это понятие относится к общелогическим. Заметим, что понятие теоремы, обратной данной, может быть введено ранее (например, при изучении темы «Делимость чисел» в V-VI классах).
В данной теме три теоремы - свойства параллельных прямых - являются теоремами, обратными к признакам параллельных прямых. Первое свойство доказывается методом от противного, два других свойства доказываются обращением цепочки доказательств соответствующих признаков. Поэтому
важно обратить внимание учащихся на методы доказательств обратных теорем: или метод от противного, или метод обращения цепочки рассуждений
«прямой» теоремы - появляется возможность обучать учащихся выбирать
методы доказательств обратных теорем. В дальнейшем это умение будет
формироваться при решении задач и изучении других тем.
5. Три теоремы в теме доказываются методом от противного: два
следствия из аксиомы параллельных прямых и первое свойство параллельных прямых. Следовательно, в теме имеются объективные предпосылки
для формирования у учащихся умений применять этот метод рассуждений.
Заметим, что и утверждение о существовании параллельных прямых также
доказывается методом от противного. Значит, целесообразно в начале изучения темы не только повторить суть этого утверждения, но и выполнить
его доказательство. Более того, желательно выделить и зафиксировать
письменно схему доказательства методом от противного:
1) выделить условие и заключение теоремы;
2) предположить противное (противоположное) тому, что требуется
доказать;
3) вывести следствия из полученного суждения;
4) получить противоречие с уже известным математическим предложением (определением, аксиомой, теоремой) или условием;
5) сделать заключение о том, что предположение неверно;
6) сделать вывод о верности того, что требовалось доказать.
215
Заметим, что уточнения (в пункте 4) приведенной схемы появляются
позже, после введения понятия аксиомы и доказательств следствий из аксиомы параллельных прямых.
6. Теоретический материал темы содержит большой потенциал, который может быть направлен на овладение учащимися гипотетикодедуктивными методами на этапе «открытия» новых фактов, закономерностей, доказательств.
Так, с помощью конструктивного диктанта под руководством учителя
учащиеся могут создать графическую модель к первому признаку параллельных прямых. Анализируя ее, они подходят к «открытию» формулировки
первого признака.
Опираясь на аналогию, интуицию, опыт, учащиеся могут «открыть»
формулировки других двух признаков параллельных прямых. Возможен и
другой вариант: предложить два признака в форме задач, тогда формулировки теорем появятся по окончании решения задач. В развивающем плане
предпочтителен первый подход.
Следствия из аксиомы параллельных прямых могут быть предложены
учащимся как задачи исследовательского характера: «Как расположены прямые, если ..?» Они являются одновременно упражнениями для осознания самой аксиомы параллельных прямых.
После введения понятия теоремы, обратной данной, учащиеся смогут
предложить формулировки свойств параллельных прямых самостоятельно.
7. Имеется возможность в той или иной степени включить школьников
в поиск доказательств теорем.
Первый признак доказывается с применением приема дополнительных
построений, идея доказательства - свести к свойству прямых, перпендикулярных к одной и той же прямой. Доказательство многошаговое, поэтому,
как показывает опыт, вызывает у семиклассников большие трудности. Следовательно, уместно прибегнуть к поиску доказательства признака аналитико-синтетическим методом, обосновав необходимость дополнительных построений. Степень самостоятельной поисковой деятельности школьников
пока будет невысокой.
Доказательство двух оставшихся признаков может быть проведено синтетическим методом в условиях самостоятельной деятельности учащихся.О
методике проведения доказательств других теорем речь шла выше.
8. Правила построения прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку, с помощью чертежного угольника и линейки желательно выделить в форме алгоритма с соответствующими покадровыми рисунками. Обратить внимание учащихся на обоснование правильности построений. Такая работа направлена на развитие мыслительных приемов анализа и
синтеза, обобщения, абстрагирования, так как при обосновании надо «увидеть» на рисунке неявно заданные прямые, углы.
216
В результате проведенного анализа приходим к выводу, что в этой теме
можно выделить довольно большой блок теоретического материала, представляющий собой систему трех укрупненных дидактических единиц – трех
пар признаков и соответствующих свойств параллельных прямых. Поэтому
появляется идея совместного изучения этого блока методом укрупнения дидактических единиц: признак и соответствующее свойство. Однако теоретический базис доказательства свойств содержит аксиому параллельных прямых. Следовательно, нужно переконструировать теоретический материал
так, чтобы совместно изучать признаки и свойства параллельных прямых.
Поэтому перед изучением признаков и свойств необходимо ввести понятие
аксиомы, аксиому параллельных прямых и два следствия из нее.
Итак, в теоретическом материале темы «Параллельные прямые» можно
выделить три блока.
Первый блок состоит из следующих дидактических единиц: определение и существование параллельных прямых, которое фактически доказано
методом от противного еще в пункте 12 учебника, виды углов, образованных
при пересечении двух прямых третьей. Учитывая, что многие теоретические
положения темы доказываются методом от противного, следует в первый
блок включить и изучение этого общелогического метода как самостоятельной дидактической единицы.
Второй блок содержит понятие аксиомы, аксиому параллельных прямых и следствия из нее.
Третий блок представляет собой систему признаков и свойств параллельных прямых, понятие обратной теоремы и методов ее доказательств.
Выделенные блоки адекватно определяют соответствующие уроки изучения нового.
Отметим, что в данной теме уровень строгости логических рассуждений значительно повышается в сравнении с предыдущей темой – признаками
равенства треугольников. Материал темы организован строго дедуктивно:
во-первых, главному понятию темы дается определение; во-вторых, вводится
понятие аксиомы, раскрывается роль аксиом в геометрии; в-третьих, остальные теоретические положения доказываются с помощью определений, аксиом и доказанных ранее теорем.
Следовательно, основной учебной задачей изучения темы «Параллельные прямые» является формирование у учащихся представлений о дедуктивном методе построения системы знаний. Эта задача, в свою очередь, состоит
из трех учебных задач. Одна из них связана с формированием у школьников
общего способа введения новых понятий в дедуктивной теории: 1) введение
определения нового понятия; 2) доказательство существования соответствующих определению объектов: 3) изучение свойств и признаков нового понятия, не выделенных в определении. Вторая учебная задача связана с формированием представлений у ребят об аксиомах, их роли в дедуктивной системе
знаний. Третья учебная задача включает в себя овладение учащимися общелогическими методами доказательств (аналитико-синтетическим, методом от
противного, приемом обращения цепочки логических рассуждений прямой
217
теоремы) и частными способами доказательств параллельности прямых, равенства углов и нахождения величин углов.
Эта система учебных задач позволяет спрогнозировать диагностируемые цели (ожидаемые результаты) изучения темы «Параллельные прямые».
По окончании изучения темы ученик воспроизводит:
 определение параллельных прямых;
 формулировку аксиомы параллельных прямых, следствий из нее;
 формулировку признаков и свойств параллельных прямых;
 схему логических рассуждений методом от противного;
ученик понимает, что:
 признаки и свойства параллельных прямых являются взаимно обратными теоремами;
 один из признаков параллельных прямых можно доказать аналитикосинтетическим методом;
 остальные признаки доказываются на основе первого как логические
следствия его;
 обратные утверждения можно доказать методом от противного или
приемом обращения цепочки логических рассуждений прямой теоремы;
 без аксиомы параллельных прямых невозможно доказать их свойства;
ученик умеет:
 устанавливать параллельность прямых;
 находить равные углы или углы, сумма которых равна 180, на основе свойств параллельных прямых;
 доказывать истинность утверждений методом от противного.
Примерные действия учителя, направленные на анализ задачного
материала темы
Прежде всего отметим, что усвоение каждой темы школьного курса
математики и развитие учащихся на том или ином уровне обеспечивается
определенной системой упражнений и задач. Система задач - сложное образование. Не вдаваясь в детали понятия системы, перечислим некоторые
наиболее существенные требования к системе задач по теме.
1. Среди упражнений должно быть достаточное число дидактических,
т. е. одно-, двухшаговых заданий для реализации этапа осознания, осмысления изучаемых дидактических единиц, для формирования умственных действий, непосредственно связанных с этими дидактическими единицами. Требования к системе таких упражнений перечислены в пункте 3.4.
2. При изучении каждой темы формируются вполне определенные общелогические и специфические умения, которые используются далее при
изучении теории и решении задач (пункт 3.5). Для выявления этих умений
есть несколько источников. Во-первых, программы по математике и Госу218
дарственный стандарт образования, во-вторых, логико-математический и дидактический анализ теоретического материала и, в-третьих, решение задач.
В системе задач по теме должно быть достаточное количество задач,
направленных на формирование выявленных умений.
3. Чтобы включить знания учащихся в систему, важно среди задач по
теме иметь комплексные задачи, т. е. задачи, при решении которых используются знания, полученные при изучении не только данной, но и предыдущих тем, а также при изучении других разделов математики и даже других
предметов.
4. В систему задач должны входить и задачи, специально направленные на формирование положительных качественных характеристик ума.
Например, задачи с нестандартной постановкой вопроса, с практическим содержанием, задачи, допускающие несколько способов решения, задачи, на
основе которых можно составить новые, в частности обратные задачи, цепочки взаимосвязанных задач и т. д.
5. Задачи всех перечисленных выше видов должны быть рассчитаны на
учащихся с различными уровнями подготовленности, т. е. система задач
должна обеспечивать соблюдение принципа посильных трудностей.
Как известно, в учебниках по математике к каждой теме предлагается
набор задач. Однако далеко не всегда этот набор и порядок расположения
образуют систему задач, особенно по геометрии. Кроме того, цель, с которой
та или иная задача может быть использована в процессе обучения, определяется индивидуально, она зависит не только от содержания, метода и приема
решения задачи, но и от возможностей класса, его отдельных учащихся, от
квалификации учителя.
Для создания системы задач и разработки методики работы над задачами с целью формирования общего умения решать задачи и развития учащихся проводится анализ задачного материала.
Наметим примерную последовательность действий учителя при анализе задачного материала темы.
1) Выписать дидактические единицы и методологические знания, которые выделены при анализе теоретического материала.
2) Решить все задачи по теме из учебника (в том числе и дополнительные). Провести анализ решения каждой задачи: выделить теоретический базис, метод решения (в содержательном и логическом плане), приемы (общелогические и специфические), попытаться найти другие способы решения,
составить на основе данной задачи новые и т.д.
Если задача носит дидактический характер, т.е. это одно-, двухшаговая
задача на прямое применение изучаемой теории, на осознание, осмысление
той или иной единицы усвоения, уже выписанной в пункте 1, то отнести ее к
соответствующей дидактической единице.
Если в задаче устанавливается новый факт или при ее решении используется идея, не отраженная в теоретическом материале, то эти факты и идеи
тоже выписать или зафиксировать каким-либо другим способом. Далее все
задачи, при решении которых используется один и тот же факт или одна и та
219
же идея, отнести в одну группу. Если при решении используется несколько
фактов и идей, то задачу отнести в пересечение групп. Попутно каким-то образом отметить, какая дополнительная работа может быть проведена с этой
задачей.
Таким образом, на данном этапе анализа выявляются новые для учащихся типы задач, приемы и методы решения и, следовательно, умения, которые могут формироваться при изучении темы. Фактически здесь выделяются группы задач:
 на формирование каждого из умений, характерных для данной темы;
 на комплексное применение знаний из данной и ранее изученных тем;
 на основе которых может быть проведена дополнительная работа (поиск разных способов решения, составление новых задач и др.).
3) Установить взаимосвязи между задачами одной группы, по возможности, ранжировать их по степени сложности. Выделить в группе ключевую
задачу.
4) Выделить ключевые задачи-факты (задачи-теоремы).
Ключевые задачи относятся к задачам с познавательной функцией.
5) Из всех дидактических единиц, фактов и идей темы и отвечающих
им ключевых задач выбрать основные, общеобразовательные, т.е. те, которые
входят в «стандарт» образования и должны быть освоены всеми без исключения учащимися.
6) Проверить, все ли основные единицы усвоения снабжены достаточным количеством упражнений и задач. Пополнить соответствующие группы
задач недостающими. Их можно составить или позаимствовать из других источников.
7) Установить взаимосвязи между оставшимися группами задач, выбрать последовательность предъявления их учащимся.
Усвоение решений ключевых задач из этих групп вместе с материалом
по теории создаст школьникам комфортные условия для решения любых
других задач по данной теме.
Проведенный таким образом анализ позволяет, с одной стороны, создать систему задач по теме и, с другой - обеспечить дифференцированное
обучение в рамках одного класса: одни учащиеся могут получать задачи из
общеобразовательных, отвечающих стандарту, а другие – задачи более высокого уровня, из последующих групп, и переходить к комплексным задачам.
8) Сформулировать учебные задачи уроков решения задач.
9) Спрогнозировать систему уроков решения задач.
10) Составить контрольную работу, учитывающую уровень развития
каждого ученика.
Для иллюстрации высказанных общих положений проанализируем задачный материал темы «Параллельные прямые».
Разговор о дидактических задачах темы опускаем, поскольку он больше касается изучения теории.
220
Традиционно в программах по математике указываются следующие
обязательные умения, которые необходимо формировать при изучении темы
«Параллельные прямые»:
• доказывать параллельность прямых с использованием соответствующих признаков;
• находить равные углы при параллельных прямых и секущей.
Анализ теоретического материала показывает, что, кроме названных,
формируются умения:
• формулировать предложение, обратное данному;
• доказывать предложение методом от противного.
В процессе решения задач обнаруживается, что наряду с доказательством параллельности прямых нередко приходится обосновывать их непараллельность. Следовательно, наряду с перечисленными, формируется и
умение доказывать, что прямые пересекаются (непараллельны).
Анализ задач показал, что в теме «Параллельные прямые» можно выделить последовательность из четырех групп задач.
1. Задачи, в которых даны две прямые и секущая. При решении используются или признаки, или свойства параллельности прямых. В основном, это задачи на доказательство (параллельности или непараллельности
прямых, равенства углов, равенства суммы углов 180) или на вычисление и
доказательство с использованием свойств смежных и вертикальных углов.
В целом, задачи этой группы носят дидактический характер и могут
быть составлены самими учащимися в рефлексивно-оценочной части деятельности по усвоению признаков и свойств параллельности прямых. К числу ключевых в этой группе можно отнести лишь одну задачу.
Задача 1. Докажите, что если при пересечении двух прямых а и b секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые а и b пересекаются (№
220 в учебнике).
2. Задачи, в которых даны две прямые и две секущие. При решении используются и признаки, и свойства вместе. В остальном задачи аналогичны
первым.
Ключевой здесь может быть следующая задача.
Задача 2. По данным рис. 3.18 найдите угол 1 (№ 205 из учебника).
3. Задачи, в которых две прямые и секущая явно не заданы, они определяются отрезками, двойками точек, элементами треугольника. При решении наряду с признаками и свойствами параллельности прямых используются признаки равенства треугольников, определение биссектрисы угла, определение и свойства равнобедренного треугольника.
К ключевым здесь можно отнести, например, следующую задачу.
Задача 3. Отрезок ВК — биссектриса треугольника АВС. Через точку К
проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ = МК.
Докажите, что КМ || АВ (№ 191 из учебника).
4. Комплексные задачи, при решении которых используются не только
признаки или свойства параллельности прямых, но и другие знания, полученные при изучении данной и других тем. Приведем пример такой задачи.
221
Задача 4. Даны треугольник АВС и точки М и N такие, что середина
отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN - с серединой стороны АВ. Докажите, что точки М, N и А лежат на одной прямой
(№ 221).
Основными, общеобязательными для всех учащихся являются задачи
первой и второй групп. Комплексные задачи типа № 4 можно предлагать в
порядке индивидуальной работы отдельным учащимся.
В характеристиках групп задач явно выделены возможности формирования специфических умений – доказывать параллельность или непараллельность прямых, равенство углов и равенство суммы двух углов 180 с
использованием параллельности. Умения формулировать предложение, обратное данному, применять метод от противного – общелогические умения. Они формируются параллельно со специфическими умениями. Поэтому специальные группы задач для них не выделены. Возможности формирования этих и общего умения решать задачи отражены в отборе ключевых
задач. Характеристика ключевых задач и методика работы с ними рассмотрены в пункте 3.5.
Проведенный анализ показывает, что задачный материал темы «Параллельные прямые» обеспечивает решение учебных задач, сформулированных
после анализа теоретического материала. Каких-либо новых идей, фактов,
умений, необходимых для решения любых задач по теме, здесь не появляется. Поэтому учебная задача уроков решения задач по теме «Параллельные
прямые» дублирует некоторые учебные задачи, уже сформулированные ранее, а именно формировать у учащихся умения:
– доказывать параллельность и непараллельность прямых;
– доказывать равенство углов или равенство суммы углов 180; находить
величины углов на основе свойств параллельных прямых;
– пользоваться общелогическими методами рассуждений (анализ, синтез,
аналитико-синтетический метод, метод от противного).
В результате решения учебных задач ученик овладевает:
– общелогическими методами решения задач (аналитико-синтетическим,
методом от противного);
– специфическими способами (способами доказательства параллельности и
непараллельности прямых, равенства углов и равенства суммы углов 180,
нахождения величин углов на основе признаков и свойств параллельности
прямых).
На решение задач по теме требуется не менее пяти уроков: дидактические задачи на прямое применение признаков и свойств параллельных прямых решаются на уроках изучения теории и на отдельном уроке, часть которого отводится проверке овладения учащимися соответствующими умениями; на втором уроке решаются ключевые задачи № 1 и № 2 и аналогичные
им; на третьем – ключевая задача № 3; на четвертом – разные задачи на основе ключевых; на пятом целесообразно провести обучающую самостоятельную работу.
222
Проект системы уроков по теме не может быть однозначным. Он определяется не только результатами анализа учебного материала, но и педагогической ситуацией (особенностями класса, индивидуальностью учителя и
т.д.). Предлагаем один из возможных вариантов построения системы уроков
по теме «Параллельные прямые».
Система уроков по теме «Параллельные прямые»
№ п/п
1
Тема. Дидактические единицы
Основные цели
Определение параллельных прямых.
Выделить общий способ введения поОпределение параллельных прямых, нятий, схему доказательства методом от
существование (построение), метод от противного.
противного, виды углов.
2
Аксиома параллельных прямых.
Выявить роль аксиом, в частности акПонятие аксиомы, аксиома параллель- сиомы параллельных, в построении геоных, следствия из аксиомы.
метрии, формировать умение в применении метода от противного.
3,4
5
6
Признаки и свойства параллельности
прямых.
Признаки и свойства параллельности
прямых; понятие теоремы, обратной данной; методы доказательства обратных
теорем.
«Открыть» совместно с учащимися
признаки и свойства параллельности прямых; формировать умения в формулировании предложений, обратных данным, в
применении анализа, синтеза, метода от
противного в доказательстве теорем; выявить способы доказательства обратных
теорем; выделить возможные ситуации, в
которых могут быть применены признаки,
свойства параллельных прямых, формировать умения в применении признаков и
свойств.
Отработка способов доказательства
Признаки и свойства параллельности параллельности прямых, равенства углов,
прямых.
доказательства того, что сумма углов равДидактические задачи.
на 180, вычисления углов в простейших
ситуациях – заданы две прямые и секущая.
Диагностика отдельных элементов
знания.
Признаки и свойства параллельности
прямых.
Ключевые задачи № 1–2.
223
«Открыть» совместно с учащимися
признаки непараллельности прямых.
Формировать умения:
- выбирать нужную дидактическую
единицу (признак, свойство) для обоснования выводов в случае, когда даны четыре прямые (признаки и свойства используются в одной задаче);
- в применении аналитикосинтетического метода и метода от противного.
№ п/п
Тема. Дидактические единицы
Основные цели
7
Признаки и свойства параллельности
Формировать умения:
прямых.
- доказывать параллельность прямых и
Ключевая задача № 3.
равенство углов в ситуациях, когда прямые заданы не в явном виде;
- формулировать предложения, обратные данному;
- применять метод синтеза в задачах
на доказательство.
8
Признаки и свойства параллельности
Формировать умения:
прямых.
- доказывать параллельность прямых,
Задачи, решаемые на основе ключе- равенство углов, находить величины угвых, № 1–3.
лов в различных ситуациях;
- применять различные общелогические методы доказательства.
9
Признаки и свойства параллельности
Проверить усвоение учащимися:
прямых.
- способов доказательства параллельРазноуровневая самостоятельная рабо- ности прямых, равенства углов, нахождета.
ния величин углов;
- аналитико-синтетического метода и
метода от противного в применении к задачам на доказательство.
10
Параллельные прямые. СистематизаОрганизовать осмысление полученных
ция знаний.
результатов изучения темы и способов их
Основные дидактические единицы те- достижения.
мы, частные и общелогические методы и
способы решения задач.
11
Параллельные прямые.
См. урок 9.
(Урок-консультация).
12
Параллельные прямые.
Контрольная работа.
13
Параллельные прямые.
Анализ контрольной работы.
См. цели девятого урока, уточненные
по окончании урока систематизации.
Выявить уровни усвоения фактического материала и соответствующих теме
общелогических и специфических методов, формируемых при изучении темы.
Корректировать знания
школьников по теме.
и
умения
После проектирования системы уроков по теме разрабатываются планы
и конспекты отдельных уроков.
Заметим, что проектирование уроков на основе структуры учебной деятельности предполагает урок планирования. Цели, построение и конспекты
отдельных уроков такого типа, в частности и по теме «Параллельные прямые», описаны в пункте 4.6.
224
4.3. Урок изучения нового
В исследованиях дидактов и методистов выделяют следующие компоненты урока изучения нового:
1) повторение изученного ранее;
2) актуализация прежних знаний и способов действий;
3) мотивация учебной деятельности;
4) постановка целей и учебных задач урока;
5) сообщение (формулировка) темы урока;
6) ознакомление с новым материалом (формирование новых знаний и
способов действий; объяснение нового);
7) первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения;
8)постановка домашнего задания;
9)подведение итогов урока.
