1 + 3x + 9 = 9n (n- целое число) в целых числах.

1.Решить уравнение x 2 + 3x + 9 = 9n2 (n- целое число) в целых
числах.
Решение:
x 2 + 3x + 9 = 9n2
x 2 + 3x + 9 − 9n2 = 0
D=9-4(9-9n2 ) =9-36+4∙9n2 =9(1-4+4n2 )=9(4n2 -3)
X=−
X=−
3±√9(4n2 −3)
2
3±√4n2 −3
2
Для решения в целых числах необходимо, что бы подкоренное выражение
было полным квадратом.
4n2 -3=𝑘 2
4n2 -𝑘 2 =3
(2n-k)(2n+k)=3
Находим возможные значения n. k≥0
2n-k=3
2n+k=1
2n-k=-3
2n+k=-1
2n-k=1
2n+k=3
2n-k=-1
2n+k=-3
{
2n − k = 3, 2n − 1 − 2n = 3,
{
2n + k = 1
k = 1 − 2n
0n = −4
нет решений.
{
k = 1 − 2n.
2n − k = −3, 2n + 1 + 2𝑛 = −3, n = −1
{
{
{
2n + k = −1
k = 2 − 1 − 2n
k = 1.
2n − k = 1, 2n − 3 + 2n = 1,
4n = 4, n = 1
{
{
{
{
2n + k = 3
k = 3 − 2n
k = 3 − 2n k = 1.
2n − k = −1, 2n + 3 + 2n = −1, 4n = −4, n = −1
{
{
{
{
2n + k = −3
k = −3 − 2n
k = −3 − 2n k = −1.
Получаем n=1
При n=1.
n=-1
При n=-1
𝑥 2 +3x+9-9∙12 = 0
𝑥 2 +3x+9-9∙(−12 )=0
X(x+3) =0
𝑥 2 +3x=0
X=0 или x+3=0
X(x+3) =0
X=-3
X=0 или x=-3
Ответ: 0; -3.
2. k точек на плоскости расположены так, что любой треугольник с вершинами в этих
точках имеет площадь не больше 1. Доказать, что все эти точки можно поместить в
треугольник площади 4.
Р
Рассмотрим треугольник максимальной площади с вершинами в данных точках. Пусть
это будет треугольник ABC. Через точки A, B, C проведем прямые lA, lB, lC,
параллельные сторонам BC, CA, AB соответственно. Обозначим треугольник,
образованный прямыми lA, lB, lC через A1B1C1. Площадь этого треугольника в 4 раза
больше площади треугольника ABC, следовательно, она не превосходит 4. Покажем,
что каждая данная точка находится в треугольнике A1B1C1. Предположим противное.
Тогда существует точка D из данного множества, находящаяся с некоторой вершиной
треугольника A1B1C1 по разные стороны относительно стороны, противолежащей этой
вершине. Пусть, например C1 и D находятся по разные стороны относительно
стороныB1A1. Тогда расстояние от точки D до AB больше, чем расстояние от
точки C до AB. Следовательно, площадь треугольника ABD больше площади
треугольника ABC, что противоречит выбору треугольника ABC.
3.Десять машин выпускают одинаковые резиновые мячи массой по 10 г
каждый. Одна из машин испортилась и смогла выпускать мячи массой по 5 г.
Как найти испортившуюся машину с помощью одного взвешивания мячей?
1)Берем резиновые мячи с каждой машины, только так, что с 1 машины один
мяч, с 2 машины два мяча, с 3 машины три мяча, и д.т.
2)Если все машины работали бы правильно, то в сумме должно было
получиться 550 г.
10+20+30+40+50+60+70+80+90+100=550
3) Представим, что сломалась первая машина. Тогда в сумме получиться 545г
5+20+30+40+50+60+70+80+90+100=545
4) А теперь представим, что сломалась вторая машина 540 г
10+(2∙5)+30+40+50+60+70+80+90+100=540
Теперь можно найти испортившуюся машину с помощью одного
взвешивания мячей.
4. Решить в натуральных числах.
2𝑛 +7=𝑘 2
Решение:
Выделим разность квадратов. Методика: необходимо размышлять о
кратности, о целых числах.