Заметим, что в этом списке не указан еще один компонент урока. Это
так называемый организационный момент, на котором учитель приветствует
класс, определяет готовность учащихся к уроку по ряду внешних параметров,
«настраивает» класс после перемены на активную работу. Естественно, что
урок изучения нового, как и любой другой урок в школе, начинается с организационного момента.
Структура урока и его основные этапы определяются соотношением
(связями) между компонентами и их последовательностью. Так, традиционная структура урока изучения нового задается следующей последовательностью компонентов:
(5,4) – (1,2) – (6) – (7 ) – (8 ) – (9 ).
Напротив, структура урока, на котором ученики активно включаются в
учебно-познавательную деятельность, определяется иной последовательностью компонентов:
(1 – 4) – (6,5) – (7) – (8 ) – (9 ).
Возьмем за основу именно такую структуру урока и раскроем ее особенности при конструировании уроков изучения нового.
Само название типа урока изучения нового, который иногда так и
называют уроком ознакомления с новым материалом, подсказывает, что основная его обучающая цель состоит в ознакомлении учащихся с новым учебным материалом. Это означает, что в структуре такого урока особое место
должно быть отведено содержательному (операционально-познавательному)
этапу, где и раскрывается сущность новой дидактической единицы, метода
познания, формируется новый способ деятельности и т.п. Отличие этого этапа от аналогичного в структуре традиционного урока состоит в степени готовности учащихся к «открытию» нового, в способности сформулировать
тему урока после решения учебной задачи. Назовем этот этап урока содержательным (6,5).
225
Чтобы ученики были готовы к познавательно-созидательной деятельности на содержательном этапе, необходим мотивационно-ориентировочный
этап урока. Он включает в себя актуализацию, которая наряду с воспроизведением ранее изученного предполагает применение прежних знаний в знакомых и новых ситуациях, установление необходимости изучения нового. Осознание учениками мотива учебной деятельности служит основой для постановки целей урока и их трансформации в учебные задачи урока. Назовем
этот этап урока мотивационно-ориентировочным (1 – 4).
Еще один важный этап урока изучения нового состоит в такой организации учебно-познавательной деятельности учащихся, которая позволяет им
осмыслить свои действия на уроке, осознать особенности формы представления нового объекта и наметить сферу его применения. Важными на этом этапе являются упражнения, направленные не только на распознавание нового
объекта, но и на конструирование основных типов задач, где может применяться новый элемент содержания, на выделение новых эвристик. Назовем
этот этап урока этапом осознания и первичного закрепления (7).
Завершает урок изучения нового этап подведения итогов, на котором
новые элементы содержания темы приводятся в систему и формулируется
домашнее задание.
Таким образом, в построении этапов урока, на котором предметом
усвоения выступает один элемент содержания темы, явно прослеживается
связь с основными этапами технологии работы с дидактическими единицами.
Этот факт позволяет использовать разработанные технологии при конструировании уроков изучения нового.
Вместе с тем на уроке изучения нового довольно часто вводится в рассмотрение не одна дидактическая единица, а несколько: определение понятия
и теорема, определение и алгоритм, теорема и правило и т.п. Поэтому возникает вопрос о том, в каком отношении сочетаются выделенные этапы урока,
если предметом усвоения выступают несколько единиц содержания. Но
прежде чем ответить на этот вопрос, заметим, что структура урока изучения
нового определяется не только содержанием учебного материала, но и целями его изучения.
Чтобы сформулировать цель урока изучения нового, нужно ответить на
следующие вопросы. Во-первых, какое содержание следует отобрать к уроку
и как его выстроить, т.е. выявить знания, которые нужно актуализировать на
уроке, и отобрать новый материал, который составит основу содержательного этапа урока и позволит установить степень его осмысления. Во-вторых,
как и каким образом будет организована деятельность учителя и учащихся
по усвоению нового, т.е. продумать последовательность предъявления нового
и отобрать методы, формы и средства обучения. В-третьих, что и как будет
освоено учащимися на уроке, т.е. спланировать ожидаемые результаты через
наблюдаемые действия учащихся. Очевидно, что цели каждого этапа урока
должны быть подчинены триединой дидактической цели урока.
Следовательно, цели урока должны быть сформулированы так, чтобы
они описывали планируемую деятельность учителя и ожидаемую деятель226
ность учащихся и отражали связи между содержанием и формами организации познавательной деятельности учащихся, между содержанием и ожидаемыми результатами его усвоения.
Поясним сказанное на примере урока изучения нового, открывающего
раздел «Степень с натуральным показателем» (Алгебра, 7-й класс). Новыми
элементами содержания урока являются определение степени с натуральным
показателем, две теоремы об умножении и делении степеней и правила, построенные на основе этих теорем, смысл и роль понятия степени с натуральным показателем в курсе алгебры. Цели первого урока по изучению степени
с натуральным показателем можно сформулировать следующим образом:
создать условия, при которых ученики:
а) установят связь между действиями сложения, умножения одинаковых чисел и новой формой представления результата умножения и придут к
выводу о необходимости формулировки определения нового понятия;
б) установят зависимость между показателями при умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями и придут к «открытию» соответствующих теорем и правил.
Такая формулировка цели урока дает представление и о содержании,
которое будет предметом усвоения на уроке, и об условиях достижения цели
в виде форм организации познавательной математической деятельности учащихся, и о методах обучения. Действительно, чтобы ученики установили
связи между арифметическими действиями над одинаковыми числами, необходимо организовать их работу, например, в парах по выявлению общего и
отличий в соответствующих записях. При этом характер деятельности учащихся будет частично-поисковым, а эвристическая беседа по результатам
парной работы учащихся будет ведущим методом обучения на первом этапе
подведения учащихся к новому понятию.
Очевидно, что структура такого урока может состоять из двух циклов.
(1 – 4) – (6,5) – (7)  (1 – 4) – (6,5) – (7) – (9,8).
Первый из них будет определяться технологией работы с определением
понятия, а второй – технологией работы с теоремой. Связующим звеном
между ними будет этап осознания и осмысления определения нового понятия, который плавно переходит в мотивационно-ориентировочный этап, где
выясняется необходимость изучения действий над степенями. На этом этапе
ученики, опираясь на определение степени, включаются в деятельность по
установлению новых закономерностей в выполнении действий умножения и
деления степеней. Следовательно, на этом этапе, с одной стороны, происходит первичное закрепление определения степени с натуральным показателем,
а с другой - поиск новых правил выполнения арифметических действий над
степенями, который приводит к «открытию» соответствующих теорем. Формулировка и доказательство теорем осуществляется на содержательном этапе
второго цикла.
227
Еще одним важным связующим звеном между структурными элементами урока является этап подведения итогов. Он предполагает анализ работы, проделанной школьниками на уроке, обобщение и систематизацию новых
знаний и фактов. Выводы, к которым придут ученики, во многом зависят от
продуманной учителем системы вопросов, охватывающей все основные моменты урока. Например, для урока по изучению степени с натуральным показателем можно предложить следующую систему вопросов.
– С каким новым понятием сегодня познакомились?
– Сколько смысловых частей выделено в определении степени с натуральным показателем? Почему?
(Две части: в первой указывается способ нахождения ап как произведения n множителей, каждый из которых равен а, т.е. n N, n  2, а во второй
части придается смысл выражению а1, т.е. рассматривается случай для n = 1.)
– Что общего и чем отличаются записи: 3 + 3 + 3 + 3 и 3  3  3  3 ?
– Что означают выражения : 25, 04, (-2)3, 31, 4-2 ? Что показывают указанные в них числа? Определен ли смысл последнего выражения?
– Выполняются ли переместительный и сочетательный законы для
действия возведения в степень? (Нет.) Какими свойствами обладает действие
возведения в степень?
– Что означают записи: ак  ап и а к+п ?
– Всегда ли можно выполнить действие ак : ап ?
– Чем отличаются сформулированные теоремы об умножении и делении степеней от соответствующих правил?
– Подумайте дома над следующими вопросами: а) почему не определили действия сложения и вычитания степеней? б) как возвести в степень
произведение и частное двух чисел? Приведите примеры.
Итак, если на уроке рассматривается только одна значимая единица содержания, то в его структуре можно выделить следующие инвариантные части:
1)
мотивационно–ориентировочный
этап;
2)
операционнопознавательный этап; 3) этап осознания и первичного закрепления; 4) подведение итогов и постановка домашнего задания.
Если же на уроке предметом усвоения становятся несколько единиц
содержания темы и они рассматриваются последовательно друг за другом, то
его структуру определяют соответствующие циклы, включающие названные
выше первые три этапа.
Если материал темы содержит взаимно обратные операции, теоремы,
задачи или взаимосвязанные (изоморфные) понятия, то полезно использовать
метод укрупнения дидактических единиц, позволяющий противопоставлять,
сравнивать, выявлять общность и отличия. В этом случае названные элементы содержания изучаются одновременно, т.е. единица усвоения укрупняется,
а основные этапа урока изучения нового остаются теми же. В качестве примеров таких уроков можно назвать следующие: совместное изучение правил
сложения и вычитания обыкновенных дробей; совместное изучение тройки
взаимосвязанных задач по теме «Изменение величины в процентах»; совместное изучение признаков и свойств параллельных прямых (параллело228
грамма); совместное изучение понятий арифметической и геометрической
прогрессии и т. п.
Рассмотрим, например, структуру урока по совместному изучению
арифметической и геометрической прогрессий. На мотивационноориентировочном этапе организуется самостоятельная работа учащихся по
выявлению зависимостей между членами приведенных последовательностей,
аналитическому их представлению. В ходе обсуждения результатов работы
выдвигается гипотеза, что все приведенные последовательности можно разбить на две группы. К первой группе отнести последовательности, члены которых подчиняются общей закономерности вида ап  ап1  d, а ко второй –
последовательности, построенные по принципу ап  d  ап 1 . Формулируется
учебная задача: изучить выделенные виды последовательностей. На содержательном этапе учитель сообщает новый термин – прогрессии и дает имя каждой прогрессии. В ходе эвристической беседы выделяют характеристические
свойства прогрессий. Записи при этом полезно вести в две колонки, подчеркивая общую структуру содержания новых понятий. Ученики пытаются
сформулировать определение, например, арифметической прогрессии, учитель корректирует и предлагает ученикам самостоятельно сформулировать
определение геометрической прогрессии. Аналогично строится работа по
выводу формулы n-го члена каждой прогрессии. На этапе осознания и
осмысления выполняются упражнения на распознавание вида прогрессий по
аналитическому и словесному их описанию. Под руководством учителя ученики формулируют основные типы задач, где используются определения и
формула n-го члена, например, для геометрической прогрессии, а затем по
аналогии выделяют типы задач, где используются знания об арифметической
прогрессии.
Заметим, что использование метода укрупнения дидактических единиц
может привести к необходимости проведения двух спаренных уроков изучения нового. Кроме того, укрупненная подача нового влечет за собой изменение содержания и структуры следующих за ним уроков, т.е. приводит к изменению методической системы обучения.
Если в качестве нового материала выступает большой по объему и
важный по значению материал, к «открытию» которого трудно подвести
учащихся, то используют лекционную форму изложения материала. В этом
случае урок изучения нового принимает форму школьной лекции. Чаще всего ее применяют в старших классах, например, при изучении тем «Производная», «Интеграл», «Объем тела» и т.п. Особенности школьной лекции и изменение структуры последующих за ней уроков раскрыты в пункте «Лекционно-семинарская система уроков».
Выяснив структуру урока изучения нового, содержание его этапов, перейдем к вопросу о подготовке учителя к уроку. В качестве примера рассмотрим тему «Третий признак равенства треугольников» (учебник «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасяна и др., 1999, пункт 20).
229
Начнем рекомендации с анализа содержания материала темы. В пункте
20 учебника «Геометрия 7-9» в качестве основной дидактической единицы
выступает теорема и ее доказательство. Логический смысл этой теоремы –
признак равенства треугольников по трем сторонам. Чтобы подчеркнуть требование соответственного равенства трех пар сторон в треугольниках, можно
ввести обозначение признака, например, так: ССС. В учебнике его называют
третьим признаком равенства треугольников. Приведем геометрическую и
символическую записи теоремы (рис. 4.1).
В
В1
С1
А ----
С
А1
∆АВС, ∆А1В1С1, АВ = А1В1, ВС = В1С1, АС = А1С1
Т. (ССС): --------------------------------------------------------------------∆АВС = ∆А1В1С1
Рис. 4.1
Доказательство теоремы в учебнике проводится синтетическим методом и выделяются три случая расположения отрезка СС1 относительно стороны приложения двух треугольников. Приведем доказательство теоремы и
составим план доказательства, используя рис. 4.2 – 4.4.
С
1С
3
А
А
С
В
24
1
2
С
А
В
А
1
В
2
С1
С1
Рис. 4.2
С1
Рис. 4.3
Рис. 4.4
Доказательство теоремы
План доказательства теоремы
1. Приложить треуг. А1В1С1 к треуг. АВС так, чтобы
отр. А1В1 совпал с отр. АВ.
2. Дополнительное построение: отр. СС1 (рис. 4.24.4).
3. АС =А1С1, значит, треуг. САС1 –равнобедренный,
следовательно, 1 = 2
(рис. 4.2.- 4.4),
ВС =В1С1, значит, треуг. СВС1 –равнобедренный,
следовательно, 3 = 4
(рис. 4.2),
 ВСС1 = ВС1С (рис. 4.3).
4. Из того, что 1 = 2, 3 = 4, следует, что 1 +
3 = 2 + 4, т.е. С = С1
(рис. 4.2).
Из того, что 1 = 2, ВСС1 = ВС1С, следует,
что ВСС1 - 1 = ВС1С - 2,
т.е. С = С1 (рис. 4.3).
1 = 2, значит, С = С1 (рис.4.4).
5. ∆АВС = ∆А1В1С1 (АС = А1С1, ВС = В1С1
С = С1 ) по первому признаку.
230
1.Приложить треуг. А1В1С1 к треуг. АВС.
2.Выполнить дополнительное построение – построить
отрезок СС1.
3.Выделить равнобедренные треугольники и обозначить равные углы при основаниях.
4.Установить равенство углов С и С1, вычислив сумму
(разность) градусных мер попарно равных углов (рис.
4.2, 4.3).
5.Сделать вывод о равенстве треугольников по доказанному ранее первому признаку.
Основная идея доказательства:
- прием «приложения»;
- рассмотрение трех случаев расположения построенного отрезка относительно общей стороны приложения;
- прием сведения доказательства к известному признаку.
Анализируя ход доказательства, можно выделить опорные знания, которые необходимы ученику для осмысления проведенных рассуждений. К их
числу относятся: определения равных отрезков, равных треугольников, равнобедренного треугольника; свойство равнобедренного треугольника, первый признак равенства треугольников, следствие о соответственно равных
элементах в равных треугольниках; свойство суммы и разности градусной
меры угла, состоящего из двух углов.
Среди задач в теме можно выделить:
- дидактические задачи: № 135-138, в которых первый шаг состоит в
доказательстве равенства треугольников по третьему признаку, а второй – в
установлении равенства выделенных пар углов;
- познавательные задачи: № 139-142, в которых наряду с третьим признаком используются и другие известные теоремы: №139,141 – третий и второй признаки; № 140 – третий и первый признаки; № 142 – свойство равнобедренного треугольника, третий или первый признаки (второй признак или
свойство биссектрисы равнобедренного треугольника);
- задачи на построение (пункт 23).
Таким образом, к числу новых элементов содержания темы, усвоение которых будет способствовать реализации не только обучающей, но и развивающей, и воспитательной функций урока, можно отнести:
а) формулировку и доказательство нового признака равенства треугольников;
б) основные идеи доказательства;
в) составление плана доказательства теоремы;
г)прием дополнительного построения отрезка;
д) распознавание равных треугольников по третьему признаку;
е) применение третьего признака для установления пар равных углов;
ж) формулировку новой эвристики на основе доказанной теоремы как
дополнение к известным способам установления равенства треугольников.
Итак, при подготовке к уроку изучения нового учитель должен провести анализ содержания темы с учетом основных компонентов содержания
математического образования и выделить новые элементы содержания, причем не только дидактические единицы, но и приемы, способы и средства познания, которые станут предметом усвоения на уроке.
Следующий шаг в подготовке к уроку изучения нового состоит в установлении целей изучения темы и в постановке целей урока. Начнем с анализа
целей изучения темы и уровней усвоения нового, которые представлены в
программе по математике в разделах «Тематическое планирование» и «Требования к математической подготовке учащихся».
231
Основная цель изучения темы «Треугольники. Равенство треугольников» сформулирована в программе по математике так – изучить признаки равенства треугольников и сформировать умения доказывать равенство треугольников. К числу обязательных результатов по этой теме отнесены следующие умения: решать типовые задачи на вычисление и доказательство;
проводить доказательные рассуждения в ходе решения типовых задач; вычислять значения геометрических величин (длин сторон, углов), применяя
изученные теоремы и определения.
Видим, что эту цель следует конкретизировать, учитывая цели математического образования, проведенный анализ темы и тот факт, что составляется
конспект первого урока по изучению третьего признака равенства треугольников.
Цель первого урока по теме «Третий признак равенства треугольников»
можно сформулировать так: создать условия, при которых школьники:
– «откроют» формулировку нового признака равенства треугольников
и способ его доказательства;
– установят отличие формулировки и доказательства третьего признака от формулировок и доказательства первого и второго признаков;
– выделят типы задач, которые можно решать с помощью доказанной
теоремы.
Для достижения поставленных целей необходимо решить:
1) найти способ доказательства равенства треугольников, имеющих три
пары соответственно равных сторон;
2) выявить отличия в формулировках признаков и в способах доказательства признаков;
3)установить типы задач, которые можно решать с помощью третьего
признака.
Теперь можно сформулировать ожидаемые результаты урока (уровни
достижения целей). В результате ученик:
– знает формулировку третьего признака равенства треугольников;
– имеет представление о составлении плана доказательства теоремы;
– осознает основные идеи доказательства: прием «приложения» треугольников; необходимость рассмотрения трех случаев для доказательства
теоремы; прием использования уже доказанного признака для доказательства
нового;
– отличает формулировку третьего признака от других теорем и определений; умеет выделять в доказательстве нового признака изученные определения и теоремы, т.е. обосновывать ход рассуждений;
– умеет выполнять дополнительное построение для выделения пар
равных треугольников в новых фигурах;
– знает последовательность решения типовых задач: выделить три пары соответственно равных элементов в треугольниках – доказать равенство
треугольников по признаку ССС – установить равенство соответствующих
углов;
232
– умеет выделять равные треугольники, используя определение и три
признака (по готовым чертежам).
Следующий шаг в подготовке к уроку изучения нового состоит в определении структуры урока, в отборе форм организации познавательной деятельности учащихся, в выборе методов и средств обучения. При этом формы
организации деятельности учащихся можно указывать при описании этапов
урока.
Структура урока изучения нового по теме «Третий признак равенства
треугольников»:
1. Организационный момент – готовность учащихся к уроку.
2. Актуализация знаний определения и признаков равенства треугольников – фронтальная работа по готовым чертежам. Мотивация введения нового признака – решение конкретно-практической задачи; постановка учебной задачи.
3. Содержательный этап: формулировка нового признака, составление
плана доказательства теоремы и запись доказательства.
4. Этап осознания и осмысления теоремы и ее доказательства: работа в
парах по выявлению отличий в формулировках и доказательстве признаков;
фронтальная работа по выявлению равных треугольников по третьему признаку по готовым чертежам; по выделению основных типов задач на применение третьего признака равенства треугольников.
5. Первичное закрепление третьего признака: выделение шагов в решении задач на доказательство равенства треугольников и на вычисление градусной меры углов – коллективное обсуждение хода решения и запись решения в тетради.
6. Подведение итогов урока, предъявление домашнего задания.
Выбор методов обучения к планируемому уроку:
а) по источнику передачи и восприятию информации: словесные (эвристическая беседа); практические: поиск равных треугольников по готовым
чертежам; по составлению задач;
б) по логике изложения: дедуктивный (в процессе решения конкретнопрактической задачи открывается способ, который используется в доказательстве теоремы, а затем теорема применяется для распознавания пар равных треугольников по готовым чертежам);
в) по характеру познавательной деятельности учащихся: частичнопоисковая при анализе способа решения задачи и выдвижении гипотез по
преобразованию взаимного расположения треугольников на рисунках; репродуктивно-преобразующая на этапе составления плана доказательства теоремы и при составлении задач по рисункам;
г) по степени управления учебной деятельностью: под руководством
учителя через систему целесообразно подобранных задач;
д) методы мотивации и стимулирования: создание проблемной ситуации; использование цветовой гаммы как средства стимулирования поиска
треугольников знакомого вида и обнаружения пар равных элементов;
233
е) методы контроля и самоконтроля: самоконтроль на этапе осознания
и осмысления новой теоремы при распознавании пар равных треугольников
по третьему признаку; использование шкалы интереса при подведении итогов урока.
Оборудование к уроку: кодопленка (плакат) с планом доказательства
теоремы; рисунки а – д на доске, треугольный «вырез» для изображения треугольников у учителя и учащихся; цветные мелки (карандаши); рисунки б, е,
ж для этапа осознания и осмысления нового, рисунки з, к для первичного закрепления третьего признака равенства треугольников.
Таким образом, первая часть подготовки к уроку завершается формулировкой некоторых общих положений, определяющих содержательные, целевые и организационно-методические установки урока (его концепцию).
Они могут быть представлены в следующем виде:
1. Тема. Класс. Учебник (авторы, год издания). Пункт (параграф) учебника. Номер урока.
2. Триединая цель урока как его основная учебная задача.
3. Ожидаемые результаты урока. Их представление в виде описаний,
характеризующих результат деятельности ученика: имеет представление…,
знает (умеет воспроизвести)…, умеет…, осознает идею (способ, прием)…,
узнает (распознает)…, выводит следствия…, отличает… и т.п.
4. Структура урока, методы обучения и формы организации познавательной деятельности учащихся.
5. Оборудование урока (средства): учебник, рисунки, таблицы, инструменты, плакаты, кодопленки и др.