2𝑛 +7=𝑘 2
2𝑛 +9-2=𝑘 2
𝑘 2 -9= 2𝑛 -2
(k-3)(k+3)=2(2𝑛−1 -2)
𝑘−3 𝑘−3
2𝑚
∙
2𝑙
=2𝑛−1 -2
Получим произведение слева и справа. Это позволяет
размышлять о кратности.
m+L=1
L=1-m
Выражение слева должно делиться на 2
𝑘−3
2𝑚
-минимальное, которое дает кратность это m=0, тогда L=1
Для того чтобы целое ∙ нецелое равнялось целому это 0=0
Значит k=3 , n=1
K=-3 не подходит, так как нужны натуральные числа.
Ответ: k=3, n=1
2𝑛 +7=𝑘 2
21 +7=32
9=9
5.
Разложить на множители: A=𝑎4 + 4𝑏 4
Решение: A=𝑎4 + 4𝑏 4 =(𝑎2 )2 + (2𝑏 2 )2 +4𝑎2 𝑏 2 -4𝑎2 𝑏 2 =(𝑎2 + 2𝑏 2 )2 -4𝑎2 𝑏 2 =
=(𝑎2 + 2𝑏 2 − 2ав) (𝑎2 + 2𝑏 2 + 2ав
6. В арифметической прогрессии, состоящей из четырех целых чисел,
наибольший член равен сумме квадратов остальных трех членов. Найти
члены этой арифметической прогрессии.
Решение: a; a+d; a+2d; a+3d
а и d- целые числа.
а+3d=𝑎2 +(a+d)2 +(a+2d)2
а+3d=𝑎2 +𝑎2 +2ad+𝑑 2 +𝑎2 +4ad+4𝑑 2
3𝑎2 +6ad-a-3d+5𝑑 2 =0
3𝑎2 + (6d-1)a+5𝑑 2 -3d =0
Рассмотрим квадратное уравнение, пусть а - неизвестное, d-параметр
3𝑎2 + (6d-1)a+5𝑑 2 -3d =0
D=(6d-1)2 -4∙ 3∙ (5𝑑 2 -3d)=36𝑑 2 -12d+1-60𝑑 2 +36d= -24𝑑 2 +24d+1
Для того чтобы уравнение имело решение необходимо, чтобы D≥0
-24𝑑2 +24d+1≥0
-24𝑑2 +24d+1=0
24𝑑2 -24d-1=0
D=576+96=672
24−√672 24−√16∙42 24−4√42 6−√42
= 48 = 48 = 12
2∙24
𝑑1 =
6+√42
𝑑2 =
𝑑1 =
12
6−√42 6−6,5
𝑑2 =
12
=
6+√42
12
12
≈0.04
≈ 1.04
d=0; d=1 – это целые значения
d=0 – не подходит, так как даны различные значение
d=1 уравнение примет вид
3𝑎2 +5a+2=0
D=25-4∙ 3∙ 2=1
𝑎1 =
−5+1 −4
6
= 6 не подходит
𝑎2 = -1
Ответ: -1; 0; 1; 2.
𝑥
2
7. Решить уравнение: 𝑥 + (
𝑥 2 (𝑥−1)2 +𝑥 2
(𝑥−1)2
𝑥−1
2
) = 8.
Используем формулу: 𝑎2 + 𝑏 2 =(𝑎 + 𝑏)2 -2ab
=8.
(𝑥(𝑥−1))2 +𝑥 2
(𝑥−1)2
=8
(𝑥(𝑥−1)+𝑥)2 −2𝑥(𝑥−1)𝑥
(𝑥−1)2
=8
(𝑥)2 −2𝑥 2 (𝑥−1)
=8
(𝑥−1)2
𝑥4
(𝑥−1)
2𝑥 2
2 -
=8
(𝑥−1)
𝑥2
пусть
𝑥2
=t
𝑥−1
2𝑥 2
(𝑥−1) 2 - (𝑥−1)=8
𝑡 2 -2t-8=0
D=4-4∙(-8)=36
𝑡1 =
𝑥2
2+6
2
=4
𝑡2 =-2
=4
𝑥−1
𝑥2
= -2
𝑥−1
𝑥 2 =4(x-1)
𝑥 2 =-2(x-1)
𝑥 2 -4 x+4=0
𝑥 2 +2x-2=0
(X-2)2 =0
D=4-4∙(-2)=12
X-2=0
𝑥1 =
x=2
𝑥2 =
Ответ: -1±√3; 2
−2+2√3
=-1+√3
2
−2−2√3
=-1-√3
2
8.Доказать (без таблицы):𝑡𝑔20° × 𝑡𝑔40° × 𝑡𝑔60° × 𝑡𝑔80° = 3.