6. Оформление записей на доске и в тетрадях учащихся.
Вторая часть подготовки к уроку состоит в написании конспекта, в котором должны найти отражение все основные положения, выделенные в концепции. В конспекте подробно описывается ход урока, раскрывается деятельность учителя (рассказ, вопросы или задания, записи на доске, комментарии
и т.п.) и ожидаемая деятельность учеников (ответы на вопросы, требуемые
действия, ход рассуждений и т.п.). Записи видов деятельности учителя и
учащихся можно вести в две колонки, обозначив их соответствующим образом. Полезно выделить третий столбец, где можно делать пометки с помощью
букв Д и Т, обозначающих тот материал конспекта, который будет оформляться на доске (Д) и в тетрадях учащихся (Т). По этим отметкам в конце
конспекта урока можно уточнить оформление записей на доске до и во время
урока и оформление записей в тетрадях учеников.
В описании хода урока иногда прибегают к общепринятому сокращению в записи часто используемых слов. В приведенном ниже конспекте будут использоваться следующие сокращения слов: треугольник – треуг., рисунок – рис., сторона, угол, сторона – (СУС), угол, сторона, угол – (УСУ). Рисунки, используемые на уроке, приведены в конце конспекта (рис. 4.5).
Приведем теперь конспект урока изучения нового по теме «Третий
признак равенства треугольников».
234
Ход урока
Деятельность учителя
На прошлых уроках мы с вами учились сравнивать
треуг. и выделять среди них равные. Кто помнит, какими определениями, теоремами мы для этого пользовались? Поднимите руки. Назовите и прочитайте
их.
Хорошо. Вы знаете формулировки. Посмотрим, как
вы их понимаете. На рис. а-д изображены пары пронумерованных треуг. Попробуйте выделить равные
треуг., но самым лучшим будет считаться обоснованный ответ. Итак, рис. а. Будут ли равны треуг. (I) и
(2)? Почему? Верно.
Деятельность ученика
Определение: если один треуг. можно совместить наложением с другим
треуг., то такие треуг. называют равными.
Признак (СУС): Если…
Признак (УСУ): Если…
Не торопитесь переходить к следующему рисунку.
Мы еще не все выяснили по рис. 4.5. а. Например, если треуг.(I) равен треуг.(2), то какие выводы можно
сделать? Хорошо. А какие задачи можно решать на
основе известных вам признаков равенства треугольников?
А теперь перейдем к рис.4.5. б. Есть ли на рис. равные треуг.?
В равных треуг. против соответственно равных сторон (углов) лежат
равные углы (стороны), т.е.
ВС = СД, В = Д, ВСА = ДСА
А здесь какие выводы возможны? Можно ли найти
величину угла М, если угол К равен 480?
Перейдем к рис. в. Можно ли по данным на рис. в
определить меру угла С1? Почему?
Правы и те, и другие. Интуиция подсказывает, что
треуг. равны, но по этим данным мы не можем воспользоваться ни определением, ни известными признаками, а поэтому и вывод о равенстве треугольников сделать пока не можем.
Математики в таких ситуациях довольно часто используют прием сведения неизвестного факта к известному. Для этого выполняют некоторые дополнительные построения, которые позволяют увидеть известное в неизвестном. Попробуем и мы преобразовать рис.4.5. в так, чтобы найти способ установления
равенства этих треугольников. Еще раз посмотрите на
рис. в и назовите, какие пары элементов соответственно равны в этих треугольников?
Действительно, в треугольниках выделены две пары
соответственно равных сторон, а третья – общая.
Можно сказать и так: в треугольниках соответственно
равны три пары сторон, одна из которых общая.
235
Да, по I признаку (СУС)
Рис.4.5. а
Задачи на доказательство равенства
треугольников (сторон, углов); на
вычисление сторон (углов).
Да, (3)= (4) по признаку (УСУ).
МР = КР, СК = МC, М = К.
Да, М = 480, т.к. М и К лежат
против равных сторон в равных треугольниках.
Да, нет. Мы не знаем, равны ли треугольники АВС и АВС1.
АС = АС1 , СВ =ВС1 , АВ - общая.
Деятельность учителя
Деятельность ученика
Как сформулировать задачу, которую нам предстоит
решать?
В правой части тетрадного листа, сделайте рис.4.5..в,
пользуясь «вырезом».
Чтобы увидеть путь доказательства, надо посмотреть,
каких данных не хватает для того, чтобы воспользоваться определением или известной теоремой. Назовите, каких данных не хватает?
Найти способ доказательства равенства треугольников, имеющих три
пары соответственно равных сторон,
одна из которых общая.
Для того чтобы воспользоваться
определением, не хватает равенства
трех пар углов; а для того чтобы воспользоваться, например, первым приПоэтому будем преобразовывать рис. 4.5.в так, чтобы знаком, не хватает одной пары соотполучить пару равных углов (это проще, чем доказы- ветственно равных углов.
вать равенство трех пар углов). Для этого иногда при- АС = АС1 , СВ =ВС1 , АВ = АВ.
бегают к раскраске равных элементов одинаковым
цветом.
Рис.4.5. в
Какие здесь пары сторон равны? Закрасим первую
пару красным цветом (в конспекте - штриховая ли- Построим отрезок СС1 и получим два
ния), вторую пару - зеленым (штрих-пунктирная). Кто равнобедренных треугольника.
при такой раскраске видит треугольник знакомого Углы при основании равнобедренновида? Нельзя ли выделить такие треугольники? Мо- го треугольника равны.
лодец!
Итак, предлагается построить отрезок СС1. Получим
равнобедренный треугольник с красными сторонами Они равны.
и равнобедренный треугольник с зелеными сторона- Состоят из равных углов .
ми.
∆АВС и ∆АВС1 , по I признаку .
Постройте отрезок СС1 синим цветом (волнистая
линия).
Какой вывод можно сделать, рассматривая треуголь- ∆АВС, ∆АВС1, АС = АС1,
ник с красными (зелеными) сторонами?
ВС=ВС1, АВ – общая сторона
Верно. Закрасим углы соответственно красным и
1) С = С1; 2) ∆АВС = ∆АВС1.
зеленым цветом. Сравните теперь углы С и С1 ?
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем стоПочему?
Отметим их равными дугами. Равенство каких тре- ронам другого треугольника и одна
сторона у них общая, то такие треугольников можно теперь установить? Почему?
угольники равны.
Подведем итог по рис. 4.5.в.
Да, прием доп. построения отрезка;
Что было дано?
сведение неизвестного факта к известной теореме.
Что доказали?
Попробуйте сформулировать доказанное предложение о равенстве этих треугольников.
Решена ли поставленная задача? Какие приемы лежат
в основе найденного способа доказательства?
Верно. Подумайте и обсудите в парах ответы на следующие вопросы: а) будет ли верно это утверждение,
если убрать условие - одна сторона общая? б)верна ли
теорема применительно к рис. г? Почему?
Только ли этими сторонами? Почему? Хорошо.
236
Да, если заменить его парой равных
сторон.
Да, потому что их можно приложить
друг к другу сторонами АВ и А1В1 .
Деятельность учителя
Как теперь сформулировать учебную задачу урока?
Сделайте в левой части тетрадного листа (слева от
рис. в) рис. г, пользуясь «вырезом», и раскрасьте равные стороны соответственно красным и зеленым цветом.
Итак, имеем два треугольника АВС и А1 В1 С1 ,
что еще надо записать в дано? Что нужно доказать?
Попробуем восстановить ход доказательства и составить план доказательства. С чего надо начинать?
Есть у нас в тетрадях такой рисунок?
Отметьте на нем совпавшие точки А(А1), B(B1).
Как записать выполненный шаг доказательства в
плане? (После ответа учащихся учитель открывает на
плакате соответствующие пункты плана.) Чем отличается запись доказательства от записи плана?
Запишем первый пункт плана в тетрадь.
Кто помнит, как надо поступить дальше?
(см. рис.4.5. в).
Запишем кратко этот шаг доказательства в п.2 плана.
Что мы установили затем? Верно.
Для записи доказательства и его плана надо красные
углы обозначить 1 и 2, а зеленые - 3 и 4. Получим: АС =А1 С1 , значит, треугольник САС1 –
равнобедренный, следовательно, 1 = 2; ВС =В1 С1,
значит, треугольник СВС1 –равнобедренный, следовательно,
3 = 4.
Сделайте эти обозначения на рис. в, сформулируйте
выполненный шаг доказательства, так чтобы его
можно было записать в третий пункт плана доказательства.
К какому выводу мы пришли дальше в решении
предыдущей задачи? Действительно, из того, что 1
= 2, 3 = 4, следует, что 1 + 3 = 2 + 4, т.е.
С = С1.
Как записать в плане этот шаг доказательства?
Какой вывод теперь можно сделать о треугольниках?
Почему они равны? Как записать этот шаг доказательства в плане?
237
Деятельность ученика
Нет, можно сторонами АС и А1С1,
ВС и В1С1 потому, что они тоже равны.
Найти способ доказательства равенства двух треугольников, имеющих
три пары соответственно равных
сторон.
Дано: ∆АВС , ∆АВС1, АС = АС1,
ВС=ВС1, АВ = А1 В1
Доказать:
∆АВС = ∆АВС1
Приложить треугольник А1 В1 С1 к
треугольнику АВС так, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной А,
вершина В1 с вершиной В.
Да, рис.4.5. в.
1. Приложить треугольник А1 В1 С1 к
треугольнику АВС равными сторонами.
В плане указывается только то, что
надо сделать, и не приводятся обоснования выполненных действий.
2. Выполнить дополнительное построение – построить отрезок СС1.
∆САС1 – равнобедренный, и красные
углы равны, ∆СВС1- равнобедренный, и зеленые углы равны.
3. Выделить равнобедренные треугольники и обозначить равные углы
при основаниях.
Нашли сумму попарно равных углов.
4. Установить равенство углов С и
С1, вычислив сумму градусных мер
попарно равных углов .
∆АВС = ∆А1 В1 С1 (АС = А1 С1,
ВС = В1 С1, С = С1) по первому
признаку.
Деятельность учителя
Итак, мы рассмотрели два треугольника, у которых
три стороны одного соответственно равны трем сторонам другого. Доказали, что такие треугольники
равны. Как мы рассуждали?
Действительно, для установления равенства данных
треугольников мы воспользовались известным признаком, т.е. использовали прием сведения нового
факта к известному. И чтобы каждый раз при данных
условиях не выполнять переход к известной теореме,
имеет смысл сформулировать новую теорему, по которой можно признать равные треугольники. Попытайтесь ее сформулировать. (Уточнить, если нужно,
формулировку.) Прочитайте формулировку теоремы
на с.38 учебника. Выделите условие и заключение
теоремы.
Эту теорему называют третьим признаком равенства
треуг. Почему ее называют признаком?
А какие условия будете проверять?
Проверим, как вы поняли формулировку этой теоремы? Обратимся к рис. 4.5.е, д, ж. Равны ли пары треугольников на рис. 4.5.е, д, ж ?
Как вы думаете, сохранится ли план доказательства
теоремы, если треугольники на рис. е приложить
сторонами ДК и Д1К1 , а треугольники на рис. ж –
сторонами РК и Р1К1?
Дома попробуйте это проверить, используя рис. е и
ж.
Поясните ответ по рис. 4.5.б, если я сотру старые
условия и отмечу, что РК=РМ, КС=СМ.
Равны ли треугольники?
Хорошо, добавлю к рис.4.5. б такое условие: КРС=
26°.
Какие еще выводы можно сделать? Почему? А еще?
Деятельность ученика
5. Сделать вывод о равенстве треугольников по доказанному ранее
первому признаку.
Сначала приложили один треугольник к другому равными сторонами,
затем установили равенство двух углов в данных треугольниках.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие
треугольники равны.
Потому что с ее помощью можно
признать равные треугольники.
Равенство трех пар сторон.
На рис. 4.5.д – нет, т.к. не выполняются условия определения и известных признаков; на рис. 4.5.е,ж – да,
по третьему признаку.
Видимо, сохранится.
Да, равны по третьему признаку.
Можно найти СРМ, СРМ= 26°,
т.к. ∆КРС = ∆МРС, а в равных треугольниках против равных сторон
лежат равные углы. КС = СМ, значит, КРС = МРС.
Чем является луч PC для угла КРМ? Молодцы!
Можно найти КРМ, КРМ = 520.
Попытайтесь сформулировать по рис. 4.5.б различные Биссектрисой.
Задача 1. Дано: РК = РМ, КС = СМ и
задачи, пользуясь полученными выводами.
РС – общая.
Доказать: ∆КРС = ∆МРС.
Задача 2. Дано: PK =PM, KC=CM и
КРС = 26°. Найти: МРС; КРМ.
Задача 3. Дано: РК = КМ, КС=СМ.
Доказать: РС – биссектриса угла Р.
238
Деятельность учителя
Деятельность ученика
Итак, повторим еще раз, в чем же суть третьего признака равенства треугольников? Попробуем сделать
вывод о том, для чего его можно использовать?
Кто попробует?
Всегда ли справедлив вывод г)? Приведите пример,
опровергающий этот вывод (рис.4.5.з).
Вернемся теперь к доказательству признака. Опираясь на план доказательства, перечислите определения,
теоремы, которыми пользовались для доказательства
третьего признака.
Подумайте несколько секунд и обсудите в парах следующие вопросы: а) чем отличаются формулировки
признаков друг от друга? б) чем отличается способ
доказательства этого признака от способа доказательства двух известных вам признаков?
А почему при доказательстве третьего признака нельзя было воспользоваться «наложением», т.е. свести к
определению равных треугольников?
Какой новый прием помогает выделить знакомые фигуры? Что строили?
Теперь выясним, как использовать новый признак в
решении задач.
На рис. 4.5.з изображен четырехугольник АВСД и отрезок ВД. Докажите, что ∆ВСД = ∆ДАВ.
Какое дополнительное построение нужно сделать,
чтобы выделить еще два равных треугольника?
Сравните углы в ∆АВС и ∆СДА.
239
Задача 4. Дано: РК = РМ, КС = СМ,
РС – общая, К = 400. Найти: М.
Он позволяет установить равенство
двух треугольников, имеющих три
попарно равные стороны:
а) для доказательства равенства треугольников по трем сторонам;
б) для доказательства равенства углов;
в) для вычисления гр. меры углов;
г) для доказательства того, что общая
сторона двух треугольников может
являться биссектрисой.
1) Определение равных отрезков при
приложении; 2) определение равнобедренного треугольника; 3) свойство равнобедренного треугольника;
4) признак (СУС) равенства треугольников.
а) Условиями: различными парами
соответственно равных элементов;
б) при доказательстве первого и второго признаков использовали прием
наложения и сводили доказательство
к определению, а здесь – прием приложения и сводили доказательство к
известному признаку.
Так как здесь не было равных углов и
нельзя быть уверенным в том, что
луч А1С1 пойдет по лучу АС.
Дополнительное построение: строили
отрезок, чтобы выделить равнобедренные треугольники.
ВС=ДА, СД=АВ, ВД – общая, значит,
∆ВСД = ∆ДАВ (по признаку ССС).
Нужно построить отрезок АС, и получим ∆ АВС = ∆СДА, по третьему
признаку.
В =Д, ВСА = САД,
ВАС = АСД.
Деятельность учителя
Деятельность ученика
Посмотрите теперь на рис.4.5. к. Равные отрезки отмечены на рисунке одинаковым цветом (штриховой и
штрих-пунктирной линиями соответственно). Здесь
изображена трапеция, мы с этой фигурой познакомимся в 8-м классе, а сейчас откроем одно ее свойство. Запишите условие задачи по рис. 4.5.к.
Надо найти углы А, Д.
Найдите на рис. к равные треугольники, а затем равные углы.
Запишите решение в тетрадь, а на доске эту работу
выполнят по очереди ученики…
Дано: АВСД – трапеция, АВ = ДС,
АС = ДВ, ВАС = 400,АДВ=200.
Найти: А , Д.
Решение:
1) ∆ВАС и ∆СДВ: АВ = СД,
АС = ВД, ВС –общая, значит,
∆ВАС = ∆СДВ по третьему признаку
(ССС), тогда ВАС = СДВ =400.
2) ∆АВД и ∆ДСА: АВ = СД,
ВД = АС, АД – общая, значит,
∆АВД = ∆ДСА по третьему признаку,
тогда
ВДА = ДАС = 200.
3) А = Д = 600.
Они состоят из пар соответственно
равных углов.
Если боковые стороны трапеции равны, то и углы при основании равны.
На свойство равнобедренного треугольника.
Почему А = Д ?
Какое свойство трапеции обнаружили?
На свойство какой знакомой вам фигуры оно похоже?
Подведем итоги урока. Итак, как можно установить равенство треугольников? (Воспользоваться определением или любым из трех признаков.)
Какие задачи можно решать с помощью третьего признака? Какую роль в
усвоении новой темы играет составленный нами план доказательства? Зачем
он нужен? (План отражает основные этапы доказательства. Составление плана позволяет учиться кратко формулировать выполняемые действия. Зная
план доказательства, можно восстановить и само доказательство.)
Формулировку нового признака мы повторили несколько раз, но этого
бывает недостаточно, чтобы ее запомнить. Поэтому дома надо выучить формулировку этой теоремы и научиться ее проговаривать в процессе решения
задачи № 136. Важным является и умение доказывать теорему. Поэтому дома, пользуясь учебником и составленным на уроке планом, попытайтесь доказать третий признак так, чтобы суметь пересказать доказательство на следующем уроке. Желающим предлагаю провести доказательство по рис. е, ж
и ответить на поставленный ранее вопрос: изменится ли план доказательства
и ход рассуждений.
240
Теперь на отдельных листочках постройте отрезок длиной в 2 клеточки. На этом отрезке поставьте точку правее середины отрезка, если материал
урока был вам интересен, вызвал желание выполнить самостоятельно домашнее задание, включая названный выше дополнительный вопрос. Если же
тема урока, решаемые на ней задачи оставили вас равнодушными, то поставьте точку на отрезке левее его середины.
Домашнее задание: п.20 из учебника, доказать теорему, решить задачу
№ 136.
Рисунки к конспекту урока «Третий признак равенства треугольников»
а)
б)
К
В
Р
1
А
С
110 0
3
4
С
в)
С
А
В
2
Д
М
г)
С1
д)
е)
С
В
В
А
М
К
А
С1
В
А1
С
Д
Д1
Р
В1
К1
В1
к)
Р1
ж)
Р
К
К
з) В
М
К1
М1 А
С
Д
Д
С
А
В
Рис. 4.5
4.4. Проектирование уроков решения задач
Цели и структура уроков решения задач
Выполнение упражнений, решение задач осуществляется практически
на каждом уроке математики. Однако есть уроки, специально посвященные
решению задач.
Цель таких уроков – обучение решению задач, формирование умений и
навыков в решении задач различных уровней сложности. Основные умения,
которые необходимо формировать у учащихся, имея ввиду обучение решению задач, названы в п.3.5.
Типы уроков решения задач разнообразны. Их можно систематизировать в соответствии с этапами формирования общего умения решать задачи.
241
Как урок решения задач может быть организован урок усвоения теории. На нем выполняются упражнения, отвечающие определенным принципам (см. пункт 3.4), на прямое применение изученных определений, теорем,
правил. На этом уроке происходит осознание, осмысление, первичное применение изученной теории, ее запоминание, формируются действия подведения под понятие и выведения следствий на основе определений или теорем,
формируются и отрабатываются частные эвристики, образуется умение и до
некоторой степени навык в применении учебного алгоритма.
На последующих уроках решаются задачи, в которых наряду с изучаемым материалом используется и ранее изученный, задачи на комплексное
применение знаний.
В целом структура уроков решения задач адекватна структуре учебной
деятельности.
В мотивационно–ориентировочной части проводится актуализация
знаний. Мотивацией дальнейшей деятельности для учащихся может служить
необходимость осознания ценностей полученных результатов, установление
возможностей использования изучаемого теоретического материала. Одной
из таких возможностей в математике всегда является решение задач. Поэтому возникает соответствующая учебная задача, которая в самом общем виде
может быть сформулирована так: выявить типы (виды, классы, группы) задач
по теме и методы, приемы их решения (составления). Для каждого отдельного урока эта учебная задача конкретизируется, уточняется, формулируется в
виде цели.
Содержательная часть деятельности есть решение задачи или ряда задач.
В рефлексивно-оценочной части организуется осознание, осмысление
деятельности и ее результатов. Это может быть выделение типов или видов
задач, анализ использованных общелогических или специфических методов,
приемов решения задач и поиска решения, выявление новых, вычленение
приобретенных умений и т.д. В заключение полученные результаты сопоставляются с целью урока, подводятся итоги.
Если объем изученного теоретического материала по теме или блоку
темы достаточно велик и задачи многочисленны и разнообразны, то здесь
можно выделить три типа уроков решения задач – уроки решения ключевых
задач, уроки-практикумы и уроки решения комплексных, нестандартных задач, задач проблемно-развивающего типа.
Понятие ключевой задачи, виды и технология работы с ключевой задачей рассмотрены в пункте 3.5. Цели уроков решения ключевых задач могут
быть следующими:
– установление нового для учащихся факта (признака, свойства, правила), который в дальнейшем будет использоваться как известный;
– ознакомление с новым типом задач и методом их решения;
– ознакомление с новым общелогическим методом рассуждений;
– выявление возможностей использования изученного теоретического
материала в решении задач;
242
– обнаружение нового частного приема, способа, метода решения или
составления задач и другие.
Примеры тем уроков решения ключевых задач: «Три основные задачи
на проценты», «Решение задач с помощью линейных (квадратных) уравнений (систем уравнений)», «Методы доказательства тождеств», «Применение
производной к решению задач», «Вычисление площадей фигур с помощью
определенного интеграла», «Признаки и свойства параллельности прямых»,
«Метод площадей в решении задач», «Прием дополнительных построений в
геометрических задачах», «Неправильная пирамида и проекция ее вершины
на плоскость основания».
Уроки решения ключевых задач могут проводиться в разных формах.
Это может быть и урок-лекция, и обычный традиционный урок с фронтальной формой работы, и урок-семинар.
После изучения правил и алгоритмов и решения ключевых задач проводятся уроки-практикумы, т.е. уроки, на которых учащиеся практикуются в
решении задач. Цель таких уроков – формирование умений и навыков в решении задач того или иного типа, в применении тех фактов, приемов, способов, методов решения и составления задач, которые были установлены на
уроках решения ключевых задач, формирование общего умения решать задачи. Это уроки отработки ключевых задач или их еще называют уроками решения обучающих задач.
На уроках-практикумах учащиеся проявляют большую самостоятельность и творчество, чем на других уроках решения задач. Учитель имеет возможность учесть индивидуальные особенности каждого ученика.
Если по теме проводится несколько уроков-практикумов, то на первых
уроках преобладает фронтальная форма работы с учащимися, на следующих
– групповая, в частности парная, и, наконец, - индивидуальная.
Уроки решения задач комплексного характера, проблемноразвивающих, нестандартных задач позволяют реализовывать самые разные
цели, касающиеся формирования умений решать и составлять задачи. Они
организуются в разных формах, например, могут быть построены как уроки
решения ключевых задач, могут проводится в форме семинарского занятия,
конференции, в форме уроков решения одной задачи.
Уроки решения одной задачи довольно широко распространены. В исследованиях методистов и в практике работы учителей встречаются следующие разновидности таких уроков.
 Урок, на котором осуществляется поиск различных способов и (или)
методов решения одной задачи. Урок такого типа завершает изучение какойлибо темы или какой-либо этап обучения решению задач. Цель урока – обучение приемам поиска решения задач, анализ приемов решения.
 Решается задача с одним и тем же условием и несколькими требованиями, выполнение которых осуществляется с использованием знаний из различных тем и разделов курса математики. Уроки такого типа завершают изучение какого-либо раздела или всего курса математики IX или XI классов.
Цель урока – систематизация знаний и умений по разделу или курсу.
243
 Урок, на котором решается совокупность взаимосвязанных или разрозненных задач, обеспечивающая решение одной сложной задачи, которая
предлагается в совокупности последней. Такие уроки могут проводиться на
различных этапах обучения, когда встречаются достаточно сложные задачи.
Цель урока – формирование умений устанавливать взаимосвязи между задачами, осуществлять аналитико-синтетическую деятельность.
 Урок, на котором порядок решения задач обратен порядку решения задач на уроке предыдущего типа: формулируется сложная задача, учащиеся
при поиске ее решения выделяют систему подзадач, которые следует решить
предварительно. Здесь от учащихся требуется большая самостоятельность,
умение осуществлять поиск решения, составлять задачи по имеющимся данным. Формирование этих умений и является целью данного урока.
 Решается задача. Затем на ее основе составляются новые задачи с использованием различных приемов составления задач (см. пункт 3.6). В результате образуется целая система задач. Часто оказывается, что получаются
задачи совсем нового типа, не имеющие, на первый взгляд, отношения к исходной задаче. Исходную задачу и полученную систему задач называют динамической задачей.
Уроки такого типа могут проводиться при изучении любой темы
школьного курса на уровне, который допускает тема и возраст учащихся.
Цель урока – ознакомление с приемами составления задач, формирование
умений составлять задачи, устанавливать взаимосвязи между ними, формирование различных эвристических, логических и речевых умений.
Очевидно, что рассмотренные здесь основные типы и виды уроков решения задач не являются классификацией, поскольку, с одной стороны, невозможно перечислить все разновидности уроков решения задач, а с другой –
перечисленные виды могут пересекаться. Например, урок решения ключевых
задач или урок-практикум могут быть организованы как уроки одной задачи.
Уроки решения задач не изолированы друг от друга и от уроков изучения теории. Они проектируются в системе уроков по теме. Сначала проводится логико-дидактический анализ темы, включающий анализ теоретического и задачного материала. На основе этих анализов составляется тематический план. Как это осуществляется, показано в пункте 4.2 и проиллюстрировано на теме «Параллельные прямые». В соответствии с тематическим
планом разрабатываются конкретные уроки.
Так, логико-дидактический анализ темы «Параллельные прямые» показал, что при изучении признаков и свойств параллельности прямых достаточно выделить три ключевые задачи. Их назначение объяснено в пункте 3.5.
Первые две задачи решаются на одном уроке, третья – на другом.
Покажем, например, как может выглядеть проект второго урока
решения ключевых задач, разработанный с учетом обоснований, данных в
пункте 3.5.
244
Конспект урока решения ключевых задач
Учебник: Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л.С.
Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – М.: Просвещение, 2007.
Тема урока. Признаки и свойства параллельности прямых. Решение задач. Составление задач.
Урок №7 в системе уроков по теме.
Цели урока. Формировать умения:
– применять признаки и свойства параллельности прямых для доказательства параллельности прямых и равенства углов в случаях, когда прямые
заданы не явно, а отрезками – элементами других фигур;
– осуществлять поиск решения комплексных задач синтетическим методом;
– составлять задачи, обратные данной, если ее условие содержит несколько элементов.
В результате ученик:
– выделяет в условии задачи отдельные элементы;
– знает, что элементы треугольника (стороны, биссектрисы) можно
рассматривать как прямые и применять для них признаки и свойства параллельности прямых;
– владеет способом доказательства параллельности прямых, заданных
неявно;
– владеет способом доказательства равенства углов на основе свойств
параллельности прямых;
– осознает схему поиска решения задачи методом синтеза;
– понимает, что если условие задачи содержит несколько элементов,
то для нее можно составить несколько обратных задач;
– составляет задачи, обратные для данной, с двумя элементами в условии.
Структура урока
I. Мотивационно–ориентировочная часть.
1. Актуализация знаний.
2. Мотивация. Постановка учебной задачи.
II. Операционно-познавательная часть.
1. Подготовительная работа.
2. Ознакомление с текстом ключевой задачи.
3. Поиск решения задачи.
4. Анализ решения.
5. Составление и решение новых задач.
III. Осознание, осмысление, подведение итогов.
IV. Выдача домашнего задания.
245
Ход урока
(Речь учителя выделена как в обычном диалоге. Предполагаемые ответы учащихся, если они не очевидны, приведены в скобках отдельными абзацами).
I. Мотивационно–ориентировочная часть.
1. Актуализация знаний.
– Мы изучаем взаимное расположение двух прямых на плоскости. Выяснили, какие прямые называются параллельными, доказали признаки и
свойства параллельности прямых, установили, для чего они используются,
«открыли» несколько признаков пересекающихся прямых.
Проверим, как вы все это усвоили. Посмотрите на рисунок на доске
(см. рис. 4.6). Найдите на нем параллельные прямые. Ответ обоснуйте.
1
123 0
a
57 0
d
2
4
c
b b
5
6
3
123 0
Рис 4.6
– При доказательстве параллельности прямых c и d использовали признак параллельности по односторонним углам. Какие еще признаки параллельности прямых вы знаете?
– Сформулируйте их.
– А какие прямые называются параллельными?
– Почему, отвечая на первый вопрос, вы не назвали прямые a и b, прямые c и d «на глаз» тоже не параллельны?
(Потому что верно предложение: Если при пересечении двух прямых
секущей соответственные углы не равны, то прямые не параллельны. Здесь
5=3=123º по свойству вертикальных углов, поэтому 2≠5.)
– Что используется при доказательстве этой теоремы из темы «Параллельные прямые»?
(Свойство параллельных прямых о соответственных углах.)
– Какой метод доказательства при этом применяется?
– Какие еще признаки пересекающихся прямых вы знаете?
– Сформулируйте их.
– По данным рисунка найдите величину угла 4.
– Назовите теоретический базис решения этой задачи.
246
(Один из вариантов: определение и свойство смежных углов, свойство
параллельных прямых о накрест лежащих углах.)
– Кто использовал другие предложения?
(Определение и свойство вертикальных углов, свойство параллельных
прямых об односторонних углах.)
– Итак, для чего же (в каких случаях) используются признаки параллельности прямых?
(Для доказательства параллельности двух прямых.)
– Для чего используются свойства параллельности прямых?
(Для доказательства непараллельности двух прямых, равенства углов,
для доказательства того, что сумма двух углов равна 180º.)
– А как связаны между собою признаки и свойства параллельности
прямых? Например, признак по соответственным углам и свойство о соответственных углах?
(Это пары взаимно обратных теорем.)
– И как же для некоторой теоремы получить обратное предложение?
– Приведите пример, когда предложение, обратное теореме, неверно.
– Подведем итоги первой части урока.
Вы назвали довольно много случаев, в которых используются признаки
и свойства параллельности прямых, умеете доказывать непараллельность
прямых, применяя свойства параллельных и метод от противного, правильно
применяете свойства, признаки, знаете, как они взаимосвязаны. Коротко
можно сказать: если даны параллельные прямые, то используй свойства; если
надо доказать параллельность, то используй признаки.
2. Мотивация. Постановка учебной задачи.
До сих пор мы рассматривали задачи, в которых участвовали прямые и
углы, образованные при пересечении этих прямых, т.е. при решении наряду
со свойствами и признаками параллельности прямых мы использовали свойства смежных и вертикальных углов. Но в геометрии есть и другие фигуры.
Возникает вопрос: А нельзя ли применять свойства и признаки параллельности прямых в тех случаях, когда в задаче говорится не о прямых, а о других
фигурах? Вот на этот вопрос мы и должны сегодня ответить.
– Как же можно сформулировать учебную задачу сегодняшнего урока?
Попытайтесь это сделать.
(После корректировки ответов учащихся учебная задача может звучать,
например, так: учиться применять свойства и признаки параллельности
прямых в новой ситуации, т.е. в тех случаях, когда в задаче речь идет не
только о прямых, но и о других фигурах.)
– Итак, тема урока остается прежней: «Признаки и свойства параллельности прямых». Запишите ее в тетрадях и оставьте еще две строчки. На
них мы позднее запишем, чем конкретно будем заниматься на этом уроке.
Ниже запишем учебную задачу урока (записывается часть, выделенная в
формулировке курсивом).
II.
Операционно-познавательная часть.
1. Подготовительная работа.
247
– Посмотрите на рисунок на доске (см. рис. 4.7, штриховых линий на
нем пока нет).
Назовите фигуры, которые вы на нем видите.
– А какие прямые можно считать заданными на этом рисунке? (По мере называния прямых появляются штриховые дополнения.)
– Прямая бесконечна. На рисунке мы ее не можем изобразить полностью, всегда изображаем только часть. Отрезок – это тоже часть прямой. Поэтому если задан отрезок, то задана и прямая, содержащая этот отрезок.
– Рассмотрим прямые AC и BC. Назовите прямые, которые являются
для них секущими.
– Какие прямые являются секущими для прямых AB и KM?
– Таким образом, если задана фигура, составленная из отрезков, то
можно рассматривать прямые, содержащие эти отрезки, пары прямых и секущие к ним.
B
M
A
K
C
Рис 4.7
2. Ознакомление с текстом задачи.
Решим теперь такую задачу: Пусть в треугольнике ABC отрезок BK –
биссектриса. Через точку K проведена прямая, пересекающая сторону BC в
точке M так, что BM=MK. Нужно доказать, что KM и AB параллельны. (Учитель рассказывает содержание задачи по рис. 4.7, убирает лишнее и отмечает
то, что дано. Учащиеся сначала слушают, затем в тетрадях делают рисунок,
записывают за учителем условие и заключение. Учитель сообщает, что это
задача № 191 из учебника.)
На доске и в тетрадях появляются следующие записи (см. рис. 4.8)
248
Задача № 191.
B
Дано:
ΔABC,
(1) BK – биссектриса.
(2) M  BC, BM = MK.
Доказать: KM Ι Ι AB.
1 2
M
3
A
C
K
Рис 4.8
3. Поиск решения задачи.
Одну-две минуты учащиеся думают над задачей, но ничего не пишут.
– Ребята, может быть, кто-нибудь уже знает, как решить задачу. Но
начало рассуждений я вам покажу.
Представим, что AB – прямая. Чтобы доказать параллельность прямых,
нужно воспользоваться признаком параллельности прямых. Для прямых AB и
KM нужно найти секущую. Их на рисунке много – BK, BC, AK. Какую выбрать? Какие углы рассматривать? Выбор сделать трудно. Поэтому мы
начнем рассуждать с того, что дано, будем выводить следствия, помня о том,
что нас интересуют углы.
(Дальнейшую беседу можно проводить, вызвав ученика к доске. На рисунке на доске появятся номера углов, но только на время устных рассуждений.)
– Что следует из того, что BK – биссектриса в треугольнике ABC?
(1=2.)
– Что следует из того, что BM=MK? (ΔBMK – равнобедренный.)
– Что следует из того, что треугольник BMK – равнобедренный?
(2=3.)
– Что следует из того, что 1=2 и 2=3? (1=3.)
– Какое отношение имеют углы 1 и 3 к прямым KM и AB?
– Какой же вывод теперь можно сделать?
– Запишем решение задачи. (Появляются следующие записи, на доске
их делает учитель.)
Решение
1. ABK=KBC (по определению биссектрисы).
2. ΔBKM – равнобедренный (по определению). BK – его основание.
3. KBC=BKM (по свойству равнобедренного треугольника).
4. ABK=BKM (по свойству равенств).
5. ABΙ Ι KM (по признаку параллельности по накрест лежащим углам).
249
4. Анализ решения.
– Задача решена. Отметим еще раз отличие этой задачи от других.
(Отрезки AB и BK здесь являются элементами треугольника, мы их рассматривали как прямые, BK – секущая для AB и KM.)
– А как мы искали решение этой задачи?
(Выводили следствия из каждого элемента условия.)
– А почему поиск решения задачи здесь удобнее начинать с условия, а
не с того, что требуется доказать?
(Потому что признаков параллельности прямых много и мы не знали,
какой использовать.)
– Каков теоретический базис решения этой задачи? (Какие определения, теоремы мы использовали при решении?)
– Итак, мы сегодня решили сложную задачу, использовали разные
определения, свойства и признаки. Но работу с задачей мы еще не закончили.
5. Составление и решение новых задач.
– Для теоремы вы умеете составлять обратное предложение. Попытайтесь для этой задачи составить обратную. Как это сделать?
(Нужно поменять местами условие и заключение.)
– В условии данной задачи два элемента, из которых мы выводили
следствия: BK – биссектриса и BM=MK. Занумеруем их (см. рис. 4.8). Сначала поменяем местами первое условие и требование, а потом второе условие и
требование. Сделаем краткую запись для каждого случая (у доски последовательно работают два ученика).
Задача № 191.1
Задача № 191.2
Дано: ΔABC,
Дано: ΔABC,
BK- биссектриса,
KAC, MBC, KMΙ Ι AB,
KMΙ Ι AB, MBC.
Доказать: BM=MK
BM=MK.
Доказать: BK – биссектриса.
А теперь сформулируйте задачи.
(Задача № 191.1. Через точку K стороны AC в треугольнике ABC проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону BC так,
что BM=MK. Доказать, что BK – биссектриса треугольника.
Задача № 191.2. Отрезок BK – биссектриса треугольника ABC. Через
точку K проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону BC в точке M. Доказать, что BM=MK.)
– Решим первую составленную задачу. Будем рассуждать так же, как и
в исходной задаче.
(Чтобы доказать, что BK – биссектриса, нужно доказать, что 1=2.
Из условия KMΙ Ι AB следует, что 1=3 как накрест лежащие при параллельных KM и AB и секущей BK.
250
Из условия BM=MK следует, что 3=2 по свойству равнобедренного
треугольника.
Из условий 1=3 и 3=2 следует, что 1=2 по свойству равенств.
Тогда BK – биссектриса треугольника по определению.)
Примечание. При наличии времени решение записывается на доске и в
тетрадях.
– Решите теперь задачу № 191.2.
(Выводя следствия из условия, учащиеся получат равенство 2=3.)
– Итак, мы установили, что в треугольнике BMK два угла равны. Будет
ли такой треугольник равнобедренным, мы пока не знаем, т.к. еще не изучили соответствующую теорему. Поэтому задачу не можем считать решенной.
III. Осознание, осмысление, подведение итогов.
– Подведем итоги сегодняшнего урока. Посмотрите, какая тема у нас
записана.
– А чем мы занимались конкретно?
– Поэтому в теме урока допишем: «Решение задач. Составление задач».
– Вспомним, как мы сформулировали учебную задачу урока.
– В каких же новых ситуациях использовались свойства и признаки
параллельности прямых?
(Некоторые прямые были заданы отрезками – стороной треугольника,
биссектрисой, произвольным отрезком.
Или: некоторые отрезки – элементы треугольника – мы представляли
как прямые.)
– Покажите, какие отрезки рассматривались мысленно как прямые.
– А какой ценный опыт вы сегодня приобрели еще?
(Мы учились рассуждать, когда искали решение задачи: сначала мы
выяснили, уточнили, что нужно доказывать, затем выводили следствия из
каждого элемента условия и сопоставляли их.
Еще мы учились составлять задачи: для задачи составляли обратную.
Узнали, что если условие задачи состоит из двух элементов, а требование из
одного, то каждый элемент условия можно поменять с требованием. Поэтому
для задачи получили две обратных.)
IV. Выдача домашнего задания.
– Сегодня на уроке вы узнали много нового и интересного. Работу,
аналогичную проделанной в классе, вы выполните дома: задачу № 189 из
учебника решить, составить для нее обратные и решить их.
Примечание. В конспекте рассмотрен максимум из возможного на уроке. Для каждого конкретного класса необходима корректировка с учетом
особенностей педагогической ситуации.
4.5. Урок систематизации и обобщения
251
При обучении математике ученик последовательно изучает одну дидактическую единицу за другой. При этом у него формируются, как правило,
линейно-логические связи между изучаемыми дидактическими единицами.
Такие знания, которые характеризуются только наличием в сознании ученика
последовательно-логических связей между отдельными их единицами, исследователи (Л.Я. Зорина [35]) называют систематичными. С ростом числа дидактических единиц цепочка линейных связей между ними увеличивается, ее
становится трудно удержать ученику в памяти. Поэтому, если не проводить
учителю специальной работы, то постепенно математика начинает представляться ученику в виде набора отдельных определений, аксиом, теорем, задач.
Известно, что одна из главных целей обучения математике заключается в формировании системы знаний у школьника. Значит, знания ученика
должны быть не только систематичными, но и системными. Такие знания
характеризуются наличием в сознании ученика структурно-логических связей, которые объективно существуют в самом учебном предмете [35].
Следовательно, необходима организация деятельности учащихся на
определенных этапах обучения, специально направленная на трансформацию
линейно-логических связей, которые образовались в сознании ученика при
первичном изучении учебного материала, в структурно-логические связи.
Заметим, что в некоторой степени такая работа проводится на рефлексивнооценочной части урока, но только в рамках изучаемого на нем учебного материала. Этого явно недостаточно для формирования системы знаний у
школьников.
Таким образом, по окончании изучения тем, разделов, курсов, учебных предметов необходимо проводить специальные уроки – уроки систематизации и обобщения. Функция систематизации на таких уроках сводится к
установлению структурно-логических связей между отдельными единицами
знаний данной темы, их связей с предыдущими темами, разделами курса и
порой другими учебными предметами. Функция обобщения реализуется в
выделении главного, общего, а именно в выделении ведущих понятий, положений, методов и способов их получения и применения. Таким образом, по
окончании урока систематизации и обобщения изученная тема должна быть в
сознании ученика представлена в виде системы ведущих ее понятий и методов их получения и применения. Такие уроки не надо смешивать с уроками
повторения, которые наблюдаются в практике отдельных учителей: на них
акценты смещены в сторону повторения, закрепления изученного, но не в
сторону систематизации и обобщения изученного.
Отбор содержания и разработка целей уроков систематизации и
обобщения знаний намечается учителем на начальном этапе изучения им темы – при проведении ее логико-дидактического анализа, который заканчивается проектированием основных учебных задач темы и ожидаемых результатов обучения.
Итак, основными учебными задачами урока систематизации и обобщения являются:
- осмысление идей, приведших к изучению новой темы;
252
- выделение ведущих понятий темы, установление связей между ними, а
также связей с родственными понятиями других тем курса математики
или других учебных предметов;
- выделение общих методов познания (логических и эвристических), с
помощью которых были получены новые знания, и частных методов,
характерных для данной темы;
- выделение ключевых задач темы и способов их решения; установление
связей с ключевыми задачами других тем, схожими или по условиям,
или по требованиям, или по способу решения;
- осознание общего способа изучения всей темы и исследование возможностей другого ее построения.
В представленных учебных задачах урока систематизации и обобщения отражены все компоненты содержания: информационный, методологический, смысловой и ценностный. Кроме того, проведение таких уроков способствует правильному формированию у школьников представлений о предмете математики (как дедуктивной науке), о математическом моделировании, ее опосредованной связи с окружающей действительностью.
Одним из ведущих методов обсуждаемого типа урока в среднем звене
является метод беседы: темы не такие объемные и ученики не имеют достаточного опыта в проведении систематизации знаний. В старших классах
уроки систематизации и обобщения (особенно на этапе заключительного
обучения) могут быть построены в виде обзорных лекций (например, по теме
«Развитие понятия функции в средней школе»), так как содержание учебного
материала отличается большей объемностью и наличием глубоких и широких связей с понятиями, которые вводились еще в среднем звене. Если содержание темы во многом схоже с содержанием ранее изученной темы, то
можно спроектировать урок систематизации и обобщения в виде урока семинара (например, по темам «Подобные треугольники», «Степень с рациональным показателем», «Объемы тел», которые аналогичны соответственно темам «Равные треугольники», «Квадратные корни», «Площади фигур»).
На уроках систематизации и обобщения учитель может применять различные формы обучения: фронтальную, групповую, парную, индивидуальную. По окончании таких уроков могут быть предложены отдельным ученикам групповые или индивидуальные проекты для более глубокого изучения
проблем, связанных с данной темой.