𝑡𝑔20° × 𝑡𝑔(60° − 20°) × 𝑡𝑔60° × 𝑡𝑔(60° + 20°)=3
𝑡𝑔20° ×
𝑡𝑔20° ×
𝑡𝑔20° ×
𝑡𝑔20° ×
𝑡𝑔(60°−20°)
1+𝑡𝑔60°×𝑡𝑔20°
×
𝑡𝑔60°+𝑡𝑔20°)
1−𝑡𝑔60°×𝑡𝑔20°
√3 −𝑡𝑔20° √3+𝑡𝑔20°
=
°
1+√3𝑡𝑔20° 1−√3𝑡𝑔20°
(√3 )2 −𝑡𝑔2 20°
𝟏−3𝑡𝑔2 20°
3−𝑡𝑔2 20°
𝟏−3𝑡𝑔2 20°
3𝑡𝑔20°−𝑡𝑔3 20°
𝟏−3𝑡𝑔2 20°
× 𝑡𝑔60°=3
× 𝑡𝑔60°=3
× 𝑡𝑔60=3
× √3=3
× √3=3
𝑡𝑔(3 × 20°) × √3 =3.
𝑡𝑔60° × √3 =3
Используем формулу:
𝑡𝑔3x=
3𝑡𝑔𝑥−𝑡𝑔3 𝑥
𝟏−3𝑡𝑔2 20
√3 × √3 =3
3=3
9.Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8
ладей так, чтобы ни одна из них не могла бить другую?
Решение1: Ладья на первой горизонтали может занимать 8 разных
положений. Если это положение фиксировано, то ладья на второй
горизонтали может занимать уже только 7 положений. Аналогично для ладьи
на третьей горизонтали остается 6 вариантов и т. д. Итого 8•7•6•5•4•3•2 = 8!
способов.
Решение 2 . Чтобы ладьи не били друг друга, необходимо, чтобы на каждой
вертикали и на каждой горизонтали стояла ровно одна ладья. Будем
расставлять ладьи следующим образом: первую ладью ставим на первую
горизонталь, вторую ладью — на вторую, и т. д., но так, чтобы они все были
на разных вертикалях. То есть надо заполнить таблицу, в верхней строке
которой стоят номера ладей (или, что то же самое, горизонталей) по порядку,
а в нижней номера вертикалей. Число способов сделать это равно числу
способов упорядочить 8 чисел. А оно равно 8! = 51840
8!=1∙2∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8=40320
Ответ. 8! =40320.
10. Докажите, что при любых отличных от нуля числах a, b , c хотя бы одно
из квадратных уравнений
𝑎𝑥 2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
{𝑏𝑥 2 + 2𝑐𝑥 + 𝑎 = 0
𝑐𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
имеет корень.
Предположим, что ни одно из уравнений не имеет корней, тогда
дискриминант всех этих уравнений отрицательный.
1) D= 4𝑏 2 -4ac< 0
2) D= 4𝑐 2 -4ab< 0
3) D= 4𝑎2 -4bc< 0
Получаем неравенства.
4𝑏 2 <4ac,
4𝑐 2 <4ab,
4𝑎2 <4bc
𝑏 2 <ac,
𝑐 2 <ab,
𝑎2 <bc
Левые части всех этих неравенств неотрицательны, значит и правые тоже
неотрицательны. Перемножим все три неравенства и получим:
𝑏 2 <ac
∙ 𝑐 2 <ab
𝑎2 <bc
𝑏 2 𝑐 2 𝑎2 <𝑏 2 𝑐 2 𝑎2
Значит, хотя бы одно из уравнений имеет корень