Полезно использовать систематизирующие таблицы статического или
динамического характера, используя на уроках проектор. На ранних этапах
проведения таких уроков учитель предлагает свои варианты систематизирующих таблиц, затем создает их совместно с учениками, далее школьники сами разрабатывают свои варианты.
Структура урока систематизации и обобщения знаний инвариантна
структурам других типов уроков: она состоит из трех частей.
Мотивационно-ориентировочная часть урока состоит, в основном, из
этапа постановки целей урока. На первых порах учитель сам ставит цели такого урока, разъясняет смысл слов «систематизация», «обобщение». Посте253
пенно ученики понимают, что заключительным уроком в изучении темы является урок систематизации и обобщения знаний, они вовлекаются учителем
в постановку целей таких уроков.
Операционно-познавательная часть урока занимает основное время.
Ученики, рефлексируя приобретенный ими познавательный опыт при изучении темы, систематизируют основные теоретические понятия, положения
темы, соответствующие им методы и приемы; выделяют ключевые задачи и
способы их решений.
Рефлексивно-оценочная часть состоит из подведения итогов, проектирования возможностей применения приобретенного опыта учениками, выдачи домашнего задания. Итоги важно подвести самому учителю: логично,
кратко, четко и в соответствии с поставленными в начале урока целями. В
домашнюю работу включаются:
1) задания, направленные на подготовку к контрольной работе (иногда
полезно предложить самим учащимся составить или подобрать из литературы задачи для контрольной работы);
2) задания творческого характера (например, в 6 классе: составить задачу на проценты, при решении которой используются все три вида простейших задач на проценты);
3) индивидуальные и групповые проекты, темы которых непосредственно связаны с данной темой; исследования над проектами могут быть
длительными, результаты работы над ними могут быть представлены на последующих уроках или на заседаниях научного общества учащихся (например, «Тригонометрические подстановки при решении уравнений, неравенств
и систем», «Аксиоматический метод в построении науки»).
Приведем пример урока систематизации и обобщения по теме «Параллельные прямые» (VII класс).
Одной из главных учебных задач изучения геометрии в средней школе
является формирование у школьников дедуктивного метода построения системы знаний. Этой особенностью построения не обладает ни один другой
школьный предмет. Решение этой задачи достаточно длительный по времени
процесс. Проведенный выше анализ теоретического материала темы «Параллельные прямые» показал (см. пункт 4.2), что данная тема, в отличие от
предыдущих, организована строго дедуктивно. Поэтому появляется возможность формировать у школьников представления о дедуктивном методе построения системы знаний. Следовательно, цели урока систематизации и
обобщения знаний по теме «Параллельные прямые» заключаются не только в
осмыслении основных теоретических положений (соответствующих им методов, приемов), способов решения задач, но и в осознании дедуктивного метода построения темы.
Мотивационно-ориентировочная часть
На этом этапе необходимо выяснить происхождение изученной темы
«Параллельные прямые», то есть смыслы ее изучения. Ученики должны получить ответ на вопрос: «Почему мы стали изучать данную тему?» Чтобы ответить на этот вопрос, учитель предлагает ребятам вспомнить учебную зада254
чу, которая была поставлена на самом первом уроке изучения темы и которая
привела к необходимости введения понятия параллельных прямых.
Заметим, что в нашей практике семиклассники поставили на первом
уроке основную учебную задачу изучения новой темы, связанную с поиском
способа доказательства известного для них факта о том, что сумма всех углов
треугольника равна 180º. В связи с этим ученики припоминают, что они не
смогли доказать в начале изучения темы данный факт.
- Хватит ли теперь у вас средств, чтобы доказать это утверждение?
Учащиеся достаточно легко справляются с поставленной в начале изучения темы учебной задачей. Более того, как показал опыт, они готовы предложить не один способ доказательства.
- Почему вы смогли доказать теперь это утверждение?
Ученики перечисляют отдельные факты данной темы, которые являются теоретическим базисом доказательства теоремы о сумме углов треугольника.
- Действительно, вам теперь известно много фактов. Однако их знание
недостаточно для доказательства этого утверждения. Кроме знаний фактов,
мы приобрели некоторый опыт проведения логических рассуждений. Следовательно, нам необходимо осознать на сегодняшнем уроке не только изученные теоретические положения темы «Параллельные прямые», но и осмыслить тот познавательный опыт, который мы приобрели вместе с этими теоретическими положениями.
Итак, этот этап закончился постановкой целей дальнейшей совместной
деятельности учащихся и учителя на уроке, направленной на осознание ими
как теоретических положений темы, так и на осознание познавательного
опыта (методов, приемов, способов), который они приобрели вместе с изучением этих положений и решением задач.
Операционно-познавательная часть
Далее учитель организует беседу, направленную на выделение учениками основного содержания темы, по ходу беседы постепенно создается модель изученной темы (см. табл. 4.1):
- Каково взаимное расположение двух прямых на плоскости?
- Сформулируйте соответствующие определения.
- Докажите существование параллельных прямых.
- Возможны ли другие случаи взаимного расположения двух прямых на
плоскости? Почему?
- Какими еще дополнительными свойствами и признаками, не отраженными в определении, обладают параллельные прямые?
- При дальнейшем изучении геометрии мы будем вводить с вами достаточно много новых понятий, поэтому нам необходимо знать общий подход к
их изучению. Попытаемся на примере изученного понятия параллельных
прямых выделить суть этого подхода.
В результате обсуждения этого вопроса выделяем общий подход к изучению новых понятий, который состоит в следующем:
1) ввести определение нового понятия;
255
2) доказать существование объектов, соответствующих этому определению (в противном случае не имеет смысла изучать новое понятие);
3) исследовать другие свойства и признаки этого понятия, отличные от
тех, которые сформулированы в определении.
Результаты заносим в табл. 4.1. В связи с обсуждением вопроса об общем подходе к изучению понятий возникает проблема о его исследовании на
примере ранее введенных понятий пересекающихся и перпендикулярных
прямых. Данная проблема может быть предложена отдельному ученику или
группе учеников в качестве индивидуального задания.
- Что входит в теоретический базис доказательств теорем? (Определения, изученные ранее теоремы, аксиомы.)
- Перечислите известные вам аксиомы. Какова роль аксиом в геометрии?
- Какие теоремы данной темы вы не смогли бы доказать без аксиомы
параллельных прямых? (Следствия из аксиом и свойства параллельных прямых.)
Следует обратить внимание учащихся на то, что среди этих теорем
присутствует и свойство углов треугольника.
- Какой общелогический метод рассуждений мы часто применяли при
доказательстве теорем и решении задач данной темы?
- Выделим теоремы и задачи, доказательства которых были построены
методом от противного.
Анализируя теоремы этой темы, ключевую задачу, которая фактически
является признаком пересекающихся прямых (см. пункт 4.4), а также теорему
о перпендикуляре к прямой (из предыдущей главы школьного учебника),
ученики приходят к выводу о том, что метод от противного может быть
применен в следующих ситуациях:
1) когда нужно будет доказывать обратные теоремы (например, первое свойство параллельных прямых);
2) когда нужно будет доказывать единственность некоторого объекта
(например, единственность перпендикуляра, проведенного из данной точки к
данной прямой);
3) когда нужно будет доказывать противоположную теорему (например, признак пересекающихся прямых).
Данный вывод фиксируем в табл. 4.1.
- Сравните методы, приемы доказательств трех признаков параллельных прямых.
Этот вопрос нацеливает ребят на выделение методов, приемов доказательств соответствующих теорем. Фактически поиск доказательств всех трех
признаков мы осуществляли одним методом – аналитико-синтетическим, известный еще ребятам по предыдущей теме, где он многократно применялся
(в частности, при поиске доказательства третьего признака равенства треугольников и решении комплексных задач по этой теме). Кроме того, прием
доказательств последних двух признаков параллельных прямых одинаковый:
свести к доказанному признаку.
256
Таблица 4.1
Тема: параллельные прямые
Общий подход к изучению
Общий подход к доказательству
новых понятий:
теорем:
определение (паралл. пр.)
Определе- Доказанные
Аксиомы
ния
теоремы
существование (паралл. пр.)
Новая теорема
свойства и признаки (паралл. пр.)
Признаки
1а
Свойства
Аксиома параллельных прямых
a \\ b
1б
а
метод
?
от противного
b
?
аналитикосинтетический
метод
a \\ b
2а
2б
а
аналитикосинтетический
метод
прием
обращения
?
b
?
a \\ b
3а
180º
3б
а
аналитикосинтетический
метод
?
Способы доказательств параллельности и непараллельности прямых
Метод от противного:
1) обратные утверждения;
2) единственность;
3) противоположные утверждения
прием
обращения
?
Способы доказательств равенства углов
и нахождения величин углов
Обратные утверждения:
1) метод от противного;
2) прием обращения цепочки логических рассуждений прямой теоремы
Ключевые задачи
1.
а
b
2.
1
2
1  2
a || b
метод от противного
А
3.
2
1
3 1, 2, 3
?
?
ВМ || КМ?
К
В
М
аналитико-синтетический метод
257
С
прямые и секущие заданы
явно
неявно
- Можно ли перенести идею доказательства первого признака на доказательство второго (или третьего) признака параллельных прямых?
Вообще говоря, этот вопрос не такой простой, он требует дополнительного исследования, которое может быть предложено отдельному ученику или
группе учеников в качестве индивидуального задания.
- Сравните доказательства второго и третьего свойств с доказательством первого свойства параллельных прямых. (Так же как и для соответствующих признаков, прием доказательств последних двух свойств одинаковый: свести к доказанному свойству.)
- Можно ли метод доказательства первого свойства перенести на доказательство второго (или третьего) свойства параллельных прямых?
Если это задание окажется для ребят сложным, то его можно также
предложить в качестве индивидуального задания.
- Сравните доказательства второго признака и второго свойства, третьего признака и третьего свойства. (Фактически доказательства свойств параллельных прямых являются обращением цепочки логических рассуждений соответствующих признаков.)
- Какими же методами, приемами могут быть доказаны обратные
утверждения?
Приходим с учениками еще к интересному выводу: если нужно будет
доказывать обратные утверждения в дальнейшем, то можно попытаться
применить метод от противного или обратить цепочку логических рассуждений прямой теоремы. В случае опровержения обратного утверждения достаточно привести контрпример. Вывод фиксируем в табл. 4.1.
- Какие новые виды задач появились в теме «Параллельные прямые»?
(Задачи, в которых требуется доказать или опровергнуть параллельность или
прямых, или лучей, или отрезков.)
- Действительно, до этой темы мы с вами не решали задачи с таким
требованием. Приведите примеры такого типа задач.
Постепенно информация о ключевых задачах заносится в табл. 4.1.
К чему сводятся решения задач, в которых требуется доказать параллельность прямых? (К применению способов доказательств параллельных
прямых.)
- Перечислите эти способы. (Чтобы доказать параллельность двух прямых, надо доказать одно из следующих утверждений: 1) перпендикулярность
этих прямых некоторой третьей прямой; 2) параллельность этих прямых некоторой третьей прямой; 3) равенство накрест лежащих углов; 4) равенство
соответственных углов; 5) равенство суммы односторонних углов 180º при
пересечении этих прямых некоторой секущей.)
- Какие еще виды задач мы решали в данной теме? (Задачи, в которых
требуется доказать равенство углов или найти величины некоторых углов.)
- Приведите примеры таких задач.
- Решали ли мы задачи с таким условием в предыдущей теме?
258
- Приведите пример задачи с похожим условием из предыдущей темы.
- Чем же отличаются эти внешне похожие задачи? (Методом решения: в
теме «Треугольники» равенство углов мы устанавливали с помощью равных
треугольников, в данной теме - с помощью свойств параллельных прямых.)
- Приведите примеры двух взаимно обратных задач.
- Сравните методы решения этих задач.
- Какой теперь можно сделать вывод об общелогических и частных методах, приемах решения задач данной темы?
Подытоживая ответы учеников, приходим к следующему итогу. При
решении задач, так же как и при доказательстве теорем, мы применяем общелогические методы доказательств, известные нам из предыдущей темы
(например, аналитико-синтетический) и новые (например, метод от противного, хотя неосознанно мы применяли его и ранее). Кроме того, использовали прием обращения цепочки логических рассуждений прямой теоремы и
прямой задачи при доказательстве взаимно обратных теорем и решении взаимно обратных задач. При проведении доказательств теорем и, в особенности, при решении задач мы применяли также новые способы установления
параллельных прямых, новые и известные ранее способы доказательств равенства углов.
Рефлексивно-оценочная часть
Далее подводим итоги урока:
- Вернемся к вопросу, который прозвучал в начале урока: «Почему вы
смогли достаточно легко доказать теорему о сумме углов треугольника?»
(Теперь ученики пытаются выделить соответствующие методы, приемы, способы.)
- Действительно, ребята, изучение теоретического материала и вместе с
ним приобретение познавательного опыта (овладение общелогическими методами, приемами и частными способами) позволили доказать вам это свойство самостоятельно. В этом как раз и заключается ценность изучения темы
«Параллельные прямые».
В качестве домашнего задания можно предложить ученикам составить
и выполнить задания контрольной работы по теме «Параллельные прямые»,
отдельным учащимся - предложить темы для индивидуальной исследовательской работы. Укажем некоторые из них:
1) исследование общего подхода к изучению понятий пересекающихся
и перпендикулярных прямых;
2) история аксиомы параллельных прямых;
3) применение метода от противного при проведении доказательств в
различных областях знаний;
4) исследование возможностей другого построения темы «Параллельные прямые».
В зависимости от конкретной ситуации в классе, учитель проектирует
дальнейшую совместную деятельность: или провести урок-консультацию,
или урок контроля, или перейти к изучению новой темы, сместив урок контроля в следующую тему.
259
Цель предложенного варианта урока систематизации и обобщения состоит не в его копировании на практике, а в осознании общего подхода к
проектированию всех трех его частей, о чем речь шла в начале пункта. Несомненно, каждый учитель внесет в разработку данного урока нечто свое, личностное, но сохранив при этом общую идею его проектирования.
Успех проектирования учителем урока систематизации и обобщения
зависит от многих параметров, в особенности:
 от качества проведения анализов теоретического и задачного материалов (см. пункт 4.2);
 от планирования изучения темы (см. пункт 4.2);
 от разработки уроков изучения нового и решения задач, где внимание учителя сосредоточено на всех компонентах содержания темы, в том
числе и на методологических знаниях (см. пункты 4.3, 4.4);
 от личного опыта учителя и учащихся в проведении уроков данного
вида.
Таким образом, подготовка учителя к уроку систематизации и обобщения начинается с подготовки к самому первому уроку по этой теме.
4.6. Типология уроков в соответствии со структурой
учебной деятельности
Стратегическая
цель
системы
развивающего
образования
Д.Б.Эльконина - В.В. Давыдова заключается в формировании полноценной
учебной деятельности у школьников [23]. Под учебной деятельностью они
понимают особую форму активности личности, целью и результатом которой
является не изменение предмета, с которым действует ученик, а изменение
самого себя как субъекта этой деятельности. В образовательном плане изменение ученика состоит в овладении им определенными способами действий
при работе с научными понятиями. Исходя из этого, данные авторы строят
учебный процесс в логике учебной деятельности.
В психологическом плане компонентами любой человеческой деятельности являются потребности (П), мотивы (М) , цель ( Ц), способ деятельности (Д),конечный результат (Р):
П  М  Ц  Д  Р.
Авторы данной системы образования представляют структуру учебной деятельности в виде следующей схемы:
ПП УПМ  ПЦ(УЗ)  УД  ПР,
Р
ПП
УПМ
ПЦ (УЗ)
УД
– познавательная потребность;
– учебно-познавательный мотив;
– познавательная цель (учебная задача);
– учебные действия;
260
ПР
Р
– познавательный результат;
– рефлексия.
Теоретик учебной деятельности В.В.Давыдов выделяет необходимость
организации действий, связанных с принятием и решением учебной задачи
23. Перечислим их:
- принятие учебной задачи;
- преобразование учебной задачи с целью обнаружения всеобщего отношения изучаемого объекта;
- моделирование выделенного отношения в предметной, графической
или символической формах;
- преобразование модели отношения для непосредственного изучения
его свойств в «чистом виде»;
- построение системы частных задач, решаемых общим способом;
- контроль (самоконтроль) за выполнением учебных действий;
- оценка (самооценка) усвоения общего способа как результата решения вышепоставленной задачи.
С позиции деятельностного подхода учебный процесс можно представить в виде системы последовательных циклов. В качестве цикла принимается учебное занятие, которое связано с принятием, решением, отработкой,
контролем и оценкой конкретной учебной задачи. В соответствии с этим в
структуре учебного занятия выделяют три его части: мотивационноориентировочную, операционно-познавательную, рефлексивно-оценочную.
Первая часть учебного занятия связана с принятием учебной задачи, вторая –
с ее решением, третья – с осознанием достигнутого. Каждая из частей занятия, в свою очередь, делится на этапы, которые соответствуют одному из семи вышеперечисленных действий. Кроме них появляются еще три дополнительных этапа: этап актуализации, этап мотивации, этап планирования. Этап
актуализации направлен на рефлексию прежнего опыта ученика, этап мотивации способствует более глубокому осознанию потребности в преодолении
противоречия между «знанием и незнанием». Очевидно, что эти два этапа
предшествуют этапу постановки учебной задачи. Решение учебной задачи достаточно сложная для ученика умственная работа, для ее решения требуется часто составление программы дальнейшей деятельности. Отсюда следует
появление еще одного этапа в структуре учебного занятия – этапа планирования, который следует непосредственно за этапом постановки учебной задачи. Таким образом, структуру учебного занятия можно представить в следующем виде:
261
Мотивационноориентировочная
часть
Этапы:
1) актуализации;
2) мотивации;
3) постановки УЗ;
4) планирования;
решения УЗ.
Учебное занятие
Операционнопознавательная часть
Этапы:
1) преобразования условия УЗ;
2) моделирования;
3) преобразования модели;
4) этап отработки.
Рефлексивнооценочная
часть
Этапы:
1) контроля;
2) оценки.
Как показывает опыт, за обычные 40 – 45 минут удается реализовать
далеко не все этапы учебного занятия. Преобладание того или иного этапа
учебного занятия на уроке определяет его тип. Экспериментальное исследование позволяет выделить наблюдаемые на практике типы уроков, основанные на структуре учебной деятельности:
- урок постановки учебной задачи;
- урок планирования;
- урок моделирования;
- урок преобразования модели;
- урок отработки;
- урок рефлексии;
- урок контроля;
- урок оценки.
Заметим, что если удается осуществить все этапы учебного занятия за
привычные 40 – 45 минут, то имеет место комбинированный урок.
При проектировании различных типов уроков выделяются все те же
три части учебного занятия: ориентировочно-мотивационная, операционнопознавательная (содержательная) и рефлексивно-оценочная. Однако их соотношение и содержание будет различным в зависимости от типа урока.
Например, мотивационно-ориентировочная часть урока планирования должна быть направлена на организацию потребности у школьников в разработке
программы дальнейшей деятельности, в содержательной части должен быть
разработан план (способ) изучения нового, в рефлексивно-оценочной части
должны быть оценены разработанный план и возможности учеников в его
реализации.
Урок моделирования представлен в пункте 3.4. Уроки постановки
учебной задачи, отработки достаточно полно описаны в [10]. Остановимся на
проектировании урока планирования.
Урок планирования
В первую очередь ответим на такие вопросы: Какую общую цель преследует данный урок? Какова его структура? Какие цели каждого этапа? За-
262
тем приведем примеры уроков планирования к различным темам курса математики, которые апробированы в школьной практике.
В соответствии со структурой учебной деятельности выделяем следующие этапы урока планирования: 1) мотивационно-ориентировочный; 2) содержательный; 3) рефлексивно-оценочный.
Опишем цели каждого этапа.
I. Мотивационно-ориентировочный этап
Цели:
 актуализировать субъектный опыт учеников, непосредственно связанный с новой темой;
 формировать у каждого учащегося личную потребность в изучении
новой темы путем создания «ситуации интеллектуального конфликта» между
имеющимся субъектным опытом ученика и отсутствием у него определенных знаний;
 выделить учебную задачу, которую необходимо решить для того,
чтобы выйти из создавшейся «ситуации интеллектуального конфликта».
II. Содержательный этап
Цели:
 разработать модель решения учебной задачи, состоящую, в свою
очередь, из системы других, менее общих, но соответствующих первой учебной задаче;
 выделить и письменно зафиксировать способ изучения новой темы;
 договориться с учениками о ходе решения частных задач (какие
учебные задачи будем решать совместно, какие - в группах, какие - самостоятельно и т.д.).
III. Рефлексивно-оценочный этап
Цели:
 сравнить полученные результаты с поставленными в начале урока
целями путем мыслительного возвращения к выполненным действиям;
 сформулировать тему и цели следующего урока;
 наметить домашнее задание.
Приведем примеры отдельных уроков планирования.
1. Тема «Обыкновенные дроби»
Учебная задача: спроектировать совместно с учениками план (способ)
изучения темы « Обыкновенные дроби».
I. Мотивационно-ориентировочный этап
Предлагаем ученикам выполнить следующее задание.
Задание 1. Найдите длину отрезка AB, если в качестве единичного отрезка выбран отрезок CD (рис. 4.9)
263
A
B
C
D
Рис. 4.9.
Данное задание ребятам знакомо, поэтому оно не вызывает затруднений. Переходим к выполнению задания 2.
Задание 2. Найдите длину отрезка CD, если единичным отрезком является отрезок AB.
Как показывает опыт, ученики легко воспринимают похожий текст задачи и психологически готовы к ее решению. Однако вскоре у них появляется некоторое замешательство. Дальнейшее обсуждение решения задачи в
группах приводит ребят к противоречию с имеющимся у них опытом. С одной стороны, каждый отрезок имеет длину при выбранной единице измерения, с другой стороны, не удается указать ни одного натурального числа, которое бы являлось длиной данного отрезка CD.
- Как же выйти из создавшегося затруднительного положения?
Ребята приходят к мысли о необходимости введения чисел нового вида.
- Как же будем вводить новое числовое множество?
Ученики осознают, что это достаточно сложный вопрос, поэтому учитель предлагает проанализировать способ изучения множества натуральных
чисел.
Таким образом, возникает учебная задача: продумать способ введения
нового числового множества, предварительно проанализировав последовательность изучения темы «Натуральные числа».
II.Содержательный этап
Привлекая учебники, записи в тетрадях, объединяясь в группы, ребята
пытаются осмыслить последовательность этапов изучения темы «Натуральные числа». Затем результаты работы групп обсуждаются. В итоге получаем
таблицу 4.2.
Возвращаемся к учебной задаче. Теперь ребята перечисляют аналогичные вопросы, которые необходимо обсудить на последующих уроках:
– Как записать число нового вида, которое появилось при измерении
длины отрезка? Какие символы потребуются для этой записи?
– Как его прочитать, чтобы окружающие люди понимали друг друга в
устной речи, о каком числе идёт речь?
– Как его изобразить на координатной прямой?
– Какими и сколькими свойствами обладают новые числа?
– Можно ли их округлять?
– Можно ли выполнять арифметические действия с новыми числами?
Как?
– Справедливы ли для них те же законы, что и для арифметических
действий с натуральными числами?
– Какие новые задачи и упражнения можно будет решать с помощью
новых чисел?
264
Таблица 4.2
происхождение натурального числа:
1) при счете предметов;
2) при измерении величии.
запись
с помощью
десяти цифр
чтение в виде порядковых числительных
изображение на координатной прямой
в виде точки
свойства натурального ряда чисел:
1) начинается с 1;
2) n → n + 1;
3) бесконечен
основные задачи на координатной прямой:
1) число → точка;
2) точка → число
сравнение натуральных чисел:
1) с помощью координатной прямой; 2) поразрядно
округление натуральных чисел
арифметические действия с натуральными числами:
=
а+b
b
а
+
а
а
а
а ∙ b = а + а + …+ а
а – b – найти c, что с + b = а
а : b – найти c, что с ∙b = а
b раз
а ∙1 = а
свойства действий
вычисление значений числовых и буквенных
выражений;
решение уравнений;
решение текстовых задач и др.
Учитель предлагает ребятам обсудить в дальнейшем и такой вопрос:
- Какова взаимосвязь между известным множеством натуральных чисел и новым множеством чисел?
В ходе обсуждения вырисовывается схема изучения новой темы
(«Обыкновенные дроби»), в общих чертах аналогичная схеме изучения темы
«Натуральные числа». Высказываем предположение о том, что это примерная схема, следовательно, она будет уточняться, корректироваться по ходу
265
изучения, так как новое числовое множество имеет, по-видимому, свои отличительные свойства.
III.Рефлексивно-оценочный этап
Теперь мы пытаемся осмыслить выделенный план (способ) изучения
новой темы. С этой целью предлагаем ученикам ответить на следующие вопросы:
- Каково происхождение новых чисел?
- Почему изучение новой темы следует начать с обсуждения вопросов
о записи и чтении новых чисел?
- Можно ли сначала изучить тему о сравнении новых чисел, а затем
перейти к решению основных задач на координатной прямой?
- Попытайтесь сформулировать домашнее задание к следующему уроку.
Здесь возможны различные варианты.
Например:
1) составить задания, аналогичные 1 и 2, но в качестве геометрической
величины выбрать площадь фигуры;
2) повторить отдельные задания с натуральными числами, которые
давно не повторяли ( в частности, упражнения на координатной прямой).
- Какова тема следующего урока?
- Оцените значимость сегодняшнего урока для вас.
Заметим, что при переходе к изучению последующих новых числовых
множеств (рациональных, действительных, комплексных чисел) ученики более активно включаются в процесс планирования своей будущей деятельности. Более того, они усваивают общий подход к расширению одного числового множества до другого.
2.Тема «Делимость натуральных чисел»
Предварительно сделаем одно, на наш взгляд, существенное замечание.
Традиционно тема «Делимость чисел» предшествует теме «Обыкновенные
дроби и действия над ними». Однако при такой последовательности от ребят
скрыт главный смысл темы «Делимость чисел», что, несомненно, снижает в
целом мотивацию ее изучения. Вот почему мы несколько изменили структуру учебного материала, приступили к изучению темы «Делимость чисел» тогда, когда в этом возникла у ребят потребность, связанная с приведением отдельных дробей к наименьшему общему знаменателю и сокращению дробей.
Таким образом, вопрос о делимости чисел вошел в структуру темы «Обыкновенные дроби и действия над ними» как один из компонентов, хотя в самой
математике, в отличие от школьного курса, тема «Делимость чисел» имеет
свой статус.
I. Мотивационно-ориентировочный этап
После введения основного свойства дроби (на предыдущих уроках)
предлагаем ребятам выполнить следующие задания.
266
Задание 1. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:
а)
1
7
103
38
и ; б)
и
.
6
15
1998
777
Задание 2. Сократите дроби:
а)
5 14 ; б) 1386
; в)
6006
21
317
.
967
Ученики достаточно легко выполняют задания 1,а и 2,а. Удалось сократить дробь 2,б, однако, в отличие от задания 2,а, пришлось выполнять
действие сокращения «несколько раз». Задания 1,б и 2,в вызвали у ребят
большие затруднения. Анализ решений заданий 1,а и 2,а привел ребят к выводу о том, что для этой группы упражнений наименьший общий знаменатель и число, на которое нужно сократить дробь, определяется достаточно
просто подбором. Для второй группы упражнений прием подбора не срабатывает. Следовательно, надо искать общие способы (правила) нахождения
наименьшего общего знаменателя и наибольшего натурального числа, на которое можно сразу сократить дробь или убедиться, что такого числа не существует.
Таким образом, обозначились глобальные учебные задачи предстоящей
темы.
II.Содержательный этап
Далее планируем совместно с учениками ее изучение в виде системы
учебных задач.
Вспоминаем, какими числами являются числитель и знаменатель дроби. Приходим к постановке первой учебной задачи: чтобы уметь приводить
дроби к наименьшему общему знаменателю, надо иметь способ нахождения
наименьшего натурального числа, которое делится на данные натуральные
числа. Данная учебная задача сводится к следующей: способ отыскания
натуральных чисел, которые делятся на данные числа. В свою очередь, эта
учебная задача опирается на решение более простой: способ нахождения
натуральных чисел, которые делятся на данное число. Фиксируем параллельно возникающие учебные задачи в виде следующей схемы (см. записи в левой колонке табл. 4.3)
267
Таблица 4.3
Приведение дробей
к одинаковому знаменателю
a 

b
x
и
Сокращение дробей
Сократимая дробь
c 

d
x
a a:d

b b:d


1)
2)
3)
4)
Как найти x?
x - натуральное число;
x:b;
x:d;
x - наименьшее?
1)
2)
3)
4)

Как найти d?
d - натуральное число;
a:d;
b:d;
d - наибольшее?

1) x - натуральное число;
2) x:b;
3) x:d?
1) d - натуральное число;
2) a:d;
3) b:d?


1) x - натуральное число;
2) x:b (x:d)?
1) d - натуральное число;
a:d (b:d)?
Способы достаточно быстрого узнавания
делимости числа на 2, на 3, на 4, на 5, ...
По аналогии учащиеся самостоятельно проектируют систему учебных
задач, связанную с поиском наибольшего натурального числа, на которое
может быть сокращена дробь ( см. записи во второй колонке табл. 4.3).
Интуиция подсказывает, что, по-видимому, дробь
317
несократимая.
967
Но как в этом убедиться?
Анализ выделенных ситуаций определяет еще одну учебную задачу, к
которой, вообще говоря, сводятся все выше сформулированные учебные задачи: найти способы достаточно быстрого узнавания чисел, на которые делится (или не делится) данное натуральное число (см. табл. 4.3). В дальнейшем мы их назовем признаками делимости.
Итак, мы незаметно перешли к новой теме, в результате изучения которой должны совместно получить ответы на поставленные вопросы. Так как
все заявленные вопросы связаны с действием деления натуральных чисел, то
естественно назвать новую тему «Делимость натуральных чисел».
268
III.Рефлексивно-оценочный этап
Направляем усилия ребят на осознание способов изучения новой темы:
– Зачем мы будем изучать тему «Делимость чисел»?
Мысленно возвращаясь к началу урока, ученики выделяют эти смыслы,
которые заключаются в поиске и овладении общими способами приведения
дробей к наименьшему общему знаменателю, что позволяет сравнивать любые дроби, а также в поиске и овладении способом сокращения дробей за
один шаг или установлении ее несократимости.
Затем ученики перечисляют те вопросы, на которые должны получить
ответы при изучении новой темы.
Обращаем внимание учащихся на появившиеся достаточно «громоздкие» обороты речи (например, «наименьшее натуральное число, которое делится на данные натуральные числа»), что вызывает сложность проговаривания и в то же время сложность восприятия. У отдельных ребят появляется
идея о том, что надо договориться как-то кратко это назвать, то есть ввести
определения.
Отсюда возникает следующее домашнее задание: 1) прочитать в учебнике первые параграфы темы «Делимость чисел»; 2) выписать новые понятия, которые в них появляются; 3) сопоставить их с выделенными учебными
задачами (см. табл. 4.3); 4) записать примеры дробей, которые можно привести к наименьшему общему знаменателю способом подбора; 5) привести
примеры дробей, которые можно сократить за один шаг способом подбора.
3.Тема «Параллельные прямые»
Основная цель урока: совместно с учащимися составить примерную
последовательность изучения новой темы «Параллельные прямые».
I. Мотивационно-ориентировочный этап
Предлагаем учащимся решить следующие задачи.
Задача 1. Доказать, что треугольник A BC - равнобедренный, если BM
- биссектриса и высота этого треугольника (рис. 4.10).
Задача 2. Доказать, что треугольник A BC - равнобедренный, если
A  C , BM - биссектриса этого треугольника (рис. 4.11).
B
?
?
?
А
B
M
Рис. 4.10
A
C
?
M
Рис. 4.11
C
Р
Опираясь на признак равенства треугольников по(b)стороне
и двум прии
лежащим углам, семиклассники уверенно доказывают равенство
треугольс
.
ников A BM и CBM при решении задачи 1, а затем и равенство сторон A B и
4
269
BC треугольника A BC , после чего получают заключение о том, что треугольник A BC - равнобедренный.
Задача 2, по ряду условий похожая на задачу 1, вызывает у школьников
затруднения, так как в этом случае не удается доказать равенство треугольников A BM и CBM . Однако утверждение, заключенное в этой задаче, интуитивно кажется ребятам верным.
В ходе беседы с учащимися приходим к выводу, что задачу 2 можно
свести к предыдущей, если удастся доказать равенство углов A M B и CM B .
– При каком условии верно равенство углов A M B и CM B ? (При условии, что сумма углов в треугольнике – величина постоянная.)
Ученики припоминают известный факт из курса математики V - VI
классов: сумма углов в треугольнике равна 1800. Опираясь на него, они легко
устанавливают равенство этой пары углов. Учитель напоминает, что курс
геометрии с VII класса строится на дедуктивной основе, в отличие от наглядного пропедевтического курса в V - VI классах, то есть при проведении рассуждений необходимо пользоваться доказанными фактами.
Таким образом, появляется учебная задача: найти способ доказательства утверждения о том, что сумма углов в любом треугольнике равна 1800,
которая фиксируется на доске (см. табл. 4.4).
II. Содержательный этап
– Какие геометрические фигуры характеризуются величиной 1800?
(Сумма смежных углов равна 1800, градусная мера развёрнутого угла
равна 1800.)
– Как вы считаете, на какой из этих двух фактов мы будем опираться
при доказательстве утверждения о том, что сумма углов в любом треугольнике равна 1800? (На факт о величине развернутого угла, так как в недоказанном утверждении задействованы не два, а три угла.)
Предлагаем учащимся выполнить построение, в результате которого
углы заданного треугольника или углы, им равные, образуют некоторый развернутый угол.
Ребята предлагают несколько вариантов. Приведем лишь некоторые из
них.
Вариант 1. Строим углы 4 и 5 , соответственно равные углам 1 и 2.
Угол ACM , по-видимому, развернутый (рис. 4.12).
Вариант 2. Строим развернутый угол ACM , угол 4, равный углу 1. Вероятно, угол 5 равен углу 2 (рис. 4.12).
Вариант 3. Строим углы 4 и 5, соответственно равные углам 1 и 2.
Угол KCT , по-видимому, развёрнутый (рис. 4.13).
Вариант 4. Строим угол 4, равный углу 1, развёрнутый угол KCT . Вероятно, угол 5 равен углу 2 (рис. 4.13).
Итак, во всех предложенных способах построения приходим к необходимости доказательства равенства пары углов или к необходимости установления, что некоторый угол является развернутым.
270
В ходе обсуждения выбираем задачу о доказательстве равенства углов,
так как такое требование более привычно для семиклассников.
Учащимся известны различные способы доказательства равенства углов. Например, доказать, что углы равны, если они или вертикальные, или
соответственные в равных треугольниках, или равны одному и тому же углу
и т.д.
Проверка показывает несостоятельность известных способов для установления равенства углов в данной ситуации, например углов 2 и 5 на
рис. 4.12. Значит, надо искать новый способ доказательства равенства углов.
В
Р
В
1
К
2
5
3
С
А
1
5
4
3
М
Рис. 4.12
2
С
Т
4
Рис. 4.13
Предлагаем школьникам выяснить взаимное расположение углов 2 и 5
на рис. 4.12 и 4.13. Они замечают, что углы 2 и 5 на рис. 4.12 образованы при
пересечении двух прямых A B и CP третьей прямой A C , причём прямые A B
и CP , видимо, не пересекаются.
Непересекающиеся прямые, углы, образованные при пересечении двух
прямых третьей, становятся теперь предметом изучения. Так появляется вторая учебная задача (см. табл. 4.4). Опираясь на общий подход к изучению
геометрических понятий (определение, существование объекта, его
свойства и признаки), выделяем основные этапы изучения новых
понятий (см. табл. 4.4).
Фактически в ходе дискуссии мы выделили систему учебных задач, которая постепенно фиксируется на доске и в тетрадях учеников.
271
А
Таблица 4.4
Надо доказать, что сумма всех углов в треугольнике равна1800
 1  2  3  180 
0
В
2
Р
4
1
А
5
М
С
2  5
Изучить углы при пересечении двух
прямых третьей
2
1
3
4
6
5
8
7
Связь?
1.Определение.
2. Существование.
3.Свойства и признаки.
Изучить непересекающиеся прямые
m
n
1.Определение.
2. Существование.
3. Свойства и признаки.
-Постарайтесь теперь предложить последовательность изучения новых
объектов, которая позволит решить основную учебную задачу.
Семиклассники определяют следующие способы изучения нового
учебного материала:
Способ 1
1. Определить непересекающиеся прямые на плоскости (параллельные) и доказать их существование.
2. Определить углы, образованные при пересечении двух прямых третьей, и доказать их существование.
3. «Открыть» и доказать признаки и свойства параллельных прямых,
которые, очевидно, связаны с углами при пересечении двух прямых третьей.
Способ 2
1. Определить углы, образованные при пересечении двух прямых третьей, и доказать их существование.
2. Изучить свойства этих углов, их признаки.
3. Определить непересекающиеся прямые на плоскости (параллельные) и доказать их существование.
4. «Открыть» и доказать признаки и свойства параллельных прямых.
Выбираем вместе с учащимися один из способов изучения новой темы,
например первый способ.
Заметим, что план изучения темы примерный. Так, аксиома параллельных прямых не отражена в табл. 4.4, она появится позже по ходу изучения
новой темы.
III. Рефлексивно-оценочный этап
Учащимся предлагается ответить на следующие вопросы:
- Решение какой задачи привело к необходимости изучать непересекающиеся (параллельные) прямые?
272
- Однозначен ли выбор последовательности изучения нового материала?
- Предложите домашнее задание к следующему уроку геометрии.
Домашнее задание
1. Выяснить, как называют прямые, которые на плоскости не пересекаются. Найти утверждения в учебнике, которые помогут доказать существование этих прямых.
2. Выяснить, какая информация содержится в учебнике об углах, образованных при пересечении двух прямых третьей.
Опыт показывает значимость проведения подобных уроков для формирования эмоционально-мотивационной, волевой и познавательной сфер личности ученика. Подготовка и проведение такого урока оказывает положительное влияние и на профессиональный рост учителя: он лучше осознает
смысл изучаемой темы, ее место в общем курсе, осмысливает различные
подходы к ее изучению, все это позволяет ему более четко и рационально
проектировать собственные действия и действия учеников.
В заключение отметим, что в рабочих тетрадях [17, 18] представлен
материал для проведения уроков систематизации и обобщения в 5-6 классах.
4.7. О лекционно-семинарской системе обучения математике.
Крупноблочная модель изучения учебного материала
Особенностью описанных выше уроков, которые проводятся в основном в V-VIII классах, является их диалогичный характер. В ходе таких уроков учащиеся приобретают опыт поисковой деятельности, овладевают ее методами и способами. К концу VIII класса у них должны быть сформированы
основные умения как поиска и проведения доказательств, так и определяющие культуру мышления в целом. Учащихся старших классов характеризует
устойчивая склонность к умственной работе, умение долго и сосредоточенно
работать, стремление самостоятельно понимать глубинную сущность явлений, способность осмысливать большую информацию. В то же время программа по математике усложняется, ставятся новые задачи. Поэтому нужны
новые формы учебных занятий, в том числе контроля и оценки знаний.
В старших классах все большее распространение имеет лекционносеминарская система занятий. Она позволяет изучать материал крупными
блоками с тем, чтобы иметь возможность проведения последовательной серии уроков-практикумов, обеспечивающих формирование умений и навыков
в решении математических задач разного уровня сложности. К тому же, эта
система предполагает бóльшую самостоятельность учащихся, в том числе и в
работе с дополнительной литературой.
Лекционно-семинарская система изучения учебной темы включает в
себя 10 основных видов уроков, которые представлены в таблице:
273
Таблица 4.5
Крупноблочная модель обучения математике
Крупноблочное
изучение теории
(раздела, темы,
блока тем)
Зачет по
практикуму
Урок
усвоения
теории
Урок
коррекции
Урок
решения
ключевых
задач
Урокипрактикумы
Обобщающий
урок, в т.ч.
семинарское
занятие
Урокконсультация
Контрольная
работа
Зачет по
теме
Конечно, не удается организовать изучение каждой темы в форме десяти выделенных типов уроков. Такие уроки, как семинарские занятия обобщающего типа, зачеты, проводятся по наиболее значимым темам курса или
же по нескольким темам. Уроки консультации и коррекции знаний также не
всегда удается провести учителю из-за отсутствия времени. Тем не менее будущему учителю важно знать о существовании уроков таких типов и уметь
их организовывать. Опишем далее кратко сущность наиболее значимых уроков этой системы.
Школьная лекция
Школьная лекция предполагает устное изложение учебного материала,
отличающегося большей емкостью, чем рассказ, большей сложностью логических построений, образов, доказательств, обобщений, когда необходимо
сформировать целостное представление о вопросе.
Лекционная форма занятий в школе используется для систематического, последовательного изложения материала по отдельной теме или разделу
программы, при изучении фундаментальных, теоретических положений курса. Исходя из этой общепедагогической установки, укажем, в каких случаях
предпочтительнее организовать урок математики в форме лекции.
1. Когда содержание материала мало опирается на изученное ранее и
учитель не сможет с помощью эвристической беседы подвести учащихся к
гипотезе, или же когда учебный материал является слишком сложным для
самостоятельного изучения учащимися либо важным с точки зрения целостности его восприятия. Например, очень важные и трудно усваиваемые вопросы начал анализа (предел и непрерывность функции, площадь криволинейной трапеции, интеграл и др.) целесообразно излагать самому учителю в
доступной для учеников лекционной форме.
2. В случае укрупненной подачи информации, расширения тематического диапазона каждого урока, на котором учитель изучает несколько вопросов темы. В настоящее время получает распространение опыт работы
учителя Р.Г. Хазанкина, который весь теоретический материал темы излагает
274
на первых уроках ее изучения. При этом последующие уроки отводятся для
самостоятельной работы учащихся (семинары, практикумы, консультации,
собеседования и др.), т.е. речь идет о лекционно-семинарской системе преподавания математики.
Для изучения материала крупными блоками эффективным является и
применение метода укрупнения дидактических единиц, разрабатываемого
П.М. Эрдниевым. Автор предлагает изучать совместно, на одном уроке (или
нескольких последовательных уроках) не просто теоретический материал одной темы, но и взаимосвязанные логически вопросы: взаимно обратные операции, теоремы, различные понятия с аналогичными свойствами. Ярким
примером является совместное изучение арифметической и геометрической
прогрессий методом УДЕ.
3. В форме лекции целесообразно проводить уроки, посвященные новым методам решения задач: решение показательных (логарифмических,
тригонометрических) уравнений и неравенств, решение геометрических задач аналитическими методами и др. Здесь учитель выделяет основные типы
или виды уравнений, неравенств, задач, показывает приемы и алгоритмы их
решения, дает образцы записи. Это уроки решения ключевых задач, которые
служат основой для последующих уроков по формированию умений и навыков в решении задач по теме, т.е. для уроков-практикумов.
Заметим, что в проведении уроков рассматриваемых типов возможна
укрупненная подача информации. Например, решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств лучше изучать одновременно, так как
этому способствует единый подход к их геометрической иллюстрации с помощью графика или единичной окружности.
4. Возможно в форме лекции проведение уроков обобщения и систематизации знаний как по одной теме, так и по нескольким темам. В этом
плане имеет смысл проведение обзорных лекций, например, о развитии понятия числа, о равносильности уравнений и неравенств, об алгебраических методах в геометрии и др.
5. Уроки-лекции, показывающие применение математических знаний
для решения практических задач. Например, в форме лекции можно провести
урок, связанный с применением производной в физике, технике. Пока еще в
практике работы учителей математики не находят широкого распространения вводные лекции для параллельных классов, на которые приглашались бы
ученые - специалисты.
Таким образом, тип лекции определяется темой и целью урока. Лекция
может быть вводной, установочной, текущей, обзорной.
Остановимся на методике проведения урока-лекции, его организационной стороне.
При проведении лекции учитель должен составить для себя ее четкий
план, а иногда полезно довести его и до сведения учащихся.
Лекционные формы занятий требуют от учителя четкой организации
учебной деятельности школьников, привлечения их внимания к содержанию
лекции. Поэтому начинать лекцию важно с создания проблемной ситуации и
275
формулировки проблемы. В качестве основного метода должен выступать
метод проблемного изложения. Напомним, он состоит в том, что учитель
ставит проблемы, сам их решает, раскрывая все противоречия, всю логику
решения и доступную систему доказательств. Учащиеся же следят за логикой
изложения, контролируют ее, соучаствуют в процессе решения. Изложение
учебного материала учителем сопровождается большим числом вопросов, на
которые он обычно сам и отвечает, т.е. учитель как бы ведет диалог с самим
собой. Иногда для ответа на возникающие вопросы он может привлекать и
учащихся. Большое значение при этом имеет яркая, доходчивая, эмоциональная речь учителя.
В соответствии с планом лекции изложение должно отличаться логической стройностью, последовательностью, соответствующими выводами по
каждому пункту плана и логическими связями при переходе от одного раздела к другому. В случае необходимости применяются и технические средства
обучения.
Если план лекции учащимся заранее не сообщался, то им может быть
затем дано задание по составлению плана или тезисов лекции.
Большое значение имеет темп чтения лекции, чтобы учащиеся смогли
сделать необходимые записи. В связи с этим учитель должен продумать их
содержание и форму записи для учащихся. В последнее время получает распространение запись текста лекции в краткой форме в виде схем, таблиц и
т.д. С этой целью учитель заранее готовит основные контуры (канву) этих
таблиц и раздает их учащимся перед началом лекции. На уроке в процессе
изложения материала учителем идет их заполнение. Таким образом, у учащихся остается краткий наглядный конспект основного содержания лекции.
Один из вариантов составления конспектов-таблиц описан в статье [71].
Заметим также, что лекционное изложение может сопровождаться
примерами, образцами записи решений упражнений и задач. В лекции желательно привлечение исторического материала, дополнительных источников
информации, новейших фактов. Это, с одной стороны, способствует поддержанию интереса, устойчивого внимания к содержанию лекции, с другой –
формирует научное мировоззрение учащихся.
Семинарские занятия
Развитие творческой активности и самостоятельности старшеклассников, учет их интересов, особенностей умственного и психического развития
требуют проведения отдельных уроков в форме семинарских занятий.
Цель проведения уроков-семинаров состоит в том, чтобы сделать теоретическое обобщение изученного материала, выделить основные методы,
способы и приемы решения математических задач, показать связь математики с жизнью, с практикой. Подготовка к семинарам расширяет самостоятельную работу учащихся, приучает их к углубленному изучению различных источников, написанию докладов, рефератов. Проведение семинарских занятий
учит учащихся выступать с самостоятельными сообщениями, отстаивать
276
свои суждения, готовит школьников к участию в общественной жизни и продолжению образования, способствует формированию у них познавательных
и исследовательских умений. Наиболее полно реализовать указанные цели
семинарских занятий позволяют обобщающие уроки по теме. Подготовка и
проведение таких уроков требует больших усилий как от учителя, так и от
учащихся.
План семинарского занятия и программа подготовки к нему составляются и разрабатываются заблаговременно. За 2 - 3 недели до начала занятия
план вывешивается в кабинете математики, указывается наиболее важная литература. Учитель предлагает желающим читать литературу и искать ответы
на поставленные вопросы. В то же время по основным вопросам семинара
назначаются докладчики, иногда и оппоненты к ним. К темам докладов учителю полезно составить небольшие указания или же провести для докладчиков устную консультацию. Вместе с этим к уроку необходимо дать обязательное задание и всему классу.
При проведении семинарских занятий стоит проблема активизации
мыслительной деятельности учащихся-слушателей. С этой целью учитель
продумывает, какие записи и как должны вестись всеми учениками, а также
заготавливает карточки с вопросами и раздает их ученикам с тем, чтобы после прослушивания содержания докладов они могли на них ответить.
Важно, чтобы доклад занимал в среднем не более 10 минут. После
окончания доклада докладчику задаются вопросы учащимися, а затем и учителем. При оценке учитывается степень самостоятельности ученика при работе над докладом, его интерес к теме, использование им дополнительной
литературы, содержание доклада, заинтересованность класса сообщением
докладчика, а также ответы на вопросы, задаваемые выступающему учениками.
Учитель делает выводы и ставит новые проблемы, которые раскрываются в следующем сообщении. В конце учитель делает общее заключение
как по теме занятия (ее связи с предшествующими и последующими темами,
по применению ее в других науках и на практике), так и по работе учащихся
на уроке.
Заметим, что семинарские занятия такого типа целесообразно в старших классах проводить двухчасовые.
Обобщающие уроки в форме семинарских занятий можно посвящать
различным методам решения задач (или различным способам доказательства
одной и той же теоремы). Суть их состоит в том, что в качестве домашнего
задания к этому уроку (которое может даваться заранее) учитель предлагает
решить одну-две задачи всеми доступными ученику способами. На уроке
идет обсуждение всех найденных способов решения, отмечаются достоинства и недостатки каждого из них, делается вывод. Уместно к некоторым задачам или методам решения давать исторические справки.
В форме семинарского занятия возможно проводить и уроки по изучению материала новой темы, если он доступен для самостоятельной проработки учащимися. Например, в курсе математики старших классов имеются
277
темы, аналогичные изученным ранее и являющиеся их обобщением. Так, тема «Векторы» изучается на плоскости и в пространстве. Поэтому к уроку по
введению понятия вектора в пространстве и операций над векторами учащимся можно дать задание подготовить ответы на вопросы:
– понятие вектора на плоскости и в пространстве; модуль вектора; сонаправленные и противоположно направленные векторы; коллинеарные векторы;
– сложение и вычитание векторов на плоскости и в пространстве;
– умножение вектора на число на плоскости и в пространстве.
При подготовке ответов на вопросы учащиеся делают в тетради необходимые записи, построения. В зависимости от учебника, учитель указывает,
какие номера задач следует прорешать при подготовке ответа на каждый вопрос.
Возможен и другой вариант. Вводные уроки по теме учитель проводит
в форме лекции или рассказа, на которых особое внимание уделяется разъяснению основного в содержании учебного материала. Вслед за этими уроками
проводится урок-семинар (или несколько таких уроков), где учащиеся самостоятельно, пользуясь учебником (а иногда и другой литературой), изучают
материал, выполняют упражнения, закрепляющие знания, умения решать задачи. Например, выведя на уроке-лекции формулу вычисления объема тела с
помощью определенного интеграла и проиллюстрировав ее применение для
нахождения объема наклонной призмы, учащиеся самостоятельно могут изучить материал о выводе формул объема пирамиды, конуса, шара и рассказать
об этом на семинарском занятии.
При проведении уроков-семинаров последних двух видов нецелесообразно распределять темы сообщений и докладов. Ученики должны готовиться по всему плану семинарского занятия и отвечать по собственной инициативе или по вызову учителя, т.к. в плане занятий в основном стоят вопросы,
ответы на которые должен знать каждый ученик. Здесь учащиеся изучают
материал самостоятельно преимущественно по учебнику.
Уроки-практикумы
Важнейшей задачей при обучении математике является формирование
умений и навыков решения математических и прикладных задач. Успешное
ее осуществление в старших классах зависит от того, овладеют ли учащиеся
основными методами, способами и приемами решения уравнения, неравенств, других алгебраических и геометрических задач. В связи с этим особую роль в системе уроков в старших классах играют уроки-практикумы.
Основная цель уроков-практикумов по математике в старших классах –
выработка умений и навыков в решении задач определенного типа, вида или
в овладении определенными методами решения задач (например, векторный
и координатный методы в геометрии, решение различных видов тригонометрических уравнений и сведение их к простейшим и др.).
278
По сравнению с обычными уроками по решению задач в младших
классах практикумы характеризуются большей самостоятельностью учащихся и творческим отношением к выполнению заданий.
Их целесообразно проводить последовательно, в течение нескольких
уроков после теоретического изучения крупного раздела курса, темы. Первый из таких уроков посвящается нахождению общих приемов, алгоритмов,
выделению основных типов, видов задач, решаемых с помощью изученной
теории. Этот урок вместе с изученным ранее теоретическим материалом и
является основой для последующих уроков-практикумов, на которых учащиеся проявляют самостоятельность, творчество, где учитель имеет большую
возможность учесть индивидуальные особенности каждого ученика.
Важно, чтобы учитель разработал сразу содержание всей серии уроковпрактикумов по теме: выделил наиболее важный теоретический (опорный)
материал, отобрал ключевые задачи и систему задач, сводящуюся к ним,
продумал форму организации учебной деятельности (коллективная, групповая, индивидуальная) на каждом уроке, формы контроля. В системе задач по
каждому типу нужны задачи различного уровня сложности, учитывающие
возможности учащихся данного класса. С этой целью, привлекая в помощь
учащихся, все задания желательно выписать на карточки.
Зачеты
Лекционные, семинарские и практические занятия относят к активным
формам обучения потому, что правильное их применение предполагает повышение степени самостоятельной деятельности каждого ученика по овладению материалом. В связи с этим по-новому встает и проблема контроля и
оценки знаний. Наряду с традиционными формами контроля, все большее
распространение в старших классах получают зачеты и связанные с ними
уроки–консультации, уроки коррекции знаний и т.д.
Различные формы организации зачетов описаны в литературе. Расскажем об одном приеме. За 2 – 3 недели до проведения зачета учитель указывает теорию, которую необходимо повторить к зачету, и выдает список задач
по теме. Здесь возможны варианты: в одном списке представлены задачи
различной степени сложности или же выдается несколько списков, в каждом
из которых отражены задачи того или иного уровня трудности. В этом случае
каждый ученик сам выбирает себе те или иные задачи, исходя из своих возможностей. Перед зачетом после самостоятельной или контрольной работы
проводится урок–консультация. Один из вариантов проведения такого урока
может быть следующим. После небольшого анализа ошибок, который проводит учитель, учащиеся группируются около консультантов – учеников, справившихся с проверочной работой, и под их руководством выполняют работу
над ошибками или 2 – 3 задания, аналогичные тем, в которых были допущены ошибки. Основная же часть урока посвящается консультации по полученным ранее к зачету задачам. Отвечать на вопросы может либо сам учитель,
либо ученик, справившийся с заданием.
279
Во время проведения урока–зачета класс разбивается на группы по 4 -5
человек, в каждой их которых назначается старший. Каждому ученику с учетом его индивидуальных особенностей предлагается теоретический вопрос и
задача из заранее данного списка. Старшие групп идут отвечать без подготовки. Если есть возможность, то учитель привлекает для принятия зачета
учащихся параллельных или старших классов. К уроку готовятся карточки на
каждую группу учащихся по следующему образцу:
№
п/п
1.
Фамилия
Копров А.
Формулировки
определений,
теорем
+
+
-
Теорема
ФормулиДоказаровка
тельство
(оценка)
+
4
Сколько
решил
дома
все
Задачи
Оценка за
решенную
в классе
5
Учитель опрашивает старшего группы, заполняет в карточке сведения
об его ответе, тем самым показывая, как тот должен опрашивать, и отдает
ему карточку на группу.
Старший начинает опрос в своей группе с наиболее подготовленного
ученика с тем, чтобы тот после своего ответа мог опрашивать оставшихся.
В конце урока учитель собирает карточки, а в случае необходимости и
листы с ответами учащихся, анализирует материал после уроков, сам выставляет оценки и сообщает их на следующем уроке.
Таким образом, сочетание лекционных, семинарских и практических
занятий в старших классах способствует развитию активности учеников, рационализации их учебной деятельности, позволяет достигать большей результативности обучения, т.е. способствует интенсификации учебного процесса.
4.8. Рабочая тетрадь как средство обучения математике
на современном уроке
Новым средством обучения, получившим широкое распространение в
последнее время, стали рабочие тетради для учащихся. Однако в теории и
практике их использования в обучении остаются открытыми следующие вопросы: что такое рабочая тетрадь; зачем она нужна; что привело к внедрению
рабочей тетради в учебный процесс? Попытаемся дать ответы на поставленные вопросы.
Дидактические средства: достоинства и недостатки
В педагогической литературе под средством обучения (дидактическим средством) понимают специально разработанные материалы или материализованные объекты (инструменты, модели), предназначенные для эффективности учебного процесса. Следовательно, дидактические средства
280
призваны обеспечить реализацию процесса обучения по достижению целей.
К средствам обучения относят: учебник, задачник, справочное пособие; таблицы, плакаты; технические средства обучения (кодопленки, файлы, диафильмы, кинофильмы и др.); дидактические материалы и др.
В процессе становления и развития современной методической системы
обучения математике можно выделить несколько периодов, когда особое
внимание уделялось поиску и созданию дидактических средств обучения.
Рассмотрим некоторые из этих средств и выделим их достоинства и недостатки.
С середины XX века в качестве ведущих дидактических средств выступали всевозможные таблицы и плакаты, в том числе изданные типографским способом, а также диафильмы и учебные кинофильмы. Они служили
для реализации принципа наглядности в обучении математике. Основным их
недостатком была статичность представления изучаемого объекта, а основная функция сводилась к иллюстрации. Попытки сделать плакат динамичным, «покадровым», отражающим этапы преобразования объекта, ход рассуждений, предпринимались Г.П. Сенниковым [94]. Основным достоинством
таких плакатов являлась так называемая «конструктивная наглядность».
Учитель, изготавливающий такой плакат к уроку, опирался на наглядноконструктивную методику изучения нового понятия, новой теоремы, задачи.
К числу недостатков можно отнести трудоемкость процесса изготовления,
проблемы хранения и постоянного обновления таких плакатов. Существенный недостаток плаката как дидактического средства - отделение ученика от
средства обучения. Ученик не имел под рукой аналога плаката, не имел возможности выполнять необходимые манипуляции с объектом, у него не оставалось записей проведенного хода рассуждений.
В 70-е годы прошлого столетия в школах появились кодоскопы, что
позволило упростить работу по изготовлению плакатов и перейти к использованию прозрачных пленок, получивших название «кодопленки». Они с
успехом заменили плакаты, так как позволяли наносить необходимый текст
или рисунок, но достоинства и недостатки в их использовании остались теми
же.
Плакаты, кодопленки, диафильмы, используемые в качестве средства
обучения математике, не являлись собственностью ученика, не давали ему
возможности самому участвовать в преобразовании объекта путем непосредственных действий с ним. Образцы рассуждений, определения, теоремы
и правила, полученные на уроке с помощью названных выше средств, переписывались в обычную тетрадь. Перерисовывание и переписывание приводило к непроизводительным временным затратам на уроке.
Следующий этап в развитии средств обучения математике был связан
с опорными конспектами. Этот термин ввел известный учитель-новатор
В.Ф.Шаталов. Содержание опорных конспектов, их построение вызвали
неоднозначную реакцию педагогической общественности. В частности, многие вопросы были связаны со способами фиксации изучаемых математических понятий в виде специальных символов. Они оставались понятными толь281
ко тем, кто присутствовал на уроке. Важным достоинством опорного конспекта, на наш взгляд, была сама идея создания некой дидактической модели
изучаемого материала, позволяющей выделять связи между объектами, последовательность и логику авторского видения изучения темы. Полезным
был и тот факт, что ученики получали на руки опорный конспект и могли
следить по нему за ходом рассуждений учителя, работать с этим конспектом
дома.
Опорные конспекты В.Ф.Шаталова и метод укрупнения дидактических
единиц П.М.Эрдниева оказали влияние на разработку методики изучения
математики крупными блоками. В качестве ведущего дидактического средства обучения стали использовать «канву-таблицу». Предполагалось, что
каждый ученик получает в начале урока такую канву и во время школьной
лекции или семинара заполняет ее. По содержанию канва-таблица отражала
план и ход урока, в ней использовались общепринятые сокращения слов для
фиксации основных единиц усвоения. Канва помогала включать учеников в
непосредственную работу (вывод формулы, запись плана доказательства, хода решения задачи и т.п.). Заполненная канва в конце урока приобретала вид
краткого конспекта и позволяла систематизировать большой по объему материал, рассмотренный на уроке, выделять смысловые блоки, в том числе блок
типовых задач. Достоинства использования канвы-таблицы очевидны.
Недостатки этого дидактического средства состояли в том, что, вопервых, не все записи можно было предусмотреть из-за ограниченности канвы одним альбомным листом; во-вторых, оставался открытым вопрос о размножении канвы для каждого ученика; в-третьих, канва-таблица не предусматривала полноценной работы ученика с конкретной дидактической единицей.
К дидактическим средствам всегда относили сборники заданий, так
называемые дидактические материалы, для осуществления контрольной
функции обучения. В последнее время в эти сборники стали включать не
только наборы самостоятельных, проверочных и контрольных работ, но и тесты. Контрольные материалы публикуются в специальных пособиях для учителя, в журналах «Математика в школе», в газете «Математика», их включают и в комплект учебно-методического обеспечения по математике.
Вместе с тем многие опубликованные контрольные материалы трудно
отнести к дидактическим. Анализ этих материалов показывает, что они не
всегда сопровождаются необходимыми обоснованиями и рекомендациями по
их использованию (отсутствуют цели контрольного мероприятия, способы
измерения и оценивания полученных результатов). Как правило, во многих
существующих сборниках для контроля и оценки учебных достижений учащихся не предусмотрены работы для входной и текущей диагностики. Существенным их недостатком является и тот факт, что они предназначены для
учителя, а не для учеников. Они не рассчитаны на самоконтроль и самооценку учеником своей подготовки.
Решение проблем информатизации образования, внедрение в практику
обучения персональных компьютеров привело к разработке современных
282
средств новых информационных технологий. Эти средства позволяют избежать многих недостатков существующих средств обучения (в частности, по
предъявлению и структурированию информации на уроке), но имеют и свои
недостатки. К ним можно отнести: трудности в разработке специальных программных средств обучения; ограниченность временных рамок работы ученика за компьютером. Кроме того, финансовые возможности не позволяют
пока наряду с электронным вариантом выдавать ученикам еще и материалы
на бумажных носителях.
Обобщая все сказанное о некоторых традиционных и современных
средствах обучения математике, выделим достоинства и недостатки и представим их в следующей таблице.
Средства обучения
Достоинства
Недостатки
Плакаты,
1.Конструктивная нагляд- 1.Трудоемкость в изготовкодопленки,
ность.
лении.
диафильмы
2.Динамичность
2.Отсутствие этого средства у ученика.
3.Ученик не имеет возможности непосредственно
выполнять действия с изучаемым объектом.
4.Затраты времени на переписывание
Опорный конспект, 1.Идея опорного конспек- 1.Использование специканва-таблица
та – представление всей
альных символов.
темы в виде совокупности 2.Не удается внести все неновых элементов; наличие обходимые записи в канву.
у каждого ученика.
3.Размножение опорного
2.Идея канвы-таблицы –
конспекта и канвы.
представление учебного
4.Нельзя представить полматериала крупными бло- ноценную работу с дидакками; наличие у каждого
тической единицей
ученика
Дидактические ма- Содержат наборы заданий Отсутствие материалов для
териалы
для контроля знаний и
самоконтроля и самооценумений
ки
Средства новых
Позволяют решать многие Трудности в разработке
информационных вопросы по представлепрограммных средств;
технологий
нию и структурированию ограниченность временных
учебной информации,
рамок работы за компьюобеспечивают динамичтером; проблемы распечатность
ки материалов для каждого
ученика
Анализ таблицы показывает, что в ближайшее время вряд ли будет создано универсальное дидактическое средство, лишенное всех недостатков.
283
Проблема состоит в другом: как должно быть построено дидактическое средство, позволяющее учесть многие из выделенных достоинств и «снять» ряд
существующих недостатков, чтобы обеспечивать эффективность процесса
обучения математике.
Нам представляется, что попытки решения сформулированной выше
проблемы и привели к разработке рабочих тетрадей. Действительно, если в
качестве ведущих условий выбрать наличие средства обучения у каждого
ученика и экономию времени на вспомогательные записи, то это позволит
«снять» многие из перечисленных недостатков.
Подходы и принципы построения рабочей тетради
как средства обучения математике
Рабочая тетрадь стала в последнее время обязательным компонентом,
входящим в федеральный комплект учебной литературы по всем учебным
дисциплинам. Тем самым предопределена обязательность разработки рабочей тетради в соответствии с конкретным учебником и авторским видением
как специфики ее создания, так и методики использования в учебном процессе.
Анализ имеющихся рабочих тетрадей по различным учебным дисциплинам показывает, что они, как правило, созданы для ученика, для обеспечения эффективности некоторых аспектов его деятельности. Вместе с тем рабочие тетради даже по одной и той же учебной дисциплине отличаются не
только содержанием, поскольку связаны содержательно-методическими линиями с конкретным учебником, но и подходами, и принципами их построения. Некоторые авторы стремятся углубить и расширить теоретический материал, представленный в учебнике, другие – включают большое количество
заданий, превышающих по трудности задания, представленные в задачнике.
Третья, самая большая группа составителей рабочих тетрадей, в том числе по
математике, видит назначение рабочей тетради в формировании умений и
навыков. Поэтому такие тетради содержат большое число однотипных заданий, что приводит к дублированию упражнений из задачника. Объединяет
все рабочие тетради лишь форма представления учебного материала в виде
заданий на заполнение пропусков, на дополнение и т.п.
Оказались не готовыми к работе с новым дидактическим средством и
учителя-практики. Сложившаяся традиция по выполнению всех или большей
части упражнений из задачника поставила учителя перед новыми проблемами: как сочетать работу учащихся с учебником, задачником и рабочей тетрадью; как организовать работу учащихся по выполнению заданий из рабочей
тетради; где, на каких этапах урока, дома или в классе наиболее эффективна
работа учащихся с рабочей тетрадью и т.п.
Все сказанное позволяет констатировать, что в настоящее время существуют проблемы в теории и практике построения и использования рабочих
тетрадей. Первая из этих проблем связана с недостаточной разработанностью
теоретических оснований отбора и конструирования учебного материала, его
284
представления в рабочей тетради. Вторая проблема связана с недооценкой
рабочей тетради как дидактического средства в практике работы учителя, с
определением места и роли рабочей тетради в комплекте учебнометодического обеспечения учебного процесса.
Решение названных проблем связано с поиском ответа на вопрос о том,
как должна быть построена рабочая тетрадь, чтобы она стала дидактическим
средством.
За основу построения рабочей тетради по математике возьмем общие
подходы (деятельностный, личностно ориентированный, системный, гуманистический, гуманитарный и культуросообразный), которые лежат в основе
методической системы обучения математике (п. 1.2), технологии обучения
дидактическим единицам (п. 3.1). Учет названных теоретических положений
и подходов к отбору и представлению учебного материала в рабочих тетрадях позволит использовать ее в качестве средства реализации технологии
развивающего обучения математике.
Поскольку основной единицей каждой работы в рабочей тетради является задание, необходимо выделить принципы и требования к построению
каждого задания и к отбору групп взаимосвязанных заданий. Опираясь на
технологию развивающего обучения математике, выделим некоторые требования к отбору и конструированию групп взаимосвязанных заданий для каждого этапа работы с дидактической единицей и для каждого этапа урока в целом.
 Наличие в рабочей тетради заданий, позволяющих актуализировать
прошлый опыт учащихся, организовать повторение изученного ранее
материала.
 Наличие в рабочей тетради заданий, позволяющих включать ученика в
деятельность по «открытию» нового понятия (теоремы, правила, алгоритма), по формулировке учебных задач урока и темы.
 Группировка заданий в работе вокруг ведущего стержня при изучении
функций (уравнений, неравенств), обеспечивающая предсказуемость
предстоящей деятельности ученика, его активное участие в постановке
и решении учебных задач урока (темы).
 Включение в рабочую тетрадь заданий, адекватно отражающих теоретический материал соответствующего параграфа учебника.
 Включение групп заданий, обеспечивающих поэтапное формирование
умений.
 Наличие текстов задач, необходимых рисунков и записей, позволяющих ученикам соединять моторную деятельность и зрительное восприятие, экономить время на уроке, создавать условия для развития мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение, критичность и т.п.),
для организации поисковой, исследовательской деятельности учащихся.
 Наличие в рабочей тетради заданий для формирования у школьников
действий самоконтроля и самооценки. Включение специально состав285
ленных заданий, направленных на формирование у школьников способности к рефлексии (осознанию выполненных действий).
 Включение в тетрадь типовых (ключевых) задач темы, а также задач,
не дублирующих упражнения из задачника.
 Наличие в рабочей тетради заданий на выделение типов задач.
 Включение работ, предназначенных для самостоятельного изучения
некоторых тем, построенных на основе целесообразно подобранных
упражнений, соответствующих логике изучения нового материала.
 Наличие заданий, направленных на верное употребление математических терминов, на формирование речи учащихся, в частности математической речи.
Приведем пример использования рабочей тетради, построенной в соответствии с названными выше требованиями, при изучении темы «Системы
неравенств» в 9 классе по учебнику алгебры А.Г.Мордковича [66].
При конструировании уроков по этой теме можно использовать работы,
которые даны в рабочей тетради «Аналитические, графические и вероятностные модели в курсе алгебры 9 класса» [70]. Задания в этих работах позволяют познакомить учеников с ключевыми понятиями темы, сформулировать основные выводы по числу решений систем неравенств, выделить учебный алгоритм (способ) решения систем рациональных неравенств. Все это
обеспечит полноценную работу учащихся по усвоению материала новой темы. Опора на способ решения систем рациональных неравенств, выделенный
учениками в рабочей тетради, поможет им применить его к выполнению
упражнений из задачника.
Тема «Системы неравенств» является классической темой курса алгебры, и успешность ее освоения во многом зависит от сформированности у
учащихся следующих умений:
 решать рациональные неравенства;
 изображать решения неравенства на числовой прямой;
 выбирать совпавшие промежутки, отмеченные на числовой прямой;
 записывать аналитически решение системы неравенств.
Формированию этих умений и посвящена одна из работ рабочей тетради [70]. Она построена так, что в ней можно выделить группы заданий, обеспечивающих активную деятельность учащихся на всех этапах урока. Покажем, как эту работу можно использовать при построении урока изучения нового материала по теме «Системы неравенств». Приведем конспект этого
урока.
1.Этап актуализации и постановки учебной задачи
- На предыдущих уроках мы учились решать рациональные неравенства
с одной переменной. С каким методом решения рациональных неравенств
познакомились? (С методом интервалов). Как и где изображали решения не-
286
равенств? (Штриховкой на числовой прямой). Как можно записать решения
неравенства? (С помощью простейших неравенств вида х  а, х  а, х  а,
х  а; с помощью двойных неравенств вида а  х  в, а  х  в; с помощью записи числовых промежутков: отрезка, интервала, полуинтервала).
- Итак, чтобы решить рациональное неравенство, надо сначала упростить
его, т.е. свести к неравенству знакомого вида, выбрать метод решения, изобразить решения на числовой прямой и аналитически записать их. Назовите
типы задач, решение которых сводится к решению рациональных неравенств.
(Например, сравнить значения рационального выражения с нулем; установить те значения переменной х, при которых график функции лежит выше
или ниже оси абсцисс; найти область допустимых значений выражения, содержащего переменную под знаком корня). Приведите пример задания последнего типа из рабочей тетради и задачника. (Например, задание № 1 в работе КД 4* (1.2), упражнение № 44 из задачника). Выполните задания № 1 и
2 такого же типа в работе 6 (1.3), комментируя свои действия. Ниже приведен
вариант заполнения пропусков в рабочей тетради. (Здесь и далее текст заданий из рабочей тетради выделен курсивом, а записи учеников в оформлении
заданий работы выделены жирным шрифтом).
№ 1.Сформулируйте задачу, к которой сводится следующая: «Найти
допустимые значения х, при которых определено выражение f(x) = 3х  3 »
Решить неравенство 3х – 3  0.
а)решите сформулированную задачу: 3х  3, х  1.
б)покажите полученные решения штриховкой, расположенной выше
координатной прямой
/////////////////////////
1
х
№ 2.При каких значениях х определено выражение g(x) = 4  х ?
а)к решению какой задачи сводится данная задача?
К решению неравенства 4 – х  0
б)найдите решения: 4  х; х  4.
в)покажите полученные решения штриховкой, расположенной ниже
координатной прямой
/////////////////
4
- К решению каких задач свелось требование в заданиях № 1 и 2? (К решению неравенств с одной переменной). Прочитайте задание № 3.
№ 3.На каком общем промежутке будут определены оба выражения
f(x) = 3х  3 и g(x) = 4  х ?
Эта задача сводится к решению двух неравенств 3х – 3 0 и 4 – х  0 с
одной переменной х или, говорят, к решению системы двух неравенств, так
как ставится задача найти все общие решения двух неравенств. Записыва3 х  3  0,
4  х  0.
ют эту задачу так: решить систему неравенств 
287
- С какой новой задачей встретились? (Решение системы неравенств).
Как сформулировать задачу, которая приводит к решению системы неравенств? (Найти все общие решения двух неравенств).
- Таким образом, решая задачи, сводящиеся к решению рациональных
неравенств, мы пришли к новому математическому понятию «системы неравенств», которое нам предстоит изучить. Что значит изучить новое понятие
«системы неравенств»? Это значит, что надо найти ответы на следующие вопросы, т.е. решить следующие учебные задачи:
 дать определение новому понятию;
 установить, что называют решением системы неравенств;
 установить, что значит решить систему неравенств;
 научиться решать системы неравенств;
 определить типы задач, сводящиеся к решению систем неравенств.
2.Операционно-познавательный этап урока
- Попытайтесь сформулировать определение понятия «системы неравенств», прочитайте это определение по учебнику [66, с. 27]. Что называют
частным и общим решениями систем неравенств? Прочитайте эти определения по учебнику. Чтобы установить, как вы поняли эти определения, выполните упражнение № 51 а, б из задачника1, в котором требуется установить,
является ли число 5 решением системы неравенств. Почему число 5 не является решением системы, записанной под номером 51а? Как можно назвать
число 5 применительно к системе неравенств, записанной под номером 51б?
Что значит решить систему неравенств? (Найти все ее частные решения или
установить, что их нет). Продолжим работу с системой неравенств, составленной в задании № 3. Выполните задания № 4 и 5.
№ 4.Используя результаты выполнения первого и второго заданий,
сформулируйте способ решения системы неравенств с одной переменной,
заполнив пропуски.
Чтобы решить систему двух неравенств с одной переменной, надо:
1)решить первое неравенство и отметить его решения на координатной прямой с помощью верхней штриховки;
2)решить второе неравенство и отметить его решения на той же
числовой прямой с помощью нижней штриховки;
3)найти промежуток, на котором обе штриховки совпадают (говорят, что множества решений пересекаются);
4)записать выделенные общие промежутки и соответствующие им
неравенства.
№ 5.На основе выделенного способа решите систему неравенств
3 х  3  0,

4  х  0.
Мордкович А.Г. Алгебра, 9кл.:В 2 ч. Ч.2: Задачник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005.
1
288
1)3х – 3  0, 3х  3, х  1.
3)
/////////////////////////
1
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
1
4
х
4)Ответ: [1, 4]; 1 х  4.
х
2) 4 – х  0, 4  х; х  4.
/////////////////
4
х
- Назовите основные шаги в решении системы неравенств. Что надо
уметь делать, чтобы решить систему неравенств? (Надо уметь решать неравенства, входящие в систему, отмечать решения неравенств на одной прямой,
находить промежутки, на которых штриховки совпадают, т.е. промежутки,
заштрихованные дважды, записывать решения системы с помощью числового промежутка или с помощью двойного неравенства).
- Откройте задачник и проПри решении систем неравенств в задачитайте
требование
к нии № 53 не надо упрощать приведенные нераупражнениям № 53 – 56. венства, можно сразу отметить решения этих
Чем будет отличаться ал- неравенств на одной прямой и выбрать промегоритм решения системы жутки, заштрихованные дважды. В упражненеравенств,
записанных ниях № 54 – 56 приведены системы линейных
под указанными номерами, неравенств, как и в системе к заданию № 5.
от алгоритма решения си- Поэтому для их решения можно использовать
стемы неравенств, рас- тот же способ решения, что и для системы несмотренной в задании № 5
3 х  3  0,
равенств 
рабочей тетради?
4  х  0.
- Хорошо. Выполните в обычных тетрадях упражнения № 53а,б и № 55а.
Замечание. Полезно вызвать различных учеников к доске для изображения решений систем неравенств на числовой прямой и для записи решений.
- Очень важным моментом в решении систем неравенств является выбор
общих решений системы неравенств. Выполните задание № 7, где требуется
выбрать решения системы по графическому их представлению на числовой
прямой.
№ 7.На рис. 2а – д приведены графические модели решений системы
двух неравенств с одной переменной.
Выберите рисунок, на котором: 1)решения системы задают отрезок,
рис. ... 2)решения системы задают полуинтервал, рис. ... 3)решения системы задают открытый луч, рис. … 4)система решений не имеет, рис. …
Рис. 2а
///////////////////////
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Рис. 2б
////////////////////////////
\\\\\\\\\\\\\\\\
289
Рис. 2в
////////////
\\\\\\\\\\\\
Рис. 2г
/////////////////////////////
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Рис. 2д
////////////////////
\\\\\\\\\\\\\\\\\\
1)отрезок, рис. 2г;
2)полуинтервал, рис. 2а;
3)открытый луч, рис.2б;
4)система решений не
имеет, рис. 2в
- Задание № 7 позволяет сделать еще два важных вывода о том, в виде
каких числовых промежутков могут быть представлены решения системы
неравенств, и о том, сколько решений может иметь система неравенств. Чтобы сформулировать эти выводы, проанализируйте ответы к заданию 7. Анализ ответов показывает, что решения системы неравенств могут быть представлены в виде: числового отрезка (рис. 2г); полуинтервала (рис. 2а); открытого луча (рис. 2б) и интервала (рис. 2д). Следовательно, система неравенств
может иметь бесконечное множество решений. О чем свидетельствует рис.
2в? (Соответствующая этому рисунку система неравенств не имеет решений,
так как нет промежутка, заштрихованного дважды). А может ли система неравенств иметь единственное решение? Приведите пример такой системы.
 х  2  0,
 х  1  0,
или  2
).
х  1  0
х  4х  4  0
(Например, 
- Таким образом, система неравенств может иметь бесконечное множество решений, единственное решение, а может не иметь решений. Примером
системы неравенств, имеющей бесконечное множество решений, является
система неравенств, приведенная в задании № 5. Рассмотрим теперь пример
системы неравенств, не имеющей решений. Выполните задание № 10.
2 х  7  3,
№ 10.Установите, имеет ли система неравенств 
2
х  2х  4  0
реше-
ния.
1) 2х – 7  3, 2х  10, х  5.
2) х2 + 2х + 4 < 0, D = 4 – 16 = – 12  0, a = 1 – старший коэффициент,
а > 0, значит, парабола не пересекает ось абсцисс, и ветви параболы направлены вверх. Следовательно, не существует таких значений х, при которых у
 0, поэтому неравенство х2 + 2х + 4 < 0 не имеет решений;
3)поскольку требуется найти общие решения двух данных неравенств,
а второе неравенство не имеет решений, то и система неравенств не имеет
решений.
- Сформулируйте вывод о том, когда система неравенств не имеет решений. (Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство системы не имеет решений, то и система не имеет решений).
- Какое неравенство надо заменить в приведенной системе, чтобы она
имела решения? (Надо заменить второе неравенство, так как оно не имеет
решений). Выполните задание № 11, где изменен знак второго неравенства в
системе неравенств из предыдущего задания.
290
2 х  7  3,
11.При каком условии решения системы неравенств 
2
 х  2 х  4...0
бу-
дут совпадать с решениями первого неравенства? Обоснуйте свой ответ и
приведете решение системы.
Решение.
Графически это можно представить следующим образом.
1) 2х – 7  3, 2х  10, х  5.
2
2) х + 2х + 4  0, D  0, a > 0, значит,
///////////////////////////
парабола не пересекает ось абсцисс, и
5
ветви параболы направлены вверх. Следовательно, неравенство верно при любых значениях х. Поэтому решением неравенства х2 + 2х + 4  0 является любое \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
число. Значит, решения системы будут
совпадать с решениями первого неравенства.
- Сформулируйте вывод о том, когда решения системы неравенств совпадают с решениями одного из неравенств. (Если в системе из двух неравенств одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то
решением системы служит решение другого неравенства системы). Найдите
этот вывод в учебнике.
Выполните упражнения № 58а и 60а из задачника. Какой вывод можно
сформулировать по результатам выполнения упражнения № 58а? (Решением
системы неравенств служит решение второго неравенства системы, так как
(3,4)  2, + )).
- Укажите номер задания из рабочей тетради, которое аналогично упражнению № 60а. Ответ обоснуйте. (В упражнении № 60а, так же как и в задании
№ 11, решением системы служит решение второго неравенства, так как первое неравенство верно при любых значениях переменной).
- Можно ли сделать проверку всех найденных решений системы неравенств так, как это делали при решении систем уравнений в 7 классе? (Нет,
если система неравенств имеет бесконечное множество решений, то проверить все частные ее решения путем подстановки нельзя). Обратите внимание
на этот вывод. Он означает, что при решении системы неравенств всегда
надо следить за тем, чтобы каждое неравенство системы можно было заменить ему равносильным.
- Выполните самостоятельно задания № 8 и 9 в рабочей тетради.
 х  7  1  x,
4 x  1  x  5.
№ 8.Решите систему неравенств 
1) х + 7  1 – х, 2х  – 6 , х  – 3;
2)4х – 1  х + 5, 3х  6, х  2;
4)общий промежуток: (2; + ).
Ответ: х  2
3)
291
////////////////////////////////
–3
\\\\\\\\\\\\\\\\\\
2
- Можно ли указать все целые числа, являющиеся решениями этой системы неравенств? (Нет, так как их бесконечно много). Фактически ответ на
этот вопрос можно записать в виде смешанной системы следующего вида
 х  2,

x  Z.
№ 9.Назовите целые числа, являющиеся частными решениями системы
 х  7  1  x,

4 x  1  x  5.
1) х + 7  1 – х, 2х  – 6 , х  – 3;
2)4х – 1 х + 5, 3х  6, х  2;
4)общий промежуток: (– 3 ;2).
Ответ: – 2, – 1, 0, 1 .
3)
////////////////////////////////
–3
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
2
- Как найти целые числа, являющиеся частными решениями системы неравенств? (Надо решить систему, а потом выбрать среди решений, принадлежащих отрезку или интервалу, целые числа).
- В задании № 5 была дана система двух линейных неравенств. Выполнив шаги 1) – 4), мы решили систему неравенств и записали ответ. Кратко
переход от системы неравенств к ее решению можно представить в виде следующих трех столбцов таблицы.
Система
неравенств
Изображение решений
на числовой прямой
3 х  3  0,

 4  х  0.
1///////////////////////////////
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\4
Аналитическая
запись решений
1х4
- Как сформулировать обратную задачу к данной? (По графическому
представлению решений системы двух неравенств составить систему неравенств). Такая задача сформулирована в задании № 6. Выполните это задание.
№ 6.На рисунке 1 приведена геометрическая модель решения некоторой системы неравенств с одной переменной.
а)запишите промежуток, на котором обе Рис. 1
штриховки совпали: (0, 3);
– 1///////////////// 3
б)запишите решения системы в виде двой0\\\\\\\\\\\\\\\\\5
ного неравенства: 0  х  3;
в)составьте систему двух неравенств с
//////////////////
одной переменной, решения которой приве0
3
дены на рис. 1
( х  1)( х  3)  0,
 x( x  5)  0.
Например, 
292
Замечание. Это задание интересно тем, что отмеченные решения каждого неравенства имеют вид двойных неравенств. Значит, исходные неравенства не могут быть линейными. Поэтому в процессе анализа этого задания
потребуется установить вид неравенства, решения которого могут быть
представлены в виде двойного неравенства. Для поиска ответа на этот вопрос
можно вернуться к заданию № 3 в работе 3 (1.2) и составить соответствующие рациональные неравенства.
3. Рефлексивно-оценочный этап. Подведение итогов урока
- Какую цель ставили? (Изучить понятие «система неравенств»). Какие
учебные задачи решили?
 сформулировали определение понятия «система неравенств» с одной
переменной;
 выяснили, что называют частным и общим решением системы неравенств;
 установили, что значит решить систему неравенств;
 записали способ решения системы двух неравенств с одной переменной и решили несколько систем неравенств, приведенных в рабочей
тетради и в задачнике;
 определили типы задач, сводящиеся к решению систем неравенств;
 установили, что система неравенств может иметь бесконечное множество решений, единственное решение, а может не иметь решений;
 установили, что решения системы можно представить в виде числового
промежутка (отрезка, интервала, полуинтервала), в виде числа или в
виде двойного неравенства;
 сформулировали два вывода о решениях систем неравенств.
- При выполнении какого задания находили частные решения системы
неравенств? (Задание № 9 в рабочей тетради). Как установить, является ли
заданное число решением системы неравенств? В каком упражнении делали
такую проверку? (№ 51б).
- Мы установили, что если система неравенств имеет бесконечное множество решений, то их можно представить в виде числового промежутка (отрезка, интервала, полуинтервала). Могут ли решения системы неравенств
быть представлены в виде двух числовых промежутков? Используя графическую интерпретацию решения системы неравенств, попробуйте найти ответ
на этот вопрос дома.
Домашнее задание: № 52а, 54в, 58в, 60б.
В рассмотренном примере раскрыта методика использования рабочей
тетради на уроке изучения нового материала. Точно так же, опираясь на технологию обучения основным дидактическим единицам и на выделенные выше принципы и требования к конструированию групп взаимосвязанных заданий в рабочей тетради, можно построить и другие уроки с использованием
293
рабочей тетради: урок решения задач, урок закрепления знаний, урок контроля и оценки, урок обобщения и систематизации знаний.
Вопросы и задания
1. Проанализируйте урок математики с позиций целостного педагогического
процесса.
2. Как можно сформулировать триединую цель урока?
3. Опишите дидактическую структуру и элементы методической структуры
урока математики.
4. Какова последовательность действий учителя при анализе теоретического
материала?
5. Действия учителя при анализе задачного материала.
6. Перечислите требования к системе задач по учебной теме.
7. Назовите возможные цели уроков решения задач. Каковы цели урока, приведенного в пункте 4.4?
8. Какой может быть методическая структура урока решения задач в зависимости от его цели?
9. Как осуществлялось на уроке, приведенном в пункте 4.4, обучение: а) методам научного познания; б) составлению задач?
10. В чем специфика системы уроков в старших классах по сравнению с
младшими и средними? Назовите уроки, которые входят в крупноблочную
модель обучения математике.
11. Укажите цель проведения занятий в форме школьной лекции, их структуру. Приведите примеры, когда предпочтительнее проводить занятия в форме
школьной лекции, и обоснуйте свой выбор.
12. Семинарские занятия: цели, структура, подготовка учителя.
13. Из каких компонентов состоит структура учебной деятельности?
14. Перечислите действия ученика, связанные с принятием и решением учебной задачи.
15. Укажите основные типы уроков, основанные на структуре учебной деятельности.
16. Сформулируйте цели каждого этапа уроков планирования и моделирования.
Литература для самостоятельного чтения
28, 32, 35, 37, 39, 46, 51, 54, 55, 59, 61, 63, 64, 71, 78, 90, 99, 114.
294